Fizika 2 - FESBadria.fesb.hr/~zmiletic/Fizika 2/2. Matematicko i fizikalno njihalo... · Fizika 2 Predavanje 2 Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i ... Prvo

Školska godina 2008./2009.

Fizika 2

Predavanje 2Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i zbrajanje titranja. Uvod u mehaničke valove.

Dr. sc. Damir Lelas([email protected],

[email protected])

Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

Razlikovni studiji (910/920/930/940/950)

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Literatura

Damir Lelas: ured - B 701 (7. kat), tel. 305-881

Preporučena literatura:D. Lelas, M. Grbac, I. Sorić: On-line materijali, E-learning portal FESB-aV. Henč-Bartolić, P. Kulišić: Valovi i optika, Školska knjiga Zagreb, 1989. V. Henč-Bartolić i suradnici: Riješeni zadaci iz valova i optike, Školska knjiga, Zagreb 1992. J. Vuletin: Zadaci iz Fizike (Titraji i valovi, Toplina, Atomi), FESB, Split, 1996.

Dopunska literatura:N. Cindro: Fizika 2, Školska knjiga, Zagreb, 1991. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: Fundamentals of Physics, 7th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2005.E. M. Purcell: Elektricitet i magnetizam, udžbenik fizike Sveučilišta u Berkeley, svezak 2., Tehnička knjiga, Zagreb, 1988.E.V. Wichmann: Kvantna Fizika, udžbenik fizike Sveučilišta u Berkeley, svezak 4., Tehnička knjiga, Zagreb, 1988.

2Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 2


Danas ćemo raditi:(V. Henč-Bartolić i P. Kulišić: “Valovi i optika”, poglavlje 1 & 2)

Harmoničko titranjeMatematičko njihaloFizikalno njihaloZbrajanje harmoničkih titranja

Uvod u mehaničke valove


Matematičko njihaloMatematičko njihalo je sitno tijelo, materijalna točka, obješeno na nerastezljivu nit zanemarive mase.Kada njihalo miruje u ravnotežnom položaju, napetost niti uravnotežuje silu teže.Ako je njihalo za neki kut θ pomaknuto izvan položaja ravnoteže, normalnu komponentu sile teže uravnotežuje napetost niti , a tangencijalna je komponenta sile teže usmjerena prema ravnotežnom položaju.

θcosmgT =

l

θ⋅= lx

mgFg =


Matematičko njihalo (2)Zbroj svih sila jednak je tangencijalnoj komponenti sile teže .Ova sila nije proporcionalna pomaku θ, pa ni gibanje njihala nije harmoničko.Kad materijalnu točku mase m odmaknemo od položaja ravnoteže za relativno mali kut θ (toliko mali da vrijedi (kut izražen u radijanima)), gibanje tijela je analogno gibanju harmoničkog oscilatora.

θθ ≈sin

2

sin; nit je nerastezljiva i bez mase

0

0

( ) sin( )o

ma mx mg mgx l x l

ml mggl

gt tl

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ ω θ

θ θ ω ϕ ω

= = − ≈ −

= = −

= −

+ =

+ =

= + =

&&

&&&&

&&

&&

&&

l

θ⋅= lx

mgFg =

θsinmg−

glT π

ωπ 22; ==

jednadžba gibanja

Računarstvo, Fizika 2, Predavanje 2

sinθ ~ θ, za mali kut θ

θ (stupanj) θ (radijan) sin θ Τ/Τ0

2

6

10

30

60

90

1.000076

1.000686

1.00191

1.01744

1.0728

1.1702

0.03490

0.10472

0.17453

0.5236

1.0472

1.5708

0.034899

0.10453

0.17365

0.5

0.866

1

Period matematičkog njihala, koje se njiše malim amplitudama ovisi jedino o duljini njihala l i akceleraciji sile teže g.Za veće amplitude sinus kuta ne može se aproksimirati kutom i jednadžba gibanja ima složenije rješenje.Period njihala u tom slučaju ovisi o amplitudi θ0 i dan je izrazom:

glT

TT

π

ϑϑ

2

;...2

sin649

2sin

411

0

04020

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 2

Fizikalno (fizičko) njihaloKruto tijelo koje se može slobodno okretati oko čvrste horizontalne osi u gravitacijskom polju Zemlje tako da os ne prolazi kroz težište naziva se fizikalno njihalo.Na kruto tijelo izmaknuto iz ravnotežnog položaja za kut θ djeluje zakretni moment sile koji ga nastoji vratiti u ravnotežni položaj.d je udaljenost osi rotacije O od težišta tijela C

d mgFg =

Moment sile teže koji uzrokuje titranje je ϑsin⋅⋅−= dmgM


Fizikalno njihalo (2)Kad kruto tijelo izvedemo iz ravnotežnog položaja za relativno mali kut θ (toliko mali da vrijedi , kut izražen u radijanima) tijelo izvodi harmoničko titranje.

