Embed Size (px)
Citation preview
Fizika 1 za Informatiku - Elektricitet i magnetizam
ZK
21.4.2011 17:26:30
1
SADRZAJ 2
Sadrzaj
I Elektricitet i magnetizam 3
1 Elektricno polje 31.1 Osobine elektricnog naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Coulombov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Elektricno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Elektricno polje kontinuirane distribucije naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Linije elektricnog polja–silnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Gaussov zakon 72.1 Elektricni tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Elektricni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Razlika potencijala i elektricni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Razlika potencijala u jednolikom elektricnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Elektricni potencijal i potencijalna energija tockastih naboja . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.4 Izracunavanje vrijednosti elektricnog polja iz elektricnog potencijala . . . . . . . . . . . . 112.2.5 Elektricni potencijal od kontinuirane distribucije naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Kapacitet i kondezator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.1 Spajanje kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 Energija spremljena u nabijeni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Struja i otpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.1 Elektricna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Mikroskopski model struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Otpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7 Otpor i temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8 Supravodljivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.9 Elektricna snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.10 Krug istosmjerne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.10.1 Serijski i paralelni spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.10.2 Uredaji za mjerenje elektriciteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.11 Kratka pitanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.12 Magnetizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.13 Magnetno polje i sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.14 Magnetna sila na vodic kojim tece struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.15 Izvori magnetnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.15.1 Biot-Savartov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.15.2 Magnetno polje izmedu dvaju paralelnih vodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.15.3 Magnetni tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.15.4 Magnetno polje Zemlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.16 Faradayev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.16.1 Faradayev zakon indukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.16.2 Maxwellove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.17 Izmjenicna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.17.1 Izvori izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.17.2 Otpori u krugu izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.17.3 Zavojnica u izmjenicnom krugu struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.17.4 Kondenzatori u krugu izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.17.5 RLC krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.18 Elektromagnenti valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.18.1 Brzina elektromagnetnih (EM) valova u vakuumu i u sredstvu . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3
Dio I
Elektricitet i magnetizamZakoni elektriciteta i magnetizma imaju osnovnu ulogu u uredajima poput radija, televizije, elektromotora,racunala . . . . Na osnovnijem nivou sile medu atomima i molekulama su elektromagnetske.
Magnetizam je opazen u Kini oko 2000. godine prije nove ere. Stari su Grci opazali elektricne i magnetskefenomene oko 700. godine BC. Rijec elektricitet dolazi od elektron, grcke rijeci za ‘jantar’. Rijec magnet dolaziod Magnesia, imena oblasti u Grckoj gdje je magnetit prvi put pronaden.
1 Elektricno polje
Elektromagnetska sila medu nabijenim cesticama je jedna od osnovnih sila prirode.
1.1 Osobine elektricnog naboja
Postoje dvije vrste elektricnog naboja koje je Benjamin Franklin (1706.–1790.) nazvao pozitivnim i negativ-nim.
Istoimeni naboji se odbijaju, raznoimeni se privlace.Elektricni naboj je uvijek ocuvan u izoliranom sustavu.Robert Millikan (1868.–1953.) je 1909. otkrio da je elektricni naboj kvantiziran, uvijek se javlja kao
cjelobrojni umnozak osnovnog naboja e = 1.60219 · 10−19 C, gdje je C SI jedinica za naboj. Tj. q = Ne, gdjeje N neki cijeli broj. Naboj −e ima elektron, a +e proton.
1.2 Coulombov zakon
Charles Coulomb (1736.–1806.) mjerio je silu izmedu dva naboja i dosao do sljedece formule za Coulombovusilu izmedu dva tockasta naboja:
FC = kq1q2r2
r0, k =1
4πε0= 8.9875 · 109 Nm2/C2. (1.1)
Primjer 1.1. Omjer elektricne i gravitacijeske sile izmedu protona i elektrona je FC/Fg = 2 · 10−39.
1.3 Elektricno polje
Elektricno polje Koncept polja razvio jeMichael Faraday (1791.–1867.) u vezi s elektricnim silama. Elektricnopolje postoji u oblasti oko nabijenog objekta – izvora–naboja. Kad se drugi nabijeni objekt – testni naboj –nade u tom elektricnom polju na njega djeluje elektricna sila. Definiramo elektricno polje zbog naboja izvorana mjestu testnog naboja elektricnom silom na testni naboj po jedinici naboje, ili
Def. 1.1. Elektricno polje E u nekoj tocki prostora definira se kao elektricna sila Fe koja djeluje na pozitivnitestni naboj q0 smjesten u toj tocki podijeljenoj s testnim nabojem:
E ≡ Fe
q0. (1.2)
Zapazite da je polje E polje zbog naboja ili distribucije naboja u koje ne ulazi testni naboj. Takoder,zapazite da je postojanje polja osobina izvora, a prisustvo testnog naboja nije nuzno. Testni naboj je detektorelektricnog polja.
Iz izraza za silu vidimo da je elektricno polje tockastog naboja q jednako
E = kq
r2r. (1.3)
1 ELEKTRICNO POLJE 4
Ukupno polje zbog grupe naboja izvora jednako je vektorskoj sumi elektricnih polja svih naboja:
E = k
N∑i=1
qir2i
ri, (1.4)
gdje je ri udaljenost i. izvora naboja qi od tocke P , a ri = ri/ri je jedinicni vektor sa smjerom od qi prema P .Za kontinuiranu raspodjelu naboja
E = k lim∆qi→0
∑i
∆qir2i
ri = k
∫dq
r2r. (1.5)
gdje se integrira preko cijele raspodjele naboja.
Kviz 1.1. Testni naboj od +3 µC nalazi se u toci P gdje je elektricno polje usmjereno nadesno i ima velicinu4 · 106 N/C. Ako se testni naboj zamijeni drugim od −3 µC, elektricno polje u P
(a) se ne mijenja;
(b) obrne smjer;
(c) ne moze se odrediti.
Slika 1: Linije elektricnog polja tockastog naboja: (a) za pozitivni, (b) za negativni tockasti naboj.
Primjer 1.2. Elektricni dipol je sistem od naboja q i −q na udaljenosti 2a. Koliko je polja dipola na slici 2 utocki P na udaljenosti y ≫ a od ishodista?
Rjesenje:
E = 2E1 cosϑ = k2qa
(y2 + a2)3/2.
Na velikim udaljenostima, y ≫ a, imamo
E ≈ k2qa
y3.
1 ELEKTRICNO POLJE 5
Slika 2: Uz primjer 1.2. Ukupno elektricno poljeE u tocki P od dva suprotna naboja.
Slika 3: Elektricno polje u tocki P od kontinu-irane raspodjele naboja je vektorska suma polja∆E stvorenih svim elementima ∆q distribucijenaboja.
Slika 4: Linije elektricnog poljadipola. Broj silnica koje izlazeiz pozitivnog naboja jednak jebroju silnica koje ulaze u nega-tivni naboj.
Slika 5: Elektricne silnice za dvajednaka pozitivna naboja
Slika 6: Elektricne silnice zatockaste naboje +2q i −q. Zapa-zite da dvije linije izlaze iz +2qza svaku koja zavrsava na −q.
1.3.1 Elektricno polje kontinuirane distribucije naboja
Vrlo cesto je udaljenost izmedu grupe naboja mnogo manja nego njena udaljenost od tocke od interesa. U tomse slucaju sistem naboja moze modelirati kao kontinuiran.
Da bismo izracunali polje stvoreno kontinuiranom raspodjelom naboja razdjelimo raspodjelu naboja namale elemente, od kojih svaka sadrzi mali naboj ∆q, kao na slici 3. Zatim racunamo elektricno polje u tockip stvorenog jednom od elemenata, pa zbrojimo sva ta elektricna polja svorena svim elementima naboja (tj.primjenimo princip superpozicije).
Elektricno polje u P zbog elementa naboja ∆q je
∆E ≈ k∆q
r2r
1 ELEKTRICNO POLJE 6
gdje je r udaljenost elementa naboja od tocke P , a r je jedinicni vektor sa smjerom od elementa do P . Ukupnoelektricno polje u P zbog svih elemenata u raspodjeli naboja je aproksimativno
E ≈ k∑i
∆qir2i
ri
gdje indeks i oznacava i. element distribucije. Kako je raspodjela naboja kontinuirana, totalno polje u P ugranici ∆qi → 0 je
E = k lim∆qi→0
∑i
∆qir2i
ri = k
∫dq
r2r (1.6)
gdje se integracija vrsi preko cjelokupne raspodjele naboja.Cesto se uodi koncept gustoce naboja:
• Ako je naboj Q jednoliko rasporeden po volumenu V , volumna gutoca naboja definirana je s
ρdef=
Q
V.
• Ako je naboj Q jednoliko raspodjeljen po povrsini A, plosna gustoca naboja σ je
σdef=
Q
A.
• Ako je naboj Q jednoliko raspodjeljen duz linije duljine l, linearna gustoca naboja λ je
λdef=
Q
l.
• Ako je naboj distribuiran nejednoliko po volumenu, povrsini, liniji, kolicina naboja dq u malom elementuvolumena, povrsine, duljine je
dq = ρ dV, dq = σ dA, dq = λ dl.
1.3.2 Linije elektricnog polja–silnice
Uobicajeni nacin vizualizacije polja je crtanjem linija paralelnih vektoru elektricnog polja u bilo kojoj tockiprostora. Te linije, znane kao silince, linije elektricnog polja prvi je uveo Faraday, se s elektricnim poljempovezuju na sljedeci nacin:
• Elektricno polje E je tangenta na silnice u svakoj tocki.
• broj linija po jedinicnoj povrsini okomitoj na te linije proporcionalan je velicini elektricnog polja u tompodrucju. Dakle linije su blize jedna drugoj tamo gdje je polje jace.
Pravila za crtanje silnica:
• Linija mora poceti na pozitivnom i zavrsiti na negativnom naboju. U slucaju da nekih naboja ima vise,neke silnice mogu poceti ili zavrsiti u beskonacnosti.
• Broj linija koje izlaze iz pozitivnog naboja ili ulaze u negativni, proporcionalan je vecini naboja.
• Silnice se ne mogu krizati.
Kviz 1.2. Poredajte po velicini elektricna polja u tockama A, B, C sa slike 5Rj. A, B, C. U C polje je nula.
Kviz 1.3. Koje su od sljedecih tvrdnji lazne:
(a) Silnice mogu biti ravne ili zakrivljene.
(b) Silnice mogu tvoriti zatvorene krivulje.
(c) Silnice pocinju na pozitivnom a zavrsavaju na negativnom naboju.
(d) Silnice se nikad medusobno ne sijeku.
rj. (b) Silnice pocinju i zavrsavaju na naboju i ne mogu tvoriti zatvorenu krivulju.
2 GAUSSOV ZAKON 7
2 Gaussov zakon
Gaussov zakon se temelji na cinjenici da je elektrostatska sila izmedu tockastih naboja obrnuto proporcionalnaudaljenosti.
2.1 Elektricni tok
Slika 7: Silnice reprezentiraju jednoliko elek-tricno polje. One ulaze u ravninu okomitu napolje povrsine A. Elektricni tok (flux) ϕE krozpovrsinu jednak je EA.
Slika 8: Mali element povrsine ∆Ai. Elektricnopolje Ei zatvara kut ϑi s vektorom Ai, koji jedefiniran kao normala na element plohe, a tok jejednak Ei∆Ai cosϑi.
Razmotrimo homogeno elektricno polje prikazano na slici 7. Silnice prolaze pravokutnom plohom povrsineA, okomitom na polje. Broj silnica (drugim rjecima, gustoca linija) proporcionalna je velicini elektricnog polja,pa je ukupni broj linija koji prolazi plohom EA. Ovaj umnozak velicine elektricnog polja i povrsine A okomitena polje naziva se elektricni tok ϕE :
ϕE = EA. (2.1)
SI jedinica je[ϕE ] = [E][A] = N ·m2/C.
