1

TRABAJO Y ENERGÍA - RESUMEN

1º. El trabajo realizado por una fuerza constante es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento:

rFW

es decir, se puede obtener como el producto de la componente de la fuerza en la dirección del movimiento y el desplazamiento producido, luego:

rFrcosFW r

donde Fr es la componente de la fuerza en la dirección del movimiento. 2º. Si la fuerza es variable, entonces el trabajo que realiza vendrá dado por:

2

1

2

1

2

1

2

1

z

zz

y

yy

r

r

x

xx dzFdyFdxFrdFW

3º. El trabajo total realizado por varias fuerzas es igual al trabajo que realiza la fuerza resultante de ellas. 4º. Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula depende sólo de las posiciones inicial y final, no dependiendo del camino seguido. Por lo tanto, una fuerza será conservativa si realiza un trabajo nulo al recorrer una trayectoria cerrada. Son fuerzas conservativas, por ejemplo, la gravitatoria, la eléctrica, la elástica, etc. 5º. El trabajo total realizado sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética que experimenta (Teorema trabajo-energía o Teorema de las fuerzas vivas).

21

22cTotal mv

2

1mv

2

1EW

6º. La unidad en el S.I. del trabajo y de la energía es el julio (J). 7º. La energía potencial de un sistema es la energía asociada con la configuración del mismo. La variación en la energía potencial de un sistema se define como el valor negativo del trabajo realizado por una fuerza conservativa que actúa sobre el sistema:

pvaconservati.F EW

Es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un sistema es igual a la disminución de energía potencial del sistema. Por lo tanto, el trabajo que realizan las fuerzas conservativas se realiza a costa de su energía potencial asociada. 8º. El valor absoluto de la energía potencial carece de importancia. Sólo interesan los cambios de energía potencial. 9º. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m a una altura y por encima del nivel de referencia es:

mgy)grav(Ep

Esto es válido para alturas pequeñas sobre la superficie terrestre donde consideramos que “g” permanece constante. La energía potencial elástica de un muelle, de constante elástica K, cuando se alarga o se contrae una distancia x desde el equilibrio viene dada por:

2p xk

2

1)elástica(E

10º. Si sobre un cuerpo sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y potencial, es decir, la energía mecánica permanece constante. Esta es la ley de conservación de la energía mecánica.

cteEEE pcm

11º. El trabajo realizado por una fuerza no conservativa actuando sobre una partícula es igual a la variación de la energía mecánica total del sistema:

mvasconservatino EW

2

TRABAJO Y ENERGÍA - COMPLEMENTOS 1. TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA ELÁSTICA. Como ejemplo de trabajo realizado por una fuerza variable tenemos el trabajo realizado por la fuerza elástica de un resorte o muelle.

Sea el caso de un cuerpo colocado sobre una superficie horizontal y lisa que está conectado a un resorte helicoidal.

Si el resorte se estira o se comprime una pequeña longitud respecto de su posición de equilibrio, se ejerce sobre el cuerpo una fuerza elástica, por parte del resorte, que viene dada por la ley de Hooke:

xkF

donde “x” es el desplazamiento del cuerpo con respecto a la posición de equilibrio. Es positivo cuando se encuentra a la derecha de x=0, y negativo cuando se encuentra a la izquierda de esta posición. “K” es la constante elástica del muelle. Los muelles rígidos tienen grandes valores de k, mientras que los “suaves” o fácilmente deformables tienen valores pequeños. El signo “-“ nos indica que la fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo tiene siempre sentido contrario al desplazamiento

producido. Por eso, puesto que la fuerza del resorte siempre actúa tendiendo a llevar al cuerpo hacia la posición de equilibrio, recibe también el nombre de “fuerza recuperadora”. Si se produce un desplazamiento arbitrario del bloque desde la posición 1 a la 2, el trabajo realizado por la fuerza elástica es:

2

1

2

1

x

x

x

x

22

21

xk2

1xk

2

1xdxkdx)kx(W

Es decir, el trabajo realizado por la fuerza elástica depende sólo de los puntos inicial y final, por lo tanto, la fuerza elástica es una fuerza conservativa. 2. ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA Como hemos visto el trabajo que realiza un muelle cuando pasa de una posición x1 a otra x2 es:

2

kx

2

kxW

22

21

y, por lo tanto, la fuerza elástica será conservativa. Por lo tanto, al ser una fuerza conservativa se puede definir una función Energía Potencia Elástica de tal forma que el

trabajo realizado por la fuerza conservativa elástica equivale, de nuevo, a la variación negativa de la energía potencia elástica:

pepepe

22

21 E)2(E)1(E

2

kx

2

kxW

Así, si a partir de la posición de equilibrio (x=0) ejercemos una fuerza F sobre el bloque, el muelle se comprimirá una distancia “x” determinada. El trabajo realizado sobre el muelle queda almacenado en este en forma de energía potencial elástica. Cuando el bloque se libera, el muelle realiza un trabajo positivo sobre él, transformándose la Energía Potencial elástica en energía Cinética del bloque.

X = 0

X > 0

F < 0

X < 0

F > 0

F

F

X

X

3

El nivel cero de energía potencia elástica es aquel en el que el muelle está en la posición de equilibrio (x=0).

3. CONSIDERACIONES SOBRE LA ENERGÍA POTENCIAL 1ª. La Energía Potencial es una energía de configuración. Nos hemos referido a la energía potencial de una partícula sometida a una fuerza conservativa como si esa energía potencial estuviese almacenada en la partícula, es decir, como si dicha energía estuviese exclusivamente ligada a la partícula a través de la posición que ocupa. Esto es, sin embargo, una forma simplificada de enfocar la cuestión ya que la Energía Potencial es una propiedad de un sistema de partículas, considerado como un todo, que interaccionan entre sí. Estrictamente hablando, la energía potencia depende tanto de las coordenadas de la partícula considerada como de las coordenadas de todas las demás partículas que constituyen su “medio ambiente”. Esto es, la energía potencial no debe asignarse a ningún cuerpo o partícula concreta, sino que debe de considerarse como algo perteneciente a todo el sistema en su conjunto, es decir, a todas las partículas interactuantes. Veamos algunos ejemplos. Consideremos una piedra situada a una cierta altura sobre la superficie terrestre. Podemos afirmar que “la piedra posee una cierta energía potencial mgh”, por cuanto que posee, en virtud de su posición, una cierta capacidad para realizar trabajo. Un poco de reflexión nos descubrirá que debemos considerar ese energía potencial como una propiedad del sistema piedra-tierra en su conjunto; es la posición relativa entre las partes la que determina su energía potencial. La energía potencial es mayor cuanto más separadas están dichas partes. Supongamos que abandonamos el sistema; las partes se aproximan y disminuye la energía potencial del conjunto. Durante esa “desaparición” de energía potencial se realiza un trabajo por parte de las fuerzas gravitatorias y se va incrementando la energía cinética del sistema.

