TTULO LA OBRA: TTULO DE L A OBRA: Octava Edicin: 2 002

FSICA

JORGE JORGE MENDOZA DUEAS Reservado todos los derechos. Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorizacin expresa del autor.

D iagramacin y Composicin: iagramacin Comp omposicin: Juan Carlos Gonzales P. Fernando Gonzales P. 481-0554 / 382-3251 oto grafas: Foto grafas: Guillermo Pacheco Q.

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Prlogon la ltima dcada la enseanza del curso de fsica en los centros educativos ha evolucionado notablemente respecto a la anterior, es ms; est latente la inclusin en aos posteriores del clculo infinitesimal; esto obliga y motiva a nosotros los autores a la renovacin constante de nuestro material. Esta octava edicin ha sido diseada y elaborada teniendo como base la edicin anterior, no obstante la novedad se manifiesta en la inclusin de fotografas, el test de evaluacin y el cambio casi total de los problemas resueltos y propuestos. El curso de fsica, merece una enseanza cuidadosa y extremadamente metdica, es en tal sentido (a criterio propio) que lo primero que debemos apuntar como maestros, es conseguir que nuestros nuevos alumnos empiecen a estimar nuestro curso; una manera de lograrlo es mediante la explicacin audiovisual de los fenmenos fsicos relacionados a nuestra vida diaria, en este texto se presentan las fotografas y esquemas que intentan complementar dicha funcin. La fsica es parte de la ciencia, y como tal su explicacin tendr que exponerse de manera cualitativa y cuantitativa. La explicacin cualitativa en este libro se plasma en la exposicin detallada de la teora de cada tema, ilustrada con ejemplos, esquema, fotos, etc. La explicacin cuantitativa est conformada por los llamados problemas; en nuestro material, estos han sido divididos en dos partes: Los problemas de aplicacin, donde el estudiante podr aplicar las frmulas fsicas previo raciocinio. Y los problemas complementarios, donde el alumno podr familiarizarse con los problemas pre-universitario consiguiendo con ello elevar el nivel acadmico del mismo. Por otro lado, la evaluacin de raciocinio rpido es otro ente que deber tenerse presente; ello lo representamos en el llamadoTEST, donde el estudiante tendr la oportunidad de recordar y razonar lo que el profesor y el libro le han enseado en un determinado tema sin necesidad de realizar operaciones matemticas extensas. Quiero terminar este prlogo agradeciendo a todos los colegas que me hicieron llegar sus crticas y sugerencias para mejorar el contenido del libro, quiero agradecer tambin el apoyo de mis familiares y amigos que me apoyaron en la elaboracin de este texto.EL AUTOR.

E

IndiceCAPTULO 1: CAPTULO 1: eneralidades G eneralidades 7 7 9 11 11 13 21 31 41 41 43 57 57 59 61 79 83 97 98 99 110 118 127 139 148 159 159 174 187 187 188 190 201 201 204 213 213 213 215 216

Concepto de Fsica El mtodo cientfico CAPTULO CAPTULO 2: Fsicas M agnitudes Fsic as

Magnitud fsica Sistema de unidades - Notacin exponencial Anlisis dimensional Medicin - Teora de errores CAPTULO CAPTULO 3: ect ores Vec t ores

Vector Operaciones vectoriales CAPTULO CAPTULO 4: sttica E sttica

Equilibrio Rozamiento Leyes de Newton - 1era condicin de equilibrio Momento de una fuerza - 2da condicin de equilibrio Centro de gravedad CAPTULO CAPTULO 5: inemtica C inemtic a

Movimiento Movimiento rectilneo uniforme Movimiento rectilneo uniformemente variado Cada libre Grficos relacionados al movimiento Movimiento compuesto Movimiento circular CAPTULO 6: CAPTULO D inmica inmica

2da ley de Newton Dinmica circular CAPTULO CAPTULO 7: Pot otencia Energa Tr abajo - Potencia - Energa

Trabajo mecnico Potencia Energa mecnica CAPTULO CAPTULO 8: vimient planetario Gr universal M o vimient o planetario - G r a vitacin universal

Movimiento planetario Gravitacin universal CAPTULO CAPTULO 9: mecnicas Oscilaciones y Ondas mecnicas

Movimiento oscilatorio Movimiento armnico simple Pndulo simple Movimiento ondulatorio

CAPTULO CAPTULO 10:

sttica E sttic a de los fluidos

229 229 230 231 232 232 243 243 245 247

Presin Principio de Pascal Presin hidrosttica Vasos comunicantes Empuje CAPTULO CAPTULO 11: Termometra Dilatacin Calorimetra CAPTULO CAPTULO 12: G ases C alor

261 261 263 275 275 277 280 293 295 307 307 323 339 340 344 363 363 365 366 381 397 398 400 409 409 409 411 412 413

Comportamiento de los gases Termodinmica CAPTULO CAPTULO 13: lectr tricidad E lec tricidad

Teora electrnica Introduccin a la electrosttica Carga - Campo elctrico Potencial elctrico Capacitancia Electrodinmica Corriente elctrica Circuitos elctricos CAPTULO 14: CAPTULO M agnetismo

Imn Electromagnetismo CAPTULO CAPTULO 15: ptica ptica

Naturaleza de la luz Fotometra Reflexin de la luz Refraccin de la luz CAPTULO CAPTULO 16: electromagnticas tromagntic Ondas elec tromagnticas

Espectro electromagntico Estudio experimental del espectro visible CAPTULO CAPTULO 17: Fsica moder derna Fsica moder na

Teora cuntica Efecto fotoelctrico Modelo atmico El rayo lser Teora de la relatividad

Captulo

1

GENERALIDADESLos fenmenos naturales son intrnsecos a la naturaleza, nacen con ella, es imposible que el hombre pueda regirlas o alterarlas, como ejemplos tenemos: la cada de los cuerpos, los fenmenos pticos, la atraccin magntica, la transformacin de la energa, entre otros; por otro lado es obvio afirmar que siempre existi una interaccin mutua entre el hombre y la naturaleza. El ser humano mediante su inteligencia trat de encontrar la solucin al porqu de los fenmenos naturales, surgi entonces la ciencia que no es ms que el conocimiento y estudio de las leyes de la naturaleza. Sera absurdo dar una fecha al nacimiento de la ciencia, pues sta aparece tras una evolucin contnua del hombre en el espacio y en el tiempo. Entindase que la ciencia encierra un conocimiento cualitativo y cuantitativo de las leyes naturales; pues si no se puede medir y expresar en nmeros las leyes de un fenmeno, por ms que su explicacin cualitativa sea contundente, sta ser pobre e insatisfactoria; de ah que las matemticas se convierten en una herramienta imprescindible en la formulacin de una Ley.EXPLICA CUALIT TIVA ALITA EXPLICA CIN CUALITATIVA EXPLICA CUANTIT TIVA ANTITA EXPLICA CIN CUANTITATIVA

F=F

GmM H2

La manzana cae hacia la tierra, por la atraccin gravitatoria.

Es posible calcular la fuerza gravitatoria.

Par ara sirv Para qu sir v e la ciencia? Realmente esta pregunta es muy amplia, pero de manera general se puede afirmar que sirve para: Prevenir el acontecimiento futuro de un fenmeno natural (terremoto, lluvia, huracn, etc.) Poder usarlas de acuerdo a nuestros intereses. Usamos el viento para trasladarnos en avin; usamos la cada del agua para generar energa elctrica; usamos los diferentes tipos de ondas para comunicarnos. Modernizarnos, pues la ciencia tiene su aplicacin directa, por ejemplo: La Ingeniera, La Medicina, La Astronoma, etc.

-

& El hombre, para facilitar el estudio de la ciencia ha credo conveniente dividirlas en varias ramas, y esto es enteramente convencional. La palabra Fsica proviene del trmino griego physis que significa NaN turaleza aleza turaleza , por lo tanto, la Fsica podra ser la ciencia que se dedica a estudiar los fenmenos naturales; este fue el enfoque de la Fsica hasta principios del siglo XIX con el nombre de ese entonces Filosofa Natural A partir del siglo XIX se redujo al campo . de la Fsica, limitndola al estudio de los llamados F Fenmenos Fsicos , los dems se separaron de Fsicos os ella y pasaron a formar parte de otras ciencias naturales. Es innegable que el estudio de la Fsica involucra la experimentacin del fenmeno y la cuantificacin del mismo, por eso es importante combinar la teora, con ayuda de las clases dictadas por los profesores o la bibliografa de los diver-

Jorge Mendoza Dueas sos libros del curso y la prctica o experimento del fenmeno en estudio; pues as lo hicieron los grandes cientficos como Arqumides, Galileo, Newton, Einstein entre otros.

CONCEPTO DE FSICAEs una rama de la ciencia de tipo experimental, que observa, estudia y gobierna mediante leyes los llamados fenmenos fsicos.

FENMENOEs el cambio o modificacin que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de diversas formas de energa; existen muchos fenmenos. En esta oportunidad nos ocuparemos solo de tres fenmenos.

A)

Fenmeno Fsico Fenmeno FsicoEs el cambio que sufre la materia sin alterar su estructura ntima. Se caracteriza por ser reversible

lustraciones I lustr aciones

La piedra cambi de posicin , pero no cambi su estructura qumica. Inicialmente era piedra,finalmente tambin lo es; por lo tanto se produjo un fenmeno fsico.

La evaporacin del agua es un fenmeno fsico. Inicialmente era agua, finalmente tambin es agua.

B)

Qumic umico Fenmeno QumicoEs el cambio que sufre la materia experimentando una alteracin en su estructura qumica. Se caracteriza por ser irreversible, es decir el cuerpo no vuelve a ser jams lo que inicialmente era.

lustraciones I lustr acionesazcar

fuego

Si se quema una madera, ste cambia. El fenmeno es qumico; inicialmente el cuerpo era madera , finalmente no lo es.

Cuando se somete al azcar a la accin del calor, el azcar se transforma en un cuerpo negro (carbn de azcar); ya no vuelve a ser el azcar primitivo.

C)

Fsico-Qumico o-Qumic Fenmeno Fsico-QumicoEste fenmeno tiene algunas caractersticas del fenmeno fsico y otras del qumico.

Generalidades

'

PARTES DE LA FSICA

A)

ecnica.M ecnic a.- Estudia los fenmenos relacionados con los movimientos de los cuerpos as como las fuerzas que actan en ellos. Se divide en: ecnica - M ecnica de los Slidos Rgidos: - Cinemtica - Esttica - Dinmica - M ecnica de los Slidos D efor mables ecnica Deformables efor - M ecnica de los Fludos ecnica Fludos

C) D) E) F) G)

cstica.A cstica.- Estudia los fenmenos referentesal sonido.

lectricidad.tricidad E lec tricidad.- Estudia los fenmenos relacionados con la carga elctrica.

Optica.Optica.- Estudia la interaccin de la luz conla materia.

agnetismo.M agnetismo.- Estudia los fenmenos relacionados con los campos magnticos.

B)

alor.C alor.- Estudia las interacciones en el interior de la materia.

Fsica M o derna.- Cubre los desarrollos alFsica Mo derna.canzados en el siglo XX.

EL MTODO CIENTFICOEs un mtodo de la Fsica, dirigido a las personas de ciencias y contempla los pasos a seguir para formular una ley fsica. En la prctica nosotros podemos comprobar la veracidad de una ley utilizando este mtodo. El mtodo cientfico es esencialmente un mtodo experimental y tiene como gestor a Galileo Galilei. A continuacin se dar a conocer cada uno de los pasos utilizando como ejemplo ilustrativo, la ley de la Gravitacin Universal, formulada por Isaac Newton.

1.-

LA OBSERVACIN.- Consiste en realizar un examen visual-mental del fenmeno, notando su estado actual y sus transformaciones as como los diferentes factores que parecen influenciarlos. Muchas veces las condiciones y circunstancias en que se realiza el fenmeno no es el ptimo, motivo por el cual la observacin debe realizarse minuciosa y reiteradamente.

Cuenta la historia que Newton observ que la manzana caa hacia la tierra . Tambin descubri que la luna cae eternamente hacia nuestro planeta.

