Física Moderna - aglab1.files.wordpress.com · Física Moderna – UNSAM – 2017 Paridad de la función de onda Ejemplo) Pozo infinito simétrico Potencial par ==> soluciones simétricas

Profesor: Ignacio J. General2do cuatrimestre 2017

Escuela de Ciencia y TecnologíaUNSAM

Física ModernaFísica Moderna

Física ModernaFísica Moderna

Propiedades de la función Propiedades de la función de onda y postulados de la de onda y postulados de la

cuánticacuánticaCorral cuánticoBy Julian Voss-Andreae - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=17273241

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Física Moderna – UNSAM – 2017

Propiedades matemáticas Propiedades matemáticas de la función de ondade la función de onda

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Propiedades matemáticas de la función de onda

Propiedad 1: la ecuación de Schrödinger es una ecuación de Propiedad 1: la ecuación de Schrödinger es una ecuación de autoestados y autovalores para el operador Hamiltoniano. Los autoestados y autovalores para el operador Hamiltoniano. Los autoestados son las funciones de onda que describen a la autoestados son las funciones de onda que describen a la partícula, y los autovalores son las energías partícula, y los autovalores son las energías

H ψn(x)=Enψn(x) (H=−ℏ2

2m∇2+V (x))

autovalores

autoestados

Hamiltoniano

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Propiedad 2: las autofunciones son ortonormales, es decir,Propiedad 2: las autofunciones son ortonormales, es decir,

Probemos esto para las soluciones del pozo infinito. Sus autoestados eran:

(Este resultado es general, válido para cualquier potencial)

∫−∞

∞

ψm∗(x)ψn(x)dx = 2

a∫0a

sen(mπ xa )sen(nπ x

a )dx =

1a ∫0

a

[cos(m−na

π x)−cos(m+na

π x)]dx =

[ 1(m−n)π

sen(m−na

π x)− 1(m+n)π

sen(m+na

π x)]0

a

=

sen[(m−n)π ]π(m−n)

−sen[(m+n)π]π(m+n)

= δm,n

∫−∞

∞

ψm∗(x)ψn(x)dx=δm,n

δm ,n={0 m≠n1 m=n} Delta de KroneckerDelta de Kronecker

ψn(x)=√2/a sen (nπ x /a )

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Propiedad 3: la ecuación de Schrödinger es lineal, es decir, una Propiedad 3: la ecuación de Schrödinger es lineal, es decir, una combinación lineal de sus autoestados es también una solución. combinación lineal de sus autoestados es también una solución.

Propiedad 3': Los autoestados forman una base completa de Propiedad 3': Los autoestados forman una base completa de estados. Es decir, cualquier estado del sistema puede escribirse estados. Es decir, cualquier estado del sistema puede escribirse como una combinación lineal de los autoestados. como una combinación lineal de los autoestados.

Entonces, la solución más general posible será (incluyendo la parte temporal):

Φ(x)=∑n=1

∞

cnψn(x)e−iEn t / ℏ

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Propiedad 4: los coeficientes de las combinaciones lineales de Propiedad 4: los coeficientes de las combinaciones lineales de autoestados representan la probabilidad del autoestado autoestados representan la probabilidad del autoestado correspondientecorrespondiente

Sea

∑n=1

∞

cn∗cn=1

⟨E ⟩=∫−∞

∞

Φ∗(x , t )(i ℏ ∂∂ t )Φ(x , t)dx =

iℏ∫[∑l=1∞

cl∗ψl

∗(x)eiE l t /ℏ]( ∂∂ t )[∑n=1∞

cnψn(x)e−iEn t /ℏ]dx =

iℏ∫[∑l=1∞

cl∗ψl

∗(x)eiE l t /ℏ][∑n=1∞

(− iℏ )En cnψn(x)e

−iEnt /ℏ]dx =

Φ(x , t)=∑n=1

∞

cnψn(x)e−iEn t / ℏ

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Propiedad 4: los coeficientes de las combinaciones lineales de Propiedad 4: los coeficientes de las combinaciones lineales de autoestados representan la probabilidad del autoestado autoestados representan la probabilidad del autoestado correspondientecorrespondiente

⇒ ⟨E ⟩ = ∑n=1

∞

cn∗cn En

=1 =0

⟨E ⟩ = ∫∑n=1

∞

cn∗cn Enψn

∗ψn dx+∫∑l=1

∞

∑n=1≠l

∞

cl∗cn Enψl

∗ψn e−i(En−El)t / ℏdx

= ∑n=1

∞

cn∗cn En∫ψn

∗ψn dx+∑l=1

∞

∑n=1≠l

∞

cl∗cn En e−i(En−El)t / ℏ∫ψl

∗ψn dx =

|Cn|2 es la probabilidad de E

n

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Propiedad 5: Si el estado inicial de una partícula es una Propiedad 5: Si el estado inicial de una partícula es una combinación de varios autoestados, entonces la probabilidad de combinación de varios autoestados, entonces la probabilidad de observarla en algún autoestado particular variará con el tiempoobservarla en algún autoestado particular variará con el tiempo

Sea

Corolario: Si el estado inicial es un autoestado (no una Corolario: Si el estado inicial es un autoestado (no una combinación de varios), entonces la probabilidad de observarla en combinación de varios), entonces la probabilidad de observarla en dicho autoestado es 1 y no cambia con el tiempodicho autoestado es 1 y no cambia con el tiempo

Si se repite lo anterior con un solo termino (n=i), queda:

Φ∗Φ = ∑n=1

∞

cn∗cnψn

∗ψn+∑l=1

∞

∑n=1≠l

∞

c l∗cnψl

∗ψn e−i(En−El)t /ℏ

Φ(x , t)∗Φ(x ,t)=f (t)