La piedra “cae” hacia la Tierra, pero la Tierra “también cae” hacia la piedra. La Tierra adquiere pues una cierta aceleración, muy pequeña dada la enorme desproporción de masas. Como el cambio de rapidez de la Tierra es sumamente pequeño, su incremento de energía cinética es despreciable en comparación al de la piedra que “cae”, por lo que se identifica la energía cinética del Sistema con la energía cinética de la piedra. Además, como la configuración del sistema piedra-Tierra viene expresado en función de la posición (h) de la piedra con respecto a la Tierra, hablamos de la Energía Potencial del Sistema Piedra-Tierra como Energía potencial “mgh” de la piedra. Esta es la razón por la que solemos afirmar: La energía potencial mgh que pierde la piedra durante la caída se invierte en aumentar su energía cinética. Sin embargo, esta afirmación, expresada de manera correcta sería:

“ La Energía Potencial mgh de interacción entre la piedra y la Tierra, cuando aquella se encuentra a una altura h, se transforma durante su caída en Energía Cinética del Sistema “

La energía potencial no existe para un cuerpo o partícula aislada. 2ª. La Energía Potencial no tiene carácter absoluto. Observese que la ecuación de definición de la energía potencial,

pvaconservati.F EW , sólo permite calcular

diferencias de energía potencial. Dicho de otra manera, el valor de la energía potencia en un punto B, Ep(B), sólo estará definido si conocemos el valor de Ep(A), pues entonces:

vaconservati.Fpp W)A(E)B(E

Esto es, la energía potencial, al contrario que la energía cinética, no tiene carácter absoluto, ya que sólo podemos calcular “la diferencia de energía potenciales correspondientes a dos posiciones dadas de la partícula”; sólo la diferencia Ep(B) - Ep(A) tiene siempre un significado físico. Debido a esto, no podemos calcular la energía potencial en valor absoluto; todo lo más que podemos hacer es definir la diferencia de energía potencial de la partícula, para dos posiciones dadas, como “el trabajo que realiza

4

la fuerza conservativa, cambiado de signo, en un desplazamiento de la partícula entre esas dos posiciones”. Sin embargo, podemos dar un significado a la energía potencial en B haciendo que el punto A sea un punto de referencia conveniente al que le asignamos un valor arbitrario de energía potencial, ordinariamente igual a cero. Entonces:

vaconservati.F

vaconservati.Fpp

W

W)A(E)B(E

Conviene dejar claro que cualquier punto o nivel de referencia cómodo es igualmente válido. Lo que importa físicamente es el cambio en la Energía Potencial, porque es lo que se relaciona con el trabajo efectuado. Así, por ejemplo, considerar “mgh” como expresión de la energía potencial gravitatoria significa que hemos fijado arbitrariamente un “valor cero” de energía potencial para una altura h=0. Se suele considerar como cero la energía potencial en el suelo donde estamos llevando a cabo el experimento. Sin embargo, es preciso insistir en que éste es un criterio totalmente arbitrario, pues si el suelo se hundiera, por ejemplo, el objeto seguiría cayendo. Asimismo, para la energía potencial elástica se suele tomar como “nivel cero” a la posición de equilibrio del muelle. 3ª. La Energía Potencial puede ser positiva o negativa. Todo depende del nivel cero de referencia elegido. 4ª. La Energía Potencia está asociada a fuerzas conservativas. En el caso de que la fuerza no sea conservativa, el trabajo que realiza en su desplazamiento desde A hasta B dependerá del camino que siga la partícula y, al no ser dicho trabajo función exclusiva de la posición inicial y final de la partícula, no existirá una función energía potencial asociada a la fuerza no conservativa. Por ejemplo, no existe ninguna energía potencial asociada a la fuerza de rozamiento.

4. DIFERENCIAS ENTRE LA ENERGÍA POTENCIAL Y LA ENERGÍA CINÉTICA 1ª. Las fuerzas que intervienen en la ecuación de definición de la energía potencial son sólo las fuerzas conservativas. Comparando la ecuación de definición

de la energía potencial, pvaconservati.F EW

con la ecuación:

cE)Total(W

que expresa el Teorema Trabajo-Energía Cinética, conviene hacer notar que esta última expresión es válida cualquiera que sea la fuerza F de que se trate, siempre que F sea la fuerza resultante, aunque no sea una fuerza conservativa. Sin embargo, la ecuación que se utiliza para definir la Ep sólo es valida para fuerzas conservativas. 2ª. La expresión que da el valor de la Energía Potencial es diferente según la fuerza conservativa que se trate. En tanto que la energía cinética de una partícula viene expresada siempre por la

fórmula 2mv2

1 , no ocurre lo mismo con la

energía potencial. A cada fuerza conservativa podemos asociarle una energía potencial, que viene expresada por una ecuación distinta de acuerdo con la naturaleza de la fuerza, y que recibe distintos calificativos, tales como: energía potencial gravitatoria, energía potencial elástica, etc. No existe una fórmula única para expresar la energía potencial. 3ª. La energía potencial no puede conocerse en valor absoluto. Al contrario de lo que ocurre con la energía cinética, en la determinación de la energía potencial interviene una constante arbitraria (nivel cero). Esto no supone ningún inconveniente, ya que lo que está relacionado con el trabajo efectuado por las fuerzas no es la energía potencial sino sus variaciones, y éstas tienen siempre el mismo valor cualquiera que sea el nivel de referencia elegido. 4ª. La energía potencial puede tomar valores negativos. Mientras que la energía cinética es siempre positiva.

5

TRABAJO Y ENERGÍA - EJERCICIOS

1. Un cuerpo se desplaza horizontalmente 50 m bajo la acción de una fuerza constante de 100 N. Determinar el trabajo realizado por dicha fuerza si: a) Actúa horizontalmente en el sentido del movimiento. b) Forma un ángulo de 60º con la horizontal. c) Actúa perpendicularmente. d) Forma 150º con la dirección del desplazamiento. Al ser constante la fuerza, el trabajo lo podremos calcular de la forma:

cosrFrFW

a)

J5000º0cosm50N100cosrFW

b)

J2500º60cosm50N100cosrFW

c) J0º90cosm50N100cosrFW

d)

J4330º150cosm50N100cosrFW

--------------- 000 ---------------

2. Un cuerpo de 2 kg recorre un espacio de 10 m en ascenso por un plano inclinado 30º sobre la horizontal, obligado por una fuerza de 15 N paralela al plano. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano vale 0'2, calcula el trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. La situación sería la representada en la figura. En ella FT y FN son las componentes del peso cuyos valores son:

N8,9senmgFT

N97,16cosmgFN

N es la reacción del plano y del mismo valor que FN

F es la fuerza paralela al plano de valor 15 N y Froz es la fuerza de rozamiento cuyo valor será:

N39,3N97,162,0FF Nroz

Como el cuerpo asciende por el plano las fuerzas FN y N no realizarán trabajo ya que forman un ángulo de 90º con el desplazamiento. El trabajo de las demás fuerzas será:

J150º0cosm10N15)F(W

J98º180cosm10N8,9)F(W T

J9,33º180cosm10N39,3)F(W roz

El trabajo total realizado será:

J1,18J9,33J98J150WTOTAL

--------------- 000 ---------------

3. Un cuerpo de 3 kg de masa experimenta un desplazamiento que viene dado por

mk2ji3r

bajo la acción de una

fuerza constante que vale Nk4ji10F

.

