FisikaDasarSparisomaViridiAgustus2010iiIsi1 GerakLurus1-D 11.1 Posisidanperpindahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Kecepatanrata-rata danlajurata-rata. . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Kecepatansesaatdanlajusesaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Percepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Geraklurusdenganpercepatantetap . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Diferensiasidanintegrasiterhadapwaktu . . . . . . . . . . . . . 71.7 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 VektordanContohAplikasinya 92.1 Skalardanvektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Komponenvektordanbesarnya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Penjumlahandanpenguranganduabuahvektor . . . . . . . . . 112.4 Perkaliandanpembagianvektordenganskalar . . . . . . . . . . 132.5 Perkaliantitikduabuahvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Perkaliansilangduabuahvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7 Besarhasilperkalianskalardanvektor. . . . . . . . . . . . . . . 162.8 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Gerakdalam2-dan3-D 193.1 Posisidanperpindahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19iiiiv ISI3.2 Kecepatanrata-rata dankecepatansesaat . . . . . . . . . . . . . 203.3 Percepatanrata-rata danpercepatansesaat . . . . . . . . . . . . 203.4 Gerakparabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Gerakmelingkarberaturan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Ilustrasigeraksecaraumum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 RangkaianGerakLurus1-D 254.1 RangkaianGerakLurusBerubahBeraturan(RGLBB) . . . . . . 254.2 Menentukankecepatandaripercepatan . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Menentukanposisidarikecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Perpindahandanjarak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5 Lajudankecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6 Lajudaripercepatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.7 Catatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.8 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Tutorial VektordanKinematika 435.1 Pertanyaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 Hukum-hukumGerakNewton 556.1 Kerangka-kerangka acuaninersial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3 Hukum-hukumgerakNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.4 Diagrambebasbenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.5 GerakMelingkarBeraturan(GMB) . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.6 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57ISI v7 GayaCoulomb 597.1 Rumusgaya Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2 Gayalistrikolehbanyaktitikmuatan . . . . . . . . . . . . . . . 608 MedanListrik 618.1 GayaCoulombdanmedanlistrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.2 Medanlistrikolehsatutitikmuatan . . . . . . . . . . . . . . . . 618.3 Medanlistrikolehbanyakmuatanlistrik . . . . . . . . . . . . . . 628.4 Medanlistrikakibatmuatangarisberbentukcincin . . . . . . . . 628.5 Dipollistrik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 HukumGauss 659.1 Sebuahtitikmuatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.2 Bolaisolator bermuatanseragam. . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.3 Bolaisolator bermuatantidakseragam. . . . . . . . . . . . . . . 689.4 Kulitbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.5 Bolakonduktorpejaldanberongga. . . . . . . . . . . . . . . . . 689.6 Bolaberongga danmuatantitikdidalam . . . . . . . . . . . . . 699.7 Lempengdatarluasbermuatanseragam. . . . . . . . . . . . . . 699.8 Kawat luruspanjangbermuatanseragam . . . . . . . . . . . . . 719.9 Silinderbermuatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.10 Kapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110Potensial Listrik 7310.1 Energipotensiallistrik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.2 Potensiallistrik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.3 Permukaan-permukaan ekipotensial . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.4 Potensiallistrikdanmedanlistrik . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.5 Potensiallistrikolehsatutitikmuatan. . . . . . . . . . . . . . . 75vi ISI10.6 Potensiallistrikolehbanyakmuatantitik . . . . . . . . . . . . . 7610.7 Potensiallistrikakibatdipollistrik . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.8 Potensiallistrikakibatdistribusikontinumuatan. . . . . . . . . 7710.9 Potensiallistrikdisekitarkawatlurus . . . . . . . . . . . . . . . 7810.10Potensialdipusatkawat berbentuklingkaran . . . . . . . . . . . 8010.11Potensiallistrikakibatsusunankepingluasbermuatanseragam. 8110.12Potensiallistrikolehbolakonduktorpejal . . . . . . . . . . . . . 8310.13Potensiallistrikolehbolaisolatorpejal . . . . . . . . . . . . . . . 8311KapasitordanKapasitansi 8511.1 Kapasitansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.2 Pengisiankapasitor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.3 Kapasitorpelatsejajar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.4 Kapasitorkulitsilindersesumbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.5 Kapasitorkulitbolasepusat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.6 Kapasitorkulitbolaterisolasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8911.7 Susunankapasitorseri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8911.8 Susunanparalelkapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.9 Paduansusunanseridanparalel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.10Energimedanlistrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.11Rapatenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.12Kapasitordenganbahandielektrik . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.13Sudutpandangatomikterhadapbahandielektrik. . . . . . . . . 9211.14HukumGaussuntukbahandielektrik . . . . . . . . . . . . . . . 9212GayaMagnetikdanGayaLorentz 9512.1 Gayamagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9512.2 Garis-garis medanmagnetikdankutubmagnetik . . . . . . . . . 96ISI vii12.3 GayaLorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.4 ApparatusThomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.5 EfekHall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.6 Gerakmelingkarpartikelbermuatan . . . . . . . . . . . . . . . . 9812.7 Selektorkecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912.8 Spektroskopimassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.9 Susunanpemercepatmuatandanlainnya . . . . . . . . . . . . . 10012.10CyclotrondanSynchrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.11Gayamagnetikpadakawatberaruslistrik . . . . . . . . . . . . . 10112.12Torsipadasimpulberarus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.13Momendipolmagnetik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10213MedanMagnetik 10313.1 HukumBiot-Savart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10313.2 Medanmagnetikdisekitarkawat lurus. . . . . . . . . . . . . . . 10313.3 Medanmagnetikdipusatbusurlingkaranberarus . . . . . . . . 10513.4 Medanmagnetikpadasumbubusurlingkaranberarus . . . . . . 10613.5 Gayamagnetikantaraduabuahkawat sejajarberarus . . . . . . 10713.6 HukumAmpere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10813.7 Arusdanrapat arus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10813.8 Medanmagnetikdiluarkawatpanjangberarus . . . . . . . . . . 10813.9 Medanmagnetikdidalamkawatlurusberarus . . . . . . . . . . 10913.10Rapatarustidakseragam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.11Solenoidaideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.12Toroida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.13Medanmagnetikkumparan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11114Induktansi 113viii ISI14.1 Fluksmagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11314.2 Arahmedanmagnetikdankutubmagnetpermanen . . . . . . . 11314.3 HukuminduksiFaraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11414.4 HukumLenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11414.5 Induksidantransferenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11514.6 Perubahanmedanlistrik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11614.7 Induktordaninduktansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.8 Induktansisolenoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.9 Induksidiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.10Energiyangtersimpandalammedangmagnetik. . . . . . . . . . 11815ArusBolak-balik 11915.1 Arusdantenganganbolak-balik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11915.2 Besaranakarkuadrat rata-rata (rms) . . . . . . . . . . . . . . . . 11915.3 Dayarata-rata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12015.4 Bedafasapadategangandanarussumber. . . . . . . . . . . . . 12115.5 Rangkaiansumberdanhambatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12115.6 Rangkaiansumberdankapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12215.7 Rangkaiansumberdaninduktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12215.8 RangkaianseriRLCdanimpedansi . . . . . . . . . . . . . . . . 12315.9 ResonansirangkaianseriRLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12415.10Dayadisipasirata-rata teganganbolak-balik . . . . . . . . . . . . 12415.11Pertanyaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12515.12Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12516Persamaan-persamaanMaxwell 13116.1 HukumGaussuntukmedanmagnetik . . . . . . . . . . . . . . . 13116.2 Medanmagnetikinduksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132ISI ix16.3 HukumAmpere-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13216.4 Arusperpindahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13316.5 Medanmagnetikakibatarusperpindahan . . . . . . . . . . . . . 13416.6 Persamaan-persamaan Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13417GelombangElektromagnetik 13717.1 Sifat-sifatgelombang elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . . 13717.2 Penurunangelombangelektromagnetik. . . . . . . . . . . . . . . 13917.3 Perambatan energidanvektorPoynting . . . . . . . . . . . . . . 14117.4 Polarisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14317.5 Pemantulandanpembiasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14317.6 Pemantulaninternaltotal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14417.7 Polarisasi karenapemantulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14418Interferensi 14718.1 Prinsipsuperposisigelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14718.2 PrinsipHuygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14818.3 Indeksbiasdanlajucahaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14818.4 Intererensiduacelah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14818.5 Intensitasinterferensiduacelah. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15018.6 Intensitasmelaluifasor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15018.7 Interferensibanyakcelah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15118.8 Inteferensiolehlapisantipis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15118.9 Lapisantipisyanglebihumum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15219Difraksi Optik 15519.1 Difraksidanpenyebabnya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15519.2 Posisiminimumdifraksicelahtunggal . . . . . . . . . . . . . . . 15519.3 Intensitaspoladifraksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157x ISI19.4 Difraksiolehcelahmelingkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15819.5 Difraksiduacelah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15819.6 Kisidifraksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15919.7 Dispersidandayaresolvingkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16019.8 Difraksiolehlapisanteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16120Teori RelativitasKhusus 16320.1 Postulat-postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16320.2 Koordinatruang-waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16420.3 Kerelativankejadiansimultan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16520.4 Kerelativanwaktu(dilasiwaktu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16520.5 Kerelativanpanjang(kontraksi panjang) . . . . . . . . . . . . . . 16720.6 TransformasiLorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16820.7 Konsekuensitransformasi Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16820.8 Kerelativankecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16920.9 Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17020.10Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17021FisikaModeren 17121.1 Foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17121.2 Efekfotolistrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17221.3 Sifatpartikeldarigelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17221.4 Pergeseran Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17321.5 Sifatgelombangdaripartikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17321.6 Persamaan Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17421.7 PrinsipketidapastianHeisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17422BeberapaIntegral 175ISI xi23Kuis1 17723.1 GGLInduksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17723.1.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17723.1.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17924Kuis2 18124.1 Arusbolak-balik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18124.1.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18124.1.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183xii ISICatatan1GerakLurus1-DKonsep-konsep yang akandipelajaridalam catatan iniadalahposisi,perpinda-han,jarak,selang waktu,kecepatan rata-rata, kecepatansesaat, lajurata-rata,lajusesaat, percepatan, hubunganantarapercepatankecepatan(sesaat) posisimelaluiprosesintegrasidandiferensiasi,danintepretasigrakmengenaibesaran-besaran diatas[1]. Dalamcatataninihanyaakandibahasbendatitikyangbergerakmengikuti garislurus yangdapat berarahhorisontal, vertikal,diagonal,radial,danpenyebabgerak tidakakandibahas.1.1 Posisi danperpindahanPosisi suatubendatitikdinyatakandengankoordinatxyangdapatberharganegatif, nol, ataupositif. Umumnyadigambarkansuatusumbu, dalamhal inisumbu-x, di manabilabendaterletakdi sebelahkiri titiknol makanilai po-sisinya adalah negatif, bila tepat terletak pada titik nol maka posisinya nol, danbilaterletakdi sebelahkanantitiknol makaposisinyaadalahpositif. Aturanini tidaklahbaku(dapat puladengandenisi sebaliknya)akantetapi umumdigunakan. Jadi posisi suatu benda titikyang diberi indeks i dituliskan sebagaixi. (1.1)Perpindahanantaraduabuahposisiadalahselisihantaraposisikeduadenganposisi pertama. Bilaposisi pertamadiberi indeks i danposisi keduadiberiindeksfmakaperpindahandariposisipertamakeposisikeduaadalahx = xf xi. (1.2)Simbol , huruf besar delta dalam bahasa Yunani, menyatakan perubahan darisuatu kuantitas, dan berarti nilai akhir dikurangi nilai awal. Perpindahan meru-12 CATATAN1. GERAKLURUS1-Dpakansalahsatucontohbesaranvektor, di manaiamemiliki besardanjugaarah.Soal 1. Suatubendatitikmemilikiposisiawalxi(indeksiberartiinisialatauawal) dan posisi akhir xf(indeks fberarti nal atau akhir) seperti ditampilkandalamTabel1.1berikutini.Tabel1.1: Posisiawaldanakhirbeberapabuahbenda.Benda xi(m) xf(m)A 2 4B 6 3C 5 5D -2 -4E -5 -1F -8 -8G 2 -7H -9 -1I 0 -5J 0 7Tentukanlah perpindahan masing-masing benda dengan menggunakan Per-samaan(1.2)Jawab1. Indeks padaxmenyatakanbendadalamhal ini: xA=2m,xB= 3 m,xC= 0 m,xD= 2 m,xE= 4 m,xF= 0 m,xG= 9m,xH= 8m,xI= 5m,danxJ= 7m.1.2 Kecepatanrata-ratadanlajurata-rataKecepatan(velocity)rata-rata(avgatauaverage) vavgsuatubendayangpadasaat awal tiberada pada posisi xidan pada saat akhir tfberada pada posisi xfadalahvavg=xt=xf xitf ti. (1.3)Kecepatan rata-rata merupakan suatu besaran vektor. Besaran inimenyatakanseberapa cepat suatu benda bergerak. Bila digambarkan grak posisi setiap saatxterhadapwaktut,makakemiringangarisantaraduabuahtitikmenyatakankecepatanrata-rata dalamselangwaktutersebut.Terdapatpulabesaranyangdisebut sebagai laju(speed) rata-ratasavgyangdidenisikansebagaisavg=jaraktempuht. (1.4)1.2. KECEPATANRATA-RATADANLAJURATA-RATA 3Lajurata-rata merupakanbesaranskalar. Olehkarenaitusavgselaluberhargapositifataunol.Soal 2. Apakahyangdimaksuddengangeraklurusbentukgrakx tharusselaluberbentukgarislurus?Mengapa?Jawab2 Tidak. Karena yang dimaksud dengan gerak lurus adalah lurus dalamdimensi spasial. Dalamgrakx tkemiringankurvapadasuatutitikmeny-atakankecepatan(sesaat)padatitiktersebut. Dengandemikianwalaubendabergerak dalam dimensi spasial menempuh lintasan berbentuk garis lurus, akantetapi kecepatannyaberubah-ubah,makagrakx tyangdihasilkannyaakanberubah-ubahpulakemiringannya.Soal 3. Sebuahmobil padat=0sberadapadaposisi x=2m, padat=2sberadapadaposisi x=4m, danpadat=4sberadapadaposisi x=5m.Tentukanlahperpindahandanjarakyangditempuhbendauntukselangwaktu0s 8 ) ? \1/0 \: -2 \: 0 \: - 1 \: 1 \: 2 \: 1/0plot a(x) w p pt 5 t ""Denganmenerapkansyaratbatas, yaitudiketahuinyanilai v(ta)danx(tb), dimanasecaraumumta =tbdapat dicari bentukdari v(t) dana(t). BentukdalamPersamaan(4.2)membutuhkanwaktuyangcukuplamauntukmenye-lesaikannya. Padabagianselanjutnyaakandibahascontohdenganhanyatiganilaipercepatanyangberbeda.Soal 2. Gambarkanlah a(t)sebuahbendamemilikibentuka(t) =___2 m/s2, 0s < t < 2s4 m/s2, 2s < t < 3s0 m/s2, 3s < t < 5s. (4.3)Jawab2.-4-2 0 2 4 012345a (m/s2)t (s)Gambar4.2: Kurvaa(t)dariPersamaan (4.3).28 CATATAN4. RANGKAIANGERAKLURUS1-D4.2 MenentukankecepatandaripercepatanKecepatanbendadapatdiperolehdenganmenggunakanv(t) v(t0) =_tt0adt, (4.4)di mana berlaku pada semua selang. Akan tetapi saat menerapkan syarat batas,integrasihanyaberlakupadaselangdi manasyaratbatasdidenisikankarenapadaselanglain, percepatanmemiliki nilai yanglain. Hubunganantar se-langadalahnilai kecepatanpadabatas-batasselangharus sama. Ini karenapercepatanmerupakanturunandari kecepatanterhadapwaktu. Suatufungsidapat memiliki turunanterhadapwaktuapabilaiakontinuterhadapwaktu.Olehkarenaitukecepatanharuskontinudalamwaktu.Soal3. Apabila diketahui bahwa pada saat t = 4 s kecepatan benda v = 2 m/s,tentukanlah v(t) dariPersamaan (4.3). Gunakan Persamaan (4.4). Gambarkanpulabentukfungsiv(t).Jawab3. Diketahui bahwasaatt=4skecepatanbendav=2m/s. DengandemikianPersamaan(4.4) digunakandalamselang3s R2. (9.17)Lalubagaimana dengan bolakonduktor berongga yang didalamnya diletakkansebuahmuatantitik? Terdapatsedikitperbedaanmengingatsifatbahankon-duktor yangmudahmenggerakkanmuatan. Padapermukaanbagiandalamkonduktor akan terbentukmuatan induksiyang besarnya sama dengan muatantitikdalamronggasehinggamedanlistrikdi dalamkonduktorakanmenjadinol. OlehkarenaitusecarakeseluruhanmedanlistriknyaakanmenjadiE(r) =___140Q1r2 , 0 < r < R10, R1 r R2140Q1+Q2r2, r > R2. (9.18)9.7 LempengdatarluasbermuatanseragamSebuahlempengluasbermuatanseragam akanmemberikanmedanlistrikyangarahnya tegak lurus dengan lempeng atau searah dengan vektor normal lempengpadakeduasisinyadengandemikianhukumGaussakanmenjadi_

