FIUBA 20081 MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 5-c

FIUBA 2008 1

MODELOS EN COMPATIBILIDAD

ELECTROMAGNETICAJuan C. Fernandez

5-c

FIUBA 2008 2

Modelos específicos:

• utilizan el modelo de circuito de elementos distribuidos• son más sencillos e intuitivos que los modelos generales• representan el acoplamiento mediante fuentes de tensión y corriente distribuidas

• son aproximaciones

•Modelo de Taylor:

parte de las ecuaciones de Maxwell del rotor para calcular las tensiones y corrientes inducidas por las ondas electromagnético sobre la línea

•Modelo de Agrawal:

parte de las ecuaciones de Maxwell y considera que el campo eléctrico tangencial a lo largo de los conductores puede verse como una serie de fuentes de tensión distribuidas a lo largo de la línea.

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1

ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISIONACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION

Scattering (dispersión)

Hipótesis básicas:

• Los conductores se consideran cilindros rectos de sección constante, paralelos y sumergidos en un medio dieléctrico paramagnético sin pérdidas.

• La separación entre los conductores es mucho mayor que su radio y pequeña frente a la longitud de onda de la radiación.

• Las corrientes inducidas son del tipo línea de transmisión.

• El campo total en cualquier punto del espacio es la suma del campo incidente, el campo dispersado por los conductores y un campo cuasi-estático creado por la distribución de cargas y corrientes en los conductores. Este último campo se desprecia si el radio de los conductores es pequeño, como asumiremos en nuestra presentación.

Hipótesis básicas:

• Los conductores se consideran cilindros rectos de sección constante, paralelos y sumergidos en un medio dieléctrico paramagnético sin pérdidas.

• La separación entre los conductores es mucho mayor que su radio y pequeña frente a la longitud de onda de la radiación.

• Las corrientes inducidas son del tipo línea de transmisión.

• El campo total en cualquier punto del espacio es la suma del campo incidente, el campo dispersado por los conductores y un campo cuasi-estático creado por la distribución de cargas y corrientes en los conductores. Este último campo se desprecia si el radio de los conductores es pequeño, como asumiremos en nuestra presentación.

Ondaincidente

Ondadispersada

Objetodispersor Modelos

generales

FIUBA 2008 3



Modelo de Taylor Notación:

• E(i) : Campo eléctrico de la onda incidente.

• E(r) : Campo eléctrico de la onda reflejada en el suelo conductor perfecto.

• E(e) = E(i) + E(r) : Campo eléctrico "efectivo" o "externo" que actúa sobre la línea.

• E(s) : Campo eléctrico dispersado por la línea.

• E = E(e) + E(s) : Campo eléctrico total.

y símbolos similares para el campo magnético.

Ondaincidente

Ondadispersada

Onda reflejada en tierra

En el modelo de Taylor el objetivo es reescribir las ecuaciones del telegrafista incluyendo la influencia del campo externo sobre la línea.

FIUBA 2008 4



Modelo de Taylor• E(i) : Campo eléctrico de la onda incidente.

• E(r) : Campo eléctrico de la onda reflejada en el suelo conductor perfecto.

• E(e) = E(i) + E(r) : Campo eléctrico "efectivo" o "externo" que actúa sobre la línea.

• E(s) : Campo eléctrico dispersado por la línea.

• E = E(e) + E(s) : Campo eléctrico total. Partimos de las ecs. de Maxwell del rotor:

E(e)

H(e)

x

y

z

d

a

C

S

Ex

-Hy

i(z)

-i(z)

+

v(z)

-

z

)()()()()(rjrErH

rHrE

ii

de la primera ecuación hallamos el flujo magnético m sobre una superficie entre ambos conductores de longitud z << :

Sm

CSS

idSidS dlEnHnE ˆˆ

Sm

zz

z

zz

d

xx

C

idzzdEzEdxzxEzzxE

),(),0(),(),(0

dlE

con las convenciones y notación de la figura:

FIUBA 2008 5



Modelo de Taylor

Consideramos primero una línea ideal (conductores perfectos).

