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Física
Magnitudes escalares y vectorialesMagnitudes escalares y vectoriales• Una Una magnitud magnitud
escalar escalar solo tiene solo tiene magnitud (cantidad) y magnitud (cantidad) y no dirección.no dirección.– Cantidad de manzanasCantidad de manzanas– TemperaturaTemperatura– VolumenVolumen– MasaMasa– Intervalos de tiempoIntervalos de tiempo– RapidezRapidez– DistanciaDistancia
• Una Una magnitud magnitud vectorial vectorial tiene tiene magnitud (cantidad), magnitud (cantidad), dirección, sentido y dirección, sentido y punto de aplicación.punto de aplicación.
– FuerzaFuerza– VelocidadVelocidad– DesplazamientoDesplazamiento– AceleraciónAceleración
Representación de una magnitud Representación de una magnitud vectorial o, simplemente, “vector”vectorial o, simplemente, “vector”
““Vector Vector aa”:”:Sistema de referenciaSistema de referencia
a
a A a
a a A
Tamaño del “vector a”:Tamaño del “vector a”:
Álgebra de vectores Álgebra de vectores (representación geométrica)(representación geométrica)
Los vectores se representan a través de flechas, indicando en ellas un sentido, un módulo y una dirección.
Por lo tanto, dos vectores son iguales, sí y sólo sí, tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
a
b
c g
d
e
f
Suma de vectores en una dimensión (1-D)
a
b
a
b
a b c
4
3
a u
b u
4u 3u
7c u
El sentido del “vector c” es hacia la derecha (x+)La dirección del “vector c” es 0º con respecto a la horizontal
El sentido del “vector c” es hacia la derecha (x+)La dirección del “vector c” es 0º con respecto a la horizontal
a b
Resta de vectores en una dimensión (1-D)
a
b
a
a b d
4
3
a u
b u
4u 3u
1d u
El sentido del “vector d” es hacia la derecha (x+)La dirección del “vector c” es 0º con respecto a la horizontal
El sentido del “vector d” es hacia la derecha (x+)La dirección del “vector c” es 0º con respecto a la horizontal
a b a b
b
Procedimiento para sumar vectores Procedimiento para sumar vectores gráficamentegráficamente
1. Traslade el primer vector en el plano a un lugar solitario, sin perder el sentido y la dirección.
2. Traslade el vector que quiere sumar, ubicando su origen en el final del primero, manteniendo su dirección y sentido.
3. El vector resultante, o suma, se ubica desde el origen del primer vector hasta el final del segundo vector o último (en caso de haber más vectores).
Relación entre lados y ángulo, en un triángulo rectángulo.
Nota: Para encontrar el ángulo, dado el valor de la función, utilizaremos la función inversa en la calculadora científica.
sin sin
cos cos
tan tan
ac a
cb
c bca
b ab
a
b
c
Funciones trigonométricas:Funciones trigonométricas:
Suma de vectores en dos dimensiones (2-D)
p
q
q
p
p q r
3
4
p u
q u
4u
3u
5r u
El sentido del “vector r” es hacia la derecha (x+) y hacia arriba (y+)La dirección del “vector c” es 53º con respecto a la horizontal
El sentido del “vector r” es hacia la derecha (x+) y hacia arriba (y+)La dirección del “vector c” es 53º con respecto a la horizontal
p q
Suma de vectores:método gráfico, “del paralelógramo”
Composición de vectores en el plano cartesiano
Si tenemos un vector en el eje Si tenemos un vector en el eje X, de 4 unidades y otro de 5 X, de 4 unidades y otro de 5 unidades en el eje Y, ¿cómo se unidades en el eje Y, ¿cómo se suman y cuál es el resultado?suman y cuál es el resultado?
1.1. Trasládelos y súmelos, Trasládelos y súmelos, gráficamente.gráficamente.
2.2. Luego, para obtener el Luego, para obtener el módulo del vector módulo del vector resultante, acuda a resultante, acuda a Pitágoras.Pitágoras.
3.3. Para obtener la dirección, Para obtener la dirección, use una función use una función trigonométrica adecuada.trigonométrica adecuada.
4.4. El sentido se puede apreciar El sentido se puede apreciar en el dibujo.en el dibujo.
XX
YY
Xa
Ya a
Composición de vectores en el plano cartesiano
Aplicando el teorema de Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene el módulo Pitágoras se obtiene el módulo del “vector a”:del “vector a”:
XX
YY
Xa
Yaa
2 2 2 24 5 41X Ya a a u
Se obtiene la dirección del Se obtiene la dirección del “vector a” a partir de las “vector a” a partir de las relaciones trigonométricas en relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo el triángulo rectángulo formado por los vectores formado por los vectores originales y el resultante:originales y el resultante:
1
5tan
4
5tan 51,3º
4
Y
X
a
a
Composición de vectores en el plano cartesiano
Por lo tanto, el “vector a” Por lo tanto, el “vector a” tiene:tiene:
Módulo =Módulo =
Sentido: XSentido: X++, Y, Y++
Dirección: 51,3º respecto a Dirección: 51,3º respecto a la horizontal.la horizontal.
