Upload
zoltan-kovacs
View
711
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Fizika tudástár
Citation preview
GULYÁS JÁNOS • RÁCZ MIHÁLY TOMCSÁNYI PÉTER • VARGA ANTAL
J
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / .
-F,
-F2
Panem-Akkord
F I Z I K AEnnyit kell(ene) tudnod
Gulyás-Rácz-Tomcsányi-Varga
Gulyás János-Rácz Mihály-Tomcsányi Péter-Varga Antal
FIZ IK AEnnyit kell(ene) tudnod
AKKORD• PANEM
Harmadik kiadás
Lektorálta: dr. Honyek Gyula, dr. Fejős Csaba A borítót tervezte: Vaisz György
Felelős szerkesztő: Koloszár Olga Műszaki szerkesztő: Érdi Júlia
Gulyás János, Rácz Mihály, Tomcsányi Péter, Varga Antal, 1994
Ez a könyv az Akkord Kiadó Kft. és a Panem Kft. közö^ kiadásában készült
A kiadásért felel a Panem Kft. ügyvezetője Budapest, 1995
A PANEM-könyvek megrendelhetők a 06-30/488-488 hívószámú W ESTEL 900 GSM mobiltelefonon,
illetve az 1385 Budapest, Pf. 809 levélcímen is.
Postacím: Panem Kft.1385 Budapest, Pf. 809
ISBN 963 545 046 X
TARTALOM
Bevezetés................................................................. .......111. Mechanika.............................................................. .......131.1. A tömegpont kinematikája .......131.1.1. A mozgások leírása .......131.1.2. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás .......151.1.3. Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás . 181.1.4. A szabadesés .......201.1.5. N em nulla kezdősebességű, egyenes vonalú
egyenletesen változó mozgás .......221.2. A tömegpont dinamikája....................................... .......241.2.1. Erőmérő készítése .......251.2.2. Newton I. törvénye .......261.2.3. Newton II. törvénye .......271.2.4. Newton III. törvénye .......291.2.5. Nevezetes eróliatások. .......301.2.6. Súrlódási jelenségek .......321.2.7. Az impulzus .......331.3. Összetett mozgások .......341.3.1. Az egyenes vonalú egyenletes mozgások
összetétele .......341.4. Munka és az energia .......431.4.1. A munka fogalma .......431.4.2. Speciális munkavégzések .......461.4.3. A teljesítmény .......491.4.4. Az energia .......501.4.5. A hatásfok .......531.5. A pontrendszerek mozgásának leírása .......531.5.1. A pontrendszer........................................................ .......53
TARTALOM
1.5.2. A pontrendszer impulzusa,az impulzusmegmaradás té te le ............................. 55
1.5.3. A pontrendszer tömegközéppontja....................... 581.5.4. Ütközések................................................................ 601.5.5. Munkatétel a pontrendszerre................................. 631.6. A tömegvonzás........................................................ 641.6.1. Kepler törvényei..................................................... 641.6.2. A bolygómozgás dinamikai leírása....................... 661.6.3. Az általános tömegvonzás törvénye...................... 681.6.4. A tehetetlen és súlyos töm eg................................. 701.6.5. A gravitációs erőtérben mozgó test....................... 711.7. Merev testek egyensúlya........................................ 711.7.1. A merev test fogalma............................................ 711.7.2. A forgatónyomaték................................................ 721.7.3. Merev testre ható erők összegzése......................... 731.7.4. Merev test egyensúlyának feltétele....................... 771.7.5. Egyszerű gépek...................................................... 791.7.6. Egyensúlyi helyzetek............................................... 841.8. A forgómozgás........................................................ 861.8.1. Rögzített tengely körül forgó merev te s t.............. 861.8.2. A forgómozgás alaptörvénye................................. 891.8.3. A forgási energia..................................................... 911.8.4. A perdület................................................................ 921.8.5. A haladó és a forgómozgás analógiája................... 931.9. Deformálható testek mechanikája......................... 931.9.1. Rugalmas nyújtás és összenyomás......................... 941.9.2. Hajlítás, nyírás, csavarás........................................ 961.10. Folyadékok és gázok mechanikája....................... 991.10.1. A nyomás egyenletes terjedése folyadékokban ... 991.10.2. A hidrosztatikai nyomás........................................ 1011.10.3. A felhajtóerő és Arkhimédész törvénye................ 1021.10.4. Folyadékok és gázok áram lása.............................. 1051.10.5. A közegellenállás................................................... 1091.11. A rezgőmozgás........................................................ 1111.11.1. A rezgőmozgás kitérés-idő függvénye,
kapcsolat a körmozgással....................................... 1111.11.2. Egyirányú rezgések összetétele.............................. 1141.11.3. Egymásra merőleges rezgések összetétele............ 117
TARTALOM
1.11.4. A rezgőmozgás dinamikai leírása .....1191.11.5. A csillapított rezgés .....1241.11.6. A kényszerrezgés és a rezonancia........... .....1251.11.7. Csatolt rezgések .....1281.12. Hullámok................................................................. .....1281.12.1. Mechanikai hullámok .....1281.12.2. ÁllóhuUámok .....1421.12.3. A hang .....144
2. Hőtan .....1472.1. A hőmérséklet fogalma és mérése .....1472.1.1. Hőmérők, hőmérsékleti skálák, hőtágulás .....1482.2. Gáztörvények...............................................................1492.2.1. Gay-Lussac első törvénye .....1502.2.2. Gay-Lussac második törvénye .....1512.2.3. Boyle-Mariotte törvény .....1522.3. Általános gáztörvény, ideális gázok
állapotegyenlete.. .... 1532.4. Ideális gázok állapotváltozásai .... 1562.5. A kinetikus gázelmélet .... 1582.6. A hőmérséklet molekuláris értelmezése,
a gázok belső energiája .......................................... .... 1612.7. A termodinamika első főtétele .... 1632.8. A hő mértéke, a hőmennyiség, a hőkapacitás .... 1652.9. Halmazállapot-változások, fázisátalakulás .... 1682.10. A hőfolyamatok iránya, a termodinamika
második és harmadik főtétele..................................... 169
3. Elefctromágnességtan .....1733.1. Az elektromos m ező 1733.1.1. Alapjelenségek 1733.1.2. Az elektromos tér és a térerősség.............................1783.1.3. Kapacitás, kondenzátorok .... 1843.1.4. Az elektromos áram fogalma, az áramerősség — 1903.1.5. A vezetők ellenállása, Ohm törvénye 1923.1.6. Feszültségforrás, rövidzárási áram 1963.1.7. Az elektromos munka és a teljesítmény 1983.2. A mágneses mező.............: ......................................... 200
TARTALOM
3.2.1. Amágnesség........................................................... ....2003.2.2. Mágneses törvények és összefüggések.......................2073.2.3. A váltakozó áram ................................................... ....2093.2.4. A feszültségrezonancia.......................................... ....2213.2.5. Az áramrezonancia................................................ ....2233.2.6. A rezgőkörök vizsgálata........................................ ....2243.3. A változó elektromos mező........................................2263.4. Elektromágneses hullámok........................................2283.4.1. Geometriai op tika .....................................................2303.4.2. Hullámoptika......................................................... ....246
4. Atom- és magfizika................................................. ....2524.1. Atomfizika.............................................................. ....2524.1.1. Az atomos felépítésre utaló megfigyelések...............2524.1.2. Az elektron felfedezése.......................................... ....2544.1.3. Az energiakvantum megjelenése.......................... ....2604.1.4. Az elektromágneses hullám adagossága....................2624.1.5. Az elektron mint hullám...........................................2654.1.6. A részecske-hullám kettősség............................... ....2654.1.7. Atommodellek........................................................ ....2674.1.8. Kémiai kötések........................................................ ....2704.2. Magfizika.................................................................. ....2724.2.1. Az atommag létezése............................................. ....2724.2.2. Az atommag felépítése................................................2734.3. Energiaviszonyok a magban................................... ....2774.3.1. A tömegdefektus..................................................... ....2774.3.2. A héjmodell (1934)................................................ ....2794.3.3. A cseppmodell (1936)............................................. ....2804.3.4. A fajlagos kötési energia........................................ ....2814.4. A radioaktivitás...................................................... ....2824.4.1. A radioaktív sugárzás............................................. ....2824.4.2. A radioaktív sugárzások jellemzői......................... ... 2834.4.3. A természetes radioaktivitás.................................. ... 2844.4.4. Az indukált radioaktivitás..................................... ... 2864.5. A magenergia felhasználása................................... ... 2874.5.1. A hasadásos reak to r.................................................. 2874.5.2. A fúziós energia...................................................... ... 288
TARTALOM
5. Részecskefizika...........................................................2905.1. Az elemi részecskék természete............................ .....2905.1.1. Hullám és részecske................................................ .....2905.1.2. Vizsgálati eljárások................................................ .....2915.2. A nagy energiák...................................................... .....2925.3. Az első részecskék felfedezése...................................2945.3.1. Az elektron és a fo to n .................................................2945.3.2. A p ro to n ................................................................. .....2945.3.3. A neutron................................................ .............. .....2955.3.4. A kozmikus sugárzás............... -...................................2955.3.5. Antirészecskék........................................................ .....2965.3.6. M ezonok................................................................. .....2975.4. Részecskegyorsítók................................................ .....2985.5. A felfedezések sokasága........................................ .....3005.6. A rendszerezés lehetősége..................................... .....303
6. Relativitáselmélet................................................... .....3056.1. A klasszikus relativitás........................................... .....3066.2. A fénysebesség állandóságának e lv e .................... .....3076.3. Az egyidejűség relativitásának e lv e ...........................3086.4. A speciális relativitás elmélete............................... .....3116.5. A speciális relativitás néhány követelménye.............3136.6. Az energia és a tömeg ekvivalenciája........................3146.7. Az általános relativitáselmélet alapja........................315
7. Csillagászat.............................................................. .....3197.1. A csillagászat rövid története......................................3197.2. A Naprendszer........................................................ .....3247.3. A Nap, a legközelebbi csillag......................................3307.4. A csillagok keletkezése és fejlődése...................... .....3357.5. Galaxisunk és szomszédai....................................... .....3387.6. A világegyetem kialakulásának elmélete.............. .....340
BEVEZETÉS
Ebben a könyvben a középiskolában oktatott fizikai ismeret- anyag tömör összefoglalását kívánjuk közreadni. A szigorúan vett törzsanyag mellett kitérünk olyan kiegészítésekre, elméleti megfontolásokra is, amelyek a felsőfokú intézményekbe jelentkező, illetve az átlagosnál jobban érdeklődő diákok igényeit is kielégítik.
Fontosnak tartjuk a középiskolai tananyagból való kitekintést is, éppen az igényesebb olvasók érdekében. Az ismeret- anyagot ugyanakkor a kísérleti fizika szemszögéből dolgozzuk fel, így olvasmányosabb, szemléletesebb, közérthetőbb a tárgyalás. Az elméleti levezetések főleg magyarázatként, hipotézisként szerepelnek.
A könyv segítséget kíván nyújtani mind a nappali, mind az esti, illetve a levelező középiskolai tanulóknak az aktuális órai anyag megtanulásához, a korábban tanult ismeretek felfrissítéséhez, valamint az érettségi és felvételi vizsgára való felkészüléshez, sőt az elsőéves főiskolai és egyetemi hallgatók i§ hasznát vehetik.
A kötet jellege megkövetelte, hogy a kísérleti és gyakorlati előzményeket, a hozzákapcsolódó definíciókat, törvényeket tömören fogalmazzuk meg.
A kísérleteket E, a definíciókat [5], a törvényeket [t ] , a példákat B, a levezetéseket B jelöléssel láttuk el. A definíciók, a tételek és a levezetések mellett függőleges vonal található.
1. MECHANIKA 13
1. MECHANIKA
A mechanika a mozgások jelenségeivel foglalkozik. Két fő része a KINEMATIKA és a DINAMIKA.
A kinematika a mozgások leírásával, a dinamika pedig a mozgások megvalósulásának feltételeivel foglalkozik. A statika, amely az egyensúly feltételeit tárgyalja, a dinamika speciális eseteként fogható fel.
Először a pontszerű, majd a kiterjedt testek mozgását vizsgáljuk.
I® Egy testet pontszerűnek tekintünk, ha a mozgás leírásakor lényeges távolságokhoz képest a test mérete elhanyagolható.
[E A Föld pontszerűnek tekinthető, ha a Nap körüli keringését vizsgáljuk, saját forgása szempontjából viszont kiterjedt testként kell kezelnünk.
A pontszerű testet szokás tömegpontnak vagy anyagi pontnak is nevezni.
1.1. A TÖMEGPONT KINEMATIKÁJA1.1.1. A MOZGÁSOK LEÍRÁSA
A mozgások leírásához vonatkoztatási rendszert használunk, amelyben megadjuk a test helyét az időben.
[H Mozgásról akkor beszélünk, ha a test helye változik az időben. Egy test mozgását akkor ismerjük, ha bármely pillanatban meg tudjuk adni a helyét.
14 1. MECHANIKA
Mozgása során a test a vonatkoztatási rendszer különböző pontjaiban található. Ezek a pontok alkotják a test mozgásának pályáját.
I [d ] a mozgás pályája az a görbe, amelyen a test mozgása során halad.
Legyen a mozgás során a test egy adott pillanatban a pálya A pontjában, míg Aí idő múlva a pálya B pontjában.
II
[U Az A pontból a B pontba mutató vektort a test As elmozdulásának nevezzük.
1 ] A megtett út a pályagörbe egy adott darabjának í hosszúsága (1.1. ábra).
A mozgásokat a pálya alakjától, illetve időbeli lefolyásuktól függően különböző csoportokba soroljuk, pl.: egyenes vonalú, periodikus, egyenletes, harmonikus stb. mozgások.
Az elmozdulás és az út hosszúság dimenziójú fizikai mennyiségek. Mértékegységük nemzetközi megegyezések alapján a méter (m). A hosszúság mérésére - a nagyságtól függően - különböző mérőeszközeink vannak. A legközismertebb a méterrúd, a mérőszalag, a tolómérő és a csavarmikrométer.
Az idő a természetben szabályosan ismétlődő jelenségek alapján mérhető. Ilyenek például a Föld forgása vagy az inga lengése. Az idő alapegysége a másodperc (s), de használjuk a percet, az órát, a napot és az évet is.
1. MECHANIKA 15
1.1.2. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETES MOZGÁS
[k] a Mikola-cső vízzel töltött, megdöntött zárt üvegcső (1.2. ábra), amelyben egy légbuborék mozog. Ha megmérjük a buborék által megtett utat és a megtételéhez szükséges időt, azt tapasztaljuk, hogy hányadosuk állandó,, tehát egyenesen arányosak. A Mikola-csőben a légbuborék egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.
’'T 777777^ y77777777777777/ 1.2. ábra
dl Egyenes vonalú egyenletes mozgást végez egy test, ha mozgáspályája egyenes, és az általa megtett út egyenesen arányos az út megtételéhez szükséges idővel.
A megtett út és a megtételéhez szükséges idő hányadosa állandó, amely a buborék mozgására jellemző adat.
I® A megtett út (s) és a megtételéhez szükséges idő (t) hányadosa a sebesség, jele v.
s
Mértékegységét a hosszúság és idő alapmennyiségeiből származtatjuk, ezért dimenziója hosszúság/idő. A gyakorlatban használt néhány sebességmértékegység:
1 m /l 8 = 1 m/s 1 km /l h = 1 km/h 1 km /l s = 1 km/s
A sebesség mérőszáma megmutatja az egységnyi idő alatt megtett út hosszát. Egyik mértékegységből a másikba a következő példa szerint válthatunk át:
72 km/h = 72-1 km/h = 72(1000 m/3600 s) == 72(1/3.6) m/s = 20 m/s
16 1. MECHANIKA
A mozgások matematikai leírásakor elengedhetetlenül fontos, hogy ismerjük a test (testek) mozgásállapotát (helyét, sebességét) az időmérés kezdetén, a í = 0 időpontban.
I® A kezdeti feltételek megadása azt jelenti, hogy megadjuk a test mozgásállapotát a í = 0 időpontban.
Ha a kezdeti feltételek szerint a v sebességű egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test a í = 0 időpontban az s = íq helyen van, akkor mozgását áz
S - So + v t
összefüggés íija le. Ennek speciális esete, ha az időmérés kezdetekor a test az origóban van, vagyis sq = 0- Ekkor az előbbi ösz- szefüggés az
s — vt
alakra egyszerűsödik.A fizikában éppúgy, mint a matematikában, a függvénykap
csolatban lévő mennyiségek közötti viszony grafikus ábrázolással tehető szemléletessé. Egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén az út-idő grafikont az 1.3.a ábra mutatja, míg a sebességidő diagram az 1.3.b ábrán látható. Az út-idő diagram egyenesének meredeksége a test sebességének felel meg. A sebesség-idő diagramon látható, hogy a görbe és az időtengely által határolt terület a test által megtett út nagyságát adja meg. Érdemes megjegyeznünk, hogy ez a megállapítás bármely mozgás sebesség-idő .diagramja esetén érvényes.
1.3. a ábra 1.3.b ábra
1. MECHANIKA 17
Az átlag- és a pillanatnyi sebességA környezetünkben létrejövő mozgások gyakran nem egyen
letesek, a sebességük változó. A nem egyenletes, változó mozgások indokolják az átlag- és a pillanatnyi sebesség bevezetését.
I m A mozgást végző test t idő alatti átlagsebessége a t idő alatt megtett teljes út és a t idő hányadosa:
ö;t
Az átlagsebesség az a sebesség, amellyel a testnek mozognia kellene ahhoz, hogy egy adott utat adott idő alatt, egyenletesen mozogva fusson be.
Igen fontos kiemelni, hogy az átlagsebességet általában nem a sebességek átlaga adja.
Mozgás közben a test sebessége változhat, ezért a fizikában használatos a pillanatnyi sebesség, mint a mozgás egyik jellemző mennyisége (ezt mutatja pl. az autó sebességmérő műszere).
A pillanatnyi sebesség általánosságban a következő módon adható meg, nem csak egyenes vonalú mozgásokra szorítkozva.
A változó mozgást végző test a t időpillanatban pályájának A pontjában található, míg Aí idővel később a B pontban.
1.4. ábra Ezen idő dlatt elmozdulása As (1.4. ábra).
m Az A pontbeli pillanatnyi sebességet a
AsV = -7-A t
hányados adja, ha a Aí tart 0-hoz.
A definícióból következik, hogy a pillanatnyi sebesség vektormennyiség, amely a pálya érintőjével párhuzamos.
18 1. MECHANIKA
1.1.3. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETESEN VÁLTOZÓ MOZGÁS
[k] Vizsgáljuk egy lejtőn legördülő golyó mozgását! Ha nyugalmi helyzetből indítva, a különböző hosszúságú utakat és a megtételükhöz szükséges időket mérjük, azt tapasztaljuk, hogy a megtett út és a megtételéhez szükséges idő négyzetének hányadosa állandó, tehát egyenesen arányosak.
^ =,áll, 111. s ~
Azt is megfigyelhetjük, hogy a golyó egyre gyorsabban mozog. A lejtő hajlásszögét változtatva azt tapasztaljuk, hogy nagyobb hajlásszögnél gyorsabban változik a sebesség, és az s/f' hányados értéke is nagyobb.
Változó mozgásról lévén szó, vizsgáljuk meg a pillanatnyi sebességet az idő függvényében!
E Jelölje A az s / f hányados értékét! így a t és a t+At idő közötti elmozdulás nagysága;
As = «2 — si = A(t — At)^ — At^
EbbőlAs = A(2í Aí + Aí^)
A Aí/Aí nagysága:
As V = — = A{2t + At)
Mivel Aí tart nullához.
v ^ 2 A t
Láthatjuk, hogy a pillanatnyi sebesség nagysága arányos az eltelt idővel. Ennek alapján könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a Av sebességváltozás és a közben eltelt idő is egyenesen arányosak:
1. MECHANIKA 19
Av ~ A t
m Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásról beszélünk, ha a mozgás pályája egyenes és a sebességváltozás nagysága egyenesen arányos a közben eltelt idővel.
Láttuk, hogy az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végző test pillanatnyi sebessége változik az időben. A sebességváltozás gyorsaságának mértékéül vezetjük be a gyorsulást.
[H Az
AvAí
hányados a gyorsulás.
A definícióból következik, hogy a gyorsulás vektormennyiség. Mértékegysége a sebesség és az idő mértékegységéből származtatható: m/s^.
Alkalmazva a definíciót, a pillanatnyi sebességre kapott 2A állandó
Av 2A(t + At) - 2 A t „ ,a = — = — ^ -------- = 2AAt At
a test gyorsulásával egyenlő.
A kapott eredményeket fölhasználva a megtett útra, a sebességre és a gyorsulásra, a következő összefüggésekhez jutunk:
CL ns = - t ] V = at] a = konstans
Megjegyzendő, hogy ezek az összefüggések csak akkor igazak, ha a kezdeti feltételek a í 0 időpontban: í = 0 és v = 0 . A nem nulla kezdősebességű esettel később foglalkozunk. Az út-idő, sebesség-idő és gyorsulás-idő grafikonok az 1.5. ábrán láthatók.
20 1. MECHANIKA
1.5. ábra
A gyorsulás-idő grafikon görbéje és a t tengely által bezárt terület a t idő alatt elért sebesség, míg a sebesség-idő grafikon görbéje és a t tengely által bezárt terület a t idő alatt megtett út számértékét adja (1.6. ábra).-A sebesség-idő grafikon egyenesének meredeksége a gyorsulás értékével egyezik meg.
1.6. ábra
1.1.4. A SZABADESÉSI Hl A nyugalmi állapotban elengedett testek tömegvonzás
okozta mozgása a szabadesés.
A szabadesés az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás speciális esete.
1. MECHANIKA 21
IH] Ha nem lenne légellenállás, a különböző testek a Föld egy adott pontján azonos gyorsulással esnének a Föld felé.
Ma már tudjuk, hogy ez nemcsak a Földön, hanem minden égitesten igaz. A Földön szabadon eső test gyorsulását nehézségi gyorsulásnak nevezzük, jele: g. Értéke függ a földrajzi helytől és a tengerszint feletti magasságtól. Például Budapesten g = 9.808 m/s^. Feladatok megoldása során gyakran 10 m/s^-re kerekítjük, bár helyesebb lenne ag = 9.8 m/s^.
Galilei foglalkozott először helyesen a szabadon eső testek mozgásával, és megállapította, hogy a szabadon eső testek által az egymást követő azonos időtartamok alatt befutott utak úgy aránylanak egymáshoz, mint az egymást követő páratlan számok. Ez kísérletileg könnyen igazolható egy ejtőzsínór segítségével.
1 ] Az ejtőzsinór egy kb. 2 m hosszú vékony zsineg, amelyre egymástól egyszeres, háromszoros, ötszörös stb. távolságokra apró, nehéz tárgyakat kötöttünk (1.7. ábra). Ha az ejtőzsinórt úgy emeljük föl, hogy az alsó vége érintkezzék a talajjal, majd elengedjük, azt tapasztaljuk, hogy a leeső tárgyak egyenletes ritmusban kopognak, amikor a talajra esnek. Galilei ezen állítása igaz az összes nulla kezdősebességű egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végző testre. A sebesség-idő grafikonnal kapcsolatban említettek alapján Galilei megállapítása egyszerűen ellenőrizhető (1.8. ábra).
V77777777777. 1.7. ábra
v=ot
y \K/ //
1.8. ábra
22 1. MECHANIKA
A nehézségi gyorsulás mérésére különböző niódszereket dolgoztak ki, amelyek közül az egyik nagyon szellemes módszert röviden ismertetjük. Mivel szabadesésnél nagyon rövid időtartamokat kell mérnünk, ezért minden esetben az időmérés okoz problémát. Ebben a kísérletben egy lengő lécet, mint ingát használunk óraként.
Megmérjük az inga lengésidejét, majd az 1.9. ábrának megfelelően összeállítjuk az eszközt. A lengő részre két papírt ragasztunk, közöttük indigóval. A fonalat elégetve a golyó leesik, a lengő rész pedig nekicsapódik, így a golyó nyomot hagy az indigós papíron. A golyó által hagyott nyomból tudjuk meghatározni az általa megtett utat, mígaz inga lengésidejének negyede ad- _________________ja meg az esési időt, amelyekből g VZ77777777777777777Z^V/ értéke számítható. 1-9- ábra
1.1.5. NEM NULLA KEZDŐSEBESSÉGŰ, EGYENES VONALÚ EGYENLETESEN VÁLTOZÓ
MOZGÁSAz egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás vizsgálatá
ra szolgáló kísérletben vegyük fel az út-idő diagramot általános kezdeti feltételek mellett úgy, hogy az órát akkor indítjuk, amikor a test már sq utat megtett és már vq sebességgel mozog. Az út-idő és sebesség-idő diagram felvétele szempontjából ez azt jelenti, hogy a koordinátarendszer origóját illesztjük máshová (1.10. ábra).
A mozgás fizikai lényegét tekintve ugyanaz, mint a nulla kezdősebességű, egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás, csak a megfigyelés kezdetének „eltolódása” miatt a vonatkoztatási rendszerben a görbék is „eltolódnak”.
1. MECHANIKA 23
1.10. ábra
Ennek megfelelő helyzettel a mindennapi gyakorlatban akkor találkozhatunk, ha a megfigyelés kezdete nem az indulás pillanata, például, ha a gépkocsi előzésbe kezd vagy sportversenyen ún. repülőrajttal indulnak.
Ilyen esetekben a v -t diagram nem egyenes arányt, hanem lineáris függvénykapcsolatot mutat az 1.10. ábra szerint, ahol az egyenes meredekségének számértéke most is a gyorsulás értékével egyezik meg. Az ábráról leolvasható a sebesség időfüggése.
A megtett utat a sebességgrafikon egyenese és a í tengely által bezárt terület adja (1.11. ábra):
A megtett utat és a sebességet megadó összefüggések tehát a következők:
24 1. MECHANIKA
a 9s = Voí + - r ; v = Vo + aí
A sebesség és a gyorsulás vektormennyiség. Az egyenes vonalú mozgásoknál irányukat a megfelelő előjelek alkalmazásával vesszük figyelembe az elólíbi egyenletekben.
1.2. A TÖMEGPONT DINAMIKÁJAA fizika által vizsgált kölcsönhatásokban rendszeresen ta
pasztaljuk, hogy a testeket valamilyen eróTiatás éri. Két elektromosan töltött test vonzza vagy taszítja egymást, a mágnesek esetében ugyancsak megfigyelhetünk vonzó- vagy taszítóerőt. Egy összenyomott rugó mozgásba hozhat egy tárgyat vagy egy mozgó tárgy összenyomhat egy rugót. Számtalan példát sorolhatnánk a fizikai jelenségek közül, amikor testek között valamilyen eróTiatás lép föl. Valahányszor egy testet eróTiatás ér, megfigyelhető, hogy a test alakja, mozgásállapota, esetleg mindkettő megváltozik. Az eróTiatás tulajdonképpen a kölcsönhatások kísérője, amelynek mértéke az erő.
in Azt a fizikai hatást, amely a külcsönhatásban lévő test mozgásállapotát vagy alakját megváltoztatja, erőhatásnak ne- vezzük.'Az erő az erőhatás mértéke.Az erő jele; F
A továbbiakban nem különböztetjük meg az erőt és az erőhatást, hanem csak erőről beszélünk.
Ahhoz hogy az erőknek és a mozgásoknak a kapcsolatát leírhassuk, valamilyen módon mérnünk kell az erőt. Erre kétféle lehetőség kínálkozik:
a) Az erő hatására bekövetkező mozgásállapot-változásból definiálhatjuk az erő mértékét.
b) A z erő hatására bekövetkező alakváltozást fölhasználva adhatunk mérési eljárást.
Mi a második módszer szerint járunk el.Az erő vektormennyiség, mindkét hatása alapján erre követ
keztetünk.
1. MECHANIKA 25
1.2.1. ERŐMÉRŐ KÉSZÍTÉSEErőmérő készítéséhez valamilyen rugalmas anyagot haszná
lunk, mely az erőhatás megszűnte után visszanyeri eredeti alakját. Tapasztalatból tudjuk, hogy nagyobb erőhatással nagyobb alakváltozás idézhető elő. Ez a két tulajdonsága teszi alkalmassá a rugalmas anyagokat az erő mérésére. Könyvünkben a rugós erőmérő elvét ismertetjük, amelynek skálája lineáris. Természetesen készíthető nem lineáris skálájú erőmérő is.
[k] Felfüggesztünk egy spirálrugót és az aljára azonos méretű azonos anyagból készült testeket akasztunk. A rugó mellé egy skálát helyezünk, hogy mérni tudjuk a megnyúlást (1.12. ábra).
Azt tapasztaljuk, hogy bármelyik testet akasztjuk föl, a rugó minden esetben ugyanannyit nyúlik meg.
Az egy test által kifejtett erőt önkényesen erőegységnek választhatjuk. Ha két, három vagy több testet akasztunk föl, a rugó meg
nyúlása mindig annyiszorosa az egy test által előidézett megnyúlásnak, ahány testet a rugóra akasztottunk. Azt mondhatjuk, hogy két test kétszer, három test háromszor, n db test n- szer akkora erővel húzza a rugót. Itt az erőhatások függetlenségének elvét használjuk ki, amellyel késól^b foglalkozunk részletesen.
m Ha két különböző erő a rugót azonos mértékben nyújtja meg, a két erő nagysága megegyezik.I
I [d] Ha egy erő a rugót n-szer akkor mértékben nyújtja meg, mint az egységnyi erő, akkor az erő nagysága az egység n-szerese.
Az előzőek ismeretében már tudunk erőt mérni. Az erő mérésének definíciójából következik, hogy a rugót megnyújtó erő és a rugó megnyúlása egyenesen arányos, azaz hányadosuk állandó. Ezen állandó jelölésére mind a k, mind a D betű haszná
26 1. MECHANIKA
latos, és rugóállandónak vagy direkciós erőnek nevezik. A rugóállandó megmutatja, hogy egy adott rugó mennjdre kemény, milyen nehéz megnyújtani vagy összenyomni.
E AzF = kx vagy F = D \
összefüggés a rugó erőtörvénye, ahol x a rugó megnyúlása az F erő hatására.
1.2.2. NEWTON I. TÖRVÉNYE[k] Végezzük el a következő gondolatkísérletet!Egy, a jégkorongozásban használt korongot lökjünk meg
adott sebességgel, először egy park sétaútján, majd sima aszfalt- úton, végül a Balaton tükörsima jegén. Mindenki érzi, hogy a korong leghamarabb a sétaúton fog megállni, míg a Balaton jegén jut a legmesszebb. Folj^atva ezt a gondolatmenetet: ha létre tudnánk hozni olyan felületet, amelyen nem lenne súrlódás és légellenállással sem kellene számolnunk, akkor a korong nem állna meg, hanem egyenes vonalú egyenletes mozgást végezne. Ebből az következik, hogy az erő nem a mozgásállapot fenntartásához, hanem a megváltoztatásához szükséges.
I [HA testeknek az a tulajdonsága, hogy mozgásállapotuk csak erő hatására változik meg, a testek tehetetlensége.
E Newton I. törvénye, a tehetetlenség törvénye:Minden test megmarad a nyugalom vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgás állapotában mindaddig, amíg valamilyen erőhatás ennek elhagyására nem kényszeríti.
Mivel a bennünket körülvevő világban nincs olyan test, amelyre semmilyen erő nem hat, ezért ezt a törvényt kísérletileg nem lehet igazolni. Ehelyett olyan körülményeket teremthetünk, hogy a testre ható erólc eredője nagy pontossággal nulla legyen. Tapasztalataink szerint ekkor szintén nem változik a tömegpont mozgásállapota.
1. MECHANIKA 27
I [d] Az olyan vonatkoztatási rendszereket, amelyekben teljesül a tehetetlenség törvénye, inerciarendszereknek nevezzük.
Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer. Például a hirtelen induló vagy a fékező járművekben az az utas, aki nem kapaszkodik, „magára van hagyva”, nagyon könnyen eleshet, azaz a buszhoz mint vonatkoztatási rendszerhez képes változik a mozgásállapota. Az ilyen rendszereket gyorsuló vonatkoztatási rendszereknek nevezzük.
Az inerciarendszerek jelentősége az, hogy megadják a New- ton-törvények érvényességi körét. A Newton-törvények csak inerciarendszerekben érvényesek. Könnyen belátható, ha egy vonatkoztatási rendszer inerciarendszer, akkor minden más, hozzá képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszer is inerciarendszer.
1.2.3. NEWTON II. TÖRVÉNYE[k] A z 1.13. ábra szerinti kísérleti összeállításban mérjük a kis
kocsira ható erőt és a kiskocsi gyorsulását!
1.13. ábra
A mérési eredmények azt mutatják, hogy állandó erő állandó gyorsulást hoz létre. Változtatva az erő nagyságát, a gyorsulás is változik, mégpedig az erő nagyságával egyenesen arányosan.
H] Newton II. törvénye: a dinamika alaptörvénye:A tömegpontot a fellépő erő a saját irányába gyorsítja, a létrejövő gyorsulás egyenesen arányos az erővel.
F ~ a
28 1. MECHANIKA
A testre ható erő és a gyorsulás hányadosát a test tehetetlen tömegének nevezük, jele: m. A tömeg alapmennyiség, önkényesen választott mértékegysége az 1 kg, amely a Párizs melletti Sevre-ben található platina-irídium ötvözetből készült mintahenger tömege.
A mindennapi életben megfigyelt mozgások esetén a testek tehetetlen tömege állandó, de a fénysebességhez közeli sebességének esetén a tömeg megnövekszik.
Newton II. törvényéből kapjuk az erő fizikában használatos mértékegységét:
Az szorzata
^z erő mértékegysége a tömeg és a gyorsulás egységének rzata, 1 kg • 1 m/s = 1 N (newton)
I m 1 N az az erő, amely az 1 kg tömegű testet 1 m/s^ gyorsulással mozgatja.
A dinamika alapegyenleteAz erőmérő készítésénél láttuk, hogy az erő deformáló hatá
sánál az egyes erők egymástól függetlenül hatnak.
Hl Elvégezhető a következő kísérlet: gyorsítsunk egy testet különböző erőlckel különböző irányokba (1.14. ábra)!
1.14. ábra
1. MECHANIKA 29
Először az egyes erők külön-külön, majd egyszerre hassanak a testre. Megmérve az egyes erők által létrehozott gyorsulásokat, majd azokat vektoriálisan összegezve azt a gyorsulást kapjuk, amit akkor mérünk, amikor az erők egyszerre hatnak a testre. A kísérlet alapján mondhatjuk ki a következő törvényeket.
I [T] A testre ható erők egymástól függetlenül fejtik ki hatásukat.
[t]A tömegpontra ható erők eredője egyenlő a test tömegének és gyorsulásának szorzatával. A gyorsulás az eredő erő irányába mutat.
SF = ma
Ez a tétel a dinamika alapegyenlete.(A görög szigma: S jel, amit szummának ejtünk, az összegzést jelenti.)
1.2.4. NEWTON III. TÖRVÉNYEE Tegyünk mindkét végén alátámasztott hajlékony lemezre
egy vízzel töltött léggömböt! A lemez lehajlik, a léggömb belapul (1.15. ábra).
1.15. ábra
Nagyon sok hasonló kísérletet mutathatunk be annak szemléltetésére, hogy a kölcsönhatásban részt vevő mindkét test erővel hat a másikra.
30 1. MECHANIKA
H] Newton III. törvénye, a hatás-ellenhatás törvénye Ha az egyik test erőt fejt ki a másikra, a másik is erőt fejt ki az előzőre, tehát az erők mindig párosával lépnek fel. Ezek az erők egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak. Az erő és az ellenerő mindig más-más testre hat.
A törvényből következik, hogy erőhatás létrejöttéhez mindig két test és a közöttük létrejövő kölcsönhatás szükséges. Nem mindig nyilvánvaló azonban a másik test jelenléte, amint ezt következő példánk is mutatja.
[p] Adjuk meg a talajon nyugvó ládára ható erőket és azok el- lenerejeit!
Az 1.16. ábrán N jelöli a nehézségi erőt, míg F a talaj által a ládára kifejtett nyomóerőt. Az F ellenereje az az erő, amivel a láda nyomja a talajt. Mi az ellenereje a nehézségi erőnek? Az N erő a Föld vonzásából származik, tehát ellenereje a Földre hat, ugyanis a test is vonzza a Földet. Az erő-ellenerő párokat, tehát mindig a kölcsönhatás természete alapján találhatjuk meg.
1.16. ábra
1.2.5. NEVEZETES ERŐHATÁSOK
A nehézségi erőA szabadon eső test gyorsulását a testre ható nehézségi erő
hozza létre, amely a test és a Föld között föllépő gravitációs erő következménye. Newton II. törvénye szerint a nehézségi erő
F„e/t = mg
A test tömege állandó, g értéke a földrajzi helytől függően változhat. Budapesten az 1 kg tömegű testre ható nehézségi erő közelítőleg 9,81 N.
1. MECHANIKA 31
A súly és a súlytalanságHa egy testet felfüggesztünk vagy egy vízszintes felületre he
lyezünk, akkor az egy függőlegesen ható erőt fejt ki a felfüggesztésre, ill. az alátámasztásra.
dl A test súlya az az erő, amellyel a test a hozzá képest nyugalomban lévő felfüggesztést húzza vagy a vízszintes alátámasztást nyomja.Jele: G
Egy test súlya nem állandó. Például a liftben álló ember a lift fölfelé indulásakor nehezebb, míg lefelé indulásakor könnyebb. Ha az 1.17. ábrának megfelelően berajzoljuk a rá ható erőket és alkalmazzuk a dinamika alapegyenletét, a súly nagyságára a következő eredményt kapjuk:
G = m(g H- a)
ha fölfelé indul,
G = m(g - a)
ha lefelé indul.1.17. ábra
Látható, hogy ha a test szabadon esik, akkor a súlya nulla. Ez az állapot a súlytalanság.
A kényszererőA kényszererők általános definíciója nagyon bonyolult, meg
haladja ennek a könyvnek a kereteit, így csak néhány példát vizsgálunk.
A felfüggesztett testre a felfüggesztés, az alátámasztott testre az alátámasztás fejt ki erőt. Ezek az erők mindig olyan nagyságúak és irányúak, hogy megakadályozzák a testnek a felfüggesz
32 1. MECHANIKA
téshez, ill. az alátámasztáshoz képesti elmozdulását. Minden ilyen típusú erőt kényszererőnek nevezünk. Kényszererő például a kötélerő, ami mindig kötélirányú, az alátámasztás által kifejtett nyomóerő vagy a tapadási súrlódási erő. A kényszer- eró"knek van egy maximuma, pl. amit egy kötél szakadás nélkül kibír, és a legtöbb esetben nem lehet akármilyen az irányuk sem, mert pl. az alátámasztás nem tudja húzni a testet.
1.2.6. SÚRLÓDÁSI JELENSÉGEK
A csúszási súrlódási erőA csúszási súrlódási erő két egymással érintkező, egymáshoz
képest mozgó felület között lép föl.Iránya ellentétes a relatív sebességek irányával, nagysága a
felületek simaságától és az őket összenyomó erő nagyságától függ. Nem függ az érintkező felületek és a relatív sebességek nagyságától. Jele: Fg. Nagyságát az
ny
összefüggés adja meg, ahol fj. a csúszási súrlódási együttható, a felületek minőségére jellemző állandó. Az összefüggésből látható, hogy a |U dimenzió nélküli mennyiség.
A tapadási súrlódási erőA tapadási súrlódási erő két egymással érintkező, egjmáshoz
képest nyugvó felület között lép föl abban az esetben, ha valamilyen erő a felületeket el akaija mozdítani. Iránya párhuzamos a felületekkel és ellentétes a felületeket elmozdítani akaró erő irányával, nagysága pedig azzal egyenlő. A tapadási súrlódási erő kényszererő. A tapadási súrlódási erő maximuma a felületek simaságától és a felületeket összenyomó erő nagyságától függ. Jele F jo , az
Fso ~összefüggés alapján számítható.
1. MECHANIKA 33
Ha az elmozdító erő nagysága meghaladja a tapadási erő maximumát, a felületek csúszni kezdenek, és ekkor már a csúszási súrlódási erő lép fel. Két feltilet között egys7erre nem léphet fel tapadási és csúszási súrlódási erő.
1.2.7. AZ IMPULZUSB Egy test sebességét a reá ható erólí t idő alatt változtassák vi-ről V2-re. A gyorsulás definíciója és a dinamika alapegyenlete miatt igazak a következők:
Av V2 -V 1 . ^a = = — T---- es * = maA t A tRendezés után az
FAí = my^—rnyi
egyelethez jutunk. Az egyenlet bal oldalán a testre ható erők eredőjének és az erőhatás idejének a szorzata áll, ami független a testtől és a pillanatnyi sebességtől, lévén más testektől származó erőhatás, míg a jobb oldalon az mv szorzat a testhez tartozó mennyiség, amelyre más testek erővel hatottak.
[1 Az F Aí szorzatot erőlökésnek, az mv szorzatot impulzusnak (lendület) nevezzük.Az impulzus jele I vagy p. Mértékegysége kgm/s. Előző egyenletünket az impulzussal fölírva az
^ AIF = —A t
egyenlethez jutunk.
E A tömegpontra ható erőlc eredője és az erőhatás idejének szorzata egyenlő a tömegpont impulzusának megváltozásával. Az impulzusváltozás iránya megegyezik az eredő erő irányával. Rövidebben: a test impulzusváltozása egyenlő az őt érő erőlökéssel. Ez az impulzustétel, ami Newton II. törvényének egy másik megfogalmazása. Az impulzus fogalmát ő
34 1. MECHANIKA
vezette be, és törvényét is annak segítségével fogalmazta meg:„...Az impulzus megváltozása arányos a mozgatóerővel és amaz egyenes irányában megy végbe, amelynek mentén ez az erő hat...”
1.3. ÖSSZETETT MOZGÁSOK
1.18. ábra
1.3.1. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETES MOZGÁSOK ÖSSZETÉTELE
El Egy csónak halad a folyóban a vízhez képest vi sebességgel. A folyónak a parthoz képesti sebessége V2. Hogyan riiozog a csónak a parthoz képest?
Az 1.18. ábra mutatja a Aí idő alatt bekövetkező elmozdulásokat, Si a csónaknak a vízhez képesti, S2 a víznek a parthoz képesti elmozdulása, míg a két elmozdulás s összege a csónak parthoz képesti elmozdulását adja:
S = Si + S2S Si S2
Az egyenletet Aí-vel osztva a sebességeket kapjuk.Eredményünket a következő tételben foglalhatjuk össze:
E Ha ismerjük az A test B testhez képesti sebességét és ismert B sebessége a C testhez képest, akkor A sebességét C- hez képest két sebesség vektori összege adja.
Az egyenletet átrendezve:
Vi = V - V2
1. MECHANIKA 35
azt kapjuk, hogy ha ismerjük két test sebességét ugyanahhoz a testhez képest, akkor az egymáshoz viszonjatott sebességük a két sebességvektor különbségeként adódik.
A függőleges hajításA függőleges hajítás a nem nulla kezdősebességű egyenes vo
nalú egyenletesen változó mozgások egy speciális esete. így a mozgást leíró összefüggések ugyanazok, mint az 1.1.5. fejezetben bemutatottak. Mutasson vonatkoztatási rendszerünk y tengelye a hajítás egyenesében fölfelé, ha a hajítás fölfelé történik. A mozgást leíró összefüggések;
9 2y = yo + v o t - - t ^ ; v = v o - g - t
ahol yo az elhajítás magassága, vo a kezdősebesség.A függőleges fölfelé hajítás esetén szokás megadni az emel
kedés idejét és magasságát, ami:
í • h
Ha a hajítás lefelé történik, az y tengely mutasson lefelé. Ekkor az összefüggések:
g n?/ = 2/o + i oí + 2Ín ; U =
Sebesség és gyorsulás görbe vonalú pályán
Tartózkodjon a test a t pillanatban a pálya A pontjában, majd At idővel később a B pontban (1.19.a ábra). Az A pontba mutató helyvektort jelölje ri, a B pontba mutatót t 2 . A test A pontbeli sebességét úgy kapjuk meg, ha a At idővel tartunk nullához. Ekkor azonban a Ar vektor és ezáltal a Ar/At sebességvektor tart az A pontbeli érintőhöz (1.19.b ábra). Azt mondhatjuk, hogy:
36 1. MECHANIKA
IH] Görbe vonalú pályán mozgó test sebessége a pálya érintőjének irányába mutat.
Jelölje a görbe vonalú pályán mozgó test sebességét az A pontban vi, és A t idővel később a B pontban V2 (1.20.a ábra). Mivel a két sebességvektor nem egyenlő, a Av = V2-V1 nem nulla (1.20.b ábra), tehát a test gyorsul.
1.20. a ábra
A görbe vonalú pályán mozgó test gyorsulását két komponensre bontva adjuk meg (1.21. ábra).
V21.20.b ábra
1.21. ábra
[H A pályára merőleges komponens a normális, míg a pálya érintőjének irányába mutató komponens a tangenciális gyorsulás.
A normális gyorsulás a sebesség irányának, a tangenciális komponens pedig a'sebesség nagyságának megváltozását okozza.
1. MECHANIKA 37
A vízszintes hajításA vízszintesen elhajított test mozgását egy vízszintes, állandó
sebességű mozgás és egy szabadesés összegeként íquk le. Ezt azért tehetjük meg, mert a függőleges nehézségi gyorsulás a vízszintes kezdősebesség nagyságát nem változtatja meg, a leeső golyónak pedig nincs kezdősebessége. Állításunk a következő kísérlet elvégzésével bizonyítható.
IS Az 1.22. ábrán látható eszköz egyszerre indít egy golyót szabadeséssel, egy másikat pedig valamilyen Vq kezdősebességgel vízszintes irányba.
Gumiszál
—Lengő kar, amit meglökünk
Lyuk
i1.22. ábra
A kísérletet elvégezve azt tapasztaljuk, hogy a két golyó egyszerre koppan a talajon. Ha a vízszintesen ellökött golyót különböző sebességekkel indítjuk, ugyanúgy, egyszerre koppan- nak, csak a golyó más-más távolságokra repül.
A leíráshoz koordináta-rendszerünket úgy vesszük fel, hogy az origó az elhajítás helye, míg az y tengely függőlegesen lefelé, az X tengely pedig a hajítás irányába mutasson (1.23. ábra).
Ekkor a test helyét az
38 1. MECHANIKA
függvények adják meg. A sebesség vízszintes és függőleges komponense:
V x = V0 ; Vy = gt
A hely-idő függvényekből az időt kiküszöbölve, a hajítás pályáját kapjuk:
A pályát megadó másodfokú függvény egy parabola egyenlete, tehát a vízszintesen elhajított test pályája parabola.
A ferde hajításA ferde hajításnál ugyanúgy járunk el, mint a vízszintes
hajítás leírásánál. A mozgást egy vízszintes, állandó sebességű mozgásra és egy függőleges hajításra bontjuk. Kooidináta-rend- szerünk kezdőpontja legyen az elhajítás helye, y tengelye mutasson fölfelé, X tengelye pedig az elhajítás irányába. A test kezdősebességét bontsuk fel vízszintes és függőleges komponensekre (1.24. ábra).
Lefelé hajításnál ugyanígy járunk el, csak az összefüggések fölírásánál Vyo előjele negatív. A test helyét ‘ megadó függvények: 24. ábra
g «X = V{)COsa ' t ; y = t;oSÍna • t — - t
ZiA vízszintes és függőleges sebességek:
Vx = Vocosa Vy — uosina — gt^
A helyet megadó függvényekből az időt kiküszöbölve a pálya egyenletét kapjuk:
1. MECHANIKA 39
Eredményül ismét parabolapályát adó másodfokú függvényt kaptunk.
Megjegyzés: a valóságban a légellenállás miatt a pálya ún. ballisztikus görbe, aminek leírása meghaladja e könyv kereteit.
A ferdén elhajított test pillanatnjd sebességének nagyságát a Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk:
irányát pedig a komponensek alkotta derékszögű háromszög szögei adják meg (1.25. ábra).
A körmozgásHl Körmozgást végez egy tömegpont akkor, ha a pályája kör. Körmozgás esetén a megtett út a körpályán befutott ív.
ái
A görbe vonalú pályákkal kapcsolatban már láttuk, hogy a sebességvektor minden pillanatban a pálya érintőjébe esik. Ez a körpályán is teljesül. Körmozgás esetén ezt kerületi sebességnek nevezzük. A körmozgás jól jellemezhető a mozgó ponthoz húzott sugár elfordulásának szögével, amelyet radiánban mérünk (1.26. ábra).
40 1. MECHANIKA
Ekkor a befutott ív Aj hosszúsága és az Aa szögelfordulás között a következő egyszerű összefüggés érvényes:
Ai = rA a
Az Aí időre vonatkozó átlagos kerületi sebesség a At idő alatt befutott Ai ívhossz és a megtételéhez szükséges idő hányadosa:
Ai^ " ^ A t
Ha At elegendően kicsiny, akkor v a pillanatnyi kerületi sebesség.
Helyettesítsük a Ai ívhosszat a sugárral és a hozzátartozó kis szögelfordulással;
r • Aa Aa= rA t A t[H A Aoí/At hányados a szögsebesség. Jele: co, dimenziója: l/idő, mértékegysége: l/s.Képlettel kifejezve;
Aa Aí
amivel a kerületi sebesség nagysága és a szögsebesség kapcsolatára a
V = r ■ w
összefüggés adódik.
Mivel a körpályán mozgó test sebessége változik, ezért biztos, hogy van gyorsulása.
[U A körpályán mozgó test gyorsulásának normális komponense a centripetális (középpontba mutató), tangenciális gyorsulása a kerületi gyorsulás.
1. MECHANIKA 41
A kerületi gyorsulás a körmozgást végző test sebességének nagyságát változtatja, így a pillanatnyi sebesség és a kerületi gyorsulás kapcsolatát a
v = vo±afc-í
összefüggés adja. A negatív előjelet akkor használjuk, ha a sebesség és az érintő irányú gyorsulás ellentétes irányú.
[l] a centripetális gyorsulás meghatározásához tekintsük a kerületi sebesség nagyságát állandónak.Az 1.27.a ábra alapján a vi vektorra merőleges sugár és a \ 2
vektorra merőleges sugár szöge Aa, ezért a vi és V2 vektorok szöge is Aa. A két vektort közös kezdőpontból fölrajzolva, (1.27.b ábra) a V1V2AV háromszög és az rir2As háromszögek hasonlók. Ezért a megfelelő oldalak arányára igaz a
Av V As r
egyenlet. Rendezve;A ^ AAu = - As
rMajd mindkét oldalt Aí-vel osztva, a
Av V As As r A t
összefüggést kapjuk.Mivel Af tart nullához a As/Aí a pillanatnyi sebesség, a Av/Aí pedig a gyorsulás nagyságát adja meg. így a centripetális gyorsulás nagysága:
V2acp = — r
Iránya a kör középpontja felé mutat.
42 1. MECHANIKA
Az egyenletes körmozgásHl Egyenletes körmozgásról beszélünk, ha a pálya kör, és a mozgó test által befutott ív arányos a befutáshoz szükséges idővel.
A definícióból következik, hogy a kerületi sebesség, a szögsebesség és a centripetális gyorsulás állandó, a kerületi gyorsulás pedig nulla. így a mozgást leíró összefüggések a következők:
i — vt a = wt
Az egyenletes körmozgás leírásához még két mennyiséget definiálunk;
I® A körpálya egyszeri teljes befutásához szükséges időt keringési időnek nevezzük és T-vel jelöljük.
szám, jele: n.I [d] Az egységnyi idő alatt befutott körök száma a fordulat-
A két definícióból következik, hogy e két mennyiség egymás reciproka:
T = -n
A szögsebességet a keringési idővel és a fordulatszámmal kifejezve:
1. MECHANIKA 43
27T „ w = — = ZTrn TMivel az egyenletes körmozgás során a test gyorsulása meg
egyezik a centripetális gyorsulással, ezért a dinamika alapegyenlete szerint az egyenletes körmozgást végző testre ható erők eredője a kör középpontjába mutat, nagysága:
SF = m —
rEz az egyenletes körmozgás dinamikai feltétele,
I [d] Azt az eredő erőt, amely a tömegpontot körpályára kényszeríti, centripetális erőnek nevezzük.
1.4. A MUNKA ÉS AZ ENERGIA
1.4.1. A MUNKA FOGALMAHétköznapi értelemben munka, ha egész nap egy számítógép
előtt íilve dolgozunk, ha egy nehéz szatyrot hazacipelünk a közértből, vagy amikor építkezés során már negyedszer rakjuk arrébb a téglákat.
I® A fizikában egy erő munkája az erő és az erő irányában történő elmozdulás szorzata.
E definíció szerint munkát végzünk, amikor fölemelünk egy testet, ha megnyújtunk egy rugót vagy amikor felgyorsítunk egy testet, de nem végzünk munkát, ha egy testet a kezünkben tartunk.