Def. 2.1. Elektricni tok proporcionalan je broju silnica koje prolaze nekom povrsinom.
Ako ravnina nije okomita na silnice vec s okomicom zatvara kut ϑ, tok je
ϕE = EA cosϑ. (2.2)
Ako polje nije homogeno (jednoliko) vec se mijenja preko povrsine, onda se ova definicija toka odnosi na maleelemente plohe povrsine ∆A, kad se promjena polja moze zanemariti ako je element dovoljno mali, pa vrijedi
∆ϕE = Ei∆Ai cosϑi = Ei ·∆Ai,
gdje je vektor povrsine u smjeru normale na plohu. Ukupni tok dobivamo sumiranjem – integriranjem po svimelementima:
ϕE = lim∆A→0
∑i
Ei ·∆Ai =
∫ploha
E · dA. (2.3)
Ovaj je integral plosni integral, sto znaci da se mora izracunati preko povrsine u pitanju.
2 GAUSSOV ZAKON 8
Ako je ploha zatvorena, normala je usmjeraena prema van, pa ako silnica izlazi iz povrsine kut izmedunormale i silnice je ostri (ϑ < 90), pa je tok ∆ϕE = E ·∆A kroz taj element pozitivan. Za silnice koje ulazeu povrsinu kut je tupi (90 < ϑ < 180, pa je tok negativan. Ukupni tok kroz povrsinu proporcionalan jebroju silnica koje izlaze iz povrsine minus broj silnica koje ulaze u povrsinu. Matematicki se tok kroz zatvorenupovrsinu moze napisati kao
ϕE =
∮E · dA =
∮En dA, (2.4)
gdje∮
reprezentira integral preko zatvorene plohe, En reprezentira komponentu elektricnog polja okomitu napovrsinu.
2.2 Elektricni potencijal
Elektrostatske pojave se mogu opisati pomocu potencijalne energije. To nam omogucuje da definiramo skalarnuvelicinu znanu kao elektricni potencijal. Kako je elektricni potencijal skalarna velicina, mozemo ga upotrijebitiza opis elektrostatskih pojava jednostavnije nego pomocu elektricnog polja ili sile.
2.2.1 Razlika potencijala i elektricni potencijal
Za infinitezimalni pomak ds naboja, rad elektricnog polja je dW = F · ds = q0E · ds. Kad polje izvrsi tajrad potencijalna se energija promjeni za dU = −q0E · ds. Za konacni pomak naboja iz tocke A u B, promjenapotencijalne energije sistema ∆U = UB − UA je
∆U = −q0
B∫A
E · ds. (2.5)
Integracija se vrsi duz puta kojim se naboj q0 giba od A u B.Podijelimo li potencijalnu energiju s testnim nabojem dobivamo velicinu koja ovisi samo o raspodjeli naboja
izvora. Tu velicinu nazivamo elektricni potencijal:
ϕ =U
q0. (2.6)
Kako je potencijalna energija skalar, onda je i potencijal skalarna velicina.Razlika potencijala ∆ϕ = ϕB − ϕA izmedu dviju tocaka A i B je
∆ϕdef=
∆ϕ
q0= −
B∫A
E · ds. (2.7)
Kao i kod potencijalne energije, samo razlika elektricnih potencijala ima znacenje, tj. elektricni potencijal imavrijednost nula u nekoj proizvoljnoj tocki.
Jedinica elektricnog potencijala zove se volt (V):
1V ≡ 1J/C.
Jedinica energije cesto koristena u atomskoj i nuklearnoj fizici je electron volt (eV), koja se definira kao
Def. 2.2. Elektron volt je energija koju sistem naboj-polje dobije ili izgubi kad naboj velicine e prijede razlikupotencijala od 1 V.
1 eV = 1.60 · 10−19 C ·V = 1.60 · 10−19 J. (2.8)
2 GAUSSOV ZAKON 9
2.2.2 Razlika potencijala u jednolikom elektricnom polju
Neka je jednoliko elektricno polje usmjereno duz negativne y-osi, kao na slici ??. Izracunajmo razliku potencijalizmedu dvije tocke A i B na medusobnoj udaljenosti |s| = d, gdje je s paralelno sa silnicama.
ϕB − ϕA = ∆ϕ = −B∫
A
E · ds = −B∫
A
(E cos 0) ds = −B∫
A
E ds = −Ed.
Slika 9: Kad je elektricno poljeE usmjereno prema dolje, tockaB je na nizem potencijalu negotocka A. Kad se pozitivni tes-tni naboj giba iz A u B, sistemnaboj–polje gubi elektricnu po-tencijalnu energiju.
Slika 10: Kad se predmet masem giba dolje u smjeru gravitacij-skog polja g , sistem predmet–polje gubi gravitacijsku potenci-jalnu energiju.
Slika 11: Jednoliko elektricnopolje usmjereno u pozitivnomsmjeru osi x. Tocka B je u nizemelektricnom potencijalu od tockeA. Tocke B i C su na istom po-tencijalu.
Negativni predznak znaci da je potencijal u B manji nego u A, tj. ϕB < ϕA. Elektricne silnice uvijekpokazuju u smjeru smanjivanja elektricnog potencijala.
Pretpostavimo sad da se testni naboj q0 giba od A u B. Promjena potencijalne energije je
∆U = q0∆ϕ = −q0Ed. (2.9)
Vidimo da ako je q0 pozitivan, ∆U je negativno. Zakljucujemo da sistem koji se sastoji od pozitivnog nabojai elektricnog polja gubi elektricnu potencijalnu energiju (elektricno poje vrsi rad) kad se naboj giba u smjerupolja. To je analogno predmetu koji pada u gravitacijskom polju.
Kako nabijena cestica dobiva kineticku energiju, sistem naboj–poljegubi istu kolicinu potencijalne energije. To je zakon ocuvanja energije.
Ako konstanto polje nije paralelno vektoru s imamo
∆ϕ = −B∫
A
E · ds = −E · s. (2.10)
Def. 2.3. Ekvipotencijalne plohe su plohe cije su tocke na istom elektricnom potencijalu.
2 GAUSSOV ZAKON 10
Ekvipotencijalne povrsine jednolikog elektricnog polja sastoji se od familije paralelnih ravnina koje su oko-mite na polje.
Primjer 2.1. Razlika potencijala ∆ϕ izmedu dvije paralelne ravne ploce razmaknute za d = 0.30 cm je 12 V.Nadite velicinu elektricnog polja medu plocama.
Rjesenje: Elektricno polje okomito je na ploce i usmjereno od pozitivne prema negativnoj ploci. Pozitivnaploca je na visem elektricnom potencijalu nego negativna. Velicina elektricnog polja je
E =|ϕB − ϕA|
d= 4 · 103 V/m.
Ova konfiguracija ploca naziva se ravni kondenzator.
2.2.3 Elektricni potencijal i potencijalna energija tockastih naboja
Vidjeli smo da izolirani tockasti naboj q stvara elektricno polje radijalno iz naboja. Elektricni potencijalnalazimo iz
ϕB − ϕA = −B∫
A
E · ds.
Slika 12: Elektricni potencijal u ravnini oko po-zitivnog naboja. Slika 13: Elektricni potencijal dipola
U bilo kojoj tocki prostora, elektricno polje ce biti E = kqr/r2. Velicina E · ds se moze izraziti kao
E · ds = kq
r2r · ds = k
q
r2cosϑ ds = k
q
r2dr
jer je cosϑ ds projekcija od ds na r. Razlika potencijala je
ϕB − ϕA = −kq
rB∫rA
dq
r2= kq
[1
rB− 1
rA
]. (2.11)
Vidimo da je potencijal neovisan o putanji i ovisi samo o krajnjim tockama. Isto tako je rad elektricne silena naboj q0 neovisan o putanji, pa je polje konzervativno. Obicno se uzima da je ϕA = 0 u rA = ∞, pa jepotencijal tockastog naboja
ϕ = kq
r. (2.12)
2 GAUSSOV ZAKON 11
Za vise tockastih naboja potencijal dobivamo principom superpozicije
ϕ = k∑i
qiri. (2.13)
Razmotrimo sada potencijalnu energiju sistema od dvije nabijene cestice s nabojima q1,2. Ako su cesticeudaljene za r12, onda je iz izraza za potencijal potencijalna energija sistema
U = kq1q2r12
. (2.14)
Za sistem s vise od dva naboja, ukupnu potencijalnu energiju dobivamo zbrajenjem ptoencijalnih energija zasvaki par naboja. Npr. za sistem od tri naboja je
U = k
(q1q2r12
+q1q3r13
+q2q3r23
). (2.15)
Kviz 2.1. Sferni balon sadrzi pozitivno nabijeni predmet u centru. Ako se naboj napuhne na veci volumen, anaboj ostane u centru hoce li se elektricni potencijal balona povecati, smanjiti ili ostati isti? Isto za elektricnitok?
Rjesenje: Elektricni potencijal je obrnuto proporcionalan polumjeru pa ce se smanjiti. Kako kroz povrsinuprolazi isti broj silnica elektricni tok ce ostati isti.
2.2.4 Izracunavanje vrijednosti elektricnog polja iz elektricnog potencijala
Razlika potencijala dϕ izmedu dvije tocke udaljene za ds je
dϕ = −E · ds. (2.16)
Ako polje ima samo jednu komponentu Ex, tada je E · ds = Ez dx, pa iz gornje jednadzbe imamo
Ex = − dϕ
dx. (2.17)
Slicno vrijedi za y i z komponentu.Kad testni naboj ide duz ekvipotencijalne plohe, tada je dϕ = 0, pa iz jednadzbe (2.16) vidimo da E mora
biti okomito na ekvipotencijalnu plohu. Dakle mozemo zakljuziti ekvipotencijalne plohe moraju uvijek bitiokomite na elektricne silnice koje prolaze kroz njih.
Slika 14: Ekvipotencijalne plohe (crtkane plave linije su presjeci tih ploha sa stranicom) i elektricne silnice(narancaste linije) za (a) jednoliko elektricno polje stvoreno beskonacnom plohom naboja, (b) tockasti naboj,(c) elektricni dipol. U svim slucajevima, ekvipotencijalne plohe okomite su na elektricne silnice u svakoj tocki.
Ako je distribucija naboja sferno simetricna tj. volumna gustoca naboja ovisi samo o radijalnoj udaljenostir, elektricno polje je radijalno, pa je E · ds = Er dr i
dU = −Er dr → Er = − dϕ
dr. (2.18)
2 GAUSSOV ZAKON 12
Kviz 2.2. U odredenom dijelu prostora elektricni potencijal je nula na cijeloj x osi. Kakva je x komponentaelektricnog polja u toj oblasti:
(a) nula,
(b) u +x smjeru,
(c) u −x smjeru.
Rjesenje: Derivacija konstante je (ovdje nule) nula, pa je elektricno polje nula.
Kviz 2.3. U odredenoj oblasti prostra, elektricno polje je nula. Kakav je potencijal u tom dijelu prostora:
(a) nula,
(b) konstantan,
(c) pozitivan,
(d) negativan ?
Rjesenje: (b): da bi elektricno polje bilo nula, potencijal mora biti konstantan (opet derivacija konstante jenula), ali ne nuzno nula.
Primjer 2.2. Elektricni potencijal dipola.Elektricni dipol sastoji se od dva suprotna naboja na udaljenosti 2a. Neka je smjesten duz x osi s centrom
u ishodistu.
(A) Izracunajte elektricni potencijal u tocki P (x, 0).
(B) Izracunajte ϕ i Ex daleko od dipola.
(C) Izracunajte ϕ i Ex ako je tocka P smjestena izmedu naboja.
Rjesenje:
(A) Potencijal je
ϕ = k2∑
i=1
qiri
= k
(q
x− a− q
x+ a
)=
2kqa
x2 − a2.
(B) Ako je P daleko od dipola, tako da je x ≫ a potencijal postaje
ϕ ≈ 2kqa
x2.
Elektricno polje za ovaj potencijal je
Ex = − dϕ
dx=
4kqa
x3.