d mgFg = težasila sile, hvatišta do osi odvektor ; −=−×= gmFrFrM ggrrrrrv

θθ

kut smanjiti nastoji koji smjerima moment zakretnisin −⋅⋅−= dmgM

rotacije osi oko tijela krutog mostimoment tro -I osi cvrste okorotira se koje tijela krutoggibanja jednadzba θα &&rr

IIM ==

Imgd

Imgd

Imgdmgd

=→=+

=+

=−≈−

ωθωθ

θθ

θθθ

0

0

sin

2&&

&&

&&

mgdIT π

ωπ 22==

za mali kut θ

θθ ≈sin

jednadžba gibanja)sin()( 0 ϕωθθ += tt


Reducirana duljina fizikalnog njihalaReducirana duljina fizikalnog njihala je duljina matematičkog njihala koje ima istu period njihanja kao i fizikalno njihalo.

Točka P na štapu koja je od osi udaljena za reduciranu duljinu fizikalnog njihala lrzove se središte titranja (točka C – težište tijela). Tijelo obješeno u središtu titranja (točka P) ima isti period titranja kao i kad se njiše oko prvotne osi (oko točke O).Njihalo koje se može objesiti tako da se njiše oko točke O i oko središta titranja Pzove se reverziono njihalo.

mdIl

mgdI

gl

TT

r

fm

=

=

=

ππ 223

2LmI =

L

LLm

Lm

mdIl r 3

2

2

3

2

===

rld

I – moment tromosti štapa


Jednostavno harmoničko titranje i kružno gibanje

tAAx ωθ coscos ==

Harmoničko titranje možemo povezati s jednolikim gibanjem po kružnici, što nam često može pomoći u proučavanju titrajnih sustava.


Jednostavno harmoničko titranje i kružno gibanje

Kad se neko tijelo giba po kružnici konstantnom brzinom, projekcijapoložaja tijela na bilo koji promjer kružnice predstavljena je harmoničkimtitranjem.Kutna brzine točke jednaka je kružnoj frekvenciji titranja, a ophodnovrijeme gibanja jednako je periodu titranja.Vektor OP’ u donjoj lijevoj slici je rotirajući vektor ili fazor.

)cos()( φω += txtx m )sin()( φωω +−= txtv m2( ) cos( )ma t x tω ω φ= − +


Zbrajanje koherentnih titranjaAko na česticu djeluju istovremeno dvije harmoničke sile, gibanje tijeladano je superpozicijom gibanja (interferencijom) zbog svake pojedine sile.Kad tijelo istovremeno izvodi dva harmonička titranja iste frekvencija istalne razlike u fazi govorimo o koherentnim titranjima.Titranje se može predočiti rotirajućim vektorom (fazorom), duljina fazorajednaka je amplitudi titranja, kružna frekvencija rotacije fazora jednakaje kutnoj frekvenciji titranja, a početna faza se predočuje početnim kutomizmeđu fazora i osi na koju se projicira fazor.Predstavljanje titranja fazorom je vrlo korisno, jer kad neko tijelo izvodiistovremeno dva titranja bilo duž istog pravca bilo duž dva okomitapravca, rezultanto gibanje bit će dano projekcijom rezultantnog fazora naodabranu os projekcije.