Munkavégzésünk nagysága attól függ, hogy mekkora erővel és milyen hosszú úton mozgatunk egy testet. Abban az esetben, ha az erő és a test elmozdulása egyirányú, a munkán az F erő és az s elmozdulás szorzatát értjük.
W = Fs
44 1. MECHANIKA
ahol W a munka jele. Fontos megjegyezni, hogy ez a meghatározás - tulajdonképpen megállapodás - önkényes, de indokolt, mert célszerű. Természetesnek érezzük, hogy több munkát végzünk, ha nehezebb tárgyat emelünk fel ugyanolyan magasra, illetve, ha ugyanazt a testet magasabbra visszük.
ámg
B Ha vízszintes úton hazaviszünk egy teli bevásárlószatyrot, hétköznapi értelemben munkát végeztünk, azonban a szó fizikai értelmében nem történt . munkavégzés. Ez a művelet ugyanolyan erőkifejtést ^ igényel, mintha a terhet egy helyben tartanánk (1.28. ábra).
Mivel a test függőlegesen nem mozog, ezért az
F = mg
erő irányában nincs elmozdulás, tehát a függőleges F erő nem végez munkát, ha a test csak vízszintesen mozog. Mégis úgy érezzük, hogy dolgoztunk, izmaink munkát végeztek. A biológiai munkavégzés magyarázata az, hogy miközben a terhet tartjuk, izomkötegeink egymást váltva összehúzódnak és elemyed- nek. Az erő és az elmozdulás egyirányú, tehát van munkavégzés. Ezért fáradunk el akkor is, ha az általunk kifejtett F erőnek fizikai értelemben nincs munkavégzése.
Általánosítva kimondhatjuk, hogy az elmozdulásra merőleges erő nem végez munkát.
A munka mértékegysége a definíció alapján az erő és elmozdulás ességének szorzata, 1 N • 1 m = 1 kg • m/s^ • 1 m = 1 kg • m^s^ = 1 joule (ejtsd; zsul), jele: J.
A munka definíciójának általánosításaAbban az esetben, ha az erő és az elmozdulás nem egyirányú,
az erőt felbontjuk elmozdulás irányú és arra merőleges összetevőkre (1.29. ábra).
A merőleges komponens munkája nulla, míg az elmozdulás irányú |Fi| = |F| cosa komponens munkája
W = |F|cosa|s|
1. MECHANIKA 45
ahol a az erő- és az elmozdulásvektorok által bezárt szög.Mivel az erő és az elmozdulás is vektor, kifejezésünk nem
más, mint a két vektor skaláris szorzata.
M^=|F||s|
Ha a munkavégzés során az erő nem állandó, akkor a test mozgását olyan elemi s elmozdulásokra bontjuk, hogy azon az erőt már állandónak tekinthessük, és ezen elemi elmozdulásokon végzett munkák összegeként számítjuk a munkát.
Eddig egy erő munkájával foglalkoztunk, a későbbiekben látni fogjuk, hogy több erő esetén különösen fontos az eredő erő munkájának kiszámítása.
B H a egy tömegpontra több erő hat, akkor az eredő erő munkája egyenlő az egyes erők munkáinak algebrai összegével.
Ugyanis
Fe = Fi+F2 + . . . +F „
As elmozdulás esetén a munka
W = FeAs = FiAs + FaAs + .. . + FnAs
Ha ismerjük az erő-elmozdulás függvényt (természetesen itt az erőn az elmozdulás irányú erólcomponenst értjük), akkor a függvénygörbe és az elmozdulástengely által határolt terület a munka mérőszámát adj a (1.30 ábra).
Ebben az esetben az elmozdulástengelyen csak az elemi elmozdulások nagysága szerepelhet, algebrai összegük a megtett utat adja.
46 1. MECHANIKA
1.4.2. SPECIÁLIS MUNKAVÉGZÉSEK
Az emelési munkaSzámítsuk ki, mennyi munkával lehet
egy m tömegű testet lassan, egyenletesen h magasságba vinni (1.31. ábra)! Az egyenletes emelés azt jelenti, hogy a test gyorsulása nulla. Ebből viszont következik, hogy a testre ható erők eredője is nulla, azaz: F - mg.
mgl
' / / / / / / /7 / / / / / / /7 Z1.31. ábraígy az F erő munkája már kiszámítható:
Wp = Fh — mgh
Érdemes megvizsgálni a nehézségi erő munkáját is. Az mg erő iránya ellentétes az elmozdulással, így a = 180°, azaz cosa = -1 . Tehát:
W^g = - mgh
Ha a testet lefelé engedjük, ez előjelek felcserélésétől eltekintve ugyanerre az eredményre jutunk:
Wp = — mgh ;
Wmg = mgh
1. MECHANIKA 47
A súrlódási munkaVízszintes talajon gyakran mozognak a testek állandó erő ha
tására állandó sebességgel. Ilyenkor a húzóerő a súrlódási erő ellenében végez munkát (1.32. ábra).
TTT^T^.TTTTTTTTTTTTTTTTTTZ^^/T/.mg"
y / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /S
1.32. ábra
Állandó sebesség esetén a testre ható erők eredője nulla:
mg = F„y és F — Fs — fimg
így az F húzóerő munkája a következő alakban írható:
Wp — Fs = fímgs
A súrlódási erő munkája:
Wf, — — límgs
Ha a pálya nem egyenes, a munka számításához a megtett utat kell használni, mivel a súrlódási erő ellentétes a pillanatnyi sebességgel, azaz az erő iránjm elmozdulás megegyezik a megtett úttal.
A gyorsítási munkaA testek gyorsításához a dinamika alaptörvénye szerint nullá
tól különböző eredő erő szükséges. Állandó F erő hatására a test egyenletes gyorsulással mozog. Számítsuk ki, mennyi a testre ható erólc eredőjének munkája, amikor vízszintes talajon, egyenes úton, álló helyzetből v sebességre gyorsul a test (1.33. ábra).
A dinamika alaptörvénye szerint: F = ma, további kinetikai összefüggésekből a gyorsítási munka:
48 1. MECHANIKA
h - í M/779'
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / A^ 5 f//
133. ábra
Wf, = FeS ^ m a ^ t l = = ^m vl
A kapott eredmény érdekessége, hogy a munkavégzés kizárólag a test adataitól - tömegétől, sebességétől - függ, sem a húzóerő sem az út nem szerepel a végső összefüggésben. Az kifejezés a test mozgási energiája (lásd bővebben a következő fejezetben).
Érdemes még arra is figyelni, hogy a talaj által a testre kifejtett nyomóerő munkája nulla. Ezt a nyomóerőt kényszererőnek nevezzük. Általánosan érvényes, hogy az elmozdulásra merőleges kényszererők nem végeznek a testen munkát.
A rugó megnyújtása során végzett munkaA munka kiszámításához a rugó erőtörvényét és az erő-el
mozdulás függvény grafikonjáról a fejezet első pontjában említetteket használjuk. Nyújtatlan helyzetből kiindulva, növeljük meg egy D rugóállandójú rugó hosszát x-szel! Ábrázoljuk a megnyújtóerőt a megnyúlás függvényében (1.34. ábra)!
1. MECHANIKA 49
Az ábra jelöléseit felhasználva a végzett munka:
Dxx 1 ^ 9
1.4.3. ATEUESfTMÉNYA munkavégzés szempontjából fontos, hogy az mennyi idő
alatt megy végbe. A munkavégzés gyorsaságát a teljesítmény méri. Jele: P
[d ] Valamely erő munkájának átlagos teljesítménye az erő munkájának és a munkavégzés idejének hányadosa.
Mértékegysége a munka és az idő mértékegységének hányadosa, 1 J/l s = 1 watt, jele: W.
Mivel a munkavégzés gyorsasága nem feltétlenül állandó, ezért definiálnunk kell a pillanatnyi teljesítményt is.
[U A pillanatnyi teljesítmény az adott időpont környezetében nagyon rövid Aí időre számított átlagteljesítmény:
„ A WAí
|t] Számítsuk ki a pillanatnyi teljesítményt változó sebességű mozgás során! A test Aí idő alatti elmozdulása a gyorsítás során As. Az őt gyorsító F erő munkája ez alatt
W" = FAs
így a teljesítmény
,AsPá = FAí
50 1. MECHANIKA
A pillanatnjd sebesség definíciójából ^ % így a
P = | F | M
összefüggéshez jutunk. Azt mondhatjuk, hogy egy erő pillanatnyi teljesítménye az erő és a pillanatnyi sebesség skaláris szorzata.
1.4.4. AZ ENERGIAA megnyújtott vagy összenyomott rugó munkát végezhet,
gyorsítva egy testet. A mozgó test viszont összenyomhat egy rugót. A testek, ha megfelelő állapotba hozzuk ólcet, munkavégzésre képesek, azt mondjuk, hogy energiával rendelkeznek. Számtalan energiaformát ismerünk; az energia az egyik legáltalánosabb fizikai fogalom.
Hl Az energia mint munkavégző képesség definiálható, az energia eltárolt munka, amely megfelelő körülmények mellett ismét szabaddá válik.
A munka és az energia nagyon szoros kapcsolatban lévő fogalmak, mégis lényegesen különböznek egymástól. Az energia a test egy adott állapotát jellemzi, míg a munka két állapot közti folyamatot ír le.
A mozgási energiaAz állandó F erő gyorsítsa az m tömegű testet s úton! Az egy
szerűség kedvéért az erő legyen mindig elmozdulás irányú! Ezalatt a test sebessége vi-ről V2-re változik. Vizsgáljuk az eredő erő munkáját s úton. Az F = ma egyenletet és az ismert kinematikai összefüggéseket fölhasználva
TiA n v \ - v \ 1 l 2W = r s = más = m —----- - = -mv% — -m uí2s 2 ^ 2 ^
A végeredmény csak a test mozgásállapotától függő mennyiségeket tartalmaz, tehát munkavégzésünk a test mozgásállapotára jellemző mennyiség megváltozásával egyenlő.
1. MECHANIKA 61
mennyiség a test mozgási energiája.Mértékegysége: J.
A mozgási energia a sebességet négyzetesen tartalmazza, ezért a sebesség irányától, előjelétől független, értéke nem lehet negatív. Megjegyezzük, hogy egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerekben a sebesség nagysága, így tehát a mozgási energia is különböző lehet.
A mozgási energia fogalmának ismeretében előző eredményünk a következőképpen foglalható össze;
H] A testre ható erők eredőjének munkája egyenlő a test mozgási energiájának megváltozásával.Ez a tömegpontra vonatkozó munkatétel, amely röviden így is írható:
= A E m
Megjegyzés: bár felhasználtuk, hogy a mozgás egyenletesen változó, belátható, hogy a munkatétel más mozgásoknál is érvényes.
A helyzeti energiaA súrlódási erő munkája függ attól, hogy milyen úton mozog
a test. A nehézségi erő munkája viszont független az útvonaltól, csak a test függőleges elmozdulásának nagyságától függ.
I [d] A z olyan erőket, amelyek munkája független az útvonaltól, konzervatív erőknek nevezzük.Ilyenek pl. a gravitációs erő, az elektrosztatikus erő vagy a ru
góerő.
Ha konzervatív erőtérben egy tömegpontot az A-hó\ a B pontba viszünk, munkavégzésünk csak a pontok elhelyezkedésétől függ. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a test egy adott
52 1. MECHANIKA
állapotát jellemezzük azzal a munkával, amit akkor végzünk, ha a testet egy önkényesen megválasztott pontból (referenciapont) a tér egy tetszőleges pontjába visszük.
[U A konzervatív erőtér egy pontjában a test potenciális (helyzeti) energiája egyenlő azzal a munkával, amivel a testet a referenciapontból az adott pontba juttattuk.
Az m tömegű testet a talajról emeljük föl h magasságba (1.35. ábra)!
Ha referenciapontnak a talajszintet választjuk, munkavégzésünk W = mgh, ami a test helyzeti energiájával egyenlő.
Vízszintes elmozdulás esetén a munkavégzés nulla, hiszen az F erő és az elmozdulás egymásra merőlegesek.
'Rugó esetén a rugó megnyújtatlan állapota a referenciapont, így a rugó energiája x 777^7^77777777?.megnyúlás esetén 1-35. ábra
E r = ^Dx^
amit rugalmas energiának nevezünk.A konzervatív erőtérben mozgó testnek tehát van potenciális
és mozgási energiája. Ha csak konzervatív erők hatnak rá, akkor mozgása során, ha csökken a potenciáhs energiája, növekszik a mozgási energia, vagyis a potenciális és a mozgási energiák megváltozásainak összege nulla:
AEmozg + AEpot = 0
Ez a mechanikai energia megmaradásának tétele.
U] Ha egy testre csak konzervatív erők hatnak, a test helyzeti és mozgási energiájának összege állandó.
1. MECHANIKA 53
1.4.5. A HATÁSFOKA valóságos jelenségeknél a végzett munka ill a teljesítmény
egy része veszteségként jelentkezik, pl. a súrlódás és a közegellenállás miatt. Egy ilyen folyamat - pl. egy test fölgyorsítása adott sebességre - hatékonysága a munkavégzés hatásfokával jellemezhető.
[H A munkavégzés hatásfoka a hasznos és az összes befektetett munka hányadosa
W h
o
A hatásfok jele: r|. A definícióból látható, hogy dimenzió nél- küU mennyiség; nulla és egy közé eső szám, amelynek 100-szo- rosa százalékban adja meg a hatásfok értékét.
1.5. A PONTRENDSZEREK MOZGÁSÁNAK LEÍRÁSA
1.5.1. A PONTRENDSZERA fizikán belül gyakran találkozunk olyan problémákkal,
ahol egymással valamilyen kölcsönhatásban lévő tömegpontok mozgását kell leírnunk. Ilyen pl. két ütköző golyó, a Föld és a körülötte keringő Hold vagy az egész Naprendszer mozgásának leírása.
I [d] Az egymással kölcsönhatásban lévő tömegpontokból álló rendszer a pontrendszer.
A pontrendszer mozgásának,leírásához vizsgáljuk meg a következő egyszerű elrendezést.
E Vízszintes asztalon két játékautó áll, amelyeket hozzájuk képest elhanyagolható tömegű és nyújthatatlan fonál köt össze.
54 1. MECHANIKA
1 2 I-------------- 1 I--------y / / / y / ^ / / / / / / / / / / / ^ / / ^ / / / / / / / / / / A
1.36. ábra
Az 1.36. ábrának megfelelően az első autót a vízszintes F erővel húzzuk. Mekkora az autók gyorsulása?
A megoldást az egyes autókra ható erők berajzolásával kezdjük, majd külön-külön alkalmazzuk ezekre a dinamika alaptörvényét. Csak a vízszintes irányú erőkkel foglalkozunk, mert nem lévén függőleges irányú gyorsulás, az egyes testekre ható függőleges erők összege nulla (1.37. ábra).
F\ rn2 I------------ *--- 1 "’i I------- *■
’TT^^^^TTTTTTTTPTTZt T^TTTTTTTTTT/Fs2 ' Sl
1.37. ábra
A következő mozgásegyenletek írhatók fel:
F — K — Fsi = mi a i ;K - F s2 — m2a2
ahol 3i az mi tömegű test, míg 82 az m2 tömegű test gyorsulása. Megjegyezzük, hogy az 1.37. ábra jelölésében már felhasználtuk azt a tényt, hogy szabad, elhanyagolható tömegű fonalakban a feszítőerő állandó, így mindkét testre ugyanakkora K kötélerő hat.
Mivel a fonalakat nyújthatatlannak tekintjük, ezért az autók együtt mozognak, azaz gyorsulásaik egyenlők:
dl = Ci2 — CL
Tehát a következő egyenletrendszerhez jutottunk:
F - K - Fsi — m i a i ;
K - Fs2= m2a2 ; ai = tt2 = a
1. MECHANIKA 55
Ez a két test mozgásegyenlet-rendszere. Az első az mi, a második az ni2 , tömegű test mozgásegyenlete, míg a harmadik egyenlet a kényszerfeltétel matematikai megfogalmazása. Az egyenletrendszert megoldva az
a = ----------------m i -I- m2
eredményt kapjuk a gyorsulásra.
1.5.2. A PONTRENDSZER IMPULZUSA, AZ IMPULZUSMEGMARADÁS TÉTELE
A pontrendszer tagjaira ható erőket két csoportba osztjuk. Vannak olyan erők, mint pl. az F húzóerő (1.37. ábra), amelyek a pontrendszerhez nem tartozó testekkel létrejött kölcsönhatásokból származnak, míg az összekötő kötelek által a testekre kifejtett eróTcet a rendszerhez tartozó testek kölcsönhatása eredményezi.
I n Azok az erők, amelyeket a pontrendszerhez nem tartozó testek fejtenek ki a rendszer tagjaira, a külső erők.
I [H A pontrendszer tagjai között fellépő erők a belső erők.
A belső erők hatásának vizsgálatára tekintsük a következő példát!
B Két korcsolyázó egymással szemben áll a jégen (a súrlódás elhanyagolható), és egy kötél végét fogják (1.38. ábra). Egyikük hirtelen - Aí ideig - megrántja a kötelet F erővel. Hogyan változtatja meg a korcsolyázók mozgásállapotát ez a rövid ideig tartó erőhatás?
A hatás-ellenhatás törvénye alapján mindkét korcsonyázóra ugyanakkora erő hat, csak ellentétes irányban. Ennek alapján a mozgásegyenletük:
56 1. MECHANIKA
F = m\2í\— m2Sí2
Szorozzuk meg az egyenletek mindkét oldalát az erőhatás időtartamával!
FAí = miaiAí — FAí = m2^2^t
A bal oldalon kapott FAí mennyiséggel az erőlökést, a jobb oldalon az aAí = Av összefüggés n^iatt a korcsonyázók lendületének megváltozását kapjuk. A két egyenletet összeadva, a következő eredménj^ kapjuk:
0 = miAvi + m2Av2
Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy a két korcsolyázóból és a köztük kölcsönhatást létesítő kötélből álló rendszer összes lendülete (impulzusa) nem változott meg az egymásra gyakorolt belső erők hatására.
Eredményünket egy általános érvényű tételben foglalhatjuk össze:
I li] A pontrendszer összimpulziisát a belső erőit nem változtatják meg.
I [D] Az olyan pontrendszert, amelyben csak belső erők hatnak, zárt pontrendszernek nevezzük.
1. MECHANIKA 57
Ezzel előző tételünk úgy is megfogalmazható, hogy:
H] Zárt pontrendszer összlendülete állandó. Ez a tétel lendü- letmegmaradás vagy impulzusmegmaradás tétel néven ismert.
Vizsgáljuk most meg a külső erólc hatását a lendületváltozásokra, az előző pontban vizsgált probléma esetén! Használjuk a két test mozgásegyenletét:
F — K — Fsi — miül K — Fs2 = Tn20,2
Szorozzuk meg mindkét egyenletet At-vel, majd adjuk össze ólcet! Ekkor az
{ F - F s i - F s 2 ) A t = m i A v i + m 2 ^ V 2
egyenletet kapjuk. Látható, hogy a belső erők nem szerepelnek az egyenletben. A bal oldalon a külső erólc erőlökéseinek összege (ami megegyezik a külső erők eredőjének erőlökésével), a jobb oldalon pedig a pontrendszer összlendületének megváltozása áll. Röviden így írhatjuk egyenletünket:
SFkAí = SAI
Ez a pontrendszerre vonatkozó lendülettétel, ami a következőképpen fogalmazható meg:
B A pontrendszer összlendületének megváltozása egyenlő a rendszer tagjaira ható külső erők erőlökéseinek összegével. Ha ez az összeg nulla, akkor a pontrendszer összlendülete állandó.
A lendülettételben azért nem szerepelnek a belső erők, mert 'Newton III. törvénye szerint egy belső erő ellenerőpáija annak (-l)-szerese, így a lendületváltozás számításakor az erőösszegzésben ezek rendre kiejtik egymást.
58 1. MECHANIKA
1.5.3. A PONTRENDSZER TÖMEGKÖZÉPPONTJA
lE Két korcsolyázó áll egjmással szemben súrlódásmentes jégen, tömegük mi és m2- Az egyik rövid ideig tartó F erővel meglöki a másikat. írjuk le a korcsolyázók mozgását (1.39. ábra)!
x=0
- 1,0 2,01.39. ábra
Az ellökés után a korcsolyázókra ható erők eredője nulla, ezért egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. Legyen a mozgás egyenese az x tengely, a korcsolyázók helye az ellökés előtt x\Q, illetve X2o- Határozzuk meg a helyüket az ellökés után t idővel! Az ellökés előtt a korcsolyázók álltak, ezért összimpul- zusuk nulla volt. Mivel csak belső erólc hatottak (a rendszer zártnak tekinthető, mert a külső függőleges irányú erők eredője mindvégig nulla), ezért az ellökés után az impulzusmegmaradás törvénye miatt;
miVi -t- m2V2 = 0 ;
ahol Vi az mi, V2 az tömegű korcsolyázó sebessége. Szorozzuk meg ezt az egyenletet í-vel és használjuk fel, hogy vií = Xi-jci,o az mi tömegű, V2 Í = X2 ~X2 fl az ni2 tömegű korcsolyázó elmozdulása az ellökés után í-vel (1.40. ábra).
A műveleteket elvégezve egyenletünk új alakja:
mi(xi - xifi) + ni2{x2 - X2,o) = 0
amit így rendezhetünk át:
1. m e c h a n ik a 59
O o o o
1,0 2,01.40. ábra
m\Xi + m2X2 = miXifi + 7712X2,0
Arra az eredményre jutottunk, hogy zárt rendszer esetén a tömegek és a helykoordináták szorzata állandó mennyiség. Érdemes az egyenlet mindkét oldalát a teljes tömeggel (mi + m-^ elosztani, mert így matematikailag a helykoordináták tömegekkel súlyozott átlagához jutimk, amit tömegközéppontként szokás definiálni.
I [d ] Az (miXi + m 2X2 )l(mi + ni2 ) mennyiség által meghatározott pont tömegközéppont.Eredménytink azt mutatja, hogy a tömegközéppont mozgás
állapota az eUökés után sem változott meg. Megállapításunkat egy általános érvényű tételben foglaljuk össze:
IH] Belső erők egy pontrendszer tömegközéppontjának mozgásállapotát nem változtatják meg.Ez a tétel az impulzusmegmaradás törvényének következmé
nye.
Megjegyzés: Két tömegpont tömegközéppontja a pontokat összekötő szakaszt a tömegekkel fordított arányban osztja, azaz
m ih = 7712/2
Ezt az összefüggést úgy láthatjuk be egyszerűen, ha a koordináta-rendszerünk origóját a tömegközéppontba helyezzük, vagyis az ún. tömegközépponti koordináta-rendszert használjuk.
Ha több térbeli eloszlású tömegpont adott, a tömegközéppont helye a következő
60 1. MECHANIKA
Hruirir = —----Hrrii
összefüggés alapján számítható, ahol F| az i-edik tömegponthoz a vonatkoztatási rendszer origójából húzott helyvektor. Mivel egy vektoregyenlet a koordináták szerint skaláregyenletre bontható, így azonnal látható, hogy az előző definíció az utóbbi általános tömegközéppont-meghatározásnak speciális esete.
1.5.4. ÜTKÖZÉSEKAz ütközések során két test között általában nagyon rövid
ideig tartó, nagy deformációval, így nagy eróTiatással járó kölcsönhatás lép fel. Ennek következtében az ütköző testek zárt rendszerként kezelhetők. Könyvünkben csak olyan esetekkel foglalkozunk, amelyek során az ütköző testek sebességei az ütközés előtt és után ugyanabba az egyenesbe esnek, vagyis kizárólag egyenes ütközéseket tárgyalunk.
A tökéletesen rugalmatlan ütközés
I [d] Tökéletesen rugalmatlan két test ütközése akkor, ha az ütközés után közös sebességgel haladnak tovább.
Az mi tömegű vi sebességű test tökéletesen rugalmatlanul ütközik az m 2 tömegű V2 sebességű testtel. Az ütközés utáni sebességüket jelölje c! Mivel az ütközés során a két test zárt pont- rendszernek tekinthető, ezért alkalmazhatjuk az impulzus megmaradásának tételét. Az ütközés előtti és az ütközés utáni lendületek összege egyenlő.
mivi + m2V2 = (mi + 1 7 1 2 )0
Ebből az egyenletből az ütközés utáni sebesség:mivi + ni2V2
c = ----------------------mi +1712
1. MECHANIKA 61
Észrevehetjük, hogy a közös sebesség formulája nagyon hasonh't a tömegközéppontot definiáló egyenletre. Ez nem véletlen, hiszen a
AaJi , A x2vi = es V2 = egyenletek
felhasználásával formálisan is beláthatjuk, hogy c éppen a tömegközéppont sebessége, ami az ütközés után nyilvánvaló, mert a testek együtt mozognak. Ennek alapján kimondhatjuk a következő tételt:
I d] A belső erők a tömegközéppont sebességét nem változtatják meg.
Tökéletesen rugalmatlan ütközésnél a rendszer összes mozgási energiája csökken.
B Például két egyenlő tömegű, ellentétes irányú sebességgel mozgó kiskocsi az ütközés után állni fog. A kezdeti összes mozgási energia nem nulla, míg a végén nulla. Tehát a mozgási energia nem maradt meg. A hiányzó energia más energia formájában található meg (deformáció, hő stb.^,
A tökéletesen rugalmas ütközés[U Az olyan ütközés, amikor az ütközésben részt vevő testek együttes mozgási energiája az ütközés előtt és után megegyezik, a tökéletesen rugalmas ütközés.Ellentétben a rugalmatlan ütközéssel, kiterjedt testek esetén
a valóságban ilyen nem fordul'elő, de az ütközések néhány esetben jó közelítéssel tökéletesen rugalmasnak tekinthetők. Atomi méretekben azonban gyakran tökéletesen rugalmas ütközések játszódnak le.
Két tömegpont rugalmas ütközésekor is csak belső eróTc lépnek fel, ezért a lendületmegmaradás törvénye most is használható:
m i v i 4- m 2V2 = m iU i + m 2U 2
62 1. MECHANIKA
ahol vi és V2 az ütközés előtti, ui és U2 pedig az ütközés utáni sebességek, továbbá mi és rri2 a két test tömege.
Ebben az esetben a sebesség vektoijellegét csak előjele hordozza, amit az adatok behelyettesítésénél veszünk figyelembe.
A mozgási energiák összegének megmaradására vonatkozó egyenlet;
^mivf +^7712^2 +^rri2ul
Az egyenletrendszert megoldva, az
2m2V2 + (mi - m2)vi 2miVi + {rri2 - rrii)v2ui = ---------------------------; U2 = ---------------------------
mi +7712 mi + rri2eredményt kapjuk az ütközés utáni sebességekre.
Az ütközés lefolyásaA legtöbb mechanikai ütközés sem nem tökéletesen rugal
mas, sem nem tökéletesen rugalmatlan, vagyis részben rugalmas, illetve rugalmatlan. Ilyenkor a következő módszer alkalmazható.
Az ütközést két szakaszra bontjuk: az első szakaszban a testek egészen addig hatnak egymásra, míg azonos sebességgel nem mozognak, majd a második szakaszban a testek szétlökik egymást. Ez a szakasz általában a testek érintkezésének megszűnéséig tart, de pl. ha az ütközést egymást taszító mágnesek közvetítik, lehetséges, hogy a testek mechanikailag nem is érintkeznek.
Az első szakaszban a két test
A l l r n i { c - Vi); A I 2 = m 2(c - V2)
impulzusváltozást szenved, ahol c most is a tömegközéppont sebességét jelenti. Mivel a két test az ütközés során zárt rendszernek tekinthető, ezért
All = -A I2
A második szakaszban
1. MECHANIKA 63
All = ?Tii(ui - c); AI2 == m2(u2 - c)
ahol ui, U2 az ütközés utáni sebességek. Az impulzusmegmaradás alapján
AI'i - - A I ';
tehát a lendületváltozások abszolút értéke a szétlökődés közben is megegyezik. A tapasztalat szerint:
lAI'il < lAIilamiből:
lAIil IAI2I
A k szám az ütközési szám.
k = 0 esetén a tökéletesen rugalmatlan ütközés eredményét kapjuk. Ez azért van így, mert a közös sebesség elérése után a testek együtt mozognak, tehát hiányzik az ütközés második szakasza, mert az ütközés az első szakasszal befejeződött.
Ai; r. AI^ = 0
A tökéletesen rugalmas ütközés esetén k - \
AIi = Ai; és Al2 = AI^,
vagyis a közös sebesség elérése és a szétlökődés azonos módon játszódik le.
A valóságban lejátszódó, nem tökéletesen rugalmatlan ütközéseknél 0 < A: < 1.
1.5.5. MUNKATÉTEL A PONTRENDSZERREAz előző részekben tárgyalt összefüggések felhasználásával
határozzuk meg a pontrendszer teljes mozgási energiájának megváltozását, az egyes testekre ható erők munkája alapján! A tömegpont dinamikai leírásakor megállapítottuk, hogy a tömeg
64 1. MECHANIKA
pont mozgási energiájának változását a külső erők munkája adja meg.
Tekintsíink először egy olyan egyszerű rendszert, amelyben csak belső erők hatnak! Ilyen példával találkoztunk, amikor a korcsolyázók szétlökték egymást. Nyilvánvaló, hogy a korcsolyázók így energiára tettek szert. Megállapíthatjuk tehát, hogy a mozgási energia megváltozása szempontjából a külső és a belső erők szerepe nem különül el úgy, mint a pontrendszer lendületének megváltozásakor. A pontrendszer teljes mozgásienergia változását a fellépő külső és belső erők munkájának összege adja meg:
Wk + Wb = AEössz-mI H] Ez az összefüggés a pontrendszerre vonatkozó munkatétel.
1.6. A TÖMEGVONZÁS
1.6.1. KEPLER TÖRVÉNYEIA bolygók Nap körüli mozgásának törvényeit először Kepler
fogalmazta meg. Ezek a törvények, valamint az egyre pontosabb mérések tették lehetővé Newton számára az általános tömegvonzás felismerését és leírását.
E Kepler I. törvényeA bolygók ellipszispályákon mozognak a Nap körül; az ellipszisek egyik gyújtópontja (fókusza) közös térbeh pont, ebben található a Nap (1.41. ábra).
1. MECHANIKA 65
[T] Kepler n . törvényeA Naptól a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol (1.42. ábra).
H] Kepler ü l. törvényeA bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a bolygópályák fél nagytengelyeinek köbei. Két bolygóra:
: T | = a? : a:
ahol Ti és T2 a két keringési idő, a\ és ü2 a két fél nagytengely.
Vizsgáljuk meg közelebbről a három törvény jelentését! Az ellipszissel kapcsolatos elnevezések az 1.43. ábra szerint:
- nagytengely (2a), felének jele: a- kistengely i2b), felének jele; b- excentricitás (az ellipszis középpontjának és egjdk fókusz
pontjának távolsága), jele: c.
Az ellipszis lapultsága a c/a kifejezéssel jellemezhető, ez numerikus excentricitás, jele e, értéke nulla és egy közé esik. Ha s < < 1, akkor az ellipszis megközelíti a kört.
A legtöbb bolygónál e<0.1. A Föld esetén értéke 0.017, a Marsnál 0.093, a Vénusznál 0.007. Érdekes tény, hogy a Vénusz pályája annyira megközelíti a kört, hogy a két fókusz távolsága csak alig valamivel nagyobb, mint a Nap átmérője. A II. törvény következménye, hogy a bolygók napközeiben gyorsabban mozognak, mint naptávolban.
1. MECHANIKA
A III. törvény szemléletesen annyit jelent, hogy a Naptól távolabbi bolygók keringési ideje hosszabb.
Kepler I. törvényéből az is következik, hogy a bolygók mindegyike síkmozgást végez, ez a sík az egyes bolygók esetében ahg tér el egymástól, tehát mindegyik közelítőleg egybeesik a Föld keringési síkjával, amit ekliptikának nevezünk. A bolygók mind ugyanolyan körüljárás szerint keringenek a Nap körül. Ezek a tények a Naprendszer kialakulásának alapján magyarázhatók.
1.6.2. A BOLYGÓMOZGÁS DINAMIKAI LEÍRÁSA
A bolygók mozgásának dinamikai leírását elsőként Newton oldotta meg. Tekintsük át az általa követett gondolatmenetet egyszerűsített formában!
Newton feltételezte, hogy a Nap és a bolygók között vonzóerő működik, amely a bolygót és a Napot összekötő egyenesbe esik. Láttuk, hogy a legtöbb bolygó pályája csak kevéssé tér el a körtől. Ebből kiindulva a mozgásokat körmozgásoknak tekintjük. (Ellipszispályára számolva a végeredmény ugyanaz lenne, csak sokkal bolyolultabb számítás után.)
Körpálya psetén a centripetális gyorsulás
2 4r2n^acp = ru
Hasonlítsuk össze a két bolygó és az centripetális gyorsulását:
ai 4riII^ 4r2ll^«2 n • T |
Kepler III. törvénye szerint:rp2 . rp2 _ 3 . 3 - l ■ ^2 - ^ 1 ■ 2
Ezt felhasználva, a gyorsulások aránya kifejezhető a pályasugarakkal:
1. MECHANIKA 67
0.2 r \
Látható, hogy a centripetális gyorsulások aránya a Nap-bolygó távolságok négyzetével fordítottan arányos, tehát általában:
cJ.2
Ebből Newton II. törvénye alapján az következik, hogy a bolygók gyorsulását létrehozó erő is a távolságok négyzetével fordítottan arányos.
írjuk fel Newton II. törvényét egy bolygóra, amelynek tömege m:
r = m a = - r -J.2
Ezt az erőt a Nap fejti ki a bolygóra. A hatás-ellenhatás törvénye miatt a bolygó is ugyanilyen nagyságú erőt fejt ki a Napra. Ezt az erőt azonban szimmetriaokok miatt a Nap tömegével arányosnak kell tekintenünk. Ezért a C arányossági tényezőnek tartalmaznia kell a Nap M tömegét, vagyis:
C - / M
ahol/sem a bolygó, sem a Nap tömegét már nem tartalmazó állandó. így a vonzóerő a következő alakban írható:
Ez a Nap és a bolygók közötti erőhatás törvénye.
Óhatatlanul fölmerül a kérdés, vajon ilyen természetű-e a Föld és a Höld, vagy a Föld és egy tetszőleges test, ill. általában két tetszőleges test között fellépő erő, továbbá vajon az eső testeket ugyanolyan jellegű erő gyorsítja-e a Föld felé, mint amilyen erő a Holdat a pályáján tartja? Ha igen, akkor e két gyorsulás között is az
68 1. MECHANIKA
J.2
kapcsolat áll fenn. Számoljunk utána ennek!A test gyorsulása a Föld középpontjától R földsugárnyi távol
ságban:a i= 9 ,8 1 “ /32
A Hold gyorsulása meghatározható a Hold keringési adataiból. A Hold T = 21 nap 7 óra 43 perc keringési idővel a Föld középpontjától 60 R távolságra kering; így a gyorsulása;
02 = 0,272
(A Föld sugara R = 6370 km)A két gyorsulás hányadosa:
— = 3606;0.2
míg a két távolság négyzetének hányadosa:
160i?2 “ 3600’
ami igen jó egyezést mutat az
2erőtörvénnyel.
Ezek ismeretében az általános tömegvonzás megfogalmazása csak egy lépés.
1.6.3. AZ ÁLTALÁNOS TÖMEGVONZÁS TÖRVÉNYE
Az előző részben láttuk, hogy a Nap és a bolygók, a Föld és a Hold, valamint a Föld és a földi testek között fellépő vonzóerő az anyagi testek egységes fizikai tulajdonságaként látszik megjelenni. Ezt a felismerést általánosítva fogalmazta meg Newton az általános tömegvonzás törvényét.
1. MECHANIKA
H] Bármely két test között kölcsönös vonzóerő lép fel, amely pontszerű testek esetén a két test tömegével egyenesen, a közöttük lévő távolság négyzetével fordítottan arányos:
F = fmim2
J.2
Ez a tömegvonzás, más néven gravitációs kölcsönhatás az anyagi testek egyik alapvető kölcsönhatási formája.
I [U Az/arányossági tényező a gravitációs állandó.
Hogyan határozható meg/értéke?
[k] Cavendish kísérlete. Az 1.44. ábrán látható, nagyon vékony, rugalmas szálon függő súlyzóra a két nagyobb golyó erőt fejt ki. Megmérve a torziós szál elcsavarodását, meghatározható az erő nagysága, és igazolható, hogy az erő valóban a tömegekkel egyenesen és a távolság négyzetével fordítottan arányos.
A mérést elvégezve, a gravitációs állandó értékére
/ = 6,7-10 - 1 1 N ■ ljg2
adódik.
■ 0
A leírt mérést Cavendish végezte el. A torziós szál nagyon kis erő hatására is elcsavarodik, rendkívül érzékeny eszköz, ezért lehetett vele megmérni a nagyon kis értékű gravitációs állandót.
70 1. MECHANIKA
1.6.4. A TEHETETLEN ÉS SÚLYOS TÖMEGA gravitációs kölcsönhatás vizsgálatakor ugyanazon testek
tömeggel kapcsolatos kétféle tulajdonságát vettük figyelembe. Az első tulajdonság a tehetetlenség, amely azt jelenti, hogy a test mozgásállapotának megváltoztatásához erőhatás szükséges. A második tulajdonság a gravitációképesség, amely azt jelenti, hogy két test kölcsönösen vonzza egymást. Felmerül a kérdés, hogy milyen összefüggés áll fenn e kétféle tulajdonság között? Átmenetileg különböztessük meg ezt a két tulajdonságot, a tehetetlenség mértékét jelöljük mt-vel, a gravitációképesség mértékét pedig mg-vel. A köztük fennálló összefüggés kiderítése érdekében vizsgáljuk meg a szabadesést!
Szabadesés közben a testre ható erő jó közelítéssel a gravitációs erő. így Newton II. törvénye a szabadon eső testre:
ahol Mg a Föld gravitáló tömege, R a sugara és g a test gyorsulása. Átrendezve:
mt ^ ^ Mgmg gB?
A nehézségi gyorsulás értéke a Föld adott helyén minden testre ugyanaz, a kifejezés jobb oldala ezért állandó.
Ez azt jelenti; hogy a tehetetlen tömeg arányos a gravitáló tömeggel. Ezt a fontos következtetést Eötvös Loránd nagy pontosságú kísérletekkel igazolta.
Az arányosság következménye, hogy ha azon test gravitáló tömegét választjuk egységnyinek, amely test tehetetlen tömege is egységnjd, akkor a két mértékszám bármely test esetén megegyezik.
Ez esetben viszont a mértékegység is ugyanannak választható, annak ellenére, hogy a test két egészen más tulajdonságáról van szó. A következőkben mindkét tömeg mértékegységéül a kg-t választjuk, és mindkét tömeget m-mel jelöljük.
1. MECHANIKA 71
1.6.5. A GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN MOZGÓ TEST
A gravitációs tér konzervatív erőtér, ezért bevezethető a potenciális energia, és igaz a mechanikai energia megmaradásának tétele. A gravitációs térben, ha a referenciapontot (a nulla potenciálú helyet) vegtelen távolra választjuk, a potenciális energia az
Epot - - / —
összefüggéssel adható meg, ahol M a teret keltő, m pedig a térben mozgó test tömege. Az energia azért negatív, mert ahhoz, hogy a testet végtelen távolra vigyük a teret keltő testtől, munkát kell végeznünk.
Az összenergia így:
_ 1 2 E'ÓSSZ — /
2 r
Ha az összenergia negatív, akkor a test kötött pályán (nevezetesen ellipszis-, esetleg körpályán) mozog, továbbá megmutatható, hogy nem kötött rendszereknél, ha az összenergia pozitív, akkor a pálya hiperbola, ill. határesetben, ha az összenergia nulla, akkor a pálya parabola.
1.7. MEREV TESTEK EGYENSÚLYA
1.7.1. A MEREV TEST FOGALMA
I [H Abban az esetben, ha a test méretei a kölcsönhatás során nem elhanyagolhatóak, kiterjedt testről beszélünk.
A kiterjedt testeket két n gy csoportba osztjuk: merev testek és deformálható testek csoportjára.
72 1. MÉCHANIKA
[U Merev testről beszélünk, ha a test a rá ható erők hatására elhanyagolható mértékű alakváltozást szenved. Ellenkező esetben a testet deformálható testnek nevezzük.
Definíciónk értelmében minden test egyszerre merev és deformálható test, hiszen a legkeményebb acélrúd is meghajlítható megfelelő szerszámokkal, ugyanakkor egy szivacsgolyó alakja nem változik meg jelentősen, amikor elgurítjuk, pedig nagyon könnjm összenyomni. Ebben és a következő fejezetben a merev testek mechanikájával foglalkozünk. A deformálható testek mechanikája az ezután következő fejezetben található.
A merev testre erő hatása nemcsak az irányától és nagyságától függ, hanem attól is, hogy hol hat a testre. Ezért vezetjük be a következő két fogalmat:
I [d] Az az egyenes, amely mentén az erő hat, az erő hatásvonala.
Im Az a pont, ahol az erőhatás a testet éri, az erő támadáspontja.
I ID Az erő támadáspontja a hatásvonala mentén eltolható.
1.7.2. A FORGATÓNYOMATÉKAdott egy merev test, amely akadálytalanul elfordulhat egy
rögzített tengely körül (1.45. ábra).Tapasztalatból tudjuk, hogy amennyiben a testre egy olyan F
erő hat, amelynek hatásvonala nem megy át a tengelyen, a test gyorsulva forogni kezd. Ahhoz, hogy a test forgását megakadályozzuk, egy olyan F’ erőt kell kifejtenünk, amely ellentétes irányba forgatná a testet. Igaz az erőre, hogy nagyságát megszorozva hatásvonalának a tengelytől mért távolságával, ugyanazt az eredményt kapjuk, mintha az F erő nagyságát szoroznánk a hatásvonalának a tengelytől mért távolságával (1.46. ábra). A merev testre ható erő forgató hatásának mértékéül vezessük be a következő két mennyiséget.
1. MECHANIKA 73
I n Az erő hatásvonalának a tengelytől mért távolsága az erőkar.
I [H Az erő adott tengelyre vonatkozó forgatónyomatéka az erő nagyságának és az erőkarnak a szorzata.
A forgatónyomaték jele: M, dimenziója: erő szorozva távolsággal, mértékegysége: lN lm = lN m.
Megjegyzés: A forgatónyomaték vektormennyiség, de ebben a könyvben csak olyan problémákat vizsgálunk, ahol az erők és az erólcarok egy közös síkban fekszenek, tehát ekkor a forgató- nyomaték-vektor merőleges a síkra, ezért számunkra elegendő, ha a forgatónyomatékot mint előjeles mennyiséget használjuk és összegezzük. A síkra nézve az óramutató járásával ellentétesen forgatni szándékozó forgatónyomatékot tekintjük pozitívnak, az óramutatóval megegyező irányba forgatót negatívnak.
1.7.3. MEREV TESTRE HATÓ ERŐK ÖSSZEGZÉSE
E könyvben csak olyan eseteket tárgyalunk, amelyekben a merev testre ható erők egy síkban hatnak.
74 1. MECHANIKA
Szöget bezáró erők összegeAz 1.47.a. ábrának megfelelően a testre az Fi és a vele nem
párhuzamos F2 erő hat. Támadáspontjukat eltolhatjuk hatásvonalaik metszéspontjába (1.47.b ábra), így n^ár összegezhetjük őket. Az erők eredőjét szintén eltolhatjuk a hatásvonala mentén. Ez akkor fontos, amikor a hatásvonalak metszéspontja a testen kívül van.
Párhuzamos, azonos irányú erők összegzéseAz 1.48. ábrának megfelelően a testre az Fi és F2 erőlí hat
nak. Mivel az erólc hatásvonalaik mentén eltolhatok, az ábrákat már eleve úgy vettük fel, hogy a támadáspontokat összekötő szakasz merőleges legyen a hatásvonalakra. Mivel hatásvonalaik nem metszik egymást, ezért az előző módszer nem alkalmazható.
1. MECHANIKA 75
Az 1.49. ábra szerint vegyük fel az F és - F párhuzamos segéderőket, így a test egyensúlyát nem befolyásolják. Az Fi + F és F2 + (-F ) erők összegét már meghatározhatjuk. Az ábrán azonos módon vonalkázott háromszögek egybevágósága miatt az Fi + F2 erő nagysága a két erő nagyságának összege és az ábra jelöléseit felhasználva hatásvonalának helye is meghatározható a hasonló háromszögek oldalaira felírt arányokból.
Az eredő erő hatásvonala párhuzamos az Fi és F2 hatásvonalával, és az
Fi/ui = ^2^2
összefüggés szerint metszik a két erő támadáspontja által meghatározott szakaszt. Eredményünket megvizsgálva láthatjuk, hogy az eredő erő hatásvonalának bármely pontjára az Fi és F2 erő forgatónyomatékának összege nulla.
Párhuzamos, ellentétes irányú erők eredőjeA párhuzamos, ellentétes irányú erők összegét hasonló mó
don határozhatjuk meg.Az eredő erő nagysága az Fi és F2 erő nagyságának különbsé
ge. Hatásvonalára, az 1.50. ábra jelöléseit használva, az
Fiki = F2k2
76 1. MECHANIKA
Összefüggés teljesül. Ebben az esetben is igaz, hogy az eredő erő hatásvonalának bármely pontjára az Fi és F2 forgatónyoma- tékának összege nulla. Mind az azonos irányú, mind az ellentétes irányú párhuzamos erők esetében, ha ismerjük az eredő erő nagyságát és helyét, egyensúlyban tudjuk tartani a testet az eredő erővel közös hatásvonalú, azonos nagyságú és ellentétes irányú erővel.
Abban az esetben, ha két egyenlő nagyságú, ellentétes irányú erőt összegzünk, az eredő erő nagysága nulla, de a test nem lesz egyensúlyban, mert gyorsuló forgást végez. Ebben az esetben tehát nem tudjuk egyetlen erővel egyensúlyban tartani a testet.
I® A párhuzamos hatásvonalú, ellentétes irányú, egyenlő nagyságú erő neve erőpár.
Vizsgáljuk meg az erőpár forgatónyomatékát egy tetszőlegesen választott tengelyre (1.51.a,b ábra)!
Az F erő forgatónyomatéka Mi = Ffci a - F erőé M2^-F/c2- Összegük:
1. MECHANIKA 77
Ml - Ffci - Fk2 = Fd
m Erőpár forgatónyomatéka a forgástengely helyétől függetlenül M = Frf, ahol F az erők nagysága, d pedig a hatásvonalaik távolsága.
Megállapíthatjuk, hogy egy erőpár a legegyszerűbb módon egy másik erőpárral egyensúlyozható ki.
1.7.4. MEREV TEST EGYENSÚLYÁNAK FELTÉTELE
A merev test végezhet haladó és forgó mozgást. Ahhoz, hogy haladó mozgásának sebessége ne változzék, az szükséges, hogy a rá ható eróTc eredője nulla legyen. Az egyensúlyhoz azonban ez a feltétel még nem elegendő, mert ha az erőlc forgatónyomatéka nem nulla - pl. erőpár esetén - a test gyorsulva foroghat. Az egyensúlyhoz az is szükséges, hogy a testre ható erólc bármely pontra vonatkoztatott forgatónyomatékainak összege nulla legyen. Az egyensúly feltétele a következő tételben fogalmazható meg:
E Merev test egyensúlyának a feltétele, hogy a rá ható erők eredője és az e r ^ valamely pontra vonatkozó forgatónyomatékainak algebrai összege nulla legyen.Egyenlettel kifejezve:
SF = 0 és EM = 0
Ha az eredő erő nem nulla, a test gyorsul. Ha a forgatónyo- maték-összeg nem nulla, a test gyorsuló forgást végez.
Merev test tömegközéppontja és súlypontjaA merev test minden egyes pontjára mint tömegpontra hat a
nehézségi erő. Ezeknek a függőleges erőknek az összege a testet érő nehézségi erő. Ha valamely pontjában felfüggesztünk egy merev testet és az nyugalomban van, a rá ható nehézségi
78 1. MECHANIKA
erő és a felfüggesztés által kifejtett'erő hatásvonala egybeesik, azok egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak, mert a test csak így lehet nyugalomban. Ugyanezt mondhatjuk el akkor is, ha a testet egy másik pontjában függesztjük fel (1.52. ábra).
Kísérletekkel és számításokkal egyaránt igazolható, hogy a különböző esetekben adódó hatásvonalak egy pontban metszik egymást. Ez a pont tehát rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy a nehézségi erő hatásvonala a test bármely helyzetében átmegy rajta.
[U Az a pont, amelyen a merev testre ható nehézségi erő hatásvonala a test bármely helyzetében átmegy, a test súlypontja.
A súlypont nem minden esetben esik a test belsejébe (pl. egy gyűrű esetén).
Ha a testet a súlypontjában alátámasztjuk vagy felfüggesztjük, akkor az bármely helyzetében egyensúlyban van.
A merev test tömegközéppontját úgy határozhatjuk meg, hogy gondolatban olyan parányi részekre bontjuk a testet, amelyek már pontszerűnek tekinthetők, és az így kapott pontrendszer tömegközéppontját határozzuk meg.
1. MECHANIKA 79
1.7.5. EGYSZERŰ GÉPEKAz egyszerű gépek a gyakorlati alkalmazások során lehetővé
teszik, hogy erőkifejtésünket megsokszorozzuk, és ezáltal pl. olyan testeket tudunk felemelni, megmozdítani, amit izomerőnkkel képtelenek lennénk. Egyszerű gép az emelő, a hengerkerék, a csiga, a lejtő, az éA: és a csavar.
Az emelőAz emelő olyan merev test, amely egy tengely köríil foroghat.
Két fajtája az egykarú és kétkarú emelő (1.53.a,b ábra).
VZ777777777777777777777777777777777. 1.53.a ábra
1.53.b ábra
Mindkét típusra teljesül, hogy az erők tengelyre vonatkozó forgatónyomatékának összege nulla. Egyenlettel kifejezve:
Fifci = F2/U2 ;
80 1. MECHANIKA
ahol Fi az emelő erő és ki az erő kaija, F2 a teher által az emelőre kifejtett erő és k2 az erőkar. Az emelő elvén működik az olló, a harapófogó, a feszítővas, a taliga és az emberi kar is.
A hengerkerékA hengerkerék a kétkarú emelő
speciális esete. Az emelóTckel csak kis magasságú emelések végezhe- tőlc, míg a hengerkerék folyamatos munkavégzést tesz lehetővé.Alkalmazása esetén az Fi emelőerő az ri sugarú kerék érintőjének, míg a teher által kifejtett F2 erő a kerékkel közös tengelyen lévő T2 sugarú henger érintőjének irányába mutat (1.54. ábra).
Az egyenletes emeléshez az szükséges, hogy az F2 és az mg nehézségi erő nagysága egyenlő legyen, és az Fi, F2 erő forgatónyomatékai megegyezzenek: 1-54. ábra
F m = F2T2
Hengerkerék a daráló karja, a kerékpár pedálja, a kerekes kút stb.
Csigák és csigasorokAz állócsiga (1.55. ábra) arra való, hogy az erő irányát meg
változtassuk.Az Fi és F2 erő forgatónyomatékának a csiga tengelyére
egyenlőnek kell lennie. Mivel a két erő eróTcaija egyenlő, a két erő nagysága megegyezik.
A mozgócsiga (1.56. ábra) olyan egykarú emelőnek tekinthető, amelynek forgástengelye a csiga és a kötél O érintkezési pontja. Egyenletes emelésnél az O pontra a forgatónyomatékok összege nulla. Ebből
1. MECHANIKA 81
-F ,
o
. rn
1.55. ábra 1.56. ábra
Fi =Fz
Eredményünket úgy is magyarázhatjuk, hogy a testet két kötél tartja, ezért egy-egy kötélben a teher által kifejtett erőnek a fele jelenik meg, az alkalmazott állócsiga viszont csak az erő irányát változtatja meg.
A közönséges és arkhimédészi csigasor lehetséges megvalósításai az 1.57. a,b ábrán láthatók.
Egyenletes emelésnél, ha a teher emelkedése h, a kötél vége 4/í-val mozdul el. Mivel a két munka összegének ismét nullának kell lennie, ezért az Fi erő negyede a teher által kifejtett F2 erőnek. Általános esetben az arkhimédészi csigasor n db mozgó csiga alkalmazása esetén:
F = G2"
Közönséges csigasornál, ha 2n az álló- és mozgó csigák száma:
F = 2n
82 1. MECHANIKA
Lejtő típusú egyszerű gépekA lejtő alkalmazása esetén a testet általában vagy a lejtővel
vagy a lejtő alapjával párhuzamos erővel mozgatjuk (1.58. ábra).
Egyenletes mozgatás esetén a lejtővel párhuzamosan mozgató F erő és a testre ható mg nehézségi erő között az
F = mgsina
a lejtő alapjával párhuzamos F mozgatóerő esetén pedig az
F = mgtga
összefüggés áll fenn. Ha a súrlódást is figyelembe vesszük, az összefüggések módosulnak, ugyanúgy, mint az eddig vizsgált ösz- szes egyszerű gép esetén. Tárgyalásunkban ideális (tehát súrlódásmentes) egyszerű gépeket írunk le.
