FISICA I

Harold Armando Calvache M.

Febrero - 2 - 2009

Indice general

1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 6

1.1. MAGNITUDES FISICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1. Magnitudes Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2. Magnitudes Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. NOTACION CIENTIFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. CIFRAS SIGNIFICATIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. CONVERSION DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. VECTORES 14

2.1. VECTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. PROPIEDADES DE VECTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Igualdad de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2. Adicion de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3. El negativo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4. Sustraccion de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.5. Producto de un Escalar por un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1. Suma de vectores por componentes rectangulares . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. VECTORES EN TRES DIMENSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION 22

3.1. EL MOVIMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.1. Desplazamiento y distancia recorrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.2. Velocidad y rapidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.3. Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME M.U. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3. MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO M.U.A. . . . . . . . . . . . 27

1

3.3.1. Ecuaciones cinematicas derivadas del Calculo. . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4. CAIDA LIBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. MOVIMIENTO DE PROYECTILES 34

4.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Altura Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4. Angulo de Alcance Maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 40

5.1. CONCEPTOS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME . . . . . . . . . 40

5.1.1. Frecuencia (f): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.2. Periodo (T): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.3. Velocidad lineal (v): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.4. Velocidad angular (w): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2. Relacion entre la velocidad lineal y la velocidad tangencial . . . . . . . . . . . . . 41

5.3. Aceleracion centrpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.4. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6. DINAMICA 46

6.1. FUERZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2. TIPOS DE FUERZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3. PRIMERA LEY DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4. SEGUNDA LEY DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.5. TERCERA LEY DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7. TRABAJO Y ENERGIA 57

7.1. TRABAJO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.1. Trabajo realizado por fuerzas variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2. ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.2.1. Energa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.2.2. Energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.3. POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.4. CONSERVACION DE LA ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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Presentacion

El presente modulo ha sido disenado como respuesta a una propuesta de la Fundacion Catolica

Lumen Gentium, que busca fortalecer los procesos educativos y el mejoramiento del desempeno

de sus estudiantes. Hace parte de un conjunto de modulos que se han disenado con el objetivo de

brindar apoyo y gua para el desarrollo de las distintas asignaturas que ofrece el departamento

de ciencias basicas.

El proposito del modulo es basicamente el de acompanar y ensenar al estudiante de nuestra

Universidad en el aprendizaje de los conceptos fundamentales de la fsica.

El modulo de Fsica I desarrolla, ordenada y sistematicamente, los principios fundamentales de la

Fsica, permitiendo obtener una secuencia logica y progresiva en la aprehension del conocimien-

to. En cada captulo se exponen los conceptos, las leyes, los principios y los modelos que se

utilizan en esta rama de la ciencia, acompanados de ejercicios resueltos que permiten asimilar

conceptos anteriormente expuestos, conceptos que posteriormente cada estudiante podra ejerci-

tar en la seccion de ejercicios propuestos.

Los docentes y estudiantes que asuman este modulo como gua para desarrollar el curso de

Fsica I, pueden complementar esta propuesta con otras actividades y con otro tipo de ejerci-

cios y talleres segun el enfoque que tenga el lector para enriquecer su trabajo.

Debo agradecer los comentarios positivos y las valiosas observaciones que recib por parte de

muchos lectores de esta edicion.

Esta edicion se publica bajo el auspicio del Departamento de Ciencias Basicas de la Univer-

sidad Catolica Lumen Gentium, sede de Cali, institucion a la que le expreso mi gratitud y

reconocimiento.

Los interesados estan invitados a entrar en contacto con el autor, escribiendo a la direccion

haroldprofe27@gmail.com, para expresar comentarios, plantear preguntas o inquietudes y com-

partir sus experiencias en el campo de las ciencias.

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COMO ESTUDIAR?

Con frecuencia preguntan a los docentes: Como debo estudiar fsica y prepararme para los

examenes?.

No hay una respuesta simple a esta pregunta, pero podemos ofrecer algunas sugerencias de

acuerdo con nuestra experiencia en el aprendizaje y ensenanza a traves de los anos.

Ante todo, mantenga una actitud positiva hacia el tema de estudio, teniendo en mente que

la fsica es la mas esencial de todas las ciencias naturales. Otros cursos de ciencia que siguen

usaran los mismos principios fsicos, de modo que es importante que entienda y sea capaz de

aplicar los diversos conceptos y teoras explicadas en el texto.

Conceptualizar muy bien

Toda unidad o captulo del modulo tiene unos conceptos fundamentales que usted debe esta en

condiciones de comprender para poder aplicarlos. Hagase una lista de ellos y asegurese de que

los ha aprendido claramente.

Es esencial que entienda los conceptos y principios basicos antes de intentar resolver los prob-

lemas asignados. Esta meta la puede lograr al leer con cuidado el texto antes de asistir a su

clase acerca del material cubierto. Tenga un texto para consultas adicionales, en ocasiones los

apuntes de clase no son suficientes.

Cuando lea el texto, debe anotar aquellos puntos que no sean claros. Lleve luego sus dudas a

la clase siguiente o a la hora de asesora. Tambien haga un intento diligente por responder las

Preguntas rapidas, conforme las encuentra en su lectura.

Hagase usted mismo preguntas Que diferencia hay entre velocidad y rapidez? Estudie cuida-

dosamente las preguntas Que pasara si? En el modulo aparecen en muchos ejercicios resueltos,

analcelos. Ellas le ayudaran a extender su comprension mas alla del simple acto de llegar a un

resultado numerico.

Hacer problemas no es aplicar formulas, en la solucion de estos hay procesos de comprension,

analisis, comparacion, contraste y toma de decisiones.

La asistencia, atencion en clase y la participacion

Durante la clase, tome notas y pregunte acerca de aquellas ideas que no le sean claras. Tenga

en mente que pocas personas son capaces de absorber todo el significado del material cientfi-

co despues de solo una lectura; pueden ser necesarias muchas lecturas del texto y sus notas.

Pregunte sin temor cuando usted tiene una duda es casi seguro que por lo menos seis personas

tambien la tienen. Sus clases y trabajo de laboratorio complementan la lectura del libro y deben

clarificar algo del material mas difcil.

Debe minimizar su memorizacion del material. La memorizacion exitosa de pasajes del texto,

ecuaciones y derivaciones no necesariamente indican que comprende el material. La comprension

del material mejorara mediante la combinacion de habitos eficientes de estudio, discusiones con

otros estudiantes y con instructores, y su habilidad para resolver los problemas que se presentan

en el libro. Pregunte siempre que crea que es necesario aclarar un concepto.

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Orden y Organizacion

Es importante que configure una agenda de estudio regular, de preferencia que sea diaria. Ver-

ifique que lee el programa de estudio del curso y que este coincide con el calendario establecido

por el profesor. Las clases tendran mucho mas sentido si lee el texto correspondiente antes

de asistir a ellas. Como regla general, debe dedicar aproximadamente dos horas de tiempo de

estudio por cada hora que este en clase. Si tiene problemas con el curso, busque el consejo del

orientador u otros estudiantes que hayan tomado el curso. Puede ser necesario buscar mas apoyo

de estudiantes experimentados. Aproveche las horas asignadas por los docentes para asesora,

ademas de los periodos de clase regulares. Evite la practica de demorar el estudio hasta un da

o dos antes de un examen. Por lo general, este enfoque tiene resultados desastrosos. En lugar

de emprender una sesion de estudio de toda la noche antes del examen, repase brevemente los

conceptos y ecuaciones basicos, y luego tenga una buena noche de descanso.

Lic. German Gamba Lopez

NO BASTA ADQUIRIR LA CIENCIA: ES NECESARIO TAMBIEN USARLA.

Ciceron

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Captulo 1CONCEPTOS FUNDAMENTALES

La primera pregunta que nos formulamos al iniciar el estudio de la fsica es precisamente.

Que es fsica y que estudiamos en fsica?.

Tenemos conciencia del mundo que nos rodea por las interacciones de la materia y la energa

sobre nuestros sentidos, pero generalmente no pensamos en conocer las causas que originan mu-

chos fenomenos. Como estudiantes de fsica debemos empezar a inquietarnos y cuestionarnos

sobre los fenomenos que observamos y darles una adecuada interpretacion.

La Fsica

La fsica es una ciencia fundamental relacionada con la comprension de los fenomenos naturales

que ocurren en nuestro universo. El principal objetivo de la fsica es utilizar el limitado numero

de leyes que gobiernan los fenomenos naturales para desarrollar teoras que puedan predecir

los resultados de futuros experimentos. Hasta Arqumedes que fue el primer experimentador

de que se tiene noticia, la fsica fue entre los griegos una ciencia meramente especulativa como

parte de la filosofa y as se aprecia en Aristoteles, autor del primer libro sobre la materia.

Despues de Arqumedes los procesos se suceden aunque aisladamente y sin llegar a formar un

cuerpo de doctrinas; hasta Galileo que hecho los cimientos de la mecanica clasica, la fsica no

se pudo convertir en una ciencia verdaderamente experimental; y con Newton nace la fsica

matematica. A partir del siglo XV III esta ciencia se enriquece con investigaciones que dan

paso a realidades como la mecanica del vapor la electricidad y el globo aerostatico; Durante el

siglo XIX se enuncian los principios de la conservacion de la energa, se inventa el telefono,

el telegrafo y el fonografo y se descubren leyes del analisis espectral, los electrones las ondas

horizontales y las rayos Roentgen.

En el siglo XX, ademas de inventos como la radiotelefona y la television y los procesos de la

mecanica aplicados a la industria y el transporte, caracterizan a la fsica la teora de la Cuanti-

ca de Plank, de la relatividad de EINSTEIN y la de los descubrimientos relacionados con la

estructura del atomo y su energa que senalan, segun opiniones autorizadas, el comienzo de la

nueva era.

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En la naturaleza se encuentran variadas situaciones complejas y el proposito del estudio de

la fsica es el descubrimiento de las reglas que la rigen; si entendemos estas reglas entonces

entenderemos la naturaleza.

Ejercicio:

Investigue mnimo 5 ejemplos de fenomenos fsicos.Ilustre cada caso con explicacion.

FISICA

Fsica Clasica

Mecanica

Hidrodinamica

Acustica

Optica

Electromagnetismo

Fsica Moderna

Atomica

Nuclear

La Fsica y otras ciencias

Los constituyentes de cada ciencia, interactuan entre ellos, por lo tanto la fsica, por su definicion

misma, es parte esencial de todas las ciencias.

En Qumica, se estudian las interacciones de los atomos y de sus posibles combinaciones (las

moleculas); en Biologa, las interacciones de las celulas y de algunas de sus conjuntos (los

organos); en Astronoma, las interacciones de los constituyentes de la tierra. Tenemos que

especificar que cuando solo se estudian las interacciones, estas ciencias se denominan: FISICO-

QUIMICA, BIOFISICA, ASTROFISICA Y GEOFISICA.