Zbrajanje koherentnih titranja duž istog pravca

1Ar

2Ar

Ar

1ϕ

2ϕϕ

1Ar

11 cosϕA

22 cosϕA

11 sinϕA

22 sinϕA

??)sin()()()(

)sin()()sin()(

21

222111

==+=+=

+=+=

ϕϕω

ϕωϕω

AtAtxtxtx

tAtxtAtx

)cos(2 122122

21

221

ϕϕ −++=

+=

AAAAA

AAArrr

2211

2211

coscossinsin

ϕϕϕϕϕ

AAAAarctg

++

=

Oba titranja imaju jednaku frekvenciju i među njima postoji razlika u fazi koja se ne mijenja cijelo vrijeme gibanja (koherentna titranja).Titranja ćemo zbrojiti metodom rotirajućeg vektoraPrvo titranje može se prikazati rotirajućim vektorom , a drugo titranje rotirajućim vektorom Rezultantno titranje je gibanje projekcije vrha vektorskog zbroja , frekvencije jednake frekvenciji početnih titranja.

1Ar

2Ar

21 AAArrr

+=


Zbrajanje koherentnih titranja duž istog pravca (2)

Amplituda rezultantnog titranja ovisi o amplitudama pojedinih titranja i razlici u fazi između ta dva titranja

Konstruktivna interferencija je pojava kad je amplituda rezultantnog titranja maksimalna , a to je ispunjeno kad je

Destruktivna interferencija je pojava kad je amplituda rezultantnog titranja minimalna , a to je ispunjeno kad je

12 ϕϕϕ −=Δ

,...2,1,0,212 ±±=⋅=−=Δ nn πϕϕϕ

,...2,1,0,)12(12 ±±=+=−=Δ nn πϕϕϕ21 AAA −=

21 AAA +=

Konstruktivna interferencija

Destruktivna interferencija (A1 = A2)


Zbrajanje dvaju paralelnih harmoničkih titranja različitih frekvencija

Interferencija dvaju jednostavnih harmoničkih titranja različitih frekvencija na istom pravcu:

Nakon transformacije izraz poprima oblik:

Iz izraza se vidi da čestica titra kružnom frekvencijom i amplitudom:

[ ])sin()sin()()()()sin()();sin()(

221121

222111

ϕωϕωϕωϕω+++=+=

+=+=ttAtxtxtx

tAtxtAtx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

=22

sin22

cos2)( 21212121 ϕϕωωϕϕωω ttAtx

)(21

21 ωω +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

=22

cos2 2121 ϕϕωω tAa


Zbrajanje dvaju paralelnih harmoničkih titranja različitih frekvencija. Udari

Amplituda rezultantnog vala je modulirana i mijenja se od maksimalne 2 A do nule.Frekvencija kojom se maksimalna amplituda ponavlja je:

Kad dvije glazbene viljuške titraju malo različitim frekvencijama, uho čuje niz zvučnih maksimuma ili udara frekvencije .Ova pojava može poslužiti za ugađanje muzičkih instrumenata.

||2 21

21 fff −=−

=πωω

|| 21 fff −=


Pitanja za provjeru znanja1. Što je matematičko a što fizikalno njihalo? Što je to fazorski prikaz

titranja (prikaz pomoću rotirajućeg vektora)?2. Napišite jednadžbu gibanja matematičkog njihala, i nađite njena rješenja

za mali kut otklona od ravnotežnog položaja te izraz za period titranja .3. Napišite jednadžbu gibanja fizikalnog njihala, i nađite njena rješenja za

mali kut otklona od ravnotežnog položaja te izraz za period titranja.4. Što je to reducirana dužina fizikalnog njihala, a što središte titranja

fizikalnog njihala?5. Objasnite vezu između jednolikog kružnog gibanja i harmoničkog

titranja, što je to fazor.6. Kad su dva titranja koherentna?7. Izvedite izraz za rezultantno titranje dvaju koherentnih titranja duž istog

pravaca pomoću fazorskog (metoda rotirajućih vektora) prikaza. I diskutirajte pojavu i uvjete konstruktivne i destruktivne interferencije.

8. Što su udari, nađite frekvenciju udara.


Mehanički valovi(V. Henč-Bartolić i P. Kulišić: “Valovi i optika”, poglavlje 2)

19

Valovi - Priča

Kada se buba kreće na pijesku unutarnekoliko desetaka centimetara od ovogpješčanog škorpiona, škorpion se u trenuokrene prema bubi namjeravajući jeuhvatiti. Škorpion može napraviti ovo bezda bubu vidi ili čuje.

Na koji način škorpion može tako precizno uočiti svoj plijen?

Odgovor ćete saznati nešto kasnije...