1. MECHANIKA 83
A z ék a lejtő speciális alkalmazása. Az 1.59. ábrán lévő szimmetrikus ék esetén az egyensúly feltétele - az ábra jelöléseit használva - a következő:
84 1. MECHANIKA
A csavar szintén a lejtőre vezethető vissza (1.60. ábra). Maga a csavar tulajdonképpen egy henger oldalába vágott lejtő, amin a mozgatás a lejtő alapjával párhuzamos erővel történik. így az erők közötti összefüggés:
Fi = F2tgO! = F 22rn
1.7.6. EGYENSÚLYI HELYZETEKHa egy merev testet egyensúljá helyzetéből kimozdítunk, az
új helyzetben az eredő erő és a forgatónyomaték általában nem nulla. Ha ebben a helyzetben a testet magára hagyjuk, három dolog lehetséges:
- a test visszatér egyensúlyi helyzetébe;- új egyensúlyi helyzet elérésére törekszik;- abban a helyzetben marad, amelybe elmozdítottuk.
Hl Azt az egyensúlyi helyzetet, amelybe a test kismértékű kimozdítása után visszatér, stabil (biztos) egyensúljd helyzetnek nevezzük.
A stabil egyensúlyi helyzetből kimozdított testet a fellépő erőit kimozdítása után a test eredeti helyzete felé mozdítják vagy forgatják (1.61. ábra).
1. MECHANIKA 85
mg
1.61. ábra
[U Azt az egyensúlyi helyzetet, amelyből a testet bármilyen kis mértékben kimozdítva, a test tovább mozog, új egyensúlyi helyzet elérésére törekedve, labilis (bizonytalan) egyensúlyi helyzetnek nevezzük.
A labihs egyensúlyi helyzetből kimozdított testet a fellépő eróTc az egyensúlyi helyzettől elmozgatják vagy elforgatják (1.62. ábra).
mq
1.62. ábra
d] Azt az egyensúlyi helyzetet, amelyből a testet bármilyen mértékben kimozdítva, a test az új helyzetben szintén egyensúlyban lesz, indijferens (közömbös) egyensúlyi helyzetnek nevezzük.
1. MECHANIKA
VTTT^WTTTTZj/779
1.63. ábra
mg
A közömbös egyensúlyi helyzetből kimozdított testre ható erők eredője és forgatónyomatékainak összege az új helyzetben is nulla (1.63. ábra).
1.8. A FORGÓMOZGÁSA merev testek folj^athatnak haladó mozgást, foroghatnak
egy rögzített tengely körül, valamint végezhetnek egyszerre haladó és forgómozgást.
Abban az esetben, amikor a merev test csak haladó mozgást végez, minden pontjának egyenlő a sebessége. Ekkor tömegpontként kezelhetjük és az 1.1. fejezetben leírt összefüggések segítségével írhatjuk le a mozgását. Ilyen mozgást végez pl. a domboldalon lecsúszó szánkó. Rögzített tengely körüU forgást végez a mennyezetre szerelt ventilátor forgó része, míg a járművek kerekei egyszerre végeznek haladó és forgómozgást.
1.8.1. RÖGZÍTETT TENGELY KÖRÜL FORGÓ MEREVTEST
Egyenletes forgómozgás
1® Egyenletes forgómozgás esetén a test szögelfordulása arányos a szögelfordulás idejével.
Egyenlettel kifejezve: Aa = o) Aí
1. MECHANIKA 87
ahol Aa a szögelfordulás, At a szögelfordulás ideje, co pedig a szögsebesség. Egyenletes forgómozgást végez pl. a lemezjátszó korongja.
A forgó merev test minden pontja körmozgást végez és sebessége a V = tor összefüggéssel adható meg (1.64. ábra).
Látható, hogy a távolabbi pontok sebessége nagyobb, ezért a forgómozgás leírására a sebesség nem alkalmas. Helyette a szögsebességet használjuk, amely a test minden pontjára azonos. Használjuk még a periódusidőt, amelyet itt is T-vél jelölünk, valamint a fordulatszámot (jele: n vagy/). Teljesülnek a következő összefüggések is;
1.64. ábra
2nT — — ; üj — = 2IIn n ’ T
Az egyenletesen változó forgómozgásAz 1.65. ábrán látható kísérleti eszköz forgó részének mozgá
sát vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy a rúd szögelfordulása arányos az idő négyzetével.
A1.65. ábra
88 1. MECHANIKA
I n Ha a test szögelfordulása arányos az idő négyzetével, akkor mozgása egyenletesen változó forgómozgás.
Az alf' hányados állandó. Az egyenes vonalú egyenletes mozgásnál látottak szerint eljárva levezethető a pillanatnyi szögsebesség, amely arányos lesz az idővel. Az arányossági tényezőt (i- val jelöljük és szöggyorsulásnak nevezzük, dimenziója: l/idő a négyzeten, mértékegysége; 1/s .
Abban az esetben, ha a test álló helyzetből indul, az egyenletesen változó forgómozgást leíró összefüggések a következőTc:
a = ; üj = (5t ; (3 = állandó
Ha az időmérés kezdetén a test már forgott, a haladp mozgáshoz hasonlóan az
a = üjQt ± ^ ; ui = ü jQ ±(5t ; ^ = állandó
összefüggések állnak fenn, ahol coq a kezdeti szögsebesség. A pozitív előjel a gyorsuló, a negatív pedig a lassuló forgómozgás esetén érvényes.
Merev test síkmozgása[d] Abban az esetben, ha a test egyes pontjai mozgásuk során egy síkban maradnak, és ezek a síkok egybeesnek vagy párhuzamosak, akkor síkmozgásról beszélünk.
Ilyen pl. a guruló labda vagy az egyenesen haladó járművek kerekének mozgása.
H] Tekintsük egy autó kerekének mozgását! A kerék egy tengely körül forog, miközben a tengely egyenes vonalú mozgást végez. A kerék pontjainak sebességét két sebesség összegeként adhatjuk meg (1.66. ábra).
A V sebesség a tengely sebessége, Vk pedig a kerületi sebesség.
1. m e c h a n ik a _______________________TO
, 777777777777777Z1.66. ábra
Abban az esetben, ha a kerék csak gördül és nem csúszik, a talajjal érintkező P pontja áll a talajhoz képest, sebessége tehát nulla. Alkalmazva a sebesség meghatározására az előbbi módszert (1.67. ábra):
Vp = V- Vk = Q
Ez a tiszta gördülés feltétele, amely szerint a gördülő kerék tengelyének sebessége egyenlő a kerék szélső pontjainak kerületi sebességével. Természetesen ekkor a sebességek nagyságát (abszolút értékét) kell figyelembe venni. Ebből az is következik, hogy gyorsuló mozgás esetén a tengely gyorsulása és a kerék szélső pontjainak kerületi gyorsulása egyenlő. Egyenlettel kifejezve:
V — ruj és a = r(3
A tisztán gördülő test mozgását vizsgálhatjuk úgy is, hogy az minden pillanatban a talajon lévő pontja körül fordul el. Ekkor a tengely pillanatról pillanatra változik. Az ilyen tengely a pillanatnyi forgástengely, amelynek vizsgálata sok esetben egyszerűsíti a problémák megoldását.
1.8.2. A FORGÓMOZGÁS ALAPTÖRVÉNYEAz 1.65. ábrán látható kísérleti eszközzel különböző m töme
gek mellett mérve a szöggyorsulást, és meghatározva a forgató- nyomatékot, a következőt állapíthatjuk meg.
90 1. MECHANIKA
E A merev testre ható forgatónyomaték és az általa létrehozott szöggyorsulás egyenesen arányos. Ez a forgómozgás alaptörvénye.
Egyenlettel:M = e/3
ahol © a forgó test forgási tehetetlensége, amit tehetetlenségi nyomatéknak nevezünk; dimenziója: tömeg szorozva a távolság négyzetével; mértékegysége: kg • m .
A tehetetlenségi nyomaték skaláris mennjdség, a tehetetlenség megfelelője a forgásra, de abban különbözik tőle, hogy értéke a tengely helyétől is függ, azaz egy testnek különböző nagyságú lehet a tehetetlenségi nyomatéka, a tengely megválasztásától függően.
Tömegpont esetén 0 = vai^, ahol r a tömegpont tengelj^ől mért távolsága (1.68. ábra). P
Egyéb testek esetén úgy ---------o-számíthatjuk ki a tehetetlenségi nyomatékot, hogy a testet olyan m-i í ^ darabokra Ijontjuk, amelyek már ' ' pontszerűnek tekinthetóTc, és az ezekre számított tehetetlenségi nyomatékok összegét számítjuk: 1-68. ábra
0 = TiTUirj
Az 1.1. táblázat a leggyakrabban előforduló testek tehetetlenségi nyomatékát foglalja össze, megadva a tengely helyét.
A tehetetlenségi nyomaték meghatározását segíti a Steiner- tétel, amit bizonyítás nélkül mondunk ki:
[t] Ha ismert az m tömegű test © tkp tehetetlenségi nyomatéka valamely, a tömegközéppontján átmenő tengelyre, akkor a vele párhuzamos, tőle s távolságra lévő tengelyre a tehetetlenségi nyomaték:
© = ©tkp +
1. MECHANIKA 91
1.1. táblázat
Test Tehetetlenséginyomaték
A tengely helye
m tömegű, r sugarú gyűrű 0 = rnr^ Om tömegű, r sugarú gyűrű 0m tömegű, r sugarú henger 0 = mr^ em tömegű, r sugarú gömb 0 = 1 mr^
c t)m tömegű, l hosszúságú vékony pálca 0 = ^fnr^ t=lm tömegű, l hosszúságú vékony pálca
Tételünk azt is jelenti, hogy a párhuzamos tengelyek közül a tömegközépponton átmenő tengelyre legkisebb a tehetetlenségi nyomaték.
1.8.3. A FORGÁSI ENERGIAA rögzített tengely körül forgó test mozgási energiáját úgy
kapjuk meg, hogy a testet mj tömegpontokra bontjuk, és ezek mozgási energiáit összegezzük. Ekkor:
E ^ E -n i iV i
A sebességet a szögsebességgel és a sugárral megadva és et kiemelve:
E — TXmi{riüjf‘ =
ahol a a test tehetetlenségi nyomatéka. Tehát a forgásienergia:
alakban írható.
92 1. MECHANIKA
Abban az esetben, ha a test haladó mozgást és forgómozgást is végez, a test teljes mozgási energiáját a mozgási és a forgási energia összegeként kapjuk.
Egy rögzített tengelyű hengert álló helyzetből indulva forgasson a rácsévélt fonál végére ható állandó F erő. Ha a szögelfordulás a, a kötél végének elmozdulása s = rcL Mivel az F erő kötélirányú, munkája ezalatt
W = Fs — Fra = M aTehát a forgatónyomaték munkáját úgy számíthatjuk, hogy a
forgatónyomatékot megszorozzuk a szögelfordulással. A henger forgási energiájának megváltozását kiszámítva, az ismert ösz- szefüggések fölhasználásával:
W = M a = = ^e w ^
Azt kapjuk, hogy a forgó test energiájának megváltozása egyenlő a rá ható erő munkájával. Tehát a forgómozgásokra is igaz a munkatétel
1.8.4. APERDÜLETA haladó mozgáshoz hasonlóan, a forgómozgásra is bevezet
hetünk egy impulzusnak megfelelő mennyiséget.
I [d] a forgó test tehetetlenségi nyomatékának és szögsebességének szorzata a test perdülete (impulzusmomentuma):
N = 0 u j
A perdület jele: N; mértékegysége: kg • m^/s.A perdülettel megfogalmazható a forgómozgás alaptörvénye:
At At At AtLátható, hogy abban az esetben, ha M = O, akkor S.N = 0.
Ezt a következő tétel fogalmazza meg:
I li] Ha a külső forgatónyomatékok összege nulla, a test perdülete állandó. Ez a perdület megmaradásának tétele.
1. MECHANIKA 93
1.8.5. ANALÓGIA A HALADÓ- ÉS A FORGÓMOZGÁS KÖZÖTT
A haladó mozgás és a forgómozgás leírásánál használt meny- nyiségek és a leíráshoz használt összefüggések teljesen azonosak, csak más mennyiségek szerepelnek az egyes egyenletekben. Ezenkívül az érvényes tételek is analógiában állnak egymással. Az 1.2. táblázat ezt a kapcsolatot szemlélteti.
1.2. táblázat
Haladó mozgás Forgómozgás
Megtett út, s Szögelfordulás, a
Sebesség; v = ^ Szögsebesség, cü = ^
Gyorsulás, a = ^ Szöggyorsulás, P = ^
Tömeg: m Tehetetlenségi nyomaték: 0
Erő: F Forgatónyomaték: M
Dinamika alapegyenlege: F = ma Dinamika alapegyenlete: M = 0 p
Munka: W = Fs Munka: W=M(x
Mozgási energia: Em = mv^ Forgási energia: E f = \
Munkatétel: F s = ^mv\ — \mv\ Munkatétel: M a = \ 9 íjüI - \ 9 ujI
Pillanatnyi teljesítmény: P = Fv Pillanatnyi teljesítmény: P = Mcú
Impulzus: I = mv Perdület: N =
Impulzusváltozás: AI = FAt Perdületváltozás: AN = MAt
1.9. DEFORMÁLHATÓ TESTEK MECHANIKÁJA
A deformálható testek alakja a kölcsönhatások során megváltozik. Az alakváltozás lehet rugalmas és rugalmatlan.
I [d] Rugalmas alakváltozás esetén az erőhatás megszűnése után a test visszanyeri eredeti alakját.
94 1. MECHANIKA
I [H Rugalmatlan alakváltozás esetén a test az erőhatás megszűnése után nem nyeri vissza eredeti alakját.
Minden test egyszerre rugalmas és rugalmatlan, a testet érő erőhatás által létrehozott alakváltozástól függően. Ha egy testet egyre nagyobb mértékben deformálunk, egy bizonyos deformáció után a test már rugalmatlan alakváltozást szenved.
I Hl Az a deformáció, amelynél nagyobb esetén a test rugalmatlan alakváltozást szenved, a rugalmasság határa.
A rugalmasság határát az egyes alakváltozásokra jellemző rugalmas feszíiltséggel adjuk meg (lásd későljb). Ebben a fejezetben a rugalmas nyújtással és összenyomással, a csavarással és a nyírással foglalkozunk.
1.9.1. RUGALMAS NYÚJTÁS ÉS ÖSSZENYOMÁS
A nyújtásAz 1.69. ábrának megfelelően összeállított kísérletben mér
jük a huzal különböző nagyságú erők hatására bekövetkező megnyúlását! A kísérletet különböző hosszúságú és keresztmetszetű huzalokkal elvégezve, a következő megállapításra jutunk:
I .................................................................v: 7777777777777777777777777777777777?,
'i1.69. ábra
[t] Rugalmas megnyújtás esetén a huzal megnyúlása arányos a megnyújtó erővel és a huzal hosszával, és fordítottan arányos a keresztmetszetével.
1. MECHANIKA 95
Az arányossági tényezőt 1/E-vel jelölve, tételünk a következő egyenlettel fogalmazható meg:
A , 1E A
ahol A/ a megnyúlás, / a huzal eredeti hossza, F a megnyújtó erő, A a keresztmetszet, E a rugalmassági vagy Young-modulus. Ez a rugalmas nyújtás Hooke törvénye.
Az egyenletet átrendezve
l Aés bevezetve az s = A l/l és a = F /A jelölést, a Hooke-törvény a következő alakban írható:
= (7
I [d] Az e = A/W arány a huzal relatív megnyúlása.
A definícióból látható, hogy sí, relatív megnyúlás dimenzió nélküli mennyiség.
1^ A a — F /A a rugalmas feszültség. Dimenziója erő/felület, mértékegysége N/m .
Nyújtás esetén minden esetben föllép harántösszehúzódás is, ami egy gumicső megnyújtásával jól megfigyelhető.
[Hl Egy gumicsőre olyan gyűrűt húzunk, amely szorul rajta. Ha a csövet függőleges helyzetben megnjoijtjuk, a gyűrű lecsúszik rajta, ami a cső keresztmetszetének csökkenését bizonyítja. A számításokban többnyire elhanyagoljuk a harántösszehúzódást, vagyis az eredeti A keresztmetszettel számolunk.
m A rugalmasság határát a rugalmas feszültség adja meg, amely azt a legnagyobb feszültséget jelenti, ameddig az alak- változás még rugalmas.
[D A szakítást szilárdság az a feszültség, amelynek elérésekor a huzal elszakad.
96 1. MECHANIKA
Az összenyomásEgyik végén rögzített rúd szabad végére merőlegesen F nagy
ságú nyomóerő hat. Ekkor a rúd hossza csökken, átmérője pedig megnövekszik. A nyújtásnál leírt törvények a rugalmas ösz- szenyomásra lényegében változatlan formában érvényesek.
A nyújtásnál definiált o ^ F jA rugalmas feszültség helyett aF
mennyiséget nyomásnak nevezzük. A nyomás skaláris mennyiség, dimenziója erő/felület, mértékegysége N/m^=:Pa (pascal).
m Ha a testet az egész felületén éri a nyomóerő, és a nyomás a felület minden helyén ugyanakkora, egyenletes térfogati ösz- szenyomásáról beszélünk.
Egyenletes összenyomás esetén a test térfogatváltozása arányos a p nyomással
A F
A negatív előjel a negatív térfogatváltozás miatt szükséges.
m Az anyagi minőségre jellemző k állandó neve kompresszibilitás.
Dimenziója: l/nyomás, mértékegysége Pa'^.
1.9.2. HAJLÍTÁS, NYÍRÁS, CSAVARÁS
A hajiításAz egyik végén befogott vízszintes rúd a szabad végén ható
függőleges F erő hatására lehajlik. Lehajlása (1.70. ábra) a
1 r.^ ~ 3 E I
1. MECHANIKA 97
képlettel számítható, ahol E a Young-modulus, / a rúd hossza, / a rúd alakjára jellemző tényező, számítások és mérések alapján / értéke a szélességű b magasságú téglalap; r sugarú kör; körgyűrű keresztmetszetnél (ri külső, belső sugár) esetén a következő:
r I I 4I o = - ^ r
A két végén alátámasztott rúd lehajlása (1.71. ábra) a közepénél:
1s = 48E
2
V /// / / / / / .rF
1.71. ábra
A nyírásRögzítsük egy téglalap egják lapját, amelynek szemközti lap
ján érintő irányú, az oldalakkal párhuzamos F erő, lép fel (1.72. ábra)!
98 1. MECHANIKA
Az erő hatására a lap és a vele párhuzamos rétegek elcsúsznak egymáson, mint egy kártyacsomag lapjai. így a lapra eredetileg merőleges oldalélek y szöggel elfordulnak. A rugalmasság határán belül y arányos az F erővel és fordítottan arányos a lap felületével. Az arányossági tényezőt 1/G-vel jelölve:
1 F ^ ~ G ~ Á
I [H A test anyagára jellemző G állandó a nyírást vagy torzió modulus, mértékegysége N/m^.
A csavarásHa az egyik végén befogott kör ke
resztmetszetű, l hosszúságú rúd szabad végén M forgatónyomaték hat, a rúd elcsavarodik szimmetriatengelye körül (1.73. ábra).
A rugalmasság határán belül az elcsa- varodás (p szöge arányos a forgatónyoma- tékkal és a rúd hosszával, és fordítottan arányos a rúd sugarának negyedik hatványával. Egyenlettel kifejezve:
if =ttG
ahol G a torzió modulus. Ha tehát egy rugalmas szál átmérőjét tizedére csökkentjük, akkor elcsavarodása tízezerszeres lesz. Ez a magyarázata a torziós szálak nagy érzékenységének.
1. MECHANIKA 99
1.10. FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJAA folyadékok legszembetűnőbb tulajdonsága, hogy gravitá
ciós térben mindig fölveszik a tárolóedény alakját, tehát önálló alakjuk nincs. Ez azért van, mert a folyadékokban egyensúlyi állapotban nem lép fel olyan nyírófeszültség, amely megakadályozná a folyadékrétegek elcsúszását. A folyadékok gyakorlatilag összenyomhatatlanok.
Külső nyomás hatására természetesen szenvednek nagyon kis mértékű térfogatváltozást, amit a szilárd testek összenyomásának leírásakor megismert összefüggéssel megegyezően, a
A y— y = ^ P
egyenlettel adhatjuk meg, ahol a negatív előjel a negatív térfogatváltozás miatt szükséges, a k pedig most is a kompresszibiU- tás. A továbbiakban azonban a folyadékokat összenyomhatat- lannak tekintjük.
A gázok a folyadékoktól merőben eltérő tulajdonságokkal rendelkeznek. A gázmolekulák között fellépő molekuláris erőlc nem képesek a gázt egyben tartani, ezért a gázok mindig kitöltik a rendelkezésre álló teret. A gázokban sem lép fel nyírófeszültség. Lényeges különbség azonban az, hogy a gázok köny- nyen összenyomhatók, ennek ellenére mechanikai szempontból hasonlóan viselkednek, mint a folyadékok. Az e fejezetben kimondott tételek ezért a gázokra is érvényesek vagy közelítőleg igazak.
1.10.1. A NYOMÁS EGYENLETES TERJEDÉSE FOLYADÉKOKBAN
Az 1.74. ábrán látható „vízibuzogány” olyan apró lyukakkal ellátott üveggömb, amelyhez dugattyút tartalmazó henger csatlakozik. Ha vízzel megtöltjük az eszközt és a dugattyút hirtelen benyomjuk, a lyukakon át sugárirányban spriccel a víz, minden lyukon azonos mennyiség távozva el. Ez a Pascal-törvény egyik kísérleti szemléltetése.
100 1. MECHANIKA
H] Zárt térben lévő njoigvó folyadékban vagy gázban a külső erő által létrehozott nyomás minden irányban gyengítetlenül teljed.
Pascal törvényének egjdk gyakorlati alkalmazása a hidraulikus sajtó (1.75. ábra).
Az A i keresztmetszetű dugattyúra ható Fi erő által létrehozott p nyomás az A 2 keresztmetszetű dugattyúra az F2 = pA 2
erőt fejt ki. A p = Fi/Ai helyettesítést elvégezve az
egyenlethez jutunk.
F2
Á2■ /// / / / / /7 7 7 /
1.75. ábra
A hidraulikus sajtó az erőkifejtés megsokszorozásának eszköze. Ezen az elven működnek pl. a járművek fékberendezései és a hidraulikus emelők.
1. MECHANIKA 101
1.10.2. A HIDROSZTATIKAI NYOMÁSA nyugvó folyadék belsejében a nehézségi erő hatására ala
kul ki a hidrosztatikai nyomás. Ennek értéke a folyadék sűrűségétől, a nehézségi gyorsulástól és a folyadék felszínétől mért függőleges mélységtől függ. Értékét a
Ph = gghösszefüggés alapján számíthatjuk. Ez a nyomás csak a folyadék nyomása. A légnyomást is figyelembe véve, a nyomás
p = Po + ggh.Fontos megjegyezni, hogy a nyomás egy adott helyen minden
irányba hat, ami az 1.76. ábrán látható eszközzel mutatható ki. Ha ugyanolyan mélységben forgatjuk a szondát, a manométer végig ugyanazt a nyomást jelzi.
Az 1.77. ábrán látható eszköz egy olyan mérleg, amelynek bal oldali részébe különböző alakú, fenék nélküli edények csavarozhatok.
A mérleg bal oldali serpenyője egyúttal az edény alja, amit a másik serpenyőben lévő súly az edény széléhez présel, megakadályozva így a folyadék kifolyását. Ha az edénybe elegendő folyadékot töltünk, a mérleg lebillen, és a folyadék kifolyik. Különböző alakú edényeket használva, a mérleg mindig ugyanannál a folyadékmagasságnál billen le. Látszólag tehát különböző súljní folyadékokat azonos súljnínak mérünk.
102 1. MECHANIKA
A megoldást a nyomás egyenletes terjedése adja. Az edény alján a nyomás nem a folyadék mennyiségétől függ, hanem a folyadék szabad felszínének az edény aljától mért távolságától. A szélesedő edényben a többletsúlyt az edény fala tartja, míg a keskenyedő edényben az edény fala fejti ki azt az erőt, ami miatt ugyanolyan súlyúnak tűnik a folyadék (1.78. ábra). Ez a jelenség az ún. hidrosztatikai paradoxon.
(S\
1.10.3. A FELHAJTÓERŐ ÉS ARKHIMÉDÉSZ TÖRVÉNYE
Rugós erőmérővel mérve egy test súlyát, azt tapasztaljuk, hogy a test levegőben nehezebb, mint valamilyen folyadékba merítve.
1. MECHANIKA 103
E] Folyadékba merülő testekre hat egy felfelé irányuló erő, amely a folyadékban uralkodó hidrosztatikai nyomásból származik.
I [d ] Ez az erő a felhajtóerő.
E Határozzuk meg a felhajtóerő nagyságát egy hasáb alakú test esetében (1.79. ábra)! Mivel az oldallapok szemben lévő darabjaira azonos mélységben azonos nagyságú, ellentétes irányú erő hat, ezért ezek eredője nulla.
A fedőlapra
Fi = gghiA
nagyságú, lefelé irányuló erő, az alaplapra pedig
F2 = ggh2A
nagyságú, felfelé iránjoiló erő hat. Mivel /12 > h^, ezért F2 > Fi, tehát a testre ható felhajtóerő:
F = F2 - Fi = ggA{h2 - hi) = ggV ;
ami megegyezik a test által kiszorított folyadék súlyával. A felhajtóerő abból származik, hogy a test aljára ható nyomóerő felfelé iránjTil, és a nagyobb mélység miatt minden esetben nagyobb, mint a test tetejére ható, lefelé irányuló nyomóerő.
104 1. MECHANIKA
Ezen megállapításokat Arkhimédész törvénye foglalja össze:
IE Folyadékba vagy gázba merülő testre a test által kiszorított folyadék vagy gáz súlyával egyenlő nagyságú felhajtóerő hat.
Arkhimédész törvényét a következő gondolatmenettel beláthatjuk tetszőleges alakú testre is. Válasszuk ki a nyugvó folyadék egy olyan darabját, amely alakra, méretre megegyezik a vizsgált szilárd testtel! Minthogy az egész folyadék njoigvó, ezért ez a rész is e^ensúlyban van, tehát a rá ható nehézségi erő és a felhajtóerő egyenlő nagyságú (l.SO.a, b ábra).
a) b)1.80. ábra
A környező folyadék hatása, nyomóereje, tehát felhajtó ereje nem változik, ha a folyadékdarabot kicseréljük szilárd testre (1.80.C ábra).
Ezzel Arkhimédész törvényét tetszőleges alakú testekre beláttuk.
Ha a folyadék belsejében tartott szilárd testet elengedjük, mozgásának irányát a ráható nehézségi és felhajtóerő eredője szabja meg (1 .81. ábra). A test süllyed (l.Sl.a ábra), ha
mg > Ff,
lebeg (l.Sl.b ábra), ha
mg = Ff
és emelkedik (l.Sl.c ábra), ha
mg < Ff.
1. MECHANIKA 105
Mivel1.81. ábra
mg - QtVg,
a test és a folyadék sűrűségének ismeretében is megadható, hogy a test süllyed, ha
lebeg, ha
és emelkedik, ha
Qt > Qf,
Qt = Qf
Qt < Qf-
Az emelkedő testtel érdemes külön foglalkozni. Elérve a felszínt, a test a folyadékból kiemelkedik, ekkor azonban a felhajtóerő, és így a ráható erólí eredője is csökken. A test akkor lesz egyensúlyban, amikor a bemerülő részre ható felhajtóerő és az egész testre ható nehézségi erő eredője nulla lesz. Ilyenkor a test a víz felszínén úszik.
1.10.4. FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK ÁRAMLÁSAA folyadékok és gázok tulajdonságainak tárgyalásakor lát
tuk, hogy míg a nyugvó folyadék térfogata gyakorlatilag állandó, addig a gáz viszonylag könnyen összenyomható. Érdekes, hogy a nem túl nagy sebességgel áramló gázok - a folyadékokhoz hasonlóan - szintén elegendő pontossággal írhatók le azzal
106 1. MECHANIKA
a közelítéssel, hogy sűrűségváltozásuk elhanyagolható. így a folyadékok és gázok áramlása egjóitt tárgyalható.
Ez a jelenségkör rendkívül bonyolult, ezért itt csak a legegyszerűbb áramlási törvényekkel foglalkozunk.
Az áramló anyagra vonatkozó egyszerűsítő feltevéseink:- sűrűsége nem változik;- súrlódásmentes, azaz nem ébrednek benne nyírófeszültsé-
gek;- hőmérséklete nem változik.Az áramlásról azt is feltételezzük, hogy időben állandó. Ez
azt jelenti, hogy az áramlási tér mindeni pontjában az éppen ott levő részecske sebessége arra a pontra jellemző érték.
I® Az időben állandó áramlást stacionárius áramlásnak nevezzük.
[k] Az áramlás láthatóvá tehető a Pohl-féle áramlási készülék (1.82. ábra) segítségével.
Az egymástól egy-két mm-re lévő, függőleges síkú átlátszó üveglemezek között két tartályból, kettős lyukrendszeren folyik le a tiszta és kékre festett víz. Az áramlás sebessége szorítóval szabályozható. A kirajzolódó színes csíkok az áramló folyadékrészecskék pályáját mutatják, amiket áramvonalaknak nevezünk.
1. MECHANIKA 107
A stacionárius áramlás áramvonalai időben állandó képet mutatnak. Egyenletes keresztmetszetű áramlási térben az áramvonalak párhuzamosak.
E Helyezzünk az áramló folyadék útjába különböző akadályokat! A kisebb keresztmetszetű helyeken az áram vonalak sűrűbbek lesznek (1.83. ábra).
1.83. ábra
Észrevehetjük, hogy a szűkületben a folyadék gyorsabban mozog, tehát az áramvonalak sűrűsége a sebességgel kapcsolatos.
Határozzuk meg, milyen matematikai összefüggés van az áramlási cső keresztmetszete és az áramlás sebessége között (1.84. ábra)!
I1
1/2
1.84. ábra
Minthogy a folyadék összenyomhatatlan, Aí idő alatt mindkét keresztmetszeten azonos térfogatú folyadék jut át, tehát:
Aí = A2V2AÍ ;
mnen
108 1. MECHANIKA
A\\)i — A 2 V2
adódik.
H] Ez a kontinuitási egyenlet vagy más néven a folytonossági törvény. Összenyomhatatlan folyadék stacionárius áramlására fennáll, hogy az áramlási cső keresztmetszetének és az ott felvett sebességnek a szorzata a cső bármely helyén állandó.
A kontinuitási egyenlet értelmében az eltérő keresztmetszetű helyek között a folyadéknak gyorsulnia kell. Vizsgáljuk meg, hogy ez a gyorsulás és a vele együttjáró mozgásienergia-válto- zás milyen hatás következményeként lép fel?
Egy áramlási cső különböző keresztmetszetű helyein mérjük az áramló folyadék vagy gáz nyomását! A kísérletek alapján megállapítható, hogy a nagyobb keresztmetszetű szakaszon nagyobb a nyomás, mint a szűkületben. E nyomáskülönbségből adódó erő gyorsítja a folyadékot. Vizsgáljuk meg a nyomás és sebesség közötti kapcsolatot, az egyszerűség kedvéért csak vízszintes áramlási csőben (1.85. ábra)!
l/l1.85. ábra
A munkatétel az A1 és A2 keresztmetszeten átáramló folyadékra:
W — Fi'S\ — F2 S2 = piA iviA t — p2A2V2^t
A E = ^ mvl — i muj
1. MECHANIKA 109
Mivel m = qY, V = AvíS.f, és a V térfogattal egyszerűsíthetünk, így
^ 2 ^ 2 P l - P 2 = ^ ^ 2 ~ 2 ^ 1
Rendezve az egyenletet, a
1 2 1 2Pl + 2 ^ 2 = P 2 + 2 É 2
Összefüggés adódik, ami a következőt jelenti:
[t] Az áramlási cső bármely helyén
P + ^ — állandó
Ez Bemoulli törvénye vízszintes áramlási csőre. A törvény értelmében a nagyobb sebességgel áramló folyadékban a nyomás kisebb.
1.10.5. A KÖZEGELLENÁLLÁSValamely légnemű vagy folyékony közeg a benne mozgó test
re a relatív sebességgel ellentétes irányú erőt fejt ki. Ez a mozgást akadályozó erő a közegellenállás.
E Légáramlatba helyezzünk az 1.86. ábrán látható módon azonos keresztmetszetű, különböző alakú testeket, és mérjük a rájuk ható erőt!
Mérésünk eredménye, hogy a fellépő erő a testek b) ábrán feltüntetett sorrendjének megfelelően csökken, áramvonalas test esetén szinte nullává válik.
E A Pohl-féle áramlási készülékben növeljük az áramlás sebességét kör, téglalap és áramvonalas idomok körül! A kör és téglalap alakú akadályok mögött örvények jönnek létre, míg az áramvonalas alaknál nem alakulnak ki örvények (1.87. ábra).
110 1. MECHANIKA
*’ © Üres félgömb
► 0 Körlap
►O Gömb
■■0 Üres félgömb
Áramvonalas test
b)1.86. ábra
1.87. ábra
így arra a következtetésre jutunk, hogy a közegellenállási erő az örvényképződés miatt lép fel.
Pontos mérések szerint a közegellenállás a szilárd test alakján kívül annak A homlokfelületétől (az áramlásra merőleges keresztmetszet), a közeg sűrűségétől (^) és a v relatív sebességtől függ:
F = kAgv^
Az összefüggésben k az alaki tényező.
Megjegyzés: kis sebességű áramlásoknál nem az örvényképződés, hanem az egymáshoz képest különböző sebességgel mozgó rétegek közötti súrlódás miatt lép fel a közegellenállási erő, ami a sebesség első hatványával arányos. Ha a sebesség a közegbeli hangsebességhez tart, akkor a sebesség köbe jelenik meg a közegellenállási erő kifejezésében.
1. MECHANIKA 111
1.11. A REZGŐMOZGÁS[k] Egyik végénél felfüggesztett rugó másik végére erősítsünk
egy testet! A test a rugót megnyújtva egyensúlyi helyzetben van. Függőleges irányba kitérítve a testet, azt tapasztaljuk, hogy az egyensúlyi állapothoz képest két szélső helyzet között fel-le mozog. Ez a mozgás a rezgőmozgás.
I Hl A rezgőmozgást végző testnek a nyugalmi helyzettől mért maximális kitérése a rezgőmozgás amplitúdója, jele: A.
[U Az az idő, amelynek elteltével a rezgő test kitérése és sebessége újra a kezdeti értékekkel egyezik meg, a rezgésidő, jele: T.
[U Az egy másodpercre jutó rezgések száma a frekvencia, jele:/.A rezgésidő és a frekvencia között igen egyszerű kapcsolat van:
^ = 7
1.11.1. A REZGŐMOZGÁS KITÉRÉS-IDŐ FÜGGVÉNYE, KAPCSOLATA KÖRMOZGÁSSAL
B Változtatható fordulatszámú motor tengelyén, arra merőlegesen elhelyezünk egy pálcát, amelynek végén egy golyót rögzítünk. Oldalról megvilágítva a mozgó golyót, a golyó árnyéka fel-le mozog. Függesszünk fel rugóra egy testet, és hozzuk rezgésbe függőleges irányban (1.88. ábra)!
Legyen a rezgés amplitúdója a kör sugarával megegyező. A motor fordulatszámának változtatásával elérhetük, hogy a két test árnyéka egjóitt mozog a falon. Ha az időmérést abban a pillanatban kezdjük, amikor a rezgőmozgást végző test az egyen- súl)^ helyzeten halad keresztül (1.89. ábra), akkor a neki megfe-
112 1. MECHANIKA
lelő (ún. referencia) körmozgást végző test sugarának szög-elfordulása:
a = Lűt.
Ezzel a rezgőmozgást végző test kitérése:
Y = Rsm{uft)
I [H Harmonikus rezgőmozgásról beszélünk, ha a kitérés az idő szinuszos függvénye.
I [1 Az a = coí. szög a rezgés fázisa.
Előfordulhat az is, hogy a í = 0 időpontban a körmozgást végző testhez húzott sugár nem vízszintes, hanem azzal ip szöget zár be (3. ábra).
I [U Ez a szög a kezdőfázis wagy fázisállandó.
1. MECHANIKA 113
Ennek felhasználásával egy tetszőleges - későbbi t időpontban - a rezgés fázisa:
így a kitérés:
a = (f]
Y = - I - cp).
A sebesség-idő függvényMivel a két test árnyéka egjóitt mozog, ezért a körmozgást
végző test sebességének függőleges vetülete megegyezik a rezgőmozgást végző test sebességével (1.90. ábra):
V — R j j c o s { ü j t ) .
Tekintettel arra, hogy R = A, ezért
V — A ü J C O s { ü jt ) .
Amennyiben a kezdőfázis (/?, akkor
V = A ü J C O S { ü jt. + (p ).
I® Az Aüj kifejezést sebességamplitúdónak is nevezzük, ez a rezgőmozgást végző test legnagyobb sebessége.
114 1. MECHANIKA
A gyorsulás-idő függvényA körpályán mozgó test gyorsulása = Ro?, iránya a kör
középpontja felé mutat. Ennek a függőlegesre eső vetülete lesz a rezgőmozgás gyorsulása, amely mindig a test egyensúlyi helyzete felé mutat (1.91. ábra):
ü y - —iíw^sin ( ü jt) = —Acj^sin (űrt)
Vegyük észre, hogy Asin (cot) - y, így
a = -uPy
azaz a gyorsulás arányos a kitéréssel, de azzal ellentétes.
I [H Az Ao)^ kifejezést gyorsulásamplitúdónak is nevezzük, ez a rezgőmozgást végző test legnagyobb gyorsulása.
1.11.2. EGYIRÁNYÚ REZGÉSEK ÖSSZETÉTELEKészítsük el az 1.92. ábrán látható kísérleti berendezést! A
két egyforma rugón két egyforma tömegű testet függesztettünk fel. A két testet vékony fonal köti össze, amelyen kis tömegű
1. MECHANIKA 115
/ / / / / . mozgócsiga függ. Figyeljük meg, hogyan mozog a csiga tengelyére függesztett test, ha a két testet rezgésbe hozzuk! Megfigyeléseinkből a következők állapíthatók meg.
HJKét azonos frekvenciájú harmonikus rezgésnek az eredője is harmonikus rezgés. Az eredő rezgés frekvenciája megegyezik az összetevők frekvenciájával, de az amplitúdó különbözik.
1.92. ábra
Ezek után számítsuk ki az eredő rezgés amplitúdóját és kezdőfázisát! Legyen a két rezgést leíró függvény
Y\ = A\ sin(u;í)Y 2 = A 2 s i n { u j t + (p ).
Keressük az eredő rezgést
Y = + 6 )
alakban. Az
Fi + F 2= .y
összefüggés minden időpontban teljesül, azaz
Aisin(a;í) A2SÍn(o;í + (p) = á).
A B és ő állandók meghatározásához helyettesítsük a t változó helyére a í = 0, illetve a í = értékeket, így
A2sin(/? = 5sinŐ (t — 0)
A i + >l2Cos( = BcosS ( t —
Osszuk el az első egyenletet a másodikkal:
116 1. MECHANIKA
^2sin<^tgb =Ai + A2C,os(p
Ezzel meghatároztuk az eredő rezgés kezdőfázisának tangen- sét.
Az eredő rezgés amplitúdójának meghatározásához emeljük négyzetre a két egyenletet, majd adjuk őket össze. A számítások elvégzése után
= A \ - [ - A ^ + 2 A iA 2 C o s ip
adódik. Eredményünk úgy is értelmezhető, hogy az azonos frekvenciájú rezgések amplitúdói vektorként összegezhetők (1.93. ábra).
Ezek szerint </? = 0 esetén B = A^+ A 2 , míg </? = n esetén B = = A-Í-A2 . Érdekesség, hogy azonos amplitúdók és ellentétes fázis esetén az eredő rezgés amplitúdója nulla, a két rezgés kioltja egymást.
[k] Változtassuk meg az előző kísérleti berendezésben a rugóra függesztett testek egyikének a tömegét! Ekkor különböző frekvenciájú rezgéseket összegezhetünk.
Az egyszerűség kedvéért két olyan rezgés eredőjét számítsuk ki, amelyek amplitúdója azonos, kezdőfázisuk nulla, frekvenciájuk különböző:
Yi = Asin(ci;ií) illetve I 2 = ^sin(u;2Í)-
Képezzük a két függvény összegét! Az ismert trigonometriai azonosságok felhasználásával:
Y = Y i+ ¥ 2 = 2A- cos - í<2) 0 sin 4- U2 ) .
1. MECHANIKA 117
Nagyon érdekes görbét kapunk abban az esetben, ha a két rezgés frekvenciája csak kismértékben különbözik.
Az amplitúdó lassan, a különbségi frekvencia szerint változik, a összetett rezgés kitérésének burkológörbéit két ellentétes fázisú, kis frekvenciájú harmonikus görbe alkotja (1.94. ábra). Ez a lebegés jelensége.
1.94. ábra
1.11.3. EGYMÁSRA MERŐLEGES REZGÉSEK ÖSSZETÉTELE
[Hl Hosszú fonálra függesszünk fel egy függőlegesen átfúrt testet, majd kössük ki négy rugóval az 1.95. ábrán látható módon! Helyezzünk el egy filctollat a furatba, majd indítsuk el a rezgést különféle kezdeti feltételekkel! Figyeljük meg a test alá helyezett papíron kialakuló görbéket!
1.95. ábra
118 1. MECHANIKA
E Oszcilloszkóp X illetve Y bemenetelre kapcsoljunk hang- generátort! Figyeljük meg a kialakuló görbéket!
Akár a mechanikai, akár az elektronikai rendszerrel dolgozunk, az
X = ^isin {(jJit)
y = A2sin + ¥?)
paraméteres egyenletrendszerrel megadott alakzathoz tartozó görbét rajzoltatjuk fel a papírra, illetve eiz oszcilloszkóp képernyőjére. Vizsgáljunk meg néhány speciális esetet!
Legyen először wi = a;2 és = 0. EkkorX y
A\ A 2
Ez egy olyan egyenes egyenlete, amelynek meredeksége AxjA^ (1.96. ábra).
Hasonló a helyzet ip = n esetén is. (1.97. ábra).
1.96. ábra
1.97. ábra
Érdekes a </? = ti/2 eset is. Ekkor ugyanisX
Aiy
— sin(a;<)
= cos(u;í)
1. MECHANIKA 119
A két egyenletet négyzetre emelés után összeadva:
— + ^ = 1
középponti helyzetű ellipszis egyenletét kapjuk.Belátható, hogy tetszőleges 0 < < < tc esetén is ellipszishez
jutunk, csak tengelyei nem lesznek párhuzamosak az x illetve y tengellyel.
Érdekes speciális eset az = >Í2 és a 97 = nl2 eset is. Ekkor ugyanis a két rezgés eredője körmozgás.
Különböző frekvenciájú egymásra merőleges rezgések eredőjét reprezentáló görbék analitikus alakját már igen nehéz megadni. Könnyű belátni, hogy önmagába visszatérő görbét csak akkor kapunk, ha a két frekvencia aránya racionális. Az egymásra merőleges, különböző frekvenciájú rezgések eredőjeként kapott görbék a Lissajous görbék.
1.11.4. A REZGŐMOZGÁS DINAMIKAI LEÍRÁSAMár láttuk, hogy harmonikus rezgőmozgás esetén
a = -(J y ,
azaz a gyorsulás arányos a kitéréssel, és mindig az egyensúlyi helyzet felé mutat. Ezt összevetve a dinamika alaptörvényével megállapíthatjuk:
[H Egy pontszerű test harmonikus rezgőmozgást végez, ha a reá ható erők eredője a nyugalmi helyzettől mért távolsággal arányos és mindig a nyugahni helyzet felé mutat.
A rugón rezgő test rezgésidejeMozogjon egy m tömegű test vízszintes súrlódásmentes felü
leten, D rugóállandójú rugó hatása alatt (1.98. ábra). Mozgásegyenlete:
120 1. MECHANIKA
W A V W (W ~ F >
1.98. ábra
ebből
Mivel
ezért
ma — —Dx
a — —{Dfm)x
a = —üj^x
u? — D /m
adódik.Tekintettel az (ít-2%IT összefüggésre, a rezgésidő
Látható, hogy a rezgésidő csak a test tömegétől és a rugó erősségétől függ, és nem függ pl. a rezgés amplitúdójától.
Az ingamozgás1] Függesszünk vékony fonálra kisméretű testet! Ha a test pontszerű és a fonál tömege elhanyagolható, akkor matematikai ingáról vagy fonálingáról beszélünk.
Számítsuk ki az inga lengésidejét!A testre két erő hat, a K fonálerő és a nehézségi erő. Bontsuk
fel ezeket sugár- és érintőiránjoi összetevőkre! Mivel a K kötélerő mindig sugárirányú, érintőirányú összetevője csak a nehézségi erőnek van (1.99. ábra).
1. MECHANIKA 121
F=mg sin a 'mg 1.99. ábra
F = mgsina
Abban az esetben, ha a kitérés kicsi (a szöget radiánban mérjük), a szög szinusza kb. megegyezik a szöggel:
F — mgsina;;
így a test mozgásegyenlete:
moe = —mga;
hiszen a test a kitéréssel ellentétesen gyorsul. Az ábráról leolvasható, hogy a = j ezért a mozgásegyenlet m-mel való egyszerűsítés után a következő alakot ölti:
aé = - x j -
Tehát a mozgás harmonikus rezgőmozgás, mert a gyorsulás a kitéréssel arányos, de azzal ellentétes. Mivel
— J szert T =
Megállapíthatjuk, hogy kis kitérés esetén a matematikai inga lengésideje sem a kitéréstől, sem a tömegtől nem függ.
122 1. MECHANIKA
A fizikai ingaján kív
& fizikai inga.
[H Adott fizika fizikai inga redukált hossza.
I [H A súlypontján kívül felfüggeszett, lengeni képes merev test
I [H Adott fizikai ingával együttlengő matematikai inga hossza
Lengessünk együtt egy fizikai ingát a neki megfelelő matematikai ingával (1.100. ábra)!
A fizikai inga tömege legyen m, az A felfüggesztési pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka O, az A felfüggesztési pont és S súlypont távolsága pedig s.
Amikor az A S szakasz a függőlegessel a szöget zár be, a testre
M = mgsina
nagyságú forgatónyomaték hat, amely
mg sin a/3 = .0
szöggyorsulást hoz létre. A vele együtt lengő matematikai inga szöggyorsulása is ugyanekkora:
0 = f
1. MECHANIKA 123
A két kifejezést összehasonlítva a redukált hosszra
e1 =
m s
adódik. így a fizikai inga lengésideje:
A rezgő rendszer energiája[r]Ha az ideális rugóhoz kapcsolt testből és a rugóból álló rendszerre ható külső erólc eredője nulla, akkor a rendszer összenergiája állandó.
Rezegjen egy m tömegű test vízszintes, súrlódásmentes asztalon, D direkciós állandójú rugóhoz kapcsolva (1.101. ábra).
vw w w1.101. ábra
Ekkor a pillanatnyi kitérés, ill. sebesség:
X = >lsin(ü;í);
illetve
V - Awcos{ut).
íijuk fel a rugó helyzeti, ill. a test mozgási energiájának ősz- szegét:
E = ^ Dx^ + ^ mv^ = ^ DA^ sin^ (u t ) + mA^ uPcos^ {uA)li li ~ li
124 1. MECHANIKA
Vegyük észre, hogy D — muP, így az | DÁ^ kiemelhető, tehát
E = l-DA‘ (sín {u)t) + cos (uit)).ZiA zárójelben lévő kifejezés értéke 1, így a rendszer összener-
giája valóban állandó.
2
Mivel D = mco és Vmax = ezért az anergia a következő formában is felírható:
^ 1 2
Úgy is fogalmazhatunk, hogy a rendszer mozgási energiája és rugalmas energiája a mozgás során egymásba alakul át, kétszer nagyobb frekvenciával, mint a rezgőmozgás frekvenciája.
1.11.5. A CSILLAPÍTOTT REZGÉSAmennyiben a testre a rugóerőn kívíil más (nem konzerva
tív) erő is hat, akkor a rendszer energiája folyamatosan csökken: a rezgés amplitúdója egyre kisebb lesz, a rezgés csillapodik. Ha a testre a rugóerőn kívül csak a súrlódási erő hat, akkor megmutatható, hogy a test maximális kitérése minden félperiódusban ugyanannyival csökken, így az egymást követő amplitúdókra egyenes fektethető (1.102. ábra).
1. MECHANIKA 125
Ha a test mozgását a csúszási súrlódási erő helyett valamilyen sebességtől függő (pl. közegellenállási) erő csillapítja, akkor belátható, hogy a test maximális kitérése kezdetben rohamosan, későljb egyre kevésbé csökken, így az egymást követő amplitúdók egy exponenciális görbére illeszkednek (1.103. ábra).
Nagy viszkozitású folyadékban (pl. méz) előfordulhat az is, hogy nem is jön létre egy teljes rezgés, hanem az 1.104. ábrán látható módon fog mozogni a test. Ezek az aperiodikus mozgások.
1.11.6. A KÉNYSZERREZGÉS ÉS A REZONANCIA
Ha egy rezgőképes rendszert egyensúlyi helyzetéből kitérítve magára hagyunk, akkor ún. szabad rezgést végez, amely a környezettől függően valamilyen mértékben csillapodik. Ha egy ilyen rezgőképes rendszerre periodikus erő hat, akkor ez az erő „gerjeszti” a rendszert. Állandó amplitúdójú harmonikus rezgés jön létre, amelynek frekvenciája megegyezik a gerjesztő rezgés vagy erő frekvenciájával, amplitúdója és kezdőfázisa viszont attól eltér.
[Hl A probléma vizsgálata kísérletileg igen egyszerű: kézbe veszünk egy lehetőleg „laza” rugót és ráakasztunk egy testet. A rugó kézben tartott végét periodikusan .fel-le mozgatjuk. Változtassuk a frekvenciát! Megfigyelhetjük, hogy a frekvencia növelésével a létrejött rezgés amplitúdójú is nő, és égé-
126 1. MECHANIKA
Iszen nagy amplitúdó is kialakulhat. Ha tovább növeljük a frekvenciát, a gerjesztett rezgés amplitúdója csökkeni fog.
[Ü Az egészen nagy amplitúdó létrejötte a rezonancia. Ekkor a kényszerítő rezgés frekvenciája közelítőleg megegyezik a rezgőképes rendszer szabad rezgésének a frekvenciájával, az ún. sajátfrekvenciával”.
Vízszintes súrlódásmentes asztalon elhelyezett D rugóállandójú rugóhoz (a rugó húzó-nyomó rugó) kössünk m tömegű testet (1.105. ábra). A test csak a rugó egyenese mentén tud mozogni. Hasson a testre egy F = FoSÍn((uí) geijesztőerő, valamint a sebességtől függő csillapítóerő is. írjuk fel a test
Fosinco t
- w V v W
mozgásegyenletét! 1.105. ábra
ma — —Dx — kv + i^osin(cjí)
Kísérletünk alapján keressük a megoldást
X = Asin(a;í + (p)
alakban. Ekkor a sebesség- és a gyorsulásfüggvény:
V = Au!cos{ijjt + íf); illetve a — —Ao/sin{üjt -1- (p)
Helyettesítsük be ezeket a mozgásegyenletbe! Rendezés után a következő egyenletet kapjuk:
A{D — mu^)sm{ut + y>) + kAu}cos{u)t + ^) = íosin(a;í)
Az egyenlőségnek minden időpontban teljesülnie kell, így a í == 0, illetve í = ^ időpontokban is. Behelyettesítve:
A{D — míJ^)sin(p -|- kAucos<p = 0 (í = 0)
A{D — rruJ^)cos(p — kAuisiníp — Fq (t —V 2uj/
1. MECHANIKA 127
A két egyenletet négyzetreemelve és összeadva, a kétszeres szorzatok kiesnek. Mivel a négyzetes tagok együtthatóinak ösz- szege 1 (sin^i^ + = 1), ezért rendezés után az
{D - mw2)" +, illetve
tg(^ —küj
összefüggésekhez jutunk.Az első egyenlet szerint az amplitúdó ott maximális, ahol a
nevező minimális. Ehhez a következő függvény szélsőértékét kell meghatározni az aP' változó szerint:
f{J^) = {D —
A szélsőérték:
ÜJr, = \ OJt, - * U , 2 ^• ahol ü J n = — .m"ö 2mAmennyiben a csillapítás (A:) kicsi, akkor
^rezonancia ^
azaz a gerjesztő frekvencia közelítőleg megegyezik a rendszer saját frekvenciájával. A következő két ábráról az amplitúdó illetve a kezdőfázis frekvenciafüggése olvasható le (1.106 és 1.107. ábra).