E d

A =qin070 CATATAN9. HUKUMGAUSS_EdA + (E)(dA) + 0 =qin02E_dA =qin0E(2A) =Q0E=20, (9.19)denganmenggunakankoordinatsilinderdandi mana=Q/Aadalahrapatmuatanpersatuanluas.Hasil yang sama akan pula diperoleh apabila digunakan permukaan Gaussberbentukkubusdenganyangkeduasisinyasearahdenganarahnormal per-mukaanluas bermuatanseragam. MisalkansajapermukaanGauss yangdi-maksuddibentukolehsebuahkubusbersisiL,keenamsisinyaadalah

A1= L2i (9.20)

A2= L2i (9.21)

A3= L2j (9.22)

A4= L2j (9.23)

A5= L2k (9.24)

A6= L2k (9.25)Bilalempangluas bermuatanseragamterletakpadabidang-xymakamedanlistriknyadiberikanoleh

E=_Ek, z> 0Ek, z< 0(9.26)KarenakepingluasbermuatanseragammakaQ/A=Q/L2=. SelanjutnyaadalahdenganmenggunakanhukumGauss,yaitu_

E d

A =qin0_0 + 0 + 0 + 0 +EdA + (E)(dA) =qin02E_dA =qin0E(2A) =Q0E=20, (9.27)9.8. KAWATLURUSPANJANGBERMUATANSERAGAM 71yangakanmemberikanhasilyangsamasepertidalamPersamaan (9.19).9.8 KawatluruspanjangbermuatanseragamUntuk kawat lurus panjang yang memiliki rapat muatan seragam = Q/L makamedan listriknya akan selalu berarah tegak lurus pada kawat atau searah denganvektorsatuan padakoordinatsilinder. DengandemikianhukumGaussakanmenjadi_

E d

A =qin0_EdA + 0 =qin0E_dA =qin0E(2rL) =Q0E=20r, (9.28)seperti telahditurunkandenganmenggunakanrumusanhukumCoulombdanmedanlistrik.9.9 SilinderbermuatanUntuk kasus silinder bermuatan seragamdapat diturunkan hal yang samaseperti dalammenurunkan untuk bola bermuatan seragam. Pertama-tamaharusdihitungdulurapatmuatanpersatuanvolumenyabarukemudiandi-ubahkedalamrapatmuatanpersatuanpanjang.Bila silinder bermuatan tak seragam, melainkan fungsi dari jari-jari makan harusdicarisuatuperumusanyangmiripdenganPersamaan (9.13).Hal yangsamajuga berlakuuntuksilinder beronggabaikuntukkonduktormaupunisolator, silinder berongga dengan kawat bermuatan di tengahnya, dankulitsilinderbermuatan.9.10 KapasitorDenganmenggunakanpasangan, baikpelat datar luas, kulit bola, ataupunkulit silinder, yangdiberi muatanyangsamabesarnyadenganjenis muatan72 CATATAN9. HUKUMGAUSSyang berbeda dapat dibentuk suatu alat yang disebut sebagai kapasitor C. Alatini berfungsi sebagai penyimpanmuatanatauenergi listrik. Perihal kapasitorakan dibahas pada bab mengenai kapasitor setelah terlebih dahulu mempelajaripotensiallistrikV .Catatan10PotensialListrikSuatusistemyangterdiri dari bagian-bagian(partikel ataukumpulan) yangberinteraksi melalui gayaelektrostatikdapat memiliki energi potensial yangdisebut sebagai energi potensial listrik. Konsepenergi potensial, gayaelek-trostatik, danusahayangditerapkandalamBabEnergi potensial diterapkandengancarayangsamadi sini. Umumnyaenergi potensial nol diambil saatsistemdipisahkanatasbagian-bagiannya.10.1 Energi potensial listrikSuatusistemyangbagian-bagiannyaberinteraksi melalui gayalistrik, apabilakongurasinyaberubahyangditandai denganberubahnyaenergipotensialsis-temdari energi potensial listrikawal (initial) UE,ikeenergi potensial listrikakhirUE,f, makahubunganantarakerjayangdilakukanolehgayalistrikWEdanperubahanenergipotensialnyaadalahUE= UE,f UE,i= WE. (10.1)Sebagaimanakerjayangdilakukanolehgayakonservatif lain, kerjaolehgayalistrik seperti dalam Persamaan (10.1) juga tidak bergantung dari lintasan (pathindependent). Usahaolehgayalistriksendiri, sebagaimanamenghitungusahasecaraumum,taklainadalahWE=_rfri

FE d

l, (10.2)denganposisiawaldanakhirdinyatkandengan ridan rf.Bilakeadaanawal diambil di manapartikel sistemterpisahpadajaraktak-7374 CATATAN10. POTENSIALLISTRIKhingga(UE,i= 0)danenergipotensialpadakeadaanakhirdinyatakansebagaiUEmakaPersamaan (10.1)akanmenjadiUE= WE,, (10.3)di manaWE,adalahkerjauntukmembawabagian-bagiansistemdari jaraktak-hinggasehinggamembentuksistem.10.2 Potensial listrikEnergi potensial listrik UEper satuanmuatanlistrik q dinyatakansebagaipotensiallistrikVV=UEq(10.4)yang memiliki satuan J/C (joule per coulomb) atau V (volt). Dengan demikian,dapatdituliskanbahwaV= Vf Vi=UE,fqUE,iq. (10.5)OlehkarenaitubedapotensiallistrikdidenisikansebagaiV= Vf Vi= WEq(10.6)danpotensiallistriksebagaiV= WE,q. (10.7)Apabila suatu kerja luar diterapkan (applied work) Wappuntuk membawabagian-bagiansistemsehingga membentuk sistemdi mana pada saat yangbersamaankerjaolehgayalistrikWEjugaterjadi makadenganmenggunakanteoremaenergikinetikusahadapatdituliskanK= Kf Ki= Wapp +WE. (10.8)Suatukeadaandapatdipilihsehinggapadasaatawaldanakhirbagian-bagiansistemberadadalamkeadaandiamatauenergi kinetikpadakeduakeadaantersebutadalahnolsehinggasehinggaPersamaan (10.8)akanmenjadi10.3. PERMUKAAN-PERMUKAANEKIPOTENSIAL 75Wapp= WE. (10.9)Denganmenggunakan Persamaan (10.9)dan(10.6)makakerjaluar Wappyangdiperlukan untuk membawa suatu muatan qmelewati beda potensial listrik VtaklainadalahWapp= qV. (10.10)10.3 Permukaan-permukaanekipotensialDi sekelilingsuatusumber muatanlistrikqsterdapat permukaan-permukaandi manaapabiladiukurpotensial listrikpadapermukaan-permukaantersebutselalubernilai samaataudengankatalainapabilasuatumuatanq bergerakpada suatu permukaan ekipotensial maka energi kinetiknya tidak akan berubahataugayalistrikdari sumbermuatanqstidakmelakukankerjapadamuatanlistrikqtersebut.Garis-gayagayalistrikakanselalutegaklurusdenganpermukaan-permukaanekipotensial.10.4 Potensial listrikdanmedanlistrikDengan menggunakan Persamaan (8.1) dan (10.2) maka hubungan antaramedanpotensiallistrikdanmedanlistrikadalahVf Vi= _rfri

E d

l. (10.11)Mengingat potensial listrikadalahenergi potensial tiapsatusatuanmuatanuji, makapemilihantitikrujukanadalahbebas. Dengandemikian, umumnya,diambilbahwaVi= 0. Akantetapiinibukanmerupakansuatukeharusan.10.5 Potensial listrikolehsatutitikmuatanPotensial listrik yang disebabkan oleh satu titikmuatan dapat dihitung denganmenggunakanrumusanmedanlistrikolehsatutitikmuatanseperti diberikanolehPersamaan(8.2). Untukmudahnyaambil bahwaposisi muatansumberq terletakdi pusat koordinat sehinggar=0dandr = rdr, lalugunakanPersamaan (10.11)sehinggadapatdiperolehbahwa76 CATATAN10. POTENSIALLISTRIKV=140qr, (10.12)di manatelahdiambil acuanbahwapotensial listrikpadaposisi tak-hinggaadalahnol,V= 0. Bilaintegralmengambilsuatuacuandimanapadar0V (r0) = V0, (10.13)makaPersamaan (10.12)akanmemilikibentukyanglebihumum,yaituV (r) =q40_1r 1r0_+V0. (10.14)Persamaan (10.14) akan sering digunakan ketimbang Persamaan (10.12) apabilamembahaspotensiallistrikpadabolaberlapisataususunanpelat.10.6 Potensial listrikolehbanyakmuatantitikPotensial listrik Vadalah besaran skalar, dengan demikian apabila di dalam ru-angterdapatlebihdarisatumuatanlistrik(q1, q2, .., qN)makapotensiallistrikpadasuatutitikakibatsemuamuatantersebuttaklainadalahpenjumlahanskalardari potensial listrikakibatmasing-masingmuatanpadatitikyangdit-injauV (r) =140

iqi|r ri|. (10.15)Persamaan (10.15)seringdituliskanlebihsederhanamenjadiV (r) =140

iqiri. (10.16)apabiladipilihtitik, yangdi sanaingindihitungpotensial listriknya, terletakpadapusatkoordinat.10.7 Potensial listrikakibatdipollistrikSebuahdipol listrikyangterletakpadaposisir(di manamuatanq+terletakdi r+12

d dan muatan qterletak di r12

d) akan memberikan potensial listrikpada rmelaluirumusan10.8. POTENSIAL LISTRIK AKIBAT DISTRIBUSI KONTINU MUATAN77V (r) =140 p (r r)|r r|3, (10.17)dengandipollistrikpsepertididenisikandalamPersamaan (8.17).Biladiambil r= 0lalujarakpisahkeduamuatanddanbesarmuatanqdigu-nakanmakaPersamaan(10.17)akanmenjadiV (r) =140qd cos r2, (10.18)denganadalahsudutantarapdan r.10.8 Potensial listrikakibat distribusi kontinumuatanDistribusikontinu muatan,sebagaimana iamenimbulkanmedanlistrik,iajugaakanmenimbulkanpotensiallistrikdisekelilingnya. Rumusanyangdigunakanpunjugamirip,yaitudV=140dq|r r|, (10.19)di mana posisi elemen muatan dqadalah di r. Umumnya titik tempat potensiallistrikakanditinjaudiambilpadapusatkoordinat (r = 0)sehinggaPersamaan(10.19)akanmenjadidV=140dqr. (10.20)Tidak terdapat keharusan untuk menggunakan Persamaan (10.20) dalammenghitung potensial listrikakibat distribusi kontinumuatanlistrik. Apa-bilamedan listrik akibat distribusitersebut telahdiketahui, Persamaan (10.11)adalahcarayanglebihmudah.Baik Persamaan (10.20) maupun (10.20), perlu disadari bahwa keduanya secarataklangsungtelahmengambil acuanbahwapadajaraktak-hingga, potensiallistrikadalahnol.78 CATATAN10. POTENSIALLISTRIK10.9 Potensial listrikdisekitarkawatlurusSebuah kawat lurus bermuatan homogen dengan rapat muatan per satuan pan-jang akan menyebabkan potensial listrik di sekelilingnya. Potensial listriknya,denganmenggunakanPersamaan (10.19)untukkawat lurusyangmembentangpadasumbu-xdari x = 0sampaix = LadalahdV=140dx_y2+x2. (10.21)Dengan menggunakan daftar integral, yaitu Persamaan (22.2), Persamaan(10.21)akanmenjadiV=40_ln_x +_x2+y2__Lx=0=40_ln_L +_L2+y2y__. (10.22)MedanlistriknyasendiridalamBabMedanListrikdiberikanoleh

