Fizika II. - tankonyvtar.hu

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Fizika II.

Szalai, István, Pannon Egyetem

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Fizika II. írta Szalai, István

Publication date 2012 Szerzői jog © 2012 Pannon Egyetem

A digitális tananyag a Pannon Egyetemen a TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0012 projekt keretében az Európai Szociális Alap támogatásával készült.

iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Tartalom

1. BEVEZETÉS .................................................................................................................................. 1 2. ELEKTROSZTATIKA ................................................................................................................... 2

1. Mikroszkopikus és makroszkopikus elektromos töltés ......................................................... 2 1.1. Elektromos töltés, Coulomb-törvény ........................................................................ 2 1.2. Elektromos térerősség ............................................................................................... 3

1.2.1. Ponttöltés elektromos tere ............................................................................ 4 1.2.2. Ponttöltés-rendszer elektromos tere ............................................................. 4 1.2.3. Térfogati töltéseloszlás ................................................................................. 5 1.2.4. Felületi töltéseloszlás ................................................................................... 5 1.2.5. Dipólus elektromos tere ............................................................................... 6 1.2.6. Elektromos erővonalak ................................................................................. 6 1.2.7. Töltött részecskék mozgása homogén transzverzális elektromos térben ...... 7 1.2.8. Millikan-féle kísérlet .................................................................................... 8 1.2.9. Dipólus homogén elektromos térben ............................................................ 8

1.3. Az elektromos mező fluxusa .................................................................................... 9 1.4. Gauss-törvény ......................................................................................................... 10

1.4.1. Töltött vezetö gömb elektromos tere .......................................................... 11 1.4.2. Töltött szigetelö gömb elektromos tere ...................................................... 12

1.5. Az elektromos tér munkája és az elektromos potenciál .......................................... 14 1.5.1. Elektromos potenciál, a ponttöltés potenciáltere ........................................ 16 1.5.2. Az elektromos térerősség és a potenciál közti kapcsolat ............................ 17

2. Kondenzátor, kondenzátor kapacitása ................................................................................. 18 2.1. Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása ................................................................. 19 2.2. Kondenzátorok soros kapcsolása ............................................................................ 20

3. Elektromos tér anyag jelenlétében ...................................................................................... 20 3.1. A Coulomb-törvény dielektrikumokban ................................................................. 21 3.2. Gauss-törvény dielektrikumokban .......................................................................... 21 3.3. Síkkondenzátor dielektrikummal ............................................................................ 22 3.4. A feltöltött kondenzátor energiája .......................................................................... 22

4. Az elektromos mező energiasűrűsége ................................................................................. 22 3. STACIONÁRIUS ELEKTROMOS TÉR ÉS ÁRAM .................................................................. 24

1. Áramerősség, stacionárius elektromos áram ....................................................................... 24 1.1. A töltésmegmaradás törvénye ................................................................................. 25 1.2. Az elektromos ellenállás és vezetés, Ohm törvénye ............................................... 26

1.2.1. Fajlagos ellenállás és vezetés ..................................................................... 27 1.2.2. Az Ohm-törvény differenciális alakja ........................................................ 28

2. Egyenáramú áramkörök ...................................................................................................... 29 2.1. Feszültségforrás, áramforrás ................................................................................... 29 2.2. Elektromotoros erő, általánosított, differenciális Ohm-törvény ............................. 29 2.3. Kirchhoff törvényei ................................................................................................ 29

2.3.1. Kirchhoff I. törvénye, vagy csomóponttörvény ......................................... 29 2.3.2. Kirchhoff II. törvénye, vagy huroktörvény ................................................ 30

2.4. Kirchhoff törvényeinek alkalmazásai ..................................................................... 31 2.4.1. Feszültségforrás belsö ellenállása .............................................................. 31 2.4.2. Ellenállások soros kapcsolása .................................................................... 31 2.4.3. Ellenállások párhuzamos kapcsolása .......................................................... 32 2.4.4. Áram- és feszültségmérö müszerek kapcsolása ......................................... 33 2.4.5. Ideális feszültségosztó, potenciométer ....................................................... 33 2.4.6. Az egyenáramú Wheatstone-híd ................................................................ 34

2.5. Az áram munkája és teljesítménye ......................................................................... 35 2.5.1. Joule-törvény .............................................................................................. 37 2.5.2. Feszültségforrás teljesítménye, hatásfok .................................................... 37

4. STACIONÁRIUS ÁRAM ÉS MÁGNESES TERE ..................................................................... 39 1. Mágneses alapjelenségek .................................................................................................... 39

1.1. Áramjárta vezetö mágneses térben ......................................................................... 39 1.2. A mágneses mező fluxusa ...................................................................................... 41

Fizika II.

iv Created by XMLmind XSL-FO Converter.

1.3. Áramhurok mágneses térben .................................................................................. 41 1.4. Áramvezetök közti erőhatás ................................................................................... 43 1.5. A Biot-Savart törvény ............................................................................................. 44 1.6. A Biot-Savart törvény alkalmazásai ....................................................................... 45 1.7. Az Ampère-féle gerjesztési törvény ....................................................................... 47 1.8. Az Ampère-féle gerjesztési törvény alkalmazásai .................................................. 50 1.9. A mágnességre vonatkozó Gauss-törvény .............................................................. 51

5. Mágneses tér anyagban ................................................................................................................. 53 1. Mágneses permeabilitás, mágneses térerősség .................................................................... 53 2. Mágnesezettség, mágneses szuszceptibilitás ....................................................................... 53 3. Az Ampère-féle gerjesztési törvény anyag jelenlétében ..................................................... 55 4. Az anyagok osztályozása mágneses tulajdonságaik alapján ............................................... 55

6. Idöben változó elektromágneses tér .............................................................................................. 58 1. Elektromágneses indukció .................................................................................................. 58 2. Az önindukció, önindukciós tényezö .................................................................................. 60

2.1. Szolenoid önindukciós tényezöje ............................................................................ 61 2.2. Az önindukció szerepe áram bekapcsolásakor ....................................................... 61 2.3. Áram mágneses terének energiája .......................................................................... 62 2.4. A mágneses tér energiasűrűsége ............................................................................. 63 2.5. Az elektromágneses tér energiasűrűsége ................................................................ 64

3. A kölcsönös indukció .......................................................................................................... 64 4. Örvényáramok ..................................................................................................................... 65

7. Váltakozó áramok ......................................................................................................................... 67 1. A váltakozó áram és feszültség effektív értéke ................................................................... 67 2. R, L és C elemek váltakozó áramú körökben ...................................................................... 68 3. A váltakozó áram pillanatnyi és átlagos teljesítménye ........................................................ 72

8. Maxwell-egyenletek ..................................................................................................................... 73 9. Irodalomjegyzék ........................................................................................................................... 75

v Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Az ábrák listája

2.1. 2.1. ábra. Ponttöltések kölcsönhatása ......................................................................................... 2 2.2. 2.2. ábra. Ponttöltések elektrosztatikus tere ................................................................................. 5 2.3. 2.3. ábra. Pozitív és negatív töltés erovonalképe ......................................................................... 6 2.4. 2.4. ábra. Negatív töltéspár (A), pozitív töltéspár (B) és elektromos dipólus (C) erovonal eloszlásai

7 2.5. 2.5. ábra. Negatív töltés mozgása transzverzális térben ............................................................... 8 2.6. 2.6. ábra. Az elektromos tér fluxusa ............................................................................................ 9 2.7. 2.7. ábra. Ponttöltések fluxusa az felületre ............................................................................ 10 2.8. 2.8. ábra. Az elektromos térerősség számítása töltött vezetö gömb esetén ................................ 11 2.9. 2.9. ábra. Az elektromos térerősség számítása töltött szigetelö gömb esetén ............................ 13 2.10. 2.10. ábra. Az elektromos tér munkája inhomogén mezőben .................................................. 15 2.11. 2.11. ábra. Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása ................................................................ 19 2.12. 2.12. ábra. Kondenzátorok soros kapcsolása ........................................................................... 20 3.1. 3.1. ábra. A töltésmegmaradás törvénye .................................................................................... 25 3.2. 3.2. ábra. Az ellenállás definíciója ............................................................................................. 26 3.3. 3.3. ábra. Egy csomópontba be- és kifutó áramok ..................................................................... 30 3.4. 3.4. ábra. Áramköri hurok .......................................................................................................... 30 3.5. 3.5. ábra. Reális feszültségforrás külső terhelö ellenállással ..................................................... 31 3.6. 3.6. ábra. Ellenállások soros kapcsolása .................................................................................... 31 3.7. 3.7. ábra. Ellenállások párhuzamos kapcsolása ......................................................................... 32 3.8. 3.8. ábra. Terheletlen (ideális) feszültségosztó és potenciométer .............................................. 33 3.9. 3.9. ábra. Wheatstone-hídas kapcsolás ...................................................................................... 34 4.1. 4.1. ábra. Áramvezetö mágneses térben ..................................................................................... 39 4.2. 4.2. ábra. Áramhurok mágneses térben ...................................................................................... 41 4.3. 4.3. ábra. Párhuzamos áramvezetök kölcsönhatása ................................................................... 43 4.4. 4.4. ábra. Az elektromos tér fluxusa .......................................................................................... 44 4.5. 4.5. ábra. Köráram mágneses tere .............................................................................................. 45 4.6. 4.6. ábra. Áramvezetö mágneses tere ........................................................................................ 47 4.7. 4.7. ábra. Több áramvezetö mágneses tere ............................................................................... 48 4.8. 4.8. ábra. Kiterjedt áramvezetö mágneses tere .......................................................................... 48 4.9. 4.9. ábra. Szolenoid mágneses indukciójának számítása .......................................................... 50 5.1. 5.1. ábra. Domének egy ferromágneses anyagban .................................................................... 56 6.1. 6.1. ábra. Az elektromágneses indukció jelensége .................................................................... 58 6.2. 6.2. ábra. Elektromágneses indukció tekercsekkel ................................................................... 58 6.3. 6.3. ábra. RL áramkör bekapcsolása ......................................................................................... 62 6.4. 6.4. ábra. Áramjárta vezetöhurkok kölcsönhatása .................................................................... 64 7.1. 7.1. ábra. Soros RLC áramkör .................................................................................................. 70

1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

1. fejezet - BEVEZETÉS

Ebben a jegyzetben az Elektromosságtan alapjait foglaljuk össze. A jegyzetben leírtak maradéktalan

megértéséhez a Fizika I. alapkollégium ismeretei szükségesek. Az elektromosságtan törvényeinek elsajátítását

alkalmazási példák kidolgozásával segítjük. A jegyzet az Irodalomjegyzékben hivatkozott művek alapján

készült, az alaposabb ismeretekre vágyóknak elengedhetetlen az idézett könyvek -- elsősorban Hevesi Imre

Elektromosságtan c. művének -- részletesebb tanulmányozása. A jegyzet anyaga nem teljes, így nem helyettesíti

az előadásokon elhangzottakat. Az elektromosságtan alapegyenleteit piros, az alkalmazásokhoz nélkülözhetetlen

egyenleteket kék, a mértékegységeket származtató egyenleteket sárga színkóddal láttuk el.


2. fejezet - ELEKTROSZTATIKA

1. Mikroszkopikus és makroszkopikus elektromos töltés

Anyagszerkezeti ismereteinkből tudjuk, hogy a negatív elemi töltés hordozói az elektronok. Az pozitív elemi

töltés hordozói a protonok. Az atomok semleges építőkövei a neutronok. A makroszkopikus testek

alapállapotban elektromosan semlegesek, ugyanannyi negatív és pozitív töltést tartalmaznak. Két különböző

anyagú makroszkopikus test összedörzsölése, majd szétválasztása révén a testek elektromosan töltött állapotba

kerülhetnek. A dörzsölés révén az egyik testből elektronok kerülhetnek át a másikba. Az elektrontöbblettel

rendelkező test negatívan töltött, míg az elektronhiánnyal bíró test pozitívan töltött lesz. Az elektrosztatikában

többnyire a makroszkopikus töltések kölcsönhatásával foglalkozunk.

1.1. Elektromos töltés, Coulomb-törvény

Két pontszerű töltés és között ható (vonzó vagy taszító) erő ( ) az alábbiak szerint adható meg:

(2.1)

A (2.1) Coulomb-törvény matematikai alakja megegyezik a mechanikában megismert Newton-féle

tömegvonzási törvény matematikai alakjával. (Az egyenletben alkalmazott jelölések a 2.1 ábra alapján

egyértelműek.)

2.1. ábra - 2.1. ábra. Ponttöltések kölcsönhatása

Ha az erőt newtonban (N), a töltések közti távolságot méterben (m), a töltések nagyságát pedig coulombban

(C) adjuk meg, úgy , amit a vákuum permittivitása,

, segítségével a

(2.2)

alakba szokásos írni. A rögzítésével a (2.1) egyenlet egyben a töltésmennyiség egységét is definiálja. Az

azonos előjelű (nemű) töltések taszítják, a különböző előjelű (nemű) töltések vonzzák egymást. A (2.2)

egyenletet is felhasználva vákuumban a Coulomb-törvény az alábbiak szerint adható meg:

ELEKTROSZTATIKA


(2.3)

amelyben a töltés egysége az 1 C, azaz

(2.4)

1.2. Elektromos térerősség

Egy rögzített -- rendszerűnk szempontjából külsőnek tekintett -- töltés miatt a tér egy adott pontjába helyezett

töltésre nagyságú erő hat. Helyezzünk egymás után ugyanabba a pontba különböző nagyságú , ,...

töltéseket, a rájuk ható erőket -el jelölve azt tapasztaljuk, hogy

(2.5)

vagyis az erők és a megfelelő töltések hányadosa a tér pontjára jellemző, állandó mennyiséget (vektort)

szolgáltat. Az ilyen módon a pontban definiált vektormennyiséget elektromos térerősségnek nevezzük.

Az előzőek alapján világos, hogy ezt az eljárást a tér tetszőleges pontjában megismételhetjük, és így a tér

bármely, helyzetvektorral jellemzett pontjához hozzárendelhetünk egy térerősség vektort. Az így

definiált vektorteret elektromos mezőnek nevezzük. A (2.5) egyenlet alapján az adott pontba helyezett töltésre

(2.6)

nagyságú erő hat. Egy adott pontban az elektromos térerősség kizárólag a térre jellemző, és független a pontban

lévő töltés nagyságától. Nyilvánvaló, hogy az iránya megegyezik a pontba elhelyezett pozitív töltésre ható

erő ( ) irányával. Ha a külső teret egy adott pontban több ( db) töltésből álló töltéselrendezés hozza létre, úgy

az erők szuperpozíciójának elvéből a térerősségek szuperpozíciójának elve következik:

(2.7)

Az elektromos térerősség SI egysége newton/coulomb:

ELEKTROSZTATIKA


(2.8)

1.2.1. Ponttöltés elektromos tere

Határozzuk meg az elektromos térerősséget egy, a vonatkoztatási rendszerűnk origójában lévő töltéstől

távolságban lévő pontban. (A töltéstől a pontba mutató helyvektor , és .) A pontba helyezett

töltésre ható erőt a Coulomb-törvény alapján írhatjuk fel:

(2.9)

Az erő ismeretében a töltés által keltett elektromos mező térerőssége a pontban:

(2.10)

(Ne feledkezzünk meg róla, hogy egy vektorok közti egyenlet mindig három skalár egyenlettel ekvivalens,

vagyis ebben az esetben

(2.11)

ahol a helyvektor derékszögű koordinátái, pedig a térerősség vektor megfelelő komponensei.)

