1 din 163

Capitolul IObiectul fizicii. Fenomene fizice, m rime fizic , legi fizice, metodele fizicii, opera ia de

surare, unitate de m sur , formule matematice i formule fizice, coeficient parazit,sistemul interna ional de unit i de m sur , analiz fizic , dimensional a formulelorfizice.

1. Obiectul fizicii. Definirea fizic ca tiin

Denumirea obiectului provine de la cuvântul elen physis (natur ) folosit se pare deAristotel cu 400 de ani înaintea erei noastre. Fizica studiaz fenomenele legate de structura itransform rile din lumea material , precum i leg turile lor reciproce.

Fizica este prin con inutul ei o tiin experimental , de aceea rezultatele ob inute înprocesul de observare a naturii prezint un rol fundamental în stabilirea ideilor sale de baz .

Cuno tin ele despre fenomenele naturii i legile care le guverneaz sunt de oimportan vital pentru tehnic , atât din punct de vedere istoric, metodologic, cât i practic.

Putem afirma c toate ramurile tiin elor tehnologice actuale s-au dezvoltat în cadrulfizicii pân au luat aspectul unor tiin e independente. De asemenea, tehnica prin problemelepe care le pune în fiecare moment i prin mijloacele pe care le pune la dispozi ie duce ladezvoltarea în continuare a fizicii.

2. Fenomenul fizic

Lumea material este format din particule de substan (cu masa de repaus m0 = 0)care alc tuiesc corpurile i sistemele de corpuri i din câmpuri (cu m0 = 0).

Totalitatea transform rilor i interac iunilor suferite de substan sau de câmpuri senumesc fenomene fizice.

Observând sistemele fizice din natur (particule, câmpuri, corpuri, sisteme de corpuri)vom deduce c acestea prezint unele propriet i care se reg sesc la diferite sisteme fizice, ca,de exemplu, iner ia, forma, volumul etc.

Prin observare sau prin experien putem ob ine despre un sistem fizic un mare num rde informa ii pe care le putem grupa în clase de echivalen disjuncte (evident, mul imeainforma iilor despre iner ie nu are elemente comune cu mul imea informa iilor despretemperatur ). Fiecare astfel de clas de echivalen corespunde unei propriet i fizice.

3. M rime fizic . Lege fizic

rimea fizic este acea caracteristic a unui obiect a experien ei fizice care poate fisurat . Pentru a putea fi m surat , mul imea m rimilor fizice necesit existen a unei

opera ii de ordonare a elementelor sale.Propriet ile fizice care pe lâng opera ia de echivalen admit i o opera ie de

ordonare a elementelor corespunz toare se numesc m rimi fizice.Opera ia de ordonare a m rimilor fizice prezint dou propriet i:

a) asimetria: dac x < y atunci este exclus ca y < x;b) tranzitivitatea: dac în raport cu procesul de ordonare adoptat x < y i y < z => x < z

2 din 163

rimile fizice reprezint propriet i m surabile, m surare care st la baza opera iei deordonare.

Exist unele propriet i între care de i se pot g si echivalen e nu se poate stabili oopera ie de ordonare. Acestea nu pot fi considerate ca fiind m rimi fizice (de exemplu, forma).

Leg turile dintre diferitele m rimi ce intervin în producerea unui fenomen se numesclegi fizice. Legile fizice se exprim de cele mai multe ori prin formule matematice în caresimbolurile sunt m rimi.

În sens general, conform ideilor filozofice actuale, legile desemneaz raporturideterminate care exist între fenomene diferite, între laturile aceluia i fenomen sau întreetapele succesive ale aceluia i proces.

4. Metodele fizicii

Pentru a descoperi legile fizicii, fizica cerceteaz fenomenele naturii i le d ointerpretare.

Se utilizeaz dou metode:a) metoda experimentalb) metoda matematic .

Metoda experimental a unui fenomen cuprinde:- observarea i analizarea fenomenului;- formularea unor ipoteze în leg tur cu cauzele care au determinat fenomenul;- stabilirea dependen ei fenomenului de alte fenomene;- elaborarea unei metode de cercetare;- efectuarea experien ei dup metoda elaborat ;- generalizarea datelor ob inute în vederea deducerii unei legi sau pentru a verifica ipoteza.

Legile deduse experimental au un caracter de probabilitate fiind cu un grad mai maresau mai mic de aproxima ie.

Metoda matematic utilizat cu prec dere în fizica modern utilizeaz „aparatulmatematic“ folosind cuno tin ele ob inute anterior. Fizica este profund matematizat , aceastmatematizare permi ând intrarea cu maximum de profunzime în studiul fenomenului.

5. Opera ia de m surare

Ordonarea elementelor unei m rimi fizice se face prin opera ia de m surare. A m surao m rime fizic înseamn a o compara cu o alt m rime fizic din aceea i clas de echivalenaleas c unitate de m sur .

Unitatea de m sur se alege arbitrar.Prin opera ia de m surare, oric rei m rimi A îi corespunde o valoare numeric definit

prin raportul simbolic:

][AAa = (1.1)

unde [A] reprezint unitatea de m sur a m rimii considerate.Dac m sur m m rimea A cu o alt unitate de m sur [A]’, valoarea ob inut va fi:

''

][AAa = (1.2)

Dac vom face raportul dintre valorile a i a’ vom ob ine:

3 din 163

][][ '

' AA

aa

= deci:

Raportul valorilor numerice ale aceleia i m rimi m surate cu dou unit i de m surdiferite este egal cu raportul invers al acestor unit i. Aceast afirma ie exprim teoremafundamental a unit ilor de m sur .

6. Formula matematic , formula fizic , coeficient parazit

Dup cum s-a mai ar tat, o lege fizic poate fi exprimat printr-o formul matematicîn care simbolurile ce intervin sunt m rimi fizice. Spre deosebire de formula matematic , încare intr numai m rimi, în formula fizic corespunz toare intr numai valorile m surate.

Spre exemplu, formula matematic a ariei unui dreptunghi cuprinde m rimile laturilorL i l i m rimea ariei S, deci formula matematic corespunz toare va fi:

S = L·l (1.3)Pentru a utiliza aceast formul fizic sunt necesare m surarea lui S, L i l.Notând cu [S], [L] i [l] unit ile de m sur pentru suprafa , lungime i l ime, iar cu

S, L i l valorile numerice ale suprafe ei, lungimii i l imii, vom avea:S = S[S] (1.4)L = L[L] (1.5)l = l[L] (1.6)(este tot o lungime, deci are aceea i unitate de m sur )Înlocuind în formula matematic vom ob ine:S[S] = L[L]l[L] (1.7)S[S] = Ll[L]2 (1.8)

[ ][ ] lLSLS

2

= (1.9)

deci valoarea ariei este direct propor ional cu produsul valorilor laturilor lui.Coeficientul de propor ionalitate:

[ ][ ]SLK

2

= (1.10)

se nume te coeficient parazit.Valoarea coeficientului parazit depinde de unit ile de m sur alese: de exemplu, dac

[L] = 1 m i [S] = 1 ha, K = 10-4.Dac într-o formul fizic apare un coeficient parazit, spunem c unit ile de m sur

folosite nu sunt coerente (sistem necoerent). Pentru a simplifica formulele fizice este necesar alegem în a a fel unit ile de m sur încât coeficientul parazit al formulei fizice s fie K =

1.Un sistem de unit i în care K = 1 este un sistem coerent.Un sistem de unit i fizice este alc tuit din unit ile unor m rimi considerate

fundamentale i toate celelalte unit i derivate din acestea prin formulele fizice.

7. Sistemul Interna ional

4 din 163

Sistemul interna ional (S.I.) a fost adoptat prin lege la noi în ar în 1962, el fiinddefinit de Conven ia Interna ional de M suri i Greut i inut la Paris în 1960.

Acest sistem folose te ca unit i fundamentale, pe care le define te cu mare precizie,pentru lungime – metrul, pentru timp – secunda, pentru mas – kilogramul, pentru intensitateacurentului electric – amperul, pentru temperatur – kelvinul i pentru intensitatea luminoas –candela. Acest sistem este în a a fel conceput ca s evite apari ia coeficien ilor parazi i sau,

cum se întâmpl în electricitate, coeficientul parazitπ41 este „deplasat“ din formulele mai

utilizate în altele mai pu in folosite.Se utilizeaz urm toarea simbolizare:[L]SI = 1m;[T]SI = 1s;[M]SI = 1kg;[I]SI = 1A;[Îl]SI = 1Cd;

]SI = 1rad;]SI = 1sr.

Din aceste unit i fundamentale, prin formule fizice care definesc alte m rimi fizice,vor rezulta unit ile de m sur ale acestor m rimi, de exemplu:

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ]s

radt

sAtiQtiQsm

TL

txv

txv

SI

SISISI

SISISI

SI

SI

SI

SISI

1

1;

;

=

=

⋅==⋅=

==∆∆

=∆∆

=

ω

ωα

8. Omogenitatea formulelor

Legile fizicii sunt legi obiective, ele existând independent de modul în care le studiem.Deci formulele matematice care exprim legi fizice trebuie s r mân invariante la schimbareaunit ii de m sur pentru m rimile fundamentale.

De exemplu, temperatura de înghe a apei este aceea i, dar poate fi exprimat în oC ica fiind egal cu 273,16 K sau în unit i tolerate, fiind egal cu 0 oC.

Pentru ca legile fizicii exprimate prin formule matematice s fie invariante laschimbarea unit ilor de m sur , este necesar ca acestea s fie omogene.

Condi ia de omogenitate const în aceea c dimensiunile membrului I al egalit ii sfie egal cu dimensiunile membrului II, iar termenii unei sume s aib acelea i dimensiuni. Încaz contrar, se ajunge la absurdit i.

9. Analiza dimensional a formulelor fizice

inând cont de faptul c formulele care exprim legi fizice trebuie s fie omogene dinpunctul de vedere al dimensiunilor, putem elabora o metod foarte simpl i eficace dedeterminare a unor noi formule.

presupunem c avem dou m rimi fizice A i B între care exist rela ia A = B.

5 din 163

mai presupunem c m rimea fizic A are dimensiunile:[A] = L 1M 1T 1I 1… i la fel pentru m rimea B[A] = L 2M 2T 2I 2…Condi ia de omogenitate ne oblig s scriemL 1M 1T 1I 1… = L 2M 2T 2I 2… (1.11)

1 = 2, 1 = 2, 1 = 2, 1 = 2 …Coeficien ii , , , , … care pot fi întregi sau frac ionari reprezint dimensiunile

rimilor A sau B în raport cu unit ile fundamentale. Formula dimensional respect formulafizic .

Exemple:1. Cunoscând c perioada de oscila ie a unui pendul gravita ional depinde de lungimeaacestuia i de accelera ia gravita ional a locului, s g sim prin metoda analizei dimensionaleformula matematic a perioadei.

= f(l,g) (1.12)Înc rc m sub form de monom algebric: = k · l ·g (1.13)

i se pune problema determin rii lui , i k.Scriem rela ia dimensional:

] = [k] · [l] · [g] (1.14)(k este adimensional)

β−βαβ

α =

= 2

2 TLkLTLkLT

β−β+α= 2TkLT (1.15)Conform principiului de omogenitate:1 = -2 deci + = 0 => = -0,5 i = -0,5

glkgklT == 5,05,0 (1.16)

2. S se determine prin analiz dimensional formula matematic a vitezei de propagare aundei longitudinale, tiind c ea depinde de modulul de elasticitate al mediului i de densitateaacestuia.

C = f(E, ) (1.17)C = k · E · (1.18)

0llE

EF ∆

= (1.19)

lSFlE∆

= 0 (1.20)

LTM

LL

LTML

lSlFE 22

20

]][[]][[

][ ==∆

= (1.21)

Vm

=ρ (1.22)

3][][][

LM

Vm

==ρ (1.23)

6 din 163

[ ]TLC = (1.24)

[C] = k · [E] ·[ ] (1.25)βα

= 32 L

MLT

MkTL (1.26)

L · T-1 = k · M · T-2 · L-2 -3 (1.27)

=β+αα−=−

β−α−=

021

31

21

=α =>21

−=β (1.28)

C = k · E1/2 · -1/2 = k ·2

1

ρE =

ρEk ;

Constanta k = 1 se determin experimental.

7 din 163

Capitolul 2Oscila ii i unde eleastice

2.1 Cinematica i dinamica mi rii oscilatorii

În natur i în tehnic observ m apari ia unei serii de mi ri în care un punct materialsau un corp î i schimb pozi ia alternativ, fa de o pozi ie median de echilibru. De exemplu,mi carea unui pendul, mi carea unei frunze în b taia vântului, mi carea particulelor de lichidsub ac iunea valurilor, mi carea unei nave pe mare, mi carea unui piston în cilindrul uneima ini termice, etc. Astfel de mi ri se numesc mi ri oscilatorii. DEFINI IE: mi carea oscilatorie este o mi care alternativ periodic în timp a unuicorp în jurul unei pozi ii de echilibru. În fizic se întâlnesc i alte fenomene în care un parametru (m rime fizica) sufer ovaria ie periodic în jurul unei valori de echilibru (de exemplu o tensiune alternativ ); astfel defenomene se numesc oscila ii i de i nu sunt mi ri, legile pe care le vom deduce pentrumi carea oscilatorie pot fi extinse i în aceste situa ii. În orice proces oscilant are loc transformarea energiei dintr-o form cinetic într-oform poten ial .

2.2 Dinamica mi rii oscilatorii unidimensionale

presupunem c un corp de masa m este legat de un resort elicoidal (spiral) i sese te pe o mas orizontal f frecare uscat (µ = 0). În situa ia când resortul nu este întins

sau comprimat, corpul se g se te în echilibru. Dac acest corp este scos din pozi ia deechilibru, for a elastic va readuce corpul spre pozi ia de echilibru, având loc simultan otransformare a energiei poten iale în energie cinetic i o pierdere de energie prin interac iuneasistemului cu mediul exterior. La revenirea în pozi ia de echilibru, energia poten ial pe care aavut-o resortul când s-a întins, s-a transformat par ial în energie cinetic i, deci, în aceastpozi ie for a elastic este nul ; datorit iner iei corpul î i continu drumul pân la o pozi ieextrem , dup care fenomenul continu în sens invers. Deci are loc o oscila ie a sistemului înjurul pozi iei de echilibru, oscila ie care dureaz pân când sistemul î i pierde energia pe carea acumulat-o ini ial prin interac iune cu mediul exterior.

Se tie c reac iunea dat de arc care se opune deform rii acestuia este propor ional ide sens contrar elonga iei (dep rt rii de pozi ia de echilibru).

8 din 163

Figura 2.1For e cu o astfel de comportare exist i în alte situa ii (nu apar numai în cadrul

elasticit ii) i se numesc for e de revenire sau for e cvasielastice, constanta k numindu-seconstant cvasielastic i depinzând de caracteristicile sistemului.

Vom considera sisteme oscilante care au dimensiuni suficient de reduse i din acestmotiv, for ele de rezisten din partea mediului vor fi de tipul frec rii vâscoase unde for a defrecare depinde de puterea întâi a vitezei.

vrFrrr

πη−= 6 (2.1)

tim c xdtxdv &rr

r== , pentru un corp oarecare

xFr&r

r

ρ−= saudtxdFr

rr

ρ−= (2.2)

unde ρ se nume te coeficient de rezistenta.Rezultanta for elor care ac ioneaz asupra corpului va fi:

vkxF ρ−−= (2.3)Dar conform principiului al II-lea al lui Newton

xmdt

xdmdtdvmmaF &&==== 2

2

(2.4)

deci:

vkxdt

xdm ρ−−=2

2

sau

02

2

=ρ++ vkxdt

xdm sau

02

2

=+ρ+ kxdtdx

dtxdm (2.5)

Aceasta este o ecua ie diferen ial de ordinul II cu coeficien i constan i care se maipoate pune i sub urm toarea form :

02

2

=+ρ

+ xmk

dtdx

mdtxd (2.6)

ecua ia devenind astfel: 02 202

2

=ω+δ+dtdx

dtxd (2.7)

facem nota iile δ=ρ 2m

si 20ω=

mk (2.8)

9 din 163

În teoria ecua iilor diferen iale se arat c solu ia unei astfel de ecua ii este de forma:

( ) ∑=

λ⋅=n

i

ti

iectx1

(2.9)

ic sunt constante care trebuie determinate prin condi iile ini iale, iar iλ sunt solu iile ecua ieialgebrice ata ate ecua iei, de forma: (ecua ia caracteristica)

02 20

2 =ω+δλ+λ (2.10) Solu iile ecua iei caracteristice vor fi:

20

22,1 ω−δ±δ−=λ (2.11)

Aceste solu ii pot fi complexe sau reale dup cum ac iunea for elor rezistente este maimare sau mai mic decât ac iunea for ei elastice. În cazul când for ele rezistente sunt mici ω<δ i

20

22,1 ω−δ±δ−=λ i (2.12)

i solu ia ecua iei diferen iale se va prezenta în felul urm tor:

( )

( )

+=

+=

δ−ω−δ−ωδ−

δ−ω−δ−

δ−ω+δ−

titit

titi

ececectx

ecectx22

022

0

220

220

211

21 (2.13)

Not m: 220 δ−ω=ω (2.14)

i o numim pseudopulsa ie i ecua ia devine:

( ) ( )titit ececetx ω−ωδ− += 21 (2.15)Conform formulelor lui Euler α⋅±α=α± sincos ie i vor rezulta:

( ) ( ) ( )[ ]titctitcetx t ω⋅−ω+ω⋅+ω= δ− sincossincos 21

( ) ( ) ( )[ ]tccitccetx t ω−+ω+= δ− sincos 2121 (2.16)m factor comun for at pe ( )21 cc + deci:

( ) ( ) ( )( )

ω

+−

+ω+= δ− tcccci

tccetx t sincos21

2121

Notez: ( )( )21

21

ccccitg

+−

=ϕ

( ) ( )[ ]

( ) ( )ϕ

ω⋅ϕ+ϕω+=

ωϕ+ω+=

δ−

δ−

cossinsincoscos

sincos

21

21

ttccetx

ttgtccetx

t

t

dar cos se poate exprima în func ie de tg prin rela ia cunoscut din trigonometrie:

ϕ+=ϕ

21

1costg

deci( )( )2

21

2211

1cos

cccc

+

−−

=ϕ

21

212221

21

2221

21

21

222cos

cccc

cccccccc

cc +=

−+−++

+=ϕ (2.17)

10 din 163

deci x(t) va deveni:( ) ( )α−ω= δ− tecctx t cos2 21 (2.18)

Se observ c valoarea maxim a lui x(t) scade exponen ial cu timpul.Not m:

Α=212 cc iar ( )tecc t Α=δ−212

( ) ( )( ) ( ) ( )ϕ+ωΑ=

ϕ+ωΑ= δ−

tttxsautetx t

coscos

(2.19)

unde ( ) tet δ−⋅Α=Αi se reprezint ca în figura 2.2

Fig. 2.2O astfel de mi care se nume te mi care oscilatorie armonizat . Se observ c

amplitudinea A(t) este exponen ial sc toare în timp, amortizarea oscila iei depinzând defactorul de amortizare . Pentru a caracteriza modul în care se amortizeaz o oscila ie seutilizeaz decrementul logaritmic definit ca fiind logaritmul natural al raportului valorilorelonga iilor maxime succesive de aceea i parte a pozi iei de echilibru.

( )( )Tt

t+Α

Α=∆ ln (2.20)

( ) Τ⋅δ==Α

Α=∆ Τδ−+δ−

δ−

eee

Tt

t 1lnln (2.21)

T fiind pseudoperioada22

0

22δ−ω

π=

ωπ

=Τ (2.22)

( ) tet δ−Α=Α daca facemδ

=τ=1t

( )e

e Α=Α=τΑ −1 (2.23)

deciδ

=τ1 este timpul în care amplitudinea scade de „e” ori i se nume te timp de relaxare.

În cazul frec rilor mari 0ω>δ solu ia ecua iei caracteristice va fi:20

22,1 ω−δ±δ−=λ Notez 2

02 ω−δ=q .

11 din 163

Deci q±δ−=λ 2,1 (2.24)Rezult c :

( ) ( )qtqtt ececetx −δ− += 21 (2.25)

Dac introducem func iile:2

xx eeshx−−

= i2

xx eechx−+

= (2.26)

se observ c : shxchxe x ±=± deci:( ) ( ) ( )[ ]shqtccchqtccetx t

2121 +++= δ− (2.27) Se observ c ecua ia de mi care nu mai este periodic , deci nu mai au loc oscila ii,mi carea amortizându-se. Modul cum are loc amortizarea depinde de viteza ini ial imprimatsistemului. Modul de varia ie a func iei x(t) este reprezentat în figura 2.3:

Fig. 2.3 Cunoa terea modului de amortizare este important în tehnica pentru construireaamortizoarelor de oscila ii ale diferitelor instala ii. Un caz particular foarte important al mi rii oscilatorii este cazul când nu exist forde rezisten (caz ideal). O asemenea mi care se nume te mi care oscilatorie armonic . Dac = 0 ecua ia mi rii devine:

( ) ( )00cos ϕ+ωΑ= ttx (2.28) Mobilul oscileaz între dou extreme A i –A în jurul pozi iei de echilibru,amplitudinea r mânând constant . Are loc o transformare a energiei cinetice în energiepoten ial i invers, dar energia total se conserv în absen a interac iunilor cu mediul.

2.3 Energia oscilatorului în mi carea oscilatorie armonic

În aceast mi care oscilatorul are în fiecare moment o energie cinetic i o energiepoten ial datorat for ei elastice (la extreme 0=ΕC , iar în pozi ia de echilibru 0=ΕΡ ).

Energia cinetic va fi2

2vmC

⋅=Ε , iar energia poten ial elastic

2

2xk ⋅=ΕΡ .

12 din 163

Energia total a oscilatorului armonic va fi:

22

22 kxmvC +=Ε+Ε=Ε Ρ (2.29)

dar

( ) ( ) ( )00000 sincos

ϕ+ωΑω−=ϕ+ωΑ

== tdt

tdtxv (2.30)

deci energia total devine:( ) ( )

2cos

2sin 00

2200

2220 ϕ+ωΑ

+ϕ+ωΑω

=Εtktm

(2.31)

dar20

20 ω=⇒=ω mk

mk

Înlocuind în formula energiei totale, vom ob ine:( ) ( )

2cossin 00

222000

2220 ϕ+ωΑω+ϕ+ωΑω

=Εtmtm

(2.32)

deci energia total devine:

2

220Αω

=Εm

(2.33)

În lipsa interac iunilor oscilatorului cu mediul, conform principiului conserv riienergiei E = constant . Dac reprezent m grafic energia poten ial în func ie de elonga ie conform rela iei:

2

220 xmω

=ΕΡ vom ob ine o parabol , la care fiecare ordonat reprezint energia poten ial , iar

prelungirea sa (punctat ) reprezint energia sa cinetic Ε=Ε+ΕΡ C fiind constant (figura2.4).

Figura 2.4

2.4 Bilan ul energetic în mi carea oscilatorie amortizat

În mi carea oscilatorie amortizat sistemul oscilant (oscilatorul) fiind în interac iune cumediul, va ceda acestuia energie: acest proces este numit disiparea energiei. Pentru a g simodul în care se disip energia vom pleca de la ecua ia diferen ial a mi rii în formaoriginal , dat de (2.5) i o înmul ire cu viteza dtdxv = :

13 din 163

dtdxkx

dtdx

dtxdm ⋅=+ρ+ 02

2

(2.34)

02

2

=+

ρ+

dtdxkx

dtdx

dtxd

dtdxm (2.35)

Se observ prin verificare direct c :

⋅=⋅

2

2

2

21

dtdx

dtd

dtxd

dtdx i c :

( )2

2x

dtdk

dtdxkx ⋅=⋅

deci rela ia devine:

( ) 022

222

=⋅+

ρ+

⋅ x

dtdk

dtdx

dtdx

dtdm (2.36)

Dar m/2 i k/2 sunt constante, deci pot fi introduse în derivate.

022

222

=

+

ρ+

kx

dtd

dtdx

dtdxm

dtd

Sau222

22

ρ−=

+

dtdxkx

dtdxm

dtd

dar vdtdx

= , deci

222

22vkxmv

dtd

ρ−=

+ (2.37)

Ε=+22

22 kxmv (2.38)

reprezint energia total a sistemului oscilant, deci:2v

dtd

ρ−=Ε

00 22 <ρ−⇒> vv de unde 0<Ε

dtd (2.39)

Dac derivata unei func ii este negativ , atunci func ia este descresc toare, decienergia sistemului scade. Maximul de sc dere este în momentul când v este maxim.

Φ=Ε

⋅dtd

21 (2.40)

se nume te func ie de disipa ie a sistemului, i caracterizeaz modul în care sistemul cedeazenergie mediului.

14 din 163

2.5 Mi carea oscilatorie între inut

Studiind mi carea oscilatorie amortizat , am constatat c sistemul oscilant pierde înmod continuu energie. În multe situa ii din tehnic , este necesar s se men in amplitudinea unei oscila iiconstant . În acest caz vom face ca sistemul s primeasc din exterior impulsuri periodice care

compenseze pierderile de energie ale sistemului. O astfel de situa ie se întâmpl la ceasurilemecanice unde oscila ia pendulului sau a balansierului este men inut cu amplitudineconstant cu ajutorul mecanismului ancor -clinchet, pierderile de energie fiind compensate deenergia poten ial acumulat în sistemul de greut i sau într-un resort spiral. Vom studia în continuare efectul unei for e oscilante asupra unui sistem oscilant.

Deci pe lâng for a elastic (-kx) i for a de frecare vâscoas

ρ−

dtdx mai ac ioneaz

o perturba ie extern care variaz armonic în func ie de timp.( ) tFtF 1cosω=

deci ecua ia diferen ial a mi rii devine:

tFkxdtdx

dtxdm 12

2

cosω=+ρ+ (2.41)

Solu ia unei astfel de ecua ii se compune din doi termeni: 1x care este solu ia ecua ieiomogene (f membrul drept), solu ie care a fost deja studiat i un termen 2x de formatermenului liber. Deci:

( ) ( ) ( )txtxtx 21 += (2.42)

Pentru ( )tx1 : ( ) ( )ϕ+ωΑ= δ− tetx t cos1 în care tim c : 220 δ−ω=ω (pseudopulsatia).

Pentru ( )tx2 : tiind c ( ) tFtF 1cosω= îl vom c uta pe ( )tx2 sub aceea i formarmonica.

( ) ( )112 cos ϕ+ωΒ= ttx (2.43)(O for a externa oscilatorie provoac tot o oscila ie de amplitudine B i faz ini ial 1ϕ ) Solu ia ecua iei diferen iale va fi:

( ) ( ) ( )111 coscos ϕ+ωΒ+ϕ+ωΑ= δ− ttetx t (2.44)Dup un timp suficient de lung t >> primul termen devine neglijabil 0→δ− te ; nu r mâne

decât ( )tx2 care va trebui s satisfac ecua ia original . Pentru aceasta calcul mdt

dx2 i 22

2

dtxd

i le introducem în ecua ia original . Astfel:

( )

( )11212

22

1112

cos

sin

ϕ+ωΒω−=

ϕ+ωΒω−=

tdt

xd

tdt

dx

(2.45)

Introducând în ecua ie vom ob ine:( ) ( ) ( ) tFtkttm 11111111

21 coscossincos ω=ϕ+ωΒ+ϕ+ωΒρω−ϕ+ωΒω− (2.46)

Pentru a simplifica vom scrie ( )[ ]1111 coscos ϕ−ϕ+ω=ω tFtF i vom dezvoltacosinusul diferen ei. Deci:

15 din 163

( ) ( ) ( )( ) ( ) 111111

111111121

sinsincoscoscossincos

ϕϕ+ω+ϕϕ+ω==ϕ+ωΒ+ϕ+ωΒρω−ϕ+ωΒω−

tFtFtkttm

( ) ( ) ( ) ( ) 0sinsincoscos 111111121 =ϕ+ωϕ+Βρω−ϕ+ωϕ−Β+Βω− tFtFkm

deci:( )2

11cos ω−Β=ϕ mkF si Βρω−=ϕ 11sinF (2.47)Calcul m 1sin ϕ i 1cosϕ i facem 1cossin 1

21

2 =ϕ+ϕ

( ) 12

221

2

2

221

2

=ω−Β

+Βωρ

Fmk

F ; ( )[ ] 22

1222

12 Fmk =ωρ+ω−Β (2.48)

Amplitudinea mi rii for ate devine:

( ) 21

2221 ωρ+ω−

=Βmk

F dar 20ω= mk i δ=ρ m2

( ) 21

22221

20 4 ωδ+ω−ω

=Βmmm

F

deci( ) 2

1222

120 4 ωδ+ω−ω

=Βm

F (2.49)

i 21

20

1

1

11

2cossin

ω−ωδω

−=ϕϕ

=ϕtg (2.50)

Rezonan aSe observ c pe m sur ce pulsa ia oscila iei exterioare, perturbatoare tinde c tre

pulsa ia proprie de oscila ie a sistemului, amplitudinea oscila iei for ate cre te (aceasta în lipsafrec rilor) foarte mult ( ); în prezen a frec rilor B au un maxim. Fenomenul se poate explicaprin faptul c la o anumit pulsa ie sistemul absoarbe foarte mult energie de la sursaexterioar de energie (cea care între ine oscila ia).

În aceast situa ie spunem c sistemul oscilant i sistemul perturbator exterior sunt înrezonan .

Ne propunem s calcul m maximul func iei ( )ωΒ .Pentru ca func ia s prezinte un extrem este necesar ca:

( )0

1

1 =ωωΒ

dd

(2.51)

( ) ( )( )[ ]

04

423

21

2221

20

12

121

20

1

1 =ωδ+ω−ω

ωδ−ωω−ω±=

ωωΒ

mF

dd (2.52)

deci:( ) 02 22

120 =δ−ω−ω

2201

220

21 22 δ−ω=ω⇒δ−ω=ω (2.53)

pe care îl introducem în ( )1ωΒ ; deci:

16 din 163

220

max2 δ−ωδ

=Βm

F (2.54)

maxΒ în general atinge valori mult mai mari decât A amplitudinea oscila iei libere.Dac ( )ωΒδ≤ω ,2 22

0 nu are nici un maxim în domeniul valorilor reale ale lui 1ω , nu seproduce rezonan a.

Daca 0=δ , nu exist nici o amortizare i deci pentru ∞→Βω→ω max01 , .

În unele domenii ale mecanicii rezonan a poate duce la apari ia unor vibra ii cuamplitudine foarte mare care poate produce deteriorarea unor piese în mi care.

2.6 Reprezentarea mi rilor oscilante

1. Reprezentarea grafic const în reprezentarea grafic a sinusoidelor i opera ii cuaceste reprezent ri. Este o metod complicat i greoaie.

2. Reprezentarea analitic : se scriu m rimile oscilante sub forma oscila iilor care lereprezint ( ) ( ) ( ) ( )22221111 sin;sin ϕ=ωΑ=ϕ+ωΑ= ttxttx etc. i se opereaz cu ele ca atare.De asemenea i aceast metod creeaz complica ii de calcul.

3. Reprezentarea fazorial (Fresnel) sau vectorial : se reprezint m rimile oscilanteprin fazori.

Un fazor este un vector simbolic, având originea în originea sistemului de axe XOY,având modulul egal cu amplitudinea m rimii oscilatorii reprezentate, f când în momentul t cuaxa OX un unghi egal cu faza 0ϕ+ωt i rotindu-se cu o vitez unghiular egal cu pulsa ia

rimii reprezentat în figura 2.5

Figura 2.5Se observ c proiec ia acestui fazor pe axele OX respectiv OY reprezint oscila ii

armonice

17 din 163

( ) ( )( ) ( )0

0

sincos

ϕ+ωΑ=ϕ+ωΑ=

ttyttx

(2.55)

Astfel opera iile cu m rimi oscilante se reduc la opera ii de compunere idescompunere de vectori fiind valabile toate regulile, de adunare, sc dere i înmul ire avectorilor. Este o metoda foarte mult utilizat în electrotehnic .

4. Reprezentarea complexAta m planului XOY în care este reprezentat fazorul Α , un plan complex: figura 2.6.

Figura 2.6

În electrotehnic se utilizeaz 1−=j . M rimea oscilant x(t) în complex o vom notacu x(t). Vârful fazorului va reprezenta un num r complex având ca parte real

( )ϕ+ωΑ= tx cosRe i ca parte imaginar ( )ϕ+ωΑ= tx sinIm deci num rul complex carereprezint fazorul în planul (+1;0;+i) va fi:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ+ω+ϕ+ωΑ=ϕ+ωΑ+ϕ+ωΑ=

+=

tittit sincossincosxsau

xImiRexx (2.56)

Folosind formula lui Euler vom ob ine:( )ϕ+ωΑ= tiex unde xx 22 ImRe +=Α (2.57)

A se mai poate calcula înmul ind pe x cu conjugata sa x ∗ .∗=Α xx2 (2.58)

2.7 Compunerea oscila iilor

2.7.1 Compunerea oscila iilor paralele de aceea i pulsa ie (sintone)Vom aborda aceast compunere prin metoda complex . Consider m un corp supus

simultan ac iunii a dou oscila ii paralele i de aceea i frecven , care îns au amplitudini ifaze ini iale diferite. Le vom reprezenta prin dou numere complexe:

( )111

ϕ+ωΑ= tiex i ( )222

ϕ+ωΑ= tiexVa rezulta o oscila ie compus (rezultant ) care va avea amplitudinea A i faza ini ial

, pe care ne propunem s le determin m. X reprezint în complex rezultanta oscilant , deci:

( ) ( )ϕ+ωϕ+ω Α+Α=+= titi eexxx 2121 (2.59)( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ϕ+ω−ϕ+ω−ϕ+ωϕ+ω∗ Α+ΑΑ+Α==Α titititi eeeexx 2121

2 (2.60)( ) ( ) 2

2212121

2 2112 Α+ΑΑ+ΑΑ+Α=Α ϕ−ω−ϕ+ωϕ−ω−ϕ+ω ttitti eedeci ( ) ( )[ ]1212

2122

21

2 ϕ−ϕ−ϕ−ϕ +ΑΑ+Α+Α=Α ii ee (2.61)

18 din 163

Utilizând rela iile lui Euler:α=+ α−α cos2ii ee ob inem:

( )122122

21

2 cos2 ϕ−ϕΑΑ+Α+Α=Α

si ( )122122

21 cos2 ϕ−ϕΑΑ+Α+Α=Α (2.62)

Faza ini ial rezultant( ) ( )2121

212121ϕϕωϕωϕω Α+Α=Α+Α=+= iitiitiiti eeeeeeexxtx (2.63)

Utilizând din nou rela iile lui Euler i grupând în parte real i parte imaginar vom avea:( ) ( ) ( )[ ]22112211 sinsincoscos ϕΑ+ϕΑ+ϕΑ+ϕΑ= ω ietx ti (2.64)

Not m 2211 coscoscos ϕΑ+ϕΑ=ϕΑ i 2211 sinsinsin ϕΑ+ϕΑ=ϕΑ (2.65)( ) ( ) ( )ϕ+ωϕωω Α=Α=ϕ+ϕΑ= tiititi eeeietx sincos

Deci faza mi rii rezultante este tocmai introdus de noi. Prin urmare

2211

2211

coscossinsin

cossin

ϕΑ+ϕΑϕΑ+ϕΑ

=ϕϕ

=ϕtg (2.66)

2.7.2 Compunerea oscila iilor paralele cu pulsa ii diferite

analiz m acum situa ia când 21 ω≠ω .Repetând calculele de la situa ia precedenta va rezulta:

( )[ ]12212122

21 cos2 ϕ−ϕ+ω−ωΑΑ+Α+Α=Α t (2.67)

deci amplitudinea mi rii rezultante depinde de timp.maxΑ=Α atunci când ( )[ ] 1cos 1221 =ϕ−ϕ+ω−ω t

deci: 212122

21max 2 Α+Α=ΑΑ+Α+Α=Α (2.68)

minΑ=Α atunci când ( )[ ] 1cos 1221 −=ϕ−ϕ+ω−ω t

deci: 212122

21min 2 Α−Α=ΑΑ−Α+Α=Α (2.69)

Amplitudinea oscila iei rezultante se va modifica între 21 Α+Α i 21 Α−Α dac

12 ϕ=ϕ . Pentru ( ) π=ω−ω 212 t avem maxim. S not m cu timpul dup care apare al doileamaxim. Deci: ( )( ) π=τ+ω−ω 412 t (2.70)

F când diferen a ob inem12

2ω−ω

π=τ (2.71)

Deci amplitudinea mi rii se va modifica între maxΑ i minΑ cu perioada : figura 2.7.

19 din 163

Fig. 2.7Oscila iile în care amplitudinea variaz în timp se numesc b i. În aparatura de

recep ie radiotelegrafic exist oscilatorul „beat” a c rui frecven se poate modifica manual îna fel încât radiotelegrafistul, prin sesizarea b ilor, s poat separa auditiv un emi tor de

altul.

2.7.3 Compunerea oscila iilor perpendiculare, de aceea i frecven admitem c un corp este supus simultan la dou mi ri oscilatorii armonice, una

efectuându-se pe axa OX i cealalt pe OY. Între ele exist un defazaj ϕ∆ . Admi ând (prinalegerea sistemului de referin ) c faza ini ial a mi rii pe axa OX este nul , ecua iile demi care vor fi:

tx ωΑ= cos i ( )ϕ∆+ωΒ= ty cos (2.72)

txω=

Αcos , iar ϕ∆

Α−=ω sin1sin 2

2xt sau ϕ∆ω−ϕ∆ω=Β

sinsincoscos tty

înlocuim tωcos i tωsin , deci:

ϕ∆Α

−−ϕ∆Α

=Β

sin1cos 2

2xxy

sau

Β−ϕ∆

Α=ϕ∆

Α−

yxx cossin1 2

2

se ridic la p trat i se ob ine:

2

22

2

22

2

2

cos2cossin1Β

+ϕ∆ΑΒ

−ϕ∆Α

=ϕ∆

Α

−yxyxx

sau

( ) 2

222

2

22 cos2cossinsin

Β+ϕ∆

ΑΒ−ϕ∆+ϕ∆

Α=ϕ∆

yxyx

sau

ϕ∆=ϕ∆ΑΒ

−Β

+Α

22

2

2

2

sincos2xyyx (2.73)

Aceasta formul reprezint ecua ia unei eclipse înscrise într-un dreptunghi cu laturile2A si 2B, ale c rei laturi nu coincid cu axele OX i OY i sunt rotite cu un unghi

ϕ∆Β−Α

ΑΒ=ψ cos22 22tg (2.74)

20 din 163

Figura 2.8

- Pentru π=ϕ∆ k2 ecua ia elipsei devine 022

2

2

2

=Β

+ΑΒ

−Α

yxyx sau 02

=

Β−

Αyx

sau xyΑΒ

= deci dreapta AC (2.75)

- Pentru ( )π+=ϕ∆ 12k , ecua ia devine 022

2

2

2

=Β

+ΑΒ

+Α

yxyx

sau xyΑΒ

−= adic dreapta BD (2.76)

- Pentru alte valori ale lui ϕ∆ se ob in elipse cu diferite excentricit ti i înclin ri fa de axe.

