Fizika1-120 07-08 Predavanje7 - FESBadria.fesb.hr/~zmiletic/Fizika 1/6. Rotacija krutog tijela. Statika... · Statika. Dr. sc. Ivica Puljak ... Studijračunarstva 29. studenoga 2007

Studij racunarstva, Fizika 1, Predavanje 7

29. studenoga 2007.

Ivica Puljak, FESB 1

Školska godina 2006./2007.

Fizika 1

Predavanje 7Rotacija krutog tijela. Statika.

Dr. sc. Ivica Puljak([email protected])

29. studenoga 2007.

Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

Studij računarstva

29. studenoga 2007. 2Računarstvo, Fizika 1, Predavanje 7

Danas ćemo raditi:P. Kulišić: “Mehanika i toplina”, Poglavlje 6

Kinematika krutog tijelatranslacija krutog tijela

rotacija krutog tijelasuperpozicija translacijskog i rotacijskog gibanja krutog tijela

Dinamika krutog tijelaDjelovanje vansjkih sila na kruto tijeloRotacija krutog tijela oko nepomične osiMomenti tromostiMoment količine gibanja Zakon očuvanja momenta količine gibanja

Statika Ravnoteža materijalne točkeRavnoteža krutog tijela


29. studenoga 2007.



Priča

Kakvu nam prednost pruža fizika?

U judu, manji i slabiji igrač koji razumije fiziku može pobijediti jačeg i većeg igrača koje ne razumije fiziku. To se može pokazati na primjeru zahvata pri kojemu jedan igrač zarotira drugog oko svog kuka i, ukoliko je zahvat uspješan, baci ga na pod. Bez pravilne upotrebe fizike, zahvat zahtijeva upotrebu velike snage i lako se može dogoditi da ne uspije.

Odgovor ćete saznati na današnjem predavanju.


Kruto tijelo, definicija

Kruto tijelo je sistem čestica (materijalnih točaka) čije je međusobna udaljenost uvijek ista.

Idealno kruto tijelo se ne deformira kad na njega djeluju sile.

Kako jednoznačno definirati položaj krutog tijela?Trima točkama koje ne leže na istom pravcu (9 podataka)Slobodno kruto tijelo ima 6 stupnjeva slobode jer od ovih 9 podatka (x,y,z za svaku točku) samo je 6 nezavisnih jer je udaljenost između točaka stalna.

Gibanje krutog tijela znatno je složenije od gibanja materijalne točke:

translacijsko gibanjerotacijsko gibanjesuperpozicija translacijskog i rotacijskog gibanja


29. studenoga 2007.



Translacija krutog tijelaKod translacijskog gibanja pravac koji povezuje bilo koje dvije točke u krutom tijelu ne mijenja svoju orijentaciju u prostoru, ostaje paralelan samom sebi. Putanje svih čestica su kongruentne, podudaraju se u obliku i veličini.Svaka čestica krutog tijela u svakom trenutku ima istu brzinu i akceleracijuKod translacije sustav vezan za centar mase ne mijenja svoju orijentaciju premareferentnom inercijalnom sustavu.Za opisati translacijsko gibanje dovoljno je poznavati gibanje jedne točke, jer se sve ostale gibaju na isti način.Najjednostavnije je promatrati gibanje centra mase, jer se centar mase giba kao da je sva masa u toj točki i kako da sve vanjske sile djeluje na tu točku.

CMCM rmamF &&rrr==

∫

∫=

V

VCM dV

dVrr

ρ

ρrv

)( 1trCMr

)( 2trCMr

1Fr 1F

r

2Fr

2Fr

Translacija krutog tijela svodi sena gibanje materijalne točke.


Rotacija krutog tijela (1)Kad se kruto tijelo rotira tada se orijetacija osi x’, y’, z’ koordinatnog sustava s ishodištem vezanim za centar mase mijenja u odnosu na osi x,y,z inercijalnog laboratorijskog sustava. Vremenske promijene triju kuteva određuju vektor kutne brzine krutog tijela.