2.- MEDIDA Y REGISTROS DE DATOS.- Para describir un fenmeno fsico existen dos tipos: ladescripcin cualitativa y cuantitativa. Se dice que una descripcin es cualitativa, cuando se describe con palabras y no con nmeros, por ejemplo: el edificio es alto, la temperatura del horno es alta, el caudal de las aguas del ro es grande. Obviamente que esta clase de descripcin deja muchas preguntas sin respuesta, se necesitar entonces de los nmeros y estos se basan en una medicin.

Jorge Mendoza Dueas El mtodo cientfico exige comparacin y estas se efectan mejor en forma cuantitativa, es decir, con nmeros. Esto no significa que el cientfico necesariamente tenga que partir de una medicin indita, muchas veces l aprovecha las mediciones de sus colegas antecesores, las cuales le sirven como base para describir cuantitativamente el fenmeno en estudio.Newton aprovech los estudios realizados por los cientficos que le antecedieron como los de Nicols Coprnico, Galileo quien invent el telescopio, Tycho Brahe que se ocup por 20 aos de hacer mediciones de los cuerpos celestes con ayuda del telescopio, as como de Johanes Kepler (amigo de Galileo) quien formulara sus famosas Leyes de Kepler .

T12 T22 = = cte r13 r23

3.- FORMULACIN DE UNA HIPTESIS.- A partir de hechos y leyes conocidas, un cientficopuede descubrir nuevos conocimientos en una forma terica. Se entiende por teora al hecho que el Fsico proponga un modelo de la situacin fsica que est estudiando, utilizando relaciones previamente, establecidas; ordinariamente expresa su razonamiento mediante tcnicas matemticas.Ley de Newton: F =2

4 2mR T2

Ley de Kepler:

T = K = cte R3F= GmM R2

Hiptesis:

Con ayuda de las leyes de Kepler, as como de su segunda Ley, Newton llev a cabo su modelo matemtico hasta llegar a una hiptesis.

Donde: G = cte. de gravitacin universal.

4.- EXPERIMENTACIN.- Consiste en la observacin del fenmeno bajo condiciones preparadascon anterioridad y cuidadosamente controladas. De esta manera el cientfico puede variar las condiciones a voluntad, haciendo ms fcil descubrir como ellas afectan el proceso. Henry Cavendish Si esta ltima se llena satisfacfue quien determin experimentaltoriamente, la hiptesis pasa a mente el valor de la ser un hecho comprobado y constante G, 70 aos despus de la puede ser una Ley de la Fsica muerte de Newton que se enuncia mediante fr; con lo cual se comprob la veracidad mulas matemticas.de la hiptesis de Newton(ley).

De todo lo expuesto es fcil deducir que todo cientfico tiene como meta descubrir las leyes de la naturaleza y ello empieza con la curiosidad que es lo que lleva a la observacin del fenmeno (inicio del mtodo cientfico).

Captulo

2

MAGNITUDES FSICASMAGNITUDES FSICASEs todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, dicho en otras palabras es susceptible a ser medido. Para qu sirven las magnitudes fsicas? sirven para traducir en nmeros los resultados de las observaciones; as el lenguaje que se utiliza en la Fsica ser claro, preciso y terminante.

CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICAS 1.A) POR SU ORIGEN Magnitudes FundamentalesSon aquellas que sirven de base para escribir las dems magnitudes. En mecnica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: La longitud, la masa y el tiempo. Las magnitudes fundamentales son: Longitud (L) Masa (M) Tiempo (T) , , , Intensidad de corriente elctrica (I) Temperatura termodinmica () Intensidad luminosa (J) Cantidad de sustancia ()

B)

Magnitudes DerivadasSon aquellas magnitudes que estn expresadas en funcin de las magnitudes fundamentales; Ejemplos: Velocidad Aceleracin Fuerza , , , Trabajo Superficie (rea) Densidad , , Presin Potencia, etc.

C)

Magnitudes Suplementarias(Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni derivadas; sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales: ngulo plano () , ngulo slido ()

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Jorge Mendoza Dueas

2.- POR SU NATURALEZA A) Magnitudes EscalaresSon aquellas magnitudes que estn perfectamente determinadas con slo conocer su valor numrico y su respectiva unidad. Ejemplos: VOLUMENSlo necesito 100 mm3 y estar terminado

TEMPERATURATengo fiebre de 40 C Que fatal!

TIEMPOSon las 12:15 P.M. Ya es tarde!

Como se ver en todos estos casos, slo se necesita el valor numrico y su respectiva unidad para que la magnitud quede perfectamente determinada.

B)

Magnitudes VectorialesSon aquellas magnitudes que adems de conocer su valor numrico y unidad, se necesita la direccin y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos:

FUERZAF = 5N

DESPLAZAMIENTO

Sabemos que la fuerza que se est aplicando al bloque es de 5 Newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica que la fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendramos idea si se aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitud vectorial.

El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orientacin N 60 E (tiene direccin y sentido) con lo cual es fcil llegar del punto o a la casa.

Magnitudes Fsicas

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NOTACIN SISTEMA DE UNIDADES - NOTACIN EXPONENCIAL

SISTEMA DE UNIDADESLa necesidad de tener una unidad homognea para determinada magnitud, obliga al hombre a definir unidades convencionales. Origen del Sistema de Unidades: Convencionalmente: 1 pulgada = 2,54 cm 1 pie = 30,48 cm 1 yarda = 91,14 cm

1 pulgada

1 yarda

El 14 de octubre de 1 960, la Conferencia General de Pesas y Medidas, estableci el Sistema Internacional de Unidades (S.I.), que tiene vigencia en la actualidad y que en el Per se reglament segn la ley N 23560. Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Internacional (S.I), estas son:

1 pie

1.

UNIDADES DE BASESon las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales. MAGNITUD Longitud Masa Tiempo Intensidad de Corriente Elctrica Temperatura Termodinmica Intensidad Luminosa Cantidad de Sustancia UNIDAD metro kilogramo segundo Ampere Kelvin Candela mol SIMBOLO m kg s A K cd mol PATRON PRIMARIO Basado en la longitud de onda de la luz emitida por una lmpara de criptn especial. Un cilindro de aleacin de platino que se conserva en el laboratorio Nacional de Patrones en Francia. Basado en la frecuencia de la radiacin de un oscilador de cesio especial. Con base en la de fuerza magntica entre dos alambres que transportan la misma corriente. Definido por la temperatura a la que hierve el agua y se congela simultneamente si la presin es adecuada. Basado en la radiacin de una muestra de platino fundido preparada especialmente. Con base en las propiedades del carbono 12.

2.

UNIDADES SUPLEMENTARIASSon las unidades correspondientes a las magnitudes suplementarias, sin embargo se les considera como unidades de base.

MAGNITUD Angulo Plano Angulo Slido

UNIDAD radin estereorradin

SIMBOLO rad sr

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3.

UNIDADES DERIVADASSon las unidades correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuacin slo se presentarn algunas de ellas. MAGNITUD Fuerza Superficie (Area) Velocidad Volumen Trabajo Presin Potencia Frecuencia Capacidad Elctrica Resistencia Elctrica OBSERVACIONES UNIDAD Newton metro cuadrado metro por segundo metro cbico Joule Pascal Watt Hertz faradio Ohm SIMBOLO N m2 m/s m3 J Pa W Hz f

2.

SUBMLTIPLOSPREFIJO deci centi mili micro nano pico femto atto SMBOLO d c m n p f a FACTOR DE MULTIPLICACIN 10 = 0,1 -2 10 = 0,01 -3 10 = 0,001 -6 10 = 0,000 001 -9 10 = 0,000 000 001 -12 10 = 0,000 000 000 001 -15 10 = 0,000 000 000 000 001 -18 10 = 0,000 000 000 000 000 001-1

OBSERVACIONES Los smbolos de los mltiplos o submltiplos se escriben en singular. Todos los nombres de los prefijos se escribirn en minscula. Los smbolos de los prefijos para formar los mltiplos se escriben en maysculas, excepto el prefijo de kilo que por convencin ser con la letra k minscula. En el caso de los submltiplos se escriben con minsculas. Al unir un mltiplo o submltiplo con una unidad del S.I. se forma otra nueva unidad. Ejemplo:

El smbolo de una unidad no admite punto al final. Cada unidad tiene nombre y smbolo; estos se escriben con letra minscula, a no ser que provenga del nombre de una persona, en cuyo caso se escribirn con letra mayscula.

NOTACIN NOTACIN EXPONENCIALEn la fsica, es muy frecuente usar nmeros muy grandes, pero tambin nmeros muy pequeos; para su simplificacin se hace uso de los mltiplos y submltiplos. Unidad del S.I. Nuevas Unidades m km cm (metro) (kilmetro) (centmetro)

1.

MLTIPLOSPREFIJO Deca Hecto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa SMBOLO D H k M G T P E FACTOR DE MULTIPLICACIN 101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 106 = 1 000 000 109 = 1 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000 1018 = 1 000 000 000 000 000 000

La escritura, al unir mltiplo o submltiplo con una unidad del S.I. es la siguiente: Primero: El nmero (valor de la magnitud). Segundo: El mltiplo o submltiplo (dejando un espacio) Tercero: La unidad del S.I. (sin dejar espacio). Ejemplo: 2010 m = 20 km (20 kilmetros) -6 36,410 f = 36,4 f (36,4 microfaradios)3

Magnitudes Fsicas

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SIGNIFICATIV TIVAS CIFRAS SIGNIFICATIVASCuando un observador realiza una medicin, nota siempre que el instrumento de medicin posee una graduacin mnima: Ilustracin

CONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVASLas cifras significativas de un valor medido, estn determinados por todos los dgitos que pueden leerse directamente en la escala del instrumento de medicin ms un dgito estimado. En el ejemplo del libro, la longitud del mismo se puede expresar as: 33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m Es notorio que el nmero de cifras significativas en el presente ejemplo es tres. El nmero de cifras significativas en un valor medido, generalmente se determina como sigue:

La regla graduada tiene como graduacin mnima el centmetro.

l

El dgito distinto de cero que se halle ms a la izquierda es el ms significativo. l El dgito que se halle ms a la derecha es el menos significativo, incluso si es cero. l El cero que se coloca a la izquierda del punto de una fraccin decimal no es significativo. 20 ; tiene una cifra significativa. 140 ; tiene dos cifras significativas. 140,0 ; tiene cuatro cifras significativas. 1 400 ; tiene dos cifras significativas. l Todos los dgitos que se hallen entre los dgitos menos y ms significativos son significativos. Ejemplo; determinar el nmero de cifras significativas:

Al medir el largo del libro se observa que su medida est entre 33 y 34 cm.

Se podr afirmar entonces que el largo del libro mide 33 centmetros ms una fraccin estimada o determinada al ojo as por ejemplo, nosotros po, demos estimar: L = 33,5 cm.

4,356 m ; tiene cuatro cifras significativas. 0,23 m ; tiene dos cifras significativas. 0,032 m ; tiene dos cifras significativas 36,471 2 m; tiene seis cifras significativas 6,70 m ; tiene tres cifras significativas 321,2 m ; tiene cuatro cifras significativas 2,706 m ; tiene cuatro cifras significativas

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TEST1.Entre las alternativas, una de las unidades no corresponde a las magnitudes fundamentales del sistema internacional: a) b) c) d) e) 2.metro (m) Pascal (Pa) Amperio (A) candela (cd) segundo (s) a) b) c) d) e) 7.50 millas y por 2,05 10 m 4 20 millas y por 2,1 10 m 5 30 millas y por 2,1 10 m 4 40 millas y por 10 m N.A.4

Un estudiante determinado meda 20 pulg de largo cuando naci. Ahora tiene 5 pies, 4 pulg y tiene 18 aos de edad. Cuntos centmetros creci, en promedio, por ao? a) b) c) d) e) 6,2 cm 5,3 cm 5,4 cm 6,7 cm 4,3 cm

Qu magnitud est mal asociada a su unidad base en el S.I.? a) b) c) d) e) Cantidad de sustancia - kilogramo Tiempo - segundo Intensidad de corriente - Amperio Masa - kilogramo Temperatura termodinmica - kelvin

8.-

Cul de las siguientes alternativas tiene mayor nmero de cifras significativas? a) b) c) d) e) 0,254 cm 2 0,002 54 10 cm 3 254 10 cm 3 2,54 10 m Todos tienen el mismo nmero

3.-

Cul de las unidades no corresponde a una unidad fundamental en el S.I.? a) b) c) d) e) A Amperio mol - mol C - Coulomb kg - kilogramo m - metro

9.-

4.-

Entre las unidades mencionadas, seala la que pertenece a una unidad base en el S.I. a) b) c) d) e) N Newton Pa - Pascal C - Coulomb A - Amperio g - gramo

Determine el nmero de cifras significativas en las siguientes cantidades medidas: (a) 1,007 m, (b) 8,03 cm, (c) 16,722 kg, (d) 22 m a a) b) c) d) e) 4 2 4 1 2 b 3 2 3 1 1 c 5 5 5 3 3 d 3 2 2 2 2

5.-

Qu relacin no corresponde? 10.a) b) c) d) e) 1 GN = 10 N 12 2 TJ = 210 J 9 1 nHz = 10 Hz 9 3 MC = 310 C 12 A 5 pA = 5109

Cul de las cantidades siguientes tiene tres cifras significativas? a) b) c) d) e) 305 cm 0,050 0 mm 1,000 81 kg 2m N.A.

