Tema 10: Ondas Una perturbacin (desplazamiento temporal desde la posicin de equilibrio) en un medio deformable no se queda limitada a su punto de origen sino se propaga con una velocidad caracterstica del medio a su entorno, es decir, la misma perturbacin se repite all con un retraso de tiempo. De esta forma la perturbacin se extiende en el medio en todas regiones posibles con la velocidad de propagacin. Tal estado variable en tiempo y espacio se denomina onda. Las ondas transportan energa y cantidad de movimiento a travs del espacio sin transportar materia. Distinguimos entre ondas transversales en que el desplazamiento ocurre perpendicular a la direccin de propagacin (onda en una cuerda, onda electromagntica, etc.), y ondas longitudinales en que el desplazamiento ocurre en la direccin de la propagacin (onda sonora).

onda transversal onda longitudinal Consideramos ahora un pulso de onda que se propaga a travs de una cuerda tensa, por ejemplo, generado por un golpe en la cuerda.

En t=0 el desplazamiento de la cuerda es y = f(x). Tras el tiempo t el pulso se ha propagado una distancia vt. En el sistema O que viaja con el pulso, el desplazamiento f(x) es constante para todos los tiempos. La relacin entre los dos sistemas de coordenadas es x = x+vt y por tanto f(x)= f(x vt). As pues y= f(x vt) describe el desplazamiento de la cuerda cuando el pulso se mueve en sentido positivo de x.

De forma general (tanto para ondas transversales como longitudinales):

y = f(x vt) onda movindose en sentido positivo de x y = f(x + vt) onda movindose en sentido negativo de x

en donde f es una funcin cualquiera.

y = f(x vt) se denomina funcin de onda. La velocidad de la onda v solo depende de la propiedad del medio en que se propaga la onda (es independiente de la velocidad de la fuente emisora de la onda ( efecto Doppler)), p.e. en una cuerda de la tensin FT y de masa por unidad de longitud = m/L. La velocidad de propagacin en una cuerda es

TFv

o en cualquier slido (F/A = E L/L con E el modulo de Young (elasticidad))

Ev

o en un fluido de compresibilidad B = p/(V/V) y densidad

Bv

Para las ondas sonoras en un gas, como el aire (compresibilidad adiabtica pV = cte.), B p (T), por tanto, v se hace independiente de y la velocidad es

MRTv

en donde T es la temperatura absoluta en K, R = 8,314 J/(mol K) es la constante universal de gas, M la masa molar del gas (para aire M= 2910-3 kg/mol), y = 1,4 para gases de molculas biatmicas (O2, N2, etc.) y = 1,67 para gases de molculas momoatmicas (He).

Velocidades del sonido para diversos materiales a 20C Material v (m/s) Material v (m/s) Dixido de carbono 266 Agua 1485 Oxgeno 326 Plomo 1300 Nitrgeno 349 Cobre 3900 Helio 1007 Aluminio 5100 Hidrgeno 1309 Hierro 5100 Acetona 1190 Vidrio crown 5300 Benzol 1324 Vidrio flint 4000

Deduccin de la velocidad v para ondas en una cuerda: Consideramos un pulso que se propaga a lo largo de una cuerda con velocidad v. Si la amplitud del pulso es pequea comparado con la longitud de la cuerda, la tensin FT es aproximadamente constante en la cuerda.

(a) el pulso se mueve con v

hacia la derecha

(b) sistema de referencia que se mueve con la velocidad v hacia la derecha: el pulso es estacionario, la cuerda se mueve con velocidad v hacia la izquierda.

Sobre el segmento de la cuerda de longitud s acta por ambos lados la fuerza de tensin FT. La resultante de ambas fuerzas de tensin establece la fuerza centrpeta.

Deduccin de la ecuacin de onda en una cuerda (onda transversal) Consideramos un segmento de longitud s de la cuerda y su desplazamiento y = y(x,t) en un cierto instante con respecto a su posicin de equilibrio. Sobre l actan fuerzas externas que determinan su movimiento segn la 2 ley de Newton

Fext = m a

La fuerza externa sobre el segmento de una cuerda tensa es la fuerza de tensin FT en la cuerda. Para pequeas amplitudes (1, 2 pequeos) podemos considerar que FT es constante a lo largo de la cuerda. 1, 2 pequeos implica tambin que s x y la masa m del segmento que es m = s se aproxima por m = x.

