Fisica Ejercicios Resueltos Soluciones Campo Gravitatorio Selectividad

2 El campo gravitatorio

1. Dos masas puntuales de 10 kg cada una están en las posiciones (5, 0) y (−5, 0). Una tercera masa de 0,1 kg se deja en libertad y con velocidad nula en el (0, 10). Calcula:a) La aceleración que actúa sobre la masa en las posiciones: • A(0,10). • B(0,0).

b) La velocidad de la masa de 0,1 kg en (0, 0).

a) Deacuerdoconelprincipiofundamentaldeladinámica:

Wa = WFm

Cuandolafuerzaqueactúasobreuncuerpoeslagravitatoria,laaceleracióncoincideconelvectorintensidaddelcampogravitatorioenelpunto:

Wg = WFG

m

CalculamoselvalordelaintensidaddelcampogravitatorioenlospuntosAyB.Porelprincipiodesuperposición:

WgA=Wg1A+Wg2A;WgB=Wg1B+Wg2B

SabemosqueWr1Aesunvectorconorigenen(5,0)yextremoen(0,10).Portanto:

r i j urr

i j1A 1A

1A

1A

= − ⋅ + ⋅ = =− ⋅ + ⋅

+=5 10

5 10

5 102 2→

−− ⋅ + ⋅5 10

11 18

i j,

W W W

r i j urr

i j1A 1A

1A

1A

= − ⋅ + ⋅ = =− ⋅ + ⋅

+=5 10

5 10

5 102 2→

−− ⋅ + ⋅5 10

11 18

i j,W

WW

W W W W

Queda:

gG M

ru1A

1Ar 1A= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅

− ⋅−1

2

11

2

6 67 10 10

11 18

5,

,

ii j

i

+ ⋅=

= ⋅ ⋅ − ⋅− −

10

11 18

2 386 10 4 773 1012 12

,

, ,

N/kg

⋅⋅ j N/kg

W WW W

WW

SabemosqueWr2Aesunvectorconorigenen(−5,0)yextremoen(0,10).Portanto:

r i j urr

i j2A 2A

2A

2A

= ⋅ + ⋅ = =⋅ + ⋅

+=

⋅5 10

5 10

5 10

52 2

→

ii j+ ⋅10

11 18,W W W W

W

W

W W W W

Queda:

Finalmente:

LoscálculossonanálogosparaB.

SabemosqueWr1Besunvectorconorigenen(5,0)yextremoen(0,0).Portanto:

Queda:

SabemosqueWr2Besunvectorconorigenen(−5,0)yextremoen(0,0).Portanto:

Queda:

Porúltimo:WgB=Wg1B+Wg2B

b) Siadmitimosquelaúnicainteracciónqueexisteeslagravitatoria,seconservarálaenergíamecánica.AplicandoelprincipiodeconservacióndelaenergíamecánicaalospuntosAyB:

ECA+EPA=ECB+EPB

•

A(0,10)

B(0,0)

10kg 10kg

M1(5,0)

Wr1BWr2B

Wr2A Wr1A

M2(−5,0)

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1

El campo gravitatorio

Dos masas puntuales de 10 kg cada una están en las posiciones (5, 0) y (−5, 0). Una tercera masa de 0,1 kg se deja en libertad y con velocidad nula en el (0, 10). Calcula:a) La aceleración que actúa sobre la masa en las posiciones: • A(0,10). • B(0,0).

b) La velocidad de la masa de 0,1 kg en (0, 0).

a) Deacuerdoconelprincipiofundamentaldeladinámica:

Wa =

Cuandolafuerzaqueactúasobreuncuerpoeslagravitatoria,laaceleracióncoincideconelvectorintensidaddelcampogravitatorioenelpunto:

Wg =

CalculamoselvalordelaintensidaddelcampogravitatorioenlospuntosAyB.Porelprincipiodesuperposición:

WgA=Wg1A+Wg2A;WgB=Wg1B+Wg2B

SabemosqueWr1Aesunvectorconorigenen(5,0)yextremoen(0,10).Portanto:

Queda:

gG M

ru1A

1Ar 1A= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅

− ⋅−1

2

11

2

6 67 10 10

11 18

5,

,

ii j

i

+ ⋅=

= ⋅ ⋅ − ⋅− −

10

11 18

2 386 10 4 773 1012 12

,

, ,

N/kg

⋅⋅ j N/kg

SabemosqueWr2Aesunvectorconorigenen(−5,0)yextremoen(0,10).Portanto:

r i j urr

i j2A 2A

2A

2A

= ⋅ + ⋅ = =⋅ + ⋅

+=

⋅5 10

5 10

5 10

52 2

→

ii j+ ⋅10

11 18,

W

Queda:

gG M

ru

i2A

2Ar 2A= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅ ⋅−2

2

11

2

6 67 10 10

11 18

5,

,·

++ ⋅=

= − ⋅ ⋅ − ⋅− −

10

11 18

2 386 10 4 773 1012 12

j

i

,

, ,

N/kg

⋅⋅ j N/kg

W WW W

WW

Finalmente:

g g g i jA 1A 2A N/k= + = ⋅ − ⋅− −( , · , · )2 386 10 4 773 1012 12 gg

N/kg

+

+ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

= −

− −( , , )

,

2 386 10 4 773 10

9

12 12i j

5546 10 12· − ⋅ j N/kg

WWWWW

W W

W

LoscálculossonanálogosparaB.

SabemosqueWr1Besunvectorconorigenen(5,0)yextremoen(0,0).Portanto:

r i urr

ii1B 1B

1B

1B

= − ⋅ = =− ⋅

= −55

5→

W WW W

WW

W

Queda:

gG M

ru i1B

1Br1B N/k= −

⋅= −

⋅ ⋅⋅ −

−1

2

11

2

6 67 10 10

5·

,( ) gg

N/kg

=

= ⋅ ⋅−26 68 10 12, i

W W W

W

SabemosqueWr2Besunvectorconorigenen(−5,0)yextremoen(0,0).Portanto:

r i u

rr

ii2B 2B

2B

2B

= ⋅ = =⋅

=55

5→

W W

W

WWW

W

Queda:

gG M

ru i2B

2Br 2B N/kg= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅ =

=

−2

2

11

2

6 67 10 10

5

,

−− ⋅ ⋅−26 68 10 12, i N/kg

W W W

W

Porúltimo:WgB=Wg1B+Wg2B= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =− −26 68 10 26 68 10 012 12, ,i iW W

b) Siadmitimosquelaúnicainteracciónqueexisteeslagravitatoria,seconservarálaenergíamecánica.AplicandoelprincipiodeconservacióndelaenergíamecánicaalospuntosAyB:

ECA+EPA=ECB+EPB

• E E EGM m

rGM m

rP A P1A P 2A

1A 2A

= + = −⋅

−⋅

=

= −⋅ −

1 2

6 67 10, 111 1110 0 1

11 18

6 67 10 10 0 1

11 18

11

⋅ ⋅−

⋅ ⋅ ⋅=

= −

−,

,

, ,

,

,,93 10 12⋅ − J

10kg

M1(5,0)

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2


• E E EGM m

rGM m

rPB P1B P 2B

1B 2B

= + = −⋅

−⋅

=

= −⋅ −

1 2

6 67 10, 111 11

1

10 0 1

5

6 67 10 10 0 1

5

26 68 10

⋅ ⋅−

⋅ ⋅ ⋅=

= − ⋅

−

−

, , ,

, 22 J

Portanto,usandounidadesdelSI:

ECA+EPA=ECB+EPB→ 0 1

22+ = ⋅ +E m v EPA B B PB →

→ 0 11 93 101

20 1 26 68 10

1

12 2 12− ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅

=

− −, , ,

,

v

v

B

B

→

→ 772 10 5⋅ − m/s

2. Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcula:a) El campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro

de cada lado del cuadrado.b) El potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro

del cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales.Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

a) Dadoqueelsistemaesperfectamentesimétrico,calculamoselcampogravitatorioenunodeloslados:

WgX=WgA+WgB+WgC+WgD

SabemosqueWrAesunvectorconorigenen(0,0)yextremoen(1,0).Portanto:

r i urr

iiA rA

A

A

= = = =→ 1

W W WW W

WW

Tenemos:

gG M

ru iA

A

ArA N/kg= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅ =

= −

−

2

11

2

6 67 10 6

1

4 0

,

, ⋅⋅ ⋅−10 10 i N/kg

W W W

W

SabemosqueWrBesunvectorconorigenen(0,2)yextremoen(1,0).

Portanto:

Queda:

SabemosqueWrCesunvectorconorigenen(2,2)yextremoen(1,0).Portanto:

Queda:

SabemosqueWrDesunvectorconorigenen(2,0)yextremoen(1,0).Portanto:

Queda:

Finalmente:

Deformasimilarsecalcularíaelcampoenelcentrodelosotroslados.Elresultadosería:

•

•

•

2m

2m2m

B(0,2),6kg C(2,2),6kg

X(1,0)A(0,0),6kg D(2,0),6kgWrA

WrB WrC

WgCWgB

WgA WgD

WrD

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3


•

Portanto,usandounidadesdelSI:

ECA+EPA=ECB+EPB→

→

Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcula:a) El campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro

de cada lado del cuadrado.b) El potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro

del cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales.Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.(C. Madrid, 2008)

a) Dadoqueelsistemaesperfectamentesimétrico,calculamoselcampogravitatorioenunodeloslados:

WgX=WgA+WgB+WgC+WgD

SabemosqueWrAesunvectorconorigenen(0,0)yextremoen(1,0).Portanto:

Tenemos:

SabemosqueWrBesunvectorconorigenen(0,2)yextremoen(1,0).

Portanto:

r i j urr

i j i jB rB

B

B

= − = =−

+=

−2

2

1 2

2

52 2→

W W

W W WW W

WW W

Queda:

W WW W

WW

gG M

ru

i jB

B

BrB N/kg= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅

−=

= −

−

2

116 67 10 6

5

2

5

,

33 58 10 7 16 1011 11, ,⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −i j N/kg


r i j urr

i j i jC rC

C

C

= − − = =− −

+=

− −2

2

1 2

2

52 2→

W W

W W WW W

WW W

Queda:

gG M

ru

i jC

C

CrC N/kg= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅

− −=

=

−

2

116 67 10 6

5

2

5

,

33 58 10 7 16 1011 11, , ·⋅ ⋅ + ⋅− −i j N/kg

W WW W

WW


r i urr

iiD rC

D

D

= − = =−

= −→ 1

WWW

WWW W

Queda:

gG M

ru iD

D

DrD N/kg= −

⋅= −

⋅ ⋅⋅ − =

=

−

2

11

2

6 67 10 6

1

4

·,

( )

⋅⋅ ⋅−10 10 i N/kg

W W W

W

Finalmente:

g i i jX = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− − −( ) ( , ,4 10 3 58 10 7 16 1010 11 11 ))

( , , ) ( )

+

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− − −3 58 10 7 16 10 4 1011 11 10i j i →→

→ g jX N/kg= + ⋅ −1 43 10 10, ·

W W W W

WWW

WW

Deformasimilarsecalcularíaelcampoenelcentrodelosotroslados.Elresultadosería:

• g jY N/kg= − ⋅ ⋅−1 43 10 10,W W

• g iW N/kg= + ⋅ ⋅−1 43 10 10,W W

• g iZ N/kg= − ⋅ ⋅−1 43 10 10,W W

WgW WgZ

WgX

WgY

2m

C(2,2),6kg

D(2,0),6kg

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4


b) Dadoqueelpotencialesunescalar,calculamoselvalordelpotencialenelcentro(puntoX)comolasumadelpotencialquecreacadaunadelasmasasqueestánenlosvértices:

V V V V VX A B C D= + + +

Tomandoelinfinitocomoorigendepotenciales,elpotencialenunpuntorcreadoporlamasaMvienedadoporlaexpresión:

VG M

r= −

⋅

Todoslospuntosestánalamismadistanciadelcentro,queeslamitaddeladiagonaldelcuadrado:

r =+

=2 2

22

2 2

m →

→ VG M

rA

A

A

J/kg= −⋅

= −⋅ ⋅

= − ⋅−

−6 67 10 6

22 83 10

1110,

,

ComoVA=VB=VC=VD:

V VX A J/kg J/kg= ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅− −4 4 2 83 10 113 1010 9( , ) ,

3. Suponiendo que la Tierra es una esfera maciza de R = 6370 km y M = 6 ⋅ 1024 kg, señala en qué punto del interior de la Tierra un cuerpo de masa m pesa lo mismo que en lo alto del pico del Teide (3718 m de altura).

Primeramente,obtenemosgparalaalturadelTeide.ComononosdanG:

gG M

RG M g R0 2 0

2=⋅

⋅ = ⋅T

TT T→

Así:

gG M

rG M

R hg R

R hg

RR

=⋅

=⋅+

=⋅

+= ⋅T T

T

T

T

T2 2

02

2 0

2

( ) ( ) ( TT +=

= ⋅⋅

⋅ +=

h

g g

)

( )

( ),

2

0

3 2

3 2

6370 10

6370 10 37180→ 99988 0⋅ g

DeacuerdoconelteoremadeGauss,parapuntosinterioresalaTierra(r<RT):

Elpuntoseencuentraaunaprofundidadde:6370km−6362,36km=7,64kmdesdelasuperficiedelaTierra

4. Razona sobre la veracidad o falsedad de esta frase: «No todos los puntos de un mismo paralelo terrestre tienen el mismo valor de la gravedad aunque se encuentren a la misma altura»:

a) Verdadero.b) Falso.c) Depende de qué paralelo sea.

Larespuestacorrectaeslab)Falso,yaquetodoslospuntosdelmismoparalelotienenlamismalatitud,porloque,siestánalamismaaltura,tendránelmismovalordegravedad,yaquenohayvariaciónporlatitud.

5. Razona sobre la veracidad o falsedad de esta frase: «No todos los puntos de un mismo meridiano terrestre tienen el mismo valor de la gravedad, aunque se encuentren a la misma altura»:

a) Verdadero.b) Falso.c) Depende de qué meridiano sea.

Larespuestacorrectaeslaa)Verdadero,yaqueenunmismomeridianohayvariacióndelatitudy,porlotanto,existeunavariacióndelagravedadasociadaalalatitud.

6. Tras estudiar este apartado, Luisa y Juan deciden emprender un negocio para hacerse ricos sin grandes esfuerzos; consiste en comprar lingotes de oro en Ecuador y venderlos en Groenlandia. Razona si este negocio puede tener éxito o conviene que piensen en otra alternativa.

Siseutilizanbalanzasquedeterminanelpesodeuncuerpoporcomparaciónconunaspesasdeterminadas,loslingotespesaránlomismoencualquierpunto,yaquelainfluenciadelaatraccióngravitatoriasobreellingotesedadeformaidénticaenlaspesas.