XX
YY
Xa
Yaa
41u
Descomposición de un vectorDescomposición de un vector ¿Cómo calcular las componentes de un vector? ¿Cómo calcular las componentes de un vector?
En este caso, el procedimiento es inverso al anterior.En este caso, el procedimiento es inverso al anterior.
Es decir, dado el módulo del vector, su dirección respecto al eje X y su sentido, basta Es decir, dado el módulo del vector, su dirección respecto al eje X y su sentido, basta con aplicar las relaciones trigonométricas para obtener sus componentes cartesianas.con aplicar las relaciones trigonométricas para obtener sus componentes cartesianas.
XX
YY
b
30º
6b u
Xb
Yb
6 cos30º 5,2
6 sin 30º 3
X
Y
b u u
b u u
Descomposición de un vectorDescomposición de un vector
De esta manera el vector que De esta manera el vector que estaba fuera de los ejes ahora estaba fuera de los ejes ahora tiene sus sumandos, como tiene sus sumandos, como representantes, en cada eje representantes, en cada eje del sistema de coordenadas.del sistema de coordenadas.
A este procedimiento se llama A este procedimiento se llama “descomponer un vector”.“descomponer un vector”.
XX
YY
b
30º
6b u
Xb
Yb
Componentes de un vectorComponentes de un vector
<click sobre la imagen>
Vectores UnitariosVectores UnitariosUn vector unitario es aquel cuyo módulo es 1
Su único fin es direccionardireccionar
Entonces todo vector se puede representar como:-Su módulo, que indica su valor numérico.-Un vector unitario que indica la dirección.-Un signo (+ o -) que indica el sentido
El vector unitario en la dirección del eje x se llama i ,el que se sitúa sobre el eje y se llama j y el que se sitúa sobre el eje z se llama k.
x
z
y
i
j
k
Vectores UnitariosVectores Unitarios
Si escribimos
Significa que este vector tiene como componentes sobre el eje x 5 , sobre el eje y 3 y sobre el eje z 2 o lo que es lo mismo que si colocamos su origen en el origen de coordenadas su extremo estaría en el punto (5,3,2)
Cualquier vector de un plano se puede escribir como suma de un conjunto de dos vectores { } de módulo unidad, perpendiculares entre sí, multiplicados por unos coeficientes numéricos:
x
z
y
i
j
k
k3j3i5a
ji
,
j bi av
EjerciciosEjercicios El vector A mide 2,8 cm y esta 60° sobre el eje x en el primer El vector A mide 2,8 cm y esta 60° sobre el eje x en el primer
cuadrante. El vector B mide 1,90 cm y esta 60° bajo el eje x en cuadrante. El vector B mide 1,90 cm y esta 60° bajo el eje x en el cuarto cuadrante, como indica la figura.el cuarto cuadrante, como indica la figura.
Obtenga la magnitud y dirección de Obtenga la magnitud y dirección de • A + BA + B• A - BA - B• B – AB – A
En cada caso, dibuje la suma o resta de vectores y demuestre En cada caso, dibuje la suma o resta de vectores y demuestre que sus respuestas numéricas concuerdan con el dibujoque sus respuestas numéricas concuerdan con el dibujo
EjerciciosEjercicios Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la
figura. Determine la magnitud y dirección del figura. Determine la magnitud y dirección del desplazamiento resultante en un diagrama a escala.desplazamiento resultante en un diagrama a escala.
EjerciciosEjercicios Aterrizaje de emergencia:Aterrizaje de emergencia: Un avión sale del aeropuerto Guaraní y Un avión sale del aeropuerto Guaraní y
vuela 170 km en una dirección 68⁰ al Este del Norte, luego cambia de vuela 170 km en una dirección 68⁰ al Este del Norte, luego cambia de rumbo y vuela 230km 48⁰ al Sur del Este, para efectuar rumbo y vuela 230km 48⁰ al Sur del Este, para efectuar inmediatamente un aterrizaje de emergencia en un potrero. ¿En qué inmediatamente un aterrizaje de emergencia en un potrero. ¿En qué dirección y en qué distancia deberá volar una cuadrilla de rescate dirección y en qué distancia deberá volar una cuadrilla de rescate enviada por el aeropuerto para llegar directamente al avión averiado?enviada por el aeropuerto para llegar directamente al avión averiado?
EjerciciosEjercicios Una marinera en un velero pequeño se topa con vientos cambiantes. Una marinera en un velero pequeño se topa con vientos cambiantes.
Navega 2 km al Este, 3.5 km al Sur – Este y luego otro tramo a una Navega 2 km al Este, 3.5 km al Sur – Este y luego otro tramo a una dirección desconocida. Su posición final es 5.80 km al Este del punto dirección desconocida. Su posición final es 5.80 km al Este del punto inicial (fig). Determine la magnitud y dirección del tercer tramo. inicial (fig). Determine la magnitud y dirección del tercer tramo. Dibuje el diagrama de suma vectorial y demuestre que concuerda Dibuje el diagrama de suma vectorial y demuestre que concuerda cualitativamente con la solución numérica.cualitativamente con la solución numérica.
