FIZICA ATOMICĂ ŞI MECANICA CUANTICĂ

I. Modele atomice şi cuantificarea energiei

S-a dovedit că electronii sunt particule constituente ale atomilor. Deoarece atomii sunt electric neutri, în constituţia lor trebuie să intre şi sarcini pozitive, care să compenseze sarcinile electrice negative datorate electronilor. Masa electronilor fiind pe de altă parte foarte mică, rezultă că masa atomică ar fi concentrată în alte componente ale atomilor, pe care pot fi repartizate şi sarcinile pozitive corespunzătoare.

Atomii, departe de a fi nişte corpusculi simpli asimilabili unor sfere mici, rigide, trebuie să posede o structură, o organizare internă, caracterizată printr-o anumită aranjare a electronilor şi sarcinilor electrice pozitive, a centrelor în care sunt concentrate masele lor.

Pentru cercetarea structurii atomilor, deosebit de eficace s-a dovedit metoda prin care materia se bombardează cu particule animate de viteze mari – electroni, particule α – care pot patrunde astfel în interiorul atomilor. Din modificările pe care le suferă mişcarea acestor particule, la trecerea prin materie, se pot trage concluzii cu privire la structura atomilor.

Spectrele optice ale atomilor şi de raze X furnizează date preţioase despre structura atomilor şi fenomenele care se petrec în interiorul lor.

1. Difuzia particulelor α. Modelul atomic al lui Rutherford.

Foarte bogată în rezultate s-a dovedit difuzia particulelor α prin substanţă, metodă folosită cu deplin succes de Rutherford şi colaboratorii săi.

Particulele α sunt emise de numeroase substanţe radioactive, care pot servi ca surse pentru a obţinerea lor. Traiectoriile lor pot fi urmărite în camera Wilson, în care se introduce aer sau alt gaz saturat cu vapori de apă. În trecerea lor particulele ionizează gazul, iar pe ionii formaţi se condensează vapori de apă. Traiectoriile particulelor marcate astfel, prin picături fine de apă, pot fi fotografiate.

Particulele α sunt atomi de heliu cu două sarcini electrice pozitive ( )++He , în urma pierderii celor 2 electroni disponibili. Viteza lor ajunge pâna

la 1/15 – 1/20 din viteza luminii, după natura preparatului radioactiv din care povin.

În orientarea experientelor sale şi în explicarea rezultatelor obţinute, Rutherford s-a condus după concepţia că un atom trebuie să fie alcătuit dintr-un nucleu încărcat electric pozitiv, foarte mic în comparaţie cu dimensiunile atomului în care este concentrată practic întreaga masă. În jurul nucleului se mişcă electronii, formând invelişul electronic, al cărui număr este de terminat de condiţia sa ca sumă a sarcinilor electrice să fie egală cu sarcina pozitivă a nucleului.

Particulele α fiind de 7320 de ori mai grele decât electronul, ele patrund în învelişul electronic fără a fi practic influenţate.

Dacă o astfel de particulă ajunge în apropierea nucleului atomic, mult mai greu decât ea, pe care este concentrată puternic o sarcină electrică pozitivă, atunci traiectoria sa suferă o deviaţie sensibilă.

În experimentele de difuzie efectuate de Geiger şi Marsden (1909), cola boratorii lui Rutherford, folosind foiţe de aur au constatat că pe lângă particulele nedeviate se obţin şi particule deviate sub unghiuri foarte mari faţă de direcţia incidentă.

Pornind de la aceste premise, Rutherford a dezvoltat teoria cantitativă a difuziei particulelor α prin substaţă.

În calculele pe care urmează să le dezvoltăm, vom face o serie de aproximări. Vom presupune că atât particulele α cât şi nucleele cu care interacţionează sunt suficient de mici astfel încat să poată fi considerate punctiforme. În plus vom admite că între particulele α şi nucleu acţionează numai forţe electrostatice de respingere. Nucleul, find mult mai greu decât particula α, il vom presupune imobil. Deoarece forţa de respingere electrostatică ce acţionează asupra particulei α este invers proporţională cu pătratul distanţei pâna la nucleu, traiectoria urmată de particula α va fi o hiperbolă, în focarul careia se află nucleul.

Atomul fiind neutru posedă Z sarcini electrice pozitive. Pentru studiul mişcării şi deducerea deviaţiei θ vom folosi legea conservării energiei şi a momentului cinetic.

B v

A 0v

a θ

m b

c b M

Când particula α se află la o distanţă foarte mare de nucleu (A),

energia sa se reduce la energia cinetică 2

20mv , 0v

fiind viteza iniţială a

particulei. La o distanţă mică de nucleu, de exemplu în punctul B, cand

viteza particulei este v

, la energia cinetică 2

2mv se mai adaugă energia

potenţială )(4

2

0

2

ca

Ze

+πε .

Legea conservării energiei ne va conduce la ecuaţia:

(1) )(4

2

22 0

220

2

ca

Zemvmv

++=

πε

Legea conservării momentului cinetic pentru aceleaşi poziţii ale particulei α se scrie sub forma:

(2) )(0 camvbmv +=

Distanţa b de la nucleu la direcţia iniţială a traiectoriei este aşa numitul parametru de ciocnire. Valoarea sa minimă se produce pentru cea mai apropiată trecere a particulei α în vecinătatea nucleului.

Unghiul θ, între direcţia particulei incidente şi asimptota la traiectoria particulei difuzate se numeşte unghi de difuzie.

Ţinând cont de proprietăţile hiperbolei şi de relaţiile (1) şi (2) se poate stabili o relaţie între unghiul de difuzie θ şi parametrul de ciocnire b.

(3) 200

2

2

1

2 mv

Ze

bb

atg

πεθ ⋅==

Această ecuaţie (3) nu se poate verifica experimental deoarece nu se pot cunoaşte parametrii de ciocnire individuali. Pentru a ajunge la o relaţie care să poată fi verificată experimental, Rutherford a făcut o serie de consideraţii statistice. El a completat ipotezele precedente cu următoarele:

- distanţa a, dintre 2 nuclee difuzante este mai mare decât parametrul b;- stratul împrăştietor (difuzat) este destul de subţire pentru ca numărul particulelor α care suferă două sau mai multe ciocniri să fie neglijabil.

dn

θ θ+dθ

0n

Pentru numărul particulelor α care au fost împraştiate între unghiul θ şi θ + dθ obţinem:

(4) θθ

θ

π dmv

Zecdndn

2sin

2cos

43

2

20

2

0 ⋅

⋅⋅⋅=

unde: 0n - numărul de particule α, dn - numărul de particule α ce sunt difuzate sub un unghi

cuprins între unghiul θ şi θ+dθ; d - grosimea foiţei; c - numărul de nuclee conţinut de foiţă în unitatea de volum.

Această relaţie nu este încă adecvată verificărilor experimentale.Numărul de particule α împraştiate prin unitatea de unghi solid în

diferite direcţii este dat de raportul dn / dΩ, atunci:

(5)

⋅⋅⋅=

Ω−

2sin 4

2

20

2

0

θmv

Zecdn

d

dn

reprezintă relaţia de împraştiere a lui Rutherford care a fost verificată experimental, confirmînd modelul nuclear al atomului.

Formularea lui Rutherford este în bună concordanţă cu experienţa pentru nuclee grele şi particule α de energii relativ mici.

Pentru nuclee uşoare formula nu mai concordă cu experienţa. Dacă încă în acest caz se ţine seama că în timpul interacţiunii şi nucleul suferă o

deplasare, atunci trebuie să înlocuim masa cu masa redusă Mm

mM

+=µ şi

viteza 0v prin vitezele iniţiale ale celor două particule. Cu toate aceste modificări divergenţele între teorie şi experienţă se menţin mai ales pentru valori mici ale parametrului de ciocnire. Putem face observaţia că pentru valori ale parametrului de ciocnire Rb ≤ (R - raza nucleului) între nucleu şi paticulele α mai apar şi altfel de forţe decât cele electrostatice. Această situaţie limită ne va permite să evaluăm valoarea critică corespunzatoare a parametrului b şi să obţinem un ordin de mărime aproximativ pentru dimensiunea nucleului.

