Fisica x Inf 13-14 Lez.03 - x Inf_13... · La Meccanica è la branca della Fisica che studia il moto dei ... la sua velocità e la sua ... Moto di un punto in un piano e traiettoria

Lezione n. 3 (4 ore)

Flavia Maria Groppi (A-G) & Carlo Pagani (H-Z)Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA

Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani

e-mail: [email protected] & [email protected]

Università degli Studi di MilanoCorso di Laurea in InformaticaAnno accademico 2013/14, Laurea Triennale

FISICA

Cinematica in una dimensione, 1D

Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2013/14Flavia Groppi & Carlo Pagani 2

Meccanica

La Meccanica è la branca della Fisica che studia il moto dei corpi in sè(Cinematica), il moto in relazione alle forze che lo fanno variare (Dinamica), e le condizioni di equilibrio delle forze che mantengono un corpo in quiete (Statica)

– La Cinematica descrive il moto dei corpi senza fare riferimento esplicito alle forze che agiscono su di essi

– La Dinamica è lo studio della relazione esplicita tra le forze ed il loro effetto sul moto

– La Statica studia le condizioni che mantengono un corpo in quietePer descrivere un moto è necessario specificare la posizione del corpo in ogni istante. E’ quindi necessario definire un sistema di coordinate (vedi lezione precedente…)

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

OOggetto

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

OOggetto

xog

xog

x

x

xog > 0

xog < 0


Cinematica

Per descrivere il moto di un corpo è necessario fornire, in ogni istante di tempo, la sua posizione, la sua velocità e la sua accelerazionePer poterlo fare è necessario fissare un sistema di coordinate e un istante di tempo, t0 , da cui facciamo partire la nostra descrizione del moto

Il punto P(x,y,z) si muoverà in funzione del tempo t e sarà quindi piùpropriamente descritto dalla notazione P(x(t),y(t),z(t))Così come le coordinate, (x(t), y(t), z(t)), sono misurate rispetto all’origine del sistema di coordinate scelto, anche il tempo t saràmisurato a partire da t0La velocità e l’accelerazione sono grandezze vettoriali poiché ènecessario conoscerne, oltre al valore, anche la direzione ed il verso

I vettori velocità, v, e accelerazione, a, sono applicati nel punto PSappiamo inoltre che anche alla posizione del punto possiamo dare una descrizione vettoriale: r = rx i+ ryj+ rzk = x i+yj+zk


Moto di un punto in un piano e traiettoria

i = 0, 1, 2, 3, ….

P = P (x , y , z )r = x i+ y j + z k)

x = x (t )y = y (t )z = z (t )

Pi = P (xi , yi , zi )ri = xi i+yi j +zi k

xi = x (ti )yi = y (ti )zi = z (ti )

v=v(t ) =v (P(t) )v i = v (P(ti) )

a=a(t ) =a (P(t) )ai = a ( P(ti) )

Traiettoria

a0P0

y

x

P3

P2

P1r0

r1

r2

r3

v1

v2

v3

v0

a1

a3

a2

0

Nota: la direzione di v è sempre tangente alla traiettoria !


Spostamento di un punto e velocità media

Come è naturale fare, si definisce spostamento s di un punto P dalla posizione P1 alla posizione P2 (più propriamente s12) il vettore che congiunge r1 a r2, con verso da r1 a r2Si vede subito che tra i vettori r1 , r2 e s valgono le relazioni:

r1 + s12 = r2s12 = r2 – r1 s12 ≡ r2 – r1

La velocità è definita come lo spostamento eseguito nell’unitàdi tempo

La velocità media da P1 a P2 è:<v> = (r2 – r1 ) / ( t2 - t1 ) = s12 / t

ed ha la direzione e il verso di s12La velocità istantanea nel punto P1 , all’istante t1 , si ottiene come caso limite quando lo spostamento tra i punti P1 e P2 tende a zero

y

x

P2

P1r1

r2

0

s12


Velocità istantanea

La velocità istantanea di un oggetto, rappresentato dal punto P(x (t) , y (t) , z (t) ), all’istante generico t, è la velocità che il punto ha esattamente all’istante t. Cioè è la velocità media tra due punti infinitamente vicini, o tra due istanti di tempo infinitamente prossimi

Se chiamiamo s12 lo spostamento tra i punti P1 e P2 si ha:

Nota: per P2 che tende a P1 e s12 che tende a ds, la direzione di ds tende esattamente alla tangente alla traiettoria nel punto P1

ds

ds ds ds dsds

12 rr


Spostamento infinitesimo e traiettoria

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore spostamento diventa sempre più simile ad un segmento della traiettoriaPortando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore spostamento infinitesimo ds che descrive lo spostamento tra due posizioni infinitamente vicineIl vettore spostamento infinitesimo è quindi un segmentino della traiettoria, che giace sulla tangente alla traiettoria in PLa traiettoria, che è il percorso del corpo nel piano (2-D) o nello spazio (3-D), risulta essere la somma di tutti i vettori spostamento infinitesimo ds, percorsi in intervalli di tempo infinitesimi

Se invece i punti P1 ( P1= P) e P2 non sono infinitamente vicini, lo spostamento s = s12 = ( r2 - r1 ) non giace sulla traiettoria, e non è quindi tangente ad essa

ds

ds ds ds dsds


Velocità come derivata dello spostamento

La velocità (istantanea) nel punto generico P, all’istante t, è il rapporto finito tra due infinitesimi, ds e dt, detto derivata di s(t) rispetto a t

Il rapporto incrementale è proprio la velocità media e in quest’esempio si puòvisualizzare il limite di tale rapporto, che dà la velocità istantaneaSignificato geometrico della derivata: coeff. angolare della

retta tangentex

t

dx

dt

θ

θ


Legge (equazione) oraria

Il disegno appena visto è un esempio NON di traiettoria ma di legge oraria !Nella traiettoria, t è un parametro e si descrive il moto nello spazio realeLa legge oraria è l’equazione che descrive la posizione del punto P in funzione del tempo

Nel Sistema cartesiano … … o polare:

P = P (x(t) , y(t) , z(t) ) P = P (r(t) , (t) , (t) ) r = r (x(t) , y(t) , z(t) ) r = r (|r(t)| , (t) , (t) )

sono esempi di leggi orarieOgni moto ha una specifica legge oraria esplicita che lo descriveEsempi monodimensionali:

x(t) = A t2+C, x(t) = A cos (t+), x(t) = A t + C

Nota: A, C, e sono costanti che dipendono sia dai dati del problema, sia dalla posizione e dalla velocità del punto all’istante t = 0


Moto Rettilineo (monodimensionale)

I moti rettilinei sono moti monodimensionali esprimibili nella forma P(t)=x(t) (ovvero P(t)=y(t), ovvero P(t)=z(t))Partendo dalla posizione all’istante t=0, il moto può essere rappresentato graficamente sugli assi cartesiani t [s] e x [m]Ad ogni istante di tempo t (rappresentato normalmente sull’asse orizzontale) si associa il valore della posizione del corpo (rappresentandolo sull’asse verticale)Collegando tra loro i punti in cui abbiamo effettuato la misurazione, si ottiene l’espressione grafica della legge oraria del moto a partire dall’istante t=0.A lato c’è la rappresentazione grafica (diagramma orario) di un armadillo:

– fermo nella posizione x = -2m (figura in alto)– che si muove a partire dalla posizione x = -5m

(figura in basso)

Armadillo fermo: diagramma orario

Armadillo in moto: diagramma orario


Velocità in un moto rettilineoLa velocità è una grandezza vettoriale: oltre al suo valore (medio o istantaneo) si deve conoscerne la direzione e il versoNe caso monodimensionale, tuttavia, la velocità (che ha la direzione e il verso dello spostamento) giace sempre sull’asse xIn questo caso la notazione vettoriale è ridondante e si può evitareIl verso della velocità, espressa dal segno + o -, indica se il punto si muove rispettivamente verso le x positive o negativeAnche della velocità si può tracciare il diagramma orario: v = v (t)

Esempio dell’ascensore:

Nell’esempio si nota che:• dopo la chiusura delle porte, l’ascensore

comincia a salire (grafico sopra) e la velocitàaumenta

• Arrivata ad una valore massimo, la velocitàrimane costante

• All’avvicinarsi del piano la velocità comincia decrescere fino ad annullarsi

ts

vdtds

ist vvdt

tdstist)()( v(t)v


Accelerazione in un moto rettilineo

Laccelerazione è la variazione della velocità nell’unità di tempoL’accelerazione è una grandezza vettoriale: oltre al suo valore (medio o istantaneo) si deve conoscerne la direzione e il versoNe caso monodimensionale (moto rettilineo) l’accelerazione ha la direzione della velocità e dello spostamento e giace quindi sempre sull’asse x.In questo caso la notazione vettoriale è ridondante e si può evitareIl verso dell’accelerazione, espressa dal segno + o -, indica se nel punto la velocità cresce (+) o decresce (-)Anche dell’accelerazione si può tracciare il diagramma orario: a = a (t)

Esempio dell’ascensore:

Nell’esempio si nota che• Nel tratto in cui la velocità aumenta, l’accelerazione è

diversa da zero e positiva• Quando la velocità rimane costante l’accelerazione è

nulla• Nel tratto in cui la velocità diminuisce, l’accelerazione è

diversa da zero e negativa

)()()()( 2

2

dtxd

dttdx

dtd

dttdtata

ta ist

vv


Formule riepilogative

Spostamento da P1 a P2

P1 = P

Velocità media tra P1 a P2

Velocità in P1 = P

Spostamento da P1 a P2

Accelerazione media tra P1 a P2

Accelerazione in P1 = P

Velocità da P1 a P2

12 rr


Moto rettilineo uniforme

L’accelerazione è nulla. Questa è la definizione !

La velocità è costante. E’ uguale al valore all’istante iniziale t=0 (ovvero v0):

Lo spostamento è dato da una semplice formula, in cui s0 è lo spostamento a t=0:

E’ un caso particolare delle formule precedenti. Disegnare le leggi orarie !

0)( ta

00

)0()()0()( vv vdttatvt

tsdttstst

000

)()0()( vv


Moto uniformemente accelerato: leggi orarie

L’accelerazione è costante

Velocità:

Spostamento:

aata 0)(

200

00 2

1)()( tatsdttstst

vv

tadtttt

a vvv 00

0 )()(


Esempio numerico

Una Ferrari arriva da ferma alla velocità di 100 km/ora in 3 secondi. Supponendo che l’accelerazione sia costante, determinare:

– Il valore dell’accelerazione– La velocità raggiunta dopo 2 secondi

Svolgimento:– Se a=cost=<a>=ao si ha:

– Sappiamo che v (3s) = 100 km/ora = 105 [m] /3600 [s] = 27.8 m/s– Quindi ao = cost = v (3s) [ms-1] / 3 [s] = 27.8/3 [ms-2] = 9.27 [ms-2]

– La velocità dopo 2 secondi è: v(2s) = ao t = cost t = 9.27[ms-2] 2[s] = 18.5 [m/s] = 18.5(3600/103) [km/ora] →

v(2s) ≃ 68 km/ora

22

12

2121

21

2

)()()( :verifica

)()()(

msastmsasdt

dsdtmstdmsta

tmsamstmsast

msmsasdtmstdmsta

oo

oo

v

vvv

ao = 9.27 [ms-2]

v(2s) = 18.5 [ms-1] = 68 [km/h]


Moto circolare uniforme - 1

Il moto circolare è un modo in due dimensioni che, se trattato in coordinate polari, appare come un moto in una dimensione, t, poiché l’altra coordinata, r, è costante. E’ detto uniforme se la frequenza angolare d(t)/dt=(t)=0 = costante. 0 è detta pulsazione

= (t) = o tr = r(t) = ro

In coordinate cartesiane si ha invece:x = x(t) = ro cos(o t)y = y(t) = ro sin(o t)

Definizioni:t = spostamento angolare(t) = d(t)/dt = o = velocità angolare’(t) = d(t)/dt = 0 accelerazione angolare

Ma anche, rispetto alla coordinata curvilinea sv(t) = ds/dt = ro d/dt = ro o = velocità tangenzialea(t) = d2s/dt2 = ro d2/dt2 = 0 = acc. tangenziale

E rispetto alle coordinate cartesiane x(t) e y(t)vx(t) = dx(t)/dt = ro d(cos(o t)/dt = - ro o sin(0 t) ax(t) = dvx(t)/dt = - ro o

cos(0 t)vy(t) = dy(t)/dt = ro d(sin(o t)/dt = ro o cos(o t) ay(t) = dvy(t)/dt = - ro o

sin(0 t)

x

y

r

P(t)v(t)

ac(t) s

accelerazione centripeta

Nota: l’accelerazione a = ac = ax i + ay j è diretta verso il centro ed è detta centripeta


