Fisika Komputasi

LAPORAN AKHIR MATA KULIAH FISIKA KOMPUTASI

PRAKTIKUM UJIAN AKHIR TAKE HOME

RATRI BERLIANA

1112100114

Dosen :

Sungkono, M.Si.

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2015

Soal 1. Diberikan tiga persamaan sebagai berikut

Dengan menggunakan metode Newton-Raphson, selesaikan ketiga persamaan tersebut secara

simultan untuk mengestimasi nilai x,y,dan z. Jika

2. Sebuah batu dilemparkan dengan kecepatan horizontal 30m/det dengan sudut lemparan

sebesar 60 derajat dari sumbu x. Jika batu tersebut dilemparkan dari ketinggian 60 meter.

a. Turunkan persamaan vy (t), y(t) dan y(x)

b. Hitung dengan menggunakan metode Newton, Bisection, dan Secant untuk

mengetahui waktu yang dibutuhkan agar batu mencapai ketinggian maksimum dan

agar batu mencapai ke tanah. Selain itu juga, hitunglah x ketika batu sampai ke tanah.

3. Dengan menggunakan prinsip finite difference, hitung solusi dari persamaan

Dengan banyaknya grid dalam finite difference sebanyak 30.

4. Cari solusi minimum global suatu fungsi banana

Dengan range [-5,5] untuk x dan y menggunakan salah satu metode variant PSO (G-PSO,CC-

PSO,CP-PSO,PP-PSO,RR-PSO,dan lain-lain)

Penyelesaian :

1. Penyelesaian dengan menggunakan Metode Newton-Ramphson didasari pada konsep basic

yaitu deret Taylor sehingga dapat diberikan rumus finite different sebagai berikut :

Dengan tidak memperhitungkan orde dua dan orde yang lebih tinggi, maka persamaan dalam

deret Taylor tersebut menjadi

Atau dapat ditulis menjadi

dengan J adalah matriks Jacobian yang berukuran n x n, yang berisikan turunan parsial

Asumsikan bahwa x adalah pendekatan untuk mencari solusi f(x)=0 , dan x+Δx menjadi

solusi perbaikan. Untuk mencari koreksi dari Δx, f(x+Δx)=0 sehingga persamaan menjadi

Untuk menyelesaikan persamaan dengan metode Newton-Raphson secara simultan dilakukan

tahap-tahap berikut

Mengestimsi solusi dari vector x

Mengevaluasi fungsi f(x)

Menghitung matriks Jacobian J(x)

Membentuk persamaan yang simultan dan menyelesaiakan Δx

Menjadikan nilai x menjadi x+ Δx

Kembali ke poin 2 hingga 5

Untuk nilai dari jacobian adalah

Sehingga ketiga persamaan di atas dapat diselesaikan dalam algoritma matlab sebagai berikut

untuk fungsi dasar-nya :

Dimana x ditulis sebagai x1 dan y sebagai x2 serta z sebagai x3. Penjelasan fungsi di atas

adalah :

Baris 1 : menyatakan nama dari fungsi yang digunakan, yaitu fungsi yang ada pada soal

nomor 1.

Baris 2 : menyatakan penulisan persamaan pertama dari yang diberikan pada soal.

Baris 3 : menyatakan penulisan persamaan kedua dari yang diberikan pada soal, variabel z

tetap ditulis agra dimensi matriks sama namun bernilai nol.

Baris 4 : menyatakan penulisan persamaan ketiga dari yang diberikan pada soal, koefisien

diberikan nol untuk mempertahankan bentuk matriks.

Selanjutnya untuk metode jacobian diberikan fungsi sebagai berikut :

Dimana :

Baris 1 : menunjukkan nama fungsi jacobian.

Baris 2 : menyatakan penjelasan dari fungsi jacobian

Baris 3 : menyatakan nilai h yang digunakan dalam persamaan jacobian di atas sebesar 10-4

,

dimana h merupakan selisih antara titik 1 dan 2.

Baris 4 : menunjukkan nilai banyaknya fungsi yang akan diturunkan

Baris 5 : menunjukkan matriks dengan ukuran n x n dengan seluruh nilai matriksnya nol.

Baris 6 : menunjukkan fungsi awal yang digunakan dalam variabel x.