2

2

22

2 1ty

vxy

es la ecuacin de onda para ondas transversales en 1-dim

Cualquier funcin y = f(x vt) es solucin de la ecuacin de onda y v es la velocidad de propagacin de la onda. En el caso de una onda sonora la ecuacin de onda en una dimensin es

2

2

22

2 1ts

vxs

en donde s = s(x,t) = s(x vt) es el desplazamiento del medio en la direccin x con respecto a su posicin de equilibrio.

Ondas peridicas y armnicas Si se mueve de forma peridica el extremo de una cuerda tensa hacia a bajo y hacia arriba, se genera una onda peridica. Cuando la onda peridica se mueve a lo largo de la cuerda tensa (o a travs de cualquier otro medio), cada punto de la cuerda (o del medio) oscila con el mismo periodo. Entre las ondas peridicas, las ondas armnicas son las ondas fundamentales. Pues toda onda, peridica o no, se puede describir por una superposicin de ondas armnicas (anlisis Fourier). Si una onda armnica se mueve por un medio, cada punto del medio oscila siguiendo un movimiento armnico simple. Fotografa de una onda armnica transversal para un cierto instante t = t

es la longitud de onda. En el periodo T la onda se mueve una distancia . Por tanto, la velocidad v de la onda es

v = /T o bien v = f Con k = 2/ el denominado nmero de onda (de unidad m-1) y para t = t la constante de fase = 0, el desplazamiento de la onda en el instante t se escribe como y(x) = A sen(kx) y sustituyendo x por (x vt) se obtiene el desplazamiento de la onda en funcin del tiempo y del desplazamiento en direccin de la propagacin de la onda, es decir,

y(x, t) = A sen(kx - t) con = k v (x vt) es la fase, A es la amplitud del desplazamiento transversal, y es la frecuencia angular de oscilacin de la onda. Las derivadas de y(x,t) respecto al tiempo nos da la velocidad y aceleracin de cada punto del medio perpendicular a la direccin de propagacin de la onda transversal movindose en sentido positivo de x. En el caso de una onda sonora (onda longitudinal) el desplazamiento s(x,t) = A sen(kx - t) ocurre en direccin de la propagacin de la onda y s es el desplazamiento de cada punto del medio respecto a su posicin de equilibrio (es decir, de presin, densidad o temperatura constante, por ejemplo para el medio aire).

y(x) = A sen(2x/ + )

Transferencia de energa por una onda Consideramos de nuevo como ejemplo una onda transversal que se propaga por una cuerda. Cada segmento de la cuerda en movimiento transfiere energa y cantidad de movimiento al segmente adyacente. Cuando un segmento se desplaza desde su posicin de equilibrio arrastra el segmento adyacente aumentando as su energa potencial. Al mismo tiempo transfiere velocidad transversal al segmento adyacente, incrementando su energa cintica. Calculamos la potencia media de la onda, es decir, la taza de transferencia de energa a lo largo de la cuerda por la onda. La energa que se transmite es idntico al trabajo de la fuerza que realiza un segmento de cuerda sobre el adyacente siendo esta fuerza la tensin FT en la cuerda. La potencia transferida se calcula por P = Fv siendo en este caso v la velocidad transversal del segmento adyacente y F la fuerza de tensin.

La potencia instantnea resulta P = v 2 A2 cos2 (kx - t) tal que la potencia media que se propaga por la onda a travs de la cuerda es

Pm = v 2 A2 En un segmento de longitud x, la onda transporta una energa media de

Em = 2 A2x por tanto, la densidad (lineal) de energa media que transporta la onda es

m = 2 A2 Tanto la potencia como la energa media son proporcionales al cuadrado de

la amplitud de la onda.

Considerando la energa media en una onda sonora podemos sustituir en la ecuacin deducida arriba x = m por m = V y as se obtiene

Em = 2 A2V y la densidad de energa media que transporta la onda sonora resulta

m = 2 A2 Relacin entre desplazamiento s y presin p en una onda sonora

Ondas en tres dimensiones

Ondas circulares bidimensionales sobre una superficie de agua saliendo de una fuente puntual. La longitud de onda es la distancia entre crestas sucesivas, que son circunferencias concntricas, denominadas frentes de onda. La direccin en que se mueve un conjunto de frente de onda esta indicado por el rayo de onda; es perpendicular al frente de onda.