Fig. 4.10 Elipse stângi

Fig. 4.11 Elipse drepte

În cazul când pulsa iile celor dou mi ri armonice nu mai sunt egale, în func ie dediferen a de faz i de raportul amplitudinilor, se ob in figuri mai complicate numite figurile

lui Lissajaus. Curbele ob inute sunt curbe închise doar dac2

1

2

1

kk

=ωω

unde 1k si 2k sunt

numere întregi.

Cunoscând 1ω i determinând raportul2

1

kk se poate determina o pulsa ie necunoscut

2ω . De regul vizualizarea se face pe ecranul unui osciloscop.

2.8 Descompunerea mi rii periodice

S-a constatat c , dac se suprapun mai multe mi ri oscilatorii armonice, mi carearezultant nu mai este o oscila ie armonic . Oscila iile care apar în tehnic sunt în generaloscila ii nearmonice. De mare importan în studiul oscila iilor este descompunerea uneioscila ii nearmonice în oscila ii armonice, care pot fi studiate mult mai u or. Matematicianul

21 din 163

francez Fourier a rezolvat aceast problem prin demonstrarea unei teoreme care se enun înfelul urm tor:O func ie y = f(t) continu pe intervalul de la 1t la Τ+= 12 tt se dezvolt într-o serie de forma

( ) ( )∑∞

=

ω+ωΒ+Α==1

0 sincosn

nn tnCtntfy (2.77)

Coeficien ii nn C,,0 ΒΑ sunt:

( )∫Τ

Τ=Α

o

dttf10 ; ( )∫

Τ

ωΤ

=Β0

cos2 tdtntfn i ( )∫Τ

ωΤ

=0

sin2 tdtntfCn (2.78)

Condi ii: - y sa fie finit - s aib un num r finit de maxime i minime - s aib un num r finit de discontinuit iDeci orice oscila ie nearmonic se poate scrie în felul urm tor:

( ) ( ) ( ) ( ) ...3sin3cos2sin2cossincos 3322110 +ω+ωΒ+ω+ωΒ+ω+ωΒ+Α= tCttCttCttf

primul termen se nume te termen de ordin 0, al doilea termen de ordinul I sau fundamental(armonica fundamental ), iar termenii de ordinul superior sunt armonice superioare. Deciorice oscila ie, indiferent de forma lui f(t), dac îndepline te condi iile teoremei Fourier poatefi considerat ca o suprapunere de oscila ii armonice. Seria fiind convergent , amplitudinilearmonicelor scad cu ordinul lor. Seria const deci dintr-un termen constant i un num r infinitde oscila ii cu pulsa ii (fundamentala), 2 prima armonica, 3 a doua, etc.

22 din 163

Capitolul 3Unde elastice

3.1 Propagarea oscila iilor în medii elastice

consider m un mediu elastic. Acesta este un mediu continuu format din punctemateriale între care se exercit for e elastice. Dac un punct al mediului este perturbat (scosdin pozi ia de echilibrare) el va oscila. Acest punct fiind legat de punctele învecinate prin for ede tip elastic, va transmite impulsul s u acestor puncte care vor oscila i ele. Astfel, dinaproape în aproape, toate punctele mediului vor începe s oscileze.

Acest fenomen de transmitere a unei perturba ii într-un mediu elastic se nume te undelastic . Punctul care prin oscila ie a dat na tere undei, se nume te surs .

Se pot da foarte multe exemple: o coard elastic lovit , undele care se propag pesuprafa a apei dup c derea unei pietre, sunetul, etc.

Locul geometric al punctelor celor mai dep rtate de surs , atinse la un moment dat demi carea oscilatorie se nume te front de und , iar locul geometric al punctelor atinse în acela imoment de mi carea oscilant se nume te suprafa de und .

Dac oscila iile se efectueaz pe direc ia de propagare a undei, aceasta se nume teund longitudinal , iar dac oscila ia se produce perpendicular pe direc ia de propagare, undase nume te transversal .

Distan a pe care oscila ia s-a propagat într-o perioad în lungul direc iei de propagarese nume te lungime de und .

Not m cu c viteza de propagare a undei:

ν=⋅=λ

cTc (3.1)

Într-un mediu elastic, particulele care alc tuiesc mediul nu se propag odat cu unda,ele nu execut decât mi ri oscilatorii în jurul pozi iei de echilibru. Ceea ce se propag esteenergia i impulsul.

3.2 Ecua ia de propagare a undelor elastice

3.2.1 Ecua ia de propagare a unei unde elastice transversale pe o coard infinit delungaDac un punct al corzii este supus unei perturba ii, aceasta se va propaga în lungul

corzii dând na tere la o und transversal . Fiecare punct al corzii oscileaz având o elonga ie(x,t).

Consider m un element infinitezimal din coard , de lungime dx i mas dm, coardafiind solicitat la întindere cu tensiunea T.

23 din 163

Figura 3.1

Se remarc faptul c rezultanta for elor elastice care readuc elementul de coard înpozi ia de echilibru este yy 21 Τ−Τ deci conform principiului II al lui Newton:

admyy ⋅=Τ−Τ 21

( )txa ,ψ=dar

( ) 2

2

,t

txa∂

ψ∂=ψ= && i αΤ=Τ sin11y , iar ( )α−αΤ=Τ dy sin22 (3.2)

( )

α≈α=αααΤ+ααΤ−αΤ=

=α−αΤ−αΤ=Τ−Τ

d1sindcosdDarcossincossinsin

sinsin21

dddyy

(3.3)⇒

⇒ α⋅αΤ=Τ−Τ dyy cos21

Se tie c ( ) α⋅α=α dd cossin (3.4)

Deci ( ) 2

2

sindt

dmd ψ∂⋅=αΤ (3.5)

Dar lungimea elementului de coard fiind extrem de mic i unghiul este foarte mic, deciα≈α tgsin . Înlocuind in (3.5) ob inem:

( ) 2

2

dtdmtgd ψ∂

⋅=αΤ (3.6)

Cu aproxima ie foarte bunx

tg∂ψ∂

=α

2

2

2

2

tdx

x ∂ψ∂

⋅µ=∂

ψ∂⋅Τ⇒ sau 2

2

2

2

tx ∂ψ∂

Τµ

=∂

ψ∂

NotamµΤ

=c :

2

2

22

2 1tcx ∂ψ∂

=∂

ψ∂ (3.7)

Se observ prin analiz dimensional c c are dimensiunea unei viteze i este chiarviteza de propagare a undei pe coard (aceast afirma ie va fi demonstrat ulterior).

24 din 163

3.2.2 Ecua ia de propagare a unei unde elastice longitudinale printr-o barDintr-o bar de lungime infinit , cu densitatea , sec iunea S i modulul de elasticitate

E, consider m un element de lungime dx.Datorit propag rii undei, acest element de bar la momentul t este comprimat cu d i

va r spunde ac iunii for ei perturbatoare Fr

cu o reac iune FdFrr

+ datorându-se iner iei, for arezultant fiind FFdF

rrr

−+

Figura 3.2Deci conform principiului II al lui Newton

admFFdF =−+rrr

(3.8)

sau 2

2

tdmdF

∂∂

=ψ

For a F fiind o for a elastic , putem aplica legea lui Hooke:

xSEF

xll

llE

SF

∂ψ∂

=⇒

∂ψ∂

=∆

∆=

0

0 (3.9)

Pentru a-l afla pe dF vom diferen ia rela ia i ob inem:

dxx

SEx

dSEdF 2

2

∂ψ∂

=

∂ψ∂

⋅= (3.10)

deci 2

2

2

2

tdmdx

xSE

∂ψ∂

=∂

ψ∂⇒

ρ=

∂ψ∂ρ

=∂

ψ∂

∂ψ∂

ρ=∂

ψ∂

Ectx

txE

punandE

sau

2

2

2

2

2

2

2

2

(3.11)

dar Sdxdvdm ρ=ρ=ob inem ecua ia diferen ial de propagare a unei unde longitudinale pe bar :

2

2

22

2 1tcx ∂ψ∂

=∂

ψ∂ (3.12)

unde, dimensional, deducem c viteza de propagare a perturba iei pe bar este:

ρ=

Ec (3.13)

25 din 163

3.2.3 Ecua ia de propagare a unei unde superficiale transversale pe o placDac o plac elastic este perturbat , într-un punct al ei, pe suprafa a pl cii se vor

produce unde superficiale care se vor propaga pe ambele direc ii x i y.Vom lua în considerare un element de plac , de lungime dx i l ime dy. Marginile

pl cii sunt solicitate de o for a Fr

datorat deform rii pl cii. Not m cu T for a care revine pe

unitatea de lungimelF

=Τ . For a deformatoare Fr

mâne tangent la placa deformat, dar va

da componente în planul orizontal i în cel vertical, dup cum se vede în figura 3.3:

Figura.3.3Cu excep ia situa iei bidimensionale se va observa analogia figurii cu cea de la coard .

Rezultanta for elor care readuc placa în planul xOy va fi:=β⋅β+α⋅α=−+−= dFdFFFFFdR yxyzyzxzxzz coscos2121

( ) ( )β+α= sinsin dFdF yx (3.14)dar unghiurile fiind foarte mici putem face aproxim rile:

xtg

∂ψ∂

=α=αsin

i

ytg

∂ψ∂

=β=βsin

deci rezultanta for elor verticale devine:

2

2

2

2

yFdx

xFdR yxz ∂

ψ∂+

∂ψ∂

= (3.15)

Conform principiului II al lui Newton, aceast rezultant va fi egal cu dm·a.Dar dyFx Τ= i dxFy Τ=

Not m cudSdm

=σ (masa unit ii de suprafa a pl cii sau densitatea superficial ), deci

dSdm σ= sau dxdydm σ= . Înlocuind în expresia rezultantei i egalând vom ob ine:

26 din 163

2

2

2

2

2

2

tdxdydy

ydxdx

xdy

∂ψ∂

⋅σ=∂

ψ∂⋅Τ+

∂ψ∂

⋅Τ (3.16)

sau

2

2

2

2

2

2

tyx ∂ψ∂

Τσ

=∂

ψ∂+

∂ψ∂ (3.17)

Pentru a satisface omogenitatea dimensional a formulei este necesar caσΤ

=c s

reprezinte o vitez . Ecua ia diferen ial a undei va fi:

2

2

22

2

2

2 1tcyx ∂ψ∂

=∂

ψ∂+

∂ψ∂ (3.18)

Se remarc faptul c bidimensionalitatea undei a introdus în ecua ia de propagare

termenul 2

2

y∂ψ∂ , iar viteza de propagare depinde de T adic for a care ac ioneaz pe unitatea de

lungime i de densitatea superficial .

3.2.4 Ecua ia de propagare a unei unde elastice tridimensionaleÎn cazul cel mai general, într-un mediu elastic, unda se propag în toate direc iile (în

mod longitudinal – de exemplu, sunetul). Putem extinde cu u urin rezultatele ob inute lapunctele precedente, în felul urm tor:- tridimensionalitatea unei va introduce în primul membru al ecua iei undei înc o derivat

par ial de ordinul II, respectiv 2

2

z∂ψ∂ ;

- viteza de propagare va fiqpc

∂∂

= (3.19)

Considerând c mi rile suferite de masa de gaz sunt suficient de rapide pentru a nuface schimb de c ldura cu mediul, transform rile acesteia sunt adiabatice.Revenind la ecua ia undei tridimensionale prin generalizare ob inem:

2

2

22

2

2

2

2

2 1tczyx ∂ψ∂

=∂

ψ∂+

∂ψ∂

+∂

ψ∂ (3.20)

Aceast expresie se poate scrie simbolic în modul urm tor:

2

2

22

2

2

2

2

2 1tczyx ∂ψ∂

=ψ

∂∂

+∂∂

+∂∂ (3.21)

Entitatea matematic

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆ 2

2

2

2

2

2

zyx (3.22) se nume te operatorul lui Laplace sau

mai pe scurt „laplacian”. Astfel ecua ia undei se scrie:

2

2

2

1tc ∂ψ∂

=ψ∆ (3.23)

care se mai poate pune i sub forma 012

2

2 =ψ

∂

ψ∂−∆

tc (3.24)

27 din 163

Entitatea

∂

ψ∂−∆ 2

2

2

1tC

(3.25)

se nume te operatorul lui d’Alambert sau d’alambertian deci: 0ψ =W (3.26)

3.3 Solu ia ecua iei undelor

În continuare se pune problema g sirii solu iei undelor ecua iei:2

2 2

1c t

∂ ψ∆ψ =

∂.

Solu ia acestei ecua ii diferen iale a fost studiat de matematicieni i s-a stabilit c depinde decondi iile ini iale i de frontier . Forma suprafe ei de unde depinde de forma sursei care aprodus perturba ia i de propriet ile mediului.

3.3.1 Solu ia ecua iei de propagare a undelor pe o coard consider m o coard infinit , omogen ; dup cum am v zut, ecua ia de propagare a

undei pe ea, este dat de ecua ia:( ) ( )2 2

22 2

, ,x t x tc

t x∂ ψ ∂ ψ

=∂ ∂

presupunem c unda este propagarea unei mi ri oscilatorii armonice, proveninddintr-o surs O care oscileaz armonic. Ne propunem s g sim elonga ia oscila iei, ( ),x tψ aunui punct M de pe o coard situat la distan a x de O i la momentul t.

Dac sursa O oscileaz armonic, ecua ia sa de oscila ie va fi ( ) tt ωΑ=ψ cos,0(admi ând faza ini iala egala cu 0).

Dac mediul îl consider m nedisipativ, ecua ia de oscila ie a punctului M va fi identicca form , dar se va produce mai târziu, unda propagându-se cu viteza finit c, deci timpul de

întârziere va ficx

=τ .

Deci: ( )

π

−ω=

ω

−ω=ΨTc

xtAcxtAtx 2coscos, ; ( )

−ω=Ψ

cxtAtx cos,

( )

λπ

−ω=ΨxtAtx 2cos, .

Aceast solu ie dedus din considerente empirice (studiat de altfel i în liceu) este osolu ie particular a ecua iei diferen iale de propagare a undei pe coard . Aceast afirma iepoate fi verificat simplu în felul urm tor:

( )

ω

−ω=ΨcxtAtx cos, ;

ω

−ωω

=∂Ψ∂

cxtA

cxsin ;

ω

−ωω−=∂Ψ∂

cxtA

tsin ;

28 din 163

ω

−ωω

=∂

Ψ∂cxtA

cxcos2

2

2

2

;

ω

−ωω=∂

Ψ∂cxtA

tcos2

2

2

.

Se vede c :

ω

−ωω

⋅=

ω

−ωωcxtA

cc

cxtA coscos 2

222

Aceast solu ie este doar o solu ie particular valabil în condi iile enun ate anterior,dar exist i o infinitate de alte solu ii. Se observ c orice solu ie de forma urm toare:

( )

++

−=Ψ

cxtf

cxtftx 21, (3.27)

unde f1 i f2 sunt func ii arbitrare, este o solu ie a ecua iei undelor pe coard .

Verificare: Not mcxt −=τ si

cxt +=τ′ (3.28)

c1

ddf

c1

ddf

xddf

xddf

x2121

τ+

−

τ=

∂τ∂

τ+

∂τ∂

τ=

∂Ψ∂ (3.29)

τ′

+τ

=∂τ′∂

τ′+

∂τ∂

−

τ=

∂Ψ∂

22

2

21

2

222

2

21

2

2

2

dfd

dfd

c1

xc1

dfd

xc1

dfd

x (3.30)

τ′+

τ=

∂τ′∂

τ′+

∂τ∂

τ=

∂Ψ∂

ddf

ddf

tddf

tddf

t2121 (3.31)

22

2

21

2

2

2

dfd

dfd

t τ′+

τ=

∂Ψ∂ (3.32)

deci, înlocuind în ecua ia undelor monodimensionale pe coard vom avea:

τ′

+τ

=τ′

+τ 2

22

2

21

22

22

2

21

2

dfd

ddf

c1c

dfd

dfd

Prin urmare solu ia ( )

++

−=Ψ

cxtf

cxtft,x 21 este o solu ie a ecua iei, iar func iile

arbitrare 1f i 2f depind de forma i legea de oscila ie a sursei, de condi iile ini iale i depropriet ile mediului.

−

cxtf1 se nume te unda direct sau progresiv care se propag dinspre surs , iar

+

cxtf2 unda regresiv sau indirect care se propag spre surs .

29 din 163

3.3.2 Unda sferic În cazul în care propagarea undei nu este limitat la o singur direc ie ca în cazulpropag rii pe o coard , elonga ia punctelor materiale ale mediului, la un moment t nu depindedoar de coordonata x, ci i de coordonatele y i z deci ecua ia undei va avea forma general :

2

2

2 tc1

∂Ψ∂

=∆Ψ sau 2

2

22

2

2

2

2

2 1tczyx ∂Ψ∂

=∂

Ψ∂+

∂Ψ∂

+∂

Ψ∂

Dac sursa este punctiform i mediul elastic este omogen i izotrop, suprafe ele deund vor avea forma sferic . Acest lucru se justific foarte simplu prin faptul c în acest cazpropagarea se face în toate direc iile în mod identic. inând cont de simetria sferic aproblemei este comod s trecem de la coordonatele carteziene la coordonatele sferice: θϕ,,rca în figura 3.4

x = r sinθcosϕ ; y = r sinθsinϕ ; z = r cosθ

Figura 3.4

În coordonate sferice expresia operatorului Laplace va fi (vezi cursul de algebr ):

( ) 2

2

2222

2

22

2

sinr1

rctg

r1

rr2

r,,r

ϕ∂Ψ∂

θ+

θ∂Ψ∂θ

+θ∂Ψ∂

+∂Ψ∂

+∂

Ψ∂=θϕ∆Ψ (3.33)

În cazul mediului omogen i izotrop, elonga ia nu poate s depind de θϕ,

(comportamentul undei este acela i în toate direc iile) deci 0=θ∂Ψ∂ 0=

ϕ∂Ψ∂

Prin urmare, din laplaceian nu r mâne decât componenta radial :

rr2

r 2

2

r ∂Ψ∂

+∂

Ψ∂=Ψ∆

inând cont de aceste lucruri ne propunem s studiem modul de dependen a lui Ψde r:

( )

∂Ψ∂

∂∂

=

∂Ψ∂

+Ψ∂∂

=

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

+⋅

∂Ψ∂

∂∂

=∂Ψ∂

+∂

Ψ∂r

rrr

1r

rrr

1rr

rrrr

1rr

2r 2

2

(3.34)

Deci ecua ia undelor sferice devine:

( ) 2

2

22

2

tc1r

rr1

∂Ψ∂

=Ψ∂∂ (3.35)

30 din 163

dar la un moment t, r este constant deci se poate introduce în derivat :

( ) ( )Ψ∂∂

=Ψ=∂∂ r

tcr

r 2

2

22

2 1

Notând Ψ= rF ecua ia devine:

2

2

22

2 1tF

crF

∂∂

=∂∂ (3.36)

Se observ c aceast ecua ie diferen ial are aceea i form ca i ecua iaunidimensional a undelor, pentru care am gasit solu ia. Deci:

++

−=

crtf

crtfF 21 (3.37)

deci:

+ω′+

−ω′=Ψ

crtf

crtf

r 22111 (3.38)

1f i 2f fiind func ii arbitrare, iar 1ω i 2ω constante care se determin din condi iile ini iale.În concluzie, constat m c amplitudinea undei sferice scade cu distan a. Aceast

afirma ie poate fi demonstrat i pe cale energetic . Energia emis de surs într-o perioad , se r spânde te într-un volum cresc tor. Dacdistan a de la surs este mare energia emis într-o perioad este cuprins într-un volum cuprinsîntre dou sfere cu razele r i r + . Deci:

( ) ( )3322333 333

43

43

4 rrrrrrV −λ+λ+λ+π

=π

−λ+π

= (3.39)

dar << r deci 2 i 03 =λ de unde λπ= 24 rV .Notând cu W energia emis într-o perioad , densitatea de energie va fi:

4 2rWW = (3.40)

deci scade cu r2.tim c energia unui oscilator armonic este propor ional cu A2 conform rela iei:

2

2kAW = ( )20ω= mk

deci amplitudinea scade propor ional cu A2 cu distan a de la surs .

Argumentele func iilor f1 i f2 sunt

−ω

crt1 i

+ω

crt2 i se numesc faza undei

(progresive respective regresive), iar suprafa a pentru care toate punctele au aceea i faz senume te suprafa echifaz . Ecua ia acestei suprafe e va fi evident o sfer .

La un moment t = t1 => constcrt =−1 (3.41)

Diferen iem rela ia 0=−cdrdt ;

dtdrc = (3.42)

deci c, viteza undei este de fapt viteza cu care se deplaseaz suprafa a echifaz . Din acestmotiv se nume te vitez de faz .

31 din 163

3.3.3 Unda plan , neatenuat În foarte multe situa ii undele se studiaz la o distan foarte mare de surs , într-undomeniu care are dimensiuni mici în raport cu distan a de la surs .

Figura.3.5

Solu ia ecua iei undelor sferice, pentru unda progresiv va fi cuprins între douextreme.

−

−=Ψ

−↓

cxtf

Rr

Rr1

111 (3.43)

−

+=Ψ

+↓

cxtf

Rr

Rr2

121 (3.44)

Sau pentru un punct 21 xxx ≤≤ => r constant.

Deci:

−=Ψ

cxtf

r 11 = constant

−⋅

cxtf1 , amplitudinea fiind independent de distan a de

la surs , suprafe ele echifaz , vor fi plane paralele aflate la distan a x fa de surs .

3.3.4 Unda armonic plan Am constatat c orice oscila ie poate fi considerat ca o suprapunere de oscila iiarmonice, deci de o mare importan este studierea undelor provocate de oscilatori armonici înmedii omogene i izotrope. Numim unda armonic plan o und armonic studiat într-undomeniu restrâns la o mare distan de surs . Am v zut c ecua ia undei armonice care se propag unidimensional este:

( )

±ω=Ψ

cxtAtx cos, (3.45)

undeTπ

=ω2 reprezint pulsa ia, iar A amplitudinea (cst.), ceea ce va face ca aceast ecua ie

reprezinte ecua ia unei unde armonice plane care se propaga pe OX. În conformitate cu celediscutate la reprezentarea m rimilor armonice prin numere complexe aceast ecua ie se maipoate scrie în felul urm tor:

32 din 163

( )rktiAetx −=Ψ ωRe),( (3.46)

Figura 3.6

3.4 Energia transportat de undele elastice. Intensitatea undei elastice

Consider m un mediu elastic, prin care se propag o und armonic planlongitudinal . Separ m din acest mediu, un element de volum cilindric, de volum ∆V suficient

de mic, în care m rimilex∂Ψ∂ i

t∂Ψ∂ le putem considera constante.

Particulele mediului vor oscila sub ac iunea undei i vor avea energie cinetic ipoten ial elastic ∆Ec respectiv ∆Ep.

Figura 3.7

Vbt

mvEc ∆

∂Ψ∂

=∆

=∆22

22ρ (3.47)

( )2

2∆Ψ=∆

kEc (3.48)

∆Ψ este deformarea produs de und în elementul de volum ∆V i lungime ∆x. Pentru a afla pe k plec m de la ecua ia lui Hooke:

∆Ψ⋅∆

=⇒∆∆Ψ

=x

SEFx

ESF

decix

SEk∆

= (3.49)

de unde: ( )2

2∆Ψ⋅

∆=∆

xSEE p (3.50)

deci xx

∆∂Ψ∂

=∆Ψ (3.51)

33 din 163

( )22

2x

xxSEE p ∆

∂Ψ∂

∆=∆

Vx

EE p ∆

∂Ψ∂

=∆2

2 (3.52)

Vx

ct

EEE pc ∆

∂Ψ∂ρ

+

∂Ψ∂ρ

=∆+∆=∆222

22 (3.53)

Not m cu:VEW

∆∆

= densitatea de energie.

∂Ψ∂

+

∂Ψ∂ρ

=2

22

2 xc

tW (3.54)

W= ω2A2sin2ω

−

cxt care depinde de distan a de la surs a elementului ∆V i de

timp prin intermediul func iei sin2ω

−

cxt . În fiecare moment vom avea o alt densitate de

energie. Vom calcula media densit ii de energie în timp (pentru c receptorii obi nui i nu potsesiza decât aceast medie):

ω

−ωρω=cxtAW 222 sin

deci media lui W va fi determinat de media în timp a lui ( )kxt −ω2sin . Vom calcula mediaîntr-o perioad a acestei func ii:

<sin2(ωt-kx)> = ( ) ( ) ( )∫∫ω

−ω−ωω

=−ωTT

kxtdkxtT

dtkxtT 0

2

0

2 sin1sin1 (3.55)

<sin2(ωt-kx)> = ∫π

π

2

0

2sin21 (ωt-kx)d(ωt-kx)

Notând ωt-kx = α

∫π

ααπ

=α2

0

22 sin21sin d

∫ ∫π π ππ

=απ

−απ

=ααπ

−απ

=α2

0

4

0

4

0

2

0

2

212sin

81

412cos

41

21

21sin dd (3.56)

deci valoarea medie a densit ii de energie va fi:2max

22

21

21 vAWW ρ=ρω== (3.57)

Deci mediul în care se propag unda elastic posed în plus o energie datoratpropag rii undei. Numim intensitatea undei energia care trece în unitatea de timp prin unitateade arie a suprafe ei perpendiculare pe direc ia de propagare a undei.

34 din 163

tSEI∆∆

∆= (3.58)

cWt

tcWtSSlWI =

∆∆

=∆∆∆∆

= (3.59)

Deci I reprezint densitatea superficial de putere. Înlocuind pe W cu expresiacalculat anterior:

22

21 AcI ωρ= (3.60)

Deci I depinde de propriet ile oscilatorului prin sau A i de ale mediului prin si c.Produsul cuantelor de material i c: Z = ·c se nume te impedan a acustic a mediului.Sensul s u fizic dup cum o arat i numele este o rezisten a mediului la propagarea undei.Adoptând urm torul principiu de coresponden U → F; I →c se pot aborda unele problemede acustic folosind formalismul de la electricitate.

3.5 Reflexia i refrac ia undelor elastice

Dac o und elastic interac ioneaz cu suprafa a de separa ie dintre dou medii cuimpedan e elastice diferite, o parte din und se va reflecta întorcându-se în mediul din careprovine, iar o parte se transmite în al doilea mediu schimbându- i direc ia de propagare adic ,se refract .

Not m cu iA amplitudinea undei incidente, cu rA amplitudinea undei reflectate i cu tAamplitudinea undei transmise (refractate).

De asemenea not m cu i (unghi de inciden ) unghiul f cut de direc ia de propagare afrontului de und cu normala la suprafa a de separa ie în punctul de inciden I, cu 'i unghiuldirec iei de propagare a razei reflectate cu aceea i normal i cu r unghiul format de razarefractat cu normala. Consider m c dintr-un punct A pleac raza incident i ajunge în I dup direc iavectorului ir

v , raza având vectorul de und ikv

(la fel '' ; ii krvv pentru raza reflectat i 22 ;kr

vv pentruraza reflectat ).

Figura 3.8

Vom scrie în punctul I ecua ia undelor, considerând undele ca fiind armonice plane.)cos()( iiiiii rktAr vv

−ω=Ψ (3.61)

35 din 163

'''cos()( iiirir rktAr vv

−ω=Ψ ) (3.62)

)cos()( irrtit rktAr vv−ω=Ψ (3.63)

ixri

vv = (3.64)

)0,1),...(sin2cos(

)sincos(2cos)2cos()(

==λπ

−ω

=

+−

λπ

−ω=ςλπ

−ω=Ψ

jiiiitA

ixiijitArtAr

iii

iiiii

iiiii

vvvv

vvvvv

(3.65)

)sin2cos(

)coscos2cos)2cos()(

'

0''

ixtA

ixiijitArtAr

rrr

rrrir

rrrir

λπ

−ω

=

+

λπ

−ω=ςλ

π−ω=Ψ

vvvvv

(3.66)

)sin2cos(

)cos(sin2cos)2cos()(

rtA

ixjrirtArt

tAr

ttt

tttiittit

λπ

−ω

=

−

λπ

−ω=ςλπ

−ω=Ψvvvvv

(3.67)

La suprafa a de separa ie unda trebuie s fie continu deci, impunem condi ia decontinuitate.

tri Ψ=Ψ+Ψ (3.68)

deci: )sin2()sin2cos(sin2cos '

'

' rxtAixtAixAr

rti

iri

ii λπ

−ω=λ

π−ω+

λπ

−ω (3.69)

Dar aceast egalitate trebuie s fie adevarat pentru orice t i orice x ceea ce implicurm toarele egalit i:

rxtixtixtr

ri

ii

i sin2sin2sin2 '

'' λ

π−ω=

λπ

−ω=λπ

−ω (3.70)

Deci =ωi i′ω rω= ceea ce arat c perioada i frecven a undei nu se schimb i,

rxixix

rii

sin2sin2sin2λπ

=′λπ

=λπ

′

(3.71)

ii

ii′λ′

=λ

sinsin ;i

i

ii

′λλ

=′sin

sin ;TcTc

ii

i

i

′

=′sin

sin (3.72)

dar cum prin reflexie unda se întoarce în mediul din care provine, ii cc ′= deci i sin i = sin i’sau i = i‘ , ceea ce duce la cunoscuta lege a reflexiei. Unghiul de inciden este egal cu unghiul de reflexie. Din egalitatea de mai sus mai ob inem :

ri

riλ

=λ

sinsin ;TcTc

ri

t

i

r

i =λλ

=sinsin (3.73)

de unde ob inem expresia matematic a legii refrac iei:

36 din 163

t

i

cc

ri

=sinsin (3.74)

sau având urm torul enun :„raportul dintre sinusul unghiului de inciden i sinusul unghiului de refrac ie este egal curaportul vitezelor de propagare a undei în cele dou medii (Legea Snell-Descartes)“. De mare importan practic (în acustic i hidroacustic ) este s cunoa temintensit ile undei reflectate i a celei transmise. Definim: coeficientul de reflexie R ca fiind raportul dintre intensitatea undei reflectate

i intensitatea undei incidentei

i

IIR ′= i coeficientul de transmisie T ca fiind raportul dintre

intensitatea undei transmise i intensitatea undei incidentei

r

IIT = .

Vom calcula ace ti coeficien i în cazul inciden ei normale (i = 0).În acest caz condi ia de continuitate devine:

a) Ai+Ar = At (3.75)În plus utiliz m i legea conserv rii energiei din care rezult c intensitatea undei incidenteeste egal cu suma intensit ilor undelor reflectate i refractate:

rii III += ′

deci 222222

21

21

21

trriii AzAzAz ω+ω=ω (3.76) sau

b) 222trriii AZAZAZ += (3.77)

Din a) i b) form m un sistem din care vom calcula Ar i At.

=−

=+222 )( ttrii

tri

AzAAz

AAA (3.78)

=−=+

trrii

tri

AzAAzAAA)(

(3.79)

Zi Ai + Zi Ar = Zi At Zi Ai – Zi Ar = Zr At (3.80) 2Zi Ai = (Zi+Zr)At

ri

iit zz

AzA+

=2

ri

rriiiii

ri

iiitr zz

AzAzAzA

zzAz

AAA+

−−=−

+=−=

22 (3.81)

iri

rir A

zzzzA ⋅

+−

= (3.82)

+=⋅

=+222trriii

tri

AzAzAz

AAA

Se vede c , dac Ai > 0 i zi > zr, deci dup reflexie, unda î i schimb semnulamplitudinii deci se defazeaz cu ceea ce echivaleaz cu pierderea unei jum i de lungimede und .

37 din 163

Figura 3.9Amplitudinea undei transmise va fi:

ri

ii

ri

riiit zz

zAzzzzAAA

+=

+−

+=2

(3.83)

Intensitatea undei depinde direct propor ional cu p tratul amplitudinii, deci:2

+−

=ri

rirr zz

zzII (3.84)

i( ) 2

1

22

2214

i

t

riit Az

AzzzzzII =

+= (3.85)

De unde:( )( )2

2

22

zzzzR

i

i

+

−= i

( )1

42 =+⇒

+= RT

zzzzT

ri

ri (3.86)

În func ie de impedan ele acustice ale mediilor R i T iau diferite valori. De exemplu,pentru ap -cauciuc R = 0,001 i T = 0,999; din acest motiv, submarinele moderne sunt‘îmbr cate’ cu cauciuc (absorb ia selectiv va modifica destul de mult lucrurile).

3.6 Reflexia total

Un caz aparte de reflexie a undelor este fenomenul de reflexie total . Acest fenomenapare atunci când o und provenind dintr-un mediu în care viteza de propagare a undei estemai mic interac ioneaz cu suprafa a de separa ie cu un mediu în care viteza de propagareeste mai mare.

Figura 3.10În acest caz r > i.

2

1

vv

sinsin

=ri unde v2 >v1 => r > i

Dac se m re te unghiul de inciden i, evident r cre te pân când la un unghi de

inciden i = l numit unghi limit r =2π .

38 din 163

Dac unghiul de inciden i cre te i peste aceast limit , unda nu mai p trunde înmediul 2, revine în mediul 1 cu respectarea legii reflexiei. Acest fenomen poart numele dereflexie total .

Unghiul limit se calculeaz u or pentru c i = 1, r =2π deci:

2

1

2

1

vv

arcsinvv

sin =⇒= ll (3.87)

Figura 3.11

Acest fenomen explic mai multe anomalii întâlnite în propagarea sunetelor iultrasunetelor. Sunetul emis de o perturba ie puternic se propag în toate direc iile. Undelecare se ridic în atmosfer sufer o refrac ie care m re te continuu unghiul de inciden . La oîn ime de 50-70 km, la limita superioar a stratosferei, unghiul de inciden devine atât demare încât are loc o reflexie total i unda revine pe p mânt la o distan de 150-200 km desurs .

Figura 3.12

Unda direct la sol se propag cel mult 30-50 km din cauza obstacolelor,neomogenit ilor, abera iei prin vânt, etc. Deci între 50 i 150 km este o zona de t cere. Astfelse explic faptul c zgomotul unui bombardament nu se aude la 60 km, dar se aude la 200 km.

3.7 Principiul lui Huygens

Pentru a explica unele fenomene legate de propagarea undelor, astronomul i fizicianulolandez Christian Huygens a postulat urm torul principiu: undele care se propag în afara uneisuprafe e închise Σ care cuprinde în interiorul ei sursa sunt identice ca efect cu undele care s-arob ine suprimând sursa i înlocuind-o cu surse elementare repartizate în mod convenenabil pesuprafa a Σ .

Deci toate punctele din mediu atinse de und pot fi considerate ca fiind surseelementare de und .

39 din 163

Figura 3.13

Într-un mediu omogen i izotrop frontul de unda este o sfer . Fiecare punct de peaceasta sfer devine la rândul s u surs elementar . Înf ur toarea undelor provocate de acesteunde secundare vor crea un nou front de und .

Figura 3.14

În cazul undelor plane principiul lui Huygens duce la apari ia unui front de und plan.

3.8 Difrac ia undelor elastice

Prin defini ie, difrac ia este fenomenul fizic de ocolire aparent de c tre und aobstacolelor. Fenomenul este cu atât mai evident cu cât obstacolele sau fantele întâlnite deund au dimensiuni mai apropiate de und .

Fenomenul este destul de u or explicabil cu ajutorul principiului lui Huygens. Sconsider m o fant larg cu l imea AB mult mai mare ca lungimea de und . Se observ c pefrontul de und AB “încap” foarte multe centre secundare de oscila ii care vor reface un marefront de und , p trunderea undei în zona de umbr fiind neglijabil .

Daca îns fanta are dimensiuni foarte mici AB λ≈ , în zona AB se va g si un singurcentru oscilator care va produce unde sferice (în plan circular care p trund în zona de und )apare o abatere de la propagarea în linie dreapt , deci o ocolire aparent a marginilor fantei.

Fenomenul se observ i în bazinele portuare când datorit difrac iei valurile p trund înbazine, ocolind digurile care limiteaz pasele.

3.9 Interferen a undelor

Defini ie: fenomenul de suprapunere i compunere a dou unde într-un punct alcâmpului de unde se nume te interferen .

presupunem c într-un mediu elastic exista dou surse S1 i S2 care oscileazarmonic, dând na tere la unde.

40 din 163

Fiecare punct al mediului va fi supus ac iunii oscila iei armonice provocate de fiecareund în parte ca în figura 3.15.

Figura 3.15Ne propunem s g sim ecua ia de oscila ie a unui punct M oarecare din câmpul de

unde. Punctul M este situat la distan a r1 de S1 i la r2 de S2. presupunem c sursele oscileaz armonic, ecua ia elonga iei fiind:

x1 = A1cos(ω t + ϕ 01) i respectiv x2 = A2cos( ω t + ϕ 02), cele dou oscila ii având aceea ipulsa ie, dar amplitudini i faze ini iale diferite. Cele dou oscila ii vor produce unde ale c rorecua ii în punctul M vor fi:

x1M = A1cos(ω t + ϕ 01λπ

− 12 r) i respectiv

x2M = A2cos(ω t + ϕ 02λπ

− 22 r ) (3.88)

Aplic m pentru punctul M principiul suprapunerii micilor mi ri care se enun înfelul urm tor: efectul suprapunerii a dou mici mi ri într-un punct este dat de suma efectelormi rilor individuale, adic :

xM = x1M + x2M sau:

xM = A1cos(ω t + ϕ 01λπ

− 12 r) + A 2cos ( )2 2

02 λπ

−ϕ+ωrt (3.89)

Ecua ia de oscila ie a punctului M va fi dat de : xM = Acos(ω t + ϕ ) unde A esterezultanta compunerii amplitudinilor componente dup formula cunoscut :

A= )22cos(2 202

10121

21

21 λ

π+ϕ−

λπ

−ϕ++rrAAAA (3.90)

arctg=ϕ)

2cos()

2cos(

)2

sin()2

(

2022

1011

2022

1011

λπ

−ϕ+λπ

−ϕ

λπ

−ϕ+λπ

−ϕ

AA

ArA (3.91)

Dac ϕ 01 + ϕ 02 = constant spunem despre cele dou unde c sunt coerente iamplitudinea de oscila ie a punctului M este constant în timp. În acest caz spunem cinterferen a este sta ionar .

lu m cazul particular ϕ 01= ϕ 02; atunci:

41 din 163

A = )(2cos2 122122

21 rrAAAA −

λπ

++ (3.92)

unde 12 rr − se nume te diferen de drum.

Se remarc faptul c dac 1)(2cos 12 =−λπ rr , amplitudinea oscila iei punctului M va

avea un maxim numit maxim de interferen , iar pentru 1)(2cos 12 −=−λπ rr un minim de

interferen ;

dar: ⇒π=−λπ

⇒=−λπ krrrr 2)(21)(2cos 1212

condi ia de maxim:2

212λ

=λ=− kkrr (3.93)

i

condi ia de minim:2

)12(12λ

+=− krr (3.94)

Locul geometric al punctelor care oscileaz cu aceea i amplitudine se nume te franj(A = constant).