Determina: a) El trabajo realizado por la fuerza en ese desplazamiento. b) El valor de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. a) El trabajo realizado será:

P

FT

FN

α=30º

α

N

Froz

F

6

J238130

J)k2ji3()k4ji10(rFW

b) El trabajo se puede expresar en función de la componente Fr en la dirección del movimiento en la forma:

rFrcosFW r

Y como el módulo del vector desplazamiento Δr es:

m74,3419r

Tendremos que la componente de la fuerza en la dirección del movimiento será:

N14,6m74,3

J23

r

WFr

--------------- 000 ---------------

4. Calcula el trabajo realizado por la fuerza

Nj15F

al trasladar una partícula desde

el punto (0,0) hasta el punto (3,3) según las siguientes trayectorias: a) (0,0) . . . . . (0,3). . . . . (3,3) b) (0,0). . . . . .(3,0). . . . . (3,3) c) (0,0). . . . . .(3,3) Las trayectorias serían las representadas en la figura.

a) En el primer caso la partícula va de O a B y a C. El trabajo realizado sería:

)CB(W)BO(W)CO(W

Los vectores desplazamiento en cada uno de estos trayectos son:

j3j)03(i)00(rOB

i3j)33(i)03(rBC

Luego el trabajo realizado será:

J45J045i3j15

j3j15)CB(W)BO(W)CO(W

b) En este caso los vectores desplazamiento serán:

i3j)00(i)03(rOA

j3j)03(i)33(rAC

Y el trabajo realizado sería:

J45J450j3j15

i3j15)CA(W)AO(W)CO(W

c) En este caso el vector desplazamiento será:

j3i3j)03(i)03(rOC

Y el trabajo será:

J45J450)j3i3(j15)CO(W

Como se puede observar en las tres trayectorias el trabajo realizado por la fuerza es el mismo, por lo tanto, se trataría de una fuerza conservativa.

--------------- 000 ---------------

5. Sobre una partícula actúa la fuerza

jy2ix6F 2

. Calcular el trabajo que

realiza cuando la partícula se desplaza desde el origen O hasta el punto P(1,1). En este caso se trata de una fuerza variable ya que su valor depende en todo momento de las coordenadas (x,y) en las que se encuentre la partícula. Por lo tanto, para calcularlo tendremos que utilizar la expresión:

2

1

r

rrdFW

C(3,3)

O(0,0) A(3,0)

c

a

b

B(0,3)

7

Que en nuestro caso será:

P

O

2 )jdyidx()jy2ix6(W

1

0

1

0

1

021

032 J3yx2dyy2dxx6W

--------------- 000 ---------------

6. Un bloque de 100 kg es empujado una distancia de 6 m sobre un piso horizontal, mediante una fuerza de 1300 N que forma un ángulo de 30º hacia abajo con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso es de 0'3. Calcular: a) El trabajo que realiza cada una de las fuerzas. b) Comprueba que el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque es igual al trabajo de la fuerza resultante que actúa sobre él. a) La situación sería la siguiente:

Si descomponemos la fuerza F en sus componentes perpendiculares tendremos:

Cuyos valores serán:

N83,1125cosFFx

N650senFFy

El valor de la fuerza de rozamiento será:

N489)PF(NF yroz

Como la componente Fy es perpendicular al desplazamiento no realizará trabajo. Lo mismo ocurre con la fuerza Peso y con la reacción del plano N. El trabajo de la fuerza F es debido exclusivamente a la componente Fx, luego:

J98,6754

º0cosm6N83,1125)F(W)F(W x

El trabajo de la fuerza de rozamiento será:

J2934º180cosm6N489)F(W roz

Y el trabajo total será:

J98,3820J2934J98,6754WTOTAL

b) Calculamos primero la fuerza resultante de todas las que actúan sobre el cuerpo. Como N neutraliza a las fuerzas P y Fy, la resultante sobre el cuerpo será:

N83,636N489N83,1125FFF rozxR

Y el trabajo que realiza esta fuerza resultante será:

J98,3820º0cosm6N83,636)F(W R

Donde se comprueba que el trabajo de todas las fuerzas es igual al trabajo de la fuerza resultante de ellas.

--------------- 000 --------------- 7. Un resorte de constante elástica 80 N/m se comprime una longitud de 3 cm, a partir del equilibrio, sobre una superficie lisa y horizontal. Calcular el trabajo realizado por el resorte cuando el bloque pasa de la posición x1= - 3 cm hasta su posición no deformada. La fuerza que ejerce el muelle viene dada por

kxF y es, por lo tanto, una fuerza variable, ya que su valor depende en todo momento de la posición x. El trabajo que realiza al descomprimirse desde la posición inicial (x1=-0,03 m) hasta la posición final (x2=0 m) será:

Froz

F

α=30º

P

N

Froz

F

α

Fx

Fy P

N=P+Fy

8

J036,0

2

03,00

m

N80

2

x

m

N80xdxkdx)kx(W

2

0

03,0

2x

x

0

03,0

2

1

--------------- 000 --------------- 8. Calcula el trabajo que realiza la fuerza

kz2jyix3F

al desplazar una

partícula desde el punto A(0,0,0) hasta el punto B(3, -1, 2). Al ser una fuerza variable su trabajo lo calcularemos de la forma:

2

1

2

1

2

1

2

1

z

zz

y

yy

r

r

x

xx dzFdyFdxFrdFW

Que en nuestro caso tendremos que:

J1742

1

2

27z

2

y

2

x3dzz2dyydxx3W

2

02

1

0

2

3

0

22

0

1

0

3

0

--------------- 000 --------------- 9. Un cuerpo de 2 kg desciende en caída libre. a) ¿Qué fuerza constante es preciso aplicarle, en el instante en que su velocidad es de 20'4 m/s, para detenerlo en 2 s?. b) ¿Qué trabajo se realiza sobre el cuerpo desde que se aplica la fuerza hasta que se detiene?.

a) Si el cuerpo cae libremente es debido a que sobre él sólo actúa la fuerza peso que provoca que su velocidad vaya en aumento. Si queremos detenerlo es necesario aplicarle una fuerza hacia arriba y mayor que su peso de tal

manera que le provoque una aceleración negativa para que pueda detenerlo (ver figura). La aceleración negativa necesaria para detenerlo será:

20 ms2,10s2

s

m4,200

t

vva

La fuerza resultante necesaria para producir esta aceleración será:

N4,20ms2,10kg2maF 2R

Esta fuerza debe estar dirigida hacia arriba. Ahora bien:

N40N4,20ms8,9kg2

FPFFPF

2

RR

b) Para calcular el trabajo debemos conocer previamente el espacio que recorre el cuerpo hasta que se detiene. Este será:

m4,20

2

s4ms2,10s2ms4,20

2

tatvs

221

2

o

Por lo tanto, el trabajo que realiza la fuerza F que debemos ejercer será de:

J816º180cosm4,20N40W

El signo negativo del trabajo es debido a que la fuerza F que ejercemos tiene sentido contrario al movimiento del cuerpo.

--------------- 000 --------------- 10. Una partícula de masa m está unida a un muelle cuyo comportamiento no sigue la ley de Hooke, ya que la fuerza que ejerce es, en función de la deformación x, F=-4x

2 - 2x.

Calcular el trabajo que es preciso realizar para deformarlo 6 cm. La fuerza F es variable ya que depende de la posición x en la que se encuentra el muelle con respecto a la posición de equilibrio.