Kruto tijelo izvodi čisto rotacijsko kretanje ako centar mase krutog tijela miruje u odnosu na laboratorijski sustav, a samo se mijenja orijentacija osi sustava vezanog za centar mase prema laboratorijskom sustavu.

zyx θθθ ,,

masecentar na odnosu u čestice vektor radij -rrv ′′×=rrrr ω

Brzina svake čestice u odnosu na laboratrijski sustav

Brzine čestice koje se nalaze na pravcu nosiocu kutne brzine su jednake nuli.Ovaj pravac se zove os rotacije (os vrtnje).

ωr

ωr

ωr

CM

ir ′r


29. studenoga 2007.



Rotacija krutog tijela (2)Tijekom vremena kutna brzina se može mijenjati i po svom iznosi i po svom smjeru prolazeći uvijek kroz centar mase tj. kruto tijelo ima i kutnu akceleraciju i u načelu vektori kutne brzine i akceleraciju ne moraju biti paralelni.Akceleracija svake čestice dobiva se iz :

Ako pravac nosilac kutne brzine, tj. os rotacije ne mijenja svoj položaj u prostoru već se samo mijenja smjer i iznos kutne brzine, tada vektori kutne brzine i akceleracije leže duž istog pravca, os rotacije je stalna fiksna, samo se mijenja smjer rotacije i brzina rotacije.Pri rotaciji oko nepomične (fiksne) osi što prolazi kroz centar mase svaka čestica krutog tijela opisuje kružnicu koja leži u ravnini okomitoj na os rotacije krutog tijela. Središta tih kružnica su na osi rotacije s polumjerima jednakim udaljenosti čestice od osi rotacije. Čestice imaju različite brzine i akceleracije, ali sve imaju istu kutnu brzinu i istu kutnu akceleraciju.

cpt aavrrrdtrdr

dtdr

dtd

dtvda rrrrrrrrrrr

rrr

vrv

rr

+=×+′×=′××+′×=′

×+′×=′×== ωαωωαωωω )()(


Superpozicija translacijskog i rotacijskog gibanja

Bilo koje gibanje krutog tijela može se prikazati kao superpozicijatranslacijskog i rotacijskog gibanja oko osi što prolazi kroz centar mase krutog tijela. Tako je brzina čestice krutog tijela u laboratorijskom sustavu jednaka:

A akceleracija je:

rvv CMrrrr

×+= ω

)( rraa CM ′××+′×+= vrrrrrr ωωα

+ =

CMtr vv rr = rrr×ω rvv CM

rrrr×+= ω


29. studenoga 2007.



Djelovanje konkurentnih sila na kruto tijeloAko vanjske sile koje djeluju na kruto tijelo imaju zajedničko hvatište tj. djeluju u istoj točki krutog tijela zovemo ih konkurentne sile.

Hvatište sile se može pomicati duž pravca nosioca, a da se njeno djelovanje na kruto tijelo ne promijeni.

Utjecaj sile na rotaciju krutog tijela opisuje se momentom sile.Moment sile s obzirom na neku točku krutog tijela ovisi o udaljenosti pravca nosioca sile od te točke i od njegove orijentacije spram krutog tijela.

∑=i

iFRrr

1Fr

4Fr

3Fr

2Fr

5Fr


Moment sila na kruto tijeloUtjecaj sile na rotaciju krutog tijela opisuje se momentom sile. Djelovanje sile na kruto tijelo ovisi ne samo o iznosu sile već i o hvatištu odnosno pravcu duž kojeg sile djeluje s obzirom na kruto tijelo. Moment sile s obzirom na neku točku krutog tijela ovisi o udaljenosti pravca nosioca sile od te točke i od njegove orijentacije spram krutog tijela.

Ako u nekoj točki T krutog tijela djeluje više konkuretnih sila tada su momenti ovih sila s obzirom na odabranu točku O:

Ukupni moment konkuretnih sila je:

)...( 21 nFFFrRrM ++×=×=rrrrrr

Utjecaj sile na rotaciju tijela je to veći što je veća okomita udaljenost pravca nosioca sile od točke oko koje tijelo rotira: M=d F=d sinφ F

1Fv

2Fv

AB

Arr

1T2T

nFFFrrr

,...,, 21

nFrFrFrrrr

××× .,..,, 21

FrMrrr

×=


29. studenoga 2007.



Djelovanje nekonkuretnih sila na kruto tijelo Vanjske sile čiji se pravci nosioci ne sijeku u istoj točki krutog tijela zove se nekonkurentne sile.