2m

2m2m

B C

A D

WrA

WrB WrC

WrD

X(0,0)

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5


b) Dadoqueelpotencialesunescalar,calculamoselvalordelpotencialenelcentro(puntoX)comolasumadelpotencialquecreacadaunadelasmasasqueestánenlosvértices:

Tomandoelinfinitocomoorigendepotenciales,elpotencialenunpuntorcreadoporlamasaMvienedadoporlaexpresión:

Todoslospuntosestánalamismadistanciadelcentro,queeslamitaddeladiagonaldelcuadrado:

ComoVA=VB=VC=VD:

Suponiendo que la Tierra es una esfera maciza de R = 6370 km y M = 6 ⋅ 1024 kg, señala en qué punto del interior de la Tierra un cuerpo de masa m pesa lo mismo que en lo alto del pico del Teide (3718 m de altura).

Primeramente,obtenemosgparalaalturadelTeide.ComononosdanG:

Así:

DeacuerdoconelteoremadeGauss,parapuntosinterioresalaTierra(r<RT):

g gr

R= ⋅0

T

→

→ r Rgg

Rg

g= ⋅ = ⋅

⋅= ⋅ ⋅ =

=

T T m0

0

0

30 99880 9988 6370 10

,,

66 3623 56 10 6362 366, ,⋅ =m km

Elpuntoseencuentraaunaprofundidadde:6370km−6362,36km=7,64kmdesdelasuperficiedelaTierra

4. Razona sobre la veracidad o falsedad de esta frase: «No todos los puntos de un mismo paralelo terrestre tienen el mismo valor de la gravedad aunque se encuentren a la misma altura»:

a) Verdadero.b) Falso.c) Depende de qué paralelo sea.

Larespuestacorrectaeslab)Falso,yaquetodoslospuntosdelmismoparalelotienenlamismalatitud,porloque,siestánalamismaaltura,tendránelmismovalordegravedad,yaquenohayvariaciónporlatitud.

5. Razona sobre la veracidad o falsedad de esta frase: «No todos los puntos de un mismo meridiano terrestre tienen el mismo valor de la gravedad, aunque se encuentren a la misma altura»:

a) Verdadero.b) Falso.c) Depende de qué meridiano sea.

Larespuestacorrectaeslaa)Verdadero,yaqueenunmismomeridianohayvariacióndelatitudy,porlotanto,existeunavariacióndelagravedadasociadaalalatitud.

6. Tras estudiar este apartado, Luisa y Juan deciden emprender un negocio para hacerse ricos sin grandes esfuerzos; consiste en comprar lingotes de oro en Ecuador y venderlos en Groenlandia. Razona si este negocio puede tener éxito o conviene que piensen en otra alternativa.

Siseutilizanbalanzasquedeterminanelpesodeuncuerpoporcomparaciónconunaspesasdeterminadas,loslingotespesaránlomismoencualquierpunto,yaquelainfluenciadelaatraccióngravitatoriasobreellingotesedadeformaidénticaenlaspesas.

2m

C

D

833523 _ 0033-0072.indd 41 14/5/09 08:07:39

6


Siseutilizanbalanzasquemidenlafuerzadeatraccióngravitatoria,porejemplo,midiendoelestiramientoquesufreunmuelledelquecuelgaellingote,estepesarámásenelpoloqueenelecuador.Larazónesque,debidoalmovimientoderotacióndelaTierra,loscuerposqueestánenelecuadorestánsometidosaunafuerzacentrífugaqueseoponealagravitatoriay,enconsecuencia,laatraccióngravitatoriaefectivaquesufrenloscuerposenelecuadoresmenordelaquetendríansilaTierranorotase.LafuerzacentrífugaesdirectamenteproporcionalalradiodelaórbitaquedescribeelcuerpoensumovimientoderotaciónconlaTierra,porloqueesnulaenelpolo;enelpololafuerzagravitatoriaefectivaquesufrenloscuerpos(supeso)coincideconlafuerzadeatraccióngravitatoriaqueejercerealmentelaTierra.

7. Un satélite artificial de 500 kg de masa, que se encuentra en una órbita circular, da una vuelta a la Tierra en 48 horas.

a) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se encuentra?b) Calcula la aceleración del satélite en su órbita.c) ¿Cuál será su periodo cuando se encuentre a una altura de la superficie

terrestre igual a dos veces el radio de la Tierra?Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; MT = 5,97 ⋅ 1024 kg;

RT = 6370 km.

a) Paraelsatélitequegiraaunaalturah:

FC=FG→ →GM m

r

m v

rG

Mr

v⋅⋅

=⋅

⋅ =T s s T2

22

Comoconocemoseltiempoquetardaendarunavuelta,ponemosvenfuncióndeT:

v=ω⋅r; ωπ

ωπ

= = ⋅ =

⋅ =

2 22 2 22

2

Tv r

Tr

GMr

→ T

Elperiodoes:

T = ⋅ ⋅ =48 h60 min

1 h

60 s

1 mins172 800

Reordenandoydespejandolaexpresiónanterior:

rGM T

=⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

T2

23

11 24 2

4

6 67 10 5 97 10 172 800

4π π, ,

223

667 03 10

=

= ⋅, m

Queda:

h r R= − = ⋅ − ⋅ = ⋅T m m m67 03 10 6370 10 60 66 106 3 6, ,

b) Coincideconelvalordelaintensidaddelcampogravitatorio

enelpunto.Tambiénsepodríacalcularcomoa = .

c) Enesaórbitatambiénsecumplirá:

FC=FG

v=ω⋅r;

DeaquísededuceelvalordeT(unidadesdelSI):

8. Se desea situar un par de satélites artificiales en una órbita ecuatorial. Se pretende que el primero de ellos sea geoestacionario, mientras que el segundo se situará al doble de distancia del centro de la Tierra. Calcula:

a) La altura a la cual debe orbitar el primero.b) El periodo de orbitación del segundo.c) ¿En qué influiría la masa de los satélites?

Datos: RT = 6370 km; MT = 5,96 ⋅ 1024 kg; G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

a) ElsatélitegeoestacionariotendráelmismoperiododerotaciónquelaTierra,esdecir,1día.Obtenemoslaalturaalaquedebeorbitar.

Cuandoelsatéliteestáenórbita:

FC=FG

ConocemoselperiodoT:

v=ω⋅r;

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7


Siseutilizanbalanzasquemidenlafuerzadeatraccióngravitatoria,porejemplo,midiendoelestiramientoquesufreunmuelledelquecuelgaellingote,estepesarámásenelpoloqueenelecuador.Larazónesque,debidoalmovimientoderotacióndelaTierra,loscuerposqueestánenelecuadorestánsometidosaunafuerzacentrífugaqueseoponealagravitatoriay,enconsecuencia,laatraccióngravitatoriaefectivaquesufrenloscuerposenelecuadoresmenordelaquetendríansilaTierranorotase.LafuerzacentrífugaesdirectamenteproporcionalalradiodelaórbitaquedescribeelcuerpoensumovimientoderotaciónconlaTierra,porloqueesnulaenelpolo;enelpololafuerzagravitatoriaefectivaquesufrenloscuerpos(supeso)coincideconlafuerzadeatraccióngravitatoriaqueejercerealmentelaTierra.

Un satélite artificial de 500 kg de masa, que se encuentra en una órbita circular, da una vuelta a la Tierra en 48 horas.

a) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se encuentra?b) Calcula la aceleración del satélite en su órbita.c) ¿Cuál será su periodo cuando se encuentre a una altura de la superficie

terrestre igual a dos veces el radio de la Tierra?Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; MT = 5,97 ⋅ 1024 kg;

RT = 6370 km.

(Canarias. Junio, 2005)


FC=FG


v=ω⋅r;

Elperiodoes:

Reordenandoydespejandolaexpresiónanterior:

Queda:

b) Coincideconelvalordelaintensidaddelcampogravitatorio

enelpunto.Tambiénsepodríacalcularcomoa = v 2

r.

gG M

r=

⋅=

⋅ ⋅ ⋅⋅

=−

T2

11 24

6 2

6 67 10 5 97 10

67 03 108

, ,

( , ),,86 10 2 2⋅ − m/s

c) Enesaórbitatambiénsecumplirá:

FC=FG→ →GM m

r

m v

rG

Mr

vT s s T⋅=

⋅=

2

22

v=ω⋅r; ωπ

ωπ

= = ⋅ =

⋅ =

2 22 2 22

2

Tv r

Tr

GMr

→ T

DeaquísededuceelvalordeT(unidadesdelSI):

Tr

GMR h

GMR

GM=

⋅=

⋅ +=

⋅ ⋅=

=

4 4 4 32 3 2 3 2 3π π π

T

T

T

T

T

( ) ( )

44 3 6370 10

6 67 10 5 97 1026 3

2 3 3

11 24

π ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

=−

( )

, ,, 004 10

7 18

3⋅ =

= =

s

7,3 h h min

8. Se desea situar un par de satélites artificiales en una órbita ecuatorial. Se pretende que el primero de ellos sea geoestacionario, mientras que el segundo se situará al doble de distancia del centro de la Tierra. Calcula:

a) La altura a la cual debe orbitar el primero.b) El periodo de orbitación del segundo.c) ¿En qué influiría la masa de los satélites?

Datos: RT = 6370 km; MT = 5,96 ⋅ 1024 kg; G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

a) ElsatélitegeoestacionariotendráelmismoperiododerotaciónquelaTierra,esdecir,1día.Obtenemoslaalturaalaquedebeorbitar.

Cuandoelsatéliteestáenórbita:

FC=FG→ →GM m

r

m v

rG

Mr

vT s s T⋅=

⋅=

2

22

ConocemoselperiodoT:

v=ω⋅r; ωπ

ωπ

= = ⋅ =

⋅ =

2 22 2 22

2

Tv r

Tr

GMr

→ T

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8


Despejandorpodremoscalcularelradiodelaórbita.

rT GM

=⋅2

23

4T

π [1]

Sustituyendolosdatos:

r =⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅−( ) , ,24 3600 6 67 10 5 98 102 11

2

224s

N m

kgkg

444 23 10

2

3 7

π= ⋅, m

Paraconocerlaalturaalaqueorbitasobrelasuperficieterrestre:

h=4,23⋅107m–6,37⋅106m=3,59⋅107m

b) Obtenemoselradiodeórbitadelsegundosatéliteapartirdelradioobtenidoenelapartadoanterior:

r r27 72 2 4 23 10 8 46 10= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅, ,m m

Reordenamoslaexpresión[1]paraobtenerelperiodo.Sustituyendolosdatoscorrespondientesaestecaso:

Tr

GM=

⋅=

⋅ ⋅⋅ ⋅−

4 4 8 46 10

6 67 10 5 97

22

3 2 7 3

11

π π

T

( , )

, , ⋅⋅= ⋅ =

102 45 10

245, s 68 h

c) Lamasadelsatélitenoinfluyenienelperiodonienelradiodelaórbita.Influiríaenlaenergíamecánicadelossistemasoenladeterminacióndesupesoenunlugardeterminado.

9. Los NOAA son una familia de satélites meteorológicos norteamericanos que orbitan la Tierra pasando sobre los polos, con un periodo aproximado de 5 horas. Calcula:

a) La altura a la que orbitan sobre la superficie de la Tierra.b) La velocidad con que lo hacen. Datos: RT = 6370 km; MT = 5,96 ⋅ 1024 kg;

G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.


FC=FG→GM m

r

m v

rG

Mr

vT s s T⋅=

⋅=

2

22→

Elperiodoes:

T = ⋅ ⋅ = =5 h60 min

1 h

60 s

1 min18 000 s 5 h


v=ω⋅r; ωπ

ωπ

= = ⋅ =

⋅ =

2 22 2 22

2

Tv r

Tr

GMr

; T

Reordenandoydespejando:

b) Paraelsatélitequegiraaunaalturah:

FC=FG →

10. Un satélite artificial describe una órbita circular de radio 2RT en torno a la Tierra. Calcula: a) La velocidad orbital.b) El peso del satélite en la órbita si en la superficie de la Tierra pesa

5000 N (dibuja las fuerzas que actúan sobre el satélite). Datos: RT = 6370 km; G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2/kg2; g0 = 9,8 m/s2.


FC=FG

Además:

Portanto:

b) F= m⋅g.Paralafuerzapeso,enlaTierra:P=mg.

Laúnicafuerzaqueactúaeslafuerzagravitatoria,esdecir,elpesodelsatélite.

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9


Despejandorpodremoscalcularelradiodelaórbita.

[1]


r =⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅−( ) , ,24 3600 6 67 10 5 98 102 11

2

224s

N m

kgkg

444 23 10

2

3 7

π= ⋅, m

Paraconocerlaalturaalaqueorbitasobrelasuperficieterrestre:

h=4,23⋅107m–6,37⋅106m=3,59⋅107m

b) Obtenemoselradiodeórbitadelsegundosatéliteapartirdelradioobtenidoenelapartadoanterior:

Reordenamoslaexpresión[1]paraobtenerelperiodo.Sustituyendolosdatoscorrespondientesaestecaso:

Tr

GM=

⋅=

⋅ ⋅⋅ ⋅−

4 4 8 46 10

6 67 10 5 97

22

3 2 7 3

11

π π

T

( , )

, , ⋅⋅= ⋅ =

102 45 10

245, s 68 h

c) Lamasadelsatélitenoinfluyenienelperiodonienelradiodelaórbita.Influiríaenlaenergíamecánicadelossistemasoenladeterminacióndesupesoenunlugardeterminado.

Los NOAA son una familia de satélites meteorológicos norteamericanos que orbitan la Tierra pasando sobre los polos, con un periodo aproximado de 5 horas. Calcula:

a) La altura a la que orbitan sobre la superficie de la Tierra.b) La velocidad con que lo hacen. Datos: RT = 6370 km; MT = 5,96 ⋅ 1024 kg;

G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.


FC=FG→

Elperiodoes:


v=ω⋅r;

Reordenandoydespejando:

rGM T

=⋅

=

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

T2

23

11 24 2

4

6 67 10 5 97 10 18 000

4

π

π, ,

223 614 84 10= ⋅, m →

→ h r R= − = ⋅ − ⋅ = ⋅T m m m14 84 10 6370 10 8 47 106 3 6, ,

b) Paraelsatélitequegiraaunaalturah:

FC=FG→ GM m

r

m v

rT s s⋅

=⋅

2

2

→

→ vG M

r=

⋅=

⋅ ⋅ ⋅⋅

=−

T 6 67 10 5 97 10

14 84 105 18

11 24

6

, ,

,, ⋅⋅ 103 m/s

10. Un satélite artificial describe una órbita circular de radio 2RT en torno a la Tierra. Calcula: a) La velocidad orbital.b) El peso del satélite en la órbita si en la superficie de la Tierra pesa

5000 N (dibuja las fuerzas que actúan sobre el satélite). Datos: RT = 6370 km; G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2/kg2; g0 = 9,8 m/s2.