A = constant =−λπ

⇒ )(212 rr constant i pentru = constant

ecua ia franjei va fi: =− 12 rr constant (3.95)Aceast ecua ie reprezint în spa iu ecua ia unui hiperboloid de rota ie cu dou pânze

având axa S1S2 drept ax de simetrie.

Figura 3.16

Dând diferite valori lui k se ob ine o familie de hiperboloizi. În plan hiperboloizii se vor reduce la o familie de hiperbole ca în figura:

Figura 3.17

Fenomenul se întâlne te în toate domeniile unde se produc fenomene ondulatorii(inclusiv pentru unde electromagnetice).

42 din 163

Fenomenele de interferen ale valurilor în zonele închise (bazine, lacuri, m ri închise)produc valuri specifice de interferen care produc multe efecte nepl cute în naviga ie.

3.10 Unde sta ionare prin reflexie

consider m o coard de lungime l având un cap t fixat de un suport fix i rigid.Dac se perturb coarda (vom considera o perturba ie armonic ) pe ea se va propaga o undcare va ajunge la cap tul fixat unde se va reflecta. Pe coard se vor întâlni dou unde, unaprogresiv dinspre surs i una regresiv spre surs . Între cele dou unde apare un fenomen deinterferen sta ionar pentru c ele sunt coerente (diferen a de faz este constant ).

Figura 3.18

Se pot distinge dou cazuri:– când 2Z al suportului este mai mare decât 1Z a corzii, unda se va reflecta inversându- i faza;– când 12 ZZ < reflexia se face f inversare de faz .

Vom studia amplitudinea de oscila ie a punctului M situat la distanta x de suportul 1:12 ZZ > . Admitem c nu are loc disipare de energie, deci unda reflectat are aceea i

amplitudine ca i unda incident .

A(x) = )2

(2cos222 λ−+−+

λπ

++ xlxlaaaa (3.96)

Pentru c unda reflectat parcurge drumul SA + SM = 1 + x i cea discutatSM = 1 – x; în plus, datorit schimb rii de faz unda reflectat parcurge un drum echivalentmai scurt cu 2λ , deci:

A(x) = 2a )2

2(cos22

)2

2(2cos1 λ−

λπ

=

λ−

λπ

+xa

x (3.97)

Se observ c MA nu depinde de timp, deci va fi sta ionar, dar depinde de x prinfunc ia cos ceea ce va face ca MA s aib maxime numite ventre i minime numite noduri.

g sim pozi ia punctelor unde avem ventre ( MA = 2a ).

Aceast condi ie este ca 1)2

2(cos ±=λ

−λπ x ; aceast condi ie se îndepline te dac

argumentul este multiplu întreg de .

π=λ

−λπ nx )

22( (3.98)

22 λ

+λ= nx

43 din 163

deci )21(

2+

λ= nx unde n = 0,1,… (3.99)

Deci se vor forma dou ventre la: ;4

,0 λ== xn ;

45,2;

43,1 21

λ==

λ== xnxn etc. distan a

dintre dou ventre fiind2λ .

g sim pozi ia nodurilor ( MA = 0 ).

0)2

2(cos =λ

−λπ x

2)12()

22( π

+=λ

−λπ nx

[ ] )1(22222

)12(2 +λ=+λ

=λ

+λ+

= nnnx

de unde )1(2

+λ

= nx (3.100)

Se observ c între dou noduri se formeaz un ventru, figurile formate având aspectul de fus.

Figura 3.19

Dac 12 ZZ < nu mai are loc reflexie cu schimbare de faz deci termenul din diferen ade drum dispare.

Ref când calculele de la punctul a) vom constata c ventrele se vor forma în loculnodurilor de la punctul a), îns aspectul general nu se va schimba cu nimic.

Acela i fenomen se produce i la propagarea undelor bidimensionale pe membrane saupl ci limitate sau în cazul undelor tridimensionale, în spa ii limitate. În primul caz nodurile sevor aranja dup mai multe curbe numite curbe nodale, iar în cazul undelor tridimensionale sevor aranja pe ni te suprafe e unde elonga ia punctelor este nul i care se numesc suprafe enodale.

3.11 Absorb ia undelor elastice

Experien a ne arat c , ori de câte ori o und elastic se propag într-un mediu,amplitudinea undei scade. O prim cauz a fost elucidat atunci când am vorbit despre energiaemis de sursa care se r spânde te într-un volum din ce în ce mai mare, îns chiar în cazulundei plane, se constat o sc dere a intensit ii undei la propagarea printr-un mediu elastic,datorit transform rii energiei undei în alte forme de energie (în principal în c ldur ) datorit

44 din 163

frec rilor interne, a conductibilit ii termice i a radia iei termice. Vom studia în continuarelegea de sc dere a intensit ii undei într-un mediu, lege numit i legea absorb iei.

Figura 3.20Consider m o por iune dintr-un mediu de grosime d în care intr o und cu intensitatea

0I . Varia ia intensit ii pe por iunea xd va fi:dIIdII =−− (3.101)

Aceast varia ie depinde de I i xd :IdxdI ~− ; pentru a transforma propor ionalitatea în egalitate vom introduce un coeficient

numit coeficient de absorb ie:

dxIdI µ−= sau dxI

dIµ−=

Integr m ecua ia: ∫ ∫µ−=I

I

ddx

IdI

0 0 (3.102)

DecidI

I xI00

ln µ−= sau dII

µ−=0

ln sau deII µ−=0

de unde rezult expresia matematic a legii

absorb iei.O lege identic se observ i în optic deII µ−= 0 (3.103)

sau la absorb ia razelor (aici se nume te Legea lui Lambert).Coeficientul de absorb ie are form destul de complicat (pentru fluide).Efectele principale care contribuie la absorb ie sunt frec rile interne (vâscozitate) i

conductivitate termic . Primele contribuie la cu un termen v i a doua cu un termen c deci:cv µ+µ=µ

unde 3

2

32

cv ρηω

=µ , este coeficientul de vâscozitate i densitatea,

iarv

c Ck

c γ−γ

δω

=µ1

2 3

2

(3.104)

undev

p

CC

=γ i k coeficientul de conductivitate termic .

Se vede c depinde atât de und (de pulsa ie) dar i de mediu.

24 11038,2

λ⋅=µ −

cm i 26 11026,5

λ⋅=µapa (3.105)

45 din 163

pentru solideλ

≈µ1 .

Se nume te distan de înjum ire, distan a dup care intensitatea scade la jum tate.

2121ln dµ−= deci

µ=

µ=

692,02ln21d

Un fenomen interesant este purificarea sunetului prin absorb ie. Armonicele aufrecven a mai mare deci sunt mai repede absorbite.

21dFrecven a

Aer Ap435 Hz 100 km 190.000 km

10.000 Hz 179 km 340 km50.000 Hz 7 km 136 km

100.000 Hz 1,7 km 3,4 km1.000.000 Hz 0,17 km 34 km

La frecven e foarte mari rela iile date pentru v i c nu mai sunt valabile, astfel cpentru unde ultrasonore între 130.000 Hz i 400.000 Hz m surat este dublu. Fenomenul seexplic prin oscila ii de rezonan ale undelor mediului. În cazul rezonan ei moleculelorabsorb ia energiei de la und este deosebit de important pentru c amplitudinea de oscila ie amoleculelor devine foarte mare, deci absorb ia de energie de la und devine foarte mare. Deexemplu, la 3 MHz ultrasunetul este absorbit complet în aer, iar în CO2 deja la 1 MHz.

3.12 Dispersia undelor elastice. Formula lui Rayleigh

Viteza de propagare a undelor elastice longitudinale este dat de rela iaµ

=Ec . În

multe situa ii modulul de elasticitate al mediului depinde de frecven . Un mediu în care vitezade propagare depinde de frecven se nume te mediu dispersiv. În general, sursele de oscila iinu execut mi ri oscilatorii armonice, ci oscila ii în care peste o component fundamentalse suprapun mai multe armonice. S presupunem c de-a lungul axei OX se propag douunde cu lungimi de und apropiate i ’ cu vitezele c < c’ i cu amplitudinile A egale.

Figura 3.21

Din suprapunerea celor doua unde va rezulta o und rezultant care formeaz maximei minime cu amplitudini între 2A i 0. Ansamblul de unde cuprinse între dou minime se

nume te grup de unde.

46 din 163

Locul unde se formeaz maximele, deci întregul grup, se deplaseaz cu o vitez numitvitez de grup.

Ne propunem s calcul m aceast vitez . Fie 21 si ΨΨ elonga ia punctelor produse decele doua unde iΨ elonga ia rezultant . În conformitate cu principiul suprapunerii:

21 Ψ+Ψ=Ψ (3.106)Dar cele doua unde au pulsa ii diferite, lungimi de und diferite.

)cos(11 kxtA −ω=Ψ i )cos( ''22 xktA −ω=Ψ (3.107)

Are loc compunerea a dou mi ri oscilante într-un punct.

)2

cos( 21 ϕ−ω+ω

=Ψ tA

unde: [ ]xkktAAAAA )()(cos2 ''21

22

21 −−ω−ω++= (3.108)

0)()( ''max =−−ω−ω⇒= xkktAA (3.109)

Considerând undele ca având pulsa ii i numere de und apropiate ω+ω=ω d' idkkk += ' , viteza cu care se deplaseaz maximul va fi:

txcg = i se nume te vitez de grup.

dkd

kktxcg

ω=

−ω−ω

== '

'

(3.110)

)2(

2)(

λπλ

π+=+==

d

decdkdckc

dkckdcg (3.111)

λλ−=

ddcccg (3.112)

Rela ia dintre viteza de faz i cea de grup poart numele de formula lui Rayleigh.Viteza de grup reprezint de fapt viteza cu care se propag energia în medii nedisipative.

3.13 Efectul Doppler

Fizicianul austriac Cristian Doppler, studiind comportamentul undelor, a constatat cfrecven a undei recep ionate de un observator aflat în mi care fa de surs este diferit defrecven a undei emise de aceasta. Acest fenomen se nume te efect Doppler. Exemplele pot finenum rate: dac un tren se apropie de observator fluierând, se remarc sc derea frecven ei înmomentul dep rt rii acestuia; o nav care este în mar contra valurilor va întâlni valurile maides, deci frecven a tangajului va fi mai mare decât la nava în repaus etc.

Ne propunem în continuare s calcul m frecven a undei Rv înregistrat de un receptorR în mi care relativ fa de surs . Not m cu Sv frecven a undei emise de surs , Sω pulsa iaei, c viteza de propagare a undei fa de mediu i cu vR viteza de deplasare a receptorului fade mediu.

47 din 163

Receptorul se dep rteaz de surs cu vR. consider m c la momentul t = 0 sursa se afl la distan a:

txx R0 v+= (3.113)Ecua ia de oscila ie a punctului receptor va fi:

)2cos(),(λπ

−ω=ΨxtAtx S (3.114)

sau )2cos(),(c

xtAtx SS

ω−ω=Ψ ,

unde înlocuind pe x i grupând termenii avem:

ω−−ω=Ψ

cxt

cAtx S

00R )v

1(cos),( (3.115)

Deci pulsa ia recep ionat va fi:

)v

1( R

cSR −ω=ω sau )v

1( R

cvv SR −= deci SR vv < (3.116)

Receptorul se apropie de surs cu vR.

În acest caz: txx R0 v−= i deci )v1( R

cvv SR += cu SR vv > (3.117)

Receptorul este imobil, iar sursa se dep rteaz de el cu vS. Unda se deplaseaz fa de mediul elastic de propagare cu c, dar i sursa se deplaseazcu vS, deci viteza de deplasare a undei fa de surs va fi viteza relativ Sv+c , iar distan amomentan surs – receptor va fi:

txx S0 v+=

Deci

+

+ω−ω=Ψ

S

S0

v)v(

cos),(c

txtAtx S

S (3.118)

+

ω+

+−ω=Ψ

S

0

S

S

v)

vv

1(cos),(c

xtc

Atx SS

De unde: )v

v1(

S

S

+−ω=ω

cSR sauSv+

ω=ωc

cSR sau

c

SRSv

1

1

+ω=ω

sau

c

vv SRSv1

1

+= , SR vv < (3.119)

Receptorul este imobil, iar sursa se apropie cu vS.

În acest caz txx S0 v−= (3.120)iar viteza relativ a undei este Sv−c deci:

48 din 163

c

SRSv1

1

−ω=ω sau

c

vv SRSv1

1

−= deci SR vv < (3.121)

Sursa i receptorul se mi cu vS respectiv vR.

Generalizând cele patru rela ii pentru Rv vom ob ine:

S

R

vv

±±

=ccvv SR (3.122)

unde semnul + se ia pentru vR dac observatorul se apropie de surs , iar pentru vS când sursase dep rteaz de receptor.

Dac sursa i receptorul se deplaseaz pe direc ii diferite, în rela ie vor apare 'Rv i '

Svadic proiec iile lui vR i vS pe direc ia SR ca în figura 3.22.

Figura 3.22

Pentru21π

=α i22π

=α nu se observ efect Doppler la undele mecanice.

Undele electromagnetice prezint particularitatea c se propag cu viteza c invariantfa de toate sistemele de referin iner iale i nu au suport „substan ial“ prin care se propag .Deci, efectul Doppler în acest caz poate s depind doar de viteza relativ surs – receptor. Consider m un receptor R aflat în originea O a undei, un sistem de referin fix i osurs S care se deplaseaz pe axa OX cu viteza v constant fa de receptor. Sursa emite pe odirec ie care formeaz unghiul cu OX o und electromagnetic având pulsa ia 'ω , unde esteobservat de observatorul imobil ca având pulsa ia , pe care ne propunem s o determin m.

Figura 3.23

Consider m unda armonic plan de ecua ie:)( rkwtiAe

rr

−=Ψ (3.123)- faza undei va fi:

rkttr vrr−ω=Φ ),( (3.124)

49 din 163

zkykxktr zyxt −−−ω=Φ ),(r (3.125)

zkykxkictic

tr zyx −−−ω

=Φ )(),(r (3.126)

)(),( τω

+++−=Φc

izkykxktr zyxr (3.127)

unde reprezinta coordonata temporal ict=τ . Introducând nota iile cuadrivectorialespecifice teoriei relativit ii, avem:

1kk x = 2kk y = 3kk z = 4kc

I =ω (3.128)

1xx = 2xy = 3xz = 4x=τ

∑=

−=Φ4

1

),(a

aa xktrr (3.129)

sau folosind conven ia indicelui specific scrierii tensoriale:aa xktr −=Φ ),(r

deci aaxikAetr −=Ψ ),( (3.130)Prin urmare, elonga ia undei este determinat de cuadrivectorul ak definit în spa iul

pseudoeuclidian a lui Minkowski.Pentru a respecta principiul covariatiei î i va schimba coordonatele prin rota ii de tip

Lorentz.

2

2

'4

'1

1v1

v

c

kc

ikk

−

+= i

2

2

'14

'

4v1

v

c

kc

ikk

−

+= (3.131)

i în cazul particular al mi rii alese de noi:'22 kk = i '

33 kk =

dar:c

ik ω=4 i

cik ''

4ω

=

iar θω

=θπ

=θλπ

−θ== coscos2cos2cos'

'''''

1 ccTkkk x (3.132)

Înlocuind, avem:

2

2

'

v1

cosv

c

cci

ci

ci

−

θω

+ω

=ω de unde ob inem:

2

2

'

v1

cosv1

c

c

−

θ+ω=ω (3.133)

Pentru 0vv 2

2

→⇒<<c

c i ob inem rela iile clasice )v1('c

±ω=ω , principiul de coresponden

fiind astfel satisf cut.

50 din 163

crcr

−

+ω=ω⇒=θ⇒=θ⇒ω=ω

1

101cos '

maxmax (3.134)

crcr

+

−ω=ω⇒π=θ⇒−=θ⇒ω=ω

1

11cos '

minmin (3.135)

Dac2π

=θ , în cazul clasic nu se remarc existen a efectului Doppler, pe când în cazul

relativist:

2

2

'

v1c

−

ω=ω (3.136)

Acest efect poart numele de efect Doppler transversal, având aplica ii importante iastronomice.

3.16 No iuni de teoria valurilor

Valurile constituie mi ri ondulatorii care apar la suprafa a i în profunzimea unuilichid sub ac iunea diferitelor perturba ii ca de exemplu vântul, mi carea corpurilor cere ti(care produc mareele), cutremurele (valuri tsunami), mi carea diferitelor corpuri prin lichid,etc.

O tratare exhaustiv a teoriei valurilor nu este posibil în acest curs pentru c necesitcuno tin e profunde de hidrodinamic i matematici speciale.

Când o und se deplaseaz în lichid, fiecare element al lichidului este scos din pozi iade echilibru atât pe vertical , c t i pe orizontal . În consecin , vor apare în masa de lichidfor e care vor tinde s readuc elementele de lichid în pozi ia de echilibru. Aceste for e sedatoreaz greut ii (presiunii hidrostatice) i for elor de tensiune superficial .

Mi carea particulelor de lichid se compune dintr-o mi care vertical i una orizontal(ambele oscilatorii cu amplitudini diferite) care se compun imprimând particulelor traiectoriieliptice. La fundul apei amplitudinea mi rii verticale devine nul , mi carea f cându-se peorizontal , iar la suprafa cele doua amplitudini sunt egale traiectoriile fiind circulare.

Figura 3.24

Aceast construc ie ne arat c forma suprafe ei de und nu este sinusoid , crestelefiind mai ascu ite decât v ile.

Se poate deduce c viteza de propagare este dat de rela ia:

51 din 163

λπ

λπσ

+πλ

=hth

ggc 2)22

(2 (3.137)

unde : =g accelera ia gravita ional=σ coeficient de tensiune superficial=ρ densitatea lichidului=λ lungimea de und=h adâncimea apei

Pentru h<λ avem unde de suprafa ; dac predomin doar primul termen undele senumesc unde marine.

cuπλ

=2gcm (3.138)

cu cT=λπ

=2gTc (pt. mhkmcsT 156,/56,10 =λ== )

Pentru h<<λ predomin termenul al doilea valurile numindu-se unde capilare(încre ituri).

ρλπσ

=2c (3.139)

Undele de suprafa având viteza dependent de prezint evident fenomenul de

dispersie. Pentru undele marine2ccg = (dispersie normal ), iar pentru vasele capilare

ccg 23

= (dispersie normal ).

3.17 No iuni de acustic i ultraacustic

Undele acustice sunt unde elastice produse de un corp care oscileaz într-un mediuelastic. Corpul oscilant se nume te surs sonor . Undele acustice fiind recep ionate de unorgan auditiv produc senza ii auditive numite sunete.

Clasificarea undelor se face în func ie de frecven . Undele sonore care au frecven acuprins între 16-20.000 Hz produc senza ia de sunet i se numesc sunete. Dac frecven a lordep te 20.000Hz urechea uman nu recep ioneaz senza ia de sunet (eventual, la intensit imari pot provoca dureri); în acest caz se numesc ultrasunete. Dac frecven a lor este mai micde 16 Hz nu se mai produc senza ii auditive i se numesc infrasunete.

Spa iul în care se face sim it prezen a sunetelor se nume te câmp sonor (acustic).

3.17.1 Caracteristicile sunetelorÎn imea. Se remarc obiectiv faptul c sunetele pot fi mai ascu ite sau mai grave.

Aceast calitate este determinat în mod obiectiv de frecven a sunetului. Cu cât aceasta estemai mare, cu atât sunetul este mai înalt. S-a observat c dou sunete simultane produc osenza ie pl cut doar dac ele formeaz un acord sau, cu alte cuvinte, frecven ele lor se aflîntr-un raport bine determinat.

52 din 163

Sunetele folosite în muzic au fost grupate dup în imea lor în game muzicale.Studiul gamelor muzicale este de domeniul acusticii muzicale i dep te domeniul acestuicurs.

Timbrul sunetului. Sursa sonor este un corp care oscileaz în general într-un modfoarte complex, ap rând, în afar de sunetul fundamental, i armonice care-l înso esc.Suprapunerea dintre sunetul fundamental i armonice confer sunetului (senza iei) oproprietate special numit timbru. Fiecare surs sonor (sau voce uman ) au un alt timbrucare îl face s fie recunoscut.

Intensitatea sunetului. Sunetul fiind o und elastic va transporta în unitatea de timpprin unitatea de suprafa o energie pe care am numit-o intensitatea undei; deci sunetul va aveao intensitate (densitate de putere) dat de aceea i formul :

cAI 22

21

ωρ= (3.140)

dar cum Zc =ρ => 22

21 AZI ω= (3.141)

Ecua ia undei fiind: ( )

−ω=Ψ

cxtAtx cos, putem s -i determin m viteza:

)(sincxtA

dtd

−ωω−=Ψ

unde maxv=ωA reprezint valoarea maxim a vitezei de oscila ie a particulelor.Deci intensitatea sunetului va fi:

max2v

21 ZI = (3.142)

Unda, prin propagarea sa prin mediu, provoac for e elastice care ac ionând pe unitateade suprafa vor produce o presiune numit presiune sonora. Ne propunem în continuare s g sim expresia acestei presiuni sonore:

dSdFp =

dar conform legii lui HookedxdE

dSdF Ψ

=

deci: )(sin)(coscxt

cAE

cxtA

dxdEp −ω

ω=

−ω= (3.143)

unde valoarea maxim a presiuniic

AEp ω=max (3.144)

dar fiind und longitudinal unidimensional , rezult :

pEc = 2pcE =

deci: max

2

max vpcc

Apcp =ω

= (3.145)

de unde: maxmaxmax vv Zpcp == de undeZ

pmaxmaxv = .

Înlocuind în ecua ia intensit ii vom ob ine:

53 din 163

ZpI

2max

21

= (3.146)

Nivelul sonor. Urechea uman este un aparat care transfer energia transformat deund în alte forme de energie care în creier produc senza ia de sunet (traductor spectroscopic).Ea are o sensibilitate i în domeniul de percepere a intensit ilor excep ionale. Intensitateaminim perceput se nume te nivel sonor inferior având valoarea 212

0 /10 mWI −= , iarintensitatea maxim 22 /10 mWI = numit i nivel maxim (prag dureros).

Legea Weber-Fechner. S-a observat c la to i traductorii fiziologici m rimea varia ieisenza iei nu este propor ional cu m rimea varia iei intensit ii, ci scade cu intensitatea. Dacnot m cu S∆ varia ia senza iei, cu I∆ varia ia intensit ii, cu 0I intensitatea corespunz toarenivelului minim i cu I intensitatea, din considerente experimentale se poate scrie:

IS ∆≈∆ (3.147)

=>IIvkS ∆

=∆ )( (3.148)

IS 1

≈∆ unde k(v) este constanta de sensibilitate spectral dependent de frecven

(pentru v < 16 Hz i v > 20 kHz, k(v) = 0; la limitI

dIvkdS )(= ).

∫ ∫=S

S

I

I IdIvkdS

0 0

)( (3.149)

unde 0S este nivelul senza iei auditive la nivelul sonor minim )/10( 212 mW−

00 ln)(

IIvkSS =− (3.150)

Aceast solu ie exprim legea Weber-Fecher, care se mai poate scrie:

0

'0 lg)(

IIvkSS =− (3.151)

Se define te nivelul de intensitate sonor :

)(lg0

BînIILdef = sau )(ln

0

NpînIILdef = (3.152)

unde: 2120 /10 mWI −=

Dac norm m 10)(' =vk pentru kHzv 1= , rela ia:

)()(lg10),(

0 vIvIvIS = (3.153)

va defini nivelul intensit ii auditive sau t ria sunetului exprimat în phoni.Deci t ria sunetului exprimat în phoni este egal cu nivelul sonor exprimat în decibeli

al sunetului de referin de 1 kHz, care produce aceea i intensitate a senza iei auditive (pragulauditiv inferior este 0 phoni, iar pragul dureros la 140 phoni).

3.18 Ultrasunetele

54 din 163

Ultrasunetele, dup cum s-a mai ar tat, sunt unde mecanice cu frecven e mai maridecât 20 kHz, atingându-se frecven e de ordinul 10 GHz ( Hz1010 ).

Intensitatea undei fiind 22

21 AZI ω= , de i amplitudinea de regul este destul de mic ,

intensitatea totu i va fi mare datorit valorilor foarte mari ale pulsa iei (se ating în mod curent~ 510 W/m cu atmp 10~max ). De i sunt unde mecanice, studiul lor prezint o mare importandatorit efectelor pe care le produc în mediile pe care le traverseaz . Un fenomen foarteinteresant este cavita ia care apare atunci când intensitatea undelor este foarte mare. Însemiperioadele de destindere se produce o rupere microscopic a lichidului, care formeazcavit i locale, care se umplu cu vapori ai lichidului i cu gaze dizolvate. În momentele decomprimare bulele formate se comprim producând efecte termice i electrice deosebite,presiunea ridicându-se la câteva mii de atmosfere. Cavita ia are efecte distructive asupramaterialului solid supus zonei de cavita ie, dar tocmai aceast proprietate este folosit pentruprelucrarea materialelor foarte dure, cu ajutorul ultrasunetelor.

Datorit lungimii de und foarte mici, ultrasunetele pot fi u or dirijate. Directivitateaunei surse de und este proprietatea sa de a emite unde într-o anumit direc ie. De exemplu, oplac circular oscilant emite unde într-un domeniu ca în figura 3.25:

Figura 3.25

Se observ c , cu cât este mai mic, cu atât αsin este mai mic, deci energia seconcentreaz într-un fascicul mai îngust. Directivitatea se poate îmbun i punând surse înfocarul unei oglinzi acustice cu diametrul mare.

Ultrasunetele, ca i orice und , se refract i se reflect , coeficientul de reflexie i detransmisie depinzând de impedan ele acustice ale mediilor.

Absorb ia ultrasunetelor este destul de puternic datorit faptului c coeficientul deabsob ie depinde de 3ω , deci se utilizeaz cu prec dere în mediul lichid i solid.

Ultrasunetele au efecte foarte interesante asupra suspensiilor coloidale, putândcontribui la formarea lor.

Datorit acestor propriet i, ultrasunetele au un câmp foarte larg de aplica ii.

3.18.1 Producerea ultrasunetelorUltrasunetele sunt produse provocând în mediul de propagare oscila ii cu frecven

corespunz toare.

55 din 163

Pentru început ultrasunetele au fost produse folosind diapazoane foarte mici, diferitesirene sau a a numitul fluier Galton. Se pot produce ultrasunete în aer sau lichide dielectriceprovocând oscila ia unui arc electric. Aceste metode nu prezint decât interes istoric. În momentul de fa se utilizeaz traductoare (elemente vibratoare) electrodinamice,magnetostrictive i piezoelectrice.

Traductoarele electrodinamice sunt de fapt mici difuzoare de o construc ie special(protejate de contactul cu mediul lichid). Alimentate cu un curent sinusoidal având o frecvencorespunz toare, vor produce oscila ii care se transmit mediului. Se pot utiliza doar lafrecven e mici.

Traductoarele magnetostrictive se bazeaz pe fenomenul de magnetostric iare, careconst în varia ia dimensiunilor geometrice ale unei baze din material feromagnetic atuncicând el este supus unor câmpuri magnetice variabile. Deformarea relativ este dat de:

BEl

l γ−=

∆ (3.154)

unde B este induc ia câmpului magnetic; este constanta de magnetostric iune;

E este modulul lui Young.Pentru a lucra pe o por iune mai abrupt a curbei )(Bl∆ bara este premagnetizat .

Lungimea este astfel aleas încât s fie la rezonan .Traductoare piezoelectrice Fenomenul de piezoelectricitate const în modificarea

dimensiunilor unei pl ci de cristal supuse unui câmp electric. Cristalele se vor comprima saudilata în func ie de sensul câmpului. Deci supuse unui câmp variabil ele vor vibra, transmi ândvibra ia mediului.

Figura 3.26 a

Se calculeaz în a a fel grosimea încât s formeze dou ventre la margini, deci2λ

=l .

Dac not m cu c viteza de propagare a undei prin plac , atunciv

cl2

= , deci frecven a pe care

vibreaz pl cu a estel

cv2

= , ca în figura 3.26 b.

56 din 163

Figura 3.26 b

3.18.2 Propagarea ultrasunetelor în mediul marin i utiliz ri în marinÎn naviga ie, ultrasunetele se utilizeaz pentru determinarea adâncimii cu ajutorul

undei ultrasonice, detectarea obstacolelor aflate în apa etc. Pentru aceasta vom discuta câtevalucruri despre propagarea ultrasunetelor în mediul marin. Evident, legile generale c rora li se supune propagarea ultrasunetelor în mediul marinsunt cele de reflexie, refrac ie, difrac ie, absorb ie ale undelor, dar va trebui s inem seama defaptul c mediul marin este un mediu complex pe care nu-l putem considera perfect omogen.În primul rând, viteza de propagare a sunetului în apa de mare depinde de mai mul i factorilocali. Unii autori folosesc urm toarea expresie empiric :

c = 1480 + 4,21t – 0,037t 2 + 0,0175 h + 1,14 s (3.155)unde t este temperatura local ;

h este adâncimea locului de propagare;s este salinitatea apei (în g/l).

Fenomenele de reflexie i refrac ie sunt influen ate foarte mult de existen a curen ilorcare au alt temperatur decât mediul. În acest caz sursa de ap va avea alt densitate, iar c seva modifica, deci impedan a acustic Z = · c va fi modificat . Ultrasunetele, întâlnind astfelde mase de ap , se vor reflecta. În unele situa ii, datorit condi iilor locale, se formeaz laadâncime un strat de impedan acustic mult modificat , care la anumite unghiuri deinciden produce o reflexie total a undei. Acest strat se nume te strat de inversiune. Unsubmarin care se g se te sub acest strat, devine foarte greu detectabil prin mijloacehidroacustice. Procese complexe de reflexie i refrac ie apar pe zonele în care existaglomer ri de bule de gaz, datorate descompunerilor de substan e organice de pe fundul apei.Bancurile de pe ti dau de asemenea reflexii puternice permi ând detectarea lor de c trepescadoare.

57 din 163

Capitolul 4No iuni fundamentale de termodinamic

4.1 Sistem termodinamic

4.1.1 Obiectul termodinamicii Termodinamica a ap rut în secolul al XIX-lea ca urmare a studiilor efectuate pentru astabili condi iile optime de func ionare a ma inilor termice. În momentul actual termodinamicanu se limiteaz doar la studiul fenomenelor termice, c ci metodele ei foarte generale pot fiutilizate ori de câte ori avem de studiat sisteme în care intervine mi carea continu idezordonat a unui num r foarte mare de particule, mi care numit mi care termic .

Termodinamica clasic studiaz sistemele aflate în stare de echilibru i trecerile de la ostare de echilibru termic la alt stare de echilibru termic. Acest studiu se face pe baza unorpostulate i pe baza a trei principii i a cunoa terii experimentale a unor constante de material.În termodinamic nu se face apel la structura microscopic /molecular , atomic a sistemuluistudiat, deci termodinamica are un caracter fenomenologic.

4.1.2 Sistem termodinamic, stare, parametrii de stareNumim sistem termodinamic un ansamblu de corpuri delimitate printr-o barier

oarecare de mediul înconjur tor. Dimensiunile spa iale i temporale ale acestui sistem trebuie permit efectuarea unor m sur tori pentru a se putea ob ine informa ii despre el.

Sistemele termodinamice pot fi izolate, adic f o interac iune cu mediul, închise,adic exist interac iune cu mediul f a exista schimb de substan i deschise când exist ischimb de substan . Un sistem termodinamic la un moment dat are anumite propriet i,totalitatea la un moment dat dând starea sistemului. Starea sistemului poate fi caracterizat laun moment de un num r finit de de parametrii m surabili numi i parametrii de stare. Ace tiase împart în parametrii externi care caracterizeaz pozi ia corpurilor exterioare i parametriiinterni care caracterizeaz mi carea i distribu ia intern a componentelor sistemului.Parametrii care caracterizeaz starea de echilibru se numesc parametrii termodinamici.

Starea de echilibru este starea în care parametrii de stare nu se modific i nu existnici fluxuri sta ionare produse de surse externe. Parametrii termodinamici pot fi extensivi caredepind de num rul de componente ale sistemului i intensivi care nu depind de num rul decomponente. În cazul în care unii din parametrii de stare se modific spunem c are loc unproces termodinamic. Aceasta se caracterizeaz prin trecerea sistemului din starea ini ial încea final printr-o succesiune de st ri intermediare.

Procesele termodinamice pot fi reversibile adic atunci când revenirea din stareaini ial în starea final se face f ca sistemul sau corpurile cu care vine în contact s nusufere o varia ie a st rilor lor. Procesele care nu satisfac aceast cerin se numesc ireversibile.În natur toate procesele sunt ireversibile, ele putând doar s se apropie mai mult sau maipu in de procesele reversibile. Procesele ireversibile sunt guvernate de ecua ii care î i modificforma atunci când în ele se schimb semnul timpului. De exemplu transportul de c ldur esteun proces ireversibil.

Procesele pot fi ciclice când starea ini ial coincide cu starea final i neciclice cândstarea ini ial difer de starea final .

58 din 163

4.1.3 Postulatele termodinamicii4.1.3.1 Postulatul lui BoltzmanDac un sistem termodinamic este scos din starea de echilibru i se izoleaz de mediul

înconjur tor, atunci el revine de la sine în starea de echilibru în care se men ine dac nu sufero ac iune extern .

Procesul de revenire în starea de echilibru se nume te relaxare. Abateri spontane de laechilibru exist în orice sistem i se numesc fluctua ii, dar pe m sur ce num rulcomponentelor sistemului cre te, experien a arat c nivelul fluctua iilor scade. Deci postulatullui Boltzman constituie o restric ie în sensul c termodinamica poate opera numai cu sistemecu num r mare de componente.

4.1.3.2 Postulatul al II-lea (Principiul 0 al termodinamicii)Acest postulat se mai nume te i postulatul tranzitivit ii echilibrului termodinamic. S

consider m 2 sisteme termodinamice A i B aflate în stare de echilibru termodinamic i s lepunem în contact termic. Se constat experimental c în acest caz cele dou sisteme ori r mânîn continuare în stare de echilibru ori echilibrul ini ial se stric , iar dup un timp de relaxareoarecare sistemele ajung la o nou stare de echilibru dup ce între sisteme a avut loc unschimb de energie. De asemenea se constat experimental c dac un sistem A se afl înechilibru cu sistemele B i C se afl în echilibru între ele. Aceast proprietate se nume tetranzitivitatea echilibrului termodinamic.

Se remarc din cele ar tate mai sus c starea de echilibru este determinat în afar deparametrii externi i de un parametru intern care are aceea i valoare pentru toate sistemeleaflate în echilibru termodinamic.

Ini ial sistemele A i B erau izolate de mediul înconjur tor, dar totu i st rile lordifereau prin ceva. Acest ceva a ajuns la aceea i valoare dup un timp prin transfer energetic.Acest parametru intern care împreun cu parametrii externi caracterizeaz starea de echilibruse nume te temperatur empiric i întrucât caracterizeaz o stare de echilibru este o m rimede stare.

Deci putem enun a urm torul postulat:„Exist parametrul intern numit temperatur empiric cu urm toarea proprietate:

într-un sistem izolat format din mai multe corpuri condi ia necesar i suficient de echilibrueste ca temperatura empiric s aib aceea i valoare pentru toate corpurile.“

Temperatura mai mare o are corpul de la care temperatura se scurge spre un corp cutemperatur mai mic .

Temperatura caracterizeaz starea de mi care a componentelor sistemului.

4.2 M surarea temperaturii

4.2.1 TermometrulAm ar tat c pentru a m sura o m rime fizic facem o compara ie între valoarea

rimii respective i o valoare de acela i fel luat ca unitate de m sur . O asemenea defini ienu poate fi utilizat în cazul temperaturii, deci se folose te alt metod . Pentru a m suratemperatura, se folose te un alt sistem termodinamic care se pune în contact cu cel a c rui

59 din 163

temperatur o m sur m, realizându-se echilibrul termodinamic. Acest al doilea sistemtermodinamic folosit pentru m surarea temperaturii se nume te termometru. Termometrulfiind în contact cu corpul va avea aceea i temperatur la echilibru. Se tie c propriet ilecorpurilor variaz cu temperatura. Se alege o m rime caracteristic termometrului folosit careare o valoare bine determinat de temperatura de echilibru numit m rime termometric i sestabile te o dependen între valoarea m rimii termometrice i temperatur . Stabilirea acesteidependen e se nume te stabilirea sc rii termometrice.

Pentru stabilirea acesteia se alege un interval de temperatur între dou st ri perfectreproductibile de temperatur a unui corp oarecare i se m soar valoarea m rimiitermometrice în aceste st ri atribuindu-i valori de temperatur arbitrare. Se împarte intervalulîntr-un num r arbitrar de diviziuni numite grade i se ob ine astfel o scar termometric .

4.2.2 Sc ri termometriceSc rile de temperatur utilizate în momentul de fa sunt scara Celsius i scara absolut

(Kelvin).4.2.2.1 Scara CELSIUS (sau scara centigrad )Folose te ca repere termometrice starea de echilibru între ghea i ap la presiune

normal a c rei temperatur o noteaz cu 00C i starea de fierbere a apei distilate (pure) laaceea i presiune a c rei temperatur o noteaz cu 1000C. Intervalul dintre aceste doutemperaturi se împarte într-o sut de p i egale g sindu-se 100 diviziuni numite grade Celsius(0C).

4.2.2.2 Scara KELVIN (scara standard de temperatur )Folose te ca reper termodinamic pentru 0K temperatura de 0 absolut la care presiunea

i volumul unui gaz ideal devin 0 i la care mi carea molecular înceteaz (aceasttemperatur nu poate fi atins ). Al doilea reper termometric este temperatura de topire a ghe iisub presiunea propriilor vapori (punctul triplu) pe care o noteaz cu 273,16 K. Intervalul seîmparte în 273,16 p i ob inându-se 273,16 diviziuni. O astfel de diviziune se nume teKelvin. Temperatura exprimat pe scara Kelvin se noteaz cu T, iar temperatura exprimat îngrade Celsius cu t. M rimea gradului Celsius este egal cu 1 K deci:

T = t + 273,15 (4.1)0,10C este temperatura punctului triplu al apei.

4.3 Primul principiu al termodinamicii

4.3.1 Energia internUn sistem termodinamic este alc tuit dintr-un num r foarte mare de componente

(particule). Aceste particule se afl într-o continu mi care dezordonat , deci în fiecaremoment au o energie cinetic . De asemenea, între particule se manifest for e de interac iunecare provin din energii poten iale de interac iune.

Energia intern U a unui sistem este suma energiilor cinetice (de rota ie, transla ie,vibra ie) i poten iale ale tuturor particulelor.

U = )(1

pivicri

n

icti EEEE +++∑

=

(4.2)

60 din 163

Energia intern este un parametru intern, deci conform postulatului 2 va depinde doarde parametrii externi i de temperatura T.

U = U(ai; T) (4.3)În cazul unui gaz ideal ai = V, deci U = U(V;T) (4.4)

ecua ie numit ecua ia caloric de stare (din ea se pot deduce m rimi calorice precum c ldurilespecifice, c lduri latente etc.).