Ne konkurentne sile se ne mogu zamijeniti jednom silom koja je njihov vektorski zbroj. Kad na kruto tijelo djeluju nekonkuretne sile, kruto tijelo u načelu izvodi translacijsko i rotacijsko gibanje. Translacija je određena rezultantom (vektorskim zbrojem) svih sila, a rotacija rezultantnim momentom svih sila s obzirom na točku oko koje tijelo rotira.

Moment rezultantne sile bit će jednak momentu svih sila ako se hvatište rezultantne sile postavi u točku određenu vektorom položaja

∑=i

iFRrr

ii

i FrMrrr

×= ∑Rezultantni moment vanjskih sila, momenti svih sila leže duž istog pravca jer su krakovi i pravci djelovanje svih sile paralelni.

Rezultanta vanjskih sila, čije hvatište nije jednoznačno određeno

∑

∑=

ii

ii

c F

Frr

r


Rotacija krutog tijela oko fiksne osi i moment tromosti krutog tijela

Pri rotaciji krutog tijela oko nepomične osi sve točke se gibaju po kružnicama čija središta leže na osi rotacije. Moment sile koji uzrokuje vremensku promjenu moment količine gibanja je moment vanjskih sila s obzirom na os rotacije.

U slučaju krutog tijela sumacija se zamjenjuje integralom po volumenu tijela.

Moment tromosti ovisi o rasporedu mase oko osi rotacije. Što je masa dalje od osi rotacije to je moment tromosti veći, a time i sposobnost tijela da se opire promjeni svog stanja rotacije.

zLr

ω

ωω2

)(

iii

iiii

rmLrrmrprL

=

⊥××=×=rrrrrrrr

2

2

; ii

i

iii

ii

rmIIL

rmLL

∑

∑∑

==

==

ω

ω

Svaka čestica ima moment količine gibanja s obzirom na os rotacije

Ukupni moment je suma momenta količine gibanja svih čestica. obzirom na os rotacije

dVrdmrIVm

ρ∫∫ == 22

dtdLM z

z =

αωω zzzz

Z IdtdII

dtd

dtdLM ==== )(


29. studenoga 2007.



Momenti tromosti za neka tijela

Ploča oko osi okomitoj na ravninuŠuplja kugla oko osi kroz središtePuna kugla oko osi kroz središte

Tanki štap oko osi okomito na dužinuPuni cilindar oko osi okomito na dužinuPuni cilindar oko središnje osi

Prstenasti cilindar oko središnje osiPrsten oko osi u ravniniPrsten oko središnje osi

2MRI =2

21 MRI = )(

21 2

22

1 RRMI +=

22

121

41 MLMRI +=

2

21 MRI = 2

121 MLI =

2

52MRI =

2

32MRI = )(

121 22 baMI +=


Moment tromosti prstena

Kod tankog prstena svi su elementi mase jednako udaljeni od osi rotacije.

22

2

I r dm R dm

I MR

= =

=

∫ ∫


29. studenoga 2007.



Momnet tromosti uniformnog štapa

Zasjenjena površina ima masu

dm = λ dx

Moment tromosti s obzirom na os koja prolazi kroz centar štapa i okomita je na njega:

/ 22 2

/ 2

2112

L

L

MI r dm x dxL

I ML

−= =

=

∫ ∫


Steinerov poučak – poučak o paralelnim osima

Moment tromosti ovisi o položaju osi u odnosu na kruto tijelo.U prethodnim primjerima izračunali smo moment tromosti za osi koju se prolazile kroz centar mase (CM) i ujedno su bile i osi simetrije tijela. Moment tromosti za proizvoljnu os koja je ne prolazi kroz CM tijela lako se nalazi iz momenta tromosti oko os kroz CM a koja je paralelna s tom proizvoljnom osi.Steinerov poučak: I = ICM + MD2

I - moment tromosti oko proizvoljne osi koja ne prolazi kroz centar mase je jednak zbroju momenta tromosti oko osi koja prolazi kroz CM i paralelna je s tom proizvoljnom osi i produktu mase tijela i udaljenosti između te dvije osi na kvadrat.

Proizvoljna os

os kroz centar mase


29. studenoga 2007.