En tal caso el campo E es cero dentro de los conductores y la segunda integral se anula:

E(e)

H(e)

x

y

z

d

a

C

S

Ex

-Hy

i(z)

-i(z)

+

v(z)

-

z

Definimos la diferencia de tensión cuasi-estacionaria entre los conductores de la línea bifilar como:

Sm

zz

z

zz

d

xx

C

idzzdEzEdxzxEzzxE

),(),0(),(),(0

dlE

Como z << :

Sm

d

xx idxzxEzzxE 0

),(),(

d

x

d

x

d

xx dxzxEdz

dzdx

z

zxEzdxzxEzzxE

000

),(),(

),(),(

d

x dxzxEzv0

),()( d

x dxzxEzv0

),()( dz

zdvzdxzxE

dz

dzdxzxEzzxE

d

x

d

xx

)(),(),(),(

00

FIUBA 2008 6



Modelo de Taylor

E(e)

H(e)

x

y

z

d

a

C

S

Ex

-Hy

i(z)

-i(z)

+

v(z)

-

z

Pero:

d

x dxzxEzv0

),()( dz

zdvzdxzxE

dz

dzdxzxEzzxE

d

x

d

xx

)(),(),(),(

00

Queda entonces:

Smizdz

dv

d

y

d zz

z

y

S

m dxHzdxdzHdSS

00

ˆ nH

d

y

d

y dxHidz

dvdxHziz

dz

dv

00

El campo magnético que aparece en esta expresión es el campo total: H = H(e) + H(s).

d

sy

de

y dxHidxHidz

dv

0

)(

0

)(

)(),( 1

0

)( zvdxzxHi s

d

ey )(),( 1

0

)( zvdxzxHi s

d

ey

)(),(0

)( ziLidxzxHid

sy )(),(

0

)( ziLidxzxHid

sy

Fuente de tensión distribuida

FIUBA 2008 7



Modelo de Taylor

1ra. ecuación

)()()(

1 zvziLidz

zdvs

ln

),()(0

)(1

a

dL

dxzxHizv

d

eys

d

sy

de

y dxHidxHidz

dv

0

)(

0

)(

)(),( 1

0

)( zvdxzxHi s

d

ey )(),( 1

0

)( zvdxzxHi s

d

ey

)(),(0

)( ziLidxzxHid

sy )(),(

0

)( ziLidxzxHid

sy


FIUBA 2008 8



Modelo de Taylor De la segunda ecuación de Maxwell del

rotor:

Hinc

x

y

z

d

a

Einc

+

v(z)

-

r

z

i(z)

-i(z)

S

Er

)()()( rjrErH i

Calculamos el flujo de esta expresión a través de la superficie cerrada S que rodea uno de los conductores del par:

SSS

dSdSidS njnEnH ˆˆˆ

S1

S2

1n̂

2n̂

C

La superficie cerrada S se puede pensar como la superposición de dos superficies abiertas S1 y S2

separadas por la curva C.

Por el teorema de Stokes, el flujo del rotor de un campo vectorial a través de cada superficie abierta es igual a la circulación del campo a lo largo de la curva C.

Como el sentido de la circulación es opuesto para cada superficie abierta, las circulaciones (o los flujos) son de igual magnitud y signo opuesto y se anulan entre sí.

FIUBA 2008 9



Modelo de Taylor

Hinc

x

y

z

d

a

Einc

+

v(z)

-

r

z

i(z)

-i(z)

S

Er

Así se anula la primer integral y tenemos:

SSS

dSdSidS njnEnH ˆˆˆ

0ˆˆ SS

dSdSi njnE

El flujo del vector densidad de corriente a través de S solamente tiene valor no nulo sobre las tapas del cilindro: z

z

izizzidS

S

)()(n̂j

El campo eléctrico no dará flujo sobre las superficies de las tapas, ya que consideramos que es nulo dentro de los conductores y podemos tomar la superficie lateral externa pero muy cercana al conductor. Entonces:

zzizEzairdzdEidSi r

zz

z

r

S

)()(2ˆ

2

0

nE

donde (z) es la densidad lineal de carga a lo largo del conductor.