În cazul nucleului s-a gasit: mbR critic1510−≅≅ , valoare care acordă cu

ordinul de mărime al razelor nucleelor.Dintre mărimile care figurează în relaţia (5) o parte sunt cunoscute din

însuşirile sursei radioactive şi a metalului din foiţe folosite: 0n , d, c, 0v , m,

altele sunt determinate experimental Ωd

dn şi θ.

Ecuaţia permite astfel să se deducă Z. Aplicînd ecuaţia (5) la foiţele de cupru, argint, platină, Chadwick a gasit pentru numărul de sarcini nucleare Y valorile: 29,3; 46,3; 77,4. Cifrele concordă foarte bine cu numerele de ordine ale acestor elemente, aşa cum le gasim în tabelul lui Mendeleev: 29, 47, 78.

Studiul difuziei particulelor α conduce deci la concluzia că numărul sarcinilor pozitive din nucleul unui atom este egal cu numărul de ordine al elementului respectiv.

Pe baza acestor rezultate, Rutherford a propus un model atomic, conform căruia atomul constă dintr-un nucleu de rază m1510−≅ de sarcină +Ze şi în care este concentrată aproape întreaga masă a atomului. În jurul nucleului se rotesc Z electroni care compensează sarcina pozitivă a

nucleului, astfel încât atomul în totalitatea sa este neutru din punct de vedere electric.Dacă electronii se rotesc în jurul nucleului pe anumite orbite, forţa de atracţie colombiană este compensată de forţa centrifugă. Este suficient în acest scop sa i se atribuie electronului o viteză de rotaţie convenabilă.

În asemenea condiţii însă sistemul nu prezintă stabilitate termodinamică. Parcurgând o traiectorie curbă, electronul, posedă acceleraţie şi după legile electrodinamicii clasice el trebuie sa iradieze energie. Cum energia iradiată nu poate proveni decât din energia potenţială a sistemului nucleu – electron şi din energia cinetică a electronului, prin iradiere, electronul s-ar apropia mereu de nucleu, parcurgând un drum în spirală, până când s-ar prabuşi pe nucleu. Deoarece viteza ar creşte continuu sistemul ar trebui să iradieze un spectru continuu, de frecvenţe, ceea ce ar fi în total dezacord cu experienţa. Neconcordanţa la care s-a ajuns pe baza modelului lui Rutherford, nu poate fi înlăturată decât admiţând că legile clasice ale mişcării nu sunt aplicabile la dimensiunile atomului.

2. Spectrele atomului de hidrogen. Modelul atomic al lui Bohr

Corpurile în stare condensată emit radiaţii al căror spectru este continuu.

Substanţele în stare gazoasă aduse la incadescenţă, pot emite radiaţii a căror spectru este discret, conţinând numai anumite lungimi de undă. Spectrele atomice de emisie se obţin descopunând radiaţia emisă de o sursă convenabilă cu ajutorul unui aparat spectral (spectroscop sau spectograf). Radiaţia pătrunde în aparat printr-o fantă liniară îngustă, iar spectrul atomic rezultant se prezintă ca o succesiune de imagini liniare ale fantei, fiecare radiaţie de o anumită lungime de undă din radiaţia incidentă corespuzându-i o linie spectrală. Spectrul obţinut se numeşte spectru de linii.

S-a stabilit experimental că atomii gazelor incandescente emit spectre de linii şi că aceste linii formează grupuri bine definite, numite serii spectrale.

În fiecare serie spectrală liniile se îndesesc în partea lungimilor de undă mai mici ţinzând către o limită unde încep să se suprapună dând un spectru continuu.

Cel mai simplu spectru este emis de atomul de hidrogen. Prima serie spectrală observată în spectrul atomului de hidrogen a fost descoperită de

Balmer (1885) şi este cunoscută în prezent sub denumirea de seria Balmer. Ea cuprinde radiaţii din vizibil şi din ultravioletul apropiat. În vizibil seria Balmer prezintă 4 linii, linia cu lungimea de undă:

- cea mai mare:

AH 6563=α

λ ;

- cea mai mică:

AH 4102=δ

λ .

Balmer a stabilit o formulă empirică cu ajutorul căreia se puteau calcula lungimile de undă ale liniilor spectrale din această serie. Această formulă este:

(6) 12

2

−=

n

nBλ

unde B este o constantă iar n un număr întreg care începe cu 3, ….. . Înlocuindîn formula (6) n = 3, 4, 5 şi 6 se obţin cu exactitate lungimile de undă pentru cele 4 linii din domeniul vizibil al spectrului hidrogenului. Dacă în aceeiaşi formulă facem n = 7, 8, 9… obţinem lungimile de undă din domeniul ultraviolet, apropiat al aceluiaşi spectru. Constanta B, numită constanta Balmer s-a determinat ca fiind egală cu B = 3645,7Å.

Formula lui Balmer a fost scrisă ulterior de Rydberg sub o altă formă, introducând în locul lungimii de undă marimea inversă a acesteia, numită număr de undă:

(7) c

νλ

ν == 1~

care arată cîte lungimi de undă sunt cuprinse pe unitatea de lungime. Formula lui Rydberg este deci:

(8)

−==

22

1

2

11~n

Rλ

ν ; n = 3, 4, 5……

Constanta R se numeşte de această dată constanta lui Rydberg şi are valoarea acceptată în spectroscopia atomică

(9) 1510677,109 −⋅= mR

Dacă se dau lui n valorile 3, 4, … se obţin numerele de undă pentru ..., βα HH . Pentru n → ∞ se obţine limita seriei Balmer

4~ R=ν în bună

concordanţă cu valoarea determinată experimental.În afară de seria Balmer au mai fost descoperite şi alte serii spectrale

ale hidrogenului. Ele corespund următoarelor formule:

- seria Lyman: ....4,3,2;1

1

1~22

=

−= n

nRν în ultraviolet;

- seria Balmer: ....4,3;1

2

1~22

=

−= n

nRν în vizibil;

- seria Paschen: ....6,5,4;1

3

1~22

=

−= n

nRν în infraroşu;

- seria Brackett: ....7,6,5;1

4

1~22

=

−= n

nRν în infraroşu;

- seria Pfundt: ....8,7,6;1

5

1~22

=

−= n

nRν în infraroşu;

Pentru n → ∞ se obţine limita seriilor atomului de 2H .

2~

k

R=ν

Deci putem scrie expresia lui Rydberg sub o formă generală astfel:

(10)

−=

22

11~nk

Rν

S-a observat că modelul atomului lui Rutherford este instabil din punct de vedere al electrodinamicii clasice. Pe de altă parte experienţele directe au dovedit că în realitate atomul se poate afla într-o serie de stări stabile (staţionare) caracterizate prin valori bine determinate ale energiei. Se constată că procesele care au loc în interiorul atomului urmează alte legi decât cele prevăzute de electrodinamica clasică. Prima încercare de a lămuri lucrurile a fost făcută de fizicianul danez Niels Bohr (1913). Bazându-se în parte pe modelul Rutherford, Bohr a elaborat teoria atomului de 2H cu ajutorul căreia se poate explica spectrul acestuia şi se poate da o interpretare fizică a formulei Balmer. Ulterior această teorie a fost dezvoltată de catre Sommerfeld (1915) permiţând explicarea spectrelor şi la alte elemente.

Pentru aceasta Bohr a presupus că electronii, care alcatuiesc învelişul nucleului, se distribuie în straturi, fiecare strat fiind caracterizat printr-o anumită valoare a energiei.

Această energie nu poate lua orice valoare (nu se modifică în mod continuu) ci numai anumite valori discrete: 21 ,WW … .

Energia atomului este deci “cuantificată”.După Bohr, cel mai simplu dintre atomi, atomul de hidrogen, este

alcătuit dintr-un nucleu care posedă sarcina electrică +e, în jurul căruia se roteşte un electron (-e).