Primjer 1 – Rotacija krutog tijelaDa bi bacili na pod protivnika od 80 kg upotrebljavajući osnovni judo zahvat kukom, pokušavate ga povući silom F koristeći krak sile od d1=0,30 m s obzirom na točku na vašem kuku oko koje ga želite okrenuti (vidjeti slike). Pri tome biste ga željeli zarotirati kutnom akceleracijom od –6 rad/s2, u smjeru kazaljke na satu. Pretpostavite da moment tromosti protivnika oko njegovog centra mase iznosi 15 kgm2.a) Koliki bi trebao biti iznos sile F, ako ste prije nego ga bacite na pod, protivnika savili tako da ste njegov centar mase doveli na svoj kuk (slika (a)).b) Koliki bi trebao biti iznos sile F, ako protivnik stoji uspravno prije nego ga bacite, tako da i sila teže ima krak od d2=0,12 m s obzirom na točku oko koje ga želite zarotirati (slika (b))?

Rezultat: a) F=300 N, b) F=613,6 N


Zakon očuvanja momenta količine gibajaAko u sistemu čestica nema vanjskih sila ili se međusobno poništavaju, pa im je razultanta nula, kažemo da je sistem izoliran (zatvoren).Zakon o očuvanju momenta količine gibanja: ako je sistem zatvoren, odnosno ako na kruto tijelo ne djeluju vanjske sile, ili ako rezultantnimoment vanjskih sila iščezava, ukupni moment količine gibanja sistema je očuvan:

U posebnom slučaju, kad se mehanički sistem vrti oko nepomične osi z, ukupni moment količine gibanja dan je izrazom:

iz čega se vidi da unutarnje sile u sistemu mogu mijenjati kutnu brzinu i moment inercije, a da pri tom moment količine gibanja ostane konstantan.

∑ =⇒=i

vi konstLM .0rr

zzz IL ω=


29. studenoga 2007.



Sačuvanje angularnog momenta – Prandtlov stolac

L=Iω ==> ω=L/I

ωi=L /Iiωf=L/If

Ιf< Ιi

te slijedi

ωf > ωi

ωi

ωf

• Jedina vanjska sila koja djeluje je gravitacijska sila, čije je hvatište na osi rotacije u oba slučaja tako da je moment vanjskih sila jednak nuli te je ukupna količina gibanja sistema očuvana L=konst.


Očuvanje momenta količine gibanja (primjer)U zatvorenom (izoliranom) sustavu moment količine gibanja je očuvan Lz=konst. Jedina vanjska sila koja djeluje je gravitacijska sila a njen moment s obzirom na z-os je jednak nuli.

kotacpocetni LLrr

=kotacstolackotacstolackotackonacni LLLLLLrrrrrr

2=⇒=+−=


29. studenoga 2007.



Očuvanje momenta količine gibanja - primjeriPrandtov stolac

Orijentacija svemirskog broda

Skok u vodu

Urušavanje zvijezdeZbog smanjenog momenta tromosti značajno se poveća se kutna brzina, čak do 800 okretaja/sekundi. Za usporedbu, kutna brzina sunca je 1 okret/minuti.


Rad pri rotaciji

Rad obavlja samo tangencijalna komponenta sile koja ima smjer pomaka ds .

Radijalna komponenta sile ne doprinosi radu jer je okomita na pomak.

θθφ MddrFsdFdWM

=⋅=⋅= 43421rr

sin

∫=θ

θ0

MdW


29. studenoga 2007.



Kinetička energija i snaga pri rotaciji

Rad se pretvara u kinetičku energiju rotacije

Snaga pri rotaciji

ωωωωαωθ dIdtdtdIdtIMddWdE zzzK =====

2

0 21 ωωω

ω

zzk IdIE == ∫

ωθzz M

dtdM

dtdWP ===


Kinetička energija pri kotrljanju

Kad se tijelo kotrlja izvodi složeno gibanje koje se sastoji od translacijskog i rotacijskog gibanja.Ukupna kinetička energija pri kotrljanju jednaka je sumi kinetičke energije translacijskoggibanja centra mase i kinetičke energije rotacijskog gibanja oko osi kroz centar mase

22

21

21 ωCMCMk ImvE +=


29. studenoga 2007.