FIUBA 2008 10

Esta tensión no es la tensión total entre los conductores, porque está asociada sólo al campo dispersado.

Podemos escribir:



Modelo de Taylor

Hinc

x

y

z

d

a

Einc

+

v(z)

-

r

z

i(z)

-i(z)

S

Er

En resumen, tenemos: 0ˆˆ SS

dSdSi njnE

La carga acumulada sobre la línea está aso-ciada únicamente al campo dispersado, ya que el campo exterior tiene sus fuentes fuera de la línea, de modo que podemos escribir:

zz

idS

S

nj ˆ zzidSi

S

)(ˆ nEdonde:

)()( )( zvCz sdonde C es la capacidad por unidad de longitud de la línea.

)()()( )()( zvzvzv se

d

ex

s

d

ex

e dxzxEzvCizvCzidxzxEzv0

)()(

0

)()( ),()()()( ),()(

0)()(

zi

z

zi

FIUBA 2008 11



Modelo de Taylor

Hinc

x

y

z

d

a

Einc

+

v(z)

-

r

z

i(z)

-i(z)

S

Er

Análogamente al caso de la primera ecuación del telegrafista, podemos definir una corriente aplicada distribuida sobre la línea:

de

x dxzxEzvCizi0

)( ),()()( 0)()(

zi

z

zi

)(),( 1

0

)( zidxzxECi s

d

ex

de donde nos queda la segunda ecuación del telegrafista:

)()()(

1 zizvCiz

zis

)/ln(

),()(0

)(1

adC

dxzxECizi

d

exs

2da. ecuación

FIUBA 2008 12



Modelo de Taylor

En el esquema de Taylor para una línea ideal (sin pérdidas) se han hallado ecuaciones del telegrafista inhomogéneas donde la acción de los campos incidentes sobre la línea se representa mediante fuentes de tensión y corriente distribuidas a lo largo de la línea, además de las eventuales fuentes y cargas concentradas conectadas a ella.

)(),( 1

0

)( zvdxzxHi s

d

ey )(),( 1

0

)( zvdxzxHi s

d

ey


(campo magnético)

)(),( 1

0

)( zidxzxECi s

d

ex

Fuente de corriente distribuida

(campo eléctrico)

)()()(

1 zizvCiz

zis

)()(

)(1 zvziLi

dz

zdvs

FIUBA 2008 13



Modelo de Taylor – Línea con pérdidas

En general, los conductores presentan pérdidas óhmicas.

Esto implica la presencia de un campo eléctrico longitudinal no nulo dentro del conductor y la no anulación de la componente tangencial del campo exterior al conductor.

La presencia de una conductividad finita se puede representar mediante una impedancia superficial dependiente de la frecuencia que tiene en cuenta además el efecto pelicular. Expresiones aproximadas para esta impedancia superficial son las siguientes:

8

1)(

2

i

aZs )1/( a(baja

frecuencia)

22

1

2

1)(

a

i

a

iZs

)1/( a(alta frecuencia)

donde es la profundidad de penetración. A baja frecuencia la corriente se distribuye uniformemente en la sección del conductor, mientras que a alta frecuencia la distribución no es uniforme sino que las líneas de corriente se concentran en la superficie del conductor.

FIUBA 2008 14



Modelo de Taylor – Línea con pérdidas

También puede haber pérdidas dieléctricas en el medio que rodea a los conductores.

La presencia de pérdidas lleva a modificar las ecuaciones del telegrafista introduciendo términos resistivos:

y las ecuaciones del telegrafista quedan:

)(2)( sZLiZLi

CiGCiYCi mm /)(

Estas ecuaciones pueden expresarse en forma matricial:

)()()()(

1 zizvYz

zis

)()()()(

1 zvziZdz

zdvs

)(

)(

)(

)(

0)(

)(0

)(

)(

1

1

zi

zv

zi

zv

Y

Z

zi

zv

dz

d

s

s

)(

)(

)(

)(

0)(

)(0

)(

)(

1

1

zi

zv

zi

zv

Y

Z

zi

zv

dz

d

s

s

FIUBA 2008 15



Modelo de Taylor

Desde el punto de vista matemático, este es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales inhomogéneas.