1.2.2. Ponttöltés-rendszer elektromos tere

A szuperpozíció elvének megfelelően a töltések rendszere által a tér egy pontjában keltett

elektromos térerősség:

(2.12)

ELEKTROSZTATIKA


ahol a töltéstől a pont felé mutató egységvektor, ill. -k a töltések -töl mért távolságai (lásd 2.2.

ábra).

2.2. ábra - 2.2. ábra. Ponttöltések elektrosztatikus tere

1.2.3. Térfogati töltéseloszlás

Ha egy térfogatú test helyvektorral jellemzett térfogatelemében töltés helyezkedik el, akkor a

térfogati töltéssűrűség az alábbiak szerint definiálható:

(2.13)

A térfogatú test teljes töltését a test térfogatára vett integrállal számíthatjuk ki:

(2.14)

Homogén töltéseloszlás esetén -- a térfogatban -- konstans.

1.2.4. Felületi töltéseloszlás

Ha egy felületen az helyvektorral jellemzett felületelemen töltés helyezkedik el, akkor a felületi

töltéssűrűség az pontban az alábbiak szerint definiálható:

(2.15)

Az felületen lévő teljes töltésmennyiséget egy felületi integrállal számíthatjuk ki:

ELEKTROSZTATIKA


(2.16)

Homogén felületi töltéseloszlás esetén -- az felületen -- konstans.

1.2.5. Dipólus elektromos tere

Az egymástól távolságban lévő pozitív és egy ugyanolyan nagyságú negatív töltésből álló rendszert

elektromos dipólusnak nevezzük. Az elektromos dipólust a

(2.17)

dipólusmomentummal jellemezzük, ahol a negatív ponttöltéstől a pozitív ponttöltéshez húzott vektor (

). Gyakran bonyolult töltéselrendeződések elektromos tere is egy dipólus elektromos terével

helyettesíthető. (Azokat az anyagokat, amelyek molekulái dipólusmomentummal bírnak, poláris anyagoknak

nevezzük. Ellentétes esetben apoláris anyagokról beszélünk. A víz és az etil-alkohol poláris, míg a szén-

tetraklorid apoláris oldószerek.) A dipólusmomentum SI egysége a (2.17) egyenlet alapján származtatható:

(2.18)

Pontszerű dipólusról beszélünk, ha a töltések távolsága nagyságrendileg kisebb a dipólus középpontja és a

megfigyelési pont közötti távolságnál. Be lehet látni, hogy egy dipólusmomentumú pontdipólus elektromos

tere a dipólusból mint origóból induló helyvektorral jellemzett pontban az alábbiak szerint adható meg:

(2.19)

Vegyük észre, hogy, míg a ponttöltés elektromos tere a távolság második hatványának reciprokával (lásd (2.10)

egyenlet), addig a pontdipólus elektromos tere a távolság harmadik hatványának reciprokával (lásd (2.19)

egyenlet) arányos.

1.2.6. Elektromos erővonalak

2.3. ábra - 2.3. ábra. Pozitív és negatív töltés erovonalképe

ELEKTROSZTATIKA


2.4. ábra - 2.4. ábra. Negatív töltéspár (A), pozitív töltéspár (B) és elektromos dipólus

(C) erovonal eloszlásai

Az elektromos térnek erővonalakkal való szemléltetését Faraday vezette be. Az elektromos erővonalak olyan

irányított görbék, amelyek adott pontbani érintöi megadják az ottani elektromos térerősség irányát. Az

erővonalak sűrűségével (a térerősségre merőleges egységnyi felületen áthaladó erővonalak számával) az

nagyságát szemléltetjük. Az erővonalak irányítása a térerősség irányát adja meg. A 2.3. ábra a különálló pozitív

és negatív ponttöltések erővonalait mutatja be. A 2.4. ábrán egy dipólus és különböző töltéspárok erővonalképét

mutatjuk be.

1.2.7. Töltött részecskék mozgása homogén transzverzális elektromos térben

Tekintsünk egy töltésü tömegü részecskét, amit nagyságú, -irányú kezdeti sebességgel belövünk egy

nagyságú -irányú homogén elektromos térbe (lásd 2.5 ábra). Amennyiben a kezdeti sebességre igaz, hogy

, és az elektromos térerősség sem túl nagy, úgy a részecske mozgását a klasszikus mechanika alapján

tárgyalhatjuk. Newton második törvénye alapján a gyorsulásra írhatjuk, hogy:

(2.20)

Az irányok és a kezdeti feltételek korrekt figyelembe vételével könnyen beláthatjuk, hogy a (2.20)

differenciálegyenlet megoldásaként adódó részecske pálya-egyenlet az alábbiak szerint adható meg:

ELEKTROSZTATIKA


(2.21)

Az egyenlet alapján látható, hogy a töltött részecske parabolapályán mozog, és a pálya adataiból a

fajlagos töltés meghatározható. Elektronok elektromos térben történö pálya-eltérítését vizsgálva fajlagos

töltésükre C/kg adódott.

2.5. ábra - 2.5. ábra. Negatív töltés mozgása transzverzális térben

1.2.8. Millikan-féle kísérlet

Millikan olajcseppeket porlasztott változtatható nagyságú homogén elektromos térbe. (Az elektromos teret

síkkondenzátor (lásd késöbb) lemezei között hozta létre.) A porlasztás következtében a cseppek elektromos

töltésre tesznek szert. külső tér hiányában egy m sugarú csepp a felhajtóerővel és a Stokes-féle

súrlódási erővel kiegyenlített nehézségi erő hatására függöleges irányú állandó sebességgel esik. Egy

nagyságú függöleges irányú elektromos tér bekapcsolásával elérhetö, hogy ugyanaz a töltéssel is bíró

olajcsepp állandó sebességgel függölegesen emelkedjen. Az erők egyensúlyát mindkét mozgásra felírva,

majd a két egyenletet egymással kombinálva az olajcsepp töltésére az adódik, hogy:

(2.22)

ahol a levegö viszkozitása. Millikan megfigyeléseit mikroszkóp segítségével végezte. különböző

olajcseppekre is elvégezve a méréseket azt tapasztalta, hogy az egyes cseppek töltései mindig egész

számú többszörösei egy legkisebb elemi töltésnek, . Mérései alapján az elemi töltés

C-nak adódott. Ez az érték, az elöjelétöl eltekintve az elektron töltése. Mivel az elektron

fajlagos töltését az előző fejezetböl már ismerjük, így töltésének ismeretében tömege is meghatározható, és

kg. Millikan eredményeit 1923-ban Nobel-díjjal ismerték el.

1.2.9. Dipólus homogén elektromos térben

Helyezzünk egy dipólust homogén elektromos térbe, olyan módon, hogy a dipólusmomentum vektor a tér

irányával szöget zárjon be. A két ellentétes elöjelü töltés miatt a külső tér hatása egy erőpár megjelenésében

nyilvánul meg. Belátható, hogy a dipólusra az alábbi forgatónyomaték hat:

ELEKTROSZTATIKA


(2.23)

Egyéb erőpárok hiányában ez a forgatónyomaték a dipólusokat a külső tér irányába forgatja.

1.3. Az elektromos mező fluxusa

Tekintsünk egy homogén elektromos teret. A térerősségre merőleges felületen átmenö elektromos fluxust

( ) az alábbiak szerint definiáljuk (lásd 2.6 a) ábra):

(2.24)

2.6. ábra - 2.6. ábra. Az elektromos tér fluxusa

Amennyiben az felület normális egységvektora szöget zár be a térerősséggel, úgy a fluxushoz -nak

csak az -re merőleges síkra vett vetülete ad járulékot (lásd 2.6.b ábra):

(2.25)

ahol az jelölést használtuk a "vektoriális" felület jelölésére. Ezen definíció általánosításaként,

inhomogén térben, görbült felületre a fluxust egy felületi integrál segítségével adhatjuk meg:

(2.26)

Zárt felületre az elektrosztatikus tér fluxusát az alábbiak szerint jelöljük:

(2.27)

ELEKTROSZTATIKA


Az elektromos tér fluxusának SI egysége:

(2.28)

1.4. Gauss-törvény

Vegyünk körbe egy, az origóba elhelyezett nagyságú töltést egy sugarú gömbfelülettel. Ha a (2.10)

egyenlet alapján a töltés által keltett elektromos tér fluxusát kiszámítjuk a gömb felületére, akkor azt kapjuk,

hogy:

(2.29)

ahol kihasználtuk, hogy a térerősség a gömb felületének minden pontjában sugárirányú, azaz merőleges a

felületre. Belátható, hogy ha egy -- a töltést körülvevö -- tetszőleges alakú zárt felületre végezzük el a

számolást, a fluxusra kapott eredmény nem változik. Ezek alapján a Gauss-törvény kimondja, hogy egy

tetszőleges zárt felületen átmenö elektromos fluxus egyenlö a felületen belüli töltésmennyiség -

szorosával, azaz

(2.30)

Gauss-törvényét több ponttöltésre is megfogalmazhatjuk. Amenyiben a zárt felületen belül több pontszerű töltés

is található (lásd 2.7. ábra),

2.7. ábra - 2.7. ábra. Ponttöltések fluxusa az felületre

úgy az elektromos térerősség zárt felületen átmenö fluxusa egyenlö a zárt felületen belül lévő töltések

algebrai összegének -szorosával, azaz

ELEKTROSZTATIKA


(2.31)

Ha az felületen kívül is helyezkednek el töltések, azokat a (2.31) egyenlet jobb oldalán nem kell figyelembe

venni.

Amennyiben az zárt felület által határolt térfogatban a töltések folytonos eloszlásúak, úgy a (2.14) egyenlet

alapján a Gauss-törvény az alábbi "integrális" alakba írható:

(2.32)

1.4.1. Töltött vezetö gömb elektromos tere

Ha egy vezetöböl (fémböl) készült gömböt feltöltünk, úgy a töltések a gömb felületén helyezkednek el, mivel a

köztük ható taszítóerők miatt így tudnak egymástól a lehetö legtávolabb kerülni. Ebben az esetben tehát egy

felületi töltéssűrűséggel van dolgunk, ahol a gömbre felvitt töltés mennyisége, pedig

az sugarú gömb felülete.

2.8. ábra - 2.8. ábra. Az elektromos térerősség számítása töltött vezetö gömb esetén

A rendszer szimmetriáját is figyelembe véve a sugárirányú elektromos térerősség (gömbön belüli és kívüli)

kiszámítása a Gauss-törvény alapján a legegyszerűbb.

a) , azaz a gömbön kívül ill. a gömb felületén történö számolás

Vegyük körül az sugarú gömböt -- a 2.8.a ábrán látható módon -- egy sugarú koncentrikus Gauss-

gömbhéjjal, amelyre szimmetria-meggondolások miatt a fluxust könnyen kiszámíthatjuk:

(2.33)

mivel a térerősség a gömbhéj minden pontjában merőleges a felületre. ( az sugarú gömb felületét jelöli.) A

Gauss-törvény értelmében ez a fluxus egyenlö a gömbhéjon belül lévő összes töltés -szorosával, azaz

ELEKTROSZTATIKA


(2.34)

Az egyenletet átrendezve

(2.35)

vagyis a töltött vezetö gömb elektromos tere a gömbön kívül olyan, mint egy, a gömb középpontjába helyezett -

- azonos nagyságú -- ponttöltés elektromos tere.

b) , azaz a gömbön belül történö számolás

Ebben az esetben az sugarú gömbhéjat a 2.8.b ábra alapján kell felvenni. Mivel így az sugarú gömbön belül

nincsenek töltések, Gauss törvénye alapján írhatjuk, hogy:

(2.36)

amiböl az következik, hogy a gömbön belül

(2.37)

Az térerősségre kapott (2.35) és (2.37) eredményeket a 2.8.c ábrán foglaltuk össze.

1.4.2. Töltött szigetelö gömb elektromos tere

Az elektromosan feltöltött szigetelö gömbben egyenletes a töltések eloszlása, ami azt jelenti, hogy a

töltéssűrűség

(2.38)

Az előző problémának megfelelően itt is két esetet különböztetünk meg:

a) , azaz a gömbön kívül ill. a gömb felületén történö számolás

A számolás megegyezik az előző probléma pontjának megfelelőkkel (lásd 2.9.a ábra) és a végeredmény:

ELEKTROSZTATIKA


(2.39)

Tehát a gömbön kívül a feltöltött szigetelö gömb is úgy viselkedik, mintha egyenletes eloszlású töltése a

centrumába helyezett (azonos töltésü) ponttöltéssel lenne helyettesíthető.

b) , azaz a gömbön belül történö számolás

Ebben az esetben a Gauss-gömbhéjat a 2.9.b ábrának megfelelően kell felvenni.

2.9. ábra - 2.9. ábra. Az elektromos térerősség számítása töltött szigetelö gömb esetén

A gömbhéjon belüli töltésmennyiséget a (2.38) töltéssűrűség térfogati integráljával tudjuk kiszámolni, azaz

(2.40)

Az elektrosztatikus tér fluxusát a térfogatú gömb felületére számolva:

(2.41)

Gauss törvényének megfelelően

(2.42)

amiböl a térerősséget kifejezve

(2.43)

ELEKTROSZTATIKA


A szigetelö gömbön belül az elektromos térerősség a sugár lineáris függvénye. A szigetelö gömbre vonatkozó

összefoglaló ábrát a 2.9.c ábrán mutatjuk be.

1.5. Az elektromos tér munkája és az elektromos potenciál

Homogén elektromos mező munkája

Tekintsünk egy, az térerősséggel leírt homogén elektromos teret, amelyben egy töltés -- elöjelének

függvényében -- az erő hatására a térerősségvektor irányában, vagy azzal ellentétes irányban egyenes

vonalú pályán mozog. A munka definícióját ismerve, az kezdöponttól a végpontig tartó elmozdulás

során a homogén elektromos tér munkája:

(2.44)

ahol pozitív töltés esetén , negatív töltés esetén , és így az erőtér munkája mindkét esetben pozitív.