FC=FG→ →GM m

r

m v

rv

G Mr

T s s T⋅=

⋅=

⋅2

2

Además:

gG M

RG M g R0 2 0

2=⋅

⋅ = ⋅T

TT T→

Portanto:

vg R

R=

⋅=

⋅ ⋅= ⋅0

2 33

2

9 8 6370 10

25 587 10T

T

,, m/s

b) F= m⋅g.Paralafuerzapeso,enlaTierra:P=mg.

gG M

rG M

Rg R

Rg

=⋅

=⋅⋅

=

=⋅

⋅=

T T

T

T

T

2 2

02

20

2

4 4

( )

→

→ P m g mg

P

= ⋅ = ⋅ =

= = =

0

4

4T 5000 N

41250 N

Laúnicafuerzaqueactúaeslafuerzagravitatoria,esdecir,elpesodelsatélite.

Tierra

WFG

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10


11. Calcula la velocidad con que debe lanzarse un satélite de 500 kg desde la superficie de la Tierra para llevarlo a 2000 km de altura. ¿Con qué velocidad debería lanzarse para llevarlo al infinito?

Datos: RT = 6370km y g0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.

Admitiendoquelaúnicainteracciónqueactúasobreelsistemaeslagravitatoria,seconservalaenergíamecánica,deformaquelaenergíamecánicadelsistemaenelpuntodellanzamiento(EM i)coincideconlaenergíamecánicaenlaórbita(EMf).

E E E E E

m vG M m

R

Mi M f C i P i M f

s is

T

= + =

⋅ −⋅ ⋅

= − ⋅

→ →

→ 1

2

1

22 GG M m

r

⋅ ⋅ s →

→ 1

2

1

2

1 1

22v

G MR

G Mr

GMR ri

T T

=⋅

− ⋅⋅

= ⋅ −

Paraqueuncuerpoalcanceunaórbitaaunadeterminadaalturah,talque:

r h R= + = ⋅ + ⋅ =T km km 8370 km2000 10 6370 103 3

debelanzarseconunavelocidad:

v GMR r

iT

= ⋅ −

=

= ⋅ ⋅ −

21 1

2

2 6 67 10 511, · ,997 101

6370 10

1

2 8370 1024

3 3⋅ ⋅

⋅−

⋅ ⋅

==

= ⋅8 8 103, m/s

Paraquealcanceelinfinito(velocidaddeescape),debeserr=`:

v GMR

'iT

= ⋅ −

=

= ⋅ ⋅ ⋅−

21

0

2 6 67 10 5 911, , 77 101

6370 1011 18 1024

33⋅ ⋅

⋅

= ⋅, m/s

12. Calcula la energía cinética que tendría que tener una persona de 70 kg para estar dando vueltas alrededor de la Tierra en su superficie sin caer. Calcula cuánta energía sería necesaria para elevarla a una órbita estable de 6370 km de altura.

Datos: RT = 6370 km y g0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.

ParaelsatélitequegiraaunaalturahporencimadelasuperficiedelaTierra:

F F GM m

r

m v

rv

G Mr

G MR h

C GT s s T T

T

= ⋅⋅

=⋅

=⋅

=⋅+

→ →2

2

Además:

ParalasuperficiedelaTierra:r=RT.

Setratadellevaralapersonaaunaórbitaestableder=RT+h=2RT.Habráquecomunicarleunaenergíaquesealadiferenciaentrelaenergíadelapersonaenlasdosórbitas:

Haciendousodelarelación :

13. Indica si es cierta o no la siguiente expresión:

«Si el valor del campo gravitatorio debido a una masa M1 en un punto A es −8 N/kg y el campo en ese mismo punto creado por una masa M2 es −4 N/kg, el campo debido a la acción conjunta de las masas M1 y M2 en el punto A es −12 N/kg».

Esfalsa,yaqueenvirtuddelprincipiodesuperposiciónelcampogravitatoriototalseobtienecomolasumavectorialdeloscamposgravitatoriosdebidosacadamasa.Seríanecesarioconocerdirecciónysentidodeambosparapoderrealizarelcálculo.

14. Indica si es cierta o no la siguiente expresión: «Si el valor del potencial gravitatorio debido a una masa M1 en un punto A es −8 J/kg y el potencial en ese mismo punto creado por una masa M2 es −4 J/kg, el potencial debido a la acción conjunta de las masas M1 y M2 en el punto A es −12 J/kg».

Esverdadera,yaqueenvirtuddelprincipiodesuperposición,comoelpotencialgravitatorioesunafunciónescalar,eltotalseobtienecomolasumaescalardelospotencialesgravitatorioscreadosporcadamasa.

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Calcula la velocidad con que debe lanzarse un satélite de 500 kg desde la superficie de la Tierra para llevarlo a 2000 km de altura. ¿Con qué velocidad debería lanzarse para llevarlo al infinito?

Datos: RT = 6370km y g0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.

Admitiendoquelaúnicainteracciónqueactúasobreelsistemaeslagravitatoria,seconservalaenergíamecánica,deformaquelaenergíamecánicadelsistemaenelpuntodellanzamiento(EM i)coincideconlaenergíamecánicaenlaórbita(EMf).

Paraqueuncuerpoalcanceunaórbitaaunadeterminadaalturah,talque:

debelanzarseconunavelocidad:

v GMR r

iT

= ⋅ −

=

= ⋅ ⋅ −

21 1

2

2 6 67 10 511, · ,997 101

6370 10

1

2 8370 1024

3 3⋅ ⋅

⋅−

⋅ ⋅

==

= ⋅8 8 103, m/s

Paraquealcanceelinfinito(velocidaddeescape),debeserr=`:

Calcula la energía cinética que tendría que tener una persona de 70 kg para estar dando vueltas alrededor de la Tierra en su superficie sin caer. Calcula cuánta energía sería necesaria para elevarla a una órbita estable de 6370 km de altura.

Datos: RT = 6370 km y g0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.

ParaelsatélitequegiraaunaalturahporencimadelasuperficiedelaTierra:

F F GM m

r

m v

rv

G Mr

G MR h

C GT s s T T

T

= ⋅⋅

=⋅

=⋅

=⋅+

→ →2

2

Además:

gG M

RG M g R0 2 0

2=⋅

⋅ = ⋅T

TT T→

ParalasuperficiedelaTierra:r=RT.

vG M

rg R

R=

⋅=

⋅= ⋅ ⋅ = ⋅T T

T

m/s02

3 39 8 6370 10 7 9 10, ,

E m vC J= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1

20 5 70 7 9 10 2 18 102 3 2 9, ( , ) ,

Setratadellevaralapersonaaunaórbitaestableder=RT+h=2RT.Habráquecomunicarleunaenergíaquesealadiferenciaentrelaenergíadelapersonaenlasdosórbitas:

∆E E EG M m

RG M m

R

G M mR

= − = −⋅ ⋅

+⋅ ⋅

=

= ⋅ ⋅ ⋅ −

M2 M1T

T

T

T

TT

2

1 11

2 2 22RGM m

RR

G M mRT

TT

T

T

T

= ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅

HaciendousodelarelaciónG M g R⋅ = ⋅T T02:

∆EG M m

Rg R m

Rg R m

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=T

T

T

T

T

2 2 20

20

=⋅ ⋅ ⋅

= ⋅9 8 6370 10

22 34 10

39,

,m/s m 75 kg

J2

13. Indica si es cierta o no la siguiente expresión:

«Si el valor del campo gravitatorio debido a una masa M1 en un punto A es −8 N/kg y el campo en ese mismo punto creado por una masa M2 es −4 N/kg, el campo debido a la acción conjunta de las masas M1 y M2 en el punto A es −12 N/kg».

Esfalsa,yaqueenvirtuddelprincipiodesuperposiciónelcampogravitatoriototalseobtienecomolasumavectorialdeloscamposgravitatoriosdebidosacadamasa.Seríanecesarioconocerdirecciónysentidodeambosparapoderrealizarelcálculo.

14. Indica si es cierta o no la siguiente expresión: «Si el valor del potencial gravitatorio debido a una masa M1 en un punto A es −8 J/kg y el potencial en ese mismo punto creado por una masa M2 es −4 J/kg, el potencial debido a la acción conjunta de las masas M1 y M2 en el punto A es −12 J/kg».

Esverdadera,yaqueenvirtuddelprincipiodesuperposición,comoelpotencialgravitatorioesunafunciónescalar,eltotalseobtienecomolasumaescalardelospotencialesgravitatorioscreadosporcadamasa.

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12


15. Dadas dos masas M1 y M2:

a) ¿Existirá algún punto del espacio en el que el campo gravitatorio provocado por esas dos masas sea cero?

b) ¿Existirá algún punto del espacio en el que el potencial gravitatorio provocado por esas dos masas sea cero?

a) Existeunpuntodelespacioenelqueelcampogravitatorioprovocadoporambasmasasseanula,yseencuentrasobrelalíneaqueuneambasmasas,yaquealsersudirecciónlamismaysentidosopuestos,seanularáenelpuntoenquesumóduloseiguale.

b) Noexisteningúnpuntodelcampoenelqueelpotencialgravitatorioseanule,yaqueesunafunciónescalarcuyosignoessiemprenegativo.Soloenlaszonasdelespaciodondenoseaprecieelefectodeesecampo(enr=`)sepuededecirqueelpotencialescero.

16. Razona cuál de las siguientes respuestas es correcta: dadas dos masas puntuales iguales, el campo y el potencial en el punto medio de la línea que une ambas masas es:

a) g = 0; V < 0. d) g Þ 0; V < 0.b) g = 0; V = 0. e) g Þ 0; V > 0.c) g = 0; V > 0.

Enelpuntomediodelalíneaquelasune,comolosvectoresdeposiciónylasmasassoniguales,elmódulodeWgserátambiénigual.Ladireccióntambiéneslamismay,alsersussentidosdiferentes,elresultadoserácero.Además,elpotencialgravitatorionoseanulanipodráserpositivo,yaqueesunafunciónescalarcuyosignoessiemprenegativo.Contodoesto,laopcióna)eslacorrecta.

17. Justifica si es cierta la siguiente afirmación: «Cuando dos masas M1 y M2 crean un campo gravitatorio en la misma región del espacio, hay puntos en los que se cruzan las líneas del campo que crea cada una de ellas y puntos en los que se cortan las superficies equipotenciales correspondientes a cada una de ellas».

Porlaspropiedadesdelaslíneasdecampo,estasnosepuedencruzar(sidoslíneasdecamposecruzan,enelpuntodecorteexistirándosvaloresparalaintensidaddelcampogravitatorio,locualesimposible,yaquelaintensidaddelcampotieneunvalorúnicoencadapunto).Además,tampocopuedencortarselassuperficiesequipotenciales(silohiciesen,elpuntodecortetendríadosvaloresdepotencial,locualesimposibleporqueelpotencialtieneunvalorúnicoencadapunto),porloquelaafirmaciónesfalsa.

18. Razona si el vector intensidad de campo gravitatorio tiene el sentido de los potenciales crecientes o decrecientes.

Tieneelsentidodelospotencialesdecrecientes.Laslíneasdecampogravitatoriovandirigidashacialamasaquelocrea.Elpotencialgravitatoriocreadoporlamasa(negativo)aumenta(sehacemenosnegativo)amedidaquesealejadelamasa:

19. Una masa se desplaza en un campo gravitatorio desde un lugar en que su energía potencial vale −200 J hasta otro donde vale −400 J. ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza del campo? a) −200 J b) 200 J c) −600 J

Eltrabajoserá:

20. Determina cuánto valdrá el trabajo que realiza la fuerza de un campo gravitatorio para desplazar un cuerpo de masa m de un punto A a otro B si ambos pertenecen a la misma superficie equipotencial.

Lassuperficiesequipotencialessonregionesdelespacioenlasqueelpotencialgravitatoriotieneelmismovalor.Enconsecuencia,eltrabajoparadesplazarunamasadeunpuntoaotrodeunasuperficieequipotencialesnulo:

21. En los vértices de un cuadrado de 3 m de lado hay tres masas de 10 kg cada una. Calcula:

a) La intensidad del campo gravitatorio en el cuarto vértice.b) El potencial en ese punto.

Hacemosusodelprincipiodesuperposiciónparacalculartantoelcampocomoelpotencialenelcuartovértice.Deacuerdoconnuestrodibujo,setratadelvérticeP.

a) WgP=WgA+WgB+WgC.

SabemosqueWrAesunvectorconorigenen(0,3)yextremoen(0,0).

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13


Dadas dos masas M1 y M2:

a) ¿Existirá algún punto del espacio en el que el campo gravitatorio provocado por esas dos masas sea cero?

b) ¿Existirá algún punto del espacio en el que el potencial gravitatorio provocado por esas dos masas sea cero?

a) Existeunpuntodelespacioenelqueelcampogravitatorioprovocadoporambasmasasseanula,yseencuentrasobrelalíneaqueuneambasmasas,yaquealsersudirecciónlamismaysentidosopuestos,seanularáenelpuntoenquesumóduloseiguale.

b) Noexisteningúnpuntodelcampoenelqueelpotencialgravitatorioseanule,yaqueesunafunciónescalarcuyosignoessiemprenegativo.Soloenlaszonasdelespaciodondenoseaprecieelefectodeesecampo(enr=`)sepuededecirqueelpotencialescero.

Razona cuál de las siguientes respuestas es correcta: dadas dos masas puntuales iguales, el campo y el potencial en el punto medio de la línea que une ambas masas es:

a) g = 0; V < 0. d) g Þ 0; V < 0.b) g = 0; V = 0. e) g Þ 0; V > 0.c) g = 0; V > 0.

Enelpuntomediodelalíneaquelasune,comolosvectoresdeposiciónylasmasassoniguales,elmódulodeWgserátambiénigual.Ladireccióntambiéneslamismay,alsersussentidosdiferentes,elresultadoserácero.Además,elpotencialgravitatorionoseanulanipodráserpositivo,yaqueesunafunciónescalarcuyosignoessiemprenegativo.Contodoesto,laopcióna)eslacorrecta.

Justifica si es cierta la siguiente afirmación: «Cuando dos masas M1 y M2 crean un campo gravitatorio en la misma región del espacio, hay puntos en los que se cruzan las líneas del campo que crea cada una de ellas y puntos en los que se cortan las superficies equipotenciales correspondientes a cada una de ellas».

Porlaspropiedadesdelaslíneasdecampo,estasnosepuedencruzar(sidoslíneasdecamposecruzan,enelpuntodecorteexistirándosvaloresparalaintensidaddelcampogravitatorio,locualesimposible,yaquelaintensidaddelcampotieneunvalorúnicoencadapunto).Además,tampocopuedencortarselassuperficiesequipotenciales(silohiciesen,elpuntodecortetendríadosvaloresdepotencial,locualesimposibleporqueelpotencialtieneunvalorúnicoencadapunto),porloquelaafirmaciónesfalsa.