P

F>P

9

La partícula pasa de la posición inicial, x0= 0 m, hasta la posición final, x=0,06 m. El trabajo que realiza la fuerza elástica vendrá dado por:

J1088,3

006,003

06,04x

3

x4dx)x2x4(dxFW

3

2306,0

02

x

x

06,0

0

06,0

0

32

0

Este es el trabajo que realiza la fuerza debido al muelle. El trabajo que tendremos que realizar nosotros será el mismo pero de signo positivo.

--------------- 000 --------------- 11. Una piedra de 2 kg atada al extremo de una cuerda de 0'5 m gira con una velocidad de 2 revoluciones por segundo. a) ¿Cuál es su energía cinética?. b) Calcular el valor de la fuerza centrípeta que actúa sobre la piedra. c) ¿Qué trabajo realiza la fuerza centrípeta en una vuelta?. a) La velocidad angular en el S.I. será:

1srad56,12rev1

rad2

s

rev2

Su velocidad lineal será:

11 ms28,6m5,0srad56,12rv

Y su energía cinética:

J43,39ms28,6kg22

1mv

2

1Ec

212

b) La fuerza centrípeta será:

N75,157r

mvFc

2

c) Ninguno ya que en todo momento forma un ángulo de 90º con el desplazamiento.

--------------- 000 ---------------

12. Si una masa de 10 g cae, sin velocidad inicial, desde una altura de 1 m y rebota hasta una altura máxima de 80 cm. ¿Qué cantidad de energía ha perdido?.

Sol: 0'0196 J. La pérdida de energía será debido a la pérdida de energía potencial, es decir:

J0196,0m8,0m1ms8,9kg01,0

)hh(mgEpg

2

0

--------------- 000 --------------- 13. Un trineo de 5 kg se desliza con una velocidad inicial de 4 m/s. Si el coeficiente de fricción entre el trineo y la nieve es de 0'14, determinar la distancia que recorrerá el trineo antes de detenerse. El trineo termina parándose debido a que en todo momento actúa sobre él la fuerza debido al rozamiento, que al ir en contra del movimiento le provocará una disminución de velocidad. La fuerza peso P se ve equilibrada por la reacción del plano N; estas fuerzas no afectan al movimiento del cuerpo.

Si aplicamos el teorema trabajo-energía cinética analizaríamos la situación de la siguiente forma: inicialmente el cuerpo posee una energía cinética, como la única fuerza que actúa sobre el cuerpo, la Froz, realiza un trabajo negativo entonces su energía cinética irá disminuyendo (su velocidad disminuye) hasta que termina perdiendo toda la energía cinética que tenía al principio, parándose finalmente. Aplicando el teorema trabajo-energía cinética tendremos que:

cTotal EW

Y el trabajo total es debido al rozamiento ya que esta es la única fuerza que actúa, luego:

cosxFWW rozrozTOTAL

Froz

vo=4 m/s v=0

Δx P

N=P

10

El valor de la fuerza de rozamiento será:

N86,6ms8,9kg514,0PNF 2roz

Luego el trabajo que realiza será:

x86,6

º180cosx86,6cosxFW rozroz

Donde Δx es el espacio que recorre hasta pararse y la incógnita que debemos calcular. La variación de energía cinética será:

J40ms4kg52

1

mv2

1Ec0EcEcE

21

2000Fc

Si igualamos el trabajo total y la variación de energía cinética podremos calcular la distancia que recorre hasta pararse. Es decir:

m83,586,6

40x

40x86,6EW cTotal

--------------- 000 --------------- 14. Una fuerza horizontal de 25 N se aplica a una caja de 4 kg, inicialmente en reposo sobre una mesa rugosa horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la mesa es 0'35. Determinar la velocidad de la caja después de haber sido empujada a lo largo de una distancia de 3 m. Sobre la caja actúan dos fuerzas: la fuerza

horizontal hacia la derecha y la fuerza de rozamiento hacia la izquierda. La primera favorece el movimiento y la de rozamiento va en contra de él. La fuerza peso P y la reacción del plano se anulan y no realizan trabajo alguno.

Para calcular la velocidad final aplicaremos el teorema trabajo-energía cinética calculando primero la energía cinética final y de aquí la velocidad final. Es decir:

cTotal EW

J84,33m3)ms8,9kg435,0N25(

x)mgF(

xFFxFW

2

rozTOTALTOTAL

FF0F Ec0EcEcEcEc

Por lo tanto:

J84,33EcEW FcTotal

1

FF

2FF

ms11,4kg4

J84,332

m

Ec2vmv

2

1Ec

--------------- 000 --------------- 15. Una muchacha de 55 kg se encuentra en el tercer piso de un edificio, que se encuentra 8 m por encima de la planta baja. ¿Cuál es la energía potencial del sistema muchacha-Tierra si: a) Si se elige como nivel de referencia igual a cero en la planta baja. b) Si se elige como nivel de referencia igual a cero en el segundo piso, que está 4 m por encima de la planta baja. a) En el primer caso la altura con respecto al nivel de referencia es de 8 m, luego:

J31,4m8ms8,9kg55mghEpg 2

b) En el segundo caso la altura con respecto al nivel de referencia es de 4 m, luego:

J15,2m4ms8,9kg55mghEpg 2

--------------- 000 --------------- 16. Se empuja un bloque de 2 kg contra un muelle, cuya constante elástica es 500 N/m, comprimiéndolo 20 cm. ¿Cuánto vale la

Froz

vo=0 v?

Δx=3 m P

N=P

F=25 N

11

energía potencial elástica del bloque en ese instante?.

J10m2,0Nm5002

1kx

2

1Epe

212

--------------- 000 --------------- 17. Desde una altura de 200 m se deja caer una piedra de 5 kg. a) ¿Con qué velocidad llega al suelo?. b) ¿Cuánto valdrá su energía potencial en el punto más alto?. c) ¿Cuánto valdrá su energía cinética al llegar al suelo?. d) ¿Cuánto valdrá su velocidad en el punto medio de su recorrido?. Considerar g=10 m/s

2

a) La velocidad al llegar al suelo, aplicando la ecuación del m.u.a. será:

12 ms24,63m200ms102gh2v

b) J10m200ms10kg5mghEpg 420

c) Al no existir fuerzas no conservativas, la Epg arriba se transformará íntegramente en Ec en el suelo, luego Ec = 10

4 J.

d) Al conservarse la Em tendremos que:

)pm(Ec)pm(EpgEpg)pm(EmEm 00

Donde pm indica “punto medio”. Por lo tanto:

J5000m100ms10kg5J10

)pm(EpgEpg)pm(Ec

24

0

1ms72,44kg5

J50002

m

)pm(Ec2)pm(v

--------------- 000 --------------- 18. Dos bloques de masas m2 y m1 se encuentran unidos por una cuerda delgada que pasa por una polea ligera sin rozamiento. Demostrar que la velocidad de cada uno de los bloques cuando el más pesado de ellos desciende una distancia “h”

viene dada por la expresión

21

12

mm

ghmm2v

. Suponer m2 > m1.