6.-

Al convertir una seal de camino al sistema mtrico, slo se ha cambiado parcialmente. Se indica que una poblacin est a 60 km de distancia, y la otra a 50 millas de distancia (1 milla = 1,61 km). Cul poblacin est ms distante y en cuntos kilmetros?

Magnitudes Fsicas

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RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOSA 1.problemas de aplicacin Efectuar: E = 5 000 00,01 Solucin: E = 5 10 B 1.problemas complementarios Dar la expresin reducida: E = Solucin:2

(9 000)3 (0 , 000 81)2 (0 , 000 000 243)2

e

4

je1 10 j

E = 5 10 4 2 = 5 102 E = 500 2.Efectuar: E = 0 , 005 10 4 30 000 000 Solucin: E = 5 10 3 10 4 3 107

E= E=

(32 103 )3 (81 10 5 )2 (243 10 9 )2 36 109 38 10 10 310 10 18

=

36 109 (34 10 5 )2 (35 10 9 )2

= 3( 6 + 8 10 ) 10( 9 10 +18 )

E = 3( 6 + 8 10) 10( 9 10 +18)

E = 34 1017

e

je je

j2.-

E = 81 1017 Dar el valor simplificado de: R= Solucin:

E = 5 10 3 4 + 7 = 5 100 E=5 3.Convertir: 400 320 m a km Solucin: 1 km 400 320 m = 400 320 m 1 000 m 400 320 m = 400,320 km 4.km m Convertir: 360 a h s Solucin: km km 1 000 m 1h = 360 360 h h 1 km 3 600 s 360 km (360)(1 000) = m/ s h 3 600

b25 000g b0, 000 125g b0, 006 25g b0, 05g2 4 5 3

5

3

b25 000g b0, 000 125g b0, 006 25g b0, 05g e25 10 j e125 10 j R= e625 10 j e5 10 j e5 10 j e5 10 j R= e5 10 j e5 10 jR=2 4 3 5 6 5 5 2 2 2 3 3 6 3 4 5 2 2 4

3

4

R=

510 1015 59 10 18 58 10 10 54 10 810 + 9 8 4

km 36 10 4 = = 10 4 2 m / s 360 h 36 102 360 km = 100 m / s h 3.-

R = 5b

g 10b15 18 + 10 + 8g

R = 57 1015

5.-

Cuntos Gm tendrs en 2 230 m? Solucin: 109 m 2 230 m = 2, 23 103 9 Gm 2 230 m = 2, 23 10 6 Gm 2 230 m = 2, 23 103 m 1 Gm

Hallar la altura del nevado Huascarn en hectmetros si expresado en metros mide 6 780 m. Solucin: 6 780 m = 6 780 m 6 780 m = 67 , 80 Hm 1 Hm 102 m

184.Dar el espesor que forman 26 monedas en lo que cada una de ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar dicho resultado en nm. Solucin: Q=6 1/ 2

Jorge Mendoza Dueas6 1/ 3

e5 10 j e2 10 j Q= e5 10 je2 10 j4 6 2 4 4

3 4

52 10 3 22 10 2 52 10 4 216 10 12

= 214 10b

3 2 + 4 + 12

g

Q = 214 1011 7.Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra a una estrella, siendo esta distancia equivalente a 2 aos luz. (1 ao luz = distancia que recorre la luz en un ao de 365 das). Considere que la luz recorre 300 000 km en 1 segundo. Solucin:

e = 26 2 mm e = 26 2 mm e = 52 10 3 m

1m 1 000 mm

e = 52 10 3 m

1 nm 10 9 m

e = 52 10 3 10 +9 nm e = 52 106 nm

5.-

Un cabello humano crece a razn de 1,08 mm por da. Expresar este clculo en Mm / s. Solucin: 1, 08 mm 1, 08 mm = V= 1 da 24 h 1, 08 mm 1m 1h V= 24 h 1 000 mm 3 600 s V= m 24 103 36 10 2 s m s 108 10 2321 321 321 321 321 321 321 321 321

d = 2 ao luz 1 ao luz = 300 000 1ao luz = 300 000 km 365 das s4321 4321 4321 4321 4321 4321 4321 4321

km 24 h 3 600 s 365 dia s 1 dia 1h

1ao luz = 300 000 365 24 3 600 km

1ao luz = 3 105 365 24 36 102 km4321 4321 4321 4321

1ao luz = 946 080 107 km

1 000 m 1 Em 18 1 km 10 m

V = 0 ,125 10 7 V = 0 ,125 10 7

1ao luz = 946 080 107 10 3 10 18 Em 1M1ao luz = 946 080 10 8 Em

m m s s 10 6 m s Mm s

Finalmente: d = 2 946 080 10 8 Em

e

j

V = 0 ,125 10 6.-

13

d = 1 892160 10 8 Em d 19 10 3 Em

Expresar en potencias de 10. Q= Solucin: 0 , 000 625 3 0 , 000 064

b0, 05g b0, 016g6 1/ 2 6 2 2 3 4

2

4

8.-

Convertir: 30 m/s a milla/h 1 milla = 1 609, 347 m Solucin: 30 m m 3 600 s 1 milla = 30 s s 1 h 1 609 , 347 m

e625 10 j e64 10 j Q= e5 10 j e16 10 j

1/ 3

54321 54321 54321 4354321 21 4321 4321 4321

54321 54321 54321 54321

Magnitudes Fsicasm 30 3 600 milla = s 1 609 , 347 h Solucin:* 1 kg = 2, 2 lb

19

30

m milla 30 = 67 ,108 s h 9.Convertir: 1kw-h a Joule (J) ; 1 kw = 1 kilowatt

1 000 g = 2, 2 lb1 g = 2, 2 10 3 lb

* 1 litro = 1dm3 1 litro 1 = dm3 1 000 1 0001 ml = 10 3 dm3

watt =Solucin: 1 kw-h = kw h 1 kw-h = kw h

Newton s

*

1 lb pulg 1 lb3

=

1 lb pulg3

1g 2, 2 10 13

lb

1 pulg3

b0, 254 dmgg dm3

3

1 000 w 3 600 s 1 kw 1h

pulg3 1 lb pulg 1 lb pulg 1 lb3 3

=

e2, 2 10 jb0, 254gg dm3 g dm g ml3

3

3

1 kw-h = 36 105 w s Joule 5 1 kw-h = 36 10 w s s 1w 1 kw-h = 36 105 Joule 10. Convertir: lb pulg3

= 27 738 ,1

= 27 738 ,1

10 3 dm3 1 ml

pulg3 a gramo g mililitro ml

= 27 , 738 1

FG IJ H K

1 litro = 1dm3 ; 1 kg = 2,2 lb ; 1 pulg = 0,254 dm

PROBLEMAS PROPUESTOSA 1.problemas de aplicacin Efectuar: E = 0,0022 000 Rpta. E = 4 2.Efectuar: E = 2 2500,020,000 00410 Rpta. E = 180 Efectuar: E = 4 000 004 10 4 0 , 003 0 , 000 004 104 6

5.-

Expresar el resultado en notacin cientfica.3

E= Rpta. 6.E = 103

27 000 0004

0 , 008 1

Dar el resultado de efectuar: E= 0 , 003 49 000 0 , 9 0 , 081 8 100 270 0 , 7

3.-

b g

2

Rpta. E = 30,000 03 4.Cul es el resultado de efectuar: E = Rpta. E = 26,35104 2, 635 26 , 35 ? 0 , 000 263 5 7.-

Rpta.

E = 105

Qu distancia en Mm recorri un mvil que marcha a 36 km/h en 2 Es? Rpta. 21013

208.En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 gotas, en 6 m3 Cuntas gotas tendremos? Rpta. 9.18 106 gotas 5.-

Jorge Mendoza DueasHalla la expresin reducida en: M=

b0, 000 008 Jg b128 000 Jg b0, 025 6 Jg b400 Ng4

2

3

; 1J = N

m s2

A cuntos kPa equivalen 25 GN distribuidos en 2 2 5 Mm ? (Pa = N/m ) Rpta. 5 kPa 6.-

Rpta.

M = 2-71011 m/s2

10.-

Si 1J = Nm, expresar en pJ el producto de 6 GN por 12 am. Rpta. 72 x 10 pJ3

En un cultivo bacterial se observa que se reproducen en progresin geomtrica cada hora, en razn de 2 000 bacterias. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias. Cuntas habran en 3 horas? Expresar este resultados en Gbacterias? Rpta. 64 Gbacterias

B 1.-

problemas complementarios Efectuar: E = Rpta. 0 , 000 020 123 25 10 5 146 234-4

7.-

Una pelota de 0,064 5 m de dimetro est sobre un bloque que tiene 0,010 9 m de alto. A qu distancia est la parte superior de la pelota por sobre la base del bloque? (Dar su respuesta en metros) Rpta. 7,54102 m

E = 3,4410

8.2.0 , 000 000 000 004 45 000 000 Efectuar: E = 0 , 000 006 30 000 Rpta. E = 0,001

Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene 6,023 1023 granos de arena. Cuntos ng habr en 18,069 1028 granos de arena? Rpta. 31017 ng

3.-

Efectuar:

b0, 000 000 004 002g E=45 0008

3

9.1019 22 0 , 006

Una bomba atmica libera 40 GJ de energa. Cuntas bombas se destruyeron si se obtuvo 641036 J de energa? Rpta. 161026 bombas

Rpta.

E = 5,223 x 10

10.4.Halla la expresin reducida en (pN) E= Rpta.

Un cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumen de 4 500 km3. Hallar su densidad en g/m3. Rpta. g 1 103 3 3 m

b6, 4 GNg b0, 000 32 fNg b1600 kNg b12, 8 TNg b8 Ng32 pN

Magnitudes Fsicas

21

ANLISIS DIMENSIONAL

Estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Toda unidad fsica, est asociada con una dimensin fsica. As, el metro es una medida de la dimensin longitud (L), el kilogramo lo es de la masa (M), el segundo pertenece a la dimensin del tiempo (T). Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expresarse como la combinacin de las antes mencionadas. Dimensin de longitud Dimensin de velocidad = Dimensin del tiempo As tambin, la aceleracin, la fuerza, la potencia, etc, pueden expresarse en trminos de las dimensiones (L), (M), y/o (T). El anlisis de las Dimensiones en una ecuacin, muchas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operacin; esto es fcil de demostrar ya que el signo = de una ecuacin indica que los miembros que los separa deben de tener las mismas dimensiones. Mostraremos como ejemplo: ABC = DEF Es una ecuacin que puede provenir de un desarrollo extenso, una forma de verificar si nuestro proceso operativo es correcto, es analizndolo dimensionalmente, as: (dimensin de longitud) = (dimensin de longitud)2 2

Fines del anlisis dimensional1.- El anlisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en trminos de las fundamentales. 2.- Sirven para comprobar la veracidad de las frmulas fsicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. 3.- Sirven para deducir las frmulas a partir de datos experimentales.

ECUACIONES DIMENSIONALESSon expresiones matemticas que colocan a las magnitudes derivadas en funcin de las fundamentales; utilizando para ello las reglas bsicas del algebra, menos las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque slo operan en las magnitudes. NOTACIN A : Se lee letra A [A] : Se lee ecuacin dimensional de A

Ejemplos: Hallar la Ecuacin Dimensional de:

Velocidad (v)v= e L e v = = t t T

v = LT 1

En el presente caso comprobamos que ambos miembros poseen las mismas dimensiones, luego la ecuacin es correcta. En la aplicacin del Mtodo Cientfico, ya sea para la formulacin de una hiptesis, o en la experimentacin tambin es recomendable usar el Anlisis Dimensional.