(C) U ovom slucaju je potencijal
ϕ = k
(q
a− x− q
a+ x
)=
2kqx
a2 − x2,
a elektricno polje
Ex = − d
dx
(2kqx
a2 − x2
)= 02kq
a2 + x2
(a2 − x2)2.
Naravno, u centru dipola x = 0 je ϕ = 0 i Ex = −2kq/a2.
2 GAUSSOV ZAKON 13
Slika 15: Elektricni potencijal utocki P se moze izracunati dije-ljenjem raspodjele naboja u ele-mente dq i sumiranjem dopri-nosa svih elemenata.
2.2.5 Elektricni potencijal od kontinuirane distribucije naboja
Ako je raspodjela naboja poznata krecemo od izraza za elektricni potencijal tockastog naboja – mali elementanaboja tretiramo kao tockasti naboj. Potencijal dϕ u nekoj tocki P je tada
dϕ = kdq
r, (2.19)
a ukupni potencijal
ϕ = k
∫dq
r. (2.20)
Vidimo da smo sumu zamijenili integralom. Zapazite da smo ovdje uzeli da je potencijal nula na beskonacnojudaljenosti od naboja.
2.3 Kapacitet i kondezator
Def. 2.4. Kondenzator je sprava za spremanje elektricnog naboja.
Kondenzatori se obicno koriste u razlicitim elektricnim krugovima. Kondenzator se sastoji od dva vodicaodvojena izolatorom. Izolator koji odvaja vodljive ploce kondenzatora je dielektrik.
Def. 2.5. Kapacitet C kondenzatora se definira kao omjer naboja na vodicu i razlike potencijala izmedu ploca:
Cdef=
Q
∆ϕ. (2.21)
Zapazite da je kapacitet uvijek pozitivan. Kako se razlika potencijala linearno povecava s nabojem naplocama, omjer Q/∆ϕ je konstanta za dani kondenzator. Dakle, kapacitet je mjera mogucnosti kondenzatorada spremi naboj.
Jedinica za kapacitet naziva se farad (F) po Michael Faradayu:
1F = 1C/V.
Kako je farad vrlo velika jedinica, u praksi se koristi µF = 10−6 F do pF = 10−12 F.
Kviz 2.4. Kapacitet sprema naboj Q kod razlike potencijala ∆ϕ. Ako se razlika potencijala poveca na 2∆ϕ
2 GAUSSOV ZAKON 14
(a) kapacitet padne na polovicu pocetne vrijednosti i naboj ostane isti,
(b) kapacitet i naboj padnu na polovicu inicijalnih vrijednosti,
(c) kapacitet i naboj se udvostruce,
(d) kapacitet ostane isti, a naboj se udvostruci.
Rjesenje: (d) kapacitet je osobina sistema i ne ovisi o primjenjenom naponu. Po Eq. (2.21) napon jeudvostrucen pa je i naboj udvostrucen.
Plocasti kondenzator Plocasti kondenzator sastoji se od dvije paralelne metalne ploce povrsine A odvojeneudaljenoscu d. Ako su ploce vece povrsine, naboj se na ploci distribuira na vecoj povrsini pa ga se moze spremitivise, proporcionalno povrsini ploca. Ako su ploce na odredenoj razlici potencijala, polje je vece sto je udaljenostmedu njima manja jer je ∆ϕ = Ed. Smanjivanjem razmaka medu plocama naboj na plocama se povecava, paje kapacitet obrnuto proporcionalan s d. Tako za kapacitet plocasto kondenzatora imamo :
C =Q
∆ϕ=
Q
Qd/ϵ0A=
ϵ0A
d. (2.22)
tj. kapacitet plocastog kondenzatora proporcionalan je povrsini ploca, a obrnuto proporcionalan medusobnomudaljenoscu ploca.
Slika 16: Elektricno polje izmedu plocaplocastog kondenzatora je jednoliko blizu cen-tra, ali nejednoliko pri rubu.
Slika 17: Simboli za kondenzator, bateriju i pre-kidac.
2.3.1 Spajanje kondenzatora
U elektricnom krugu se cesto dva ili v ise kondenzatora cesto kombiniraju. Mozemo izracunati ekvivalentnikapacitet odredene kombinacije kondenzatora.
U proucavanju elektricnih krugova, koristimo pojednostavljenu slikovnu reprezentaciju – diagram. Takavdijagram koristi simbole za reprezentaciju razlicitih elemenata kruga. Simboli su spojeni ravnom linijom kojareprezentira zicu koja povezuje elemente. Na slici 17 dani su simboli za kondenzator, bateriju, prekidac. Simbolza kondenzator reflektira geometriju najcesceg modela kondenzatora – par paralelnih ploca. Pozitivni krajbaterije je na visem potencijalu i reprezentiran je duzom linijom.
Paralelni spoj Dva kondenzatora spojena kao na slici 18 su u paralelnom spoju. Lijeve ploce kondenzatorapovezane su zicom za pozitivni pol baterije, pa su obje na istom potencijalu. Slicno za desne ploce koje suspojene na negativni pol. Individualna razlika potencijala kroz kondenzatore u paralelnom spoju su iste ijednake razlici potencijala upotrebljen na spoj, ovdje na napon baterije.
2 GAUSSOV ZAKON 15
Slika 18: Paralelna kombinacija dva kondeza-tora.
Slika 19: Ekvivalentni kapacitet je C = C1 +C2
Neka su maksimalni naboje na kondenzatorima Q1 odnosno Q2. Ukupni naboj Q na oba kondenzatora je
Q = Q1 +Q2. (2.23)
Kako je razlika potencijala na kondenzarima jednaka, naboji koje nose su
Q1 = C1∆ϕ, Q2 = C2∆ϕ.
Pretpostavimo da zelimo ta dva kondenzatora zamijeniti jednim ekvivalentnim kondenzatorom koji imakapacitet C, a koji u krugu mora imati isti efekt kao kombinacija ovih dvaju kondenzatora. Tako ekvivalentnikondenzator mora moci spremiti naboj Q kad se spoji na bateriju, pa za ekvivalentni kondenzator vrijedi
Q = C∆ϕ = C1∆ϕ+ C2∆ϕ
odnosnoC = C1 + C2. (2.24)
Naravno ako je spojeno vise kondenzatora paralelno ekvivalentni kapacitet je
C = C1 + C2 + C3 + · · ·+ CN =N∑i=1
Ci. (2.25)
Dakle, ekvivalentni kapacitet paralelnog spoja kondenzatora je algebarska suma kapaciteta i veci je od bilo kojegindividualnog kapaciteta. To ima smisla jer smo u stvari dobili vecu povrsinu ploca.
2 GAUSSOV ZAKON 16
Slika 20: Serijska kombinacija dva kondezatora.Naboj na oba kondenzatora je jednak.
Slika 21: Ekvivalentni kapacitet moze seizracunati po relaciji 1
C = 1C1
+ 1C2
.
Serijski spoj Dva kondenzatora povezana kao na slici 20 poznati su kao serijski spoj kondenzatora. Iz slikevidimo da je napon ∆ϕ baterije razdvojen na dva kondenzatora
∆ϕ = ∆ϕ1 +∆ϕ2, (2.26)
gdje su ∆ϕ1 i ∆ϕ2 razlike potencijala na kondenzatorima. Ekvivalentni kondenzator mora imati naboj −Q nadesnoj i +Q na lijevoj ploci, pa imamo:
∆ϕ =Q
Ci ∆ϕ1 =
Q
C1, ∆ϕ2 =
Q
C2.
Kratimo Q, dobivamo relaciju1
C=
1
C1+
1
C2,
odnosno za vise kondenzatora spojenih u seriju
1
C=
1
C1+
1
C2+
1
C3+ · · ·+ 1
CN=
N∑i=1
1
Ci. (2.27)
2.3.2 Energija spremljena u nabijeni kondenzator
Kondenzator moze cuvati energiju. Pri praznjenju mozemo vidjeti iskru. Ako dodirnemo ploce kondenzatoradozivjet cemo elektricni sok ovisan o naponu kojim je napunjen kondenzator.
Pretpostavimo da je q naboj na kondenzatoru u nekom trenutku prilikom njegovog punjenja. U tom trenutkuje razlika potencijala ∆ϕ = q/C. Rad potreban da se prenese dodatni naboj dq od ploce s nabojem −q naplocu s nabojem q je
dW = ∆ϕ dq =q
Cdq.
2 GAUSSOV ZAKON 17
Ukupni rad potreban da se kondenzator napuni od q = 0 do q = Q je
W =
Q∫0
q
Cdq =
Q2
2C.
Rad potrosen na punjenje kondenzatora je elektricna potencijalna energija U spremljena u kondenzatoru:
U =Q2
2C=
1
2Q∆ϕ =
1
2C(∆ϕ)2. (2.28)
Kviz 2.5. Imamo tri kondenzatora i bateriju. U kojim od sljedecih kombinacija ce kondenzatori spremitimaksimalnu energiju? (a) U seriji, (b) u paraleli, (c) obje kombinacije dat ce istu kolicinu energije.
Rjesenje: (b) za dani napon, energija spremljena u kondenzatoru proporcionalna je s C, pa zelimo maksi-mizirati ekvivalentni kapacitet, a to radimo spajenjem u paralelu.
Kviz 2.6. Napunimo plocasti kondenzator, pa odspojimo bateriju. Kad povucemo ploce na vecu udaljenost,nabrojane velicine ce se smanjiti, povecati ili ostati isti? (a) C; (b) Q; (c) E between plates; (d) energijaspremljena u kondenzatoru.
Rjesenje: (a) C se smanjuje. (b) Q ostaje isto jer nema mjesta gdje naboj moze isteci. (c) E ostaje isto (d)∆ϕ se povecava jer je ∆ϕ = Q/C, a Q je konstantno, a C se smanjuje. Energija spremljena u kondenzatoruproporcionalna je i s Q i s ∆ϕ pa se dakle povecava. Dodatna energija dolazi zbog rada kojeg moramo ucinitida odvucemo ploce.
2.4 Struja i otpor
Do sad smo proucavali elektricne pojave s nabojima u ravnoznoj situaciji – elektrostatika. Sad cemo promatratielektricne naboje u gibanju. Koristimo termin elektricna struja ili jednostavno struja, da bismo opisali brzinugibanja naboja kroz neku oblast prostora.
2.4.1 Elektricna struja
Pri prolasku elektricnog naboja kroz neki materijal, tok ovisi o tvari i razlici potencijala. Kad god postoji toknaboja kroz neko podrucje, kazemo da postoji elektricna struja.
Instruktivno je zapaziti analogiju izmedu toka vode i struje. Tok vode mjerimo u litrama po minuti ili m3/s.Da definiramo struju preciznije, pretpostavimo da se naboji gibaju okomito na plohu povrsine A.
Def. 2.6. Struja je brzina kojom naboj tece kroz povrsinu.
Ako je ∆Q kolicina naboja koja prolazi kroz povrsinu u vremenu ∆t, srednja struja I jednaka je naboju kojiprode kroz plohu A u jedinici vremena
I =∆Q
∆t. (2.29)
Ako se tok mijenja tijekom vremena, tad se i struja mijenja; definiramo trenutnu struju I:
Idef=
dQ
dt. (2.30)
SI jedinica struje je amper (A):
1 A =1 C
1 s, (2.31)
tj. struja od 1 A ekvivalentna je naboju od 1 C koji prode kroz povrsinu u 1 s.Naboj koji prolazi kroz plohu moze biti pozitivan ili negativan ili oboje. Uobicajeno je pridruziti struju u
istom smjeru kao tok pozitivnog naboja. U vodicima struja je gibanje negativno nabijenih elektrona. Tako, uvodicu je struja u suprotnom smjeru od gibanja elektrona. Naravno, promatramo li snop protona u akceleratoru,struja je u smjeru gibanja protona. U nekim slucajevima – poput struje u plinovima i elektrolitima, struja jerezultat gibanja i pozitivnih i negativnih naboja.