Primjer: rotacijska kinetička energija i potencijalna energija

Štap dužine L i mase M može se slobodno rotirati oko točke O koja prolazi jednim njegovim krajem. Štap se pusti iz mirovanja u horizontalnom položaju pusti. a.) Kolika je kutna brzina štapa kad se štap nalazi u vertikalnom položaju. Koristimo zakon očuvanja mehaničke energije. Jedina vanjska sila koja djeluje na sistem je gravitacijska sila pa je ukupna mehanička energija očuvana (nema sile trenja.) Potencijalna energija određena je položajem centra mase štapa.

0EI21E

2LMgE0E

EEEE

pf2

kf

piki

pfkfpiki

==

==

+=+

ω

2LMgEpi =

2kf I

21E ω=

Lg

MLLMg

331

21

222

=

=

ω

ω

gLLrv

gLLrv

3

:štapa točtonajniže Brzina

321

2

:položaju nomu vertikal nalazi se kad štapa CM Brzina

CM

===

===

ωω

ωω


Primjer 2 – Kinetička energija rotacijeDijelovi velikih strojeva koji bi se pri radu trebali rotirati velikim brzinama, prije same izrade se testiraju u ustavima za testiranje rotacija. Pri takvim testovima prototipovi komponenti koje se provjeravaju ubrzavaju se do velikih brzina unutar čelične cilindrične strukture koja je ispunjena olovnim blokovima. U slučaju da se uslijed rotacije prototip raspadne mekani olovni blokovi bi trebali zaustaviti dijelove koji otpadnu tako da se problem poslije može na miru analizirati.Početkom 1985. godine tvrtka Test Devices Inc. (www.testdevices.com) testirala je prototip čeličnog rotora (disk) mase M = 272 kg i radijusa R = 38 cm. Kad je prototip dostigao kutnu brzinu ω = 14 000 okretaja u minuti, inženjeri zaduženi za testove čuli su tupi udarac iz sobe za testove, koja je bila smještena kat ispod njihove. Istražujući što se dogodilo pronašli su nekoliko olovnih blokova u hodniku koji je vodio u sobu za testove, vrata sobe se bila odbačena na obližnje parkiralište, jedan olovni blok prošao je kroz zid do susjedne kuhinje, nosivi zidovi sobe bili su oštećeni, pod ispod sustava za testiranje bio je udubljen za 0,5 cm, a čelični poklopac od 900 kg bio je odbačen do plafona i ponovo se srušio na cilindar za testiranje. Samo pukom srećom neki od eksplodirajućihdijelova nije uletio u sobu u kojoj borave inženjeri zaduženi za testove.Koliko je energije oslobođeno u eksploziji rotora?

Rezultat: Ek = 2,1×107 J.


29. studenoga 2007.



StatikaStatika je dio mehanike koji proučava zakone slaganja sila što djeluju na tijela u ravnoteži. Tijelo je u ravnoteži ako se ne ubrzava.

Ravnoteža materijalne točke: Čestica je u ravnoteži kad je rezultantnasila na česticu jednaka nuli jer je tada akceleracija tijela jednaka nuli.

Ravnoteža krutog tijela: Kruto tijelo je u ravnoteži kad je rezultantna sila jednaka nuli i rezultantni moment sila jednak nuli jer je tada akceleracija centra mase jednaka nuli i kutna akceleracija oko bilo koje nepomične osi je jednaka nuli.

∑ ==i

iFF 0rr

∑ ==i

iFF 0rr

∑ =×=i

ii FrM 0rrr


Sažetak (1)

Općenito gibanje krutog tijelaKruto tijelo: tijelo koje pod utjecajem sila ne mijenja oblik.Pod utjecajem vanjskih sila kruto se tijelo može gibati translacijom ili rotacijom, ili složenim gibanjem sastavljenim od te dvije vrste gibanja.Pri translatornom gibanju kruto tijelo se može zamijeniti jednom materijalnom točkom (npr. centrom mase) čija je masa jednaka masi tijela i na koju djeluje rezultanta vanjskih sila . Jednadžba gibanja je:

Moment sileMoment sile s obzirom na neku točku definiran je vektorskim produktomradijusvektora (vektora položaja) hvatišta sile s obzirom na tu točku i vektora sile: Smjer momenta sile određujemo pravilom desne ruke.

vFr

vCM Famrr

=

FrMrrr

×=


29. studenoga 2007.