La toate sistemele (fac excep ie sistemele de spini nucleari la unele cristale) energiaintern cre te odat cu cre terea temperaturii. Ecua ia care leag parametrii de stare senume te ecua ie termic de stare; de exemplu pentru gazul ideal:

pV = RT (din ea se deduce temperatura)p = p(V,T) (4.5)În general nici ecua ia termic de stare i nici ecua ia caloric de stare nu pot fi deduse

în cadrul termodinamicii. Pentru deducerea lor sunt necesare considera ii experimentale sau sepot deduce pe cale statistic (de exemplu teoria cinetico-molecular ).

4.3.2 Lucrul mecanicDac sistemul termodinamic prime te sau cedeaz energie mediului înconjur tor în a a

fel încât s aib loc o deplasare a corpurilor înconjuratoare, spunem c sistemul a efectuat unlucru mecanic.

consider m un proces cvasistatic adic un proces în care toate st rile intermediaresunt st ri de echilibru i care prin urmare se poate reprezenta grafic. Dac not m cu bjparametrii intensivi (interni) de for i cu ai parametrii extensivi (externi), lucrul mecanic într-un proces infinitezimal, lucrul mecanic elementar δL va fi:

∑ ⋅=δi

ii dabL (4.6)

Sumarea se face dup i – num rul contactelor cu mediul. Pentru un proces cvasistatic:

∑∫ ⋅=i c

ii dabL (4.7)

integrala luându-se în lungul curbei de transformare.Integrala efectuându-se pe aceast curb , rezultatul (L) va depinde de forma curbei (în

cazul general), deci m rimea lucrului mecanic depinde de tipul transform rii. Se tie c lucrul mecanic efectuat într-o transformare izobar a unui gaz ideal este:

)( 12 VVpL −= (ai = V; bi = p) (4.8) Dac transformarea nu este izobar , în diagrama pV pentru o varia ie infinitezimal alui V (dV) se poate considera p = constant i se aplic rela ia de mai sus. Deci:

δL = pdV (4.9)

∫=2

1

V

V

pdVL (4.10)

unde p = p(V,T).Se observ c L reprezint aria figurii de sub grafic.Dac se schimb tipul transform rii, forma curbei p(V) se modific , schimbându-se i

forma i aria figurii de sub grafic, ceea ce ne arat c într-adev r lucrul mecanic depinde detipul transform rii. Folosim semnul δL i nu dL tocmai pentru a simboliza acest lucru.

Pentru procese izoterme ale gazului ideal (T = ct):

61 din 163

pV = RT; p =VRTν ;

1

2ln2

1

2

1VVRT

VdVRTdV

VRTL

V

V

V

VT ν=ν=

ν= ∫∫

Pentru procese adiabatice ale gazului ideal:γγ = 11VppV ; γ

γ

=VVpp 11 (4.11)

( )

−

−γν

=

−

−γ=−

γ−==

−γ−γ

γ−γ−γ

γ ∫1

2

11

1

2

11111

12

1111 1

11

11

2

1VVRT

VVVpVVVp

VdVVpL

V

VS (4.12)

Pentru procese izocore ale gazului ideal: dV = 0; LV = 0

4.3.3 C lduraNumim c ldur i o vom nota cu Q energia schimbat de un sistem cu mediul când

parametrii externi nu se modific .Transferul de c ldur are loc prin mi carea dezordonat a moleculelor.Fiind o form de energie, unitatea sa de m sur este 1 J, dar se mai folose te i caloria

care este c ldura necesar unui gram de ap pentru a- i ridica temperatura de la 19,50C la20,50C. C ldura absorbit sau cedat de un corp depinde de varia ia de temperatur , de masa ide natura substan elor care alc tuiesc corpul. Pentru a caracteriza dependen a c ldurii dematerial se introduc constantele de material numite m rimi calorice.

4.3.4 Formul ri ale principiului I al termodinamiciiAcest principiu este de fapt legea conserv rii energiei. Dac sistemul prime te de la

sisteme exterioare cu care se afl în contact energie sub form de caldur i lucru mecanic,conform legii conserv rii energiei se va produce varia ia energiei interne.

Lucrul mecanic depinde de tipul transform rii în general, dar s-a observat c pentru unproces adiabatic L nu depinde de modul cum are loc procesul, ci doar de starea final i ceaini ial . În acest caz îns dU = – L, deci i U nu depinde decât de starea final i de ceaini ial .

Aceast constatare se poate enun a în felul urm tor:„Varia ia energiei interne a unui sistem termodinamic nu depinde decât de starea

final i de cea ini ial fiind independent de st rile intermediare.“Într-o transformare ciclic starea ini ial coincide cu starea final , deci: ∫ = 0dU .În matematic se demonstreaz c dac integrala curbilinie pe un contur închis a unei

func ii este nul diferen iala acestei func ii este o diferen ial total exact , deci energiaintern este o func ie de stare.

Principiul I mai poate fi enun at punând condi ia ca oricând dU s fie o diferen ialtotal exact :

dU = dyy

Udxx

U∂∂

+∂∂ ; dU = M(x,y)dx + N(x,y)dy

form sub care se exprim uneori principiul I al termodinamicii.O alt formulare evident a principiului I al termodinamicii este urm toarea: „nu se

poate construi o ma in termic care s efectueze lucru mecanic f a absorbi c ldur sau oalt form de energie.“

62 din 163

Într-adev r conform principiului I al termodinamicii: LQU −=∆ . Dac transformareaeste ciclic 0=∆U , deci Q = L, deci pentru Q = 0 ⇒ L = 0.

Dac sistemul este deschis mai apare în plus o energie de transport cedat sauabsorbit de sistem prin transportul de mas , deci: τ+−=∆ LQU .

4.4 Principiul al II-lea al termodinamicii

În conformitate cu primul principiu lucrul mecanic i c ldura sunt amândou forme deenergie, dar între ele exist o diferen calitativ important . Lucrul mecanic se transform în

ldur foarte u or i integral, pe când c ldura se poate transforma în lucru mecanic doar înni te instala ii speciale numite motoare termice i doar în mod par ial. În schimburile de

ldur un rol deosebit îl are temperatura, schimbul de c ldur f cându-se doar de la sistemulcu temperatura mai mare la cel cu temperatura mai mic . În sec. al XIX–lea când s-a extins

utilizarea ma inilor cu aburi, randamentul lor definit ca:1

21

QQQ −

=η (4.13) era foarte mic.

Inginerul francez Sadi Carnot i-a propus s studieze posibilitatea îmbun irii acestuirandament. El a conceput un ciclu reversibil care-i poart numele, format din 2 izoterme idoua adiabate, pentru care randamentul este independent de substan a de lucru utilizat i estedependent doar de temperatura T1 a sursei calde i T2 a sursei reci. Prin calcule simple seajunge la expresia randamentului ciclului Carnot:

1

21

QQQ

c−

=η =1

21

TTT − (4.14)

Ciclul Carnot are un caracter ideal, o ma in termic func ionând cu foarte multepierderi; ciclurile reale sunt deci cicluri ireversibile care au un randament mai mic decât unrandament Carnot.

Analizându-se ciclul Carnot i expresia randamentului s u s-a ajuns la concluzia c elexprim o realitate impus de natur care nu poate fi demonstrat în cazul termodinamicii,deci trebuie acceptat cu titlu de principiu.

4.4.1 Formul rile principiului al II –lea al termodinamiciiAcest principiu a fost formulat în mai multe feluri, chiar teorema lui Carnot fiind o

astfel de formulare.

4.4.1.1 Formularea lui Thomson (Lord Kelvin)Într-o transformare ciclic monoterm sistemul nu poate ceda lucru mecanic mediului

exterior. Dac transformarea ciclic este i ireversibil , sistemul absoarbe lucru mecanic de lamediul exterior. Aceasta formulare se poate exprima cantitativ prin relatia:

1

21

1

21

TTT

QQQ −

=− (4.15)

63 din 163

4.4.1.2 Scara termodinamic a temperaturilorUtilizarea gazului perfect pentru a fi folosit în termometre este practic imposibil

pentru c nu exist gaze ideale, iar gazele reale mai ales la temperaturi mai sc zute se abat dela modelul de gaz ideal.

Observ m c randamentul ciclului Carnot nu depinde de substan a de lucru ceea cesugereaz posibilitatea de a introduce o scar termometric independent de substan a delucru.

ldurile transmise sau primite scad în raport cu temperaturile, deci la T = 0 c ldura numai are unde trece, deci nu mai este posibil nici o transformare a c ldurii în lucru mecanic.Deci temperatura termodinamic reprezint o temperatur absolut i se poate demonstra ccoincide cu temperatura definit cu termometrul de gaz dup cum urmeaz . Not m cu temperatura termodinamic . Pentru a m sura temperatura în aceast scar se folose te c ldura.În acest caz între i Q trebuie ca la orice scar termometric s existe o dependen liniar :

baQ +=τ unde a i b sunt 2 constante arbitrare.Punem condi ia ca diferen a de temperatur termodinamic între temperatura apei care

fierbe la presiune normal i temperatura punctului triplu al apei 0 s fie 100:100 = 0τ−τ => 100 = aQf + b – aQ0 (4.16)

deci a =0

100QQ f −

.

Dac b = 0 (fiind o constant arbitrar ) i tiind c Q > 0 i Qf > Q 0 , rezult c a > 0.Deci: > 0 (4.17)

Dar1

21

1

21

TTT

QQQ −

=−

. Consider m prin absurd c o mas de gaz trece din starea I în

starea 2 printr-o transformare izoterm 1-a-2 i revine în 1 prin adiabata 2-b-1. Pe izoterm seabsoarbe c ldura Q de la sursa de temperatur T. Pe adiabat se cedeaz c ldur . Aria în pVa ciclului este diferit de 0. Prin urmare s-a efectuat lucru mecanic sistemul fiind în final în

contact doar cu o singur surs de c ldur sau1

2

1

2

TT

=ττ . De unde putem deduce c T = k· .

Definirea temperaturii termodinamice ca mai sus prezint o deficien major : pentrudefinire se folose te un ciclu Carnot care practic este imposibil de ob inut. Din acest motivvom recurge mai târziu la o definire riguroas a temperaturii absolute împreun cu entropiaabsolut .

4.4.1.3 Formularea lui ClausiusNu este posibil o transformare care s aib ca rezultat trecerea de la sine a c ldurii de

la un corp rece la un corp mai cald.

4.4.1.4 Formularea lui CaratheodoryÎn imediata apropiere a unei st ri arbitrare a unui sistem termodinamic aflat în stare de

echilibru, exist st ri care nu pot fi atinse prin procese adiabatice reversibile.

64 din 163

Figura 4.1

4.4.2 C ldura redus . Entropia în procese reversibileAm v zut c formularea Thomson a principiului II poate fi exprimat cantitativ prin

rela ia:

1

12

1

21

TTT

QQQ −

=−

(4.18)

Dar în termodinamic , ca urmare a conven iei de semne adoptate, Q 2 < 0. Deci:

1

21

1

21

TTT

QQQ −

=+ de unde 1+

1

2

1

2 1TT

QQ

−= (4.19)

sau1

2

1

2

TT

QQ

−= sau1

1

2

2

TQ

TQ

−= (4.20)

de unde se ob ine 02

2

1

1 =+TQ

TQ . Raportul

TQ se nume te c ldur specific .

Deci într-un ciclu Carnot suma c ldurilor reduse este nul .Vom studia în continuare suma c ldurilor reduse într-o transformare ciclic reversibil

oarecare. S consider m o transformare ciclic reversibil ABCDA descompus într-oinfinitate de cicluri Carnot infinit de mici de tipul A 11111 ADCB . Se observ c laturile cicluluidin interiorul lui ABCDA se parcurg de dou ori, r mânând doar izotermele externe iadiabatice parcurse o singur dat care formeaz o linie frânt . La limita acesta linia coincidecu conturul ciclului ABCDA.

Figura 4.2

65 din 163

La fiecare ciclu Carnot elementar suma c ldurilor reduse va fi zero:

∑ =+i i

i

i

i

TQ

TQ

0)(2

2

1

1 δδ (4.21)

notând cu dQ1 c ldura absorbit pe un ciclu elementar i cu dQ 2 cea cedat .Dar ciclurile fiind infinit de apropiate, T variaz continuu i pe întreg ciclul ABCDA

suma se transform într-o integral de contur. Deci pentru un proces ciclic reversibil oarecareputem scrie:

∫ = 0TQδ (4.22)

Integrala de contur a m rimiiTQδ fiind nul , ea poate fi considerat ca diferen iala

total exact a unei m rimi S numit entropie:

TQS δ

δ = (4.23)

Deci pentru un ciclu reversibil: ∫ = 0dS (4.24)Rela ia poart numele de rela ia lui Clausius. Dac transformarea este reversibil , dar nuciclic , ci are loc dintr-o stare A într-o stare B putem scrie:

∫=−B

AAB T

dQSS (4.25)

S fiind o diferen ial total exact , diferen a AB SS − nu depinde de tipul transform rii, decientropia este o m rime de stare.

Defini ia entropiei s-a f cut prinTQS δ

δ = . Dac integr m:

∫ ∫ ∫ +⇒=⇒ CTdQ

TdQdS (4.26)

de unde se vede c entropia poate fi definit doar pân la o constant arbitrar care nu poate fideterminat în cadrul termidinamicii.

Deci nu putem calcula în cadrul termodinamicii entropia sistemului într-o stare dat , cinumai varia ia sa.

4.4.3 Principiul II al termodinamicii pentru procese ireversibile consider m un proces prin care sistemul izolat trece din starea 1 în starea 2 printr-

un proces necvasistatic, reversibil i revine în 1 printr-un proces cvasistatic reversibil. S-aparcurs deci un ciclu ireversibil (con ine procesul 1-2). Procesul este reprezentat ha uratpentru c procesele necvasistatice nu con in st ri intermediare de echilibru i nu pot fireprezentate prin puncte.

66 din 163

Figura 4.3

Am ar tat c pentru transform ri ciclice ireversibile randamentul ciclului este mai micdecât randamentul Carnot:

cηη ≤1

12

1

21

TTT

QQQ −

≤−

sau 02

2

1

1 ≤+TQ

TQ

(4.27)

Rela ia o generaliz m prin metoda aratat la paragraful anterior în felul urm tor:

∫ ≤ 0TdQ (4.28)

Aceast rela ie se nume te inegalitatea lui Clausius.

∫ ∫∫− −

≤+=21 21

0TdQ

TdQ

TdQ (4.29)

Procesul 2-1 fiind cvasistatic: ∫−

−=12

21 SST

dQ

∫−

≤−+21

21 0SSTdQ sau S ∫

−

≥−21

12 TdQS (4.30)

Dac procesul nestatic este adiabatic dQ 021 =− .

Deci: ∫−

=21

0T

dQ de unde S 012 ≥−S (4.31)

Se ob ine urm torul rezultat important: pentru un sistem izolat, într-o transformareirevesibil entropia st rii finale este mai mare decât entropia st rii ini iale. Deci transformareaireversibil poate avea loc doar într-un singur sens i anume în sensul cre terii entropiei.Principiul II se mai putem enun a astfel: entropia sistemelor izolate r mâne constant în cazulproceselor reversibile i cre te în cazul proceselor ireversibile.

4.4.4 Ansamblul virtualMul imea tuturor st rilor microscopice compatibile cu o macrostare dat poart numele

de ansamblu virtual. Prin termenul virtual se precizeaz tocmai faptul c aceste microst ri cuexcep ia uneia nu corespund st rii de fapt la un moment dat. Pentru m sur rile efectuate lascar macroscopic este îns indiferent care din aceste st ri microscopice s-a realizat. Decipentru precizarea st rii macroscopice nu este necesar cunoa terea st rii microscopice, cinumai a ansamblului virtual din care face parte.

Spa iul fazelorComportarea fiec rei microst ri este determinat de evolu ia fiec rei particule în parte.

Evolu ia particulelor se face dup legile mecanicii clasice într-o prim aproxima ie sau duplegile mecanicii cuantice în cazul general.

În mecanica analitic a lui Hamilton se arat c starea unui sistem de particule avândun grad de libertate este descris cu ajutorul a i parametrii independenti q 1 ……qi denumi icoordonate generalizate i a i parametrii denumi i impulsuri generalizate. Ace tia satisfacecua iile canonice ale lui Hamilton.

ii p

Hq∂∂

= ii

i qHp

∂∂

= (4.32)

67 din 163

Dup Gibbs, cele dou m rimi reprezint coordonatele unui punct dintr-un spa iueuclidian numit spa iul fazelor. Acest spa iu al fazelor reprezint de fapt spa iul microst rilor,deci un punct din acest spa iu reprezint o microstare. Prin urmare, evolu ia unui colectivstatistic în timp poate fi interpretat ca o curb în acest spa iu.

4.4.5 Semnifica ia statistic a entropiei. Formula lui BoltzmanSe consider un sistem macroscopic care se afl într-o stare de echilibru termodinamic.

Parametrii macroscopici ai sistemului în acest caz r mân constan i. Starea macroscopic asistemului este determinat de valorile parametrilor independen i care caracterizeaz sistemul.Starea microscopic este determinat de valorile tuturor pozi iilor i impulsurilor particulelorcare constituie sistemul. Îns o stare macroscopic este compatibil cu un num r enorm demicrost ri.

Figura 4.4

Datorit haosului molecular este posibil la un moment dat situa ia 1, iar la un altmoment situa ia 2 f ca prin aceasta starea macroscopic s se modifice.

Altfel ajungem la concluzia c un num r enorm de microst ri compatibile cu omacrostare, toate aceste macrost ri fiind la fel de probabile. Prin defini ie numim ponderetermodinamic sau probabilitate termodinamic num rul de microst ri compatibile cu o staremicroscopic dat . În momentul în care microstarea se schimb evident are loc o modificare aponderii termodinamice. În acela i timp tim c modificarea st rii sistemului duce lamodificarea entropiei. Deci între ponderea termodinamic i entropie trebuie s admitem oleg tur func ional S = f(W). În continuare ne propunem s g sim forma func iei f.

Consider m dou sisteme A i B independente care au entropiile S1 i S2, iar ponderiletermodinamice W1 i W 2 corespund st rii 1 a lui A i st rii 2 a lui B. S reunim cele 2sisteme. În acest caz ansamblul va avea o entropie S i o pondere termodinamic W.

W = W1 · W2 (produs de probabilit i), iar S = S1 + S2;S = f(W); S1 = f1(W1); S2 = f2(W2) (4.33)

Deci f1(W1) + f2(W2) = f(W1W2) = f(W) (4.34)Diferen iem aceast ecua ie în raport cu W1 i ob inem:

dWdfW

WW

dWdf

dWdf

W2

11

1

2

=

∂∂

=

decidWdfW

dWdf

21

1 = (4.35)

Diferen iem aceast rela ie în raport cu W2 i cum f1 nu depinde de W2 vom ob ine:

68 din 163

02

2

2112

2

2

2 =+=

∂∂

+dW

fdWWdWdf

WW

dWfdW

dWdf

W

(4.36)

deci 02

2

=+dW

fdWdWdf (4.37)

Not mdWdfy = i ob inem 0=+

dWdyWy (4.38)

de undeWdW

ydy

−= i prin integrare vom ob ine ln y = – lnW + ln k unde k este o constant

de integrare.

DeciWky = sau

Wk

dWdf

= sauWdWkdf = (4.39)

Mai integr m o dat ecua ia diferen ial ob inut i avem:f = k lnW + C (4.40)

Alegând constanta de integrare 0, rezult f = k lnW i ajungem la ceea ce ne-am propus:S = k lnW (4.41)

formul numit formula lui Boltzman, unde J/K1038.1 23−⋅=k .tim îns c într-un proces termodinamic S cre te, deci va cre te i ponderea

termodinamic W ceea ce ne face s tragem concluzia c sistemele evolueaz în a a fel încâtunei macrost ri s -i corespund un num r mai mare de microst ri sau, cu alte cuvinte, dintr-ostare mai ordonat într-o stare mai dezordonat . Se poate spune c entropia este m suragradului de dezordine din sistem.

No iunea de entropie are o foarte mare importan i în domenii ca informatica unde sedefine te o entropie informa ional ii = k log P, cu k = 3,65, biologia, sociologia.

Procesele în care sistemul, spre deosebire de sistemele termodinamice, seautoorganizeaz se numesc procese neentropice (de exemplu procese biologice).

4.5 Formula fundamental a termodinamicii

În conformitate cu principiul I al termodinamicii am constatat c energia intern asistemului termodinamic se poate modifica prin schimb de caldur sau de lucru mecanic cumediul.

dU = LQ δ−δ (4.42)Pe baza formul rii Clausius a principiului II pentru procese cvasistatice putem scrie:

dS =TQδ (4.43)

deci: TdSQ =δdU = TdS – L (4.44)Rela ia (4.42) este valabil pentru procese de orice fel, pe când (4.44) este valabil

doar pentru procese cvasistatice reversibile.Expresia lucrului mecanic depinde de procesul care are loc.

Exemple:a) Într-o deformare elastic a unui corp de volum ini ial V

)( zzyyxxzyx ddddzdydxVL γτ+γτ+γτ+σ+σ+σ=δ (4.45)

69 din 163

unde i sunt dilat rile unghiulare.b) Într-o modificare a suprafe ei peliculei superficiale Ωσ=δ dL unde este aici

tensiunea superficial normal la elementul de arc al curbei care m rgine te suprafa afluidului.

c) Lucrul for elor elasticeVEdDdDEdDEdDEVL Zzyyxx =++=δ )( (4.46)

unde E reprezint intensitatea câmpului electric, iar D vectorul induc ie electric .d) Lucrul for elor magnetice

VHdBdBHdBHdBHVL zzYyXx =++=δ 0(unde H este vectorul intensitate a câmpului magnetic, iar B reprezint vectorul induc ie acâmpului magnetic.

e) Într-un sistem cu S componente în care numerele de kmoli k sufer varia iile d k:

k

S

KK dvL ∑

=

µ=δ1

(4.47)

unde k sunt numerele de kmoli, iar kµ se numesc poten iale chimice.Se remarc faptul c lucrul mecanic se calculeaz prin produsul unor marimi AK

numite for e generalizate cu diferen ialele unor m rimi dak care sunt numite coordonategeneralizate deci:

k

n

kK daAL ∑

=

=δ1

(4.48)

Prin urmare rela ia devine dU = TdS + k

m

kk daA∑

=1 (4.49)

Aceast rela ie fiind o unificare a expresiilor matematice ale principiului I i II senume te formula fundamental a termodinamicii pentru procese cvasistatice.

Pentru un gaz ideal coordonata generalizat este volumul V i for a generalizat este p.Deci: dU = TdS – pdV (4.50)

Pentru procese nestatice ireversibile în virtutea inegalit ii lui Celsius care guverneazaceste procese:

dU < TdS – Lδ (4.51)

dU≤ TdS + k

m

kk daA∑

=1 (4.52)

pentru ambele tipuri de procese unde semnul „=” este valabil în cazul proceselor cvasistaticereversibile.

4.6 Aplica ii ale principiului I i II al termodinamicii

Pentru rezolvarea diferitelor probleme concrete de fizic i tehnic , termodinamicafolose te dou metode.Metoda ciclurilor care const în studierea unui ciclu convenabil ales care con ine fenomenulde studiat. Nu exist nici o prescrip ie pentru alegerea ciclului i din acest motiv metodaaceasta nu se prea utilizeaz , de i din punct de vedere istoric a ap rut prima.Metoda poten ialelor termodinamice elaborat de Gibbs este o metod analitic care const înintroducerea unor func ii de stare numite poten iale termodinamice.

70 din 163

4.6.1 Dependen a de temperatur a coeficientului de tensiune superficial (prinmetoda ciclurilor)

consider m o pelicul superficial de arie A i tensiune superficial la otemperatur T. Într-o diagram )(Aσ , aceast stare va fi reprezentat prin punctul 1.

Figura 4.5

Din starea 2 facem ca pelicula s se întind adiabatic pân într-o stare infinit vecin 3având aria A dA+2 , în acest caz temperatura scade la T – dT; aceast modificare a temperaturiiva modifica tensiunea superficial cu d . L m ca pelicula s efectueze comprimare izoterm3-4. Pentru aceasta trebuie s cedeze c ldura Q 2 dup care readucem pelicula în starea 1printr-o transformare adiabatic . Deci pelicula a efectuat un ciclu Carnot între temperaturileT T=1 i T2 = T – dT, cu semnul ciclului inversat.

Randamentul ciclului pe de o parte este:TdT

TdTTT

TTT

=+−

=−

=η1

21 (4.53)

i pe de alt parte:1Q

L=η .

Lucrul L poate fi exprimat prin aria ciclului A1234 luat cu semn schimbat datoritparcurgerii inverse a ciclului Carnot.

L σ−−=σ−σ+σ−−≈ dAAdAA )())(( 1212 (4.54)

deci: σ−

−=η dQ

AA

1

12 (4.55)

Not m SAAQ

λ=− 12

1 i o numim c ldura latent superficial a peliculei. Sλ reprezint

deci c ldura necesar pentru formarea unit ii de suprafa de pelicul ([ )mJ] 2=λ S i este o

constant de material, deciS

dλ

σ−=η ; prin urmare –

TdTd

S

=λ

σ sau dTdT

Sλ−=σ sau

71 din 163

∫ ∫σ

σ

λ−=σ0 0

T

TS T

dTd ; )ln(ln 00 TTS −λ−=σ−σ sau0

0 lnTT

Sλ−=σ−σ de unde g sim rela ia de

dependen c utat :

00 ln

TT

Sλ+σ=σ (4.56)

Metoda ciclurilor se foloseste foarte mult si pentru calcularea randamentului diferitelor masini.

4.6.2 Metoda poten ialelor termodinamicePrin func ii termodinamice caracteristice se în eleg acele func ii de stare ale unui

sistem termodinamic a c ror dependen explicit de parametrii de stare fiind cunoscut ,permite ob inerea tuturor informa iilor termodinamice privitoare la sistemul considerat. Un tipaparte de func ii caracteristice sunt poten ialele termodinamice. Pentru a defini poten ialeletermodinamice plec m de la expresia lucrului mecanic efectuat asupra sistemuluitermodinamic.

∑=

=δm

iKK daAL

1

(4.57)

Din mul imea de forme generalizate una este presiunea i coordonata generalizat care-i corespunde este volumul.

Consider m a1 = V i A1 = – p; atunci rela ia (4.57) devine:

∑=

−=δm

kkk pdVdaAL

2 (4.58)

Not m cu: ∑=

=δm

kkk daAL

2 (4.59)

lucrul mecanic efectuat de forte generalizate altele decât presiunea; deci ob inem:pdVLL −δ=δ

Utilizând ecua ia fundamental a termodinamicii pentru procese cvasistatice vom scrie:dU = TdS – pdV + Lδ (4.60)

de unde: TdSpdVdUL −+=δ (4.61)Definim poten ialul termodinamic ca fiind orice func ie caracteristic a c rei varia ie îl

pe Lδ .Se pot construi o mul ime de func ii de stare care s joace rol de poten iale

termodinamice, dar în continuare vom studia doar câteva mai des întâlnite.

4.6.2.1 Energia liberAceast func ie caracteristic se define te prin rela ia:F = U – TS (4.62)

diferen iala sa este: dF = dU – TdS – SdT = L – SdT (4.63)sau dF = SdTdaA kk −∑ (4.64)dar F = F(a ),Tk a c rei diferen ial este:

72 din 163

dF = dTTFda

aF

akkaiK

)()( ∂∂

+∂∂∑ (4.65)

Identificând cu (4.64) rezult S = akTF )(

∂∂

− i A l =( TakiTF

,)∂∂ .

Pentru un gaz p =( tVF )

∂∂ i din U = F + TS rezult :

U = F – TkaT

F

∂∂ (4.66)

Aceast afirma ie este denumit prima rela ie a lui Gibbs-Helmholtz.Energia liber este poten ialul termodinamic când temperatura i volumul sunt

independente i mentinute constante. Acest lucru se vede din (4.65) i (4.61):SdTpdVLdF −−δ=

~

Într-adev r, dac V = constant i T = constant LdF ~δ= , deci satisface rela ia.

Semnifica ia fizic a energiei libereDin F = U – TS, diferen iind d(F – U) = TdS – SdT este energia cheltuit pentru

schimburile care au loc în interiorul sistemului termodinamic i se nume te energie legat TS,se nume te energie liber pentru c poate fi utilizat pentru efectuarea de lucru mecanic.

4.6.2.2 EntalpiaEntalpia este o func ie de stare caracteristic definit ca:

kk

k aAUH ∑−= (4.67)

pentru gazul ideal H = U + pV, Ak = – p, ak = V diferen iind:∑∑∑ −=−−=

kkk

kkk

kkk dAaTdSdAadaAdUdH (4.68)

adic : H = H(S ;Ak)Diferen iind rela ia (4.68):

∑ ∂∂

+∂∂

=k

kk

k dAAHdSA

SHdH (4.69)

Se ob ine:

kASHT

∂∂

= i a k =-( kAH∂

) A (4.70)

Entalpia joac rolul unui poten ial termodinamic. Din ecua ia fundamental atermodinamicii:

dU=TdS+δ L-pdVdL=dU+pdV-TdS adun si scad Vdδ L=dU+pdVVdp-Vdp-TdSδ L=d(U+pV)Vdp-TdS de undeδ L=dH-Vdp-TdS

Se observ c dac p=constant i S=constant i sunt independente dp=0 i dS=0 deci Lδ =dHdeci i H satisface condi ia de poten ial termodinamic.

Sensul fizic al entalpiei

73 din 163

consider m un gaz ideal care- i modific volumul izobar de la V1 la V 2 ; atunci înstarea 1: H1=U1+pV1

i în starea 2: H 2 =U 2 +pV 2 .Scoatem relatiile H 2 -H 1=U 2 -U 1+p(V2-V1)

de unde obtinem: =∆H U∆ +p V∆ sau LUH +∆=∆

dar conform principiului I al termodinamicii QLu =+∆ deci QH =∆ .Entalpia este c ldura primit sau cedat de un sistem într-o transformare izobar (se

utilizeaz foarte des în chimie).

4.6.2.3 Entalpia liber sau poten ialul termodinamic al lui GibbsAceast func ie caracteristic este definit prin rela ia:G = H-TS (4.71)Prin diferen iere ob inem:dG = dH-TdS-SdTdH=TdS- k

kk dAa∑

dG = -SdT- kkkdAa∑ (4.72)

Aceast rela ie arat c G este o func ie de T si A k :G=G(T ; A k )

Diferen iem i ob inem: dG=( TG

∂∂

)AkdT+∑ ∂∂

k kAG

dAk

Identific m i avem: S= -( TG

∂∂

)Ak iar ak=( kAG

∂∂

)A,T (4.73)

Ajungem la H = G + TS de unde H = G - T( TG

∂∂

)A k (4.74)Aceast rela ie se nume te a doua rela ie a lui Gibbs i Helmholtz.Se poate vedea c i entalpia liber este un poten ial termodinamic G = H-TS, dar

H = U + pV deci G = U = pV-TS (4.75)Formula fundamental a termodinamicii pentru procese cvasistatice:dU=TdS+∑

kkAdak (4.76)

deci dU=TdS+ pdVL −δ

Lδ = dU+pdV-TdS ad ug m i sc dem SdT i Vdp i ob inem:Lδ = dU+pdV+Vdp-TdS-SdT-Vdp+SdT deciLδ = d(U+pv-TS)-Vdp+sdT de unde

SdTVdpdGL +−=δ (4.77)Se observ faptul c poten ialul Gibbs devine poten ial termodinamic atunci când

presiunea i temperatura sunt constante i constituie variabile independente. Într-adev r înacest caz dp=0 i dT=0 deci dG= Lδ ceea ce satisface condi ia de poten ial termodinamic.

Sensul fizic al entalpiei libere este entalpia pe care o poate pune în exterior sistemuldup ce i-a consumat energia legat TS.

4.6.2.4 Aplica ii ale metodei poten ialelor termodinamice. Condi ii de echilibrutermodinamic pentru un sistem cu dou faze (Regula fazelor). Punctul tripluNumim faz o parte a sistemului termodinamic omogen din punct de vedere al

propriet ilor macroscopice (de exemplu apa i ghia a). În anumite condi ii un sistem cu maimulte faze se afl în stare de echilibru. În continuare ne propunem s g sim condi ia deechilibru pentru un sistem cu dou faze. S consider m un sistem care are o component (o

74 din 163

singur substan din punct de vedere chimic) dar cu dou faze. Not m cu 1 i 2 numerele demoli din fiecare faz , iar cu U, V, S, energia intern , volumul i entropia unui mol desubstan . Deci pentru cele dou faze vom avea:U1 1u1 U2 2u2V1 1v1 i V2 2v2 (4.78)S1 1s1 S2 2s2

De unde pentru sistemul izolat:U=U1+U2=v1u1+v2u2=const

V=V1+V2=v1v1+v2v2=constS=S1+S2=v1s1+v2s2=constV=v1+v1=constU, V, si v sunt constante iar S se modifica pana ajunge la echilibru intre faze. Variatiaentropiei este :

1(vS δδ = s1+v2s2)=v1ds1+s1dv1+s2dv2 (6.105) dar aplicand formula fundamentala atermodinamicii pentru procese reversibile pentru un mol din fiecare faza vom avea:T1S1= 1uδ +p1 1vδ (6.106) si T2S2= 2uδ +p2 2vδ (6.107) de unde T1 si p1 sunt temperaturile respectivpresiunile la care se gasesc fazele.Deci scoatem 1sδ si 2sδ din (6.106) si le introducem in (6.107)

Sδ =v1 1TvpU δδ +

+v2 2Tvpu δδ +

+s1 1vδ +s2 2vδ (6.108)Diferentiem (6.104) si obtinem :v1 1uδ +v2 2uδ +u1 1vδ +u2 2vδ =0 v2 2uδ =-v1 1uδ -u1 1vδ -u2 2vδ

v1 1vδ +v2 2vδ +u1 1vδ +u2 2vδ =0 (6.109) v2 2vδ =-v1 1vδ -v1 1vδ -v2 2vδ

1vδ + 2vδ =0 2nδ =- 1nδ (6.110)

Relatia (6.104) se mai poate scrie : 1

1111

TvvpvS δ

δ+

= + 2

22222

Tvvpuv δδ +

+s1 1vδ +s2 2vδ (6.111)Introducand relatia (6.109) in (6.111) avem dupa grupare

Sδ =( 1

1T + 2

1T )v1 1uδ +( 1

1

TP

+ 2

2

TP

)v 1 1vδ +(s1- 1

111

Tvpu +

-s 2 + 2

222

Tvpu +

)v 1 1vδ (6.112)

Deci la echilibru termodinamic, Sδ =0 deci 1

1T - 2

1T =0 de unde T1=T2 ; 1

1

Tp

- 2

2

Tp

=0 deci p1=p2 siu1+pv1-Ts1=u2+p2V2-Ts2 (6.113)Relatiile (6.113) exprima matematic conditia de echilibru a doua faze (regula fazelor).Marimea µ =u+pV-Ts reprezinta potentialul termodinamic Gibbs raportat la numarul de moli sipoarta numele de potential chimic.Deci doua faze sunt in echilibru atunci cand se afla la aceeasi temperatura, aceeasi presiune sila potentiale chimice identice.T1=T2=T ; p1=p2=p ; µ 1(p,T)= 2µ (p,T) deci p si T nu pot variaindependent.In cazul a doua faze ele pot fi satisfacute independent de-a lungul unei curbe inplanul p, T.Daca avem 3 faze conditia de echilibru :T1=T2=T3 ;p1=p2=p3=p ; 1µ (p,T)= 2µ (p,T)= 3µ (p,T) se satisfac intr-un singur punct numit puncttriplu. p

1 2

V Figura .6.6

75 din 163

Numarul de parametrii ai carei varistie nu perturba starea de echilibru a fazelor, se numestenumarul gradelor de libertate.Daca avem n componente, distribuite pe n faze aflate subactiunea a k forte generalizate.

Figura.6.6

4.6.2.5 Varia ia temperaturii de schimbare a fazei cu presiunea. Ecua iaClapeyron-ClausiusSe observa experimental faptul ca temperatura la care se produce schimbarea de faza

se modifica odata cu modificarea presiunii exercitata din exterior asupra sistemului. La schimbarea fazei este necesar sa avem 1δµ (p,T) (la echilibru 1µ = 2µ ) deci din :

1δµ (p,T)= 2δµ (p,T) (6.114)vom obtine : (d µ =du+pdv+vdp-Tds-sdT) (6.115) v1dp-s1dT-v2dp-s2dT (6.116) de unde

dTdp

= 21

21

vvss

−−

(6.117) Numim caldura latenta,caldura cedata sau absorbita de sistem pentru a trecedintro faza in alta(ptr.un Kmol)

=λ T(s1-s2) (6.118) Transformarile de faza care au loc cu absortie sau cedare de caldura se numesctransformari de faza de speta I.

Din (6.111)si(6.112) rezulta dTdp

= )21( vvT −λ

(6.119) Aceasta relatie este cunoscuta sub numele de relatia lui Clapeyron. Pentru cazul particular al vaporizarii v1>>v2 si v1 v

Dca raportam presiunea,volumul la cantitatea de masa m=1 pv= M1

RT deci :

dTdp

= Tvλ

= 2RTpMλ

sau pdp

= 2TvTdTλ

(6.120)De unde prin integrare intre p0si p (pt T0 p0 si pt T p)

Ln p-ln p0=- RMλ

( T1- 0

1T ) (6.121)

P=P0e)11(

0TTRM

−λ

(6.122) In transformarile de faza de speta I potentialul chimic µ sufera o discontinuitate. Daca marimile ca s si v raman constante iar marimile care sufera un salt sunt derivatelede ordin II a lui µ transformarile de faza poarta numele de transformari de faza de speta II.

2

2

T∂∂ µ

=-( TS

∂∂

)p=- Tc p

(6.123)

pT∂∂∂ µ2

= Tp ∂∂∂ µ2

=( Tv

∂∂

)p=v0α (6.124)2

2

p∂∂ µ

=-( pv

∂∂

) T = γ0v

(γ - indice de compresibilitate) (6.125)

76 din 163

4.7 Principiu al treilea al termodinamicii

În cursul lucrarilor experimentale cu privire la capacitatea substantelor de a reactionaintre ele (afinitate chimica), chimistul german Nernst a observat ca odata cu scadereatemperaturii se produce si o scadere a caldurii specifice. Aceasta comportare a calduriispecifice a fost considerata de Nernst o manifestare a unei legi naturale care nu poate fidemonstrata, dar care se manifesta de fiecare data.

Acestei concluzii i s-a dat rang de principiu si a fost denumita principiu al treilea altermodinamici. Unii autori nu considera principiu 3 ca un principiu al termodinamicii pentruca el nu introduce o marime de stare ca celelalte trei principii (principiul 0 introduce T,principiul 1 introduce U, principiu 2 introduce S). Ca si celelalte principii si principiul 3 aremai multe formulari.

Formularea lui NernstLa 0k caldura specifica este egala cu 0.De aici concluzia ca la 0k nu poate avea loc nici o transformare de caldura.Deci este imposibilca o masina termica sa functioneze cu T2=0k, deci este improbabila realizarea unei masinitermice cu randamentul 1.