Su solución consiste en la suma de la solución general de la ecuación homogénea (línea sin excitación exterior) más una solución particular de la ecuación inhomogénea.

Esta última solución depende de la forma matemática de la excitación, es decir, del campo exterior, que se describe como fuentes distribuidas de corriente y tensión.

)()()()(

1 zizvYz

zis

)()()()(

1 zvziZdz

zdvs

FIUBA 2008 16



Modelo de TaylorCuando la línea está terminada en ambos extremos es necesario establecer las condiciones de contorno impuestas por las cargas:

donde el signo (-) de la primera condición surge de los sentidos convencionales asignados a las corrientes y tensiones en la línea. Un esquema circuital del acoplamiento de una onda electromagnética a una línea cargada se muestra en la figura.

z

l0z

x

dZ0 ,

Z1 Z2

0

is1(z)z

+

vs1(z)z

)(eE)(eH k

)(exE

)(eyH

+

v(0)

+

v(l0)

i(0) i(l0)

)0()0( 1iZv )()( 020 liZlv

FIUBA 2008 17



Modelo de AgrawalEn este modelo se elimina la fuente distribuida de corriente.Se puede obtener a partir de una de las ecuaciones del modelo de Taylor:

)()()(

1 zvziLidz

zdvs

d

eys dxzxHizv

0

)(1 ),()(

d

x dxzxEzv0

),()(

Separamos en la definición de v(z) los campos eléctricos externo y dispersado:

d

ex

s

d

ex

d

ex dxzxEzvdxzxEdxzxEzv

0

)()(

0

)(

0

)( ),()(),(),()(

)(),()()()(

2

0

)(1

)(

zvdxzxEdz

dzvziLi

dz

zdvs

d

exs

s

que podemos escribir:

con:

)()()(

2

)(

zvziLidz

zdvs

s

d

ex

d

eys dxzxE

dz

ddxzxHizv

0

)(

0

)(2 ),(),()(

FIUBA 2008 18



Modelo de Agrawal

y nos queda la primera ecuación del telegrafista en este modelo:

)()()(

2

)(

zvziLidz

zdvs

s

zz

z

d ez

zz

z

d

ees dzdx

x

Edzdxizv

0

)(

0z0

)()(

0z2 limˆlim)( nEH

se anula por la ley de Faraday

zz

z

ez

ez

zz

z

d ez

s dzzEzdEdzdxx

Ezv ),0(),(limlim)( )()(

0z0

)(

0z2 ),0(),()( )()(

2 zEzdEzv ez

ezs

o, para una línea con pérdidas:

)()()(

2

)(

zvziLidz

zdvs

s

)()()(

2

)(

zvziZdz

zdvs

s

con:

),0(),()( )()(2 zEzdEzv e

ze

zs

FIUBA 2008 19



Modelo de Agrawal

Para obtener la otra ecuación, partimos de:0)(

)(

zi

z

zi

)()( )( zvCz sque podemos escribir como la segunda ecuación del telegrafista:

o, para una línea con pérdidas:

0)()( )( zvCi

dz

zid s 0)()( )( zvY

dz

zid s

Se ve que no hay fuente distribuida de corriente en este modelo.

Finalmente, las ecuaciones del telegrafista quedan:

Estas ecuaciones pueden expresarse en forma matricial:

0)()( )( zvY

dz

zid s)()()(

2

)(

zvziZdz

zdvs

s

0)(

)()(

0)()(0

)()( 2

)()( zvzi

zvY

Zzi

zv

dz

d sss

0)(

)()(

0)()(0

)()( 2

)()( zvzi

zvY

Zzi

zv

dz

d sss

FIUBA 2008 20



Modelo de AgrawalLas condiciones de borde en el caso de la línea cargada en ambos extremos se aplican a las tensiones y corrientes totales, que son las que se miden. Con un poco de álgebra llegamos a:

Estos términos adicionales se pueden pensar como fuentes concentradas en los extremos de la línea, de modo que el circuito equivalente en el modelo de Agrawal es:

con)0()0( 01)( iZVv s

de

x dxxEV0

)(1 )0,(

con)()( 0020)( liZVlv s

de

x dxlxEV0

0)(

2 ),(

z

l0z

x

dZ0 ,

Z1 Z2

0

+

vs2(z)z

+

)(eE)(eH k

)0,()( xE ex

+

v(0)

+

v(l0)

i(0) i(l0)

V1

+V2

+

),( 0)( lxE e

x

),0()( zE ez

),()( zdE ez

FIUBA 2008 21



Solución de las ecuaciones del telegrafistaEn cualquiera de los dos modelos, se deben resolver las ecuaciones

del telegrafista.Estas son ecuaciones diferenciales lineales acopladas inhomogéneas.Su solución general se pude escribir como la suma de:• la solución general de las ecuaciones homogéneas [línea sin campo exterior]• una solución particular de las ecuaciones originales.Un método clásico de hallar la solución particular es usar la llamada función de Green (respuesta a la delta) del sistema y superposición.

Tesche ha demostrado que para una línea cargada de longitud l0 con fuentes unitarias de tensión y corriente situadas en z´ las funciones de Green para la corriente Gi(z, z´) y para la tensión Gv(z, z´) pueden escribirse:

zizilzilzi

li

li

i eeeeeZ

ezzG

1

)(2

)(

2210

00

0

0

12),(

zizilzilzi

li

li

v ezzeezzee

ezzzzG

1)(

2)(

221

),(),(12

),(),( 00

0

0

FIUBA 2008 22



Solución de las ecuaciones del telegrafista

donde Z0, son la impedancia característica y el número de

propagación de la línea, 1 y 2 los coeficientes de reflexión en cada extremo cargado,

z> (z<) representa el mayor (menor) valor entre z y z´

(z, z´) es la llamada función sigmoidal:

zizilzilzi

li

li

i eeeeeZ

ezzG

1

)(2

)(

2210

00

0

0

12),(

zizilzilzi

li

li

v ezzeezzee

ezzzzG

1)(

2)(

221

),(),(12

),(),( 00

0

0

zz

zzzzUzz

1

11)(2),(

si

si

FIUBA 2008 23



Ecuación BLTEn el modelo de Agrawal se pueden reescribir las soluciones de las

ecuaciones del telegrafista en el formato de la ecuación BLT:

2

11

2

1

2

1

00

0

10

01

)(

)0(

s

s

e

elv

vli

li

2

11

2

1

2

1

000

0

10

011)(

)0(

s

s

e

e

Zli

ili

li

22)(

2

1

22)(

2

1

2/

2

1

21

0

2)(

21

0

2

2

1

000)(

0

000

00

0

0V

eV

zdzve

eVV

zdzve

s

s

IZVe

IZVe

lid

szli

lid

szi

zli

dzi

s

s

donde el vector de fuentes reemplaza al vector de fuentes concentradas de la ecuación BLT original por integrales de las fuentes distribuidas:

d

ex dxxEV

0

)(1 )0,(

de

x dxlxEV0

0)(

2 ),(

FIUBA 2008 24



Modelo de Agrawal

El circuito equivalente en el modelo de Agrawal es:

con)0()0( 01)( iZVv s

de

x dxxEV0

)(1 )0,(

con)()( 0020)( liZVlv s

de

x dxlxEV0

0)(

2 ),(

z

l0z

x

dZ0 ,

Z1 Z2

0

+

vs2(z)z

+

)(eE)(eH k

)0,()( xE ex

+

v(0)

+

v(l0)

i(0) i(l0)

V1

+V2

+

),( 0)( lxE e

x

),0()( zE ez

),()( zdE ez

donde:

FIUBA 2008 25



Excitación de onda plana

Una línea de propiedades Z0 y , radio de conductores a separados en

d y longitud l0 está terminada en ambos extremos con impedancias Z1

y Z2.

Sobre esta línea incide una onda plana linealmente polarizada de frecuencia f = /2 con un vector de onda k. La amplitud del campo eléctrico incidente es E0.