Tambien mencionamos que la ciencia de la Ingeniera tiene por objeto fundamental las aplica-

ciones practicas de todas las leyes de la vida humana.

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1.1. MAGNITUDES FISICAS

La medicion es indispensable en la descripcion de un sistema fsico; esta permite establecer

relaciones cuantitativas entre las diversas variables que intervienen en el comportamiento del

sistema. Aquellas propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenomenos naturales y que

son susceptibles de ser medidas reciben el nombre de Magnitudes fsicas

1.1.1. Magnitudes Fundamentales

Son magnitudes que no pueden definirse con respecto a las otras magnitudes y con las cuales toda

la fsica puede ser descrita. En mecanica las tres magnitudes fundamentales son: Longitud (L),

Masa (M), y Tiempo(T ). Estas magnitudes fundamentales pueden ser expresadas en diferentes

sistemas de medida como lo indica la siguiente tabla.

MKS CGS Ingles

Longitud metro (m) centmetro (cm) pie (ft)

Masa Kilogramo (kg) gramo (g) libra (lb)

Tiempo segundo (s) segundo (s) segundo (s)

Tabla 1: Sistemas de medida

Por ejemplo, en el sistema MKS :

Las unidades de longitud se expresan en metros m

Las unidades de masa se expresan, kilogramos kg

Las unidades de tiempo se expresan segundos s

1.1.2. Magnitudes Derivadas

Las magnitudes derivadas son magnitudes que se obtienen a partir de la relaccion de magnitudes

fundamentales, por medio de ecuaciones matematicas. Por ejemplo: la velocidad, aceleracion,

volumen, superficie, densidad,...

Ejemplo:

Las unidades de la aceleracion (a) se definen como: a =L

T 2

Es decir, en el sistema CGS, la aceleracion estara dada en a =L

T 2=

cm

s2

Analisis dimensional

Se dice que: x = v.t (distancia = velocidad tiempo)Tenemos que: v = L/T y t = T

Como x = v.t, x esta dada en: x = (L/T ) L = LLo cual es correcto por que la distancia es una longitud (L).

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1.2. NOTACION CIENTIFICA

Como resultados de los calculos matematicos, aparecen magnitudes fsicas que toman val-

ores muy grandes o por el contrario muy pequenas, (Periodo de un electron en su orbita

0,000000000000001 seg) en muchos casos es conveniente y muy util expresar estos numeros

como potencia de 10.

Ejemplos:

5348 m = 5, 348 103 m1 km = 1000 m = 1 103 m534.800.000 s = 5, 348 108 s1 mm = 0,001 m = 103 m

0, 5348 ft = 5, 348 101 ft0, 0005348 m/s = 5, 348 104 m/s

Cuando operamos cantidades en notacion cientfica, en muchas ocaciones nos encontramos con

la necesidad de operar (+,,,) potencias de 10. Recordemos algunas propiedades de lapotenciacion que facilitan la multiplicacion y la division de las potencias de 10.

102 103 = 102+3 = 105102 105 = 102+(5) = 103104 102 = 1042 = 102104

102= 104(2) = 106

Ejercicios

Haciendo uso de la conversion de cantidades a notacion cientfica y las opreciones con potencias

de 10, desarrolla los siguientes ejercicios:

1. 3560000m 0, 000025m

2.67000cm 50000cm

450000cm/s

3. 350m 0, 005m 0, 00006m

4.0, 00025ft 520000ft/s

0, 00000004ft/s2

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1.3. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Cuando ciertas cantidades son medidas sus valores se conocen solo hasta los lmites de la incer-

tidumbre experimental. El valor de esta depende de varios factores, como la calidad del aparato,

la habilidad del experimentador y el numero de mediciones efectuadas.

El numero de cifras significativas de una medida es el numero de dgitos seguros mas el ultimo

dgito dudoso. Las cifras significativas son muy utiles a la hora de trabajar con datos experi-

mentales.

Suponga que una viga mide 3.45 m. Cuales son los dgitos seguros?. Cuales son los dgitos

dudosos?. Cual es el numero de cifras significativas?

Los dgitos seguros son el 3 y el 4. El dgito dudoso es el 5. El numero de cifras significativas es 3.

Sobre los cambios de unidades!!

Si se encuentra que la distancia entre dos pueblos es de 367.3 Km, entonces se tienen 4 cifras

significativas. Si esta distancia se la representa como 367300 m, entonces se tienen 6 cifras

significativas. Aparentemente, el cambio de unidades podra lograr una mayor precision, pero

en realidad no es as. Expresando el anterior numero en notacion de potencias de 10 tenemos

que 377300 m = 3, 773 102 km = 3, 773 105mGracias a la notacion en potencias de 10 puede verificarse el numero correcto de cifras signi-

ficativas. En este caso las cifras significativas son solamente 4.

Para la suma o diferencia de datos experimentales debe hacerse una consideracion especial:

Ejemplo: 2,57 m + 23,6 m = 2,5 m + 23,6 m = 26,1 m

En este ejemplo, se realiza la eliminacion del ultimo dgito de 2.57 para evitar que este se sume

a un dgito desconocido y no existente con 23.6.

Para el producto y el cociente es conveniente escribir los factores usando la notacion en poten-

cias de 10.

Ejemplo: (491,6 m)(12,1 m) = (4,916 102 m)(1,21 10 m) = (4,916)(1,21) 103 mEl numero de menor precision 1.21 producira un error de (4,916)(0,01)=0,04... o sea un error

en las centesimas del resultado. Por lo tanto el resultado debera escribirse hasta las centesimas:

(4,916)(1,21) 103 m2 = 5,95 103 m2

Finalmente, el resultado del producto debera tener el mismo numero de posiciones decimales

que el numero de menor precision.

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1.4. CONVERSION DE UNIDADES

En Fsica podemos tener una misma longitud expresada con diferentes unidades. Decimos por

ejemplo, el largo de un terreno 1,2 km o 1200 m; antes de resolver un problema o situacion

fsica debemos establecer un metodo que nos permita hacer la conversion indicada de acuerdo

al caso. Para ello es importante conocer algunas equivalencias.

A continuacion se presentan algunas tablas con las equivalencias mas utilizadas en Fsica

m km pulg ft milla

1 metro 1 103 39,37 3,281 6, 214 1041 centmetro 102 105 0,3937 3, 281 102 6, 214 1061 kilometro 103 1 3, 937 104 3, 281 103 0,62141 pulgada 2, 54 102 2, 54 105 1 8, 333 102 1, 578 1051 pie 0,3048 3, 048 104 12 1 1, 894 1041 milla 1609 1,609 6, 336 104 5280 1

Tabla 2: Equivalencias en unidades de longitud

kg g slug u

1 kilogramo 1 103 6, 852 102 6, 024 10261 gramo 103 1 6, 852 105 6, 024 10231 slug 14,59 1, 459 104 1 8, 789 10271 uma 1, 66 1027 1, 66 1024 1, 137 1028 1

Tabla 3: Equivalencias en unidades de masa

Nota:

Las unidades se pueden tratar como cantidades algebraicas que se pueden cancelar entre s.

Ejemplo: Suponga que deseamos convertir 180 pulg a m.

Como 1 pulg = 2, 54 102 m encontramos que:

180 pulg = 180 pulg 2, 54 102m

1pulg= 4.57 m

Ejemplo: Encontrar el volumen de un cubo, donde el area de uno de sus lados es 1,44 m2.

Expresarlo en cm3

Solucion:

Se tiene que: V = l3 = l l2 = l A l2 = A l = A

Donde, V es el volumen del cubo y A es el area de uno de sus lados de medida l.

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Como: l =A l =

1,44m2 = 1,2m

l = 1,2m = 1,2m 100cm1m

= 120cm

Por lo tanto: V = (120cm)(120cm)(120cm) = 1728000cm3 = 17,28 105cm3

Ejemplo: Suponga que deseamos convertir 3 m2 a pies2.

Como 1 m = 3,28 pies 1 m2 = 10,765 pies2

3 m2 = 3 m2 10, 765pies2

1m2= 32,295 pies2

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1.5. EJERCICIOS

1. Utilizando las potencias de 10 efectua las siguientes operaciones:

a) 3,560,000 0, 000025 b) 350 0, 005 (0, 00006 130000)

2. Expresa en notacion cientfica los siguientes cantidades:

a) Periodo de un electron en su orbita 0,000000000000001seg

b) Masa de la tierra 5970000000000000000000000 kg.

c) El numero de Avogadro 60200000000000000000000

3. Muestre que la expresion x = v.t+ 12at2 es dimensionalmente correcta.

4. Realizar las siguientes conversiones:

a) 367 mi/h a pies/seg

b) 470000 mm a pulg.

c) 16 cm2 a m2

d) 300 pies3 a m3

e) 5 mi/h a Km/h

f ) 240 mm/seg a m/min.

5. Un galon en USA, es un volumen equivalente a 231 pulg3. Supongamos que el tanque de

gasolina de un automovil es similar a un paraleppedo recto de 24 pulg de largo, 457.2

mm de ancho y 1 ft de alto. Cuantos galones contendra este tanque?

6. Una persona mide 59 (o sea 5 pies y 9 pulgadas). Exprese su estatura en metros.

7. Las dimensiones exteriores de un congelador son 65 78 por 2934 por 30

18 pulg. Cual es el

volumen del espacio ocupado por el congelador en pies cubicos y en litros? (1 litro=103cm3).

8. La masa del Sol es aproximadamente 1, 99 1030 kg y la masa del atomo de hidrogeno,de la cual esta principalmente compuesto el Sol, es de 1, 67 1027 kg. Cuantos atomoshay en el Sol?

9. Un trabajador va a pintar las paredes de un cuarto cuadrado de 8.0 ft de alto y 12.0 ft

en cada lado. Que area superficial en metros cuadrados debe cubrir?

10. Una maquina cargadora de mineral mueve 1200 tons/h de una mina a la superficie.

Convierta esta capacidad a lb/s, usando 1ton = 2000lb.

11. Una pieza maciza de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de 2.10 cm3. De

estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades del SI (kg/m3).

12. Un cuarto mide 4 m 4 m y la altura del techo es de 2,5 m. Con cuantas hojas de papeltamano carta es posible tapizarlo?

13. Un galon de pintura (volumen = 3.78 103m3) cubre un area de 25 m2 . Cual es el espesor

de la pintura en la pared?

13

Captulo 2VECTORES

Para describir el movimiento de un objeto, ademas de indicar cual es su posicion y cual es la

magnitud de su desplazamiento, la velocidad y aceleracion, es necesario especificar hacia donde

se lleva a cabo este movimiento.