Formularea lui Planck Daca temperatura termodinamica a unui sistem tinde la 0k, entropia sa tinde catre o valoare

constanta care nu depinde de valorile celorlalte marimi de stare.Planck a ar tat ca la T 0→ nu numai 0→∆S ci chiar S 0→ deci S0=0

Prin acesta se stabileste o origine in masurarea entropiilor.

S=∫T

TdQ

0 evident cele doua formulari sunt echivalente (6.127)

S=∫T

TCdQ

0 unde C este capacitatea calorica a sistemului. (6.128)Daca T 0→ este necesar ca c 0→ deci cele doua formulari sunt echivalente.

Formularea prin inaccesibilitatea temperaturii de 0 KPrin nici un proces nu se pote atinge 0 K.Aceasta formulare este echivalenta cu celelalte formulari.Demonstratia o putem face prinmetoda ciclurilor. Consideram un ciclu Carnot in coordonate T-S.

Figura.6.7

77 din 163

In acest caz izotermele T=constant vor fi paralele cu axa S iar adiabatele paralele cu axa T( TdSQ =δ ; in adiabata ⇒=⇒= 00 TdSQδ pentru T constant dS=0 tconsS tan=⇒

∫ =1234

0dS (6.129) figura. 6.8

12S∆ =∫2

1 TdQ

1, 2 fiind o transformare izoterma (6.130) 12S∆ = T1

∫2

1

dQ =T

Q12 =0 Q23,

Q41 sunt nule fiind procese adiabatice (6.131)In consecinta neexistand schimb de caldura 4123 SS ∆=∆ sunt si ele nule.Procesul 3-4 se realizeaza la 0k deci conform formularii lui Planck variatia de entropie estenula deci:

TQSSSSSS 12

12413423121234 =∆=∆+∆+∆+∆=∆ dar conform (6.129)

01234 =∆S deciT

Q12 =0 dar cum Q12 0≠ caldura absorbita pe o izoterma iar T este finitT

Q12 =0

deci s-a ajuns la o contradictie care a aparut datorita faptului ca am propus accesibilitateatemperaturii 0k.

4.7.1 Temperatura absolut negativPrincipiul 2 al termodinamicii a permis definirea unei scari termodinamice de

temperaturi care au punctul de origine la 0K si creste in sens pozitiv la +infinit.Pentru unelesisteme energia interna tinde catre o valoare constanta.Sa presupunem ca avem un sistempentru care U=ct. Daca-i comunicam o energie suplimentara din exterior, energia sa internacreste in continuare, temperatura sa fiind mai mare ceea ce poate fi interpretata ca un salt la –inf fara a atinge temperatura de 0K.

Figura.6.9

78 din 163

In cazul temperaturilor absolut negative s-a demonstrat ca orice caldura se poatetransforma integral in lucru mecanic pe cand lucrul mecanic nu se poate transforma integral incaldura.Deci in raport cu OK lucrul mecanic si caldura devin complementare.

4.8 Fenomene de transport în gaze

4.8.1 Drumul liber mediu al moleculelorMoleculele unui gaz au o continua miscare haotica, ele ciocnindu-se din cand in cand

intre ele. Intre doua ciocniri succesive o molecula parcurge un drum rectiliniu a carui lungimese numeste drum liber ( λ ). Acest drum liber difera de la molecula la molecula, dar numarulde molecule fiind foarte mare si miscarea haotica, putem admite ca drumul liber mediu

λ este o constanta, la un moment dat. Ne propunem sa calculam acest drum liber mediu.Pentru aceasta consideram o molecula I oarecare dim masa de gaz, care are o forma sferica, oviteza V si o raza r. Consideram pentru inceput ca toate celelalte molecule stau pe loc si dupaciocnire molecula aleasa isi continua miscarea in aceeasi directie. Molecula I poate ciocni in∆ t toate moleculele care se gasesc intr-un cilindru cu raza 2r, si cu lungime L=v ∆ t.

Figura.6.10Drumul liber mediu λ se va calcula ca fiind distanta parcursa intre doua ciocniri, deciimpartim L la z:

λ =zL sau λ =

tvnrtv

∆∆

24π deci λ = 24

1nrπ

Aceasta relatie nu este insa conforma cu realitatea pentru ca la deducerea ei am considerat catoate moleculele in afara de molecula I sunt in repaus. Daca tinem seama si de miscareacelorlalte molecul, in loc de v va trebui sa introducem viteza relativa medie pentru calculul luiz.

Z=4π nr 2 v tr ∆ (L ramane tot L=v∆ t)dar se poate considera ca v vr 2= deci rela (6.134) devine:

79 din 163

λ =224

1nrπ

- Formula lui Maxwell

Daca incalzirea gazului se face izocor, n este constant si λ nu ar trebui sa depinda de T dar inrealitate se observa ca:

λ =)1(24

12

Tcnr +π

Unde c se numeste constanta lui Sutherland care se determina experimental .Se stie ca n este

direct proportional cu presiunea deci:constp =λ

(6.137)

Relatia (6.137) ne permitem sa apreciam starea de vidare a unui recipient.Daca p are o astfelde valoare ca 1≥λ (dimensiunea recipientului) spunem ca avem un vid inaintat.

4.8.2 Vâscozitatea gazelor consideram un jet de gaz care se scurge printr-o conducta. In vecinatatea peretilor

viteza gazului va fi foarte mica datorita frecarilor iar in mijlocul vanei de gaz va fi maxima

Figura.6.11

.Intre doua straturi vecine va exista o forta de frecare:F=dsdvSη (6.138)

-unde η se numeste coeficientul de vascozitate iardzdv se numeste gradientul de viteza.

Demonstratie:Sa consideram doua straturi de gaze care se deplaseaza in sensul axei ox cu vitezele v1respectiv v2.Notam cu S aria suprafetei de separatie.

80 din 163

Figura.6.12Datorita agitatiei termice intr-un timp t∆ vor trece dintr-un strat in altul (pe directia OZ) unnumar N∆ de molecule, acestea si vor modifica vitezele de la v1 la v2 deci vor suferi o variatie

de impuls care da nastere fortei F din 6.138.La un moment dat doar31 din molecule au

directia axei OZ din care doar jumatate pe sensul pozitiv.Notand cu n concentratia moleculara.

nVN61

=∆ unde V este volumul umplut de aceste molecule in t∆ (6.139)

v=Sl=Sv=Sv t∆ (6.140)

deci tnsv

N ∆=∆6

1 (6.141)

Forta cu care stratul 2 actioneaza asupra lui 1 va fi:

F=tvm

np

∆∆

=∆∆ sau F=

tvv

∆− 12 (6.142)

Dar m=m0 N∆ unde m0este masa unei molecule deci: m=tnsvm ∆06

1 (6.143)

Din (6.143) si (6.142) m= )(61

120 vvnsvm − (6.144)

Viteza are o variatie continua.Notam cu v(z) viteza gazului la coordonata z, v1 sa fie vitezaintr-un punct z-λ si v2 sa fie viteza in z+λ , pe distanta λ viteza variaza cu v∆ .

Figura.6.13

81 din 163

Notam cudzdv variatia vitezei pe unitatea de lungime (gradientul de viteza ) deci variatia

vitezei pe distanta λ datorita continuitatii functiei v(z) va fi :

∆ v= λdzdv (6.145) deci v1=v+

dzdvvv +=∆ λ

(6.146)

v2=v- λdzdvvv ==∆ deci v1-v2=2 λ

dzdv de unde

F=31 (nvm0 notand λη

031

nvm= (6.148) obtinem F= S

dzdv

η (6.138)

Relatia (6.148) se poate pune si sub o forma mai comoda,inlocuind n=VN unde N este

numarul total de molecule.In acest Nm0=m masa de gaz iarV

Nm0 = ρ deci (6.148)devine

λρη v31

= (6.149)

4.8.3 Conductivitatea termic a gazelor. Transportul de c ldura în gaze consideram o masa de gaz in care temperatura nu esre constanta si scade uniform

de-a lungul axei z cu un gradient constantdzdT

Figura .6.14

Moleculele din regiunea II au energia cinetica medie 11 32 kTc =ε si cele din

regiunea I ε 22 32 kTc = unde k este constanta lui Boltzman si am considerat numaru de grade

de libertate i=1

82 din 163

Figura .6.15 Molecula care trece din II in I aduce un surplus de energie sub forma de

caldura(energie cinetica de agitare termica) )150.6)((23

21 TTc −=ε doar într-un interval de

timp ∆ t printr-o suprafata S trec un numar de molecule dat de tsnvN ∆=∆61

Deci caldura transportata de cele N∆ molecule va fi Q= Nc ∆ε (6.152) înlocuind în

(6.151) ob inem rela ia Q = tsnvTTk ∆−61)(

23

21 (6.153)

Pe un drum egal cu un drum liber mediu λ temperatura scade cu λdzdTT =∆

(6.154)

T1=T- λdzdTTT −=∆ (6.155)

T2=T- λDZdTTT −=∆

T1-T2=-2 λdzdT (6.156)

Inlociund in (6.153) vom obtine Q=- tsDZdTvnk ∆λ

21 (6.157) produsul nk

se exprima in felul urmator nk=uR

v

RMn

vkvN

VKN A ρ=== (6.158)

Intr-o transformare izocora Qv=vCv T∆ dar conform principiului 1:

TvRUQL v ∆=∆=⇒=∆230 (6.159)

Din (6.159) si (6.158) Cv= R23 (6.159) sau

µ23R

MCv = sau v

v CMC

MR

32

32

== (6.160)

Inlocuind-o in (6.158) nk= vCρ32 (6.161) inlocuind in (6.157) obtinem relatia :

83 din 163

Q=- tsdzdTCv v ∆ρλ

31 (6.162)

Constanta vv CCv ηρλ =−=ℵ31 se numeste coeficient de conductivitate termica deci (6.162)

devine : Q=- tsdzdT

∆ℵ (6.164)

Notez q=st

Q∆∆

caldura transferata in unitatea de timp prin unitatea de suprafata S se

numeste flux termic q=dzdT

ℵ−

Pentrucoeficientul de conductivitate termica a gazelor formula vCη=ℵ nu este chiar exacta.Calculele mai riguroase duc la relatia vCkη=ℵ (6.166)

Unde k este o constanta k=4

59 −γ undev

p

CC

=γ coeficientul adiabatic.

Relatiile (6.153) si (6.165) sunt valabile si pentru solide, constantele insa depind de naturamaterialului.

4.8.4 Legea de r cire a corpurilor a lui Newton consideram un corp de masa m, caldura specifica c, delimitat de o suprafata S,

avand temperatura T0.Acest corp se gaseste intr-un mediu nemarginit avand temperaturaconstanta θ 0 (T0> 0θ ). Corpul se raceste cedant in fiecare moment caldura mediului,reducandu-si astfel temperatura.La un moment t temperatura corpului va fi T iar la t+dt la vi T-dT, caldura pierduta fiind: dQ=-mcdt (6.167)Dar conform (6.153) putem scriedQ= Sα (T- 0θ )dt (6.168)

-unde T1=T2; T2= 0θ iarknv41

=α este o constanta numita coeficient de transfer al caldurii.

Deci din (6.167) si (6.168):-mcdt= dtTs )( 0θα −

Se pot separa variabilele deci : dtmc

sT

dT αθ

=− 0 (6.170) prin integrare:

ln(T- 0θ )=- ctmc

s ln+α (6.171) dar la t=0 T=T0 deci lnc=ln(T0- 0θ ) deci ln t

mcs

TTT αθ

−=−−

00

0

(6.172) de unde T- eT )( 000 θθ −= (6.173) (Legea de racire a corpurilor lui Newton)

4.8.5 Propagarea c ldurii prin bare consideram o bara de sectiune S, perimetru p, foarte lunga, incalzita la un capat la

temperatura T0 si care se gaseste intr-un mediu cu temperatura 0θ .Dupa un timp bara se va gasi in stare de echilibru termic, fiecare punct al ei gasindu-se la otemperatura T.Prin sectiunea S de la cota z va trece in unitatea de timp, caldura Q care conform (6.164)

Q=-dzdTsℵ

84 din 163

Figura.6.16

Figura.6.17

Prin sectiunea aflata la cota z+dz va trece in unitatea de timp (6.174)

Q-dQ=- dTTdzds −=ℵ pe dz temperatura a mai scazut cu dT

Aceasta relatie se mai poate scrie in felul urmator:

Q-dQ=- )( dzdzdTT

dzds −ℵ (6.175) sau

Q-dQ=- dzdz

TddzdT ss

2

2

ℵ+ℵ (6.176) dar conform (6.164) avem:

dQ= dzdz

tds2

2

ℵ (6.177)

Bara fiind in echilibru termic temperatura fiecarui punct este constanta deci caldura primitaprin conductie de echilibru infinitezimal Sdz este radiata mediului; caldura pierduta de acestcilindru, conform relatiei (6.168) estedQ==- dST )( 0θα − (6.178) saudQ=- pdzT )( 0θα − (6.179) deci

dzdz

tdpdzT s2

2

0 )( ℵ=−θα (6.180)

Dar 0θ fiind constanta se poate scrie si in felul urmator:

85 din 163

20

2

0)()(

dzTdpT s θ

θα−

ℵ=− (6.181)

Notez cu 0θτ −= T diferenta dintre temperatura unui punct de pe bara si temperaturamediului.Deci:

2

2

dzdp s τ

ατ ℵ= (6.182) sau

02

2

=ℵ

− τατ

s

pdzd (6.183)

Notez sp

ℵ=

αβ 2 (6.184) deci vom obtine ecuatia urmatoare 02

2

2

=− τβτ

dzd

Ecuatia caracteristica atasata ecuatiei diferentiale (6.185) sete r 022 =−β de unde r= β decizz eCeC ββτ −+= 21 (6.187)

Pentru aflarea constantelor de integrare C1 si C2 se pun urmatoarele conditii la limita :pt z=000 θτ −= T si pentru z inf→ z=0 ( bara ajunge la aceeasi temperatura ca si mediul) deci

T 2100 cc +=−θ si pentru 0=τ de undeC2=T0- 0θ ce unde : zeT βθτ )00 −= (6.188)

Deci T scade exponential cu z.Relatia (6.183 se poate generaliza cu usurinta penreuspatiul tridimensional.

4.8.6 Difuzia gazelorNumim difuziune fenomenul de partundere a moleculeleor unui gaz printre moleculele

altui gaz.Fenomenul este valabil atat ptr solide si lichide dar mai putin pregnanat.Experimental

se constata trecerea moleculelor din regiunea in care concentratia estemai mare in zonele in care concentratia este mai mica.. Sa consideram o suprafata deseparatie intre 2 regiuni cu densitati diferite:

Figura.6.18

In timpul t∆

86 din 163

Prin suprafata S vor trece din II in I N∆ molecule,avand

masa: tvsV

Nmtnvsmm o ∆=∆=∆61

61

01 (6.191) si din I si II tvspm ∆=∆ 22 6

1

(6.192) deci masa difuzata tvsppmmm ∆−=∆−∆=∆ )(61

2121

(6.193) dar p1=p(z- )λ =p(z)- λdzdp (6.194)

p2=p(z + )λ =p(z)+ λdzdp

p1-p2=-2dzdp (6.195) inlocuind in (6.193) avem

dzdptvsm ∆−=∆ λ

31

(6.196)

Deci masa difuzata in unitatea de timptm

∆∆ va fi

dtdpvs

tm

λ31

−=∆∆ (6.197)

Notand D= vλ31 si numind-o coeficient de difuzitate

dtdpDs

dtdm

−= (6.198)

Rela ia exprim legea lui Fick.

87 din 163

Capitolul 5Fenomene electrice

În natur exist particule elementare i sisteme de particule elementare. Între acesteaexist interac iuni care în momentul de fa se clasific în, interac iunea gravita ional ,interac iunea electromagnetic , interac iunea tare i interac iunea slab .

În continuare ne vom ocupa cu studiul clasic al interac iunii electromagnetice.Interac iunea electromagnetic este transmis prin intermediul câmpului electromagnetic, carereprezint o form special de existen a materiei, care ac ioneaz asupra corpurilor sauparticulelor care au o sarcin electric care are o repartizare continu în spa iu i timp, i carepoart energie electromagnetic capabil s se transfere în alte forme de energie. Câmpulelectromagnetic are dou componente: electric i magnetic . Cele dou componente coexistgenerându-se reciproc. Dac lu m în considerare doar sarcini electrice aflate în repausexperien a ne va pune în eviden numai componenta electrostatic . În cazul sarcinilor aflateîn mi care se va pune în eviden atât componenta magnetic , cât i cea electric .

5.1 Electrostatica

Fenomenele electrostatice apar în prezen a sarcinilor aflate în repaus. În cele discutatemai înainte a ap rut conceptul de sarcin electric . Acest concept are o evolu ie istoric destulde îndelungat . Primele fenomene electrice observate din antichitate au fost fenomenele deelectrizare prin frecare i influen . S-a observat c interac iunea dintre un corp electrizat icorpurile înconjuratoare poate fi mai mare sau mai mic , deci pentru a caracteriza din punct devedere cantitativ electrizarea unui corp s-a introdus m rimea fizic numit sarcin electric . Sarcina electric se conserv . Corpurile care posed sarcin electric interac ioneazîntre ele cu for e de atrac ie sau de respingere numite for e electrostatice. Existen a acestor for e a dus la ideea c exist dou feluri de sarcini numite ast zisarcini pozitive i negative. În general sarcina electric se noteaz cu Q i în S.I. are unitateade m sur 1A·s sau 1C.

5.2 Legea lui Coulomb

În 1785 Charles August Coulomb, cu ajutorul unei balan e de torsiune a studiat for ade interac iune dintre dou sarcini electrice punctiforme, g sind c m rimea acesteia estedirect propor ional cu produsul sarcinilor i invers proportional cu p tratul distan ei dintreele.

Figura 5.1

F = k 221

rqq

(5.1)

88 din 163

S-a observat c m rimea for ei depinde i de natura mediului prin care se transmiteinterac iunea, deci constanta k depinde de natura mediului. Pentru a caracteriza capacitateamediului de a transmite interac iunea electrostatic s-a introdus m rimea fizic numitpermitivitate electric a mediului cu ajutorul c reia constanta k se poate scrie:

k =πε41 (5.2)

Prin urmare, rela ia (5.1) devine:

F =2

21

41

rqq

πε (5.3)

S-a observat c prin vid interac iunea electrostatic se transmite cu cea mai mareintensitate, deci vidul are cea mai mare permitivitate pe care o not m cu 0 i are valoarea

120 10856,8 −⋅=ε F/m, iar

041πε

= 9 · 109.

Expresia matematic a legii lui Coulomb se poate scrie vectorial în felul urm tor: seintroduce un vector unitar ξ

r care are direc ia dreptei care une te cele dou sarcini. For a

electrostatic Fr

având aceea i direc ie, vom putea scrie:ξ⋅=rr

FF (5.4)Dar distan a dintre q1 i q2 se poate exprima vectorial prin rela ia: ξ⋅=

rr rr (5.5) Din (5.5), (5.4) i (5.3) ob inem forma vectorial a legii lui Coulomb:

rrqq

F rr

321

41πε

= (5.6)

5.3 Câmpul electric

Se observ c prezen a unei sarcini electrice schimb propriet ile spa iuluiînconjur tor în a a fel încât dac în acest spa iu se introduce un corp având o sarcin electricasupra acestuia ac ioneaz o for electrostatic . Aceast interac iune se transmite f a finevoie de un intermediar „substan ial”, ca în cazul interac iunii gravita ionale. Numim câmpelectric o stare a materiei care se manifest prin for e care ac ioneaz asupra corpurilor avândsarcin electric . Pentru a caracteriza din punct de vedere cantitativ câmpul într-un punct seintroduce m rimea numit intensitatea câmpului. Numim intensitatea câmpului într-un punct o

rime fizic vectorial , egal cu limita raportului dintre for a cu care ac ioneaz în acel punctasupra unui corp punctiform pozitiv i sarcina acelui corp, atunci când m rimea tinde la zero.

qFE

q

rr

0lim

→= (5.7)

Se iaqF

q

r

0lim

→ pentru c în acest caz sarcina q nu poate influen a distribu ia de sarcin

care creaz câmpul. Dac acest câmp este generat de o sarcin punctiform fix , atunci:

E =qF i F = q · E (fora ponderatoare) (5.8)

89 din 163

Aceast trecere la limit are un caracter oarecum artificial pentru c în natur nu s-aîntâlnit pân în prezent sarcin liber mai mic decât e = 1,602 1910• C, sarcina electronului. Pentru o sarcin punctiforma Q care genereaz câmpul într-un punct se poate scrieconform (5.6):

rr

qQF rr

341 ⋅πε

= (5.9)

rrQE rr

341πε

= (5.10)

Pentru scrierea acestei rela ii s-a ales ca origine pentru sistemul de coordonate chiarpunctul în care este situat sarcina Q. Dac suntem nevoi i s alegem un alt punct ca origine,rela ia se va modifica.

312

12

4 rrQEB

rr

πε= (5.11)

Proiec iile lui Er

pe cele trei axe:

( ) ( ) ( )r

zzyyxx

xxQEByrr

⋅

−+−+−

−πε

= 32

212

212

21

21

04

( ) ( ) ( )r

zzyyxx

yyQEByrr

⋅

−+−+−

−πε

= 32

212

212

21

21

04

( ) ( ) ( )r

zzyyxx

zzQEBzrr

⋅

−+−+−

−= 3

221

221

221

21

04πε

Cele ar tate anterior sunt valabile pentru situa ia descris , câmpul din B fiind generatde o singur sarcin situat în A. Aceast situa ie nu se întâlne te în realitate decât în cazurifoarte rare. În general câmpul electric într-un punct apare ca urmare a efectelor produse de maimulte sarcini, r spândite în spa iu. Pentru abordarea unei astfel de situa ii se utilizeazprincipiul suprapunerii câmpurilor. Aceasta o putem enun a în felul urm tor.

Fie 1E intensitatea câmpului electric într-un punct P generat de sarcina 1. Fie 2Eintensitatea câmpului electric generat de punctul P de sarcina 2. Câmpul generat în punctul Pde sarcinile 1 i 2 este 21 EEE

rrr+= .

a bFigura 5.2

90 din 163

Dac în spa iu este o distribu ie discret de sarcin q1, q2, ....,qi,...qn, într-un punctP(x,y,z) conform principiului supozi iei se poate scrie:

pnpippp EEEEE +++++= ............21 (5.12)dar conform (5.11):

30

30

32

2

0

2

31

1

0

1

4....

4.....

44 np

npn

ip

ipi

p

p

p

pp

rrq

rrq

rrq

rrqE

πε++

πε++

πε+

πε= (5.13)

sau ∑=πε

=n

i ip

ipip

rrqE

13

041 (5.14)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )∑

∑

∑

=

=

=

−+−+−

−

πε=

−+−+−

−

πε=

−+−+−

−πε

=

n

iipipip

ipipz

n

iipipip

ipipy

n

iipipip

ipipx

zzyyxx

zzqE

zzyyxx

yyqE

zzyyxx

xxqE

13

2220

13

2220

13

2220

41

41

)(

)(4

1

(5.15) pe cele 3 axe

De foarte multe ori (cel mai des) este foarte greu de decelat o distribu ie discret desarcin , cu toate c sarcina electric este discret . De exemplu, pe o suprafa conductoareînc rcat Q, sarcina este distribuit continuu pe suprafa . In „norul de electroni” (sarcinaspa ial ) din jurul unui catod de tub electronic, sarcina este de asemenea distribuit continuu învolum, deci nu putem g si puncte în care s avem q1, q2, ..., qn distribu ia continu a sarciniloreste un model valabil doar la scar mare.

Dac avem un domeniu D în care sarcina Q este distribuit continuu ca în figur ,alegem un domeniu de volum V în care se g se te sarcina q.

Figura 5.3

Definim densitatea de sarcin ca fiind limita raportului dintre sarcin i volumul încare se g se te sarcina atunci când volumul tinde la 0.

dVdq

dVdq

Vq

Vq

MNMQMPVM

ρ=

=∆∆

=∆∆

=ρ

→→→→∆limlim

0 (5.16)

91 din 163

i ∫∫∫ρ=D

dVq (5.17)

În a a fel putem defini o densitate superficial de sarcin i o densitate liniar desarcin .

∫λ=∆∆

=λ→∆

)(

0lim

L

l

dlqlq

(5.18)

Existând, datorit trecerii în suma din (5.14) o infinitate de termeni infinitezimali,suma se va transforma într-o integral . Intensitatea câmpului se va exprima prin rela ia:

2)(

312

12

0

1)2(

41 dV

rrE

D∫∫∫

ρπε

=

unde r este vectorul de pozi ie al punctului P în care calcul m E fa de origine. In generalrezolvarea acestei integrale vectoriale este dificil i din acest motiv se utilizeaz alte metodepentru a afla E atunci când se cunoa te (x,y,z).

Dac câmpul electric este uniform, E are aceea i valoare in fiecare punct, dar de celemai multe ori E se schimb de la un punct ( E (x,y,z) este o func ie continu ). Deci fiec ruipunct din spa iu i se ata eaz un vector E . Din acest motiv spunem c câmpul electric este uncâmp de vectori. Se poate ob ine o reprezentare intuitiv a câmpului electric introducând no iunea delinie de câmp. Numim linie de câmp o curb tangent în fiecare punct la direc ia local avectorului intensitate a câmpului electric. Sensul liniei de câmp se define te ca fiind sensulfor ei care ac ioneaz în acel punct asupra unei sarcini pozitive.

Pentru a deduce ecua ia unei linii de câmp inem cont de faptul c elementul de arc dSeste paralel cu E deci:

0=× ESd (5.19)kdzjdyidxSd ++= (5.20)

( ) ( ) ( ) 0=−+−−−==× dyEdxEkdzEdxEjdzEdyEiEEEdzdydxkji

ESd xyxzyz

zyx

yxxzyz Edy

Edx

Edx

Edz

Edy

Edz

=== ;; (5.21)

De unde vom ob ine ecua ia liniei de câmp:

λ===Edz

Edy

Edx (5.22)

Figura 5.4

92 din 163

Liniile câmpului electric produs de corpurile electrizate sunt curbe deschise carepornesc din corpurile pozitive i se închid la corpurile negative.

Num rul de linii de câmp pe unitatea de suprafa ne d o indica ie cu privire laintensitatea câmpului electric în regiune. In A, S fiind mai aproape de sarcin , E este maimare i se vede c pe el vin mai multe linii de câmp în punctul B.

Figura 5.5

5.4 Fluxul câmpului electric printr-o suprafa

No iunea de flux este o no iune fundamental , în teoria câmpurilor vectoriale. Numimfluxul unui vector printr-o suprafa , o m rime scalar egal cu produsul dintre modulul aceluivector i m rimea suprafe ei a ezat normal pe direc ia vectorului. În cazul vectoruluiintensitate a câmpului electric pe care îl notam cu .

= E · S (5.23)

Figura 5.6

Dac suprafa a S nu este perpendicular pe direc ia lui E, ea î i va „ar ta” câmpuluidoar proiec ia sa Sn, ca în figura (5.6).

93 din 163

Figura 5.7

Se observ c Sn se poate calcula ca fiind Sn = Scos deci:α⋅⋅=⋅=Ψ cosSESE n (5.24)

Se remarc faptul c o suprafa este o m rime vectorial pentru c întrune te toatecaracteristicile unui vector. Are modulul egal cu aria suprafe ei S i o orientare în spa iudefinit de direc ia i sensul normalei exterioare la suprafa .

nSS ⋅= (5.25)În acest caz, unghiul dintre S i Sn este egal cu unghiul dintre E i n sau E i S .

Deci rela ia (5.24) se poate scrie:SE ⋅=Ψ (5.26)

Tot ce am ar tat pân acum este valabil pentru suprafe e plane i pentru un E constantpe toat suprafa a. Dar în cazul cel mai general, acest lucru nu este valabil, cum se întâmpl înfigura 5.8.

Figura 5.8

În acest caz vom împ i suprafa a în suprafe e mici S1, S2,...., Si suficient demici pentru ca s le putem considera plane i s fie definit un singur E . Fluxul total prinsuprafa a va fi:

i

n

iiii

n

ii SESE ∆⋅=α⋅∆⋅=Ψ ∑∑

==σ

11

cos (5.27)

Dac îns intensitatea câmpului are o varia ie continu , în fiecare punct ea va avea altvaloare E (x,y,z) (situa ie întâlnit des în practic ), deci suprafe ele Si vor trebui s tind la0, iar num rul termenilor din suma (5.27) tinde la infinit, deci suma se transform într-ointegral dubl de suprafa .

94 din 163

SE ⋅=Ψ ∫∫)(σ

(5.28)

Figura 5.9

5.5 Legea lui Gauss pentru câmpuri electrice (Legea fluxului electric)

calcul m fluxul câmpului printr-o suprafa sferic ce înconjoar o sarcinpunctiform . Conform rela iilor anterioare avem:

24 rQE

πε= (5.29)

Figura 5.10

Iar fluxul va fi ( = 0, cos = 1), iar pentru suprafa a sferic , r este constant pe toatsuprafa a sfer :

2

2

4

4

rrdS

dSr

Q

sfera

sfera

sfera

π=

πε=Ψ

∫∫

∫∫

σ

σ (5.30)

dar liniile de câmp fiind radiale, deciε

=⋅∫∫σ

QSEsfera

(5.31)

Deci fluxul câmpului electric printr-o suprafa sferic având sarcina în centru, esteegal cu raportul dintre sarcin i permitivitate. Fluxul nu depinde de suprafa a sferei alese.

95 din 163

Aceast rela ie se poate generaliza pentru o suprafa închis de o form oarecare, care con ineîn interior o distribu ie de sarcini care genereaz câmpul electric.

Demonstra ieConsider m o suprafa oarecare S care înconjoar sarcina q. Din aceast suprafa se

ia o por iune S (ABDC) i vom calcula fluxul câmpului electric pe aceast suprafa ( S seia suficient de mic pentru a putea fi considerat plan).

Figura 5.11

Construim o sfer de raz r tangent la S în AB.Not m cu Ssf aria por iuni de sfer rezultat din Ssf proiec ia lui S pe suprafa a

sferei.Calcul m fluxul câmpului E prin θ∆=Ψ⋅∆ cosSES (5.32)Suprafa a Ssf fiind proiec ia lui S vom avea:

θ∆=∆ cosSS sf (5.33)

sauθ

∆=∆

cossfS

S (5.34)

Se ob ine:sfSE ∆⋅=Ψ (5.35)

Deci fluxul prin suprafa a oarecare S este acela i ca si prin sfer . Dar cum suprafe eleS i Ssf au fost alese arbitrar se poate generaliza în felul urm tor (deci putem enun a

urm toarea lege):Fluxul câmpului electric printr-o suprafa închis care con ine sarcina electric care

genereaz câmpul este egal cu raportul dintre valoarea sarcinii aflata in interior sipermitivitatea mediului.

Legea în aceast formulare este valabil pentru medii omogene si izotrope. Aceastlege se nume te legea lui Gauss (la noi este de fapt o teorem dedus din legea lui Coulomb).

În interiorul suprafe ei S se pot g si mai multe sarcini; în acest caz Q devine sumasarcinilor din interiorul suprafe ei S:

∑=i

iqQ (5.36)

Se ob ine:

96 din 163

∑∫∫ =i

iS

qSdEε1 (5.37)

Dac sarcina Q este distribuit continuu în interiorul suprafe ei S atunci:dVQ

V∫∫∫ρ= (7.36)

unde V este volumul m rginit de suprafa a S.Ob inem:

dVSdEVS∫∫∫∫∫ ρ

ε=

1 (5.37)

În matematic se demonstreaz o teorem foarte important numit teorema Gauss-Ostrogradski. Pentru un vector C de componente Cx, Cy, Cz :

dVz

Cy

Cx

CSdCV

zyx

S∫∫∫∫∫

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

= (5.38)

Deci fluxul câmpului electric prin suprafa a S se va putea scrie:

dVz

Ey

Ex

ESdEV

zyx

S∫∫∫∫∫

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

= (5.39)

Pentru un constant (medii omogene i izotrope):

dVdVz

Ey

Ex

E

VV

zyxx ∫∫∫∫∫∫ ερ

=

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

(5.40)

Deci:ερ

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

zE

yE

xE zyx (5.41)

Not m:z

Ey

Ex

EEdiv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= (5.42)

deci teorema lui Gauss se poate scrie în felul urm tor:ερ

=Ediv (5.43)

No iunea de divergen este fluxul pe unitatea de volum ce iese din domeniul D devolum V, pentru V infinit de mic.

V

SdCCdiv

V ∆

∆= ∫∫

→∆ 0lim (5.44)

divergen a oric rui vector este o func ie scalar de coordonate.

5.6 Lucrul mecanic al for elor electrice. Poten ialul

Ne propunem s calcul m lucrul mecanic efectuat de for ele cu care câmpul electricac ioneaz asupra unei sarcini +q, atunci când aceasta se deplaseaz dintr-un punct A, în altulB.

Consider m c într-un punct Q luat ca origine a sistemului de referin se g se te osarcin Q care genereaz un câmp radial. În acest câmp se deplaseaz o particula de sarcina +qpe o traiectorie C ca în figura 5.12.

97 din 163

Figura 5.12

La deplasarea din P în punctul infinit de apropiat P’ se efectueaz lucrul mecanicelementar dL:

ldFdL = sau dL = F·dl·cos (5.45)dar din triunghiul PP’P” se vede c dL = F·dr (5.46)

iar 24 rQqqEF

πε== (5.47)

deci: 24 rdrQqdL

πε= (5.48)

de unde: ∫∫ πε=

πε=

b

a

b

a

r

r

r

rAB r

drQqrdrQqL 22 44

(5.49)

sau

−

πε−=

−

πε=

rArQq

rrQqL

B

r

rBAAB

B

a

114

114

(5.50)

−

πε=

BAAB rr

QqL 114

(5.51)

În calculul pe care l-am f cut am luat forma curbei C arbitrar i observ m c aceastalegere nu influen eaz rezultatul de (5.51). Deci lucrul mecanic al for elor electrice nudepinde de drumul parcurs, ci numai de pozi iile punctului ini ial i celui final. Se observ clucrul mecanic efectuat pentru transportarea de c tre câmp a unit ii pozitive de sarcin LAB/qeste egal cu diferen a dintre dou valori (luate în A i B ) ale unei m rimi dependente desarcina care creeaz câmpul i pozi ia punctului.

BA

AB

rQq

rQq

qL

πε−

πε=

44 (5.52)

Notândr

QVπε

=4

, rela ia (5.52) se putea scrie: UVVq

LBA

AB =−= (5.53)

Aceast diferen se nume te diferen de poten ial. Deci tensiunea electric se poatedefini ca lucrul mecanic efectuat de câmp pentru a transporta unitatea pozitiv de sarcin întrecele dou puncte.

Dac punctul B se consider ca punct de referin pan la care se poate face deplasareacorpului cu sarcina q, atunci LAB/q = VA-VB va avea în punctul oarecare A din câmp o valoareunic având posibilitatea de a caracteriza câmpul în acel punct. În acest caz m rimea

98 din 163

AA r

QVπε

=4

se va numi poten ialul câmpului electric în A. (Pentru aceasta VB trebuie s fie

egal cu zero). Definim poten ialul câmpului electric într-un punct ca fiind o m rime fizicscalar , egal cu valoarea raportului dintre lucrul mecanic efectuat de câmp pentru a transportao sarcin de prob din acel punct pan într-un punct de referin arbitrar i sarcina corpului deprob .

5.7 Rela ia între intensitatea câmpului i poten ial

Am ar tat anterior c lucrul mecanic efectuat de câmpul electric pentru a deplasa osarcin q din A în B în câmp este dat de:

( ) VqVVqqUL BAAB ∆−=−== (5.54)Dac punctele A i B sunt infinit de apropiate, lucrul mecanic infinitezimal dL va fi

dL = –qdV (5.55)dar ldEqldFdl == sau dUldE = , dVldE −= (5.56)de unde (U reprezint tensiunea electric ):

ldEUAB

AB ∫= (5.57)

(integrala este o integral curbilinie pe curba AB).Dac drumul este închis (B coincide cu A) UAA= –VA – (–VA) = 0. Deci

0=∫ ldE (5.58)Spunem c câmpul electric este un câmp irota ional sau c el provine dintr-un poten ial.

Pentru a g si rela ia între E i V plec m de la (5.56) în care îi vom explicita pe E ild în func ie de componentele lor.

( )( ) dVkdzjdyidxkEjEiE zyx −=++++ (5.59)Dar dV este o diferen ial total exact deci:

dzzVdy

yVdx

xVdV

∂∂

+∂∂

+∂∂

= (5.60)

Egalând (5.59) cu (5.60) i inând cont c :1=== kkjjii

0=== kjkiji

dzzVdy

yVdx

xVdzEdyEdxE zyx ∂

∂−

∂∂

−∂∂

−=++ (5.61)

zVE

yVE

xVE zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−= ;; (5.62)

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= kzVj

yVi

xVE (5.63)

ceea ce se mai poate scrie prescurtat: E = – grad V (5.64)

99 din 163

inând cont de (5.60) expresia matematicερ

=E care exprim legea lui Gauss se

poate scrie în felul urm tor

VzV

yV

xV

zE

yE

xEEdiv zyx ∆−=

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

= 2

2

2

2

2

2

(5.65)

ερ

=∆V (5.66)

Aceast ecua ie exprim legea fluxului electric sub o alt form i se nume te ecua ialui Poisson.

Dac = 0 (în volum nu exist sarcini electrice), V = 0. Aceast rela ie se nume teecua ia lui Laplace.

100 din 163

Capitolul 6Electrocinetica

6.1 Curentul electric

Figura 6.1

Se consider dou corpuri înc rcate cu sarcini opuse, având poten iale diferite VA i VB(VA>VB). Intre ele exist un câmp electric.

Unim corpurile cu un conductor C, în acest caz electronii liberi (afla i în surplus în B)se pun în mi care prin conductor, sub ac iunea unui câmp electric, a c rui intensitate are valoribine determinate în fiecare punct a conductorului.

Fenomenul este identic i dac conductorul este înlocuit cu un electrolit sau cu un gazionizat (purt torii de sarcin în acest caz vor fi ioni). Deci apare o mi care dirijat de câmp apurt torilor de sarcin numit curent electric. In situa ia descris mai sus curentul dureazfoarte pu in (timpul de relaxare) i înceteaz dup egalarea poten ialelor. Pentru a men inecurentul un timp îndelungat este necesar efectuarea unui lucru mecanic. Acest lucru mecaniceste efectuat de un dispozitiv intercalat în circuit care transform o form oarecare de energie(mecanic , chimic , fotonic ) în energie electric i care se nume te surs de curent. Curentulelectric produce efecte, in timpul cat circul prin conductori (efect termic, chimic, magnetic,fiziologic, etc.), care pot fi mai intense sau mai pu in intense. Pentru a caracteriza un curentelectric din punct de vedere al capacit ii sale de a produce efecte se folose te m rimea fizicnumit intensitatea curentului.