Baris 7 : menunjukkan iterasi perulangan/looping yang bergerak dari 1 hingga n

Baris 8 : menyatakan iterasi pada fungsi x(i)

Baris 9 : menyatakan nilai hasil iterasi yang telah ditambah dengan nilai h.

Baris 10 : menyatakan fungsi f1 yang merupakan fungsi dari persamaan yang akan

diselesaikan.

Baris 11 : menyatakan nilai x(i) sebagai nilai perulangan

Baris 12 : menyatakan nilai perhitungan berulang dengan persamaan

hingga semua fungsi dioperasikan.

Baris 13 : menyatakan bahwa fungsi diakhiri.

Setelah itu dilanjutkan dengan melakukan penyelesaian fungsi utama dengan menggunakan

fungsi Newton-Raphson sebagai berikut :

Dimana dapat dijelaskan bahwa :

Baris 1 : memberikan nama fungsi newton ramphson2, root merupakan akar dari persamaan,

dimana dalam fungsi ini yang akan diselesaikan adalah nilai toleransi, nilai x, pada

persamaan basic pada fungsi persoalan yang telah diberikan.

Baris 2 : menyatakan jumlah argumen dalam fungsi input sebesar 2 dan nilai toleransi yang

diberikan sebesar 104x 2

-54 karena eps = 2

-54.

Baris 3 : menyatakan akhir dari fungsi if.

Baris 4 : menyatakan perintah bahwa ketika ukuran dimensi matrik x*1 dan nilai x’ adalah x,

maka x yang baru merupakan nilai x yang lama.


Baris 6 : menyatakan nilai i berjalan dari 1 hingga 30, iterasi yang diberikan sebanyak 30

kali.

Baris 7 : menyatakan fungsi Jacobian

Baris 8 dan 9 : menyatakan akar kuadrta dari perkalian dort antara vektor matriks fungsi

kemudian dibagi dengan besarnya x yang lebih kecil dari nilai toleransi, maka akarnya adalah

nilai x, kemudian hal ini diulangi.


Baris 11 : menyatakan besarnya dx adalah matriks jacobian yang bekerja dalam fungsi f0

Baris 12 : menyatakan persamaan x=x+dx

Baris 13 : menyatakan persyaratan jika akar kuadrat dari perkalian dot antara dx dan dx

dibagi dengan banyaknya x adalah bernilai kurang dari toleransi maksimum dari nilai absolut

1.

Baris 14 : menyatakan akar persamaannya adalah x, dan perhitungan kembali.

Baris 15 dan 16 : meyatakan akhir dari fungsi x.

Baris 17 : menyatakan fungsi ini error apabila iterasi yang dilakukan terlalu banyak, sehingga

pencarian akar penyelesaian dari persamaan yang diberikan tidak dapat ditemukan.

Solusi dari persamaan soal dapat dihitung dengan single command dalam command window

dengan menuliskan :

Command tersebut berate perintah untuk menjalankan fungsi newtonRaphson2 pada

persamaan fquest1, dan dalam bentuk matriks berdimensi 1 x n. Hasilnya adalah sebagai

berikut :

Hasil diatas menyatakan bahwa nilai x adalah 1,5616, nilai y adalah 1,8113, dan z adalah

2,8776. Dimana hasil ini menunjukkan nilai yang sama walaupun jumlah iterasi yang

digunakan lebih banyak dibandingkan 30 kali. Sehingga dapat disimpulkan bahwa hasil

tersebut merupakan hasil penyelesaian yang sesuai.

2. Pada soal diketahui bahwa kecepatan horizontal batu adalah 30 m/s , sudut elevasi

lemparan adalah 60derajat, sedangkan titik awal batu dilemarkan adalah pada ketinggian

60meter di atas tanah. Permasalahan ini dapat digambarkan dalam permodelan berikut :

a.) Persamaan yang digunakan :

60meter

Sehingga dapat diturunkan nilai Vo sebagai berikut :

b.) 1. Waktu yang digunakan batu mencapai tanah :

Sehingga dapat dituliskan algoritama basicnya sebagai berikut :

Dimana :

Baris 1 : menyatakan nama fungsi dalam variabel waktu (t)

Baris 2 : menyatakan fungsi waktu yang digunakan sesuai dengan penurunan rumus

di atas.