La situación gráfica antes y después de caer sería la siguiente:

El sistema inicialmente está en reposo. Comienza a moverse ya que las fuerzas que actúan son P2 y P1 y, al ser P2>P1, el sistema se moverá hacia la derecha de forma acelerada ganando velocidad. Al estar unidos por una cuerda el cuerpo 1 subirá una distancia h cuando el cuerpo 2 descienda también una distancia h. Además los dos se moverán en cada momento con la misma velocidad. Como las únicas fuerzas que intervienen, los pesos de los cuerpos, son fuerzas conservativas se cumplirá el Principio de Conservación de la Energía Mecánica. Por lo tanto tendremos que:

F0 EmEm

Evaluaremos la energía mecánica inicial y final y las igualaremos. Para ello, consideramos como nivel cero de Epg el nivel al que se encuentran los cuerpos inicialmente. Energía mecánica inicial La energía cinética de ambos cuerpos será cero ya que están en reposo. La energía potencial gravitatoria será cero ya que ambos cuerpos se encuentran en el nivel cero elegido arbitrariamente. Luego:

000EpgEcEm 000

Energía mecánica final Como ambos cuerpos se mueven a la misma velocidad v, la energía cinética del sistema será:

m1 m2

P2

h

h

m1< m2

P1

v

v

Epg=0

12

221

22

21F vmm

2

1vm

2

1vm

2

1Ec

La Epg del cuerpo 1 será positiva ya que se encuentra por encima del nivel cero, mientras que la del cuerpo 2 será negativa al encontrarse por debajo del nivel cero. Luego:

ghmmghmghmEpg 2121F

Por lo tanto:

ghmm

vmm2

1EpgEcEm

21

221FFF

Si aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica tendremos que:

ghmm

vmm2

10EmEm

21

221F0

ghmmvmm2

112

221

21

12

mm

ghmm2v

Al mismo resultado se hubiera llegado de haber elegido como nivel cero de Epg cualquier otra referencia.

--------------- 000 --------------- 19. Calcular la velocidad de un péndulo de 1 m de longitud cuando pasa por la vertical, si se suelta desde una desviación de 37º.

Cuando el péndulo cae desde una desviación hasta la vertical desciende una altura “h”, perdiendo Epg. En cambio, gana Ec al ir ganado velocidad. Como la única fuerza que actúa es el peso, fuerza conservativa, se

conservará la Em y lo que ocurre es que la pérdida de energía potencial se traduce en ganancia de energía cinética. Por lo tanto, podremos escribir que:

gh2vmv2

1mgh 2

Para calcular h tendremos en cuenta que:

m20,0º37cosm1m1

cosLLhL

hLcos

Luego, la velocidad al pasar por la vertical será:

12 ms97,1m2,0ms8,92gh2v

--------------- 000 ---------------

20. Un proyectil de 2 g sale del cañón de un fusil a 300 m/s: a) Calcular la energía cinética del proyectil a la salida del cañón. b) Si la fuerza que actúa sobre el proyectil mientras está en el cañón es F = 360 - 720 x, determinar la longitud del cañón.

a) J90ms300kg002,02

1mv

2

1Ec

212

b) Aplicaremos el teorema trabajo-energía cinética, es decir:

J90J0J90

EcEcEcWW 0FFTOTAL

Para calcular el trabajo que realiza la fuerza F, al ser esta variable, tendremos que utilizar la expresión, siendo L la longitud del cañón:

2

L

0

2

L

0

L

0

L0F

L360L3602

x720

x360dxx720360dxFW

Por lo tanto, tendremos:

m5,0LL360L36090 2

--------------- 000 ---------------

h h

L - h L

α

13

21. Un bloque de 0'5 kg de masa se encuentra en el extremo superior de un plano que está inclinado 45º respecto de la horizontal. En la parte inferior del plano existe un resorte de constante elástica k=400 N/m, inicialmente sin deformar. El bloque se encuentra a 3 m del extremo del resorte y está inicialmente en reposo. Al deslizar el bloque y entrar en contacto con el resorte lo comprime. Calcular la deformación máxima que sufre el resorte. La situación gráfica inicial sería:

La altura vertical h a la que se encuentra el cuerpo será:

m12,2º45senm3h

Debido a la fuerza peso del cuerpo este desciende por el plano ganando velocidad y, al final, al encontrarse con el muelle lo comprimirá, perdiendo velocidad, hasta que al final el cuerpo se para siendo en este caso la compresión del muelle máxima. La situación final sería:

donde x es la compresión máxima que experimenta el muelle. Si analizamos la situación desde el punto de vista trabajo-energía diremos que: sobre el cuerpo actúa inicialmente la fuerza peso y al entrar en contacto con el muelle la fuerza elástica, como ambas son fuerzas conservativas, se conservará la energía mecánica del sistema. Ahora bien, inicialmente sólo hay energía potencial gravitatoria debido a la situación del

cuerpo, suponiendo el nivel cero de Epg la base del plano. Al final sólo hay energía potencial elástica debido a la compresión del muelle. Al principio el cuerpo tiene Epg que, al descender se convierte en Ec y ésta se va convirtiendo en Epe al ir comprimiendo el muelle. Por lo tanto podremos poner que:

m22,0

Nm400

m12,2ms8,9kg5,02

k

mgh2x

kx2

1mghEpeEpg

1

2

2F0

--------------- 000 --------------- 22. Un niño de masa 40 kg se desliza hacia abajo por un tobogán inclinado 30º. El coeficiente de fricción cinética entre el niño y el tobogán es 0'2. Si el niño parte del reposo desde el punto más alto del tobogán, a una altura de 4 m sobre el suelo. ¿Qué velocidad tiene al llegar al suelo?. Las fuerzas que intervienen son las representadas en la figura, donde FT y FN son las componentes del peso.

El niño recorre una distancia x a lo largo del plano, distancia que valdrá:

m85,0

m4

º30sen

hx

x

hº30sen

En este caso, al existir fuerza de rozamiento, la Epg inicial no se transforma íntegramente en Ec al llegar al suelo ya que parte de la energía se pierde debido al rozamiento. Al existir una fuerza no conservativa, la Froz, no se mantendrá constante la Em, ahora bien, podremos poner que:

h=4 m

30º

x

FT

FN

N Froz

v

v0=0

v=0 45º

h

x

3 m

v0=0

45º

h

14

Em)F(W)F(W roznc

Ahora bien:

J12,543m8º30cosms8,9kg402,0

xcosmgº180cosxF)F(W

2

rozroz

Si consideramos como nivel cero de Epg la base del plano tendremos:

1568v20

48,940v402

1mghmv

2

1

EpgEcEmEmEm

2

22

0F0F

Por lo tanto:

1

2roz

ms15,720

12,5431568v

1568v2012,543Em)F(W

--------------- 000 --------------- 23. Un bloque que tiene una masa de 20 kg comienza a ascender, por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal con una velocidad de 12 m/s. Al regresar el cuerpo pasa por el punto de partida con una velocidad de 6 m/s. Calcula el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie del plano inclinado. Al existir fuerza de rozamiento no se mantendrá constante la Em sino que deberemos emplear la ecuación:

Em)F(W)F(W roznc

Vamos a aplicarla al movimiento de subida y al de bajada. Suponemos que el cuerpo finalmente está a una altura “h” con respecto al suelo después de haber recorrido una distancia “x” sobre el plano inclinado.

Movimiento de subida Se inicia con una velocidad v1 = 12 m/s para terminar parándose a una altura h, recorriendo una distancia x sobre el plano.

x74,169xº30cosms8,9kg20

xcosmgº180cosxF)F(W

2

rozroz

ya que tanto μ como x son desconocidos.