18. Razona si el vector intensidad de campo gravitatorio tiene el sentido de los potenciales crecientes o decrecientes.

Tieneelsentidodelospotencialesdecrecientes.Laslíneasdecampogravitatoriovandirigidashacialamasaquelocrea.Elpotencialgravitatoriocreadoporlamasa(negativo)aumenta(sehacemenosnegativo)amedidaquesealejadelamasa:

VGM

r= −

19. Una masa se desplaza en un campo gravitatorio desde un lugar en que su energía potencial vale −200 J hasta otro donde vale −400 J. ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza del campo? a) −200 J b) 200 J c) −600 J

Eltrabajoserá:

W E E E= − = − =

= − − − = − + =

∆ P P i P f

200 J J J J 20( )400 200 400 00 J

20. Determina cuánto valdrá el trabajo que realiza la fuerza de un campo gravitatorio para desplazar un cuerpo de masa m de un punto A a otro B si ambos pertenecen a la misma superficie equipotencial.

Lassuperficiesequipotencialessonregionesdelespacioenlasqueelpotencialgravitatoriotieneelmismovalor.Enconsecuencia,eltrabajoparadesplazarunamasadeunpuntoaotrodeunasuperficieequipotencialesnulo:

W E E m V m Vi f P f P i f i→ = − − = − ⋅ − ⋅ =( ) ( ) 0

21. En los vértices de un cuadrado de 3 m de lado hay tres masas de 10 kg cada una. Calcula:

a) La intensidad del campo gravitatorio en el cuarto vértice.b) El potencial en ese punto.

Hacemosusodelprincipiodesuperposiciónparacalculartantoelcampocomoelpotencialenelcuartovértice.Deacuerdoconnuestrodibujo,setratadelvérticeP.

a) WgP=WgA+WgB+WgC.

SabemosqueWrAesunvectorconorigenen(0,3)yextremoen(0,0).

3m

3m3m

A(0,3),10kg

WuBWuA

WuC

B(3,3),10kg

C(3,0),10kgP(0,0) 3m

WgA

WgB WgC

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14


Portanto:

r j urr

jjA rA

A

A

= − ⋅ = =− ⋅

= −33

3→

WW W

WW WW

Queda:

gG M

ru jA

A

ArA N/kg= −

⋅= −

⋅ ⋅⋅ − =

=

−

2

11

2

6 67 10 10

3·

,( )

774 11 10 12, ⋅ ⋅− j N/kg

W W W

W

SabemosqueWrBesunvectorconorigenen(3,3)yextremoen(0,0).Portanto:

r i j urr

i j i jB rB

B

B

= − − ⋅ = =− − ⋅

+=

− − ⋅3 3

3 3

3 3

3 3

12 2→

88W WW W W WW W

WW

Queda:

gG M

ru

i jB

B

BrB N= −

⋅= −

⋅ ⋅⋅

− − ⋅−

2

116 67 10 10

18

3 3

18·

,//kg

N/kg

=

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −26 2 10 26 2 1012 12, ,i j

W W

W W

W W


r i urr

iiC rC

C

C

= − ⋅ = =− ⋅

= −33

3→

W W

W

WW W

W

Queda:

gG M

ru iC

C

CrC N/kg= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅ − =

=

−

2

11

2

6 67 10 10

3

,( )

774 11 10 12, ⋅ ⋅− i N/kg

W W W

W

Porúltimo,tenemos:

g i i jP = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +− − −74 11 10 26 2 10 26 2 1012 12 12, , , ·

++ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅− − −74 11 10 100 31 10 100 31 1012 12 12, , ,j i ⋅⋅ j N/kg

W W W W

WWW

b)V V V VP A B C= + + .

• V G Mr

AA

A

J/k= −⋅

= −⋅ ⋅

= − ⋅−

−6 67 10 10

3222 33 10

1112,

, gg

• V G Mr

BB

B

J/= −⋅

= −⋅ ⋅

= − ⋅−

−6 67 10 10

18157 21 10

1112,

, kkg

• V G Mr

CC

C

J/k= −⋅

= −⋅ ⋅

= − ⋅−

−6 67 10 10

3222 33 10

1112,

, gg

Portanto:V = − ⋅ − ⋅ +

−

− −222 33 10 157 21 10

222 3

12 12, ,

,

J/kg J/kg

33 10 601 87 1012 12⋅ = − ⋅− −J/kg J/kg,

22. En tres de los cuatro vértices de un rectángulo tenemos cuerpos puntuales cuya masa es, respectivamente, 0,5, 2 y 3 kg. Los lados del rectángulo miden 30 y 40 m. Calcula:

a) El valor del campo gravitatorio en el cuarto vértice.b) La fuerza que se ejercerá sobre un cuerpo de 5 kg de masa que se sitúe

en el cuarto vértice.c) El trabajo que realiza el campo para llevar ese cuerpo desde el cuarto

vértice hasta el centro del rectángulo. Interpreta el signo del resultado.d) La energía del sistema formado por las tres masas iniciales.

NOTA:Losresultadosnuméricosvanadependerdelpuntodondesecoloquecadamasa.

Hacemosusodelprincipiodesuperposiciónparacalculartantoelcampocomoelpotencialenelcuartovértice.Deacuerdoconnuestrodibujo,setratadelvérticeA.

a) WgA=WgB+WgC+WgD.


Queda:


→

833523 _ 0033-0072.indd 50 14/5/09 08:07:48

15


Portanto:

Queda:


r i j urr

i j i jB rB

B

B

= − − ⋅ = =− − ⋅

+=

− − ⋅3 3

3 3

3 3

3 3

12 2→

88

W

Queda:

gG M

ru

i jB

B

BrB N= −

⋅= −

⋅ ⋅⋅

− − ⋅−

2

116 67 10 10

18

3 3

18·

,//kg

N/kg

=

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −26 2 10 26 2 1012 12, ,i j


Queda:

Porúltimo,tenemos:

g i i jP = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +− − −74 11 10 26 2 10 26 2 1012 12 12, , , ·

++ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅− − −74 11 10 100 31 10 100 31 1012 12 12, , ,j i ⋅⋅ j N/kg

b) .

•

•

•

Portanto:

22. En tres de los cuatro vértices de un rectángulo tenemos cuerpos puntuales cuya masa es, respectivamente, 0,5, 2 y 3 kg. Los lados del rectángulo miden 30 y 40 m. Calcula:

a) El valor del campo gravitatorio en el cuarto vértice.b) La fuerza que se ejercerá sobre un cuerpo de 5 kg de masa que se sitúe

en el cuarto vértice.c) El trabajo que realiza el campo para llevar ese cuerpo desde el cuarto

vértice hasta el centro del rectángulo. Interpreta el signo del resultado.d) La energía del sistema formado por las tres masas iniciales.

NOTA:Losresultadosnuméricosvanadependerdelpuntodondesecoloquecadamasa.

Hacemosusodelprincipiodesuperposiciónparacalculartantoelcampocomoelpotencialenelcuartovértice.Deacuerdoconnuestrodibujo,setratadelvérticeA.

a) WgA=WgB+WgC+WgD.


r i urr

iiB rB

B

B

= − ⋅ = =− ⋅

= −4040

40→

WW W

WWW

W

Queda:

gG M

ru iB

B

BrB N/kg= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅ −

−

2

11

2

6 67 10 0 5

40

, ,( ) ==

= ⋅ −2 0844 10 14, · i N/kg

W W W

W


r i j urr

i jC rC

C

C

= − ⋅ − ⋅ = =− ⋅ − ⋅

+=40 30

40 30

40 302 2→

−− ⋅ − ⋅40 30

50

i jW WW

→ r i j urr

i jC rC

C

C

= − ⋅ − ⋅ = =− ⋅ − ⋅

+=40 30

40 30

40 302 2→

−− ⋅ − ⋅40 30

50

i jWW

W WW W

W

40m

30m30m

D(0,30),3kg

WgB

WuC

WuB

WgD

C(40,30),2kg

B(40,0),0,5kgA(0,0),5kg 40m

WgC

WuD

833523 _ 0033-0072.indd 51 14/5/09 08:07:48

16


Queda:

gG M

ru

i jC

C

CrC= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅

− ⋅ − ⋅−

2

11

2

6 67 10 2

50

40 30,

550

4 2688 10 3 2016 1014 14

N/kg

N/kg

=

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −, ,i j

W W

W W

W W


r j urr

jjD rD

D

D

= − ⋅ = =− ⋅

= −3030

30→

W W

W

WWW W

W

Queda:

gG M

ru jD

D

DrD N/kg= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅ − =

=

−

2

11

2

6 67 10 3

30

,( )

22 2333 10 14, ⋅ ⋅− j N/kg

W W W

W

Finalmenteobtenemos:

g g g g i iA B C D= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +− −2 0844 10 4 2688 1014 14, ( ,

++ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −3 2016 10 2 22333 1014 13, ) ,j j →

W W W W W W

WW

→ g i jA N/kg= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −6 5532 10 2 54349 1014 13, ,W W W

b) Lafuerzaserá:

F m g i jA A= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =− −5 6 5532 10 2 54349 1014 13( , , )

== ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −3 28 10 1 27 1013 12, ,i j N

WW

W W

WW

c) Calculamoseltrabajocomolavariacióndelaenergíapotencialentreambospuntos:

W E E EA X P P X P A→ = − = − +∆

40m

30m30m

D(0,30),3kg

WrXD

C(40,30),2kg

B(40,0),0,5kgA(0,0),5kg 40m

WrXC

WrXBX(25,15)

LaEPesunescalar.Portanto,laenergíapotencialdebidoalastresmasaseslasumadelaqueproducecadaunadeellasdeformaindependiente.

LadistanciadecadaunadelasmasasaXcoincideconlamitaddeladiagonaldelrectángulo:

•

•

Asípues:

Comoelsignoespositivo,eltrabajolorealizanlasfuerzasdelcampo.LamasasedesplazaespontáneamentedeAalcentro.

d) Laenergíadelsistemaformadoporlastresmasasinicialeseslaenergíapotencialdetodaslasparejasdemasasquesepuedanformar:

rCD=40;rCB=30;rBD=50.Portanto:

833523 _ 0033-0072.indd 52 14/5/09 08:07:49

17


Queda:

gG M

ru

i jC

C

CrC= −

⋅⋅ = −

⋅ ⋅⋅

− ⋅ − ⋅−

2

11

2

6 67 10 2

50

40 30,

550

4 2688 10 3 2016 1014 14

N/kg

N/kg

=

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −, ,i j


Queda:

Finalmenteobtenemos:

g g g g i iA B C D= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +− −2 0844 10 4 2688 1014 14, ( ,

++ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −3 2016 10 2 22333 1014 13, ) ,j j →

b) Lafuerzaserá:

c) Calculamoseltrabajocomolavariacióndelaenergíapotencialentreambospuntos:

LaEPesunescalar.Portanto,laenergíapotencialdebidoalastresmasaseslasumadelaqueproducecadaunadeellasdeformaindependiente.

E E E E

G m Mr

G m Mr

GP A P AD P AB P AC

A D

D

A B

B

= + + =

= −⋅ ⋅

−⋅ ⋅

−⋅ mm M

rA C

C

⋅

E E E E

G m Mr

G m Mr

P X P XD P XB P XC

A D

XD

A B

XB

= + + =

= − − −· · · · GG m M

r· ·A C

XC

LadistanciadecadaunadelasmasasaXcoincideconlamitaddeladiagonaldelrectángulo:

r r rXD XB XC 25 m= = = ⋅ + =1

240 302 2

• E E E EP A P AD P AB P AC= + + = −⋅ ⋅ ⋅

+

−⋅

−6 67 10 5 3

30

6 67

11,

, 110 5 0 5

40

6 67 10 5 2

505 086 10

11 111

− −−⋅ ⋅

−⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅, ,

, 11 J

• E E E EP X P XD P XB P XC= + + = −⋅ ⋅ ⋅

+

−⋅

−6 67 10 5 3

25

6 67

11,

, 110 5 0 5

25

6 67 10 5 2

257 337 10

11 111

− −−⋅ ⋅

−⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅, ,

, 11 J

Asípues:

W E E EA X P P A P X

J

→ = − = − =

= − ⋅ − − ⋅−

∆

5 086 10 7 337 1011, ( , −− −= ⋅11 112 251 10J) J,

Comoelsignoespositivo,eltrabajolorealizanlasfuerzasdelcampo.LamasasedesplazaespontáneamentedeAalcentro.

d) Laenergíadelsistemaformadoporlastresmasasinicialeseslaenergíapotencialdetodaslasparejasdemasasquesepuedanformar:

E E E E

G M Mr

G M Mr

P T P CD P CB PBD

C D

CD

C B

CB

= + + =

= −⋅ ⋅

−⋅ ⋅

−GG M M

r⋅ ⋅B D

BD

rCD=40;rCB=30;rBD=50.Portanto:

E E E EP T P CD P CB PBD= + + = −⋅ ⋅ ⋅

+

−⋅

−6 67 10 2 3

406 67

11,

, 110 2 0 5

30

6 67 10 0 5 3

501 423 10

11 11− −⋅ ⋅−

⋅ ⋅= − ⋅

, , , ·, −−11 J

833523 _ 0033-0072.indd 53 14/5/09 08:07:51

18


23. Suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta, homogénea, de radio R. ¿Cuál es la gráfica que mejor representa la variación de la gravedad (g) con la distancia al centro de la Tierra?

DeacuerdoconelteoremadeGauss,laopcióncorrectaeslac).(Verlademostraciónenestemismotemadellibrodelalumno.)

24. ¿Cómo varía g al profundizar hacia el interior de la Tierra?

a) Aumenta.b) Disminuye.c) No varía.

DeacuerdoconelteoremadeGauss,enelinteriordelaTierra:

g gr

R= ⋅0

T

AlprofundizarenelinteriordelaTierra,rdisminuye,porloquegdisminuyetambién.Laopcióncorrectaeslab).

25. Llamando g0 y V0 a la intensidad de campo gravitatorio y al potencial gravitatorio en la superficie terrestre, respectivamente, determina, en función del radio de la Tierra:

a) La altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad del campo gravitatorio es g0/2.

b) La altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es V0/2.

a) DeacuerdoconelteoremadeGauss,parapuntossobrelasuperficieterrestre,r>RT.Portanto:

gG M

r=

⋅ T2

→

→ → →g G M

R

G M

rr R r R0

2 22

2 22 2=

⋅

⋅=

⋅= ⋅ = ⋅T

T

TT2

T

r R h R h R R= + = ⋅ = ⋅ − = ⋅T T T T2 2 1 0 414→ ( ) ,

b)

Enlasuperficieterrestre:

Portanto:

26. a) Escribe y comenta la ley de gravitación universal.

b) Dos planetas esféricos tienen la misma masa, M1 = M2, pero la aceleración de la gravedad en la superficie del primero es cuatro veces mayor que en la del segundo, g1 = 4g2. Calcu la la relación entre los radios de los dos planetas, R1/R2, y entre sus densidades medias, d1/d2.