1.106. ábra
128 1. MECHANIKA
1.11.7. CSATOLT REZGÉSEK[k] Függesszünk fel egjmiás mellé két azonos hosszúságú, azo
nos tömegű intág (1.108. ábra)! Kössük őket össze egy fonallal, akasszunk a fonalra egy kis súlyt, majd lengessük meg az egyiket. Azt tapasztaljuk, hogy az első inga lengése nemsokára megáll, a második viszont ' / / / / / / / / /Y . nagy amplitúdóval fog lengem, majd a második áll le, és újra az első fog lengeni, egymás között periodikusan cserélgetik az energiát. A periódusidő attól függ, hogy mekkora súlyt akasztottunk a fonálra, azaz mennyire erős a csatolás a két inga között. Két esetben nem tapasztalunk energiavándorlást: ha a két ingát azonos, ill. ellentétes fázis- bán indítjuk. ® ®
1.108. ábra
I [d] Ezek a rezgések a csatolt rendszer normálrezgései (vagy alapmódusai)E két indítás két különböző, de közel azonos rezgésidőt pro
dukál, így a rendszer két tagja között energialebegés áll fenn.
1.12. HULLÁMOK
1.12.1. MECHANIKAI HULLÁMOKHl Hosszú (3...4 m), laza rugó egyik végét rögzítsük, a másik
végét pedig hirtelen rántsuk meg hosszirányban! Azt tapasztaljuk, hogy az így létrehozott deformáció végigfut a rugón, majd a rögzített végről visszaverődik. Ugyanezt tapasztalhatjuk akkor is, ha keresztirányban ráütünk. Ekkor egy „völgy” fut végig a rugón. Ha jobban megfeszítjük a rugót, akkor gyorsabban terjed a deformáció, ha kevésbé feszítjük meg, akkor lassabban.
[k] Vizsgáljuk meg a visszaverődés jelenségét. Indítsunk el egy keresztirányú deformációt, egy „völgyet”! Megfigyelhetjük, hogy ha a rugó másik vége rögzített, akkor a visszaverődés után
1. MECHANIKA 129
„hegy” alakú a deformáció, míg szabad vég (A rugó vége keresztirányban szabadon mozoghat) esetén visszaverődés után is „völgy” alakú a deformáció. Az is megfigyelhető, hogy a rugó két végéről egyszerre indított deformációk mintegy „áthaladnak” egymáson. A találkozás helyén lévő pontok mind a két „utasításnak” eleget tesznek, azaz a két kitérés összeadódik, szuperponálódik.
[E Határozzuk meg egy rugalmas rúdban a rúd irányú deformáció terjedési sebességét (1.109. ábra).
/l = c f ------------------
1.109. ábra
Modellezzük a rudat olyan m tömegű tömegpontokkal, amelyeket rugók kötnek össze! Húzzuk meg a rúd végét igen rövid ideig ható F erővel! Ennek az erőnek a hatása nem abban nyilvánul meg, hogy a rúd gyorsulni kezd, hanem abban, hogy azok a tömegpontok kezdenek el v sebességgel mozogni, amelyekhez a hatás eljutott. Nézzük meg, hogy Aí idő alatt mekkora tömegű darab jön mozgásba v sebességgel. Ha a hatás terjedési sebessége c, akkor Aí idő alatt a hatás
li — cAt
távolságig jut el, így a mozgásba jött A keresztmetszetű /i hosz- szúságú darab tömege:
m — gAcAt;
az impulzusa:
I = mv = gAcAtv.
Az impulzus és az erő kapcsolata alapján:
A /F = — = gAcv.
130 1. MECHANIKA
Az F erő kifejezhető a Hooke-törvény alapján is:
F = A E ^Ah
Mivel az AZ megnyúlás cAí-vel egyetilő, ezért
F ^ A E -c .
így a két egyenlet jobb oldalát egyenlővé téve, rendezés után a hatás terjedési sebességére a következő kifejezést kapjuk:
[f] Határozzuk meg egy rugalmas fonálon kihajlással létrehozott deformáció terjedési sebességét!
Az egyszerűség kedvéért válasszunk olyan koordináta-rend- szert, amely a deformáció terjedése irányában, azzal azonos sebességgel mozog. Ebben a koordináta-rendszerben a deformáció „egy helyben áll”, míg a fonál -c sebességgel mozog (1.110. ábra). Szemeljük ki a kötél azon elemi Am tömegű darabját, amely a kiemelkedés tetején található! A deformáció tetejének a környezetét^ geometriailag körrel helyettesíthetjük, így azt mondhatjuk, hogy a kiszemelt darabka c sebességgel körmozgást végez. A Am tömegű darabka körpályán tartásához szükséges centripetális erő:
F = A m - ;
1. MECHANIKA 131
ahol R jelenti a mozgást leginkább közelítő kör, az ún. simuló kör sugarát. Ez az erő csak a kötelet feszítő F eróljől származhat. Az F erő a kiszemelt A/ hosszúságú Am tömegű kötéldarab végeire hat. Ennek a kötéldarabnak a tömege
Am = ^ylA/
A A/ hosszúságú darabhoz tartozó középponti szög ip. Ha a kötéldarab végeire ható erő F, akkor a kör középpontja felé ható eredő erő:
Fe = 2Fsin^
Mivel kicsi,sinv? <~p, így
1?F e = F ( p = — .
Továbbá
Al = R<p,
így
Fip = gAR(p— .
Az egyszerűsítések elvégzése és rendezése után
V = QÁ
vagyis a deformáció terjedési sebessége a fonálban ható feszítőerő négyzetgyökével arányos. A qA szorzat a fonál egységnyi hosszúságú darabjának tömegét adja meg, aminek négyzetgyökével fordítottan arányos a terjedési sebesség.
[U A terjedési irányra merőleges kitéréssel mozgó „zavar” transzverzális, míg a terjedési iránnyal megegyező kitéréssel mozgó „zavar” longitudinális.
132 1. MECHANIKA
1] Mozgassuk egy „laza”, hosszú rugó rögzítetlen végét ütemesen fel és le. Megfigyelhetjük, hogy a rugón hullámhegyek illetve völgyek futnak végig. Ha a fel-le mozgatás harmonikus, akkor a rugó egyes pontjai is ugyanolyan frekvenciájú és amplitúdójú harmonikus rezgőmozgást végeznek, csak időben kissé kés61)b, mint a kezdőpont. Találhatunk olyan pontokat a rugón, amelyek azonos ütemben mozognak.
I [d] Két ilyen szomszédos, azonos ütemben mozgó pont távolsága a hullámhossz.
m Ha a rezgésállapot terjedési sebessége c, ekkor a hullámhossz az a távolság, melyet a zavar pontosan a T rezgésidő alatt tesz meg, azaz
\ = cT
szokásos még ezt a kifejezést az egyes pontok rezgésének frekvenciájával ( / = is kifejezni:
- 7
A hullám matematikai leírásaLegyen a rezgéskeltés helyének kitérés idő függvénye
y{t) — Asin(cjí)
A tőle X távolságra lévő pont csak később kezd el rezegni, hiszen
Aí = - c
idő kell ahhoz, hogy a rezgésállapot eljusson odáig, így a kiszemelt pont kitérés-idő függvénye:
Y{Xyt) — ylsin^tí;(í — - ) j
1. MECHANIKA 133
A kapott kétváltozós függvény hely és idő szerint periodikus, hiszen mind rögzített t, mind rögzített x esetén a másik változó szinuszos függvénye. Vegyük észre, hogy eredményünk egyaránt használható transzverzális és longitudinális hullámokra is!
A polarizáció[Hl Indítsimk egy rugalmas kötélen transzverzális hullámokat
úgy, hogy a kezdőpont kitérésének irányát állandóan változtatjuk. Ha a kötelet egy keskeny, függőleges helyzetű résen vezetjük keresztül, azt tapasztaljuk, hogy a rés után a kötél minden pontja függőleges irány mentén rezeg. A rés a sokféle rezgési irány közül egyet választott ki, polarizálta a hullámot.
Ha a kötelet egy másik, keskeny, vízszintes helyzetű résen vezetjük keresztül, azt tapasztaljuk, hogy a hullámjelenség megszűnik, teljes kioltás következik be. Ha a kísérletet longitudinális hullámokkal végezzük el, változást nem tapasztalunk, hiszen a terjedési irány megegyezik a rezgés irányával.
[H Ha egy megfigyelt pont rezgésének iránya mindig egyazon egyenesbe esik, lineárisan poláros hullámról beszélünk. Ha egy megfigyelt pont rezgésének iránya egyenletesen körben jár, akkor cirkulárisán poláros a hullám.
A felületi és térbeli hullámok terjedéseE Csepegtessünk vizet egy nagy tálban lévő víz {hullámkád)
felszínére! Azt tapasztaljuk, hogy a becsapódás helyéről induló deformáció minden irányban állandó sebességgel terjed, így egyre nagyobb sugarú kört látunk a víz felszínén haladni. Ha a víz felszínét egy pontjában periodikusan ütögetjük, akkor körhullámok alakulnak ki. Az azonos fázisú pontok a forrással koncentrikus körök, ezek alkotják a körhullámok hullámfrontjait. Ha a víz felszínét nem csak egy pontjában, hanem egy szakasz mentén periodikusan ütögetjük, akkor vonalhullámok alakulnak ki. Az azonos fázisú hullámfrontok egymással párhuzamos egyenesek. Térben gömbhullámokról, ill. síkhullámokról is beszélhetünk.
134 1. MECHANIKA
13 Helyezzünk a hullámkádba kör alakú lemezt, amelyen egyenlő távolságokban rések helyezkednek el, és indítsunk a középpontból körhullámokat! Azt tapasztaljuk, hogy a résekből mint forrásokból kis körhullámok indulnak ki, amelyek a lemeztől „távol” olyan körhullámokká állnak össze, amelyek középpontja az eredeti hullámforrás.
[k] Ütögessük a vízfelszínt egy „fésűvel”! Azt tapasztaljuk, hogy a „fésűfogakból”, mint hullámforrásokból körhullámok indulnak ki, amelyek a „fésűtói” távol vonalhullámokká állnak össze.
Ezekre a jelenségekre támaszkodik a Huygens-elv.
E A hullámfront minden pontjából elemi körhullámok (térben gömbhullámok) indulnak ki.Ezen elemi hullámok burkolófelülete az új hullám front.
A Huygens-elv segítségével nagyon egyszerűen magyarázható a visszaverődés és törés jelensége.
A hullámok visszaverődése
IH] A beeső és visszavert hullámok teijedési iránya a beesési merőlegessel azonos szöget zár be (1.111. ábra).
A beeső síkhullám sebességének iránya zárjon be a szöget az ún. beesési merőlegessel, a hullámfront A pontja legyen éppen
1. MECHANIKA 135
a határfelületen. Ebben a pillanatban az A pontból elemi kör- hullám indul ki „visszafele”, míg a hullámfront B pontja még
As — cAt
távolságra van a határfelülettől. A At időköz alatt, míg a hullámfront B pontja is megérkezik a határfelületre, az A pontból induló elemi hullám frontja
As = cAt
utat tesz meg. A hullámfront egy A középpontú sugarú kör. A Huygens-elv szerint az új hullámfront ennek a körnek a Bi pontból húzott érintője. Legyen az érintési pont az Ai. Az 1.112. ábráról leolvasható, hogy az ABBi, illetve az A B iA i háromszögek egybevágóak, mert megegyezik két oldaluk és a nagy óbbikkal szemköztes szögük. így a visszavert hullám frontja szintén a szöget zár be a határfelülettel.
Ez a szög viszont ugyanakkora, mint a sebességnek a beesési merőlegessel bezárt szöge.
A hullámok törése\t\ Ha egy hullám új közegbe ér, akkor a beesési és törési szögek szinuszai úgy aránylanak egymáshoz, mint a terjedési sebességeik.
A beeső síkhullám sebességének iránya zárjon be a szöget az ún. beesési merőlegessel (1.113. ábra). A hullámfront A pontja
136 1. MECHANIKA
legyen éppen a határfelületen. Ebben a pillanatban az A pontból elemi körhullám indul ki a másik közegben, míg a hullámfront B pontja még
Asi = ciAt
távolságra van a határfelülettől. A Aí időköz alatt, míg a hullámfront B pontja is megérkezik a hatáfelületre, az A pontból induló elemi hullám frontja
A«2 = C2AÍ
Utat tesz meg az új közegben, a hullámfront egy A középpontú As2 sugarú kör. A Huygens-elv szerint az új hullámfront ennek a körnek a B^ pontból húzott érintője. Legyen az érintési pont az Ai. Az ábráról leolvasható, hogy az ABBi illetve az AB^Ai háromszögek alapjai megegyeznek. írjük fel mindkét háromszögben az a, illetve jS szög szinuszát!
sma = Cl
sin/3 = C2
A tABiA t
a F i
1. MECHANIKA 137
A két egyenlőség hányadosát véve éppen a kívánt összefüggéshez jutunk:
sina : sin/3 = ci : C2
[U A ^ hányados a törésmutató, jele: n.Ha Cl nagyobb, mint c , vagyis n > 1, akkor a jS szög kisebb lesz mint a, azaz minden beesési szöghöz tartozik törési szög.
A fordított irányú határátmenetre n értéke 1-nél kisebb, így a törés szöge lesz a nagyobb. A beesés szögét növelve elérhetjük, hogy a törés szöge eléije a 90°-ot. Ha tovább növeljük a beesés szögét, akkor a hullám már nem lép át az új közegbe, teljes visz- szaverődés következik be, amelynek határszögének szinusza:
1sma — — n
Az interferencia[D A hullámok találkozása az interferencia.Ha a hullámok azonos fázisban (hegy a heggyel) találkoznak, akkor erősítik, ha ellentétes fázisban (hegy a völggyel), akkor gyengítik egymást.
E Indítsunk a hullámkád két, egymástól d távolságra lévő pontjából körhullámokat! Azt figyelhetjük meg, hogy az erősítések, ill. gyengítések szabályos görbéken helyezkednek el. Milyen görbék ezek? Ahhoz, hogy a hullámtér egy adott pontjában tartósan erősítés vagy gyengítés alakuljon ki, az kell, hogy a két forrástól mért útkülönbség a hullámhossz egész számú, illetve a hullámhossz felének páratlan számú többszöröse legyen, azaz
n — V2 — kX, illetve ri —r2 = {2k + 1) ZiEzek a görbék hiperbolák, hiszen a hiperbola azon pontok
halmaza a síkon, amelyek két ponttól mért távolságkülönbsége állandó.
138 1. MECHANIKA
Változtassuk meg a két hullámforrás távolságát! Ha ez a d távolság A/2 alá csökken akkor, mint a háromszög-egyenlőtlenség- ből látható, egyáltalán nem lesz maximális gyengítés, ill. maximális erősítés, a 0. rend (k = 0) kivételével, ott ugyanis mindig maximális erősítés van.
m Általában az interferencia észlelhetőségének feltétele az, hogy a két hullámforrás fáziskülönbsége időben állandó. Ez az ún. koherencia-feltétel.
Az általunk vizsgált esetben a fáziskülönbség nulla volt, a kapott összefüggés is csak erre az esetre érvényes. Nyilvánvaló, hogy a maximum- és minimumhelyek függenek a két hullámforrás fáziskülönbségétől is. Ha pl. a fáziskülönbség n, akkor az előző formulák éppen a másik szélsőértéket szolgáltatják, vagyis, ha az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse, akkor lesz minimum, és a másik esetben lesz a maximum.
[k] Indítsunk a hullámkádban körhullámokat, és tegyünk az útjába változtatható szélességi! rést (1.114. ábra)!
1.114. ábra
A rés fokozatos szűkítésével a hullámjelenség kiterjed az egész ámyéktérre. Ez az elhajlás jelensége. Azt is megfigyelhetjük, hogy a rés után a hullámfrontok „lukasak”, márpedig egy burkológörbe nem lehet lukas. A dilemmát Fresnel oldotta meg a Huygens-elv módosításával.
1. MECHANIKA 139
[D Huygens-Fresnel-elvA hullámfront minden pontjából elemi körhullámok (térben gömbhullámok) indulnak ki. Ezen elemi hullámok interferenciája adja az új hullámfrontot.
1] Bocsássunk síkhullámot résre, és figyeljíik meg az áthaladó hullám frontj át!
Tapasztalataink szerint bizonyos irányokban nem lesz hullámterjedés (itt „lukas” a hullámfront), míg más irányokban maximum található (1.115. ábra).
\\ \
/I I !
/1.115. ábra
A jelenség magyarázatát a Fresnel-elv segítségével adjuk meg. A beeső síkhullám egyenlete:
Y = ^sin — -)^
Legyen a rés szélessége d, és osszuk a rést n részre. Tekintsük ezeket elemi hullámforrásoknak. Az ezekből kiinduló elemi hullámok egyenlete legyen
Vizsgáljuk meg, hogy az eredeti terjedési iránnyal a szöget bezáró irányban mekkora amplitúdó alakul ki (1.116. ábra)!
140 1. MECHANIKA
A két szélső elemi hullám közötti fáziseltérés;
X w d s i n a(f — w — = --------c c
Két szomszédos hullám között a fáziskülönbség ennek n-ed része, azaz ipln. Az amplitúdók vektorokként adódnak össze, esetünkben n darab egyenlő hosszú, egjmiással ípin szöget bezáró vektort fűzünk egymás után (1.117. ábra).
A keresett amplitúdó ezek vektori összege. Ha finomítjuk a felosztást, akkor a sokszög egyre jobban megközelíti a körívet, amelynek A hossza a beeső hullám amplitúdója (1.118. ábra).
Jelöljük a kör sugarát /?-rel! Ekkor
A = R(p, ill. Aa = 2ifein(^)
A két egyenlőségből a kör sugarát behelyettesítve
1. MECHANIKA 141
s in - A , = 2 A ----^
adódik. Az intenzitás az amplitúdó négyzetével arányos, így az adott a irányban az intenzitás
sin^^
'TEz akkor nulla, ha
-1 1 ) = »azaz
(f/ 2 = 0 + fcTTMivel
X 27rdsino! , _ ^(rt = w - — — —---- es I C — Á^ c Te
ezért rendezés utándsina — kA
adódik a kioltási irányokra.A maximumirányokat jó közelítéssel ott kaphatjuk, ahol
Sin
azaz(p 7T 2 ^ 2 + "
Az elózóvel azonos meggondolás alapján a maximumirányokra a következő összefüggést kapjuk
dsina = (2k + 1)
Az 1.119. ábrán az intenzitáseloszlási görbe látható.
142 1. MECHANIKA
1.12.2. ÁLLÓHULLÁMOK[U Hosszú gumikötél egyik végét rögzítsük, másik végét pe
dig rezegtessük változó frekvenciával. Megfigyelhetjük, hogy vannak olyan frekvenciák, amelyeknél a kötél egyes pontjai njoigalomban vannak {csomópontok), illetve vannak olyan pontok, amelyeknek a kitérése maximális (duzzadó helyek). A kötél egyes pontjai a haladóhullámokkal ellentétben, helytől függő amplitúdóval rezegnek (1.120. ábra).
1.120. ábra
A jelenség magyarázata a következő. A kötél rögzített végéről visszaverődő hullám interferál a kötél vége felé haladó hullámmal. Mindkét hullám terjedési sebessége és frekvenciája azonos, a visszavert hullám n fázisugrást szenved a rögzített végről történő visszaverődés miatt.
Legyen a találkozás helye a kezdőponttól számított x távolságra. A visszavert hullám útja ekkor 21- x . Az összeadandó két függvény:
1. MECHANIKA 143
Yi = A sin w(t —
(2 1 — X W { t ----------------) + 7T
Az eredő hullámot leíró függvény a megfelelő trigonometrikus azonosságok felhasználásával a következő:
Y = Yi + Y2 — 2Asin^w — ^ cos^w(í — -)
Mint a formulából látható, a szorzat egyik tényezője csak a helytől, a másik tényező viszont csak az időtől függ. A helytől függő tényező határozza meg az ampHtúdót. Ahol ez nulla, ott lesz csomópont, ahol ez 1, ott lesz duzzadóhely;
I — X , t — X , , . 7Tw ---------= Aivr, ill. tt)----------=(2fc + l) — .c c 2
így a csomópontok illetve duzzadóhelyek távolságára
l — X — k ^ \ 111. l — X — {2k + 1)^
adódik.Látható, hogy mind a szomszédos csomópontok, mind a
szomszédos duzzadóhelyek távolsága XI2. Ha egy / hosszúságú, mindkét végén rögzített húrt rezgetünk, akkor csak olyan hullámhosszú állóhullámok alakulhatnak ki, melyeknél a kötél hossza a félhullámhossz egész számú többszöröse:
= , A = | : / = t2 k ■’ 21
A k = l értékhez tartozó frekvencia az ún. alapfrekvencia. Az összes többi ennek egész számú többszöröse, amelyeket felharmonikusoknak nevezünk. Vegyük még észre, hogy két szomszédos csomópont között a kötél pontjai azonos fázisban rezegnek, míg egy csomópont két oldalán a fázis ellentétes, vagyis a fázis- különbség éppen 71.
144 1. MECHANIKA
1.12.3. A HANGm ben a rugalmas kö5
gitudinális hullámokat nevezzük hanghullámoknak.I 11 Általános értelemben a rugalmas közegekben terjedő lon-
Ezen belül a 2 0 -------- 2 0 0 0 0 Hz közötti frekvenciájú hullámok a hétköznapi értelemben vett hanghullámok. A hang terjedéséhez közvetítő közeg szükséges.
[k] Tegyünk légszivattyú burája alá elektromos csengőt, kapcsoljuk be, majd szívjuk ki a levegőt. A csengő fokozatosan elhalkul, jelezve, hogy légüres térben nem terjed a hang.
Hogyan határozhatjuk meg a hang terjedési sebességét?
E Egy hosszú, felül nyitott üvegcső alsó részét merítsük vízbe, fölé pedig tartsunk ismert rezgésszámú hangvillát (1.121. ábra)! A csövet kiemelve a vízből, egy bizonyos távolságnál felerősödik a hang, továbbemelve elhalkul, majd ismét felerősödik. A két erősítési hely távolsága XI2 (mind a kettő csomópont) jól mérhető, így a hang terjedési sebessége:
c = fX
1.121. ábra
1. MECHANIKA 145
[k] H osszú, néhány centim éter átmérőjű üvegcsőbe - Kundt- cső - szórjunk parafa reszeléket, majd az egyik végét záijuk le egy mozgatható dugattyúval! (1.122. ábra)!
<nninxir[nxiir]>1.122. ábra
Ha a másik végéhez hanggenerátorhoz kapcsolt hangszórót teszünk, a dugattyú mozgatásával elérhetjük, hogy a cső egyes helyein a parafa reszelék élénk mozgásba jön, más helyeken pedig teljesen mozdulatlan. A csőben állóhullám alakul ki, amely a hangszórótól elinduló és a dugattyúról visszaverődő hanghullám interferenciájának eredménye. Az élénken mozgó parafa reszelék jelzi a dvizzadóhelyeket, míg a mozdulatlanul maradó részek a csomópontokat.
[k] Megfeszített húrt pendítsünk meg, majd egy libatollal érintsük meg a közepét! Ezzel az ún. alapfrekvenciát szüntetjük meg, hiszen ennek (is) van duzzadóhelye a húr felénél. Csak azok a frekvenciák maradnak meg, amelyekre a húr felezőpontja csomópont. Magasabb hangot fogunk hallani, éspedig az alapfrekvencia kétszeresét. Ezután próbáljuk a harmadánál, negyedénél stb. A hallott alaphangnak a felharmonikusait kaphatjuk meg sorban. Ezek a felharmonikusok mind jelen vannak az alaphangban, ezek határozzák meg az ún. hangszínt.
[k] Helyezzünk két azonos frekvenciájú hangvillát egymás közelébe! Az egyiket hozzuk rezgésbe, majd fogjuk meg kézzel, hogy elhallgasson. Azt tapasztaljuk, hogy a másik hangvilla szól. Ennek az az oka, hogy az első hangvilla által kibocsátott hullám „gerjeszti” a másik hangvillát, és - mivel a frekvenciája azonos - a rezonancia révén rezgésbe jön.
[K] Helyezzünk két azonos frekvenciájú hangvillát egymás közelébe! Az egyikre erősítsünk egy kis testet, majd hozzuk rezgésbe mindkettőt! Azt tapasztaljuk, hogy a hallott hang periodi
146 1. MECHANIKA
kusan erősödik, majd elhalkul: lebegés jön létre. Az egyik hangvilla frekvenciája kismértékben megváltozott a ráerösített test miatt, így a két hullám frekvenciája közel azonos. Ezek interferenciája okozza a hanglebegés jelenségét.
E Húzzunk egy sípra kb. 1 m hosszúságú gumicsövet! A cső másik végébe fújva a síp megszólal. A sípot a gumicsőnél fogva és a fejünk fölött körbeforgatva, a síp hangját hol magasabbnak, hol mélyebbnek hallja a megfigyelő, aszerint, hogy a síp közeledik vagy távolodik. Ez a Doppler-effektus. Az észlelt frekvencia:
/ = / o - Í ± í ,c — V
ha az észlelő u sebességgel közeledik, illetvec — u
f = fo-c-\-vha az észlelő u sebességgel távolodik. A forrás sebessége v.
2. HŐTAN
2.1. A HŐMÉRSÉKLET FOGALMA ÉS MÉRÉSE
A hőmérséklet a hét Sl-alapmennyiség közé tartozik, az egyik legfontosabb fizikai állapotjelző. A mindennapi életben a hőmérséklet változását Celsíus-skálán adjuk meg, a fizikusok azonban legtöbbször a Kelvin-féle skálát használják. Ezen a skálán a testek hőmérséklete elméletileg mindenféle felső határ nélkül növekedhet, viszont nem csökkenhet nulla kelvin alá, amely megfelel a -273,2 Celsius-foknak. Ezt a kitüntetett hőmérsékletet abszolút nulla foknak (0 K) nevezzük, mivel igen fontos szerepet tölt be a fizikai jelenségek leírásában.
Számítások alapján a világegyetem hőmérséklete a kezdet kezdetén 10 ® K körül lehetett, és csak a tágulása közben hűlt le a jelenlegi, közelítőleg 2,7 K átlaghőmérsékletre.
A fizikusok - elméleti és gyakorlati jelentősége miatt egyaránt - sokat fáradoznak azon, hogy minél jobban megközelítsék az abszolút nulla hőmérsékletet. Az eddigi „leghidegebb”, amit 1988-ban produkáltak, 2 • 10“* K volt.
A hőmérséklet köznapi, jelentését mindannyian ismerjük. Ebben a fejezetben a tudományos értelmezésére is szükségünk lesz, ezt azonban csak később vezethetjük be.
Valahányszor el akarjuk dönteni két testről, hogy hőmérsékletük azonos vagy különböző, a termodinamika nulladik főtétele szerint járunk el:
Hl Ha két test külön-külön termikus egyensúlyi állapotban van egy harmadik testtel, akkor a két test egymással is termikus egyensúlyban van.
Ez a tétel nem vezethető le elméletileg, alapvető természeti törvény, amelyet a kísérletek igazolnak. A törvény alkalmas a testek hőmérsékletének meghatározására.
[U A hőmérséklet a testek termikus egyensúlyi állapotának meghatározó fizikai tulajdonsága. Két test hőmérsékletét akkor tekintjük egyenlőnek, ha hőegyensúlyi állapotban vannak.
148_________________________ HŐTAN_____________________________
2.1.1. HŐMÉRŐK, HŐMÉRSÉKLETI SKÁLÁK, HŐTÁGULÁS
I H A hőmérséklet az a fizikai alapmennyiség, amely a testek hőállapotának számszerű jellemzésére használható.
A hőmérséklet-változás a legtöbb test fizikai tulajdonságait is többé-kevésbé megváltoztatja: pl. térfogat-, elektromos ellenállás-, halmazállapot-változást okoz. Ezek közül bármelyik köny- nyen reprodukálható és mérhető változás alkalmas a hőmérséklet-változás mérésére (léteznek ellenállás- és színhőmérólc is).
A legelterjedtebb hőmérőkben a folyadékok hő okozta térfogatváltozását használják fel a hőmérséklet-változás jelzésére. Az általában higanyt vagy alkoholt tartalmazó tartály egy kapillárisban folytatódik, amit megfelelő skálával ellátva, az aktuáhs hőmérsékletnek megfelelő szint leolvasható.
A nálunk leggyakoribb Celsius-skálán az egyik hőmérsékleti alappont a normál légköri körülmények között olvadó jég hőmérséklete (0 °C), a másik pedig a normál nyomáson forrásban lévő víz hőmérséklete (100 °C). A két hőmérséklet közötti intervallum 100 egyenlő részre, azaz fokra van felosztva.
Használatosak más fokbeosztással ellátott folyadékhőmérólc (Fahrenheit-, Reaumur-skála) is. Ezeknek az eszközöknek a skáláját szintén tapasztalati (ún. empirikus) úton alakították ki, egy kiválasztott alsó és egy másik felső hőmérsékleti érték között, meghatározott számú, egyenlő skálaosztást alkalmazva. Ez a beosztás egyébként tetszőleges is lehetne, csupán az egyszerűség kedvéért alkalmazzák az egyenlő közű skálát. Annak ismeretében, hogy a hőmérsékleti skálán leolvasott érték a hőmérőben lévő folyadék hőtágulásával egyenes arányban van, egyáltalán nem meglepő, hogy más folyadékok, sőt a szilárd testek hőtágulásának mértéke is egyenesen arányos a hőmérséklet-változással. Képletben kifejezve:
HŐTAN 149
A F = /3VbAT
ahol Vo a 0 °C-on mért kezdeti térfogat. A T a hőmérséklet változása a 0 °C-hoz képest. f3 az ún. térfogati hőtágulási együttható, amelynek mértékegysége 1/°C, az anyagi minőségre jellemző állandó.
2.2. GÁZTÖRVÉNYEKKülönböző gázokkal kísérletezve azt tapasztaljuk, hogy azo
nos körülmények között a hőtágulás mértéke - jó közelítéssel - nem függ az anyagi minőségtől. Emiatt a gázok hőtágulásán alapuló hőmérsékleti skála nem függ a gáz anyagától, ezért is nevezzük ezt a skálát termodinamikai vagy abszolút hőmérsékleti skálának.
A tényleges kísérlet a 2.1. ábrán látható összeállításban végezhető el.
2.1. ábra
A vékony vízszintes csóljen higanycsepp zárja el a gázt, és tartja a belső nyomást állandó értéken. Használhatunk különböző gázokat és más-más térfogatú edényeket, eredményünk jó közelítésben a következő: a tágulás mértéke független az anyagi minőségtől, csak a kezdeti térfogat- és hőmérséklet-változás határozza meg.
150 HŐTAN
2.2. ábra
A mérési eredményeket grafikonon ábrázolva, a kapott görbe mindig egyenes lesz, és ezek az egyenesek mind egy közös pontból indulnak ki (2.2. ábra).
A mérési pontok által meghatározott egyenesek - a mérési hibán belül - a negatív hómérsékleti tartomány felé meghosz- szabbítva, a -273 °C-nál (0 °K) metszik a T tengelyt. Ezt a hőmérsékletet természetesen nem érhetjíik el egyetlen gázzal sem, hiszen ez nulla térfogatot jelentene, a valóságban azonban a gáz már sokkal előbb cseppfolyósodna.
2.2.1. GAY-LUSSAC ELSŐ TÖRVÉNYEH] Állandó mennyiségű gáz térfogata és a Keliin-skálán mért hőmérséklete egymással egyenesen arányosak, ha közben a nyomás nem változik. Ez Gay-Lussac első törvénye, amely képletben a következő:
Yl = YiTi T2
Ha a gáz állapotváltozása folyamán a nyomás és a tömeg nem változik, a térfogat-hőmérsékletgrafikon az origóból kiinduló egyenes lesz (2.3. ábra).
[U Azokat a gázokat, amelyekre az elmondott törvény érvényes, ideális gázoknak (jó közelítésben ilyenek pl. a nemesgázok).
HŐTAN 151
l/,
2.3. ábra
2.2.2. GAY-LUSSAC MÁSODIK TÖRVÉNYERögzített mennyiségű gázt állandó térfogaton melegítve, a
nyomása emelkedni Icezd. Az ábrán látható eszközzel, különböző hőmérsékleteken megvizsgálhatjuk a bezárt gáz nyomását.
~ W ~ü
2.4. ábra
A gázt a gumicsőben levő higany zárja el a külvilágtól (2.4. ábra). Ha melegítés közben a jobb oldali csövet fölfelé mozgatjuk, a kitáguló gáz visszaszorítható eredeti térfogatára. A higanyszintek közti különbség megadja a külső és belső nyomás közötti kapcsolatot, amelyből
P — PHg Plevegő
A nyomás és a kelvinben mért hőmérséklet között most is egyenes arány van (2.5. ábra).
152 HŐTAN
H] Gay-Lussac második törvénye szerint állandó mennyiségű gáz nyomása és Kelvin-skálán mért hőmérséklete egymással egyenesen arányosak, ha közben a gáz térfogata nem változik.
Pl P2
¥ r % 'p — cT\ ahol c = Po
273’vagyis a 0 °C-on mért nyomás 273-ad része.
2.2.3. BOYLE-MARIOTTE-TÖRVÉNYMindenféle mérés vagy kísérletezés nélkül is világos, hogy
egy adott mennyiségű gáz térfogatát csökkentve nő a nyomása, ha a hőmérsékletét állandó értéken tartjuk. A pontos függvénykapcsolat felismeréséhez használhatjuk az előzőekben már megismert egyszerű eszközt is. Melegítés nélkül, a mozgatható üvegcső helyzetét lassan változtatva, leolvashatjuk az összetartozó nyomás- és térfogatértékeket.
E Állandó hőmérsékleten egy adott mennyiségű gázzal dolgozva, a nyomás fordítottan arányos a térfogattal:
pV — állandó
________________________________ HŐTAN_____________________________ 1M
Ez a Boyle-Maríotte-törvény, amely szintén csak ideális gázokra érvényes. A gáz két állapotát állandó hőmérsékleten összehasonlítva, a következő kifejezést kapjuk:
P i V i = P 2V 2
2.3. áltaU no s Gá ztö r v é n y , id e á lis GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETE
Amikor egy bizonyos minőségű gázzal dolgozunk, a tömeg, a térfogat, a nyomás és a hőmérséklet egyértelműen meghatározzák a gáz egyensúlyi állapotát. Ezek a fizikai mennyiségek az állapotjelzők vagy állapothatározók. Az állapothatározók közül a hőtani folyamatok során kiegyenlítődóTc (pl. p, T) az intenzív, az összeadódó^ (pl. m, V) pedig az extenzív állapotjelzők. Bármelyik állapotjelző megváltozása - pl. hűtés esetén - legalább egy, de inkább több állapotjelző változását vonja maga után.
E A z általános vagy egyesített gáztörvény - amely az előzőekben tárgyalt tapasztalati törvények összefoglalása - megadja a kapcsolatot egy adott mennyiségű ideáUs gáz állapot- jelzői között, két különböző állapotban:
piVi P2 V2 , ,— — = —— = aiiando Ti T2
Látható, hogy az általános gáztörvény tartalmazza a többi speciális állapotváltozást leíró gáztörvényt, és egyszerűen levezethető azokból. Jegyezzük meg, hogy csak az ideális gázok (ilyenek az egyatomos nemesgázok) követik pontosan a gáztörvényt, és ezek is csak nem túl magas nyomásig. A reális, többatomos gázokban a molekulák között a nyomás emelkedésével nő a vonzóerő, és ezért a mérhető térfogat kisebb az elméleti értéknél. A reális gázok viselkedését a Van dér Waais-féle állapotegyenlet íija le.
Az általános gáztörvényben szereplő állandó értékét a ké
miából ismert Avogadro-törvény alapján határozhatjuk meg az ún. normálállapotban.
[t] Avogadro törvénye szerint, minden gáz moláris tömegének ugyanannyi a térfogata normálállapotban, azaz 0 °C hőmérsékleten és 0,1 MPa nyomáson, mégpedig 22,41 liter, így a p V n értéket erre az állapotra kiszámíthatjuk: 1 mól gáz esetén;
o _ Po^o _ 1,013 • lO^Pa • 22,41 ■ lO^^mVmol _273,2 K “
= 8,31 J/(mol • K)
154_________________________ HŐTAN_____________________________
A z ideális gázok állapotegyenlete így kifejezhető az R gázállandó segítségével, és tetszőleges állapotában megadja az összefüggést az állapotjelzőit között:
pV = nRT,
ahol n jelenti a molok számát.
B A z Avogadro-törvény alapján a molekulák számával is felírható az állapotegyenlet. Avogadro törvénye szerint a gázok 1 mól anyagmennyisége ugyanannyi, L = 6,02 . lO^^b molekulát tartalmaz.így az m tömegű gázban a molok száma n - m/M, azaz a molekulák száma; N = n ■ L. Az állapotegyenletben n helyett N/L írható.
E Az állapotegyenlet kifejezése a részecskeszámmal;
pV = NkT,
ahol k - R/L = 1,38 • 10“^ J/K állandó. Ez a nevezetes állandó a Boltzmann-állandó.
[f] Nézzük meg, hogyan használhatjuk fel az általános gáztörvényt egy egyszerű eszköz segítségével a légnyomás mérésére! Vegyünk egy vékony, egyik végén zárt, állandó A keresztmet-
HŐTAN 155
2.6. ábra
szetű, 50 cm hosszúságú üvegcsövet, amelybe vízszintes helyzetben zárjunk el 20 cm hosszú levegöoszlopot egy 20 cm hosszú higanyoszloppal. (2.6. ábra). Az eszköz neve Melde-cső. Ha a csövet lassan, a nyílásával lefelé függőleges helyzetbe fordítjuk, a higany nem folyik ki, viszont 2 cm-re megközelíti az alsó nj^ást. (Ez a 2 cm természetesen függ az aktuális légköri nyomástól.) Határozzuk meg az adatokból a külső légnyomást! A külső és a belső hőmérsékletet tekintsük végig állandónak!
Mivel a hőmérséklet nem változik, használhatjuk a Boyle- Mariotte-törvénj^:
P\Vl =P2V2
Az első helyzetben a bezárt levegő nyomása megegyezek a külső nyomással:
Pi =P k
A második helyzetben a belső nyomás kisebb a külsőnél, a különbség éppen a higanyoszlop nyomása:
P 2 = P k - Png
A térfogatokat a levegőoszlopok hosszával és a keresztmetszetével számíthatjuk ki. Ezeket, valamint a nyomásokat behelyettesítve, az egyenletből kifejezhetjük a külső légnyomást:
hhh - h
= 93391,2 Pa
156 HŐTAN
2.4. IDEÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTVÁLTOZÁSAI
A gázok állapotváltozásai állapotsíkon ábrázolhatok, az első, pozitív síknegyedet használva. A leggyakrabban a p-V síkon dolgozunk, mint látni fogjuk, nincs szükség a térbeli p-V-T felületre. A vízszintes tengelyen jelöljük a térfogatot, a függőlegesen pedig a nyomást.
Izobár folyamatok
I [d] Izobár folyamat alatt a gáz térfogata és hőmérséklete változik, miközben a nyomása állandó marad.
Egyszerűen valósíthatunk meg izobár tágulást, egy könnyen mozgó dugattyúval elzárt gáz lassú melegítésével.
A gáztörvény szerint az összefüggés állandó nyomáson:
Ti T2
Az energetikai viszonyok vizsgálatánál fontos szerepe lesz a gáz által végzett munkának, amely A W = FAs. Izobár tágulásnál, azaz állandó nyomás mellett az állapotjelzőkkel is kifejezhetjük a végzett munkát:
= FAs = pAAs = pAV
Észrevehetjük, hogy a gáz által végzett munkát megadja - előjelesen - a p -V grafikon alatti terület. Izobár tágulást szemléltet a 2.7. ábrán áz AB szakasz.
HŐTAN 157
Izochor folyamatok[d] Izochor állapotváltozás során a gáz térfogata marad állandó, a nyomás és a hőmérséklet a Gay-Lussac-törvénynek megfelelően változik (2.8. ábra);
Ti T2
co
4 0
2.8. ábra
Az ábrán az szakasz egy izochor melegítést jelöl; a végállapotban magasabb a hőmérséklet és a nyomás.
A grafikonról is látható, hogy mechanikai munkavégzés nincs, hiszen nincs elmozdulás, mert állandó a térfogat.
Izoterm állapotváltozásm Az állandó hőmérsékleten végbemenő folyamat az izoterm állapotváltozás, amelyet a Boyle-Mariotte-törvény ír le (2.9. ábra);
P l V l = P 2 V l
A p-V síkon a görbe egy hiperbolaív lesz. Könnyen belátható, hogy magasabb hőmérséklethez szintén hiperbola tartozik (az ábrán szaggatott vonallal jelölve).
A görbe alatti terület most is megadja a végzett munka számértékét, amivel később még részletesebben foglalkozunk.
158 HŐTAN
2.5. A KINETIKUS GÁZELMÉLETMinden fizikai és kémiai kísérlet azt mutatja, hogy az anya
gok - szilárd, folyadék és gáz halmazállapotban egyaránt - parányi részecskékből, molekulákból épülnek fel. A legkisebb molekulaméret 10“ ° m nagyságrendű, az „óriásmolekulák” átmérőjének nagyságrendje pedig 10“ m.
Az anyagi szerkezet szempontjából nagyon fontos a molekulák között ható, ún. intermolekuláris erő. A szilárd testekben és a folyadékokban ez az erő főként elektromos természeti!, amely mellett a gravitációs vonzóerő teljesen elhanyagolható. A von-
________________________________ HŐTAN_____________________________ 1TO
zóerő taszításba vált, ha a részecskéket túl közel akarjuk vinni egymáshoz - ez az egyik oka a folyadékok összenyomhatatlan- ságának. A 2.10. ábra az erő változását mutatja két folyadékmolekula között, a távolság függvényében.
Az /*o távolság az egyensúlyi helyzetet jelöli, amely a különböző anyagokra más és más.
Az egyensúlyban levő molekula a környezetében levő többi molekula hatására egy adott értékű potenciális energiával rendelkezik. Ezenkívül a részecskék állandó rendezetlen mozgásban vannak, kinetikus energiájuk sem elhanyagolható. A molekulák átlagos kinetikus energikája a tapasztalat szerint a hőmérséklet emelkedésével növekszik, és elég magas hőmérsékleten túllépheti a kötéshez szükséges potenciális energiát. Ez a forráspont, ahol az anyag folyadékból gáz halmazállapotú lesz. Hűtéskor, ha az átlagos kinetikus energia elég kicsi értéket vesz fel, a részecskék mozgása megváltozik, rezegni kezdenek, a folyadék megfagy: szilárd halmazállapotú lesz.
A molekulák viselkedését tanulmányozva legegyszerűbb módon a gázokra kaphatjuk meg a makroszkopikus fizikai tulajdonságokat. A gázok esetében az is szerencsés, hogy a molekulák átlagos kinetikus energiája viszonylag nagy, ezek a részecskék elég távol vannak egymástól, elhanyagolható közöttük a vonzóerő.
A z ideális gázok kinetikus modellje, amely a tapasztalatok szerint jól leírja a gázok viselkedését, a következőképpen foglalható össze.
A molekulák mérete elhanyagolható a közöttük levő üres térrészhez képest. A részecskék egjmiással is és az edény falával is tökéletesen rugalmasan ütköznek, az egyes ütközések között pedig egyenes vonalú egyenletes mozgással haladnak. Ezt úgy kell érteni, hogy a gázmolekulák rendezetlenül, összevissza mozognak, és kizárólag az ütközések ideje alatt - amely időtartam szintén elhanyagolható - van közöttük kölcsönhatás.
Ezekkel a feltételezésekkel élve, egy adott állapotban levő gáz fontos fizikai jellemzői kifejezhetők a molekulák adataival. Első célkitűzésünk meghatározni a tartály falára kifejtett nyomást, mint a molekulák időegységenkénti lendületváltozását egységnyi falfelületen.
160 HŐTAN
Jelöljük Vx-szel a molekulák sebességének x irányú komponensét, amelyet tekinthetünk átlagosan egyenlőnek az egyes molekulákra. A 2.11. ábrán egy olyan képzeletbeli henger látható, amely azokat a molekulákat tartalmazza, amelyek A t idő alatt ütköznek a kiszemelt fallal. Ezért lesz a henger alapterülete A, a magassága pedig VxAí.
Egyetlen részecske lendületváltozása a fallal történő ütközés során 2moVx', állandó molekulasűrűséget feltételezve (N/V), a kiszemelt hengerben levő molekulák száma: Avy^AtN/V, amelyeknek a fele mozog az adott fal felé. Mindezeket figyelembe véve, a falra kifejtett nyomást a következő alakban kapjuk meg:
_ F _ NA2vxAt2moVx _ Nrriovl ~ 2AAtV V
Tekintettel kell még lennünk arra a tényre, hogy a gáztartály minden egyes falán ugyanolyan nyomást mérhetünk, azaz a molekulák ugyanúgy mozognak a tér mindhárom irányában. Ez a következő egyenleteket jelenti:
2 2 2 ^x = ' y = V,= v l + vl + vl
Mindez azt eredményezi, hogy minden sebesség-összetevő így írható:
2 2 2
3így a tartály falára kifejtett belső nyomás:
_____________________ __________ HŐTAN_____________________________
2 Nml? 2 N ^ “ 3 2F “ 3
A gáznyomásnak ez a kifejezése azért lesz a következőkben különösen fontos, mert az e = tényező éppen egyetlen molekula átlagos kinetikus energiája, amely kapcsolatot létesít a makroszkopikus adatok (nyomás, hőmérséklet) és a mikroszkopikus jellemzők (átlagos kinetikus energia) között.
2.6. A HŐMÉRSÉKLET MOLEKULÁRIS ÉRTELMEZÉSE, A GÁZOK BELSŐ ENERGIÁJA
Az ideális gázok nyomására két fontos kifejezést ismerünk. Az egyik a tapasztalati úton nyert, mérési eredményeket tartalmazó állapotegyenlet:
N kT
A másik egyenlet az elméleti úton, a kinetikus gázmodell segítségével kapott:
2 N rriQ •^ 3 > " ^
alak. A nyomásnak ezt a kétféle kifejezését egyenlővé téve, kifejezhetjük a gáz hőmérsékletét a Kelvin-skálán:
^ 2 molP ^ 2é 6 k ~ 3 k
ahol é a gázmolekulák átlagos kinetikus energiája.Látható, hogy az egyatomos ideális gázok molekuláinak hala
dó mozgásából származó átlagos kinetikus energiája a gáz abszolút hőmérsékletével arányos:
Ez az okoskodás ad lehetőséget a hőmérséklet mélyebb, tudományosabb értelmezésére, amelynek alapján a hőmérséklettel a gázmolekulák rendezetlen hőmozgásának erőssége jellemezhető. A hőmérséklet megváltoztatása mindig a molekulák átlagos mozgásállapotának változását jelzi. Természetesen csak nagyon sok molekula rendezetlen mozgása határozza meg a gáznak mint rendszernek a hőmérsékletét.
m A gáz teljes belső energiája a molekulák kinetikus energiájának összege, amely egyatomos ideális gázra kizárólag a haladó mozgásból származó kinetikus energiát jelenti:
E = Neo^^NkT
162_________________________ HŐTAN_____________________________
[E Fejezzük ki a gáz sűrűségét a gáz állapotjelzővel! Az ideális gázok állapotegyenletéből az m/l^ hányadost közvetlenül kifejezhetjük:
m pM
[E Határozzuk meg, hogyan függ a gázmolekulák átlagos sebessége a hőmérséklettől, ill. a nyomástól!
A hőmérséklettől való függést azonnal megkaphatjuk a hőmérséklet kinetikus értelmezéséből:
A nyomás hatása az átlagos molekulasebességre az állapotegyenletből következik;
p V = N k T
_____________ HŐTAN__________________________163
c =mo
2.7. A TERMODINAMIKA ELSŐ FŐTÉTELE
A kinetikus gázmodellből kiindulva már megállapítottuk, hogy az egyes gázmolekulák haladó mozgásából származó kinetikus energiája kifejezhető a gáz hőmérsékletével:
1 _2 ^ 1 rp
A gáz teljes belső energiája, amely független az egész gáztartály helyzetétől, ill. mozgásállapotától, szintén egyenesen arányos a hó'mérséklettel:
E = Neo = ^ N k T = ^n R T
Itt nem részletezett elméleti megfontolásokkal vagy kísérletileg kapott eredmények felhasználásával belátható, hogy az egyatomos gázok belsőenergia-kifejezésében szereplő „bűvös” 3-as tényező a kétatomos gázokra 5, a többatomosokra pedig 6. Ugyanis az egyatomos gázok atomjai rendezetlen mozgásuk során csak haladó mozgást végeznek, a kétatomos gázmolekulák viszont - bár parányiak - a haladó mozgáson kívül forognak is, mégpedig két fő szimmetriatengely körül. Ezért hordoznak ezek a molekulák átlagosan több energiát, mint az egyatomos gázok részecskéi. (Megjegyezzük, hogy az itt elmondottak a klasszikus mechanika törvényei szerint érvényesek, szobahőmérséklet körüli értéken.) Ez az /-fel jelölt szám a szabadsági fokok száma, amely tehát egyatomos gázokra / = 3, kétatomos gázokra/= 5, többatomos gázokra/ = 6.
Mindezek figyelembevételével a gázok belső energiája általánosan a következő alakban adható meg:
E = N e ^ ^ N k TZi
164 _____________________HŐTAN
[T] Az ekvipartídó tétele szerint, amely az energia egyenletes eloszlásának törvénye, a gázmolekula minden egyes szabadsági fokára \ kT átlagos kinetikus energia jut.
A kinetikus gázmodell a belső energia nullszintjét is meghatározza, amit a r = 0 K állapothoz rendelünk. Természetesen a gázok nagy része elegendően alacsony hőmérsékleten cseppfo- lyósodik, és ezért 0 K hőmérsékletet, a 0 energiaállapotot már megközelíteni is nehéz gázállapotban.
Vizsgáljuk meg, hogyan változtathatjuk meg a gázok hőmérsékletét? A molekulák hőmozgását legegyszerűbben melegítéssel, hőközléssel növelhetjük. A hőközlés mértékét, a hőmennyiséget a fizikában ö-val jelöljük. A hőközlésen kívül a belső energiát - nem csak gázokra, hanem más testre is - külső, mechanikai munkavégzéssel (W) is változtathatjuk. Példa erre egy hőszigetelt tartályban levő gáz ún. adiabatikus összenyomása. Egy ilyen folyamatban a gáz hőmérséklete jelentősen növekedhet anélkül, hogy a környezettel bármilyen hőcsere fennállna.
Ezeket a megfontolásokat fogalmazza meg a termodinamika első főtétele, amely általános természeti törvény, lényegében az energia megmaradásának egjdk megfogalmazása.
HJA termodinamika első főtétele szerint egy anyagi rendszer belső energiájának megváltozása egyenlő a közölt hő és a rendszeren végzett mechanikai munka előjeles összegével:
A E = Q + W
A tétel azt fejezi ki, hogy egy rendszeren belül semmiféle energia nem keletkezhet vagy tűnhet el. Tlilajdonképpen ez a tétel zárja ki az ún. elsőfajú örökmozgó létezésének lehetőségét, amely úgy adna le környezetének energiát, hogy közben a saját belső energiája nem csökkenne.
________________________________ HŐTAN___________ _________________
2.8. A HŐ MÉRTÉKE, A HŐMENNYISÉG, A HŐKAPACITÁS
A termodinamika első főtételéből kiindulva először megvizsgáljuk egy zárt gáztartályban levő ideális gáz melegítését. Az állandó térfogat miatt mechanikai munkavégzés nincs, az összes bevezetett hő a belső energiát növeli:
Qy = AE = ^n R A T =
Mivel egy adott minőségű ideális gázra a tényező a tömegtől és a hőmérséklet-változástól függetlenül állandó, ezért az állandó térfogaton felvett hő a következő alakban adható meg:
Qv = cvmAT
ahol az anyagra jellemző Cv = | ^ állandó a fajlagos hőkapacitás.Gázok esetében ugyanazt a hőmérséklet-változást különböző
folyamatokban, különböző mértékíí hólíözléssel érhetjük el. Minden esetben az első főtétel adja meg a kulcsot a szükséges hő kiszámításához.
Növeljük egy bizonyos mennyiségű (m) egyatomos ideális gáz hőmérsékletét állandó (p) nyomáson AT-vel! Állandó nyomás mellett természetesen a térfogat növekedni fog. A térfogat- változást AV -vel jelöljük. Vizsgáljuk meg ezt az állapotváltozást az energiaközlés és a hőkapacitás szempontjából!