Condición básica para aplicar el modelo:

xz

y

a

d

Z1

Z2

0

l0

k

plano de incidencia

plano de incidencia

E(i)

k

E(i)

adcfk /2

FIUBA 2008 26




El plano de incidencia es el plano vertical que contiene al vector de onda k.

En general, la polarización (dirección del campo eléctrico) de la onda incidente es cualquiera, formando un ángulo con el plano de incidencia.En general el campo incidente puede descomponerse en la suma de una polarización vertical, donde el campo eléctrico incidente se halla contenido en el plano de incidencia, y una polarización horizontal, donde el campo eléctrico incidente es perpendicular al plano de incidencia.

La forma matemática del campo es:

xz

y

a

d

Z1

Z2

0

l0

k

plano de incidencia

plano de incidencia

E(i)

k

E(i)

)(0

)( rk tii eEE

FIUBA 2008 27




En el modelo de Agrawal es necesario calcular las fuentes distribuidas y las fuentes sobre las cargas:

xz

y

a

d

Z1

Z2

0

l0

k

plano de incidencia

plano de incidencia

E(i)

k

E(i)

22)(

2

1

22)(

2

1 21

0

2)(21

0

221000

Ve

Vzdzvee

VVzdzvess li

d

szlili

d

szi

con:

),0(),()( )()(2 zEzdEzv e

ze

zs d

ex dxxEV

0

)(1 )0,(

de

x dxlxEV0

0)(

2 ),(

FIUBA 2008 28




En este caso el campo exterior coincide con el campo incidente porque no hay plano de tierra (no hay campo reflejado). La componente z (horizontal a lo largo de la línea) del campo incidente es:

mientras que la componente x vertical es:

xz

y

a

d

Z1

Z2

0

l0

k

plano de incidencia

plano de incidencia

E(i)

k

E(i)

)(0

)( sensencossencos rk tiiz eEE

)(0

)( coscos rk tiix eEE

FIUBA 2008 29




y las fuentes del modelo resultan:

xz

y

a

d

Z1

Z2

0

l0

k

plano de incidencia

plano de incidencia

E(i)

k

E(i)

)coscos(

0

)coscos(sen0

)()(2

sensencossencossen

1sensencossencos),0(),()(

kzti

kztiikdez

ezs

eEikd

eeEzEzdEzv

tiex

de

x edEdxEdxxEV coscos)0,()0,( 0)(

0

)(1

)coscos(00

)(

0

0)(

20coscos),(),( kltie

x

de

x edEdlxEdxlxEV

FIUBA 2008 30



Excitación de onda plana – Línea sobre conductor perfecto

• v(z) es la tensión entre la línea y tierra

• i(z) es la corriente en la línea. Supuestamente retorna por tierra.

• El campo externo es ahora la suma del campo incidente E(i) y el campo reflejado E(r).

• El campo incidente puede descom-ponerse en una polarización normal y otra contenida en el plano de inci-dencia.

• La incidencia oblicua satisface las leyes de Snell.

E(e)

H(e)

x

y

z

d = 2h

a CS

Ex

-Hy

i(z)

+v(z)-

z

E(i) E(r)

H(i) H(r)

ki

kr

x

z

FIUBA 2008 31



Excitación de onda plana – Línea sobre conductor perfectoEl modelo de Agrawal para este caso difiere del correspondiente a la línea sin tierra en los valores de los parámetros:

• la inductancia por unidad de longitud es ahora la mitad de la anterior,

• la capacidad por unidad de longitud es ahora el doble de la anterior,

• la fuente distribuida de tensión solamente opera sobre el conductor, ya que el campo longitudinal es nulo sobre la interfase entre el aire y el suelo perfecto.

z

l0z

x

hZ0 ,

Z1 Z2

0

+

vs2(z)z

)(eE)(eH k

)0,()( xE ex

+

v(0)

+

v(l0)

i(0) i(l0)

V1

+V2

+

),( 0)( lxE e

x

),()( zdE ez

FIUBA 2008 32



Tensiones y corrientes inducidas por caída de rayos sobre una líneaLa caída de rayos cerca de una línea puede crear sobretensiones y sobrecorrientes destructivas sobre la línea y los circuitos a ella conectados.

xz

y

a

h

Z1

Z2

0

l0

yc

H0

i(x,t)

)(exE

)(eE

)(eH

zc

La línea se halla a una altura h sobre tierra y está terminada en ambos extremos.