E=40__1_L2+y21y_i +_Ly_L2+y2_j_. (10.23)Integrasi yang paling mudah adalah sepanjang sumbu-ykarena rumusan medanlistrik dalam Persamaan(10.23) telah mengandung rumusan medan listrik untuklintasansepanjangsumbutersebut. Dengandemikiandr = jdy (10.24)Selanjutnya apabila dilakukan integrasi untuk mencari potensial V denganmenggunakanPersamaan(10.11)),(10.23),dan(10.24)makaVf Vi= _rfri

E d

l_rfri40__1_L2+y21y_i +_Ly_L2+y2_j_jdy= L40_yfyidyy_L2+y2(10.25)UntukmenyelesaikanPersamaan (10.25)perludilakukansubstitusi,10.9. POTENSIALLISTRIKDISEKITARKAWATLURUS 79tan = yL(10.26)sec2d= dyL(10.27)dyy_L2+y2=Lsec2dLtanL2sec2=1L csc d (10.28)Integral dari csc dalamPersamaan(10.28)dapatdiselesaikandenganmeng-gunakanPersamaa(22.3)1L csc d= ln (csc cot ) (10.29)sin =y_L2+y2(10.30)csc =_L2+y2y(10.31)cot = Ly(10.32)dyy_L2+y2=1L csc d=1L ln__L2+y2+Ly_(10.33)Substitusikanhasil dari Persamaan(10.32) kedalamPersamaan(10.25) danterapkanbatasdariyi= ysampaiyf= sehinggaVf Vi= L40_yfyidyy_L2+y2(10.34)V V= _40ln__L2+y2+Ly__y=y(10.35)V=40ln__L2+y2+Ly_, (10.36)di mana telah dipilih bahwa V= 0. Hasil dari Persamaan (10.36) adalah samadenganhasilyangdiperolehpadaPersamaan (10.22).Jadi, denganmelihat hasil di atas, Persamaan(10.19) ataupun(10.20) telahterbuktibahwa didalamnya terdapat pemilihanpotensialpadajarakjauhtak-hingga,yaituV= 0.Untukkawatlurusyangmemiliki panjangyangberbeda, misalnyabukandarix = 0 sampai x = L, batas-batas dalam Persamaan (10.22) dapat diubah sesuai80 CATATAN10. POTENSIALLISTRIKdengankeadaanyangdiminta. Misalnyasajaapabilakawatmembentangdarix = L1sampaix = L2makapotensiallistriknyaadalahV=40ln__L21 +y2+L1_L22 +y2L2_, (10.37)10.10 Potensial di pusat kawat berbentuklingkaranPersamaan (8.12) pada Bab Medan listrik telah menunjukkan bagaimana bentukmedan listrik pada sumbu muatan kawat berbentuk lingkaran. Dengan kembalimenggunakanPersamaan(10.11)dapatdihitungpotensial listrikpadasumbukawat bermuatanseragam berbentuklingkaran,dimanar = z, (10.38)dr = kdz, (10.39)ri= , rf= z, (10.40)V= 0, Vf= V, (10.41)sehinggaVf Vi= _rfri

E dr = _rfrik40Qz(z2+R2)32kdzV (z) V () = Q40_zz(z2+R2)32dz= Q40_z12d(z2+R2)(z2+R2)32V 0 = Q4012(2)_1z2+R2_zz==Q40_1z2+R2 0_V=Q40_1z2+R2_ (10.42)ApabilamenggunakanPersamaan (10.19)untukkasusyangsamamakar = kz, (10.43)r= R(i cos + j sin), (10.44)r r= zk R(i cos + j sin), (10.45)|r r| =_z2+R2, (10.46)dq= Rd, (10.47)10.11. POTENSIAL LISTRIKAKIBAT SUSUNAN KEPINGLUAS BERMUATAN SERAGAM81sehinggaV=_140dq|r r|=_20140Rdz2+R2=140Rz2+R2_20d =140Rz2+R2(2)=140Qz2+R2. (10.48)Dengan menggunakan dua cara yang berbeda hasil yang diperoleh adalahsama seperti ditunjukkan dalamPersamaan(10.42) dan (10.48). Kembaliperlu ditekankan bahwa Persamaan (10.19) telah, secara tidak langsung,mengisyartkanbahwaV= 0.10.11 Potensial listrik akibat susunan kepingluasbermuatanseragamBeberapa keping luas bermuatan seragam terletak pada bidang-yz dengan posisimasing-masingadalahpadaxidanrapatmuatannyaadalahi. Medanlistrikyangditimbulkannyapadamasing-masing daerahadalah

Ei(x) =i20x xi|x xi|, x = xi, (10.49)miripseperti bentukdalamPersamaan(9.26) untukkepingluas bermuatanseragampadabidang-xy. Lalu, apabilaterdapatNbuahpelatmakadengansendirinyatotalmedanlistrikadalah

Etotal=N

i=1

Ei(x) =120N

i=1i(x xi)|x xi|, x = xi. (10.50)Kemudian untuk menghitung potensial listrik akibat pelat-pelat luas bermuatanseragamtersebut makagunakanPersamaan(10.42) padaPersamaan(10.50)dengan menetapkan syarat bahwa potensial listrik harus berharga kontinu(karenmedanlistrikmerupakanturunannyadanharusadaataudapatdicari).Selainitu, dalamkasusini tidaklazimapabiladiambil acuanV=0karenabentukmedanlistriknya yangkonstanakanmenghasilkanpotensialyanglinierterhadapx. Bilaacuantersebutdiambil, potensial listrikpadasuatuxdapatberharga . Lazimnyasuatukepingdiketahuipotensiallistriknya.Sebagai ilustrasi dimisalkan terdapat dua buah keping luas dengan rapat muatanper satuanluas danposisinyaberturut-turut adalah1=+, 2=2,82 CATATAN10. POTENSIALLISTRIKx1=a, danx2=b>a. Dipilihbahwapotensial listrikpadakepingkeduaadalah V0. DenganmenggunakanPersamaan (10.50)makadiperolehbahwaE(x) =___20+0, x < a,20+0, a < x < b,200, x > b.(10.51)Persamaan(10.51)dituliskandalambentukskalarkarenasudahdiambil arahpada sumbu-x. Melihat bentuk E(x) di atas yang hanya berupa konstanta makaprosesintegrasinya menjadimudah,yaituV (x) =____20+0_x +c1, x < a,_20+0_x +c2, a < x < b,_200_x +c3, x > b,(10.52)dimanac1,c2,dan c3adalah konstanta yang munculsebagai akibat pemilihanpotensial listriksebagai rujukan. BilasebelumnyatelahdipilihbahwapadakepingkeduapotensiallistriknyaadalahV0makaV (b) = V0sehinggaV (b) = V0 _200_b +c3= V0 c3= V0 +_200_b= 20b +V0, (10.53)V (b) = V0 _20+0_b +c2= V0 c2= V0 +_20+0_b=320b +V0, (10.54)V (a) = _20+0_a +V0 +_20+0_b,= _20+0_a +c1c1= _20+0_a +V0 +_20+0_b +_20+0_a=0_a +32b_+V0. (10.55)Persamaan(10.52) dapat dituliskankembali denganmenggunakanhasil-hasildariPersamaan (10.53)-(10.55)menjadi10.12. POTENSIALLISTRIKOLEHBOLAKONDUKTORPEJAL 83V (x) =____20_x +_0__a +32b_+V0, x < a,_320_x +_320_b +V0, a < x < b,_20_x _20_b +V0, x > b,(10.56)Untuksusunanlebihbanyakpelat luas bermuatanseragam, carayangtelahditunjukkandi atas diterapkankembali denganlebihbanyakdaerahxyangditinjautentunya.10.12 Potensial listrik oleh bola konduktor pejalPadakonduktorpejal medanlistriksebagai fungsi dari jari-jari rtelahditu-runkan dalam Persamaan (9.16) sehingga potensial listriknya dapat dicari, yaituV (r) =_140QR, 0 r < R140Qr , r R. (10.57)denganmengambil titikacuanpotensial V=0. Apabiladiambil padaper-mukaanbolasuatupotensial V0, yaituV (R) =V0makaPersamaan(10.57)akanmenjadiV (r) =_V0, 0 r < RQ40_1r 1R_+V0, r R. (10.58)Persamaan(10.58)dapatdicari denganmelakukanintegrasi dari Rsampai r,yaituV (r) V (R) = _rR140Qr2dr (10.59)V (r) V0=_140Qr_rr=RV (r) =140Qr 140QR+V0.10.13 Potensial listrikolehbolaisolatorpejalDengancarayangsama, Persamaan(9.11)akanmemberikanpotensial listrikuntukbolaisolatorpejal,yaitu84 CATATAN10. POTENSIALLISTRIKV (r) =_12_Q40R3_r2+12_Q40R_, 0 r R140Qr , r > R, (10.60)dimanaacuanpotensiallistrikadalahV= 0.Catatan11KapasitordanKapasitansiKapasitor adalah suatu alat yang dapat menyimpan energi listrik dalam bentukmedanlistrik. Dengandemikian,kapasitorberbedadenganbatereyangmeny-impanenergi listrik dalam bentukenergi kimiayang pada saat akan digunakanbarudikonversikedalambentukenergilistrik.Salah satu contoh penggunaan kapasitor adalah pada lampu blitz kamera. Den-ganmenggunakankapasitorenergi listrikdapatdisimpandengancepatuntukkemudian dilepaskan dengan cepat sehingga laju energi yang lepas cukup tinggiuntukmemiculampublitz. Baterehanyadapatdiisi dandikosongkan(digu-nakanenergilistriknya)dalamlajuyangrendah.11.1 KapasitansiKapasitor adalah suatu alat yang tersusun atas dua buah konduktor yangbermuatan sama dengan dengan tanda berbeda dan dipisahkan oleh suatu jaraktertentu. Umumnya,kapasitoryangberedardipasaran adalahdarijeniskapa-sitor pelat sejajar, yang artinya tersusun atas dua buah konduktor yang berben-tukpelatsejajar. Jenislainadalahberupakapasitorberbentukkulitbolase-pusatdankulitsilindersesumbu.Kapasitansi adalah kemampuan suatu kapasitor untukmenyimpanmuatan un-tuktiapbedapotensiallistrikyangdigunakan. Kapasitansihanyabergantungdari geometri kapasitordantidakpadabedapotensial listrikyangdigunakan.Muatanq dalamsuatukapasitor berbandinglurus denganbedapotensial Vpadakeduapelatkapasitorq= CV, (11.1)denganCadalahkapasitansi sebuahkapasitoryangdinyatakandalamsatuan8586 CATATAN11. KAPASITORDANKAPASITANSIfarad1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V, (11.2)11.2 PengisiankapasitorSalah satu cara mengisi kapasitor adalah dengang menggunakan batere, sebuahalatyangmenjagaagarbedapotensial antarakeduaujungterminalnyatetapmelaluireaksielektrokimiainternalnya.Saat sebuah kapasitor kosong maka beda potensial antara kedua ujung-ujungnya(ataukeduapelatnya) adalahnol. Ketikadipasangkandenganbatere makaakanterciptamedanlistrikakibat adanyabedapotensial listrikpadakeduaujungkapasitorsehinggamuatanakanmengalirsesuai dengangayalistriknyayangterciptaantaramedanlistrikdanjenismuatannya,sehinggalambatlaunmasing-masing pelat akanbermuatan listrikdengan tandayang berbedatetapidenganbesar yangsama. Saat kapasitorpenuh, bedapotensial yangtimbulakansamadenganbeda potensial batere denganpolaritas yangberlawanansehingga terciptakesetimbangandantidakmemungkinaruslistrikuntukmen-galir. Padakeadaaninitegangankapasitorsamadengantegangan sumberdanhambatannya menjaditakhingga.11.3 KapasitorpelatsejajarPada kapasitor pelat sejajar, muatan pada salah satu pelat dapat dihitung den-gan mengambil permukaan Gauss berbentuk silinder yang arah sumbu tegaknyasejajardenganarahmedanlisrikdalamkapasitor. Pelatdianggapluasdenganjarakantarpelatkapasitordianggapjauhlebihkecildaripadanya. SelanjutnyadenganmenggunakanhukumGauss seperti dalamPersamaan(9.4) danluasalassilinderA_

E d

A =qin0EA + 0 + 0 =q0E=qA0=0, (11.3)denganrapat muatanseragamkapasitor adalah =q/A. Selanjutnyabilakeduapelat terpisahkandenganjarakddanterletakpadabidang-yzdenganpelat bermuatanpositif beradapadabidangx= 12ddanpelat bemuatannegatif beradapada bidangx =12d,maka potensiallistrikantara keduakepingdapatdihitungdenganmenggunakanPersamaan (10.11),yaitu11.4. KAPASITORKULITSILINDERSESUMBU 87Vf Vi= _rfri

E d

lVV+= _ 12d12d0i idx0 V= 0[x]12dx=12d=0dV=qdA0= Ed, (11.4)di mana umumnya diambil bahwa potensial listrik pada pelat bermuatan negatifV=0danpadapelatbermuatanpositif V+=V . Selanjutnya, Persamaan(11.1)dan(11.4)akanmemberikannilakapasitansikapasitorpelatsejajarq= CV= C_qdA0_,C= 0Ad, (11.5)yangmenunjukkanbahwanilai kapasitansi hanyabergantungdari faktor ge-ometrikapasitordantidakpadabedapotensiallistrikyangdigunakan.11.4 KapasitorkulitsilindersesumbuDua buah kulit silinder sesumbu dengan jari-jari dalam kulit silinder bermuatanpositif i=Ra, jari-jari luar kulit silinder bermuatannegatif f=Rb, dantinggi L dapat pula membentuk sebuah sistem kapasitor. Medan listrik yang diantarakeduakulitsilindersepusattersebutdihitungmenggunakanPersamaan(9.4) dengan memilih permukaan Gauss berbentuk silinder yang memiliki sumbuyangsamadengankeduakulitsilinderbermuatan,yaitu_