Pada Metode Newton Raphson, dapat dituliskan sebagai berikut :

Dimana :

Baris 1 : menyatakan clc yang berfungsi menghapus command window, close all

berfungsi menutup semua gambar, dan clear all berfungsi untuk menghapus data

worksheet.

Baris 2 : merupakan nilai tebakan awal.

Baris 3 : menunjukkan nilai dt yang digunakan, sebagai nilai dt secar aumum yang

digunakan dalam semua fungsi.

Baris 4 : menunjukkan nilai dt yang digunakan

Baris 5 : menunjukkan jumlah iterasi yang digunakan

Baris 7 : menunjukkan perulangan/looping yang dilakukan dengan menggunakan

nilai ii yang berjalan dari 1 hingga n/

Baris 8 : menyatakan fungsi umum dengan metode Newton Raphson

dengan x adalah t, dan fungsi x adalah fungsi waktu dalam t.

Baris 9 : menyatakan fungsi untuk menampilkan hasil

Baris 10 : menyatkan akhir dari fungsi.

Kemudian di berikan pula fungsi basic different sebagai berikut :

Dimana

Baris 1 : menyatakan nama fungsi dalam t dan dt

Baris 2 : menyatakan nilai dt yang digunakan untuk fungsi yang terkait.

Baris 3 : menyatakan persamaan turunan differensial

Baris 4 : menyatakan akhir fungsi

Hasil yang diberikan adalah

Sehingga dapat diketahui bawha solusi di atas menunjukkan nilai yang sama yaitu 11, 448

dari iterasi 3 hingga 20. Dapat disimpulkan bahwa nilai t yang dicari adalah 11, 448.

Untuk Metode Bisection dapat digunakan algoritma fungsinya sebagai berikut :

Dimana :

Baris 1 : menyatakan clc yang berfungsi menghapus command window, close all berfungsi

menutup semua gambar, dan clear all berfungsi untuk menghapus data worksheet.

Baris 2 : menyatakan nilai batas awal dan batas bawah awal.

Baris 3 : menyatakan jumlah iterasi

Baris 4 : menyatakan nilai dari m(1) yang merupakan batas bawah awal.

Baris 5 : menyatakan nilai dari m(2) yang merupakan batas atas awal dan batas bawah awal

dibagi dua. Sehingga disimpukan m2 merupakan titik yang berada dia antara batas atas dan

batas bawah awal.

Baris 7 : menyatakan iterasi yang dilakukan dalam ii yang bernilai dari 1 hingga jumlah

iterasi yang diberikan.

Baris 8 : menyatakan persamaan jika memenuhi syarat untuk mendapatkan solusi f(a)f(b)<0,

maka perhitungan dapat dilakukan.

Baris 9 : menyatakan nilai batas bawah akan menjadi a(ii+1)=m(ii+1)

Baris 10 : menyatakan nilai pada batas atas b(ii+1) akan menjadi b(ii) yang berlaku adalah

jika persamaan memenuhi persyaratan maka batas bawah akan bergerak lebih selangkah lebih

maju dari batas pada saat iterasi dan batas bawahnya sesuai dengan iterasi yang sebelumnya.

Baris 11 : menyatakan penjelasan yang tidak akan beroperasi karena hanya sebuah komentra.

Baris 12 : menyatakan jika persamaan tidak memenuhi syarat pada baris 8 maka dilakukan

perintah pada baris 13

Baris 13 : menyatakan nilai a(ii+1) akan menjadi a(ii)

Baris 14 : menyatakan nilai b(ii+1) akan menjadi m(ii+1)

Baris 15 : menyatakan penjelasan yang tidak akan beroperasi karena hanya dalam sebuah

fungsi.

Baris 16 : menyatakan fungsi berakhir.

Baris 17 : menyatakan persamaan umum dari metode bisection

Baris 18 : menyatakan fungsi display hasil metode bisection


Sehingga didapatkan hasil sebagai berikut :

Solusi yang tertera di atas dari iterasi 11 hingga 22 menunjukkan nilai konstan yang sama

yaitu 11, 45. Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai t yang didapat dalam metode ini adalah

sebesar 11,45.

Untuk Metode Secant digunakan algoritma sebagai berikut :

Dimana :

Baris 1 : menyatakan clc yang berfungsi menghapus command window, close all berfungsi

menutup semua gambar, dan clear all berfungsi untuk menghapus data worksheet.