(Aragón. Septiembre, 2006)

a) Verlibrodelalumno(página18).

b) Enlassuperficiesdelosplanetas:

;

Ladensidadseobtieneasí:

Portanto,paralosplanetastenemos:

a)9,8

g

RT r

b)9,8

g

r

c)9,8

g

RT r

833523 _ 0033-0072.indd 54 14/5/09 08:07:51

19


Suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta, homogénea, de radio R. ¿Cuál es la gráfica que mejor representa la variación de la gravedad (g) con la distancia al centro de la Tierra?

(Galicia. Septiembre, 2007)

DeacuerdoconelteoremadeGauss,laopcióncorrectaeslac).(Verlademostraciónenestemismotemadellibrodelalumno.)

¿Cómo varía g al profundizar hacia el interior de la Tierra?

a) Aumenta.b) Disminuye.c) No varía.

DeacuerdoconelteoremadeGauss,enelinteriordelaTierra:

AlprofundizarenelinteriordelaTierra,rdisminuye,porloquegdisminuyetambién.Laopcióncorrectaeslab).

Llamando g0 y V0 a la intensidad de campo gravitatorio y al potencial gravitatorio en la superficie terrestre, respectivamente, determina, en función del radio de la Tierra:

a) La altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad del campo gravitatorio es g0/2.

b) La altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es V0/2.

(C. Madrid. Junio, 2006)

a) DeacuerdoconelteoremadeGauss,parapuntossobrelasuperficieterrestre,r>RT.Portanto:

b)VG M

r= −

⋅ T

Enlasuperficieterrestre:

VG M

R0 = −

⋅ T

T

Portanto:V G M

R

G M

r0

2 2= −

⋅

⋅= −

⋅T

T

T →

→ → →r R r R h R h R= ⋅ = + = ⋅ =2 2T T T T( )

26. a) Escribe y comenta la ley de gravitación universal.

b) Dos planetas esféricos tienen la misma masa, M1 = M2, pero la aceleración de la gravedad en la superficie del primero es cuatro veces mayor que en la del segundo, g1 = 4g2. Calcu la la relación entre los radios de los dos planetas, R1/R2, y entre sus densidades medias, d1/d2.

a) Verlibrodelalumno(página18).

b) Enlassuperficiesdelosplanetas:

gG M

R1

1

12

=⋅

; gG M

R2

2

22

=⋅

g gG M

R

G M

R R R1 2

1

12

1

22

12

22

4 41 4

= ⋅⋅

= ⋅⋅

=→ → →

→ → →R R R RRR2

212

2 11

2

4 21

2= ⋅ = ⋅ =

Ladensidadseobtieneasí:

dMV

M

R= =

⋅4

33π

Portanto,paralosplanetastenemos:

dM

R

dM

R

11

13

21

13

4

3

4

32

=⋅

=⋅ ⋅

π

π ( )

=⋅

⋅ ⋅

=⋅d

d

M

R

M

R

R

R1

2

1

13

1

13

13 3

13

43

43

2

2π

π ( )

→ ddd

1

2

8=

r

833523 _ 0033-0072.indd 55 14/5/09 08:07:53

20


27. Calcula la masa y el peso que tendrá un cuerpo en la Luna si en la Tierra pesa 980 N. ¿Coincidirá el resultado con lo que mide la balanza en ambos lugares?

Datos: g0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2; ML = 0,0112 ⋅ MT y RL = RT/4.

WF= m⋅g.Paralafuerzapeso,enlaTierra:PT=m⋅g0.980N=mT⋅9,8m/s2→mT=100kg=mL

Lamasaesunapropiedadintrínsecadeloscuerpos;esconstanteenlaTierraylaLuna.ObtenemoselvalordelagravedadenlaLuna:

gG M

RG M

R

G MR

LL

L

T

T

T=⋅

=⋅ ⋅

=⋅

2 2

0 0112

4

,

TT2

200 0112 4 0 179⋅ ⋅ = ⋅, , g

Portanto:

P m g m g PL L L T T N= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =0 179 0 179 17 90, , ,

Silabalanzaesdeplatos,elpesoseráelmismoqueenlaTierra.Silabalanzaesderesorte,pesará17,9N.

28. Determina desde qué altura habrá que dejar caer el cuerpo del ejercicio anterior en la Luna si queremos que llegue a su superficie con la misma velocidad con la que llega cuando cae desde una altura de 10 m sobre la superficie de la Tierra. ¿Y si fuese un cuerpo de masa 10 veces mayor?

Datos: g0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2; ML = 0,0112 ⋅ MT; RL = RT/4.

Primerodebemoscalculareltiempoquetardaenllegaralasuperficieuncuerpoquecaedesdeunaalturade10menlaTierra.Comoladistanciaesmuypequeña,podemossuponerquesumovimientoesuniformementeacelerado(gconstante):

y y v t a t t t= + + ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ =0 02 21

210

1

29 8 3 2→ →, , s→

→v=v0+a⋅t→v=−9,8⋅3,2=−31,36m/s

(Elsigno«−»indicavelocidaddecaída.)

SuponiendoqueelmovimientodecaídalibreenlaLunatambiénesuniformementeacelerado,gL=0,179⋅g0,calculamoseltiempoquedebecaerparaquesuvelocidadseade31,36m/s:

v=v0+a⋅t→−31,36=−0,179⋅9,8⋅t→t=17,88s

Elespacioquerecorreenesetiempoes:

y y v t a t

y

= + + ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅ = −

0 02

2

1

21

20 179 9 8 17 88

→

→ , , , 2880,4 m

(Elsigno«−»indicaqueelcuerpohacaído.)

29. a) Un astronauta de m = 80 kg está en la estación espacial orbital girando entorno a la Tierra. Al intentar pesarse, la balanza marca cero. Explica por qué marca cero y si actúa o no la gravedad terrestre en ese punto.

b) Si este mismo astronauta aterriza en un planeta que tiene la misma densidad que la Tierra, pero su radio es 10 veces mayor, ¿cuál sería el peso en ese planeta en comparación con el peso en la Tierra?

(Cantabria. Junio, 2006)

a) Porquesumovimientoderotaciónlehaceestarencaídalibrepermanente.

b) EnlaTierraPT=mT⋅gT;yenelplaneta,PP=mT⋅gP,

siendo .

;

Portanto:

CalculamosgP:

30. Dos satélites de comunicación, A y B, con diferentes masas (mA > mB) giran alrededor de la Tierra con órbitas estables de diferente radio, siendo rA < rB.

a) A gira con mayor velocidad lineal.b) B tiene menor periodo de revolución.c) Los dos tienen la misma energía mecánica.

(Galicia. Junio, 2007)

ParaelsatélitequegiraalrededordelaTierra:

FC=FG

a) Laexpresión indicaquelavelocidadnodepende

delamasadelsatélite,solodelradiodesuórbita.Siraumenta,vdisminuye→vB<vA.Laafirmaciónescierta.

833523 _ 0033-0072.indd 56 14/5/09 08:07:53

21


Calcula la masa y el peso que tendrá un cuerpo en la Luna si en la Tierra pesa 980 N. ¿Coincidirá el resultado con lo que mide la balanza en ambos lugares?

Datos: g0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2; ML = 0,0112 ⋅ MT y RL = RT/4.

WF= m⋅g.Paralafuerzapeso,enlaTierra:PT=m⋅g0.980N=mT⋅9,8m/s2→mT=100kg=mL

Lamasaesunapropiedadintrínsecadeloscuerpos;esconstanteenlaTierraylaLuna.ObtenemoselvalordelagravedadenlaLuna:

gG M

RG M

R

G MR

LL

L

T

T

T=⋅

=⋅ ⋅

=⋅

2 2

0 0112

4

,

TT2

200 0112 4 0 179⋅ ⋅ = ⋅, , g

Portanto:

Silabalanzaesdeplatos,elpesoseráelmismoqueenlaTierra.Silabalanzaesderesorte,pesará17,9N.

Determina desde qué altura habrá que dejar caer el cuerpo del ejercicio anterior en la Luna si queremos que llegue a su superficie con la misma velocidad con la que llega cuando cae desde una altura de 10 m sobre la superficie de la Tierra. ¿Y si fuese un cuerpo de masa 10 veces mayor?

Datos: g0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2; ML = 0,0112 ⋅ MT; RL = RT/4.

Primerodebemoscalculareltiempoquetardaenllegaralasuperficieuncuerpoquecaedesdeunaalturade10menlaTierra.Comoladistanciaesmuypequeña,podemossuponerquesumovimientoesuniformementeacelerado(gconstante):

→

→v=v0+a⋅t→v=−9,8⋅3,2=−31,36m/s

(Elsigno«−»indicavelocidaddecaída.)

SuponiendoqueelmovimientodecaídalibreenlaLunatambiénesuniformementeacelerado,gL=0,179⋅g0,calculamoseltiempoquedebecaerparaquesuvelocidadseade31,36m/s:

v=v0+a⋅t→−31,36=−0,179⋅9,8⋅t→t=17,88s

Elespacioquerecorreenesetiempoes:

(Elsigno«−»indicaqueelcuerpohacaído.)

29. a) Un astronauta de m = 80 kg está en la estación espacial orbital girando entorno a la Tierra. Al intentar pesarse, la balanza marca cero. Explica por qué marca cero y si actúa o no la gravedad terrestre en ese punto.

b) Si este mismo astronauta aterriza en un planeta que tiene la misma densidad que la Tierra, pero su radio es 10 veces mayor, ¿cuál sería el peso en ese planeta en comparación con el peso en la Tierra?

a) Porquesumovimientoderotaciónlehaceestarencaídalibrepermanente.

b) EnlaTierraPT=mT⋅gT;yenelplaneta,PP=mT⋅gP,

siendogG M

RP

P

P

=⋅

2.

dMV

M

R

M

RP

P

P3

P

T

= =⋅

=⋅ ⋅

4

3

4

310 3π π ( )

;dM

RT

T

T3

=⋅

4

3π

Portanto:

d dM

R

M

RM MT P

T

T3

P

T

P T=

⋅

=

⋅ ⋅

=→ →4

3

4

310

10003π π ( )

⋅

CalculamosgP:

gG M

Rg

P m g

PT

TT

P T T

=⋅ ⋅

⋅= ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

1000

1010

10 10

2( )→

→ PPT 7840 N= ⋅ ⋅ =10 80 9 8,

30. Dos satélites de comunicación, A y B, con diferentes masas (mA > mB) giran alrededor de la Tierra con órbitas estables de diferente radio, siendo rA < rB.

a) A gira con mayor velocidad lineal.b) B tiene menor periodo de revolución.c) Los dos tienen la misma energía mecánica.


FC=FG→ GM m

r

m v

r⋅

⋅=

⋅T s s2

2

a) LaexpresiónvG M

r=

⋅ T indicaquelavelocidadnodepende

delamasadelsatélite,solodelradiodesuórbita.Siraumenta,vdisminuye→vB<vA.Laafirmaciónescierta.

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22


Estonospermiteobtenerunaformamássimplificadaparasuenergíamecánica:

Como .

33. El radio de la órbita de un satélite geoestacionario viene dado por la expresión:

a) b) c)

UnsatélitegeoestacionariotieneelmismoperiododerotaciónquelaTierra:T=24h.Laexpresióncorrectasecorrespondeconlaopcióna)(verellibrodelalumno).

34. Calcula el trabajo necesario para mover un satélite terrestre de masa m de una órbita de radio 2RT a una de radio 3RT. Exprésalo de forma general.

Eltrabajoequivalealadiferenciadeenergíaentrelasórbitas.

Portanto:

35. El radio de un planeta es la tercera parte del radio terrestre; y su masa, la mitad. Calcule la gravedad en su superficie y la velocidad de escape del planeta, en función de sus correspondientes valores terrestres.

(Castilla y León. Septiembre, 2007)

Laaceleracióndelagravedadserá:

b) Transformandolaexpresiónanteriorpararelacionarlaconlavelocidadangularyestaconelperiodovemosqueelperiododerevolucióntampocodependedelamasadelsatélite,sinosolodelradio:

Tr

G M=

⋅⋅

4 2 3π

T

rA<rB→TA<TB.

Siraumenta,Taumentatambién→TA<TB.

Laafirmaciónesfalsa.

c)EGM m

rM

T= −⋅ .Engeneral,esfalso.Laenergíamecánica

delplanetaensuórbitadependedelamasayelradiodegiro,queesdiferenteencadacaso.

31. Cuando un objeto gira alrededor de la Tierra, se cumple:

a) La energía mecánica del objeto en su órbita es positiva.

b) Su velocidad en la órbita será 2g RT T .

c) La fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta son iguales.

a) Falso:paraquelaenergíamecánicafuerapositiva,laórbitatendríaqueserabiertay,portanto,noestaríagirandoalrededor

delaTierra.Enunaórbitacerrada,EGM m

rM

T= −⋅

.

b) Falso:laexpresióncorrectaesvG M

r=

⋅ .

c) Verdadero:escondiciónparaqueuncuerpoorbitealrededordeotro.

32. Un satélite de masa m describe una trayectoria circular de radio R en torno a un planeta de masa M. La energía mecánica del satélite es numéricamente:

a) Igual a la mitad de su energía potencial.b) Igual a su energía potencial.c) Igual al doble de su energía potencial.

Laopcióncorrectaeslaa):

E E E m vG M m

rM C P= + = ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅1

22

Paraelsatélitequeorbita,FC=FG,dedondesededuce:

GM m

rm

vr

GM m

rm v⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅= ⋅

2

22→

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23


Estonospermiteobtenerunaformamássimplificadaparasuenergíamecánica:

EG M m

rG M m

rE

G M mr

M M= ⋅⋅ ⋅

−⋅ ⋅

= − ⋅⋅ ⋅1

2

1

2→

ComoEG M m

rE EP M P= −

⋅ ⋅= ⋅→ 1

2.

33. El radio de la órbita de un satélite geoestacionario viene dado por la expresión:

a) R T GM=

2

2

1 3

4π

/

b) R T g R=

⋅

20

2

1 2

4T

π

/

c) RTGM

=

2

2

1 3

4π

/

UnsatélitegeoestacionariotieneelmismoperiododerotaciónquelaTierra:T=24h.Laexpresióncorrectasecorrespondeconlaopcióna)(verellibrodelalumno).

34. Calcula el trabajo necesario para mover un satélite terrestre de masa m de una órbita de radio 2RT a una de radio 3RT. Exprésalo de forma general.

Eltrabajoequivalealadiferenciadeenergíaentrelasórbitas.