2 GAUSSOV ZAKON 18
Slika 22: Naboji u gibanju krozplohu A. Brzina kojom nabojiprolaze kroz A je struja I. Smjerstruje je smjer gibanja pozitivnihnaboja.
Slika 23: Dio jednolikog vodica poprecnog presjeka A.Naboji se gibanju brzinom vd, i prijedu put koji prijeduduz x-osi u vremenskom intervalu ∆t je ∆x = vd∆t.Izaberemo li ∆t da bude vrijeme za koje naboji, u pro-sjeku, prijedu duljinu cilindra broj nositelja u dijelu du-ljine ∆x je n∆Avd∆t, gdje je n broj nositelja nabojapo jedinicnom volumenu.
2.5 Mikroskopski model struje
Razmotrimo struju u vodicu s presjekom A (Slika 23). Volumen odsjecka vodica duljien ∆x je A∆x. Ako jen broj mobilnih naboja po jedinicnom volumenu (gustoca nositelja naboja), broj nositelja u sekciji jenA∆x.Ukupni je naboj u tom dijelu vodica
∆Q = (nA∆x)q,
gdje je q naboj svakog nositelja. Ako se nositelji gibaju brzinom vd, udaljenost koju prijedu u x-smjeru uintervalu ∆t je ∆x = vd ∆t. Izaberimo vrijeme ∆t da je vrijeme potrebno da naobji u cilidru prijedu udaljenostjednaku duljini cilindra. U tom slucaju mozemo napisati
∆Q = (nAvd∆t)q.
Dijeljenjem jednadzbe s ∆t, srednja struja u vodicu je
I =∆Q
∆= nqvdA. (2.32)
Tipicne brzne elektrona u metalu su vrlo male, reda velicine 10−4 m/s, pa da prijedu metar trebalo bi im okosat vremena. Kako se onda desava da se svjetlost gotovo trenutno ukljuci kad pritisnemo prekidac. Razlog jeelektricno polje koje pokrece elektrone unutar nanosekunde u svim dijelovima vodica koji onda zagriju zarnunit zarulje.
Kviz 2.7. Razamotimo pozitvne i negativne naboje koji se gibaju kroz 4 podrucja prikazanih na slici 24.Rangirajte struju u njima od najnize do najvise.
Rjesenje: d, b = c, a. Struja u dijelu (d) ekvivalentna je dvama pozitivnim nabojima koji idu nalijevo.Dijelovi (b) i (c) reprezentiraju 4 pozitivna naboja koja se gibaju u istom smjeru jer negativni naboj koji segiba na lijevo ekvivalentan je pozitivnom koji se giba nadesno. Struja u dijelu (a) ekvivalentna je s 5 pozitivnihnaboja koji se gibaju nadesno.
2.6 Otpor
Kad je vodic u statickoj ravnotezi, elektricno polje unutar vodica je nula. Svrha ovog odjeljka je da opose stose dogada kad naboji u vodicu nisu u ravnotezi pa postoji polje unutar vodica.
2 GAUSSOV ZAKON 19
Slika 24: Uz kviz 2.7. Naboji segibaju kroz cetiri podrucja.
Slika 25: Homogeni vodic duljine l i poprecnog presjeka A.Razlika potencijala ∆ϕ = ϕB − ϕA na krajevima vodicastvara elektricno polje E koje stvara struju I koja je pro-porcionalna razlici potencijala
Razmotrimo vodic poprecnog presjeka A kojim tece struja I. ustoca struje j u vodicu definirana je kaostruja po jedinicnoj povrsini:
jdef=
I
A= nqvd. (2.33)
Opcenito je gustoca struje vektorska velicinaj = nqvd, (2.34)
dakle u smjeru gibanja nositelja pozitivnih naboja, i suprotnom smjeru za negativne naboje.Kad se na vodic primjeni razlika potencijala, stvori se elektricno polje E, pa je gudtoca struje proporcionalna
elektricnom polju:j = σE, (2.35)
gdje se konstanta proporcionalnosti σ zove vodljivost vodica. Za materijali koji se ponasaju po tom zakonu kazese da slijede Ohmov zakon, nazvanom po Georg Simon Ohm (1789.–1854.).
razmotrimo segment ravne zice jednolikog poprecnog presjeka A i duljine l, prikazanog na slici 25. Razlikapotencijala ∆ϕ = ϕb − ϕa je narinuta duz zice, stvarajuci elektricno polje i struju u zici. Pretpostavljamo da jepolje homogeno pa je
∆ϕ = El → j = σE = σ∆ϕ
l=
I
A
i razliku potencijala mozemo napisati kao
∆ϕ =l
σj =
(l
σA
)I = RI.
Velicina R = l/σA naziva se otpor vpdoca. Mozemo definirati otpor kao omjer razlike potencijala i struje uvodicu
R ≡ ∆ϕ
I. (2.36)
Obicno se ova jednadzba naziva Ohmovim zakonom, ali je to pogresno. Ova jednadzba je samo definicijaotpora i daje vezu izmedu napona, struje i otpora. Ohmov zakon je linearna veza izmedu j i E, Eq. (2.35)ili, ekvivalentno, izmedu I i ∆ϕ, sto, iz Eq. (2.36), indicira da je otpor konstantan neovison o primjenjenomnaponu.
Jedinica otpora zove se ohm (Ω):
1 Ω ≡ 1 V
1 A. (2.37)
Inverz od vodljivosti je specificni otpor (ρ):
ρ =1
σ, (2.38)
2 GAUSSOV ZAKON 20
pa je
R = ρl
A(2.39)
Svaki materijal koji se ponasa po Ohmovom zakonu ima karakteristicni specificni otpor koji ovisi o osobinamatvari i o temperaturi. Otpor ovisi o geometriji kao i specificnom otporu.
Vecin strujnih krugova koristi otpornike za kontrolu struje u razlicitim dijelovima kruga.
Kviz 2.8. Poprecni presjek metalne zice postaje sve manji prema jednom kraju zice. Struja mora imati istuvrijednost u svakom dijelu kako se naboj ne bi akumulirao u jednoj tocki. Kako se brzina nostitelja nabojai otpor po jedinici duljine mijenjaju kako zica postaje tanja? (a) Brzina i otpor se povecavaju. (b) Oboje sesmanjuje. (c) Brzina se povecava a otpor se smanjuje. (d) Brzina se smanjuje a otpor povecava.
Rjesenje:(a) Struja u svakom dijelu zice je ista iako se zica suzuje.Kako se poprecni presjek smanjuje, brzina se mora
povecati. Naravno, otpor se povecava.
Kviz 2.9. Zica ima polumjer r i duljinu l. Ako oboje povecamo na dvostruku vrijednost, otpor zice: (a)povecava se, (b) smanjuje se, (c) ostaje isti.
Rjesenje: (b) Dupliciranje polumjera dovodi do 4 puta vece povrsine, pa se otpor smanjuje.
2.7 Otpor i temperatura
Preko ogranicenog opsega temperatura, specificni otpor se aproksimativno linearno mijenja s temperaturom uskladu s izrazom:
ρ = ρ0 (1 + α(T − T0)) , (2.40)
gdje je ρ specificni otpor na temperaturi T , ρ0 na nekoj referentnoj temperaturi T0, a α je temperaturnikoeficijent otpora. Lako je vidjeti da i za otpor vrijedi isti izraz
R = R0 (1 + α(T − T0)) , (2.41)
Kviz 2.10. Kad zarulja nosi vecu struju:(a) neposredno nakon ukljucenja, (b) poslije nekoliko milisekundi kad zarulja sjaji postojano?Rjesenje: (a) Kad je zarna nit na sobnoj temperaturi, njen otpor je mali, a time struja relativno velika.
Prilikom zagrijavanja, otpor raste, a struja slabi.
2.8 Supravodljivost
Postoji klasa tvari ciji se otpor spusta do nule kad se nalaze ispod odredene temperature Tc, znane kao kriticnatemperatura. Ti materijali nazivaju se supravodicima. Otpor supravodica na temperaturi iznad Tc ponasa sekao kod normalnog metala (slika 26. Ispod kriticne temperature otpor pada na nulu. Taj fenomen otkrio je1911. holandski fizicar Heike Kamerlingh–Onnes (1853.–1926.). Novija mjerenja pokazuju da je otpornostsupervodica ispod Tc manja od 4 · 10−25 Ω ·m, oko 1017 puta manja nego otpornost bakra.
2.9 Elektricna snaga
Ako se za uspostavljanje struje koristi materija, postoji kontinuirana transformacija kemijske energije baterijeu kineticku energiju elektrona i unutarnju energiju u vodicu, sto vodi do povecanja temperature vodica.
Razmotrimo jednostavni krug sa slike 27, gdje zamisljamo da se energija daje otporniku. Pretpostavljatcemo da je otpor zica zanemariv.
Zamislimo da pozitivni naboj Q ide po krugu od tocke a kroz bateriju i otpornik natrag u a. Naboj segiba od a do b kroz bateriju, pa se elektricna potencijalna energija sistema povecava za Q∆ϕ dok se kemijskapotencijalna energija u bateriji smanjuje za isti iznos. Naravno, kako se naboj giba od c u d kroz otpornik,sistem gubi elektricnu potencijalnu energiju za vrijeme sudara elektrona s atomima otpornika. U tom procesu,energija se transformira u unutarnju energiju vibracije atoma u otporniku. Kako smo zanemarili otpor zica,
2 GAUSSOV ZAKON 21
Slika 26: Graf koji pokazuje ovis-nost specificnog otpora u ovis-nosti o temperaturi za zivu. Iz-nad kriticne temperature graf iz-gleda kao za obicni metal, dok is-pod Tc = 4.2 K specificni otporpada na nulu.
Slika 27: Krug se sastoji od ot-pornika otpora R i baterije kojadaje razliku potencijala ∆ϕ.
Slika 28: Uz kviz 2.12. Dvijezarulje povezane paralelno.
nema transformacije enerigje na putu bc i da. Kad se naboj vrati u tocku a , rezultat je da je dio kemijskeenergije baterije predan otporniku. Energija predana otporniku bit ce predana okolnom zraku u vidu topline.
Brzina kojom sistem gubi elektricnu potencijalnu energiju kroz otpornik je
dU
dt=
d
dt(q∆ϕ) =
dQ
dt∆ϕ = I∆ϕ
gdje je I strika u krugu. Ovo je isto tako brzina kojom sistem daje unutarnju energiju otporniku. Dakle, snagaP kojom se energija predaju otporniku je
P = I∆ϕ = I2R =(∆ϕ)2
R. (2.42)
Ova formula vrijedi uvijek kad izvor struje predaje energiju uredaju dajuci mu struju I i razliku potencijala ∆ϕna krajevima.
Proces kojim se snaga gubi na unutarnju energiju vodica otpora R obicno se naziva jouleovo zagrijavanje.
Kviz 2.11. Ista razlika potencijala primjenjena je na zarulje od 30 W i od 60 W. Koja je tvrdnja istinita?
(a) Zarulja od 30 W ima veci otpor i njome tece jaca struja.
(b) Zaruljom of 30 W tece jaca struja, ali od 60 W ima veci otpor.
(c) Zarulja od 30 W ima veci otpor, a u 60 W tece jaca struja.
(d) Zaruljom od 60 W tece jaca struja i ona ima veci otpor.
Rjesenje: (c) Kako je razlika potencijala ∆ jednaka na obje zarulje i snaga dana vodicima je P = I∆ϕ,zarulja od 60 W mora imati jacu struju. Zarulja od 30 W ima veci otpor jer njom prolazi slabija struja s istomrazlikom potencijala.
Kviz 2.12. Za dvije zarulje sa slike 28, rangiraj jacinu struje u tockama od a do f , od vece k manjoj.Rjesenje: Ia = Ib > Ic = Id > Ie = If . Struja Ia izlazi iz pozitivnog pola baterije i onda se razdvaja na dva
toka kroz zarulje; tako je Ia = Ic + Id. Struja u zarulji od 60 W je veca nego u zarulji od 30 W (kviz 2.11).Kako naboj ne ostaje u zaruljama, kolicina naboja koja izlazi jednaka je naboju koji je usao, pa je Ic = Id iIe = If , pa i Ib = If + Id = Ia.