Baris 2 : menyatakan nilai tebakan awal t(1)

Baris 3 : menyatakan nilai tebakan t(2), dimana nilai tebakan ini sebagai x1 dan x2 dalam

persamaan secara umum.

Baris 4 : menyatakan nilai dari f(1) sebagai fungsi waktu 1 dikerjakan dengan menggunakan

nilai t(1).

Baris 5 : menyatakan nilai dari f(2) sebagai fungsi waktu 1 dikerjakan dengan menggunakan

nilai t(2).

Baris 6 : menyatakan jumlah iterasi yang digunakan

Baris 8 : menyatakan pengulangan/looping yang didasarkan pada nilai k yang bergerak dari

nilai 2 hingga ke nilai akhir jumlah iterasi yang diberikan.

Baris 9 : menyatakan persamaan umum metode secant

dengan x

merupakan t dan y merupakan fungsi waktu(t).

Baris 10 : menyatakan nilai t(k+1) pada baris 9 dimasukkan dalam fungsi waktu dengan k+1.

Baris 11 : menyatakan fungsi display untuk hasil

Baris 12 : menyatakan akhir dari fungsi.

Sehingga didapatkan hasil berikut :

Sehingga dapat disimpulkan bahwa solusi yang konstan terlihat pada metode ini adalah

sebesar 11,448.

Untuk jarak batu di tanah (X), dapat digunakan persamaan

Sehingga persamaan matlabnya dapat dituliskan sebagai berikut :

Dimana

Baris 1 : menyatakan nama fungsi berupa jarak.

Baris 2 : menyatakan persamaan fungsi untuk penyelesaian di atas

Baris 3 : menyatakan fungsi diakhiri.

Hasil yang didapatkan adalah jarak bola mendarat di tanah adalah 343,5 meter dari titik awal.

Untuk waktu yang dibutuhkan agar batu mencapai ketinggian maksimum digunakan

persamaan umum sebagai berikut :

untuk algoritma matlabnya dapat diberikan sebagai berikut :

Untuk metode Newton-Raphson :

Untuk metode Secant :

Untuk Metode Bisection :

Maka dapat diketahui bahwa waktu yang dibutuhkan untuk mencapai Ymax adalah 5 detik.

3. Turunan dari pendekatan turunan berhingga untuk turunan f(x) berdasarkan pada ekspansi

maju dan ekspansi mundur f(x) dalam deret Taylor, seperti

4. Fungsi banana adalah

Akan diselesaikan dengan metode CP-PSO

a. Pertama fungsi banana yang akan digunakan ditulis sebagai

Dimana :

Baris 1 : menyatakan nama fungsi banana, variabel yang digunakan adalah x.

Baris 2 : menyatakan jumlah populasi yang digunakan dapat digunakan dengan fungsi yang

lain.

Baris 3 : menyatakan nilai ii berjalan dari fungsi 1 hingga banyaknya populasi (untuk

iterasi/looping)

Baris 4 : menyatakan fungsi banana dalam nilai ke ii, nilai x ditulis x(1) dan y ditulis x(2).

Baris 5 : menyatakan akhir fungsi.

Dalam penyelesaian solusi minimum dalam range [-5,5] dengan menggunakan metode CP-

PSO, fungsi-fungsi yang berkaitan adalah fungsi inisial, fungsi syarat, dan fungsi optimum

local.

Fungsi syarat yang digunakan adalah sebagai berikut :

Dimana :

Baris 1 : menyatakan nama fungsi yang bersangkutan, fungsi merupakan fungsi syarat dalam

variabel X.

Baris 2 : menyatakan nilai batas atas dan bawah yang digunakan adalah nilai batas yang

digunakan pada semua fungsi.

Baris 3 : menyatakan matriks berdimensi m x n

Baris 4 : menyatakan perngulangan yang dilakukan, nilai ii diperoleh dari 1 hingga m.

Baris 5 : menyatakan perulangan berikutnya dengan menggerakkan jj dari 1 hingga n,

pengulangan ini menggambarkan setiap ii berkerak 1 maka jj akan bergerak dari 1 hingga n.