E d

A =qin0E(2L) + 0 + 0 =q0E=120qL=120, (11.6)dimana adalah jari-jari silinderdalam sistem koordinat silinder. SelanjutnyaadalahkembalimenggunakanPersamaan (10.11)pada(11.6),yaitu88 CATATAN11. KAPASITORDANKAPASITANSIVf Vi= _rfri

E d

lVV+= _RbRa120qL d0 V= q20L [ln ]Rb=RaV=q20L ln_RbRa_. (11.7)GunakanPersamaan (11.7)dan(11.1)sehinggadapatdiperolehq= CV= C_q20L ln_RbRa__,C= 02Lln_RbRa_. (11.8)11.5 KapasitorkulitbolasepusatDua buah kulit bola sepusat dengan jari-jari dalam kulit bola bermuatan positifr = Radanjari-jari luarkulit bolabermuatan negatif r = Rbjugadapat mem-bentuksuatusistemkapasitor. Medanlistrikakibat dalam sistemkapasitor inidapatdihitungdenganmemilihpermukaanGaussberbentukbolayang teletaksepusat dengan kedua kulit bola bermuatn tersebut dan dihitung menggunakanPersamaan (9.4)sehingga_

E d

A =qin0E(4r2) =q0E=140qr2, (11.9)dapatdiperoleh. Selanjutnya,kembaligunakanPersamaan (10.11)pada(11.9)sehinggadapatdiperolehVf Vi= _rfri

E d

lVV+= _RbRa140qr2 r rdr11.6. KAPASITORKULITBOLATERISOLASI 890 V= q40_1r_Rbr=RaV=q40RbRaRaRb(11.10)beda potensial listrik antara kedua keping. Kapasitansi kulit bola sepusat dapatdiperolehdenganmenerapkanPersamaan(11.1)kedalamPersamaan(11.10)sehinggaq= CV= C_q40RbRaRaRb_,C= 04RaRbRbRa. (11.11)11.6 KapasitorkulitbolaterisolasiSebuah kulit bola dapat pula menjadi sebuah konduktor dengan mengasumsikanbahwakulitkeduaberadapadajarakjauhtakhingga, misalkandalamhal iniRa= RdanRb= sehinggaPersamaan (11.11)akanmenjadiC= 04Ra1 Ra/Rb= 04R. (11.12)11.7 SusunankapasitorseriSaatbeberapabuahkapasitordisusunseri makamuatanlistrikpadamasing-masing kapasitor adalah sama, karena muatan tidak dapat mengalir menembuskapasitormakamuatanyangterdapatpadakepingkapasitoryangberadaditengahadalahhanyaakibatinduksimuatanlistrikpadakepingkapasitoryangberadadi pinggirnya. Bilamuatanpadamasing-masingkapasitorsamamakabilaterdapatNbuahkapasitoryangdisusunseriq= C1V1= C2V2= .. = CNVN. (11.13)Selanjutnyaingindicaribagaimananilakapasitansisebuahkapasitoryangeki-valendengansusunanseri kapasitortersebut. Muatantotal kapasitorparalelekivalenCpdantegangannya Vpadalahqs= CsVs,90 CATATAN11. KAPASITORDANKAPASITANSIVs= V1 +V2 +.. +VN, (11.14)sehinggaqCs=qC1+qC2+.. +qCN,1Cs=1C1+1C2+.. +1CN=N

i=11Ci. (11.15)11.8 Susunanparalel kapasitorBila beberapa Nbuah kapasitor disusun paralel maka masing-masing kapasitorakanmemilikiteganganyangsama,V1= V2= .. = VN. (11.16)MuatantotalsebuahkapasitorseriekivalenCsadalahqp= q1 +q2 +.. + qN=N

i=1qi. (11.17)DenganmenggunakanPersamaan (11.1),(11.16),dan(11.17)dapatdiperolehCpV= C1V+C2V+.. +CNV=N

i=1CiVCp= C1 +C2 +.. +CN=N

i=1Ci. (11.18)11.9 PaduansusunanseridanparalelSuatususunanyangrumitdari kapasitor, umumnya, dapatdiubahkedalambentuksusunanseridanparalel. Denganlangkahperlangkahsuatukapasitorekivalendarisusunanrumittersebutdapatdiperoleh.11.10. ENERGIMEDANLISTRIK 9111.10 Energi medanlistrikSaat kapasitor diisi dengan menggunakan batere sebenarnya terjadi proses pem-berian energi potensial listrik ke dalam kapasitor yang tersimpan dalam bentukmedanlistrik. Bilapadasuatusaatterdapatmuatandqdalamkapasitorse-hinggabedapotensialkapasitor adalah VmakausahayangdiperlukanadalahdW= Vdq=1Cqdq, (11.19)sehingga bila kapasitor dimuati dari keadaan kosong sampai bermuatan qmakaW=_q01Cqdq=12Cq2, (11.20)yangtaklainadalahenergi potensiallistrikyang tersimpandalam sebuahkap-asitorUE=12Cq2=12CV2. (11.21)11.11 RapatenergiDalam sebuah kapasitor pelat sejajar, dengan menganggap bahwa medan listrikdi antarakeduapelatnyabersifathomogen, dapatdicari rapatenerginyauE,yaituenergipersatuanvolume,yaituuE=UEAd=CV22Ad . (11.22)DenganmenggunakanPersamaan(11.5)dapatdiperolehbahwauE=120_Vd_2=120E2, (11.23)di mana untuk kapasitor pelat sejajar E= V/d seperti telah ditunjukkan dalamPersamaan (11.4).11.12 KapasitordenganbahandielektrikBila di antara keping-keping kapasitor disisipkan suatu bahan dielektrik dengankonstantadielektrikmakakonstantapermivitivas0akanmenjadi0,atau92 CATATAN11. KAPASITORDANKAPASITANSI = 0, (11.24)di manadigunakanuntukmenggantikan0dalampersamaan-persamaanse-belumnya. Dengan ini dapat dilihat bahwa nilai kapasitansi akan berubah men-jadiC= C0, (11.25)dimanaCadalahkapasitansisetelahbahandielektrikdisisipkandiantarake-duapelat kapasitor danC0adalahkapasitansi sebelummenggunakanbahandielektrik(ataudigunakanbahandielektrikberupaudara).11.13 Sudut pandang atomik terhadap bahandielektrikSaatsebuahbahandielektrikdisisipkandi antarakeduapelatkapasitoryangtelah diisi (sehingga memiliki medan listrik E0) maka bahan tersebut akan men-galami polarisasi sehinggamenimbulkanmedanlistriklistrikdidalamnya (EE0,berlawanan arah). Dengan demikian medan listrik total didalam kapasitorberbahandielektrikakanmenjadiE= E0E. (11.26)11.14 HukumGaussuntukbahandielektrikDengan menggunakan hukum Gauss dalam Persamaan (9.4) dengan permukaanGaussyangsesuaiakandapatdiperolehbahwa_

E d

A =qin0EA + 0 + 0 =q q0E=q qA0, (11.27)di manaqadalahmuatanterikat padabahandielektrik. Dikarenakanefekdari bahandielektrikadalahmelemahkanE0makaPersamaan(11.27) dapatdituliskandalambentuk11.14. HUKUMGAUSSUNTUKBAHANDIELEKTRIK 93E=E0, (11.28)sehinggadapatdiperolehbahwaq q=q. (11.29)ApabilaPersamaan(11.29) ini digunakankembali kedalamPersamaan(9.4)maka dapat diperoleh Persamaan Gauss yang lebih umum, untuk bahan dielek-trik,yaitu_0

E d

A = qin. (11.30)PerhatikanbahwadalamPersamaan(11.30): (a)integraltotalukstidaklagihanyamelibatkan

Emelainkanpula0

Eyangkadangdisebutsebagaiperge-seran listrik

Dsehingga dapat dituliskan_

D d

A = qin, (b) muatan yang diper-hitungkan dalam hukum Gauss hanya muatan bebas karena muatan terikat telahdimasukkankedalamfaktorkonstantadielektrik, dan(c)konstantadielek-trikdiletakkan didalam integral apabila nilai tidakkonstan pada permukaanGaussyangdipilih.94 CATATAN11. KAPASITORDANKAPASITANSICatatan12GayaMagnetikdanGayaLorentzBilasebuahpartikelbermuatanbergerak dalam medanmagnetikmakaiaakanmengalami gaya magnetik yang arahnya tegak lurus pada bidang yang dibentukolehvektor kecepatanpartikel danvektor medanmagnetik. Bersama-samadengangayalistrik(gayaCoulomb) gayamagnetikmembentuksebuahgayayang disebutsebagai gaya Lorentz. Berbagai aplikasidapat diturunkandenganmemanfaatkan gaya Lorentz, seperti pemilih (selektor) kecepatan, dan efek Hall.Gayamagnetiksendiri dapat menjelaskanprinsipterjadinyagerakmelingkarpartikelbermuatandanspektroskopimassa.12.1 GayamagnetikSebuahpartikelbermuatanqyangbergerak dengankecepatan vv = vxi +vyj +vzk (12.1)dalamsuaturuangbermedanmagnetik

B

B= Bxi +Byj +Bzk (12.2)akanmengalamigayamagnetik

FB

FB= qv

B (12.3)= q(vyBzvzBy)i +q(vzBxvxBz)j +q(vxByvyBx)k.9596 CATATAN12. GAYAMAGNETIKDANGAYALORENTZ12.2 Garis-garis medan magnetik dan kutubmagnetikTerdapat garis-garis medan yang menggambarkan arah medanmagnetik dalamruang. Garis-garismedanmagnetikini berawal dari kutubmagnetikutaraUmenuju kutub magnetik selatan S. Garis-garis medan magnetik juga tidak salingberpotongan.Kutub magnetik sejenis akan tolak-menolak, sedangkan kutub magnetikberbedajenisakantarik-menarik.Denganmenggunakanprinsiprelativitasdapatdilihatbahwamedanmagnetiksebenarnya adalah suatu medan listrik yang dilihat dalam kerangka acuan yangbergerak. Muatanadalahpenyebabmedanlistrik, sehinggaapabilasejumlahmuatanbergerak,makamedanlistrikyangdisebabkannyajugaakanberubah.Perubahanini (muatanbergerakmenyebabkanarus)akanmenyebabkantim-bulkanmedanmagnetik.12.3 GayaLorentzSuatupartikelbermuatanqyangbergerakdalamruangbermedanlistrik

E

E= Exi +Eyj +Ezk (12.4)akanmengalamisekaligusgayalistrik

FEdangayamagnetik

FB,

FL= q

E +qv

B (12.5)= q(Ex +vyBzvzBy)i +q(Ey +vzBxvxBz)j+q(Ez +vxByvyBx)k.12.4 ApparatusThomsonDengan menggunakan medan listrik

Edan medan magnetik

Byang diatur agarsalingtegaklurus, padatahun1897J. J. Thomsondi UniversitasCambridgedalameksperimennyamenemukanperbandinganantarasebuahmassapartikeldenganmuatannya, yangkemudiandikenal partikel tersebutsebagai elek-tron.Sebagai ilustrasi dipilih sistem koordinat di mana partikel bermuatan q bergerakdalam arah-x sehingga v= vxi. Lalu medan magnetik dan medan listrik dipilih12.5. EFEKHALL 97berturut-turut pada arah-y dan arah-z sehingga

E= Eyj dan

B= Bzk. DenganmenggunakanPersamaan (12.5)dapatdiperolehbahwa

FL= q

E +qv

B= q(EyvxBz)j. (12.6)Persamaan (12.6)memberikanbahwauntuksisteminiberlakuv =EB,

E|

B| v, (12.7)apabiladiaturhargaEdanBsehinggamuatanqdapatbergeraklurustanpaterdeeksibaikolehgaya magnetikFBataupunolehgayalistrikFE.Kemudian, apabila hanya digunakan medan listrik yang sama (medan magnetikdimatikanuntuksementara)danpartikeltepatkeluardaripelatsejajar(pem-buatmedanlistrik)denganpanjangLpadaposisi ujungpelat, makaberlakubahway =qEL22mv2(12.8)sehinggadapatdihitungbahwamq=B2L22yE(12.9)langsung dari eksperimen. Perhatikan bahwa yang dimaksud dalam Persamaan(12.9)denganBadalah |

B|yangdalamhal ini adalahBz, Eadalah |

E|yangdalamhaliniadalah Ey,danvadalah |v|yangdalamhaliniadalah vx.12.5 EfekHallPada efek Hall, juga dipilih bahwa medan listrik