Nucleul atomului de hidrogen se numeşte proton. Masa protonului fiind de 1837 de ori mai mare decat cea a electronului, putem considera că întreaga masă a atomului se află concentrată în nucleu.

Teoria atomului de hidrogen se bazează pe următoarele postulate formulate de Bohr:

1) Electronul se poate roti în jurul nucleului numai pe acele orbite

pentru care momentul său cinetic este un multiplu întreg de π2

h. Acest

număr poate fi considerat ca momentul cinetic elementar. Exprimăm acest postulat prin relaţiile:

(11) nh

nrmvI nnw ===π2

În această relaţie m este masa electronului, nv este viteza acestuia pe orbita n permisă de primul postulat, nr este raza orbitei; n este un număr întreg (1,2,3…) denumit număr cuantic principal.

Pe astfel de orbite staţionare, unde momentul cinetic orbital este cuantificat, electronul nu emite şi nu absoarbe energie.

Al doilea postulat afirmă că:2) Atomul emite o radiaţie numai când electronul trece dintr-o stare

caracterizată de enrgie mare (de pe o orbită mai îndepărtată de nucleu) într-o altă stare caracterizată printr-o energie mai mică (pe orbită mai apropiată de nucleu). Energia cuantei emise este egală cu diferenţa energiilor celor două stări:

(12) knkn WWh −=,ν

unde n şi k sunt numerele orbitelor staţionare permise de primul postulat (n>k), nW şi kW energiile electronilor pe aceste orbite, iar kn,ν , frecvenţa radiaţiei emise.

Energia pe care o posedă atomul, când electronul se mişcă pe o orbită staţionară reprezintă energia de legătură între nucleu şi electron.

Nivelele energetice ale atomului se prezintă prin linii orizontale. Nivelul celui mai jos îi corespunde prima orbită permisă cu numărul cuantic principal n = 1. Acest nivel va avea energia cea mai mică. Nivelele energetice reprezintă stările ” staţionare “ ale atomului. Atomul aflat în una

din aceste stări nu emite şi nu absoarbe radiaţii.

n=4

n=3

n=2

n=1

În mod normal atomul se găseşte pe nivelul energetic cel mai jos. Dacă atomul absoarbe energie din exterior el poate trece pe unul din nivelele energetice superioare. Un astfel de atom este excitat. Procesul poate decurge şi în sens invers. Atomul excitat poate trece pe nivelul energetic inferior, emiţând în acest timp, conform celui de-al doilea postulat al lui Bohr, o cuantă de energie.

3) Experienţa lui Franck şi Hertz

Concepţia lui Bohr despre existenţa în atom a unor nivele discrete de energie a fost verificate experimental pentru prima oară de Franck şi Hertz.

Aparatul este format dintr-un tub de sticlă în care se introduce elementul de studiat, aflat fie în stare gazoasă, fie în stare de vapori. Electronii emişi de filamentul F sunt acceleraţi de către grila C, de către o diferenţă de potenţial V, care poate fi variată între anumite limite. Anoda A este negativă faţă grila C, deci electronii sunt frânaţi între grilă şi anod. Cei care posedă suficientă energie ajung la anod, iar galvanometrul G indică un anumit curent. Pe măsură ce potenţialul accelator V creşte, numărul electronilor care ajung la anod este mai mare, deci intensitatea curentului

prin G creşte. Determinările experimentale au arătat însă că, pentru anumite valori ale potenţialului V, intensitatea curentului anodic scade brusc.

Între filament şi grilă electronii se ciocnesc cu atomii gazului din tub. În timpul acestor ciocniri electronii comunică atomului o parte din energia lor, determinând trecerea atomului într-o stare excitată. Dar, electronii atomului pot asorbi numai cantităţi bine determinate de energie , corespunzătoare trecerii între diferite nivele energetice.

CF A

+ -

G

- + + -

V 0V

I

0 4,9 2x4,9 3x4,9 V

Dacă energia electronului proiectil, care ciocneşte un electron orbital, este insuficientă pentru a determina trecerea acestuia pe o altă orbită, atunci electronul orbital nu va absorbi această energie. În acest caz ciocnirea este elastică şi energia electronului nu se modifică. Dacă însă energia electronului proiectil este suficient de mare, atunci electronul orbital absorbind o parte din ea, poate trece pe un nivel energetic superior. O astfel de ciocnire se numeşte neelastică, deoarece după ciocnire energia electronului proiectil scade.

Să presupunem că mărim progresiv diferenţa de potenţial V, deci şi energia cinetică a electronilor. Atât timp cât energia lor este mai mică decât cea necesară trecerii atomului de pe un nivel energetic pe altul, ciocnirile sunt elastice, făra absorbţie de energie, curentul anodic creşte.

Experienţa arată că în momentul în care V atinge o anumită valoare kW , curentul anodic începe să scadă. În acest caz au loc ciocniri neelastice

între electronii proiectili şi atomi, energia electronilor proiectil scade şi ca atare ei nu mai pot ajunge la anod; intensitatea curentului anodic scade. Dacă se măreşte tensiunea V în continuare, curentul anodic creşte, deoarece ciocnirile devin din nou elastice. În momentul în care V = 2 kW curentul anodic se micşorează din nou, ceea ce arată că s-au produs din nou ciocniri neelastice.

Experienţa confirmă deci existenţa nivelelor energetice discrete în interiorul atomului.

4) Spectrele atomilor hidrogenoizi după teoria lui Bohr

Prin atom hidrogenoid se întelege un sistem format dintr-un nucleu cu sarcina Ze (Z fiind număr întreg) şi un electron.

Pentru Z = 1 acest sistem reprezintă atomul de hidrogen; pentru Z = 2, un atom de heliu, odată ionizat, +

eH ; pentru Z = 3, un atom de litiu dublu ionizat ++Li . Masa nucleului fiind foarte mare în comparaţie cu a electronului,acesta se poate considera imobil. Dimensiunile nucleului (

m1410− ) şi ale electronului ( m1510− ) fiind foarte mici în comparaţie cu cea a atomului( m1010− ) le putem considera pe ambele drept sarcini punctuale. Pe baza acestor considerente Bohr a determinat razele orbitelor staţionare şi energiile posibile ale electronului atomilor de hidrogenoizi.

-e

+Ze

Electronul se va roti în jurul nucleului pe o orbită circulară de raza nr

,daca forta centrifuga, ce actioneaza asupra sa, devine egala cu forţa culombiană de atractie dintre electron şi nucleu, astfel încât să se asigure stabilitatea dinamică a sistemului.

(13) 2

0

22

4 nn

n

r

Ze

r

mv

πε=

Pe baza primului postulat, mişcarea electronului se poate face numai pe orbitele pentru care:

(14) π2

hnrmv nn =

Din aceste relaţii deducem:

(15) nh

Zevn

0

2

2ε= şi 2

2

02

mZe

hnrn π

ε= (16)

Se observă că razele orbitelor permise 2n≈ . Pentru atomul 2H , Z = 1, raza primei orbitei Bohr are valoarea:

(17)

Aem

har 532,0

2

0

2

001 ===

πε

Energia totală, a unui atom de hidrogen, aflat într-o anumită stare staţionară, va fi egală cu suma dintre energia cinetică şi cea potenţială. Deci:

(18) UTW +=

dar:

222

0

0

42

222

0

42

0

2

0

8422 hn

meZ

hn

eZmvmT n

εε=⋅==

222

0

0

42

2

0

2

0

2

0

2

0

2

44

4 hn

meZ

Zem

hnZe

r

ZeU

n επ

επεπε−=−=−=

Deci energia totală este :

(19) 22

0

42

0

2 8

1

h

eZm

nW

ε⋅−=

Ca şi la oscilatorul armonic, energia ionului hidrogenoid nu poate lua decât un şir discret de valori.

Energia hidrogenoidului are valoarea cea mai mare în starea fundamentală, deci în această stare posedă cea mai mare stabilitate.