20

Valovi – vrste valovaEnergija se može prenositi od jednog mjesta na drugo na dva načina, gibanjem čestica (tijela) i valovitim gibanjem. Val je poremećaj sredstva koji se određenom brzinom širi kroz prostorVrste valova:

Mehanički valovi Primjeri: vodeni valovi, zvučni valovi, seizmički valovi ...Osnovna svojstva: ponašaju se prema Newtonovim zakonima i mogu postojati samo unutar nekog sredstva, kao npr. voda, zrak, stijene ...

Elektromagnetski valoviPrimjeri: svjetlost, radio i TV valovi, mikrovalovi, X-zrake ...Osnovna svojstva: ne zahtijevaju medij za prenošenje (šire se i u vakuumu), svi elektromagnetski valovi putuju kroz vakuum brzinom svjetlosti

Valovi materijeValovi pridruženi elektronima, protonima atomima, molekulama ...


21

Podjele valova

1. podjela:Transverzalni valovi – čestice sredstva titraju okomito na smjer širenja valaLongitudinalni valovi – čestice sredstva titraju u smjeru širenja vala.

2. podjela:Putujući valovi – gibaju se u određenom smjeru i pri tom se energija prenosi sa čestice na česticuStojni valovi – neke čestice titraju, a neke stalno miruju; valna slika se ne mijenja s vremenom; energija se ne širi prostorom.

3. podjela:Linearni (jednodimenzionalan) valovi – npr. val na žici,Površinski valovi – npr. val na vodi,Prostorni val – npr. zvučni val.


22

Kako nastaje val

Izvor vala koji izaziva deformaciju (poremećaj) Sredina koja je elastičnaNeki fizikalni mehanizam preko kojeg djelići sredine utječu jedan na drugi. Valnim gibanjem se prenosi energija.Tvar se ne prenosi valnim gibanjem.

količina prenesene energije i mehanizam odgovoran za transport su različiti za različite tipove valova.


23

Transverzalni i longitudinalni val

Longitudinali valTransverzalni val tAy ωsin=Izvor harmonijskog vala


24

Jednodimenzionalni val (opće rješenje)

Atxf === )0,0(Jednodimenzionalni val putuje na desno brzinom v. U trenutku t=0 oblik deformacije je f(x). Zakasnija vremena t, oblik deformacije se ne mijenja i deformacija u bilo kojoj točci P jey(x,t)=f(x-vt) za širenje vala na desno. Za širenje vala na lijevo y(x,t)=g(x+vt).

Attvtxf ===− ),0(

)(),( vtxftxy −= )(),( vtxgtxy +=Oblik funkcije koji opisuje

širenje vala na desno duž + x osiOblik funkcije koji opisuje

širenje vala na lijevo duž – x osi

Puls u trenutku t=o Puls u trenutku t


25

Najjednostavniji val - harmonički valNajjednostavniji valni oblik jeharmonički val koji je predstavljenfunkcijom sinusa ili kosinusa.Smeđa krivulja predstavlja val utrenutku t=0, a plava u neštokasnijem vremenu t.Svaki djelić sredstva harmoničkititra s različitim amplitudama.Treba razlikovati brzinu širenjavala od brzine titranja čestica okosvojih ravnotežnih položaja.

Superpozicijom harmoničkih valova može se izgraditi bilo koji valni oblik.


26

Harmonički val – matematički zapisPretpostavimo da u izvoru vala, u kojem odaberemo ishodište koordinatnog sustava, čestica harmonički titra:

Titranje će se širiti iz ishodišta i do neke će točke P, udaljene za x od ishodišta, val doći nakon vremena (v je brzina vala):

Kada val dođe do čestice na mjestu x, ona će početi harmonički titrati istom frekvencijom ω, ali s razlikom u fazi u odnosu prema titranju čestice u izvoru:

(pri tom smo pretpostavili da se pri širenju vala amplituda ne mijenja)

tAtxy ωsin),0( ==

vxt =′

)sin()(sin)(sin),( xv

tAvxtAttAtxy ωωωω −=−=′−=


27

Harmonički val – matematički zapis (2)

kxtxv

ttx −=−= ωωωϕ ),(- faza vala,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡====

mrad

vTvf

vk

λπππω 222

- valni broj

brzina vala ili fazna brzina tj. brzina kojom se giba pojedina faza vala

fTkdt

dxvdtdxkkxt

dtd

konstkxt

λλωωω

ω

====→=−=−

=−

0)(

;


)sin()(sin)(sin),( xv

tAvxtAttAtxy ωωωω −=−=′−=

28

Matematički opis harmoničkog valaValno gibanje ima prostornu i vremensku periodičnost.Valna duljina λ opisuje prostornu periodičnost, čestice sredstva udaljene za λ imaju istuelongaciju i brzinu u svakom trenutku.Vremenska periodičnost definirana je periodom T, to je period titranja pojedine česticesredstva.

