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Fisica II - Informatica
Capacità
Capacità elettrica Condensatore
Condensatore = sistema per immagazzinare energia (elettrica)
Fisica II - Informatica
Capacità
La capacità è una misura di quanta carica debba possedere un certo tipo di condensatore per avere una data differenza di potenziale tra le armature:maggiore capacità, maggiore è la carica necessaria.(la capacità è sempre positiva !)
Unità di misura1 Farad = 1 F = 1 Coulomb/Volt = 1 C/V
QC
V
Definizione
Fisica II - Informatica
Capacità di una sfera isolataTesi:La capacità di un dispositivo dipende dalle caratteristiche geometriche dei conduttori.
04sfera ee
e
Q Q Q RV k C R
QR V kk R
Dimostrazione:Consideriamo un conduttore sferico di raggio R e carica Q. Per simmetria, assimiliamo il secondo conduttore ad un guscio sferico concentrico di raggio infinito. Essendo V=0 sul guscio di raggio infinito, la capacità della sfera sarà:
La capacità di una sfera carica isolata è proporzionale al suo raggio ed è indipendente sia dalla carica che dalla differenza di potenziale.
Fisica II - Informatica
Carica di un condensatore
•Inizialmente potenziale nullo•Chiusura interruttore•Campo elettrico “spinge” gli elettroni
•Piatto h perde elettroni•Piatto l acquisisce elettroni•Al crescere della carica (su C) cresce d.d.p. fino a V
•h e (+) batteria allo stesso potenziale, campo nullo, flusso elettroni nullo
•Il condensatore è carico
Fisica II - Informatica
Calcolo capacità elettrica
0
0 0
0
Legge di Gauss d q
qquindi
A
d e cost q EA
E A
E
E A E
0 = 8.85·10-12 F/m = 8.85 pF/m = 8.85·10-12 C2/(N·m2)
0
0 0
. . .f d
f i id d p V V d da cui V E ds E ds Ed
Aq CV EA C E d C
d
E s
Fisica II - Informatica
Condensatore cilindrico
0
0
0 0
0
2
2
ln2 2
2 .ln
E
b b
b a ra a
Legge Gauss sup. cilindrica E cost e radiale
qd E dA E rL
qda cui E
rL
q dr q aV V E dr
L r L b
q LC C L lungh cilindro
V b a
E A
Fisica II - Informatica
Condensatore sferico
20 0 20
20
0 0
0
14
4
4
1 1
4 4
4
b b
b a ra a
Legge Gauss sup. sferica
qq EA E r E
r
q drV V E dr
r
q q a b
a b ab
q abC
V b a
0
0
41
4
aSfera isolata C
a b
per b e ponendo a R
C R
Fisica II - Informatica
Collegamento di condensatori simboli circuitali
esempio di circuito
Fisica II - Informatica
Condensatori in parallelo
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1
eq
n
eq jj
q CV q C V q C V
q q q q C C C V
qC C C C
V
C C n condensatori in parallelo
Fisica II - Informatica
Condensatori in serie
1 1 2 2 3 3
1 2 31 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1 1 1
1
1 1 1
1 1 1 1
1 1
eq
eq
n
jeq j
V q C V q C V q C
V V V V qC C C
qC
V C C C
C C C C
n condensatori in serieC C
Fisica II - Informatica
Energia di un Condensatore
QC
V
• Quanta energia è immagazzinata in un condensatore carico ? – Calcoliamo il lavoro fornito (usualmente da una batteria) per caricare
un condensatore a +/- Q:
• Calcolare il lavoro incrementale dW necessario per aggiungere una carica dq al condensatore alla tensione V :
( )q
dW V q dq dqC
- +
• Il lavoro totale W per caricare a Q è quindi dato da:
• In termini della tensione V usando si ha:
21
2W CV
2
0
1 1
2
W qdqC C
0piatti paralleli
AC
d
Fisica II - Informatica
Dove è immagazzinata l’energia ?• Tesi: l’energia è immagazzinata nel campo elettrico stesso.
Pensiamo all’energia necessaria per caricare il condensatore come all’energia necessaria per creare il campo.
• Il campo elettrico è dato da:
0 0
QE
A
20
1
2U E Ad
• La densità di energia u nel campo è data da:
20
1
2
W Wu E
volume Ad
3m
JUnità:
Questa è la densità di energia, u, del campo elettrico….