Definim intensitatea curentului electric ca fiind limita raportului dintre varia ia sarciniielectrice a purt rilor de sarcin care trec printr-o sec iune transversal a conductorului iintervalul de timp in care are loc aceast trecere, atunci când 0.

dtdq

tqI

t=

∆∆

=→∆ 0

lim (6.1)

[I] = 1ADac I este constant în timp:

tqI = (6.2)

unde q = Ne, N fiind num rul electronilor trecut prin conductor în timpul t.Intensitatea curentului este o m rime macroscopic , caracteristic circuitului, dar în

fiecare element de suprafa a circuitului este posibil ca curentul local s fie diferit. Fiec rui

101 din 163

punct de pe suprafa a transversal a conductorului i se ata eaz o m rime macroscopicnumit densitate de curent.

Numim densitate de curent o m rime fizic vectorial , egal cu limita raportului dintrecurentul care traverseaz suprafa a normal pe direc ia curentului i aria suprafe ei atunci când

s aceast arie tinde la zero.

Figura 6.2

dSdIj = (6.3)

Sensul acestui vector este de la + la – deci opus sensului de mi care a electronilor.SdjI

S∫∫= (6.4)

Dac j este constant pe toat suprafa a I = j·S (6.5)

6.2 Conservarea sarcinii electrice

Observând atent fenomenele electrice, la toate nivelele (inclusiv cuantic) s-a eviden iatfaptul ca sarcina electric este o m rime conservativ . Sarcina electric total care intr într-unproces fizic a unui sistem izolat este egala cu sarcina de dup proces.

Se consider un volum V, m rginit de o suprafa S. In acest volum la un moment dat tse g se te o sarcin q. S consider m c din acest volum prin suprafa a S ies sarcini. La unmoment dat t + dt, vor fi mai pu ine sarcini q – dq. Deci varia ia de sarcin din volumul Vdând na tere dq. Întrucât sarcina se conserv ea nu poate s dispar , –dq a ie it prin suprafa aS dând na tere unui curent de densitate j .

Intensitatea curentului traversat s va fidtdqI −= (6.6)

i conform (6.4):SdjI

S∫∫= (6.7)

Sdjdtdq

S∫∫−= (6.8)

Dac în volumul V sarcina este distribuit continuu cu densitatea de sarcin :

∫∫∫ρ=V

dVq

SdjdVdtdq

SV∫∫∫∫∫ −=ρ= (6.9)

Conform teoremei Gauss-Ostrogradski:

102 din 163

dVjdVkzjj

yj

ixjSdj

VV

zyx

S∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= (6.10)

deci fiind func ie doar de x,y,z (nu depinde de t)

jdtdq

−∇= (6.11)

jdivdtdq

−= (6.12)

Ecua iile echivalente (6.8), (6.9), (6.10) poart numele de ecua ia de continuitate, (6.8)fiind forma integral , iar (6.9) i (6.10) forma diferen ial .

6.3 Câmpul electric imprimat. Tensiunea electromotoare

Am v zut în paragraful 6.1 c pentru a men ine curentul într-un circuit este necesar cain acest circuit s existe un dispozitiv care s converteasc o anumit form de energieneelectric în energie electric , dispozitiv numit surs . Datorit acestei conversii de energieasupra purt torilor de sarcin din interiorul sursei ac ioneaz o for de natur neelectric Fi,care ii pune în mi care. Ac iunea acestei for e poate fi interpretat ca datorându-se unui câmpelectric de natur neelectrostatic care ac ioneaz asupra purt torilor de sarcin ii EqF =acest câmp se nume te câmp imprimat. Sunt foarte multe categorii de câmpuri imprimate(voltaice, galvanice, fotovoltaice, mecanice, etc.). Deci mai putem defini surse ca fiindregiunea din circuit în care exist un câmp imprimat. Datorit acestui câmp imprimat, întredou puncte ale circuitului exist o diferen de poten ial, asociat unui câmp electriccoulombian cE . Diferen a de poten ial dintre dou puncte A i B datorat acestui câmpcoulombian va fi:

ldEUB

AcAB ∫= (6.13)

Figura 6.3

În interiorul sursei exist simultan i cE i iE , deci va exista aici un câmp rezultant(suma este vectorial ):

ci EEE += (6.14)Aplic m în rela ia (6.14) integrala curbilinie pe drumul BSA:

ldEldEldEBSA

cBCABSA

∫∫∫ += (6.15)

103 din 163

Dar tim c integrala curbilinie a intensit ii câmpului coulombian nu depinde de drum(de alegerea drumului de integrare), deci:

ldEldEldEBSA

cBCA

cBSA

c ∫∫∫ −== (6.16)

ldEldEldEACB

cBCABSA

c ∫∫∫ += (6.17)

Primul membru se nume te tensiune electromotoare i se noteaz cu E.ldEE

BSAi∫= (6.18)

În interiorul sursei nu exist decât câmpul coulombian, deci Ei = Ec ; deci (6.17)devine:

ldEldEldEEACBBSA

∫∫∫ =+= (6.19)

Deci putem defini tensiunea electromotoare ca fiind egal cu lucrul efectuat de câmppentru a deplasa unitatea pozitiv de sarcin pentru întreg circuitul.

Primul termen din al doilea membru al rela iei (6.17) se nume te c dere de tensiuneintern u, iar al doilea termen este conform (6.13) tensiunea UAB numit c dere de tensiune U.

E = u + U (6.20)Introducând legea lui Ohm pentru o por iune de circuit U = RI ob inem:

rREI+

= (6.21)

6.4 Câmpul magnetic

6.4.1 For e magnetice (Lorentz)În experien ele efectuate de Oersted s-a observat c un conduc tor parcurs de curent

ac ioneaz asupra acului magnetic, ceea ce nu se produce în cazul sarcinilor statice. S-adovedit c sarcinile electrice aflate în mi care produc un câmp care poate ac iona cu forasupra altor sarcini aflate în mi care sau asupra unor magne i. Acest câmp poart numele decâmp magnetic. Pentru a caracteriza campul magnetic din punct de vedere intensiv s-aintrodus m rimea fizic vectorial B numit induc ie a câmpului magnetic într-un punct.Dac într-o regiune din spa iu în care exist un câmp magnetic de induc ie B i un câmpelectric de intensitate E se deplaseaz cu viteza v o particul avand sarcina electric q, asupraacesteia va ac iona o for dat de urm toarea rela ie experimental :

( )BvEqF ×+= (6.22)numit for Lorentz.

Dac un conductor parcurs de curent se afl într-un câmp magnetic asupra fiec ruipurt tor de sarcin va ac iona o for Lorentz. Aceste for e Lorentz se însumeaz i vor da ofor rezultant numit electromagnetic .

( )BldIFd ×= (6.23)

( )BlIF ×= (6.24)(6.24) se poate deduce din (6.25) în maniera cunoscut din manualele de liceu.

104 din 163

Este de subliniat faptul c efectele magnetice sunt consecin e relativiste ale mi riisarcinilor electrice.

6.4.2 Induc ia i intensitatea câmpului magnetic. Legea lui LaplaceAm v zut c pentru a caracteriza câmpul magnetic din punct de vedere intensiv am

introdus o m rime fizic vectorial numit induc ia câmpului magnetic B . Pentru a calculaaceast induc ie într-un punct fizicianul francez Laplace plecând de la formula experimentalBiot-Savart a dedus pentru induc ia magnetic produs de un curent de intensitate I o formulcare-i poart numele (în unele tratate este denumit formula Biot-Savart-Laplace).

34 rrldIBd ×

πµ

= (6.25)

i de unde 34 rrldIB

C

×π

µ= ∫ (6.26)

Figura 6.4

Din rela ia (6.26) rezult c induc ia magnetic B depinde de intensitatea curentului,forma circuitului, (integrala sa ia pe curba care reprezint circuitul) i prin intermediulconstantei numit permeabilitatea magnetic a mediului, de natura (propriet ile magneticaale mediului).

Dac circuitul este în vid valoarea induc iei este mai mic , decât în orice mediu vidul

având o (constant magnetic ) permeabilitatea magneticmH104 7

0−⋅π=µ .

30

04 r

rldIB

C

×π

µ= ∫ (6.27)

Valoarea raportului dintre B i B0 se nume te permeabilitate magnetic relativ amediului:

00 µµ

==µBB

r (6.28)

Induc ia magnetic depinde deci i de natura mediului. In multe situa ii este necesarintroducerea unei m rimi care s depind doar de intensitatea curentului H . Într-un mediuomogen i izotrop putem s -l definim pe:

105 din 163

µBH = sau B = H (6.29)

[H] = 1 A/mÎn cazul general este un tensor.Printr-un ra ionament asem tor (în principiu) cu cel de la propriet ile dielectrice ale

substan ei se poate introduce o m rime adimensional care caracterizeaz substan a numitsusceptibilitate magnetic .

rm µ=+χ 1 (6.30)( )( )HB m

m

χ+µ=

χ+µ=µ

1

1

0

0

H i B sunt vectori coliniari în medii omogene si izotrope.

6.4.3 Legea lui AmpereCalculând intensitatea câmpului magnetic într-un punct din vecin tatea unui conductor

rectiliniu infinit de lung ob inem o formul numit Biot-Savart:

rIHπ

=2

(6.31)

saur

IBπµ

=2

(6.32)

Plecând de la aceast rela ie putem deduce o rela ie care exprim o legitate importanta câmpului magnetic. Pentru început vom introduce no iunea de tensiune magnetic .

Dac avem un câmp magnetic uniform de induc ie B i intensitate H i un drumrectiliniu AB, numim tensiune magnetic asociat acestui drum lAB m rimea:

αcosABm lHU ∆= (6.33)

Figura 6.5

Pentru drumuri nerectilinii i câmpuri neuniforme generaliz m (6.33), împ inddrumul în segmente rectilinii suficient de mici pentru ca în cuprinsul lor câmpul s poat ficonsiderat uniform. Pentru fiecare segment de lungime lk pe care se g se te câmpul uniformde intensitate Hk putem aplica rela ia de defini ie (6.33) i se însumeaz pentru toatesegmentele:

kk

kkkk

km lHlHU ∆=∆= ∑∑ αcos (6.34)

106 din 163

Figura 6.6

Dac câmpul este total neuniform adic nu putem g si segmente de lungime finit pecare acesta s fie constant, segmentele lk se vor lua infinitezimale i (6.34) se va transformaîntr-o integral curbilinie pe curba AB aleas .

ldHUAB

m ∫= (6.35)

Dac conturul este închis, Um se nume te tensiune magnetomotoare sau circula iacâmpului magnetic pe contur.

Revenind la conductorul rectiliniu infinit de lung, vom scrie circula ia câmpuluimagnetic pe un cerc de raz r care înconjoar conductorul:

Figura 6.7

∫ ∫∫ ==cerc cerccerc

HdlHdlldH 0cos (6.36)

înlocuind pe H din (6.35):

dlr

IHdlcerc cerc∫ ∫ π

=2

(6.37)

dar r fiind constant Irr

Idlr

IHdlcerccerc

=ππ

=π

= ∫∫ 222

(6.38)

Deci conform (6.35): IldHcerc

=∫ (6.39)

Aceast rela ie se poate extinde pentru un contur necircular, de form oarecare, carecuprinde conductorul prin care circul curentul. Alegem un contur oarecare care înconjoarconductorul ca în figura (6.8). Not m elementul infinitezimal de arc cu dl i calcul mcircula ia vectorului intensitate a câmpului magnetic pe conturul .

107 din 163

Figura 6.8

θ= ∫∫Γ

ΓΓ

Γ

cosHdlldH (6.40)

Din triunghiul infinitezimal ABC:AB = AC cos = dlcos (6.41)

Dar θ=ϕ Γ cosdlrd sauθ

ϕ=Γ cos

rddl (6.42)

Înlocuind (6.42) i (6.32) în (6.40) avem:

∫∫ΓΓ

=ππ

=ϕπ

=θθ

ϕπ

Irr

Irdr

Irdr

I 222

coscos2

(6.43)

deci ∫Γ

= IldHrr

(6.44)

pentru orice contur.

În vid0µ

=BHr

r; deci ∫

Γ

µ= IldB 0

rr (6.45)

Rela iile (8.44) i (8.45) exprim matematic legea lui Ampere. Circula ia vectoruluiintensitate a câmpului magnetic pe un contur închis care cuprinde conductorul este egal cusuma curen ilor din interiorul conturului.

∫ ∑=k

kIldHrr

(6.46)

sau ∫ ∑µ=k

kIldB 0

rr (6.47)

6.4.4 Câmpul magnetic terestruPrezen a unui câmp magnetic în jurul P mântului a fost sesizat deja în antichitatea

Extremului Orient i utilizat , dup cum se pare, pentru orientare. În Europa orientarea pemare cu ajutorul acului magnetic s-a dezvoltat începând din secolul XII-XIV. În anul 1600medicul englez Gilbert i-a dat seama c distribu ia liniilor de câmp magnetic terestru esteidentic cu distribu ia liniilor de câmp de la un magnetic sferic din magnetic . Liniilecâmpului magnetic terestru sunt distribuite ca i cum P mântul ar fi un uria magnet cu PolulSud aproape de Polul Geografic Nord (Peninsula Boothia N=70o 40’ V=96o5’) i cu PolulNord în vecin tatea Polului Sud Geografic ( S=72o40’ E=155o).

108 din 163

Un ac magnetic se a eaz tangent la linia de câmp în acel punct aflându-se într-un planvertical care se nume te planul meridian magnetic al locului.

Unghiul dintre meridianul magnetic i cel geografic se nume te declina ia magnetic alocului. Un ac magnetic are posibilitatea de a se roti vertical nu poate fi paralel cu planulorizontal ci va face cu acesta un unghi numit înclina ie. În studiile de geomagnetism vectorulintensitate a câmpului magnetic terestru poate fi definit în orice punct al P mântului prinvaloarea componentei orizontale, declina ia i înclina ia. Componenta orizontal notat cu H, este proiec ia câmpului pe un plan orizontaltangent la sfera terestr în punctul considerat. Declina ia magnetic se noteaz cu D, iarînclina ia cu I. În sistemul de referin ales ca în figur :

Figura 6.9

Dac P mântul ar fi omogen i uniform magnetizat dup direc ia axei sale de rota iepolii magnetici ar coincide cu cei geografici, iar meridianul magnetic cu cel geografic. În acestcaz ϕ= tgtgI 2 , iar la poli câmpul ar fi vertical. O astfel de distribu ie se nume te câmpmagnetic real. Distribu ia real a câmpului este alta, cea descris mai sus care corespunde câmpuluireal. Dezvoltând în serie de func ii sferice expresia câmpului magnetic real, termenul aldoilea (primul este totdeauna 0 datorit lipsei sarcinilor magnetice) este un câmp de dipolnumit câmp regulat. Deci câmpul real poate fi considerat un câmp de dipol peste care sesuprapun mai mul i termeni ce alc tuiesc un câmp neregulat. Polii magnetici ai acestui dipol(ai câmpului regulat) nu coincid cu polii reali (magnetici reali) numi i poli de înclina ie.Câmpul magnetic regulat este folosit mult în geofizic pentru repararea anomaliilor locale pecând câmpul real este cel care intereseaz mai mult în naviga ie. Câmpul magnetic terestrusufer varia ii atât în m rime cât i în direc ie. Se studiaz atât varia ia declina iei (foarteimportant ), cât i a înclina iei i a componentei orizontale. Varia iile declina iei pot fi zilnice sau diurne, anuale i seculare. Varia iile diurne potatinge maxim 15-20’, dar rar trec de 10’ i au medie de 3’. Ele au leg tur cu activitatea solari au un maxim în iunie (8’) i un minim în ianuarie (3’). Particulele electrizate emise de Soare

iau parte la rota ia P mântului producând curen i. Câmpurile acestor curen i se suprapun pestecâmpul magnetic terestru. Varia ii mai mari se produc în zilele cu furtuni magnetice.

109 din 163

Varia iile anuale. Media zilnic a declina iei variaz în cursul unui an. În prezentvariaz de la vest spre est de la echinoc iul de prim var spre echinoc iul de toamn i apoiinvers. Varia iile seculare sunt varia ii ale valorii medii ale declina iei care se produc peintervale mari de timp (de exemplu la Paris în 1814 DV=22o34’, iar în 1938 era DV=9o321’). Înprezent scade cu ≅ 9’ pe an. Pe h ile de naviga ie se trece rata de varia ie a declina iei pentrua actualiza harta. Anomaliile locale ale câmpului terestru sunt abateri de la valoarea medie a câmpuluiregulat, create de z minte feromagnetice îngr dite în scoar a P mântului. Ele pot sproduc i varia ii puternice ale declina iei. De exemplu în Alaska exist o anomalie careproduce o deviere a acului busolei cu 30o. Anomalii magnetice cu axe complet diferite se

sesc în regiunile vulcanice sau sunt produse de roci pe care au c zut tr snete sau care suntmagnetizate invers.

6.4.5 Fluxul câmpului magnetic Fluxul câmpului magnetic printr-o suprafa se define te la fel ca i la câmpulelectrostatic, ca fiind o m rime fizic scalar egal cu produsul vectorului induc ie i vectorulsuprafa orientat normal la liniile de câmp.

SBSBSB n

rr⋅=⋅=⋅=Φ αcos (6.48)

Pentru câmpuri neuniforme se împarte suprafa a S în elemente de suprafa i seajunge astfel la:

∫∫ ⋅=ΦS

SdBrr

(6.49)

Liniile câmpului magnetic sunt linii închise, deci num rul de linii de câmp care intrîntr-o suprafa închis trebuie s fie egal cu num rul de linii de câmp care ies, deci fluxultotal în acest caz este nul.

0=⋅∫∫S

SdBrr

(6.50)

folosind teorema Gauss-Ostrogradski:

∫∫ ∫∫∫ ⋅=⋅V

dVBdivSdBrrr

(6.51)

deci 0=Bdivr

; 0=∇Br

(6.52) Expresia reprezint legea fluxului magnetic sau legea lui Gauss pentru câmpurimagnetice.

110 din 163

Capitolul 7Fenomene electrodinamice

Pân în prezent ne-am ocupat de fenomene electrice produse de sarcini aflate în repaus(electrostatic ) i fenomene produse de curen i electrici care au o intensitate constant i caregenereaz câmpuri magnetice de intensitate constant . În continuare vom studia situa ii în carecuren ii i câmpurile sufer varia ii, producându-se intercondi ionarea lor. Astfel de fenomenese numesc electrodinamice.

7.1 Fenomenul de induc ie electromagnetic

Legea lui Faraday În 1831, în urma unor experimente laborioase cunoscute din liceu, M. Faraday adescoperit c varia ia unui flux magnetic prin suprafa a m rginit de un circuit produce în acelcircuit o tensiune electromotoare. Aceast tensiune se nume te tensiune electromotoare indus ,iar fenomenul induc ia electromagnetic . În continuare vom da o explica ie a apari iei tensiunii induse într-un conductor care sedeplaseaz rectiliniu uniform într-un câmp magnetic uniform i vom calcula m rimea sa.

Figura 7.1

Purt torii de sarcin (electronii liberi, dac conductorul este un metal) se vor deplasaodat cu bara pe direc ia vectorului vr , dar aflându-se într-un câmp magnetic asupra lor vaac iona ca o for Lorentz orientat de-a lungul conductorului (de la B la A).

)( BvqFrrr

×= (7.1) Aceast for va deplasa purt torii de sarcin spre capete (electronii spre A), ac iuneafor ei fiind echivalent cu ac iunea unui câmp imprimat, numit câmp indus.

BvqFE

rr

rr

×== (7.2)

Acumularea sarcinilor c tre capete produce un câmp coulombian 0Er

care se va opunecâmpului indus, iar când cele dou câmpuri se egaleaz , transferul de sarcini înceteaz , lacapetele barei existând o diferen de poten ial numit tensiune indus . Dar conform defini ieitensiunii electromotoare,

∫ ×=B

Ai ldBv

rrr )(ε (7.3)

111 din 163

dardtxdvr

r= (deplasarea f cându-se de-a lungul axei Ox)

deci ∫

×=

B

Ai ldB

dtxd rrr

ε (7.4)

Pe baza propriet ilor produsului mixt,( ) ( )baccba

rrrrrr×=× (7.5)

vom permuta ldr

cu Br

:

BlddtxdldB

dtxd rr

rrr

r

×=

× (7.6)

Deci ∫ ∫ ∫==

×=

C C Ci SdB

dtdB

dtSdB

dtldxd rrr

rr

rr

ε (7.7)

dtd

iΦ

=ε (7.8)

pentru c ∫∫=Φ SdBrr

.

Legea conserv rii energiei ne impune o consecin important i anume, aceea clucrul mecanic efectuat pentru a produce varia ia fluxului se transform în energie electric .Aceast transformare se produce întotdeauna cu o opozi ie a cauzei contra efectului decitensiunea electromotoare indus are un astfel de sens încât prin efectele sale magnetice seopun cauzei care-i d na tere, aceast afirma ie este cunoscut sub denumirea de regula luiLentz. În acest caz (7.8) se scrie corect

dtd

iΦ

−=ε (7.9)

Aceast expresie exprim legea induc iei electromagnetice a lui Faraday. Dac într-un circuit are loc varia ia de curent, evident se produce i o varia ie de fluxprin suprafa a m rginit de circuit. Aceast varia ie de flux produce o tensiune electromotoareindus în principiul circuit, fenomen numit autoinduc ie. Fluxul produs de un circuit depindede intensitatea curentului i în situa ii în care permeabilitatea este constant , de forma idimensiunile circuitului. Raportul dintre flux i intensitate este o caracteristic a circuituluicare se nume te inductan .

lL Φ

= (7.10)

sau LI=Φ (7.11) Tensiunea electromotoare autoindus cu ajutorul lui (7.11) o putem scrie:

dtLId

i)(

−=ε (7.12)

sau pentru un L = constant:

dtdILi −=ε (7.13)

112 din 163

numit legea autoinduc iei.

7.2 Energia câmpului magnetic

Pentru a forma i men ine câmpul magnetic este necesar s se consume energie,aceast energie consumat este acumulat în câmpul magnetic, deci putem spune c , câmpulmagnetic con ine energie. Vom calcula aceast energie i densitatea sa în cazul particular, aunei bobine, lungi, de inductan ei L str tut de un curent de intensitate I. La formareacâmpului în interiorul bobinei a luat na tere o tensiune electromotoare dat de (7.13), iar întimpul infinetezimal dl s-a transportat prin circuit sarcina dq, deci lucrul mecanic elementar vafi:

dqdL aε= (7.14)

dar conform (9.13) dqdtdiLdL −= (7.15)

decidtdqi = (7.16)

dar conform defini iei curentului LidiidtdtdiLdL −=−= (7.17)

dar dL se transform în energie poten ial :LididW = (7.18)

sau ∫ ∫=W i

idiLdW0 0

(7.19)

deci2

2LiW = (7.20)

Pentru un solenoidl

SNL2

0µ= (7.21) i

lNiH = (7.22).

Introducând (7.21) i (7.22) în (7.20):li

ilHSW

2

2

220

2⋅⋅

µ= .

Ob inem:2

20 HlSW µ

= (7.23)

Dar Sl = V (volumul în care este cuprins câmpul),

deci:2

20H

VWw µ

== (7.24)

Aceast rela ie exprim densitatea de energie a câmpului magnetic. Dac H nu este uniform, se poate defini W doar local pe volume infinit de mici dV, darrela ia (7.24) r mâne valabil i energia se poate calcula integrând w pe întreg volumul:

∫∫∫∫∫∫µ

==VV

dVHwdVW2

20 (7.25)

113 din 163

Formula (7.24) de i a fost aleas pe un caz particular este valabil în toate cazurile.inând seama c BH =µ0 rela ia se scrie la modul general:

2HBwrr

= (7.26)

Rela ia este valabil i pentru cazul când nu este constant.

7.3 Curentul de deplasare. Densitatea curentului de deplasare

Se tie c un condensator în regim continuu întrerupe curentul. Se acumuleaz sarcinipe arm turi, dielectricul se polarizeaz : spunem c condensatorul este înc rcat. În regimalternativ, atunci când intensitatea se modific datorit înc rc rii i desc rc rii repetate acondensatorului, de i prin dielectricul lui nu trec sarcini, curentul nu se întrerupe.

Figura 7.2

Prin terminalul a intr arm tura A curentul de induc ie (datorat mi rii purt torilor desarcin ) iC, iar din B prin b iese conform teoremei I a lui Kirrchoff pentru curent alternativacela i curent. Pentru a pune de acord acest fapt experimental cu legea continuit ii curentuluifizicianul englez Maxwell a presupus c în spa iul AB exist un curent care men inecontinuitatea circuitului, curentul care evident nu se datoreaz mi rii purt torilor de sarcini care a fost denumit curent de deplasare. Curentul de deplasare respect teorema lui

Kirrchoff:id = ic (7.27)

Ne propunem s calcul m în continuare valoarea lui id. tim c id este intensitateacurentului care încarc condensatorul:

dtdQic = (7.28)

Q fiind sarcina momentan pe arm turi.CUQ = (7.29)

U fiind tensiunea momentan dintre arm turi.

DecidtCUdic

)(= (7.30)

C fiind considerat i egal cudS0ε pentru un condensator plan cu dielectric vid.

)(0 dEdtd

dSic ⋅

ε= (7.31)

114 din 163

Câmpul fiind uniform între arm turi:

dtdESic 0ε= (7.32)

i conform (7.27) intensitatea curentului de deplasaredtdESid 0ε= . Deci densitatea curentului

de deplasare:

dtdE

Sij d

d 0ε== (7.33)

sau aceea i rela ie scris vectorial (valabil în medii izotrope, omogene i liniare):

dtEdjd

rr

0ε= (7.34)

inând cont de (7.34) ecua ia de continuitate se mai poate scrie folosind suma dintredensitatea curentului de conduc ie i a curentului de deplasare. Curen ii de deplasare secomport ca orice curent, dar ei au fost introdu i întru-câtva printr-o ipotez a lui Maxwell inu se datoreaz deplas rii purt torilor de sarcin . Dac se comport ca un curent produc uncâmp magnetic care se adaug la câmpul produs de curen ii de conduc ie, astfel legea Biot-Savart-Laplace i legea lui Ampere se pot generaliza completându-le cu curentul de deplasareid.

30

0 4)(

rrldiiBd dc

π×+µ

=rr

r (7.35)

forma general a legii Biot-Savart-Laplacei ∫ +µ= )(0 dc iildB

rr (7.36)

forma general a legii lui Ampere.

7.4 Generalizarea ecua iilor fundamentale ale electricit ii. Ecua iile lui Maxwell

Din cele studiate pân acum am v zut c au existat un num r de câteva legifundamentale din acre se deduc toate consecin ele importante pentru fizic i electrotehnic .Acestea sunt:1. Legea lui Gauss pentru câmpuri electrice (pe care am scris-o în vid)

∫∫ ε=

S

QSdE0

rr (7.37)

forma integral i

0ερ

=Edivr

(7.38)

0ερ

=∇Er

(7.39)

forma diferen ial (local ).2. Legea lui Ampere

∫ +µ= )(0 dc iildBrr

(7.40)Aceast lege se mai poate scrie cu ajutorul densit ii de curent în felul urm tor:

115 din 163

∫ ∫∫ +µ=C S

dc SdjjldBrrrrr

)(0 (7.41)

sau ∫ ∫∫

∂∂

ε+µ=C S

c SdtEjldB

rr

rrr

00 (7.42)

sau ∫ ∫∫

∂∂

εµ+µ=C S

c SdtEjldB

rr

rrr

000 (7.43)

În matematic se demonstreaz o teorem important cu ajutorul c reia se transform ointegral închis pe un contur într-una de suprafa pe suprafa a m rginit de conturul pe carese face integrala de contur. Pentru un vector ∇ de componente Vx, Vy, Vz se scrie:

∫ ∫∫=C S

SdVrotldVrrrr

(7.44)

teorema lui Stokes, unde:

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

−∂

∂−

∂

∂−

∂∂

=y

Vxx

Vk

zV

xVj

yViVrot yxzz

rrrr

zVy (7.45)

Deci (7.43) se mai poate scrie:

∫ ∫∫=S

SdBrotldBrrrr

(7.46)

sau ∫∫ ∫∫

∂∂

εµ+µ=S S

c SdtEjSdB

rr

rrr

000 (7.47)

Astfel ob inem forma diferen ial a legi Ampere-Maxwell:

tEjBrot c ∂

∂εµ+µ=

rrr

000 (7.48)

sautEjHrot c ∂

∂ε+=

rrr

0 (7.49)

3. Legea induc iei electromagnetice a lui Faraday

dtd

iφ

−=ε (7.50)

tiind c :

∫=εC

i ldErr

(7.51)

i ∫∫=φS

SdBrr

, atunci:

∫ ∫∫∂∂

−=C S

SdBt

ldErrrr

(7.52)

forma integral a legii lui Faraday.Dar ∫ ∫∫=

S

SdErotldErrrr

(7.53)

conform teoremei lui Stokes. Deci (7.52) devine:

116 din 163

∫∫ ∫∫ ∂∂

−=S S

SdtBSdErot

rr

rr (7.54)

Dar integrala din membrul II nu depinde de timp, deci operatorii ∫∫S

it∂

∂ pot fi

inversa i.

∫∫ ∫∫ ∂∂

−=S S

SdtBErot

rr

r (7.55)

de unde:tBErot

∂∂

−=r

r

(7.56)

saut

HErot∂∂

µ−=r

r

0 (7.57)

forma diferen ial a legii lui Faraday.4. Legea lui Gauss pentru câmpuri magnetice

∫∫ =S

SdB 0rr

(7.58)

Dar ∫∫∫ =V

VdBdiv 0rr

conform teoremei lui Gauss-Ostrogradski

Atunci 0=Bdivr

(7.59)

Deci legile fundamentale ale electricit ii se pot scrie în felul urm tor:

Forma integral Forma diferen ial

1) ∫∫ ε=

S

QSdE0

rr

0

0

ερ

=∇

ερ

=

E

Ediv

r

r

legea lui Gauss pentru câmp electric

2)∫∫

∫∫=

=

S

S

SdH

SdB

0

0

rr

rr

0

0

=

=

HdivBdivr

r

legea lui Gauss pentru câmp magnetic

3) ∫∫ ∫∫∂∂

−=S S

SdBt

ldErrrr

tHErot

tBErot

∂∂

µ−=

∂∂

−=r

r

rr

0

legea lui Faraday

4)( )

∫

∫+=

+µ=

CdC

CdC

IIldH

IIldB

rr

rr

0

tHjHrot

tEjBrot

C

C

∂∂

ε+=

∂∂

εµ+µ=r

rr

rrr

0

000

legea lui Ampere-Maxwell

Aceste ecua ii se mai completeaz cu ecua ia de continuitate:

117 din 163

5) ∫∫ ∫∫∫ ∂∂

−=S V t

VSdjrr

tjdiv

∂ρ∂

−=r

i ecua iile de material:6) ED r

srεε= 0

7) HB r

rrµµ= 0

Acest grup de ecua ii se nume te grupul de ecua ii ale lui Maxwell sau mai pe scurtrela iile lui Maxwell. Acest grup de ecua ii s-a ob inut prin generalizarea legilor experimentaleale electricit ii.

În electrodinamica modern grupului lui Maxwell i se d caracter de postulat, din carese deduc sub forma de teoreme constat rile ob inute anterior pe cale experimental .

7.5 Propriet ile operatorului ∇

Ecua iile lui Maxwell pot fi scrise într-o singur form mai accesibil folosindoperatorul diferen ial ∇ pe care l-am mai întâlnit:

kz

jy

ix

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ (7.60)

Acest operator are propriet i foarte importante, astfel: a) dac ∇opereaz asupra unui vector V

r de componente Vx,Vy,Vz atunci opera ia se

scrie formal ca un „produs scalar” cu vectorul ∇r

inând cont de faptul c de fapt înmul irile cucomponentele lui ∇ reprezint deriv ri par ial.

( ) Vdivz

Vy

Vx

VkVjViVkz

zy

ix

V zyxzyx

rrrrrrrr=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=++

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ (7.61)

(este un scalar). b) dac ∇ opereaz asupra unui scalar, ecua ia este asem toare formal cu produsuldintre un vector i un scalar, astfel:

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ Skz

jy

ix

Srrrr

gradSkzSj

ySi

xS

=∂∂

+∂∂

+∂∂ r

rr

rr

r

(7.62)

(este un vector).c) produsul vectorial al lui ∇ cu un vector:

=×∇ Vr

×

∂∂

+∂∂

+∂∂ k

zj

yi

xrrr ( )kVjViV zyx

rrr++

zyx VVVzyx

kji

∂∂

∂∂

∂∂

= =

= Vroty

Vxx

Vk

zV

xVj

yVi yxzz

rrrr=

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂∂

−

∂

∂−

∂∂

zVy (7.63)

(este un vector).Este de remarcat c produsul scalar al lui ∇ nu este comutativ.

118 din 163

7.6 Energia câmpului electromagnetic. Teorema lui Poynting

Am v zut în paragrafele recente, c atât câmpul electric cât i câmpul magnetic auenergie, densit ile de energie fiind date de rela iile:

2DEwe

rr

= sau pentru un mediu omogen i izotrop2Ewe

ε= (7.64)

2BHwe

rr

= sau în acelea i condi ii i izotrop2

2Hwmµ

= (7.65)

Deci densitatea de energie a câmpului electromagnetic va fi:

( )22

21 HEw µ+ε= (7.66)

Energia câmpului într-un volum V, m rginit de o suprafa S va fi

( )∫∫∫ µ+ε=V

dVHEW 22

21 (7.77)

Aceast energie va suferi o sc dere, datorit transform rii par iale a energieielectromagnetice în c ldur prin efect Joule i par ial datorit ie irii câmpului electromagneticdin V prin suprafa a S. Notez cu Pj puterea disipat sub form de c ldur i Ps puterea ie itprin S:

tWPP sj ∂

∂−=+ (semnul apare datorit sc derii energiei din V în timp)

Puterea disipat sub form de c ldur într-un conductor de lungime l i sec iune S va fi

VjSjSlRIPj

2222 ρ=ρ== (7.78)

pe un domeniu conductor infinitezimal de o form oarecare:dVjdPj

2ρ= (7.79)

i ∫∫∫ρ=V

j dVjP 2 (7.80)

Pe de alt parte puterea disipat sub cele dou forme:

dVHEtt

W

V∫∫∫

µ+

ε∂∂

−=∂

∂−

22

22

(7.81)

Dar integrala de volum este independent de timp deci:

dVHt

Ett

W

V∫∫∫

µ∂∂

+

ε∂∂

−=∂

∂−

22

22

(7.82)

dVt

HHtEE

tW

V∫∫∫

∂∂

µ+∂∂

ε−=∂

∂− (7.83)

inând cont de rela iile lui Maxwell:

tEjH

tHE

∂∂

ε+=×∇×∂

∂µ−=×∇

vrr

rr

, ob inem:

dVEHjHEt

W

V∫∫∫

µ×∇

µ−

ε

−×∇ε−=

∂∂

−r

rrr

119 din 163

( ) ( )[ ] dVHEEHEdVjt

W

VV∫∫∫∫∫∫ ×∇−×∇+=

∂∂

−rrrrr

(7.84)

inând cont cρ

=σ=EEvjr

rr:

( )∫∫∫ ∫∫∫ ×∇+ρ=∂

∂−

V V

dVEHdVjt

W rr2 (7.85)

Am folosit identitatea verificabil :( ) ( ) ( )HEEHHE

rrrrrr×∇−×∇=×∇ (7.86)

Se observ c primul termen este tocmai puterea disipat sub form de c ldur . Atuncial doilea termen trebuie s fie puterea disipat sub form de radia ie electromagnetic prinsuprafa a S. Not m: HES

rrr

×= (7.87)un vector numit Poynting. În acest caz: dVSP

Vs ∫∫∫∇=

r (7.88)

Dar aplicând teorema Gauss-Ostrogradski:

∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ==∇=V SV

s SdSdVSdivdVSPrrrr

(7.89)

Deci rdSdPS s rr

= (7.90)

Vectorul Poynting are semnifica ia unui vector cu modulul egal cu densitateasuperficial de putere de radia ie i are sensul i direc ie propag rii undei (energiei)electromagnetice. Se respect regula burghiului drept.

[ ] [ ][ ] 2m

W==

SI

SISSI S

PS . Se mai poate defini ca fiind energia transferat prin unitate de

arie S în unitatea de timp (fluxul de energie echivalent cu intensitatea undei elastice).

120 din 163

Capitolul 8Unde electromagnetice

8.1 Propagarea câmpului electromagnetic în vid

Ecua iile lui Maxwell duc direct la concluzia c atât câmpul electric, cât i câmpulmagnetic se pot propaga sub form de unde. S consider m un câmp electromagnetic în vid

0=ρ i 0=j . În acest caz ecua iile lui Maxwell se vor scrie în felul urm tor:

tEHrot

∂∂

ε=r

r

0 sautEH

∂∂

ε=×∇r

r

0 (8.1)

it

HErot∂∂

µ−=r

r

0 sautHE∂

∂µ−=×∇

rr

0 (8.2)

Aplic m rela iei (8.2) operatorul rot sau ∇× i vom ob ine:

( )tHE∂

∂×∇µ−=×∇×∇

rr

0 (8.3)

În membrul II invers m operatorul ∇ cut∂

∂ (componentele lui ∇ nu depind de timp) i în

primul membru utiliz m identitatea cunoscut :( ) ( ) ( ) EEEEE

rrrrr∇−∇∇=∇−∇∇=×∇×∇ 2 (8.4)

Dar în vid 0=ρ , deci 00

=ερ

=∇Er

; de unde ob inem pentru (8.3):

( )Ht

Err

×∇∂∂

µ−=∆− 0 (8.5)

Înlocuind în (8.5), (8.1) vom avea:

∂∂

ε∂∂

=∆tt

E 0

r

(8.6)

sau: 2

2

00 tEE

∂∂

µε=∆r

r (8.7)

F când calculele similare pentru rela ia (8.1) vom ob ine:

2

2

00 tHH

∂∂

µε=∆r

r

(8.8)

Introducând constanta00

2 1µε

=c ecua iile (8.7) i (8.8) devin:

2

2

2

1tE

cE

∂∂

=∆r

r (8.9)

2

2

2

1tH

cH

∂∂

=∆r

r

(8.10)

121 din 163

Deci am ob inut cunoscuta ecua ie de propagare a undelor vectoriale care se propagcu viteza c. Deci câmpurile electric i magnetic se propag în spa iu sub form de unde,condi ionându-se reciproc. O astfel de und se nume te und electromagnetic .

Introducând operatorul lui D’Alambert 2

2

2

1tc ∂

∂−∆= , ecua ia undelor

electromagnetice se va scrie:0=E

ri 0=H

r (8.11)

8.2 Unda electromagnetic sferic

Am ar tat atunci când am studiat undele mecanice (elastice) c dac sursa estepunctiform i mediul omogen i izotrop suprafa a undei este o suprafa sferic , deci spunem

avem de-a face cu o und sferic . Este comod s trecem la coordonate sferice, unde datoritsimetriei sferice a undei, vectorii E

ri H

r nu vor depinde de i ci numai de rr i t. Am

ar tat c în acest caz din laplacian nu r mâne decât componenta radial

rrrr ∂ψ∂

+∂

ψ∂=ψ∆

rrr 2

2

2

(8.12)

cu solu ia

++

−=ψ

crtg

crtf

rrrr 1 (8.13)

unde poate reprezenta atât pe Er

cât i Hr

(pe Br

) unde

−=

vrtf

r

reprezint una

direct , iar

+=

vrtgr unda invers (reversiv ). Viteza de faz (de propagare a fazei)

=−crt constant ⇒ prin diferen iere c

dtdr

= viteza de faz .