EG M m

r

E G M mR

E G MM

M1T

M2

= − ⋅⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅1

2

12 2

12

→mm

R3 ⋅

T

Portanto:

W E E EG M m

RG M m

R= = − = = − ⋅

⋅ ⋅⋅

+ ⋅⋅ ⋅

⋅=∆ M M2 M1

T T

01

2 3

1

2 2

==⋅ ⋅

⋅ −

= ⋅

⋅ ⋅G M mR

G M mRT T

1

4

1

6

1

12

35. El radio de un planeta es la tercera parte del radio terrestre; y su masa, la mitad. Calcule la gravedad en su superficie y la velocidad de escape del planeta, en función de sus correspondientes valores terrestres.

Laaceleracióndelagravedadserá:

gG M

R

GM

RgP

P

P

T

T

T=⋅

=⋅

= ⋅2 2

2

3

9

2

b) Transformandolaexpresiónanteriorpararelacionarlaconlavelocidadangularyestaconelperiodovemosqueelperiododerevolucióntampocodependedelamasadelsatélite,sinosolodelradio:

rA<rB→TA<TB.

Siraumenta,Taumentatambién→TA<TB.

Laafirmaciónesfalsa.

c) .Engeneral,esfalso.Laenergíamecánica

delplanetaensuórbitadependedelamasayelradiodegiro,queesdiferenteencadacaso.

Cuando un objeto gira alrededor de la Tierra, se cumple:

a) La energía mecánica del objeto en su órbita es positiva.

b) Su velocidad en la órbita será .

c) La fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta son iguales.

a) Falso:paraquelaenergíamecánicafuerapositiva,laórbitatendríaqueserabiertay,portanto,noestaríagirandoalrededor

delaTierra.Enunaórbitacerrada, .

b) Falso:laexpresióncorrectaes .

c) Verdadero:escondiciónparaqueuncuerpoorbitealrededordeotro.

Un satélite de masa m describe una trayectoria circular de radio R en torno a un planeta de masa M. La energía mecánica del satélite es numéricamente:

a) Igual a la mitad de su energía potencial.b) Igual a su energía potencial.c) Igual al doble de su energía potencial.

Laopcióncorrectaeslaa):

Paraelsatélitequeorbita,FC=FG,dedondesededuce:

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24


Porlotanto,lavelocidaddeescapeesfuncióndelradiodeórbita(queesigualparaambossatélites)ynodelamasadelossatélites,asíquelaafirmaciónescierta.

b) .Nuevamente,elradiodeórbitaeselmismo

enambossatélitesyelperiododerotaciónnoesfuncióndelamasadelossatélites.Portanto,laafirmaciónesfalsa.

c) Esfalso.Laenergíamecánicasemantieneenlaórbitadecadaplaneta,peroesdiferenteparacadaplanetaensuórbitadegiro,ydependedelamasa.Silamasadelossatélitesesdiferente,tambiénloserásuenergíamecánica.

38. La velocidad que se debe comunicar a un cuerpo inicialmente en reposo en la superficie de la Tierra, de masa MT y radio RT, para que «escape» fuera de su atracción gravitacional es: a) Mayor que (2GMT/RT)1/2. b) Menor que (2GMT/RT)1/2.c) Igual a (g0/RT)1/2.

Laenergíatotaldeunsatélitequeestáorbitandoes:

Elsatélitesaldrádelcampogravitatoriocuandor→`,loquedeterminaqueEM=0.Enelpuntodelanzamientohabráquecomunicarleunavelocidadtalque:

Reordenandolaexpresión,lavelocidaddelanzamientodebeserigualomayorque:

SiseencuentraenrepososobrelasuperficiedelaTierra,serár=RT,porloquelaafirmacióncorrectaeslaa).

39. Si para un cuerpo situado en un campo gravitatorio, su energía cinética es igual a su energía potencial (en valor absoluto), significa: a) Que el cuerpo puede escapar al infinito.b) Que el cuerpo acabará cayendo sobre la masa que crea el campo.c) Que seguirá en una órbita circular.

Larespuestacorrectaeslaa).Silaenergíacinéticaesigualasuenergíapotencialenvalorabsoluto,significaqueEM=0yEC=−EP,quesecorrespondeconunaórbitaabiertaparabólica.

Ylavelocidaddeescapeserá:

vG M

R

GM

RG M

Rescape

P

P

T

T

T

T

= ⋅⋅

= ⋅⋅

= ⋅ ⋅⋅

=

=

2 2 2

3

3

22

3

2⋅⋅ vescape (Tierra)

36. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Un objeto de masa m1 necesita una velocidad de escape de la Tierra el doble de la que necesita otro objeto de masa m2 = m1/2.

b) Se precisa realizar más trabajo para colocar en una misma órbita un satélite de masa m1 que otro satélite de masa m2 = m1/2, lanzados desde la superficie de la Tierra.

a) Falso:Lavelocidaddeescapenodependedelamasadelsatélite,sinodelamasaquecreaelcampo.

b) Eltrabajoesladiferenciaentrelasenergíasmecánicadelsatéliteencadaunadelasórbitas.

• EG M m

RMsuelo

T

T

= − ⋅⋅ ⋅1

2

• EG M m

R hMórbita

T

T

= − ⋅⋅ ⋅

+1

2

Portanto:W=∆EM=EMórbita−EMsuelo=

= −⋅ ⋅

⋅ ++

⋅ ⋅=

⋅ ⋅⋅ −

+G M m

R hG M m

RG M m

R RT

T

T

T

T

T T2 2 2

1 1

( ) hh

Esdirectamenteproporcionalalamasadelcuerpo,porloquelaafirmaciónescorrecta.

37. Dos satélites artificiales, A y B, de masas mA y mB (mA = 2mB) giran alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio R. Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones:

a) Tienen la misma velocidad de escape.b) Tienen diferente periodo de rotación.c) Tienen la misma energía mecánica.

a) Laexpresiónparacalcularlavelocidaddeescapees:

vG M

rescape = ⋅

⋅2

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25


Porlotanto,lavelocidaddeescapeesfuncióndelradiodeórbita(queesigualparaambossatélites)ynodelamasadelossatélites,asíquelaafirmaciónescierta.

b)Tr

G M=

⋅⋅

4 2 3π

T.Nuevamente,elradiodeórbitaeselmismo

enambossatélitesyelperiododerotaciónnoesfuncióndelamasadelossatélites.Portanto,laafirmaciónesfalsa.

c) Esfalso.Laenergíamecánicasemantieneenlaórbitadecadaplaneta,peroesdiferenteparacadaplanetaensuórbitadegiro,ydependedelamasa.Silamasadelossatélitesesdiferente,tambiénloserásuenergíamecánica.

38. La velocidad que se debe comunicar a un cuerpo inicialmente en reposo en la superficie de la Tierra, de masa MT y radio RT, para que «escape» fuera de su atracción gravitacional es: a) Mayor que (2GMT/RT)1/2. b) Menor que (2GMT/RT)1/2.c) Igual a (g0/RT)1/2.

Laenergíatotaldeunsatélitequeestáorbitandoes:

EG M m

rM = − ⋅

⋅ ⋅1

2

Elsatélitesaldrádelcampogravitatoriocuandor→`,loquedeterminaqueEM=0.Enelpuntodelanzamientohabráquecomunicarleunavelocidadtalque:

E E E mvG M m

rM C P= + = ⋅ −

⋅ ⋅≥

1

202

Reordenandolaexpresión,lavelocidaddelanzamientodebeserigualomayorque:

vG M

rescape = ⋅

⋅2

SiseencuentraenrepososobrelasuperficiedelaTierra,serár=RT,porloquelaafirmacióncorrectaeslaa).

39. Si para un cuerpo situado en un campo gravitatorio, su energía cinética es igual a su energía potencial (en valor absoluto), significa: a) Que el cuerpo puede escapar al infinito.b) Que el cuerpo acabará cayendo sobre la masa que crea el campo.c) Que seguirá en una órbita circular.

Larespuestacorrectaeslaa).Silaenergíacinéticaesigualasuenergíapotencialenvalorabsoluto,significaqueEM=0yEC=−EP,quesecorrespondeconunaórbitaabiertaparabólica.

Ylavelocidaddeescapeserá:

Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Un objeto de masa m1 necesita una velocidad de escape de la Tierra el doble de la que necesita otro objeto de masa m2 = m1/2.

b) Se precisa realizar más trabajo para colocar en una misma órbita un satélite de masa m1 que otro satélite de masa m2 = m1/2, lanzados desde la superficie de la Tierra.

(C. Madrid, 2005)

a) Falso:Lavelocidaddeescapenodependedelamasadelsatélite,sinodelamasaquecreaelcampo.

b) Eltrabajoesladiferenciaentrelasenergíasmecánicadelsatéliteencadaunadelasórbitas.

•

•

Portanto:W=∆EM=EMórbita−EMsuelo=

Esdirectamenteproporcionalalamasadelcuerpo,porloquelaafirmaciónescorrecta.

Dos satélites artificiales, A y B, de masas mA y mB (mA = 2mB) giran alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio R. Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones:

a) Tienen la misma velocidad de escape.b) Tienen diferente periodo de rotación.c) Tienen la misma energía mecánica.

a) Laexpresiónparacalcularlavelocidaddeescapees:

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26


40. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 3815 km. Calcular:

a) La velocidad de traslación del satélite.b) Su periodo de revolución. Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; RT = 6370 km;

MT = 5,98 ⋅ 1024 kg.


F F GM m

r

m v

rC G

T s s= ⋅⋅

=⋅

→2

2

TrabajaremosconunidadesdelSI.

a) Lavelocidaddetraslaciónes:

vG M

rG MR h

=⋅

=⋅+

=⋅ ⋅ ⋅⋅

−T T

T

6 67 10 5 98 10

6370 1

11 24, ,

00 3815 10

6 26 10

3 3

3

+ ⋅=

= ⋅, m/s

b) Yelperiodoes:

TR h

G M=

⋅ +⋅

=⋅ ⋅ + ⋅4 4 6370 10 3815 10

6

2 3 2 3 3 3π π( ) ( )T

T ,, ,

,

67 10 5 98 10

10 23 10

11 24

3

⋅ ⋅ ⋅=

= ⋅

−

s

41. El primer satélite español Minisat, que fue lanzado en 1997 desde las Islas Canarias, se encuentra actualmente en una órbita circular alrededor de la Tierra con un periodo de revolución de 10,5 horas.

a) Calcula el radio de la órbita.b) Calcula la energía mecánica del satélite.c) Calcula el radio de la órbita que debería tener el satélite para que

su periodo de revolución fuera el doble que el actual.Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; MT = 5,97 ⋅ 1024 kg;

msatélite = 100 kg.

a) Elperiodoes:

T = ⋅ ⋅ = ⋅ =10,5 h60 min

1 h

60 s

1 mins h37 8 10 10 303, min

Portanto:

Tr

G Mr

T G M=

⋅⋅

= =

=

4

4

37 8 10 6 6

2 3 2

23

3 2

ππT

T→ · ·

( , · ) · , 77 10 5 97 10

424 336 10

11 24

23 6· · , ·

, ·−

=π

→ r m

b) Lavelocidades:

Laenergíamecánicaserá:

Tambiénsepodríacalcularmediantelaexpresión:

c) Elperiodoes:

Yqueda:

42. Un satélite de masa 350 kg describe órbitas circulares alrededor de la Tierra a una altura de 630 km.

a) ¿Cuánto vale la intensidad del campo gravitatorio creado por la Tierra a esta altura?

b) ¿Cuánto vale la aceleración centrípeta del satélite?c) ¿Cuánto vale la energía mecánica del satélite?Datos: RT = 6,38 ⋅ 106 m; MT = 5,98 ⋅ 1024 kg;

G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

(Cataluña. Septiembre, 2007)

a) Tenemos:

b) Enunsatéliteenórbita,FC=FG.ComoF =m⋅ a→g = aC.

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27


Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 3815 km. Calcular:

a) La velocidad de traslación del satélite.b) Su periodo de revolución. Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; RT = 6370 km;

MT = 5,98 ⋅ 1024 kg.


TrabajaremosconunidadesdelSI.

a) Lavelocidaddetraslaciónes:

b) Yelperiodoes:

TR h

G M=

⋅ +⋅

=⋅ ⋅ + ⋅4 4 6370 10 3815 10

6

2 3 2 3 3 3π π( ) ( )T

T ,, ,

,

67 10 5 98 10

10 23 10

11 24

3

⋅ ⋅ ⋅=

= ⋅

−

s

El primer satélite español Minisat, que fue lanzado en 1997 desde las Islas Canarias, se encuentra actualmente en una órbita circular alrededor de la Tierra con un periodo de revolución de 10,5 horas.

a) Calcula el radio de la órbita.b) Calcula la energía mecánica del satélite.c) Calcula el radio de la órbita que debería tener el satélite para que

su periodo de revolución fuera el doble que el actual.Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; MT = 5,97 ⋅ 1024 kg;

msatélite = 100 kg.

(Canarias. Junio, 2006)

a) Elperiodoes:

Portanto:

Tr

G Mr

T G M=

⋅⋅

= =

=

4

4

37 8 10 6 6

2 3 2

23

3 2

ππT

T→ · ·

( , · ) · , 77 10 5 97 10

424 336 10

11 24

23 6· · , ·

, ·−

=π

→ r m

b) Lavelocidades:

vG M

r=

⋅=

⋅ ⋅ ⋅⋅

=−

T 6 67 10 5 97 10

24 336 104 04

11 24

6

, ,

,, ⋅⋅ 103 m/s

Laenergíamecánicaserá:

E E E mvG M m

rM C P

T= + = ⋅ −⋅ ⋅1

22 →

→ EM = ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ ⋅−1

2100 4 04 10

6 67 10 5 97 103 211 24

( , ), , ⋅⋅

⋅= − ⋅

100

24 336 10

8 2 10

6

8

,

, J

Tambiénsepodríacalcularmediantelaexpresión:

EG M m

rM

T= − ⋅⋅ ⋅

= − ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅−1

2

1

2

6 67 10 5 97 10 10011 24, ,

224 336 10

8 18 10

6

8

,

,

⋅=

= − ⋅ J

c) Elperiodoes:

T232 75 6 10 21= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =10,5 h

60 min

1 h

60 s

1 mins h,

Yqueda:

rT G M

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

22

23

3 2 11

4

75 6 10 6 67 10 5 97T

π( , ) , , 110

4

38 63 10

24

23

6

π=

= ⋅, m

42. Un satélite de masa 350 kg describe órbitas circulares alrededor de la Tierra a una altura de 630 km.

a) ¿Cuánto vale la intensidad del campo gravitatorio creado por la Tierra a esta altura?

b) ¿Cuánto vale la aceleración centrípeta del satélite?c) ¿Cuánto vale la energía mecánica del satélite?Datos: RT = 6,38 ⋅ 106 m; MT = 5,98 ⋅ 1024 kg;

G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

a) Tenemos:

gG M

rG M

R h=

⋅=

⋅+

=⋅ ⋅ ⋅−

T T

T2 2

11 246 67 10 5 97 10

6( )

, ,

( 3370 10 630 108 126

3 3 2⋅ + ⋅=

), m/s2

b) Enunsatéliteenórbita,FC=FG.ComoF =m⋅ a→g = aC.