Az első főtétel szerint {AE = Q + W) a belső energia növekedése /S.E — 1^ i?AT. A munkavégzés negatív, hiszen a táguló gáz a környezetén végez munkát a külső, állandó nyomás ellen: W = -p A V
Mindezek alapján a szükséges hő, amelyet állandó nyomáson be kell juttatni a rendszerbe:
*\nryiQp = ^ R A T + pAV
Figyelembe vehetjük még, hogy az állapotegyenlet alapján:m
P A V ^ - R A T ;
166 HŐTAN
behelyettesítés után az állandó nyomáson szükséges hőre a következő összefüggést kapjuk:
= i? + S =5 SLátható, hogy az állandó nyomáson vett Cp = | ^ hőkapacitás
értéke nagyobb, mintha állandó térfogaton melegítjük a gázt. A két, speciális állapotváltozáshoz tartozó hőkapacitás kifejezését összevetve megkapjuk az ún. Róbert Mayer-egyenleteket;
R Cp 5 Cp-Cv=Yl'^ lU- ^ = ö M Cy 3
A Cp/Cy arányt a görög (k) betűvel jelölik, a nevo. fajhőhánya- dos, amely a szabadsági fokok számával kifejezve így adható meg:
/Tehát pl. kétatomos gázokra a fajhőhányados: k — 7/5.Szólnunk kell még egy korábban már említett, de nem részle
tezett speciális állapotváltozásról, az adiabatikus folyamatról. Adiabatikus állapotváltozás alatt eltekinthetünk a hóTcözléstól, amit vagy jó hőszigeteléssel, vagy a folyamat gyors lefolyásával érhetünk el.
I m Adiabatikus egy állapotváltozás, ha Q = 0.
Alkalmazva a termodinamika első főtételét az adiabatikus folyamatra, (<5 = 0) : A E = W, ami azt jelenti, hogy a belső energia növekedését csak külső munkavégzés okozhatja, ill. a gáz kizárólag a belső energiájának rovására végezhet tágulási munkát.
Itt nem részletezett számítás szerint az ideális gázok esetén az adiabatikus állapotváltozásra a következő összefüggés érvényes:
PlVl = P2 V2
ahol K a már bevezetett Cp/Cy fajhőhányados.
HŐTAN 167
A p -V diagramon ábrázolva egy adiabatikus állapotváltozást, a kapott görbe neve adiabata. Mivel a k értéke minden gázra nagyobb egynél, az adiabatikus állapotváltozás egy, az izotermánál meredekebb görbével adható meg (2.12. ábra).
Érdemes megjegyezni, hogy az adiabatikus folyamatokhoz tartozó hőkapacitás zérus, mivel mindenféle hőcsere nélkül lép föl hőmérsékletváltozás; pl. adiabatikus összenyomással felmelegíthetünk egy gázt.
[F] Vizsgáljuk meg egy bizonyos mennyiségű ideális gáz izo- term {T = áll.) tágulását Vi-ről V2-re. Bár a hőmérséklet nem emelkedik, ehhez a táguláshoz a gáztartályba hőt kell bevezetni. Számítsuk ki, ill. a gáz állapotjelzőivel fejezzük ki ezt a hőt!
Mivel a hőmérséklet nem változik, ezért a belső energia állandó, tehát A E = 0. Alkalmazva az első főtételt, Q = \W\.
Semmiféle cmAT összefüggés nem használható a hőmennyiség kiszámolására, hiszen AT = 0, ezért a gáz által a környezeten végzett munkát számoljuk ki. A 2.13. ábrán a már ismert izoterma látható, ahol a grafikon alatti, vonalkázott terület megadja a munka számértékét.
Tehát a nyomást mint térfogatfügvényt kell integrálni, Fi-től Fa-ig- A nyomást az állapotegyenletből kapjuk meg.
p ^ ^ n R T
Q = \Wl = J pdV= J n R T ^ d V = n K n n y
168 HŐTAN _________________
2 .9 . HALMAZÁLLAPOT-VÁLTOZÁSOK, FÁZISÁTALAKULÁS
Hétköznapi tapasztalataink alapján jól ismert tény a homogén anyagok halmazállapot-változása, a fagyás, olvadás,, párolgás, forrás és a lecsapódás, de talán kevésbé ismert a szublimáció. Ezek az állapotváltozások az ún. elsőrendű fázisátalakulások. Ez azt jelenti, hogy egy - az anyagra jellemző - hőmérsékleten hirtelen, ugrásszerűen változnak meg az anyag fizikai tulajdonságai. Ezek az anyagra jellemző hőmérsékletek - olvadáspont, fagyáspont - nagyban függnek bizonyos külső hatásoktól, elsősorban a nyomástól.
A tapasztalat szerint a halmazállapot-változásokhoz minden esetben állandó hőmérsékleten történő hőfelvétel - olvadás, párolgás, forrás - vagy hőleadás - fagyás, lecsapódás - szükséges. A fázisátalakuláshoz szükséges hő mindig az átalakulást szenvedő anyag tömegével arányos!
Q = Lm
Az anyagra jellemző L állandó, a folyamattól függően olvadáshő, párolgáshő, illetve forráshő néven ismert, és számértéke
megadja az egységnjd tömegű anyag halmazállapotának megváltoztatásához szíikséges hőmennyiséget.
Ha a termodinamika első főtétele szempontjából vizsgáljuk a halmazállapot-változásokat, akkor olvadásnál és fagyásnál a hő úgy változtatja a belső energiát, hogy közben a hőmérséklet nem változik, és a mechanikai munkavégzés is elhanyagolható. Párolgásnál és forrásnál viszont a kíilső légnyomás ellen végzett munka már számottevő, hiszen a térfogatváltozás nem hanyagolható el.
Zárt térben párolgó vagy forrásban levő folyadék fölött általában a folyadék telített gőze van jelen, ami azt jelenti, hogy azonos időközökben a folyadékból kilépő és oda visszatérő molekulák száma megegyezik. A telített gőzökre általában nem érvényesek a gáztörvények, pl. a folyadékával érintkező telített gőz térfogatváltozása nem befolyásolja a gőz nyomását, hanem halmazállapot-változást okoz. Általában érvényes, hogy egy adott anyag telített gőzének nyomása növekszik a hőmérséklet emelkedésével. A forráspont éppen az a hőmérséklet, amelyen a telített gőz nyomása megegyezik a külső nyomással.
Minden anyaghoz tartozik egy jól meghatározott hőmérséklet, amely felett az adott anyag csak gáz halmazállapotú lehet, és bármilyen nagy nyomással sem cseppfolyósítható. Ez a hőmérséklet az anyag kritikus hőmérséklete. Az éppen kritikus hőmérsékleten levő gáz lecsapódásához szükséges nyomás a kritikus nyomás.
________________________ HŐTAN_________________ 189
2.10. A HŐFOLYAMATOK IRÁNYA, ATERMODINAMIKA
MÁSODIK ÉS HARMADIK FŐTÉTELEA hőfolyamatok, állapotváltozások között számos olyan van,
amely fordított irányban is lejátszódik, különösen, ha mindehhez külső segítséget is kap a rendszer. Ahogyan egy adott állapotban levő víz megfagy, ha hűtjük, a keletkezett jég hővel megolvasztható. Gondolhatunk a só oldására vízben, illetve a sós oldat lepárlására, miközben különválasztjuk a sót és az oldó-
szert. Ezek a folyamatok mind valamilyen változást okoznak a környezetben: a rendszer nem magától jut vissza az eredeti állapotba. Azt viszont még soha senki nem tapasztalta, hogy a talajra leeső és közben kissé fölmelegedő test hűtés hatására visszarepülne az eredeti magasságába. Az sem történik meg soha, hogy egy adott hőmérsékletű keverék magától szétválik két különböző hőmérsékletű összetevőre. Az ilyen folyamatok az irreverzibilis vagy megfordíthatatlan folyamatok, szemben a reverzibilis vagy megfordítható folyamatokkal. Reverzibilis hőfolyamat pl. egy gáz izoterm összenyomása (amely csak ideahzált körülmények között mehet végbe).
|T| A termodinamika második főtétele szerint a természetben külső behatások nélkül mindig a hőmérséklet kiegyenlítődésére irányuló folyamatok zajlanak le: azaz hő magától nem kerülhet az alacsonyabb hőmérsékletű helyről a magasabb hőmérsékletű helyre.
A tétel egy másik, Max Planck által adott megfogalmazása szerint ez azt fejezi ki, hogy nem lehet készíteni és működtetni \m. másodfajú örökmozgót. Ez egy periodikusan működő hőerőgép lenne, amely minden ciklus végén visszajuttatná a rendszert az eredeti állapotába, és közben még hasznosítható munkát is végezne.
Ugyanennek a tételnek létezik egy harmadik megfogalmazása is, aminek megértéséhez viszont be kell vezetni egy újabb fontos termodinamikai állapotjelzőt, az entrópiát. Ez a fizikában 5-sel jelölt állapotjelző az adott anyagi rendszer részecskéinek a rendezettségére, azaz a mozgásállapotra és az energiaeloszlásra jellemző, amely rendezettség egy-egy állapotváltozás alatt szintén változik. E könyvben csak az entrópiaváltozás definícióját adjuk meg, majd néhány kidolgozott példán keresztül megmutatjuk, hogyan jelzi a rendszer entrópianövekedése a hőfolyamatok lehetséges irányát.
170 ________ HŐTAN
[3
- í r
________________________________ HŐTAN_____________________________ -m
Iahol AQ jelenti a hőmérsékleten a rendszerbe bevitt hőmeny- nyiséget.
[p] Mennyi az entrópiaváltozása 1 kg tömegű, 0 °C hőmérsékletűjégnek, mialatt teljesen megolvad?
Az olvadás állandó hőmérsékleten történik, ezéií; a teljes entrópiaváltozás kiszámításához nincs szükség integrálszámításra.
Az adatok behelyettesítésével
US = 1223 J/K
Jegyezzük meg, hogy ez egy megfordítható, reverzibilis folyamat, amelyben az adott rendszer entrópiája elég jelentősen növekedett. Természetesen a környezetnek, ahonnan a hőt felvette, ugyanennyivel csökkent az entrópiája.
[E Mennyi az entrópiaváltozása egy adott gázmennyiségnek, ha adiabatikusan tágul?
A válasz zérus, hiszen az adiabatikus folyamatban nincs hőcsere a rendszer és környezete között (g = 0), azaz a rendszer entrópiája állandó marad.
[p] Keverjünk össze 1 kg tömegű, 0 °C hőmérsékletű és 1 kg tömegű, 100 °C hőmérsékletű vizet egy hőszigetelt tartályban! Számítsuk ki az entrópiaváltozást! Ne felejtsük el, hogy ez egy tipikus irreverzibilis folyamat: a keverék soha nem fog magától szétválni az eredeti összetevólíre!
Az entrópia változását külön-külön számoljuk ki a lehűlő és a felmelegedő vízre, majd előjelesen összegezzük:
A lehűlő víz entrópiaváltozása:323 323
A 5i= I c m id r = 4200 J373 373
172 HŐTAN
= 4200 ln(323 - 373) ^ = -604,5 ~K K
A felmelegedő víz entrópiaváltozása:323 323
Í c m id T = 4200 í ^ d T =273 273
= 4200 ln(373 - 323) ^ = 706,4^K K
A környezettől termikusán elszigetelt rendszer teljes entrópiája tehát növekedett:
A S - A5i + AS2 = 706,4 ^ - 604,5^ =
Az eredmény, az entrópia növekedése általános természeti törvény; a spontán, irreverzibilis folyamatok mindig a rendszer entrópiájának növekedésével járnak együtt. Ez a termodinamika második tételének harmadik megfogalmazása.
HJA termodinamikailag zárt rendszerek entrópiája az ideális, reverzibilis folyamatokban állandó marad, a valóságos, spontán folyamatokban viszont növekszik. Egy rendszer entrópiája az egyensúlyi állapotban lesz maximális. Ez az entrópiamaximum elve.
Végezetül megemlítjük még a termodinamika harmadik főtételét, amely azt a tapasztalati tényt rögzíti, hogy az abszolút zérus hőmérséklet, a nulla Kelvint véges sok lépésben egyetlen anyagi rendszer sem érheti el. Ugyanis az anyagok entrópiája0 K közelében nagyon kicsi, közelít a nullához, ezért a hőkapacitás is tart a nullához, ami azt jelenti, hogy egészen kicsi Q hő már végtelen nagy hőmérséklet-változást eredményezne.
IH] A termodinamika harmadik főtétele szerint az abs2olút zéruspont (0 K) nem érhető el (Nernst-tétel).
3. ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
3.1. AZ ELEKTROMOS MEZŐ
3.1.1. ALAPJELENSÉGEK1] Újságpapírral megdörzsölt plexirudat vi
gyünk cémaszálra függesztett kis bodzabél golyó közelébe! Azt tapasztaljuk, hogy a rúd vonzza, ha viszont a golyót hozzáérintjük, akkor eltaszítja. (3.1. ábra)
Ehhez hasonló jelenségeket már az ókorban is megfigyeltek (Thalész i. e. 600), pl. hogy a gyapjúval megdörzsölt borostyánkő magához vonz apró, könnyű tárgyakat. Az ókori görö
gök nevezték el ezt az állapotot elektromos állapotnak, a borostyánkő görög neve alapján.
13 Tűs tengelyre helyezzünk egy posztóval megdörzsölt műanyag csövet, és közelítsünk hozzá egy ugyanilyen, szintén posztóval dörzsölt csövet (3.2. ábra)! Azt tapasztaljuk, hogy taszítják egymást. Ha viszont egy újságpapírral megdörzsölt plexirudat közelítünk hozzá, akkor vonzást tapasztalunk.
3.1. ábra
Általánosan is igaz, hogy dörzsölés hatására kétféle elektromos állapot jöhet létre, és ez az állapot attól is függ, hogy mivel dörzsöljük az illető anyagot.
Im Az elektromos állapotban lévő test elektromosan töltött, illetve a testnek elektromos töltése van.
B Dörzsöljünk meg műanyag csövet posztódarabbal, és a tűs tengelyen levő, ugyancsak posztóval megdörzsölt műanyag csőhöz közelítsük először a műanyag csövet, majd a posztódarabot. (3.3. ábra). Első esetben taszítás, második esetben vonzás tapasztalható. Ez azt jelenti, hogy dörzsöléskor a két test másmás elektromos állapotba kerül. Dörzsölés hatására az addig semleges anyagdarabon elektromos töltés jelenik meg.
174________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN _________________
Hl Az azonos töltésű anyagok taszítják, az ellentétesek pedig vonzzák egymást. A bőrrel dörzsölt üvegrúd töltését pozitívnak, a posztóval dörzsölt ebonitrúdét negatívnak nevezzük. Dörzsöléskor csak szétválasztjuk a töltéseket.
IH] Töltés a semmiből nem keletkezik, nem is tűnhet el. Zárt rendszer töltése állandó.
Vezetők és szigetelőkE Próbáljunk egy kezünkben tartott fémrudat dörzsöléssel
feltölteni, azaz elektromos állapotba hozni! Ez csak akkor sikerül, ha a fémrudat egy műanyag vagy üvegnyélhez erősítjük, és így dörzsöljük. Ekkor a fémrúd az egész felületén töltött lesz, de ezt a töltést azonnal el is veszti, ha valamelyik pontjában
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 175
hozzáérünk az ujjunkkal. Ezzel szemben nem veszíti el töltését egy feltöltött plexirúd, ha egy ponton megérintjük.
Joggal feltételezhetjük, hogy a töltések a fémekben igen mozgékonyak, de pl. a plexirúdban már nem. Az elektromos állapotot a fémek nagyon jól tudják közvetíteni, azaz jó vezetők. A plexirúd pedig jól szigetel, azaz rossz vezető. Ennek megfelelően a vezetés és a szigetelés nem határolható el élesen egymástól. Az anyagok csak a vezetőképességük mértékében különböznek egymástól. Jó vezetőknek tekinthetők a fémek, az emberi test,
a grafit, a föld, az elektrolitok stb. Jó szigetelő, azaz rossz vezető pl. a plexi, az üveg, a porcelán, a desztillált víz stb.
Az eddigiek alapján egy igen egyszerű eszköz - szalmaszál elektroszkóp - készíthető az elektromos állapot kimutatására. Szigetelőlapra helyezett vékony fémrúd tetejéről lógassunk le két szalmaszálat, amelyek vízszintes tengely körül elfordulhatnak (3.4. ábra)! Ha töltést adunk a fémrúdnak, akkor a szalmaszálaknak is ugyanilyen töltésük lesz, így a taszítás miatt alul eltávolodnak egymástól, azaz szétágaznak.
[Hl Töltsürik fel egy szalmaszál elektroszkópot megdörzsölt plexirúddal, egy másik ugyanilyet pedig ebonitrúddal! Ha a két elektroszkópot szigetelőnyéllel ellátott fémrúddal összekötjük, a szétágazás pillanatszerűen megszűnik, jelezve, hogy a kétféle töltés közömbösíti egymást (3.5. ábra).
176 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
E Vegyünk két egyforma, szigetelőnyélre szerelt fémgolyót. Töltsük fel az egyiket, majd érintsük hozzá a másikat, ezután érintsük hozzá az egyiket egy elektroszkóphoz! Az elektrosz- kóp töltést jelez. Vezessük le az elektroszkóp töltését, majd érintsük hozzá a másik golyót. Észrevehetjük, hogy az elektroszkóp mutatója ugyanannyira tér ki, mint az előbb. Eszerint, ha két egyforma golyót összeérintünk, akkor a rajtuk lévő töltés megfeleződik.
Coulomb törvényeVizsgáljuk meg, hogy a töltött testek közötti erőhatás mitől
és hogyan függ!
E Méról^erendezésünk a 3.6. ábrán látható. Egy vékony torziós szálra erősítsünk egy szigetelőnyélre szerelt golyót! Egy ugyanilyen, szintén szigetelőnyélre szerelt golyónak adjunk töltést! Érintsük össze a két golyót! Ekkor az előzőek értelmében a két golyó töltése azonos lesz. Vigyük a másik golyót ismert távolságokra a torziós szálon lévőhöz képest, és figyeljük meg, hogy a torziós szálon elhelyezett tükörről visszaverődő fénysugár (fénymutató) mennyire mozdul el a skálán! A torziós szál tetején levő tárcsával mindig visszaállíthatjuk az eredeti helyzetet, és a tárcsáról leolvasható az elfordulás szöge is, amely arányos a két golyó közötti taszítóerővel. Eredményeinket elemez
ve azt látjuk, hogy a két pontszerű testen elhelyezkedő töltés között ható erő fordítottan arányos a közöttük mért távolság négyzetével. Hogyan tudnánk változtatni a töltéseket?
Vezessük el a töltést az egyik golyóról, majd érintsük őket ismét össze! Ekkor az előző töltés fele marad csak rajtuk. Ismételjük meg így is a mérést! Kellően pontos mérések alapján megállapíthatjuk, hogy két pontszerű töltés között fellépő erő arányos a két töltés szorzatával.
[t] Eredményeinket Coulomb törvénye fogalmazza meg, amely szerint két pontszerű és töltés között ható erő egyenesen arányos a két töltés szorzatával, és fordítottan arányos a közöttük lévő távolság négyzetével, azaz
___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________ 177
A törvény felállításához nem kellett a töltéseket mérőszámokkal jellemezni. A törvény most lehetőséget ad a töltés egységének definiálására. Gyakorlati szempontok miatt (SI- rendszer) azonban a töltés egységét a Coulomb törvénytől függetlenül választották meg. Ezt a töltésegységet coulombnak nevezzük, jele C. így a k arányossági tényező értéke közelítőleg:
fc = 9 ■ 10® N • mVC^
Eszerint 1 C a töltése annak a pontszerű testnek, amely egy másik, ugyanakkora töltésű pontszerű testet 1 méter távolságból 9 • 10 N erővel taszít. A valóságban ekkora töltést kis méretű testeknek nem adhatunk, csak annak töredékét.
Ha egy ponttöltésre egyszerre több erő hat, akkor a tapasztalat szerint érvényes a szuperpozíció elve, azaz a Coulomb törvény segítségével kiszámított erőTc vektori összege adja az adott ponttöltésre ható eredő erőt. Vigyázni kell azonban arra, hogy az új töltés megjelenése egy kiterjedt vezetőn megváltoztathatja a töltéseloszlást.
178 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
3.1.2. AZ ELEKTROMOS TÉR ÉS A TÉRERŐSSÉG
E Adjunk töltést egy kiterjedt testnek, pl. egy van de Graaf szalaggenerátornak! Vékony selyemszálra függesztett bodzabél golyóval jáijuk körül a feltöltött testet! Azt tapasztaljuk, hogy mindenhol „beáll” valamilyen irányba a selyemszál, amely jelzi az erő irányát is (3.7. ábra). Egy érzékeny erőmérővel az erő nagyságát is meg tudnánk mérni. A töltött testek környezetének ez a sajátossága azt jelenti, hogy az elektromosan töltött testeket elektromos erőtér (mező) veszi körül, és ez hat az oda helyezett próbatöltésre. Mérések szerint az elektromos tér egy adott helyén az oda helyezett próbatöltésre ható erő és a próbatöltés hányadosa független a próbatöltés nagyságától, így csak az elektronios tér adott helyére jellemző. Ez a jellemző az elektromos térerősség:
A térerősség vektormennyiség, iránya a pozitív próbatöltésre ható erő irányával egyezik meg, egysége ^
Az elektromos térerősségre is érvényes a szuperpozíció elve:
H] Ha egy pontban egyszerre több töltés erőtere is jelen van, akkor az eredő térerősség az egyes térerősségek vektori ösz- szege.
c
L3.7. ábra
Igen egyszerűen számíthatjuk ki e definíció alapján egy ponttöltés elektromos terének térerősségét. Legyen az erőteret keltő töltés ö , a próbatöltés pedig q. Ekkor a közöttük ható erő nagysága a Coulomb törvény szerint:
kQq
A térerősséget ebből úgy kapjuk, hogy az erőt osztjuk a próbatöltéssel;
q
A térerősség mindenütt sugárirányú, előjelét a töltés előjele határozza meg.
Az elektromos tér szemléltetése erővonalakkal[Dl Az erővonalak olyan elképzelt görbék, amelyek a pozitív töltésből indulnak, a negatív töltésen végződnek, és az erővonal érintője minden pontban a térerősségvektor. Minden ponton csak egy erővonal halad át.
Nyilvánvaló, hogy két erővonal nem metszheti egymást, hiszen akkor azon a helyen nem lenne egyértelmű a térerősségvektor iránya. Ha minden erővonalat megrajzolnánk, akkor semmiféle szemléltetés sem adódna, hiszen csak egyenletesen „befestenénk” a teret. Próbáljuk ritkítani az erővonalakat úgy, hogy számuk legyen arányos a térerősséggel!
Állapodjunk meg abban, hogy egy négyzetméteres felületen át egy erővonalat húzunk, ha a térerősség a felület minden pontjában egységnjd és a felületre merőleges. Ha a térerősség nem egységnyi, hanem E nagyságú, akkor E erővonalat rajzolunk. Ha a felület nem egységnyi, hanem A, akkor a felületet metsző erővonalak száma
___________ _______ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________ 179
■ = EA
_ i mennviséa az (Nm^/C.
j [U Ez a mennyiség az elektromos fluxus, jele; 'íf, egysége
180 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
Az elektromos fluxus természetesen nem csak homogén térben értelmezhető. Inhomogén térben tetszőleges felület esetén az eljárás a következő. Bontsuk fel a felületet olyan kicsiny A A felületdarabokra, amelyeken a térerősség már homogénnek tekinthető (3.8. ábra). Az itt mérhető E térerősség felületre merőleges komponense legyen Az elektromos fluxus úgy számítható ki, hogy összegezzük a teljes felületre az E^/^A szorzatokat;
Nézzük meg, hogy mekkora a fluxus egy pontszerű Q töltést körülvevő, vele koncentrikus zárt gömbfelületre!
Mivel a térerősség a gömbfelület minden pontjában ugyanolyan nagyságú és a felületre merőleges irányú, a fluxust úgy számítjuk ki, hogy a térerősséget megszorozzuk a gömb felületével:
= AirkQ,
vagyis független a gömb sugarától. Eredményünk a következőképpen általánosítható.
[T] Zárt felületre az elektromos fluxus egyenlő a bezárt össz- töltés 4A:7r-szeresével.
^ = AkivQ
Ez a Gauss-tétel avagy Maxwell első törvénye.
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 181
Ennek segítségével egyszerűen számolható egy Q töltésű, nagy kiterjedésű fémlemez elektromos terének térerőssége. Legyen a fémlemez területe A, és vigyünk fel rá Q töltést (3.9. ábra). Ekkor a felületi töltéssűrűség:
<7 = ^ , hiszen a töltés a fémlemez két oldalán oszlik el. Szemeljünk ki egy A i területű darabot, és gondolatban építsünk rá mindkét irányban egy-egy d magasságú hasábot. Alkalmazzuk a Gauss-tételt erre a zárt felületre! Szimmetriaokokból a térerősség merőleges a felületre, így fluxus csak a két fedőlapon van:
A bezárt össztöltés:
Qi = 2Ai R2A
így a következő egyenlet írható fel:
2FAi = ikTvQi = 4fc7r2Ai
Egyenletünket 2^i-gyel egyszerűsítve
R .2A
adódik a nagy kiterjedésű Q töltésű fémlemez terének térerősségének.
182 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
Munkavégzés elektromos térben, a feszültségAz elektromos tér F = QE erőt fejt ki a benne lévő Q töltésű
próbatestre, ezért a próbatest mozgatásakor általában munkát végzünk. Az egyszerűség kedvéért foglalkozzunk először azzal a munkával, amelyet akkor végzünk, amikor egy Q töltést a 3.10. ábra szerinti A pontból a B pontba viszünk. A töltésre ható erő és az elmozdulás ekkor azonos iránjoi, ezért a tér munkája:
W ab E Q s
Mozgassuk most a töltést az AC útvonalon! A végzett munka ekkor:
Wac = Fd cos a — EQd cos a.
Vegyük észre, hogy d cos a = s, azaz W ab = W ac-Mekkora munkát végeztünk a CB útvonalon?Mivel a CB >elmozdulásvektor merőleges az E térerősségvek
torra, ezért WcB = 0.Tehát Wacb = WabEredményünket általánosítva kimondhatjuk, hogy ha a nyug
vó töltések által keltett elektromos térben egy rögzített A pontból egy B pontba viszünk Q töltést, akkor a végzett munka független az A-ból a B-be vezető útvonaltól, és csak az A és B pont helyétől függ, azaz
W ab
Q= állandó.
Ezt az állandót az A, B pontra vonatkozó feszültségnek nevezzük, és C/AB-vel jelöljük:
Ua b = - ö ~
A feszültség egysége a volt, jele V. Az elektromos tér két pontja között 1 V a feszültség, ha 1 C töltést 1 J munkával vihetünk át egyik pontból a másikba.
Homogén térben a térerősséggel megegyező irányú elmozdulás esetén;
jr ^A B Q E s
Az elmondottakból következik, ha visszavisszük a töltést a B pontból az A pontba, akkor
Wba = -W abamiből
U b a = - U a b
H] Zárt görbe mentén a Q töltésen végzett összes munka zérus, azaz zárt hurokra a körfeszültség liulla.Ez az elektrosztatika II. alaptörvénye, avagy Maxwell II. törvénye.
PotenciáiAz elektromos térben egy Q töltésen akkor végzünk munkát,
ha van térerősség irányú elmozdulás. Ha az elmozdulás mindig merőleges a térerősségre, akkor munkavégzés nincs. így az ilyen felületen elhelyezkedő pontok közötti feszültség nulla. Ha a tér homogén, akkor ezek a felületek egymással párhuzamos síkok, amelyek a térerősségvektorra merőlegesek (3.11. ábra).
Ponttöltés esetén ezek a felületek koncentrikus gömbök, hiszen az elektromos tér gömbszimmetrikus, a térerősségvektor sugárirányú (3.12. ábra).
Ezek a felületek úgy is jellemezhetők, hogy egy általunk kiválasztott nullaszinthez képest megadjuk azt a munkát, amelyet
___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________
184 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
3.11. ábra 3.12. ábra
végeznünk kell a tér ellenében ahhoz, hogy a töltést a kérdéses felületre juttassuk. Ekkor azt mondjuk, hogy Q töltés helyzeti energiája egy adott szinten W, így a W/Q hányados erre a szintre jellemző érték, neve potenciál, jele: U:
Az ilyen szintfelületeken a potenciál állandó, ezért ezeket ekvipotenciális felületnek nevezzük. A nullaszintet vagy nullpo- tenciált általában a végtelen távoli pontban választjuk. Itt nem részletezett számítások szerint a ponttöltés által keltett elektromos tér potenciálja a töltésrtől r távolságra:
U =kQ
A potenciál definíciójából következően két pont közötti feszültség a két pont potenciáljának különbsége, azaz
Uab = Ua - U b
3.1.3. KAPACITÁS, KONDENZÁTOROKHa egy fémtestre töltést viszünk, akkor a test potenciálja a
rávitt töltéssel arányosan nő, feltéve, hogy a fémtest környezete közben nem változik.
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 185
A magányos vezetőre jellemző a rávitt töltés és a létrejött potenciál hányadosa, neve töltésbefogadó képesség vagy kapacitás,
Q
A nagy kapacitás azt jelenti, hogy a testre sok töltés vihető fel úgy, hogy a potenciálja kicsi marad. A kapacitás egysége a farad, jele F.
Egy r sugarú vezetogömb kapacitását könnyen meghatároz-
„ _ 0 _ Q _ r U kQ k
Ezek szerint egy 1 F kapacitású vezetőgömb sugara:
r = A;C = (9 -10® NmVC^) • IC/V = 9 -10® m = 9 ■ 10® km
amely a Föld sugarának kb. 1400-szorosa. Az 1 F egység tehát igen nagy kapacitást jelent, a gyakorlatban ennek csak tört részei fordulnak elő. Érdekességként jegyezzük meg, hogy a Föld közel félmillió coulomb eredő negatív töltéssel rendelkezik.
[k] Szigetelőállványon lévő fémlapot kapcsoljunk elektro- szkóphoz, majd adjunk neki Q töltést! Közelítsünk hozzá földelt fémlapot. A megosztás miatt a földelt fémlapon - Q töltés jelenik meg. így az elektromos tér a két lemez közé szorul, oda „sűrűsödik”. Az így kapott elrendezést síkkondenzátornak, és általában a + Q -Q töltésű két fémtestből álló rendszert síkkondenzátornak nevezzük (3.13. ábra).
+ Q
3.13. ábra
186 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
3.14. ábra
Vizsgáljuk meg, mitől és hogyan függ a síkkondenzátor kapacitása (3.14. ábra).
A síkkondenzátor lényegében két azonos kiterjedésű párhuzamos fémlemez, amelyeket + Q, illetve - Q töltéssel látunk el. A két lemez három tartományra bontja a teret. Az egyes lemezektől származó térerősségek a két szélső tartományban ellentétes irányúak, ezért ott az összegük nulla, a középső tartományban pedig azonos irányúak, így az összegük;
E = 22knQ ákTvQ
Ha a lemezek távolsága d, akkor a feszültség:
így a kapacitás AAnkd
A síkkondenzátor kapacitása tehát egyenesen arányos a felülettel és fordítottan arányos a lemezek távolságával.
Kondenzátorok kapcsolásaSoros kapcsolás
Kapcsoljunk össze két kondenzátort úgy, hogy fémesen összekötjük egy-egy lemezüket (más néven fegyverzetüket)! Az így kapott közös pont a 3.15. ábrán a B pont. Ha+Ö töltést adunk
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 187
3.15. ábra
az A felőli lemeznek, és a C pontot leföldeljük, akkor a két kondenzátor a megosztás révén azonos töltésre töltődik. A feszültség A és C között a két kondenzátor feszültségének összege, azaz
U ^ U ac = Uab + Ub c -
A kondenzátorrendszer Q töltést tárol. A rendszer helyettesíthető olyan C kapacitású kondenzátorral, amelyen Q töltés szintén U feszültséget hoz létre. Felhasználva, hogy U = Q/C, a feszültségre az alábbi összefüggés írható fel:
Q _ Q . Q C ~ Cl C2
A kifejezést <2-val egyszerűsítve megkapjuk a soros kapcsolású kondenzátorok eredő kapacitására vonatkozó összefüggést:
1 1 1C Cl C2
Az így nyert összefüggés általánosítható: tetszőleges, sorosan kapcsolt kondenzátorok esetén az eredő kapacitás reciproka az egyes kapacitások reciprokainak összege.
Párhuzamos kapcsolásKapcsoljunk össze most két kondenzátort úgy, hogy fegyver
zeteiket páronként összekötjük. (3.16. ábra) és vigyünk a rendszerre Q töltést! A helyettesítő kondenzátor C kapacitása a következőképpen határozható meg. A kondenzátorok feszültsége azonos kell hogy legyen, úgy, hogy a helyettesítő kondenzátor
188 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
töltése egyenlő a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorokon tárolt töltések összegével:
azazQ — Qi + Q2
CU ^CiU + C2U.A közös feszültséggel osztva, a párhuzamosan
kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitását kapjuk;
C = Cl + C2 .
3.16. ábra
Ez az összefüggés is általánosítható: a- párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok kapacitásai összeadódnak.
A kondenzátor energiájaGondolatban töltsünk fel egy kondenzátort úgy, hogy az
egyik lemezről fokozatosan elveszünk AQ töltést, és azt visszük át a már kialakult elektrosztatikus tér ellenében a másik lemezre. Legyen egy adott pillanatban a lemezek közötti feszültség U'. Ekkor a AQ töltés átviteléhez szükséges munka:
A W - U'AQ
Ábrázoljuk az U' - Q függvényt! Láthatjuk, hogy az elemi munka éppen a megjelölt sáv területe (3.17. ábra), így az U feszültség eléréséig az összes munka:
W ^ - U Q .
A képlet a kondenzátor kapacitásának felhasználásával átírható:
2 2 ákánFejezzük ki a feszültséget a térerősséggel:
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 189
3.17. ábra
2 í -kUEgyszerűsítsünk d-vel, és osszuk mindkét oldalt Aá-vel, ami
nem más, mint a kondenzátor térfogata;
W 1Ad 2 4:irk
Eredményünk úgy értelmezhető, hogy a kondenzátor feltöltéséhez befektetett munka az elektrosztatikus tér energiájaként tárolódik. A w = ^ mennyiség az egységnyi térfogatban található energiát, azaz az elektrosztatikus tér energiasürűségét adja meg.
A kapott kifejezés általánosan érvényes. Tetszőleges elektromos tér energiasűrűsége az E térerősségű helyen:
1w = -2 4Tvk
Az ^ = £o azaz a vákuum dielektromos állandója behelyet. tesítésével w = mértékegysége: J/m •
Kondenzátor szigetelőkkel[Hl Töltsünk fel egy kondenzátort Q töltéssel, majd tegyünk
lemezei közé egy üveg- vagy plexilapot! Azt tapasztaljuk, hogy a feszültség csökken. Ha az üveg- vagy plexilapot eltávolítjuk, akkor a feszültség az eredeti értékre áll vissza, azaz a kondenzá
190 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
tor töltése nem változott meg. A jelenséget azzal magyarázhatjuk, hogy a szigetelőanyag behelyezésével megváltozik a kondenzátor kapacitása. Mivel a feszültség változatlan töltés mellett csökkent, a kapacitás megnőtt. Megállapodás szerint az
ca
hányados értékét, ami csak a behelyezett szigetelőanyagra jellemző, az anyag relatív permittivitásának nevezünk. Számértéke megmutatja, hogy hányszorosára nő a kondenzátor kapacitása az üres kondenzátoréhoz képest.
A jelenség magyarázata a következő. A szigetelőanyag molekulái vagy poláros vagy nempoláros (más néven apoláros) molekulákból állnak. Az első esetet tekintve külső elektromos tér hiányában az apró kis dipólusok teljesen rendszertelenül helyezkednek el (3.18. ábra). Ha külső elektromos teret kapcsolunk rá, akkor a dipólusok láncokká alakulnak, és a két határfelületen ún. polarizációs töltések ielennek meg. Ezeken a polarizációs töltéseken végződik a fémlemezből kiinduló erővonalak egy része. így a szigetelő belsejében a térerősség lecsökken, ami viszont a feszültség csökkenésében, azaz a kapacitás növekedésében nyilvánul meg. 3. I8. ábra
Apoláros molekulájú szigetelőanyagok esetén a külső tér hatására először töltésszétválasztás jön létre, azaz először polarizálódnak a molekulák, és azután alakulnak ki az előlsb említett dipólusláncok.
3.1.4. AZ ELEKTROMOS ÁRAM FOGALMA, AZ ÁRAMERŐSSÉG
B Állítsunk egymással szembe, függőleges helyzetbe egy semleges és egy elektromosan feltöltött fémlemezt! Függesz- szünk közéjük cérnaszálon egy kisméretű fémtárgyat vagy grafit-
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 191
3.19. ábra
porral bevont pingponglabdát a 3.19. ábra szerint. Azt tapasztaljuk, hogy a labda lengésbe jön, és a két lemez érintése során töltéseket „szállít át” a nagyobb potenciálú lemezről a nulla potenciálú lemezre. A töltésszállítás mindaddig tart, amíg a két lemez között elegendően nagy a potenciálkülönbség. Az ilyen töltésáramlást kon- vekciós áramnak nevezzük, ami azt jelenti, hogy a töltések mozgása anyagárammal jár együtt.
[k] a feltöltött és a semleges B elektroszkópokat a 3.20. ábrán látható módon kössük össze farúddal! A potenciálkülönbség kiegyenlítődése most szinte szemmel is követhető, hiszen a rossz vezetőben lassú a töltések áramlása. A kísérletek alapján arra következtethetünk, hogy két pont között tartósan észlelhetünk töltésáramlást, azaz elektromos áramot, ha a pontok között tartósan potenciálkülönbséget biztosítunk.
[d] Az elektromos töltések adott helyen való áthaladása az elektromos áram. Az áram intenzitását az áramerősség jellemzi, amely megmutatja, hogy mennyi töltés halad át az adott helyen egységnjd idő alatt. Jele I, nagysága:
192 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
AQ
I
A t ’ahol AQ jelenti a vezető teljes keresztmetszetén A t idő alatt átáramló töltés mennyiségét.
[U Az elektromos áramerősség egysége az amper, jele: A. Az 1 A erősségű áram esetén a vezető minden keresztmetszetén 1 s alatt 1 C töltés halad át.
[D Egyenáram (stacionárius áram) esetén az / = A Q /A t hányados állandó értéket ad, függetlenül a A t nagyságától.
Abban az esetben, ha ez a hányados nem állandó, akkor értéke az adott időtartamra vonatkozó átlagos áramerősséget adja meg. Az áram iránya megállapodás szerint a pozitív töltések mozgási iránya. Ez az önkényes megállapodás azt jelenti, hogy az áram iránya a fémekben ellentétes irányú az elektronok tényleges mozgási irányával.
3.1.5. A VEZETŐK ELLENÁLLÁSA, OHM TÖRVÉNYE
[k] Vizsgáljuk meg, hogy egy hosszú fémes vezetőn hogyan függ az áram erőssége a két végpont közötti feszültségtől! Mérési eredményeink egyenes arányosságot mutatnak:
y = állandó.
Az állandó értéke független a fogyasztóra kapcsolt feszültségtől vagy a rajta átfolyó áramtól, így kizárólag az adott fogyasztóra jellemző. Neve elektromos ellenállás, jele: R.
Az ellenállás egysége az ohm. Jele: ü. Egy vezeték ellenállása akkor 1 Í7, ha 1 V feszültség hatására 1 A erősségű áram halad benne.
Állandó Uo feszültségű telep esetén az áramkörben bárhol ugyanakkora az áramerősség. Ez azt jelenti, hogy a töltések
mozgása a vezetőben egyenletes, pedig az állandó feszültség miatt kialakuló homogén elektromos tér gyorsítja a töltéseket. Fel kell tételeznünk tehát egy belső fékező erőt, amelynek hatására a töltések mozgása a fémben a súrlódásos áramláshoz hasonlóan megy végbe. Ez a belső, anyagszerkezeti jelenségekre visszavezethető hatás jellemezhető a vezető ellenállásával.
Fémes vezetők ellenállása, fajlagos ellenállásE Méljük meg különböző hosszúságú, keresztmetszetű, ill.
anyagi minőségű fémhuzalok ellenállását! Állandó feszültség esetén a következő arányosság állapítható meg:
ahol A a huzal keresztmetszete, l a hossza. Ezt felhasználva, a huzal ellenállására a következő összefüggés írható fel:
ahol g az anyagi minőségtől függő arányossági tényező, a fajlagos elektromos ellenállás, egysége Om.
Az ellenállás hőmérsékletfüggéseE Csavarszerűen föltekert huzalt kössünk be az áramkörbe!
Válasszuk meg úgy az áramkör adatait, hogy az izzó éppen csak világítson, majd melegítsük a huzalt izzásig! Az áramerősség a melegítés közben csökken, végül az izzó már nem is világít. Tehát a fémes vezetők ellenállása növekszik, ha növeljük a hőmérsékletet.
E Kísérletünkben a fémspirált cseréljük ki grafitrúdra! Most válasszunk olyan feszültséget, hogy az izzó még éppen ne világítson! A grafitrúd melegítésekor az izzó világítani kezd, azaz a grafit ellenállása melegítéskor csökken.
___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________ 193
A kísérletek magyarázata nagy vonalakban a következő: a fémes vezetőkben állandó hőmérsékleten és állandó feszültség esetén az ún. vezetési elektronok állandó átlagos sebességgel szállítják az elektromos töltést. A hőmérséklet növekedésével az elektronok egyre gyakrabban ütköznek a hőmozgást végző ionokba, emiatt átlagos sebességük lecsökken, így a fém ellenállása megnő.
Az elektronok átlagos sebessége (amellyel a vezetésben részt vesznek) lényegesen növelhető - azaz lényegesen csökkenthető az ellenállás -, ha a fémrács ionjainak hőmozgása lecsökken. 0 K-hez közeli hőmérsékleten, minden idegen szennyező atomtól mentes, tiszta fémes vezető ellenállása nullához tart (szupravezetés). Grafit esetén viszont kevés elektron vesz részt a vezetésben alacsony hőmérsékleten. A hőmérséklet emelésével jelentősen megnő a vezetésben résztvevő elektronok száma, vagyis ilyenkor a hőmozgás „delokalizálja” a grafit kristályrácsának elektronjait, ami oda vezet, hogy az áram megnő, tehát az elektromos ellenállás csökken.
194________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________
IEllenállások soros kapcsolása
[H Egy áramkörben az ellenállások kapcsolása két pont között soros, ha a két pont között nincs semmiféle elágazás.
[H Egy sorosan kapcsolt ellenállásokat tartalmazó áramkör eredő ellenállásán azt az ellenállást értjük, amelyet ugyanarra az Uo feszültségű telepre kapcsolva, ugyanaz az I áramerősség jön létre.
Egyenáram esetén a sorba kapcsolt ellenállásokon ugyanjíz az áram folyik át (3.21. ábra). Az egyes ellenállásokra jutó feszültségek összege a telep feszültségével egyenlő, azaz
U a b + U b c + U c D — U
Alkalmazzuk az utóbbi egyenletre Ohm törvényét, azaz fejezzük ki az áramerősséggel és a megfelelő ellenállással a feszültségeket:
R il + R2I + R3I = ReI
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 195
/?1 /?2 R j
3.21. ábra
Osztva az áramerősséggel, megkapjuk az eredő ellenállásra vonatkozó összefüggést:
Re = R i + R2 + R í -
Az előbbi feszíiltségekre vonatkozó egyenlet alapján láthatjuk tehát, hogy soros kapcsolás esetén az egyes ellenállásokra jutó feszültségek az ellenállások arányában oszlanak meg.
Ellenállások párhuzamos kapcsolása
I [d] Párhuzamos az ellenállások kapcsolása, ha a csatlakozási pontok egy-egy oldalon azonos potenciálon vannak.
H] Kírchoff I. törvénye, a csomóponti törvény:Egy hálózat minden elágazási pontjára (csomópontjára) igaz, hogy a beérkező és a kifolyó áramok előjeles összege zérus
T.Ik = 0
A csomóponti törvény a töltésmegmaradás tételének következménye.
1] Kapcsoljunk párhuzamosan három ellenállást a 3.22. ábrán látható módon! Alkalmazzuk az adott áramkörre KirchoffI. törvényét, a csomóponti törvén)^.
I = I \ ^ I2 + h-
196 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
hC I h/?1
R2
R3
3.22. ábra
Az áramerősségekre kapott egyenletet alakítsuk át az Ohmtörvény felhasználásával, így meghatározhatjuk az eredő ellenállás értékét:
r r r r U U U U
tehátJ _ _ J_ J_Re R l i ?2 ^3
Ez azt mutatja, hogy párhuzamos kapcsolás esetén az egyes ellenállásokon folyó áramok az ellenállások értékével fordítottan arányosak.
3.1.6. FESZÜLTSÉGFORRÁS, RÖVIDZÁRÁSI ÁRAM
[Hl Kapcsoljunk a 3.23. ábra szerint változtatható ellenállást az áramkörbe! Az ideális feszültségmérő belső ellenállása nagyon nagy. így, ha a műszert ellenállás nélkül, a K kapcsoló nyitott helyzetében közvetlenül a telepre kapcsoljuk, akkor nagyon kicsi áram folyik az áramkörben. Ebben az esetben a telep
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 197
terheletlen, a mérhető feszültség csak a feszültségforrásra jellemző.
I [U A feszültségforrás feszültsége a forrásfeszültség vagy elektromotoros erő Jele: Uq,
IS Csökkentsük a telepre kapcsolt ellenállás értékét, azaz a csúszka mozgatásával növeljük a telep terhelését! Azt tapasztaljuk, hogy az áramerősség növekedésével az ellenálláson mért feszültség kisebb lesz, mint a telepre jellemző Uq!
A jelenség oka, hogy a telep és a rákapcsolt ellenállás által kialakított áramkörban az áram a telepen is átfolyik. A töltések mozgásával szemben azonban a telepnek is van ellenállása, amelyet belső ellenállásnak nevezünk. A külső ellenállás a Rb belső ellenállással együtt határozza meg az áramkörben kialakuló áram erősségét:
Uq — I{Rb + Rk) — IRb + IRk
Ez a kifejezés az Ohm-törvény teljes áramkörre vonatkozó alakja, amelyben R^ az összes külső ellenállás eredőjét jelenti.
Eredményünk alapján Kirchoff II. törvénye, a huroktörvény is megadható általános alakban.
B Egy hálózat bármely zárt hurkot alkotó részében az ellenállásokra jutó feszültségek összege egyenlő a körben levő elektromotoros erólc összegével:
E L R j = SC/o
198________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________
ahol Rj a telepek belső ellenállását is tartalmazza.Egészítsük ki a törvényt Kirchhoff I. törvényével! Egy háló
zat bármely csomópontjába „befutó” áramok előjeles összege nulla, azaz:
= 0
Az eddigiekből kitűnik, hogy az R^ fogyasztóra csak IR^ = Uk feszültség jut, amelynek a neve kapocsfeszültség. A kapocsfeszültség a terheléstől függően jóval kisebb is lehet a forrásfeszültségnél, ugyanis:
Eredményünkből az is látszik, hogy a telepből Rk esetén vehető ki maximális áram. Ez az ún. rövidzárási áram:
I
Ekkor azonban a kapocsfeszültség nulla.
3.1.7. ELEKTROMOS MUNKA ÉS A TELJESÍTMÉNY
E Kapcsoljunk sorba a 3.24. ábra szerint különböző anyagokból készült huzalokat! Az áram hatására a különböző anyagi minőségű vezetők különböző mértékben melegszenek. Azonos keresztmetszetű és hosszúságú huzalok esetén a legnagyobb fajlagos ellenállású drót melegszik a legjobban. Az elektromos áram hőt termel, amelynek nagysága a fogyasztó adataitól is függ. Ez a Joule-féle hő. írjuk fel a munkavégzést, amelyet az
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 199
3.24. ábra
elektromos tér végez az áramkör A és B pontjai között, miközben összesen Q töltés halad át t idő alatt:
W = [/abQ
Ez a kifejezés az Ohm-törvény segítségével átalakítható:
W = UABlt = U l B ^ = I^Rt
Az elektromos munkára kapott kifejezésből definiálható az R ellenállású fogyasztó által felvett teljesítmény:
P = — = U I ^ f R = ^ t RA z elektromos hálózatokra jellemző adat a munkavégzés
hasznosságára vonatkozó hatásfok:
7/ = — ; ahol'Ó
Pr a fogyasztó által felvett teljesítmény:
Pr = I^R = R ’Pö a feszültségforrás által leadott összes teljesítmény:
C/2Pö = I^Re =
R e
Vizsgáljunk meg egy nem ideális telepből kivehető teljesítményt a külső ellenállás függvényében!
Tudjuk, hogy a telep kapocsfeszültsége:
200 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
5.25. ábra
UkRrUo
R b + R k
A kivehető teljesítmény:
P u l RkUlRk {Rb + Rkf
Kimutatható, hogy a függvénynek (3.25. ábra) ott van maximuma, ahol Rb = Rk. Azt mondhatjuk, hogy akkor vehetünk ki egy telepből maximális teljesítményt, ha a külső és belső ellenállás megegyezik, vagyis „illesztve” vannak. Minden más (kisebb) teljesítményértékhez két Rk tartozik. Érdekes, hogy bármely összetartozó Rk értékpár mértani közepe az Rb ellenállást adja meg; R\ = RuRb
3.2. A MÁGNESES MEZŐ3.2.1. AMÁGNESSÉG
Alapjelenségek[Hl Fonálra felfüggesztett mágnesrudat egy másik mágnesrúd
aszerint vojiz vagy taszít, hogy melyik végével közelítünk hozzá. Ha ezt a rudat feldaraboljuk, minden darabjának megmarad a két pólusa, tehát mágneses monopólus nem létezik (3.26. ábra).
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 201
Y/ / / / / / Z
E D3.26. ábra
D E
E Közelítsünk oszcilloszkóp képernyőjéhez rúdmágnest! Megfigyelhetjük, hogyan torzul a kép. A mozgó elektronokra a rúdmágnes erőt fejt ki.
IS Feszítsünk ki egy vezetéket egy iránytű fölött, az iránytűvel megegyező irányban (3.27. ábra)! Ha a vezeték két végére feszültséget kapcsolunk, az iránytű kitér a drótra merőleges irányba (Oersted-kísérlet).
E Feszítsünk ki egymással párhuzamosan két drótot! Ha a két drótban áram folyik, aszerint vonzzák vagy taszítják egymást, hogy az áram iránya a két drótban azonos vagy ellentétes (3.28. ábra).
[k] Tengely körül forogni tudó körvezetőre kapcsoljunk feszültséget, majd vigyük egy mágnesrúd közelébe! A körvezető úgy viselkedik, mint egy iránytű, amely merőleges a körvezető síkjára. Az irányt az ún. jobbkéz-szabállyal határozhatjuk meg; jobb kezünk ujjait az áram irányában begörbítve, az északi irányt kinyújtott hüvelykujjunk jelzi (3.29. ábra).
n '
3.28. ábra 3.29. ábra
202 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
Kísérleteinkből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy akár permanens mágnest, akár áramjárta vezetőt használunk, mágneses mező alakul ki körülöttük, amely közvetíti az erőhatást a mágnesek, illetve az áramjárta vezetők között. Ez a mező akkor is jelen van, ha nincs ott másik mágnes vagy áramjárta vezeték. A mágneses térre jellemző mennyiséget - amit történeti okokból mágneses indukciónak nevezünk - kicsit bonyolultabb módon mérhetjük ki, mint a sztatikus elektromos tér esetén, hiszen nincs mágneses egypólus, így egyszerű erőméréssel nem érhetünk el eredményt. A felsorolt kísérletek bármeljdke alapján dolgozhatunk, a legelterjedtebb azonban a következő eljárás.
A mágneses indukció mérése magnetométerrelA mágneses indukció méréséhez az úgynevezett torziós mér
leg használható (3.30. ábra). Két nagy átmérőjű sorba kapcsolt tekerccsel homogén mágneses mezőt hozunk létre a nagy tekercsek belsejében. A gerjesztő áram erősségét egy tolóellenállás segítségével állítjuk be. Mivel mágneses monopólus nincs, ezért nem erőt mérünk, hanem a torziós szálra helyezett lapos tekercsre ható maximális forgatónyoraatékot. A lapos tekercset úgy helyezzük el, hogy síkja párhuzamos legyen a mágneses tér irányával, ugyanis így kapjuk a maximális forgatónyomatékot. A torziós szálra erősített tükörről a ráeső fénynyaláb visszave-
rődik, és a visszavert fény egy skálára esik. A fénj^olt elmozdulása arányos a torziós szál szögelfordulásával, az pedig a forga- tónyomatékkal.
Legyen a tükör és a skála távolsága s. Ekkor, ha a tükör szög- elfordulása a, akkor a fénymutató szögelfordulása 2a, így a fényfolt elmozdulása 2as, így ha s elég nagy, bármilyen kicsiny a szögelfordulás is kimutatható.