În conformitate cu cel de-al doilea postulat al lui Bohr, electronul, trecând de pe orbita n pe orbita k, va radia o cuantă de energie de valoare:

(20)

−=−=

2222

0

42

0,

11

8 nkh

eZmWWh knkn ε

ν

Deci frecvenţa radiaţiei emise este:

(21)

−=

2232

0

42

0,

11

8 nkh

eZmkn ε

ν

Numărul de unde corespunzător pentru atomul de hidrogen este:

(22)

−==

22

11~nk

Rc H

νν , unde ch

emRH 32

0

4

0

8ε=

Introducând valorile corespunzătoare se obţine pentru HR :

(23) 1510737,109 −⋅= mRH

Valoarea obţinută este apropiată de cea experimentală şi diferenţa mai mică dintre acestea a fost explicată de Bohr, datorită faptului că nucleul s-a presupus în repaos în timpul mişcării electronului în jurul său. Dacă se raportează mişcarea la sistemul centrului de masă, înlocuindu-se masa 0m

a electronului cu masa redusă Mm

Mm

+=

0

0µ a sistemului, se obţine pentru HR

o valoare în corcondanţă cu cea experimentală.

5. Insuficienţele teoriei lui Bohr

Teroria lui Bohr a fost dezvoltată în continuare de Sommerfeld care a postulat că, electronii se pot mişca şi pe orbite eliptice în jurul nucleului, care pot avea diferite orientări în spaţiu.

În astfel de condiţii, relaţiile lui Bohr, care exprimă primul postulat, au fost generalizate la forma:

(24) sihndqp iii ,......2,1; ==⋅∫

unde s este numărul gradelor de libertate ale sistemului considerat, iar ,....., 21 nn sunt numere întregi numite numere cuantice. În particular, dacă

mişcarea are loc pe o orbită circulară drept coordonată generalizată se alege unghiul la centru )( 1 ϕϕ =q . Relaţia (24) devine:

hndrvm ⋅=⋅⋅⋅∫π

ϕ2

0 1 sau hnrvm ⋅=⋅⋅⋅ 12π

care este chiar condiţia lui Bohr pentru cazul orbitelor circulare.

r -e

φ

Teoria lui Bohr-Sommerfeld se loveşte însă de o serie de dificultăţi de principiu. În primul rând regulile de cuantificare care stau la baza teoriei sunt introduse artificial şi sunt într-o totală contradicţie cu legile din fizica clasică. Deasemenea nu se poate explica de ce atomul nu radiază energie într-o stare staţionară. Nu pot fi corect explicate spectrele atomilor cu mai mulţi electroni.

Insuccesul teoriei lui Bohr-Sommerfeld în explicarea unor date experimentale se datorează în principiu faptului că ea nu este consecvent clasică. Această teorie a dovedit inaplicabilitatea fizicii clasice în explicarea structurii atomului şi necesitatea introducerii unor legi cuantice în studiul sistemelor microscopice.

Toate aceste dificultăţi sunt înlăturate în mod firesc în cadrul mecanicii cuantice.

II. Mecanică cuantică

O serie de fenomene legate de emisia şi absorbţia radiaţiilor pun în evidenţă caracterul discret al radiaţiei electromagnetice, acest fapt neputând fi explicat pe baza legilor electrodinamicii clasice. Şi alte fenomene legate de comportarea microparticulelor nu îşi găsesc explicaţia în cadrul electrodinamicii clasice. Explicarea acestor fenomene este posibilă numai admiţând dualitatea undă corpuscul.

Particulele ca şi radiaţia prezintă proprietăţi corpusculare şi ondulatorii. Aceste proprietăţi sunt complementare: în unele fenomene apare pregnant caracterul de undă în tip ce în altele se manifestă caracterul corpuscular.

Pentru explicarea fenomenelor atomice era necesară o teorie mai generală care săia în considerare atât caracterul corpuscular cât şi cel ondulatoriu al materiei.

Pornind de la ideea dualităţii undă-corpuscul emisă de Louis de Broglie în 1924, noua teorie a fost dezvoltată în continuare de mari fizicieni ca Schödinger, Heisenberg, Dirac şi alţii, şi se numeşte mecanică cuantică.

În cadrul mecanicii cuantice, starea unui sistem fizic este descrisă prin funcţia de undă a sistemului. Prin urmare aşa cum în mecanica cuantică problema fundamentală este determinarea funcţiei de undă, în mecanica clasică este determinarea poziţiei şi vitezei unui sistem fizic.

În 1926 Schödinger propune o ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale pentru funcţia de undă Ψ asociată particulelor în mişcarea relativistă.

1. Ecuaţia lui Schrödinger

În cele ce urmează se va expune cel mai simplu mod de a obţine ecuaţia lui Schrödinger. Trebuie să se precizeze că nu va fi vorba de o deducere a ei, deoarece orice teorie nouă nu poate fi construită numai pe baza vechiilor teorii. Ecuaţia lui Schrödinger poate fi de exemplu postulată, iar dovedirea valabilităţii ei se poate face prin compararea datelor experimentale cu rezultatele care se aduc cu ajutorul acestei ecuaţii.

Ecuaţia poate fi generalizată şi în cazul propagarii undelor de Broglie:

(1) 2

2

2

),(1),(

t

tr

vtr

∂Ψ∂⋅=∆Ψ

Dacă se consideră o undă monocromatică, atunci soluţia ecuaţiei (1) se poate căuta de forma:

(2) tiertr ω−Ψ=Ψ )(),(

unde )(rΨ reprezintă partea spaţială a funcţiei de undă. Dacă se derivează

(2) în raport cu spaţiul şi timpul, şi se introduc aceste derivate în relaţia (1), atunci:

(3) 2 2 2

2 2 2

2

2

( , ) ( )

( )

i t

i t

r t r ex y z

r et

ω

ωω

−

−

Ψ Ψ Ψ ￬∆Ψ = + + = ∆Ψ

Ψ = − Ψ

r r

r

(4) 0)()(2

2

=Ψ+∆Ψ rv

r ω

sau deoarece λπνπω v⋅== 2

;2 , ecuaţia (4)devine:

(5) 0)(4

)(2

2

=Ψ+∆Ψ rr

λπ

Pentru ca această ecuaţie să descrie, de exemplu, mişcarea unui electron, se înlocuieşte λ, cu expresia lungimii de undă de Broglie corespunzătoare:

(6) pvm

h πλ 2

0

==

Având în vedere şi legea conservării energiei:

(7) .)(2

)(2 0

22

0 constWrUm

prU

vm ==+=+

se poate scrie:

(8) [ ]2

0

2

2

2

2 2)(

4

mrUW

p ⋅−==λπ

Deoarece sistemul este conservativ, U este funcţie numai de coordonate ( )rfU

=

Înlocuind relaţia (8) în relaţia (5) se obţine:

(9) ( )[ ] 0)(2

)(2

0 =Ψ−+∆Ψ rrUWm

r

Determinând din relaţia (9) partea spaţială a funcţiei de undă )(rΨ se

poate obţine pe baza relaţiei (2) funcţia de undă ),( trΨ completă, ce

depinde atât de coordonatele spaţiale cât şi de timp. Înlocuind pe

W=ω ,

relaţia (2) devine:

(10) ( ) )(, retrt

Wi Ψ=Ψ

−

Relaţia (9) poartă denumirea de ecuaţie atemporală sau de amplitudine a lui Schrödinger. Ea nu descrie evoluţia sistemelor în timp ci numai proprietăţile acestora în stări staţionare.

Prin rezolvarea ei se obţin energiile corespunzătoare stărilor staţionare ale sistemului cât şi funcţiile de undă corespunzătoare stărilor respective. Rezolvarea ecuaţiei lui Schrödinger, pentru anumită particulă, duce la obţinerea unui şir discret de energii: 1W , 2W ,............. nW , ceea ce demonstrează cuantificarea energiei.