2 GAUSSOV ZAKON 22
2.10 Krug istosmjerne struje
U dijagramu kruga opcenito cemo koristiti bateriju kao izvor energije za krug. Kako je razlika potencijala napolovima baterije konstana, struja u krugu je konstantna po velicini i smjeru pa se zove istosmjerna struja.Baterija se naziva izvor napona U – to je maksimalno moguca razlika potencijala koju baterija moze dati napolovima.
Slika 29: Dijagram strujnog kruga s naponombaterije U unutarnjeg otpora r, povezane navanjski otpornik otpora R.
Slika 30: Graficka reprezentacija pokazuje kakose potencijal mijenja
Pozitivni pol baterije je na visem potencijalu nego negativni. Takoder postoji otpor prolasku naboja unutarbaterije. Taj se otpor naziva unutarnji otpor r. Zbog tog se unutarnjeg otpora razlika potencijala na polovimabaterije smanjuje za Ir, pa iznosi
∆ϕ = U − Ir. (2.43)
Ovdje je U krajnja razlika potencijala kad je struja 0.Iz dijagrama 29 vidimo da razlika potencijala na polovima ∆ϕ mora biti jednaka razlici potencijala na
vanjskom otporu R, kojeg nazivamo radni otpor. Razlika potencijala na radnom otporu pad napona je ∆ϕ = IR,pa je
U = IR+ Ir, (2.44)
odnosno struja je
I =U
R+ r. (2.45)
Obicno je R ≫ r, pa se r zanemaruje.Pomnozimo liEq. (2.44) s I dobivamo
IU = P = I2R+ I2r, (2.46)
dakle snaga baterije se raspodjeljuje na vanjski radni otpor i unutarnji.
Kviz 2.13. U namjeri da maksimiziramo snagu koju baterija daje radnom uredaju, unutarnji otpor treba biti(a) veci, (b) manji, (c) ne ovisi o unutarnjem otporu.
Rjesenje: (a). Snaga se raspodjeli na unutarnji otpor baterije, pa smanjuje unutarnje otpora smanjuje ovu‘izgubljenu’ snagu i povecava postotak snage predane uredaju.
2.10.1 Serijski i paralelni spoj otpornika
Kad se dva ili vise otpornika spoje kao na slici 31 kazemo da su u seriji. Kolicina naboja Q koja izlazi iz R1
ulazi u R2, tj. jednaka kolicina naboja prolazi kroz oba otpornika u danom vremenskom intervalu. Razlikapotencijal primjenjena na spoj podijelit ce se izmedu otpornika:
∆ϕ = IR1 + IR2 = I(R1 +R2) = IR
2 GAUSSOV ZAKON 23
Slika 31: Serijski spoj dvaotpornika otpora R1 i R2.Struja kroz R1 jednaka jestruji kroz R2.
Slika 32: Otpornici su zamje-njeni ekvivalentnim otporni-kom R = R1 +R2.
Slika 33: Uz kviz 2.16. Sto ce se desiti kad seotvori prekidac?
pa je ekvivalentni otporR = R1 +R2. (2.47)
Ako je vise otpornika vezano u seriju, ekvivalentni otpor je
R = R1 +R2 +R3 + · · ·+RN =
N∑i=1
Ri. (2.48)
Dakle ekvivalenti otpor serijski povezanih otpornika jednak je numerickoj sumi individualnih otpora.
Kviz 2.14. Na slici 31, zamislimo pozitivne naboje koji prvo prolaze R1 pa onda kroz R2. Struja u R2 je uodnosu na struju kroz R1 je (a) manja, (b) veca, (c) ista.
Rjesenje: (c). U serijskom spoju, ista struja prolazi kroz sve otpore. Naboji se ne ‘ne iskoriste’ prolaskomkroz otpore.
Kviz 2.15. Ako se umjesto otpornika izbaci otpornik R2 iz kruga, hoce li zarulja R1 svjetliti (a) jace, (b)slabije, (c) jednako?
Rjesenje: (a) Povezavsi b na c kratko, zarulja R2, promjeni sea ukupni otpor kruga i R1 +R2 na samo R1.Tako se smanjivanjem otpora povecava struja.
Kviz 2.16. Kad je prekidac na slici 33 zatvori (lijevo), struja kroz R2 ne tece. Sto ce se desiti s ampermetromna desnoj slici kad se prekidac otvori? (a) ampermetar ce pokazivati vecu struju, (b) manju, (c) istu.
Rjesenje: (b) Kad je prekidac otvore otpornici su u seriji, pa je ukupni otpor veci nego kad je zatvoren.Stoga je struja u krugu slabija.
Razmotrimo sada dva otpornika spojena paralelno, kao sto je prikazano na slici 34. Kad se naboji nadu utocki a, cvoru, razdvajaju se na dva dijela, neki idu kroz R1 a neki kroz R2. To razdvajanje rezultira u slabijojstruji kroz svaki od otpornika. Kako je naboj ocuvan, struja I koja ulazi u a mora biti jednaka ukupnoj strujikoja odlazi iz te tocke:
I = I1 + I2.
Kako su otpornici spojeni direktno na polove baterije, razlika potencijala na otpornicima je jednaka, pa imamo
I = I1 + I2 =∆ϕ
R1+
∆ϕ
R2= ∆ϕ
(1
R1+
1
R2
)=
∆ϕ
R.
Ekvivalentni otpor je dan s1
R=
1
R1+
1
R2→ R =
R1R2
R1 +R2. (2.49)
Za vise od dva otpornika vezanih u paralelu vrijedi
1
R=
1
R1+
1
R2+ · · ·+ 1
RN=
N∑i=1
1
Ri. (2.50)
2 GAUSSOV ZAKON 24
Slika 34: Paralelni spoj dvaotpornika otpora R1 i R2.Razlika potencijal na oba ot-pornika je jednaka.
Slika 35: Otpornici su zamje-njeni ekvivalentnim otporni-kom za koji vrijedi 1/R =1/R1 + 1/R2.
Slika 36: Uz kviz 2.19. Sto ce se desiti kad sezatvori prekidac?
Dakle, inverz ekvivalentnog otpora od dva ili vise otpornika spojenih u paralelu jednak je sumi inverza indivi-dualnih otpora.
U kucama su krugovi uvijek spojeni tako da su aparati spojeni paralelno. Svaki uredaj radi neovizno oostalima, pa ako se jedan iskopca, ostali ostaju ukljuceni. Svi oni rade na istom naponu.
Kviz 2.17. Zamislimo da na spoju sa slike 31 spojimo treci otpornik u seriju s prva dva. Hoce li se struja ubateriji (a) povecati, (b) smanjiti, (c) ostati jednaka? Hoce li na polovima baterije napon se (d) povecati, (e)smanjiti, (f) ostati jednak?
Rjesenje: (b), (d). Dodavanjem dodatnog otpora u seriju dovodi do povecanja otpora i slabljenja struje.Razlika potencijal se poveca jer smanjena struja daje manji pad napona na unutarnjem otporu.
Kviz 2.18. Na slici 34 dodamo treci otpornik u paralelu s prva dva. Hoce li se struja u bateriji (a) povecati,(b) smanjiti, (c) ostati jednaka? Hoce li na polovima baterije napon se (d) povecati, (e) smanjiti, (f) ostatijednak?
Rjesenje: (a),(e). Ako se drugi otporik poveze u paralelu, totalni otpor kruga se smanji i struja baterijese poveca. Razlika potencijala na polovima ce se smanjiti jer povecana struja uzrokuje veci pad napona naunutarnjem otporu.
Kviz 2.19. S otvorenim prekidacem na slici 36 (lijevo), ne tece struja kroz R2. Ako se prekidac zatvoriampermetar ce pokazivati (a) jacu, (b) slabiju, (c) jednaku struju.
Rjesenje: (a) kad je prekidac zatvoren, otpornik oba otpornika su u paraleli pa je otpor manji nego kad jeprekidac otvoren. Kao rezultat, struja je jaca.
2.10.2 Uredaji za mjerenje elektriciteta
Galvanometar Galvanometar je analogni uredaj za mjerenje struje i napona.
Ampermetar Uredaj za mjerenje (jacine) struje zove se ampermetar. Naboj koji cini struju mora proci krozampermetar pa se on veze u seriju s ostalim elementima kruga, kako je prikazano na slici 37.
Idealno, ampermetar bi trebao imati otpor nula, tako da ne utjece na struju koju mjeri.
Voltmetar Sprava koja mjeri razliku potencijala naziva se voltmetar. Razlika potencijala izmedu bilo kojetocke se moze mjeriti stavljanjem krajeva voltmetra na te tocke bez prekidanja kruga, kao na slici 38. Razlikapotencijala na otporniku R2 mjeri se povezivanjem voltmetra u paralelu s R2.
Kroz idealni voltmetar struja ne bi smjela teci, pa bi otpor voltmetra trebao biti beskonacan.
2 GAUSSOV ZAKON 25
Slika 37: Struja se moze mje-riti ampermetrom povezanim useriju s elementima u kojima semjeri struja. Idealni amperme-tar ima otpor nula.
Slika 38: Razlika potencijal naotporniku se mjeri paralelnimpovezivanje voltmetra s otporni-kom. Slika 39: Uz kratko pitanje 10.
2.11 Kratka pitanja
1. Pod kojim uvjetima je razlika potencijala a polovima baterije jednaka naponu baterije? Moe li razlikapotencijala biti veca od naponu? Objasite!
2. U kojem smjeru ide struja u bateriji? Objasnite!
3. Kako treba povezati otpornike da ekvivaleti otpor bude veci od najveceg individualnog otpora. Dajteprimjer koji ukljucuje tri otpornika.
4. Kako treba povezati otpornike da ekvivaleti otpor bude manji od najmanjeg individualnog otpora. Dajteprimjer koji ukljucuje tri otpornika.
5. Skicirajte sve moguce strujne krugove s tri zarulje i baterijom.
6. Kad su otpori povezani u seriju, sto ce biti jednako kod svih otpornika: razlika potencijala, struja, snaga?
7. Kad su otpori povezani u paralelu, sto ce biti jednako kod svih otpornika: razlika potencijala, struja,snaga?
8. Ako se zarulja poveze na napon od 220 V kratkom zicom, kako ce svjetliti u odnosu na slucaj kad sepoveze vrlo dugom zicom? Objasite.
9. Kako je moguce da ptica sjedi a zici visokog potencijala, a da je struja ne ubije?
10. Opisite sto se desava s zaruljom na slici 39 kad se prekidac zatvori. Pretpostavite da je kapacitet konde-natora velik i na pocetku prazan.
11. Koliki je idealni otpor ampermetra? A idealnog voltmetra? Je li moguce dostici te ideale?
12. ‘Kratki spoj’ je put s vrlo malim otporom vezanim u paralelu s nekim drugim dijelom kruga. Diskutirajteefekt kratkog spoja!
13. Ako se struja prenosi preko vrlo velikih udaljenosti, otpor zica postaje znacajan. Zasto? Je li boljeprenostiti jacu struju i manji napon ili slabiju struju i visi napon da se izgubi manje energije? Objasitesvoj odgovor.
14. Jesu li dva prednja svjetla na automobilu povezaa u seriju ili u paralelu? Kako to mozete dokazati?
15. Tri zarulje od 60 W, 75 W i 200 W povezane su u seriju na mrezu s 220 V. Koja zarulja svjetli najjace?Koja ima najveci otpor? Kako bi se promijenio odgovor ako su povezane u paralelu?