)(2sin)sin(),( xvtAkxtAtxy −=−=λπω

[ ] duljinavalna −== mvT λλ

st valaperiodicno prostorna)222sin(

)(2sin),()(2sin),(

−−−=

−−=+=−=

πλπ

λπ

λλπλ

λπ

xvtA

xvtAtxyxvtAtxy

st valaperiodicno vremenska)(2sin

)2(2sin)2)(22sin(

))((2sin),()(2sin),(

−−=

−+=−=+=

−+=+=−=

xvtA

xvtAxvTvtA

xTtvATtxyxvtAtxy

λπ

πλπ

λπλ

λπ

λπ

λπ

λπ


29

Harmonički val na užetuJedan kraj užeta pričvršćenza točku koja harmoničkititra – izvor vala.Svaka čestica užetaharmonički titra,frekvencijom koja jejednaka frekvenciji kojomtitra izvor vala, okomito nasmjer širenja vala –transverzalni val.Brzina titranja pojedinečestice užeta je:

)cos(.

kxtAtyv

konstxy −=

∂∂

==

ωω

)sin(2

..2

2

kxtAt

vtya

konstx

y

konstxy −−=

∂∂

=∂∂

===

ωωAkceleracija čestice užeta na mjestu x:

)sin(),( kxtAtxy −= ω


30

Harmonički val: period, valna duljina, početna faza

Prostorna periodičnost

Vremenska periodičnost

[ ]m

radkv

k === ;2λπω

[ ] mvT == λλ ;duljina valna

43421faza

)(sin),( ϕω +−= kxtAtxy ϕopći oblik harmoničkog vala početna faza

)sin( kxtA −ω

)5

sin( πω +− kxtA

5πϕ =

Valna duljina, λ, je prostornaperiodičnost, to je udaljenostizmeđu dviju najbližih česticasredstva u istom mehaničkomstanju, npr. udaljenost izmeđudviju amplituda.


31

PrimjerSinusni val širi se duž pozitivnog smjerax-osi, ima frekvenciju f=8Hz i valnuduljinu iznosa 40 cm. Maksimalnivertikalni pomak sredstva u trenutkut=0 na mjestu x=0 je 15 cm. a) Nađitevalni broj k, period T, kutnu frekvencijuω i brzine propagacije vala

Amplituda je maksimalni otklon česticesredstva, kojim se širi val, odravnotežnog položajaValna duljina, λ, je 40.0 cmAmplituda, A, je 15.0 cmJednadžba ovog harmoničkogjednodimenzionalnog vala je:y = Asin(ωt-kx+π/2)== A cos(ωt-kx)

scmscmfv

ssf

T

srad

sf

mrad

cmk

320840

125,0)(8

11

3,50)1(822

157,0)(40

22

1

1

=⋅==

===

=⋅==

===

−

−

λ

ππω

πλπ



Objašnjenje “priče”Pješčani škorpion upotrebljava i longitudinalne i transverzalne valove kako bi precizno uočio svoj plijen. Kada se buba pokrene (makar i vrlo malo), pošalje kratke pulseve duž površine pijeska. Jedan dio pulseva su longitudinalni, s većom brzinom, dok je drugi dio dio transverzalan s manjom brzinom širenja. Škorpion, sa svojih 8 nogu raširenih u krugu promjera oko 5 cm, presretne najprije brži longitudinalni puls i zaključi u kojem se smjeru nalazi buba; to je usmjeru noge koja je najprije uočila puls.

Nakon toga škorpion “izmjeri” vremenski razmak između primijećenog prvog pulsa i kasnijeg pulsa koji dolazi od transverzalnog vala i taj vremenski razmak upotrebi za određivanje udaljenosti bube

Documents

Fizika 2 - FESBadria.fesb.hr/~zmiletic/Fizika 2/2. Matematicko i fizikalno njihalo... · Fizika 2 Predavanje 2 Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i ... Prvo