Amennyiben a mező által kifejtett erő mellett a töltésre valamilyen (mechanikai) kényszererő is hat, úgy

elöfordulhat, hogy az elmozdulás és az előzőektöl különböző, tetszőleges nagyságú szöget zárnak be

egymással, ebben az esetben a mező munkája:

(2.45)

ami elöjelének megfelelően pozitív és negatív is lehet. Kényszererők hiányában (2.45) visszaadja a (2.44)

összefüggést.

Inhomogén elektromos mező munkája

Az inhomogén elektrosztatikus teret egy helyfüggö vektor-vektor függvénnyel jellemezhetjük.

Ebben az esetben a töltésre ható erő , ami egy inhomogén erőteret definiál. Mechanika

tanulmányainkra visszautalva, ebben az esetben az és pontokat összekötö, egyenes vonalú elmozdulás során

végzett munka:

(2.46)

Az elektrosztatikus tér konzervatív erőtér

Belátható, hogy az elektrosztatikus mező munkája csak kezdeti és végsö pontok megválasztásától függ, és

független attól, hogy ezen belül a töltés milyen pályán mozog. Vagyis az elektrosztatikus tér (függetlenül

attól, hogy homogén vagy inhomogén) konzervatív erőtér. Ha az pontból a pontba egy görbén mozog a

töltés, majd a pontból egy görbén visszajut a kiindulási pontba, akkor a teljes zárt

görbén a mező munkája:

ELEKTROSZTATIKA


(2.47)

Kimondhatjuk, hogy az elektrosztatikus mezőben bármely zárt görbe mentén a tér által végzett munka zérus,

azaz:

(2.48)

Tehát az elektrosztatikus tér a gravitációs mezőhöz hasonlóan konzervatív erőtér.

Nyugvó ponttöltés inhomogén terének munkája

Helyezzünk a vonatkoztatási rendszerűnk origójába egy töltést. Ekkor a (2.10) egyenlet szerint a töltés által

keltett inhomogén elektromos mező a

2.10. ábra - 2.10. ábra. Az elektromos tér munkája inhomogén mezőben

(2.49)

egyenlettel adható meg. Tekintsük most a töltésnek az helyvektorral jellemzett pontból az

helyvektorral jellemzett pontba történö mozgását (lásd 2.10. ábra). (Az egyszerűség végett tételezzük fel,

hogy az elmozdulás sugárirányú, azaz és párhuzamosak.) Ekkor a nyugvó töltés elektrosztatikus terének

munkája a (2.46) és a (2.49) egyenletek alapján:

(2.50)

ahol felhasználtuk, hogy , mivel az elmozdulás sugárirányú. Az előzőekben elmondottak

alapján a végeredmény tetszőleges és helyvektorokkal jellemzett és pontokra is érvényes.

ELEKTROSZTATIKA


1.5.1. Elektromos potenciál, a ponttöltés potenciáltere

Mechanikai ismereteink alapján elmondhatjuk, hogy egy konzervatív erőtér munkája egyenlö a megfelelő

pontokban vett potenciális energiák különbségével. Így a ponttöltés elektromos terének munkájára érvényes

(2.50) egyenletet az alábbiak szerint is értelmezhetjük:

(2.51)

ahol

(2.52)

a töltés potenciális energiája a töltés elektrosztatikus terében. A konst. értéke tetszőleges, de logikus

választás a konst.=0, mivel esetben a töltések potenciális energiája eltünik ( ). Ennek

megfelelően a töltés elektromos terének pontjában lévő töltés potenciális energiája:

(2.53)

Fontos észrevenni, hogy a potenciális energia (2.53) kifejezésében csak az vektor nagysága jelenik

meg. A és töltések jelentésétöl elvonatkoztatva, a (2.53) egyenlet alapján két egymástól távolságra

lévő és töltés potenciális energiája:

(2.54)

A (2.53) egyenlet szerint a töltés terének ugyanazon pontjába elhelyezett különböző , ,... töltéseknek

különböző , , .... nagyságú potenciális energiája van. A (2.53) egyenlet alapján látható, hogy az

, hányadosok értéke csak a töltés terének paramétereitöl függ, így az

(2.55)

ELEKTROSZTATIKA


egyenlettel definiált elektromos potenciál a töltés elektromos terének jellemzésére alkalmas skalár

függvény. A (2.53) egyenlet alapján a ponttöltéstől származó elektromos potenciál:

(2.56)

A (2.51) egyenletnek megfelelően a ponttöltés elektromos terének a töltés -ból -be való mozgatása

során végzett munkája:

(2.57)

Az elektrosztatikus tér két pontjában vett potenciálok különbségét feszültségnek nevezzük:

(2.58)

Az elektromos potenciál és a feszültség SI egységét Alessandro Volta (1745-1827) olasz fizikusról 1 voltnak

nevezték el. A potenciál egységét -- más alapegységekböl származtatva -- a (2.55) egyenlet alapján kaphatjuk

meg:

(2.59)

Azt mondjuk, hogy az elektromos tér két pontja közti feszültség =1V, ha =1C töltés pontok közötti

elmozdulása során az elektromos tér =1J munkát végzett.

1.5.2. Az elektromos térerősség és a potenciál közti kapcsolat

A (2.46) egyenlet alapján a potenciálkülönbség és az elektromos térerősség közötti kapcsolatot az alábbiak

szerint írhatjuk fel:

(2.60)

Ez az egyenlet a potenciált a térerősséggel fejezi ki. A továbbiakban a térerősséget a potenciál segítségével

fejezzük ki. Tegyük fel, hogy az és vektorok csak az koordinátájukban különböznek, s abban is csak egy

kicsi távolsággal, azaz és . Ennek megfelelően a potenciálok különbsége is

kicsi:

ELEKTROSZTATIKA


(2.61)

Az előző (2.60) egyenlet integrálját az alábbiak szerint közelíthetjük:

(2.62)

ahol a térerősség vektor komponensét jelöli. A (2.60), (2.61) és (2.62) egyenletek alapján az alábbi

közelítö összefüggést kapjuk:

(2.63)

amelyböl a határátmenetet véve egzakt módon adódik, hogy:

(2.64)

A számolást hasonló módon a térerősség és komponensére megismételve azt kapjuk, hogy:

(2.65)

A (2.65) egyenletet a gradiens operátor segítségével az alábbi kompakt alakba írhatjuk:

(2.66)

ahol , és az , és koordinátatengelyek megfelelő egységvektorai.

2. Kondenzátor, kondenzátor kapacitása

Tekintsünk két egymástól elszigetelt vezetö darabot. Ha köztük potenciálkülönbséget (feszültséget) hozunk

létre (pl. egy galváncellára kapcsoljuk a vezetö darabokat) úgy az egyiken , a másikon nagyságú töltések

halmozódnak fel. Kísérleti tapasztalatok szerint a töltésmennyiség arányos a feszültséggel, vagyis

ELEKTROSZTATIKA


(2.67)

ahol a vezetö darabok elrendezésére, geometriájára jellemző arányossági tényezö, amit kapacitásnak

nevezünk. A kapacitás a töltéstárolóképesség mértéke. Mértékegysége az

(2.68)

1 farad, amit Faraday angol fizikokémikus tiszteletére neveznek így. A két, egymástól elszigetelt vezetöböl álló

töltéstároló eszközt kondenzátornak nevezzük.

Síkkondenzátor

A két, egymással párhuzamos, egymástól távolságra lévő, felületü, vezetö lemezekböl álló kondenzátort

síkkondenzátornak nevezzük. Be lehet látni, hogy a síkkondenzátor kapacitása:

(2.69)

2.1. Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása

Az alábbi 2.11. ábrán kondenzátorok párhuzamos kapcsolását mutatjuk be.

2.11. ábra - 2.11. ábra. Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása

Az egyes kondenzátor-elektródákon tárolt azonos elöjelü töltések összeadódnak, s ez alapján a eredö

kapacitás:

ELEKTROSZTATIKA


(2.70)

Általánosítva db párhuzamosan kapcsolt kondenzátorra:

(2.71)

2.2. Kondenzátorok soros kapcsolása

Az alábbi 2.12. ábrán kondenzátorok soros kapcsolását mutatjuk be.

2.12. ábra - 2.12. ábra. Kondenzátorok soros kapcsolása

A sorosan kapcsolt kondenzátorokon esö feszültségek additivitása alapján belátható, hogy az eredö kapacitás:

(2.72)

Általánosítva db sorosan kapcsolt kondenzátorra:

(2.73)

3. Elektromos tér anyag jelenlétében

Tegyük fel, hogy vákuumban az elektromos térerősség . Ha a teret egy szigetelö anyaggal töltjük ki, úgy az

anyag belsejében az elektromos térerősség csökken és lesz. A két térerősség viszonyával definiált

ELEKTROSZTATIKA


(2.74)

az illetö anyagra jellemző mennyiséget relativ permittivitásnak, vagy relatív dielektromos állandónak

nevezzük. A vákuum relatív permittivitása . A víz folyadékfázisban mért relatív permittivitása

szobahömérsékleten . Az atmoszférikus nyomású levegöre, szobahömérsékleten .

3.1. A Coulomb-törvény dielektrikumokban

Egy relatív permittivitású dielektrikumban a és ponttöltések között ható erő a vákuumban mérhetö

erőhöz képest (lásd a (2.1) egyenletet) az -ad részére csökken:

(2.75)

3.2. Gauss-törvény dielektrikumokban

Egy relatív permittivitású dielektrikumban az fluxusa -ad részére csökken, így a megfelelő Gauss-

törvény:

(2.76)

Ebben az esetben, folytonos töltéseloszlás esetén a Gauss-törvény az alábbi "integrális" alakba írható:

(2.77)

Dielektrikumok leírására az elektromos térerősség mellett szokásos bevezetni az elektromos indukció

(elektromos eltolás) vektorát

(2.78)

amelynek csak a szabad töltések a forrásai. Ezen vektor segítségével a (2.78) egyenlet alapján a Gauss-törvény:

ELEKTROSZTATIKA


(2.79)

3.3. Síkkondenzátor dielektrikummal

Amennyiben a síkkondenzátor lemezei közti teret egy relatív permittivitású dielektrikummal (szigetelövel)

töltjük ki, úgy a kapacitása -szorosára növekszik:

(2.80)

A gyakorlatban használt kondenzátorok kapacitását egyre nagyobb relatív permittivitású szigetelök

alkalmazásával növelik.

3.4. A feltöltött kondenzátor energiája

Egy töltött kondenzátor energiáját a feltöltés során végzett elektromos munkával definiáljuk. Ha

feszültségkülönbség ellenében elemi töltésmennyiséget mozgatunk, úgy az elemi munka

(2.81)

ahol a kondenzátorokra érvényes összefüggést is felhasználtuk. A feltöltési folyamat teljes munkája

az elemi munkák összegzésével (integrálásával) kapható meg:

(2.82)

A (2.82) egyenlet alapján ez más alakba is írható:

(2.83)

4. Az elektromos mező energiasűrűsége

A feltöltött kondenzátor energiája az elektródák közötti térrészben tárolódik. Síkkondenzátort feltételezve a

térfogatban tárolt energia (térfogati) sűrűsége:

ELEKTROSZTATIKA


(2.84)

ahol felhasználtuk, hogy a konderzátorlemezek közti feszültségkülönbség nagyságú homogén

elektromos teret hoz létre. Látható, hogy a végeredményben nem szerepelnek a kondenzátor geometriai

paraméterei -- azok tetszőlegesen kicsik lehetnek --, így az egyenlet az elektromos mező -beli lokális leírására

is alkalmas. Amennyiben a teret egy relatív permettivitású dielektrikum tölti ki, úgy

(2.85)

ahol vektorjelölésre is áttértünk. Az energiasűrűség SI-egysége:

(2.86)

Az elektromos indukció vektorának bevezetésével az elektromos tér térfogati energiasűrűségét kifejezö (2.85)

egyenlet az alábbi alakba is írható:

(2.87)


3. fejezet - STACIONÁRIUS ELEKTROMOS TÉR ÉS ÁRAM

Ha egy hosszú fémes vezetö (fémhuzal) két végpontja között elektromos teret hozunk létre, úgy az a szabad

töltéshordozók, az elektronok elmozdulását okozza a vezetöben. Gondoskodva a töltések elvezetéséröl és

utánpótlásáról az elektromos töltések folytonos áramlása alakul ki a vezetöben. Ezt a "gondoskodást" a fémes

vezetö két végének egy feszültségforrás két pólusához történö kapcsolásával biztosíthatjuk.

(Feszültségforrásként galvánelemeket, akkumulátorokat alkalmazhatunk.) Az elektromos töltéseknek ezt az

áramát elektromos áramnak nevezzük.

1. Áramerősség, stacionárius elektromos áram

Ha egy vezetö keresztmetszetén idö alatt töltés halad keresztül, úgy az áramerősség átlagát a

idöintervallumban az alábbi összefüggés definiálja:

(3.1)

Az áramerősség (a pillanatnyi áramerősség) precízebb definíciójához a fenti egyenlet határértékének

képzésével juthatunk:

(3.2)

Fémes vezetökben az elektromos áramot a szabad elektronok (negatív töltések) árama hozza létre.

Természetesen a pozitív töltések árama szintén elektromos áramot hozhat létre. Ezzel az elektrolit oldatokban

ill. a félvezetökben találkozhatunk. Az áram irányát -- megállapodás szerint -- a pozitív töltések

mozgásirányával definiáljuk. Negatív töltések áramlása esetén az áram iránya ellentétes a töltések mozgásának

irányával. Amennyiben az elektromos áram pozitív ( ) és negatív ( ) töltések (ellentétes irányú) áramlása

révén alakul ki, úgy az áramerősség az alábbiak szerint számítható:

(3.3)

Ha az áramerősség idöben és a vezetö bármely keresztmetszetén állandó, egyen- vagy stacionárius áramról

beszélünk. Ha egy kiterjedt vezetöben az felületen átfolyó áram felületi eloszlása nem egyenletes, akkor az

elektromos áramot az áramerősség helyett a áramsűrűséggel jellemezzük. Az áramsűrűség

vektormennyiség, vagyis nagysága mellett az irányát is definiálni kell. Az felület egy adott pontjában az

áramsűrűség definíciója:

(3.4)

STACIONÁRIUS ELEKTROMOS

TÉR ÉS ÁRAM


ahol az irányú töltésáramra merőleges felületelem. A vektor mint az függvénye egy vektormezőt

határoz meg, amelyet áramvonalakkal szemléltethetünk. Egy felületre számolt teljes áramerősség:

(3.5)

ahol a felületi integrált a teljes felületre ki kell terjeszteni. A (2.26) egyenlettel való analógia alapján

elmondhatjuk, hogy az áramerősség nem más, mint a áramsűrűség-vektornak az felületre számolt

fluxusa. Az áramerősség SI egysége a (3.2) egyenlet alapján származtatható:

(3.6)

az 1 C/s egységet Ampère tiszteletére 1 ampernek nevezzük, és 1 A-el jelöljük. Az elektro-mosságtanban az

áramerősséget alapegységnek tekintjük, így a töltés egysége a coulomb (1C=1As) leszármaztatott mennyiség

lesz. (Az áramerősség alapegységét az áramjárta vezetök mágneses kölcsönhatása alapján a késöbbiekben

definiáljuk.) Az áramsűrűség SI egységét a (3.4) egyenlet alapján definiáljuk:

(3.7)

1.1. A töltésmegmaradás törvénye

Tekintsünk egy zárt felületet abban a közegben, amelyikben az áram folyik. Az felülettel körbezárt

térfogatból kiáramló töltésmennyiséget a (3.5) egyenletnek megfelelően a áramsűrűség felületi integrálja

adja. A töltésmegmaradás törvénye értelmében ennek a mennyiségnek egyenlönek kell lennie a térfogatban

lévő töltés idöegységre jutó csökkenésével:

(3.8)

3.1. ábra - 3.1. ábra. A töltésmegmaradás törvénye


TÉR ÉS ÁRAM


A térfogatban lévő töltésmennyiséget a (2.14) egyenlet alapján a térfogati töltéssűrűségböl számolva

kapjuk, hogy:

(3.9)

Ez az egyenlet nem más, mint a töltésmegmaradás törvényének a és makroszkopikus mennyiségekkel

megfogalmazott alakja.