În cazul în care sistemul nu se află în stari staţionare, ci variază în timp trebuie folosită altă ecuaţie, ecuaţia lui Schrödinger dependentă de timp. Pentru a obţine această ecuatie, este necesar ca în ecuaţia (9) să se elimine energia W care joacă rolul unui parametru constant. În acest scop scriem ecuaţia atemporală a lui Schrödinger sub forma:

(11) 0)(2

)(0

2

=Ψ

−∆+Ψ tU

mtW

Din (10) se obţine :

),()( trWi

erW

it

tW

i

Ψ⋅−=Ψ−=

∂Ψ∂ −

Deci: (12) ),( trW

it

Ψ−=

∂Ψ∂

rezultă: (13) ti

iWt∂Ψ∂⋅−=Ψ

)(

Înlocuind (13) în (11) se obţine:

(14) 0)(2 0

2

=Ψ

−∆+

∂∂⋅− tU

mti

Relaţia (14) reprezintă ecuaţia lui Schrödinger dependentă de timp. Această ecuaţie are un caracter mai general şi este utilă pentru descrierea proceselor în care energia potenţială U este o funcţie, nu numai de coordonate dar şi de timp.

Se observă că trecerea de la ecuaţia staţionară (9) la ecuaţia nestaţionară (13) este echivalentă în fapt cu înlocuirea simplă a energiei W

prin mărimea t

i∂∂

, numită în mecanica cuantică operatorul energie şi

notat W .

(15) t

iW∂∂= ˆ

Un alt operator important, în mecanica cuantică, este şi operatorul impuls:

(16) rii

hp

∂∂⋅≡∇⋅=ˆ

Cercetările legate de interpretările funcţiei de undă Ψ au condus la acceptarea interpretării statistice a lui Max Born. Pentru a întelege acastă interpretare să considerăm un exemplu: fie un electron punctiform care se mişcă în jurul nucleului. Să fixăm în anumite momente succesive (Δt =

constant), poziţia electronului în apropierea nucleului. Se obţin în spaţiu o serie de puncte nAA .,.........1 care indică poziţia electronului. Repetând aceste operaţii de multe ori, putem să ne închipuim că ele formează un nor electronic care înconjoară nucleul.

Cu cât densitatea norului este mai mare într-o regiune, cu atât mai des se va afla electronul in acea regiune.Deci densitatea norului electronic ne dă probabilitatea ca electronul să fie în domeniul respectiv.

Functia de undă Ψ este în legătură cu această probabilitate. Probabilitatea ca electronul să se afle într-un anumit domeniu de volumul dV din spaţiu, din jurul unui punct P(x, z, y) este dată de pătratul valorii absolute a lui Ψ în punctul respectiv:

(17) dVtr2

),(Ψ

Cum Ψ este în general complexă: *2 Ψ⋅Ψ=Ψ . Probabilitatea ca electronul să se afle în spaţiu se gaseşte prin integrarea relaţiei (17) peîntreg spaţiu. Întrucât, undeva în spaţiu, electronul trebuie să fie în orice moment, această valoare devine certitudinea şi valoarea ei este 1.

(18) 1* =Ψ⋅Ψ∫ dV

Prin urmare, mecania cuantică este o teorie statistică. Ea ne dă densitatea de repartiţie a norului electronic, adică probabilitatea ca o particulă să se gasească într-un anumit domeniu din spatiu.

2. Aplicaţii ale mecanicii cuantice

a) Particula în groapa de potenţial Presupunem o microparticulă aflată într-o groapă de potenţial unidimensională de largime l, caz în care energia potenţială ia următoarele valori:

(19)

0

0

, . 0( )

( ) 0, .0 ( )

, . ( )

U pt x domeniul I

U x pt x l domeniul II

U pt l x domenul III

− < < −￬= < < − < < −

De exemplu, un electron dintr-un atom, poate fi considerat ca o particulă într-o groapă de potenţial de acest gen, sau în cazul clasic o particulă închisă intr-o cutie plată.

U(x)

I 0U

0U

II W III

x 0 l

Particula care se află în groapa de potenţial are energia W < 0U .

pentru domeniul II ecuaţia lui Schrödinger se scrie:

(20) 02

22

0

2

2

2

=Ψ+ΨW

m

dx

d

Soluţia ecuaţiei diferenţiale de gradul II cu coeficienţi constanţi se exprimă sub forma:

(21) xWm

i

eCeCxxWm

i ⋅−

+=Ψ⋅− 02

0 '

2

2

22 )(

sau:

(22) xWm

BxWm

Ax2

022

022

2cos

2sin)(

+=Ψ

deci:

xBxAx αα cossin)( 222 +=Ψ

În domeniile II şi III ecuatia lui Schrödinger se va scrie:

(23) 03,102

0

2

3,1

2

0;0)(2

UWUWm

dx

d<<=Ψ−+

Ψ

iar soluţiile ei sunt de forma:

(24) xx eBeA ⋅−⋅ +=Ψ αα3,13,13,1

unde:

2

00

2

00 )(2)(2

WUmmWm −=+−=α

Din relaţia (24) se observă că funcţia de undă conţine doi termeni exponenţiali: unul crescător, altul descrescător. Din acest motiv trebuie să se aleagă numai astfel de valori pentru W, pentru care termenul crescător în interiorul barierei de potenţial (I, II) să lipsească.

În acest scop se impune ca în domeniul I (x < o), coeficientul 1B = 0, iar domeniul III ( x > l), coeficientul 03 =A . Ca urmare soluţiile în aceste domenii se vor scrie:

(25) xx eBeA ⋅−⋅ =Ψ=Ψ αα3311 ;

Ψ(x)

Soluţia crescătoare

I 0U

Soluţia descrescătoare 0U

II W III W<U W>U W<U

x 0 e

În cele ce urmează vom simplifica problema considerând o groapă de potenţial cu pereţii infiniţi, adică 0U → ∞. Atunci α → ∞ şi soluţiile (25) devin:

(26) 0;0 31 =Ψ=Ψ

Dar la frontierele dintre regiuni, funcţia de undă Ψ trebuie să fie continua, deci:

(27) 0;0 )(2)(2 =Ψ=Ψ == lxox

Funcţia de undă (22) satisface aceste condiţii, dacă:

(28) 02 =B şi 02

sin2

0 =⋅ lWm

Din relaţia (28) rezultă:

222

2

0

2

0 2......3,2,1;

2 ππ ⋅=⋅⇒==⋅ nlWm

nnlWm

(29)

Din relaţia (29) rezultă că energia poate lua numai anumite valori discrete şi anume:

(30) 2

0

222

2 lmnWn

π=

Aceste valori determină nivelele energetice ale particulei. Deci energia particulei în groapa de potenţial este cuantificată, cea mai joasă

valoare pe care o poate lua energia particulei va fi: 2

0

22

1 2 lmW

π= denumită

energia stării fundamentale. Distanţa dintre nivelele de energie ale unei particule aflate într-o groapă de potenţial creşte atunci când l scade.

(31) xl

nAx n

πsin)( =Ψ

Dacă presupunem că particula din groapa de potenţial este un electron kgm 31

0 101,9 −⋅= , iar groapa de potenţial are largimea l = 1 cm, atunci distanţa dintre cele 2 nivele energetice consecutive va fi:

jnm

hWWW nnn

35

431

234

4

0

2

1 10003,0)12(10101,98

)106,6(

108−

−−

−

−+ ⋅≅+⋅⋅⋅

⋅=⋅

=−=∆

Deci, pentru l = 1 cm, distanţa dintre două nivele energetice consecutive este atât de mică încât se poate spune că spectrul de energie este continuu.

Să presupunem acum că, lărgimea gropii de potenţial este de ml 910−= (de ordinul dimensiunilor atomice).

În acest caz distanţa dintre două nivele energetice consecutive va fi:

jWn

15

1831

234

100310,0101098

)106,6( −−−

−

⋅=⋅⋅⋅

⋅=∆

Aceste distanţe sunt pe deplin sesizabile.

În concluzie, în practica obişnuită, efectele cuantice nu sunt observabile şi din acest motiv mecanica clasică (newtoniană) se aplică cu rezultate bune.