2 GAUSSOV ZAKON 26
16. Dvije jednake zarulje povezane su u seriju. Hoce li prva zarulja biti svjetlija od druge?
17. Treba li osigurac spojiti u seriju ili u paralelu s uredajem kojeg stiti?
18. Pretpostavimo da ste pri padu sa neke visini dohvatili zicu s visokim naponom. Hoce li vas struja stestidok visite? AKo zica pukne, trebate li se nastaviti drzati sve dok ne zavrsite s padom?
2.12 Magnetizam
Vjeruje se da se kompas, koji koristi magnetsku iglu, koristio u Kini vec u 13. stoljecu prije nove ere, a cijeotkrice je indijskog ili arapskog porijekla. Grci su ponavali magnetizam oko 800. godine prije nove ere. Otkrilisu da kamen magnetita ( Fe3O4) privlaci komad eljeza.
Godine 1269. francuz Pierre de Maricourt zapazio je da smjer igle blizu prirodnog magneta formiralinije koje cine sfere i prolaze kroz dvije suprote tocke, koje je on nazvao polovima magneta. Eksperimenti supokazali da svaki magnet, bez obira na oblik, ima dva pola, nazvanih sjevernim i juznim polom, koji djelujusilom na druge magnetske polove slicno kao sto elektricni aboji djeluju na druge naboje. Tako, istoimeni polovise odbijaju, a suproti se privlace.
Polovi su dobili ime zbog svog ponasanja prema Zemljinom magnetskom polju - sjeverni pol mageta pokazivatce prema sjeverom Zemljinom polu.
Slika 40: Igla kompasa moze seupotrijebiti za odredivanje mag-netnih silnica izvan magneta.
Slika 41: Vektor v je u smjerupalca, B u smjeru prstiju. SilaFB na pozitivni naboj je usmjeru dlana, kao da guratecesticu rukom.
Godine 1600. William Gilbert (1540. – 1603.) prosirio je Marcourtov eksperiment na mnogo materijala.Sugerirao je da je Zemlja veliki stalni magnet. Ustanovljeno je da se jedan magnetski pol nikad ne moze izolirati,tj. magnetni polovi se uvijek nalaze u parovima.
Relacija izmedu magnetizma i elektriciteta pronadena je 1819. kad je, za vrijeme demonstracije na preda-vanju, danski znanstvenik Hans Christian Oersted nasao da elektricna struja u zici otklanja iglu kompasa.1820-tih godina demonstrirano je daljnje povezivanje elektriciteta i magnetizma Faraday i Joseph Henry.Pokazali su da se elektrica struja moze proizvesti ili gibanjem mageta u blizini kruga ili mjenjanjem struje blizutog kruga. Ti pokusi demonstriraju da promjenjivo magnetno polje stvara elektricno polje. Kasnije je Maxwellpokazao da vrijedi i obrat: promjena elektricog polja stvara magnetno polje.
2 GAUSSOV ZAKON 27
2.13 Magnetno polje i sile
Magnetno polje cemo ozacavati simbolom B. Smjer magetnog polja je smjer magnetne igle. Kao i elektricopolje i magnetno mozemo prikazati magnetnim silnicama.
Slika 40 pokazuje magnetne silnice ravog magneta. Zapazite da magnetne silnice izlaze iz sjevernog pola iulaze u juzni.
Mozemo definirati mageto polje B u nekoj tocki prostora u terminima magnetne sile FB kojom polje djelujena nabijenu cesticu koja se giba brzinom v. Eksperimenti na razlicitim nabijeim cesticama koje se gibaju umagnetom polju daju sljedece rezultate:
• velicina sile FB magnetne sile proporcionalna je naboju i brzini cestiice.
• Velicina i smjer sile FB ovise o brzini cestice i o velicini i smjeru magnetnog polja B.
• Kad se nabijena cestica giba paralelno vektoru magnetnog polja, magnetna sila koja djeluje na cesticu jenula.
• Kad brzina cestice tvori kut ϑ = 0 s magnetnim poljem, magnetna sila okomita je i na v i na B, tj. naravninu definiranu s brziom cestice i poljem.
• Magnetna sila kojom polje djeluje na pozitivni naboj suprotna je sili na negativni naboj ako se gibaju uistom smjeru.
• Velicina magnetne sile proporcionalna je sa sinϑ, gdje je ϑ kut brzine cestice sa smjerom polja.
Sva ta opazanja mogu se sumirati u oblikuFB = qv × B. (2.51)
Velicina magnetne sile jeFB = |q| vB sinϑ. (2.52)
Nekoliko vaznih razlika izmedu elektricnih i magnetnih sila:
• Elektricne sile djeluju u smjeru elektricnog polja, dok magnetne djeluju okomito na magnetno polje.
• Elektricne sile djeluju na nabojene cestice i kad se ne gibaju, dok magnetne djeluju samo na cestice ugibanju.
• Elektricne sile vrse rad premjestanjem nabijene cestice, dok magnetne sile konstantnog magnetnog poljane vrse rad pri premjestanju cestice jer je sila okomita na pomak.
Iz zadnje tvrdnje vidimo da se kineticka energija nabijene cestice ne mijenja gibanjem kroz magnetno polje.Mijenja se samo smjer brzine cestice ne i njena velicina.
Jedinica za magnetno polje zove se tesla (T):
1 T = 1N
C ·m/s= 1
N
A ·m.
Cesto koristena ne SI jedinica je gauss (G): 1 T = 104 G.
Kviz 2.20. Sjeverni pol magneta drzi se blizu nabijenog komada plastike. Magnet ce plasticu (a) privuci, (b)odbiti, ili (c) nece utjecati.
Rjesenje: (c). Magnetna sila proporcionalna je brzini naboja relativno na polje. Ako naboj miruje sila jenula.
Kviz 2.21. Nabijena cestica giba se brzinom v u magnetnom polju B. Magnetna sila na cesticu je maksimalnakad je v (a) paralelan s B, (b) okomito na B, (c) nula.
Rjesenje: (b) Maksimalna vrijednost sinusa je za 90.
Kviz 2.22. Elektron se giba u ravnini papira prema vrhu stranice. Magnetno polje je takoder u ravniniusmjereno na desno. Smjer magnetne sile na elektron je (a) prema vrhu stranice, (b) prema dnu stranice, (c)na lijevi kraj stranice, (d) na desni kraj stranice, (e) gore iz stranice, (f) dolje u stranicu.
Rjesenje: (e) Pravilo desne ruke daje smjer. Pazite da elektron ima negativni naboj.
2 GAUSSOV ZAKON 28
2.14 Magnetna sila na vodic kojim tece struja
Ne treba iznenaditi da magnetno polje djeluje na vodic kojim tece struja kad djeluje na nabijenu cesticu ugibanju, jer je struja gibanje mnogih nabijenih cestica.
Struja koja tece vodicem je kolekcija gibanja mnogih nabijenih cestica; dakle, rezultanta je suma individu-alnih sila na sve nabijene cestice koje cine struju. Sila na cestice se prenosi na zicu sudaranjem s atomima kojitvore zicu.
Slika 42: Magnetno polje kojeizlazi iz papira oznaceno jetockama, po strelici koja izlazikroz papir.
Slika 43: Magnetno poljekoje ide u papir oznaceno jekrizevima, poput zadnjeg krajastrelice koja ulazi u papir.
Slika 44: Dio zice kojom tecestruja u magnetnom polju B.Magnetna sila na svaki naboj izstruje je qv×B, a ukupna sila nasegment duljine L je IL× B.
Notacija: kad je polje okomito na papir i djelje iz stranice, oznacavat cemo ga nizom tocaka, koje oznacavajuvrh strelice koja dolazi prema vama (slika 42. U tom slucaju oznacavamo polje kao Bout. Kao je polje usmjerenookomito u stranicu, oznacavamo ga krizevima, poput repa strelice koja ide od vas, slika 43. Polje oznacavamos Bin.
Neka ravnim dijelom zice duljine L i poprecnog presjeka A, tece struja I u jednolikom magnentnom poljuB, kao sto je prikazano na slici 44. Magnetno polje na naboj q koji se giba brzinom v u vodicu je qv × B. Ovusilu moramo pomnoziti s brojem naboja na tom dijelu. Volumen segmenta je AL, broj naboja je nAL, gdje jen broj naboja u jedinici volumena. Dakle, totalna sila na zicu duljine L je
FB = (qv × B)nAL.
Iz jednadzbe (2.32), struja u zici je I = nqvA, pa je
FB = IL× B, (2.53)
gdje je L vektor koji pokazuje smjer struje I i ima velicinu duljine dijela zice L. Zapazite da izraz vrijedi samoza ravni dio zice u jednolikom magnetnom polju.
Ako zica nije ravna, kao na slici 48, sila na mali segment vektora duljine ds u polju B je
dFB = I ds× B. (2.54)
Ukupna sila koja dhjeluje na zicu je
FB = I
b∫a
ds× B, (2.55)
gdje a i b oznacavaju krajnje tocke zice.Razmotrimo specijalne slucajeve kad je magnetno polje homogeno (jednoliko po velicini i smjeru).
2 GAUSSOV ZAKON 29
Slika 45: Zica je okomita na poljeizmedu polova magneta. Mag-netno polje usmjereno je u stra-nicu. Struja ne tece, pa je silanula.
Slika 46: Kad struja ide premagore, zica se pomice na lijevo.
Slika 47: Kad je struja prema do-lje, zica se pomice na desno.
Slika 48: Dijelom zice proizvolj-nog oblika tece struja I i magnet-nom polju B. Sila na segment dsje I ds× B.
Slika 49: Zakrivljenom zicomtece struja I u jednolikom mag-netnom polju. Sila je jednakasili koja djeluje na ravnu zicuizmedu krajnjih tocaka.
Slika 50: Magnetna sila na zatvo-renu zicu u homogenom pojlu jenula.
i. Zakrivljena zica kojom tece struja I nalazi se u magnetnom polju B, kao na slici 49. Kako je polje jednoliko,mozemo ga izvuci izvan integrala
FB = I
b∫a
ds
× B. (2.56)
Integral∫ b
ads je vektorska suma svih elemenata zice od a do b, pa je jednaka vektoru L′ = ab:
FB = IL′ × B. (2.57)
2 GAUSSOV ZAKON 30
Zakljucujemo da magnetna sila na zakrivljenu zicu kojom tece struja u jednolikom magnentnom poljujednaka je kao na ravnu zicu koja povezuje krajnje tocke zice s istom strujom.
ii. Zica cini zatvorenu krivulju. Iz gornjeg slucaja, kad je b = a, je integral jednak nuli. Zakljucak je ukupnasila koja djeluje na zatvorenu krivulju je nula.
Kviz 2.23. Cetirima zicam prikazanim na slici 51 tece ista struja iz tocke A u B udaljene za 10 cm u istommagnetnom polju. Poredajte zice po velicini sile koja djeluje na njih, od vece k manjoj.
Slika 51: Uz kviz 2.23. Na koju zicu djeluje najjaca magnetna sila
Rjesenje: (a), (b) = (c), (d). Velicina sile ovisi o vrijednosti sinϑ. Maksimalna sila je kad je zica okomitana polje (a), a sila je nula kad su paralelni, (b) i (c) reprezentiraju istu silu, jer sila je jednaka kad su krajnjetocke jednake.
Kviz 2.24. Zicom tece struja u ravnini papira prema vrhu stranice. Magnetno polje je u smjeru desnog krajastranice. Sila na zicu je (a) prema vrhu stranice, (b) prema dnu stranice, (c) na lijevi kraj stranice, (d) na desnikraj stranice, (e) gore iz stranice, (f) dolje u stranicu.
Rjesenje: (c) Koristite pravilo desne ruke za odredivanje smjera magnetnog polja.
2.15 Izvori magnetnog polja
2.15.1 Biot-Savartov zakon
Ubrzo nakon sto je Oersted 1819. otkrio da se igla kompasa zakrece pod utjecajem struje u vodicu, Jean-Baptiste Biot (1774. – 1862.) i Felix Savart (1701.–1841) izveli su kvantitativni eksperiment iz kojeg su
2 GAUSSOV ZAKON 31
dobili matematicki izaz koji daje magnetno polje u nekoj tocki prostora zbog struje. Opazanja koja su dovelado formule
dB =µ0
4π
I ds× r
r2. (2.58)
su bila sljedeca:
• Vektor dB okomit je na ds (koji pokazuje smjer struje) i jedinicni vektor r od ds u P .