Aceleracin (a)a= v LT 1 v a = = t t T

a = LT 2

22

Jorge Mendoza Dueas

Fuerza (F)F = m.a ; siendo a = aceleracin F = m. a

Presin (P)P= F MLT2 Fuerza P = = Area A L2

F = MLT2

P = ML1T 2

Trabajo (W)W = F. d

Densidad (D)D= M M Masa D = = Volumen V L3

W = F. d W = F d = MLT2LW = ML2T 2

D = ML3

Potencia (P)P= W ML2T 2 W P = = t t T

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDADSi una expresin es correcta en una frmula, se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogneos. As: E A + B + C = D

P = ML2T3

Area (A)A = (Longitud)(Longitud) A = L LA = L2

V =V =V =V =V Por lo tanto se tendr:E = A = B = C = D

Volumen (V)V = (Longitud)(Longitud)(Longitud)V = L3

OBSERVACIN Los nmeros, los ngulos, los logaritmos y las funciones trigonomtricas, no tienen dimensiones, pero para los efectos del clculo se asume que es la unidad.

Magnitudes Fsicas

23

TEST1.Siendo a una magnitud fsica, que proposicin o que proposiciones siempre se cumplen: I. [a] + [a] + [a] = [a] II. [a] - [a] = [a] III. [a] - [a] = 0 a) b) c) 2.I II I y II d) e) III N.A. a) b) c) 7.VVV VVF FFF d) e) FFV VFV

Respecto a una frmula o ecuacin dimensional, sealar verdadero o falso: I.Todos los trminos en el primer y segundo miembro tienen las mismas dimensiones. II.- Todos los nmeros y funciones trigonometricas que figuran como coeficientes tienen las mismas dimensiones, e igual a 1. III.- La ecuacin dimensional de los trminos del primer miembro, difieren de las dimensiones del segundo miembro. a) b) c) VVF VVV FVV d) e) VFV FVF

Cul ser las dimensiones de Q = 3 kg / m. s2 ? a) b) c) ML T 1 2 ML T 2 MLT1 1

d) e)

M LT M LT

1

3.-

Qu relacin no es correcta dimensionalmente? a) b) c) [fuerza] = M LT d) [trabajo] = M L T 1 [frecuencia] = T e) [carga elctrica] = I .T 1 [velocidad angular] = T2 2 2

8.-

El S.I. considera ................ fundamentales y ........................ con carcter geomtrico. a) b) c) d) e) Tres magnitudes dos auxiliares Siete magnitudes dos auxiliares Seis magnitudes una auxiliar Tres magnitudes una auxiliar N.A.

4.-

Precisar verdadero o falso dimensionalmente: I) II) L+L+ LL=Lx m kg

( )

En sec (P + 12) P = 1 ( ) x = ML1 ( ) d) e) FVV FFV 9.-

III) En a a) b) c) 5.VVF FFF VVV

Qu magnitud no est asociada a sus correctas dimensiones? a) b) c) d) e) Velocidad Fuerza Volumen Densidad Aceleracin LT 2 ML T 3 L 3 ML 2 LT1

Qu proposicin o proposiciones son falsas respecto al Anlisis Dimensional? 10.I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos. II.- Se emplea para verificar frmulas propuestas. III.- Se usa para deducir frmulas. a) b) c) I II III d) e) I y II III y II

Qu unidad va asociada incorrectamente a las dimensiones dadas?

a) b) c)

6.-

Respecto al anlisis dimensional sealar verdadero o falso: I.Pueden existir dos magnitudes fsicas diferentes con igual frmula dimensional. II.- Los arcos en la circunferencia son adimensionales. III.- Dimensionalmente todos los ngulos y funciones trigonomtricas representan lo mismo.

kg s m m kg 2 s m A skg m2 A s2

MTL1 MLT 2 ILT

d)

ML2A 1T 2 ML3T 4

e)

kg

m3 s4

24

Jorge Mendoza Dueas

RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOSA 1.problemas de aplicacin Halle la dimensin de K en la siguiente frmula fsica: m v 2 K= F Donde; m : masa F : fuerza v : velocidad Solucin: t Analizando cada elemento: m =M v = LT 1 F = MLT 2 t Luego tendremos: K = m v F2 2

3.-

Hallar la dimensin de y en la siguiente frmula: V = .A + .D Donde; V : volumen A : rea D : densidad Solucin: t Aplicando el principio de homogeneidad. V = A = D t Determinando: V = A

=

bMgeLT jMLT2

1

=

ML2T 2 MLT2

L3 = L2

=L

t Determinando: V = D

K =L 2.Halle la dimensin de S en la siguiente frmula fsica: S= F d m c2 4.-

L3 = ML3

= M1L+6

Donde; F : fuerza m : masa d : distancia v : velocidad Solucin: t Analizando cada elemento: F = MLT 2 d =L m =M c = LT1

Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea, determinar la ecuacin dimensional de x e y . Siendo; A : fuerza B : trabajo C : densidad Ax + By = C Solucin: t Si la expresin es dimensionalmente homognea, entonces: r Ax + By = C A x = B y = C r A = MLT 2 B = ML2T 2 C = ML3

t Luego tendremos: S = F d m c S =12

=

eMLT jbLg = ML T bMgeLT j ML T2 1

2

2 2 2 2

t Con lo cual se tiene: A x = C MLT 2 x = ML3 x = ML3 MLT 2 x = L4 T 2

Magnitudes Fsicast B y = C B 1. y = L5T 2 problemas complementarios

25

ML2T 2 y = ML3

y =

ML3 ML2T 2

Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula fsica. W v = +F A B Donde; W : trabajo v : volumen F : fuerza Solucin: t Aplicando el principio de homogeneidad:

5.-

Si la siguiente expresin es dimensionalmente homoz y x gnea: P = q R s Donde; P : presin q : fuerza R : volumen s : longitud

Hallar: x 3y Solucin: t P = ML1T 2 R = L3 tP = qzR y s x

q = MLT 2 s =L

LM W OP = LM v OP N A Q NBQW A = F

1/ 2

= F

t Determinando A

P = q R ML T1 2

z

y

s

x 2 z y

= MLT

e

j eL j bLg3

x

ML2T 2 = MLT 2 A t Determinando B v B1/ 2 1/ 2

A =L

ML1T 2 = MzLz T 2zL3 yLxML1T 2 = MzLz 3 y + x T 2z

= F v F2

L3

B

1/ 2

=

v

1/ 2

F

M1 = Mz

z =1 1 = z 3y + x 1 = 1 3y + x

L1 = Lz 3 y + x t Nos piden:

B =

=

eMLT j

2

2

x 3y x 3y = 2 2.-

B = M2LT 4

Halle la dimensin de A B y C en la siguiente fr, mula fsica. 2 E = A.F + B. v + Ca Donde; E : trabajo F : fuerza v : velocidad a : aceleracin Solucin: t Aplicando el principio de homogeneidad: E = AF = Bv 2 = C a t Determinando A : E = A F ML2T 2 = A MLT 2 A =L

NOTA Las ecuaciones dimensionales slo afectan a las bases, ms no a los exponentes, pues estos siempre son nmeros y por lo tanto estos exponentes se conservan siempre como tales (nmeros). De lo expuesto, queda claro que la ecuacin dimensional de todo exponente es la unidad.

26t Determinando B : E = B v2

Jorge Mendoza Dueas5.Determinar las dimensiones que debe tener Q para que la expresin W sea dimensionalmente homognea. W = 0,5 mcx + Agh + BP Siendo: Q = A x B ; Adems; W : trabajo h : altura m : masa P : potencia c : velocidad A,B : constantes dimensionales g : aceleracin Solucin: R = (x + t)(x y)(y + z) Donde ; t: tiempo Solucin: t Observamos por el principio de homogeneidad: x =T y = x = T2 z = y = T22 2 x

ML2T 2 = B LT 1

e j

2

B =M

t Determinando C : E = C aML2T 2 = C LT 2 C = ML

3.-

Halle la dimensin de R en la siguiente frmula fsica:2 2

t Aplicando el principio de homogeneidad: W = m c = A g h = B P t W = A g h ML2T 2 = A = LT 2L A =Mx

e j

2

= T4

t

B P = W B W t = W B = t

t Luego tendremos: R = x y z R = T T2 T 4 4. R = T7

B =T t W = m cx

La potencia que requiere la hlice de un helicptero viene dada por la siguiente frmula: P = K. R . W . D Donde; W : R : D : K : Calcular x,y,z. Solucin: P = K Rx

ML2T 2 = M LT 1

e j

x

x

y

z

ML2 T 2 = MLx T xx=2

velocidad angular (en rad/s) radio de la hlice (en m) densidad del aire (en kg/m3) nmero

t Finalmente: Q = Ax

B

1/ 2

Q = M2T1/ 2

W

y x

D

z y 3 z

6.-

ML2T 3 = 1 L

b gb g eT j eML j

1

Suponga que la velocidad de cierto mvil, que se desplaza con movimiento bidimensional, puede determinarse con la frmula emprica: V = aT 3 + b T2 c

ML2T 3 = Lx T yMzL3z

ML2T 3 = MzLx 3z T y M1 = Mz z = 1 L2 = Lx3 1

Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantes dimensionales. Determine las dimensiones de a, b, y c, para que la frmula sea homognea dimensionalmente. Solucin: Por el principio de homogeneidad:

bg

x 3= 2 x = 5 y=3

T 3 = T y

Magnitudes Fsicast de: t T2 c 3

27c = T2 Solucin: t a = LT 4 tan = nmero

V = a T

LT 1 = a T 3 t V = b T2

Dimensionalmente; para que (n + tan ) sea homognea: [n] = [tan ] = 1

LT 1 = 7.-

b T2

Con lo cual: n + tan = nmero b = LT [n + tan ] = 1 t Con todo el sistema: Fx

Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea. Hallar: x 2y a = vt x 1 + k y x

D

y

v = n + tan m1 m2 m3x 3 y 1 z

z

e

j

eMLT j eML j eLT j = b1gbMgbMgbMgMxLx T 2 xMyL3 yLz T z = M3

2

Siendo;

a : aceleracin v : velocidad t : tiempo

Mx + yLx 3y + z T 2 x z = M3L0 T0r r

Solucin: Dimensionalmente se tiene: 1= k 1 = kyx yx

Mx + y = M3 Lx 3y + z 2 x z

x+y=30

=L

x 3y + z = 0 2x z = 0

r

T

=T

0

Resolviendo: z = -9 yx=0 x x x

y=xyy

9.-

t Luego tendremos: a = vt 1 + k

e j a = vt e1 + k j a = vt b1 + 1g0

En la siguiente ecuacin dimensionalmente correcta. Determinar la ecuacin dimensional de x . E = Mvx + Mvx + Mvx + ........ Donde; M : masa ; v : velocidad Solucin:

a = 2vt x t Dimensionalmente: a = 2 v tx x

LT 2 = 1 LT 1 T LT2

b ge jb g

E = Mvx + Mvx + Mvx + ........ 1444 24444 4 3E

= LT 1T x

E = Mvx + E

E = Mvx + E2

LT 2 = LT x 1 T 2 = T x 1 x 1 = 2 Con lo cual:x = 1 y = 1

t Dimensionalmente: E = M v x = E E = E Adems: M v x = E M v x =12 2

Nos piden: x 2y

x 2y = 1 2(1) x 2y = 1

E =1

8.-

En la expresin mostrada. Hallar z F D v = (n + tan ) m1 m2 m3 Donde; F : fuerza D : densidad v : velocidad m1, m2,m3 : masasx y z

bMgeLT j x = 1x = 1 MLT 1 x = M1L1T

1

2810.Si la siguiente expresin es dimensionalmente homognea. Determinar la ecuacin dimensional de K K = GMbx+y