Algunas magnitudes, para quedar bien definidas solo requieren de un numero y una unidad.

A estas magnitudes como la masa, la densidad, area, tiempo, etc. se les llama magnitudes es-

calares. Por ejemplo para informar cual el area de un terreno es suficiente con escribir 45 m2.

Sin embargo, en el caso del desplazamiento de un auto, es necesario saber cuanto se traslada

y la direccion en que lo hace. En la descripcion de muchos de estos fenomenos utilizaremos el

concepto de vector.

Antes de formalizar el concepto de vector observemos dos formas de ubicacion en el plano muy

utilizadas en fsica y veamos algunos conceptos de trigonometra.

Un sistema de ubicacion en el plano que se

utilizara con frecuencia, es el sistema de

coordenadas cartesiano o sistema de co-

ordenadas rectangulares. En general, un punto

cualquiera en este sistema se designa con las

coordenadas (x, y) Figura 1.

Por ejemplo el punto P cuyas coordenadas son

(-4,5) corresponde a desplazarse 4 unidades a

la izquierda y 5 unidades arriba del origen.

(x, y)

x

y

Figura 1

Tambien es posible representar un punto en el plano por medio de sus coordenadas polares

planas (r, ), donde r es la distancia desde el origen hasta el punto que tiene coordenadas

14

cartesianas (x, y) y es el angulo entre r y el eje x positivo ( se mide en direccion contraria

al movimiento de las manecillas del reloj) Figura 2.

r

x

y

Figura 2

De acuerdo con el siguiente triangulo (Figura 3) y recordando algunas funciones trigonometricas:

r y

x

x = r. cosy = r. sin

Figura 3

tan =y

x

r =x2 + y2 Teorema de Pitagoras

Ejemplo: Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano xy son (x, y) = (-3.6,4) como

se muestra en la figura 4. Encuentre las coordenadas polares de este punto.

-3.6 , 4

r

Figura 4

x

y

Solucion:

r =x2 + y2 =

(3,6)2 + (4)2 = 5,38

tan =y

x=

4

3,6 = 1,111

= 132o

Tenga en cuenta que es necesario emplear los

signos de x e y para encontrar el punto, que

esta en el segundo cuadrante del sistema de

coordenadas. Esto es = 132o y no -48o

15

2.1. VECTOR

Los vectores son magnitudes representadas por

un segmento dirigido con un origen y punto

final (flecha) Figura 5.

origen

punto final

Figura 5

~v

En todo vector podemos distinguir las siguientes caractersticas:

Magnitud |~v|: Se refiere a la longitud del segmento, que se representa por un valor numericopositivo. Tambien se le denomina modulo o norma.

Direccion: La direccion de un vector esta determinada por la recta que lo contiene. De-

termina el angulo que forma el vector ~v con el semieje positivo de x.

Sentido: El sentido de un vector esta determinado por la orientacion de la flecha situada

en el punto final del segmento.Dos vectores que tienen la misma direccion pueden tener

igual o diferente sentido.

Ejemplo: Representar en un plano de coordenadas cartesianas los siguientes vectores:

~A = 8 unidades en la direccion 20o al noreste

~B = 5 unidades en direccion del sur

~C = origen:(1,4) y punto final: (-4,-2)

Solucion:

2 4 6 824

2

4

2

4

20o

~A

~B

x

y

~C

Figura 616

2.2. PROPIEDADES DE VECTORES

2.2.1. Igualdad de Vectores

Dos vectores ~A y ~B se pueden definir como iguales si tiene la misma magnitud y apuntan en

la misma direccion. Es decir si al trasladar paralelamente uno de ellos se puede hacer coincidir

exactamente con el otro.

2.2.2. Adicion de Vectores

Para ilustrar el significado que tiene la suma de vectores, supongamos que un objeto parte del

punto O y se desplaza hasta el punto A( ~d1). Una vez se encuentra en el punto A, se desplaza

hasta el punto B( ~d2). Para determinar el desplazamiento desde el punto O hasta el punto B,

trazamos un vector con origen en el punto O y punto final en B, que corresponde al vector

suma ~d1 + ~d1

La suma de dos vectores se construye colocan-

do en el punto final de uno de ellos, el origen

del otro vector; el vector suma se obtiene al

unir el origen del primero con el punto final

del segundo

~A+ ~B = ~R

~B

~A

Figura 7

Si dos vectores tienen origen comun, como

a menudo sucede con las fuerzas que actuan

sobre un objeto, un metodo alternativo es la

regla del paralelogramo. El vector suma

es la diagonal del paralelogramo cuyo origen

coincide con el de los dos vectores.

~R~B

~A

Figura 8

NOTA

La suma de vectores es conmutativa: ~A+ ~B = ~B + ~A

Si tres o mas vectores se suman, su total es independiente de la manera como se agruparon

los vectores individuales. Ley asociativa de la suma: ( ~A+ ~B) + ~C = ~A+ ( ~B + ~C)

17

2.2.3. El negativo de un vector

El negativo del vector ~A se define como el vector que al sumarse a ~A produce el vector cero. Es

decir, ~A+ ( ~A) = 0.Los vectores ~A y - ~A tiene la misma magnitud pero apuntan en direcciones opuestas.

2.2.4. Sustraccion de vectores

Definimos ~A ~B, como el vector ~B sumado al vector ~A:~A ~B = ~A+ ( ~B)

2.2.5. Producto de un Escalar por un Vector

Si el vector ~A se multiplica por un escalar k 6= 0 obtenemos un vector que tiene la mismadireccion que ~A y magnitud kA. Si k < 0, el vector ~kA esta dirigido opuesto a ~A.

Por ejemplo:

El vector 3 ~A es tres veces mas largo que ~A y apunta en direccion opuesta que ~AEl vector 12

~A es un medio de la longitud de ~A y apunta en la misma direccion que ~A

2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR

Todo vector se puede ligar a un sistema de coordenadas y describirse por completo mediante

sus componentes rectangulares (Figura 9).

Considere un vector ~V localizado en el plano xy que forma un angulo con el eje x positivo.

Este vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores ~Vx y ~Vy. En la figura se ve

que los tres vectores forman un triangulo rectangulo y que ~V = ~Vx + ~Vy.

La componente ~Vx representa la proyeccion de ~V a lo largo del eje x y ~Vy representa la proyeccion

de ~V a lo largo del eje y.

De la figura y la definicion de seno y coseno se

ve que:~Vx = V cos y ~Vy = V sin

Estas componentes forman dos lados de un

triangulo rectangulo cuya hipotenusa es de

magnitud V. As se deduce que la magnitud

de V y su direccion se relacionan con sus com-

ponentes por medio de las expresiones:

V =V 2x + V

2y y tan =

VyVx

(x, y)

x~Vx

~V~Vy

Figura 9

y

18

2.3.1. Suma de vectores por componentes rectangulares

Sea los vectores ~A y ~B con componente rectangulares ~Ax, ~Ay y ~Bx, ~By respectivamente.

El vector resultante ~R = ~A+ ~B tiene componentes rectangulares ~Rx ~Ry, donde:~Rx = ~Ax + ~Bx~Ry = ~Ay + ~By

Ejemplo:

Si ~A = 3i+ 4j y ~B : | ~B| = 5, = 200oEncuentra los vectores ~R = ~A+ ~B y ~K = ~B ~A

Solucion:

~R = ~A+ ~B

~Ax = 3

~Ay = 4

~Bx = B. cos 200o = 4,7

~By = B. sin 200o = 1,7

~Rx = ~Ax + ~Bx = 3 + (4,7) = 1,7~Ry = ~Ay + ~By = 4 + (1,7) = 2,3

|~R| =R2x +R

2y =

(1,7)2 + (2,3)2 = 2,86

tan =RyRx

=2,3

1,7 = 1,35

= 53,5o. Si analizamos que ~R cae en el segundo cuadrante = 126,5o

~K = ~B ~A~Kx = ~Bx ~Ax = 4,7 3 = 7,7~Ky = ~By ~Ay = 1,7 4 = 5,7

| ~K| =K2x +K

2y =

(7,7)2 + (5,7)2 = 9,6

tan =KyKx

=5,77,7 = 0,74

= 36,5o. Si analizamos que ~K cae en el tercer cuadrante = 216,5o

19

2.4. VECTORES EN TRES DIMENSIONES

Los metodos antes mensionados (El metodo de las componentes rectangulares, metodo del par-

alelogramo) se puede extender para las operaciones de vectores en tres dimensiones.

Si ~A y ~B tiene componentes x, y y z, lo expresamos de la forma.

~A = ~Axi+ ~Ayj + ~Azk~B = ~Bxi+ ~Byj + ~Bzk

La suma de ~A y ~B es

~R = ~A+ ~B = (Ax +Bx)i+ (Ay +By)j + (Az +Bz)k

De este modo, el vector resultante tiene componentes:

Rx = Ax +Bx

Ry = Ay +By

Rz = Az +Bz

Angulos directores:

Definimos como el angulo entre ~v y el eje x positivo, el angulo entre ~v y el eje y positivo y

el angulo entre ~v y el eje z positivo. Los angulos son llamados angulos directores.

cos =xov

cos =yov

cos =zov

20

2.5. EJERCICIOS

1. Encuentra la magnitud , direccion y sentido de cada vector, realizando su respectiva

grafica

a) ~vx = 7m y ~vy = 5mb) ~vx = 12m y ~vy = 15m

2. Tres desplazamientos son A = 200m hacia el sur; B = 250m hacia el oeste; C = 150m,

30 al noreste. Cual es desplazamiento resultante (Construya un diagrama)

3. Un joven que reparte periodicos cubre su ruta al caminar 3 manzanas al oeste, 4 manzanas

al norte y luego 6 manzanas al este. (a) Cual es su desplazamiento resultante? (b) Cual

es la distancia total que recorre?

4. Dos vectores forman un angulo de 110. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace

un angulo de 40 con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector

y la del vector suma.

5. Un avion jet comercial vuela que se mueve inicialmente a 300 km/h hacia el sur se mueve

dentro de una region donde el viento sopla a 100 km/h en una direccion de 30o al noreste.

Cual es la nueva velocidad y direccion del aeronave?

6. Un vector esta dado por R = 2i+j+3k. Encuentre (a) las magnitudes de las componentes

x, y y z, (b) la magnitud de R, y (c) los angulos entre R y los ejes x, y y z.