• Velicina od dB obrnuto je proporcionalna s r2, gdje je r udaljenost od ds do P .
• Velicina od dB proporcionalna je struji i velicini ds.
• Velicina dB proporcionalna je sa sinϑ, gdje je ϑ kut izmedu vektora ds i r.
U gornjoj formuli konstanta µ0 je permeabilnost vakuuma i iznosi
µ0 = 4π · 10−7Tm/A. (2.59)
Ukupni magnetno polje dobivamo integracijom Eq. (2.58)
B =µ0I
4π
∫ds× r
r2, (2.60)
gdje se integrira preko cijele distribucije struje.
Slika 52: Uz kviz 2.25. Gdje jemagnetno polje najvece?
Slika 53: Uz primjer 2.3. Tan-kom, ravnom zicom tece strujaI. Magnetno polje racunamo utocki P .
Slika 54: Uz primjer 2.3. Kutoviϑ1 = 0 i ϑ2 = π za beskonacnuzicu.
Kviz 2.25. Razmotrimo struju u zici prikazanoj na slici 52. Rangirajte tocke po velicini magnetnog polja odvece k manjoj.
Rjesenje: B, C, A. Tocke B i su jednako udaljene elementu struje, ali u C polje se reducira zbog faktorasinϑ. Polje u A je nula jer je ϑ = 0.
Primjer 2.3. Razmotrimo tanku, ravnu zicu kojom tece konstantna struja I smjestenu duz osi x, kao naslici 53. Odredite magnetno polje u tocki P .
Rjesenje: Krecemo od elementa ds. Smjer magnentog polja je iz stranice. Kako su svi elementi struje I dsu ravnini stranice, svi dB ce biti iz stranice. Izaberemo y-os da je P na pozitivnoj y-osi, onda je polje u smjeruosi z, ili k:
ds× r = | ds× r| k = (dx sinϑ)k.
2 GAUSSOV ZAKON 32
Element polja je
dB = (dB)k =µ0I
4π
dx sinϑ
r2k.
Svi elementi struje stvaraju magnetno polje u k smjeru, sve elemente zbrajamo skalarno, a konacni smjer je k.
dB =µ0I
4π
dx sinϑ
r2. (2.61)
Integraciju izvrsimo izrazavanjem varijabli preko kuta ϑ:
r =a
sinϑ(2.62)
x = −a ctg ϑ → dx =1
sin2 ϑdϑ. (2.63)
Za dB dobivamo izraz
dB =µ0I
4πasinϑ dϑ. (2.64)
Integracija je sad jednostavna:
B =µ0I
4πa
ϑ2∫ϑ1
sinϑ dϑ =µoI
4π(cosϑ1 − cosϑ2). (2.65)
Za beskonacno dugacku zicu je ϑ1 = 0, ϑ2 = π, pa je magnentno polje
B =µ0I
2πa. (2.66)
Rezultati ovog primjera su vrlo vazni jer struja u obliku ravnog dugackog vodica cesto se pojavljuje. Zbogsimetrije zice, magnetne silnice su koncentricne s zicom i leze u ravninama okomitima na zicu. Velicina od B jekonstantna na svakoj kruznici polumjera a. Pravilo za odredivanje smjera od B je da obuhvatimo zicu desnomrukom, kad palac ide u smjeru struje. Cetiri prsta koji obuhvacaju zicu pokazuju smjer magnetnog polja.
Valja zapaziti da magnetne silnice tvore zatvorene krivulje, za razliku od elektricnih silnica.
2.15.2 Magnetno polje izmedu dvaju paralelnih vodica
Kako struja stvara magnetno polje, jasno je da ce dva vodica kojima tece struja djelovati medusobno magnetnomsilom. Ta se sila koristi za definiranje ampera i coulomba.
Razmotrimo dvije dugacke, ravne, paralelne zice odvojene udaljenoscu a kojima protice struja u istomsmjeru. Vodic 2 stvara magnetno polje B2 na polozaju vodica 1. Smjer B2 okomito je na zicu 1. Magnetna silana zicu 1 duljine po duljini l je F1 = I1 l × B2. Zbog okomitosti polja i struje, velicina od F1 je F1 = I1lB2, aB2 je dano s (2.66), pa je
F1 = I1lB2 = I1l
(µ0I22πa
)=
µ0I1I22πa
l. (2.67)
Smjer sile F1 je prema zici 2, jer je l × B2 u tom smjeru. Naravno, sila kojom B1 djeluje na zicu 2 je suprotnaovoj sili, sto i treba biti po trecem Newtonovom zakonu. Kad su struje u suprotnom smjeru, sile mijenjajuorjentaciju, tj. sila je odbojna.
Kako je velicina sile ista na oba vodica, oznacit cemo je s FB , a po jedinici duljine vodica ona iznosi
FB
l=
µ0I1I22πa
. (2.68)
Ovaj izraz sluzi za definiranje ampera:
Def. 2.7. Kad je velicina sile po jedinici duljine izmedu dva dugacka paralelna vodica na medsobnoj udaljenostiod 1 m koji vode identicnu struju jednaka 2 · 10−7 N/m, struja u svakom vodicu je 1 A.
Kviz 2.26. Za I1 = 2 A, I2 = 6 A na slici 56, koji je odgovor ispravan: (a) F1 = 3F2, (b) F1 = F2/3, (c)F1 = F2
Rjesenje: (c). F1 = F2 kao sto zahtjeva 3. Newtonov zakon.
2 GAUSSOV ZAKON 33
Slika 55: Pravilo desne rukeza odredivanje smjera magnet-nog polja duge, ravne zice kojomtece struja. Zapazite da mag-netne silnice tvore kruznice okozice.
Slika 56: Dvije paralelne zicevode struju koja stvara mag-netnu silu. Polje B2 zbog strujeu zici 2 stvara silu na zicu 1velicine F1 = I1lB2. Sila jeprivlacna ako su struje paralelne,odbojna za antiparalelne struje.
Slika 57: Zemljino magnetno po-lje. Zapazite da je juzni mag-netni pol blizu sjevernog geograf-skog pola i obratno.
2.15.3 Magnetni tok
Tok pridruzen s magnetnim poljem definiramo slicno kao elektricni tok:
ϕB =
∫B · dA. (2.69)
U specijalnom slucaju kad je polje homogeno koje zatvara kut ϑ s dA magnetni tok je
ϕB = BA cosϑ. (2.70)
Jedinica magnetnog toka je weber 1Wb = 1T ·m2
2.15.4 Magnetno polje Zemlje
Sjeverni magnetni pol magneta okrece se prema sjevernom geografskom polu, sto znaci da je Zemljin juznimagnetni pol smjesten blizu sjevernog geografskog pola.
2.16 Faradayev zakon
Do sad smo proucavali elektricna polja stvorena stacionarnim nabojima i magnetna polja stvorena nabojima ugibanju. Ovdje promatramo efekt koji stvara magnetno polje koje se mijenja tijekom vremena.
2.16.1 Faradayev zakon indukcije
Faraday je iz svojih opazanja zakljucio da elektricna struja se moze inducirati u krugu promjenom magnetnogpolja.
Faradayev zakon indukcije moze se izraziti kao
Teorem 2.1. Napon induciran u krugu proporcionalan je brzini promjene magnetnog toka kroz krug:
U = − dϕB
dt, ϕB =
∫B · dA. (2.71)
Ako se petlja sastoji od N zavoja, vrijedi
U = −NdϕB
dt. (2.72)
2 GAUSSOV ZAKON 34
Kviz 2.27. Slika prikazuje graficku reprezentaciju velicine polja vs. vrijeme. Magnetno polje je okomito naravninu petlje i homogeno preko povrsine petlje. Rangirajete velicinu generiranog napona u 5 trenutaka, odveceg k manjem.
Rjesenje:c, d =e,b,a. Tocke c i d su na istom pravcu, pa je nagib jednak na tim tockama. Tocka a ima nultinagib jer je horizontalna.
Slika 58: Uz kviz 2.27. Vre-menska ovisnost magnetnog po-lja kroz petlju.
2.16.2 Maxwellove jednadzbe
Maxwellove cetiri jednadzbe su baza svih elektrinih i magnetnih pojava. Jednadzbe koje je razvio JamesClerk Maxwell su osnova elektromagnetnih fenomena kao sto su Newtonovi zakoni za mehanicke pojave.Ove su jednazbe obuhvatnije nego se moglo zamisliti jer se pokazalo da su u skladu sa specijalnom teorijomrelativnosti.
Ovdje cemo prikazati Maxwellove jednadzbe za prazni prostor, tj. bez dielektricnih ili magnetnih materijala.Jednadzbe su Gaussov zakon: ukupni elektricni tok kroz zatvorenu plohu jednak je naboju podijeljenom s ε0:∮
S
E · dA =q
ε0, Gaussov zakon. (2.73a)
Gaussov zakon u magnetizmu, kao elektricni, ali nema magnetnog naboja:∮S
B · dA = 0, Gaussov zakon u magnetizmu. (2.73b)
Faradayev zakon opisuje stvaranje elektricnog polja promjenom magnetnog polja.∮E · ds = − dϕB
dt, Faradayev zakon. (2.73c)
Ampere – Maxwellov zakon generalizacija je Amperova zakona i opisuje stvaranje magnetnog polja iz elektricnogpolja i elektricne struje. ∮
B · ds = µ0I + ε0µ0dϕE
dt, Ampere–Maxwellov zakon. (2.73d)
Jednom kad su poznata elektricna i magnetna polja, sila koja djeluje na cesticu naboja q moze se izracunatiiz Lorentzove sile:
F = qE + qv × B. (2.74)
2 GAUSSOV ZAKON 35
2.17 Izmjenicna struja
2.17.1 Izvori izmjenicne struje
Prema Faradayevom zakonu je inducirani napon
U = − dϕB
dt, ϕB = BA cosϑ,
gdje je ϑ kut izmedu povrsine i silnica polja. Ako u magnetno polje stavimo petlju koja se vrti stalnom kutnombrzinom ω, kut ϑ se mijenja u vremenu, pa se tok kroz petlju u vremenu mijenja po zakonu
ϕB = BA cosωt.
Tada je inducirani naponu = −BA sinωt = Umax sinωt,
gdje je Umax maksimalni napon izvora ili amplituda napona. Kruzna frekvencija je
ω = 2πν =2π
T,
ν je frekvencija izvora, a T preioda. Vidimo da je napon pozitivan za vrijeme jedne polovice periode, a negativanu drugoj polovici. Frekvencija struje kod nas je ν = 50 Hz.
2.17.2 Otpori u krugu izmjenicne struje
Promotrimo krug izmjenicne struje koji se sastoji od otpornika i izvora, prikazanog na slici ??. U bilo kojemtrenutku algebarska suma napona u zatvorenom krugu mora biti nula (Kirchhoffovo pravilo
u = uR = Umax sinωt (2.75)
gdje je UR trenutni pad napona na otporniku. Za struju koja prolazi krugom dobivamo izraz
i =uR
R=
Umax
Rsinωt = Imax sinωt, (2.76)
gdje je Imax maksimalna struja
Imax =Umax
R.
Vidimo da je trenutni napon na otporniku
uR = ImaxR sinωt. (2.77)
Na slici 59 prikazan je graf napona i struje za izmjenicni krug struje. Struja i napon su u fazi (slika 78), jerse jednako ponasaju tijekom vremena, dostignu maksimum u istom trenutku.
Zapazite da je srednja vrijednost struje po ciklusu nula, jer struja tece u pozitivnom smjeru isto vrijemei s istim intenzitetom kao u negativnom smjeru. Smjer struje nema utjecaja na ponasanje otpornika, jerse temperatura otpornika povecava zbog sudaranja elektrona s atomima vodica bez obzira na smjer gibanjaelektrona.