E, medan magnetik

B, dan arahgerak muatan vsaling tegak lurus. Misalkan terdapat sebuah bahanberbentukbalok dengan mayoritas pembawa muatannya adalah lubang (hole) atau muatanpositif danbedapotensial Vluaryangdiberikanadalahpadaarah-xsehinggalubangakanbergerakkearahsumbu-xpositif(kekanan)denganlajudriftvd.Medanmagnetikdipilihmenujupembacaataukeluardari kertasdenganarahsumbu-zpositif. Padasisi-sisi bahanadalamarahsumbu-yakandiukurbedapotensial,yangdisebutsebagaipotensialHallVH.Padasaat awallubang-lubang akandibelokkankebawah karenapengaruhdarigayamagnetikyangbekerjapadamuatanqyangbergerakdenganlajuvdse-hinggapadabagianbawahbahanakanbertumpukmuatanpositif danbagianatasnyakekuranganmuatanpositif. Sebagai akibatnyaakanmuncul medan98 CATATAN12. GAYAMAGNETIKDANGAYALORENTZlistrikyang mengarah daribawah keatas. Medanlistrikiniakanmenimbulkanpotensial Hall VHyang berharga lebih positif di bagian bawah bahan ketimbangdi bagianatasnya. Akantetapi apabilamayoritas pembawamuatanadalahelektronataumuatannegatif makapenumpukkanmuatannegatif yangakanterjadi dibagian bawah sehingga potensial Hall VHakan lebihberharga negatifdi bagianbawahbahanketimbangdi bagianatasnya. Denganmelihattandapotensial Hall VHdapatdiketahui mayoritaspembawamuatandalambahan.Dalamsemikonduktordapatdibedakanmenjaditipe-ndantipe-p.SaatterjadinyakesetimbanganberlakubahwaeEH= evdBluar VHd= vdBluar. (12.10)Lajutdriftvdadalahrapat arusdibagijumlahmuatanpersatuanvolumevd=Jne=IAne. (12.11)SubstitusikanPersamaan(12.11)kedalamPersamaan(12.10)sehinggadapatdiperolehn =BIdVHAe=BIVHle, (12.12)denganl adalahtebal bahandalamarahmedanmagnetikdanI adalaharusyangmengalirdalamarahsumbu-xakibatadanyapotensialVluar.12.6 Gerakmelingkarpartikel bermuatanBila dipilih bahwa hanya terdapat medan magnetik

B dan arah kecepatan v dip-ilihsedemikianrupasehinggategaklurusdenganarahmedanmagnetik,makapartikel akanbergerakmelingkarberaturanapabilamedanmagnetikkonstandalamruangtersebut.Denganmemilihsistemkoordinatdalamkoordinatsilindermakasuatukong-urasisepertidalamparagraf sebelumnyadapatdalambentukv= v (12.13)

B= Bk (12.14)sehinggagaya magnetiknyadenganmenggunakanPersamaan (12.3)12.7. SELEKTOR KECEPATAN 99

FB= qv

B= qv Bk = qvB . (12.15)Dengan menggunakanpersamaankedua dalampersamaan-persamaangerakNewton dapat diperoleh bahwa percepatan partikel akan selalu tegak lurus den-gan kecepatannya. Jenis gerak yang demikian adalah jenis Gerak Melingkar Be-raturan(GMB)denganpercepatanyangdimaksudtaklainadalahpercepatansentripetalasas=v2r= |q|vBm. (12.16)Dengandemikianjari-jarilintasanradalahr =mv|q|B, (12.17)periodegerakmelingkarTadalahT=2rv=2m|q|B , (12.18)frekuensigerakmelingkarf,f=1T= |q|B2m, (12.19)danfrekuensisudutnya = 2f= |q|Bm. (12.20)12.7 SelektorkecepatanDenganmenggunakanapparatus Thomsondancelahsempit di belakangnya,partikel-partikel bermuatanyangdihasilkandari suatupeluruhanatomdapatdiseleksi kecepatannya. Hanya partikel-partikel yang memenuhi(atau dekat ni-lainya, bergantunglebarcelah)Persamaan(12.7)yangdapatmelewati celah.Dengankatalaindapat dipilihhanya partikel-partikel dengan rentang lajuter-tentu. Olehkarenaitualatyangdimaksuddisebutsebagaiselektorkecepatan.100 CATATAN12. GAYAMAGNETIKDANGAYALORENTZ12.8 Spektroskopi massaPersamaan(12.17) menjukkanbahwasemakinbesar massapartikel makansemakinbesar jari-jari lintasannya. Bila ingindiukur distribusi massadaripartikel-partikel yangkeluardari peluruhansuatuatom, posisi detektorpar-tikel dapatdiubah-ubahpadabeberapajarakjari-jari sehinggadapatterukurjumlahpartikel denganmassayangbersesuaiandenganjari-jari lintasanpar-tikelnya. Umumnyaspektroskopi massadipasangsetelahselektor kecepatanagartelahdidapatkecepatanyanghampirsamasehinggafaktoryangberbedahanyalahmassanyasaja. Bilatidakmakayangmenentukanjari-jari lintasanadalah momentum dari partikel (secara tak langsung adalah energi kinetiknya).12.9 Susunanpemercepatmuatan, selektorke-cepatan, danspektroskopi massaPada alat pemercepat muatan, energi kinetik partikel bergantung dari potensialpemercepatV yangdigunakan,K= qV, (12.21)akantetapi ini bukanenergi kinetiktunggal karenadapatsajapartikel telahmemiliki energikinetiksaatkeluardariatom. Untukitulahalatini perludis-erikandenganselektorkecepatanagardapatmenghasilkanpartikeldenganke-cepatantertentu. Apabilamassajugaperluspesik, keluarandari selektorkecepatan dapat diserikan dengan spektroskopi massa. Kemudian keluaran darispektroskopi massadapat dimasukkankepemercepat lainsehinggasekarangdapat diyakinkanbahwapartikel yangkeluardari alat pemercepat keduainitelahmemilikibesarmuatan,massa,dankecepatantertentu.Penurunan yangumumuntukPersamaan (12.21)adalahdenganmenggunakankonsep Energi Kinetik-Usaha, Usaha, hukum-hukum Gerak Newton, dan hubun-gan antara medan listrik dan potensial listrik pada kapasitor pelat sejajar, yaituV= Ed (12.22)

F= ma qE= ma (12.23)W=

Fs = qEd (12.24)K= W= qEd = qV. (12.25)12.10. CYCLOTRONDANSYNCHROTRON 10112.10 CyclotrondanSynchrotronUntuk mendapatkan energi partikel yang tinggi diperlukan lintasan yang cukuppanjang(sampai ratusankilometer)padarancanganpemercepat(akselerator)partikel terutamauntukion-ionberat. Carayangcerdasuntukmengatasi iniadalahdenganmembuat partikel bergerakmelingkardalammedanmagnetikdandipercepat hanya saat ia melewatigap yang dibentukoleh duabuah seten-gahlingkaranyangfrekuensi osilasibedapotensial dalamgaptersebutadalahfosilator. Agarproses pemercepat dapatberlangsung makafrekuensigerak mel-ingkarpartikel yangditunjukkanolehPersamaan(12.19) harussamadenganfrekuensiosilatorataudapatdiperolehfosilator= |q|B2m, (12.26)yang merupakan nilaiyang konstan untuksuatu jenismuatan, misalnya protonatauelektronatausuatujenisionberat.Pada cyclotron diasumsikan bahwa frekuensi revolusi partikel bermuatan selalutetapsehinggaPersamaan(12.19)dapatditerapkan. Akantetapi saatprotonyangdihasilkaninginmemiliki energi lebihbesardari 50MeVmakalajupar-tikel akan mendekati laju cahaya sehingga efek relativistik harus diperhitungkan.Pada laju tersebut frekuensi revolusi partikel akan berkurang secara tetap. Un-tukituperluperubahanfrekuensiosilator yang mengikutiperubahan frekuensiosilasirevolusipartikel(protondalamhalini). Alatyangdapatmelakukaninidisebutsebagaisynchrotron.12.11 Gaya magnetik pada kawat berarus listrikSebuahkawatyangmengalirkanarus, apabiladiletakkandalammedanmag-netik,akanmengalamigayamagnetikyangdiberikanoleh

FB= I

L

B. (12.27)Bilakawat berbentukkurvamakaPersamaan (12.27)akanmenjadid

FB= Id

L

B. (12.28)12.12 TorsipadasimpulberarusSebuahsimpul(loop)yangberbentukkotakdialiriarusIdandiletakkanpadaruangbermedanmagnetik

BmakaakanmengalamitorsiBmenurut102 CATATAN12. GAYAMAGNETIKDANGAYALORENTZB= NIABsin , (12.29)denganNadalahjumlahlilitandanAadalahluassimpularus.12.13 MomendipolmagnetikMomendipolmagnetikdideniskansebagaiB= NIA, (12.30)sehinggatorsimagnetikakibatinteraksiantaramomendipolmagnetikdenganmedanmagnetikadalahB= B

B. (12.31)Sedangkanenergi potensial magnetikyangdimiliki olehsebuahmomendipolmagnetikadalahUB() = B

B= BBcos . (12.32)Kaitanantara Persamaan (12.32)dengankerjaluarWluaradalahWluar= UB(f) UB(i). (12.33)Catatan13MedanMagnetikMedanmagnetiktimbul akibatadanyaaruslistrik. Perhitunganmedanmag-netik dapat dilakukan dengan menghitung elemen medan magnetik yang ditim-bulkanolehelemenarusmelalui hukumBiot-Savart. Apabilatelahdiketahuimedanmagnetikbersifat konstandanarahnyatertentu, perhitunganmedanmagnetikpundapat dilakukandenganmemanfaatkanhukumAmpere, yangsebenarnyabukanditujukanuntukmenghitungmedanmagnetik.13.1 HukumBiot-SavartElemen medan magnetik pada suatu posisi tertentu r dari suatu elemen arus Idsyangterletakpadaposisi rdiberikanolehhukumBiot-Savart melaluibentukd

B=04Ids (r r)|r r|3, (13.1)dengan0= 4 107T m/A 1.26 106T m/A (13.2)adalahkonstantapermeabilitas.13.2 MedanmagnetikdisekitarkawatlurusSebuahkawatlurusmembentangpadasumbu-zdari z= L1sampai z=L2dan ingin dihitung medan magnetik

B pada suatu posisi di sekitar kawat denganjarak. Dapatdituliskandalamkoordinat silinderbahwa103104 CATATAN13. MEDANMAGNETIKr= zk, (13.3)ds = kdz, (13.4)r = , (13.5)r r= zk, (13.6)|r r| =_2+z2, (13.7)sehinggad

B=04Ids (r r)|r r|3=04Idzk ( zk)(2+z2)3/2=0I 4dz(2+z2)3/2

B= 0I4_L2L1dz(2+z2)3/2. (13.8)Denganmenggunakansolusi integral dari Persamaan(22.5) bentuk integraldalamPersamaan (13.8)dapatdiselesaikanmenjadi

B= 0I4_z(2+z2)1/2_L2z=L1= 0I4_L2(2+L22)1/2+L1(2+L21)1/2_. (13.9)Bila kawat memiliki panjang L dan posisi yang ditinjau berada di tengah-tengahkawat makaL1= L/2danL2 = L/2sehinggaPersamaan (13.9)akanmenjadi

B= 0I2L/2[2+ (L/2)2]1/2. (13.10)Untuk kawat panjang maka ambil limit L/2 sehingga Persamaa(13.10)menjadi

B= 0I2. (13.11)Persamaan(13.9) dapat juga dipergunakan untuk mencari medan magnetik padaposisi [0, 1]dariujungbawahkawat,yaitudenganmengubahnyamenjadi13.3. MEDAN MAGNETIK DI PUSAT BUSUR LINGKARAN BERARUS105

B= 0I4_L[2+ (L)2]1/2+(1 )L{2+ [(1 )L]2}1/2_. (13.12)Persamaan (13.12) memberikan medan magnetik untuk kawat berhingga denganpanjangL, untukposisi di ujungbawahkawat(=0), tengah-tengahkawat( = 0.5),danujungataskawat( = 1). Nilaidapatberhargaantara0dan1. Perhatikan bahwa medan magnetik pada ujungatas danujung bawah kawatbernilaisama,yaitu

B= 0I4L[2+L2]1/2. (13.13)Bila panjang kawat menjadi tak hingga, maka Persamaan (13.13) akan menjadi

B= 0I4. (13.14)Untuk kawat panjang, nilai medna magnetik di ujung kawat akan bernilai seten-gahnyadibandingkandi tengah-tengahkawat sebagaimanaditunjukkanolehPersamaan(13.11)dan(13.14).13.3 Medanmagnetikdi pusatbusurlingkaranberarusSebuahbusur lingkaranberarus yangmembentangdari isampai fakanmemberikanmedanmagnetikdi pusatbusurtersebut. Untukkasusini dapatdituliskanbahwar= , (13.15)ds = d, (13.16)r = 0, (13.17)r r= 0 , (13.18)|r r| = . (13.19)KembalidenganmenggunakanPersamaan (13.1)dapatdiperolehd

B=04Ids (r r)|r r|3=04Id ( )3106 CATATAN13. MEDANMAGNETIK= k0I42d(13.20)

B= k0I4_fid= k0I4(f i). (13.21)Jadi untuk lingkaran penuh medan magnetik di pusat lingkaran dapat diperolehdenganmemasukkanf i= 2sehinggaPersamaan (13.21)akanmenjadi

B= k0I2. (13.22)13.4 Medan magnetik pada sumbu busurlingkaranberarusApabila sekarang ingindiketahui medanmagnetikbukanpada pusat busurmelainkanpadasumbu-z yangmelewati pusat busur, makadapat dituliskanbahwar= , (13.23)ds = d, (13.24)r = zk, (13.25)r r= zk , (13.26)|r r| =_z2+2. (13.27)Persamaan (13.1)akanmembawapadad

B=04Ids (r r)|r r|3=04Id (zk )(z2+2)3/2=04Id(z +k)(z2+2)3/2

B=0I4_z(z2+2)3/2_fi d+2k(z2+2)3/2_fid_=0I4_z(z2+2)3/2_fi(i cos +j sin )d+2k(z2+2)3/2(f i)_13.5. GAYA MAGNETIKANTARA DUA BUAH KAWAT SEJAJARBERARUS107=0I4(z2+2)3/2_z_i(sin f sin i) j(cos f cos i)_+k(f i)_. (13.28)Persamaan (13.28) akan kembali menjadi Persamaan (13.21) apabila dipilih z=0. Apabila busur lingkaran berbentuk keliling lingkaran penuh, maka Persamaan(13.28)akanmenjadi

B= k0I22(z2+2)3/2. (13.29)Kembali Persamaan (13.29) akan menjadi Persamaan (13.22) saat dipilih z= 0.13.5 Gayamagnetikantaraduabuahkawatse-jajarberarusDua buah kawat sejajar panjang berarus akan saling memberikan gaya magnetiksatusamalain. Apabilaarusyangmengalir memiliki arahyangsamamakakedua kawat akan saling tarik danapabila arus yang mengalir berlawanan arahmakakeduakawatakansalingtolak.Panjang kedua kawat adalah L, arus yang mengalir pada kawat pertama adalahI1danmedanmagnetikyangditimbulkannyaadalahB1, arusyangmengalirpadakawat keduaadalah I2danmedanmagnetikyangditimbulkannyaadalahB2, dan kedua kawat dipisahkan dengan jarak d, maka gaya pada kawat pertamaakibatmedanmagnetikyangditimbulkanolehkawat keduaadalah