7. Dados los vectores desplazamiento A = 3i 4j + 4k ; B = 2i + 3j 7k. EncuentraC = A+B y D = 2AB

8. Cual debe ser el valor del vector A y del vector B, para que la suma de A+B + C = 0

9. De acuerdo al siguiente esquema, encuentra

algebraica y graficamente:

25o

~A = 7

~B

(2, 4)

~C

40o

a) ~A+ ~B + ~C

b) 2 ~C ~Ac) ~A+ 2 ~B ~C

21

Captulo 3MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION

El fenomeno mas frecuente que observamos a nuestro alrededor es el movimiento; practicamente

todos los proceso fsicos pueden describirse como el movimiento de partculas, cuerpos o energa

que se transfiere de un sistema a otro.

La Mecanica es la rama de la fsica que estudia el movimiento de los cuerpos, fenomeno que puede

ser tratado desde dos enfoques diferentes. El primero, CINEMATICA, es cuando nos limitamos

a describir el movimiento en funcion del tiempo, independientemente de las interacciones que los

producen; y el segundo, DINAMICA, es cuando analizamos la causa que produce el movimiento

de un cuerpo y estudiamos sus propiedades

3.1. EL MOVIMIENTO

A partir de la experiencia cotidiana nos damos cuenta que el movimiento representa el cambio

continuo en la posicion de un objeto. La fsica estudia tres tipos de movimiento: Traslacional,

Rotacional y Vibratorio. Un auto que se mueve por una autopista experimenta un movimiento

traslacional, el giro diario de la tierra sobre su eje es un movimiento rotacional, y el movimiento

hacia delante y hacia atras de un pendulo es vibratorio.

En este y algunos de los captulos siguientes estudiaremos solo el movimiento traslacional.

3.1.1. Desplazamiento y distancia recorrida

Cuando una partcula cambia de posicion se produce un desplazamiento. El vector desplaza-

miento describe el cambio de posicion de un cuerpo que se mueve desde xi (posicion inicial)

hasta xf (posicion final).~x ~xf ~xi

El smbolo es la letra griega delta que se utiliza para expresar variacion

22

El desplazamiento se puede considerar como el vector que une dos posiciones diferentes en la

trayectoria de una partcula.

La distancia recorrida es la medida de la trayectoria

Ejemplo:

Cual es el desplazamiento de un cuerpo que cambia de la posicion x1 = 3m a x2 = 4m

0 1 2 3 4 512345

~x ~xf ~xi~x 4m (3m) = 7m

Si el movil cambia de la posicion x2 a la x1, Cual es su desplazamiento?

El desplazamiento es negativo porque el cuerpo se mueve a la izquierda

Ejercicio:

Analiza la grafica y contesta

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

2t(s)

x(m) 1. Cuando t = 0, en que posicion se encuen-

tra el movil

2. Cual fue el desplazamiento en cada inter-

valo de tiempo

3. Cual es el espacio recorrido para el

primer intervalo de tiempo; para el

primer y segundo intervalo; para el

primer, segundo y tercer intervalo;..?

4. Cual es el recorrido y desplazamiento to-

tal

El desplazamiento no debe confundirse con con la distancia recorrida, puesto que en cualquier

movimiento esta es diferente de cero.

23

3.1.2. Velocidad y rapidez

Para describir un movimiento cabe analizar qua tan rapido y/o con que velocidad se produce,

es decir, si recorre mayor o menor distancia en la unidad de tiempo. Pues bien, una magnitud

que nos puede ayudar se define as:

Velocidad media v

La velocidad media o velocidad promedio de una partcula se define como la razon entre su

desplazamiento x y el intervalo de tiempo t.

v =x

t=

~xf ~xitf ti

La velocidad media no nos brinda detalle del movimiento entre los puntos xi y xf , sin embargo

esta puede ser positiva o negativa, de acuerdo al sentido del desplazamiento.

la velocidad media puede interpretarse geometricamente al dibujar una lnea recta entre los pun-

tos P y Q. La pendiente de esta lnea es la velocidad promedio en una grafica espacio-tiempo

Rapidez media

Cuando consideramos el espacio total recorrido en lugar del desplazamiento que sufre, nos

referimos a la rapidez media en lugar de la velocidad media. La diferencia consiste en que la

velocidad media es una magnitud vectorial, mientras la rapidez media es escalar

Rapidez media =Espacio recorrido

tiempo=

x

t

La rapidez de una partcula se define como la magnitud de su velocidad

Velocidad instantanea v

La velocidad de una partcula en un cierto instante de su trayectoria en lugar de solo un inter-

valo de tiempo, se denomina velocidad instantanea. Este concepto tiene importancia cuando la

velocidad promedio en diferentes intervalos de tiempo no es constante.

La velocidad instantanea esta dada por el limite del cociente de x/t conforme t de acerca

a cero

t

x

xi

ti

Q

QQ

P

t1

t2

t3

v = lmx0

x

t=

dx

dt

24

Ejemplo:

Considerese un cuerpo que se mueve bajo la ecuacion de x = t2 2t, x esta dado en m y t en s.

a. Elabore la grafica que describe el movimiento

b. Determine el desplazamiento en los intervalos: t = 0 a t = 1s y t = 1 a t = 3s.

c. Encuentre la velocidad promedio y rapidez media entre los intervalos t = 0 a t = 3s.

d. Determine la velocidad instantanea del cuerpo para cualquier instante de tiempo, en

particular para t = 1s y t = 3s

Solucion

a. Vamos a darle valores a t > 0, reemplazan-

dolos en la ecuacion que define el movimiento.

x 0 1 2 3 4

t 0 -1 0 3 8

1 2 3 4

1

2

3

4

5

1

t(s)

x(m)

b. Desplazamiento de t = 0 a t = 1s

~x ~xf ~xi = 1m 0m = 1mUn metro en direccion a la contraria

Desplazamiento de t = 1 a t = 3s.

~x ~xf ~xi = 3m (1m) = 4m

c. Velocidad promedio de t = 0 a t = 3s

v =~xf ~xitf ti =

3m 0m3s

= 1m/s

Rapidez media de t = 0 a t = 3s

Rapidez media =x

t=

5m

3s= 1, 67m/s

3.1.3. Aceleracion

En la mayoria de los movimientos la velocidad no permanece constante, un cuerpo en movimien-

to puede aumentar la velocidad o disminuirla (frena). Estos cambios se describen mediante una

magnitud denominada aceleracion.

25

La aceleracion promedio de una partcula en el intervalo de tiempo t = tf ti se definecomo el cociente ~v/t, donde ~v = ~vf ~vi equivalente al cambio de la velocidad en esteintervalo de tiempo.

~a =~vf ~vitf ti

La aceleracion tiene caracter vectorial y su direccion esta relacionada con el cambio de velocidad

y dimensiones de longitud dividida por tiempo al cuadrado: L/T 2

En algunas situaciones el valor de la aceleracion promedio puede ser diferente en intervalos de

tiempo distintos. Por este motivo, es util definir la aceleracion instantanea como el lmite

de la aceleracion promedio cuando t se acerca a cero. Este concepto es similar a la definicion

de velocidad instantanea.

a = lmt0

v

t=

dv

dt

Es decir, la aceleracion instantanea, por definicion es la pendiente de la grafica velocidad-tiempo.

Se puede interpretar la derivada de la velocidad con respecto al tiempo como la tasa de cam-

bio de la velocidad.

La aceleracion tambien puede escribirse como:

a =dv

dt=

d

dt

(dx

dt

)=

d2x

dt2

3.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME M.U.

Un cuerpo describe un movimiento rectilneo uniforme, cuando su recorrido lo hace con rapidez

constante, es decir recorre espacios iguales en intervalos de tiempo iguales (velocidad constante).

En este caso la velocidad instantanea siempre es la misma y coincide con la velocidad media,

entonces:

v = v =x

tas: v =

xf xitf ti

Por conveniencia se deja to = 0, entonces

v =x

t

26

NOTA: El hecho que se mantenga la velocidad constante, indica tener una aceleracion nula

Ejemplo:

Que rapidez constante debe llevar un auto que recorre 12 Km. en media hora? (GRAFICA!!)

Solucion:

v =? x = 12km = 12000m y t = 1/2h = 30min = 1800s

v =x

t=

12000m

1800s= 6, 67m/s

3.3. MOVIMIENTOUNIFORMEMENTE ACELERADO

M.U.A.

Siempre que ocurre una variacion en la velocidad se dice que el movil presenta aceleracion.

Si la aceleracion de una partcula vara con el tiempo, el movimiento puede ser muy difcil de

analizar, sin embargo un tipo de movimiento muy comun y facil de trabajar sucede cuando la

velocidad vara en cantidades iguales a intervalos iguales de tiempo, es decir, la aceleracion del

movimiento es constante y no nula

En este caso la aceleracion instantanea siempre es la misma y coincide con la aceleracion media,

entonces:

a = a =v

tas: a =

vf vitf ti

Por conveniencia se deja to = 0, entonces

a =vf vi

t

3.3.1. Ecuaciones cinematicas derivadas del Calculo.

Una partcula tiene M.U.A cuando los cambios de la velocidad son constantes por unidad de

tiempo

~a =~v

t= constante

Del anterior analisis tenemos que: a =dv

dt, entonces a.dt = dv

27

Integrando a ambos lados: tfto

a.dt =

vfvo

dv

a.t

tf

to

= v

vf

vo

a.(tf t0) = vf voa.t = vf vo

Luego, nuestra primera ecuacion para M.U.A. es: v = a.t + vo

Nuevamente, del anterior analisis tenemos v =dx

dt, o sea que v.dt = dx

Integrando a ambos lados: vfvo

v.dt =

xfxo

dx

vfvo

(a.t+ vo)dt =

xfxo

dx

(1

2a.t2 + vo.t

)tf

to

= x

xf

xo

1

2a.t2 + vo.t = xf xo1

2a.t2 + vo.t = x

De modo que nuestra segunda ecuacion para M.U.A. es:1

2a.t

2 + vo.t = x

Se deja al lector demostrar la tercera ecuacion en el M.U.A. v2 = v2o + 2ax

Ejemplo: El conductor de un automovil que viaja a 144 km/h observa que una persona se

cruza por en frente sin precaucion. Si el automovil tiene una capacidad maxima de frenado de

12 m/s2 y el conductor aplica los frenos justo cuando lo ve (70 m antes), determinar si esta

persona es atropellada o no, si no es as, a que distancia queda del automovil?

Solucion:

El movimiento que nos interesa analizar, es el movimiento de frenado, es decir, que nuestro

analisis inicia justo cuando el conductor aplica los frenos; por lo que la velocidad inicial es 144

km/h. Por otro lado, note que el proposito del conductor es parar completamente el automovil,

por lo que tomamos como velocidad final cero.

Este es un caso de movimiento uniformemente acelerado, debido a que tenemos una variacion

uniforme de la velocidad; y ademas es una aceleracion negativa, ya que la velocidad esta dis-

minuyendo.

28

Datos conocidos Datos desconocidos

vo = 144km/h x =?

a = 12m/s2 t =?

vf = 0

Realicemos una conversion para trabajar en las mismas unidades.