Alcune considerazioni sul moto circolare uniformeSe lo esprimiamo in coordinate polari (o con la coordinata curvilinea s) otteniamo una legge del moto, ma in termini scalari e ci manca l’informazione vettoriale

(t) = o tr(t) = rov (t) = ro oat(t) = (accelerazione tangenziale)

Se lo esprimiamo in coordinate cartesiane l’informazione è completa e scopriamo che l’accelerazione c’è, ma è ortogonale a vr(t) = x(t) i + y(t) j = ro cos(o t) i + ro sin(o t) j |r(t)| = x2 + y2 = r0v (t) = vx(t) i + vy(t) j = - ro o sin(o t) i + ro o cos(o t) j |v(t)| = vx

2 + vy2 = ro o

a(t) = ax(t) i + ay(t) j = - ro 2o cos(o t) i - ro 2

o sin(o t) j |a(t)| = ax2 + ay

2 = ro 2o

|r(t)| = ro = cost|v (t)| = ro o = cost e anche|a(t)| = |ac(t)| = ro 2

o = cost

Moto circolare uniforme - 2

x

y

r

P(t)v(t)

ac(t)s

v(t) r(t) v(t) a(t) r(t)

Definizioni importantio = pulsazione

=o/2 = frequenzaT = 1/ = periodo


Riepilogo della Cinematica

Con la cinematica descriviamo il moto dei corpi attraverso una equazione del moto, detta anche legge, o equazione, oraria

Cartesiano PolareP = P (x(t) , y(t) , z(t) ) P = P (r(t) , (t) , (t) ) r = r (x(t) , y(t) , z(t) ) r = r (|r(t)| , (t) , (t) )

Nota la legge oraria, la matematica ci permette di ricavare la traiettoria del moto e le altre grandezze caratteristiche: velocità e accelerazione

– L’equazione che descrive la traiettoria si ricava, se possibile, dalla legge oraria eliminando, per sostituzione, la variabile t

– La velocità, istantanea, in ogni punto P(t)= r (x(t),y(t), z(t))=r (t) è data dalla derivata della legge oraria nel punto stesso: v = d/dt r(t) [m s-1]

– L’accelerazione, istantanea, in ogni punto P(t)= r (x(t),y(t), z(t))=r (t) è data dalla derivata della velocità nel punto stesso: a=d/dt v(t)=d2/dt2 r(t) [m s-2]

Analogamente, attraverso l’integrazione, che è l’operazione inversa della derivazione, note la velocità o l’accelerazione, in funzione del tempo possiamo ricavare la legge oraria, e quindi la traiettoria:

r(t)=∫v(t) dt +ro v(t)=∫a(t) dt + vo r(t)=∬a(t) dt + vo t + ro

Nota: in questo caso è però necessario che venga fornita la posizione del corpo e la sua velocità all’istante iniziale t=0 (ovvero t=to )


Riassunto su derivate e integraliLa derivata di una funzione x=x(t) rispetto alla variabile di cui è funzione è il passaggio al limite del rapporto x/t per t che tende a 0

Derivate più comuni

L’integrale, che ne è l’operazione inversa, è la somma finita di quantitàinfinitesime. L’integrale tra t=0 e t della funzione v(t) lo possiamo pensate come l’ “area” sottesa dalla funzione v(t) tra t=0 e il punto generico t

Integrali più comuni

Nota: le costanti, dette di integrazione e indicate genericamente tutte con C, sono necessarie perché l’”area” dipende dal valore della funzione x(t) a t=t0. Questo valore va fornito separatamente, come condizione iniziale, non essendo l’informazione contenuta nella derivata

)(lim )(lim )( )(

)(lim ))()((lim )()()(

''

''