En caso de un foco puntual de sonido las ondas se emiten en tres dimensiones y los frentes de onda son superficies esfricas concntricas. Para ondas esfricas o circulares los rayos de onda son radiales.

Alejndonos mucho de la fuente la curvatura de frente de onda es casi nula y se tiene una onda plana. Ondas planas generadas en la superficie de agua.

Intensidad de una onda Si un foco puntual emite ondas en todas las direcciones, la energa a una distancia r del mismo estar distribuida uniformemente sobre una corteza esfrica de radio r y superficie 4 r2. Si la potencia emitida por el foco es P, la potencia la potencia por unidad de rea a la distancia r es P/4 r2. La potencia media por unidad de rea que est incidiendo perpendicularmente a la direccin de propagacin se denomina intensidad:

I = Pm/A La intensidad de la onda es el producto entre la energa media y la velocidad de propagacin

I = mv

En el caso de una onda sonora la intensidad se puede expresar como I = p02 /v en donde p0 = vs0 es la amplitud de la presin. El odo humano no es proporcional a la intensidad del sonido sino sigue una relacin logartmica. Para describir la percepcin de la intensidad por el odo humano se define la escala en decibelios (dB) como

= 10 log I/I0 siendo I0 la intensidad mnima que percibe el odo humano.

Reflexin y refraccin Cuando una onda incide sobre una superficie de separacin de dos regiones en las que la velocidad de la onda es diferente, parte de la onda se refleja (reflexin) y parte de la onda se transmite.

Cuando un rayo de onda pasa de un medio a otro de distinta velocidad de onda, el rayo transmitido cambia de direccin (refraccin).

Principio de Huygens: Cada punto de un frente de onda primario puede considerase como fuente de ondas elementales esfricas secundarias con la misma velocidad y frecuencia que la onda primaria. A cabo de un tiempo corto el frente de onda primario es envolvente de estas ondas elementales.

de cuerda ligera a cuerda pesada: de cuerda pesada a cuerda ligera: el pulso reflejado se invierte el pulso reflejado no se invierte

onda plana onda esfrica o circular movindose hacia la derecha

Con el principio de Huygens podemos describir la reflexin y refraccin Vemos que sen 1 = ct/AB = sen 1 adems 1 = 1 y 1 = 1 Por tanto,

1 = 1 (ley de reflexin)

es decir, el ngulo de incidencia es igual al de reflexin. Consideramos ahora con el principio de Huygens la onda transmitida

Si v1 v2 1 2 el haz se refracta sen 1 = sen 1 = v1t/AB sen 2 = sen 2 = v2t/AB sen 1 / sen 2 = v1 / v2 (ley de refraccin)

en un medio de una velocidad mas baja (alta) el rayo de onda se refracta acercndose (alejndose) a la normal.

Onda plana que se refleja en una superficie. Sea c la velocidad de la onda

En el caso de que el rayo de onda incide sobre un medio de velocidad de onda mayor, existe un ngulo crtico de incidencia C a partir del cual no hay transmisin, es decir, reflexin total. Ello ocurre para 2 = 90, es decir, el ngulo crtico es sen C = v1/ v2 (reflexin total)

Difraccin El fenmeno de la difraccin se observa cuando objetos del orden de tamao de la longitud de onda se interponen en el camino de la onda.

x x > difraccin no hay difraccin (salvo en los bordes)

Efecto Doppler Cuando una fuente de ondas y un receptor se estn moviendo uno respecto al otro, la frecuencia recibida por el receptor no es la misma que la emitida por la fuente. La frecuencia aumenta si fuente y receptor se acercan y disminuye si se alejan. Consideramos primero que la fuente se mueve con velocidad us y el receptor esta quieto. La frecuencia que recibe el receptor es fr = v/r en donde r es la distancia entre dos crestas que recibe el receptor, es decir, r = (v us) Ts = (v us)/fs. Por tanto, fr = v/r = (v/(v us)) fs. Si la fuente no se mueve pero el receptor si se mueve: llamamos Tr = 1/fr el tiempo con que el receptor recibe crestas sucesivas.