1.2. Az elektromos ellenállás és vezetés, Ohm törvénye

Egy, a 14 ábrán látható homogén fémes vezetö és végpontjai között hozzunk létre különböző

feszültségeket, és mérjük meg az egyes feszültségek hatására kialakuló stacionárius áramok erősségét. A

kísérletek szerint ugyanannál a fémes vezetönél az egymáshoz tartozó feszültségek és áramok hányadosaira

igaz, hogy:

(3.10)

A fémes vezetöt más anyagú, hosszúságú, keresztmetszetü vezetökkel helyettesítve és a kísérletet megismételve

az kapjuk, hogy az

(3.11)

3.2. ábra - 3.2. ábra. Az ellenállás definíciója


TÉR ÉS ÁRAM


hányados értéke egy adott fémes vezetöre -- függetlenül a feszültség és így az áramerősség nagyságától --

mindig ugyanaz, de különböző vezetökre más és más érték. A vezetöre jellemző hányadost a vezetö

ellenállásának nevezzük. A (3.11) egyenlettel megadott kísérleti eredményt Ohm-törvénynek nevezzük. Ohm

törvénye szerint, ha egy homogén vezetöben erősségü áram folyik, akkor a vezetö két vége között

(3.12)

feszültség áll fenn. Megjegyezzük, hogy minden anyagra hömérsékletfüggö, ezért a (3.10) egyenlet

hányadosai csak ugyanazon a hömérsékleten adnak azonos, állandó értékeket. Az ellenállás reciprokát

vezetésnek ( ) nevezzük, és nyilvánvalóan igaz, hogy:

(3.13)

Az ellenállás SI-egységét a (3.11) Ohm-törvény alapján származtathatjuk:

(3.14)

Az 1 V/A egységet Ohm német fizikus tiszteletére 1 ohm-nak nevezzük. A vezetés egysége -- a (3.13)

egyenletnek megfelelően -- a siemens (S):

(3.15)

1.2.1. Fajlagos ellenállás és vezetés

A különböző keresztmetszetü, hosszúságú és anyagi minöségü homogén vezetök ellenállása -- a kísérleti

tapasztalatok alapján -- arányos a vezetö hosszával és fordítottan arányos a vezetö keresztmetszetével:


TÉR ÉS ÁRAM


(3.16)

ahol a arányossági tényezöt a vezetö fajlagos ellenállásának nevezzük. Ez utóbbi mennyiség csak a vezetö

anyagi minöségétöl függ, és független annak geometriai méreteitöl. (Legtöbb anyag esetén

hömérsékletfüggést is mutat.) Hasonló, de a geometriai mennyiségekben fordított arányosságú összefüggés

fogalmazható meg a homogén vezetö elektromos vezetésére:

(3.17)

ahol a arányossági tényezöt a vezetö fajlagos vezetésének nevezzük. (Ezt a mennyiséget elsösorban az

elektrolit-oldatok jellemzésére szokás alkalmazni.) A (3.16) és (3.17) egyenletekböl és a vezetés definíciójából

következik, hogy:

(3.18)

1.2.2. Az Ohm-törvény differenciális alakja

Ha egy hosszúságú és keresztmetszetü homogén vezetö végpontjai között feszültség különbséget hozunk

létre, akkor a vezetöben erősségü áram indul. Ohm törvénye alapján írhatjuk, hogy

(3.19)

Felhasználva az áramsűrűség és a térerősség definícióit, a fenti egyenlet az alábbiak

szerint írható:

(3.20)

A térerősség és az áramsűrűség vektormennyiségek, izotrop vezetöben a két vektor iránya megegyezik, így a

(3.20) egyenletet vektoralakba is felírhatjuk:

(3.21)


TÉR ÉS ÁRAM


A fajlagos ellenállás helyett a fajlagos vezetést használva

(3.22)

Vegyük észre, hogy a (3.22) és a (3.21) egyenletekben a vezetö méretei nem szerepelnek, így azok lokálisan,

egy inhomogén vezetöre is érvényesek. Inhomogén vezetö esetén a (3.21) és (3.22) egyenletekben szereplö

mennyiségek az helyvektor függvényei. A (3.22) és a (3.21) egyenletek Ohm törvényét differenciális alakban

fejezik ki. Megjegyezzük, hogy anizotrop vezetökben az és vektorok iránya különböző, az ilyen

anyagokban és tenzormennyiségek.

2. Egyenáramú áramkörök

2.1. Feszültségforrás, áramforrás

Feszültségforrásnak nevezzük azokat a berendezéseket (eszközöket), amelyek valamilyen (nem elektromos)

energiát elektromos energiává alakítanak át. Pl. a galvánelemekben és akkumulátorokban kémiai energia, a

termoelemekben höenergia, a fényelemekben fényenergia alakul át elektromos energiává. Az elektromos

generátorok mechanikai (forgási) energiát alakítanak át elektromos energiává. A feszültségforrások a rájuk

kapcsolt terhelésen (pl. ellenálláson) áramot hajtanak át, ezért áramforrásoknak is nevezhetjük ezeket a

berendezéseket.

2.2. Elektromotoros erő, általánosított, differenciális Ohm-törvény

A pozitív töltések a nagyobb potenciálú helyröl a kisebb potenciálú hely felé mozognak. Ahhoz, hogy egy

áramkörben állandó áram keringhessen, valamilyen "szivattyúnak" vissza kell juttatnia a töltéseket a magasabb

potenciálú helyre. (Valóságos áramkörökben többnyire a negatív töltésü elektronok mozognak, az áram

irányának azonban -- definíció szerint -- a pozitív töltések látszólagos áramlási irányát nevezzük.) Ezt a

visszajuttatást egy ún. generátoros erő végzi. Az egységnyi töltésre ható generátoros erő az ún.

generátoros térerősséget definiálja. A töltésszétválasztó erő munkája az ún. generátoros

munka. Az egységnyi töltés szétválasztása során végzett generátoros munkát elektromotoros erőnek vagy

elektromotoros feszültségnek nevezzük . Feszültségforrások jelenlétében a (3.22) differenciális

Ohm-törvényt az térerősséggel is ki kell egészítenünk:

(3.23)

2.3. Kirchhoff törvényei

Gyakran felmerülö elektrotechnikai probléma ellenálások és feszültségforrások ismert hálózatában a hálózati

elemeken átfolyó áramok erősségének számítása. Ezt a feladatot legegyszerűbben Kirchhoff törvényei alapján

oldhatjuk meg. A Kirchoff-törvények az elektromosságtan már ismert összefüggéseiböl származtathatók, nem

jelentenek új alaptörvényeket.

2.3.1. Kirchhoff I. törvénye, vagy csomóponttörvény


TÉR ÉS ÁRAM


A törvény a töltésmegmaradás törvényéböl származtatható, és kimondja, hogy egy csomópontba befolyó

áramok erősségeinek összege egyenlö a csomópontból kifolyó áramok erősségeinek összegével.

3.3. ábra - 3.3. ábra. Egy csomópontba be- és kifutó áramok

A befolyó áramok erősségének elöjelét negatív, a kifolyó áramok erősségét pedig pozitív elöjellel ellátva

kimondhatjuk, hogy egy tetszőleges csomópontban az áramerősségek algebrai összege zérus:

(3.24)

2.3.2. Kirchhoff II. törvénye, vagy huroktörvény

A törvény a (3.23) általánosított differenciális Ohm-törvény következménye, és kimondja, hogy egy

egyenáramú körben (hurokban) az ellenállásokon esö feszültségek összege egyenlö a hurokban lévő

feszültségforrások elektromotoros feszültségeinek összegével:

(3.25)

3.4. ábra - 3.4. ábra. Áramköri hurok

A törvényhez hozzátartozik, hogy a (3.25) egyenletben szereplö és mennyiségeket megfelelő elöjelekkel

látjuk el. A hurokban definiálunk egy körüljárási irányt (általában az óramutató járásával megegyezö irányt), s

az azzal azonos irányú -ket és -ket pozitív elöjellel, az ellentétes irányúakat pedig negatív elöjellel vesszük

figyelembe. Az irányán annak az áramnak az irányát értjük, amit hozna létre (a feszültségforrás negatív

sarkától a pozitív felé mutat).


TÉR ÉS ÁRAM


2.4. Kirchhoff törvényeinek alkalmazásai

2.4.1. Feszültségforrás belsö ellenállása

A reális feszültségforrásoknak belsö felépítésük révén ún. belsö ellenállásuk ( ) van. (Ezt pl. galvánelemek

esetén nagyrészt az elektrolit oldat ellenállása határozza meg.) Ezért, ha egy reális feszültségforrásra egy

külső ellenállást kapcsolunk (lásd 3.5 ábra), akkor az áramkörben folyó áram erősségét a Kirchhoff-féle

huroktörvény alapján számíthatjuk ki:

(3.26)

3.5. ábra - 3.5. ábra. Reális feszültségforrás külső terhelö ellenállással

A feszültségforrás külső "kapcsain" (csatlakozási pontjain) mérhetö feszültséget

kapocsfeszültségnek nevezzük, amire az előző egyenlet alapján írhatjuk, hogy:

(3.27)

Látható, hogy zárt áramkör esetén ( ) a kapocsfeszültség mindig kisebb, mint az elektromotoros

feszültség. Nyitott áramkör esetén ( ) a feszültségforrás kapcsain az ún. üresjárási feszültséget mérjük.

A (3.27) egyenlet alapján nyilvánvaló, hogy az üresjárási feszültség megegyezik a feszültségforrás

elektromotoros erejével (elektromotoros feszültségével), azaz .

2.4.2. Ellenállások soros kapcsolása

A 3.6. ábrán ellenállások soros kapcsolását mutatjuk be. A soros kapcsolás jellege következtében az

áramerősség -- a csomóponti törvénynek megfelelően -- a kapcsolás minden elemén átfolyik.

3.6. ábra - 3.6. ábra. Ellenállások soros kapcsolása


TÉR ÉS ÁRAM


Ennek megfelelően az egyes ellenállásokon nagyságú feszültségek esnek. Mivel

, ezért könnyen belátható, hogy:

(3.28)

A formula kiterjesztéseként db ellenálás soros eredöje az alábbiak szerint számolható:

(3.29)

2.4.3. Ellenállások párhuzamos kapcsolása

A 3.7. ábrán ellenállások párhuzamos kapcsolását mutatjuk be. A csomóponti törvénynek megfelelően a

föágban folyó áram erőssége egyenlö a mellékágak áramerősségeinek összegével: . Mivel az

ellenállásokon esö feszültségek megegyeznek, könnyen belátható, hogy a párhuzamos eredö ellenállás:

3.7. ábra - 3.7. ábra. Ellenállások párhuzamos kapcsolása


TÉR ÉS ÁRAM


(3.30)

A formula kiterjesztéseként db ellenálás párhuzamos eredöje az alábbiak szerint számolható:

(3.31)

2.4.4. Áram- és feszültségmérö müszerek kapcsolása

Ha egy áramköri elemen ( ellenálláson) átfolyó áram erősségét kívánjuk megmérni, akkor az áramerősséget

mérö müszert (amperméröt) az áramköri elemmel sorba kell kapcsolnunk. A müszernek az áramkörbe történö

beiktatása nem szabad, hogy megváltoztassa az áramköri elemen átfolyó áram erősségét, ezért a müszer belsö

ellenállása ( ) nagyságrendekkel kisebb kell, hogy legyen, mint a vizsgált áramköri elem ellenállása, azaz

. Az ideális árammérö müszer belsö ellenállása zérus ( ).

Ha egy áramköri elemen ( ellenálláson) esö feszültséget kívánjuk megmérni, akkor a feszültségmérö müszert

(voltméröt) az áramköri elemmel párhuzamosan kell kapcsolnunk. A feszültségmérö müszer áramkörbe történö

iktatása nem szabad, hogy megváltoztassa a vizsgált áramköri elemen áthaladó áram erősségét, ezért a

párhuzamos kapcsolás jellegge miatt annak belsö ellenállásának ( ) nagyságrendekkel nagyobbnak kell lennie,

mint a vizsgált elem ellenállása ( ). Az ideális feszültségmérö müszer belsö ellenállása végtelen ( ).

2.4.5. Ideális feszültségosztó, potenciométer

Ha egy adott feszültséget mértékben ( ) kívánunk leosztani, azt a legegyszerűbben az 20 ábrán

látható két, sorosan kapcsolt ellenállás segítségével tehetjük meg. Ohm törvénye és az ellenállások soros

kapcsolásánál tanultak értelmében a leosztott feszültség ( ) nagysága

(3.32)

vagyis az alapján kell megválasztani az ellenállások arányát. -t szabadon választva,

értékét ismeretében számíthatjuk ki:

(3.33)

3.8. ábra - 3.8. ábra. Terheletlen (ideális) feszültségosztó és potenciométer


TÉR ÉS ÁRAM


A feszültség folyamatos leosztása változtatható ellenállások, vagy más néven potenciométerek segítségével

történik. A potenciométerekben egy csúszókontaktus mozgatásával változtatjuk az arányt úgy, hogy

közben .

2.4.6. Az egyenáramú Wheatstone-híd

Az ismeretlen nagyságú ellenállások meghatározásának egyik legpontosabb módszere az ún. Wheatstone-féle

hídmódszer. A mérési elvet a 21. ábra szemlélteti. A híd egy ismeretlen nagyságú ellenállásból, egy ismert

nagyságú ellenállásból, egy az és pontok közötti hosszúságú, keresztmetszetü, fajlagos

ellenállású, homogén méröhuzalból és egy érzékeny galvanométerböl (nagypontosságú áramerősség mérö

müszer) áll. A galvanométer egyik kapcsát a csúszókontaktuson keresztül csatlakoztatjuk az huzalhoz,

másik kapcsa a ponthoz csatlakozik. A híd áramellátásáról az és pontokra kapcsolt feszültségforrás

gondoskodik.