1440x98ms12kg202

1

º30senxms8,9kg20mv2

1mgh

EcEpgEmEmEm

21

221

0F0F

Por lo tanto:

1440x98x74,169Em)F(W roz

Ecuación con dos incógnitas que no podremos resolver sin otra ecuación que las relacione. Por eso vamos a analizar el movimiento de bajada. Movimiento de bajada Se inicia con velocidad cero a una altura h para terminar en el suelo con una velocidad v2 = 6 m/s.

x74,169xº30cosms8,9kg20

xcosmgº180cosxF)F(W

2

rozroz

x98360º30senx8,920

ms6202

1mghmv

2

1

EpgEcEmEmEm

2122

0F0F

x98360x74,169Em)F(W roz

Si comparamos las dos ecuaciones obtenidas en la subida y en la bajada tendremos que:

m18,9xx983601440x98

Y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos para el coeficiente de rozamiento el valor de μ = 0,34.

--------------- 000 ---------------

h

30º

x v1=12 m/s

v=0

v2=6 m/s

15

24. Un cuerpo de 20 kg se lanza por un plano inclinado 37º, con la velocidad de 20 m/s. Calcular la distancia que recorre hasta que se detiene: a) Si se desprecia el rozamiento. b) Considerando que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0'2. a) Si llamamos h a la altura vertical que sube y x a la distancia que recorre sobre el plano tendremos que:

º37senxhx

hº37sen

Si no hay rozamiento se cumple el principio de conservación de la energía mecánica, luego:

m91,33xº37senxms8,9kg20

ms20kg202

1EmEm

2

21F0

b) Al haber rozamiento tendremos que aplicar la ecuación:

Em)F(W)F(W roznc

x3,31xº37cosms8,9kg202,0

xcosmgº180cosxF)F(W

2

rozroz

4000x95,117ms20202

1

º37senx8,920mv2

1mgh

EcEpgEmEmEm

21

20

0F0F

Igualando las dos ecuaciones tendremos que:

m8,26x4000x95,117x3,31

Lógicamente una distancia menor que en el primer caso al existir ahora rozamiento.

--------------- 000 --------------- 25. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial v0. Si el aire ejerce una fuerza de rozamiento constante Fa sobre la pelota, demostrar que: a) la altura h alcanzada por la pelota es:

m

Fg2

vh

a

20

b) la velocidad con la que regresa al punto de partida es:

a

a0

Fmg

Fmgvv

a) Al existir fuerza de rozamiento tendremos que:

Em)F(W)F(W roznc

hF)F(W aroz

20

0F0F

mv2

1mgh

EcEpgEmEmEm

Por lo tanto:

a

202

0a

20a

20a

Fmg2

mvhmv

2

1Fmgh

mv2

1hFmghmv

2

1mghhF

Pasando la masa m del numerador al denominador tendremos:

m

Fg2

v

m

F

m

mg2

v

Fmgm

2

vh

a

20

a

20

a

20

b) Si aplicamos el mismo razonamiento al movimiento de descenso, tendremos que:

hF)F(W aroz

mghmv2

1

EpgEcEmEmEm

2

0F0F

m

Fmgh2

m

hFmgh2vmghmv

2

1hF

a

a2a

Si sustituimos h por la expresión obtenida en el apartado anterior y desarrollamos llegaremos a la ecuación pedida para v.

--------------- 000 ---------------

16

26. Desde una torre de 40 m de altura se dispara un proyectil de 1 kg, formando un ángulo de 37º con la horizontal, con una velocidad de 120 m/s. Calcular la velocidad del proyectil cuando llega al suelo, por consideraciones energéticas, despreciando el rozamiento con el aire. El ángulo de inclinación no importa ya que al aplicar término energéticos sólo nos interesa el módulo de la velocidad. Al no existir rozamiento se cumple el principio de conservación de la energía mecánica.

Si consideramos nivel cero de Epg al suelo tendremos que:

1

22120

20

2220

F00F0

ms22,123

m40ms8,92ms120gh2vv

ghv2

1v

2

1mv

2

1mghmv

2

1

EcEpgEcEmEm

--------------- 000 ---------------

27. Desde el punto A de la figura se suelta un cuerpo. Calcular la altura que alcanza en la rampa de 53º: a) si no hay rozamiento. b) si hay rozamiento en todo el recorrido, siendo 0'1 el coeficiente de rozamiento.

a) Si no hay rozamiento se conserva la energía mecánica y, por lo tanto, la altura que

alcanzará en la segunda rampa será también de 1 m. b) Al existir rozamiento la altura que alcanzará será menor de 1 m ya que parte de la energía inicial se pierde.

El cuerpo desciende una distancia x en el primer plano que valdrá:

m66,1xx

m1º37sen

Desliza 1 m por el plano horizontal y asciende una distancia y por el plano vertical que valdrá:

h25,1º53sen

hy

y

hº53sen

Para calcular el trabajo que realiza el rozamiento habrá que hacerlo por separado en cada una de las superficies. Es decir:

3roz2roz1rozroz )F(W)F(W)F(W)F(W

m3,1m66,1º37cosms8,9m1,0

xº37cosmg)F(W

2

1roz

m98,0m1ms8,9m1,0

m1mg)F(W

2

2roz

hm73,0h25,1º53cosms8,9m1,0

yº53cosmg)F(W

2

3roz

Luego:

)h73,028,2(m

hm73,0m98,0m3,1)F(W roz

La variación de energía mecánica desde la posición inicial a la final será:

1m

A

α=37º β=53º 1m

x

y h

1m

A

α=37º β=53º

1m

v0=120 m/s

v

h=40 m

17

)1h(m8,9

m8,9hm8,9m1ms8,9m

hms8,9mmghmgh

EpgEpgEmEmEm

2

20

0F0F

Igualando las dos ecuaciones tendremos:

m71,0h52,7h53,10

8,9h8,9h73,028,2

)1h(m8,9)h73,028,2(m

Lógicamente, alcanzará una altura inferior a 1 m, debido a la pérdida de energía por rozamiento.

--------------- 000 --------------- 28. Dejamos caer un cuerpo de 100 g sobre un muelle de K=400 N/m. La distancia entre el cuerpo y el muelle es de 5 m. Calcular la longitud x del muelle que se comprime. La situación antes y después sería:

Las fuerzas que intervienen, el peso y la fuerza elástica, son conservativas luego se conservará la Em. Es decir:

m15,0x09,4x98,0x200

x8,91,0x4002

1

58,91,0mgxkx2

1mgh

EpgEpeEpgEmEm

2

2

20

FF0F0

--------------- 000 --------------- 29. Un bloque de 8 kg desliza por una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de 10 m s

-1 e incide sobre el

extremo libre de un resorte, de masa despreciable y constante elástica k = 400 N m

-1 , colocado horizontalmente.

a) Analice las transformaciones de energía que tienen lugar desde un instante anterior al contacto del bloque con el resorte hasta que éste, tras comprimirse, recupera la longitud inicial. ¿Cómo se modificaría el balance energético anterior si existiera rozamiento entre el bloque y la superficie?. b) Calcule la compresión máxima del resorte y la velocidad del bloque en el instante de separarse del resorte, en el supuesto inicial de que no hay rozamiento.