En el tiempo Tr el receptor se ha movido una distancia urTr y la onda una distancia vTr. La longitud de onda de la fuente es = (v ur)Tr y la frecuencia de la fuente fs = v/. Por tanto, fr = 1/Tr = (v ur)/ = ((v ur)/v) fs

Combinando los dos movimientos obtenemos fr = [(v ur)/(v us)] fs. Las ecuaciones son vlidas solo para el sistema de referencia del medio (es decir, el medio no se mueve por donde se propaga la onda). Si el medio se mueve (viento) con velocidad uv, habr que sustituir en las ecuaciones v por v uv.

Si la velocidad de la fuente u es mayor que la velocidad de propagacin v, no habr ondas delante del foco sino las ondas se extienden en un espacio detrs del foco formado por un cono de apertura con la fuente en la punta.

sen = vt/ut = v/u Nmero de Mach = u/v El cono viaja con la velocidad u de la fuente. La onda choque corresponde al momento en que la superficie del cono alcanza el receptor (estallido producido por un avin supersnico).

Superposicin de ondas

Pulsos de onda que se mueven en direcciones opuestas. En el encuentro se suman los desplazamientos de cada uno. Principio de Superposicin: Cuando dos o mas ondas se combinan, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas individuales Encuentro de dos pulsos idnticos de amplitud invertida.

Si dos ondas son solucin de la ecuacin de onda, la suma de las dos ondas tambin lo es ( principio de superposicin).

Interferencia de ondas armnicas Supongamos que tenemos dos ondas planas que difieren solo en un desfase:

Fotografa de las dos ondas en un cierto instante

y1 = A sen (kx t) y2 = A sen (kx t + ) Para calcular la superposicin (y1 + y2) utilizaremos la identidad trigonomtrica

sen 1 + sen 2 = 2 cos (1 2) sen (1 + 2) Resulta

y1 + y2 = 2A cos ( ) sen (kx t + ) La onda de superposicin (resultante) tiene la amplitud 2A cos ( ) y tiene la fase intermedia de las ondas originales. Llamamos interferencia el patrn observable de la superposicin de dos o ms ondas de frecuencia igual o muy parecida.

Si el desfase entre las dos ondas es cero ( = 0), la amplitud de la onda resultante es mxima y el resultado se denomina interferencia constructiva. Si el desfase entre las dos ondas es , la amplitud es nula (cos /2 = 0) y el resultado se denomina interferencia destructiva.

Pulsaciones (o batidos) La interferencia de dos ondas sonoras de frecuencia ligeramente distinta produce el fenmeno llamado pulsaciones o batidos. Consideramos un punto fijo en el espacio de la superposicin. All la presin de las dos ondas es p1 = p0 sen 1t y p2 = p0 sen 2t. Por tanto la presin sonora en este punto ser

p = p1 + p1 = 2 p0 cos (1 2)t sen (1 + 2)t o bien

p = 2 p0 cos ()t sen mt o con = 2f

p = 2 p0 cos (2 f t) sen 2 fm t La frecuencia de la onda resultante es la frecuencia media de las dos ondas. La amplitud de la onda resultante oscila con la mitad de la diferencia de la frecuencia de las dos ondas. Como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud la frecuencia de batido es el doble:

fbatido = f

La figura muestra la variacin de la presin en funcin del tiempo para una posicin fija. Se observa que a lo largo del tiempo hay interferencia destructiva (en t1 y t3) y constructiva (en t2) que resulta en la modulacin de la amplitud de la onda resultante.

Diferencia de fase debida a diferencia de trayectos Dos ondas iguales procedentes de dos focos situados en lugares distintos interfieren en otro lugar. La interferencia es constructiva o destructiva en funcin de la diferencia de camino recorrido x = x2 x1. En el lugar de la interferencia las ondas se pueden describir por p1 = p0 sen (kx1 t) y p2 = p0 sen (kx2 t) en donde x1 y x2 son las distancias recorridas. La suma de las dos ondas en ese lugar depende solo de la diferencia de fase = (kx2 t) (kx1 t) = k x = 2 x/.

Las lneas indican los lugares de interferencia constructiva en donde r = n (n un nmero natural). Interferencia destructiva se obtiene en los lugares donde r = (2n + 1)/2 que son lneas intermedias. La amplitud viene dada por A = 2 p0 cos ( ) con = 2 r/. La figura muestra la intensidad mxima en funcin de la diferencia del camino recorrido r.