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28


c) Enunsatéliteenórbita:

E EG M m

R hM P

T

T

= ⋅ = − ⋅⋅ ⋅

+=

= − ⋅⋅ −

1

2

1

2

1

2

6 67 10 5 911, · , 77 10 350

6370 10 630 109 95 10

24

3 39⋅ ⋅

⋅ + ⋅= − ⋅, J

43. Plutón recorre una órbita elíptica en torno al Sol situándose a una distancia rp = 4,4 ⋅ 1012 m en el punto más próximo (perihelio) y ra = 7,4 ⋅ 1012 m en el punto más alejado (afelio).

a) Obtener el valor de la energía potencial gravitatoria de Plutón en el perihelio y en el afelio.

b) ¿En cuál de esos dos puntos será mayor la velocidad de Plutón? Razona tu respuesta.

Datos: considerar que la energía potencial tiende a cero cuan do la distancia tiende a infinito, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; M (Sol) = 1,98 ⋅ 1030 kg; M (Plutón) = 1,27 ⋅ 1022 kg.

a) DadoqueEG M m

rP = −

⋅ ⋅:

• Enelafelio:

EG M M

rP a

S P

A

= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−6 67 10 1 98 10 1 27 111 30, , , 00

7 4 10

2 27 10

22

12

29

,

,

⋅=

= − ⋅ J

• Yenelperihelio:

EG M M

rPp

S P

P

= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−6 67 10 1 98 10 1 27 111 30, , , 00

4 4 10

3 81 10

22

12

29

,

,

⋅=

= − ⋅ J

b) DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante,loqueimplicaquesumomentoangularpermanececonstanteentodoelrecorrido:

L L m v r m vafelio periheio afelio afelio peri= ⋅ ⋅ = ⋅→ hhelio perihelio⋅ r →

→ v vrr

vafelio perihelioperihelio

afelioperi= ⋅ = hhelio perihelio⋅

⋅⋅

= ⋅4 4 10

7 4 100 594

12

12

,

,, v

Portanto,lavelocidadserámayorenelperihelio.

44. Un satélite artificial de 200 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad de escape a la atracción terrestre desde esa órbita es la mitad que la velocidad de escape desde la superficie terrestre.

a) Calcule la fuerza de atracción entre la Tierra y el satélite.

b) Calcule el potencial gravitatorio en la órbita del satélite.c) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita.d) ¿Se trata de un satélite geoestacionario?

Justifique la respuesta.

Datos: constante de gravitación universal, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; masa de la Tierra, MT = 5,98 ⋅ 1024 kg; radio de la Tierra, RT = 6,37 ⋅ 106 m.

(C. Madrid, 2008)

Dadalacondicióndelenunciado:

;

Portanto:

a) TrabajandoenunidadesdelSI:

b) Ahora:

c) Laenergíamecánicaes:

d) SabiendoquelaórbitadeunsatélitegeoestacionariodebesertalquesuperiododerotaciónseaelmismoqueeldelaTierra(1día),resultaquetendríaqueser:

Portanto,nosetratadeunsatélitegeoestacionario.

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29


c) Enunsatéliteenórbita:

Plutón recorre una órbita elíptica en torno al Sol situándose a una distancia rp = 4,4 ⋅ 1012 m en el punto más próximo (perihelio) y ra = 7,4 ⋅ 1012 m en el punto más alejado (afelio).

a) Obtener el valor de la energía potencial gravitatoria de Plutón en el perihelio y en el afelio.

b) ¿En cuál de esos dos puntos será mayor la velocidad de Plutón? Razona tu respuesta.

Datos: considerar que la energía potencial tiende a cero cuan do la distancia tiende a infinito, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; M (Sol) = 1,98 ⋅ 1030 kg; M (Plutón) = 1,27 ⋅ 1022 kg.(P. Asturias. Junio, 2007)

a) Dadoque :

• Enelafelio:

EG M M

rP a

S P

A

= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−6 67 10 1 98 10 1 27 111 30, , , 00

7 4 10

2 27 10

22

12

29

,

,

⋅=

= − ⋅ J

• Yenelperihelio:

EG M M

rPp

S P

P

= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−6 67 10 1 98 10 1 27 111 30, , , 00

4 4 10

3 81 10

22

12

29

,

,

⋅=

= − ⋅ J

b) DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante,loqueimplicaquesumomentoangularpermanececonstanteentodoelrecorrido:

→ v vrr

vafelio perihelioperihelio

afelioperi= ⋅ = hhelio perihelio⋅

⋅⋅

= ⋅4 4 10

7 4 100 594

12

12

,

,, v

Portanto,lavelocidadserámayorenelperihelio.

Un satélite artificial de 200 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad de escape a la atracción terrestre desde esa órbita es la mitad que la velocidad de escape desde la superficie terrestre.

a) Calcule la fuerza de atracción entre la Tierra y el satélite.

b) Calcule el potencial gravitatorio en la órbita del satélite.c) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita.d) ¿Se trata de un satélite geoestacionario?

Justifique la respuesta.

Datos: constante de gravitación universal, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; masa de la Tierra, MT = 5,98 ⋅ 1024 kg; radio de la Tierra, RT = 6,37 ⋅ 106 m.

Dadalacondicióndelenunciado:

vG M

Re sup

T

T

= ⋅⋅

2 ;vG MR h

vTe órbita

Te sup= ⋅

⋅+

= ⋅21

2

Portanto:1 1

2

12

R h RR R h

T T

T T+

= ⋅ ⋅ = +→ →

→ →4 3⋅ = + = = ⋅R R h r h RT T T

a) TrabajandoenunidadesdelSI:

F m gG M m

rG

T= ⋅ = −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

2

11 246 67 10 5 98 10 200, ,

(44

6 67 10 5 98 10 200

4 6 37 1

2

11 24

⋅=

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

−

RT)

, ,

( , 006 2)= −122,873 N

b) Ahora:

VG M

r= −

⋅= −

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

= −−

T 6 67 10 5 98 10

4 6 37 101

11 24

6

, ,

,,,565 107⋅ J/kg

c) Laenergíamecánicaes:

E EG M m

rM P

T= ⋅ = − ⋅⋅ ⋅

=

= − ⋅⋅ ⋅ ⋅−

1

2

1

2

1

2

6 67 10 5 98 111, , 00 200

4 6 37 101 565 10

24

69⋅

⋅ ⋅= − ⋅

,, J

d) SabiendoquelaórbitadeunsatélitegeoestacionariodebesertalquesuperiododerotaciónseaelmismoqueeldelaTierra(1día),resultaquetendríaqueser:

rT G M

R=⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅2

23 7 7

44 23 10 4 2 5 10T

Tm mπ

, ,?

Portanto,nosetratadeunsatélitegeoestacionario.

833523 _ 0033-0072.indd 65 14/5/09 08:08:02

30


45. Un satélite artificial de 200 kg de masa describe una órbita circular a 400 km de altura sobre la superficie de la Tierra. Calcula:

a) La energía mecánica.b) La velocidad que se le comunica en la superficie de la Tierra

para colocarlo en esa órbita.

Datos: RT = 6370 km; g0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.

gG M

RG M g R0 2 0

2=⋅

⋅ = ⋅T

TT T→

Comoenotrosproblemas,empleamosunidadesdelSI.

a) Laenergíamecánicaes:

E EG M m

rg R m

R hM P

T T

T

= ⋅ = − ⋅⋅

= − ⋅⋅ ⋅

+=

= − ⋅

1

2

1

2

1

2

1

2

02·

99 8 6370 10 200

6370 10 400 105 87

3 2

3 3

, ( ),

⋅ ⋅ ⋅⋅ + ⋅

= − ⋅ 1109 J

b) Paracalcularlavelocidaddelanzamientoparaponerloenesaórbitadebemostenerencuentaelprincipiodeconservacióndelaenergíamecánica.Laenergíamecánicaenelpuntodelanzamientodebecoincidirconlaenergíamecánicaenlaórbita.Considerandoelpunto1eldelanzamientoyelpunto2laórbitaderadior.

En2:

F FGM m

rm v

rv

GMr

G C= =⋅

=→ →2

22

22

Podemosescribir:EM1=EM2→EC1+EP1=EC2+EP2→

→ 1

2

1

2

1

212

22

⋅ −⋅

=⋅

− = ⋅⋅

m vG M

Rm m

G Mr

v

GMr

mG M

rT

mm →

→ v G MR r

lanzamiento TT

= ⋅ ⋅ ⋅ −⋅

=21 1

2

== ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ +

=

= ⋅

21 1

2

2 9

02g R

R R hTT T( )

,88 6370 101

6370 10

1

2 6370 10 400 13 2

3 3⋅ ⋅ ⋅

⋅−

⋅ ⋅ + ⋅( )

( 00

8 13 10

3

3

)

,

= ⋅

→

→ v lanzamiento m/s

46. Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg de masa a una altura de 1200 km sobre la superficie de la Tierra.

Si el lanzamiento del satélite se ha realizado desde el nivel del mar, calcula: a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite.b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape

a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 kg ⋅ m2/kg2; MT = 6 ⋅ 1024 kg; RT = 6370 km.

a) SobrelasuperficiedelaTierra:

Repetimosloscálculosparaelsatéliteenórbita:

Conloqueyapodemosobtenerelaumentodeenergíapotencial:

b) ParaqueseescapedelaórbitadebetenerEM=0paraquer→ `:

EM=EP+EC=0→EC=−EP

LaEMdelsatéliteenlaórbitaderadiores:

Laenergíaquehayquecomunicarlees,pues,Eadicional=1,590⋅1010J.Otromododeresolverlo.Conocemoslaenergíapotencialquetieneelsatéliteenlaórbita.Calculamoslaenergíacinéticaquetieneelsatéliteenlaórbita:

Necesitamosconocerlavelocidadorbital:

Calculamosahoralaenergíacinéticaadicionalqueesnecesariocomunicarparaquelaenergíacinéticatotalseaigual(designocontrario)quelaenergíapotencial:

833523 _ 0033-0072.indd 66 14/5/09 08:08:03

31


Un satélite artificial de 200 kg de masa describe una órbita circular a 400 km de altura sobre la superficie de la Tierra. Calcula:

a) La energía mecánica.b) La velocidad que se le comunica en la superficie de la Tierra

para colocarlo en esa órbita.

Datos: RT = 6370 km; g0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.

Comoenotrosproblemas,empleamosunidadesdelSI.

a) Laenergíamecánicaes:

b) Paracalcularlavelocidaddelanzamientoparaponerloenesaórbitadebemostenerencuentaelprincipiodeconservacióndelaenergíamecánica.Laenergíamecánicaenelpuntodelanzamientodebecoincidirconlaenergíamecánicaenlaórbita.Considerandoelpunto1eldelanzamientoyelpunto2laórbitaderadior.

En2:

Podemosescribir:EM1=EM2→EC1+EP1=EC2+EP2→

→ 1

2

1

2

1

212

22

⋅ −⋅

=⋅

− = ⋅⋅

m vG M

Rm m

G Mr

v

GMr

mG M

rT

mm →

→ v G MR r

lanzamiento TT

= ⋅ ⋅ ⋅ −⋅

=21 1

2

== ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ +

=

= ⋅

21 1

2

2 9

02g R

R R hTT T( )

,88 6370 101

6370 10

1

2 6370 10 400 13 2

3 3⋅ ⋅ ⋅

⋅−

⋅ ⋅ + ⋅( )

( 00

8 13 10

3

3

)

,

= ⋅

→

→ v lanzamiento m/s

46. Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg de masa a una altura de 1200 km sobre la superficie de la Tierra.

Si el lanzamiento del satélite se ha realizado desde el nivel del mar, calcula: a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite.b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape

a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 kg ⋅ m2/kg2; MT = 6 ⋅ 1024 kg; RT = 6370 km.

a) SobrelasuperficiedelaTierra:

EG M m

RP1

T

T

= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

−6 67 10 6 10 600

6370 10

11 24,33

103 769 10= − ⋅, J

Repetimosloscálculosparaelsatéliteenórbita:

EG M m

R hP

T

T2

11 246 67 10 6 10 600

6370= −

⋅ ⋅+

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

−,

110 1200 103 172 10

3 310

+ ⋅= − ⋅, J

Conloqueyapodemosobtenerelaumentodeenergíapotencial:

∆E E EP P 2 P1 J J= − = − ⋅ + ⋅ = ⋅3 172 10 3 769 10 5 97 110 10, , , 0010 J

b) ParaqueseescapedelaórbitadebetenerEM=0paraquer→ `:

EM=EP+EC=0→EC=−EP

LaEMdelsatéliteenlaórbitaderadiores:

EG M m

R hM2

T

T

J= − ⋅⋅ ⋅

+= −

⋅= − ⋅

1

2

3 172 10

21 590 10

101,

, 00 J

Laenergíaquehayquecomunicarlees,pues,Eadicional=1,590⋅1010J.Otromododeresolverlo.Conocemoslaenergíapotencialquetieneelsatéliteenlaórbita.Calculamoslaenergíacinéticaquetieneelsatéliteenlaórbita:

E m vC = ⋅ ⋅1

22

Necesitamosconocerlavelocidadorbital:

vG M

rG MR h

=⋅

=⋅+

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ +

−T T

T

6 67 10 6 10

6370 10

11 24

3

,

11200 10

7 27 1012

600 7 27 10

3

3 3

⋅=

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅, ( , )m/s C→ E 22 101 585 10= ⋅, J

Calculamosahoralaenergíacinéticaadicionalqueesnecesariocomunicarparaquelaenergíacinéticatotalseaigual(designocontrario)quelaenergíapotencial:

E E E

E E E

C C adicional P

C adicional P C

+ = −

= − − =

→

→ 3 17, 22 10 1 585 10 1 587 1010 10 10⋅ − ⋅ = ⋅J J J, ,

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32


47. Se lanza un satélite con el propósito de situarlo en una órbita circular situada en el plano ecuatorial y que sea geoestacionaria. El satélite describe su trayectoria con una velocidad de módulo constante v. Calcula:

a) El valor de la altura h a la que orbita el satélite. b) El módulo de la velocidad.c) La fuerza que mantiene su movimiento.