144km/h =144km

h 1h

3600 1000m

1km= 40m/s

Lo que nos interesa es conocer cual es la distancia que el automovil recorre en el frenado, es

decir determinar el valor de x.

Entonces, la siguiente formula nos permite encontrar este valor. v2f = v2o + 2ax

Si despejamos x tenemos que: x =v2 v2o

2a

Reemplazando los datos iniciales:

x =02 (40m/s)22(12m/s2) x = 66, 7m

Podemos concluir que la persona no es atropellada por el automovil y queda a 3,3 m de este.

3.4. CAIDA LIBRE

Es bastante conocido que todos los objetos, cuando se sueltan caen libremente hacia la tierra

con aceleracion casi constante. El movimiento de cada libre es un caso particular del movimien-

to uniformemente acelerado.

Para identificar el tipo de movimiento que posee un cuerpo en cada libre, el cientfico italiano

Galileo Galilei, realizo la siguiente experiencia:

Desde la parte superior de un plano, dejo caer diferentes esferas y observo que en todas ellas

la velocidad se incrementaba uniformemente en intervalos iguales de tiempo. Galileo vario la

inclinacion del plano y observo que a medida que este se haca mayor, el incremento de la

velocidad era mayor, pero aun el movimiento era uniformemente acelerado.

Cuando el plano inclinado se hace completamente vertical, el movimiento de la esfera es en

cada libre, por tanto este ultimo movimiento es uniformemente acelerado.

Como hemos visto los cuerpos que se encuentran cerca de la superficie terrestre experimentan

una atraccion que les imprime la aceleracion, llamada aceleracion de la gravedad g = 9, 8m/s2.

Lo cual significa que un cuerpo que se deja caer libremente aumenta su velocidad en 9.8 m/s

cada segundo de cada.

29

Ecuaciones de cada libre

Como el movimiento de cada libre es un caso particular del movimiento uniforme acelerado, las

ecuaciones de este ultimo son tambien las ecuaciones de la cada libre. Lo que se debe cambiar

es el valor de la aceleracion que siempre va ha se g y en lugar de considerar el desplazamientoen x lo consideraremos en y

M.U.A.

1. v = vo + a.t

2. x =1

2a.t2 + vo.t

3. v2 = v2o + 2ax

Cada libre

1. vf = vo g.t

2. y = 12g.t2 + vo.t

3. v2f = v2o 2gy

Ejemplo: Una piedra es lanzada directamente hacia abajo con una velocidad de 15 m/s desde

un puente de 50 m de altura. Cuanto tarda la piedra en golpear el agua y a que velocidad lo

hace?

Solucion:

Datos conocidos Datos desconocidos

vo = 15m/s t =?a = 9,8m/s2 vf =?

y = 50m

Encontremos primero la velocidad con que la piedra impacta en el agua, es decir, vf .

Utilizando v2f = v2o 2gy, y despejando vf , tenemos que: vf =

v2o 2gy

Reemplazando datos conocidos: vf =

(15m/s)2 2(9, 8m/s2)(50m) vf = 34, 7m/s

Ahora encontremos el tiempo que piedra tarda en llegar al agua.

Utilizando vf = vo g.t, y despejando t, tenemos que: t = vo vfg

Reemplazando datos conocidos: t =15m/s (34, 7m/s)

9,8m/s2 t = 2, 01s

30

3.5. EJERCICIOS

1. Preguntas

a. La velocidad promedio y la velocidad instantanea son por lo general cantidades

diferentes? Explique

b. Si la velocidad promedio es diferente de cero para cierto intervalo de tiempo, Esto

quiere decir que la velocidad instantanea nunca es cero durante este intervalo? Explique

c. Es posible una situacion en la cual la velocidad y la aceleracion tengan signos opuestos?

Si es as, bosqueje una grafica velocidad-tiempo para probar su afirmacion

d. Si la velocidad de una partcula es diferente de cero, Su aceleracion puede ser siempre

cero? Explique

e. Si la velocidad de una partcula es cero, Su aceleracion puede ser siempre diferente

de cero?

2. Un automovilista viaja hacia el norte durante 35 min a 85 km/h y luego se detiene durante

45 minutos. Despues continua en la misma direccion, recorriendo 130 km en 2 h

a) Cual es su desplazamiento total b) Cual es su velocidad media

3. Un objeto parte del reposo y alcanza una velocidad de 30 m/s en cinco segundos. Cual

es su aceleracion? Realiza la grafica de desplaniento contra tiempo y de velocidad contra

tiempo

4. De acuerdo a la grafica

2 4 6 8 10

5

10

15

20

25

x(pulg)

t(s)

a) Determine el desplazamiento en los in-

tervalos: t = 0 a t = 2s, t = 2 a t = 4s

y t = 5 a t = 7s.

b) Encuentre la velocidad promedio y

rapidez media entre los intervalos t = 2

a t = 5s y t = 6 a t = 11s

c) Cual es el desplazamiento y rapidez

media total

d) Realice la grafica de velocidad-tiempo

5. Dos trenes parten de dos ciudades A y B distantes entre si 1800 km, con velocidades

de 240 km/h y 300 km/h respectivamente pero el que sale de A sale dos horas antes.

Que tiempo despues de haber salido B y a que distancia de A se encontraran?

6. Un objeto aumenta su rapidez a razon de 2.5 m/s por cada segundo que transcurre. Cual

es su aceleracion? Cual es su rapidez a los 20 s, si inicia de reposo?

31

7. Una partcula se mueve a lo largo del eje x. Su coordenada x vara con el tiempo de

acuerdo a la ecuacion x = 3 14 t2 , donde x esta en metros y t en segundos.(a) Realiza la grafica de la posicion contra tiempo . (b) Determine el desplazamiento de

la partcula en los intervalos de t = 0 a t = 2 y t = 5 a t = 8s. (c)Encuentre la velocidad

promedio y rapidez media entre los intervalos t = 0 a t = 5s. (d) Determine la velocidad

instantanea del cuerpo para cualquier instante de tiempo, en particular para t = 4s

8. La velocidad de una partcula que se mueve a lo largo del eje x vara con el tiempo de

acuerdo con la expresion v = (20 5t2)m/s, donde t se mide en segundos. Encuentrela aceleracion promedio en el intervalo de tiempo t = 0 a t = 2s y realice la grafica de

aceleracion contra tiempo

9. Un electron de rayos catodicos de un televisor entra a una region donde se acelera de

manera uniforme desde una rapidez de 3 104m/s hasta una rapidez de 5 106m/sen una distancia de 2 cm. Durante cuanto tiempo el electron esta en la region donde se

acelera.Cual es la aceleracion del electron en esta region?.

10. Un automovil que va con una velocidad constante de 20m/s, pasa frente a un agente de

transito que empieza a seguirlo en su motocicleta, pues en ese lugar la velocidad maxima

es de 18 m/s. El agente inicia su persecucion 4 segundos despues de que pasa el automovil

partiendo del reposo y continuando con aceleracion constante, alcanza el automovilista a

3600 m del lugar de donde partio.

a). Durante cuanto tiempo de movio el vehculo desde el instante en que paso frente al

polica hasta que fue alcanzado? b). Cuanto tiempo gasto el polica en su persecucion?

c). Cual fue la aceleracion del motociclista? d). Cual fue la velocidad final del agente

de polica?

11. Una partcula parte de reposo y acelera como indica la figura. Determine:

5 10 15 20

1

2

123

a(m/s2)

t(s)

a) La velocidad de la partcula en t = 10s

y en t = 20s

b) El desplazamiento hasta los 20 s.

c) Realiza la grafica de velocidad contra

tiempo

12. Una pelota fue lanzada directamente hacia abajo con una velocidad de 10 m/s desde una

altura de 40 m. En que momento la pelota golpea el suelo?

32

13. Un peaton corre a su maxima rapidez de 6m/s para alcanzar un bus detenido por la

luz del semaforo, cuando esta a 25 m del bus; la luz cambia a verde y el bus acelera

uniformemente a 1m/s2.

(a) Alcanzara el peaton al bus?. (b) Si el peaton alcanza el bus que distancia tiene que

correr para alcanzarlo?. (c) Si no lo alcanza cual es la distancia mnima que le falto para

alcanzarlo?

14. Si se lanza la pelota del ejercicio anterior en la luna, Cual es la diferencia de tiempo

tardado con relacion al de la tierra? (recuerda que en la luna g = 1, 67m/s2.)

15. Una piedra se deja caer desde una altura de 80 m y 2 segundos mas tarde se lanza otra

que alcanza la primera justo antes de tocar contra el suelo. Con que velocidad se lanzo

la segunda piedra?

16. Una persona en un helicoptero se eleva con velocidad constante de 5 m/s. una vez en

el aire, deja caer una pelota que tarda 10 segundos en llegar al suelo. A que altura se

encuentra el helicoptero?

17. Piensa que estas de pie, sobre una plataforma de observacion a 100 m sobre el nivel de

la calle y dejas caer una piedra. Un amigo tuyo que esta directamente debajo en la calle,

lanza un piedra hacia arriba con una velocidad de 50 m/s, en el mismo instante en que

tu soltaste la piedra. a que altura se chocan las dos piedras? al cabo de cuanto tiempo?

18. La altura de un helicoptero sobre el suelo esta representada por h = 3t3 donde h esta en

m y t en s. Despues de 2 s el helicoptero deja caer la valija de la correspondencia. Cuanto

tiempo tarda la valija en llegar al suelo?

33

Captulo 4MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Sin tomar en cuenta el efecto de la resistencia del aire, la experiencia nos dice que los proyec-

tiles estan sometidos unicamente a cada libre; es decir a una aceleracion vertical g y dirigida

hacia el centro de la Tierra. Por consiguiente, la ordenada o dimension vertical de un proyectil

tendra un movimiento rectilneo uniformemente acelerado mientras que la abscisa o dimension

horizontal tendra un movimiento rectilneo uniforme (sin aceleracion).

Se supondra que el proyectil parte del origen con una velocidad inicial vo que forma un angulo

con la horizontal como se ve en la figura.

x

y

xmax

ymax

vo

Las ecuaciones del movimiento son:

ax = 0 (1) ay = g = 9,8 m/s2 (4)vx = vo. cos (2) vy = gt+ vo. sin (5)

x = vx.t (3) y = 12gt2 + (vo. sin).t (6)

34

4.1. Velocidad

La velocidad del proyectil en cualquier momento es igual a:

v =v2x + v

2y (7)

El angulo de la velocidad respecto a la horizontal esta dado por:

= tan1(vyvx

)(8)

4.2. Altura Maxima

La altura maxima ocurre cuando la velocidad vertical es 0 (cero). O sea:

vy = gt+ vo. sin = 0 (9)

Despejando t:

tmax =vo. sin

g(10)

La ecuacion (10) nos da el tiempo que tarda el proyectil en ascender al punto mas alto.