La situación gráfica sería la siguiente:

a) Inicialmente, en la posición 1, el bloque posee una energía cinética debido a su velocidad, suponiendo el nivel cero de Epg en el suelo. Al chocar con el muelle va perdiendo Ec pero el sistema va ganando Epe al ir comprimiéndose el muelle. Cuando el cuerpo pierde toda su Ec, posición 2, el muelle alcanza su máxima compresión, x, y , por lo tanto, su máxima Epe que al no existir rozamiento será igual a la Ec inicial del cuerpo antes de chocar con el muelle. Es decir, de la posición 1 a la 2 lo que ocurre es una transformación íntegra de Ec en Epe ya que la única fuerza que interviene, la fuerza elástica, es conservativa y la Em del sistema debe conservarse. De la posición 2 a la 3 ocurre el proceso inverso. La Epe se convertirá íntegramente en Ec cuando el cuerpo abandone el contacto con el muelle. Por lo tanto, la velocidad del cuerpo al abandonar el muelle será de 10 m/s igual a la inicial ya que no ha habido pérdidas de energía. Caso de existir rozamiento, parte de la Ec inicial se perderá por rozamiento de tal manera que la compresión x del muelle será menor a la anterior y ya no se cumplirá que la Ec inicial

v=0

x

v0=10 m/s

v

2

3

1

5m

x

Nivel 0 de Epg

18

sea igual a la Epe del muelle en su máxima compresión. En el siguiente proceso, de 2 a 3, ocurrirá también una pérdida de energía por rozamiento y, por lo tanto, la Epe no se convertirá íntegramente en Ec. Consecuencia de los dos procesos en que la Ec final del bloque será inferior a la Ec inicial, por lo tanto, el bloque abandonará el muelle con una velocidad inferior a 10 m/s. b) Al no existir rozamiento se conservará la energía mecánica. Si aplicamos esta condición desde la posición 1 a la 2 podremos calcular l máxima compresión del muelle:

m41,1

Nm400

ms10kg8

k

mvx

kxmvkx2

1mv

2

1

EpeEcEmEm

1

2120

220

220

F0F0

La velocidad final del bloque será de 10 m/s tal y como se ha razonado en el apartado anterior.

--------------- 000 --------------- 30. Un cuerpo de 0'5 kg se encuentra inicialmente en reposo a una altura de 1 m por encima del extremo libre de un resorte vertical, cuyo extremo inferior está fijo. Se deja caer el cuerpo sobre el resorte y, después de comprimirlo, vuelve a subir. El resorte tiene una masa despreciable y una constante elástica k = 200 N m

-1.

a) Haga un análisis energético del problema y justifique si el cuerpo llegará de nuevo al punto de partida. b) Calcule la máxima compresión que experimenta el resorte. g = 10 m s

-2.

La situación gráfica sería la siguiente:

Si suponemos como nivel cero de Epg la posición del cuerpo cuando el muelle está en su máxima compresión el análisis energético será el siguiente. Si no existe fuerza de rozamiento, las únicas fuerzas que actúan sobre el sistema son la fuerza peso y la fuerza elástica, ambas conservativas, por lo tanto, se conservará la energía mecánica del sistema. Inicialmente, el sistema tiene sólo Epg debido a la altura, 1m + x, del cuerpo sobre el nivel cero. Al caer esta Epg0 se va convirtiendo paulatinamente en Ec. Al chocar el cuerpo con el muelle va perdiendo Ec y va ganado Epe. Cuando el muelle esté en su máxima compresión la Epg0 se habrá convertido totalmente en Epe ya que en este momento el cuerpo no tiene Ec (está parado) ni Epg (está en el nivel cero). Desde está posición ocurrirá el fenómeno contrario, la Epe se irá convirtiendo primero en Epg y Ec y después la Ec se irá convirtiendo en Epg. Al no existir rozamiento no hay pérdidas de energía y, por lo tanto, el cuerpo alcanzará la altura inicial de 1 m. b) Si aplicamos la conservación de la Em desde la posición inicial hasta la máxima compresión del muelle tendremos que:

m25,0x05x5x100

x100x15x2002

1x1105,0

kx2

1x1mg

EpeEpgEmEm

2

22

2

F0F0

--------------- 000 ---------------

31. Una fuerza conservativa actúa sobre una partícula y la desplaza, desde un punto x1 hasta otro punto x2, realizando un trabajo de 50 J. a) Determine la variación de la energía potencial de la partícula en ese desplazamiento. Si la energía potencial es cero en x1, ¿cuánto valdrá en x2?. b) Si la partícula, de 5 g, se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza, partiendo del reposo en x1, ¿cuál será la velocidad en x2?; ¿cuál será la variación de su energía mecánica?.

1m

x

Nivel 0 de Epg

h

19

a) Si la fuerza es conservativa podremos poner que:

J50EpJ50Ep)F(W cons

J500J50)x(EpJ50)x(Ep

J50)x(Ep)x(EpEp

12

12

b) Si sólo existe la fuerza conservativa esta será también la fuerza resultante, por lo tanto, aplicando el teorema trabajo-energía cinética podremos poner que:

Ec)F(W)F(W consR

Como en x1 está en reposo su Ec1=0, luego:

J50EcEcEcEc)F(W 212cons

Y la velocidad en x2 será:

122 ms42,141

kg005,0

J502

m

Ec2v

Al actuar sólo la fuerza conservativa su energía mecánica permanecerá constante, luego la variación de Em será nula.

--------------- 000 --------------- 32. Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m s

-1 por una superficie

horizontal lisa hacia el extremo libre de un resorte horizontal, de constante elástica 200 N m

-1, fijo por el otro extremo.

a) Analice las variaciones de energía que tienen lugar a partir de un instante anterior al impacto con el resorte y calcule la máxima compresión del resorte. b) Discute en términos energéticos las modificaciones relativas al apartado a) si la superficie horizontal tuviera rozamiento.

a) Inicialmente, en la posición 1, el bloque posee una energía cinética debido a su velocidad, suponiendo el nivel cero de Epg en el suelo. Al chocar con el muelle va perdiendo Ec pero el sistema va ganando Epe al ir comprimiéndose el muelle. Cuando el cuerpo pierde toda su Ec, posición 2, el muelle alcanza su máxima compresión, x, y , por lo tanto, su máxima Epe que al no existir rozamiento será

igual a la Ec inicial del cuerpo antes de chocar con el muelle. Es decir, de la posición 1 a la 2 lo que ocurre es una transformación íntegra de Ec en Epe ya que la única fuerza que interviene, la fuerza elástica, es conservativa y la Em del sistema debe conservarse.

m7,6

Nm200

ms30kg10

k

mvx

kxmvkx2

1mv

2

1

EpeEcEmEm

1

2120

220

220

F0F0

b) Si existiera rozamiento parte de la Ec inicial se perdería guante la compresión del muelle y, por lo tanto, la Epe final será inferior a la Ec inicial lo que implica que la compresión del muelle sería menor que en el caso anterior.