Constanta A din relaţia (31) se poate obţine cu ajutorul condiţiei de ortonormare:

12 =Ψ∫+∞

∞−dx

dxl

xn

A

dxl

xnA

ln

l

n

π

π

∫

∫

=⇒

=

0

2

2

0

22

sin

1

1sin

Dar:

lA

l

ln

l

xn

xdxl

xn

dxl

xn

n

l

lll

2

22

2sin

2

1

2

2cos1sin

0

000

2

=⇒

=−=−

= ∫∫ π

πππ

(32) xl

n

lxn

πsin

2)( =Ψ

Valorile energiei W calculate cu relaţia (30) şi ale funcţiei de undă calculate cu relaţia (31) se numesc valori proprii ale energiei respectiv funcţii proprii.

Pentru n = 1 rezultă nivelul energetic fundamental:

2

22

1 2mlW

π= ; 12 4WW = ; 13 9WW =

În mod corespunzător pentru funcţiile proprii se obţine:

xll

xll

xll

π

π

π

3sin

2

;2

sin2

;sin2

3

2

1

=Ψ

=Ψ

=Ψ

Valorile proprii ale energiei nW şi funcţiile nΨ din interiorul gropii de potenţial pot fi redate astfel:

W

3Ψ 3W

2Ψ2W

1Ψ 1W x

lDin reprezentarea grafică se observă că ele sunt analoage soluţiilor

ecuaţiilor corzii vibrante fixate la capete, în lungul căreia se formează unde staţionare. Cazul n = 1 corespunde tonului fundamental, cazul n = 2 primei armonice şi aşa mai departe.

Fiecare dintre funcţiile de undă nΨ determină o stare a particulei sau a sistemului în general.

b) Trecerea particulei printr-o barieră de potenţial. Efectul tunelSe consideră o particulă care, mişcându-se de la stânga la dreapta cade

pe o barieră de potenţial de înălţime 0U şi lărgime l. U(x)

unda incidentă 0U

I III unda transmisă

W unda

reflectată II x

I IIIII

h

v

Din punct de vedere clasic particula are următoarea comportare. Dacă energia particulei este mai mare decât înălţimea barierei (W > 0U ), particula trece peste barieră, întocmai cum o particulă cu energia cinetică

mghmv >

2

2

Dacă W < 0U (cazul prezentat) particula este ”reflectată“ de barieră schimbându-şi sensul de mişcare; prin barieră particula nu poate trece.

Din punct de vedere al mecanicii cuantice, particula se comportă astfel. În primul rând chiar şi pentru W > 0U , există o probabilitate diferită de 0 ca particula să fie reflectată. În al doilea rând pentru W < 0U există probabilitatea diferită de zero ca particula să treacă prin barieră şi să ajungă în domeniul x > l.

O astfel de comportare a microparticulelor, imposibil de explicat din punct de vedere clasic, rezultă direct din ecuaţia lui Schrödinger.

Se consideră cazul W < 0U . Ecuaţia lui Schrödinger pentru domeniile I şi III este:

(33) 02

3,12

0

2

3,1

2

=Ψ+Ψ

Wm

dx

d

pentru domeniul II, unde W - 0U < 0:

(34) 0)(2

202

0

2

2

2

=Ψ−+ΨUW

m

dx

d

Soluţiile generale ale acestor ecuaţii sunt:

(35)

−→+=Ψ−→+=Ψ−→+=Ψ

−

−

−

IIIdomeniulpteBeA

IIdomeniulpteBeA

IdomeniulpteBeA

ikxikx

xx

ikxikx

.

.

.

333

222

111

αα

unde:

(36) 2

02 2

Wmk = şi )(

202

02 WUm −=

α

Soluţia de tipul ikxe corespunde unei unde care se propagă în sensul pozitiv al axei 0x, iar soluţia ikxe− unei unde se propagă în sens contrar.

În domeniul III există numai unda, care a trecut de barieră şi se propagă de la stănga la dreapta. Ca urmare 03 =B . Pentru a determina şi ceilalţi coeficienţi se folosesc condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească funcţia Ψ. Din condiţiile de continuitate a Ψ şi Ψ' rezultă:

(37)1 2 2 3

' ' ' '

1 2 2 3

(0) (0); ( ) ( )

(0) (0); ( ) ( )

l l

l l

Ψ =Ψ Ψ =ΨΨ =Ψ Ψ =Ψ

adică:

(38)

=−−=−

=++=+

−

−

iklll

iklll

eikAeBeA

BAikBikA

eAeBeA

BABA

322

2211

322

2211

αα

αα

αααα

Divizând toate ecuaţiile cu 1A şi introducând notaţiile:

(39) kn

A

Aa

A

Bb

A

Aa

A

Bb

α===== ;;;;1

33

1

22

1

22

1

11

se obţine un sistem de patru ecuaţii pentru mărimile 2132 ,,, bbaa .Raportul pătratelor modulelor amplitudinilor undelor reflectată şi

incidentă:

(40) 2

12

1

2

1 bA

BR ==

determină probabilitatea de reflexie a particulei de bariera de potenţial şi se numeşte coeficient de reflexie.

Raportul pătratelor amplitudiniloor undelor transmisă (care a trecut de barieră) şi incidentă:

(41) 2

32

1

2

3 aA

AD ==

determină probabilitatea de a trecere a particulei prin barieră şi se numeşte coeficient de trecere. Dacă rezolvăm sistemul se obţine pentru coeficientul de trecere, expresia:

(42) lWUmeeD l ⋅−=≅−− )(2 00

22 α

Această expresie arată că există o probabilitate anumită ca dintr-un număr de particule ce întălnesc o barieră de potenţial, o parte să treacă prin barieră ca printr-un tunel, de unde şi denumirea de efect tunel a acestui fenomen.

Efectul tunel a fost descoperit în anul 1928 de Gamov, Condon şi Gurmey şi pe baza lui se pot explica emisia la rece a electronilor din metale, dezintegrarea α şi alte fenomene.

c) Atomul de hidrogen

În atomul de hidrogen un singur electron se mişcă în câmpul de forţe a nucleului atomic. Acest câmp de forţe are o simetrie sferică. Energia electronului, potentială, depinde numai de distanţa până la centru de atracţie, nucleul, care se presupune a fi plasat în originea sistemului de coordonate.

În tratarea acestei probleme se vor face doua ipoteze:1) nucleul este în repaos faţă de un sistem de referinţă inerţial.Nucleul atomic având masa mai mare decât a electronului, centru de

masă nucleu – electron coincide cu nucleul.2) câmpul electric al nucleului va fi asimilat cu câmpul electric creat

de o sarcină punctiformă, aceasta datorită dimensiunilor foarte mici ale nucleului )10( 14 m− în comparaţie cu distanţa electron – nucleu )10( 10 m− .

Mişcarea electronului în jurul nucleului este determinată de interacţiunea culombiană dintre electron şi nucleu, care se manifestă ca o forţă de atracţie asupra electronului şi a carei expresie este dată de legea lui Coulomb.

(43) 20

2

4 r

eF

πε=

r = distanţa electron – nucleu0ε = permitivitatea vidului

+e F

-enucleu r

Energia potenţială a electronului în acest câmp va fi:

(44) ∫∞ −=⋅−=r

r

erdFrU

0

2

4)(

πε

Relaţiile de mai sus deomonstrează existenţa unui câmp de forţe centrale cu simetrie sferică.