8.3 Unda electromagnetic plan

Dac studiem unda într-un domeniu ale c rui dimensiuni sunt reduse în raport cudistan a pân la surs , în acest domeniu r se va avea o varia ie neglijabil atunci pentru undaprogresiv vom putea scrie:

−=ψ

vrtfconst

r

. (8.14)

Dup cum se tie func ia fr

este o func ie vectorial arbitrar , forma ei depinzând demul i factori, dar de o importan practic deosebit este unda armonic plan exprimat prinrela ia:

ϕ+

ξ

−ω

=ψ0c

tiearr (8.15)

Aceasta are o importan deosebit pentru c partea sa real

122 din 163

ϕ

ξ

−ω=ψ 0cosc

tarr (8.16)

are o varia ie sinusoidal des întâlnit în practic . Introducând un sistem de coordonate carteziene x, y, z fa de care cosinu ii directoriai direc iei sunt cos , cos , cos putem scrie:

= x cos + ycos + zcos (8.17) Introducând în (8.15):

( )

ϕ+

λγ+β+απ

ω

=ψ0

coscoscos2 zyxtiearr

(8.18)

Introducem vectorul de und kr

de modulλπ2 având direc ia de propagare a undei

kjikrrrr

γλπ

+βλπ

+αλπ

= cos2cos2cos2 (8.19)

i vectorul de pozi ie:kzjyixrrrvr

++= (8.20)Atunci se vede c :

( )kjirkrrrrr

γ+β+αλπ

= coscoscos2

deci (8.18) devine:( )0ϕ+−ω=ψ rktiae

rrr (8.21) Introducând amplitudinea complex 0ϕ= ieaA rr

vom avea:( )rktiAe

rrr−ω=Ψ (8.22)

cu dou forme particulare:( )rktieEE

rrrr−ω= 0 (8.23)

i ( )rktieHHrrrr

−ω= 0 (8.24)

Figura 8.1

8.4 Transversalitatea undelor electromagnetice plane

123 din 163

Am v zut c putem face identificarearr∂∂

=∇ i tim c în vid 0=∇Er

i 0=∇Br

(evident i 0=∇Hr

).( ) ( )rktirkti eEkieE

rE

rrrr rrr

r

r−ω−ω −=

∂∂

=∇ 00 (8.25)

Conform cu (8.23) EkiErrr

−=∇ deci putem identifica pentru acest tip de undoperatorul ∇ cu înmul irea cu Eki

rr

− :kir

−=∇ (8.26) Dar 0=∇E

r deci 0=Eki

rr

sau 0=Ekrr

de unde rezult c vectorii kr

i Er

suntperpendiculari. Un calcul identic putem face i pentru H

r

(din 8.24) i vom ob ine 0=Hkrr

deci kHrr

⊥ . De unde tragem concluzia c vectorii Er

i Hr

oscileaz perpendicular pe direc iade propagare a undei. Pentru a demonstra c cele dou componente ale undei ( E

ri H

r) sunt perpendiculare

între ele plec m de la prima ecua ie a lui Maxwell (Faraday generalizat):

tHE∂

∂µ−=×∇

rr

0 (8.27)

( )( )rktieHt

Ekirrrrr

−ω

∂∂

µ−=×− 0 (8.28)

( ) ( )( )rktieHiEkirrrrr

−ωωµ−=×− 00 (8.29)

HEkrrr

ωµ=× 0 (8.30)

Vectorul Hr

ωµ0 are direc ia lui Hr

( ωµ0 este un scalar) i are direc ia perpendicular

pe planul format de factorii produsului vectorial deci kHrr

⊥ i EHrr

⊥ . Din (8.30) se mai poate deduce o rela ie important cu privire la leg tura dintrevalorile maxime ale lui E

ri H

r. În modul rela ia (8.30) se poate scrie în felul urm tor:

HkEr

ωµ=π

02sin (8.31)

sau00

0000

00 1

2

ωµµ=µ=

µ=

λµ=

πµ

=ωµ

= cTcT

TkT

kHE (8.32)

DeciAV

mAmV

0

0 ===

ωµ

=SIH

EHE

Deci raportul E/H are caracterul unei impedan e i se nume te impedan a vidului.

Ω= 377HE

.

124 din 163

Capitolul 9Propagarea undelor electromagnetice în diferite medii. Optica electromagnetic

9.1 Propagarea undelor electromagnetice în medii dielectrice izotrope(nedisipative)

În medii dielectrice omogene i izotrope, imobile exist curen i de linie 0=jr

i nuexist sarcini libere. Deci din acest punct de vedere nu exist nici o diferen fa de situa ia învid. Diferen a apare la constantele i unde:

rεε=ε 0 (9.1)i rµµ=µ 0 (9.2)

deci ecua iile componentelor undei electromagnetice vor fi:

2

2

tEE

∂∂

εµ=∆r

r (9.3)

2

2

tHH

∂∂

εµ=∆r

r (9.4)

Dac introducem nota ia 2v1

=εµ (9.5)

vom ob inerrrrrr

ccεµ

=⋅εµ

=εµεµ

=εµ

=111v

00

(9.6)

viteza de faz a undei în mediul respectiv.rimea:

rrn εµ= (9.7)este o m rime adimensional care caracterizeaz un mediu i ne arat de câte ori viteza undeielectromagnetice în acel mediu este mai mic decât în vid, numindu-se indice de refrac ieabsolut al mediului. În medii reale (chiar dielectrice se vor interac iuni între undaelectromagnetic i electronii atomilor materialului ceea ce va face ca rε s nu mai fie oconstant , rela iile (9.6), (9.4) i (9.3) s fie modificate). Impedan a intrinsec a mediului va fide asemenea puternic influen at .

9.2 Dispersia undelor electromagnetice

S-a observat experimental faptul c indicele de refrac ie i conductivitatea mediilor,depinde de frecven a respectiv lungimea de und a undelor electromagnetice care traverseaz

mediul. tiind c indicele de refrac ie al unui mediuvcn = , dependen a lui n de este

echivalent cu dependen a vitezei de . Dup cum se tie de la fenomenul de dispersie studiatla teoria undelor mecanice acest fenomen poart numele de dispersie. Vom face în continuare

125 din 163

un calcul simplificat din care s rezulte dependen a indicelui de refrac ie al unui mediudielectric de lungime de und . Am v zut la punctul 9.1 c rrn µε= .

Dar pentru medii dielectrice 1≅µr , deci rn ε= (9.8).Presupunem c fiecare atom al mediului, posed un electron numit electron optic care

poate oscila sub ac iunea unei for e exterioare în raport cu restul atomului. Undaelectromagnetic , avansând prin materialul dielectric transparent ac ioneaz asupraelectronilor optici cu o for :

EeFrr

= (9.9) Admitem pentru E o varia ie armonic :

tEE ω= cos0

rr (9.10)

deci for a devine: tEeF ω= cos0

rr (9.11)

Electronul optic este legat de restul atomului prin for e de tip elastic, deci for a F îi vaimprima o mi care oscilatorie între inut , având ecua ia diferen ial cunoscut :

tmEex

dtdx

dtxd

ω=ω+δ+ cos2 0202

2r

(9.12)

( ) ( ) ( )ϕ+ωω= tBtx cos (9.13)unde dup cum s-a ar tat:

( )( ) 222

0

0

4δω+ω−ω=ω

m

EeB

r

(9.14)

Electronul “descentrat” împreun cu restul atomului formeaz un mic dipol de momentdipolar indus p = ex (9.15) Notând cu N num rul de atomi din unitatea de volum conform defini iei polariz rii,polarizarea întregului dielectric va fi P = Np = Nex (9.16)deci polarizarea momentan :

( )( )ϕ+ω

ωδ+ω−ω= t

m

ENeP cos

4 22220

02

(9.17)

Pe de alt parte din studiul polariz rilor dielectricilor tim c :EP eχε= 0 (9.18)

unde eχ este susceptibilitatea electric , calculat conform rela iei:1+χ=ε er (9.19)

Ob inem:

( ) ( ) tEtm

ENee ωχε=ϕ+ω

ωδ+ω−ωcoscos

40

22220

02

(9.20)

Într-o prim aproxima ie consider m = 0 (electronul optic oscileaz aproximativ înfaz cu E

r):

( ) 222200

02

4 ωδ+ω−ωε=

m

ENexe (9.21)

126 din 163

i deci: ( ) 222200

02

2

41

ωδ+ω−ωε+=

m

ENen (9.22)

N, m, γωε ,, 200 , depind de natura mediului i într-o prim aproxima ie le putem

considera constante de material. Dac punemλπ

=π

=π

=ωc

Tcc

T222 i dezvolt m (9.22) într-o

serie Mc Laurin vom ob ine rela ia:

...422 +

λ+

λ+=

CBAn (9.23)

Aceast rela ie poart numele de formula lui Cauchy, fiind dedus de acesta pe bazaunor idei ale lui Fresnel legate de oscila iile transversale ale unui mediu ipotetic numit eter. A,B, C, … sunt constante în care intervin constantele de material amintite mai sus i sedetermin în general pentru fiecare mediu prin metode experimentale. Fenomenul de dispersieeste prezent pentru întreaga gam a undelor electromagnetice, dar s-a observat prima dat îndomeniul vizibil (optic). Rela ia (9.23) explic foarte bine de exemplu dispersia printr-oprism , inând cont i de refrac ie. Într-un fascicul de lumin alb , pentru lungimile de und mici (albastru, indigo, violet)conform rela iei (9.23) n, va fi mai mare, deci vor fi mai multe deviate.

În rela ia (9.22) se poate vedea c dac 220 2δ−ω=ω→ω rez n2 va prezenta un

maxim (rezonan ), decivcn = va prezenta un minim pe care îl putem interpreta ca datorându-

se unei absorb ii a undei de c tre material. În general rela ia (9.22) este mult mai complicat ise formeaz mai multe maxime în curb , deci anumite lungimi de und vor fi puternic

absorbite. Dac 0>ωd

dn dispersia se nume te normal , iar dac 0<ωd

dn se nume te anormal .

9.3 Reflec ia i refrac ia undelor electromagnetice

Fenomenele de reflexie i refrac ie se produc pentru orice fel de und , atunci cândunda interac ioneaz cu suprafa a de separa ie dintre dou medii, transparente pentru und .Dac consider m suprafa a de separa ie dintre dou medii, transparente, se poate demonstrafolosind legile lui Gauss i a lui Ampere c aici componentele tangen iale ale vectorilorEr

i Hr

se conserv , (de asemenea se conserv componentele normale ale vectorilor Br

iDr

). În aceast situa ie putem considera satisf cute condi iile de continuitate i de conservarepe care le-am pus, atunci când am demonstrat legile reflexiei i refrac iei pentru undeleelectrice (evident se poate verifica foarte u or c în acest caz rolul impedan ei acustice îl va

lua impedan a intrinsec a mediuluiεµ , iar amplitudinea va fi 0E

r, respectiv 0H

r). Deci legile

refrac iei i reflexiei se vor enun a în acela i mod.1. Unghiul de inciden este egal cu unghiul de reflexie, raza incident , normala la

suprafa i raza reflectat fiind în acela i plan. (Legea reflexiei).

127 din 163

2. Raportul dintre unghiul de inciden i sinusul unghiului de refrac ie este egal curaportul vitezelor de propagare a undei în cele dou medii. Sau raportul invers al indicilor derefrac ie absolu i.

122

1

1

2

2

1

v

vvv

sinsin n

nn

c

c

ri

==== este legea lui Snell-Descartes (9.24)

În afar de demonstra ia f cut care se bazeaz pe ecua ia undelor, legea refrac iei maipoate fi demonstrat i pe baza urm toarei afirma ii, numit principiul timpului minim sauprincipiul lui Fresnel. Între puncte lumina parcurge acel drum pe care timpul este minim.

Figura 9.1

Not m segmentul CI = x i-l consider variabil (dintre toate “x”-urile posibile, unda îlva „prefera” pe acela pentru care timpul este minim).

( ) 21 ttxt += (9.25)

( ) ( )2

222

1

221

vCO

vxhxh

xt−+

++

= (9.26)

( ) ( )( )22

2222

11 COv2

CO2

v2

2

xh

x

xh

xdx

xdt

−+

−−

+= (9.27)

O alt demonstra ie se bazeaz pe principiul lui Huygens inând cont de faptul c latraversarea suprafe ei de separa ie dintre cele dou medii unda electromagnetic î i schimbdirec ia de propagare. Aceast demonstra ie a fost studiat în clasele de liceu. De i în majoritatea tratatelor legea Snell-Descartes este enun at pentru lumin (undomeniu restrâns al gamei undelor electromagnetice), ea este general valabil în condi iilecând unda electromagnetic traverseaz suprafa a de separa ie dintre dou medii dielectrice.

128 din 163

9.3.1 Refrac ia astronomic O consecin a fenomenului de refrac ie cu implica ii importante mai ales înobserva iile astronomice i în naviga ie, este fenomenul de refrac ie a unei raze de luminprovenit de la o stea prin atmosfera P mântului. Acest fenomen se nume te refrac ieastronomic . Din legea refrac iei putem deduce c atunci când unda trece dintr-un mediu cuindice de refrac ie mai mic intr-unul cu indice de refrac ie mai mare, raza refractat se apropiede normal . Densitatea atmosferei cre te odat cu sc derea altitudinii, deci indicele derefrac ie va cre te. Considerând atmosfera format dintr-o succesiune de straturi omogene infinit desub iri, cu indici de refrac ie tot mai mari, în jos, o raz de lumin provenit de la o stea vadescrie o curb cu concavitatea îndreptat spre centrul P mântului, ca în figur .

Figura 9.2

Figura 9.3

Un observator aflat pe suprafa a P mântului, va vedea steaua sub unghiul tangentei lacurb distan a zenital Z, în loc de distan a zenital Z0. Diferen a dintre distan a zenital adev rat Z0 i cea aparent observat se nume terefrac ie R i constituie o corec ie pozitiv la observa ie. Pentru a calcula propriet ile refrac iei astronomice vom considera dou straturiaproximativ omogene (deci de grosime foarte mic ) având bazele la în imile h respectiv h’de la suprafa a P mântului. În ∆ IOI’ scriem teorema sinusului (Figura 9.3).

129 din 163

( )hR

ihR

r

pp +−

=+

'180sin'

sin (9.28)

hRi

hRr

pp +=

+'sin

'sin (9.29)

Ob inem:

( ) hRi

hRnin

pp +=

+'sin

''sin (9.30)

de unde ( ) ( ) 'sin''sin ihRnihRr pp +=+ (9.31) Acela i calcul se poate face pentru oricare h deci i pentru h = 0 unde n = n0 =1,0029255 i i’= Z (distan a zenital aparent ). Deci putem scrie o rela ie între Za i i:

( ) app ZRnihRn sinsin 0=+ (9.32) Aceast rela ie permite calcularea corec iilor necesare observa iilor, care sunt tabelate.La orizont '.380 ≅−=∆ ZZZ Soarele are diametrul de '32≅ , deci el se va vedea deasupraorizontului aproape tangent cu acesta, când electronii sunt de fapt sub orizont. Acest fenomenlunge te ziua. Lungimea zilei depinde de dat i latitudine. Chiar când Soarele se g se te suborizont, straturile superioare ale atmosferei sunt înc luminate, i prin difuziune lumineazsuprafa a P mântului. Aceast perioad se nume te crepuscul. Dac în imea Soarelui este demaxim 210’ sub orizont se define te crepusculul nautic, în care se v d stelele maistr lucitoare, iar linia orizontului se distinge bine. Noaptea este complet când Soarele acoborât peste 180’ sub linia orizontului. Durata crepusculului depinde de latitudinea locului ide declina ia Soarelui. Fenomenele de refrac ie sunt importante i în domeniul propag rii undelor radio(Hertziene) utilizate în radiocomunica ie sau în radioloca ie. Un fenomen cunoscut în acestdomeniu cu aplica ie în naviga ie este refrac ia rmului care se refer la schimbarea direc ieide propagare a undelor directe când întâlnesc rmul. Dac emi torul se afl pe o nav în punctul A i receptorul în interiorul rmului în B,receptorul goniometric va înregistra sosirea undei pe direc ia ξ

r

în locul direc iei nr . Unghiul dintre nr i ξ

r

se nume te eroare goniometric . Devierea direc iei depropagare a undei se datoreaz refrac iei rmului. Viteza de propagare a undeielectromagnetice depinde de conductivitatea solului. Întrucât exist o diferen deconductivitate între mare i rm se va produce o varia ie a vitezei de propagare care va ducela refrac ia undei. În cazul propag rii undelor radio fenomenele complexe de propagare apar idatorit refrac iei atmosferice i mai ales ionosferice.

9.4 Reflexia total

Dac lumina provine din mediul cu indice de refrac ie mai mare, la un anumit unghi,numit unghi limit raza refractat devine paralel cu suprafa a de separa ie i energia undei seîntoarce integral în mediul din care provine. Acest fenomen se nume te reflexie total . Aplicând legea refrac iei:

130 din 163

2

1

2sin

sinnnl

=π

(9.33)

deci legea reflexiei totale se exprim prin:

2

1sinnnl = (9.34)

pentru sticl 042≅l . (Explic mirajul, fibra optic , mirajul lateral, prisma cu reflexie total ,etc.)

Figura 9.4( )

tji

nn

zj

t

ttttt

tjdkjdktjt

eAe

innr

nn

ri

rz

rzdkdkdk

eaeAe

t

tt

ω−λ

π−

ω−−ω

=Ψ

=⇒=

−λ

π=

λπ

==⇒

==Ψ

22

2

21 sin1

22

1

1

2

2

sinsinsinsin

sin12

cos2//

rrrr

rrrr

;1sin <i dac2

1

nn poate exista un unghi de inciden i = l pentru care:

1

222

2

21 sin0sin

nnll

nnl ±⇒=− .

În acest caz 0=Ψt deci unda nu se mai propag în mediul doi, iar conform legii refrac iei:

.2

1sin π=⇒= rr

131 din 163

Figura 9.5

Toat energia transformat de und se va reîntoarce în mediul din care revine, reflexianumindu-se reflexie total .

Dac : 1sin, 22

2

21 >> l

nnli , deci tΨ se poate scrie ti

inn

z

t eAe ω−λ

π

=Ψ1sin

2

22

2

21

2

. Astfel tΨ exist ,

dar amplitudinea sa scade exponen ial. Adoptând un model mai complex, se poate demonstrai în acest caz unda p trunde pe o adâncime comparabil cu i revine în primul mediu.

a bFigura 9.6

Aplica ii:− în acustic : reflexii totale pe straturi de inversiune;

132 din 163

− în optic : explicarea fenomenului de miraj, de ghid de und troposferic, fibra optic iprismele cu reflexie total

9.5 Interferen a undelor electromagnetice

9.5.1 Condi ii de interferen . Termeni de interferen . Coeren a Când am studiat compunerea i suprapunerea oscila iilor mecanice, am constatat caceasta duce la apari ia fenomenului de interferen . În cazul când într-un punct din spa iusosesc dou unde electromagnetice vectorii E

ri H

r ai undei se vor suprapune i compune,

producând de asemenea fenomene de interferen . În ceea ce urmeaz ne vom referi lavectorul electric al undei pentru c acesta este cel care produce senza ia de lumin darconcluziile sunt valabile i pentru vectorul magnetic. Am v zut c intensitatea I a undei este

direct propor ional cu densitate de energie a undei w (2

2Ew ε= ). Dar într-o und

electromagnetic E are o varia ie sinusoidal (deci lu m în considerare unde armonice plane).Deci: E = Emax cos t (9.35)

De unde tE

w ωε

= 22

max cos2

(9.36)

Dar oricare traductor care sesizeaz unde (lumina) are o iner ie foarte mare în raport cu

perioada de oscila ie a lui E (pentru ochi 31

10−

≅τ i T=10-14s), deci traductorul nu va sesizavaria iile de intensitate momentane, ci doar o medie în timpul al intensit ii. Întrucât medialui cos2 t este o constant :

max2EI ≈ω≈

r (9.37)Dac Emax ≠ const; 2

maxEIr

≈

Figura 9.7

S presupunem c dou surse de lumin monocromatic S1 i S2 emit undeelectromagnetice, de aceea i lungime de und ( 2121 ω=ω⇒λ=λ ) armonice i plane.Câmpurile electrice momentane (elonga iile), într-un punct P situat la 1r

r de S1 i la 2r

r de S2,

vor fi date de ecua iile:( )011max10 cos ϕ+ω= tEe

rr ( )11011max1 cos rktEe rrrr−ϕ+ω=

i (9.38)( )022max20 cos ϕ+ω= tEe

rr ( )22022max2 cos rktEe rrrr−ϕ+ω=

133 din 163

Figura 9.8

Dar 1111 rkrk =rr

i 2222 rkrk =rr

(9.39)

1λ fiind egal cuλπ

==⇒λ2

212 kk (9.40)

Deci e1 i e2 devin:

λπ

−ϕ+ω=

λπ

−ϕ+ω=

2022max2

1011max1

2cos

2cos

rtEe

rtEe

r

r

(9.41)

Conform principiului superpozi iei, în punctul P apare o nou oscila ie electric deecua ie:

( )Φ+ω= tEe cosmax (9.42)unde conform rezultatelor ob inute la capitolul Unde elastice:

ϕ∆++= cos2 2max1max2max2

1max2

max2 EEEEE (9.43)

i22max12max

22max11max

coscossinsin

ϕ+ϕϕ+ϕ

=ϕEEEEtg (9.44)

unde ( )12 ϕ−ϕ=ϕ∆

i 10112 rλπ

−ϕ=ϕ i 20222 rλπ

−ϕ=ϕ (9.45)

Dar conform celor ar tate anterior cos ( t + ) = const i max2EI

r≈ . Deci:

ϕ∆++= cos2 2121 IIIII (9.46)

Termenul ϕ∆cos2 21II se nume te termen de interferen .Dac 0cos =ϕ∆ atunci I = I1 + I2 deci are loc o suprapunere a intimit ilor i deci nu

exist interferen .Dac 0cos ≠ϕ∆ atunci 21 III +≠ i spunem c are loc interferen a. Media lui

ϕ∆cos pe un interval de timp cu mult mai mare decât perioada T a oscila iei electrice va fidat de rela ia:

∫τ

ϕ∆τ

=ϕ∆0

cos1cos dt (9.47)

134 din 163

Dac ϕ∆cos = const const=ϕ∆⇒≠ϕ∆=ϕ∆⇒ 0coscos se produce interferen a.Spunem în acest caz c undele sunt coerente, iar condi ia ca diferen a de faz s fie constantse nume te condi ie de coeren .

Coeren a se men ine u or pentru unde electromagnetice din domeniul radio, emise deantenele radioemi toarelor, dar în domeniul frecven elor mari (infraro u, vizibil, ultraviolet)unde emi torii sunt atomii, coeren a se ob ine mai greu. Acest lucru se explic în felulurm tor.

)(212010212 rr −

λπ

−ϕ−ϕ=ϕ−ϕ=ϕ∆ (9.48)

Atomii emit în timpul unei tranzi ii st 810−≅∆ . S presupunem c la un moment tsosesc în P unde de la doi atomi i i k deci:

)(21100 pipkikikik rr −

λπ

−ϕ−ϕ=ϕ−ϕ=ϕ∆

deci ϕ∆ se modific foarte rapid în timp ceea ce face ca media sa într-un timp >> T s fienul . Dac condi ia de coeren este realizat respectiv const=ϕ−ϕ 0102 i constrr =− 12 :

ϕ∆++= cos2 2121 IIIII (9.49)va prezenta maxime i minime, în func ie de valoarea lui ϕ∆cos . Dac diferen a de fazini ial 00102 =ϕ−ϕ vom avea maxime pentru:

2212

λ=λ=δ=− kkrr (9.50)

i minime pentru

( )2

1212λ

+=δ=− krr (9.51)

unde k = 0,1,2….. Locul geometric al punctelor în care intensitatea undei este constant se nume te franjade interferen .

constrrconstconstconstI =−⇒=ϕ∆⇒=ϕ∆⇒= 12cos (9.52)Aceste suprafe e sunt hiperboloizi de revolu ie având ca ax dreapta care une te sursele

i ca focare chiar sursele ca în figura 9.9.

Figura 9.9 Pe un ecran plan se vor observa intersec iile hiperboloizilor cu planul adic hiperboleluminoase între care exist intervale întunecate. Spa iul dintre dou franje luminoase fiindinterfranje (figura 9.10).

135 din 163

Figura 9.10O aplica ie important pentru naviga ie a interferen ei în domeniul radio sunt metodele

de naviga ie hiperbolic (Loran, Decca, Omega) (figura 9.11).Cu un receptor special instalat pe nav de determin intervalele de timp sosirii undei de

la o pereche de emi toare i se repereaz pe hart hiperbola corespunz toare lui t∆ . Acela ilucru se face cu alte dou emi toare i se repereaz hiperbola corespunz toare lui t∆ .Intersec ia celor dou hiperbole va da punctul navei. Hiperbolele corespunz toare unei perechide emi toare sunt reprezentate pe harta cu o anumit culoare.

Figura 9.11

9.5.2 Ob inerea experimental a fenomenului de interferen Pentru a ob ine experimental franje de interferen , este necesar ob inerea, plecând dela o surs punctiform a dou sau mai multe fascicole coerente. Se cunosc mai multedispozitive de acest fel.

9.5.2.1 DispozitivulYoungPrincipiul de func ionare si modul de construire fiind cunoscute vom reda doar

principalele calcule.

136 din 163

Figura 9.12a

Aspectul imaginii formate pe ecran este redat în figura 9.12b

Figura 9.12bPentru a calcula distan a la care se formeaz maximul de ordinul k, vom calcula

diferen a de drum .ϕ≅δ sin2lk (9.53)

ϕ= DtgX k (9.54)dar D >> 2l, deci < 5o, deci:

ϕ≅ϕ tgsin (9.55)

de unde ob inemDXl k

k 2=δ (9.56)

Pentru a ob ine la distan a Xk un maxim de interferen :λ=δ kk (9.57)

DXlk k2=λ (9.58)

de undelDkX k 2

λ= (9.59)

Interfranja, adic distan a dintre dou maxime consecutive:

137 din 163

( )lDk

lDkXi kk 22

11

λ−

λ+=α−= + (9.60)

lDi

2λ

= (9.61)

Pe ecran se observ o serie de franje luminoase între care se g sesc franje întunecoase. vedem cum se distribuie intensitatea luminii în franja luminoas . Not m cu E valoarea

maxim a intensit ii câmpului electric generat pe ecran de unul din fascicole. În franj celedou intensit i se compun, dând un câmp cu intensitatea maxim Emax.:

λπδ

++=2cos222

max2 EEEEE (9.62)

dar max2EI ≈ , deci într-o franj luminoas :

2

2cos12 0

λπδ

+= II (9.63)

unde I0 este intensitatea luminii produse pe ecran de o singur fant .

λπδ

=λπδ

= 200 cos42cos22 III

darDlX k2

=δ

deciDlXII k

λπ

=2

cos4 20 (9.64)

Deci intensitatea luminii a unei franje se poate modifica între 0 i 4%. În caz csistemul de fante este iluminat cu lumin alb , exist de fapt o infinitate de , fiecare producândun sistem de franje. Pentru franja central diferen a de drum este nul , indiferent de lungimea

de und deci aici se formeaz un maxim alb. Interfranja fiindlDi

2λ

= este mai mare pentru

radia ia ro ie decât pentru violet. Primele franje dup franja central au marginea dinsprefranja central colorat violet i marginea exterioar în ro u. La o oarecare distan Xk , franjaro ie de ordin k se suprapune peste franja violet de ordin k+1. Din acest loc nu mai aparfranje întunecate. Pe m sur ce distan a de la franja central cre te, culorile se estompeaz .Suprapunerea mai multor culori (pentru µ−>δ 43 )d impresia de alb, îns un alb diferit decel din maximul central. Acest alb se nume te alb de ordin superior care spectroscopic nu estecontinuu ca albul de ordin 0. Din el lipsesc unele culori, din acest motiv se spune c albul deordin superior d un spectru canelat.

9.6 Difrac ia undelor electromagnetice

Fenomenul de difrac ie cunoscut din secolul al XVII-lea a fost definit ca fiindfenomenul de ocolire aparent de c tre und a obstacolelor cu dimensiuni comparabile cudimensiunea de und . Difrac ia este un fenomen caracteristic oric rui proces ondulatoriu.Studiind cu aten ie trecerea de la zona de lumin la zona de umbr , din spatele unui obstacolse observ o succesiune de maxime i minime, care ne arat o redistribuire a energiei în acestdomeniu de separare. Legi ca legile reflexiei i refrac iei se aplic foarte bine cu modelul

138 din 163

ondulatoriu, i s-a pus problema explic rii cu ajutorul acestui model al propag rii rectilinii.Pentru a explica aceast propagare rectilinie Fresnel a completat principiul lui Huygens cupostulatul ca undele secundare produse de orice punct de pe suprafe e de und suntconcurente, deci interfer . Noua suprafa de und , este rezultatul interferen ei undelorsecundare.

9.6.1 Difrac ia în lumin paralel (Fraunhofer) S consider m o fant de l ime b i lungime infinit iluminat cu lumin paralel(sursa se g se te la infinit sau lumina a trecut printr-un sistem optic care a paralizat razele).Consider m fanta descompus în zone de l ime infinit de mic de lungime dx, undele emisede o astfel de zon aflat la distan a X de marginea C a fantei, emite unde secundare, care

ajung într-un punct B cu faza ini ial θ⋅⋅λπ

=ϕ sin2 x unde

∆

λπ

=ϕ l2 i cu amplitudine

Cdx propor ionale cu l imea zonei, figura 9.13. Pentru a determina constanta depropor ionalitate C, consider m ca pentru = 0 i bdx → , se transmite lumina cu aceea iintensitate E0 ca i lumina incident .

0ECb = , deci C = E0/b (9.65) Varia ia produs de elementul fant dx pe B se poate scrie cu ajutorul ecua iei undeiplane:

dxxtbEd e ⋅

λθπ

−ω⋅=sin2cos0 (9.66)

Figura 9.13

Varia ia electric din B va rezulta prin însumarea tuturor elementelor (vibra iilorelementare ) deci folosim identitatea:

( ) ( )2

cos22

sin2sinsin yxyxyx −+=− (9.67)

( )tabababFE ω−=θ cos

22sin0

139 din 163

cos este o func ie par , deci:

λθπ

−ω

λθ

λθπ

=θsincos

sin

sinsin0

btb

b

EE

Deci amplitudinea undei care se propag pe direc ia este

λθπ

λθπ

=sin

sinsin0 b

b

EE (9.68)

iar pentru de valoare mic :

λθπ

λθπ

= sin

sinsin0EE (9.69)

iar intensitatea undei:

2

2

0

sin

λθπ

λθπ

=b

b

II (9.70)

sau 2

2

0sin

sinsin

λθπλ

θπ

=b

b

II (9.71)

Dac reprezent m grafic func ia (9.71) în func ie de sin ob inem urm torul grafic:

Figura 9.14

Dac = 0: 1sinlim0

=→ x

xx

.

140 din 163

02

2

00sin

sinsinlim I

b

b

II =

λθπ

θ

λπ

⋅=→θ

(9.72)

Prin urmare pentru acest unghi se va forma un maxim. În rest pentru toate unghiurilecare îl fac pe sin = 0, intensitatea va fi nul .

0sinsin =

λθπb (9.73)

În acest caz:b

kkb λ⋅±=θ⇒π⋅=

λθπ sinsin (9.74)

sau pentru valori mici ale unghiuluib

k λ±=θ .

În cazul unei deschideri circulare, de diametru D, se ob in figuri de difrac ieasem toare cu cele de difrac ia Fresnel. Ca i la difrac ia Fresnel se formeaz ineleluminoase i întunecoase. Intensitatea luminii este dat de legea:

( ) ( ) 2122

02

ρ

ρℑ⋅ρ⋅π=

kkI (9.75)

unde ( )ρk1ℑ reprezint func ia Bessel de ordinul 0 i spe a 1. Primul inel întunecos se formeaz când unghiul de difrac ie satisface rela ia:

D/22.1sin λ=θ (9.76) Primul inel luminos con ine 84 din energia electromagnetic .

9.6.2 Re eaua plan de difrac ie Se ob ine prin zgârierea unei suprafe e de sticl , cu un diamant cu ajutorul unei ma inide divizat. În zona zgâriat sticla devine opac i astfel se formeaz un ansamblu de fantefoarte fine. Notând cu d l imea unei fante i cu e l imea intervalului opac, distan a dintredou fante vecine va fi a=d+e inversul acestei distan e l/d reprezint constanta re elei adicnum rul de linii pe unitatea de lungime. Realizând aranjamentul experimental, în planul focalal lentilei L, pe ecranul E se formeaz franje de difrac ie, având forma de linii paralele.Explicarea form rii acestor franje se poate face, inând cont de cele dou procese, difrac ia pere ea i interferen a fasciculelor pornite din fiecare fant . Se pot construi i re ele de reflexie,la care lumina se reflect pe o suprafa reflectatoare (uneori concav , pentru a eliminalentilele) zgâriat . Diferen a de drum dintre dou raze care p sesc fanta se poate calcula înconformitate cu figura 9.15:

141 din 163

Figura 9.15

( )θ±=δ±δ=δ sinsin21 I (9.77)În cazul inciden ei normale pe re ea i = 0, deci

ϕ±=δ sind (9.78)Pe ecranul E se ob in maxime dac razele difractate sub unghiul satisfac rela ia

necesar maximului de interferen0sin λ=θ=δ nd (9.79)

deci unghiul sub care se ob ine un maxim principal va fi:

dnλ

=θsin (9.80)

Dependen a unghiului de devia ie (valabil pentru dispersia luminii) de lungimea deund se nume te dispersie ineficace printr-o prism .

λθ

=∆dd (9.81)

Pentru a g si expresia dispersiei unghiulare, diferen iem rela ia (9.80):λ=θθ nddd cos

θ=

λθ

=∆cosdn

dd

θ−=

λθ

=∆2sin1d

ndd

2

22

1d

nd

ndd

λ−

=λθ

=∆

22

2

1

λ−

=∆

nd

Dependen a de a unghiului , va duce în cazul luminii nemonocromatice, la apari iaatâtor maxime principale câ i avem în lumina alb (o infinitate de ), se vor ob ine spectre

142 din 163

continue. Ele sunt cu atât mai largi cu cât ordinul de inciden n este mai mare, ajungândpentru un k suficient de mare s se suprapun i s formeze un alb de ordin superior (cuspectru canelat figura 9.16).

Figura 9.16

Puterea de separare a aparatelor optice (microscoape, lunete, etc.) este limitat defenomenul de difrac ie. Dou puncte diferite vor produce câte o figur de difrac ie, care se vasuprapune dac cele dou puncte sunt prea apropiate. Pentru un obiectiv de diametru Dunghiul maxim va fi D/max λ≅θ .

143 din 163

Capitolul 10Fenomene atomice si cuantice

10.1 Modele atomice i evolu ia lor

Dezvoltarea fizicii i chimiei din secolul al XIX-lea, a dus la descoperirea unorfenomene care dovedesc clar c substan a este alc tuit din atomi, iar la rândul lor, ace tiatomi au o structur .

Fenomene ca deplasarea purt torilor de sarcini în electroli i (legea lui Faraday),desc rc rile în gaze, emisia termoelectric , efectul fotoelectric au ar tat clar faptul celectronul este un constituent universal al substan ei. Cu alte cuvinte orice atom con ine înstructura sa electroni. Dar atomii fiind neutri din punct de vedere electric se impune concluzia

ei con in i sarcini pozitive.Modul de distribuire a acestor sarcini în atom a fost l murit prin experien ele lui

Rutherford. Modul de realizare a acestui experiment fiind în aproxima ie cunoscut(împr tierea unei particule pe atomii unei folii metalice), vom relua doar concluziile.

1. Sarcinile pozitive sunt concentrate într-o zon foarte mic a atomului cudimensiunile 10 15− -10 14− m, într-o forma iune numit nucleu, care are sarcina +Ze (Z fiindnum rul de ordine al atomului în sistemul periodic al lui Mendeleev). În nuclee seconcentreaz aproape întreaga mas a atomului.

2. Atomul posed Z electroni cu mas foarte mic i mas negativ (experien eleThomson i Millikan) care se g sesc în jurul nucleului la o distan de aproximativ 10 10− m(deci putem spune c atomul are o structur lacunar ). Pentru a putea explica stabilitatea uneiasemenea structuri, Rutherford a fost nevoit s admit c electronii evolueaz în jurulnucleului într-o mi care de rota ie, întocmai ca planetele în jurul Soarelui. Aceast imagine demicrosistem planetar, în care for ele gravita ionale sunt înlocuite cu for e coulombiene a fostdenumit sistemul planetar al lui Rutherford.

Acest model prezint câteva deficien e majore care îl fac neviabil. In primul rând, unelectron mi cându-se pe o traiectorie circular (eliptic dac inem seama de faptul c masanucleului este finit ) va poseda o accelera ie centripet .

Am v zut îns c , dac o sarcin electric sufer o mi care accelerat ea va emiteunde electromagnetice, deci energia electronului se va pierde prin radia ie. El va descrie otraiectorie în spiral c zând pe nucleu, acest lucru este îns în contradic ie chiar cuexperimentele lui Rutherford.

Experimentele de desc rcare în gaze rarefiate arat c atomii atunci când sunt excita iprintr-o desc rcare electric emit lumin (de fapt o gam de unde electromagnetice).Spectrogramele indic apari ia unor spectre discontinue, ale c ror lungimi de und pot ficalculate cu formule de tip Rydberg (pentru atomi hidrogenoizi).

=λ1 = Z 2 RH

− 22 n

1k1 (10.1)

RH = 10967176 m 1−

144 din 163

Dând lui k valorile 1,2,3,…(întregi) i lui n, k+1,k+2,… se ob in seriile spectralecunoscute.

Modelul planetar al lui Rutherford nu poate explica aceast structur a spectrului. In plusîn conformitate cu acest model, emisia ar trebui s se produc în mod continuu, dar în realitateatomul emite lumin doar când este excitat. Rezolvarea acestor dificult i a fost realizat într-oprim aproxima ie de Niels Bohr în 1913. El a renun at la ideea c electronii s-ar comporta cani te oscilatori elementari lega i cvasielastic (cum s-a lucrat în teoria clasic a dispersiei), ci s-a bazat pe ipoteza cuantic a lui Planck. Bohr a enun at dou postulate:

1. Atomul posed un ir discret de st ri de energie în care nu emite radia ieelectromagnetic . Aceste st ri sunt cele în care momentul cinetic al electronului este

multiplu întreg de =π2

h .

m · v · r = · (10.2)2. Atomul poate executa tranzi ii dintr-o stare de energie sta ionar în alt stare de

energie sta ionar absorbând sau emi ând o cuant de energie ( =h· ).ν=− hEE fi (10.3)

Pe baza acestor postulate el a reu it s determine raza orbitei a n-a a electronului,energia sa total , i s deduc rela ia (10.1) pentru atomul de hidrogen (sau pentru atomihidrogenoizi).