3.9. ábra - 3.9. ábra. Wheatstone-hídas kapcsolás

Az és az hosszúságú méröhuzalok ellenállása a (3.16) egyenlet alapján számolható, azaz:

(3.34)

Mivel nyilvánvaló, hogy

(3.35)


TÉR ÉS ÁRAM


A mérés során a -csúszókontaktus pozícióját addig változtatjuk az vezetö mentén, míg a galvanométer

áramot nem jelez. Ebben az esetben a és csomópontokra alkalmazva Kirchhoff I. törvényét írhatjuk,

hogy:

(3.36)

Az 1. hurokra alkalmazva Kirchhoff II. törvényét:

(3.37)

A 2. hurokra alkalmazva Kirchhoff II. törvényét:

(3.38)

A (3.37) és (3.38) egyenleteket átrendezve és elosztva egymással, majd az áramok közti (3.36) relációkat

figyelembe véve azt kapjuk, hogy:

(3.39)

A méröhuzalok ellenállására vonatkozó (3.34) és (3.35) egyenleteket is figyelembe véve és az ismeretlen

ellenállásra kifejezve

(3.40)

A fentiekben ismertetett Wheatstone-hidas mérés az ellenállás mérését hosszúság mérésére vezeti vissza. A

gyakorlatban a híd kiegyenlítésére más, ellenállás-változtatáson alapuló módszerek is elterjedtek. A

Wheatstone-hidas ellenállásmérés tipikus példája az ún. nullmódszereknek, mivel a mérés során olyan

ellenállásváltozást hozunk létre, hogy a mérömüszerűnk áramot detektáljon. Ennek megfelelően a

mérömüszernek a nullpontot kell pontosan detektálnia, áramerősségeknél nem kell, hogy hiteles (nagy

pontosságú) legyen.

2.5. Az áram munkája és teljesítménye

Tekintsünk egy ellenállású vezetöt, amelyre feszültséget kapcsoltunk, s így az erősségü áramot hajt át a

vezetön. Az áramerősség definícióját felhasználva: idö alatt a vezetön töltés halad át. Ennek

megfelelően az elektromos mező elemi munkája:


TÉR ÉS ÁRAM


(3.41)

Ohm törvényét felhasználva a (3.41) egyenlet az alábbiak szerint is írható:

(3.42)

Egy véges hosszúságú idöintervallumra a munkát az elemi munkák integrálja adja:

(3.43)

Stacionárius áram esetén az és állandók, ezért a határozott integrál kiszámítása az idöintervallum hosszával

történö szorzással ekvivalens, vagyis

(3.44)

ahol . A (3.41) egyenlet alapján a munka SI egysége

(3.45)

azaz, mivel 1Ws=1J megegyezik a mechanikában megismert jule-egységgel. A teljesítmény definícióját

felhasználva a (3.41) egyenlet alapján a stacionárius áram teljesítményére azt kapjuk, hogy:

(3.46)

ami az Ohm-törvény felhasználásával az alábbi alakokba írható:

(3.47)


TÉR ÉS ÁRAM


Az elektromos teljesítmény SI egysége a (3.46) egyenlet alapján az 1 watt, azaz

(3.48)

2.5.1. Joule-törvény

Feltételezve, hogy az ellenállású vezetöben az áram hatására semmiféle kémiai reakció sem játszódik le, a

idö alatt az áram munkája a vezetöben teljes mértékben hövé alakul, azaz

(3.49)

hömennyiség keletkezik. Ezt a hömennyiséget hasznosítjuk a fütöellenállásokkal való melegítés során (pl.

elektromos vízmelegítökben).

2.5.2. Feszültségforrás teljesítménye, hatásfok

Az egyenáram összteljesítménye

Egy reális feszültségforrást (amelynek véges belsö ellenállása van) és egy külső terhelöellenállást

tartalmazó áramkörben az egyenáram teljesítménye a (3.46) és (3.26) egyenletek alapján

(3.50)

Látható, hogy a teljesítményt a feszültségforrás belsö ellenállása csökkenti.

A feszültségforrásból kivehetö teljesítmény

A felhasználó számára csak az ellenálláson az áramkörböl "kivehetö" teljesítmény hasznosítható:

(3.51)

Szélsöérték számítással belátható, hogy a függvénynek a helyen maximuma van, és a

maximumra igaz, hogy . Azaz egy feszültségforrásból az külső ellenálláson akkor

vehetö ki a maximális teljesítmény, ha annak nagysága megegyezik a feszültségforrás belsö ellenállásával.

Hatásfok


TÉR ÉS ÁRAM


Az áramkör hatásfokán ellenállású fogyasztó által a feszültségforrásból kivett teljesítmény és a

feszültségforrás összteljesítményének hányadosát értjük. Ennek megfelelően a (3.50) és (3.51) egyenletek

alapján írhatjuk, hogy:

(3.52)

Látható, hogy a hatásfok csak az ideális feszültségforrás ( ) esetén érheti el az értéket.


4. fejezet - STACIONÁRIUS ÁRAM ÉS MÁGNESES TERE

1. Mágneses alapjelenségek

A mágneses alapjelenségeket Thalész (i.e. ) leírásai alapján már az ókori görögök is ismerték.

Megfigyeléseik szerint a kisázsiai Magnesia városa közelében talált vasérc darabok a kisebb vasdarabokat

magukhoz vonzották. Ezek az elsö -- magnetit tartalmú -- vasércek voltak az elsö természetes állandó mágnesek.

A permanens mágneses anyagból készült mágnesrudak a legnagyobb mértékben mágneses végeiken -- az ún.

mágneses pólusokban -- fejtik ki mágneses hatásukat. Vasrészecskékkel (vasreszelékkel) történö kölcsönhatás

alapján megállapítható, hogy a két pólus "erőssége" egyforma. A mágneses pólusokat egymástól szétválasztani

nem lehet, egy mágnesrudat két részre törve ismét két mágneses pólussal rendelkezö mágnesrudakhoz jutunk. A

természetben minden mágnes mágneses dipólusként fordul elö. Tapasztalataink szerint mágneses monopólusok

nem léteznek. A permanens mágnesek környezetében kialakuló mágneses erőhatás jól szemléltethetö

vasrészecskék eloszlásával. A mágneses erőteret az elektrosztatikus térhez hasonlóan erővonalakkal -- mágneses

erővonalakkal -- szemléltetjük. A Földnek szintén van mágneses tere. A mágneses dipólusok a Föld mágneses

terében orientálódnak, ennek megfelelően megkülönböztetjük a dipólusok északi és déli pólusát. Kísérleti

tapasztalat, hogy két rúdmágnes egymáshoz közeli északi és déli pólusa között homogén mágneses tér alakul ki.

Ugyancsak homogén a mágneses tér egy patkó alakúra kialakított permanens mágnes (patkómágnes) északi és

déli pólusai között.

1.1. Áramjárta vezetö mágneses térben

A mágneses teret a mágneses indukcióvektorral jellemezzük, amelyre a továbbiakban adunk mérési

módszert. Oersted, dán fizikus kísérleti munkája során azt észlelte, hogy egy mágneses iránytü közelébe

helyezett, áramjárta vezetö kitéríti az iránytüt. Egy ilyen kísérlet esetén a hatás-ellenhatás törvényének

megfelelően az áramjárta vezetöre is erő hat. A mágneses indukció mérésére helyezzünk homogén mágneses

térbe (egy patkómágnes pólusai közé) egy hosszúságú vezetöt, amelyben erősségü áram folyik.

4.1. ábra - 4.1. ábra. Áramvezetö mágneses térben

Kísérleti tapasztalatok szerint az egyenes áramvezetöre ható erő arányos a vezetöben folyó áram erősségével

és a vezetö hosszával. Az áramvezetöre ható erő akkor a maximális, ha az merőleges az erővonalak irányára, s

nem lép fel erőhatás, ha a vezetö párhuzamos az erővonalakkal. Ha az áramjárta vezetö szöget zár be az

indukcióvonalakkal, úgy a vezetöre ható erő -val arányos. A kísérleti tapasztalatokat egy egyenletben

összegezve:

(4.1)

STACIONÁRIUS ÁRAM ÉS

MÁGNESES TERE


ahol a tényezöt -- a mágneses indukciót -- használjuk a mágneses tér "erősségének" jellemzésére. Valójában

a mágneses indukció vektormennyiség ( ), amit az alábbiak szerint definiálunk: irányának az az irány felel

meg, amelyben az áramjárta vezetöre ható erő nulla ( ), nagysága pedig az hosszúságú vezetöre ható

maximális erővel ( ) definiálható

(4.2)

Az vektor definiálásával (olyan nagyságú vektor, amelynek iránya megegyezik az áram irányával) az

áramjárta egyenes vezetöszakaszra ható erőt (4.1 egyenlet) vektor-egyenlet formájában is megadhatjuk:

(4.3)

A mágneses indukció SI egységét ezen egyenlet alapján származtatva:

(4.4)

amit Nikola Tesla szerb származású amerikai mérnök-feltaláló tiszteletére 1 teslának nevezünk. A vezetö

stacionárius áramát az elemi töltések állandó sebességü áramlása hozza létre. Feltételezve, hogy a vezetö

keresztmetszetén idö alatt darab nagyságú töltés áramlik át, az áramerősségre azt kapjuk, hogy

(4.5)

Ezen idö alatt a töltések elmozdulása , ezt és a fenti (4.5) egyenletet a (4.3) erőtörvénybe beírva:

(4.6)

majd egyetlen töltésre ható erőre felírva

(4.7)

a mágneses Lorentz-erő kifejezéséhez jutunk. A fémes vezetö szerepétöl eltekinthetünk, a mágneses Lorentz-

féle erőtörvény a mágneses indukciójú térben sebességgel mozgó töltésekre érvényes. Ha a sebességgel


MÁGNESES TERE


mozgó töltésü részecskére a indukciójú mágneses téren kívül még elektromos tér is hat, úgy a

részecskére ható teljes Lorentz-féle erő:

(4.8)

ahol az elektromos tér hatását a (2.6) egyenlet alapján vettük figyelembe.

1.2. A mágneses mező fluxusa

A mágneses mező fluxusát az elektromos mező fluxusának megfelelő módon definiáljuk:

(4.9)

A mágneses fluxus SI egysége a (4.9) és (4.4) egyenletek alapján:

(4.10)

azaz 1 weber.

1.3. Áramhurok mágneses térben

Tekintsünk egy mágneses indukciójú térben lévő derékszögű áramjárta vezetökeretet, amely függöleges

szimmetriatengelye körül el tud fordulni (lásd 4.2 ábra).

4.2. ábra - 4.2. ábra. Áramhurok mágneses térben


MÁGNESES TERE


A vezetökeret normális egységvektora a mágneses indukció vektorával szöget zár be. A mágneses tér

által az egyenes vezetöszakaszokra kifejtett erőhatásokat a (4.3) egyenlet alapján tudjuk kiszámítani. A

vezetökeret hosszúságú oldalaira és párhuzamos, ellentétes irányú erők hatnak. Mivel ezekben a

vezetö szakaszokban az áram iránya merőleges -re, írhatjuk, hogy . Az és erőpár

függöleges szimmetriatengelyre gyakorolt forgatónyomatéka:

(4.11)

ahol az és hatásvonalainak távolsága, vagyis az erőpár ekkora erőkarral rendelkezik, illetve

a téglalap alakú keret felülete. Mivel az és erők a forgástengellyel párhuzamosak, így azok a

keretre forgatónyomatékot nem fejtenek ki. Ha a vezetökeret egyetlen menet helyett számú menetböl áll,

vagy másképpen mondva menetfelületü tekercset helyezünk a homogén mágneses térbe, úgy a tekercsre

ható forgatónyomatékot az

(4.12)

egyenlet alapján számíthatjuk ki. Az felületet a felületi normális egységvektor irányába mutató

vektorként kezelve a vezetökeret (vezetö tekercs) mágneses dipólusmomentumát az alábbiak szerint definiáljuk:

(4.13)


MÁGNESES TERE


A (4.13) egyenlet alapján a mágneses dipólusmomentum SI egysége:

(4.14)

A mágneses dipólusmomentum definíciójának felhasználásával a forgatónyomatékra vonatkozó (4.12)

egyenletet vektoralakban is megfogalmazhatjuk:

(4.15)

Vegyük észre, hogy a mágneses tér mágneses dipólusra kifejtett forgatónyomatéka hasonló egyenlet

formájában fogalmazható meg, mint a (2.23) egyenletnek megfelelő elektrosztatikai probléma. A (4.15)

egyenlet származtatása során feltettük, hogy a vezetökeret téglalap alakú, és függöleges forgástengelyt

feltételeztünk. Belátható, hogy a (4.15) egyenlet tetszőleges síkgörbével határolt keretre érvényes.

1.4. Áramvezetök közti erőhatás

Tekintsünk két párhuzamos -- egymástól távolságra lévő -- igen hosszú áramjárta vezetöt. (A vezetök

keresztmetszete legyen elhanyagolható a köztük lévő távolsághoz képest. Az "igen hosszú" kifejezés azt jelenti,

hogy , vagyis a vezetök hossza sokkal nagyobb, mint a köztük lévő távolság.)

4.3. ábra - 4.3. ábra. Párhuzamos áramvezetök kölcsönhatása

Ekkor precíz kísérletek szerint a vezetök egységnyi hosszúságú darabjai között ható erő nagysága ( )

egyenesen arányos a vezetökben folyó és áramok erősségével, és fordítottan arányos a vezetök

távolságával:


MÁGNESES TERE


(4.16)

ahol egy arányossági tényezö. A vezetök vonzzák egymást (lásd 4.3.b ábra), ha a bennük folyó áramok

megegyezö irányúak, és taszítják egymást (lásd 4.3.a ábra), ha a bennük folyó áramok ellentétes irányúak. Az SI

egységrendszerben a (4.16) egyenletet használják az áramerősség egységének (1A) definiálására.

Két, egymással párhuzamos, egyenes, végtelen hosszúságú és elhanyagolhatóan kicsi kör-keresztmetszetü

vezetöben, amelyek vákuumban egymástól 1 m távolságban helyezkednek el, akkor folyik 1 A erősségü áram,

ha annak hatására a vezetök között méterenként 2 N nagyságú erő hat. (Az áramerősség egysége -- az

amper -- alapján határozható meg a töltés egysége -- a coulomb --, ami egy amperszekundummal egyenlö: 1

C=1 As.) Az áramerősség egységének definícióját figyelembe véve a (4.16) egyenlet az alábbiak szerint írható:

(4.17)

ahol a vákuum abszolut permeabilitása, aminek numerikus értéke

(4.18)

(Megjegyezzük: az elektromosságtanban megjelenö két állandó, és szorzata a vákumbeli

fénysebességgel is kapcsolatban van: .)