El rayo "cae" verticalmente a una distancia yc del pie de la línea, a la

abscisa zc.

El rayo se modela por un canal de altura H0 por el cual circula la corriente de

retorno i(x,t). Esta corriente crea una onda cilíndrica que induce tensiones y corrientes sobre la línea.

Para un suelo conductor perfecto es posible demostrar que el campo eléctrico de la onda cilíndrica tiene una componente cuasi-estática, una componente de inducción y una componente de radiación, mientras que el campo magnético tiene una componente de inducción y una componente de radiación.

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Tensiones y corrientes inducidas por caída de rayos sobre una líneaEl campo eléctrico vertical y el campo magnético son prácticamente independientes de la altura del punto de observación (para alturas no mayores de 30 m), mientras que el campo eléctrico horizontal crece en forma aproximadamente lineal con la altura desde cero sobre el suelo.

Para suelo imperfecto, sólo la componente horizontal del campo eléctrico se ve afectada a cortas distancias (menos de unos cientos de metros).

Cooray y Rubinstein han propuesto un modelo en el cual el campo horizontal en el dominio de la frecuencia a una altura z se puede expresar como la suma del campo correspondiente al suelo perfecto y un término proporcional al campo magnético a nivel del suelo multiplicado por un factor complejo relacionado con el número de onda complejo de la propagación en el suelo:

donde r y son los parámetros del suelo.

),(/

),(),( 0

0

00 zHi

czEzE

r

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Tensiones y corrientes inducidas por caída de rayos sobre una líneaLos efectos más importantes sobre la línea ocurren en la circulación de corriente de retorno, que puede alcanzar los 100 kA.

Para calcular los campos se requiere conocer la distribución de corriente a lo largo del canal del rayo.

La dificultad es que sólo puede medirse la corriente en la base del canal.

El llamado modelo de línea de transmisión modificado (MTL), propuesto por Uman et al. asimila el canal del rayo a una línea de transmisión ideal donde un impulso de corriente se propaga a partir del suelo con la velocidad v del arco de retorno. La distribución de corriente en el canal está definida por:

donde = t-z/v es un tiempo retardado y una longitud característica.

Esta es una ecuación de propagación atenuada del frente de corriente a lo largo del canal a velocidad v. Mediciones de descargas reales llevan a estimar los valores de v entre 6 y 20 107 m/s y entre 1.5 y 2 km.

vtztzi

vtzeitzi z

0),(

),0(),( /

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Tensiones y corrientes inducidas por caída de rayos sobre una líneaNucci et al. han modelizado la dependencia temporal de la corriente.

La corriente sobre la base del canal puede expresarse mediante la suma de dos funciones de Heidler:

),0(),0(),0( 21 tititi HH

1

121

11

11

1

011

1),0(

n

tn

Ht

etIti

2

222

21

21

2

022

1),0(

n

tn

Ht

etIti

11

11

121

12

11

1

n

n

e

21

21

222

22

21

2

n

n

e

I01 (kA) I02 (kA) 11 (s) 12 (s) 21 (s) 22 (s) n1 n2

10.7 7.5 0.25 2.5 2.1 230 2 2t(s)

i(kA)

Valores típicos:

El canal se asimila a una antena, cuyo campo se calcula sumando los campos elementales generados por cada elemento de longitud considerado como un dipolo corto, conservando los términos cuasi-estáticos y de inducción.

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EMC-CODES

El Dr. F.M. Tesche ha desarrollado una serie de programas basados en los modelos que hemos presentado en este capítulo para ilustrar problemas de acoplamiento y propagación de señales en líneas de transmisión.

• En todos estos programas se trata de una línea horizontal terminada en ambos extremos por sendas impedancias RLC serie.

• El conductor de la línea puede ser perfecto o tener conductividad finita.

• Sobre la línea puede haber fuentes concentradas o una onda plana incidente o ambas cosas.