Substituyendo la ecuacion (10) en la ecuacion (6):

y = 12g(vo. sin

g

)2+ (vo. sin).

(vo. sin

g

)(11)

Operando algebraicamente:

y = 12 .v2o(sin)

2

g+v2o(sin)

2

g(12)

O tambien:

ymax =v2o(sin)

2

2g(13)

35

4.3. Alcance

La distancia sobre el suelo comprendida entre el punto de partida y el punto de llegada se

denomina alcance. El alcance corresponde a una altura de 0; es decir cuando.

y = 12gt2 + (vo. sin).t (14)

Despejando t:

12gt

2 = (vo. sin).t (15)

Finalmente:

tmax =2vo. sin

g(17)

La ecuacion (17) nos da el tiempo de vuelo del proyectil entre el punto de partida y el punto

de llegada sobre el suelo.

Substituyendo la ecuacion (17) en la (3):

x = vx.t x = (vo. cos).t

x = (vo. cos)

(2vo. sin

g

) x = 2v

2o . sin cos

g(18)

Recordando que:

sin 2 = 2 sin cos

Substituyendo esto en la ecuacion (18), se tiene:

x =2v2og.sin 2

2(19)

O tambien:

xmax =v2o sin 2

g(20)

36

4.4. Angulo de Alcance Maximo

El alcance es maximo cuando sin 2 es maximo en la ecuacion 20, es decir, cuando:

sin 2 = 1 (21)

Despejando el angulo, se tiene:

=sin1

2=

90o

2= 45o (22)

Entonces, un angulo de 45 para un alcance maximo.

Ejemplo

Un canon dispara un proyectil a una velocidad inicial de 100 m/s y con un angulo de inclinacion

de 35. Calcular lo siguiente:

La velocidad y posicion horizontal al cabo de 4 s.

La velocidad y posicion vertical al cabo de 4 s.

La velocidad y su angulo al cabo 4 s.

La altura maxima y su tiempo correspondiente.

El alcance y su tiempo correspondiente.

Es una buena idea usar una tabla para la organizacion de los calculos. La tabla siguiente mues-

tra las velocidades y posiciones al cabo de 4 s.

Dimension x (abscisa) Dimension y (ordenada)

ax = 0 ay = 9,81 m/s2vx = 100. cos(35) = 81.9 m/s vy = 9,81(4) + 100. sin(35) = 18,1m/s

x = 81,9(4) = 327,6 m y = 12 (9,81)(4)2 + 100. sin(35)(4) = 151 m

La velocidad al cabo de 4 s es:

v =v2x + v

2y =

(81,9m/s)2 + (18,1m/s)2 = 83,9 m/s

La direccion de esta velocidad es:

tan1(vyvx

)= tan1

(18,1m/s

81,9m/s

)= 12,5o

37

La altura maxima es:

ymax =v2o(sin)

2

2g=

(100m/s)2(sin 35)2

2(9,81m/s2)= 167,7 m

El tiempo de ascenso hasta la altura maxima es:

tymax =vo. sin

g=

100m/s. sin(35)

9,81m/s2= 5,8 s

El alcance es:

xmax =v2o . sin 2

g=

(100m/s)2. sin(70)

9,81m/s2= 957,9 m

El tiempo del alcance o tiempo de vuelo es:

txmax =2vo. sin

g=

200m/s. sin(35)

9,81m/s2= 11,7 s

Parte de la informacion calculada podra incluirse en el siguiente grafico

x

y

957.9 m

327.6 m

167.7 m

151 m

35o

100 m/s

38

4.5. EJERCICIOS

1. Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una altura de 36 metros con velocidad de

45 m/s. Calcula:

a) El tiempo que dura el proyectil en el aire.

b) El alcance horizontal del proyectil

c) La velocidad que posee el proyectil al llegar al suelo

2. Desde en bombardero que viaja con una velocidad horizontal de 420 km/h a una altura

de 3500 m se suelta una bomba con el fin de explotar un objetivo que esta situado sobre

la superficie de la tierra. Cuantos metros antes de llegar al punto exactamente encima

del objetivo debe ser soltada la bomba, para dar en el blanco?

3. Desde el borde de una mesa, se lanza horizontalmente un cuerpo A, con cierta velocidad

inicial, y simultaneamente deja caer desde el mismo punto un cuerpo B. Cual de los dos

llega primero al suelo?

4. Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1.25 m de altura. Si cae al suelo en

un punto situado a 1.5 m del pie de la mesa. Que velocidad llevaba la pelota al salir de

la mesa?

5. Una pelota sale rodando por el borde de una escalera con una velocidad horizontal de

1.08 m/s. si los escalones tienen 18 cm de altura y 18 cm de ancho Cual sera el primer

escalon que toque la pelota?

6. Un bateador golpea la pelota con un angulo de 35o y una velocidad de 18 m/s

a) Cuanto tarda la pelota en llegar al suelo?

b) A que distancia del bateador cae la pelota?

7. Con que angulo debe ser lanzado un objeto para que el alcance maximo sea igual a la

altura que alcanza el proyectil?

8. Calcula el angulo con el cual debe ser lanzado un proyectil para su alcance sea maximo.

9. Un rifle se dirige horizontalmente hacia el centro de un blanco a 200 m de distancia. La

velocidad inicial de la bala es de 500 m/s. Donde incide la bala en el blanco?. Con que

angulo se debe ubicar el rifle para dar justo en el blanco?

10. Un clavadista se lanza desde un trampoln de 4 m del nivel del agua, con una velocidad

de 10 m/s y un angulo de 40o sobre la horizontal. Cual es la altura maxima que alcanza

el buzo respecto al agua?. Cuanto tiempo tarda antes de entrar al agua?

11. Se desea destruir un blanco en la cima de una montana con un rifle que tiene una velocidad

de canon de 1000m/s. El blanco se encuentra a 2000m horizontalmente y 800m de altura.

A que angulo debe ubicarse el rifle para dar en el blanco?

39

Captulo 5MOVIMIENTO CIRCULAR

UNIFORME

El movimiento circular es un caso particular del movimiento en el plano. En la siguiente figura

se muestra una partcula moviendose sobre un circulo de radio r.

r

Si la trayectoria que sigue el movil es una cir-

cunferencia, vemos que la velocidad cambia

continuamente de direccion, pero si la rapidez

es constante, la magnitud de la velocidad con-

serva siempre el mismo valor.

5.1. CONCEPTOS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR

UNIFORME

5.1.1. Frecuencia (f):

Es el numero de vueltas que da el cuerpo en la unidad de tiempo (1 s) y sus unidades se pueden

dar en hertz (hz), s1, vueltas/segundo, revoluciones por minuto (r.p.m) o revoluciones por

segundo (r.p.s)

f =n

tn: numero de vueltas t: tiempo empleado

40

5.1.2. Periodo (T):

Es el tiempo que emplea el movil en dar una sola vuelta. T =1

f

5.1.3. Velocidad lineal (v):

La velocidad lineal de una partcula que describe un M.C.U es un vector tangente a la trayec-

toria, su magnitud se obtiene, calculando el arco recorrido (s) en la unidad de tiempo.

v =s

t

Note que, cuando un movil ha dado una vuelta completa, ha recorrido un arco igual a la lon-

gitud de la circunferencia, empleando un tiempo igual a un periodo. Por lo tanto

v =2pir

T

5.1.4. Velocidad angular (w):

El radio que une al centro de la circunferencia con la partcula P barre angulos iguales en

tiempos iguales. Definimos la velocidad angular (w), como el angulo barrido en la unidad de

tiempo. Las unidades de medida son en rad/s

w =

t

Cuando el angulo barrido es una angulo giro, el tiempo que emplea es un periodo. Por lo tanto,

w =2pi

T

5.2. Relacion entre la velocidad lineal y la velocidad tan-

gencial

Teniendo en cuenta que: w =2pi

Ty v =

2pir

T

Entonces: v = wr y w =v

r

Ejemplo:

Si una rueda de una motocicleta da gira a 300 r.p.m. Calcular:

1. Periodo

2. Frecuencia

3. Velocidad angular

4. Velocidad lineal en el extremo de la llanta (r = 0, 6m)

41

Solucion:

numero de vueltas: 300 tiempo: 60 segundos

1. T =60s

300= 0, 2s

2. f =1

T=

1

0, 2s= 5hz

3. w =2pi

T=

2pi

0,2s= 10pirad/s

4. v =2pir

T=

2pi 0, 6m0,2

=?m/s

5.3. Aceleracion centrpeta

Hemos dicho que un cuerpo que se desplace con movimiento circular uniforme, mantiene la

magnitud de la velocidad constante, lo cual implica que no existe una aceleracion en la direc-

cion tangencial de la velocidad, pero como la velocidad cambia continuamente de direccion debe

existir una aceleracion que refleje este hecho.

Recordemos que ~a =v

tCambio del vector velocidad

Como la velocidad es una cantidad vectorial, hay dos maneras en las cuales puede producirse

una aceleracion , mediante el cambio de la magnitud de la velocidad o mediante el cambio de

la direccion de la velocidad

Cuando un objeto se mueve con velocidad constante en una trayectoria circular, el vector veloci-

dad siempre es tangente a la trayectoria del objeto y perpendicular al radio r de la trayectoria

circular, por lo que tenemos un cambio en la direccion del vector velocidad provocando la ex-

istencia del vector velocidad

El vector aceleracion Aceleracion centrpeta en un movimiento circular siempre es perpen-

dicular a la trayectoria y apunta al centro del crculo.

Su magnitudes: ac =v2

r(*)

Para obtener la ecuacion (*) consideremos la siguiente figura

42

r r

Qvf

vi

O

r

P

vi

vf

v

(a) (b)

Un objeto primero esta en el punto P y luego en el punto Q. La partcula esta en P en el tiempo

ti y velocidad vi; y se encuentra en Q en un tiempo tf y velocidadvf

Supongamos que |vi| = |vf | igual magnitud, pero difieren en la direccion

Sabemos que: ~a =v

t=

vf vitf ti

Como v = vf vi, entonces vf = v + viEl vector v puede determinarse en el triangulo vectorial (b). Cuando t es muy pequeno

r y son tambien muy pequenos. En este caso, vf es casi paralela a vi y el vector v es

aproximadamente perpendicular a ellos, y apunta hacia el centro del crculo.