Baris 6 : menyatakan jika nilai X ke ii dan ke jj lebih kecil dari batas bawah X ke jj maka

Baris 7 : nilai x(ii,jj) nilai x ke I dan y ke J

Baris 8 : menyatakan jika nilai x dan y lebih besar dari batas atas y ke jj

Baris 9 : maka persamaan pada baris 8 akan memenuhi persamaan pada baris ke 9, dengan

dikalikan dengan nilai batas y bawah dengan nilai random.

Baris 10 hingga 13 : menyatakan fungsi berakhir.

Fungsi ini merupakan fungsi syarat yang digunakan dalam penyelesaian fungsi CP-PSO.

Fungsi syarat ini berisi tentang fungsi apa yang harus dijalankan untuk kasus-kasus jika

penyelesaian berada di luar batas atas dan batas bawah. Kemudian untuk fungsi optimum

local.

Dimana :

Baris 1 : menyatakan nama fungsi yang akan digunakan, Fungsi tersebut berisikan X, Pbest,

Ybest, dan Y. dengan X adalah posisi partikel saat ini, Pbest adalah posisi partikel terbaik,

dan Ybest adalah posisi partikel dalam sumbu Y yang mana berisikan posisi partikel terbaik,

dan Y adalah posisi partikel dalam Y.

Baris 2 : menyatakan ukuran matriks yang digunakan adalah matriks berdimensi m x n

Baris 3 : menyatakan Pengulangan yang dilakuakn dari nilai ii, ii ini akan berjalan dari nilai 1

hingga nilai m.

Baris 4 : menyatakan jika posisi partikel lebih besar atau melebihi dari posisi partikel terbaik.

Baris 5 : menyatakan Jika posisi partikel lebih besar atau melebihi dari posisi partikel terbaik

Baris 6 : menyatakan posisi Y merupakan Y yang terbaik.

Baris 7 : menyatakan komentar yang tidak akan dijalankan

Baris 8 : menyatakan Jika nilai partikel dalam sumbu Y ini lebih kecil atau di bawah posisi

partikel terbaik, maka:

Baris 9 : Nilai X yang dimaksut adalah nilai X yang dituju

Baris 10 : Nilai Y yang dimaksut adalah nilai Y yang dituju


Untuk fungsi inisialisasi adalah sebagai berikut

Dimana :

Baris 1 : menyatakan nama fungsi inisialisasi X untuk dapat dipanggil di fungsi yang lain.

Baris 2 : menyatakan nilai Npop X up Xbawah, merupakan jumlah populasi, batas atas, batas

bawah yang digunakan untuk semua fungsi yang berkaitan

Baris 3 : menyatakan posisi partikel sicari di persmaan pada baris ke tiga, dengan ones adalah

matriks satuan yang berdimensi Npop*1 . Matriks satuan ini digunakan untuk menyamakan

dimensi matriks yang akan dioperasikan.

Baris 4 : menyatakan fungsi berkahir.

Kemudian fungsi pada CP PSO adalah sebagai berikut

Dimana :

Baris 1 : clc berfungsi untuk menghapus command window, close all berfungsi untuk

menghapus data worksheet, dan clear all berfungsi untuk menghapus data worksheet.

Baris 2 : menyatakan fungsi global yang dimaksud

Baris 3 : menyatakan dimensinya

Baris 4 : menyatakan banyaknya populasi

Baris 5 : menyatakan banyaknya iterasi

Baris 6 : menyatakan batas atas

Baris 7 : menyatakan batas bawah

Baris 9 : menyatakan fungsi yang dipanggil dari editor yang disimpan sebelumnya.

Baris 11 : menyatakan fungsi griewank digunakan pada PSO ini.

Baris 13 hingga 16 : menyatakan personal best inisial, solusi untuk Xbest dan error best untuk

Gtbest

Baris 21 hingga 23 : menyatakan parameter dan nilai parameter dalam fungsi ini.

Baris 24 hingga 26 : memberikan nilai baru kecepatan yang dipengaruhi waktu dan

memberikan informasi posisi yang baru dari kecepatan tersebut.

Dengan hasil sebagai berikut : Iterasion=2 Min Error=14.3208056 Individu Ke-=10.00

Iterasion=3 Min Error=14.3208056 Individu Ke-=10.00



































































































Sehingga didapatkan kesimpulan bahwa solusi GYbest 0,1540018958211002 dan Gbest

4.20199156662609 1.29024724431270.

Documents

Fisika Komputasi