''''

ttΔx

ttΔxtx

dtd

dttdx

ttdxttttxtxdxtxtxtx

ttxx

ttxx

α(t)dtdα(t)α(t)c

dtdα(t)

dtdα(t)α(t)

dtd

tCtCdtdtCtC

dtdCtC

dtdC

dtd

)(sin)os( )(cos)(sin

3 ) ( 2 ) ( ) ( 0 232

0,02

,02

0,0

00

,00 0 0

,00

0

,0,00

,0000

00

0000

21)( anche o

21)( )()(

)( cos)( se ) )(( )()(

)( cos)( se )()( )()0()( )( )( )(

)()( )()0()( )( )( )(

xttatxttadttadttaxtx

tattatadtdttadttxtxdx

tattatadttattttddtdt

tddtta

xdtttxxtxxtxtdxdtdt

tdxdtt

xxxx

t

xx

t

x

xxxxx

t t t

x

t

xx

xxxxxx

t

xxxxxx

t

x

tx

t

x

t

x

ttt

x

vvv

vvvv

vvvvvvvvvv

vv Nel caso unidimensionalese a(t) = cost = av(t) = a t + v0

x(t) = ½ a t2 + vot + x0

C ) cos(1 ) sin( )sin(1 ) cos(

cost 2

e :ha si 0 se

2

)2

2

( ) (

t

0

t

0

2

000

20

220

2

00

000

tαα

dttαCtαα

dttα

ktkdtkttkdtkt

) -t(tkttkdttkdtktttktktkdtk

tt

t

t

t

t

t

t


Obiettivi esercizi Cap. 2 (RHW)

Saper ricavare velocità ed accelerazione, nota la legge oraria.

Saper svolgere problemi su: moto rettilineo uniforme, uniformemente accelerato, circolare


Esescizi Lezione 3Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. JewettJr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).2-1: Una particella si muove lungo l’asse delle x, e la sua posizione in funzione del tempo è riportata in figura. Sulla base dei dati trovare la velocità media della particella negli intervalli di tempo: a) da 0 a 2s, b) da 0 a 4s, c) da 2s a 4s, d) da 4 s a 7s, e) da 0 a 8s. [ a) 5 m/s, b) 1.25 m/s, c) -2.5 m/s, d) -3.3 m/s, e) 0 m/s ]

2-5: Un’aereo atterra alla velocità di 100 m/s e, per fermarsi, può accelerare al massimo di - 5 m/s2. Determinare: a) dal momento che tocca il suolo l’intervallo di tempo minimo necessario per fermarsi, b) La lunghezza minima della pista necessaria per fermarsi. [ a) 20 s, b) 1000 m ]

2-6: Nel primato di velocità su terra del 1954, una slitta a razzi ha raggiunto la velocità di 632 miglia/h e successivamente è stata fermata in modo sicuro in 1,40 s. Determinare: a) l’accelerazione che è stata applicata per fermare la slitta e b) lo spazio percorso durante la frenata. [ a) -202 m/s2, b) 198 m ]

2-7: Una studentessa lancia un mazzo di chiavi ad un’amica affacciata alla finestra. La mano dell’amica che afferra le chiavi è ad un’altezza 4 m superiore rispetto alla mano al momento del lancio. Sapendo che le chiavi vengono afferrate dopo 1.5 s dal lancio determinare la componente verticale della velocità: a) al momento del lancio, b) quando le chiavi vengono afferrate. Spiegare perché la velocità orizzontale non entra in gioco. [ a) 10 m/s, b) -4.68 m/s ]


Esescizi Lezione 3 - continua

Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. JewettJr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).

7-9: Un’acrobata, seduta su un ramo, si lascia cadere sulla sella di un cavallo che sopraggiunge al galoppo, alla velocità di 36 km/h. Sapendo che la distanza in verticale tra il ramo e la sella è di 3 m, determinare: a) la distanza in orizzontale alla quale deve trovarsi il cavallo al momento in cui l’acrobata l’ascia il ramo, b) il tempo in cui resta in aria prima di raggiungere la sella. [ b) 0.782 s, a) 7.82 m ]

In assenza di gravità, una massa M = 1 kg è attaccata a una fune (massa trascurabile) di lunghezza L=1m e compie un moto circolare uniforme con velocità v = 10 m/s. Determinare il valore delle seguenti altre grandezze caratteristiche del moto: raggio dell’orbita, velocità angolare, accelerazione angolare, accelerazione centripeta, forza centripeta, tensione a cui è soggetto il filo, periodo, frequenza. [R = 1 m, = 10 s-1, ’ = 10 s-1, ac = 100 m/s-2, Fc = 100 N, Te = 100 N, T = 0.628 s, = 1.59 Hz ]

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