Jorge Mendoza DueasResolviendo: x = y = z = t Luego: K = 2 M 3 2

gLbz + x gTb y + zg +

2Mb

6 2x

gLb6 2ygTb6 2zg

Solucin: t Dimensionalmente:

b 6 2 x g L b 6 2 y g T b 6 2z gL T

b x + yg L bz + x g T b y + x g = b 6 2z g TG M De donde: G = M 2

2 M

b6 2x g L b6 2yg

K = 1 M

bg

FG 6 2F 3 I IJ FG 6 2F 3 I IJ FG 6 2F 3 I IJ H H 2K K H H 2KK H H 2K K

K = M3L3 T3

b x + y g = M b6 2x g bz + x g = L b6 2yg L b y + x g = T b 6 2z g T

x + y = 6 2x z + x = 6 2y y + x = 6 2z

PROBLEMAS PROPUESTOSA 1.problemas de aplicacin Halle la dimensin de H en la siguiente frmula fsica. H= DA V F Donde; E : trabajo ; v : velocidad ; F : fuerza. Rpta. = M1 = L1 4.Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula: v = At + B x Donde; v : velocidad ; t : tiempo ; x : distancia Rpta. A = LT 2 B = T 1 5.Siendo: h medida en m; d, peso especfico. Cul ser la ecuacin dimensional de t para que r se mida en m? Rpta. 3.t = MT 2 Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula: V= x2 g + A B

Donde; D : densidad A : aceleracin V : volumen F : fuerza Rpta. 2.[H] = 1

La medida de cierta propiedad (t) en un lquido se determina por la expresin: h= 2t rd

Donde; v : velocidad ; x : distancia ; g : aceleracin Rpta. A = LT B = T 1

Halle la dimensin de y en la siguiente frmula fsica. v2 F + E=

Magnitudes Fsicas6.Halle la dimensin de A B y C en la siguiente fr, mula fsica:e = A + Bt 2 + Ct 3

29B 1.problemas complementarios Determinar la dimensin de x si la ecuacin es , dimensionalmente correcta. xv 2 = WMa + bt2 ; donde: sen 30

Donde; e : distancia (m) ; t : tiempo (s) Rpta. A =L B = LT 2 C = LT 3 7.Halle la dimensin de G H e I en la siguiente fr, mula fsica: F = Ga + Hv + I Donde; F : fuerza ; a : aceleracin ; v : velocidad Rpta. G =M H = MT 1 I = MLT 2 3.8.En la siguiente expresin, calcular x + yS = Ka x t y K: constante numrica S : espacio a : aceleracin t : tiempo

v : velocidad a : aceleracin M : masa W : trabajo Rpta. 2.M2LT-2

Hallar la ecuacin dimensional de z, si la ecuacin mostrada, es dimensionalmente correcta: tan =

bw + wlog 2g + z bg + gsen gx

3

w : peso ; g : aceleracin Rpta. MLT-2

Determinar las dimensiones de a sabiendo que la si, guiente ecuacin es dimensionalmente correcta: G= 4 2L2 L b cos T2 a

b g

donde; G : aceleracin de la gravedad T : tiempo b y L : longitud Rpta. L2

Rpta. 9.-

3

Si la siguiente expresin es dimensionalmente homognea. Determinar:

4.-

LM a OP = ? Nb Q20 + t + k = a : aceleracin t : tiempo Rpta. 10.T2

La fraccin mostrada es dimensionalmente correcta y homognea: Ax3 + Bx2 + Cx + D A8 + B 6 + C 4 + D y A = L6 T 4 , determinar las dimensiones de x . Rpta. L-14T28/3

a+p bq

5.-

Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea, hallar las dimensiones de b . W= W : trabajo v : velocidad F : fuerza Rpta. L1/2T-1/2 5F log a 8F2C 2 x b +v

Si la siguiente expresin es dimensionalmente homognea; determinar la ecuacin dimensional de C . C= R : longitud y : aceleracin Rpta. L T3 -4

3Ry 2Nx

eN 2jx

2

6.-

En la ecuacin:P = Kgy dxhz

Hallar: (x.y.z)

30donde; P: presin g: aceleracin de la gravedad h: altura K: constante numrica d: densidad Rpta. 7.1 9.mBL sen 30

Jorge Mendoza Dueash : altura m: masa A , A : areas1 2

Rpta.

x=L y = M1

En la expresin:

Determinar la dimensin de b para que la ecuacin sea homognea. W = ba + b2c e Donde; W : trabajo e : espacio a : aceleracin Rpta. M

F IJ = e tan G A + H 2K

C(Ftan 10n1

2 60 cos 60

)

Hallar las dimensiones de A, B y C para que sea dimensionalmente homognea, donde: : ngulo en radianes L : longitud F : fuerza e : base de los logaritmos neperianos m y n : nmeros Rpta. A = adimensional -1/2 B=L -3/2 -3/2 3 C=M L T

10.-

Hallar [x][y]: x = sen + Donde; v : velocidad e : espacio m : masa t : tiempo B : nmero real Rpta.M2LT 2

d b

gi

2

vy + emB t

8.-

Hallar las dimensiones de x e y sabiendo que la , igualdad mostrada es dimensionalmente correcta.

FG 2 x IJ H hK

2

0 , 85 m

=

xy A1 A2

Magnitudes Fsicas

31

MEDICIN - TEORA DE ERRORESCLASES DE MEDICIN A) Medicin directaEs aquella en la cual se obtiene la medida exacta mediante un proceso visual, a partir de una simple comparacin con la unidad patrn. Ejemplo Ilustrativo: Magnitud: Longitud1 metro

MEDICINMedicin, es el proceso por el cual se compara una magnitud determinada con la unidad patrn correspondiente. Todos los das una persona utiliza la actividad medicin; ya sea en nuestras actividades personales, como estudiante o como trabajador. Cuando estamos en el colegio, por ejemplo; al tomar la asistencia, estamos midiendo la cantidad de alumnos que llegaron a clase; en este caso la unidad patrn ser un alumno . Cuando jugamos ftbol, el resultado final lo define la diferencia de goles a favor; la unidad patrn ser un gol En ocasiones cuando nos tomamos la tem. peratura, nos referimos siempre respecto a una unidad patrn 1C . Esto significa que toda medicin quedar perfectamente definida cuando la magnitud al que nos referimos termine por ser cuantificada respecto a la unidad patrn correspondiente. Ahora para realizar la medicin, generalmente se hace uso de herramientas y/o equipos especiales as como tambin en algunos casos de los clculos matemticos. El resultado de la medicin nos mostrar cuantitativamente el valor de la magnitud; y con ello podemos saber o predecir las consecuencias que conllevan dicho resultado. As; si medimos la velocidad de unatleta y obtenemos como resultado 1 m/s; sabremos entonces que ste nunca ser campen en una competencia de 100 metros planos; esto significa que gracias a la medicin (actividad cuantitativa) podremos saber o predecir los resultados cualitativos. Ejemplo ilustrativo

Unidad patrn: 1 metro

En la figura, es fcil entender que la longitud AB mide 3 veces 1 metro: 3 metros (medicin directa).

B)

Medicin IndirectaEs aquella medida que se obtiene mediante ciertos aparatos o clculos matemticos, ya que se hace imposible medirla mediante un proceso visual simple. Ilustracin

Se quiere medir el rea del rectngulo

Unidad Patrn (un cuadrito)

9 veces un cuadrito, dicho de otra forma: 9 cuadritos

Frmula: Area = largo ancho A = (3 m)(2 m) A = 6 m2Se recurri al uso de una frmula matemtica

32

Jorge Mendoza Dueas

ERRORES EN LA MEDICINLa medicin es una actividad que lo ejecuta el hombre provisto o no de un instrumento especializado para dicho efecto. En toda medicin hay que admitir, que por ms calibrado que se encuentre el instrumento a usar, siempre el resultado obtenido estar afectado de cierto error; ahora, en el supuesto de que existiendo un aparato perfecto cuyos resultados cifrados coincidieran matemticamente con la realidad fsica, nunca llegaramos a dicho valor, debido a la imposibilidad humana de apuntar al punto preciso o de leer exactamente una escala.

Al medir la longitud entre dos puntos, en das calurosos, la cinta mtrica se dilata debido a la fuerte temperatura, luego se cometer un error de medicin.

B)

InstrumentalesSon aquellos que se presentan debido a la imperfeccin de los instrumentos de medicin.

Las agujas de un cronmetros son susceptibles al retraso o adelanto debido al mecanismo del mismo instrumento, luego se cometer un error de medicin.

C)

PersonalesSon aquellos, ocasionados debido a las limitaciones de los sentidos humanos en las observaciones (vista, tacto, etc.)

A)

ExactitudEs el grado de aproximacin a la verdad o grado de perfeccin a la que hay que procurar llegar.

La vista de una persona puede no permitir observar correctamente las agujas de un reloj, se cometer entonces un error personal en la medida del tiempo.

B)

PrecisinEs el grado de perfeccin de los instrumentos y/o procedimientos aplicados.

CLASES DE ERRORES A) PropiosSon aquellos que provienen del descuido, torpeza o distraccin del observador, estas no entran en el anlisis de la teora de errores.Es posible que el operador lea en la cinta mtrica 15,40 m y al anotar, escriba por descuido L = 154 m; ste es un error propio, tan grave que no se debe considerar en los clculos de Teora de Errores.

C)

ErrorPodra afirmarse que es la cuantificacin de la incertidumbre de una medicin experimental respecto al resultado ideal.

CAUSAS DE ERRORES A) NaturalesSon aquellos errores ocasionados por las variaciones meteorolgicas (lluvia, viento, temperatura, humedad, etc).

15

16

L=

4 15

Magnitudes Fsicas

33L = 0,305 m

B)

SistemticosSon aquellos que aparecen debido a una imperfeccin de los aparatos utilizados, as como tambin a la influencia de agentes externos como: viento, calor, humedad, etc. Estos errores obedecen siempre a una Ley Matemtica o Fsica, por lo cual es posible su correccin.

L = 0,306 m

Cuando medimos el largo de un libro, cada vez que se mida, la lectura ser diferente.

L= 0,304 m

TEORA DE ERRORESL L B

A

Es imposible encontrar el verdadero valor del error accidental; si as fuese, podramos entonces calcular el valor exacto de la magnitud en medicin sumando algebraicamente el valor observado. No obstante es posible definir ciertos lmites de error, impuestos por la finalidad u objetivo de la medicin. As pues, queda claro que los errores accidentales tienen un rango establecido, cuyo clculo irn de acuerdo con los principios y mtodos de la teora matemtica de errores con aplicacin del clculo de probabilidades. Estableceremos convencionalmente dos casos:

Supongamos que se quiere medir la longitud AB, pero al usar la cinta mtrica, sta se pandea como muestra la figura, la lectura que se toma en estas condiciones no ser la verdadera, habr que corregir. L = L correccin La correccin se determina mediante la siguiente frmula: correccin = W2L 24F

Donde: W, L y F son parmetros conocidos.

I.-

CUANDO SE REALIZA UNA SOLA MEDICIN

NOTA Esta clase de error no se tomar en cuenta en este libro.

Hay casos en las que se toma una sola medicin u observacin respecto a un patrn establecido, as por ejemplo: PATRON = 3,141 592 654 g = 9,8 m/s2 tan 37 = 0,753 554 05 VALOR APROXIMADO 3,141 6 10 m/s2 0,75

C)

Accidentales o FortuitosSon aquellos que se presentan debido a causas ajenas a la pericia del observador, y al que no puede aplicarse correccin alguna, sin embargo estos errores suelen obedecer a las Leyes de las Probabilidades. Por tal motivo se recomienda tomar varias lecturas de una misma medicin, pues generalmente estas suelen ser diferentes.

Es importante establecer entonces bajo que error se est trabajando.

A)

Valor verdadero (A)Es el valor exacto o patrn que se establece en una medicin, en realidad, tal valor exacto

34 no existe, pero se suele establecer de acuerdo al tipo de trabajo a realizar; as por ejemplo, el valor verdadero de la constante () se puede considerar como 3,141 6.

Jorge Mendoza Dueas

B)

Desviacin (V)Se le llama tambin error aparente de una medicin. Es la diferencia entre la media y el valor correspondiente a una medicin. Ejemplo: 10,20 V = 10,20 10,20 = 0 10,22 V = 10,20 10,22 = -0,02 10,18 V = 10,20 10,18 = +0,02

B)

Error Absoluto(EA)Es la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado.EA = A A

Donde;

EA : error absoluto A : valor verdadero A : valor aproximado

C)

Desviacin tpica stndar ()Viene a ser el promedio de todas las desviaciones de las mediciones realizadas.