1.5. A Biot-Savart törvény

Egy erősségü áramot hordozó, tetszőleges alakú lineáris áramvezetö árameleme az vektorral adott

pontban mágneses indukciót hoz létre (lásd 4.4 ábra), ami az alábbiak szerint adható meg:

(4.19)

ahol az vektor irányába mutató egységvektort és . A (4.19) egyenlettel adott törvényt Biot-Savart-

féle elemi törvénynek nevezzük.

4.4. ábra - 4.4. ábra. Az elektromos tér fluxusa


MÁGNESES TERE


Az elemi jelzö arra utal, hogy a törvényt differenciális alakban fogalmaztuk meg. Egy görbével jelzett teljes

vezetöszakasz pontban keltett mágneses indukcióját az elemi indukciók összegzésével, integrálásával

kaphatjuk meg:

(4.20)

ahol felhasználtuk, hogy , a negatív elöjel a vektori szorzat tényezöinek felcserélése miatt szükséges.

1.6. A Biot-Savart törvény alkalmazásai

Köráram mágneses tere

Határozzuk meg egy, a 4.5. ábrán látható, erősségü áramot vivö, sugarú kör alakú áramhurok mágneses

indukcióját a kör tengelyén, a síkjától távolságban felvett pontban. Kiindulásként tekintsük az elemi Biot-

Savart törvényt.

4.5. ábra - 4.5. ábra. Köráram mágneses tere

A rendszer szimmetriájának megfelelően és vektorok által meghatározott síkra merőleges vektort a

tengellyel párhuzamos és a tengelyre merőleges komponensekre bonthatjuk fel. A rendszer

szimmetriája miatt, ha valamennyi áramelemböl származó komponenst összegezzük, akkor ezek eredöje

zérus lesz

(4.21)


MÁGNESES TERE


ahol a az sugarú teljes körívre utal. Mivel minden elem tengely irányú, így iránya is tengely

irányú lesz, ezért elegendö csak a nagyságát meghatároznunk, mivel írhatjuk, hogy

(4.22)

Geometriai meggondolások alapján

(4.23)

Az elemi Biot-Savart-törvényben szereplö vektori szorzatra írhatjuk, hogy , mivel

jelen esetben a és az vektorok szöget zárnak be egymással. Így az elemi mágneses indukció

nagysága:

(4.24)

A (4.22) és (4.23) valamint a (4.24) egyenletek alapján azt kapjuk, hogy:

(4.25)

ahol felhasználtuk, hogy az sugarú kör kerületének kiszámítását jelöli. Feltételezve, hogy

, vagyis a köráramtól nagy távolságra vagyunk kíváncsiak annak mágneses indukciójára, a (4.25)

egyenlet egyszerűsödik, mivel mellett elhanyagolható:

(4.26)

ahol a köráram által határolt felületet jelenti. A (4.13) egyenletnek megfelelően bevezethetjük a

köráram mágneses dipólusmomentumát:

(4.27)


MÁGNESES TERE


ahol a köráram által határolt felület normális egységvektora. (Vegyük észre, hogy az egységvektor

iránya megegyezik és így irányával.) Így a (4.26) egyenlet alapján egy köráram mágneses

dipólusmomentuma által keltett mágneses indukció a

(4.28)

alakba írható. (Ne feledkezzünk meg róla, hogy ez az összefüggés csak a köráram tengelyén, azaz a dipólus

tengelyén érvényes, ott is csak akkor, ha teljesül.) Láthatjuk, hogy a mágneses dipólus által keltett

mágneses tér -- az elektromos dipólusnak megfelelően, lásd (2.19) egyenlet -- a dipólustól mért távolság

harmadik hatványával fordítottan arányos.

Hosszú, vékony áramvezetö mágneses tere

Az előzőekhez hasonló számítás során be lehet látni, hogy egy nagyon hosszú vezetötöl távolságra a

vezetöben folyó erősségü áram által keltett mágneses indukció:

(4.29)

A Biot-Savart-törvényböl és a rendszer szimmetriájából következik, hogy a vezetö által keltett mágneses tér

hengerszimmetrikus, vagyis a vezetö mint szimmetriatengely körüli sugarú henger felületén a márneses

indukció nagysága állandó, iránya pedig a jobbkéz-szabálynak megfelelően merőleges az adott ponthoz húzott

henger-sugárra és az áramvezetö egyenesére.

1.7. Az Ampère-féle gerjesztési törvény

Tekintsünk egy hosszú egyenes áramvezetöt, amelyben erősségü áram folyik. Vegyük körbe az áramvezetöt

egy zárt görbével (lásd 4.6. ábra), és számítsuk ki az áramvezetö keltette mágneses indukció görbe

menti integrálját. Az Ampère-féle gerjesztési törvény értelmében ez az integrál (a mágneses tér cirkulációja)

-vel egyenlö, azaz

4.6. ábra - 4.6. ábra. Áramvezetö mágneses tere


MÁGNESES TERE


(4.30)

4.7. ábra - 4.7. ábra. Több áramvezetö mágneses tere

4.8. ábra - 4.8. ábra. Kiterjedt áramvezetö mágneses tere


MÁGNESES TERE


A görbe alakjától függöen a mágneses indukció helyfüggö is lehet. Az Ampère-törvény

érvényességét egy, a vezetöt körülvevö sugarú körre könnyen beláthatjuk, feltéve, hogy a kör síkja merőleges

a vezetöre, és a vezetö a kör centrumán megy át. Az előzőek alapján az indukcióvektorok a kör érintöinek

irányába mutatnak, és a körív mentén állandó nagyságúak, ezért a (4.29) egyenlet alapján írhatjuk, hogy:

(4.31)

ahol felhasználtuk, hogy , mivel a és a vektorok azonos (érintö) irányúak, valamint, hogy a

kör kerületén vett integrálra . Bár az Ampère-féle gerjesztési törvény "bizonyítását" csak egy

speciális esetre végeztük el, az tetszőleges zárt görbére (nem csak síkgörbére) és tetszőleges alakú áramvezetö

által keltett mágneses mezőre is igaz. Az áramvezetönek azonban mindig át kell döfnie a zárt görbe által

határolt felületet. Az Ampère-féle gerjesztési törvény több áramvezetöre is kimondható.

A 4.7. ábrán látható módon, tegyük fel, hogy a görbe által határolt felületen több áramokat

szállító áramvezetö is áthalad, ekkor a mágneses terekre is érvényes szuperpozíció elvét alkalmazva a gerjesztési

törvény alábbi alakjához juthatunk:

(4.32)

vagyis a mágneses indukciónak egy tetszőleges zárt görbére vonatkozó vonalintegrálja a görbe által

határolt tetszőleges felületet átdöfö áramok algebrai összegével arányos. Azokat az áramokat, amelyek

irányai a görbe körüljárási irányával jobbcsavart képeznek, pozitív elöjelünek, az ellenkezö irányúakat negatív

elöjelünek vesszük. Azok az áramok, amelyek nem haladnak át az felületen, nem adnak járulékot az Ampère-

féle törvényhez.

Ha az felületen áthaladó áramok folytonos eloszlást mutatnak (lásd 4.8. ábra), akkor a teljes áramerősség a

áramsűrűség felületi integráljaként áll elö

(4.33)

Ebben az esetben az Ampère-törvény áramsűrűséggel kifejezett alakja:

(4.34)

A (4.34) egyenlet bal oldalát a vonalintegrálokra vonatkozó Stokes-tétel segítségével átalakítva az alábbi --

azonos felületekre vett -- integrálok közti összefüggéshez juthatunk:


MÁGNESES TERE


(4.35)

A (4.35) egyenletet átrendezve

(4.36)

aminek a görbére illeszkedö tetszőleges felületekre érvényesnek kell lennie. Ez csak úgy lehetséges, ha

az integrandusz minden pontban zérus, vagyis teljesül az alábbi egyenlet:

(4.37)

A fenti (4.37) összefüggést az Ampère-törvény differenciális alakjának hívjuk, ami kimondja, hogy a mágneses

tér egy adott pontjában a mágneses indukcióvektor rotációja arányos az áramsűrűségvektorral. Kimondhatjuk,

hogy a stacionárius áram mágneses tere örvénytér. (Mint láthattuk, a töltések keltette elektrosztatikus térben az

elektromos térerősség rotációja zérus, ezért az elektrosztatikus tér örvénymentes tér.)

1.8. Az Ampère-féle gerjesztési törvény alkalmazásai

Szolenoid mágneses tere

Szolenoidnak a nagy menetszámú, spirális alakú pálya mentén hengeresen csévélt, vezetö dróttekercset

nevezzük. Ideális szolenoidnak nevezzük a nagyon hosszú, szoros tekercselésü szolenoidot, amelynek felületén

az árameloszlás egyenletes. Ideális szolenoid belsejében homogén mágneses tér alakul ki, a mágneses indukció

vektora párhuzamos a szolenoid tengelyével. (Irányát az áram iránya határozza meg.)

4.9. ábra - 4.9. ábra. Szolenoid mágneses indukciójának számítása

Az ideális szolenoidon kívül a mágneses indukció zérus. A szolenoid mágneses indukciójának

meghatározására -- Ampère törvényének megfelelően -- a 4.9. ábrán látható

téglalap alakú görbére számítjuk ki vonalintegrálját. A vonalintegrál additivitása miatt igaz, hogy:


MÁGNESES TERE


(4.38)

ahol figyelembe vettük, hogy a mágneses indukció csak a szolenoid belsejében nem nulla. Mivel a görbe

által körbezárt felületen áramjárta vezetö halad át (melyekben egyenként erősségü áram folyik), a (4.32)

egyenlet alapján írhatjuk, hogy:

(4.39)

-t kifejezve, a szolenoid tengelyének irányába mutató mágneses indukcióra azt kaptuk, hogy:

(4.40)

ahol a szolenoid egységnyi hosszára jutó menetszám.

Körtekercs (toroid) mágneses tere

Hasonló gondolatmenet alapján be lehet látni, hogy egy toroid belsejében a mágneses indukció nagysága:

(4.41)

ahol toroid esetén az egységnyi hosszra jutó menetszám a körtekercs középvonalának sugara

segítségével adható meg. A mágneses indukció iránya a középvonal sugarára merőleges. A toroidon kívül

értéke zérus.

1.9. A mágnességre vonatkozó Gauss-törvény

Az áramvezetök és a permanens mágnesek mágneses indukcióvonalai mindig zárt görbéket képeznek. Mint azt

már említettük, nincsenek mágneses monopólusok, amelyek a mágneses indukcióvonalak forrásai ill. nyelöi

lennének. A mágneses tér ilyen tekintetben alapvetöen különbözik az elektrosztatikus tértöl, amelyben a pozitív

töltések a térerősségvonalak forrásai, míg a negatív töltések azok nyelöi. A mágneses indukcióvonalak ezen

tulajdonsága matematikailag az elektrosztatikai Gauss-törvény módosított formájában fejezhetö ki:

(4.42)


MÁGNESES TERE


vagyis a mágneses indukcióvektor tetszőleges zárt felületre vett felületi integrálja nulla. A felületi

integrálokra vonatkozó Gauss-tétel értelmében a felületi integrált térfogati integrállá alakíthatjuk:

(4.43)

ahol az által határolt térfogat. Ennek az összefüggésnek érvényesnek kell lennie bármilyen önkényesen

választott zárt felületre és így a megfelelő térfogatokra is. Minden -re a (4.43) egyenlet csak úgy

teljesülhet, ha maga az integrandusz is nulla:

(4.44)

vagyis a mágneses indukcióvektor divergenciája a tér minden pontjában nulla. A (4.44) egyenlet differenciális

formában fejezi ki a mágnesességre vonatkozó Gauss-törvényt.


5. fejezet - Mágneses tér anyagban

1. Mágneses permeabilitás, mágneses térerősség

A vezetési áramok által vákuumban keltett mágneses indukció anyag jelenlétében -re változik. Ez azzal

magyarázható, hogy az anyagot alkotó atomok, molekulák saját mágneses tere a külső mágneses térre

szuperponálódik. A két mágneses indukció viszonyával definiálhatjuk az illetö anyagra jellemző relatív

mágneses permeabilitást, vagy egyszerűbben a permeabilitást:

(5.1)

A definícióból következik, hogy vákuumra , bármilyen más anyagra pedig . A relatív mágneses

permeabilitás dimenziómentes (egység dimenziójú) fizikai mennyiség. Az elektromosságtanban mágneses

indukció mellett szokásos definiálni a mágneses térerősségvektort:

(5.2)

A fenti egyenlet egyben definiálja a mágneses térerősség SI egységét is:

(5.3)

Belátható. hogy a és vektorok két különböző anyag határfelületén törést szenvednek. Az indukcióvonalak

a kisebb relatív permeabilitású közegböl a nagyobb relatív permeabilitású közegbe történö áthaladás során a

felületi normálistól elhajlanak. Ezt a jelenséget mágneses árnyékolásra lehet felhasználni.