Snaga koja se daje otporniku jednak je P = i2R, gdje je i trenutna struja u otporniku. Kako je snagaproporcionalna kvadratu struje, smjer nije vazan. Srednja snaga za vrijeme jednog perioda je
P =
∫ T
0i2R dt
T=
RI2max
2→ i =
Imax√2.
Slicno imamo i za napon:
u =Umax√
2. (2.78)
2 GAUSSOV ZAKON 36
tT
a
b
iR
uR
Imax
umax
Slika 59: Graf trenutne strujeiR i trenutnog napona uR naotporniku kao funkcije vremena.Struja je u fazi s naponom. Utrenutku t = T , jedan ciklus jekompletiran.
Slika 60: Fazna razlika prikazujese u vektorskom dijagramu. Na-pon je u odnosu na struju zakre-nut za fazni kut φ. Za φ > 0napon je u fazi ispred stuje, zaφ < 0 iza struje.
Slika 61: Napona i struje su ufazi za omski otpor.
i
t
Imax
Slika 62: Graf struje u otporniku kao funk-cija vremena.
t
i2
I2max
_i2 = I2
max /2
Slika 63: Graf kvadrata struje u otporniukao funkcija vremena. Zapazite iz grafa dapovrsina ispod krivulje jednaka 1
2 I2max!
2.17.3 Zavojnica u izmjenicnom krugu struje
Moze se pokazati da je struja koja prolazi zavojnicom induktiviteta L, a na cijim je krajevima razlika potencijalau = Umax sinωt jednaka
iL =Umax
ωLcosωt =
Umax
ωLsin
(ωt− 1
2 π). (2.79)
Vidimo da je struja u zavojnici izvan faze od π/2 rad = 90 u odnosu na napon (kasni za naponom).Iz jednadzbe (2.79) vidimo da je maksimalna vrijednost struje
Imax =Umax
ωL, (2.80)
sto lici na vezu izmedu struje, napona i otpora u krugu istosmjerne struje, pa definiramo induktivni otpor:
XL ≡ ωL. (2.81)
Napon u zavojnici je
uL = −Ldi
dt= −UmaxXL sinωt. (2.82)
Kviz 2.28. Razmotrite krug na slici 66. Zarulja ce svjetliti najsjajnije na (a) visokoj frekvenciji, (b) niskojfrekvenciji, (c) jednako na svim frekvencijama. Rjesenje (b). Na niskim frekvencijama, induktivni otpor je malipa je struja velika. Pad napona je uglavnom na zarulji, pa ona svjetli jarko.
2 GAUSSOV ZAKON 37
imax
umax
iL
uL
t
b
a
c
d
Te
Slika 64: Graf struje iL i naponauL u zavojnici kao funkcija na-pona.
Slika 65: Struja u zavojnici kasniza naponom za 90.
Slika 66: Uz kviz 2.28. Na ko-joj ce frekvenciji svjetiljka svje-tliti najsjajnije.
2.17.4 Kondenzatori u krugu izmjenicne struje
Slika 67: Krug se sastoji od kon-denzatora kapaciteta C poveza-nog na izvor izmjenicne struej
imax
umax
t
d
imax
umax
iC
uC
t
b
a
c
T
T
Slika 68: Graf trenutne struje inapona kroz kondenzator.
Slika 69: Struja u kondenzatoruprethodi naponu za 90.
Slika ?? pokazuje kondenzator povezan na izvor izmjenicne struje. Razlika potencijala na kondenzatorujednaka je naponu na izvoru
uC = Umax sinωt. (2.83)
Iz definicije kapaciteta je C = q/uC , pa je
q = CUmax sinωt, (2.84)
gdje je q naboj na kondenzatoru u trenutku t. Kako je i = dq/ dt, struja u krugu je
iC =dq
dt= ωCUmax cosωt = ωCUmax sin
(ωt+
π
2
). (2.85)
Zamijecujemo da je struja za π/2 izvan faze s naponom. Struja postize maksimum na cetvrtini perioda prijenapona.
Vidimo i da je maksimalna struja
Imax = ωCUmax =Umax
(1/ωC). (2.86)
Nazivnik je otpor kojeg cemo oznacavati s XC i definiramo ga kao otpor kondenzatora”
XC ≡ 1
ωC(2.87)
2 GAUSSOV ZAKON 38
pa je
Imax =Umax
XC. (2.88)
Kad se frekvencija priblizava nuli, otpor kondenzatora tezi u beskonacno, i za nulu, kondenzator predstavljaotvoreni krug.
Slika 70: Uz kviz 2.29. Na kojoj ce frekvencijisvjetiljka svjetliti najsjajnije. Slika 71: Uz kviz 2.30. Na kojoj ce frekvenciji
svjetiljka svjetliti najsjajnije.
Kviz 2.29. Razmotrite krug na slici 70. Zarulja ce svjetliti najsjajnije na (a) visokoj frekvenciji, (b) niskojfrekvenciji, (c) jednako na svim frekvencijama. Rjesenje (a). Za visoke frekvencije. Otpor kondenzatora je takomali da je struja velika. Pad napona je uglavnom na zarulji, pa ona svjetli jarko.
Kviz 2.30. Razmotrite krug na slici 71. Zarulja ce svjetliti najsjajnije na (a) visokoj frekvenciji, (b) niskojfrekvenciji, (c) jednako na svim frekvencijama. Rjesenje (b). Za niske frekvencije, otpor kondenzatora je takovelik da vrlo malo struje ide kroz granu kondenzatora.Otpor zavojnice je mali pa struja tece kroz tu granustrujnog kruga i svjetiljka svjetli. Kako frekvencija rase, induktivni otpor raste, a kondenzatorov pada, pasvjetiljka sjaji slabije.
2.17.5 RLC krug
Slika 72: Krug izmjenicne struje koji se sastojiod otpornika, zavojnice i kondenzatora.
t
uRt
T
t
uLt
T
t
uCt
T
Slika 73: Graf napona u RLC krugu.
Slika 72 prikazuje krug koji se sastoji od otpornika, zavojnice i kondenzatora vezanih u seriju s izvoromizmjenicne struje. Pretpostavimo da napon izvora se mijenja sinusoidalno
u = Umax sinωt,
2 GAUSSOV ZAKON 39
dok se struja mijenja kaoi = Imax sin(ωt− φ),
gdje je φ fazni kut izmedu struje i primjenjenog napona. Struja u svim tockama mora imati istu amplitudu ifazu.
Slika 74: Relacije faza izmedu napona i struje za (a) otpornik, (b) zavojnicu, (c) kondenzator.
Iz prethodnih paragrafa imamoUR = ImaxR sinωt = UR sinωt, (2.89a)
UL = ImaxXL sin(ωt+ 1
2 π)= UL cosωt, (2.89b)
UC = ImaxXC sin(ωt− 1
2 π)= −UL cosωt, (2.89c)
gdje su maksimalne vrijednosti napona
UR = ImaxR, UL = ImaxXL, UC = ImaxXC . (2.89d)
Slika 75: Dijagram faze zaRLC krug prikazan na slici 72.Ukupni napon UMax zatvara kutφ s Imax
Slika 76: Pojednostavljena ver-zija dijagrama iz prethodne slike
Slika 77: Trokut impedancija zaserijski RLC krug dan relacijomZ =
√R2 + (XL −XC)2.
Ukupni napon jeu = uR + uL + uC .
Sumu cemo jednostavno dobiti na dijagramu faze, na kojem maksimalnu struju crtamo na apscisi, a napon podkutom faznog pomaka φ, kao na slici 71. Zbrajanjem napona dobivamo (slika 75)
Umax =√
U2R + (UL − UC)2 =
√(ImaxR)2 + (ImaxXL − ImaxXC)2
Umax = Imax
√R2 + (XL −XC)2,
(2.90)
2 GAUSSOV ZAKON 40
odnosno, ukupni otpor kojeg zovemo impedancija je
Z ≡√R2 + (XL −XC)2. (2.91)
Impedanciju mozemo dobiti iz trokuta impedancije sa slike 77, otkuda mozemo dobiti i fazni kut
φ = arc tg
(XL −XC
R
). (2.92)
Kviz 2.31. Na svakom grafu na slici 79, nadite relaciju izmedu XL i XC .
Slika 78:
Slika 79: Uz kviz 2.31. Nadite relacije izmedu otpora!
Rjesenje: (a) XL < XC , (b) XL = XC , (a) XL > XC .
2.18 Elektromagnenti valovi
Za razliku od mehanickih valova, elektromagnetni (EM) valovi mogu putovati vakuumom.zacudno, Maxwellove jednadzbe takoder predvidaju postojanje EM valova, koji se sire kroz prostor brzinom
svjetlosti c. Heinrich Herz je potvrdio Maxwellova predvidanja generiranjem i detektiranjem EM valova 1887.godine. To je otkrice dovelo do mnogih prakticnih komunikacijskih sistema poput radija, televizije, radara. Nakonceptualnom nivou, Maxwell je objediono svjetlost i elektromagnetizam razvijanjem ideje da je svjetlost oblikEM zracenja.
EM val sastoji se od elektricnog i magnetnog polja koja se sire u obliku valova u ravnini. Ravnine elektricnogi magnetnog polja su medusobno okomite i okomite su na smjer sirenja vala – EM valovi su transverzalni valovi.U svakom su trenutku omjeri velicine elektricnog i magnetnog polja u EM valu jednaki brzini svjetlosti:
Emax
Bmax=
E
B= c. (2.93)
Kviz 2.32. Kolika je razlika u fazi izmedu oscilacija elektricnog i magnetnog polja? (a) 180, (b) 90, (c) 0,
(d) nije je moguce odrediti. Rjesenje: (c). Polja B i E imaju maksimum i minimum u istom trenutku.
2.18.1 Brzina elektromagnetnih (EM) valova u vakuumu i u sredstvu
Godine 1849., francuski znanstvenik Armand Hippolyte Fizeu (1819.–1896.) izmjerio je brzinu svjetlosti naotprilike 3 · 108 m/s.
Brzina EM valova odreduju dvije velicine: permitivnost slobodnog prostora ε0, pridruzenom elektricnompolju i permeabilnost slobodnog prostora µ0, pridruzen magnetnom polju. Te dvije velicine treba kombiniratida daju dimenziju brzinu.
2 GAUSSOV ZAKON 41
Slika 80: Reprezentacija EM valakoji se giba u pozitivnom smjeruosi x brzinom c.
Slika 81: Elektromagnetni spektar. Postoji preklapanje pojedinih ti-pova.
Slika 82:
Vrijednosti tih konstanti u SI su
ε0 = 8.85 · 10−12 C2
Nm=
1
4π · 9 · 109C2
Nm, µ0 = 4π · 10−7 Tm
A.
Tesla se moze napisati pomocu drugih SI jedinica
1T = 1N
Cm/s.
Umnozak ove dvije velicine daje
ε0 · µ0 = 1.11 · 10−17 s2
m2.
Evidentno je onda brzina
c =1
√ε0µ0
= 3.00 · 108 m/s.
Brzinu c obicno nazivamo brzinom svjetlosti, iako je to brzina svih EM u vakuumu.
Brzina svjetlosti u sredstvu Kad se EM giba u sredstvu, brzina mu je v < c. Umjesto specificiranja brzine,cesto se specificira indeks loma n:
n =c
v. (2.94)
LITERATURA 42
Slika 83: EM spektar
Kad EM val prelazi iz jednog sredstva u drugo, frekvencija ostaje ista, a mijenja se valna duljina. Ako s λ0
oznacimo valnu duljinu vala u vakuumu, onda je
f =c
λ0=
v
λ→ λ =
λ0
n.
Kako je n > 1, valna duljina u sredstvu je kraca nego u vakuumu.
Literatura
[1] Yavorski - Pinski: fundamentals
[2] Serway, Jevett: Physics for the scientist, www.pse6.com
[3] Feynman Lectures on Physics vol 1.