• Estas fuentes pueden ser ondas continuas (CW) o transitorios.

Se instala desde el zip autoextraíble EM-CODES.EXE, que permite grabar los archivos de instalación en un directorio transitorio. Desde all SETUP.EXE instala el programa.

URL: www.tesche.com

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EMC-CODES

WINULINEAnaliza la respuesta de una línea de transmisión colocada sobre tierra que es excitada por fuentes concentradas y/o distribuidas, usando al modelo de Agrawal. El programa admite excitaciones CW o transitorias.RISERAnaliza la tensión y corriente sobre una de las cargas en los extremos de la línea, reemplazando el modelo de Agrawal de fuentes concentradas sobre los extremos con líneas verticales para mejorar la precisión de los resultados.LCC o LTLINEEste programa calcula las tensiones y corrientes sobre las cargas en los extremos de la línea cuando cae un rayo en las cercanías.TOTALFLDCalcula el campo EM total para la incidencia oblicua de una onda plana sobre un plano de tierra imperfecta. Los campos se calculan sobre y debajo del plano para ondas incidentes de distinta forma de onda y casos CW y transitorios.Se incluyen en la distribución los códigos fuente (en Fortran).

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Datos de la línea Cargas Suelo ExcitaciónCampo incidenteAnálisisSalida



EMC-CODES - WINULINE longitud L, altura h, radio a y resistividad (1/) del conductor

línea abierta, cortocircuito, carga adaptada, definida por el usuario (R,L,C). Pueden ser diferentes.

suelo perfecto o con pérdidas (g , g).si la fuente es una onda plana, se puede definir los ángulos del vector de onda (, ) y de polarización (, llamado en el programa) respecto del plano de incidencia.

Se elige entre el análisis en el dominio de la frecuencia o en el dominio del tiempo.

Se eligen los resultados a mostrar: tensión y corriente totales sobre una de las dos cargas o corriente y carga en una posición dada de la línea. En estos casos el tipo de resultado depende del tipo de análisis (en el dominio del tiempo o de la frecuencia) que se ha seleccionado. También se puede hallar el circuito equivalente Thèvenin o Norton que se vería sobre un "puerto" situado en cualquier punto de la línea.Existen diversas opciones de ploteo.Una opción importante en el Menú Data es Sweep Parameters. En esta opción

se puede repetir los cálculos de una dada configuración barriendo uno de los parámetros en un rango de valores, lo que permite analizar la respuesta frente a cambios en la excitación sin relanzar el programa. Los parámetros que se pueden barrer son: longitud, altura y resistividad de la línea, la posición de la fuente o el punto de observación a lo largo de la línea, los ángulos de incidencia y polarización de una onda incidente y los parámetros del suelo imperfecto.

fuente de tensión concentrada u onda plana incidente. La fuente concentrada puede ser de tensión o de corriente, y se define la abscisa de conexión a la línea.

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Este programa intenta mejorar la precisión en el cálculo de la respuesta sobre las cargas cuando la línea es iluminada por una onda incidente. Se reemplazan las fuentes terminales del modelo de Agrawal por líneas de transmisión verticales (risers) que dan una mejor respuesta. La estructura de datos de entrada es similar a la de WINULINE.



EMC-CODES - RISER

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Este programa calcula la respuesta de una línea a la caída de un rayo.

La geometría y el modelo usados para la línea son similares a los de WINULINE.

Se deben ingresar además las propiedades del canal (posición, propiedades físicas y forma de onda de corriente) que modela la descarga.



EMC-CODES - LCC

LCC calcula tensión y corriente de las respuestas transitoria y en el dominio de la frecuencia sobre ambas resistencias de terminación.

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Este programa calcula el cam-po total (incidente + reflejado) cuando una onda plana incide sobre una interfase plana horizontal entre aire y un suelo imperfecto.

También calcula los campos transmitidos bajo la interfase.

La forma de onda en el tiempo puede especificarse.



EMC-CODES - TOTALFLD

El programa calcula las respuestas transitoria y en el dominio espectral para las tres componentes de los campos E y H a la altura del punto de observación.

Documents

FIUBA 20081 MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 5-c