Pentru a determina stările staţionare ale unui atom de hidrogen se va folosi ecuaţia lui Schrödinger independentă de timp, care se va scrie sub forma:

(45) 04

2

0

2

2

0

2

2

2

2

2

2

=Ψ

++

∂Ψ∂+

∂Ψ∂+

∂Ψ∂

r

eW

m

zyx πε

Datorită simetriei sferice a câmpului de forţe al nucleului se consideră un sistem de coordonate sferice (r, θ, φ) cu originea în punctul în care se află nucleul.

z

P -e

r

θ

+e y

φ P'

x

Legătura cu coordonatele carteziene este dată de relaţiile:

(46)

===

θϕθϕθ

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

Ecuaţia lui Schrödinger în cooordonate sferice devine:

(47)

04

22

sin

1

sinsin11

0

2

2

0

2

2

22

2

2

2

=Ψ

++

∂Ψ∂⋅

+

∂Ψ∂

∂∂⋅+

∂Ψ∂

∂∂+

r

eW

m

r

rrr

rr

πεϕθ

θθ

θθ

Această este o ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale în privinţa funcţiei de undă Ψ a electronului care se mişcă în câmpul nucleului. Se va determina comportarea electronului dacă se va impune funcţiei de undă Ψ. condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească pentru a avea un sens fizic ( să fie continuă, univocă, mărginită ). Soluţia ecuaţiei (47) poate fi exprimată sub forma unui produs de 3 funcţii şi anume:

(48) )()()(),,( ϕθϕθ Φ⋅⋅=Ψ HrRr

În aceste condiţii ecuaţia (47) este echivalentă cu următoarele 3 ecuaţii:

(49) 02

2

=Φ+Φa

d

d

ϕ

(50) 0sin

sinsin

12

=

−+

⋅ H

ab

d

dH

d

d

θθθ

θθ

(51) 04

212

0

2

2

02

2=

−

++

⋅ R

r

b

r

ZeW

m

dr

dRr

dr

d

r πε

unde a şi b sunt două constante ce urmează să fie determinate. În acest fel ecuaţia lui Schrödinger pentru ionii de hidrogen se reduce la rezolvarea a trei ecuaţii, fiecare într-o singură variabilă.

Din rezolvarea ecuaţiei (49) se găseşte că ea admite soluţii care să aibă sens fizic numai dacă constanta 2ma = , unde m este un număr întreg, adică:

(52) m = 0, ± 1, ± 2,..........

m a fost numit număr cuantic magnetic aal electronului.Ecuaţia (50) admite soluţii cu proprietăţile sus menţionate dacă

constanta b = l(l+1), unde l este un număr întreg cel puţin egal cu m , adică ml ≥ . Combinând cele 2 rezultate obţinem:

(53) m = 0, ± 1, ± 2,..........± l

Numărul întreg l a fost denumit numar cuantic orbital.În sfârşit ecuaţia (51) admite soluţii numai când nW este de forma:

(54) 22

0

4

2 8

1

h

em

nW e

n ε⋅⋅−=

unde n este număr întreg pozitiv numit număr cuantic principal. Expresia (54) corespunde valorii obţinute şi în teoria lui Bohr. Din relaţia scrisă rezultă că valoarea energiei depinde numai de numărul cuantic principal, în timp ce funcţia de undă depinde de toate cele 3 numere cuantic: n, m , l.

Diferitele valori posibile ale energiei nW ( n = 1, 2, 3........) se numesc nivele energetice, iar faptul că energia poate lua valori discrete ne determină să presupunem că energia este cuantificată. Dacă la aceeaşi valoare a energiei corespund mai multe funcţii proprii liniar independente, starea sistemului (nivelul energetic respectiv) este degenerată. În afară de starea fundamentală n = 1, celelalte stări din atomul de hidrogen sunt degenerate.

Pentru un număr cuantic n dat, numărul cuantic orbital l ia valorile:

l = 1, 2, 3 ............n-1

Pentru fiecare valoare a lui l, numărul cuantic magnetic m poate lua valorile:

m = -l, -l+1, ...........0, 1, 2,.........+l

adica în total ( 2 l + 1) valori.

d) Teoria cuantică a momentului cinetic orbital

Fiecărei mărimi fizice măsurabilă experimental din mecanica clasică îi corespunde în mecanica cuantică un operator. În cazul vectorului moment cinetic orbital L

, operatorul vectorial corespunzător este:

)ˆ(;ˆˆˆ rrprLprL

≡×=⇒×=

(55) ∇×= ri

L

Pentru a determina valorile posibile ale momentului cinetic orbital al electronului, ne vom folosi de partea radială (51) a ecuaţiei lui Schrödinger, referitoare la atomul de hidrogen. În această ecuaţie radială vom exprima energia cinetică a atomului sub forma unei sume de 2 termeni, în care cel de-al doilea se referă la mişcarea orbitală a electronului şi anume:

(56)

2 2

2

02 2

mr LT

m r= +&

L = momentul cinetic orbital al electronului şi are valoarea:

2

00 rmvrmL ω==

Energia totală W va fi:

(57) Urm

LrmUTW ++=+=

2

0

22

22

iar ecuaţia radială (51) devine:

(58) 0)1(

22

2122

0

22

2

02 =

−−

++

⋅ R

r

ll

rm

Lrmm

dr

dRr

dr

d

r

Ecuaţia radială (58) ar trebui să depindă numai de r. Datorită

termenului 20

2

2 rm

L ea depinde şi de variabila φ prin intermediul lui L. Pentru

a înlătura dependenţa de variabila φ, vom presupune că:

(59) 0)1(

2

222

0

2

2

0 =−−⋅r

ll

rm

Lm

Deducem de aici că valorile posibile ale momentului cinetic orbital al electronului sunt:

(60) 1.........2,1,0;)1( −=⋅+== nlllLL

Din relaţia (60), deducem că în mecanica cuantică momentul cinetic orbital L

este o mărime cuantificată, care poate lua un şir discret de valori, determinate la randul lor de numărul cuantic orbital l.

Pentru a determina complet momentul cinetic orbital L

, trebuie să mai cunoaştem şi diferitele sale orientări în spaţiu.

Aceste orientări se vor cunoaşte dacă se pot determina diferite valori ale proiecţiei momentului cinetic L

pe o anumită axă oz.

zyx

zyx

kji

iL

∂∂

∂∂

∂∂

⋅=

(61) ix

yy

xLz

⋅

∂∂−

∂∂=ˆ

Dacă efectuăm calculul complet obţinem:

(62) mLz =

unde m poate lua (2l + 1)valori, adică: m = 0, ± 1, ............± lPutem spune deci, că, in mecanica cuantică vectorul moment cinetic

poate avea (2l + 1) orientări diferite în spaţiu.Numărul cuantic orbital caracterizează marimea momentului cinetic

orbital, în timp ce numărul cuantic magnetic, caracterizează proiecţia momentului cinetic pe direcţia z. Orientarea în spaţiu a momentului cinetic este cuantificată.

Z

m = 1

=ZL

m = 0

L

−=ZL m = -1

e) Momentul magnetic al electronului

În teoria clasică a electromagnetismului, electronul în mişcarea sa orbitală în jurul nucleului este asimilat cu un mic curent circular. Intensitatea acestui curent este:

(63) πων

2

ee

T

e

t

QI ====

unde ω este viteza unghiulară de rotaţie a electronului.Momentul magnetic creat de un curent circular se exprimă ca produsul

dintre intensitatea curentului şi suprafaţa determinată de acest curent.

(64)

2

2 0

02 2

e m reI S r

m

ωωµ ππ

= = =

L

+e U

r

-e

µ

Deoarece momentul cinetic orbital L corespunzător mişcării electronului pe orbita ciculară este:

⇒== 2

00 rmvrmL ω

(65) Lm

l

02=µ

Electronul având o sarcină electrică negativă, momentul magnetic orbital este antiparalel cu momentul orbital şi atunci relaţia (65) se scrie sub forma:

(66) Lm

l

02−=µ

Operatorul moment magnetic în mecanica cuantică va fi :

(67) Lm

l ˆ2

ˆ0

−=µ

Pe baza acestei relaţii putem deduce că mărimea vectorului moment magnetic orbital poate lua valorile:

(68) )1(22 00

+=== llm

eL

m

e µµ

Mărimea 02m

eB

=µ se numeşte magnetonul Bohr-Procopiu şi are

valoarea .1027,9 224 AmB

−⋅=µ În mecanica cuantică aşa după cum reprezintă o unitatea naturală pentru momentele cinetice, magnetonul Bohr - Procopiu este o unitatea naturală pentru momentele magnetice.