Sažetak (2)

Rotacija krutog tijela oko nepomične osiPri rotaciji krutog tijela oko nepomične osi sve točke tijela izvode gibanje po kružnicama čija središta leže na osi rotacije.Drugi Newtonov zakon:gdje je rezultantni moment svih vanjskih sila s obzirom na os rotacije, moment tromosti s obzrirom na tu istu os, a kutna akceleracije tijela.

Moment tromostiMoment tromosti je mjera tromosti tijela pri rotaciji.Moment tromosti tijela, s obzirom na naku os rotacije jednak je:

Steinerov poučak: Moment tromosti s obzirom na neku os jednak je momentu tromosti s obzirom na paralelnu os kroz centra mase, uvećanom za umnožak mase tijela i kvadrata udaljenosti tih dviju osi,

αzz IM =

zM

zI α

∫∑ ∫ ==∆==

∞→V

n

iiin

VrmrrmI ddlim 2

1

22 ρ

2mdII CM +=


Sažetak (3)

Moment količine gibanjaMoment količine gibanja materijalne točke mase i količine gibanja s obzirom na referentnu točku O definira se kao vektorski produkt radijusvektora (koji spaja točku O i materijalnu točku) i količine gibanja:

Za kruto tijelo koje rotira oko nepomične osi vrijedi:Projekcija ukupnog momenta količine gibanja na os rotacije (z) jednaka je umnošku momenta tromosti oko te osi i kutne brzine rotacije:Ako homogeno tijelo rotira oko svoje osi simetrije tada ukupni moment količine gibanja ima smjer kutne brzine, te vrijedi i:

Veza između vektora momenta sile i momenta količine gibanja dana je relacijom:

Lr m

vmp rr=

rr

vmrprL rrrrr×=×=

ωzz IL =

ωrr

IL =

tLM

ddr

r=


29. studenoga 2007.



Sažetak (4)

Ako u sistemu čestica nema vanjskih sila ili se međusobno poništavaju, pa im je razultanta nula, kažemo da je sistem izoliran (zatvoren).Zakon o očuvanju momenta količine gibanja: ako je sistem zatvoren, odnosno ako na kruto tijelo ne djeluju vanjske sile, ili ako rezultantnimoment vanjskih sila isčezava, ukupni moment količine gibanja sistema je očuvan:

U posebnom slučaju, kad se mehanički sistem vrti oko nepomične osi z, ukupni moment količine gibanja dan je izrazom:

iz čega se vidi da unutarnje sile u sistemu mogu mijenjati kutnu brzinu i moment inercije, a da pri tom moment količine gibanja ostane konstantan.

∑ =⇒=i

vi konstLM .0rr

zzz IL ω=


Pitanja za provjeru znanja1. Definirajte i objasnite sljedeće pojmove: težište, moment sile, moment

tromosti, moment količine gibanja i očuvanje momenta količine gibanja. Kolika je kinetička energija tijela koje rotira kutnom brzinom ω oko nepomične osi. (obavezno)

2. Koji je uvjet ravnoteže čestice, a koji uvjeti ravnoteže krutog tijela? Što je moment sile (definicija, iznos, smjer)?

3. Što je kruto tijelo? Kako se može gibati kruto tijelo? Izvedite jednadžbu rotacije krutog tijela oko nepomične osi.

4. Definirajte moment tromosti krutog tijela s obzirom na neku os. Izračunajte moment tromosti tankog prstena s obzirom na os simetrije. Što kaže Steinerovpoučak?

5. Definirajte moment količine gibanja: a) materijalne točke koja se giba po kružnici i b) krutog tijela koje rotira oko nepomične osi. Kakva je veza između momenta sile i momenta količine gibanja?

6. Što kaže zakon očuvanja momenta količine gibanja? Kako se može prikazati pokusima na Prandtlovu stolcu?

7. Koliki je rad momenta sile pri rotaciji krutog tijela? Kako se izračunava kinetička energija krutog tijela koje rotira oko nepomične osi? Kolika je pri tome snaga?

Documents

Fizika1-120 07-08 Predavanje7 - FESBadria.fesb.hr/~zmiletic/Fizika 1/6. Rotacija krutog tijela. Statika... · Statika. Dr. sc. Ivica Puljak ... Studijračunarstva 29. studenoga 2007