2. Mágnesezettség, mágneses szuszceptibilitás

Az anyagot alkotó atomok és molekulák jó részének mágneses dipólusmomentuma van. Egy térfogatú (gáz-,

folyadék- vagy szilárdfázisú) anyag mágnesezettségén az egységnyi térfogatra jutó mágneses

dipólusmomentumot értjük:

(5.4)

Mágneses tér anyagban


ahol az -ik részecske mágneses dipólusmomentuma. Ennek az egyenletnek megfelelően a mágnesezettség

SI egysége:

(5.5)

Izotróp anyag mágnesezettsége -- külső mágneses tér hiányában -- zérus. A külső mágneses tér

bekapcsolásával, a tér az elemi dipólusokat a saját irányába próbálja beforgatni, s így az anyag mágnesezettsége

már nullától különböző lesz. (Gáz- és folyadékfázisban a molekulák hömozgása csökkenti a külső tér orientációs

hatását, aminek egy egyensúlyi mágnesezettség kialakulása az eredménye.) Az anyag mágnesezettsége függ a

mágneses térerősségtöl. A kis mágneses terek tartományában a mágnesezettség arányos a mágneses

térerősséggel:

(5.6)

ahol a mágneses szuszceptibilitás. Mivel a mágneses térerősség és a mágnesezettség SI mértékegysége

egyaránt A/m, a mágneses szuszceptibilitásnak -- a relatív mágneses permeabilitáshoz hasonlóan --

egységdimenziójúnak kell lennie. A legtöbb anyag esetén azonban még a mágneses szuszceptibilitás is

mágneses térerősségfüggést mutat, ezért a gyakorlatban a mágneses anyagok jellemzésére az ún. kezdeti (vagy

-nál vett) mágneses szuszceptibilitás terjedt el, ami izotróp anyagra az alábbiak szerint definiálható:

(5.7)

Be lehet látni, hogy a mágneses térerősséget a makroszkopikus (vezetési) áramok határozzák meg, s ehhez a

mennyiséghez juthatunk, ha a mágneses indukcióból levonjuk a mikroszkópikus áramok mágneses

momentumainak hatását, azaz:

(5.8)

Az (5.6) egyenletet az (5.8) egyenletbe helyettesítve azt kapjuk, hogy:

(5.9)

Az (5.9) és (5.2) egyenleteket összehasonlítva adódik, hogy a mágneses szuszceptibilitás és a relatív

permeabilitás nem függetlenek:



(5.10)

3. Az Ampère-féle gerjesztési törvény anyag jelenlétében

Amennyiben az áramvezetö egy relatív permittivitású anyag belsejében halad, úgy az Ampère-féle törvény

az alábbiak szerint módosul:

(5.11)

amit a (5.2) egyenlet felhasználásával az alábbi alakba is írhatunk

(5.12)

Anyag jelenlétében az Ampère-féle gerjesztési törvény többi alakja is hasonlóképpen változik. Ezen törvény

következménye, hogy amennyiben egy szolenoid belsejét egy permeabilitású anyag tölti ki, úgy a szolenoid

belsejében a mágneses indukció a (4.40) egyenlet alapján

(5.13)

ill. ennek megfelelően a mágneses térerősség

(5.14)

4. Az anyagok osztályozása mágneses tulajdonságaik alapján

Diamágneses anyagok

Mágneses szuszceptibilitásuk negatív, és nagyságrendü. A diamágneses anyagok atomjainak

(molekuláinak) külső mágneses tér hiányában nincs mágneses dipólusmomentumuk. (A diamágnesesség

elméleti alapjait a kvantummechanika adta meg.) Az ilyen anyagok többségének mágneses szuszceptibilitása

független a hömérséklettöl. Diamágneses anyagok a réz, a higany, a víz és a nitrogén is.



Paramágneses anyagok

Mágneses szuszceptibilitásuk pozitív, és nagyságrendü. A paramágneses anyagok molekulái

mágneses dipólusmomentummal bírnak. A paramágneses anyagok szuszceptibilitásának hömérsékletfüggését a

Curie-törvény írja le:

(5.15)

ahol az anyagra jellemző állandó. Ilyen anyagok az oxigén, a platina, a króm és a palládium is. Mivel az

oxigéngáz pozitív mágneses szuszceptibilitása jóval nagyobb, mint a nitrogéngáz negatív mágneses

szuszceptibilitása, ezért a levegö (mint gázelegy) paramágneses tulajdonságokat mutat.

Ferromágneses anyagok

Mágneses szuszceptibilitásuk pozitív, és nagyságrendü. A ferromágneses anyagok atomjai

nagy mágneses dipólusmomentummal rendelkeznek. Ez azonban még nem magyarázata a nagy mágneses

szuszceptibilitásnak. Az ok a ferromágneses anyagok szerkezetében keresendö. Kísérleti tapasztalatok szerint a

ferromágneses anyagokban olyan domének (tartományok) alakulnak ki, amelyeken belül az atomi

dipólusmomentumok azonos irányba rendeződnek (lásd 5.1. ábra). A doméneknek így nagy eredö

dipólusmomentuma alakul ki. Mivel a szomszédos domének irányítottsága különbözik, így a ferromágneses

anyagdarab eredö mágnesezettsége végül zérus. A külső mágneses tér a doméneket egy irányba rendezheti, ami

nagy kezdeti mágneses szuszceptibilitást eredményez.

5.1. ábra - 5.1. ábra. Domének egy ferromágneses anyagban

A domének lineáris mérete 0,01 mm és 10 mm között változhat. A ferromágneses anyagok a hömérséklet

növelésével egy hömérsékleten elvesztik ferromágneses jellegüket. Ezt a hömérsékletet az illetö anyag

Curie-hömérsékletének nevezzük. A mágneses szuszceptibilitás hömérsékletfüggése a

hömérséklettartományban a

(5.16)

Curie-Weiss-törvény alapján írható le, ahol és az illetö anyagra jellemző állandók. (Termodinamikai

szempontból a hömérsékleten egy másodrendü ún. ferromágneses -- paramágneses fázisátalakulás játszódik

le.) Ferromágneses anyagok a vas, a nikkel és a kobalt is. Speciális ferromágneses ötvözetek extrém nagy



kezdeti mágneses szuszceptibilitást mutathatnak, pl. "supermalloy" nevü ötvözet esetén . A

mágneses domének pl. a Barkhausen-féle kísérlettel mutathatók ki.


6. fejezet - Idöben változó elektromágneses tér

1. Elektromágneses indukció

Az előző fejezetben megismert jelenségek, törvények alapján felmerül a kérdés, hogy ha az elektromos áram

mágneses teret hozhat létre, vajon a mágneses tér létrehozhat-e elektromos áramot. Erre a kérdésre a XIX.

században Faraday angol fizikus kísérletei adtak igenlö választ.

Indukciós jelenségek

1) A 6.1.a ábrán látható módon egy légmagos tekercshez csatlakoztassunk egy galvanométert, majd toljuk be a

tekercs belsejébe egy mágnesrúd egyik pólusát. Azt tapasztaljuk, hogy a galvanométer mutatója kitér, áramot

jelez. Amennyiben megállunk a mágnesrúd betolásával, úgy a galvanométer mutatója zérus áramerősséget

mutat, annak ellenére, hogy a mágnes a tekercs belsejében van. A rúdmágnes kihúzásakor a galvanométer

mutatója az előzővel ellentétes irányba tér ki, ami az áram irányának megváltozására utal.

6.1. ábra - 6.1. ábra. Az elektromágneses indukció jelensége

2) Ha egy patkómágnes homogén mágneses mezejében egy vezetökeretet transzlációval mozgatunk, akkor a

vezetökerethez csatlakoztatott galvanométer mutatója nem tér ki, zérus áramerősséget mutat (lásd 6.1.b ábra).

Amennyiben a vezetökeretet szimmetriatengelye körül elforgatjuk (lásd 6.1.c ábra), úgy a galvanométer

mutatója kitér, áramot jelez. Ellentétes forgatási iránynál a galvanométer mutatója is ellentés irányba tér ki, ami

ismét az áram irányának megváltozását jelzi.

3) Harmadik kísérletünkhöz -- a 6.2. ábrán látható módon -- két olyan tekercsre van szükségünk, amelyeket egy

közös vasmagon helyezünk el. Az (A) tekercs egy galvanométerrel együtt alkot zárt áramkört. A másik (B)

tekercs egy kapcsolóval és egy galvánelemmel együtt képez zárt (zárható) áramkört. Nyitott kapcsoló mellett a

galvanométer nem jelez áramot.

6.2. ábra - 6.2. ábra. Elektromágneses indukció tekercsekkel

Idöben változó elektromágneses tér


A kapcsoló zárásával a galvanométer mutatója hirtelen kilendül, majd ismét nulla áramerősséget mutat. Ha a

kapcsoló kikapcsolásával megszakítjuk a (B) tekercs áramkörét, úgy a kikapcsolás pillanatában a galvanométer

mutatója az előzővel ellentétes irányba lendül ki, majd ismét nulla áramerősséget mutat. Ha az áramköri

elrendezésben a kapcsolót egy, az áramerősség változtatására alkalmas potenciométerre cseréljük ki, úgy a

potenciométer csúszkájának mozgatásával (a tekercset gerjesztö áramerősség változtatásával) a galvanométer

mutatója áramot jelezve kitér. Ellentétes irányú csúszkamozgatás esetén a galvanométer mutatója is az előzővel

ellentétes irányba tér ki. Ha a csúszka mozgatásával megállunk, úgy a galvanométer zérus áramerősséget mutat,

annak ellenére, hogy egy konstans áram továbbra is gerjeszti a (B) tekercset.

Mindezen és az ezekhez hasonló kísérleti tapasztalatok értelmezése, kvantitatív leírása a Faraday-féle indukciós

törvényhez vezettek. Az ismertetett kísérletekben közös, hogy a tekercsekben indukált áramok erőssége a

mágneses tér fluxusának idöbeli változásával arányos:

(A mágneses tér fluxusához lásd még a (4.9) egyenletet.) A tapasztalatok alapján a tekercseken átfolyó áramok

erőssége fordítottan arányos azok ohmos ellenállásával, az előző összefüggésben ezt is figyelembe véve:

Ezen összefüggés alapján az indukált áram erőssége helyett érdemesebb az azt létrehozó

elektromotoros feszültséget kifejezni. Az SI egységrendszerben az arányosságot egyenlöségre változtatva jutunk

a Faraday-féle indukciós törvényhez

(6.1)

amely szerint egy zárt vezetöben indukált elektromotoros feszültség nagysága arányos a vezetö által határolt

felületen átmenö indukciófluxus idö szerinti differenciálhányadosával (idöegységre jutó megváltozásával). A

vezetöben indukált elektromotoros feszültséget az elektromos térerősséggel, a fluxust pedig a mágneses

indukcióval kifejezve a Faraday-féle indukciós törvény integrális alakjához jutunk:

(6.2)

ahol a zárt vezetö alakját leíró görbe, pedig a görbére kifeszített tetszőleges felület. A Faraday-féle

indukciós törvényben megjelenö negatív elöjel az indukált áram irányának kifejezésére szolgál, amit Lenz

törvénye alapján az alábbiak szerint fogalmazhatunk meg: egy vezetöhurokban indukált áram iránya mindig

olyan, hogy annak mágneses tere akadályozza az áramot létrehozó okot, változást. Ha egy vezetökör egymással



sorba kapcsolt menetekböl áll -- pl. az menetü tekercs -- azt a mágneses fluxus számításánál figyelembe kell

venni. Egy menetszámú szolenoid esetén az egyes menetekre számolt mágneses fluxusok összeadódnak,

ezért Faraday törvényében a

(6.3)

effektív mágneses fluxussal kell számolni, vagyis

(6.4)

2. Az önindukció, önindukciós tényezö

Egy zárt vezetöben (vezetöhurokban) folyó erősségü áram a hurok menetfelületén keresztül nagyságú

mágneses fluxust hoz létre. Ha a hurokban az áramerősség megváltozik, úgy a fluxus is változik, azaz a

Faraday-féle indukciós törvény értelmében a hurokban elektromotoros feszültség indukálódik. Ezt a jelenséget

önindukciónak nevezzük. A fluxust létrehozó mágneses indukció a Biot-Savart-törvény értelmében arányos az

áramerősséggel, így a fluxus is arányos kell, hogy legyen az áramerősséggel, vagyis

(6.5)

A (6.5) egyenletben megjelenö arányossági tényezöt a hurok önindukciós tényezöjének vagy

induktivitásának nevezzük. csak a hurok geometriájától és a teret kitöltö anyag mágneses permeabilitásától

függ, és független az áramerősség nagyságától. Az önindukció révén a tekercsben indukált elektromotoros

feszültséget a Faraday-féle indukciós törvény alapján számolhatjuk:

(6.6)

ahol felhasználtuk, hogy az önindukciós tényezö idöben állandó. Összefoglava, az önindukció révén egy

szolenoidban indukálódó elektromotoros feszültség:

(6.7)

Az önindukciós tényezö SI egységét a (6.5) egyenlet alapján határozhatjuk meg:



(6.8)

Az egységet Henry tiszteletére henry-nek nevezzük és H-val jelöljük. Elmondhatjuk, hogy 1 H annak

a szolenoidnak az induktivitása, amelyben 1 s alatt bekövetkezö 1 A egyenletes áramerősségváltozás 1 V

elektromotoros feszültséget indukál.

2.1. Szolenoid önindukciós tényezöje

Tekintsünk egy menetszámú, átméröjü, hosszúságú szolenoidot. Tegyük fel, hogy a szolenoid belsejét

relatív permeabilitású anyag tölti ki. A körtekercs keresztmetszete . Ha a tekercsben erősségü

áram folyik, akkor a feltétel teljesülése esetén a szolenoid belsejében kialakuló (tengelyirányú)

mágneses indukció:

(6.9)

A teljes menetfelület fluxusa (az N menetszám és az egy menetre jutó fluxus szorzata):

(6.10)

ahol a mágneses indukciót a (6.9) egyenletböl vettük. Az (6.10) egyenletben szereplö a szolenoid által

meghatározott térfogatot jelöli. A (6.10) és a (6.5) egyenletek összehasonlításával azonnal adódik,

hogy:

(6.11)

Tehát egy átméröjénél lényegesen hosszabb körtekercs induktivitása csak az egységnyi hosszra jutó

menetszámtól ( ), a tekercs térfogatától ( ) és a térfogatot kitöltö anyag mágneses permeabilitásától ( ) függ.

2.2. Az önindukció szerepe áram bekapcsolásakor

A 34 ábrának megfelelően tekintsünk egy induktivitású szolenoidból, ohmos ellenállásból, kapcsolóból

és egy elektromotoros erejü feszültségforrásból álló egyhurkú áramkört. Egy, a bekapcsolás utáni tetszőleges

idöpontra a huroktörvényt felírva az áramkörre azt kapjuk, hogy:

(6.12)



ahol a szolenoidon az önindukció révén megjelenö feszültség. A (6.12) egyenlet átrendezésével a

bekapcsolás utáni áramerősség idöfüggésére az alábbi differenciálegyenletet (kezdetiérték problémát) kapjuk:

(6.13)

ahol a kezdeti feltétel a kapcsoló idöpontbeli bekapcsolása miatt teljesül. A részletek

mellözésével a (6.13) kezdetiérték probléma megoldása az alábbi alakba írható:

(6.14)

ahol a stacionárius állapot beáltával kialakuló áramerősség, pedig az áramkör

idöállandója. Az összefüggés alapján látható, hogy az önindukciós tekercset tartalmazó áramkörben a

bekapcsolás után az áram erőssége csak a idö elteltével éri el a stacionárius állapotnak megfelelő

áramerősséget.

6.3. ábra - 6.3. ábra. RL áramkör bekapcsolása

2.3. Áram mágneses terének energiája

Az előző paragrafusban ismertetett áramkör alapján a (6.13) egyenlet mindkét oladalát -vel megszorozva az

alábbi összefüggéshez jutunk:

(6.15)

vagyis a feszültségforrás idö alatt végzett munkája ( ) az induktivitáson felhalmozott energia ( ) és

az ellenálláson Joule-hövé alakuló energia ( ) összegeként áll elö. Az stacionárius áramerősség

beálltával a szolenoidban tárolt mágneses energia:



(6.16)

Ezt az energiát az áramerősség idöbeli változásának ismeretében a (6.14) egyenlet alapján ki tudjuk számolni,

és

A formula megfelelője akkor is igaz, ha nem várunk a stacionárius áram kialakulásáig, hiszen -vel való

formális "egyszerűsítés" után írhatjuk, hogy:

ahol . Vagyis elmondhatjuk, hogy egy induktivitású szolenoid, amelyen keresztül erősségü áram

folyik a

(6.17)

energiát mágneses energia formájában tárolja.