Változtassuk a lapos tekercs áramát, és mérjük a fényfolt elmozdulását! Méréseink szerint a fényfolt elmozdulása arányos a lapos tekercs áramával, azaz a mágneses tér egy adott helyén az odahelyezett lapos tekercsre ható maximális forgatónyomaték arányos a tekercs áramával. Ugyanilyen arányosság mutathatók! a forgatónyomaték és a lapos tekercs területe között. Ennek megfelelően a mérőkeretre ható M maximális forgatónyomaték arányos a mérőkeret áramának és felületének szorzatával. így a B mágneses indukcióvektor nagysága:
___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________203
B = MjnaxAfnlm.
Eredményünk másképpen is értelmezhető. Kísérleteink tanulsága szerint a mágneses tér nem fejt ki erőt a vele párhuzamos áramjárta vezetőre. Ezek szerint a lapos tekercsben folyó áramnak csak a lapos tekercs függőleges darabjában folyó részére hat erő, a vízszintes részre nem. Legyen a függőleges rész hossza l, a vízszintes rész hossza pedig d. Ekkor a forgatónyomaték:
Mmax = Fá (erőpár)
a méróTceret területe pedig:
Ennek felhasználásával
Idlaz egyszerűsítés és rendezés után
204 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
F = B//
adódik.Általánosítva ezt a formulát, az erőhatás nagysága csak a B-
re merőleges vezetékdarab hosszának függvénye, iránya pedig /-re és B-re merőleges, velük jobbrendszert alkot. Ez azt jelenti, hogy jobb kezünk hüvelykujját I irányába, mutatóujját B irányába tartva a középső ujj irányában hat az erő (3.31. ábra).
F = BIl sin a,
ahol a a vezető és a B indukcióvonalak által bezárt szög.Kísérletben már láttuk (oszcilloszkóp), hogy a mágneses tér
ben mozgó töltésre erő hat. Vizsgáljuk meg a mozgó töltésre ható erőt az előző eredmény figyelembevételével! Mozogjanak töltött részecskék a mágneses tér indukciójára merőlegesen v sebességgel. Legyen egy részecske töltése Q, az általa t idő alatt megtett út
l — vt
Ez egy olyan áramjárta vezetőnek felel meg, amelynek hosz- sza /, és benne
/ = ot
áram folyik. Helyettesítsük ezt be az imént kapott formulába. Az egyszerűsítések elvégzése után
F = QvB sin a
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 205
adódik, ahol a a B indukcióvonalaknak a sebességvektorral bezárt szöge. A mágneses térben v sebességgel mozgó Q töltésű részecskére ható erő eszerint merőleges v-re és B-rc, velük jobbrendszert alkot. Ez a mágneses LORENTZ-erő. Fontos megjegyezni, hogy a Lorentz-erő - merőleges lévén a sebességre - csak a sebesség irányát változtathatja meg, a nagyságát nem.
Mágneses indukcióvonalakE Helyezzünk patkómágnesre és mágnesrúdra üveglapot,
majd szóljuk meg vasreszelékkel! A vasreszelék szemcséinek rendeződéséből következtethetünk a tér szerkezetére (3.32. ábra).
//
:e
\
yv\! I/ /
3.32. ábra
E Az előző módszer felhasználásával vizsgáljuk meg az egyenes vezető, ill. a szolenoid mágneses terét (3.33. ábra)!
Igen lényeges különbség az elektrosztatikus térhez képest, hogy az indukcióvonalaknak nincs kezdetük és végük, hanem önmagukban záródnak. Az indukcióvektor az indukcióvonal bármely pontjában érintő irányú. Célszerű annyi indukcióvonalat rajzolni, hogy számuk arányos legyen az indukcióvektor nagyságával. Ezért 1 m^ felületen 1 indukcióvonalat rajzolunk, ha B nagysága egységnyi. A B indukcióvektorra merőleges A felületet döfő indukcióvonalak száma a $ mágneses fluxus:
ha a mágneses mező homogén. Ha ez nem teljesül, akkor fel kell osztani a felületet apró A^4 darabokra, és ezeket kell szorozni a B A^-ra merőTeges komponensével, majd ezeket össze kell adni.
$ = SB„AA
Mivel az indukcióvonalak önmagukban záródó görbék, zárt felületre vonatkozóan az indukciófluxus nulla, ami azt fejezi ki, ha egy indukcióvonal a zárt felületen bement, akkor valahol ki is jön belőle.
Tekercs mágneses tereB Vizsgáljuk meg a magnetométer segítségével, hogyan függ
a tekercs belsejében kialakuló mágneses tér indukciója a tekercs I áramától, N menetszámától és a tekercs l hosszúságától! A mérések szerint B értéke egyenesen arányos mind az árammal, mind a menetszámmal és fordítottan arányos a tekercs hosz- szával, nem függ viszont a keresztmetszettől, így
ahol /xo a vákuum permeabilitása, értéke;
_7 s/ío = 47t- 10 -----A ■ m
206________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 207
Egyenes vezető mágneses tereA tekercshez hasonlóan vizsgálható a hosszú egyenes vezető
mágneses tere is. Az eredmények szerint
Ho2rn
ahol I jelenti a vezetékben folyó áramot, r pedig a vizsgált pont vezetőtől mért távolsága.
3.2.2. MÁGNESES TÖRVÉNYEK ÉS ÖSSZEFÜGGÉSEK
Mozgási indukcióMozgassunk l hosszúságú fémrudat B indukciójú mágneses
térben úgy, hogy l, B és v páronként merőlegesek egymásra. (3.34. ábra).
Ekkor a fémrúd belsejében lévő szabad töltésekre rúdirány- ban hat a Lorentz-erő, és töltésmegosztást eredményez. Az így létrejövő E elektromos tér által a töltésekre kifejtett erő a Lo- rentz-erővel eltentétes. A töltésszétválasztás addig tart, amíg ez a két hatás egyensúlyba kerül:
QvB = QEamiből
208 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
E = vB.
vagyis a rúdban homogén indukált elektromos mező jön létre, tehát a feszültség az l hosszúságú rúd végei között
U = vBl
Amennyiben v és 5 nem merőleges egymásra, hanem a szöget zárnak be, akkor a sebességnek csak a B-re merőleges komponensét kell figyelembe venni, tehát a feszültség ekkor az l hosszúságú rúd végei között
U — vBl sin a
Lenz-törvényA 3.35. ábrán látható összeállításban a B mágneses indukció
a lap síkjára merőlegesen befelé mutat, az l hosszúságú fémru- dat jobbra v állandó sebességgel húzzuk. Mekkora erő szükséges ehhez?
X X X
X X X X X
3.35. ábra
Az imént láttuk, hogy ha B indukciójú mágneses mezőben egy l hosszúságú rudat B-re és /-re egyaránt merőleges irányban V sebességgel mozgatunk, akkor végei között
U = Bvl
feszültség indukálódik. Esetünkben áram is folyik
r U Bvl~ R ~ R ’
mivel zárt az áramkör. Alkalmazva a jobbkéz-szabál)^, megállapíthatjuk, hogy a rúd felső végén lesz a pozitív pólus, így az áramköri ellenálláson felülről lefele folyik az áram, a mozgó rúdon pedig felfelé. Még egyszer alkalmazva a jobbkéz- szabályt, megállapíthatjuk, hogy a mágneses mező által a rúdra kifejtett erő balra hat, azaz a húzóerő irányával ellentétesen.
F = B I l ^ ^R
E Az indukált feszültség által létrehozott áram iránya olyan, hogy hatásával gátolja az őt létrehozó mozgást. Ez Lenz törvénye.
Ez a törvény voltaképpen az energiamegmaradás törvényét fejezi ki, hiszen fordított áramirány esetén csak meg kellene lökni a rudat, és már gyorsulna is a mágneses tér hatására, egyre nagyobb sebességet érve el.
___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________ ^
3.2.3. A VÁLTAKOZÓ ÁRAM
Váltakozó feszültség előállításaA 3.36. ábrán látható összeállításban a B mágneses indukció
a lap síkjára merőlegesen befelé mutat, az l hosszúságú fémrúd harmonikus rezgőmozgást végez A amplitúdóval, uj körfrekvenciával. Ekkor a sebesség-idő függvény
V = A o; c o s (ü; í ) .
így az indukált feszültség értéke
U = BlAüj c o s{u á )
ahol a BlAüj kifejezés a feszültség maximuma. Ezzel a feszültség-idő függvény a következő alakban is felírható:
U = U m a x COs{üüt)
Az ilyen, időben periódikus feszültség a váltakozó feszültség.
210 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
1 X X X X X
X X X X X3.36. ábra
A váltakozó feszültség effektív értékeE Kapcsoljunk váltakozó feszültséget ellenállásdrótra! A drót
ugyanúgy melegszik, mintha egyenfeszültséget kapcsoltunk volna rá: az áram munkát végez.
[H A váltakozó feszültség effektív értéke az az egyenfeszült- ség, amely egy periódusidő alatt, ugyanazon az ellenálláson, ugyanakkora munkát végez.
Itt nem részletezett számítások szerint a szinuszosan váltakozó feszültség effektív értéke
UmjlXU e f f =
V2
Kondenzátort tartalmazó áramkör vizsgálata[Hl Kapcsoljunk kondenzátorra váltakozó feszültséget!
Uo sin(a;í) = ^
Fejezzük ki egyenletünkből a kondenzátor töltését:
Q = CUq sm{üüt)
A rezgéseknél már láttuk, ha a kitérés szinuszosan változik, akkor a sebesség koszinuszosán, és a sebességamplitúdió Aw.Mi- vel a töltés, és az elektromos áram között ugyanolyan a kapcsolat, mint a kitérés és a sebesség között, ezért
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 211
I — CujUo cos{üüt)
Láthatjuk, hogy a szinuszos feszültséghez koszinuszos áram tartozik, tehát az áramerősség 90 fokkal „siet” a feszültséghez képest.
Az áram maximális értéke:
lo = CUoui
A kondenzátor váltakozó áramú ellenállását a feszültség és az áram maximális értékének a hányadosaként definiáljuk, és Xc-vel jelöljük.
A kondenzátor váltóáramú ellenállása fordítottan arányos mind a kapacitással, mind a frekvenciával.
Nyugalmi indukcióE Közös vasmagra teg3óink két tekercset, majd az egyik te
kercsre kapcsoljunk telepet, a másikra pedig árammérő műszert (3.37. ábra)!
3.37. ábra
Ha a telepet ki-be kapcsolgatjuk, akkor a másik tekercsre kapcsolt árammérő áramot jelez a ki- és bekapcsoláskor, egyébként nem. A ki- és bekapcsoláskor keletkező áramok iránya pedig ellentétes.
(Hl Készítsük el az előző kapcsolást azzal a változtatással, hogy a telepet tolóellenálláson keresztül kössük a tekercsre (3.38. ábra)!
212 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
3.38. ábra
Ha a tolóellenállás csúszkáját ide-oda húzogatjuk, akkor a másik tekercsre kapcsolt árammérő áramot jelez.
[k] Tegyünk most a másik tekercs helyére egy alumíniumgyű- rűt! Ha a tekercset nagy egyenfeszültségre kapcsoljuk, akkor a gyűrű valósággal „elszáll” (Thompson ágyú). Ha viszont váltakozó feszültséget kapcsolunk a tekercsre, akkor az alumíniumgyűrű „lebeg”.
Összegezzük tapasztalatainkat!1. kísérlet: a be- ill. kikapcsoláskor keletkező áramok iránya
ellentétes.2. kísérlet: az első tekercs áramának növelésekor a második
tekercsben keletkező áram iránya ellentétes az első tekercs áramának csökkenésekor keletkező áram irányával.
A jelenséget csak úgy magyarázhatjuk, hogy az első tekercs váltakozó árama változó mértékben mágnesezi a vasmagot. így a második tekercs belsejében is változik a mágneses tér. Ez a változó mágneses tér maga körül elektromos teret hoz létre, és ez az „indukált” elektromos tér okozza az áramot a másik tekercsben, ill. a gyűrűben.
Mitől függ a keletkező indukált feszültség nagysága? Végezzük el újra a második kísérletet úgy, hogy más és más sebességgel mozgatjuk a tolóellenállás csúszkáját! Azt tapasztaljuk, hogy minél gyorsabban mozgatjuk a csúszkát, annál nagyobb feszültséget jelez a másik tekercsre kapcsolt műszer.
Kísérletünk szerint a tekercsben indukált feszültség nagysága arányos a tekercs menetein áthaladó mágneses fluxus változásának sebességével.
Tegyünk ezután zárt vasmagra N = 600 menetes tekercset, és kapcsoljunk rá váltakozó feszültséget (kb. 100 V)! Vegyünk egy
hosszú röpzsinórt, tekerjük rá a vasmagra egyszer, majd kapcsoljuk érzékeny feszültségmérő műszerhez a zsinór két végét! Ismételjük meg a mérést úgy, hogy egyre több menetet tekerünk a vasmagra! A mért feszültségek azt mutatják, hogy minél többször járjuk körbe a változó mágneses fluxust, annál nagyobb lesz az indukált feszültség. Kísérleti tapasztalatainkat ösz- szegezve elmondhatjuk, hogy az indukált feszültség nagysága egyenesen arányos a mágneses fluxus változási sebességével és a változó fluxust körülvevő menetek számával, iránya pedig mindig olyan, hogy az általa létrehozott áram mágneses hatása akadályozza az öt keltő hatást:
A negatív előjel a LENZ-törvényt, tehát voltaképpen az energiamegmaradás törvényét fejezi ki. Gondoljuk csak végig: ha egy kicsit megváltoztatva a fluxust az indukált áram mágneses tere erősíthetné ezt a változást, akkor így egyre nagyobb és nagyobb áramok jöhetnének létre, ami lehetetlen.
Az indukált elektromos mező szerkezete lényegesen különbözik a sztatikus mezőétől: ugyanis a sztatikus elektromos tér erővonalai - mint már láttuk - a pozitív töltésekről indvilnak, és a negatív töltéseken végződnek, továbbá két pont között a feszültség nem függ az útvonaltól. Az indukált elektromos mező erővonalai ezzel szemben önmagukba záródó görbék, amelyek az ún. balkéz-szabály szerint veszik körül a változó mágneses fluxust. Ha bal kezünk hüvelykujját a B mágneses indukcióvektor változásának megfelelően állítjuk be, akkor az elektromos tér iránya a begörbített ujjaink irányába mutat.
Természetesen az így létrejött elektromos mező akkor is jelen van a változó mágneses fluxus körül, ha nem teszünk oda vezetőt. A változó fluxust körülvevő zárt görbe mentén pedig á feszültség nem nulla, hanem A $/A í.
Kölcsönös és önindukcióE Vasmagos tekercsre kapcsoljunk váltakozó feszültséget
(3.39. ábra), és vigyünk a közelébe egy másik tekercset, amelyre feszültségmérő műszert kapcsoltunk! A műszer által muta-
___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________213
214 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
AMAAA^
~ 3.39. ábra
tott értékek erősen függenek a másik tekercs térbeli elhelyezkedésétől. A legnagyobb értéket akkor jelzi, ha közös vasmagra kerül az első tekerccsel, ilyenkor ugyanis gyakorlatilag a vasmagban haladó valamennyi indukcióvonal áthalad rajta.
A két tekercs közötti kapcsolatot az úgynevezett kölcsönös indukciós együtthatóval jellemezhetjük. Az első tekercs mágneses fluxusa arányos az első tekercs áramával, tehát a fluxus változási sebessége is arányos az áram változási sebességével. A kapcsolatot kifejező összefüggés, így az indukciótörvény alapján
alakban írható, ahol L12 csak a két tekercs geometriai adataitól, illetve a két tekercs egymáshoz viszonyított térbeli elhelyezkedésétől függ.
A kölcsönös indukciós együttható mértékegysége az 1 Vs/A, neve henry, jele: H. Ezek szerint 1 H egy rendszer kölcsönös induktivitása, ha a rendszer egyik tagján 1 s alatt végbemenő 1 A áramváltozás a rendszer másik tagján 1 V feszültséget hoz létre.
Bizonyítás nélkül említjük meg, hogy pl. az / hosszúságú, A keresztmetszetű közös tekercstestre csévélt ill. N 2 menetszámú tekercsekből álló rendszer kölcsönös indukciós együtthatója:
, N 1N 2 A— Mo-----j—
Ha a tekercseket nem levegő, hanem pl. vas tölti ki, akkor az együttható az illető anyag relatív permeabilitásával is szorzó- dik.
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 215
ÖnindukcióB Kb. 600 w 1200 menetes tekercsre kössünk ködfénylámpát
és egy laposelemet (3.40. ábra)! Ha a laposelemet ki-be kapcsolgatjuk, akkor a ködfénylámpa felvillan.
Nyilvánvaló, hogy egy tekercs számára közömbös, hogy honnan származik az a változó mágneses mezó", amely miatt benne feszültség indukálódik. Esetünkben a tekercs saját árama változik, és ennek következtében változik a tekercsen áthaladó fluxus.
[H Az a jelenség, amikor a saját mágneses fluxus változása miatt keletkezik indukált feszültség, az önindukció. Az önindukciós feszültséget a kölcsönös indukcióhoz hasonlóan az
U ^ - L A /At
egyenlettel definiáljuk.
- L = 1 henry az önindukciós együtthatója (öninduktivitása) annak a tekercsnek, amelyen ha 1 s alatt 1 A-t változik az áram, akkor 1 V feszültség indukálódik.
Bizonyítás nélkül említjük meg, hogy pl. egy l hosszúságú N menetszámú egyenes tekercs (szolenoid) önindukciós együtthatója:
L = fioN^A
216 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
3.41. ábra
Ha a tekercset nem levegő, hanem pl. vas tölti ki, akkor az együttható az illető anyag relatív permeabilitásával is szorzó- dik.
[S Készítsük el a 3.41. ábrán látható kapcsolást!Az ábra szerint egy izzót és egy vele sorba kapcsolt tolóellen
állást párhuzamosan kapcsoltunk egy tekerccsel és azzal sorba kapcsolt izzóval. Először kapcsoljuk rá a rendszerre a telepet, majd a tolóellenállással állítsuk be az izzó fényét a másikkal azonos erősségűre. Ezt követően kapcsolgassuk ki-be az áramot! Azt tapasztaljuk, hogy a tekercset tartalmazó ágban az izzó lényegesen később kezd világítani, mint a másik.
Bekapcsoláskor tehát a tekercset tartalmazó áramkörben az áram mintegy „késik” a feszültséghez képest.
A jelenséget az okozza, hogy bekapcsoláskor megváltozik az áram erőssége: a kezdeti nulláról Aí idő alatt A7-re növekszik. Ez pedig U — ~ L ^ önindukciós feszültséget eredményez a tekercsen, aminek a nagysága a í = 0 időpontban éppen a telepfeszültséggel egyenlő, így a kezdő pillanatban nem folyik áram. Ezután bizonyos idő elteltével az áram erőssége elér egy állandó értéket, amelyet az áramkör eredő ellenállása és a telepfeszültség határoz meg: I
A kikapcsolási jelenséget már tanulmányoztuk, tehát tudjuk, hogy kikapcsoláskor nagy feszültség jelenik meg a tekercs két kivezetése között, ami nagy szikrát okozhat (pl. autók gyújtóberendezése stb.) A kikapcsolási jelenségek egyúttal arra utalnak, hogy az árammal átjárt tekercs mágneses terének energiája van. Az energia a mágneses tér „felépülésekor”, azaz az áram kialakulásával kerül a térbe, és a kikapcsoláskor alakul át más energiává.
ELEKTROMAGNESSEGTAN 217
Tekercs mágneses terének energiájaSzámítsuk ki, hogy mekkora munkát végez a telep, amíg ki-
éptil a tekercs mágneses tere (3.42. ábra)!
A W W W V v \A /V
3.42. ábra 3.43. ábra
íijuk fel a tekercs által felvett pillanatnyi teljesítményt:
P = UI = L . % I
írjuk fel a Aí idő alatt végzett munkát a pillanatnyi teljesítmény segítségével;
A /A W = PAt = L ~ I A t ^ L I A I
AtÁbrázoljuk ezután az LI mennyiséget az I függvényében
(3.43. ábra)! Vegyük észre, hogy a A W elemi munka éppen a bejelölt sávnak a területe, így az állandó I áram eléréséig végzett teljes munka a görbe alatti megfelelő terület, azaz
Ez a munka a mágneses tér kiépítéséhez szükséges energiát- fedezte, ezért ezzel megkaptuk a tekercs mágneses tere által tárolt energiát. Próbáljuk meg kifejezni ezt a térjellemzőkkel is!
Helyettesítsük az L önindukciós együttható helyére az előzőekben kiszámított értékét, majd csoportosítsuk át a szorzatot:
Eredményünk első tényezőjében felismerhetjük a B mágneses indukció kifejezését. A második tényezőt is ilyen alakra hozhatjuk, ehhez csak egy /xo-as szorzó, ill. egy /-es osztó hiányzik. Ezeket a bővítéseket elvégezve, a kifejezés az
218 ____________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________
2/xo
alakot ölti.Vegyük észre, hogy Al a tekercs térfogata. A kifejezést a tér
fogattal elosztva az egységnyi térfogatra eső energiát, azaz a mágneses energiasűrűséget kapjuk:
<JÜ — ■2fio
Eredményünk általánosan is igaz: a mágneses tér energiasűrűsége egy adott pontban arányos a mágneses indukció négyzetével.
Tekercs váltakozó áramú ellenállása[Hl Kapcsoljunk hanggenerátorra zárható vasmagos tekercset
és vele sorba árammérő műszert! Állandó frekvencián változtassuk a vasmag helyzetét, ill. pl. zárt vasmag esetén változtassuk a frekvenciát!
Megfigyeléseink szerint:a) Állandó frekvencián minél zártabb a vasmag (nőtt az önin
dukciós együttható), annál kisebb az áram erőssége, azaz annál nagyobb a váltóáramú ellenállás.
b) Zárt vasmag (állandó önindukciós együttható) esetén minél nagyobb a frekvencia, annál kisebb az áram erőssége, azaz annál nagyobb a váltóáramú ellenállás. Pontos mérések szerint a tekercs váltóáramú ellenállása egyenesen arányos az áramkör frekvenciájával és a tekercs önindukciós együtthatójával.
IHl A tekercs váltóáramú ellenállása az impedancia. Jele: X l mértékegysége ohm.
A tekercs váltakozó áramú ellenállását a követkéző módon számíthatjuk ki. Alkalmazzuk a huroktörvényt az iménti áramkörre!
C/o sin(wí) — — IR.
Tételezzük fel, hogy az áramkör ohmikus ellenállása nulla. Ekkor egyenletünk a következő alakot ölti:
Uo sin(a;í) = ^
A rezgéseknél már láttuk, hogy ha a sebesség szinuszosan változik, akkor a kitérés-idő függvény - cos(o>í)-vel arányos. Ehhez hasonlóan, legyen
I — locosiívt).
ekkor az / változási gyorsasága:
A /
___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________^
AíEszerint a feszültség és az áram között 90 fok a fáziskülönb
ség.Ezzel:
C/oSÍn(u;í) = LIoU}SÍa{ijt).
tehát az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha
Uq = LIqu.
Ha a tekercs váltóáramú ellenállását az
lokifejezéssel definiáljuk, akkor
Y ^0 rX/, = — = L(jü h
ami igazolja előzetes megfigyeléseinket, tehát a tekercs váltakozó áramú ellenállása egyenesen arányos az önindukciós együtthatóval és a frekvenciával.
Az RLC-körKészítsük el a 3.44. ábra szerinti kapcsolást! Kapcsoljunk az
áramkörre 30 V váltakozó feszültséget, majd méijük meg az áramkör egyes tagjainak feszültségét! Azt tapasztaljuk, hogy az egyes elemeken mért effektív feszültségek összege nagyobb, mint a körre kapcsolt feszültség effektív értéke. Ez annak a következménye, hogy az effektív feszültségek nem adnak számot az egyes kapcsolási elemeken eső pillanatnjd feszültségek egymáshoz képesti fázisáról. A huroktörvény alkalmazásához azonban a pillanatnyi feszültségek fázisát is figyelembe kell vennünk. Hogyan összegezhetjíik a pillanatnjd feszültségeket? A rezgésekkel foglalkozó fejezetben már láttuk, hogy párhuzamos, azonos frekvenciájú rezgések amplitúdói úgy összegezhetők, mintha vektorok lennének. Itt is pontosban erről van szó.
R L CI----- V W W V \W A ^— 1|-
220________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________
3.44. ábra
Az ellenálláson eső feszültség fázisban van az árammal, a tekercs feszültsége 90°-kai siet. Ezek szerint a tekercs és a kondenzátor feszültsége ellentétes fázisú, azaz a nekik megfeleltetett amplitúdóvektorok ellentétes irányúak. Az összegzés menete a 3.45. ábráról olvasható le, az összegvektor a körre kapcsolt feszültségnek felel meg.
Igen egyszerű összefüggés írható fel e négy mennjdség között. Pitagorasz tétele alapján
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 221
U^ = Ul + {UL-Ucf
A kifejezés négyzetgyökét az áramerősség effektív értékével osztva
ahol az ^ hányados az áramkör váltóáramú ellenállása, azaz impedanciája: jele Z, mértékegysége ohm. írjuk be X l és Xc helyére a már megismert értékeiket. így a
Z = \ R ^ + i Luj -\
Cuj
kifejezéshez jutunk.A vektorábráról leolvashatjuk az áramkör árama és feszültsé
ge közötti fáziskülönbség szögének tangensét is:
tga = X l - X cR
3.2.4. A FESZÜLTSÉGREZONANCIAÁllítsuk össze a 3.46. ábra szerinti kapcsolást! Méijük meg
külön-külön a tekercs és a kondezátor feszültségét és e két feszültség összegét is! Változtassuk a tekercs induktivitását a záróvas tologatásával! Vannak olyan helyzetek, amikor a tekercs.
222 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
ill. a kondezátor feszültsége nagy értékű, míg az összegük ehhez képest jóval kisebb, sőt nulla is lehet. Az utóbbi eset a feszültségrezonancia.
A jelenség és az elnevezés magyarázata a következő. Mivel
Z = \ R ^ + { L( v - -VCuJ
az induktivitás változtatásával elérhetjük, hogy a tekercs induktív ellenállása megegyezzen a kondenzátor kapacitív ellenállásával:
Ekkor viszont az áramkör ellenállása a tekercset alkotó drót ellenállásával egyenlő:
Z = R,
amely viszonylag kis értékű, így az áramkörben nagy áram folyhat. Ekkor a tekercsen, illetve a kondezátoron wL/R-szer nagyobb feszültség esik, mint amennyi az ellenálláson eső feszültség.
Határozzuk meg adott L és C esetén azt a frekvenciát, amelyiknél fesztiltségrezonancia jön létre!
Az előzőek értelmében akkor lesz feszültségrezonanda, amikor
= Xc.
Ebből
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 223
Őiu>következik, átrendezve és felhasználva, hogy u = 27t/, kapjuk az ún. Thomson-képletet:
/ - 2-k^ÍLCFeszültségrezonancia esetén a kör ellenállása tiszta ohmos és
minimális.
3.2.5. AZ ÁRAMREZONANCIAE Kapcsoljunk párhuzamos tekercset és kondenzátort (3.47.
ábra)!
P 0 - ^ W W W V ^
o — Ih
3.47. ábra
Változtassuk a tekercs induktivitását a záróvas tologatásával, és méljük külön-külön a tekercs és a kondezátor áramát, valamint a kettő összegét is! Vannak olyan helyzetek, amikor az egyes mellékágakban folyó áramok erősségei igen nagyok, ugyanakkor a főágban mérhető érték kicsi és szélső esetben közel nulla lehet.
A jelenség az áramrezonancia, magyarázata a következő.Az induktivitás változtatásával elérhetjük, hogy a tekercs in
duktív ellenállása megegyezzen a kondenzátor kapacitív ellenállásával. Ekkor - mivel párhuzamos kapcsolás miatt a feszültség a tekercsen és a kondenzátoron azonos - az áramok is azonos nagyságúak lesznek, de fázisuk közel ellentétes (a te
keresnek ug;^anis van ohmikus ellenállása is a tekercset alkotó drót miatt). így elérhetővé válik, hogy az áramok összege közel nulla.
Határozzuk meg ideáUs (ellenállás nélküli) tekercs és kondenzátor esetén azt a frekvenciát, amely mellett létrejön az áramrezonancia!
Az eddigiek értelmében ekkor a rezonancia esetén a kondenzátor és a tekercs árama azonos nagyságú, csak ellentétes fázisú, azaz
^ = UCu.Llü
Egyszerűsítsük í/-val, majd fejezzük ki w-t!
1U) =^/LC
amiből1
224________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________
/ = 2ttVLCadódik, ugyanaz az összefüggés, mint feszültségrezonancia esetén. Mivel áramrezonancia esetén a főágban folyó áram közel nulla, ezért ekkor a párhuzamosan kapcsolt tekercs és kondenzátor eredő ellenállása nagyon nagy (ideális tekercs esetén végtelen nagy).
3.2.6. A REZGŐKÖRÖK VIZSGÁLATAE Kapcsoljunk párhuzamosan nagy induktivitású tekercset
nagy kapacitású kondenzátorral, és helyezzünk el az áramkörben egy középállású árammérő műszert is (3.48. ábra). A Mor- se-kapcsoló egyik állásában a kondenzátor feltöltődik a telep feszültségére, majd átkapcsolva a másik állásra, a kondenzátor kisül a tekercsen keresztül. Igen érdekes a kisülés folyamata, ugyanis a műszer mutatója kezdetben nagy, később egyre csökkenő amplitúdóval rezeg, azaz csökkenő intenzitású váltakozó áram folyik az áramkörben.
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 225
' o----------p.
3.48. ábra
A jelenség magyarázata a következő: kezdetben a feltöltött kondenzátor feszültsége (U) megegyezik a telep feszültségével, az áram erőssége pedig nulla. Az áram megindulása után a kondenzátor feszültsége csökken, hiszen csökkent a töltése, így hamarosan nulla lesz. Ekkor viszont a tekercsnek már kiépült a mágneses tere, az áram maximális, de nincs töltésutánpótlás. Az áram ennek megfelelően nullára csökkenne, de emiatt változik a tekercs mágneses tere, és ez a változó mágneses tér a tekercsen Lenz törvénye értelmében olyan feszültséget indukál, amely az áram csökkenését akadályozni igyekszik, vagyis az eredeti áramirányt tartja fenn. Ennek következtében a kondenzátor újra feltöltődik, csak ellenkező polaritással. Ezután a folyamat újraindul, csak az ellenkező irányban. Ez a mechanikai rezgésekkel analóg folyamat az elektromágneses rezgés.
Energetikailag vizsgálva a folyamatot azt mondhatjuk, hogy kezdetben a kondenzátor elektromos terének az energiája alakult át a tekercs mágneses terének energiájává és fordítva. Hasonló történik egy vízszintesen rezgő test esetén is, amikor a rugalmas és a mozgási energiák alakulnak egymásba periodikusan. E két folyamatot szemlélteti a 3.49. ábra.
B,
; = o
\ w v \ o i-e----1xo V=0
I
A W A W W p -
3.49. ábra
Valódi tekercs és kondenzátor esetén csillapodó rezgés jön létre, az elrendezést pedig elektromos rezgőkörnek nevezzük. Általában, ha az áramkörre külső kényszer nem hat és rezgés jön létre, úgy ezeket szabad elektormágneses rezgéseknek, a rezgés frekvenciáját pedig sajátfrekvenciának nevezzük.
Ideális tekercs (R - 0) és kondezátor esetén egyszerűen határozhatjuk meg a rezgőkör sajátfrekvenciáját, ugyanis az energiák egyenlőségéből indulhatunk ki:
ahol U a kondenzátor csúcsfeszültsége, I pedig az áramkör maximális árama. Mivel:
U = IX c
és
1
226________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________
Cüjezért egyenletünk rendezés után a következő alakot ölti:
1ÜJ =\ÍLC
ami a már jól ismert Thomson-képlet.
3.3. A VÁLTOZÓ ELEKTROMOS MEZŐMint már láttuk, a változó mágneses mező maga körül elekt
romos teret kelt, amelynek erővonalai önmagukban záródó görbék. Felvetődik a kérdés, hogy igaz-e az, hogy változó elektromos tér körül is kialakul mágneses tér?
Vizsgáljunk meg gondolatban egy R-C áramkört, amelyet egyenfeszültségre kapcsolunk. Bekapcsoláskor a kondenzátor még töltetlen, tehát az áram erőssége kezdetben / = ^. Ez az áram kezdi tölteni a kondenzátort, amelynek így egyre nagyobb lesz az Uc feszültsége. Az áram erősségének pillanatnyi értéke
I — lesz, vagyis az előzőeknél egyre kisebb érték. Végül is a kondenzátort töltő áram erőssége egyre kisebb lesz, a kondenzátor feszültsége pedig a telep feszültségéhez közelít.
A felöltődés ideje alatt tehát áram folyik az áramkörben. Vizsgáljuk meg ennek a mágneses terét! Az áramkört alkotó drótok mentén a mágneses tér indukcióvonalai „csőszerűén” veszik körül az áramot. De mit mondhatunk a kondezátorla- pokkal határolt térrészről? Ott ugyanis töltésáramlás nincs, áram nem folyik a kondenzátor lemezei között. Maxwell feltételezte, hogy nem hiányozhat egy „szelet” az áramokat „csőszerűén” körülvevő mágneses térből. Elgondolása szerint a kondenzátor körüli mágneses teret a kondenzátor elektromos terének változása hozza létre.
Legyen egy pillanatban a kondenzátort töltő áram erősségeI. Ez az áram egy nagyon kicsi Aí idő alatt nem változik meg nagyon, így a Aí idő alatt a kondenzátor töltése
AQ = lód
értékkel növekszik, így viszont megváltozik a feszültsége is:
AQ
___________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________2 ^
AC/ = -C
Fejezzük ki AQ-t, C helyére pedig íijuk be a síkkondenzátor kapacitására már megismert összefüggést:
AQ = AUC - AU- ^4t7rkd Vegyük észre, hogy
azaz
A E A _ A'ií>A-nk ~ A-nk
vagyis a töltés megváltozása a 'í' elektromos fluxus megváltozásával arányos, tehát az / áram:
228 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
1 = AQ 1A t áirk A t
Azt mondhatjuk tehát, hogy a kondenzátor lemezei közötti térrészben az elektromos erővonalakat körülvevő mágneses mezőt az elektromos fluxus változása hozza létre, azaz a változó elektromos térnek pontosan ugyanolyan hatása van mágneses szempontból, mint a vezetési áramnak. Ebből az következik, hogy a vezetési áramhoz hasonlóan a változó elektromos teret is az úgynevezett jobbcsavarral veszi körül a mágneses tér. Ez azt jelenti, hogy ha jobb kezünk hüvelykujját az E elektromos térerősségvektor változásának irányába tartjuk, akkor a begörbített ujjaink irányában „csavarodik” a mágneses tér.
3.4. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOKA váltakozó áramok nem túl nagy frekvenciák esetén ún.
kvázistacionárius áfamok, ami azt jelenti, hogy a vezeték mentén egy adott pillanatban az elektromos térerősség gyakorlatilag mindeütt ugyanakkora. Egészen más a helyzet nagyon nagy frekvenciájú feszültségforrás alkalmazásakor. Ekkor már kis távolságokon belül sem tekinthető a térerősség egy adott pillanatban állandónak, ezért az áramerősség sem állandó a vezeték mentén.
Gondolatban „nyissunk ki” egy nagyfrekvenciás rezgőkört (3.50. ábra)! Kezdetben egyszerű energia oda-vissza alakulásról beszélhetünk, a kondenzátor lemezei közötti elektromos tér energiája alakul át a tekercs mágneses terének energiájává és
3.51. ábra
viszont. Ahogyan egjre jobban kinyitjuk az eredetileg energia szempontjából zárt rendszernek tekinthető rezgőkört, egyre nagyobb energia áramlik ki a rendszerből egy periódus alatt. A rezgőkör „teljes kinyitása” (3.51. ábra) után ún. rezgő dipólust, vagy másiiéven dipólantennát kapunk, amely folyamatosan sugároz ki energiát. Eltekintve az antenna közvetlen környezetétől, a kisugárzott elektromágneses tér E, ill. B vektora egymással megegyező fázisban van, egymásra és a terjedés irányára is merőleges, hiszen a változó mágneses mező balcsavarral hoz létre elektromos teret, a változó elektromos tér pedig jobbcsavarral mágneses teret. Ez a sugárzási elektromágneses tér az antenna méretéhez képest viszonylag nagy távolságban egyszerű szinuszos hullám formájában terjed tova, amelyről megállapíthatjuk, hogy transzverzális hullám, hiszen egy tetszőlegesen ki
választott megfigyelési pontban az E és B merőlegesek mind egymásra, mind a terjedési irányra (3.52. ábra). A választott helyen az E vektor mindig ugyanabban a síkban, a megfigyelési pont és a pontszerűnek tekintett antenna által megha-
3.52. ábra tározott síkban van. Ez egyben aztis jelenti, hogy polarizált síkhullámról van szó.
A dipólantennával előállított elektromágneses hullámok is mutatják a már megismert hullámtulajdonságokat, azaz:
- visszaverődés,- törés,- elhajlás résen, rácson,- állóhullám,- interferencia.A felsorolt utlajdonságok pl. mikrohullámú adó-vevővel igen
egyszerűen bemutathatok.A sugárzási térben áramló energia adott frekvencia mellett
függ az iránytól is. Legnagyobb az intenzitás az antennára merőleges síkban, és nulla az intenzitás az antenna hossztengelyének irányában.
___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________^
Az elektromágneses rádióhullámok terjedési tulajdonságai a hullámhosszak szerint különbözőek. Ennek figyelembevételével a következő csoportokra bonthatjuk:
Hullámhossz Frekvencia1. hosszúhullámok A >1000 m / <300 kHz2. középhullámok 200 m - 1000 m 300 kH z- 1,5 MHz3. átmeneti hullámok 100 m - 200 m 1,5 M H z- 3 MHz4. rövidhullámok 10 m - 100 m 3 M Hz- 30 MHz5. ultrarövid hullámok l m - 10 m 30 MHz-300 MHz6 . mikrohullámok <0,3 m >100 MHz
A hosszú- és középhullámok terjedésükkor viszonylag jól követik a Föld görbületét, ezért segítségükkel a rádiózás több száz kilométerre terjed ki.
A rövidhullámok terjedése gyakorlatilag egyenes vonalú, de terjedésükben alapvető szerepet játszik a Földet kb. 80 és 400 km közötti tartományban körülvevő ionoszféra, amelyről lényegében visszaverődnek, így a rövidhullámú rádióadások több ezer km távolságban is vehetők.
Az ultrarövid- és mikrohullámok szigorúan egyenes vonalban terjednek. Ennek megfelelően a jó vételhez az szükséges, hogy „lássuk” az adót.
230________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________
3.4.1. GEOMETRIAI OPTIKAAz optikai törvények nagyon jól magyarázhatók a Huygens-
Fresnel-elv alapján, ami szerint a fény hullámtermészetű, így minden nehézség nélkül leírható a hullámelmélet segítségével. Bizonyos jelenségeket viszont sokkal egyszerűbben tudunk leírni, ha nem vesszük figyelembe a fény hullámtermészetét. Ilyenkor azt a közelítést használjuk, hogy a fény frekvenciája nagyon nagy, így hullámhossza nagyon kicsi, homogén közegben egyenes vonalban terjed, nem veszünk figyelembe elhajlást, ill. interferenciát.
A testek elsődleges vagy másodlagos fényforrások, aszerint, hogy saját maguk bocsátanak ki-fényt vagy csak visszaverődik
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 231
3.53. ábra
róluk. Beszélhetünk pontszerű, ill. kiterjedt fényforrásokról. Egy kisméretű halogénizzó izzószála pontszerűnek vehető, míg egy 120 cm-es neoncső már kiterjedt fényforrásnak minősül egy tanteremben. A kétféle fényforrás között az ámyékjelenségek- nél van nagy különbség, hiszen pontszerű fénj^orrás esetén az árnyék határvonala éles, míg kiterjedt fényforrást használva áz árnyék elmosódott: van egy sötét, ún. árnyékmag, ahonnan kezdve fokozatosan világosodik, egészen az ámyékmentes zónáig (3.53. ábra).
Ebben a leírásban a fény visszaverődése, ill. törése tapasztalati törvény, amely mérések alapján mondható ki.
A fény két közeg határfelületére érve megváltoztatja terjedési irányát, egy része átlép a másik közegbe, másik része visszaverődik. E két, mindig egyszerre fellépő jelenség (3.54. ábra) fogalmazódik meg a visszaverődés, ill. a törés törvényében:
I [d ] a beesés szöge a beeső sugárnak a beesési merőlegessel bezárt szöge.
I [d] a visszaverődés szöge a visszavert sugárnak a beesési merőlegessel bezárt szöge.
I n A törés szöge a megtört sugárnak a beesési merőlegessel bezárt szöge.
3.54. ábra
Í® A visszaverődés törvénye szerint a beeső fénysugár, a visz- szavert fénysugár és a beesési merőleges egy síkban vannak.
A beesés szöge megegyezik a visszaverődés szögével.A törvényből közvetlenül következik, hogy ha sík felületre
párhuzamos nyaláb érkezik, akkor az párhuzamosan is verődik vissza, a széttartó nyaláb széttartóan, az összetartó nyaláb pedig összetartóan. Az is nyilvánvaló, hogy ha a felületen apróbb egyenetlenségek vannak (pl. gyöngyvászon), akkor a párhuzamos fénynyaláb szinte minden irányba szóródik. Ez a diffúz visz-
verőidéi jelensége (3.55. ábra).
I li] A törés törvénye szerint a beeső fénysugár, a megtört fénysugár és a beesési merőleges egy síkban vannak.
A beesési szög szinusza arányos a törési szög szinuszával. Az arányossági tényező az ún. relatív törésmutató:
sin a—ö — ^ 21 smp
ahol a a beesés, /3 pedig a törés szöge, n2i pedig a második közegnek az elsőre vonatkozó törésmutatója.
Nyilvánvaló, hogy fordított iránjoi átmenet esetén ennek re- ciprokát kapjuk. Ha a fény vákuumból lép az illető anyagba, akkor abszolút törésmutatóról beszélünk.
A visszaverődés és törés speciális problémái
Visszaverődés gömbfelületrőlA tükör görbületi középpontjának jele G, a tükör középpont
jának jele A. Az AG egyenes a tükör optikai tengelye. A tükör nyílásszöge a G pontot a tükör széleivel összekötő sugarak szöge. A továbbiakban csak a kis nyílásszögű tükrökkel foglalkozunk.
1 ] Optikai pad forgatható korongjára erősítsünk homorú, majd domború tükröt, és bocsássunk rá párhuzamos sugarakat (3.56. ábra)!
Az első esetben a tükör összegyűjti a nyalábot, míg a második esetben úgy szórja szét, hogy a sugarak meghosszabbításai látszanak egy pontból kiindulni.
1 ] Az a pont, ahova a homorú tükör a ráeső párhuzamos nyalábot összegyűjti, ül. ahonnan a domború tükör által szétszórt nyaláb kiindulni látszik, a fókuszpont, jele: F.
[f] Határozzuk meg a homorú tükör fókuszpontjának a tükör középpontjáról mért távolságát (3.57. ábra)!
Az ábra szerint párhuzamost húztunk az optikai tengellyel. Ennek a tükörrel való metszéspontja M. Összekötjük a G és M pontokat, ez a beesési merőleges. A visszaverődés törvényét felhasználva megrajzolhatjuk a visszavert sugarat. Ennek a sugár-
___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________^
234 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
3.57. ábra
nak és az optikai tengelynek lesz a metszéspontja az F fókuszpont. Az MFG háromszög egyenlő szárú, hiszen MG oldalon lévő szögei egyenlők. Az MG szakasz éppen a kör sugara, így
R2 cos a
Ha a kicsi, akkor cos a értéke « 1, így
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 235
FG , ezért
■’ 2
Látható, hogy ha nagy a tükör nyílásszöge, akkor a tengelytől távolabb beeső sugarak jóval közelebb metszik az optikai tengelyt, mint a közeliek.
I dl Az ebből származó leképezési hibát gömbi (szférikus) hibának nevezzük (3.58. ábra).
Fény áthaladása párhuzamos síklapokkal határolt optikai törőközegen (plánparalel lemez)
Bocsássunk fénysugarat a 3.59. ábra szerinti elrendezésben egy d vastagságú, n törésmutatójú üveglemezre! Azt tapasztaljuk, hogy a kétszeri törés után az eredetivel párhuzamos irányban halad tovább a sugár, csak egy kicsit eltolódott. Számítsuk ki az eltolódás nagyságát!
A törés törvénye szerintsin a sin j3
Az ábra szerinti ABC háromszög A-né\ lévő szöge: a - (3, ahol a a beesés, /? pedig a törés szöge, így
X = ABsm{a-l3).
236 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
Az AB szakasz az AD B derékszögű háromszögnek is átfogója, tehát kifejezhető a d befogóval és a ,3 szöggel:
AB = ^ tehát cosp
.Y - .cos/3
A z ismert trigónometriai összefüggést használva:
^ d{smacos/3 — cosasin/?) cosP
Egyszerűsítés és rendezés után
cosaX - dsina 1 -
\/n2 — sism^a.
Fény áthaladása egymással szöget bezáró síklapokkal határolt optikai törőközegen (prizma)A 3.60. ábra szerint bocsássunk a prizmára egy fénysugarat!
A két síklap szöge ez a prizma törőszöge. Legyen a beesés szöge ai- A fény mind a belépésnél, mind a kilépésnél megtörik. Az ábra szerint a teljes eltérítés szöge:
6 — CXi 012 — ^
Számítások szerint a minimális eltérítés szögét akkor kapjuk, amikor a sugármenet szimmetrikus
6 ^ 2a
Ekkor a $ törőszög és a minimális 6 eltérítési szög között a következő összefüggés áll fenn:
. ^sm—-— = nsm — z z
Fény áthaladása gömbfelületekkel határolt optikai tőrőkőzegen (lencse)
[k] optikai padra helyezzünk egy kétszerdomború lencsét, majd világítsuk meg párhuzamos fénynyalábbal! Ismételjük meg a kísérletet kétszerhomorú lencsével is (3.61. ábra)!
Azt tapasztaljuk, hogy a domború lencse a ráeső nyalábot ösz- szetartóvá teszi, fókuszálja, míg a homorú lencse a ráeső fénynyalábot széttartóvá teszi. Az a pont, ahová összehozza a nyalábot, illetve ahonnan a szétszórt nyaláb kiindulni látszik, a fókuszpont. Legyen a két gömbfelület görbületi sugara Ri, ill. R 2 (3.62. ábra), anyagának törésmutatója n. Ekkor, itt nem részletezett számítások szerint a fókusztávolság reciproka:
3.62. ábra
+R2.
A formula szerint a fókusztávolság előjele nemcsak attól függ, hogy a lencse domború vagy homorú, hanem a környezetre vonatkozó törésmutatótól is. így például, ha óraüvegből ösz- szeragasztunk egy domború lencsét, és vízbe tesszük (levegő- lencse), akkor a ráeső párhuzamos nyalábot szétszórja, míg az ugyanígy készült homorú lencse a ráeső párhuzamos nyalábot összetartóvá teszi.
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 239
Optikai leképezésÁltalában optikai leképezésről beszélünk, ha egy pontból in
duló sugárnyalábot egy másik pontra illeszkedő sugárnyalábba viszíink. Tökéletesen mindössze a forgási ellipszoidnál, illetve paraboloidnál valósul meg az, hogy egy pontra illeszkedő vala- mennjd sugár képe visszaverődés után szintén egy pontra illeszkedik. Ellipszoid esetén az egyik fókuszon átmenő valamennyi sugár visszaverődés után áthalad a másik fókuszon, míg paraboloidnál az ún. végtelen távoli pontból érkező párhuzamos nyaláb megy át visszaverődés után a fókuszponton (3.63. ábra).
Gömbfelületű lencsék és tükrök esetén nem tökéletesen valósul meg az optikai leképezés, de kis nyílásszögű tükrök, ill. vékony lencsék esetén nagyon kicsi a leképezés hibája.
[U Valódi a kép, ha ernyőn felfogható, vagyis a fénysugarak összetartóak. Látszólagos a kép, ha a leképező eszközt elhagyó sugárnyaláb széttartó, a képet a sugarak meghosszabbításában látjuk.
A következőkben a tükrök és lencsék képalkotásának egyes eseteit, ill. a szerkesztéseket nézzük végig.
240 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
Sík tükörE Optikai padra helyezzünk a padra merőlegesen tiszta
üveglapot, majd elé és mögé azonos távolságra egy-egy gyertyát! Gyújtsuk meg az egyik gyertyát, majd az égő gyertya felől nézzünk rá az üveglapra! A másik gyertyát is égni látjuk (3.64. ábra). Ez annyit jelent, hogy a gyertya látszólagos képe tényleg a túloldalon keletkezik, a tárggyal azonos távolságra.
k = \ t \
3.64. ábra
Homorú tükörE Optikai padra helyezzünk homorú tükröt, egy égő gyer
tyát és egy ernyőt (3.65. ábra)! A gyertya tologatásával keressük meg a gyertya lángjának éles képét az ernyőn! Végezzük el a szerkesztést is!
3.65. ábra
A következő nevezetes szerkesztő vonalakat használhatjuk (3.66. ábra):
- a fókuszon átmenő sugarat, amely visszaverődés után párhuzamos az optikai tengellyel;
- az optikai tengellyel párhuzamos sugarat, amely visszaverődés után átmegy a fókuszon;
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 241
- a geometriai középponton átmenő sugarat, amely önmagába verődik vissza;
- a tükör középpontjába irányított sugarat, amely az optikai tengellyel szimmetrikusan verődik vissza;
Ezek felhasználásával végezzük el a szerkesztést!
3.67. ábra
A 3.67. ábrán látható két hasonló háromszögre felírhatjuk
K : T = k: t , ÜL K : T = (;k - 2 f ) : (2 / - t)
A kettőt egybevetve, a szükséges összevonások elvégzése után a leképezési törvényt kapjuk:
1 _ 1 1 / k
Teljesen hasonló módon lehet domború tükörre is levezetni a leképezési törvényt. Vezessük be a nagyítás fogalmát!
242 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
Hl Nagyításnak nevezzük az előjelesen vett képtávolság és tárg5itávolság arányát.
t t - f
Vizsgáljuk meg, hogyan függ a nagyítás a tárgj^ávolságtól! Negatív a nagyítás értéke, ha
0 < í < / .
Ekkor a keletkező kép virtuális, egyenes állású, nagyított (3.68.a ábra).
Ha
f = t,
akkor nem keletkezik kép, a fókuszból induló sugarak a tükörről visszaverődve párhuzamosan haladnak (3.68.b ábra).
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 243
Ha
akkor a keletkező kép nagyított, fordított állású, valódi (3.68.C ábra).
Ha
2/ < í ,
akkor a keletkező kép kicsinyített, fordított állású, valódi (3.68.d ábra).
E Optikai padra helyezzünk domború lencsét, egy égő gyertyát. és egy ernyőt! A gyertya tologatásával keressük meg a gyertya lángjának éles képét az ernyőn! Végezzük el a szerkesztést is!
A következő nevezetes szerkesztő vonalakat használhatjuk:- a fókuszon átmenő sugarat, amely törés után párhuzamos
az optikai tengellyel;- az optikai tengellyel párhuzamos sugarat, amely törés után
átmegy a fókuszon;- a lencse középpontjába irányított sugarat, amely törés nél
kül halad tovább.Ezek felhasználásával végezzük el a szerkesztést (3.69. ábra).
3.69. ábra
Az ábrán látható két hasonló háromszögre felírhatjuk
K : T ^ k : t , illetve K : T = {k - f ) : f
244 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
A kettőt egybevetve, a szükséges összevonások elvégzése után a leképezési törvényt kapjuk:
1 _ 1 1l ~ t ^ k
ami megegyezik a tükrökre kapott leképezési törvénnyel.A homorú tükör képalkotásával teljesen analóg módon ve
zethetjük be a nagyítást:
= ft t - f
Vizsgáljuk meg, hogyan függ a nagyítás a tárgy távolságtól! Negatív a nagyítás értéke, ha
0 < í < /
Ekkor a keletkező kép virtuális, egyenes állású, nagyított (3.70.a ábra).
Ha
/ .= t,
f<\
a) b)
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 245
akkor nem keletkezik kép, a fókuszból induló sugarak a tükörről visszaverődve párhuzamosan haladnak.
Haf < t < 2/ ,
akkor a keletkező kép nagyított, fordított állású, valódi (3.70.b ábra).
Ha2 f < t ,
akkor a keletkező kép kicsinyített, fordított állású, valódi (3.70.C ábra).
Homorú lencsére pontosan ugyanez a törvény érvényes.
[F] Szerkesszük meg a 10 cm fókusztávolságú domború lencsétől 15 cm, az optikai tengelytől 4 cm távolságra világító P pont képét, ha a lencse túlsó oldalán, a lencsétől 10 cm távolságra az optikai tengelyre merőlegesen sík tükröt helyeztünk el! Számítsuk is ki a végső kép helyét (3.71. ábra)!