F12= I1

L

B2(13.30)dan gaya pada kawat kedua akibat medan magnetik yang ditimbulkan oleh kawatpertamaadalah

F21= I2

L

B1. (13.31)Keduagaya tersebut adalah pasangan gaya aksi-reaksi sehingga berlakubahwa

F21=

F12, (13.32)yangdapatdibuktikan. Besargaya antarakeduakawat adalahF12= F21= F=0LI1I22d. (13.33)108 CATATAN13. MEDANMAGNETIK13.6 HukumAmpereHukumAmperedinyatakandengan_

B ds = 0Iin, (13.34)yangmerupakanintegral tertutupterhadapsuatulintasanAmpere. HukumGaussdalamPersamaan (9.4)memilikisuatukemiripandenganhukumini.13.7 ArusdanrapatarusArusIyangmengalirterkaitdenganrapatarusnya

JadalahI=_

J d

A. (13.35)Secaraumum

JtidakbersifatseragamsehinggatidakselaludapatkeluardariintegraldalamPersamaan (13.35).13.8 Medan magnetikdi luar kawat panjang be-rarusDi luarsebuahkawatpanjangberarusdapatdipilihsebuahlintasanAmpereberbentuklingkaransehinggadalamkoordinat silinder

B= B , (13.36)ds = d

. (13.37)DenganmenggunakanPersamaan (13.34)dan(13.35)dapatdiperolehbahwa_

B ds = 0Iin_B d

= 0IB_ = 0IB(2) = 0I13.9. MEDANMAGNETIKDIDALAMKAWATLURUSBERARUS 109B=0I2. (13.38)Persamaan(13.38)memberikanhasil yangsamadenganmenggunakanhukumBiot-Savart sepertitelahditunjukkandalamPersamaan(13.11).13.9 Medanmagnetikdidalamkawatlurusbe-rarusDenganmemilihlintasanAmpere tertentumakaIindapat diperolehdengancarayangsamauntukmenghitungtotalarusdalamkawatlurusberarus,yanghanyaberbedadaribatasintegrasinya saja,yaituIin=_r=0

J d

A (13.39)I=_Rr=0

J d

A, (13.40)denganRadalahjari-jarikawat lurusberarus. Bilakawat lurusberarusmemi-liki rapatarusseragammakadenganmenggunakanPersamaan(13.35)dapatdiperolehbahwaIin= J(2) (13.41)I= J(R2) (13.42)Iin= I2R2. (13.43)KemudiandenganmenggunakanPersamaan (13.34)dapatdituliskan_

B ds = 0Iin_B d

= 0I2R2B_ = 0I2R2B(2) = 0I2R2B=0I2R2. (13.44)110 CATATAN13. MEDANMAGNETIKLengkapnyamedanmagnetikpadasuatukawatlurus panjangyangmemilikirapat muatanseragam

J =

J(, , z)adalahB=0I2_/R2, 0 < < R1/, > R. (13.45)13.10 RapatarustidakseragamBerbagai konstruksi kawatdapatsajadibuat, misalnyadenganbagiandalamkosongataubagiandalamdanbagianluarmemiliki arusyangberbeda, ataurapat arus merupakan fungsi dari jari-jari . Untuk kawat berongga (0 < < a)denganbagianluarnya(a a. (13.47)Dapat pula kawat berbentuk pejal dengan rapat arusnya merupakan fungsi dari,misalnya

J() = k_c2, 0 < < a0, > a. (13.48)Variasi-variasi dari Persamaan (13.46) - (13.48) dapat pula dilakukan.Persamaan-persamaanini diperlukanuntukmenghitungIinidalammenyele-saikanpersamaanhukumAmpereuntukmenghitungbesar medanmagnetikB. Khususuntukbentukrapatarusseperti dalamPersamaan(13.48)yangdidalamnyaterdapat ronggadenganjari-jari aakandiperolehdi dalamkawatbahwaIin=c(4a4)2, (13.49)yangdiperolehdenganintegrasidariasampaitertentu.13.11. SOLENOIDAIDEAL 11113.11 SolenoidaidealPadasebuahsolenoidaideal medanmagnetikdi luar solenoidadapat diang-gapnol. DenganmemilihlintasanAmpereyangmemotongbagiandalamluarsolenoidaakandapatdiperolehbahwa_

B ds = 0Iin_ba

B ds +_cb

B ds +_dc

B ds +_ad

B ds = 0I(nh)Bh + 0 + 0 + 0 = 0I(nh)B= 0nI, (13.50)dengann = N/hadalahjumlahlilitanpersatuanpanjang.13.12 ToroidaUntuksebuahtoroida, ambilahlintasanAmperedalamkumpuranyangmel-ingkarsehinggaakandapatdiperoleh_

B ds = 0IinB(2) = 0I(Nh)B=0NI2, (13.51)dimanaadalahjari-jaritoroida.13.13 MedanmagnetikkumparanApabiladipilihz>> RmakaPersamaan (13.29)akanmenjadi

B= k0I22(z2+2)3/2 k0I22z3. (13.52)DenganmenggunakanA=2dan=NIAmakaPersamaan(13.52)dapatdituliskankembalimenjadi112 CATATAN13. MEDANMAGNETIK

B=02z3. (13.53)Persamaan (13.53) menyatakan bahwa medan magnetik dapat ditimbulkan olehsuatu dipol magnet yang merupakan suatu simpul arus. Momen dipol magnet akan berinteraksi dengan medan magnetik lain

Bmengikuti Persamaan (12.31).Dalamhal ini medanmagnetikyangdimaksudbukanmedanmagnetikdalamPersamaan (13.53).Sebagai ilustrasiapabila terdapat duabuahdipolmagnet makakeduanya akanberinteraksilewattorsigaya, yaitu12= 1

B2= 1_02 2|z1z2|3/2_(13.54)dan21=2

B1= 2_02 1|z2z1|3/2_, (13.55)dimana21= 12. (13.56)Catatan14InduktansiPada bab-bab sebelumnya telah dibahas bahwa interaksi antar medan magnetikdanarus listrikdapat menghasilkan torsigaya yang menyebabkan gerak rotasi,apakahinteraksi dari torsi gayadanmedanmagnetikdapatpulaberlakuse-baliknyamenyebabkanaruslistrik? Jawabnyaadalahya. Arusyangmunculdisebutsebagai arusinduksi. Selainperistiwainduksi, induktansi diri, induk-tansi bersama, dan induktor, hal-hal lain seperti hukum induksi Faraday, hukumLenz,danarus,tegangan,dangaya imbasakandibahasdalambabini.14.1 FluksmagnetikFluks magnetik diperoleh dengan melakukan integrasi dari produk skalar antaravektormedanmagnetikdenganvektorelemenluas,yaituB=_

B d

A. (14.1)14.2 ArahmedanmagnetikdankutubmagnetpermanenBila suatukumparandialiri arus I maka sesuai denganhukumBiot-Savart(13.1) akanberarahtertentu, yangdapatpuladitentukandengnaturantan-gankanan. Arah dimana medangmagnetikkeluar darikumparan adalah arahkutubutara(U)danarahsebaliknyaadalahkutubselatan(S)saatkumparandianalogikandengansebuahmagnetpermanen. Sebenarnya, munculnyadipolmagnetik dalam bahan adalah akibat gerak elektron yang berlaku mirip sepertiaruslistrikdalamkumparan.113114 CATATAN14. INDUKTANSI14.3 HukuminduksiFaradayEksperimen dengan menggunakan kumparan sebagai penangkap uks magnetikdankumparan berarus ataumagnet pemanensebagai sumbermedanmagnetikmenunjukkanbeberapafakta,yaitu1. arusinduksi hanyamuncul saatterdapatgerakrelatif antarakumparanpenangkapuksmagnetikdansumbermedanmagnetik(kumparanbe-rarusataumagnetpermanen),2. semakin cepat gerak relatif terjadi semakin besar arus induksi yang terjadi,dan3. arah gerak yang berbeda akan menghasilkan arah arus induksi yangberbedapula.Secara kuantitatif besarnya arus induksi dirumuskan oleh Faraday dalam bentukEind= dBdt. (14.2)BilaterdapatNkumparanmakaPersamaan (14.2)akanmenjadiEind= NdBdt. (14.3)Arus induksi muncul bilaadanyaperubahanuks, dengandemikianhal-halyangdapatmengubahuksakanmembuat munculnyaarusinduksi. Hal-halyangdapatmengubahuksadalah1. perubahanmedanmagnetikdalamkumparan,2. perubahan luas kumparan atau bagian kumparan yang dilalui medan mag-netik,dan3. perubahansudut antaraarahnormal kumparandanarahmedanmag-netik.14.4 HukumLenzHukumLenz menjelaskanbagaimanaarus induksi terjadi dalamkumparan,yaitubahwa arusinduksimemilikiarah sedemikianrupasehinggamedanmag-netik induksi yang dihasilkannya akan melawan perubahan uks magnetik yangmenyebabkanarusinduksitersebut. Untukituperludiperhatikanaturanyangmengaitkanantaraarahmedanmagnetikakibat kumparanpenginduksi dankutub-kutubmagnetikpermanensepertidijelaskandalambagiansebelumnya.14.5. INDUKSIDANTRANSFERENERGI 11514.5 InduksidantransferenergiWalaupunsecaraumumbentuk-bentukkumparandancaramengubahuksdapat dibahas dengan cara yang sama, terdapat beberapa kongurasi yang lebihmemudahkanuntukmembahasnyasehinggamenghasilkanrumusanyangtetapberlakusecaraumum.Suatu kongurasi adalah kumparan berbentuk empat persegi panjang den-ganpanjangwdanlebarl yangseluruhbagiannyaberadadi dalammedangmagnetik konstan

Byang berarahtegaklurus baikterhadapwmaupunl.Kumparantersebut ditarikmeninggalkanmedanmagnetiksearahdenganwdenganlajuv. Perubahanuksdalamhal ini hanyadiakibatkandari peruba-hanbagiankumparanyangdilaluimedanmagnetik,yaitudBdt=ddt_

B d

A =ddt_BdA =ddtB_dA=ddtB_ldw =ddtBl_dw = Bl_dwdt= Blv. (14.4)BilahanyadiambilbesarnyasajamakadapatdiperolehbahwaEind= Blv. (14.5)Bilakumparantersebutmemilikihambatan RmakaarusinduksiyangmuncultaklainadalahIind= EindR=BlvR, (14.6)sehinggadayayangterdisipasipadakumparanadalahP= EindIind=B2l1v2R. (14.7)Rumusandayainidapatjugadicarilewatgaya denganhubunganP=

F v (14.8)denganarahantarakawat berarus induksi danmedanmagnetiktelahtegaklurussehinggaP= Fv= (IlB)v= IBlv =_BlvR_Blv =B2l1v2R. (14.9)116 CATATAN14. INDUKTANSIAdanyadayadisipasiini menjelaskanmengapabilaterjadisimpul (loop)yangtaklainadalahkumparandenganN=1padascanMRI akanmenyebabkanlukabakar.Apabila bukan kumparan yang digunakan melainkan logam yang mengalami pe-rubahan medan magnetik, maka elektron-elektron dalam logam juga akan berg-erakberputarseakan-akan terdapatsuatupusaranair(eddy)sehingga arusin-duksi yang muncul disebut sebagai arus eddy (eddy current). Dengan sendirinyaarus pusaran iniakan menyebabkan konduktur menjadipanas akibat daya disi-pasidariarusinduksitersebut.Bilasebuahbatangkonduktorberayunkeluarmasuksuatumedanmagnetiktegaklurus, maka pada setiapayunannya, sebagianenergi kinetikakandi-ubah menjadi energi panas sehingga lambat-laun batang tersebut akan kehilan-ganenerginyadanberhenti, sudahtentudenganbatangmenjadi hangatataupanas. Cara yang sama digunakan pada tungku-tungku moderen saat ini untukmelumerkanlogam.14.6 PerubahanmedanlistrikPerubahan medanmagnetikakanmenyebabkanmunculnyamedanlistrik,den-gan demikian hukum Faraday dapat direformulasikan kembali. Untukitudiba-hassuatusituasidimanakonduktorditempatkandalammedanmagnetikyangberubah, yangarahnyategaklurus denganpermukaankonduktor. Elektronataumuatandalambahanakanbergerakmembuat lintasantertutupakibatadanyaperubahanmedanmagnetik,kerjayangdilakukannyataklainadalahW=_