--------------- 000 --------------- 33. Un bloque de 3 kg cuelga verticalmente de un muelle cuya constante elástica es 600 N/m. a) ¿Cuál es el alargamiento del muelle cuando el bloque está en equilibrio?. b) ¿Cuánta energía potencial se almacena en el sistema muelle-bloque?. a) Según la ley de Hook:

m049,0

Nm600

ms8,9kg3

k

mg

k

FxxkF

1

2

b) El sistema almacena energía potencial elástica:

J72,0m049,0Nm6002

1kx

2

1Epe

212

--------------- 000 ---------------

v=0

x

v0=30 m/s

2

1

20

34. Se empuja un bloque de 2 kg contra un muelle cuya constante elástica es de 500 N/m, comprimiéndolo 20 cm. Luego se suelta, y el muelle proyecta al bloque por una superficie horizontal sin rozamiento y por un plano inclinado de 45º sin rozamiento. ¿Qué distancia llega a recorrer subiendo por el plano inclinado?. La situación gráfica sería:

Si no existe rozamiento, como las únicas fuerzas que actúan, la fuerza elástica y el peso, son conservativas la Em se conservará a lo largo del desplazamiento del cuerpo. Inicialmente, posición 1, el sistema tiene Epe, al actuar el muelle esa Epe se va convirtiendo íntegramente en Ec, situación 2. Al comenzar a subir el plano la Ec se va convirtiendo en Epg. Cuando el cuerpo se pare finalmente, a una altura h recorriendo sobre el plano una distancia L, la Ec se habrá convertido íntegramente en Epg. Por lo tanto, en conjunto la Epe inicial se convertirá íntegramente en Epg al final, luego:

m51,0

ms8,9kg22

m2,0Nm500

mg2

kxh

mghkx2

1EpgEpe

2

212

2F0

m72,0º45sen

m51,0

sen

hL

L

hsen

--------------- 000 ---------------

35. Una fuerza horizontal de 25 N se aplica a una caja de 4 kg, inicialmente en reposo sobre una mesa rugosa horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la mesa es 0'35. Determinar la velocidad de la caja después de haber sido empujada a lo largo de una distancia de 3 m.

Aplicamos la ecuación Ec)F(W R . Las

fuerzas que intervienen son la F=25 N y la de rozamiento cuyo valor es:

N72,13ms8,9kg435,0mgF 2roz

N28,11N72,13N25FFF rozR

J84,33m3N28,11º0cosrF)F(W RR

Como la caja está inicialmente en reposo su Ec0=0, por lo tanto:

1FF

FR

ms11,4kg4

J84,332

m

Ec2v

J84,33EcEc)F(W

--------------- 000 --------------- 36. Un bloque de 4 kg cuelga de una cuerda ligera que pasa por una polea y por el otro extremo está atada a un bloque de 6 kg que descansa sobre una mesa rugosa. El coeficiente de fricción cinética es 0'2. El bloque de 6 kg se empuja contra un muelle cuya constante elástica es 600 N/m, comprimiéndolo 30 cm. En estas condiciones se deja el bloque en libertad. Determinar la velocidad que tienen los bloques cuando el bloque de 4 kg ha caído una distancia de 40 cm. El sistema está inicialmente en reposo, al liberar el muelle la masa 2 desciende en vertical 40 cm y, por lo tanto, la masa 1 se desplaza horizontalmente también 40 cm quedando el muelle en su posición de equilibrio y adquiriendo las dos masas una velocidad v, la misma para las dos ya que están unidas por una cuerda. Suponemos que la masa 2 está inicialmente a una altura “a” de la superficie horizontal. Asimismo vamos a considerar como nivel cero

v=0

x=20 cm

v

2

1

α=45º

α=45º

v

α=45º 3

h L

21

de Epg la posición de la masa 2 al final de la caída. Ver figura.

Las fuerzas que actúan son: los pesos de ambos cuerpos, la fuerza elástica del muelle y la fuerza de rozamiento. Al existir una fuerza no conservativa la Em no permanecerá constante debiéndose utilizar la ecuación

Em)F(W consno . La fuerza de rozamiento

aparece sólo en el desplazamiento de 40 cm de la masa 1. Vamos a evaluar el trabajo que realiza el rozamiento y la variación de energía mecánica del sistema.

Trabajo del rozamiento

J7,41m4,0ms8,9kg62,0

º180cosrgmº180cosrF)F(W

2

1rozroz

Energía mecánica inicial Al estar en reposo las dos masas no tendrán Ec. Al estar comprimido el muelle habrá Epe. Teniendo en cuenta el nivel cero de Epg elegido tanto la masa 1 como la 2 tendrán Epg. Por lo tanto:

ghmahgm

kx2

1)2(Epg)1(EpgEpeEm

21

2000

Energía mecánica final Los cuerpos están ahora en movimiento luego tendrán Ec. El muelle está en su posición de equilibrio luego no habrá Epe. La masa 1 tendrá Epg pero la 2 no ya que se encuentra en el nivel cero elegido. Por lo tanto:

ahgmvmm2

1Em 1

221F

Por lo tanto:

ghmkx2

1

vmm2

1ghmahgmkx

2

1

ahgmvmm2

1EmEmEm

22

22121

2

12

210F

Si sustituimos los valores numéricos nos quedará que:

68,42v5Em 2

Por lo tanto:

1

2consno

ms75,25

7,468,42v

68,42v57,4Em)F(W

--------------- 000 ---------------

37. Se lanza una pequeña pelota de 15 g mediante una pistola de juguete que posee un muelle cuya constante es de 600 N/m. El muelle puede comprimirse hasta 5 cm. ¿Qué altura puede alcanzar la pelota si se apunta verticalmente?. Sol:5'05 m. Si suponemos que no existe rozamiento se conservará la energía mecánica, por lo tanto la Epe al inicio se convertirá en Epg, luego:

m1,5

ms8,9kg015,02

m05,0Nm600

mg2

kxhmghkx

2

1EpgEpe

2

21

22

--------------- 000 ---------------

v=0 x=30cm

v

P.E. del muelle

v

h=40 cm

a

m2=4 kg

m1=6 kg

Nivel cero de Epg

22

38. Se conectan dos bloques por medio de una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea sin rozamiento. El bloque m1 = 0,5 kg está apoyado sobre una superficie horizontal y unido a un resorte cuya constante elástica vale k = 50 N/m. Si el sistema se libera a partir del reposo cuando el resorte no está estirado y m2 = 0,3 kg cae una distancia h = 0,05 m antes de quedar en reposo, calcula el coeficiente de rozamiento entre m1 y la superficie. La situación gráfica sería:

Haciendo un análisis similar al del ejercicio anterior tendremos que:

Trabajo del rozamiento

245,01m05,0ms8,9kg5,0

º180cosrgmº180cosrF)F(W

2

1rozroz

Energía mecánica inicial Al estar en reposo las dos masas no tendrán Ec. Al estar el muelle en su posición de equilibrio no habrá Epe. Teniendo en cuenta el nivel cero de Epg elegido tanto la masa 1 como la 2 tendrán Epg. Por lo tanto:

ghmahgmEm 210

Energía mecánica final

Los cuerpos están al final también en reposo luego no tendrán Ec. El muelle está estirado una distancia de 0,05 m luego habrá Epe. La masa 1 tendrá Epg pero la 2 no ya que se encuentra en el nivel cero elegido. Por lo tanto:

ahgmkx2

1Em 1

2F

Por lo tanto:

J0845,0ghmkx2

1ghmahgm

ahgmkx2

1EmEmEm

22

21

12

0F

Luego:

34,0245,0

0845,0

0845,0245,0Em)F(W consno

--------------- 000 ---------------

v=0

x=0,05 m

P.E. del muelle

h=0,05 m

a

m2=0,3 kg

m1=0,5 kg

Nivel cero de Epg v=0