C)

Error Relativo (ER)Llamado tambin error porcentual y nos determina segn parmetros establecidos si la equivocacin puede ser aceptable o no.

= Donde;

V2 n1

2 n 30

ER =Donde;

EA 100% A

ER : error relativo E : error absoluto A A : valor verdadero

: desviacin tpica o stndar V : desviacin de cada medicin n : nmero de mediciones Para la explicacin de la presente expresin, partiremos diciendo que el nmero mnimo de mediciones tendr que ser dos, de lo contrario no tendra sentido hablar de promedio y por ende de desviacin. Por otro lado no es difcil deducir que el promedio de todas las desviaciones sera:V n

2.- CUANDO SE REALIZA DOS O MS MEDICIONESGeneralmente cuando se lleva a cabo una medicin, no se conoce el valor verdadero; es por esto que se recomienda tomar varias mediciones, no obstante, jams se podr conocer el valor exacto.

A)

Media ( X )Es el valor que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados segn su magnitud. Es la media aritmtica de un conjunto de datos.

Sin embargo, en la prctica, el resultado de dicha expresin siempre ser cero; es por ello que se utiliza la suma de los cuadrados, la cual nunca se anular.

D)

Error probable de una observacin (E0 )Es aquel intervalo [-E0 , + E0], dentro de cuyos lmites puede caer o no el verdadero error accidental con una probabilidad del 50%.E0 = 0, 674 5

X =

x1 + x2 + x3 + ... + xn n

Ejemplo: 10,20 ; 10,22; 10,18X = 10, 20 + 10, 22 + 10,18 3

Donde; E0 : error probable de una observacin : desviacin tpica o stndar.

X = 10 , 20

Magnitudes Fsicas

35

E)

Error relativo (ER)Es la relacin entre E0 y la media X ; y viene a ser el parmetro que califica la calidad del trabajo.

F)

Error probable de la media (E)Est visto que la media, tambin est sujeto a error. El error probable de la media al 50% de probabilidad se puede determinar as:

ER = ER =

E0 X1

E = 0, 674 5Donde;

V2 n n1

b g

F XI GH E JK0

Donde; ER : error relativoX : media E0 : error probable de una observacin

E : error probable de la media V : desviacin de cada medicin n : nmero de mediciones

G)

Valor ms probable (V.M.P.)Es aquel que se acerca ms al verdadero valor pero que no lo es. Comnmente se considera a la media como el valor ms probable de varias mediciones.V. M.P. = X

Ejemplo: Supongamos que se desea realizar un trabajo de laboratorio, donde es requisito para obtener las metas deseadas un error relativo1 menor que ; si el trabajo de laborato3 000

Donde; V.M.P. : valor ms probableX : media

rio arroj un ER = Tendremos:

1 4 000

1 1 < 4 000 3 000

Como quiera que el V.M.P. nunca ser el valor verdadero, se deduce que existir un error y que dicho valor exacto estar ubicado dentro del rango de ciertos lmites; este ser:V.M.P. E , V.M.P. + E

De donde se deduce que el trabajo realizado es aceptable; de lo contrario habr que volver a empezar.

Donde; E : error probable de la media

36

Jorge Mendoza Dueas

TEST

1.-

............., es el proceso por el cual se compara una magnitud determinada con la unidad ............ previamente establecida. a) b) c) d) e) Estimacin base Medicin patrn Estimacin de comparacin Medicin base Marcacin estelar

6.-

La media de un grupo de medidas de cierto peso es 28,5 g, siendo una de las medidas obtenidas 27,8 g; la desviacin sera: a) b) c) d) e) +1,3 g 1,3 g 0,7 g +0,7 g +0,9 g

2.-

Sealar verdadero o falso en las siguientes proposiciones: I.- Exactitud, es el grado de aproximacin a la verdad o perfeccin a la que se procura llegar. II.- Precisin instrumental o procedimental, es el grado de perfeccin alcanzado. III.- Error, es la cuantificacin de la incertidumbre de una medicin experimental respecto al resultado ideal. a) b) c) VFF VFV FFV d) e) VVV FVF

7.-

En la medicin de la longitud de un terreno, el valor ms probable obtenido: 100,212 0,000 8; esto significa que: a) b) c) d) e) El valor real est comprendido entre 100,211 2 y 100,212 8. El valor que ms se acerca es 100,22 El valor ms probable es 100,212 8 El valor menos probable es 100,212 6 N.A.

8.-

La media de 5 mediciones a sido 12,6, si una de estas mediciones fue 12,7, hallar la desviacin aparente obtenida. a) b) c) d) e) 0,1 0,1 25,3 25,3 N.A.

3.-

Cul de las alternativas no puede ser una causa de error en las mediciones? a) b) c) d) e) Naturales. Instrumentales. Personales. Temperamentales. N.A.

9.-

Cunto pague por 0,5 Mg, 300 kg, 50 Hg de arroz a S/. 2,00 el kilo? a) b) c) d) e) S/. 10 000 S/. 5 000 S/. 1 610 S/. 9 050 N.A.

4.-

Errores................... provienen del descuido, torpeza o distraccin del observador, estas no entran en el anlisis de................ a) b) c) d) e) Sistemticos teora de errores. Propios la teora de errores. Accidentales mtodos cientficos. Fortuitos mtodos cientficos. N.A.

10.-

La suma de los cuadrados desviaciones de cierto grupo de medidas (cinco mediciones) fue 81. Hallar su desviacin tpica o stndar. a) b) c) d) e) 6,5 5,5 3,5 8,5 4,5

5.-

Cul es la media o promedio ponderado de las mediciones de cierta varilla cuyas medidas obtenidas fueron: 12 cm ; 14 cm ; 11 cm ; 13 cm ; 12 cm a) b) c) 12 cm 12,2 cm 12,4 cm d) e) 11,8 cm 12,8 cm

Magnitudes Fsicas

37

RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOSA 1.problemas de aplicacin Se ha obtenido los siguientes valores al determinar la masa de un cuerpo: 2,350 g; 2,352 g; 2,348 g y 2,350 g. Cul es el valor ms probable? Solucin: V.M.P. = X Calculando la media: X X= 2, 350 + 2, 352 + 2, 348 + 2, 350 4 4.Un alumno A mide la longitud de un hilo de 5 m y halla un valor de 6 m, otro alumno B mide la longitud de un paseo de 500 m y halla un valor de 501 m. Qu error absoluto se cometi en cada caso?, qu medida fu ms precisa? Solucin: En el cuadro mostrado notamos que ambos alumnos cometieron el mismo error absoluto: 1 metro por exceso, y la medida ms precisa fue la del alumno B, ya que cometi un error relativo menor. ALUMNO A B 5.ERROR ABSOLUTO 1 m (exceso) 1 m (exceso) ERROR RELATIVO 1 100 = 20% 5 1 100 = 0 , 2% 500 t Calculado el error relativo ER = EA 100% A 0 , 001 6 100% ER = 3,141 6

ER = 0 , 051%

X = 2, 350 Luego: V . M. P. = 2, 350 2.Consideremos la longitud de una mesa 112,8 cm; al medirla hemos obtenido 113,4 cm; hallar el error absoluto y el error relativo. Solucin: t Calculando el error absolutoEA = A' A EA = 113, 4 112, 8

EA = + 0 , 6 cm (por exceso) t Calculado el error relativo EA 100% A 0, 6 100% ER = 112, 8 ER = ER = 0 , 53% 3.Qu error relativo, se comete al dar a = 3,141 6 el valor 3,14? Solucin: t Calculando el error absolutoEA = A' A

Con cuntas cifras decimales debemos tomar el nmero = 3,141 59 para que su error relativo sea menor del 0,1%? Solucin: ER < 0 ,1% EA 100% < 0 ,1% A EA 100% < 0 ,1% 3,141 59 EA < 0 , 00314 Rpta. Dos cifras decimales

Verificando: ER = 3,14 3, 141 59 100% 3,141 59

EA = 3,14 3,141 6 EA = 0 , 001 6 (por defecto)

Tomando valor absoluto: ER = + 0 , 05% < 0 , 1%

38B 1.problemas complementarios En la medida de 1 metro, se ha cometido un error de 1 mm y en 300 km un error de 300 m. Qu error relativo es mayor? Solucin: t Cuando L = 1 m A = 1 000 mm EA 100% A 1 100% ER = 1 000 ER = ER = 0 ,1% t Cuando L = 300 km A = 300 000 m EA 100% A 300 100% ER = 300 000 ER =ER = 0 ,1%

Jorge Mendoza Dueas

MEDICIONES 4,556 mm 4,559 mm 4,553 mm 4,561 mm 4,562 mm 4,555 mm 4,557 mm 4,553 mm 4,556 mm 4,558 mm X = 4,557 mm

ERRORES (V) +0,001 -0,002 +0,004 -0,004 -0,005 +0,002 0,000 +0,004 +0,001 -0,001 V = 0,000

V2 0,000 001 0,000 004 0,000 016 0,000 016 0,000 025 0,000 004 0,000 000 0,000 016 0,000 001 0,000 001 V2 = 0,000 084

Cmo se debe expresar el resultado final de las mediciones? Solucin: t Calculando el error probable de la media (E) E = 0 , 674 5 V2 n n1

Rpta. Los dos tienen igual error relativo 2.Qu medida es ms precisa: La de un qumico que pesa 200 mg con una balanza que aprecia el miligramo o la de un tendero que pesa 2 kg de arroz con una balanza que aprecia el gramo? Solucin: Ser ms precisa aquella pesada cuyo error relativo sea menor. t Con el qumico: ER = EA 100% A 1 mg 100% ER = 200 mg 4.E = 0 , 674 5E = 0 , 000 7

b g bg

0 , 000 084 10 9

t El valor ms probable: V.M.P. = X = 4,557 Luego el resultado final podr ser expresado. 4,557 0,000 7 Del concepto de teora de errores, se deduce que hay un 50% de probabilidades de que el verdadero valor del resultado final est comprendido entre 4,556 3 m y 4,557 7 m. Se ha medido la longitud de un terreno, los datos obtenidos en metros son: 1 Medicin : 100,212 2 Medicin : 100,210 3 Medicin : 100,214 Se pide: A) Calcular la media. B) Calcular la desviacin tpica o stndar (). Solucin:

ER = 0 , 5%

t Con el tendero 1g 100% ER = 2 000 gER = 0 , 05%

Rpta. Es ms precisa la medida del tendero 3.Consideremos la siguiente serie de mediciones realizadas con un esfermetro:

A)

Son tres mediciones n = 3

Magnitudes Fsicas100 , 212 + 100 , 210 + 100 , 214 300 , 636 = 3 3 6.-

39Con ayuda de un teodolito se midi un ngulo, realizando una observacin angular en ocasiones diferentes y por diferentes observadores. Calcular la media. Los datos de campo son:2

X=

X = 100 , 212 B) Tabulando MEDIDA 100,212 100,210 100,214 V = X - Xi 0 +0,002 -0,002 Sumatoria V2 8 10 6 = = 31 n1 = 0 , 002

V

0 410-6 410 810-6 -6

= 40 20 10 1 = 40 20 30 2 = 40 20 503

1 medida 4 medidas 3 medidas

Calcular la media. Solucin: n = 1 + 4 + 3 = 8 observaciones =

5.-

En el problema anterior calcular: A) El error relativo B) El resultado final Solucin: A) ER = E0 X = 1 X E0

b1g + b4g + b3g1 2

3

8

= 40 20 10 + 4(40 20 30) + 3(40 20 50) 8 = 322 44 40 = 40 24 35 8

E0 = 0 , 674 5 = 0 , 674 5 0 , 002E0 = 0 , 001 349

b

g

7.-

Se ha efectuado la medicin de una distancia y los resultados obtenidos son: 1 Medicin : 2 Medicin : 3 Medicin : 4 Medicin : 800,213 m 800,220 m 800,603 m 800,218 m

ER =

1 1 = 100 , 212 74 286 0 , 001 349

ER =

1 74 286 V2 n n1

Se pide: Calcular el error relativo Solucin: En primer lugar, si analizamos el valor de cada medicin, respecto a los dems, ser fcil detectar que la tercera medicin tiene un valor muy lejano a las otras mediciones, lo cual hace deducir que en el proceso de medicin se debi cometer un error propio (en la 3 medicin), por tal motivo no se tomar en cuenta en los clculos. Luego; 1 Medicin : 2 Medicin : 3 Medicin : 800,213 m 800,220 m 800,218 m