Mărimea momentului magnetic orbital este cuantificată, putând lua numai anumite valori determinate de numărul cuantic l. Proiecţia momentului magnetic orbital pe o axă, de exemplu oz poate lua valorile:

(69) zz Lm

e

02−=µ

adică:

(70) Bz mmm

e µµ −=−= 02

unde m ia (2l + 1) valori. Deci, diferitele orientări în spaţiu ale vectorului moment magnetic orbital sunt cuantificate de numărul m, care se numeşte număr cuantic magnetic orbital.

Să presupunem că plasăm un atom de hidrogen într-un câmp magnetic exterior uniform şi de inducţie B

. Datorită momentului său magnetic

orbital, electronul în mişcarea sa orbitală se comportă ca un dipol magnetic şi care în interacţiunea sa cu B

are o energie potenţială:

(71) θµµ cosBBUU magB ⋅−=⋅−==

Energia totală a electronului dintr-un atom de hidrogen, situat într-un câmp magnetic exterior uniform va fi:

θµε

cos8

122

0

0

4

2B

h

me

nUWW magn −⋅⋅−=+=

Bz mµθµµ −== cos

(72) Bmh

me

nW B ⋅+⋅−= µ

ε 22

0

0

4

2 8

1

Din relaţia de mai sus se pot determina nivelele energetice posibile ale electronului atomului de hidrogen situat în câmp magnetic uniform de inducţie B

. Deoarece pentru un număr cuantic dat l corespund (2l + 1)

valori posibile ale numărului cuantic m, rezultă că într-un câmp magnetic exterior, fiecare nivel de energie al electronului dintr-un atom izolat se va despica în 2l+1 subnivele.

1l = 1 p

0

-1

l = 0 s

-1 0 1

2

1l = 2 d

0 -1

-2

1l = 1 p

0 -1

În figură am redat tranziţiile pentru nivelele s, p, d. Pentru starea s (l = 0) momentul cinetic orbital fiind nul şi momentul magnetic orbital va fi nul. Ca urmare starea s nu va fi influentata de prezenta unui câmp magnetic exterior. Nivelul corespunzător stării p (l = 1) va fi despicat în câmpul magnetic exterior în 3 nivele egal distanţate corespunzătoare numerelor cuantice m ; -1, 0, +1.

Tranziţia în câmpul magnetic exterior între stările p → s va deveni în câmpul magnetic exterior o tranziţie de triplet. Distanţa dintre nivelele energetice apărute prin despicarea în câmp magnetic exterior are valoare constantă.

Bm

ehW ⋅=∆

04π

Rezultă că la introducerea atomului de hidrogen în câmp magnetic exterior, pe lângă linia de frecvenţă 0ν , care era prezenta în absenţa câmpului magnetic, mai apar două linii spectrale egal deplasate faţă de 0ν , astfel încât cele 3 frecvenţe vor fi:

(72) 0

010

0

01 4;;

4 m

eB

m

eB

πννν

πνν +=−= +−

Tranziţia dintre stările d → p în câmp magnetic este tot o stare de triplet. Ca urmare fiecare linie spectrală a unui atom hidrogenoid într-un câmp magnetic exterior, devine triplet. Acest fenomen a fost observat pentru prima dată în 1896 de către Zeemann, primind denumirea in cinstea acestuia de efect Zeemann.

f) Spinul electronului

Pe lângă masa de repaos şi sarcina sa, spinul electronului este de asemeni o caracteristică proprie a electronului. Introducerea momentului cinetic de spin al electronului a fost determinată de unele observaţii experimentale, care nu puteau fi explicate pe baza ecuaţiei lui Schrödinger.

Dacă se cercetează despicarea liniilor spectrale când atomul se află într-un câmp magnetic exterior s-a observat că în unele cazuri pot apare mai mult de 3 linii sau că cele trei linii nu sunt echidistante. Acest aspect constitue efect Zeemann anormal care de asemenea nu se poate explica cu ajutorul ecuaţiei lui Schrödinger.

Pentru a explica aceste observatii experimentale se emite ipoteza că electronul posedă pe lângă momentul său cinetic orbital şi un moment cinetic propriu de spin s

şi corespunzător un moment magnetic de spin. Se

introduce astfel ipoteza spinului. Astfel, momentul cinetic total j

al electronului va fi:

(73) sLj

+=

În mecanica cuantică se arată că momentul cinetic de spin s

are proprietăţi asemănătoare cu cele ale momentului cinetic orbital L

şi anume

mărimea momentului cinetic de spin este cuantificată, adică:

(74) ⋅+= )1(sss

unde s

este număr cuantic de spin, în cazul electronului 2

1=s . Proiecţia

momentului cinetic de spin pe direcţia câmpului magnetic este dată de relaţia:

(75) sz ms =

care exprimă faptul că orientările posibile ale vectorului moment cinetic de spin s

, sunt determinate de numărul cuantic magnetic de spin sm ce poate

lua (2 s + 1) valori.

În cazul electronului sm ia doar 2 valori 2

1±=sm . Cele 2 valori ale lui

sm corespunde celor 2 orientări posibile ale momentului cinetic de spin faţă de directia câmpului magnetic aplicat.

z

2

1+=sm

2

1−=sm

Aceste orientări sunt numite paralele sau antiparalele sau cu spinul în sus sau cu spinul în jos. Existenţa spinului a fost pusă în evidenţă experimental de către Stern şi Gerlach.

g) Momentul magnetic total al electronului

S-a constatat că momentului cinetic orbital îî corespunde un moment magnetic orbital Lµ exprimat de operatorul:

(76) Lme

L

ˆ2

ˆ0

−=µ

În mod analog momentului cinetic de spin îî corespunde un moment magnetic de spin

(77) sgm

ess

ˆ2

ˆ0

⋅−=µ

Factorul sg care apare în (77) se numeşte factor giromagnetic. Pentru electron 2=sg . Se poate defini momentul magnetic total ca suma dintre momentul magnetic orbital şi momentul magnetic de spin.

(78)

⋅+−=+= sgLm

essL

ˆˆ2

ˆˆˆ0

µµµ

În cazul electronului momentul magnetic total devine:

(79) )ˆ2ˆ(2

ˆ0

sLm

e +−=µ

care se mai poate scrie:

(80) )ˆˆ(2

ˆ0

sjme +−=µ

Momentul cinetic total j

este cuantificat la fel ca şi L

şi s

(81)

⋅+= )1( jjj

unde j

este numărul cuantic intern corespunzător momentului cinetic total. În cazul electronului:

2

1±= lj

Valoarea medie a momentului magnetic total µ

reprezintă proiecţia momentului magnetic total pe direcţia vectorului j

, iar valoarea sa se

deduce ca fiind dată de expresia:

(82) jgm

emediu

⋅−=02

µ

unde:

(83) )1(2

)1()1()1(1

++−++++=

jj

llssjjg

şi se numeste factorul Landé.

h) Interacţiunea spin – orbită

În cazul atomului de hidrogen, momentul cinetic orbital L

al electronului se cuplează cu momentul cinetic de spin reprezentând aşa cum s-a arătat momentul cinetic total j

.

sLj

+=

Energia electronului corespunzătoare interacţiunii spin - orbită este:

(84) LsWSL

⋅⋅=α

α este o constantă care determină mărimea interacţiunii. Ca urmare energia totală a electronului va fi:

(85) SLn WWW +=

Energia de interacţiune spin – orbită, despică fiecare nivel în două nivele foarte apropiate, deoarece s

nu poate avea decât 2 orientări faţă de

L

. Un nivel corespunde la L

şi s

paraleli, 2

1+= lj şi altul corespunde la

L

şi s

antiparaleli 2

1−= lj .

Perechea de nivele astfel apărută se numeşte dublet. Nivelul corespunzător starii s (l = 0) rămâne neschimbat.

d

2

5=j

l =2

2

3=j p

2

3=j

l = 12

1=j

s

l = 02

1=j