• Per calcolare la densità di energia nel campo, si consideri prima il campo costante generato da un condensatore piano parallelo, dove
2 2
0
1 1
2 2 ( / )
Q QU
C A d ++++++++ +++++++
- - - - - - - - - - - - - -- Q
+Q
Il caso è del tutto generale anche se calcolato per un condensatore ad armature piane e parallele.
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Dielettrici• Osservazione sperimentale:
Inserendo un materiale non-condutore tra i piatti di un condensatore si modifica il VALORE della capacità.
• Definizione:La costante dielettrica di un materiale è il rapporto tra le capacità in presenza ed in assenza di un dielettrico, cioè
0r
C
C
– i valori di r sono sempre > 1 (p.es., vetro = 5.6; acqua = 78) (acqua molto pure e non-conduttrice (de-ionizzata)
– essi INCREMENTANO la capacità di un condensatore (fatto “positivo”, perchè è difficile realizzare “grandi” condensatori)
– essi permettono di immagazzinare una maggiore quantità di energia (rispetto al caso del vuoto ovvero aria)
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Rigidità DielettricaIl valore massimo del campo elettrico che un materiale dielettrico può sopportare prima di una rottura distruttiva.
Per esempio la rigidità dielettrica dell’aria è 3 kV/mm e quella del Pyrex è 14 kV/mm.
• Essa limita la tensione che può essere applicata al condensatore. La tensione massima è chiamata potenziale di rottura (breakdown).
• Se i due piatti di un condensatore sono separati da 1 mm, il potenziale di rottura è di 3 kV se lo spazio tra i piatti è costituito da aria, mentre è di 14 kV se lo spazio è riempito di Pyrex.
Rigidità Dielettrica
Fisica II - Informatica
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Piatti Paralleli: Esempio• Carichiamo un condensatore a piatti
piani e paralleli separati dal vuoto (aria) alla d.d.p. V0.
• Una quantità di carica Q = C0V0 viene a trovarsi su ciascun piatto.
• Inseriamo ora un materiale con costante dielettrica r.
– La carica Q rimane costante (piatti isolati)
• QUINDI !!!
Q+++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - -
E0V0
- - - - - - - - - - - - - - -
+++++++++++++++Q
V E
+
- +
-
+
-+
-
+
-
+
-+
-
0
r
VV
– Si trova che V0 diminuisce a
0
r
EE
– il campo elettrico diminuisce :
– Quindi, C = Q0/V = r C0 0r
Condensatore piano
AC
d
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Piatti Paralleli: Esempio
• MODIFICHE ALLA LEGGE DI GAUSS ?– Come può diminuire il campo se la
carica rimane la stessa ?
0
r
VV
0
rE
E
Q
Q
E
V0
V
E0
+++++++++++++
- - - - - - - - - - - - -
+++++++++++++
- - - - - - - - - - - - -
++
-
+
- +
-
+
- +
-
+
-
+
-+
-+
-
– Risposta: il dielettrico si polarizza in presenza del campo dovuto a Q. • Le molecole si allineano parzialmente
con il campo in maniera che la loro carica negativa si sposta verso il piatto positivo.
• Il campo dovuto a questa redistribuzione all’interno del dielettrico (orientazione dipoli) si oppone al campo originale ed è quindi responsabile della riduzione del campo effettivo.
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Polarizzazione indotta
Polarizzazione indotta
Dipolo elettrico permanente
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Dielettrici nei condensatori !
• Condensatore a piatti paralleli separati da vuoto
oε
σE vuoto
+ + + + + + + +
- - - - - - - -
dielettrico
+ + + + + + + +
- - - - - - - -
σ
εrE
o
la costante dielettrica relativa può essere grande
• Condensatore con dielettrico tra i piatti– intensità del campo E ridotta
dalla “costante dielettrica relativa”
• Perchè ?– la polarizzazione dielettrica determina
una carica superficiale sul dielettrico che cancella parzialmente l’effetto delle cariche libere (sui piatti)
Fisica II - Informatica
Modifiche alla Legge di Gauss(in presenza di dielettrici)
Riscrivendo la legge di Gauss in presenza del dielettrico:
Questa forma della Legge di Gauss può essere usata nel vuoto o nel dielettrico, q rappresenta la carica “libera".
(la carica libera è la carica che si può muovere, p.es. sulle armature)
0 r dS
E q
Nel vuoto:0 0 d
E S q
Con un dielettrico il campo si riduce: 0
rE
E
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Condensatori reali: come sono fatti
Fisica II - Informatica
Capacità: fenomeni naturali e
applicazioni