B) E = 0 , 674 5

b g bg

E = 0 , 674 5E = 0 , 000 8

8 10 6 32

El V.M.P. = X = 100,212 Luego el resultado final podr ser expresado: 100,212 0,000 8 Esto significa que hay un 50% de probabilidades de que el verdadero valor del resultado final est comprendido entre 100,211 2 y 100,212 8. n=3 X=

800 , 213 + 800 , 220 + 800 , 218 2 400 , 651 = 3 3

X = 800 , 217 m

40t Tabulando MEDIDA 800,213 800,220 800,218 V= X -X +0,004 -0,003 -0,001 Sumatoria V 2 26 10 6 = 31 n1i

Jorge Mendoza Dueast Tabulando: V2 1610 910 110-6 -6 -6

MEDIDA 100,44 100,46 100,50 100,10

V = X - Xi -0,065 -0,085 -0,125 +0,275 valor mayor

2610-6

que 0,20 (tolerancia)

t =

= 0 , 003 6

t E0 = 0 , 674 5 = 0 , 674 5 0 , 003 6E0 = 0 , 002 428 2

b

g

Observamos que la desviacin V correspondiente a 100,10 es mayor que el permitido; si analizamos inicialmente el problema, es fcil darse cuenta que 100,10 esta muy lejos a los dems datos, seguramente se cometi algn error propio. Por lo tanto no se tomar en cuenta en los clculos. t Ahora tendremos: n = 3 X= 100 , 44 + 100 , 46 + 100 , 50 X = 100 , 467 N 3

t ER =

E0 X

=

1 X E0

t Tabulando: MEDIDA 100,44 100,46 100,50 V = X Xi +0,027 +0,007 -0,033 Sumatoria V2 72,910 4,90105 5

ER =

1 1 ER = 800 , 217 329 552 0 , 002 428 2

8.-

En el problema anterior, determinar el resultado final. Solucin: E = 0 , 674 5E = 0 , 001 4

108,90105 186,7105

V 2 26 10 6 = 0 , 674 5 23 n n1

b g

bg

t E0 = 0 , 674 5 = 0 , 674 5 E0 = 0 , 020 608 t ER =

V2 n1

V.M.P. = X = 800,217 Luego el resultado final podr ser expresado: 800,217 0,001 4 10.9.Se ha pesado varias veces un saco de papas y los datos obtenidos son: 100,44 N ; 100,46 N ;100,50 N ; 100,10 N Calcular el error relativo, si la tolerancia mxima permitida es 0,20 N. Solucin: t n=4 100 , 44 + 100 , 46 + 100 , 50 + 100 ,10 4 X = 100 , 375 N X= ER =

F X I = 100, 467 GH E JK 0, 020 6080

1

1

1 4 875

En el problema anterior, expresar el resultado final. Solucin: t Calculando el error probable de la media. E = 0 , 674 5E = 0 , 012

V2 186 , 7 10 5 = 0 , 674 5 n n1 32

b g

bg

t El valor ms probable: V.M.P. = X = 100,467 N Luego el resultado final podr ser expresado. 100,467 N 0,012 N

Captulo

3

VECTORESMAGNITUD VECTORIALEs aquella magnitud que aparte de conocer su valor numrico y su unidad respectiva, es necesario conocer tambin la direccin y sentido para que as dicha magnitud logre estar perfectamente determinada. Veamos un ejemplo sencillo:

Si una persona desea disparar una flecha al blanco, ella debe conocer la fuerza (mdulo) mnima que debe aplicar a la flecha para que sta se incruste en el tablero; pero supongamos que a dicha persona despus de conocer la distancia de ella al blanco, le tapan los ojos. Sabr a donde apuntar?, la respuesta es no, pues conocer cuanto debe tirar de la cuerda pero no sabr hacia donde. Qu falta? le falta la ubicacin del blanco (direccin y sentido). Queda demostrado entonces que la fuerza es una magnitud vectorial, pues a parte del valor y unidad respectiva, se necesita la direccin y sentido.

VECTOREs un segmento de lnea recta orientada que sirve para representar a las magnitudes vectoriales.r A = A ; se lee vector A

r A = A = A ; se lee: Mdulo del vector A

42

Jorge Mendoza Dueas

ELEMENTOS DE UN VECTOR: A) Punto de aplicacin.- Est dado por el origen del vector.

D)

Vectores igualesSon aquellos vectores que tienen la misma intensidad, direccin y sentido.

B)

Intensidad, mdulo o magnitud.- Es elvalor del vector, y generalmente, est dado en escala. ejm. 5 unidades de longitud equivale a 5 N (si se tratse de fuerza).A y B soniguales

C) D)

Sentido.- Es la orientacin del vector. E) Direccin.- Est dada por la lnea de accindel vector o por todas las lneas rectas paralelas a l.

Vector opuesto ( A )Se llama vector opuesto ( A ) de un vector A cuando tienen el mismo mdulo, la misma direccin, pero sentido contrario.

ALGUNOS TIPOS DE VECTORES: A) Vectores colinealesSon aquellos vectores que estn contenidos en una misma lnea de accin.

A, B y C son colineales

A y A son vectores opuestos entre s

B)

Vectores concurrentesSon aquellos vectores cuyas lneas de accin, se cortan en un solo punto.

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALARCuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma direccin y de mdulo igual a tantas veces el escalar por el mdulo del vector dado. Ejemplos.

A, B y C son concurrentes

C)

Vectores coplanaresSon aquellos vectores que estn contenidos en un mismo plano.

4 unidades 2 unidades 8 unidadesA, B y C son coplanares

Vectores

43

OPERACIONES VECTORIALESADICIN DE VECTORESSumar dos o ms vectores, es representarlos por uno slo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmtica

B)

Mtodo del TringuloVlido slo para dos vectores concurrentes y coplanares. El mtodo es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuacin del otro para luego formar un tringulo, el vector resultante se encontrar en la lnea que forma el tringulo y su punto de aplicacin concidir con el origen del primer vector.

R = A+B+C+D

R = A+B

C)

Mtodo del PolgonoVlido slo para dos o ms vectores concurrentes y coplanares. El mtodo es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuacin del otro para luego formar un polgono, el vector resultante se encontrar en la lnea que forma el polgono y su punto de aplicacin coincidir con el origen del primer vector.

ADICIN DE VECTORES - MTODO GRFICO A) Mtodo del ParalelogramoEste mtodo es vlido slo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizndolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrar en una de las diagonales, y su punto de aplicacin coincidir con el origen comn de los dos vectores.

R = A+B+C

En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del ltimo, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama polgono cerrado .

R = A+B

R = A+B+C+D+E=0

44 OBSERVACIONES En la adicin de vectores se cumplen varias propiedades, stas son:

Jorge Mendoza Dueas

B)

Suma de Vectores Concurrentes y CoplanaresEn este caso el mdulo de la resultante se halla mediante la siguiente frmula.

Propiedad ConmutativaA+B=B+A

R =

A2 + B2 + 2AB cos

Propiedad AsociativaA+B+C= A+B +C=A+ B+C

d

i

d

i

ADICION DE VECTORES - MTODO ANALTICO A) Suma de Vectores ColinealesEn este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los mdulos de los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla de signos. La direccin del vector resultante se halla mediante la ley de senos.R A B = = sen sen sen

CASO PARTICULARSi: = 90 R = A2 + B 2

Ejemplo: Determinar la resultante de los siguientes vectores:

Sabiendo: A = 4 ; B = 3 ; C = 3 ; D = 1 Solucin:R=A+B+C+D

RESULTANTE MXIMA Y MNIMA DE DOS VECTORES Resultante MximaDos vectores tendrn una resultante mxima cuando stos se encuentren en la misma direccin y sentido ( = 0).

Teniendo en cuenta la regla de signos:R = 4 3 3 + 1 R = 1

El signo negativo indica que el vector est dirigido hacia la izquierda.

Rmax = A + B

Vectores

45D=AB D = A2 + B2 + 2AB cos 180

Resultante MnimaDos vectores tendrn una resultante mnima cuando stos se encuentren en la misma direccin; pero en sentidos contrarios ( = 180).

b

g

D =

A2 + B2 2AB cos

Rmn = A B

SUSTRACCIN DE VECTORES A) Mtodo del TringuloEn este caso se unen los dos vectores por sus orgenes y luego se unen sus extremos, el vector D ser el vector diferencia.

COMPONENTES DE UN VECTORSe denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados por el mtodo del polgono, dan como resultado un determinado vector. Hay que tomar en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes.

A+B+C+D=R A ,B ,C yD son componentes del vector R

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTORSon aquellos vectores componentes de un vector que forman entre s un ngulo de 90.A = Ax + Ay Ax = A cos Ay = Asen

D=AB

D=BA

B)

Mtodo del ParalelogramoEn este caso se invierte el sentido del vector que est acompaado del signo negativo; y luego se sigue el mismo procedimiento para adicin de vectores por el mtodo del paralelogramo.

UNITARIO VECTOR UNITARIOEs un vector cuyo mdulo es la unidad y tiene por misin indicar la direccin y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama tambin versor.

u=

A A

u = vector unitario de A

46

Jorge Mendoza Dueas

VERSORES RECTANGULARESSon aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares.i -i j -j

SUMA DE VECTORES POR EL MTODO RECTANGULARES DE COMPONENTES RECTANGULARESPara hallar la resultante por este mtodo, se sigue los siguientes pasos: 1.2.3.Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares. Se halla la resultante en el eje x e y (Rx , Ry ), por el mtodo de vectores colineales. El mdulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitgoras.R = R2 + R 2 x y

: : : :

Vector unitario en el eje x (positivo). Vector unitario en el eje x (negativo). Vector unitario en el eje y (positivo). Vector unitario en el eje y (negativo).

Ejemplo: En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el vector resultante y su mdulo. Ahora tendremos:A = Ax + Ay A = 30 B = 15

C = 10

A = Ax i + Ay jEjemplo de aplicacin: En el sistema mostrado en la figura, expresar el vector A en trminos de los vectores unitarios rectangulares, sabiendo que su mdulo es de 30 unidades. Solucin: Por motivos didcticos, trabajaremos con nmeros.

Rx = 15cos 37 30 cos 53 = 15 A = Ax + Ay A = Ax i + Ay jt t

FG 4 IJ 30FG 3IJ H 5 K H 5K FG 4 IJ + 15FG 3IJ 10 H 5 K H 5K

Rx = 6 (hacia la izquierda) Ry = 30sen 53 + 15sen 37 10 = 30Ry = 23 (hacia arriba)

FG 3IJ H 5K F 4I A = Asen 53 = 30G J H 5KAx = A cos 53 = 30y

Ax = 18 Ay = 24

R = 6 i + 23 j ; Ahora: R = 62 + 232R = 23,77

A = 18 i + 24 j

Ciencia Vectoresy Tecnologa

47

La fuerza: un vectorLa fuerza es una magnitud vectorial, por tanto se representa mediante un vector. Ahora; sumar dos o ms vectores no implica necesariamente sumar sus mdulos, ello depender de la posicin en que se encuentren. En el presente caso, los vectores fuerzas son colineales por tal razn habr que aplicar el mtodo de vectores colineales para la determinacin del vector resultante.

El vector desplazamientoEl desplazamiento es un vector: Si el objetivo fuese darle a la bola amarilla con la roja, esta ltima tendra que recorrer la distancia d; sin embargo podra elegirse tambin otros caminos convenientes en cuyos casos los vectores formados seran componentes del vector d ( d1 y d2 son componentes del vector d ).

El tiempo - escalarEl tiempo, es considerado como magnitud escalar, pues slo necesitamos el valor y la unidad respectiva para tener la informacin completa. En realidad la investigacin sobre el tiempo es muy compleja y falta mucho por estudiarlo. Entonces: Tendr direccin y sentido el tiempo?

48

Jorge Mendoza Dueas Ciencia y Tecnologa

La velocidad - un vectorPara que el avin pueda desplazarse desde el punto A hasta el B, el piloto deber conocer las coordenadas de dichos puntos ya sea va radio o va satlite, lo cierto es que la obtencin de dichos datos no es problema. Conocidas las coordenadas de A y B, es fcil determinar el vector desplazamiento por donde deber recorrer el avin ( d ).

d

Si el piloto dirige la velocidad del avin en la direccin del desplazamiento calculado, el viento se encargar de desviarlo.