Φ(x , t)=∑n=1

∞

cnψn(x)e−iEnt / ℏ

f(t)

Φ∗Φ = c0∗c0ψ0

∗ψ0 No es f(t)

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Propiedad 6: Fórmula para los coeficientes de la combinación Propiedad 6: Fórmula para los coeficientes de la combinación lineal que representan una cierta función lineal que representan una cierta función f(x)f(x)

Sea

Consideremos

∫ψm∗(x) f (x)dx = ∑

n=1

∞

cn∫ψm∗(x)ψn(x)dx = ∑

n=1

∞

cnδm,n = cm

cm=∫ψm∗(x) f (x)dx

f (x)=∑n=1

∞

cnψn(x)

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Postulados de la Postulados de la mecánica cuánticamecánica cuántica

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Postulados de la mecánica cuántica

1) El estado de un sistema queda totalmente especificado por su función de onda, Ψ(x,t), la cual cumple que Ψ*(x,t)Ψ(x,t) dx es la probabilidad de encontrar a la partícula en el elemento de volumen dx, al tiempo t.

En consecuencia,

Ψ y ∂Ψ/∂t son monovaluadas, finitas y continuas.

∫∀ xΨ∗(x , t)Ψ(x ,t)dx = 1

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2) A cada magnitud física medible, que llamaremos observableobservable, le corresponde un operador cuántico (lineal y hermítico)

Ejemplo) p → −i ℏ ∂∂ x

E → −iℏ ∂∂ x

+V (x)

x → x

K → −ℏ2

2m∂2

∂ x2

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3) Los operadores cuánticos satisfacen ecuaciones de autovalores, y ellos (y solo ellos) son los resultados posibles de una medición:

donde los ψn son los autoestados del sistema.

Cualquier estado posible del sistema se puede escribir como

Aψn(x)=anψn(x)

ϕ(x)=∑n=1

∞

cnψn(x)

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ϕ(x , t0)=c1ψ1(x)+c2ψ2(x)+c3ψ3(x)

ϕ(x , t2>t1)=ψ2(x)

t=t1: medimos la energía del sistema

P(ψ1)=|c1|2 P(ψ2)=|c2|

2 P(ψ3)=|c3|2 P(ψi , i≠1,2,3)=0

En la medición obtenemos E2

La función de onda colapsó al autoestado 2La función de onda colapsó al autoestado 2

Ejemplo)

4) Al realizar una medición sobre el sistema, su función de onda colapsacolapsa a uno de los autoestados, y el resultado de la medición es el correspondiente autovalor.

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5) Los valores medios se calculan usando:

⟨ A ⟩(t )=∫∀ xΨ∗(x , t ) AΨ(x , t )dx

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6) La evolución temporal de un sistema se describe a través de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

Cuando el potencial es independiente del tiempo,

y ψ(x) satisface la ecuación de Schrödinger independiente de t:

H Ψ(x , t)=i ℏ∂Ψ(x , t )

∂ t

Ψ(x , t)=ψ(x)e−iEt / ℏ

[− ℏ2

2m∂2

∂ x2+V (x)]ψ(x) = Eψ(x)

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Ejercicio) Ejercicio) Partícula de masa m en caja de longitud L. Su estado al tiempo 0 está representado por:

a) ¿Está el estado normalizado? (Rta: si)b) Calcular P(0<x<L/4) (Rta: ~32%)c) Calcular P(E=ħ2π2/(2mL2)) (Rta: 1/2)d) Calcular P(E=4ħ2π2/(2mL2)) (Rta: 1/2)e) Calcular P(E=9ħ2π2/(2mL2)) (Rta: 0)f) Escribir Ψ al tiempo t>0.g) Más tarde, se mide la energía del sistema obteniéndose E

2.

Escribir su estado.

Ψ(x , t=0)= 1√2 [ψ1(x)+ψ2(x)] ψ(x)=√2L sen(nπ x

L )En=

n2ℏ2π2

2mL2

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Paridad de la función de onda

Si V(x) = V(-x), es decir, potencial simétrico, y renombrando ψ(-x)como θ(x), (ec 2) queda:

¡Pero θ(x) y ψ(x) cumplen la misma ecuación! (comparar ecs. 1 y 3)

f (−x)=f (x)f (−x)=−f (x)

Función par (ej, coseno)Función impar (ej, seno)

−ℏ2m

∂2

∂ x2ψ(x )+V (x)ψ( x)=Eψ(x)

−ℏ2m

∂2

∂ x2ψ(−x)+V (−x)ψ(−x )=E ψ(−x)

(ec 1)

(ec 2)

−ℏ2m

∂2

∂ x2θ(x )+V (x)θ(x )=Eθ(x) (ec 3)

ψ(x)=aθ(x) ó ψ(x)=aψ(−x)

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Normalizando,

Entonces, si el potencial es par, las autofunciones deben ser pares si el potencial es par, las autofunciones deben ser pares o impareso impares

∫ψ∗(x)ψ( x)dx=|a|2∫ψ∗(−x )ψ(−x)dx=1

⇒ |a|2=1⇒ a=±1

ψ(x)= ψ(−x)ó

ψ(x)=−ψ(−x)V (x)=V (−x) ⇒

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Ejemplo) Pozo infinito simétrico

Potencial par ==> soluciones simétricas o antisimétricas

Entonces, puedo resolver el problema en dos partes.i) Propongo Ψ

II=A sen(kx) y resuelvo

ii) Propongo ΨII=B cos(kx) y resuelvo

La solución completa quedará dada por los dos conjuntos de soluciones.

V={∞ x<00 0<x<a∞ a<x }

x

V∞∞

a-a

I II III

ψI ( x)=ψIII (x)=0

ψII (x)=A sen(k x) ó ψII (x)=B cos(k x)

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