Consideremos ahora el triangulo en la figura (a), el cual tiene lados r y r . Este triangulo

y el de la figura (b), que tiene lados v y v, son semejantes. Esto nos permite establecer una

relacion entre las longitudes de los lados

v

v=

r

r

Reemplazando ~a =v

ten la anterior ecuacion, tenemos: ~a =

v.r

r.t

Contando con que los puntos P y Q de la figura (a) se acerquen mucho uno al otro, v apuntara

hacia el centro de la trayectoria circular, y debido a que la aceleracion esta en la direccion de

v, ella tambien esta dirigida hacia el centro. Ademas, a medida que P y Q se acercan entre

s, t tiende a cero, y el cocienter

tse aproxima a la velocidad v. Por lo tanto, en el limite

t...,0 , la magnitud de la aceleracion es:

ar =v2

r

43

5.4. EJERCICIOS

1. Una rueda de automovil da 240 vueltas en un minuto. Calcula la frecuencia y el periodo.

2. Calcula la velocidad con que se mueven los cuerpos que estan en la superficie de la tierra.

3. Una rueda que tiene 4.5 m de diametro, realiza 56 vueltas en 8 s. Calcula:

a) Periodo

b) Frecuencia

c) Velocidad angular

d) Velocidad lineal

e) Aceleracion centrpeta

4. Dos poleas de 12 cm y 18 cm de radio respectivamente, se hallan conectadas por una banda

como se muestra en la figura. Si la polea de mayor radio da 7 vueltas en 5 segundos, Cual

es la frecuencia de la polea de menor radio?

5. Calcula el periodo, la frecuencia y la velocidad angular de cada una de las tres manecillas

de un reloj.

6. Sabiendo que la luna de una vuelta alrededor de la tierra en 27.3 das, y la distancia de

la tierra a la luna es 3 108m. Calcula:

a) Velocidad de la luna

b) Aceleracion centrpeta que experimenta la luna

7. En el atomo de hidrogeno (modelo de Bohr), la velocidad del electron alrededor del nucleo

es 2,18106 m/s, y el radio 5,281011m. Calcula el periodo de electron y su aceleracion.

8. Una polea en rotacion (Figura del ejercicio No 4 ), tiene 12 cm de radio y un punto

extremo gira con una velocidad de 64 cm/s, en otra polea de 15 cm de radio un punto

extremo gira con una velocidad de 80 cm/s. Calcula la velocidad angular de cada polea.

44

9. Una sierra circular electrica gira con una frecuencia de 3000 r.p.m. Suponiendo que al

desconectarla se detiene en 5 segundos, calcular:

a) Aceleracion angular de frenado que le imprime el rozamiento con el eje.

b) Aceleracion tangencial de los dientes de la hoja si esta tiene un radio de 15 cm.

c) Desplazamiento angular durante los 5 segundos

10. Una pelota en el extremo de una cuerda se hace girar alrededor de un crculo horizontal de

3 m de radio. El centro del crculo se encuentra 4,7 m sobre el suelo. La cuerda se rompe

y la pelota golpea en el suelo a 2 m del punto sobre la superficie directamente debajo de

la posicion de la pelota cuando cuerda se rompio. Encuentre la aceleracion centrpeta de

la pelota durante su movimiento circular.

11. Una pulga esta en el punto A sobre una tornamesa horizontal a 10 cm del centro. La

tornamesa esta girando a 30 r.p.m. en la direccion de las manecillas del reloj. La pulga

salta verticalmente hacia arriba a una altura de 5 cm y aterriza sobre la tornamesa en

el punto B. Situe el origen de las coordenadas en el centro de la tornamesa con el eje x

positivo pasando por el punto A.

a) Encuentre el desplazamiento lineal de la pulga

b) Determine la posicion del punto A cuando la pulga aterriza

c) Determine la posicion del punto B cuando la pulga aterriza

45

Captulo 6DINAMICA

Para continuar el estudio del movimiento de los cuerpos consideraremos una parte de la mecanica

-La Dinamica- que estudia la relacion existente entre las interacciones de los cuerpos y los

cambios de su estado de movimiento.

La Fsica recibio un impulso enormes con los trabajos de Isaac Newton, quien dedujo los princi-

pales principios que rigen los fenomenos fsicos y contribuyo al desarrollo del calculo matematico

para aplicar dichos principios.

En este captulo estudiaremos las condiciones en las cuales un objeto permanece en reposo o en

movimiento, as como el comportamiento de cuerpos que interactuan mutuamente.

6.1. FUERZA

A partir de nuestras experiencias cotidianas, tenemos la intuicion del concepto de Fuerza. Cuan-

do se empuja o jala un objeto se aplica una fuerza sobre el; se aplica una Fuerza, cuando se

lanza o patea una pelota; tambien se aplica una fuerza cuando se desva o se detiene una pelota

lanzada.

En Fsica, Fuerza es una accion (empuje o tiron) que se ejerce sobre un cuerpo, donde esta

puede cambiar su estado de movimiento o bien producirle deformaciones.

La fuerza es una cantidad de tipo vectorial, se caracteriza por su magnitud, direccion y sentido.

As, no es igual el efecto que produce sobre un cuerpo una fuerza dirigida hacia arriba que otra,

de la misma intensidad, pero dirigida hacia abajo.

46

Unidades de Fuerza:

La magnitud de un vector Fuerza, en el sistema

internacional (m.k.s.) se mide en Newton (N). 1 N= 1 kg.m/s2

1 Newton la fuerza necesaria para causar en un cuerpo de un 1 kg, una aceleracion de 1 m/s2.

En el sistema c.g.s., la Fuerza se mide en dinas d. 1 d = 1 g.cm/s2

1 dina es la fuerza necesaria para causar en un cuerpo de un 1 g, una aceleracion de 1 cm/s2.

6.2. TIPOS DE FUERZA

Es posible clasificar las fuerzas en dos grandes grupos, las fuerzas de contacto y las fuerzas de

accion a distancia.

Fuerzas de contacto: Cuando existe contacto directo entre el cuerpo que produce la fuerza y

el cuerpo sobre el que se aplica. Ejemplo: un empujon, fuerza de friccion,...

Fuerzas a distancia: Cuando no existe contacto directo entre el cuerpo que ejerce la fuerza

y el cuerpo sobre el que se aplica. Por ejemplo: la atraccion producida por la Tierra sobre un

cuerpo, la llamamos peso, la atraccion o repulsion que ejercen dos cargas electricas, fuerzas

magneticas,...

Como se miden las fuerzas?

El dinamometro es el instrumento de medida que se utiliza en el laboratorio de fsica para

determinar la intensidad de las fuerzas. Su funcionamiento se basa en las propiedades elasticas

de ciertos materiales ante la accion de una fuerza. La forma mas sencilla de construir un di-

namometro es introduciendo un resorte en el interior de un tubo cilndrico.

Si fijamos un resote y de el suspendemos un cuerpo de masa m, este sufre un alargamiento x; si

suspendemos ahora un cuerpo de masa 2m Cual es el alargamiento que sufre el resorte?; con

un cuerpo de masa 3m Cual es el alargamiento?

La longitud de la deformacion de un resorte producida por una fuerza es proporcional a la

intensidad de dicha fuerza

F = k.x Ley de Hook

k: Constante elastica, caracterstica de cada resorte (grosor, material de constitucion,..)

47

6.3. PRIMERA LEY DE NEWTON

Consideremos el movimiento de un disco sobre un plano infinito sin friccion. Si se aplica una

fuerza sobre el disco, poniendo el disco en movimiento; El disco se detendra en determinado

momento?

Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento uniforme, si no actua ninguna

fuerza sobre el o si la suma de todas las fuerzas que actuan sobre el (Fuerza neta)

es nula.

Se puede afirmar que, cuando F = 0, entonces a = 0 Reposo o velocidad constante

FUERZAS MECANICAS COMUNES

El peso (w): Es la fuerza de atraccion que

aplica la tierra sobre un cuerpo (Es un vector

dirigido hacia el centro de la tierra)

El peso vara con la altura, es decir, con la

distancia entre el cuerpo y el centro de la

tierra. As un cuerpo situado sobre la su-

perficie de la tierra pesa mas que cuando se

encuentra a determinada altura

Debido a que la aceleracion gravitacional es

la unica que determina la atraccion de un

cuerpo por esta, tenemos:

w = m.g

w

g

Fuerza normal FN : Un cuerpo situado sobre una superficie experimenta una fuerza

ejercida por esta, dicha fuerza se denomina fuerza normal.

La fuerza normal es perpendicular a la superficie que la ejerce

FN

FN

Fuerza de rozamiento FR: Es una fuerza de oposicion cuando un cuerpo intenta

desplazarse o se desplaza sobre una superficie y se encuentra con cierta resistencia (fric-

cion)

48

Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza F y sin embargo permanece en reposo, es

porque existe una fuerza de rozamiento de igual magnitud y en sentido contrario a al

fuerza F que hace que la suma de fuerzas sea cero. A este tipo de rozamiento se conoce

como rozamiento estatico.

FR = eFN

La constante de proporcionalidad e se de-

nomina coeficiente de rozamiento estatico y

su valor, que por lo general es menor que 1,

depende de los dos materiales que esten en

contacto.

F

FR

Si el cuerpo al que se le aplica la fuerza F se mueve, es debido a que la fuerza aplicada

supera a la fuerza de rozamiento estatico. Ya en movimiento el rozamiento cambia de

valor y recibe el nombre de rozamiento cinetico.

FR = cFN

La constante de proprcionalidad c que, co-

mo el caso anterior depende de la naturaleza

de las superficies de contacto, se llama coe-

ficiente de rozamiento cinetico.

F

FR

Ejemplo: Un objeto se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. La masa del

objeto es de 20 kg y un joven ejerce una fuerza de 120 N sobre este.

1. Dibuja las fuerzas que actuan sobre el objeto

2. Calcular su peso, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento.

Solucion:

FFR

FN

w

1.

49

2.

w = m gw = 20kg 9, 8m/s2 = 196N

Fx = 0, entonces F FR = 0

FR = F

FR = 120N

Fy = 0, entonces FN w = 0

FN = w

FN = 196N

Tension:Es la fuerza que se transmite por medio de una cuerda, donde esta se considera

inextensible y de masa despreciable

Ejemplo: Determine la magnitud de las tensiones en los siguientes graficos:

30o

m1 = 5kgw2 = 40N

1. 2.

Solucion:

Diagrama de Fuerzas

1. 2.

w1

T1

T2

T3

T4T3x

T3y

50

Para el grafico 1:

Solamente tenemos fuerzas en el eje y.

Como el cuerpo esta en equilibrio la suma de fuerzas es cero.

Fy = 0 entonces T1 w1 = 0

T1 = w1

T1 = m1 gT1 = 5kg 9, 8m/s2 = 49N

Para el grafico 2:

Tenemos fuerzas en el eje x y en el eje y.

Como el cuerpo esta en equilibrio la suma de fuerzas es cero.