Las fuentes de onda con una frecuencia igual o muy parecida y una diferencia de fase constante pueden dar lugar a un patrn de interferencia. Tales fuentes llamamos fuentes coherentes. Las fuentes de onda cuya diferencia de fase no es constante a lo largo del tiempo, sino que varan aleatoriamente, se denominan fuentes incoherentes.

Ondas estacionarias Ondas estacionarias son el resultado de la interferencia de ondas que se mueven en sentido opuesto por estar confinadas en un espacio limitado. Ello ocurre por ejemplo por la reflexin de ondas en los finales de una cuerda de guitarra. Sea y1 = A sen (kx t) la onda en la cuerda e y2 = A sen (kx + t) la misma tras su reflexin. Ambos se combinan segn el principio de superposicin a

y(x,t) = 2 A sen kx cos t (onda estacionaria) Ello es una onda estacionaria ya que el termino caracterstico (kx t) de una onda en propagacin ha desaparecido. Ahora la amplitud (2A sen kx) depende del lugar x y la dependencia temporal (cos t) es la misma para todos los puntos de la cuerda.

La figura muestra el desplazamiento para distintos tiempos de las primeras 5 ondas armnicas en una cuerda de longitud L con los extremos fijos (puntos sin desplazamiento). Los puntos de una onda estacionaria en donde la cuerda no se desplaza se llaman nudos. Puntos de desplazamiento se llaman vientres o antinudos.

Con la condicin de nudos en los finales de la cuerda se deduce que solo caben una serie de ondas estacionarias en ella. Se tiene que cumplir: L = n n/2, n = 1, 2, 3, (condicin de onda estacionaria con ambos

extremos fijos) es decir, la longitud de la cuerda tiene que ser un mltiple de media longitud de onda. Para los nudos se tiene que cumplir 2A sen kx = 0 kx = 0, , 2, es decir para x = n n/2, n = 1, 2, 3,

Las frecuencias posibles de las ondas estacionarias en la cuerda entre extremos fijos son fn = v/n = v/(2L/n) pues fn = v/n = n ( v/2L) = n f1 con f1 = v/2L la frecuencia fundamental Las frecuencias armnicas fn se llaman tambin frecuencias naturales de la cuerda por ser las frecuencias de resonancia de la cuerda. Perturbando en cualquier punto de la cuerda con una frecuencia distinta de fn resulta en ningn patrn de interferencia (como l de la onda estacionaria) ya que tras cada reflexin la onda reflejada tiene una relacin de fase distinta. Sin embargo, la acumulacin de energa en el medio (la cuerda) puede ser muy grande si la perturbacin se realiza durante un cierto tiempo con una frecuencia de resonancia, es decir, la frecuencia natural o armnica del sistema.

El viento turbulento produjo ondas estacionarias en el puente de Tacoma Narrows, produciendo su derrumbe el 7 de Noviembre de 1940.

La figura muestra las primeras 5 ondas estacionarias en una cuerda fija en una lado y libre en el otro. En este caso la condicin de la onda estacionaria es L = n n/4, n = 1, 3, 5, fn = v/n = n (v/4L) = n f1 con f1 = v/4L la frecuencia fundamental

Como en la cuerda de la guitarra o en el tubo de la flauta no solo una frecuencia (la fundamenta f1) sino n frecuencias fn = n f1 son posibles, lo normal es que se exciten varias a la vez dando as el sonido caracterstico al instrumento. La descomposicin de un cierto tono en sus armnicas, es decir, obteniendo las intensidades de las mismas que en su suma constituyen el tono, se llama anlisis Fourier.

anlisis Tambin cualquier seal se deja descomponer por las ondas armnicas. Por ello las ondas armnicas son las ondas fundamentales.

Un pulso de onda no es peridico sino limitado en tiempo. Mientras mas corto el pulso ms ondas armnicas de frecuencia distinta se necesitan para componer el pulso, siguiendo la relacin

t 1 o bien

k x 1 utilizando x = v t y k = /v. Si la velocidad de onda no depende de la frecuencia el pulso no se deshace (todas las armnicas se propagan con la misma velocidad, por tanto, el pulso tambin). Sin embargo, en un medio dispersivo la velocidad depende la frecuencia y el pulso se deshace con el tiempo.