Calculele fiind cunoscute i foarte simple, vom reda doar rela iile:

rn = n 22

20

e.m.h.

π

ε (10.4)

=n1.

h..2e

0

2

ε (10.5)

En = – 2220

4

n1.

h.8e.m

ε (10.6)

=

−= 223

0

2

n1

k1

c.h.8e.m1

ελ (10.7)

Rezultatele de la (10.4)…(10.7) se ob in doar dac raportul dintre masa electronului imasa nucleului se considera 0. In realitate masa nucleului este finit , deci i nucleul participla mi carea în jurul centrului comun de mas . În acest caz traiectoria nu mai este perfectcircular iar în rela iile (10.4)…(10.7) masa electronului m se înlocuie te cu masa redus asistemului electron-nucleu.

mr = MmM.m

+ (10.8)

Cu ajutorul rela iilor (10.4)…(10.7) cu corectarea de la (10.8) s-au reg sit frecven eleliniilor spectrale ale atomilor hidrogenoizi g si i anterior experimental.

Dac extindem îns modelul cuantificat al atomului (modelul Bohr) descris mai sus laatomi mai complec i (cu mai multi electroni) rezultatele nu vor fi în concordan cu dateleexperimentale, ceea ce constitue o deficien grav a modelului Bohr; de asemenea nu putemcalcula intensitatea liniilor spectrale. Pentru a explica spectrul de emisie al metalelor alcaline(acestea au Z-1 electroni în apropierea nucleului i un electron de valen mai dep rtat, deci în

145 din 163

principiu asem tor hidrogenului), A. Sommerfeld a perfec ionat modelul lui Bohr,considerând mi carea electronului pe o traiectorie eliptic .

Analizând mi carea ansamblului electron-nucleu pe baza mecanicii analitice,Sommerfeld a g sit:

∫ = rIdrdtdrm (10.9)

∫ = ϕϕϕ Id

dtdr.m 2 (10.10)

E = ( )2r20

22

II8.Z.e.m

ϕε +− (10.11)

a =( )

Z.e.m.

II4

2r0

π

ε ϕ+ (10.12)

b =rII

I+ϕ

ϕ (10.13)

unde Ir i I se numesc invaria ii adiabatici a lui Ehrenfest (se deduc pe baza ecua ieiHamilton-Jacobi). În 1915 Sommerfeld a ar tat c cei doi invarian i Ir i I sunt cuantifica i.

Ir = nr h, I = n h (10.14)de unde rezult :

En = ( )2r2

0

42

nn1.

h.8e.Z.m

ϕε +− (10.15)

a = ( )2r2

20 nn

e.Z.m.h.

ϕπ

ε+ (10.16)

b = ( ) φϕπ

ε nnne.Z.m.

h.r2

20 + (10.17)

Se vede c b 0 (electronul nu poate trece prin nucleu), deci:n = 1,2,3,…,n i nr = 0,1,2,…,n-1 (10.18)

iar n + nr = n se nume te num r cuantic principal.Deci pentru un n dat (deci o valoare dat a energiei En) electronul se poate mi ca pe n

orbite diferite cu aceea i semiax mare a, dar în b diferit. Aceast situa ie se nume tedegenerare (o m rime fizic are aceea i valoare pentru diferite valori ale unui parametru).Degenerarea, adic independen a energiei fa de forma elipsei, apare dac sunt satisf cutedou condi ii:

1. Câmpul este pur coulombian.2. Masa electronului este invariant cu viteza.Aceast din urm condi ie nu este satisf cut , de i efectele relativiste sunt slabe, va

exista o dependen a energiei fa de forma orbitei. Pentru un n dat, fiind posibile mai multeenergii (diferen a dintre ele fiind foarte mic ), apar mai multe linii spectrale, foarte fine iapropiate. Aceast structur fin a spectrului metalelor alcaline observat experimental estedeci explicat de modelul Bohr-Sommerfeld.

Experimental s-a constatat o multiplicare a liniilor spectrale în câmp magnetic, ceea ceduce la concluzia existen ei unei degener ri în prezen a câmpului magnetic. Pentru a explica

146 din 163

aceasta multiplicare (degenerare) s-a introdus un num r cuantic m numit num r cuanticmagnetic care poate lua toate valorile de la –n …0…+n i în plus pentru a explica dedublareaunor linii spectrale (de la linia galben a sodiului) a fost necesar introducerea “ad hoc” aipotezei unei existen e a unui moment cinetic propriu al electronului numit spin. Acest spin caorice moment cinetic în atom trebuie s fie cuantificat. Cuantificarea sa este “produs ” de un

num r magnetic de spin cu valorile21;

21

−+ ( pentru electroni). Deci pentru a descrie un atom

am introdus patru numere cuantice. O deficien grav a teoriei de mai sus, numit i teoriecuantic naiv , este c aceste numere cuantice le-am introdus pentru a ob ine concordan a cudatele experimentale, deci “ca s ias ”, f a p trunde în intimitatea proceselor din atom.

10.2 Unde asociate particulelor în miscare

10.2.1 Ipoteza lui BrogliePentru a explica legile efectului fotoelectric, A. Einstein a introdus în 1905 ideea

existen ei unei particule numite foton asociate undei electromagnetice. Acest foton, transporto cuant de energie:

E = h (10.19)având i o mas de mi care m astfel încât:

mc2 = h (10.20)Deci fotonului îi putem asocia un impuls:

p = mc =λ

ν hc.h

= (10.21)

Existen a acestui impuls este confirmat de existen a unei presiuni a luminii. Deci încazul fotonului se manifest un dualism corpuscul-und . În 1925 Louis de Broglie extindeacest dualism pentru electron i ulterior pentru orice microparticul . Deci ipoteza lui deBroglie o putem enun a în felul urm tor: oric rei microparticule i se asociaz o und (und deBroglie) care are lungimea de und :

=ph (10.22)

Pentru a g si probabilitatea ca particula s se g seasc în volumul V se folose teformula:

P = ( )∫∫∫V

2 dVt,z,y,xψ (10.23)

Îns tim c particula se g se te undeva în spa iu, deci dac extindem integrala din(10.23) pe întreg spa iul vom g si probabilitatea evenimentului sigur:

P( ) = ( )∫∫∫∞

= 1t,z,y,x 2ψ (10.24)

Aceast condi ie se nume te condi ie de normare.

10.2.2 Rela iile de nedeterminare ale lui HeinserbergÎn cele ce urmeaz vom discuta un grup de rela ii de o importan capital pentru

sistemele cuantice, care impun unele limite în m surarea parametrilor dinamici ale uneimicroparticule.

147 din 163

presupunem c o particul (electron, proton, atom, molecul ) trece printr-o fant dergime x. Unda asociat particulei va suferi o difrac ie, producând pe un ecran E o figur de

difrac ie ca în figura 10.1.

Figura 10.1

Apari ia figurii de difrac ie ne arat c particula a trecut prin fant , dar nu putempreciza pe unde a trecut; deci pe axa Ox avem o nederminare a pozi iei x. Datoritinterac iunii cu aparatul de m sur (cu fanta) particula a primit o component a impulsului s upe axa Ox, px.

px = potg (10.25)

sau px = p0ϕ

ϕ2sin1

sin

− (10.26)

dar 1-sin2 1 deci px p0 sin (10.27)Dar în teoria difrac iei am ar tat c unghiul sub care se vede maximul principal este:

sin =x∆

λ (10.28)

decix

pp x ∆λ

≥∆ 0 (10.29)

Dar în conformitate cu postulatul lui de Broglie, p0 =λh ; prin urmare

λλ

≥∆∆hxp. (10.30)

sau hxp ≥∆⋅∆ (10.31)

Aceast rela ie va fi satisfacut cu atât mai mult dac punem în loc de h,π2h

=h . În

acest fel ob inem rela ia lui Heisenberg privitoare la incertitudinea în precizarea simultan aimpulsului i pozi iei.

h≥∆⋅∆ xp (10.32)Trebuie precizat faptul c cele de mai sus nu reprezint o demonstra ie riguroas a

principiului de nederminare, aceasta f cându-se prin aparatul matematic al mecanicii cuantice

148 din 163

(care duce la rezultatul2

xp h≥⋅ ). În mecanica clasic , dac avem precizate la un moment

dat impulsul i coordonata particulei, suntem capabili s descriem evolu ia particulei înmomentele ulterioare. Îns în domeniul microparticulei, rela ia (10.32) ne arat c nu se poatedetermina simultan impulsul i coordonata.

Dac cunoa tem impulsul cu precizie maxim ( px 0), atunci nu putem precizacoordonata ( x ).

La fel se poate scrie f când calcule identice:

2h

≥∆⋅∆ yp y (10.33)

2h

≥∆⋅∆ zp z (10.34)

Deci impulsul i coordonata unei particule nu pot fi m surate simultan. Spunem c celedou m rimi sunt complementare. Un alt exemplu de m rimi complementare sunt energia itimpul pentru care se poate scrie o rela ie identic :

E · t 2h (10.35)

Sensul fizic profund al rela iilor de incertitudine a lui Heinserberg este de limitare aposibilit ilor de a opera cu m rimi definite clasic în domeniul cuantic, deci va trebui sintroducem concepte care nu au corespondent clasic. Dac vom calcula viteza electronului înatomul lui Bohr, vom avea în determinarea razei traectoriei o imprecizie de ase ori mai maredecât raza traectoriei calculat la (10.15) i (10.16), deci no iunea de traiectorie în acest caz nuare nici un sens. Aceasta explic deficien ele modelului Bohr Sommerfeld.

10.3 Ecua ia lui Schroedinger i aplica iile sale

10.3.1 Ecua ia lui Schroedinger temporalRela iile de incertitudine ne arat c nu putem preciza localizarea unei particule în

spa iu. Vom putea preciza doar probabilitea de a g si particula într-un domeniu (intensitateaundei de Broglie). S presupunem c starea particulei la un moment dat este descris de ofunc ie de und (x,y,z,t) pe care o vom scrie sub forma unei unde plane.

( )rktierr

−ωΨ=Ψ 0 (10.36) presupunem c particula transport o cuant de energie:

E = h = h ω=ωπ

=ππν

h22

2 h (10.37)

i c impulsul s u satisface rela ia de Broglie:

ph

=λ sau

πλ

2hp1

= sauh

hk =

De unde p = k sau kpr

hr

= (10.38)Înlocuind, ob inem:

( )rpEthi

err

−Ψ=Ψ 0 (10.39)

149 din 163

Am constatat c m rimile clasice E i t, pr i rr î i pierd con inutul fizic în mecanicacuantic , deci nu are sens fizic.

Postul m c aceste m rimi sunt înlocuite cu operatori care operând asupra func iei deund au ca valori proprii un ir de valori reale ale m rimii fizice asociate.

Postul m de asemenea c între operatori se stabilesc rela ii similare cu cele existenteîntre m rimile clasice corespondente (principiul de coresponden ).

Dac not m cu E energia particulei, cu Ec energia cinetic i cu U energia de poten ial(de interac iunile cu un câmp):

E = Ec + U sau E = Um2

p2+ (10.40)

Acestei rela ii i se asociaz o rela ie similar între operatorii nota i cu accentcircumflex:

Um

pE2

2

+= (10.41)

Acest operator operând asupra func iei de und duce la:

ψ+ψ

=Ψ Um

pE2

2

(10.42)

Vom deduce în continuare 2i pE .ω= hE (10.43)

Dar am ar tat c ω−=∂∂ it

(10.44)

tiE

∂∂

= h (10.45)

p = khh r

h=

πλ

π=

λ2

2 (10.46)

Dar, ∇= i kr

, prin urmare ∇−= ikr

.i ∇−= hip în ∆=∇= 2222

hhp (10.47)Rela ia dintre operatorii asocia i energiei este:

ψ+ψ∆−=∂ψ∂ U

mti

2

2hh

h (10.48)

02

2

=ψ−∂ψ∂

+ψ∆ Ut

im

hh (10.49)

Aceast ecua ie diferen ial liniar cu coeficien i constan i cu derivate par iale senume te ecua ia lui Schroedinger temporal .

10.3.2 Ecua ia lui Schroedinger atemporalPutem ob ine o form particular a ecua iei lui Schroedinger dac mai introducem i

postulatul c în orice câmp conservativ, func ia de und (x,y,z,t) are forma unui produsdintre un factor exponen ial dependent de timp i un factor spa ial dependent doar decoordonate în felul urm tor:

150 din 163

( ) ( )zyxetzyxEt

i

,,,,, ψ=ψ−

h (10.50)( ) ( ) Eti

ezyxEit

tzyxh

h

−ψ−=

∂ψ∂ ,,,,, (10.51)

(Operatorul lui Laplace opereaz doar asupra coordonatelor).

( )zyxeEt

i

,,ψ∆=ψ∆−

h (10.52)Înlocuind în ecua ia lui Schroedinger temporal :

( ) ( ) ( ) 0,,,,,,2

2

=ψ−ψ

−+ψ∆

−−− EtiEtiEti

ezyxezyxiiezyxm

hhh

hh

h (10.53)

Factorul exponen ial se simplific i se ob ine ecua ia lui Schroedinger atemporal :

( ) 02

2

=ψ−+ψ∆ UEm

h (10.54)

Aici se subîn elege c reprezint de fapt ( )zyx ,,ψ . Reamintim c func ia ( )tzyx ,,,ψ nu are sens fizic bine precizat doar intensitatea undeide Broglie *ψψ are sensul de densitate de probabilitate. Pentru ca *ψψ s aib acest sens fizictrebuie s -i impunem unele condi ii restrictive. 1. ∫∫∫ ψ dV2 s fie finit . Astfel probabilitatea de a g si particula undeva în spa iu nu arfi 1. 2. Func ia trebuie s fie univoc , pentru ca probabilitatea de a g si particula undeva înspa iu s fie determinat univoc. 3. Func ia trebuie s fie continu , ca i derivatele ei. Se cunoa te din teoria ecua iilordiferen iale cu derivate par iale c ecua iile de tipul de mai sus nu pot s satisfac condi iile

1;2;3; decât dac parametrul Em2

2h

are numai anumite valori numite valori proprii. Func iile

corespunz toare acestor valori proprii se numesc func ii proprii.Existen a valorilor proprii duce la cuantificarea energiei. Aici cuantificarea energiei

apare în mod natural f a fi nevoie de introducerea sa în mod artificial printr-un postulat caîn cazul teoriilor atomice relativiste. Este doar de remarcat faptul c ecua ia lui Schroedingerse aplic doar în cazul nerelativist. In teoria relativist a lui Dirac apare în mod natural ispinul f s fie introdus printr-un postulat.

10.4 Aplica ii ale ecua iei lui Schroedinger

10.4.1 Particula în groapa de potential rectangular , finit , tridimensionalConsider m groapa de poten ial de form cubic (am luat forma aceasta pentru a

simplifica calculele, dar metode utilizate în continuare sunt valabile pentru orice form agropii).

Energia poten ial a particulei o vom considera U = 0 în interiorul gropii i U =∞ înexteriorul acesteia. Pere ii îi consider m perfect reflect tori. Vom scrie ecua ia luiSchroedinger pentru o particul aflat în interiorul gropii.

151 din 163

Figura 10.2

02

2

=ψ+ψ∆ Em

h (U = 0) (10.55)

022 =ψ+ψ∆ Em

h (10.56)

sau scriind laplacianul în coordonate carteziene ob inem:

0222

2

2

2

2

2

=ψ+∂

ψ∂+

∂ψ∂

+∂

ψ∂ Emzyx h

(10.57)

Pentru a g si solu ia acestei ecua ii diferen iale cu derivate par iale îl vom c uta pe sub forma unui produs de forma:

( ) ( ) ( ) ( )zyxzyx zyx ψ+ψ+ψ=ψ ,, (10.58)i vom ob ine:

0222

2

22

2

2

=ψψψ+ψ

ψψ+ψ

ψψ+ψ

ψψ zyxz

yxy

zxx

zy Emdz

ddy

ddx

dh

(10.59)

Împ im rela iile cu zyx ψψψ i vom avea:

Emdz

ddy

ddx

d z

z

y

y

x

x22

2

22

2

2 2111h

−=ψ

ψ+

ψ

ψ+

ψψ

(10.60)

O asemenea ecua ie diferen ial poate fi satisf cut doar dac fiecare termen al sumeieste egal cu o constant .

22

21x

x

kdxd

−=ψ

ψ

22

21y

y

kdyd

−=ψ

ψ (10.61)

22

21z

z

kdzd

−=ψ

ψ

unde 2222 kkkk zyx =++ (10.62)

0;0;0 22

22

2

22

2

2

=ψ+ψ

=ψ+ψ

=ψ+ψ

zzz

yyy

xxx k

dzd

kdy

dk

dxd (10.63)

Aceste ecua ii se integreaz prin metoda cunoscut , ob inând:

152 din 163

( ) xkCxkCx xxxxx cossin 11 +=ψ ;( ) yikCykCy yyyyy cossin 21 +=ψ ;( ) zkCzkCz zzzzz cossin 21 +=ψ ;( ) ikCikCi iiiii cossin 21 +=ψ ; i = x,y,z (10.64)

Particula nu se poate afla în exteriorul gropii de poten ial, pentru c energia sapoten ial ar fi infinit , deci func ia de und a sa trebuie s se anuleze pe pere i.

0)(;0)0( =Ψ=Ψ iii L ; Li = L, l, h (dim. gropii); (10.65)În final ecua ia lui Schroedinger va avea forma:

022

22

2

22

=ψ

ω−+

ψ xmEdxd

mh (10.66)

02 22

22

2

=ψ

ω−+

ψhh

xmmEdxd (10.67)

Not m cu 2

2h

mEa = ih

ω=

mb ; prin urmare ecuatia (10.67) devine:

( ) 022

2

=ψ−+ψ bxa

dxd (10.68)

Not m y = bx ; y2 = bx2.

022

2

=ψ

−+

ψ xbab

dxd (10.69)

Vom calcula derivatele lui în raport cu y i x:

bdxdy

dyd

dxd

=ψ

=ψ

dydψ (10.70)

=ψ2

2

dxd

2

2

dydb ψ (10.71)

Cu aceste înlocuiri ob inem:

022

2

=ψ

−+

ψ yba

dxd (10.72)

Solu ia a acestei ecua ii fiind o func ie de und trebuie s fie continu atât ea, cât iderivatele sale, i s fie integrabil în modul p trat pentru a satisface condi iile de normare:

∫∫∫∞

=ψ 12 dV (10.73)

Func ia satisface condi iile de mai sus doar dac ecua ia se transform într-o ecua iede tip Hermite cu

12 += nba (10.74)

cu n = 0,1,2,…

Ecua ia ( ) 012 22

2

=ψ−++ψ yn

dyd (10.75)

153 din 163

are solu ia ( )yHe n

y2

2−

=ψ (10.76)unde ( )yH n reprezint polinoamele lui Hermite care au func ia generatoare urm toare:

( ) ( )n

yny

n dyedeyH

22

−

= (10.77)

( ) 122

0 == − yy eeyH (10.78)

( ) ( ) ( ) yeyedyedeyH yy

n

yny 22

222

2

0 −=−== −−

(10.79)

Rela iile de mai sus ne relev diferen ele fundamentale fa de situa ia clasic .Astfel dac vom înlocui a i b avem:

1222 +=

ωn

mmE h

h (10.80)

E = ( )12 +ω nh (10.81)

E =

+

212 nvh (10.82)

Deci energia oscilatorului armonic este cuantificat i nu depinde de amplitudine ca încazul oscilatorului clasic. In plus apare chiar o diferen dat de postulatul lui Planck, care

prevede c E = nh . Se observ c pentru n = 0 exist o energie de zero20vE h

= dup care

ne putem a tepta la astfel de rela ii analizand fenomenul prin prisma rela iilor de nederminare

ale lui Heinsenberg2h

≥∆∆ tE .

În continuare vom compara probabilitatea de a g si oscilatorul într-un domeniu xsituat între –A i +A.

Figura 10.3

Probabilitatea de a g si oscilatorul în domeniul x va fi:

Tt

TtP ∆

=∆

=∆2

2

(10.83)

Notând cu P(x) densitatea de probabilitate:( ) xxPP ∆=∆ (10.84)

v22)(

TxTt

xPxP =

∆∆

=∆∆

= (10.85)

Dar x = A sin t i v = A cos t ; prin urmare eliminând timpul,22v xA −ω= (10.86)

( )22

1xA

xP−

=π

(10.87)

154 din 163

Pentru ( )A

xPxπ

=⇒→10 (10.88)

iar pentru ∞→⇒→ )(xPAx .Func ia P(x) se poate reprezenta grafic în felul urm tor:

Figura 10.4

Spre deosebire de situa ia oscilatorului clasic, în cazul oscilatorului armonic cuantic:∗ψψ=)(xP (10.89)

Astfel pentru n = 0:200000 )0()()()( ψ=∗ψψ==∗ψψ= yyPxP (10.90)

2200 )( yexP −=ψ= (10.91)

Pentru n = 0 densitatea de probabilitate cuantic are un caracter diametral opus fa decaracterul s u din mecanica clasic .

În plus probabilitatea de a g si particula oscilant în afara domeniului (-A, +A) nu maieste nul .

Pentru n = 1:

155 din 163

21

2

2y

ye−=ψ (10.92)221

21 4 yeyP −=ψ= (10.93)Pentru n = 4:

Este de remarcat c figura este mai apropiata de figura care reprezint situa ia clasic .

10.4.2 Trecerea particulelor prin bariera de poten ial. Efectul tunel Studiul trecerii particulelor printr-o barier de poten ial are mai multe implica ii înstudiul corpului solid, în chimie, electronic , fizic nuclear . O barier de poten ial este oregiune a spa iului în care are loc trecerea de la un poten ial U1 la un poten ial U2. O astfel debarier de poten ial m rgine te de exemplu nucleul atomic (figura 10.5).

Figura 10.5

156 din 163

În continuare vom studia procesele de penetrare de c tre microparticule a unei barierede poten ial dreptunghiulare care separ dou regiuni în care poten ialul este nul. Acest tip debarier ne va fi util în studiul comport rii electronilor în cristale.

Figura 10.6

Admitem c un flux de particule de mas m i energie cinetic E se mi de-a lungulaxei OX dinspre stânga i cade asupra barierei din figura 10.6 care împarte spa iul în treiregiuni I, II, III.

EEc = , peste tot energia total a particulei este egal cu energia ei cinetic . Vom scrie ecua ia lui Schroedinger atemporal pentru cele trei regiuni:

02122

12

=ψ+ψ

hmE

dxd

(10.94)

0)(222

02

22

=ψ−

+ψ

hUEm

dxd (10.95)

02322

32

=ψ+ψ

hmE

dxd (10.96)

Solu iile acestor ecua ii diferen iale de ordinul II cu coeficien i constan i sunt celecunoscute.

xikik ebea 11111

−+=ψ (10.97)xikik ebea 21

222−+=ψ (10.98)

xikik ebea 31333

−+=ψ (10.99)

3221 212 kmEhh

mEk === (10.100)

)(21022 UEm

hk −= (10.101)

Ecua iile (10.97), (10.98), (10.99) ne arat c func iile de und 321 ,, ψψψ se potconsidera ca fiind suprapunerea a dou plane care se propaga de-a lungul axei OX în sensulpozitiv una i în sensul negativ cealalt . Intensitatea primei fiind ai ai* i a celei de-a douabi bi*, ne propunem s calcul m raportul dintre intensitatea undei asociate transmise a3 a3* iintensitatea undei asociate a1 a1*. Valoarea acestui raport este transparen a barierei D:

*11

*3

aaaaD a= (10.102)

157 din 163

Pentru a simplifica calculele, f a constrânge generalitatea trat rii, putem consideraamplitudinea undei incidente egal cu unitatea a1=1; deci:

a1 a1* = 1 (10.103)In regiunea III nu poate exista o und retrograd pentru c aici posibilitatea de reflexie

a undei este nul , deci:b3 = 0 (10.104)Am ar tat c func ia de und trebuie sa fie continu (ca i derivata sa) în toate punctele.Vom scrie deci condi iile de frrontier .

)0()0( 21 ψ=ψ i )()( 32 ll ψ=ψ (10.105)

13

12

02

01 )()()()( ====

ψ=

ψψ=

ψxxxx dx

ddx

didx

ddx

d (10.106)

Se ob ine sistemul:

)(1

1

221

21

221

bakkb

bab

−=−

+=+

likliklik eaebea 122322 =+ − (10.107)

când calculele algebrice, a3 va fi sub forma urm toare:

( ) ( ) liklik

lik

ekkekkekk

a22

2

221

221

213

4−−+

=−

(10.108)

Vom analiza cazul când energia particulei E este mai mic decât energia barierei:E < U0. În aceast situa ie, mecanica clasic indic o transparen nul a barierei, ceea ce însitua ia cuantic nu este adev rat, dup cum vom vedea.

În acest caz ( )02 21 UEmk −=h

este o m rime imaginar i vom introduce nota iile:

( )EUmiikk o −== 22h

(10.109)

inând seama de nota iile:

2

iklikl eechkl−+

= ;2

iklikl eeshkl−−

= i 122 =− klshkch (10.110)

ob inem transparen a barierei:

141

1

22

1

1

*11

*33

+

+

==

klshkk

kkaa

aaD (10.111)

14

12

1

21

2

++

=klsh

D

αααα

În multe cazuri (pentru situatii reale): kleklsh 22

41

≅ (10.112)

lUEme

UUEED

)(22

20

0 0)(16 −−−= h (10.113)

158 din 163

Se remarc sc derea rapid a transparen ei cu cre terea masei i a diferen ei U0 - E icu cre terea lui l (situa ie clasic ).

În situa ia cuantic se remarc o transparen 0≠D i în cazul U0 > E. Dac bariera nueste dreptunghiular , ci are o form oarecare, aceast form se poate aproxima printr-osuccesiune de dreptunghiuri rectangulare ca în figura 10.7.

Figura 10.7

Transparen a barierei se poate scrie cu o foarte bun aproxima ie ca fiind:[ ]∫

≅−−

2

1

)(22

.

x

x

dxExUm

econstDh

(10.114)unde constanta este de ordinul de m rime al unit ii.

În cazul când E > U0 mecanica clasic prezice trecerea sigura a particulei peste barierade poten ial. Dac vom faca calcule cuantice în acest caz am ob ine înc un coeficient dereflexie R = 1 – D diferit de 0.

Se remarc faptul c [ ]∫ −2

1

)(2x

xdxExUm reprezint de fapt aria barierei de poten ial. Deci

pentru o arie constant , transparen a barierei va fi constant .Pentru energia cinetic a particulei în cazul E < U0 trebuie s admitem o

nedeterminare.0>∆ cE

U0 – E pentru ca energia cinetic s nu poata fi niciodat negativ .Ec = E – U (Ec > 0 ar implica impuls imaginar)Deci nici Ec nici U nu pot avea valori determinate simultan.

159 din 163

CuprinsCapitolul I ......................................................................................................................................... 1

1. Obiectul fizicii. Definirea fizic ca tiin .............................................................................. 12. Fenomenul fizic........................................................................................................................13. M rime fizic . Lege fizic ....................................................................................................... 14. Metodele fizicii ........................................................................................................................25. Opera ia de m surare ...............................................................................................................26. Formula matematic , formula fizic , coeficient parazit........................................................ 37. Sistemul Interna ional.............................................................................................................. 38. Omogenitatea formulelor ........................................................................................................ 49. Analiza dimensional a formulelor fizice .............................................................................. 4

Capitolul 2 ........................................................................................................................................ 72.1 Cinematica i dinamica mi rii oscilatorii ......................................................................... 72.2 Dinamica mi rii oscilatorii unidimensionale.................................................................... 72.3 Energia oscilatorului în mi carea oscilatorie armonic .....................................................112.4 Bilan ul energetic în mi carea oscilatorie amortizat ........................................................122.5 Mi carea oscilatorie între inut ...........................................................................................142.6 Reprezentarea mi rilor oscilante .....................................................................................162.7 Compunerea oscila iilor ......................................................................................................17

2.7.1 Compunerea oscila iilor paralele de aceea i pulsa ie (sintone) .................................172.7.2 Compunerea oscila iilor paralele cu pulsa ii diferite..................................................182.7.3 Compunerea oscila iilor perpendiculare, de aceea i frecven ..................................19

2.8 Descompunerea mi rii periodice.....................................................................................20Capitolul 3 ......................................................................................................................................22

3.1 Propagarea oscila iilor în medii elastice.............................................................................223.2 Ecua ia de propagare a undelor elastice .............................................................................22

3.2.1 Ecua ia de propagare a unei unde elastice transversale pe o coard infinit de lunga.................................................................................................................................................223.2.2 Ecua ia de propagare a unei unde elastice longitudinale printr-o bar .....................243.2.3 Ecua ia de propagare a unei unde superficiale transversale pe o plac .....................253.2.4 Ecua ia de propagare a unei unde elastice tridimensionale .......................................26

3.3 Solu ia ecua iei undelor .......................................................................................................273.3.1 Solu ia ecua iei de propagare a undelor pe o coard ..................................................273.3.2 Unda sferic ..................................................................................................................293.3.3 Unda plan , neatenuat ................................................................................................313.3.4 Unda armonic plan ....................................................................................................31

3.4 Energia transportat de undele elastice. Intensitatea undei elastice .................................323.5 Reflexia i refrac ia undelor elastice ..................................................................................343.6 Reflexia total ......................................................................................................................373.7 Principiul lui Huygens.........................................................................................................383.8 Difrac ia undelor elastice.....................................................................................................393.9 Interferen a undelor .............................................................................................................393.10 Unde sta ionare prin reflexie.............................................................................................423.11 Absorb ia undelor elastice.................................................................................................43

160 din 163

3.12 Dispersia undelor elastice. Formula lui Rayleigh............................................................453.13 Efectul Doppler..................................................................................................................463.16 No iuni de teoria valurilor.................................................................................................503.17 No iuni de acustic i ultraacustic ..................................................................................51

3.17.1 Caracteristicile sunetelor............................................................................................513.18 Ultrasunetele ......................................................................................................................53

3.18.1 Producerea ultrasunetelor...........................................................................................543.18.2 Propagarea ultrasunetelor în mediul marin i utiliz ri în marin ............................56

Capitolul 4 ......................................................................................................................................574.1 Sistem termodinamic ...........................................................................................................57

4.1.1 Obiectul termodinamicii ..............................................................................................574.1.2 Sistem termodinamic, stare, parametrii de stare.........................................................574.1.3 Postulatele termodinamicii...........................................................................................58

4.1.3.1 Postulatul lui Boltzman.........................................................................................584.1.3.2 Postulatul al II-lea (Principiul 0 al termodinamicii) ...........................................58

4.2 M surarea temperaturii........................................................................................................584.2.1 Termometrul .................................................................................................................584.2.2 Sc ri termometrice........................................................................................................59

4.2.2.1 Scara CELSIUS (sau scara centigrad ) ...............................................................594.2.2.2 Scara KELVIN (scara standard de temperatur ).................................................59

4.3 Primul principiu al termodinamicii.....................................................................................594.3.1 Energia intern ..............................................................................................................594.3.2 Lucrul mecanic .............................................................................................................604.3.3 C ldura ..........................................................................................................................614.3.4 Formul ri ale principiului I al termodinamicii ...........................................................61

4.4 Principiul al II-lea al termodinamicii..................................................................................624.4.1 Formul rile principiului al II –lea al termodinamicii.................................................62

4.4.1.1 Formularea lui Thomson (Lord Kelvin) ..............................................................624.4.1.2 Scara termodinamic a temperaturilor.................................................................634.4.1.3 Formularea lui Clausius ........................................................................................634.4.1.4 Formularea lui Caratheodory................................................................................63

4.4.2 C ldura redus . Entropia în procese reversibile .........................................................644.4.3 Principiul II al termodinamicii pentru procese ireversibile .......................................654.4.4 Ansamblul virtual .........................................................................................................664.4.5 Semnifica ia statistic a entropiei. Formula lui Boltzman .........................................67

4.5 Formula fundamental a termodinamicii ...........................................................................684.6 Aplica ii ale principiului I i II al termodinamicii .............................................................69

4.6.1 Dependen a de temperatur a coeficientului de tensiune superficial (prin metodaciclurilor) ................................................................................................................................704.6.2 Metoda poten ialelor termodinamice ..........................................................................71

4.6.2.1 Energia liber .........................................................................................................714.6.2.2 Entalpia ..................................................................................................................724.6.2.3 Entalpia liber sau poten ialul termodinamic al lui Gibbs..................................734.6.2.4 Aplica ii ale metodei poten ialelor termodinamice. Condi ii de echilibrutermodinamic pentru un sistem cu dou faze (Regula fazelor). Punctul triplu..............734.6.2.5 Varia ia temperaturii de schimbare a fazei cu presiunea. Ecua ia Clapeyron-Clausius ..............................................................................................................................75

161 din 163

4.7 Principiu al treilea al termodinamicii .................................................................................764.7.1 Temperatura absolut negativ ....................................................................................77

4.8 Fenomene de transport în gaze ...........................................................................................784.8.1 Drumul liber mediu al moleculelor .............................................................................784.8.2 Vâscozitatea gazelor.....................................................................................................794.8.3 Conductivitatea termic a gazelor. Transportul de c ldura în gaze ..........................814.8.4 Legea de r cire a corpurilor a lui Newton...................................................................834.8.5 Propagarea c ldurii prin bare.......................................................................................834.8.6 Difuzia gazelor..............................................................................................................85

Capitolul 5 ......................................................................................................................................875.1 Electrostatica........................................................................................................................875.2 Legea lui Coulomb ..............................................................................................................875.3 Câmpul electric ....................................................................................................................885.4 Fluxul câmpului electric printr-o suprafa ........................................................................925.5 Legea lui Gauss pentru câmpuri electrice (Legea fluxului electric).................................945.6 Lucrul mecanic al for elor electrice. Poten ialul................................................................965.7 Rela ia între intensitatea câmpului i poten ial ..................................................................98

Capitolul 6 ....................................................................................................................................1006.1 Curentul electric.................................................................................................................1006.2 Conservarea sarcinii electrice ...........................................................................................1016.3 Câmpul electric imprimat. Tensiunea electromotoare.....................................................1026.4 Câmpul magnetic ...............................................................................................................103

6.4.1 For e magnetice (Lorentz)..........................................................................................1036.4.2 Induc ia i intensitatea câmpului magnetic. Legea lui Laplace ...............................1046.4.3 Legea lui Ampere .......................................................................................................1056.4.4 Câmpul magnetic terestru ..........................................................................................1076.4.5 Fluxul câmpului magnetic..........................................................................................109

Capitolul 7 ....................................................................................................................................1107.1 Fenomenul de induc ie electromagnetic .........................................................................1107.2 Energia câmpului magnetic...............................................................................................1127.3 Curentul de deplasare. Densitatea curentului de deplasare .............................................1137.4 Generalizarea ecua iilor fundamentale ale electricit ii. Ecua iile lui Maxwell ............1147.5 Propriet ile operatorului ∇ .............................................................................................1177.6 Energia câmpului electromagnetic. Teorema lui Poynting .............................................118

Capitolul 8 ....................................................................................................................................1208.1 Propagarea câmpului electromagnetic în vid ...................................................................1208.2 Unda electromagnetic sferic ..........................................................................................1218.3 Unda electromagnetic plan ............................................................................................1218.4 Transversalitatea undelor electromagnetice plane..........................................................122

Capitolul 9 ....................................................................................................................................1249.1 Propagarea undelor electromagnetice în medii dielectrice izotrope (nedisipative).......1249.2 Dispersia undelor electromagnetice..................................................................................1249.3 Reflec ia i refrac ia undelor electromagnetice................................................................126

9.3.1 Refrac ia astronomic .................................................................................................1289.4 Reflexia total ....................................................................................................................1299.5 Interferen a undelor electromagnetice..............................................................................132

9.5.1 Condi ii de interferen . Termeni de interferen . Coeren a....................................132

162 din 163

9.5.2 Ob inerea experimental a fenomenului de interferen ..........................................1359.5.2.1 DispozitivulYoung ..............................................................................................135

9.6 Difrac ia undelor electromagnetice...................................................................................1379.6.1 Difrac ia în lumin paralel (Fraunhofer) .................................................................1389.6.2 Re eaua plan de difrac ie..........................................................................................140

Capitolul 10 ..................................................................................................................................14310.1 Modele atomice i evolu ia lor........................................................................................14310.2 Unde asociate particulelor în miscare.............................................................................146

10.2.1 Ipoteza lui Broglie ....................................................................................................14610.2.2 Rela iile de nedeterminare ale lui Heinserberg.......................................................146

10.3 Ecua ia lui Schroedinger i aplica iile sale.....................................................................14810.3.1 Ecua ia lui Schroedinger temporal ........................................................................14810.3.2 Ecua ia lui Schroedinger atemporal .......................................................................149

10.4 Aplica ii ale ecua iei lui Schroedinger ...........................................................................15010.4.1 Particula în groapa de potential rectangular , finit , tridimensional ...................15010.4.2 Trecerea particulelor prin bariera de poten ial. Efectul tunel................................155

Cuprins..........................................................................................................................................159Bibliografie ...................................................................................................................................163

163 din 163

Bibliografie1. Rosel, J.; Phisique generale, Edition du Grifon, Neuchatel, 19602. Feyman, R.; Fizic modern vol. I, II, III, Editura Tehnic , 19703. eica, R., Popescu, I.; Fizic general , Editura Tehnic , 19734. Kittel, Ch., Knight, W., Rudeman, M.; Mecanica, Editura didactic i pedagogic ,

Bucure ti 19815. Purcell, E.; Electricitate i magnetism, Editura didactic i pedagogic , Bucure ti,

19826. Cre u, T.; Fizic general vol. I i II, Editura Tehnic , Bucure ti, 19837. Popescu, I.M.; Fizic vol. I i II, Editura didactic i pedagogic , Bucure ti, 19838. Crawford, F.S.; Unde, Editura didactic i pedagogic , Bucure ti, 19849. Wichman, E.; Fizic cuantic , Editura didactic i pedagogic , Bucure ti, 198410. Jackson, J.D.; Electrodinamic clasic , Editura Tehnic , Bucure ti, 199211. Mo oc, C.; Fizic general vol. I i II, Editura didactic i pedagogic , Bucure ti, 199312. Luca, E., Jeflea, A., Zet, Gh., Pasnicu, C.; Fizic general , vol. I i II, Editura

Junimea, Ia i, 199613. Col escu, I., Dogaru, Gh.; Matematici speciale, Editura Academiei Navale „Mircea cel

trân“, Constan a, 200214. Grozeanu, S.; Fizic Note de curs, Editura Academiei Navale „Mircea cel B trân“,

Constan a, 200015. Nica, D.; Unit i de m sur de la A la Z, Editura didactic i pedagogic , Bucure ti,

2003