F ds = q0_

E dsEind=Wq0=_

E ds. (14.10)DengandemikianhukumFaradaydapatdituliskandalambentuk_

E ds = dBdt. (14.11)Persamaan (14.11) apabila dikaitkan dengan potensial listrik seperti dalam Per-samaan(10.11) menyatakan bahwa potensial listrik akibat medan listrik yang di-hitung menempuh suatu lintasan tertutup tidak lagi nol apabila terdapat medanmagnetikyangberubah. Dengandemikianmenghitungpotensial listrikdarimedanlistrikinduksi akanmenghasilkankontradiksi. Jadi dapatdisimpulkanbahwapotensial listriktidakmemiliki arti saatdikaitkandenganperistiwain-duksi.14.7. INDUKTORDANINDUKTANSI 11714.7 InduktordaninduktansiInduktor adalah sebuah komponen listrik yang dapat menyimpan energi berupamedan magnetik atau lebih tepatnya uks magnetik. Induktansi adalah kemam-puansuatuinduktor(misalnyasajasolenoidaatautoroida)dalammenyimpanuksmagnetik,yangdidesikansebagaiL =NBI, (14.12)dengan Nadalah jumlahlilitandan Iadalaharus yang mengalirdalam induk-tor.14.8 InduktansisolenoidaSebuahsolenoidaideal memiliki medanmagnetikdi tengah-tengahnyasepertidalamPersamaan(13.50), yaituB=0nI sehingga induktansinya denganmenggunakanPersamaan(14.12)taklainadalahL =NBI=N(BA)I=NBAI=(nl)(0nI)AI= 0n2lA, (14.13)ataudapatpuladinyatakandalambahwainduktansipersatuanpanjangpadadaerahdekatpusatsuatusolenoidapanjangadalahLl== 0n2A. (14.14)Sebagaimanakapasitansi sebuahkapasitor, induktansi sebuahinduktor jugatidak bergantung dari besaran yang membuat induktor bekerja, yaitu arus listrikIdanhanyabergantungdarifaktorgeometriinduktor.14.9 InduksidiriDengan menggunakan Persamaan(14.12) dan Persamaan (14.3) dapat dituliskanbahwaEind= NdBdt= Nd(LI/N)dt= LdIdt. (14.15)Persamaan (14.15)menceritakanbahwasaatarusmembesarakanmuncularusimbas yang berlawanan dengan arus semula dan saat arus mengecil akan muncul118 CATATAN14. INDUKTANSIarusimbasyangsearahdenganarussemula. Tandanegatifdalampersamaantersebutmenjelaskanhalini.14.10 Energi yang tersimpan dalam medangmagnetikBilatidakadadayayangterbuangdalamsebuahkumparanmakadayasuatukumparanadalahP= IEinddUBdt= ILdIdtdUB= LIdIUB=_UB0dUB=_I0LIdI=12LI2. (14.16)Ingat bentukyangmiripdenganenergi medanlistrikyangtersimpandalamsebuahkapasitordalamPersamaan (11.21).Rapatenerginya,denganmelakukansubstitusi Persamaan(13.50)dan(14.13)kedalamPersamaan (14.16),dapatdiperoleh,yaituuB=LI22Al=120n2l2=B220, (14.17)yangwalaupunditurunkanuntuksebuahsolenoidaakantetapi berlakuumumuntukrapat energimedanmagnetik.Catatan15ArusBolak-balikDalambabiniakandibahasmengenaiarusbolak-balikyangmeliputiarusdantegangan rms, tigak rangkaian dasar R, L, dan C, impedansi, analisis rangkaianseriRLC,danresonansirangkaianseriRLC.15.1 Arusdantenganganbolak-balikArusdanteganganbolak-balik,jugaggl,dapatdiungkapkandalambentuksi-nusoidasepertii(t) = I sin(t +0), (15.1)v(t) = Vsin(t +0), (15.2)E(t) = Em sin(t +0). (15.3)Secara umum setiap besaran, arus atau tegangan, pada setiap komponen dapatdituliskandalambentukiX(t) = IX sin(t +0), (15.4)vX(t) = VX sin(t +0). (15.5)15.2 Besaranakarkuadratrata-rata(rms)Terdapat suatu besaran yang merupakan akar rata-rata kuadarat atau rms (rootmeansquare) dariPersamaan (15.1),(15.2),dan(15.3),yaitu119120 CATATAN15. ARUSBOLAK-BALIKIrms=I2(15.6)Vrms=V2(15.7)Erms= Em2. (15.8)Bilasumber teganganmemiliki Ermsdanrangkaianmemiliki impedansi Z=_(XLXC)2+R2maka,kaitannyadenganIrmsuntukrangkaian seriadalahIrms= ErmsZ=Erms_(XLXC)2+R2. (15.9)Besaranrms,misalnyaXrms,dapatdiperolehdarix(t) = Xsin(t +0)lewatXrms=_1T_T0[X sin(t +0)]2dt_12. (15.10)15.3 Dayarata-rataBesaranrmsini muncul dari perhitungandayarata-rataPavg, di manadayasesaatnya adalahP(t)P(t) = [i(t)]2R = I2Rsin2(t +0) (15.11)Pavg=I2R2=_I2_2R = I2rmsR. (15.12)Dengan menggunakan Persamaan (15.9) daya rata-rata dapat ditliskan menjadisehinggadayarata-rata taklainadalahPavg= I2rmsR =_ErmsZ_IrmsR = ErmsIrmsRZ, (15.13)dimanaR/Ztaklainbergantungkonstantafasacos =RZ. (15.14)Dengandemikiandayarata-rata dapatdituliskankembalimenjadi15.4. BEDAFASAPADATEGANGANDANARUSSUMBER 121Pavg= ErmsIrms cos . (15.15)15.4 BedafasapadategangandanarussumberSebuahsumber teganganbolak-balik E(t) atausumber arus bolak-balik I(t)dapatdituliskandalambentukE(t) = Em sin(t +), (15.16)I(t) = Im sin(t +). (15.17)Secaraumumdanadalahbedafasayangdapatmuncul darisumberatauakibatimpedansi rangkaian, yangtaklainadalahpadabagiansebelumnya.Dituliskan berbeda untuk mencegah kesalahan karena menganggap ungkapan padasatupersamaanselalusamadenganungkapan dalampersamaanlain.15.5 RangkaiansumberdanhambatanDalam rangkaian yang terdiri hanya dari sumber dan hambatan dapat dituliskandenganmenggunakanaturansimpul(loop)bahwaE vR= 0, (15.18)sehinggavR(t) = Em sin(t +) = VR sin(t +). (15.19)DenganmenggunakanhukumOhmdapatdituliskanbahwaiR(t) =vR(t)R=VRRsin(t +) = IR sin(t +), (15.20)yangtaklainmenunjukkanhubunganantaraamplitudopadaiR(t)danvR(t),yaituIR=VRR. (15.21)Persamaan(15.20dan(15.19)menunjukkanbahwatidakterdapatperbedaanfasaantaraiR(t)danvR(t).122 CATATAN15. ARUSBOLAK-BALIK15.6 RangkaiansumberdankapasitorPadakapasitor juga berlakucarayangsamadenganpada resistor sehinggadapatdituliskanbahwavC(t) = VC sin(t +), (15.22)dimanahubungannyadenganarusadalahlewatqC= CvC= CVC sin(t +), (15.23)iC=dqcdt= CVc cos(t +), (15.24)iC(t) = IC sin(t + +/2), (15.25)IC=VCXC, (15.26)XC=1C. (15.27)Persamaan (15.22) dan (15.25) menunjukkan hubungan bahwa iC(t) mendahuluivC(t)denganbedafasasebesar/2.15.7 RangkaiansumberdaninduktorSebagaimana pada resistor dan kapasitor, pada induktor juga berlaku cara yangsama,sehinggadapatdituliskanbahwavL(t) = VL sin(t +), (15.28)dimanahubungannyadenganarusadalahlewatvL= LdiLdt(15.29)iL=1L_vLdt =1L_VL sin(t +)dt = VLL cos(t +), (15.30)iL(t) = IL sin(t + /2), (15.31)IL=VLXL, (15.32)XL= L. (15.33)Persamaan (15.28) dan (15.31) menunjukkan hubungan bahwa iL(t) ketinggalandarivL(t)denganbedafasasebesar/2.15.8. RANGKAIANSERIRLCDANIMPEDANSI 12315.8 Rangkaianseri RLCdanimpedansiPadarangkaianseriRLCarusyangmengalirpadasemuakomponenR,L,danCsertadari sumberadalahsama, misalnyasajadapatdipilihbentuksepertidalamPersamaan (15.17),I(t) = Im sin(t +),sehinggaiR(t) = iL(t) = iC(t) = I(t). (15.34)DenganmenggunakanPersamaan(15.22) dan(15.25) untukC, (15.28) dan(15.31), serta untuk L, dan (15.19) dan (15.20) untuk R dapat dituliskan bahwaiR= IR sin(t +), (15.35)vR= VR sin(t +), (15.36)iL= IL sin(t +), (15.37)vL= VL sin(t + +/2), (15.38)iC= IC sin(t +), (15.39)vC= VC sin(t + /2). (15.40)(15.41)Denganmenggunakandiagram fasordapatdituliskanbahwaE2m= (VLVL)2+V2R(15.42)danE(t) = Em sin(t + +). (15.43)Selanjutnya, penerapan Persamaan (15.34) (yang berarti bahwa IR= IL= IC=ImkedalamPersamaan(15.42) akanmemberikanapayangdisebut sebagaiimpedansi,yaituZ=_(XLXC)2+R2(15.44)sehingga124 CATATAN15. ARUSBOLAK-BALIKE(t) = ImZ sin(t + +), (15.45)dengan = arctan_XLXCR_(15.46)daridiagram fasor.15.9 Resonansi rangkaianseri RLCPadarangkaianseri RLCbilayangdigunakanadalahsumberteganganmakaamplitudoarusyangmengalirtaklainadalahIm= EmZ, (15.47)di manaZdalamPersamaan(15.44) akanmemiliki nilai minimumatau ImakanmemilikinilaimaksimumsaatXL= XC(15.48)ataur=1LC. (15.49)Dalam grak antara Imterhadap /rdapat terlihat bahwa semakin kecil nilaiRmakaakansemakintajampuncakkurvaresonansinya.15.10 Daya disipasi rata-rata tegangan bolak-balikDayarata-ratayangterdisipasi padatransmisi teganganbolak-baliktaklainadalahP(dis)avg= EI= V I= I2R. (15.50)15.11. PERTANYAAN 125Jadi biladayarata-ratasumber adalahP(0)avgmakadayayangditerimapadaujungkabeltransmisiadalahPavg= P(0)avgI2R. (15.51)Dengandemikianaturanumumenergi transmisi adalahalirkanlistrikdalamtegangansetinggimungkindanarusserendahmungkin.15.11 Pertanyaan1. Apakahperbedaan antara tegangan bolak-balik dengan tegangan searah?Jawab. Tegangan bolak-balik memiliki nilai tegangan yang selaluberubah secara teratur, berosilasi dengan waktu, misalnya sinusoida,sedangkantegangansearahselalumemilikinilaiteganganyangtetap.2. Bilaarusmelalui resistorR, induktorL, dankapasitorCmemiliki fasaawal yangsama, bagaimanakahteganganpadaketigakomponenlistriktersebut?Jawab. TeganganpadaRakanmemiliki fasaawal yangsamadenganarusnya, teganganpadaLakanmemiliki fasaawal yanglebihbesar/2dari fasa awal arusnya, dan tegangan pada kapasitor Cakan memiliki fasaawalyanglebihkecil/2darifasaawalarusnya.3. Pada rangkaian seri RLC,saat kapankahimpedansirangkaian Zbernilaimininmum?Apanamakeadaanini?Jawab. NilaiZmintercapai saat XL= XCatau = (LC)1/2. Keadaantersebutdisebutsebagaikeadaanresonansi.4. Suatusumber teganganbolak-balikmemiliki Vmaks=2V, berapakahteganganefektifsumbertersebut?Jawab. Ve= Vmaks/2 =2V.5. Terdapatsebuahresistor1k, sebuahinduktor20H, dansebuahkapa-sitor 20 F. Pada frekuensi berapakah ketiga komponen tersebut memilikihambatan/reaktansiyangsama?Jawab. R=103. =XL/L =103/20 =50 rad/s atau =1/(XCC) = 1/(103 20 106) = 50rad/s.15.12 Problem1. Terdapat sumber arus bolak-balik yang memiliki fungsi IS(t) =0.2 sin(100t)A. TentukanlahIavgdanIrmsdarisumberarustersebut!JawabBentukIS(t)=Asin(2t/T)memberikanT=0.02satauf =1/T= 50Hz. SelanjutnyaIavgdapatdihitungmelalui126 CATATAN15. ARUSBOLAK-BALIKIavg=1T_T0IS(t)dt=10.02_0.0200.2 sin(100t)dt = 0.001[cos(100t)]0.02t=0= 0.001(1 1) = 0.SedangkanIrmsdihitungmelaluiIrms=_1T_T0[IS(t)]2dt_12=_10.02_0.020[0.2 sin(100t)]2dt_12=_0.040.02_0.020sin2(100t)dt_12=_0.040.02_0.020sin2(100t)dt_12=_0.040.02_0.020_12 12 cos(200t)_dt_12=_2_t2 sin(200t)400_0.02t=0_12=_2_0.02 021 1400_0.02t=0_12= [2 (0.01 0)]12= 0.12A.2. Sebuah rangkaian seri terdiri dari sumber arus bolak-balik (tegangan mak-simum100 V,frekuensi10/Hz),hambatan30,induktor5H,danka-pasitor 83313F. Tentukanlah impedansi rangkaian, arus maksimum yangmengalirdalamrangkaian,danfaktorfasarangkaian.JawabXL= L = 2fL = (2)(10/)(5) = 100.XC=1C=1(2)(10/)(2500/3 106)= 60.Z=_(XLXC)2+R2=_(100 60)2+ 302= 50.Imax=VmaxZ=10050= 2A.tan =XLXCR=100 6030=43 = arctan 43= 53.1.3. Sebuahinduktortakidealmemilikisifatresistivitif. SebuahsumberarusdenganbentukI(t) = 200sin(100t) mAdipasangkan padainduktordanmemberikan tegangan bacaan V (t) = 102sin(100t +/4) V. Tentukan-lahinduktansidanresistansiinduktortakidealtersebut.JawabZ= Vmax/Imax= 102/0.2 = 502.XC= 0 XL= Z sin = 502 sin/4 = 50 L =XL=5050= 1H.XC= 0 R =_Z2X2L=5000 2500 = 502.15.12. PROBLEM 1274. Sebuahsumberteganganyangmemiliki teganganmaksimum50Vmen-galiri sebuahrangkaianseri RLC. BilaR=25, L=50mH, danC=20F, tentukanlaharus maksimumpadakeadaanresonansi dantentukanpulafrekuensiresonansirangkaian seriRLCtersebut.JawabSaatresonansiXL=XC Z=RsehinggaImax=Vmax/Z=Vmax/R = 50/25 = 2A.=1LC=1_(50 103)(20 106)= 1000rad/sf=2=10002=500= 159.2Hz.5. TerdapatduabuahrangkaianseriRCyaitudengannilai hambatandankapasitansinya berturut-turut adalah Rdan C1untukrangkaian pertamadan R dan C2 untuk rangkaian kedua. Kedua rangkaian tersebut dipasangsecara terpisahpadasumber arusyang memilikifasaawal, frekuensi,danarus maksimumyangsama. Bilaselisihbedafasateganganrangkaianadalah = 12dan perbandingan tegangan maksimum pada keduarangkaian adalah rV= V1,max/V2,max,tentukanlah nilai C2sebagai fungsidaridanC1. Tentukanpulanilair2V .JawabXL=0 Z=_R2+X2CsehinggaZ1=_R2+ (C1)2danZ2=_R2+ (C2)2.rV=V1,maxV2,max=Z1ImaxZ2Imax=Z1Z2r2V=R2+ (C1)2R2+ (C2)2=4C21C22R2+2C224C21C22R2+2C21=2C21C22R2+C222C21C22R2+C21.tan1=XC1Rdantan 2=XC2R.tan = tan(12) =tan 1tan 21 tan 1 tan2=R(XC1XC2)R2XC1XC2(R2XC1XC2) tan = R(XC1XC2)XC2(R XC1 tan ) = R(XC1Rtan )XC2= R_XC1Rtan R XC1 tan _ = R_1 C1RtanC1R tan _C2=C1R tan R(1 C1Rtan )Darihasilterakhirdapatdicarir2V (C1, )darir2V (C1, C2).6. Sebuahpembangkitlistrikmenghasilkandayarata-rata500MW. Ham-batan kabel adalah 10 untuk panjang 100 km. Tentukan daya rata-ratayangterdisipasi apabilalistrikdialirkandenganVrms=100kVdan500kVdantentukanpulapersentasenya. Manayanglebihbaik?128 CATATAN15. ARUSBOLAK-BALIKJawabIrms= Pavg/VrmsUntukVrms= 100kVIrms=PavgVrms=5 108105= 5 103AP(dis)avg= [Irms]2R = (5 103)2(10) = 25 107W = 250MW.P(dis)avgPavg=250 106500 106 100% = 50%.UntukVrms= 500kVIrms=PavgVrms=5 1085 105= 103AP(dis)avg= [Irms]2R = (103)2(10) = 107W = 100MW.P(dis)avgPavg=100 106500 106 100% = 20%.Lebih baik melakukan transmisi listrik dengan tegangan lebih tinggikarenapersentasedayayangterdisipasilebihrendah.7. TeganganrmssuaturangkaianseriRLadalah100Vdanarusrmsyangmengalir adalah 1.5 A. Bila daya rata-rata yang terukur adalah 106 W danhambatanbernilai 100tentukanlahnilai induktansi dalamrangkaiantersebut. Frekuensisudutarusdanteganganadalah10rad/s.JawabPersamaan yang mengaitkan antara daya rata-rata dengan tegan-ganrmsdanarusrmsadalah Pavg= VrmsIrms cos .cos =PavgVrmsIrms=106(100)(1.5)= 0.707 = 45.tan =XLR=LRL =Rtan =(100)(1)10= 10H.8. Suatu rangkaian paralel RLCdipasangkan dengan sumber tegangan yangmemiliki tegangan maksimumVS. Rumuskan bagaimana impedansirangkaianinidanbedafasaantaraarusdengantegangannya.JawabPadarangkaianparalelteganganpadamasing-masingkomponenR, L, dan Cadalah sama. Sedangkan arus pada ketiga komponen tersebutharusdijumlahkansecarafasorIS=_(IC IL)2+I2R,di manamasing-masingarusdapatdihitungmelaluiIX=VS/XdenganX= R, XL, XC.VSZ=_VCXCVLXL_2+_VRR_2, VR= VL= VC= VS1Z=_1XC1XL_2+_1R_2dantan =X1CX1LR1.15.12. PROBLEM 1299. Pada sebuah komponenmurni denganresistansi atau kapasitansi (in-duktif ataukapasitif) Xarus yang mengalir memiliki fungsi IX(t) =Imax sin(t + )danteganganyangterukurpadakeduaujung-ujungnyamemiliki fungsi VX(t) =Vmax sin(t + ). ApakahkomponentersebutmerupakanR, L, atauC? Bagaimanacaramenentukannya? LaluapahubunganantaraImaxdanVmax?JawabDengan XL= L dan XC= (C)1maka hubungan antara ImaxdanVmaxadalahlewatVmax= ImaxX, X= R, XL, XC.Kemudian = ,dimana:(a) = 0bilaX= R,(b) = /2bilaX= XL,dan(c) = /2bilaX= XC.10. Pola Lissajous berbentuk elips tegak atau mendatar dapat terbentuk saattegangan dengan fungsi VA(t) = Acos(t +)dan VB(t) = Bcos(t +)disuperposisikan secara tegak lurus di mana || = /2. Bila teganganVA(t)diukurpada ujung-ujungsebuahresistor yang diserikan dengansu-atu komponen lain dalam rangkaian seri RLCdan tegangan VB(t) diukurpada komponen lain, apakah jenis komponen lain di mana tegangan VB(t)diukur? Jelaskan. Misalkansajaarus yangmengalir dalamrangkaianadalahI(t) = Imax cos(t).JawabKomponenlaindimanategangan VB(t)diukurdapatberupain-duktor ataupunkapasitor. Denganarus yangmengalir adalahI(t) =Imax cos(t),makateganganpadamasing-masingkomponenadalahVR(t) = ImaxRcos(t).VL(t) = ImaxXLcos(t +/2).VC(t) = ImaxXC cos(t /2).Dengan demikian pasangan VR(t) dan VL(t) atau pun pasangan VR(t) danVC(t)yangdisuperposisikansecarategaklurusmemenuhi syaratdi atasuntukmenghasilkan polaLissajous berbentukelipstegak ataumendatar.130 CATATAN15. ARUSBOLAK-BALIKCatatan16Persamaan-persamaanMaxwellDalambabini akandibahas mengenai persamaan-persamaanMaxwell yangmenunjukkankaitanyangeratantaramedanlistrikdenganmedanmagnetik.Setelah dalambab-bab sebelumnya dibahas mengenai hukumGauss untukmedanlistrik, hukumFaraday-Lenz, danhukumAmpere. Maxwell memodi-kasi hukumAmperedenganmenambahkansukuarusperpindahan(displace-mentcurrent). Kemudian iamenggabungkan hukumGauss untukmedanmag-netikkeempatpersamaan yangadadandisebutsebagai persamaan-persamaanMaxwell.16.1 HukumGaussuntukmedanmagnetikDenganbentukyangmiripdenganhukumGaussuntukmedanlistriksepertidalam Persamaan (9.4),hukum Gaussuntukmedanmagnetikmemilikibentuk_