Alkalmazva a leképezési törvényt:1 _ 1 1 _ 1 1 _ 1
k - 3 0 cm
Mint a szerkesztésből is látszik, a lencse által alkotott kép a sík tükör mögött keletkezne, de nem jön létre, mert a tükör visz- szaveri a ráeső összetartó nyalábot, amely a visszaverődés után is összetartó marad. így a sík tükör valódi képet hozott létre, hiszen a visszavert sugarak metszik egymást. Ilyen esetben beszélünk virtuális tárgyról: az optikai eszközre eső összetartó nyaláb tartópontja a virtuális tárgy, amiről az optikai eszköz valódi képet is alkothat. A leképezési törvényben ilyenkor a tárgytávolságot negatív előjellel kell venni, hiszen a szokványos esethez képest a „másik” oldalon van a tárgy.
Folytatva a feladat megoldását, a sík tükör által alkotott kép a tükörtől 20 cm-re jön létre, de ott van a lencse. A lencsére ösz- szetartó nyaláb esik, amelynek tartópontja virtuális tárgy a lencse számára. Ismét a leképezési törvényt használva:
J _ _ lk ~ f ~ t ~ 1 0 ^ Í Ö ~ 5
k = 5 cmA végső kép a lencsétől balra, tőle 5 cm-re keletkezik.
246________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________
3.4.2. HULLÁMOPTIKAA mechanikai hullámoknál már megismerkedtünk a visszave
rődés, a törés, az elhajlás, az interferencia és a polarizáció jelenségével, valamint az ezeket magyarázó Huygens-Fresnel elmélettel. A fény hullámtermészetét úgy tudjuk igazolni, ha kísérleti úton előállítjuk ezeket a jelenségeket. A visszaverődés, törés és polarizáció jelensége viszonylag egyszerűen bemutatható.
11 Forgatható optikai korongra szerel-^ jünk sík tükröt, majd bocsássunk rá néhány fénysugarat! Mérjük meg a beesés és a visszaverődés szögét! Mérésünk alapján kimondhatjuk a visszaverődés törvényét (3.72. ábra).
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 247
HJA visszaverődés törvénye szerint a beeső és visszavert fénysugár a beesési merőlegessel egy síkban van, a beesés szöge megegyezik a visszaverődési szöggel.
Ha a fény két összeg határfelületére érkezik, akkor „megtörik”, azaz nem az eredeti irányban halad tovább. Csak a merőleges beesésnél nem változik meg az eredeti terjedési irány. Ezt használjuk fel a törés törvényének vizsgálatakor.
13 Forgatható optikai korongra erősítsünk egy üvegből készült félhengert (3.73. ábra^, és bocsássunk néhány fénysugarat a henger középpontjába! így a továbbhaladó fénysugár sugár- iránjm lesz a törés után, vagyis kilépéskor már nem változik a terjedés iránya. A korongon leolvasva a beesési és törési szögeket, kimondhatjuk a törésre vonatkozóan a Snellíus-Descartes- törvényt.
E A Snellius-Descartes-törvény szerint a beesési és törési szög szinuszainak aránya állandó, ez az illető anyagnak a másik anyagra vonatkozó törésmutatója
H21smasin;0
Ha a fény vákuumból érkezik az átlátszó anyagra, akkor a mérés eredménye az abszolút törésmutató.
A Huygens-elv felhasználásával az abszolút törésmutató azt mutatja, hogy hányadrészére csökken a fény sebessége az illető anyagban a vákuumhoz képest.
248 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
E Ismételjük meg előző kísérletünket úgy, hogy most sugárirányban a félhenger palástjára bocsájtjuk a fénysugarat, és az a félhenger síklapján lép ki (3.74. ábra)! Növelve a beesés szögét egy bizonyos szögnél, az ún. határszögnél megszűnik a fénykilépés, tovább növelve a beesés szögét pedig már teljes visszaverődés tapasztalható. Ennek a határszögnek a szinuszára a törés törvénye alapján
1smaji = —n
adódik, ugyanúgy, ahogyan ezt már a mechanikai hullámok esetén beláttuk.
A polarizáció(Hl Bocsássunk keskeny fénynyalábot egy üveglapokból álló
lemezsoron keresztül! Az átmérő fény egy tengelyezett fekete tükörre esik (3.75. ábra).
A tükröt a tengely körül forgatva, a visszavert fény két helyzetében is eltűnik. A lemezsor polarizálta a fényt, a tükörrel
analizáltuk. Amikor eltűnik a fény, a polarizátor és az analizátor „keresztezett” helyzetben vannak.
HJA Brewster-törvény szerint a visszavert fény akkor teljesen poláros, ha a visszavert és a megtört sugár egymásra merőleges. így a törés törvénye alapján a polarizáció szögére
tgcüp = n adódik.
Elhajlást és interferenciát itt már jóval nehezebb előállítani, mint a mechanikai hullámoknál, hiszen a fény hullámhossza egyrészt nagyon kicsi, másrészt koherens fényforrások a fényki- bocsájtás mechanizmusa miatt nem léteznek.
Koherens fényforrásokat a legegyszerűbb létrehozni úgy, hogy látszólag megkettőzzük a fényforrást.
[k] Vékony résen áthaladó fény egy része a vele párhuzamos síktükörre jut, így a nyaláb kettéoszUk: olyan, mintha két fényforrásból érkeznének fénysugarak az ernyőre. Az ernyőn nagyon szép interferenciakép figyelhető meg (3.76. ábra).
___________________ ELEKTRQMÁGNESSÉGTAN________________^
Ernyő
3.76. ábra
[k] A Ti féUg áteresztő tükröt világítsunk meg lézen-el (3.77. ábra)! A nyaláb egy része visszaverődik, másik része továbbhalad. A visszavert rész T2 tükörről, a továbbhaladó rész T3 tükörről verődik vissza. A visszaverődő nyalábok az E ernyőn nagyon szép interferenciaképet hoznak létre (Michelson inter- ferométer).
[k] Erős fénynyalábbal világítsunk meg keskeny rést (3.78. ábra)! Ez a Ycang-féle kettős rés. A résből mint erős fényforrásból kiinduló fényhullámok a szimmetrikus helyzetű és i?2
5.77. ábra
Maximumíí=kha3.78. ábra
Ernyő
keskeny réseket azonos fázisban érik el. Ezekből a résekből a Huygens-elv szerint másodlagos és koherens fényhullámok indulnak ki, és ennek eredményeként a velük szemközti ernyőn megjelennek a jellegzetes interferenciából származó maximum- és minimumhelyek, az útkülönbségtól függően.
Hl Vékony fehér fénynyalábot bocsássunk optikai rácsra (3.79. ábra). Az ernyőn a középső fehér vonalra szimmetrikusan színképek jelennek meg. Legyen a rácsállandó d. Vizsgáljuk meg, hogy az eredeti iránnyal szöget bezáró irányban hogyan kaphatunk fényjelenséget? A rács két szomszédos részéből induló sugarak útkülönbsége
As = dsina
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 251
Ha ez az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse, akkor erősítést kapunk:
dsina = kA
Minden színre máshol van a maximum, ezért kapunk színképet.
4. ATOM- ÉS MAGFIZIKA
4.1. ATOMFIZIKA
4.1.1. AZ ATOMOS FELÉPÍTÉSRE UTALÓ MEGFIGYELÉSEK
Az atomelmélet kezdeti csírái már az ókori görög gondolkodók műveiben megtalálhatók. Először négy őselemet (tűz, víz, föld és levegő) képzeltek el, majd Démokritosz több egyforma atomról (görögül oszthatatlan) beszélt. Kétezer éven át azonban - kísérleti tapasztalat híján - az atomelmélet az anyag szerkezetének pusztán egy elképzelhető leírásmódja maradt.
Komolyabb eszközzé és így a vizsgálat tárgyává csak a XVIII. századtól vált az atomelmélet. Folyamatosan kialakult és hosszú idő után teljes lett a kinetikus elmélet, amelyet a hőtan tárgyalásánál mi is használtunk. A kinetikus elmélet már használja az atomos felépítést, de magukról az atomokról nem mond bővebbet.
Igazán hatásosan először a kémia segítette az atomelmélet kialakulását, a XVIII. század végén és a XIX. században tett felfedezéseivel.
Lavoisier (1743-1794) már tisztázta az elemek fogalmát, s ezek súlyarányát a vegyületekben, majd Proust (1754-1826) felállította az állandó súlyviszonyok törvényét (1801).
[t]A kémiai elemek nem egyesíthetek vegyületekké bármilyen arányban, hanem csak egy, a vegyületre jellemző súlyarány szerint.Röviddel utána Dalton (1766-1844) megfogalmazta a több
szörös súlyviszonyok törvényét (1803).[t] Ha két elem többféle arányban is képes egymással vegjóil- ni, akkor az egjdk elem azon mennyiségei, amelyek a másik elem egy adott mennyiségével vegyülnek, úgy viszonylanak egymáshoz, mint a kis egész számok.
Ezt a tövényt csak az atomelmélet segítségével lehet magyarázni, miszerint minden elem egyes atomjai azonosak, és a különböző anyagok legkisebb egységei (molekulái) kisszámú különböző atomból állnak.
A reagáló gázok térfogatarányai között hasonló törvény fogalmazható meg. Ezután született meg Avogadro (1776-1856) törvénye.
I [t] Azonos nyomás, térfogat és hőmérséklet mellett a gázok azonos számú részecskét tartalmaznak.
A molnyi mennyiségben lévő molekulák száma, amit több módszerrel is meghatároztak:
iV = 6,02 • 10 ^
Bevezették az atomsúly és a molekulasúly fogalmát, amiket mai szóhasználattal relatív atom-, ül. molekulatömegnek nevezünk. Meggyőző bizonyítéknak számított az atomok és molekulák létezésére az Einstein (1879-1955) által értelmezett Brown- mozgás. (Einstein erről szóló dolgozata azonban csak a XX. század elején, 1905-ben jelent meg.)
[3 Ha mikroszkóppal figyelünk füstszemcséket levegőben vagy apró festékszemcséket folyadék felszínén, akkor azok rendezetlen, zegzugos mozgását tapasztaljuk. A levegő, ill. a folyadék molekuláinak véletlenszerű lökdösődése okozza a hozzájuk képest lényegesen nagyobb szemcsék lassúbb, s így már látható mozgását. (Brown, botanikus lévén, eredetileg virágporszemcsék mozgását észlelte mikroszkópjában 1827-ben.)
A XIX. század második felére a kinetikus gázelmélet már tudatosan használta az atom és a molekula fogalmát. Hatalmas sikernek számított, hogy mennyiségi összefüggéseket tudott felállítani a mikrofizikai folyamatokra, a molekulák méretére, tömegére. Nem tudott azonban válaszolni arra, hogyan kapcsolódnak molekulákká az atomok, s nem mondhatott semmit az atom oszthatatlanságáról, vagy ellenkezőleg a belső felépítéséről.
_____________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA__________________ 2M
254 ATOM- ÉS MAGFIZIKA
Az Atomfizika című fejezet ismerteti hogyan fedezte fel a tudomány az eredetileg oszthatatlannak hitt atom belső struktúráját, és hogy miképpen lehet ennek ismeretében megérteni az atomok kapcsolódását.
4.1.2. AZ ELEKTRON FELFEDEZÉSE
Az elektrolízisAz atomok oszthatatlanságának elve a kezdeti kémiai tapasz
talatok alapján fogalmazódott meg, de érdekes módon éppen a kémia adta az első érvet ahhoz a meglátáshoz, hogy az atom valamilyen összetett dolog, továbbá az atomok kapcsolódása és az elektromosság között szoros összefüggés van.
[U Elektrolitoknak nevezzük savak, lúgok, sók oldatait vagy olvadékait, mivel ezek vezetik az áramot, ellentétben például a tiszta vízzel.
[k] Helyezzünk elektrolitba két elektródát és kapcsoljunk rá áramforrást (4.1. ábra). A körben mérhető áramerősség és az idő ismeretében megkapjuk az elszállított töltés nagyságát. Az áram az ionok vándorlásának következménye: az ellentétes elő-
4.1. ábra
jelű töltéssel rendelkező iónok különböző elektródákhoz vándorolnak, semlegesítődnek, s ott általában gáz vagy szilárd alakban kiválnak.
A kinyert anyagok mennyisége, és így az ionok darabszáma kémiai mérésekkel határozható meg. Egy ion töltését megkaphatjuk tehát, ha az áramkör által szállított töltés nagyságát elosztjuk a kinyert ionok számával. A tapasztalat szerint az így kapott töltés mindig egy bizonyos érték egész számú többszöröse:
ahol qion egy ion töltése, Q a szállított össztöltés, amelyetI áram t idő alatt szállít, és Nion az ionok darabszáma.
Ugyanerre az eredményre vezettek Faraday elektrolízissel kapcsolatos tapasztalati törvényei is.
S / áramerősség mellett, t idő alatt az elektródákon levált anyag tömege
m = k -1 -t,
ahol k az elektrokémiai egyenérték, amely az egységnyi töltés által kiválasztott anyag tömegét jelenti, vagyis az elektrokémiai egyenérték az anyagi minőségtől függő állandó.
_____________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA__________________ ^
I [t ] Egy molnyi anyag kiválasztásához annyiszor 96 500 C töltés szükséges, amennyi az illető anyag vegyértéke.A két törvény és az Avogadro-szám ismeretében az egy
vegyértékű anyag egy ionjára jutó töltés:
_ 96 500C _ , g ^* """6 ,0 2 .1 0 2 3 -^ ’^ ^
Úgy tűnik tehát, hogy létezik egy legkisebb töltés, amelynek a kémiai folyamatokban fontos szerepe van.
256 ATOM-ÉS MAGFIZIKA
A Millikan-kísérletE Millikan (1868-1953) angol fizikus vízszintesen elhelyezett
kondenzátorlemezek (4.2. ábra) közé olajcseppeket porlasztott, majd ezeket mikroszkópon keresztül figyelte meg. Egy olajcseppet kiválasztva addig változtatta az elektromos mezőt, míg a porlasztás során töltést kapott olajcsepp lebegni kezdett.Az egyensúlyt a gravitációs erő és az elektrosztatikus erő egyenlősége okozta. Az olajcsepp mérete optikai úton meghatározható, így a következő egyenlőség írható fel:
mg = Vgg= QE = Q ^ a
4.2. ábra
ahol m az olajcsepp tömege, V a térfogata, g a sűrűsége, Q a töltése, E a kondenzátor lemezei közötti térerősség, U a feszültség, d a távolság. Az U feszültség és a lemezek d távolsága mérhetőek, így megkaphatjuk az olajcsepp töltését.
Millikan azt tapasztalta, hogy minden esetben az eleminek nevezhető töltés egész számú többszörösét kapta, vagyis az elemi töltés a legkisebb töltésegység:
g = n - l , 6 - 10-i^C
A hidegemisszió[Hl Vigyünk fémtárgyra töltést, amely - amint az elektrosztati
kából tudjuk - az azonos töltések taszítása következtében a fém felületén helyezkedik el. Nagyon nagy töltés esetében akkora lehet a taszítás, hogy a töltés egy részét kinyomja a felületből, különösen a csúcsok közelében.A környező gázmolekulák zavaró hatását kiküszöbölhetjük, ha a fémtárgyat légritkított térbe helyezzük (4.3. ábra).A jelenség neve hidegemisszió és arra utal, hogy a töltés valamilyen töltéshordozóhoz tartozik. 4.3. ábra
ATOM-ÉS MAGFIZIKA 257
A Richardson-hatásRichardson (1879-1959) angol fizikus figyelte meg azt a jelen
séget, hogy a fémekből minden külső hatás nélkül is kilépnek a negatív töltések.
E Légritkított edénybe egymással szemben két elektródát helyezünk el, az egyiket leföldeljük, a másikra gyenge pozitív feszültséget adunk. Azt tapasztaljuk, hogy az elektródák között áram indul meg (4.4. ábra).
A jelenség magyarázata a következő: a töltés valamely töltéshordozóhoz kapcsolódik, amely a hőmozgás következtében kiléphet a felületből. A földelt elektródából spontán kilépő negatív töltéshordozó nem esik vissza az elektródára, hanem engedve a gyenge vonzó hatásnak, a másik elektródára kerül.
Az izzóelektromos hatásMagas hőmérsékleten erősen megnő a Richardson-hatás, az
izzó fémből már tömegesen távozik a negatív töltés. Ez az izzóelektromos jelenség vagy termikus emisszió.
Ez utóbbi két jelenség az alapja a katódsugárcső, így például a tv-képcső mííködésének. Ezekben a katódot általában külön áramkör ffíti és hevíti izzásig.
258 ATOM- ÉS MAGFIZIKA
A katódsugárcsőE Helyezzünk erősen légritkított térbe két elektródát, s kap
csoljunk rájuk áramforrást! Nagyon kis gáznyomás esetén a ka- tód egy láthatatlan sugárzást bocsát ki, amely abból vehető észre, hogy a katóddal szemben, ahol a sugárzás az üvegburát éri, fényjelenség jön létre, amennyiben az üveg belső felületét fluoreszcens anyaggal vonták be. Ez a sugárzás a katódsugárzás (4.5. ábra).
\ \ \4.5 ábra
A katódsugárzást /. J. Thomson (1856-1940) vizsgálta először. 1897-ben végzett kísérleteiben elektromos és mágneses terek segítségével a katódsugárzásban megjelenő részecske elté- rülését vizsgálta, s ennek segítségével meghatározta annak fajlagos töltését. Az elemi töltés ismeretében kiszámítható volt a részecske tömege is, ezért ezt az időpontot tekintjük az elektron felfedezésének.
Mi a Thomson által elvégzett mérés egyszerűsített változatát mutatjuk be.
[k] a katódsugárcsőben izzókatódot alkalmazunk, a katód és az anód közé ismert gyorsítófeszültséget kapcsolunk. Az anód nyílásán keskeny nyalábban áthaladó, közel egyforma sebességű elektronok ismert erősségű homogén mágneses térben ugyanazon a körpályán mozognak, amelynek sugara meghatározható (4.6. ábra).
A levezetés a következő.0 A körmozgásra vonatkozóan a centripetális erőt a mágneses Lorentz-erő szolgáltatja:
innen v = ^ R B - m
ATOM-ÉS MAGFIZIKA 259
ahol m az elektron tömege, v a sebessége, q a töltése, R a körpálya sugara, B a mágneses indukció.A gyorsítási munka megadja az elektron mozgási energiáját (feltéve, hogy a gyorsítási feszültség néhány százezer V alatt marad, s így az elektron sebessége nem közelíti meg a fénysebességet);
gí7 = ^ mv^
Helyettesítsük ebbe a sebesség kifejezését:
2így a fajlagos töltésre adódik:
q 2Um ~
Az elemi töltés ismeretében az elektron tömege:
m —9,1 ■ kg
Ezzel tehát az elektron polgárjogot nyert, mint az „oszthatatlannak”^hitt atom egyik alkotórésze.
4.1.3. AZ ENERGIAKVANTUM MEGJELENÉSEA XIX-XX. század fordulóján két egymástól független jelen
ség magyarázata során is felmerült az a gondolat, hogy az energiát az anyag nem képes folytonosan felvenni, ill. leadni, amint az a klasszikus fizika alapján joggal feltételezhető volt.
260__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________
A hőmérsékleti sugárzásTapasztalati tény, hogy a testek minden hőmérsékleten hőt
sugároznak ki elektromágneses hullámok formájában. Ez a hő- mérsékleti sugárzás. Az elektromágneses sugárzás intenzitása természetesen nő a hőmérséklet növekedésével, emellett a sugárzás hullámhossz-eloszlása is változik a hőmérséklettel.
H] KirchhofF sugárzási törvénye szerint anyagi minőségtől függetlenül minden anyagra igaz, hogy a kibocsájtás és az elnyelés intenzitásának hányadosa egy adott frekvencia- és hőmérsékletérték mellett állandó.
I ] Abszolút fekete test az az idealizált test, amely minden érkező sugárzást teljes egészében elnyel. (Jó közelítéssel ilyen lehet egy kicsiny nyílású üreg.)
A kísérleti vizsgálatok során a fekete test esetében két fontos törvényszerűséget fogalmaztak meg.
E A Stefan-Boltzmann-törvény szerint az egységnyi felületről egységnyi idő alatt kisugárzott energia arányos a test abszolút hőmérsékletének negyedik hatványával.
[t ] a Wien-féle eltolódási törvény szerint minden hőmérséklethez tartozik egy hullámhossz, ahol a sugárzás intenzitása maximális. Ez a hullámhossz fordítva arányos a hőmérséklettel (4.7. ábra).
A 4.7. ábrán látható tapasztalati összefüggést sok fizikus megkísérelte elméletileg értelmezni, és a függvény matematikai
ATOM-ÉS MAGFIZIKA 261
4.7. ábra
formáját megadni. Ez azonban a klasszikus fizika keretein belül nem sikerült.Max Planck (1858-1947) vizsgálatait szintén az a cél vezérelte, hogy magyarázatot találjon az előbbi törvényekre. 1900-ban kutatásai során arra a meglepő eredményre jutott (bár saját bevallása szerint csak modellszerűen értelmezve), hogy akkor kap kielégítő magyarázatot a tapasztalati eredményekre, ha feltételezi a következőket.
[H Egy test részecskéi (atomok, molekulák vagy ionok) nem folytonosan, hanem elkülönült adagokban (kvantumokban) sugároznak ki és nyelnek el energiát. Ez a véges energiaadag arányos a sugárzás frekvenciájával:
E ^ h f
Az arányossági tényezőh = 6,6.10~^Js, amelyet ma Planck-állandó néven emlegetünk.
így jelenik meg először az energiaadag (energiakvantum) fogalma. Ez a korabeli fizikusok számára megdöbbentő ellentmondásban volt a klasszikus szemlélettel, ami a folytonos energiaközlés lehetőségét természetesnek tartja.
A kristályok fajhőjeDulong és Petit mérései legtöbb kristály molhöjét - ele
gendően magas hőmérséklet felett - 25 J/K értékűnek mutatták. A kristályok többségére széles hőmérséklet tartományban jó közelítés a Dulong-Petit-szabály. Alacsony hőmérsékleten azonban a molhő értéke erősen csökken, és van olyan kristály (pl. a gyémánt), melynek molhője már szobahőmérsékleten is erősen eltér a 25 J/K értéktől.
A magyarázat sokáig váratott magára. Végül Einstein oldotta meg a kérdést 1906-ban, ismerve és felhasználva Planck ötletét.
H] A kristály nem képes akármilyen kis energiát felvenni, hanem csak egy meghatározott kis energiaadag egész számú többszörösét. Ez az energiakvantum arányos a frekvenciával, az arányossági tényező a Planck-állandó.
Einstein megoldásában feltette, hogy a kristályban minden rugalmas hullám azonos frekvenciájú, ami nem helytálló, így az ő modelljét később Peter Debye helyesbítette.
A jelenség magyarázata szintén az energiakvantum létezését támasztotta alá.
262__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________
4.1.4. AZ ELEKTROMÁGNESES HULLÁM ADAGOSSÁGA
A fotoeffektus (fényelektromos jelenség)Tapasztalati tényként ismert az a jelenség, hogy fény hatására
a fémek felületéről elektronok léphetnek ki. Ez a fotoeffektus, azaz a fény elektromos jelenség.
A mérések szerint azonban a fény intenzitásától független az a tény, hogy valóban megtörténik-e az elektron kilökődése az anyagból: ez csak a fény frekvenciájától függ. A vörös fény általában nem, az ibolya ritkán, do. ultraibolya sok fém esetén elegendő a jelenség bekövetkezéséhez. A fény intenzitása csak a kilépő elektronok számát határozza meg, a kilépés bekövetke
ATOM-ÉS MAGFIZIKA 263
zését és a kilépő elektron energiáját nem. A klasszikus szemlélet alapján ezt a tényt nem lehetett magyarázni.
A problémát Einstein oldotta meg, felhasználva a fény, mint elektromágneses hullám adagosságát.
HJA fény nem folytonosan, hanem adagokban, kvantumokban szállítja az energiát. Egy energiakvantum nagysága arányos a fény frekvenciájával.
e = h f
A z elektromágneses hullámban terjedő energiakvantum a fo ton. Az anyagban kötött elektron egyszerre mindig csak egy fotonnal találkozik, amelynek energiája nagyobb kell legyen az elektron kötési energiájánál ahhoz, hogy az elektron kiszabaduljon.
Ezzel a gondolattal lehetővé válik a kötési energia mérése is. A konkrét kísérlet a következő:
E Erősen légritkított üvegedényben helyezzünk el fémlapot, majd vele szemben egy másik elektródát (4.8. ábra). A két elektródát összekötve és a fémlapot megvilágítva, a körben áram folyik. Kapcsoljunk a két elektródára olyan feszültséget, hogy a fémlap legyen pozitív töltésű, és változtassuk úgy a feszültség nagyságát, hogy a kezdeti elektronáramlás az ellentér hatására éppen megszűnjön. Az így mérhető feszültséget megszorozva az elektron töltésével, megkapjuk azt a munkát, amit
a tér végzett, miközben a fémlapból valamilyen sebességgel kilépő elektront lelassította. Ez tehát éppen egyenlő az elektron kezdeti mozgási energiájával. A foton energiájánák egy része tehát a kilépési munkát szolgáltatta, másik része pedig az eltávozó elektron mozgási energiáját adta. A következő összefüggés írható fel:
h f = W + lm v^ = W + qUZiahol
= qU
Ismerve a fény frekvenciáját innen a kilépési munka kiszámítható.
A jelenség gyakorlati alkalmazását látjuk a fotocellák működésekor.
A Compton-effektusCompton (1892-1962) amerikai fizikus végezte el azt a
kísérletsorozatot, amelyben nagy energiájú elektromágneses fotonok szóródását figyelte meg lényegében szabad elektronokon. Ennek során az elektromágneses hullám kvantuma, a foton úgy viselkedett, mint egy részecske, azaz a megszokott energia- és impulzusmegmaradási tételek igaznak bizonyulnak (relativisztikus korrekcióval), ha a foton impulzusát a követke- zólcéppen határozzuk meg.
c Aahol c az elektromágneses hullám sebessége, A pedig a hullámhossza. A foton tömege így a következő:
h f&
264__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________
4.1.5. AZ ELEKTRON MINT HULLÁMAz elektromágneses huUám, a fény kettős természete
(hullámként és részecskeként is képes viselkedni) hívta fel Louis de Broglie (1892-1987) francia fizikus figyelmét arra, hogy az eddig részecskének ismert elektronnak is lehet hullám- tulajdonságot tulajdonítani. Vizsgálatai során a foton esetében bevált gondolatmenetet fordította meg. Ismerve az elektron impulzusát, adjuk meg ennek alapján a hullámhosszát:
A - - - ^
_____________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA__________________ ^
I mvFeltevése helyesnek bizonyult, az elektron hullámhossza az
óta Broglie-hullámhossz néven ismert.A kísérleti bizonyíték 1927-ben született meg. Davisson
(1881-1958) és Germer (1896-1971) amerikai fizikusok elektronnyaláb kristályon való áthaladásakor interferenciát figyeltek meg, ami egyértelműen hullámjelenség. Azóta más részecskékkel (például protonokkal, neutronokkal) is végeztek ilyen diffrakciós kísérleteket, s a hullámtulajdonság minden esetben kimutatható volt.
Broglie feltételezése tehát minden részecskére általánosítható. Gyakorlati alkalmazását látjuk például az elektronmikroszkóp működése során.
4.1.6. Á RÉSZECSKE-HULLÁM KETTŐSSÉGKialakult tehát az a kép, hogy a mikrovilág tagjai, pl. az
elektron és k foton, egyszerre részecske- és hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek, amiknek megnyilvánulásait a körülmények határozzák meg. Általában azt lehet mondani, hogy a mozgás, mint tulajdonság mindegyikre jellemző, és terjedésnél általában hullámként, kölcsönhatásokban általában részecskeként mutatkoznak meg. Ezt a tárgyalási módot az adagosság fizikája néven is emlegetik, innen származik az elnevezés: kvantumfizika.
A matematikai leírás ennélfogva igen bonyolult, hiszen az
összes tapasztalatot egységes rendszerbe kell foglalni. Egymástól függetlenül több fizikus is kísérletezett a matematikai elmélet kidolgozásával. Heisenberg (1901-1976) mátrixokkal, Schrödinger (1887-1961) komplex állapotfüggvénnyel alkotott egységes matematikai leírást, később maga Schrödinger mutatta ki a két leírás egyenrangúságát. Dirac (1902-1984) operátorokkal dolgozott, majd a relativisztikus kiterjesztéssel általánosította a kvantummechanikát.
így jutott el a tudomány a mai szemlélethez, amelynek alapja a valószínűségi leírás. A részecskére jellemző fizikai mennjáség több lehetséges értékét tudjuk adott körülmények között meghatározni, mindegyik értékhez hozzátéve a bekövetkezés valószínűségét. Egy konkrét mérés kimenetele tehát nem jósolható meg biztosan, de meghatározható, hogy több mérést végezve, milyen valószínűséggel kapjuk az egyes értékeket.
A leírt képhez jól illeszkedik az a tétel, amelyet Heisenberg fogalmazott meg minden részecskére vonatkozóan.
H] Egy részecske helyének és impulzusának egyidejű meghatározása nem lehet tetszőlegesen pontos. A két mennyiség bizonytalansága összefügg, a mérési hibák szorzata nem lehet kisebb egy állandó értéknél, bármilyen „pontos” mérőberendezéseket fejlesztünk is ki.
Ezt a törvényt szokás Heisenberg-féle határozatlansági relációnak nevezni.
Például az x tengely menti mozgásra nézve ez így fejezhető ki képlettel:
A A . hAx ■ AIx > —47T
ahol Ax a hely, AIx az x irányú impulzus bizonytalansága, h a Planck-állandó.
266__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________
4.1.7. ATOMMODELLEK
A Thomson-modellA XX. század elejére világossá vált, hogy az atomban találha
tó elektronok ugyanazok, mint a katódsugárzás részecskéi. Magyarázatra várt azonban, hogy mi tartja össze az atomot, milyen szerkezetű, és hogyan magyarázható a kívülről tapasztalt semlegesség.
/. /. Thomson talált először érveket amellett, hogy az atomban található elektronok száma nem túl nagy, az atom tömegének nagy részét a pozitív töltésű rész adja. Elképzelése szerint az atom egész térfogatát kitölti a folytonosan elosztott pozitív rész, s ebben vannak beágyazva az igen kis méretű elektronok. Ezek vagy nyugalomban vannak az atom középpontjában, vagy meghatározott sugarú pályákon körben keringenek. A modell - bár nem sokáig volt elfogadható -, igen pozitív szerepet játszott a kutatásokban, mivel teljes egészében figyelembe vette a klasz- szikus elektrodinamika törvényeit (pl. hogy a gyorsuló töltés sugároz), és itt vetődött fel először az elektronburok héj szerkezete.
A modell azért nem maradt sokáig érvényben, mert hamar kiderült, hogy az atomban viszonylag sok hely van, és így nem lehet folytonos kitöltésű.
A Rutherford-modellRutherford (1871-1937) munkatársaival kísérleteket végzett
az atom szerkezetének vizsgálatára. Nagy energiájú héliumatommagok vékony férnfólián való áthaladásának vizsgálata során a tapasztalat szerint a pozitív töltésű héUumatommagok nagy számban áthaladtak a vékony anyagrétegen. Ez mutatja, hogy az atom igen „szellős” szerkezetű, tömegének nagy része igen kis helyre koncentrálódik. Másrészt néhány részecske jelentősen, nagy szögben elkanyarodott, szóródott, ami csak nagy pozitív töltésű centrumokkal való ütközéssel magyarázható. Ez volt a híres szórási kísérlet.
A konkrét kísérleti eredmények értelmezésével született
_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA__________________ ^
1911-ben meg az újabb atommodell. Eszerint az atom középpontja az atom méreténél három nagyságrenddel kisebb pozitív mag, amely körül, mint bolygók a Nap körül, keringenek az elektronok. Az elektronokat az elektrosztatikus vonzóerő tartja körpályán.
A körpályán keringő elektron azonban, mivel gyorsul, ezért sugároz, és így fokozatosan elveszti energiáját, az atom tehát nem lehetne stabil. A modell ezen hibája hamar nyilvánvalóvá vált.
A Bohr-modellNiels Bohr (1885-1962) a következőképpen oldotta meg az
előző problémát. Alapkövetelményeket fogalmazott meg indoklás nélkül az atomban kötött elektronnal szemben. Ezek a Bohr-féle kvantumfeltételek.
Az atom elektronjai csak meghatározott pályákon keringhetnek a mag körül. Az ilyen pályán keringő elektron - a klasszikus fizika törvényeivel ellentétben - nem sugároz. Az atom csak akkor sugároz, ha az elektron az egyik pályáról a másikra ugrik. Ilyenkor a két pálya közötti energiakülönbséget az elektron egyetlen foton formájában kisugározza, amelynek így az energiája:
h f — En2 -Eni
Energiaelnyelésnél, gerjesztésnél fordított folyamat játszódik le. A modellt később Sommerfeld (1868-1951) fejlesztette tovább, kiegészítve a körpályákat ellipszispályákkal.
Az elmélet legfontosabb érdeme, hogy magyarázatot adott a diszkrét energiaszint létezésére, és a legegyszerűbb esetekben a színképelemzés tapasztalatait is értelmezni tudta. Szemléletes képet festett az elektronpályák alakjáról, az atomfizikával kapcsolatos plakátok többsége ma is ezekhez a modellekhez kapcsolódik.
IS A diszkrét energiaszintek létezését jól igazolták Franck (1882-1964) és Hertz (1887-1975) kísérietei, amelyekben higanyatomokat gerjesztettek gyorsított elektronokkal való ütkö
268__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________
ATOM-ÉS MAGFIZIKA
zéssel. Az elektron csak jól meghatározott energiaadagokat volt képes átadni a higanyatomnak.
A modell végül kiegészült a forgó elektronnal, amelynek így sajátperdülete (spinje) és saját mágneses momentuma van. Ezek a külső mágneses térhez képest különböző módon állhatnak.
Egy atom kötelékébe tartozó elektron így négy kvantumszámmal jellemezhető. Az n főkvantumszám (pozitív egész) a pálya sugarát és ezzel együtt az energiáját jelzi. Az l mellékkvantumszám (értéke l,2 ,...,n -l) a pálya alakját jelzi. Az m mágneses kvantumszám (értéke - 1 és + 1 közötti egész szám), illetve az s spinkvantumszám (értéke +^/2 vagy -^/a) azt határozza nieg, hogy az atomi pálya impulzusmomentuma, ill. az elektron saját impulzusmomentuma a külső mágneses-térhez képest milyen helyzetben van. így értelmezhetők a Zeemann-, ill. Stark-effektus néven ismert jelenségek, amelyekben az atomi energiaszintek mágneses és elektromos terekben megváltoznak, felhasadnak több szintre.
1925-ben fogalmazza meg Pauli (1900-1958) a kizárási elvet.
□ Egy atomban egyensúlyi állapotban minden elektron csak más-más állapotban lehet, azaz nem lehet két elektronnak azonos a négy kvantumszáma.
Ez a Pauli-elv egy atomra vonatkozó megfogalmazása. Megjegyezzük, hogy a Pauh-elv összetett rendszerekben is érvényes.
A Bohr-modell alapfeltevését (a gyorsuló töltés bizonyos pályán nem sugároz) azonban axiómaként igen nehéz volt elfogadni, ezért egyre több kifogás merült fel az elmélettel szemben. Ráadásul a modell a hidrogén után már a hélium spektrumát sem tudta megmagyarázni, nem beszélve a bonyolultabb elemekről. így tehát az elmélet, óriási eredményei ellenére, hibás következtetései miatt túlhaladottá vált, maga Bohr is csak induló lépésnek tekintette, és kortársaival együtt kereste a jobb magyarázatot. Ennek ellenére mind a mai napig használjuk a Bohr-modellt, amit a modell nagyfokú egyszerűsége indokol. Ha a Bohr-modell és a Pauli-elv mellett a természet energiami
nimumra való törekvését is figyelembe vesszük, nyomon követhetjük a Mengyelejev-féle periódusos rendszer felépítését. A rendszer és az elemek sorrendje fizikai magyarázatot kap, aminek igen nagy jelentősége van.
A valószínűségi modell1927-ben kísérleti igazolást kapott de Broglie elektronra vo
natkozó hullámhipotézise, amely nagy lökést adott a korábban említett matematikai vizsgálatoknak. Elfogadottá vált a hullám-részecske kettó'sség, és a határozatlanság irreláció miatt a konkrét elektronpálya tarthatatlansága.
Ma azt mondjuk, hogy az atomon belül az elektron lehetséges tartózkodási helyét és az ott-tartózkodás valószínűségét adhatjuk meg. A legvalószínűbb helyek például a hidrogénatom esetében megegyeznek a Bohr-féle pályáknak megfelelő gömbhéjakkal. A kvantumszámokat továbbra is használjuk, azonban nem annyira a pálya alakja, sokkal inkább az elektron energiaszintjeivel kapcsolatban, ami persz^ szorosan összefügg az előfordulási tértartomány mintázatával.
Ha szemléltetni akarjuk az atomon belüh elektront, akkor inkább az állóhullámokhoz hasonlítjuk. így talán látható, mit is jelent az, hogy az elektron a lehetséges helyeket egyszerre kitölti. Ha azonban detektálni, befogni akarjuk az elektront, az részecskeként, egy pontban jelenik meg.
270__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________
4.1.8. KÉMIAI KÖTÉSEKA kvantummechanika magyarázatot ad az ún. zárt elektron
héjak stabilitására, így a kémiai kötésekért általában a külső elektronok a felelősek. Az egyszerű kötések ezután már köny- nyen érthetőek.
A heteropoláris (ionos) kötésHa egy-két elektron helyezkedik el az utolsó zárt héjon kívül,
akkor azok könnyen leszakíthatok az atomról. Ha viszont néhány hiányzik a zárt szerkezethez, akkor az atom könnyen befog elektronokat. így egyszeres elektroncsere megy végbe például a NaCl esetében, és kétszeres a ZnS létrejöttekor. Az elektron elvesztése vagy befogása azonban elektromosan töltött iont eredményez, amelyeket a Coulomb-törvény szerint vonzóerő tart össze.
A homeopoláris (kovalens) kötésSemleges atomok kapcsolódását a valószínűségi pályák alap
ján gyakran könnyen megérthetjük. Például két hidrogénatom magja taszítja egymást, tehát szétlökődnének. A két pozitív mag vonzóereje azonban kölcsönösen megváltoztatja egymás elektronjának valószínűségi pályáit. Mindkét elektron lehetséges helyei közül nagy valószínűséget kap a két mag közötti tartomány, leárnyékolják a magok taszítását, ezzel jön létre a hidrogénmolekula. Nagyobb atomok esetén is hasonló a helyzet.
A fémes kötésFémek esetén a legkülső elektronok nem rendelhetők külön
álló atompárokhoz, hanem a fémrácshoz, mint egészhez tartoznak. A fémek rácsszerűeh összekötött atomtörzsekből állnak, amelyek között a leszakadt vegyértékelektronok elektrongázként szabadon mozognak. A pozitív töltésű atomtörzsek és a negatív töltésű elektronok közti vonzóerő tartja össze a rácsot.
A Pauli-elv a fémek részben szabad elektronjaira is érvényes. Mivel a sok elektron egyszerre az egész rácshoz tartozik, ezért az energiaszintek sokszorosan felhasadnak. Ez azt jelenti, hogy energiasávok alakulnak ki, amelyeken belül nagyon sok, egymáshoz igen közeli energiaszint valósul meg. Ezeket a sávokat töltik be az elektronok.
_____________________ ATOM-És MAGFIZIKA__________________ ^
4.2. MAGFIZIKA
4.2.1. AZ ATOMMAG LÉTEZÉSE[Hl A Rutherford-féle szórási kísérlet lényeges elemeit az
atommodellek tárgyalása kapcsán ismertettük. Most emeljük ki az atommagra vonatkozó fontos következtetést. A bombázó részecskék nagy számban keresztülhaladtak az anyagon, amiből az következik, hogy az atom nem tömör felépítésű. Kiderült, hogy az atom igen kisméretű, pozitív töltésű magból és az elektronok alkotta burokból áll. A mag méretére öt nagyságrenddel kisebb értéket kaptak a mérések során, mint maga az atom mérete. így érthetővé válik, hogy a mag pontszerű, pozitív töltésnek felel meg, tehát a kémiai folyamatokban az atommag nem is játszik szerepet.
Az atomfizika tárgyalása során láttuk, hogy a tudósok figyelme a XX. század első évtizedeiben elsősorban az atom külső tartományára, az elektronburok leírására irányult. Bár az atom magjával kapcsolatos jelenségek már 1896-tól, a radioaktivitás felfedezésétől kezdve jelen voltak a kutatási témákban, a külső burok és a mag vizsgálata csak Rutherford kísérleti eredményeinek következtében válhatott ketté. Ez az 1911-es dátumhoz kapcsolódik. Ettől kezdve vizsgálták tudatosan az atom magját, s a figyelem a neutron felfedezése után, a harmincas években fordul igazán e terület felé.
A magfizikai kutatások során le kellett győzni az elemek egyforma atomjaiba vetett hitet, amit a kémia eredményei mindaddig általános törvényként sugalltak. Az egyes elemek atomjai sem bizonyultak mindig egyformának például tömegük, radioaktivitásuk alapján, s megjelentek a spontán elemátalakulások, ahogyan azt az alkimisták elképzelték. Emellett kiderült, hogy a magban lezajló folyamatok sok nagyságrenddel nagyobb energiafelszabadulással járnak, mint a kémiai folyamatok. Ez elvezetett a tömegmegmaradás és az energiamegmaradás törvényeinek egységesítéséhez, a tömeg-energia ekvivalenciaelv felismeréséhez.
272__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________
4.2.2. AZ ATOMMAG FELÉPÍTÉSE
A proton felfedezéseMár Rutherford feltételezte a kísérleti tapasztalatok alapján,
hogy léteznie kell egy olyan részecskének, amelynek az elektron töltésével egyező abszolút értékű, pozitív töltése van. Tömegét az atommagok osztályozásával lehetett megbecsülni, ha az elemek atomjainak tömegét a hidrogénatom tömegével összehasonlították. A becstilt érték az elektron tömegénél kb. 1840-szer nagyobbnak adódott.
[1 Az elem rendszáma (Z) megadja a semleges atom külső burkában lévő elektronok számát, ill. a mag ezzel egyenlő pozitív töltéseinek számát.
[U Az elem relatív tömegszáma (A) azt fejezi ki, hányszor nagyobb tömegű az illető elem egy atomja a hidrogénatom tömegénél, ill. mai megfogalmazás szerint a szénatom tömegének 12-ed részénél.
A feltételezett részecske gondolata annjdra természetes volt, s egyéb paramétereit is olyan pontosan meg lehetett határozni, hogy létezésében senki sem kételkedett, s a kutatások, számítások eszköze lett. A proton elnevezést is Rutherford adta. A kísérleti bizonyítással azonban 1925-ig várni kellett, így a proton ékes példája a tudományos előfelfedezések fontosságának.
B A kísérleti kimutatás P. Brackett (1897-1974) nevéhez fűződik, aki atommagok ütközéseit vizsgálta. Sikerült rögzítenie azt az eseményt, amikor a nitrogénmag elnyelte az ütköző részecskét, s protonkibocsátás mellett oxigénmaggá alakul át. Ezzel vált bizonjatottá a proton létezése.
A neutron felfedezéseRutherford a kísérleti tapasztalatok alapján először úgy kép
zelte (1910), hogy a Z rendszámú magban A darab proton és A -Z darab elektron található, így válik kívülről semlegessé az
_____________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA__________________ ^
atom, és a protonokat és elektronokat az elektromos vonzóerő tartja össze. Elképzelését azonban el kellett vetnie, amikor Heisenberg 1927-ben kimutatta annak tarthatatlanságát. A határozatlansági törvény szerint ugyanis, ha az elektron a mag méretének megfelelő igen kis helyen tartózkodna csak nagy valószínűséggel, akkor impulzusa, s ezzel sebessége olyan nagy lenne, hogy ekkora mozgási energiával nem lehet ott tartani a Coulomb-erő segítségével. így már nagyon hamar felvetődött egy semleges részecske létezésének gondolata.
(H 1930-ban különös jelenségeket észleltek a kísérletezők, mikor berilliumot héliummagokkal bombáztak. A bombázás hatására olyan áthatoló sugarat kaptak, amely vastag ólomlemezen is áthatol és nem ionozál, vagyis töltéssel nem rendelkezik. A sugárzás hatására a hidrogéntartalmú anyagból hihetetlen energiájú protonok léptek ki. A jelenséget Chadwick (1891- 1974) értelmezte 1932-ben, neutronok kilépésével, a következő reakció szerint;
2Hé -f4 Be® = 6 + 0
A hélium" és beriliumatom találkozásakor tehát szén és az eddig ismeretlen sugárzást alkotó részecske, neutron keletkezett. Ez a felismerés tekinthető a neutron felfedezésének.
A neutron ismeretében módosul az atom szerkezetéről alkotott kép. A mag Z darab protont és A -Z darab neutront tartalmaz, az atomburokban pedig Z darab elektron kap helyet.
A nukleonok
IE A proton és a neutron, azaz a mag alkotói, közös neve a nukleonok.
A nukleonok sokkal nagyobb tömegűek, mint az elektron. A neutron kicsit nagyobb tömegű a protonnál:
274__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA________ _____________
= 1, 672648- 10^27
ATOM-ÉS MAGFIZIKA 275
m „ = 1,674953-10-2^ A;5
me = 9,10953- 10"^^
Eszerint tehát az anyag igen szellős felépítésű. Tömegének 99,98%-a az atomok magjában, nagyon kis helyen van össze- síJTÍtve. A mag 16 nagyságrenddel sűrűbb, mint az elektronburok.
Mivel a neutron tömege közel azonos a proton tömegével, ezért első pillantásra megdöbbentő, s igen fontos mérési eredményként adódik az a tény, hogy az elemek tömegszáma közelítőleg sem fejezhető ki egész számmal. Kiderült, hogy egy adott elem magjában, azonos protonszám mellett, különböző számú neutron lehet. A többféle előfordulás miatt átlagos értékként kapjuk a törtszámmal kifejezett atomsúly értéket.
IH] Egy adott elem különböző tömegszámú atomjai az illető elem izotópjai.
A különböző izotópok tehát kémiailag egyformán, de más szempontból (például stabilitásukat tekintve) különbözőképpen viselkednek. Éppen ezért van nagy jelentőségük a magfizikai folyamatokban.
A mérések szerint a protonok és neutronok száma a kis rendszámú elemek magjában általában azonos. A nagy rendszámú
elemek esetén ez az arány eltolódik a neutronok javára, ami a rendszám és a tömegszám összehasonlításával jól látható (4.9. ábra). A tapasztalat a későbbiekben akkor válik érthetővé, amikor megvizsgáljuk a magot összetartó erőt, ill. az atommag energiaviszonyait.
Erős kölcsönhatásAz atommagot összetartó erőhatás természetének teljes meg
értése az elméleti fizikusok számára a mai napig sem lezárt problémakört képez. A gravitáció nem elég erős. Az elektromos vonzás nem jöhet szóba, hiszen a neutron semleges részecske, míg az egymáshoz rendkívül közel elhelyezkedő protonok óriási erővel taszítják egymást. Egy új típusú kölcsönhatás jelenik meg tehát a nukleonok között, amelynek általános jellemzői a következőkben foglalhatók össze:
- a kölcsönhatás elektromos töltéstől független,- bármely két nukleon között vonzás jellegű,- erősebb, mint az elektromos, hiszen legyőzi a protonok
taszítását (innen származik az elnevezés),- igen kis hatótávolságú, csak a közvetlenül szomszédos né
hány nukleon között hat.
Az atommag sűrűségeHofstadter (1915-) szórási kísérleteket végzett az atommag
méretének pontosabb vizsgálata céljából. A mérések megerősítették Rutherford eredményeit, miszerint az atommag méretének nagyságrendje
Hofstadter méréseinek következményeként adódott viszont egy, az energiaviszonyok szempontjából, nagyon fontos felismerés. Ha egy nukleon átlagos sugara
ro S 1, 2 -
és a mag sugara evvel és a tömegszámmal kifejezhető
276__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________
akkor az atommag térfogata képlettel kifejezve
V = ^P?T^ = ^rl'K-A
Tehát az atommag térfogata a tömegszámmal arányosnak bizonyult.
Ez azt jelenti, hogy a mag sűrűsége nem nő a tömegszám növekedésével, mint az elektronburok sűrűsége. Mint látni fogjuk, ez a tapasztalat sugallta az energetikai leíráshoz az egyik lehetséges magmodellt, amely az atommagot az állandó sűrűségű, ösz- szenyomhatatlan folyadékcsepphez hasonlítja.
_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA__________________ 277
4.3. ENERGIAVISZONYOK A MAGBANAz atom és a magfizikában használatos energiamértékegység
az elektronvolt (eV):
[U 1 eV annak az elektronnak a mozgási energiája, amely álló helyzetből 1 V feszültség hatására gyorsult fel, tehát leV = 1,602 ■ A magfizikában szokásos energiák nagyságrendje az elektronvolt milliószorosa: lO^eV = IMeV (ejtsd: megaelektronvolt).
4.3.1. A TÖMEGDEFEKTUS[U Ha a magot alkotó nukleonok saját tömegét összeadjuk, akkor nagyobb értéket kapunk, mint a mag tömege. Ez a jelenség a tömegdefektus (tömeghiány). Képlettel:
Z ■mp + {A — Z) ■ run > M
E tényhez tartozik még egy kísérleti tapasztalat. Például, amikor egy deutériummag létrejön, ami egy protonból és egy neutronból áll, azaz a nukleonok kölcsönhatásba kerülnek, egy igen nagy energiájú elektromágneses foton távozik el, tehát a folyamat energiafelszabadulással jár. Összetett magoknál a nukleo-
nők beépülése természetesen több lépcsőben zajlik. A folyamatot megfordíthatjuk. Ha a nukleonokat újra szét akarjuk szakítani, azaz a kötéseket felbontani, akkor ehhez az elektromágneses sugárzás által elvitt energiát kell befektetnünk.
A magyarázat a relativitáselméletben megfogalmazott tömeg-energia kapcsolat segítségével adható meg. A hiányzó tömegnek megfelelő energiát a keletkező és eltávozó fotonok viszik magukkal.
Im A tömeghiánynak megfelelő energia a kötési energia:
A M ■ = Ekötési
A tömeg-energia ekvivalenciájának elve alapján tehát a folyamatok tömeg és energia egységekben is leírhatók. A tömeget gyakran relatív atomtömegegységekben adják meg.[S Példa a kétféle leírásra:Hidrogén és lítium egyesülésekor két héhumatom és felszabaduló energia keletkezik. Az első sor a kémiában használatos reakcióegyenlet, a második sor a relatív atomtömegeket mutatja, az energiát is ilyen egységben kifejezve:
\H + iL i = \He + \He + 17 ,4 MeV 1,007825 + 7,016005 = 4,002604 + 4,002604 -I- 0,018622
B Példa a tömeg-energia átszámításra:Egy hélium atommag összetevőit relatív atomtömeg egységekben kifejezve a tömegdefektus nagyságát átszámíthatjuk energiaegységbe:
2p + 2n 7 \He2-1 ,00727661 + 2 -1 ,00866520 7 4 ,001507
Am = 0,0303766 {rel. at. töm eg) = 28,298 MeV
A kötési energiát elosztva a tömegszámmal megkapjuk az egy nukleonra jutó átlagos kötési energiát:
Am 28,298 MeV ^— = ^ ^ ------- = 7,074 MeVA 4
Az atommag energiáját az előzőek alapján általában a következő módon jellemezzük. Zérus potenciális energiájú állapot
278__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________
nak tekintjük a nukleonok szabad állapotát. Ha a nukleonok atommaggá kapcsolódnak össze, akkor a mag együttes energiája a kötési energiának megfelelő értékkel csökken a zérus alá, vagyis negatív. Ebből az állapotból természetesen pozitív energiabefektetéssel tudjuk a nukleonokat kiszakítani. A mag létrejötte pozitív energiafelszabadulással jár.
4.3.2. AHÉJMODELL(1934)Az egyik lehetséges magmodell a következő megállapításon
alapszik. A nukleonok csak a közvetlen szomszédjukhoz kapcsolódnak erős kölcsönhatással így más jellemző potenciálgörbét képzelhetünk el a leírásukhoz, mint az elektron esetében. Az összes nukleontól származó közepes potenciáltér alakul ki, amelyben minden egyes nukleon a többitől független, önálló mozgást végez. A nukleonok állapotaihoz ugyanakkor hasonló módon rendelhetünk kvatumszámokat, mint az elektron esetében. Itt is érvényes a Pauli-elv, azzal a különbséggel, hogy itt mindig az azonos spinű helyzetet veszik fel először (Anti- Hund-szabály). Ezenkívül külön érvényes a Pauli-elv a protonokra és a neutronokra. Ezekkel a megállapításokkal dolgozik a modell (4.10. ábra).