Datos: g0 = 9,8 m/s2; RT = 6370 km.

gG M

RG M g R0 2 0

2=⋅

⋅ = ⋅T

TT T→ .

a) Sielsatéliteesgeoestacionario,debeorbitarlaTierraconunperiodoigualaldelaTierra(1día).Conociendoestedato,podemoscalcularelradiodelaórbitamediantelaexpresiónquehemosdeducidoenotrasocasiones:

rT G M

=⋅ ⋅2

23

4T

πSustituyendolosdatos:

r =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−( ) , ,24 3600 6 67 10 5 98 102 11

2

224s

N mkg⋅

kg

444 23 10

2

3 7

π= ⋅, m

Paraconocerlaalturaalaqueorbitasobrelasuperficieterrestre:h=4,23⋅107m–6,37⋅106m=3,59⋅107m

b) Lavelocidades:

vG M

rg R

r=

⋅=

⋅=

⋅ ⋅⋅

=T T02 3 2

7

9 8 6370 10

4 23 103 0

, ( )

,, 77 103⋅ m/s

c) Lafuerzaes:

F m gG M m

rg R m

r= ⋅ =

⋅ ⋅=

⋅ ⋅=

=⋅ ⋅

sT s T s2

02

2

39 8 6370 10, ( ))

( , ),

2

7 24 23 100 22

⋅⋅

= ⋅m

mss N

48. La astronauta Sunita Williams participó desde el espacio en la maratón de Boston de 2007 recorriendo la distancia de la prueba en una cinta de correr dentro de la Estación Espacial Internacional. Sunita completó la maratón en 4 horas, 23 minutos y 46 segundos. La Estación Espacial orbitaba, el día de la carrera, a 338 km sobre la superficie de la Tierra. Calcule:

a) El valor de la gravedad terrestre en la Estación Espacial.

b) La energía potencial y la energía total de Sunita sabiendo que su masa es de 45 kg.

c) Cuántas vueltas a la Tierra dio la astronauta mientras estuvo corriendo.Datos: constante de gravitación universal, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;

masa de la Tierra: MT = 5,96 ⋅ 1024 kg; radio de la Tierra RT = 6371 km.

(R. Murcia. Junio, 2007)

a) Laaceleracióndelagravedadvale:

b) Laenergíapotenciales:

Laenergíamecánicaes:

c) VeamoscuáleselperiododerotaciónquehatenidoSunita:

YeltiempoqueSunitahaestadocorriendohasido:

Asíquehadado:

49. a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Luna.

b) Se lanza verticalmente un objeto desde la superficie de la Luna, con velocidad inicial igual a la de escape. ¿A qué distancia del centro de la Luna se reduce su velocidad a la mitad de la inicial?

G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; masa y radio de la Luna: ML =7,34 ⋅ 1022 kg; RL = 1,74 ⋅ 106 m.

(Aragón. Junio, 2005)

833523 _ 0033-0072.indd 68 14/5/09 08:08:04

33


Se lanza un satélite con el propósito de situarlo en una órbita circular situada en el plano ecuatorial y que sea geoestacionaria. El satélite describe su trayectoria con una velocidad de módulo constante v. Calcula:

a) El valor de la altura h a la que orbita el satélite. b) El módulo de la velocidad.c) La fuerza que mantiene su movimiento.

Datos: g0 = 9,8 m/s2; RT = 6370 km.

.

a) Sielsatéliteesgeoestacionario,debeorbitarlaTierraconunperiodoigualaldelaTierra(1día).Conociendoestedato,podemoscalcularelradiodelaórbitamediantelaexpresiónquehemosdeducidoenotrasocasiones:


r =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−( ) , ,24 3600 6 67 10 5 98 102 11

2

224s

N mkg⋅

kg

444 23 10

2

3 7

π= ⋅, m

Paraconocerlaalturaalaqueorbitasobrelasuperficieterrestre:h=4,23⋅107m–6,37⋅106m=3,59⋅107m

b) Lavelocidades:

vG M

rg R

r=

⋅=

⋅=

⋅ ⋅⋅

=T T02 3 2

7

9 8 6370 10

4 23 103 0

, ( )

,, 77 103⋅ m/s

c) Lafuerzaes:

La astronauta Sunita Williams participó desde el espacio en la maratón de Boston de 2007 recorriendo la distancia de la prueba en una cinta de correr dentro de la Estación Espacial Internacional. Sunita completó la maratón en 4 horas, 23 minutos y 46 segundos. La Estación Espacial orbitaba, el día de la carrera, a 338 km sobre la superficie de la Tierra. Calcule:

a) El valor de la gravedad terrestre en la Estación Espacial.

b) La energía potencial y la energía total de Sunita sabiendo que su masa es de 45 kg.

c) Cuántas vueltas a la Tierra dio la astronauta mientras estuvo corriendo.Datos: constante de gravitación universal, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;

masa de la Tierra: MT = 5,96 ⋅ 1024 kg; radio de la Tierra RT = 6371 km.

a) Laaceleracióndelagravedadvale:

gG M

rG M

R h=

⋅=

⋅+

=⋅ ⋅ ⋅−

T T

T2 2

11 246 67 10 5 96 10

6( )

, ,

( 3371 10 338 108 83

3 3 2⋅ + ⋅=

), N/kg

b) Laenergíapotenciales:

EG M m

rG M m

R hP

T T

T

= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅

+=

= −⋅ ⋅ ⋅−6 67 10 5 96 111, , 00 45

6371 10 338 102 66 10

24

3 39⋅

⋅ + ⋅= − ⋅, J

Laenergíamecánicaes:

E EM P J= ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅1

2

1

22 66 10 1 33 109 9, ,

c) VeamoscuáleselperiododerotaciónquehatenidoSunita:

Tr

G MR h

G M=

⋅⋅

=⋅ +

⋅=

=⋅ ⋅

4 4

4 6371 10

2 3 2 3

2 3

π π

π

T

T

T

( )

( ++ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅−

338 10

6 67 10 5 96 105 48 10

3 3

11 243)

, ,, s

YeltiempoqueSunitahaestadocorriendohasido:

t = ⋅ ⋅ + ⋅ + =4 h60 min

1 h

60 s

1 minmin

60 s

min46 s 158223

166 s

Asíquehadado:

N.º vueltass

s2,89 vueltas= =

⋅=

tT

15826

5 48 103,

49. a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Luna.

b) Se lanza verticalmente un objeto desde la superficie de la Luna, con velocidad inicial igual a la de escape. ¿A qué distancia del centro de la Luna se reduce su velocidad a la mitad de la inicial?

G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; masa y radio de la Luna: ML =7,34 ⋅ 1022 kg; RL = 1,74 ⋅ 106 m.

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34


a) LavelocidaddeescapeenlaLunaes:

vG M

rG M

Rescape

L

L

= ⋅⋅

= ⋅⋅

=

= ⋅⋅ ⋅ ⋅−

2 2

26 67 10 7 3411, , 110

1 74 102 37 10

22

63

,,

⋅= ⋅ m/s

b) SuponiendoquelaúnicainteracciónalaqueestásometidoelobjetoeslaatraccióngravitatoriaqueejercelaLuna,seconservarásuenergíamecánica.Llamandopunto1alpuntodelanzamientoypunto2alpuntoenelquesuvelocidadeslamitaddelainicial:

EM1=EM2→EC1+EP1=EC2+EP2→

→ 1

2

1

2 22⋅ ⋅ −

⋅ ⋅= ⋅ ⋅

m vG M m

Rm

vescape

L

L

escape

−⋅ ⋅

2G M m

rL →

→ 1

2

1

2 22⋅ −

⋅= ⋅

v

G MR

vescape

L

L

escape

−

⋅2

G Mr

L →

→ G Mr

v G MR

⋅= ⋅

+⋅

− ⋅L escape L

L

1

2 2

1

2

2

vvescape2 →

Sustituyendolosdatosylosvaloresquehemosobtenidoconanterioridad:

6 67 10 7 34 10 1

2

2 37 10

2

11 22 3, , ,⋅ ⋅ ⋅= ⋅

⋅

−

r

+

+⋅ ⋅ ⋅

⋅− ⋅

−

2

11 22

6

6 67 10 7 34 10

1 74 10

1

22 3

, ,

,, 77 103 2

⋅( ) →

→ →

→

4 90 107 02 10 2 81 10 2 81 10

4

125 6 6,

, , ,⋅

= ⋅ + ⋅ − ⋅

=

r

r,,

,,

90 10

7 02 106 9 10

12

56⋅

⋅= ⋅ m

NOTA:PuedeserunaocasióninteresanteparaquelosalumnoscompruebenelerrorqueresultaríasiconsiderásemosunmovimientodecaídalibreconelvalordegconstanteeigualasuvalorenlasuperficiedelaLuna.

ObtenemoslaaceleracióndelagravedadenlaLuna:

gG M

R=

⋅=

⋅ ⋅ ⋅⋅

=−

L

L2

6 67 10 7 34 10

1 74 101

11 22

6 2

, ,

( , ),,617 N/kg

Porlasecuacionesdelmovimiento:

• •

Además,v0=vescape,x0=0y :

Estevalor(erróneo)esdistintoalqueobtuvimosantes(6,9⋅106m,correcto).

50. Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con un periodo de 27 días, a una distancia de 3,8 ⋅ 108 m, calcula:

a) La masa de la Tierra.b) La energía que se necesita para separar la Luna de la Tierra

a una distancia infini ta. Dato: masa de la Luna, ML = 7,34 ⋅ 1022 kg.

a) Elperiodoes:

Conociendoque:

→

b) LaLunaescaparádelcampogravitatorioterrestrecuandosuenergíamecánicasea0.CalculamoselvalordelaenergíamecánicadelaLunaensuórbita(unidadesdelSI):

ParaquelaLunaabandoneelcampogravitatorioterrestredebemoscomunicarleunaenergíade3,84⋅1028J.

833523 _ 0033-0072.indd 70 14/5/09 08:08:06

35


a) LavelocidaddeescapeenlaLunaes:

b) SuponiendoquelaúnicainteracciónalaqueestásometidoelobjetoeslaatraccióngravitatoriaqueejercelaLuna,seconservarásuenergíamecánica.Llamandopunto1alpuntodelanzamientoypunto2alpuntoenelquesuvelocidadeslamitaddelainicial:

EM1=EM2→EC1+EP1=EC2+EP2→

→ 1

2

1

2 22⋅ ⋅ −

⋅ ⋅= ⋅ ⋅

m vG M m

Rm

vescape

L

L

escape

−⋅ ⋅

2G M m

rL →

Sustituyendolosdatosylosvaloresquehemosobtenidoconanterioridad:

NOTA:PuedeserunaocasióninteresanteparaquelosalumnoscompruebenelerrorqueresultaríasiconsiderásemosunmovimientodecaídalibreconelvalordegconstanteeigualasuvalorenlasuperficiedelaLuna.

ObtenemoslaaceleracióndelagravedadenlaLuna:

Porlasecuacionesdelmovimiento:

• x x v t g t= + ⋅ − ⋅ ⋅0 021

2 • v v g t= − ⋅0

Además,v0=vescape,x0=0yv v= ⋅1

2escape:

1

2

1

2⋅ = − ⋅ = ⋅v v g t t

vg

e ee→ →

→ x vvg

gvg

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅

ee e1

2

1

2

1

4

2 37 10 0 52

2

2

3, ,,337 10

1 6170 5 1 617 0 25

2 37 10

1 61

3 3 2⋅− ⋅ ⋅ ⋅

⋅,

, , ,( , )

, 772→

→ x = ⋅1 3 106, m

Estevalor(erróneo)esdistintoalqueobtuvimosantes(6,9⋅106m,correcto).

50. Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con un periodo de 27 días, a una distancia de 3,8 ⋅ 108 m, calcula:

a) La masa de la Tierra.b) La energía que se necesita para separar la Luna de la Tierra

a una distancia infini ta. Dato: masa de la Luna, ML = 7,34 ⋅ 1022 kg.

a) Elperiodoes:

T = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅27 días24 h

1 día

60 min

1 h

60 s

1 mins2 333 106,

Conociendoque:

Tr

G M=

⋅⋅

4 2 3π

T

→

→Mr

G TT =

⋅⋅

=⋅ ⋅

⋅ ⋅−

4 4 3 8 10

6 67 10 2 3

2 3

2

2 8 3

11

π π ( , )

, ( , 333 105 967 10

6 224

⋅= ⋅

), kg

b) LaLunaescaparádelcampogravitatorioterrestrecuandosuenergíamecánicasea0.CalculamoselvalordelaenergíamecánicadelaLunaensuórbita(unidadesdelSI):

EG M m

rM

T L= − ⋅⋅ ⋅

=

= − ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

1

21

2

6 67 10 5 97 10 711 24, , ,,

,,

34 10

3 8 103 84 10

22

828⋅

⋅= − ⋅ J

ParaquelaLunaabandoneelcampogravitatorioterrestredebemoscomunicarleunaenergíade3,84⋅1028J.

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51. Calcula el radio que debería tener la Tierra, conservando su masa, para que su velocidad de escape fuese igual a la velocidad de la luz en el vacío, c = 300000 km/s. Ante un colapso de este tipo, ¿variará el periodo de traslación de la Luna alrededor de la Tierra? Dato: masa de la Tierra, MT = 6 ⋅ 1024 kg.

Ahoratenemos:

vG M

R

RG M

v

escapeT

T

TT

escape

= ⋅⋅

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

2

2 2 6 672

→

→ , 110 6 10

300 000 108 89 10

11 24

3 23

−−⋅ ⋅

⋅= ⋅

( ), m

ElperiododetraslacióndelaLunavienedadoporlaexpresión:

Tr

G M=

⋅⋅

4 2 3π

T

dondereselradiodelaórbitadelaLuna.TnodependedelradiodelaTierra;portanto,aunquesucedieseelcolapsoterrestre,elperiododetraslacióndelaLunaalrededordelaTierranocambiaría.

52. Un cometa de 1012 kg de masa se acerca al Sol desde un punto muy alejado del Sistema Solar, pudiéndose considerar que su velocidad inicial es nula. Calcula:a) La velocidad en el perihelio, sabiendo que se produce a una distancia

de 108 km del Sol. (Masa del Sol = 2 ⋅ 1030 kg.)b) La energía potencial cuando cruce la órbita de la Tierra. Dato: distancia Tierra-Sol = 1,496 ⋅ 1011 m.

a) UnpuntomuyalejadodelSistemaSolarseráunpuntoenelqueelcometaestáfueradelcampogravitatoriodelSol;portanto,suEP=0.Si,además,suvelocidadesnula,laECenesepuntotambiénesnula.Enconsecuencia,laEMdelcometaes0.SuponiendoqueelcometaestásometidoúnicamentealaatraccióngravitatoriadelSol,suEMencualquierotropuntodesumovimientoserá0(principiodeconservacióndelaenergíamecánica):

E m vG M m

rMperihelio

Sol

perihelio

= = ⋅ ⋅ −⋅ ⋅

01

22 →

→ vG M

r=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅−Sol

perihelio

2 6 67 10 2 10 2

10

11 30,111

45 165 10= ⋅, m/s

(HemosexpresadolasmagnitudesenunidadesdelSI.)

b) CuandocruzalaórbitadelaTierra,elcometaseencuentraalamismadistanciadelSolquelaTierra.

EG M m

rP

Sol= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

−6 67 10 2 10 10

1 496

11 30 12,

, 1108 92 10

1120= − ⋅, J

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