B d

A = 0. (16.1)Ruas kanan Persamaan (16.1) yang bernilai nol menyatakan bahwa tidakmungkinterdapat jumlahmuatanmagnetik ataukutubmagnet individual(hanya kutub U atau S) yang terlingkupi dalam permukaan Gauss. Dengan katalain, persamaantersebut menyatakanbahwatidakterdapat(tepatnyabelumsampaisaatini)monopolmagnetik.131132 CATATAN16. PERSAMAAN-PERSAMAANMAXWELL16.2 MedanmagnetikinduksiSebagaimana hukum induksi Faraday (atau ada yang menyebut sebagai hukumFaraday-Lenz) seperti dalamPersamaan (14.11), Maxwell mengungkapkanbahwaperubahanmedanlistrikpunakanmenghasilkanmedanmagnetik_

B ds = 00dEdt, (16.2)di mana dibandingkan dengan Persamaan (14.11), dalam Persamaan (16.2) ter-dapatkonstanta00dantidakterdapattandanegatif.Contohuntukinduksi jenisini adalahdalamsebuahkapasitordenganpenam-pangnyaberbentuklingkaran. Perubahanmuatanlistrikpadakeduapelatka-pasitor diasumsikanberubahsecaratetapakibat perubahanarus I yangdi-gunakan, dengandemikianmedanlistrikdi antarakeduapelatjugaberubahsecaratetap.Denganmengambilsebuahsimpul(loop)didalamdaerahdiantarapelat,bilamedanlistrikberubahmakaukslistrikjugaakanberubahdanmenurutPer-samaan(16.2)akanmunculmedanmagnetikinduksidisekelilingsimpul.Hasil eksperimenmenunjukkanbahwamedanmagnetikinduksi muncul den-ganarahsearahdenganperubahanukslistrik. Medanmagnetikinduksi inimemiliki besar yang sama di sepanjang simpul berbentuk lingkaran yang berartimemilikisimetrilingkaran terhadap pusat pelat kapasitor berbentuklingkaran.Bilasekarangdiamati daerahdi luar pelat kapasitor, padaposisi r >Rpelatmakateramati pulaterjadinyamedanmagnetikinduksi. Medanmagnetikin-duksi termati, baikdi dalampelat maupundi luar pelat, saat terdapat pe-rubahan medan listrik. Saat medanlistrik tidak lagi berubah,medanmagnetikinduksiinipunhilang.16.3 HukumAmpere-MaxwellDengan melakukan kombinasi hukum Ampere dalam Persaman (13.34) ke dalamPersamaan (16.2)dapatdiperoleh_

B ds = 00dEdt+0Iin. (16.3)Bila tidak terdapat perubahan medan listrik akan tetapi terdapat arus yang ter-lingkupi maka Persamaan (16.3) akan membali menjadi hukum Ampere, sedan-gkan bila tidak terdapat arus yang terlingkupi tetapi terdapat perubahan medanlistrikmakapersamaantersebutakanmenjadihukuminduksiMaxwell.16.4. ARUSPERPINDAHAN 13316.4 ArusperpindahanSuku pertama dalam Persamaan (16.3) memiliki dimensi arus dan dapat diang-gapsebagai suatuarusksi yangdinamakanaruspermindahan(displacementcurrent)IdId= 0dEdt. (16.4)Istilah perpidahan (displacement) dipilih walaupun tak ada yang pindah. Suatubentukpemilihanistilahyangkurangbaiktetapi sudahterlanjur digunakansecaraluas. SelanjutnyaPersamaan (16.3)dapatdituliskankembalimenjadi_

B ds = 0Id +0Iin, (16.5)yangmengatakanbahwabahwaarus perpindahanIdjugaterlingkupi dalamlintasanAmpereyangdipilih.Muatankapasitor terkaitdengan dimensidanmedanlistrikyang adadiantarakeduapelattaklainadalahq= 0AE, (16.6)yangapabiladiturunkanterhadapwaktuakanmemberikanarus listrikyangdigunakanuntukmengisikapasitor,yaituI=dqdt= 0AdEdt. (16.7)Selanjutnya, untuk menurunkan arus perpindahan digunakan Persamaan (16.4)denganmengasumsikanmedanlistrikdiantarakeduapelat bersifat seragam(mengabaikanefek-efekpinggir),sehinggaId= 0dEdt= 0d(EA)dt= 0AdEdt, (16.8)yangmenunjukkanbahwaId= I. (16.9)134 CATATAN16. PERSAMAAN-PERSAMAANMAXWELL16.5 MedanmagnetikakibatarusperpindahanArusinduksi Idatauarusksi yangseakan-akanadadi daerahantarakeduapelat kapasitor berbentuk lingkaran adalah arus yang menyebabkan medan mag-netikinduksiBind. UntukituIddapatdiperlakukansepertihalnyasuatuarussebenarnya. DenganmenggunakanhukumAmperedanrapatarus(perpinda-han)yangseragamdapatdiperolehungkapanyangmiripdengansepertitelahditurunkansebelumnyadalamPersamaan (13.45),yaituBind=0Id2_/R2, 0 < < Rpelat1/, > Rpelat. (16.10)16.6 Persamaan-persamaanMaxwellTerdapat empat persamaan fundamental yang menggambarkan fenomena-fenomena dalam elektormagnetisme, yang disebut sebagai persamaan-persamaanMaxwell.16.6. PERSAMAAN-PERSAMAANMAXWELL 135Tabel 16.1: Persamaan-persamaanMaxwell merupakanpersamaan-persamaanfundamentaldalamelektromagnetisme.Nama Persamaan PenjelasanHukum Gaussuntuk ke-listrikan_

E d

A =qin0Mengaitkan jumlahuks medan listrikdengan jumlah mu-atan listrik yangterlingkupi.Hukum Gaussuntuk kemag-netan_

B d

A = 0 Mengaitkan jumlahuks medan mag-netik denganjumlahmuatan (monopol)magnetik yang ter-lingkupi.Hukum Fara-day(-Lenz)_

E ds = dBdtMengaitkan induksilistrik dengan pe-rubahanuksmedanmagnetik.HukumAmpere-Maxwell_

B d

A = 00dBdt+0IinMengaitkan medanmagnetik induksidengan perubahanuks medan listrikdanadanyaarus.136 CATATAN16. PERSAMAAN-PERSAMAANMAXWELLCatatan17GelombangElektromagnetikHal-hal mengenai gelombang elektromagnetik (EM) akan dibahas dalam bab inimeliputi sifat-sifatnya, penurunanpersamaangelombangplanar, perambatanenergi dan vektor Poynting, polarisasi, pemantulan dan pembiasan, pemantunalinternaltotal,danpolarisasiakibatpemantulan.17.1 Sifat-sifatgelombangelektromagnetikGelombangEMmerambatdalamvakumdenganlajuc. SpektrumgelombangEMamat luas,mulaidari panjanggelombang 108muntukgelombang panjang(longwaves),laluadagelombangradio,inframerah,cahayatampak(400-700nm), ultraviolet, sinar-X, sampai radiasi gammadenganpanjanggelombang1011m. Frekuensi gelombangEMdalamvakumdengansendirinyamemilikirentang antara 10 -1024Hz. Hubunganantara frekuensi fdanpanjanggelom-bangdapatdicarilewatv= f, (17.1)dimanadidalamvakumv= c, (17.2)denganc =100= 299792458m/s 3 108m/s. (17.3)137138 CATATAN17. GELOMBANGELEKTROMAGNETIKGelombangEMdapat dibangkitkandenganmenggunakansebuahrangkaianRLCsaat terjadi resonansi sehingga frekuensi osilasi rangkaian tersebut adalahf=1/2LC. PadabagianLdigunakantrafosehinggaterjadi induksi padakumparansekunderyangmeneruskankesebuahantenadipol, masing-masingbagian antena terhubung pada ujung-ujung kumparan sekunder. Karena dalamran