Para evitar que el avin se desve, ser necesario conocer la direccin del viento y mediante el mtodo del paralelogramo determinar la direccin que hay que imprimir al aparato para que su velocidad resultante se dirija en la direccin del desplazamiento deseado.

En realidad la direccin del viento puede cambiar, para lo cual el piloto deber estar alerta a ello y cambiar tambin la direccin de la velocidad del avin para as conservar la direccin de la velocidad resultante en la lnea del desplazamiento d . Este mismo principio se utiliza tambin en los barcos para la navegacin martima.

Vectores

49

TEST1.Dados los vectores mostrados: a =8 b =3 a) b) c) 2.a + b = 11 a b = 11 a 2b = 2 d) e) ba =5 a + 4b = 20 6.Respecto a los vectores, sealar verdadero o falso: I.Al multiplicar un escalar positivo por un vector, se obtiene otro vector en el mismo sentido que el primero. II.- Al multiplicar un escalar negativo por un vector, se obtiene otro vector en sentido contrario al primero. III.- Un vector slo puede ser descompuesto en dos vectores. a) b) c) 7.VFF VVF VVV d) e) FFF FVV

Dos vectores tienen de mdulos 4 y 8, cul de los valores enteros puede ser resultante de ellos? a) b) c) 3 13 10 d) e) 2 14

Respecto a dos vectores sealar la alternativa incorrecta: a) b) c) d) e) La resultante mxima es la suma de sus mdulos. La resultante mnima es la diferencia de sus mdulos. La resultante sigue la direccin del mayor. La mayor resultante se da cuando estn en el mismo sentido. La menor resultante se da cuando tienen sentidos contrarios.

3.-

Para dos vectores perpendiculares, sealar verdadero o falso. I.Mdulo de su resultante es igual al mdulo de su diferencia. II.- El mdulo de la resultante es mayor que el mdulo de la diferencia. III.- El mdulo de uno de los vectores es mayor que el de su diferencia. a) b) c) VFF VVV VFV d) e) FFV FVV 8.-

Para dos vectores ortogonales: a) b) c) d) e) Su resultante es la suma de sus mdulos. Su resultante es la diferencia de sus mdulos. Su resultante es mayor que su diferencia. El mdulo de su resultante se obtiene por el teorema de Pitgoras. El mdulo de su resultante puede ser la suma de sus mdulos.

4.-

Para dos vectores de igual mdulo que forman un ngulo de 120, marcar verdadero o falso: I.- Mdulo de su resultante es igual al de uno de ellos. III.- Mdulo de su resultante es el doble de uno de ellos. III.- El mdulo de su resultante es cero. a) b) c) VVV VFV VFF d) e) FFV FVF

9.-

Respecto a los vectores mostrados, sealar lo correcto respecto a su resultante. a) b) c) d) e) 10 N 20 N 30 N 0 N.A.

5.-

Dadas las relaciones, cul no corresponde? R = 2C R = 3C 10.R = 10 N

a)

d)

Qu podrs decir de la resultante de los vectores mostrados? a) b) c) d) e) 40 N 120 N 80 N 40 3 N 80 3 N

b)

e)

| R | = 20

c)

R = 2C

50

Jorge Mendoza Dueas

RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOSA 1.problemas de aplicacin Se tienen dos fuerzas iguales a 10 N cada una, como muestra la figura, determinar el valor de su resultante. Solucin: R = 102 + 102 + 2 10 10 cos 60 Solucin: Nos piden: De la figura: (2) en (1) 2.Cul es la resultante en N, de dos fuerzas de 10 N de mdulo cada una, si forman entre s un ngulo de 90? Solucin: R = 102 + 102 R = 10 2 N 5.R=A+B+C A=B+C ......... (1) ......... (2) R=

b gb g F 1I 100 + 100 + 2b100gG J H 2K

R = 10 3 N

R = A + A R = 2A

En la figura, M es punto medio del vector A obte, ner el vector D en funcin de los vectores B y C .

3.-

Encontrar la magnir r tud del vector A + B sabiendo que A = 5 unidades, B = 8 unidades. Solucin:

Solucin: t En el tringulo PQR: C=A+B A = C B ........ (1) t En el tringulo MPQ: A + B = D ........ (2) 2 t (1) en (2): CB +B=D 2 D= 1 B+C 2

r r Observamos que los vectores A y B son perpendiculares entre si:R=A+B R = A2 + B2 R = 52 + 82 R = 89 R 9 , 4 unidades

e

j

4.-

En el sistema mostrado, determinar el vector resultante en trminos del vector A .

VectoresB 1.problemas complementarios El mdulo de la resultante de dos vectores perpendiculares es 10 y cuando forman 120 es 2 13 . Hallar el mdulo del mayor de ellos. Solucin: t Primer caso: cuando son perpendiculares A + B = 102 A + B = 100 ........ (1)2 2 2 2

513.Hallar el mdulo del vector resultante, si: a =6 , b =8

Solucin: Podemos observar que: b = d+ e + f a+ c b + a = d + e + f + c ........ (1)

t Segundo caso: cuando forman 120 R = A + B + 2 A B cos 1202 2 2

Pero piden: R = a + b + c + d + e + f ........ (2) Reemplazando (1) en (2): R= a+b+ b+a =2 a+b

e2 13 j

2

= 100 + 2 A B

FG 1IJ H 2K

13

R

e j e j

=2

A B = 48 ........ (2)

Ntese que a y b forman 90 R = 2a+ b = 2

t Finalmente: de (1) y (2) A =8 2.B =6 4.-

F GH

a +b

2

2

I JK

R = 2 62 + 10 2

R = 20En el paralelogramo, determinar la resultante del sistema, en trminos de los vectores A y B , (m y n son puntos medios).

Dos vectores tienen sus mdulos en la relacin de 5 a 6. La resultante de las dos forma 37 con el menor mdulo. Qu ngulo forman los vectores concurrentes? Solucin: En el tringulo ABC tan 37 = 6 sen 5 + 6 cos

3 6 sen = 4 5 + 6 cos 3 5 + 6 cos = 4 6 sen

Solucin:

b

g b

g

15 + 18 cos = 24 sen 8sen 6 cos = 5

Aprovechando los puntos medios, adicionamos vectores A/2 y B /2.

8 6 5 sen cos = 10 10 10 cos 37 sen sen 37 cos = sen 37 = Luego: 1 2

b

g

1 2 R = A + B + C + D ........ (1)

37 = 30 = 67

52Del tringulo (I): C=A+ B ........ (2) 2 Del tringulo (II): D=B+ A ........ (3) 2

Jorge Mendoza Dueas

(2) y (3)en (1):

F GH 5 R = e A + Bj 25.-

R=A+B+ A+

B A + B+ 2 2

I F JK GH

I JK

Solucin:

La figura muestra un trapecio, de vrtices A, B, C, D, sabiendo que M es punto medio del segmento AB, determinar el mdulo de la resultante de los vectores a y b . BC = 7 ; AD = 13 Solucin: Nos piden: a + b = ? Descomponiendo el vector a : a = p + q ........ (1) Descomponiendo el vector b : b = m + n ........ (2) (1) + (2): a + b = p + q + n + m

0 (de la figura)

Descomponiendo a : a = p + q ........ (1) Descomponiendo b : b = m + n ........ (2) (1) + (2): a + b = p + m+ q+ n

a+b=p+m Entonces: a + b = p + m Segn los datos y la figura:

p = 10 ; m = 24 ; a + b = 26Luego: a + b = p + m + 2 p m cos 262 = 102 + 24 2 + 2 10 24 cos cos = 0 = 902 2 2

0 (de la figura)

a+b = q+n Como q y n son paralelos: a + b = q + n = 7 + 13 a + b = 20 6.Dado el trapecio MNPQ mostrado en la figura, determinar el valor del ngulo para que la resultante de a y b sea de 26 unidades. R es punto medio de PQ (MQ = 10 u; NP = 24 u).

b gb g

Finalmente: 64 + + = 18064 + 90 + = 180 = 26

7.-

En el siguiente grfico se muestra un tringulo con dos vectores en su interior, si AB = 2 y BC = 4. Determinar el mdulo del vector resultante. Adems: AM = MN = NC

VectoresSolucin: Creamos vectores q y p aprovechando los puntos medios; y le damos nombre a los vectores mostrados ( A y B)

53

Solucin: Descomponemos los vectores y observamos que el vector MA y NC se anulan. Nos piden: De la figura: A + q = 2p A = 2p q B + p = 2q B = 2q p A+B=q+p Con lo cual: Pero: Lo cual se reduce a : Luego: R2 = p2 + q2 + 2pq cos L2 = L2 + L2 + 2 L L cos L2 = 2L2 + 2L2 cos

R R=A+B

R=p+q

R =L ; p =L ; q =L

b gb g

Equivalente a: R = 4 2 + 22 + 2 4 2 cos 60 R = 4 + 16 + 8R=2 7

cos =

1 = 120 2

b gb g

Con ello la figura correcta es:

8.-

Hallar la medida del ngulo para que la resultante de los vectores mostrados tenga mdulo L .

9.-

En la figura se muestra un hexgono regular, determinar el vector resultante en trminos del vector C .

54Solucin: Aprovechando que el hexgono es regular, trasladaremos los vectores A y E a la parte inferior. 10.Expresar el vector

Jorge Mendoza Dueas

x en funcin de los vectores r1 y r2 . G: baricentro M: punto medioSolucin: Ilustrando

R=A+B+C+D+E En el tringulo (I): C=B+E Ordenando R: C= A+D + B+E +C 123 123 En el tringulo (II): C=D+A Analizando el tringulo CMA 1 r1 + r2 r +r + 3x = r2 x = r2 1 2 2 3 2 x= 1 r2 r1 6

e

j e jC

C R = 3C

F GH

I JK

e

j

PROBLEMAS PROPUESTOSA 1.problemas de aplicacin Es posible aplicar a un cuerpo simultneamente una fuerza de 6 kN y otra de 8 kN de modo que produzcan el mismo efecto de una sola fuerza. Determinar la magnitud de dicha fuerza (kN). Rpta. 10 Rpta. 2.Dos fuerzas de mdulo F forman un ngulo de 120, determinar su resultante. Rpta. F 3.Si el vector C posee un mdulo de 5 unidades. Hallar el mdulo de la resultante del sistema mostrado. 5.Fx = 9 Fy = 6r r r La figura muestra tres vectores A , B y C . El vector rer r r sultante de: B + C A , es el indicado en la figura por:

4.-

En la figura mostrada determinar las compor nentes del vector F (en r r r mdulo), F = d + e

Rpta. 10 u

VectoresB 1.problemas complementarios

55

(A)

(B)

(C)

r Hallar el mdulo de P para que la resultante del sistema sea una fuerza horizontal de 280 N.Rpta. P = 56 10 N

2.(D) 6.(E)

Determinar en la figura que se muestra, el ngulo para que la resultante quede en el eje x . Rpta. = 30

k 3

Determinar la magnitud del vector resultante si cada cuadrado tiene de lado 10 m.

3.Rpta. 10 2 m

Un jugador de ftbol est corriendo a una velocidad de 3 m/s, hacia el norte. Despus de una violenta colisin con otro futbolista, tiene una velocidad de 4 m/s, hacia el este. Cul de los vectores representa el cambio de su velocidad? porqu?

7.-

Sea el vector A = (4 ; -3). Determinar un vector unitario en la direccin de A . Rpta. 4$ 3$ i j 5 5

Rpta.

e Aj

8.-

Si: A = 2 $ ; B = 4 $ 3 $ ; C = 2 $ j j i i Calcular: A + B + C Rpta.37

9.-

La magnitud de la resultante de dos fuerzas vara desde un valor mnimo de 3 hasta un mximo de 12, a medida que vara el ngulo comprendido entre las fuerzas. Determinar el valor de la mayor de las fuerzas. Rpta. 7,5

4.-

10.-

Hallar la resultante del sistema vectorial (mdulo). Rpta. R =0

En el siguiente conjunto de vectores. Cmo deben ser las componentes del vector D, si la resultante del sistema de vectores es cero? adems: A = 25; C =