Observe que debido a que la tension 3 cae fuera de los ejes, genera dos tensiones, T3x y T3y que

estan dentro de los ejes y son las que debemos tener en cuenta.

Fx = 0 entonces T3x T4 = 0 (1)

Fy = 0 entonces T3y T2 = 0 (2)

De acuerdo al ejercicio 1, podemos afirmar que T2 = 40N y se puede verificar que:

T3x = T3 cos 30o y T3y = T3 sin 30

o. Por tanto las ecuaciones del sistema quedan:

T3 cos 30o = 40N (3)

T3 sin 30o = T2 (4)

De la ecuacion (3) se obtiene T3 = 46, 2N

Reemplazando T3 en la ecuacion (4) obtenemos que: T2 = 23,1N

6.4. SEGUNDA LEY DE NEWTON

Consideremos un cuerpo de masa m inicialmente en reposo, sobre el cual ejercemos una fuerza

constante F , y supongamos ademas que no hay fuerza de rozamiento entre las superficies.

El cuerpo adquiere un movimiento acelerado, de aceleracion a.

Si se duplica la fuerza que actua sobre el cuerpo, la aceleracion que adquiere sera 2a.Lo mismo

va ha suceder si se triplica la fuerza.

Podemos concluir, que la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo es proporcional a la aceleracion

que produce dicha fuerza, siendo la masa del cuerpo la constante de proporcionalidad.

51

Si se mantiene la fuerza constante, pero se aplica sobre cuerpos de diferente mas, observamos

que los cuerpos de mayor masa sufren una aceleracion menor, y los cuerpos de menor masa

experimentan una aceleracion mayor.

Podemos concluir entonces, que cuando sobre dos cuerpos de diferente masa actua la misma

fuerza, la aceleracion que sufren es inversamente proporcional a la masa.

Las anteriores experiencias, se pueden reducir a una sola formando la segunda ley de Newton

F=m.a

Por lo tanto, la aceleracion es directamente proporcional a la Fuerza (masa con-

stante) y la masa es inversamente proporcional a la aceleracion (Fuerza constante)

Ejemplo: Si al golpear una pelota con una fuerza de 4, 8N , esta adquiere una aceleracion de

6m/s2 Cual sera la masa de la pelota?

Solucion:

Aplicando la segunda ley de Newton, F = m.a

4, 8N = m 6m/s2m = 0, 8kg

Ejemplo: Un avion de 6000 kg que es capaz de desacelerar a razon de 12m/s2, hace contacto

con el piso a una velocidad de 540km/h y se detiene despues de 10 segundos de avanzar por la

pista. Cuanto vale la fuerza de rozamiento?

Solucion:

Se tiene que:

v0 = 540km/h = 150m/s

a = 12m/s2t = 10s

Si el avion tarda 10 segundos en detenerse, entonces:

vf = v0 + at

0 = 150m/s+ a(10s)

a = 15m/s2Como el avion solo puede desacelerar a razon de 12 m/s2, la desaceleracion restante, la provoca

la fuerza de rozamiento. De modo que:

FR = ma = (6000kg)(3m/s2) = -18000 N

52

6.5. TERCERA LEY DE NEWTON

La tercera ley de Newton establece que si dos cuerpos interactuan, la fuerza ejercida

sobre el cuerpo 1 por el cuerpo 2 es igual y opuesta a la fuerza ejercida sobre el

cuerpo 2 por el cuerpo 1.

F12 = F21Esta ley es equivalente a establecer que las fuerzas ocurren siempre en pares o que no puede

existir una fuerza aislada individual. La fuerza que el cuerpo ejerce sobre el cuerpo 2 se conoce

como fuerza de accion , mientras que la fuerza que el cuerpo 2 ejerce sobre el cuerpo 1 recibe

el nombre de fuerza de reaccion .

Ejemplo: Dos cuerpos de masa m1 = 30kg y m2 = 20kg se ponen en contacto entre s sobre

una horizontal sin friccion, como se muestra en la figura.

1. Encuentre la aceleracion del sistema

2. Determine la fuerza de contacto entre los dos bloques

F = 100Nm1

m2

Solucion:

Analicemos el diagrama de fuerzas tanto en los dos cuerpos como en cada uno de ellos.

F F12

F21

F21 F

F21

FN

w

FN

w

Fuerzas de contacto Cuerpo 1 Cuerpo 2

En los dos cuerpos:Fx : F = (m1 +m2)a a = 2m/s2

En el cuerpo 1:Fx : F F21 = m1a F21 = 40N = F12

53

6.6. EJERCICIOS

INTERPRETAR INFORMACION

1. Un cuerpo puede moverse en una direccion diferente de la fuerza neta aplicada sobre el?

2. Si no tenemos en cuenta la resistencia del

aire, dibuja en el punto A, la fuerza neta

que actua sobre el proyectil cuya trayecto-

ria se muestra en la figura.

x

yA

3. A que se debe que una persona acelere su auto y sin embargo este se mueva con rapidez

constante?

4. Bajo que condiciones un cuerpo liviano que

cuelga puede arrastrar a otro cuerpo, mas

pesado, que se encuentre sobre un plano

horizontal, si los dos estan atados por una

cuerda

10 kg

1 kg

5. Como se puede explicar que sobre un cuerpo que actuen 4 fuerzas, este se mueva con

velocidad constante

PROBLEMAS

1. Que aceleracion experimenta un cuerpo de 2000 gramos cuando sobre el se aplica una

fuerza neta de 20 N?

2. Si el bloque A de la figura se encuentra en

equilibrio, entonces, Cual es el valor de la

fuerza de rozamiento?

w2 = 16 N

w1 = 20 N

A

54

3. Sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 20 N con un angulo de inclinacion con respecto a

la horizontal de 30o Cual debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que el cuerpo

no se mueva.

4. Un resorte se encuentra en equilibrio. Si al colocarle un peso de 2 N se estira 5 cm, Cual

es su constante de elasticidad? Que distancia se estira si se le coloca un peso de 500 N?

5. Un cuerpo de 6.5 kg parte del reposo y recorre una distancia de 22 m en 5,4 segundos por

accion de una fuerza constante, encuentra el valor de la fuerza.

6. Un bloque cuyo peso es 400 N se encuentra

en reposo sobre un plano inclinado como se

muestra en la figura.

a) Dibuja el vector correspondiente a la

fuerza normal y el vector correspondi-

ente a la fuerza de rozamiento.

b) Encuentra el valor de la fuerza normal

y el valor de la fuerza de rozamiento.

60o

w = 400 N

7. Dos fuerzas, de 4 N y 5 N , respectivamente, se aplican perpendicularmente sobre un

cuerpo. Cual es el valor de la fuerza resultante? Que magnitud y en que direccion debe

aplicarse una tercera fuerza para que el cuerpo no se mueva?

8. Un bloque se desliza sobre un plano inclina-

do con velocidad constante, como se mues-

tra la figura. Si la fuerza normal es 50 N,

entonces, Cual es el peso del bloque?Cual

es la magnitud de la furza de rozamiento?

30ow

FN = 50N

9. Una fuerza horizontal de 5000 N acelera un auto de 1500 kg a partir del reposo, cual es

la aceleracion del auto?, Cuanto tiempo tarda en alcanzar una rapidez de 25 m/s?

10. Dos bloques de masas, estan dispuestos co-

mo se muestra en la figura, m1 = 5kg y

m2 = 8kg, respectivamente. Cual es la

aceleracion de los dos bloques si la fuerza

de rozamiento que aplica la superficie es de

30 N?

m1

m2

55

11. Determina la aceleracion del sistema

mostrado en la figura, si la polea carece de

rozamiento

5kg

10kg

12. Si se halan tres bloques a lo largo de una mesa sin rozamiento como se muestra en la

figura, Cual es la aceleracion del sistema?, Cuanto valen las tensiones T1 y T2?

5kg 10kg 15kg

T1 T2 F = 60N

13. Un pequeno insecto es colocado entre dos bloques de masas 8 kg y 12 kg sobre una mesa

sin friccion. Una fuerza de 40 N puede aplicarse ya sea a m1 o a m2 como se muestra

en la figura. En cual de los dos casos el insecto tiene mayor oportunidad de sobrevivir?

(Sugerencia: Determine la fuerza de contacto entre los bloques en cada caso)

Fm1

m2

Fm1

m2

14. En la figura se muestran 3 masas conectadas

sobre una mesa. La mesa tiene un coefi-

ciente de friccion de deslizamiento de 0,35

y las poleas no tienen friccion. Determine la

aceleracion de cada bloque y las tensiones

de las cuerdas.

4kg

2kg

1kg

40o

15. Dos bloques de m1 = 10kg y m2 = 5kg

se conectan mediante una cuerda sobre una

polea sin friccion. El bloque 2 se ubica sobre

un plano inclinado de 40o experimentando

un rozamiento con coeficiente = 0, 12. En-

cuentre la aceleracion del sistema y la ten-

sion de la cuerda

56

Captulo 7TRABAJO Y ENERGIA

El concepto de Energa es uno de los mas importantes en la ingeniera. Desde la cotidianidad

pensamos en energa como la elctricidad para aparatos dometicos, electricidad para iluminacion,

combustibles para maquinarias, alimentos que consumimos,... Sin embargo en Fsica el concepto

de energa dista de los anteriores conceptos.

La energa esta presente en el universo de muchas formas: Energa mecanica, electromagneticas,

qumica, termica, nuclear,... Por ejemplo, cuando un motor se conecta a una pila (batera), la

energa qumica se convierte en energa electrica, y esta en energa mecanica. La transformacion

de la energa es otra parte importante del estudio de la Fsica. Cuando la energa cambia

de forma, su cantidad total permanece constante

En este captulo se estudiaran conceptos fundamentales de la energa y las leyes de su conser-

vacion.

7.1. TRABAJO

El trabajo cientficamente utilizado es diferente al concepto que de trabajo se tiene en la vida

diaria. Cosidere un cuerpo que experimenta un desplazamiento x a lo largo de una lnea recta

mientras actua sobre el una fuerza constante F que forma un angulo con la horizontal.

40o

F

x

57

El trabajo (W ) producido por una fuerza constante F aplicada sobre un cuerpo, es

igual al producto de la componente de la fuerza en direccion del desplazamiento y

la magnitud del desplazamiento x del cuerpo.

W = F cos(x)

El trabajo se expresa en N .m. Esta unidad se denomina Julio, en honor al fsico ingles James

Prescott Joule (1818-1889)

Un Julio (J) es el trabajo realizado por una fuerza de un Newton, cuando produce un desplaza-

miento de un metro en la misma direccion de la fuerza.

En el sistema cgs las unidades de trabajo estan dadas como: d.cm = ergio 1J = 107erg

Si graficamos la fuerza en funcion del desplaza-

miento