F­sica Geral I - F 128 Aula 8: Energia Potencial e ... Energia Potencial A energia potencial U

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  • Fsica Geral I - F 128

    Aula 8: Energia Potencial e Conservao de Energia

  • Q1: Trabalho e fora

    F128 1o Semestre de 2012 2

    A. Verdadeiro B. Falso

    Analise a seguinte afirmao sobre um corpo, que partindo do repouso, move-se de acordo com a fora mostrada abaixo:

    A velocidade deste corpo negativa em x = 3 m

  • Relembrando

    F128 1o Semestre de 2012 3

    Energia um conceito que vai alm da mecnica de Newton e permanece til tambm na mecnica quntica, relatividade, eletromagnetismo, etc.

    O trabalho da fora resultante que atua sobre uma partcula entre as posies x1 e x2 igual variao da energia cintica

    da partcula entre estas posies.

    Energia Cintica: 221 vmK=

    A conservao da energia total de um sistema isolado uma lei fundamental da natureza.

  • Energia Potencial

    A energia potencial U uma forma de energia que pode ser associada com a configurao (ou arranjo) de um sistema de objetos, que exercem foras uns sobre os outros. Se a configurao muda, a energia potencial tambm pode mudar.

    Vamos comear discutindo o caso unidimensional. Depois generalizaremos para mais dimenses. Dois tipos de energia potencial com os quais estaremos lidando so a energia potencial gravitacional e a energia potencial elstica.

    F128 1o Semestre de 2012 4

  • Energia Potencial em 1D Variao de energia potencial (caso unidimensional):

    ( ) ( ) ( )0

    0 0 ( )x

    x

    U x x U x U x W F x dx = = = usual tomar x0 como uma configurao de referncia fixa. Assim, a energia potencial da partcula na configurao x :

    Notem que preciso que a fora seja uma funo apenas da posio (configurao). No se pode definir U(x) em outros casos (a fora de arraste dependente da velocidade, por exemplo): ver mais detalhes adiante.

    Do ponto de vista fsico, apenas as variaes de energia potencial so relevantes. Ento, pode-se sempre atribuir o valor zero configurao de referncia: ( )0 0U x =

    dUFdx

    = =x

    x

    dxxFxUxU0

    )()()( 0

    F128 1o Semestre de 2012 5

  • Conservao da Energia Mecnica

    F128 1o Semestre de 2012 6

    Do teorema do trabalho-energia cintica para uma fora que s depende da posio:

    W K=

    ( ) ( ) 2 21 12 2i f f iU x U x mv mv =

    ( ) ( )2 21 12 2i i f fmv U x mv U x+ = +

    ( )21 constante2

    E mv U x= + =

    ( ) WxUxU if =)(Como

    ( a energia mecnica total no varia).

  • Energia Potencial Gravitacional (campo uniforme)

    7

    0

    ( ) 0 ( )y

    U y mg dy mgy= =

    21 constante2

    E mv mgy= + =

    Nas proximidades da Terra a fora gravitacional pode ser aproximada por . gm!

    Tomando como referncia para U o ponto y = 0 (U(0)=0):

    mgyyU =)(

    Conservao da energia:

    F128 1o Semestre de 2012

  • Energia Potencial Gravitacional (campo uniforme)

    F128 1o Semestre de 2012 8

    No limiar: N = 0 2

    2vmg m v grr

    = =

    Por conservao de energia mecnica:

    Exemplo: Qual a mnima altura h para que o corpo deslizando complete o loop?

    mgrmgrrmg

    vmrmgmghE

    25

    212

    212 2min

    =+

    =+==

    rh 5,2min=

    N!gm!

    hr

    m

  • Energia Potencial Elstica

    F128 1o Semestre de 2012 9

    Configurao de referncia: x0= 0 2

    0

    1( ) 0 ( )2

    x

    U x k xdx kx = =2 21 1 constante

    2 2E mv kx= + =

    2max max

    1 e 02

    v v x E mv= = =

    210 e 2

    v x A E kA= = =

    2max max

    1 e 02

    v v x E mv= = =

    210 e 2

    v x A E kA= = =

    210 e 2

    v x A E kA= = =

  • Energia Potencial em mais de uma dimenso

    F128 1o Semestre de 2012 10

    Como no caso unidimensional, s possvel definir a energia potencial para foras conservativas. Uma fora dita conservativa se o trabalho que ela realiza sobre um corpo que se desloca entre dois pontos no depende da trajetria seguida pelo corpo, mas apenas das posies inicial e final. Equivalentemente, uma fora conservativa se o trabalho que ela realiza sobre um corpo que descreve um percurso fechado zero.

    Com tcnicas de clculo mais avanadas, possvel estabelecer um critrio matemtico simples para determinar se uma fora conservativa.

    Exemplos de foras conservativas: 1. fora gravitacional 2. fora elstica 3. qualquer fora unidimensional que s dependa da posio: F(x)

  • Foras Conservativas

    F128 1o Semestre de 2012 11

    Trabalho realizado pela fora gravitacional ao longo do circuito fechado indicado:

    0 0A B CW W W mgd mgLsen+ + = + + =

    d

    L

    A

    B

    C

    CBA

  • Foras No-Conservativas

    F128 1o Semestre de 2012 12

    Foras no-conservativas: seu trabalho depende da trajetria. Exemplos: fora de atrito e fora de arraste.

    Nesse caso, no possvel definir uma energia potencial porque o trabalho da fora de atrito depende da trajetria descrita pelo corpo.

    === C

    BAatratratr LfsdfBAW!!)(

    nciacircunfersemi2/

    reta

    dgm

    dgm

    c

    c

    =

  • Energia Potencial em mais de uma dimenso

    F128 1o Semestre de 2012 13

    Generalizando, sempre se pode associar uma energia potencial a uma fora conservativa:

    Se s h foras conservativas, ento a energia mecnica total (potencial + cintica) conservada:

    constanteE K U= + =

    ==r

    r

    rdFrrWrUrU!

    !

    !!!!!!

    0

    )()()( 00

    Note que no preciso dizer qual trajetria tomar entre e , pois nesse caso o trabalho independe da trajetria.

    0r!r!

  • Energia mecnica na presena de foras no-conservativas

    F128 1o Semestre de 2012 14

    no cons consno cons mec

    cons

    W W W KW K U E

    W U

    = + = = + = =

    0 0atrito atrito mecW f L E=