2.4. A mágneses tér energiasűrűsége

Tekintsünk egy hosszúságú keresztmetszetü menetü szolenoidot, amelyben erősségü áram folyik.

Ekkor a szolenoid belsejében a indukcióval jellemezhetö mágneses tér alakul ki, ami a

térfogatban tárolja a mágneses energiát. A mágneses tér térfogati energiasűrűségét az alábbiak szerint

definiálhatjuk:

(6.18)

Az áram mágneses terének energiájára levezetett (6.17) egyenlet, valamint a (6.11) és (5.13) egyenletek alapján

a mágneses tér energisűrűségére az adódik, hogy:

Vegyük észre, hogy a fenti egyenletben már nem szerepelnek a szolenoid geometriai paraméterei, annak jobb

oldalán csak a mágneses térre és az anyagra jellemző mennyiségek fordulnak elö, és így az lokálisan egy pontra

is értelmezhetö. A mágneses térerősség definícióját (lásd (5.2) egyenlet) is felhasználva a mágneses tér lokális

energiasűrűsége:

(6.19)



ahol a mágneses indukció és a mágneses térerősség vektorjellegét is figyelembe vettük.

2.5. Az elektromágneses tér energiasűrűsége

Ha vákuum vagy valamilyen anyag egy pontjában egymásra szuperponálunk egy erősségü elektromos és

egy indukciójú mágneses teret, akkor a (2.87) és (6.19) egyenletek alapján az elektromágneses tér lokális

energiasűrűsége:

(6.20)

A tér egy térfogatú tartományában tárolt elektromágneses energiát a lokális energiasűrűség térfogati

integráljával számolhatjuk ki:

(6.21)

A késöbbiekben látni fogjuk, hogy az egymással kölcsönhatásban lévő elektromos és mágneses terek a térben

tovaterjedö elektromágneses hullámokat eredményezhetnek.

3. A kölcsönös indukció

Tekintsük az egymás közelében lévő 1-es és 2-es vezetöhurkokat, amelyekben és erősségü áramok

folynak (lásd 6.4 ábra). Jelölje az 1-es hurok áramának 2-es hurkon áthaladó mágneses fluxusát, ekkor a

(6.5) egyenlet környezetében elmondottakhoz hasonlóan feltehetjük, hogy:

(6.22)

Hasonlóan a 2-es hurok áramának az 1-es hurkon áthaladó fluxusára írhatjuk, hogy:

(6.23)

A (6.22) és (6.23) egyenletekben szereplö, csak a geometriai paraméterektöl és a teret kitöltö anyag

minöségétöl ( ) függö és arányossági tényezöket kölcsönös induktivitási tényezöknek nevezzük.

6.4. ábra - 6.4. ábra. Áramjárta vezetöhurkok kölcsönhatása



Amennyiben az 1-es hurokban változik az áramerősség, úgy a 2-es hurokban indukálódó elektromotoros

feszültség:

(6.24)

A 2-es hurok áramának változása az 1-es hurokbon indukálódó elektromotoros erőt eredményez:

(6.25)

Megmutatható, hogy:

(6.26)

Az önindukció és a kölcsönös indukció jelenségét is figyelembe véve írhatjuk, hogy:

(6.27)

ahol a szimmetria kedvéért az önindukciós tényezöket -el ill. -vel jelöltük. Ez a leírási módszer N db

kölcsönhatásban álló hurok leírására is kiterjeszthetö.

4. Örvényáramok

Egy kiterjedt vezetöben az indukció révén makroszkopikus áramok keletkezhetnek. Az örvényáramok a

vezetöben zárt görbén folynak, s több amperes áramot is eredményezhetnek. Ez kétféleképpen is megvalósulhat:

a) A kiterjedt vezetö inhomogén mágneses térben történö mozgásával. b) Kiterjedt vezetö idöben változó

mágneses térben történö elhelyezésével. Vékony huzalban (lineáris vezetöben) az örvényáramok kialakulása

nem számottevö. Lenz törvénye szerint az örvényáramok iránya olyan, hogy az általuk keltett mágneses tér

gátolja a kialakulásukat. A Joule-féle hö révén az örvényáramok a vezetö melegedésével járó veszteségeket



okoznak (pl. transzformátorokban). Ezen káros hatásuk csökkentésére az elektromos gépekben tömör vas helyett

lemezelt vastestek találhatók. Az örvényáramok okozta Joule-féle höeffektus nem mindig hátrányos, indukciós

kemencékben fémek olvasztására használják.


7. fejezet - Váltakozó áramok

Egy vezetökeret mágneses térben való folyamatos ( szögsebességgel történö) forgatása révén szinuszos

váltakozó feszültséget állíthatunk elö. Az egyéb periodikus függvényekkel leírható váltakozó feszültségek és

áramok közül a szinuszos váltakozó feszültségek és áramok ipari alkalmazásaik és elméleti jelentöségük (lásd

Fourier-tétel) révén emelkednek ki. A feszültség pillanatnyi értékét az alábbiak szerint írhatjuk fel:

(7.1)

ahol a feszültség maximális értéke (csúcsértéke), a körfrekvencia, pedig a kezdöfázis ( a

pillanatnyi fázis). Egy zárt áramkörben ez a feszültség szinuszos váltakozó áramot indít, amit hasonlóképpen

jellemezhetünk:

(7.2)

ahol az áramerősség maximális- vagy csúcsértéke, a körfrekvencia pedig az áram kezdöfázisa. További

mennyiségekre, mint a frekvencia ( ) és a periódusidö ( ) mindkét esetben igaz, hogy: és

.

1. A váltakozó áram és feszültség effektív értéke

A váltakozó áramot (feszültséget) pillanatnyi értéke helyett sokszor egyszerűbb egy középértékkel jellemezni.

A periódusidöre vett átlag (középérték) sajnos nem megfelelő a szinuszus váltakozó áramok (feszültségek)

jellemzésére, mivel

(7.3)

függetlenül , és konkrét értékeitöl. (Ugyanez igaz a szinuszos váltakozó feszültségre is.) Az

alkalmazások során a váltakozó áramok (és feszültségek) effektív középértékkel (effektív értékkel) történö

jellemzése terjedt el.

Egy váltakozó áram effektív középértékén ( ) annak az egyenáramnak az erősségét értjük, amely a

periódusidö alatt egy ellenállású vezetöben ugyanakkora munkát végez (ugyanakkora Joule-féle

hömennyiséget fejleszt), mint a kérdéses váltakozó áram. Kvantitatív módon a (3.49) egyenlet alapján

megfogalmazva:

(7.4)

vagyis

Váltakozó áramok


(7.5)

Speciálisan szinuszos váltakozó áram esetén a (7.2) egyenlet alapján a (7.5) integrál kiszámítása után azt

kapjuk, hogy:

(7.6)

A váltakozó feszültség effektív középértéke a (7.5) egyenlethez hasonlóan definiálható, azaz:

(7.7)

amelyböl a (7.1) egyenlet felhasználásával a szinuszos váltakozó feszültség effektív értékére azt kapjuk, hogy:

(7.8)

A hálózati 50 Hz-es váltakozó feszültség effektív középértéke .

2. R, L és C elemek váltakozó áramú körökben

1) Ohmos ellenállás váltakozó áramú ellenállása

Kapcsoljunk egy szinuszos váltakozó feszültséget szolgáltató generátorra egy ohmos

ellenállást. Ekkor Ohm-törvény alapján a zárt áramköri hurokban folyó áram erőssége

(7.9)

ami szintén egy szinuszos váltakozó áram. A (7.9) egyenlet alapján az is látható, hogy az ohmos ellenállás

váltakozó áramú ellenállása (impedanciája)

(7.10)

Váltakozó áramok


megegyezik az egyenáramú ellenállással. Egy tisztán ohmos ellenálláson a feszültség és az áramerősség közti

fáziskülönbség nulla ( ).

2) A kapacitású kondenzátor váltakozó áramú ellenállása

Kapcsoljunk egy kapacitású kondenzátorra szinuszos váltakozó feszültséget. Az így

kialakuló áramkörben a kondenzátoron átfolyó erősségü áramra írhatjuk, hogy:

(7.11)

ahol

(7.12)

A (7.12) egyenlet alapján elmondhatjuk, hogy egy kondenzátor kapacitív (váltakozó áramú) ellenállása

(7.13)

A (7.11) egyenlet alapján nyilvánvaló, hogy egy kondenzátor esetén a pillanatnyi feszültség és az áramerősség

között fáziskülönbség van, mégpedig úgy, hogy az áram -vel siet a feszültséghez képest.

2) Az induktivitású tekercs váltakozó áramú ellenállása

Kapcsoljunk szinuszos váltakozó feszültséget egy induktivitású tekercsre. Ekkor az így

kialakuló áramkörben az áram erőssége a

(7.14)

egyenlet alapján számolható ki, amiböl az áramerősséget kifejezve:

(7.15)

ahol

Váltakozó áramok


(7.16)

A (7.16) egyenlet alapján nyilvánvaló, hogy egy tekercs induktív ellenállása

(7.17)

A (7.15) egyenlet alapján pedig elmondhatjuk, hogy egy induktivitáson a pillanatnyi feszültség és az

áramerősség között fáziskülönbség alakul ki. A tekercsen a feszültség -vel siet az

áramerősséghez képest.

Ahhoz, hogy a váltakozó áramkörü ellenállásokkal az egyenáramú ellenállásoknál megszokott módon számolni

tudjunk, a feszültség és az áramerősség fázisviszonyait is figyelembe kell venni. Ez a legegyszerűbb módon a

komplex impedanciák bevezetésével történhet. Ennek megfelelően az alábbi komplex impedanciákat

definiálhatjuk:

(7.18)

ahol a komplex egységet jelöli. Fizikai jelentése természetesen csak a megfelelő komplex számok abszolút

értékeinek és fázisainak van. Ezekkel a komplex impedanciákkal soros és párhuzamos kapcsolások esetén

ugyanúgy kell számolni, mint a megfelelő valós ellenállásokkal.

7.1. ábra - 7.1. ábra. Soros RLC áramkör

Az eddigiek alkalmazásaként számoljuk ki a 7.1. ábrán látható soros -kör impedanciáját. Felhasználva,

hogy soros kapcsoláskor a rész-impedanciák összege adja az eredö impedanciát:

Váltakozó áramok


Ebböl az impedancia abszolút értéke, ami az eredö impedanciára kapcsolt effektív feszültség és az azon átfolyó

áramerősség hányadosával egyenlö:

(7.19)

A feszültség és az áramerősség közti fáziskülönbségre azt kapjuk, hogy:

(7.20)

A (7.19) impedancia adott mellett függvényében akkor minimális, ha

(7.21)

ezt az állapotot rezonancia állapotnak nevezzük. Ebben az esetben és az áramkörben folyó áram

erősségét csak az ohmos ellenállás határozza meg:

(7.22)

A tekercsen ( ) és a kondenzátoron ( ) esö feszültségek:

(7.23)

vagyis a (7.21) egyenlet alapján

(7.24)

A kondenzátoron és a tekercsen esö feszültségek nagysága minden idöpillanatban megegyezik, de elöjelük

ellentétes. Ezért az ellenálláson esö feszültség azonos a generátor feszültségével. Az és

Váltakozó áramok


feszültségek sokszorosan ( -szer) felülmúlhatják a generátor feszültségét. Ezt a jelenséget

feszültségrezonanciának nevezzük.

3. A váltakozó áram pillanatnyi és átlagos teljesítménye

Tételezzük fel, hogy a (7.1) egyenlet alapján adott szinuszos váltakozó feszültséget egy fogyasztó pólusaira

kapcsolva a fogyasztón keresztül a (7.2) egyenlettel adott váltakozó áram folyik. Ekkor a fogyasztó által a

idöpillanatban felvett teljesítmény:

(7.25)

Az effektív értékek bevezetésével és a megfelelő trigonometriai egyenlet segítségével ezt az egyenletet az

alábbiak szerint is írhatjuk:

(7.26)

ahol

(7.27)

a feszültség és az áramerősség kezdöfázisai közti különbség. Látható, hogy a pillanatnyi teljesítmény nagysága

és elöjele is változik. Pozitív pillanatnyi teljesítmény esetén a fogyasztó vesz fel energiát az áramforrásból (a

generátorból), míg negatív pillanatnyi teljesítmény esetén a fogyasztó energiát juttat vissza a generátorba. A

gyakorlatban a pillanatnyi teljesítmény helyett a teljesítmény átlagértéke sokkal alkalmasabb a fogyasztók

jellemzésére:

(7.28)

A (7.26) egyenlet felhasználásával -- a (7.28) integrál kiszámítása után -- a szinuszos váltakozó áram átlagos

vagy hatásos teljesítménye:

(7.29)

Megjegyezzük, hogy csupán ohmos ellenállású fogyasztók esetén a hatásos teljesítmény (7.29) definiciója

visszaadja a teljesítmény (3.46) definícióját. Tisztán kapacitív vagy induktív fogyasztókra , mivel

ill. .


8. fejezet - Maxwell-egyenletek

Az elektromosságtan (elektrodinamika) alaptörvényeit elöször Maxwell foglalta rendszerbe. A Maxwell-

egyenletek integrális alakja:

(8.1)

(8.2)

(8.3)

(8.4)

A (8.1) egyenlet nem más, mint az elektrosztatikában megismert (2.79) egyenlettel adott Gauss-törvény. A (8.2)

egyenlet a már ismert (4.42) mágneses Gauss-törvényt fejezi ki. A (8.3) egyenlettel a Maxwell által kiegészített

Ampère-féle gerjesztési törvény néven találkoztunk. A (8.4) egyenlet a (6.2) Faraday-féle indukciós törvény

integrális alakja. Kísérleti tapasztalatok alapján a Maxwell-egyenletek mellett még az ún. "anyagegyenletek"

szükségesek az elektrodinamikai jelenségek leírásához:

(8.5)

(8.6)

Maxwell-egyenletek


(8.7)

Ha csak a kis terek tartományában érvényes anyagegyenletekre szorítkozunk, úgy:

(8.8)

(8.9)

(8.10)

ahol , és izotrop anyagokra skalár mennyiségek, anizotrop anyagokra pedig tenzorok.


9. fejezet - Irodalomjegyzék

[1] Hevesi Imre: Elektromosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (1998).

[2] Budó Ágoston: Kísérleti Fizika II., Tankönyvkiadó, Budapest (1971).

[3] Simonyi Károly: Villamosságtan, Akadémiai Kiadó, Budapest (1983).

[4] Erostyák János és Litz József (szerkesztök): A Fizika Alapjai, Nemzetközi Tankönyvkiadó, Budapest

(2003).

Documents

Fizika II. - tankonyvtar.hu