_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA__________________ 279
Potenciál-gödörG n e r g ia s z in t j e i
4.10. ábra
A modell érdeme többek között az, hogy indoklást ad az atommag belsejében diszkrét energiaszintek létezésére. Segítségével értelmezhetjük a fotonkibocsátást, mint egy újonnan
keletkezett vagy megkötött nukleon alapállapotba kerülésének következményét, hasonlóan az elektron fotonkibocsátásához. Ezenkívül a modell utal lezárt héjú, tehát stabil magokra. De ez valóban csak utalás, mivel a tapasztalatok szerint egészen más nukleonszámoknál találunk kiugró stabilitást. A tapasztalt stabil nukleonszámok a következők; 2, 8, 20, 50, 82,126. Ezeket a számokat csak jóval később, egy javított héjmodell segítségével tudták értelmezni.
4.3.3. ACSEPPMODELL(1936)Ehhez a modellhez az a gondolat vezetett, hogy az atommag
sűrűsége minden atommagra közelítőleg egyforma. Ez a tulajdonság a folyadékcseppre jellemző, innen az elnevezés.
A modell segítségével a tömegdefektus a következő empirikus képlettel bontható fel tagokra:
280__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________
M = Z ' Ui p ^ {A - Z ) - m n -
A zárójelben lévő kifejezés a tömeghiány, különböző tagokra bontva. Az első tag a nukleonok számával egyenesen arányosan növekvő, úgynevezett térfogati energiát fejezi ki, azaz az erős kölcsönhatást. Ez tehát mélyíti az energiát, ami a mag stabilitása szempontjából javítja az energiamérleget. A második tag, mivel a tömegszám harmadik gyöke a mag sugarával arányos (lásd korábban), így a mag sugarának négyzetével, azaz a mag felületével arányos. Azt fejezi ki, hogy a mag felületén lévő nukleon kevésbé kötött állapotban van, ezért rontja a stabilitást. A harmadik tag a rendszám, azaz a protonok számának négyzetével arányos, vagyis az elektrosztatikus taszítás hatását fejezi ki, ami szintén rontja a stabilitást, emeU az energiaszintet. A negyedik tag azt jelenti, hogy a protonok és neutronok egyenlő számától való eltérés rontaná a stabilitást, amit a tömegszám növekedése javíthat, ezért szerepel A a nevezőben. Végül az utolsó korrekciós tag a nukleonok páros vagy páratlan számára utal, ami javíthatja, de ronthatja is a stabilitást.
Az energiamérlegen való rontás és javítás akkor érthető elő- jelhelyessen, ha az egy nukleonra jutó, ún. fajlagos kötési ener
ATOM-És MAGFIZIKA 281
giát fejez ki. Az előbbi zárójelben lévő kifejezést tehát (-l)-e l és c^'-tel szorozva, valamint A-val osztva, a következő kifejezéshez jutunk:
E b2A ' ^ - h
A modell legnagyobb sikerét a maghasadás értelmezésével aratta.
Mindkét eddig tárgyalt modell csak bizonyos jelenségkör leírására alkalmas, mint ahogy készült úgynevezett optikai modell is a magreakciók kvantitatív leírására. Az egységesítési törekvések eredményeképpen 1952-ben született meg a kollek- tívmodell, Aage Bohr (1922-, Niels Bohr fia) és Mottelson (1926-) munkája nyomán.
4.3.4. A FAJLAGOS KÖTÉSI ENERGIAAz egy nukleonra jutó átlagos kötési energia, a fajlagos kötési
energia. A-tói és Z-tól függő kétváltozós függvény. Ezt ábrázolva egy felületet kapunk, amelynek metszetei a tömegszám mentén haladva parabolák, hiszen a függvény Z-ben másodfokú. Ábrázoljuk a fajlagos kötési energiát most a másik változó, a tömegszám szerint. (4.11. ábra)
4.11. ábra
A görbe alakját a kötési energia egyes tagjai különböző tartományokban más-más mértékben határozzák meg. A kis tömegszámú elemek esetében az összes nukleonszámhoz képest sok nukleon található a mag felszínén, azaz kevésbé kötött állapotban. Ezért a felületi energiatag erősen emeh az energiaszintet. A nagy tömegszámú elemeknél a felületi energia jelentősége csökken, viszont egyre több a protonok száma. Ezért nő a Coulomb-erő taszító hatását kifejező tag, s ezzel együtt emelkedik áz energiaszint. Itt rontja még a stabilitást a protonok és neutronok számának egyre nagyobb eltérése is.
A jellegzetes görbe bal oldala azt mutatja, hogy nő a kötési energia, azaz mélyül az energiaszint, ha a nagyobb tömegszám felé haladunk. Ez azt jelenti, hogy a kis tömegszámú elemeknél az egyesülés, a fúzió során szabadul fel energia, ez lehet az energiatermelés módja.
A görbe jobb oldalán a nagy tömegszámú elemek találhatók. Itt akkor haladunk a mélyebb energia felé, ha bomlanak a magok, hasadnak. Ez tehát a másik energiatermelési lehetőség.
Mindkét utat részletesebben tárgyaljuk.A görbének minimuma van az 58 tömegszám környékén. Ez
azt mutatja, hogy a természetben lejátszódó energiatermelő magreakciók ezen állapot, tehát a vas felé haladnak. Szokás ezért a teljes energiafelület ezen részét „vastónak” nevezni. (Az Univerzum még fiatal - sok mag még nem jutott el a „vastóba”.)
282__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________
4.4. A RADIOAKTIVITÁS
4.4.1. A RADIOAKTÍV SUGÁRZÁSA radioaktivitás jelensége már nagyon korán, az atommaggal
kapcsolatos vizsgálatokat évekkel megelőzve, ismertté vált. Becquerel (1852-1908) francia fizikus uránsókkal végzett más jellegű kísérletei során figyelt fel arra, hogy az uránsó kristályának közelében hagyott fényképlemezen előhívás után a kristály nyoma láthatóvá vált. A felfedezést tudatos vizsgálatok követték. Ő, majd később a Pierre és Marié Curie, ill. Rutherford
több radioaktív elemet is felfedeztek, s ezek vizsgálata során lassan fény derült a sugárzás természetére.
A sugárzásokat elektromos vagy mágneses téren átvezetve, azok három különálló részre bomlanak, amelyek erősen különböző tulajdonságokat mutatnak. Az is kiderült, hogy a sugárzások a mágból erednek külső energiabefektetés nélkül, tehát magfolyamatok eredményeképpen jönnek létre. A tulajdonságok értelmezésére és magyarázatára azonban csak akkor kerülhet sor, mikor a valószínűségi leírás és a magmodellek megszülettek.
4.4.2. A RADIOAKTÍV SUGÁRZÁSOK JELLEMZŐI
Az a-sugárzás kétszeresen ionizált He atommagokból áll. Ezek a részecskék tehát elég nagy tömegűek, pozitív föltésűek. Az első szórási kísérleteket éppen evvel a részecskével végezték. Az a-részecskét két proton és két neutron alkotja.
m Az a-részecske előfordulási valószínűsége az atommagon kívül sem zérus a radiaktív elemek esetében. Ez ad lehetőséget arra, hogy a magból bizonyos valószínűséggel kiléphet egy ilyen nukleoncsoport. Ez a jelenség az alagút-effektus.
Ha az előző esemény bekövetkezik, akkor új elem keletkezik, a rendszám 2-vel, a tömegszám 4-gyel csökken. Ez a sugárzás a részecskék természeténél fogva nem nagy energiájú, kis áthatoló képességű.
A ^-sugárzás kétféle lehet, áthatoló képessége nagyobb az előző sugárzásénál. Vagy elektronokból, vagy azok antirészecs- kéiből, a pozitronokból áll. Ez utóbbiak az elektronnal azonos tömegű részecskék, töltésük az elemi töltés nagyságával megegyezik, de pozitív előjelű. A sugárzás létrejöttekor egy nukleon (neutron vagy proton) megsemmisül és egy másik nukleon, az elektron vagy a pozitron, ill. egy eddig ismeretlen semleges részecske jön létre, amely utóbbi kis tömegű és igen nagy áthatoló képességű. A folyamattól függően ez a semleges részecske
_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA__________________ ^
a neutrínó vagy annak antipárja. A ^-sugárzás bekövetkezésekor így a tömegszám nem változik, a rendszám 1-gyel változik, nő vagy csökken.
[p] Példák a /3-bomlásra:
(3~ n + e~ + v (proton, elektron, antineutrino)
n + e' + v (neutron, pozitron, netrino)
A /3-átalakulás általában azért jön létre, mert az atommagban egy a-rész kiválása után nem megfelelő a proton-neutron arány, hiszen ezek száma a nagy rendszámú elemeknél nem egyenlő. Az átalakulás ezt az arányt hozza helyre, amely során új elem keletkezik.
A harmadik, a ^-sugárzás nem hajlik el sem elektromos, sem mágneses térben. Ez nagy energiájú, nagy áthatoló képességű elektromágneses sugárzás. Létrejöttét az okozza, hogy a keletkezett neutron vagy proton nem a lehetséges legkisebb energiájú állapotban jön létre, hanem magasabb energiájú gerjesztett állapotban, és egy 7 -foton kibocsátásával jut a megfelelő szintre. ^-sugárzás során a tömegszám és a rendszám nem változik, nem keletkezik új elem.
4.4.3. A TERMÉSZETES RADIOKTIVITÁSLáthatjuk, hogy a három sugárzás egymás után bekövetkező
magátalakulások során jön létre. Ha a fajlagos kötési energia görbéjére tekintünk, érthetővé válik, hogy ilyen folyamatok során közelítenek a nagy rendszámú elemek a vastó felé, azaz a minimáUs energiájú állapot felé.
1 ] A radioktív magátalakulások tehát a természetben lejátszódó spontán folyamatok lehetnek. Ez a jelenségkör a természetes radioktivitás.
284__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________
Az atommagokat csoportosíthatjuk stabil és radioaktív magokra. Ez a felosztás azonban önkényes, hiszen a stabilnak tekintett magokról is kiderül, hogy bár hosszú idő alatt (azaz kis valószínűséggel), de elbomlanak. Megállapodás szerint akkor tekintünk stabilnak egy izotópot, ha ahhoz, hogy atomjainak fele elbomoljon, hosszabb idő szükséges, mint a világegyetem jelenlegi életkora, ami körülbelül tizenhatmilliárd évre tehető.
A radioaktív bomlások mennjdségi jellemzésére vezették be a következő fogalmakat.
[l Ha egy t időpillanat utáni rövid Aí időintervallumban An(í) darab bomlás következik be,, akkor a következő kifejezés a folyamat erősségét jellemzi, és aktivitásnak nevezzük:
An(í)O' — -----—Aí
A negatív előjel arra utal, hogy a magok száma csökken.
[H Az aktivitás arányos a meglévő magok számával n(t), ahol az arányossági tényezőt (A) bomlásállandónak nevezzük:
a{t) = A • n{t)
_____________________ ATOM-És MAGFIZIKA__________________ ^
A természetben található radioaktív izotópok darabszáma a természetes radiaktivitás során bekövetkező bomlásokkal csökken. A csökkenés azonban nem egyenletes. Nagy számú atomot vizsgálva, statisztikusan egy bizonyos izotóp még meglévő atomjainak mindig azonos hányada bomlik el azonos időtartamok alatt, mértani sorozat szerint. Egy konkrét atom bomlásának bekövetkezéséről azonban semmit nem mondhatunk.
[U Ha egy radioaktív izotóp atomjainak fele T idő alatt bomlik el, akkor minden újabb T időtartam alatt a megmaradt atomok fele fog elbomlani. Ez az időtartam a felezési idő.
Ha a kezdeti atomszám n(0), akkor t időpillanatban a még meglévő atomok száma:
n{t) — n(0) • 2~ ?
A radioktív bomlás során létrejövő izotópok gyakran szintén radioaktívak, azaz tovább bomlanak. így jöhetnek létre hosszú bomlási sorok. Mivel a tömegszám csak 4-gyel képes változni (a-átalakulás), ezért egy bomlási sor minden tanának tömegszámát 4-gyel osztva azonos maradékot kapunk. így tehát 4 család különböztethető meg (4.12. ábra).
286__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________
4.4.4. AZ INDUKÁLT RADIOAKTIVITÁSm Az instabil izotópmag nem csak a-átalakulás során eshet szét. Előfordulhat kis valószínűséggel, hogy a nagy tömegszámú atommag két nála kisebb, de a héliummagnál nagyobb atommagra bomlik szét. Ez az esemény a hasadás, amely általában a már ismert radioaktív sugárzásokkal jár együtt.
4k család 232xh ^ 20|Pb T = 1,8 • 10^“ év4k + 1 család 2gNp ^ T = 2,14 • 10« év4k + 2 család ^ T = 4 ,5 -1 0 » é v4k + 3 család 23|u 207p,, t = 7 ,04-10* év
A viszonylag nagy felezési idők miatt spontán hasadás ritkán következik be a természetben. Valamilyen külső gerjesztés azonban jelentősen megnövelheti a bekövetkezés valószínűségét. Ilyen külső gerjesztés lehet például egy lassú neutron befogása. Szabad neutronokat viszont a nagy tömegszámú elemek maguk szolgáltatnak bomlásuk során. Ennek okát könnyű belátni, hiszen tudjuk, hogy a neutronok száma ezen elemeknél egyre nagyobb a protonokhoz képest. Hasadás közben azonban kisebb tömegszámú elemek keletkeznek, amelyekben fölösleges neutronok lesznek és ezek eltávoznak az újonnan keletkezett magokból. Szilárd Leótól (1934) származik az ötlet, hogy hasznosítani kellene ezeket a neutronokat újabb hasadások in- dukálásához.
Hahn (1879-1968) és Strassmann (1902-1981) mutattak ki először olyan hasadási folyamatot kísérletileg 1938-ban, amikor egy nagy tömegszámú elem, az urán neutronokkal való bombá
zásakor két közepes tömegszámú elem, két-három szabad neutron keletkezett. Ezek megjelenése adja a lehetőséget, hogy újabb hasadást okozva, a hasadások láncszerűen kövessék egymást, és a folyamat önmagát tartsa fenn. A láncreakciót először 1942-ben Fermi (1901-1954) csoportjának sikerült a gyakorlatban megvalósítani.
_____________________ ATOM-És MAGFIZIKA__________________ ^
4.5. A MAGENERGIA FELHASZNÁLÁSA
4.5.1. HASADÁSOS REAKTORIsmerkedjünk meg a gyakorlati felhasználás problémáival! A
hasadás során keletkezett szabad neutronok nagy energiával távoznak az új magok közeléből. A nagy energiájú neutronok azonban kis valószínűséggel ütköznek újabb magoknak, azaz kicsi az ütközési hatáskeresztmetszetük. Ezért a neutronokat le kell lassítani.
A lassításhoz használt közeg a moderátor, amely általábanvíz vagy grafit.
Ha a neutron hamar elhagyja az anyagot, akkor szintén nem következhet be az újabb ütközés. így vagy elegendően nagy tömeget, úgynevezett kritikus tömeget halmozunk fel a hasadásra képes anyagból (ezt alkalmazzák az atombombában a folyamat szabályozása' nélkül) vagy a moderátort a hasadó anyag kisebb darabjai közé kell elhelyezni. Ez utóbbi valósul meg a reaktorokban.
A folyamatot a békés célú felhasználás során szabályozni kell. Tehát a láncreakciót fenntartva, a hasadó magok és az újabb hasításra képes néutronok száma legyen közel egyenlő. Ezt olyan anyagokkal érik el, amelyek a fölösleges neutronokat könnyen befogják, például a kadmiummal vagy a bórral.
A hasadás következtében létrejövő ütközések során hő keletkezik, amit el kell vezetni a reaktorból. Erre a célra szintén a vizet használják. A keletkező magas hőmérsékletű és nyomású víz vagy vízgőz viszi el az energiát.
A reaktorokban általában az uránt használják fűtőanyagként. Az urán izotópjai köztil azonban csak a 235-ös vesz részt a folyamatban nagy valószínűséggel. A 235-ös izotóp a természetes uránércben csak 0,7%-bán található, amely nem elegendő a folyamat fenntartásához. Ezért az uránércet felhasználás előtt dúsítani kell, íizaz növelni kell a 235-ös izotóp arányát a 238-as izotóphoz képest.
A hasadás során keletkező radiaktív elemek és a berendezések radiaktíwá váló tagjai erősen sugároznak, emiatt meg kell oldani a sugárvédelmet is.
A ma használatos reaktorok egyik fajtája a nyomottvizes reaktor. Ebben a dúsított urántömbök között nagy nyomású vizet keringtetnek zárt körben, a víz a moderátor és a hűtő feladatát is ellátja. A szabályozást például kadmiumrudak automatikus mozgatásával biztosítják. A keletkező vízgőz másik zárt vízkör vizét melegíti, ott gőzt termel, s ez hajtja meg a turbinákat, hogy a generátorokból elektromos energiát kapjunk. A biztonságot a szigorúan ellenőrzött zárt rendszerek, a sugárvédelmet biztosító falak és a nagyfokú, többlépcsős automatizálás adja.
288__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________
4.5.2. A FÚZIÓS ENERGIAA fajlagos kötési energia grafikonja már utalt arra, hogy nem
a hasadás az egyetlen lehetséges módja a magenergia hasznosításának. A könnyű magok esetében nem a bomlás, hanem az egyesítés, a fúzió jár energiafelszabadulással. Ilyen folyamatok játszódnak le a csillagok belsejében, mint látni fogjuk a csillagászat tárgyalása során, ahol a fúziós folyamatok konkrét leírása is megtalálható. A mai kutatások egyik legnagyobb problémája a fúziós energia ipari hasznosításának megoldása. Uránérc viszonylag kevés található, tengervíz és benne hidrogén azonban bőven van, a hasznosítással tehát az emberiség energiagondja beláthatatlan idóTcre megoldódna.
A fúziós reakció akkor megy végbe, ha a részecskék elegendően nagy mozgási energiával ütköznek. Ez a gyorsítókban megvalósítható, de olyan kis hatásfokkal, hogy energiatermelés
re nem gondolhatunk. A nagy mozgási energia magas hőmérséklettel is elérhető a szóba jöhető könnyű atommagok azonban csak több száz millió fokos hőmérsékleten képesek fúzióra, és akkor is csak az alagúteffektus révén. A törekvés arra iránjoil tehát, hogy a Földön is létrehozzanak ilyen nagy hőmérsékleten reakciót, ami egyelőre csak a hidrogénbomba esetében sikerült, ahol persze nincs szó a folyamat szabályozásáról, irányításáról. Az irányított reakció ipari megvalósítása tehát még a jövő feladata.
_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA__________________ ^
5. RÉSZECSKEFIZIKA
Az atomfizika és a magfizika fejezetekben már megismerkedtünk néhány elemi részecskével. Tiidjuk, hogy az atomot elektronok, protonok és neutronok alkotják. Néhány magfizikai folyamat során újabb részecskék tűntek fel, a pozitron és a neutrínó. Ebben a fejezetben az anyag további alkotóeleníeivel ismerkedünk meg, valamint ezek kutatásának folyamatával és rendszerezésük lehetőségeivel.
5.1. AZ ELEMI RÉSZECSKÉK TERMÉSZETE
5.1.1. HULLÁM ÉS RÉSZECSKEAz elektromágneses hullámokkal kapcsolatos vizsgálódá
saink során a hullámtermészetnek ellentmondó tapasztalatokat szereztünk a fotoeffektus tárgyalásakor. Kidertilt, hogy az elektromágneses sugárzásban jól meghatározott adagokban terjed az energia, és ez elvezetett a fotonok felismeréséhez.
Felfedezése után az elektront egyértelműen részecskének tekintették. Később kiderült, hogy bizonyos körülmények között az elektron is hullámként viselkedik.
Mindez arra a fehsmerésre vezet, hogy a mikrovilágbeli részecskéknek, beleértve a fotont és az elektront is, hullámtulajdonságot és részecsketulajdonságot is kell tulajdonítanunk. Ez a kettő együttesen jellemző rájuk, s a körülmények határozzák meg, hogy melyik tulajdonság nyilvánul meg jobban.
A szükséges matematikai leírás főként L. de Broglie,, E. Schrödinger, M. Born és W. Heisenberg munkája során alakult ki. Kiderült, hogy az elemi részecskéknek a klasszikus fizikai szemlélettől eltérő, úgynevezett valószínűségi leírás adható meg. Vagjás nem mondhatjuk, hogy az elektron itt van és ekkora a sebessége, csak azt, hogy milyen valószínűséggel van itt és milyennel ott. Milyen valószínűséggel ekkora a sebessége és milyen valószínűséggel akkora. Két részecske ütközésekor milyen valószínűséggel történik ez vagy az.
Ezeket szem előtt tartva azonban megérthetjük a természet viselkedését.
Amit eddig elmondtunk, nem csak az elektronra és a fotonra igaz, hanem minden részecskére, a protonra, a neutronra és azokra is, amelyeket csak ezután fogunk megismerni.
_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________^
5.1.2. VIZSGÁLATI EUÁRÁSOKA részecskék konkrét kísérleti vizsgálata, azok méretei miatt,
komoly technikai nehézségeket okoz. Ismerkedjünk meg azokkal az eszközökkel, amelyek lehetővé teszik a vizsgálatok elvégzését!
A Rutherford-féle szórási kísérlet elvét továbbra is alkalmazzák, vagyis azt az eljárást, hogy valamely céltárgyra részecskék áramát bocsájtják, s különböző irányokban észlelik a céltárgyon szóródó anyagok becsapódását. A becsapódások számából következtetnek a szóródás közben lezajlott kölcsönhatásra.
Egyszerű kísérleti eszköz a szcintillációs ernyő, amin a becsapódó részecske felvillanást okoz.
A^ egyik leggyakrabban használt eszköz a fényképező lemez. A módszer arra épül, hogy a töltött részecske vagy az elegendően nagy energiájú foton nyomot hagy a fotólemez nagyon vékony, finomszemcsés emulziójában, miközben rajta áthalad. Ha a lemezt előhívjuk, vonalak jelzik a részecskék útját.
Az egyik legérdekesebb eszközt C. T. R. Wilson (1869-1959) szerkesztette meg. A róla elnevezett Wilson-kamra tulajdonképpen egy ködkamra. Azon az elven működik, hogy a nagyon tiszta, túltehtett gőzt tartalmazó kamrában a gőz kicsapódása
mindaddig nem indul meg, amíg szennyező szemcsék nem kerülnek a gőzbe, s ekkor körülöttük alakulnak ki először cseppek, ők lesznek a ködképződés központjai. A szennyező szemcsék szerepét ionok is játszhatják. A kamrába nagy energiával bejutó részecske mozgása során ionizálja azokat az atomokat, amelyekkel találkozik, így útja mentén folyadékcseppek füzére alakul ki rövid időre, mielőtt az egész kamrára kiterjed a ködképződés. Ha ekkor fényképfelvételt készítünk a kamra tartalmáról, a képen jól látható lesz a részecske útja.
Mint látjuk, mindegyik eszköz arra irányul, hogy az ember számára közvetlenül nem érzékelhető elemi részecskék mozgásáról makroszkopikusan értékelhető információt adjon.
5.2. A NAGY ENERGIÁKHa valamely tárgyat meg akarunk vizsgálni, akkor meg kell
világítani. Minél pontosabban akarjuk ismerni pl. a helyét, annál rövidebbre kell választanunk a megvilágításra használt sugárzás hullámhosszát. Ez a szabály más esetben is érvényes. Valamely tárgy méretének vagy helyzetének meghatározása sohasem végezhető el kisebb hibával, mint a megvilágítására használt sugárzás hullámhossza.
Ha az elemi részecskék kis méreteire gondolunk (10'^ m nagyságrend), akkor a nyilvánvaló út a mind rövidebb és rövi- debb hullámhossz előállítása felé vezet. Természetesen nem csak fényhullámokra, hanem a részecskék de Broglie-hullámára is gondolunk. Mivel a hullámhossz fordítottan arányos az impulzussal, lehetőleg minél nagyobb impulzusú részecskékből kell nyalábokat létrehozni. Tehát a szuperkicsi térbeli tartományok titkai csak akkor nyílneik meg, ha elég nagy energiájú részecskékkel végezzük a kísérleteket.
A szükséges energia mértékét az is megszabja, hogy mekkora a kötési energia a vizsgált részecskék között, hiszen ennyi energiával tudjuk őket elszakítani egymástól.
Vizsgáljuk meg, mekkora a mikrovilágban előforduló kötési energiák nagyságrendje! Mint már korábban említettük, az elemi részecskék fizikájában a célszerűség miatt ezt az energiát
292____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________
elektonvoltokban (eV) szokás mérni. A nagyobb egységeket a szokásos módon képezzük:
1 kiloelektronvolt (keV) = ezer eV 1 megaelektronvolt (MeV) = millió eV 1 gigaelektronvolt (GeV) = milliárd eV 1 teraelektronvolt (TeV) = billió eV
Makroszkopikus szempontból szemlélve 1 eV nagyon kis energiát jelent. De ha azt vizsgáljuk, hogy mennyi energia kell ahhoz, hogy egy makroszkopikus test minden részecskéjével 1 eV energiát közöljünk, akkor a kép észrevehetően megváltozik: ehhez az anyagot kb. 10'* K fokra kell hevíteni.
Az atomok és molekulák világában a kötési energiára jellemző érték az eV törtrészeitől a néhány eV-ig terjed. Az atommagokra ezek az értékek miUiószor nagyobbak, a részecskekutatásban pedig már túl vannak a milliárd eV-on.
Most már érthető, hogy miért nevezik a fizikának ezt a területét a nagy energiák fizikájának, ill. miért használnak az egjn-e inkább kérdésessé váló „elemi” jelző helyett a fizikusok „nagy energiájú” jelzőt a részecskék emlegetésekor. Ugyanis ezek legfontosabb energetikai jellemzője a tömeg, a részecskék tömegét pedig energetikai egységekben szokás kifejezni. A grammok átszámítása elektronvoltokra a relativitáselmélet képlete alapján történik: E = mc^. Ily módon az elektron tömege 0, 51 MeV. A proton tömege 938,28 MeV, azaz kb. 1 GeV. A neutron tömege közelítőleg 1,3 MeV-al nagyobb a proton tömegénél.
Egy összetett alakzat összetettségének jellemzésére a kötési energia és a szerkezetbe tartozó legkönnyebb részecske tömegének arányát használhatjuk. Az atomok esetén ez rendkívül kicsi, néhány milliomod nagyságú érték. Az tehát, hogy az elektron az atom szerkezeti egysége, nagy pontossággal igazolható. Az atommagokban a helyzet már nem ilyen nyilvánvaló, mert az elóljbi viszonyszám néhány ezred nagyságú. De ez még megengedi, hogy az atommagot protonokból és neutronokból állónak gondoljuk. Ha viszont két elemi részecske ütközésének eredményeként új részecske keletkezik, akkor semmi értelme azt állítani, hogy az új részecske az ütközők valamelyikében rej
_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________293
tőzött, mivel a viszonyszám ekkor közelítőleg 1 lenne. Ez pedig azt jelenti, hogy az alkotórész korábban nem rendelkezett saját arculatával. Ésszerűbb feltételezni, hogy az új részecske közvetlenül a két eredeti részecske kölcsönhatási folyamatában keletkezett. Byen jelenséggel gyakran találkozunk tárgyalásunk során.
5.3. AZ ELSŐ RÉSZECSKÉK FELFEDEZÉSE
5.3.1. AZ ELEKTRON ÉS A FOTONAz elektron felfedezéséről már szóltunk az Atom- és magfizi
ka című fejezetben. Csupán emlékeztetőül idézzük fel a felfedezés történetét. Az elektrolízis, a q/m mérések és a Millikan- kísérlet során bizonyossá vált az elemi töltés és hordozója az elektron létezése.
A fotoeffektus jelenségének értelmezésekor ismerte fel Einstein a foton létezését. A fotonnak nincs njoigalmi tömege, tehetetlen tömege a zE — mc^ összefüggés alapján számítható.
E két részecske megtalálása volt az első lépés az elemi részecskék világába vézető úton.
5.3.2. A PROTONNem kevésbé érdekes a mikrovilág harmadik „nagy öregje”,
a proton előéletének és későbbi kísérleti felfedezésének története sem (lásd a Magfizika részt). Rutherford feltételezte először - a híres szórási kísérletek eredményeit értékelve - egy olyan részecske létezését, amely az elektron töltésével azonos abszolút értékű pozitív töltéssel rendelkezik, de tömege az elektron tömegénél kb. 1840-szer nagyobb. Feltételezése logikusan következett az atommagok osztályozásából. Ily módon az egységnyi pozitív töltésű hidrogén-atommag lett az elemi építőkő, amelyből a többi atommag összerakható.
Az új részecske közvetlen kísérleti észlelésére csak néhány év múlva, 1925-ben került sor.
294____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________
5.3.3. A NEUTRONRutherford 1920-ban már feltételezett egy elektromosan sem
leges nukleáris részecskét, amelynek a neutron nevet is ő adta, (lásd a Magfizika fejezetrészt). Tényleges kísérleti bizonyítékra azonban 1932-ig kellett várni. Ekkor írta le /. Chadwick (1891- 1974) a berillium alfa-részecskékkel való bombázása során keletkező furcsa, rendkívül nagy áthatoló-képességű sugárzás természetét. Bebizonyította, ha a berillium atommagja befog egy alfa-részecskét, akkor szén-atommag és egy semleges részecske keletkezik, amelyik valamelyik ütköző atommag része volt. A semleges részecskéről kiderült, hogy tömege majdnem megegyezik a proton tömegével, s így a már régen keresett neutronnal azonos.
A foton és az elektron stabil részecske. A proton is az, mivel felezési ideje a világegyetem jelenlegi korát messze meghaladja. Bár a neutron, amikor az atommagban van, örökéletűnek látszik, a szabad neutron nem stabil. Körülbelül 12 perces felezési idővel protonra, elektronra és neutrínóra bomlik, ami azonban ciz előző fejezet szerint nem jelenti azt, hogy ezekből áll. A neutron önálló részecske.
_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________^
5.3.4. A KOZMIKUS SUGÁRZÁSValószínűleg Charles Coulomb, francia tudós volt az, aki elő
ször tekintette teljes komolysággal kutatási témának azt a jelenséget, hogy a töltött test - látszólag minden külső beavatkozás nélkül - egy idő után elveszti töltését. Ő a tökéletlen szigeteléssel magyarázta a töltések elvándorlását. Századunk elején azonban kiderült, hogy az ólomlemezekkel való árnyékolás lényegesen lelassítja a spontán kisülést. Arra kezdtek gondolni, hogy a töltések elveszítésének oka a földkéregben előforduló elemek gamma-sugárzása. Ez viszont nem magyarázza meg, hogy a kisülés törvényei a Föld különböző helyein azonosak, hiszen nehéz lenne elhinni, hogy a radioaktív anyagok abszolút egyenletesen oszlanak el. Valószínűbbnek látszott, hogy valamilyen Földön kívüli sugárzásról van szó.
Az új sugárzás felderítésére kísérletek indultak. 1909-ben a svájci K. Höckel léggömbre szerelt elektroszkóppal végzett méréseket, s kiderült, hogy 4 km magasan a műszer hamarabb veszti el töltését, mint a Föld felszínén. A kéregből eredő sugárzást tehát kizárta, de az még lehetett légköri eredetű. 1923-tól kezdve méréseket végeztek mély alpesi szurdokban, 20 m mélyen egy kaliforniai tóban, valamint 220 m mélységig a Bodeni- tóban.
A kísérletek során megdőlt a sugárzás légköri eredetét feltételező hipotézis. Beigazolódott, hogy az új sugárzás a Földön kívülről érkezik. Áthatolóképessége fantasztikus, hiszen átjutott íiz atmoszféra háromszoros vastagságának megfelelő vízrétegen is. Ebből az következett, hogy a sugárzás részecskéinek olyan hatalmas az energiája, hogy ezerszer vagy még többször meghaladja a földi radioaktív sugárforrások energiáit.
Az új sugarakat kozmikus sugaraknak nevezték el. Bebizonyosodott, hogy a világűrből megdöbbentően széles energiatartományban érkezik sugárzás. Ráadásul nemcsak elektromágneses hullámokat tartalmaz, hanem szó szerint az egész Mengye- lejev-táblázatot, a protontól a nehéz atommagokig. A csillagközi tér tehát nem hideg és üres, hanem mikrorészecskékből álló nagy energiájú, bár nagyon ritka gázzal van kitöltve. A kozmikus részecskék energiája sokszorosan meghaladja a radioaktív sugárforrásokét. A fizikusok találtak egy új kutatási lehetőséget, amellyel tovább vizsgálhatják a mikrovilág titkait.
Most a kozmikus sugarakkal folytatott vizsgálatok néhány példáját említjük meg.
5.3.5. ANTIRÉSZECSKÉK1932-ben C. D. Anderson (1905-) - a kozmikus jövevények
mágneses térben való elhajlásának vizsgálatakor - megállapította, hogy a Wilson-kamrában bizonyos nyomok olyan pozitív töltésű részecskéknek felelnek meg, amelyek tömege az elektron tömegével megegyezik. Ezzel kísérleti bizonyítást nyert P. Dirac (1902-1984) 1928-ban megfogalmjizott jóslata. Ő a relativitáselmélet figyelembevételével vizsgálta az elektronok kvantummechanikai leírását. Elméleti megfontolások alapján
296____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________
jutott arra a következtetésre, hogy léteznie kell egy olyan részecskének, ami mindenben azonos az elektronnal, csak éppen pozitív töltésű. A kísérleti bizonyíték után vált elfogadottá az antielektron, azaz a pozitron.
A pozitron volt az elsőként megismert antirészecske. Azóta majd minden részecskének felfedezték már az anti-páiját. Az antirészecskék világa azonban még nagyon sok kérdést vet fel, amelyekre ma is keresik a választ.
A kérdéskör azért is fontos, mert ha egy részecske antiré- szecskével találkozik, annihiláció (megsemmisülés) megy végbe, azaz a kölcsönhatásba lépő részecskék eltűnnek, és helyettük nagy energiájú fotonok keletkeznek. Érdekes probléma például, hogy mivel a neutronnak nincs elektromos töltése, a neutron és az antineutron közötti különbség (a tükrözési szimmetrián kívül) csak a kölcsönös megsemmisítő képességük alapján definiálható. Az elektron és a pozitron találkozásának legvalószínűbb következménye kettőjük megsemmisülése, és egyidejíQeg két nagy energiájú foton keletkezése. Ha nagy meny- nyiségű anyag és antianyag lép ilyen reakcióba, akkor hihetetlen erősségű sugárzás jön létre, az anyag teljes nyugalmi tömegének megfelelő sugárzási energia keletkezik.
Nem csoda hát, ha ez a kérdés erősen foglalkoztatja az új energiaforrásokon gondolkodó fizikusokat.
_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________297
5.3.6. MEZONOKA kozmikus sugarakhoz kötödő másik példa azokkal a folya
matokkal kapcsolatos, amelyekben a hatalmas energiával repülő kozmikus részecske az atommaggal ütközve valósággal felrobbant, amiről rengeteg nyomvonal tanúskodott a fényképlemezen. Ezeket a vonalakat olyan új részecskéknek lehetett tulajdonítani, amelyek tömege az elektronnál nagyobb, a protonnál kisebb. Az új részecskék a mezonok.
A mezonok között különleges, az elektronokhoz hasonló részecskéket találtak. Az új részecskéket mü-mezonoknak, rövidebben müonoknak nevezték el, valószínűleg azért, hogy meg lehessen különböztetni őket a náluk aktívabb többi mezontól.
A müonok tömege 207-szer nagyobb az elektronok tömegénél, egyéb tulajdonságaik viszont teljesen megegyeznek az elektronokéval, minden reakcióban pontosan ugyanazoknak a szabályoknak engedelmeskednek.
A többi mezon további vizsgálata - mint a következő fejezetben látni fogjuk - elvezetett az atommag belsejében uralkodó, az elektrosztatikus vonzást legyőző, szükségképpen létező nagyon erős kölcsönhatás megértéséhez.
5.4. RÉSZECSKEGYORSÍTÓKA rendszeres kutatáshoz olyan eszközökre volt szükség, ame
lyekkel a tervezett kísérleteket el lehetett végezni. Ezek az eszközök a részecskegyorsítók. Az elv egyszerű, az elektromosan töltött részecskét elektromos térrel gyorsítjuk, pályáját mágneses térrel vezéreljük, és a megfelelő pillanatban ütköztetjük a céltárggyal. Az ütközés során keletkező és szétrepülő részecskék viselkedéséből következtetünk az ütközésben lezajlott eseményekre.
A gyorsítók megépítésének feladata azonban technikailag igen nehéznek bizonyult. Tekintsük át röviden a gyorsítók fejlődését!
Az első működő modell 1929-ben a Princetoni Egyetemen kezdte meg működését, de ez csak 80000 V gyorsítófeszültséggel működött. Az első gyorsítók az egyenes úton felgyorsított részecskenyalábbal álló céltárgyat bombázták, így másfél millió eV-ig jutottak el.
1932-ben Berkeley városában E. Lawrence (1901-1958) munkacsoportja megépítette az első ciklotront. Ez a berendezés azon az elven működik, hogy a töltött részecskéket körpályára kell kényszeríteni, és nagyfrekvenciás elektromos erőtérrel, sebességüket periodikusan kell nöyelni. Az első ciklotronnal 3,6 MeV energiájú jól használható protonnyalábot tudtak előállítani. A milliárd eV-ig (GeV) azonban ezzel a berendezéssel nem lehet eljutni. Ugyanis a relativisztikus tömegnövekedés szerint az egyre nagyobb sebességű részecske tömege is megnő, és ez a tömegnövekedés megzavarja a folyamat ciklikusságát.
298____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________
A megoldást 1944-ben találták meg. Ha a növekvő tömeg megváltoztatja a periódust, akkor a térnek kell szinkronban lennie a részecske mozgásával, vagy a gyorsító elektromos tér frekvenciáját változtatjuk, vagy a körpályát biztosító mágneses teret erősítjük fokozatosan.
Az első megoldáson alapuló berendezést szinkrofazotronnak nevezték el, ilyen típusból a legnagyobbat 1957-ben Dubnában építették, ez 10 GeV energiájú. A második megoldás nagyobb ener^ákat tett lehetővé, az ilyen berendezések a szinkrotronok. Egymás után épültek a nagy gyorsítók, 1967-ben Szerpuhovban 76 GeV energiát, 1972-ben Batáviában 200 GeV, majd később ugyanitt 800 GeV energiát értek el.
A tudósok azonban még nagyobb energiákról álmodoztak. Az újabb ötletet az adta, hogyha mindkét részecskét felgyorsítjuk és egymással szembe mozogva ütköznek, akkor sokkal nagyobb energiájú az ütközés, mintha az egyik áll. Az ilyen gyorsítók az ütközőnyalábos gyorsítók. Ilyen a Hamburg melletti Héra nevű berendezés, amely 1000 GeV energiájú protonokat ütköztet a 30 GeV energiájú elektronokkal. Ugyanezen az elven működik a Genfi-tó közelében az Európai Magkutató Központ (CERN) berendezése. Tervezik Chicago mellett egy 1000 GeV, Szerpuhovban pedig egy 3000 GeV energiájú gyorsító megépítését.
A méretek szemléltetésére néhány adat a CERN gyorsítójáról. A berendezést a föld alatt mintegy 40 m mélyen fúrt alagút- ban helyezték el, hogy ne zavarja a környezetet. A kerülete 7 km, és áthalad Franciaország és Svájc határán. A régi, 30 GeV-es gyorsítótól kapja a protonnyalábokat, amelyek több mint egymillió km ( 150 000 fordulat) megtétele után lövődnek az észlelőberendezés felé. A térerősségnek egy ezrelékre pontosnak kell lenni a mágnesek ezreiben, a berendezés egyes részeit tizedmilliméíer pontossággal kell egymáshoz beállítani; A berendezésben olyan nagy vákuumnak kell lenni, mint a Hold felszínén. A vezérlést számítógépek sora végzi, az ellenőrző rendszer mintegy 1500 km kábelt használ fel. A gyorító hűtésére a Genfi-tó vizét használják. Ezek a gigantikus méretek és a technikai igényesség mutatja, hogy miért olyan fantasztikusan drága berendezés egy modern gyorsító.
_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________^
5.5. A FELFEDEZÉSEK SOKASÁGA1914-től kezdve foglalkoznak azzal a problémával, hogy az
atommagból kilépő béta-sugárzásban található elektronok energiája nagyon széles határok között változott. A magyarázattal több fizikus próbálkozott. Végül Pauli feltételezte először, hogy az atommagból a béta-elektronnal együtt kilép egy kis tömegű, semleges elektromos töltésű és nagy áthatolóképes- ségű részecske. A jelenséget E. Permi (1901-1954) magyarázta meg, 1933-ban. Az új részecskét is ő nevezte el neutrínónak. Rámutatott arra, hogy a béta-radioaktivitást az elektromágneses erőknél gyengébb, új, különleges kölcsönhatás idézi elő. Az ún. „gyenge kölcsönhatás” következtében a neutron protonná alakul, miközben elektront és antineutrínót bocsát ki.
Azért, hogy a neutrínó kísérleti kimutatása sokáig váratott magára, maga a neutrínó a felelős. Fantasztikus az áthatolóké- pessége, képes egy 100 fényév vastagságú ólomfalon is keresztülhaladni. Ez az érték tíz nagyságrenddel nagyobb a Nap sugaránál, és háromszor nagyobb a Galaktikánk magjához tartozó sugárnál. Ezért a neutrínó valószínű észleléséhez egy elegendően nagy intezitású neutrínónyalábot kellett létrehozni. 1956-ban amerikai fizikusoknak sikerült néhány atomreaktorban előállítaniuk az antineutrínó megfelelő nagyságú áramát, és kimutatták a következő reakciót: amikor az antineutrínó a protonhoz csapódik, egy neutron és egy pozitron keletkezik.1962-ben pedig felfedezték a müon bomlásakor keletkező új neutrínótípust, a müonneutnnót. Ahogy tehát az elektronhoz hasonKt a müon, úgy az elektronneutrínóhoz hasonlít a müonneutrínó.
Egy másik probléma is régen izgatta a fizikusokat. Amint megfogalmazódott a protonból és neutronból álló atommagmo- dell, azonnal nyilvánvalóvá vált, hogy léteznie kell a nukleonok között egy, az elektromágneses erőtől független, azt legyőzni képes, nagyon erős kölcsönhatásnak. A kvantumelektrodinamika szerint két töltött részecske úgy hat egymással kölcsön, hogy egyik kibocsát egy látszólagos fotont, a másik pedig elnyeli azt. Az atommagon belüh erős kölcsönhatásnak azonban sokáig nem találták a közvetítőjét.
300____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________
1935-ben jelent meg H. Yukawa (1907-1981) cikke, amelyben pontosan kiszámította a feltételezett részecske tömegét, és ez az elektron tömegénél kb. 300-szor nagyobbnak adódott. Vagyis az új részecske valószínűleg mezon. Az elmélet ellen és mellett sokáig folyt a kutatás. Végül 1947-ben találták meg a keresett részecskéket, amelyek az atommaggal is kölcsönhatásba tudtak lépni, tehát valóban az erős kölcsönhatás közvetítői. Ezek a pi- mezonok.
A gyorsítók fejlesztésével egyre több és több új részecske látott napvilágot. Felfedezték az ún. „ritka” részecskéket, amelyek közül a protonnál könnyebbeket K-mezonoknak, a protonnál nehezebbeket hiperonoknak nevezték el. A protont, a neutront és a hiperonokat a közös barion elnevezéssel is ellátták. És a felfedezések még nem értek véget.
A pi-mezon (pion) és proton ütközésének vizsgálatakor kiderült, hogy a folyamat leírásához fel kell tételezni bizonyos igen rövid életű részecskék létezését, amelyek szintén az erős kölcsönhatásban vesznek részt. Ezek voltak a rezonanciák. (Az elnevezést onnan kapták, hogy a folyamatban az ütközés objektív jellemzésére szolgáló ún. hatáskeresztmetszet látszólag hirtelen megnőtt, ami a rezonancia jelenségére hasonlít. Tulajdonképpen ezen részecskék keletkezése és elbomlásá történt.)
Valójában az is kérdés, mit tekintünk részecskének. A rezonanciák ugyanis nem hagynak nyomot a Wilson-kamrában vagy a fényképlemezen, létezésük csak a nyomok eloszlása alapján, számítással igazolható. Ha ezt megengedettnek tekintjük, akkor a rezonanciák a részecskék családjának teljes jogú tagjaivá válnak.
A rezonanciák megjelenése előtt kb. 30 részecskét és antiré- szecskét ismertek. A rezonanciákkal együtt az összes részecskék száma csaknem tízszeresére duzzadt. Hozzávetőleges táblázat látható az 5.1. ábrán.
_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________301
302 RÉSZECSKEFIZIKA
OsztályokRészecskék
Jel Megnevezés
Foton 7 foton
Leptonok767me
elektron-neutrínómüon-neutrínó
elektronmüon
7T pi-mezonokSt3.Dll
részecskék K K-mezonokV éta-mezon
MezonokQ ró-mezonok
rezonanciák ÜJ omega-mezonok
M pszi-mezonok
OP proton
Ö n neutrono stabil A lambda-hiperonVh részecskék E szigma-hiperon
H kszi-hiperonctí íí omega-hiperon
BarionokNi470 N(1470)
rezonanciák N303O N(3030)A i232 delta-három-három
A 3230 delta(3230)
5.1. ábra
5.6. A RENDSZEREZÉS LEHETŐSÉGEAz előző fejezet végén láttuk, milyen sok részecskét fedeztek
már fel. Ettől kezdve persze furcsának tűnik a korábban megszokott „elemi” jelző használata, hiszen ennyi részecskéről nehéz elfogadni, hogy mindegyik elemi. Hasonló a helyzet, mint mielőtt Mengyelejev megalkotta periódusos táblázatát. Az először szintén eleminek tekintett atomokról kiderült, hogy számos hasonló tulajdonság alapján csoportokba rendezhetők, s később az is, hogy egyáltalán nem elemiek. Vajon mi a helyzet a részecskék világában?
A megmaradási törvények jöttek a fizikusok segítségére, s adtak lehetőséget a rendszerezésre.
A szimmetria görögül - szó szerint - összemérhetőséget jelent. Valóban nem tudunk megkülönböztetni két fényképet, ha az egyik egy szimmetrikus épületről, a másik annak tükörképéről készült. Vagyis a szimmetriküs testek fontos tulajdonsága, hogy alakjuk a tükrözés során nem változik.
Általában is igaz, hogy a testek vagy folyamatok szimmetriája kapcsolatban van valamely mennyiség megmaradásával. De ez fordítva is teljesül, bármely megmaradási törvényhez feltétlenül tartozik egy meghatározott szimmetria.
Ezért emlegetik a fizikusok, hogy a természet legfontosabb törvényei a szimmetriák.
Mindenekelőtt vizsgáljuk meg az igaznak vélt megmaradási törvényeket!
Tudjuk, hogy meghatározott zárt térben lévő elektromos töltés nem tűnhet el és nem keletkezhet. Ezt a törvényt már oly sok kísérletben és olyan nagy pontossággal ellenőrizték, hogy joggal sorolják az abszolút megmaradási törvények közé. A törvény egyik megnyilvánulási formája, hogy az elektron - a legköny- nyebb elektromosan töltött részecske - stabil becsült felezési ideje jóval meghaladja az Univerzum életkorát.
A másik abszolút megmaradási törvény a barionok megmaradása. Barionok nyomtalanul nem tűnhetnek el és a semmiből nem keletkezhetnek. Ezt a törvényt is nagy pontossággal igazolták. A legkönnyebb barion, a proton szintén stabil, nem hasadhat fel könnyebb, ún. bariontöltést nem hordozó részecskékre.
_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________^
Mindezt azért mondtuk el, hogy megértsük a fizikusok hozzáállását a megmaradási tételekhez. A megmaradási törvényekhez persze szeretnénk ragaszkodni, ezért vizsgálunk meg minden olyan elméletet, amely a törvény érvényben maradását segíti.
Általában csak azt mondhatjuk, hogy egy-egy törvény a jelenlegi ismereteink mellett igaz. Ha felmerül olyan jelenség, amelyre semmiképp nem illik ez vagy az a törvény, akkor ez csak közelítő törvényszerűségnek fogadható el.
A mikrovilágban valp eligazodás, rendszerezés érdekében a fizikusok még további töltés jellegű tulajdonságokkal ruházzák fel a részecskéket, hogy legalább közelítő érvényű megmaradási tételeket találjanak. Ilyen például a ritkaság.
Végül tehát a tudósok bizonyos szimmetriákat találnak a mikrovilágban, amelyek segítségével a részecskéket csoportokba lehet sorolni, a periódusos táblázathoz hasonlóan. így könnyebb eligazodni, könnyebben kezelhetők a részecskék tulajdonságai.
Befejezésül a részecskefizika fejlődésének vázlatos áttekintése után meg kell említenünk azokat a kutatásokat, amelyek már a jövőbe mutatnak.
A sok-sok részecske, s azok táblázatba rendezhetősége vetette fel a kérdést, hogy vajon nem léteznek-e olyan, az eddigieknél „elemibb” részecskék,- amelyekből az eddigiek felépíthetők? Az elméleti megfontolások, a még magasabb rendű szimmetriák adták azt a modellt, amely szerint léteznek ilyen részecskék. Az elméletet a Kaliforniai Technológiai Intézet munkatársai, M. Gell-Mann és G. Zweig fogalmazták meg 1964-ben, és a részecskéknek a kvark nevet adták. Ma már kísérleti bizonyíték született a nagy gyorsítókban arra, hogy a protonnak három kemény magja van. A további elméleti modellek és számítások pedig azt mutatják, hogy nem is három, hanem több kvark létezését kell feltételezni. A kvark-modellben az a furcsa, hogy az elektromos és a barion tőkésnek tört részét kell egy kvarknak tulajdonítanunk.
Egy olyan általános elmélet megalkotása, amely az eddig megismert kölcsöhatásokat egységes rendszerben lenne képes tárgyalni, a jövő nagy feladata.
304____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________
6. RELATIVITÁSELMÉLET
6.1. A KLASSZIKUS RELATIVITÁSA relativitás elméletében alapvető szerepet játszik a vonat
koztatási rendszer, más szóval a koordináta-rendszer. A fizikában alapvető kérdés, hogy egy esemény hol és mikor következik be. A kérdés megválaszolásához feltételezünk egy mindentől függetlenül létező teret, amelyben koordináta-rendszert definiálunk, és így válaszolni tudunk a hol kérdésre. A klasszikus mechanikában, Galilei és Newton szerint, ha egy vonatkoztatási rendszerben érvényes a tehetetlenség törvénye, akkor a hozzá képest egyenes vonalú, egyenletes mozgást végző másik rendszerben is érvényben marad a törvény. Ezek az inerciarendszerek. (Egy, a külvilágtól teljesen elzárt fülkében ülve nem tudom megállapítani, hogy a fülke áll-e, vagy valamely jármfívön egyenes irányban egyenletesen mozog-e a földhöz képest.) Az ilyen rendszerekben elvégezve egy kísérletet, mindig ugyanarra az eredményre jutunk. Ilyen gondolatok vezettek a relativitás elvének megfogalmazásához.
HJA fizikai tudomány alapja, hogy a természeti törvény nem függhet attól a koordináta-rendszertől, amelyet a törvényhez kapcsolódó jelenség leírásához választottunk.
Ehhez kapcsolódik, hogy a klasszikus fizikában abszolút időt feltételezünk, amely a fizikai tér eseményeitől függetlenül telik. Másként megfogalmazva: egy. esemény időtartama független attól, hogy azt milyen koordináta-rendszerhez kapcsolódva mérjük.
RELATIVITÁSELMÉLET
6.2. A FÉNYSEBESSÉG ÁLLANDÓSÁGÁNAK ELVE
A korábbi fizikai eredmények egy csoportja látszólag ellentmond a relativitás elvének.
A fénynek és minden elektromágneses hullámnak - ellentétben például a hanghullámokkal - nincs szükségük anyagi hordozóra, a fény pl. vákuumban is terjed. A klasszikus fizika a fény terjedéséről kétféle elméletet dolgozott ki.
A korpuszkuláris elmélet alapján a fényt a fényforrás egy jellegzetes sebességgel kilövi, és így az a fényforráshoz képest állandó sebességgel mozog (6.1. ábra).
c-v c+v
c+v c-v
I v''6.1. ábra
Ezt azonban könnyen cáfolhatjuk. A kettős csillagok egyik tagja közeledik, másik távolodik a Földtől. Ezért az elmélet szerint a két csillagról különböző sebességgel érkezik hozzánk a fény (6.2. ábra). Bár a csillagok sebessége tícsi a fény sebességéhez képest, a nagy távolság következtében a látszólagos pályagörbén olyan nagy szabálytalanságok jönnének létre, amit már észlelnénk. Ilyet azonban soha nem vettek észre.
Hasonlóan erős érv a különböző fény- sebességek ellen a következő. Az elektromágnesség elméletének leírásakor
Maxwell a fénj^, mint elektromágneses hullámot értelmezte, és a sebességét is megjósolta. A leírás alapján azonban a fénysebesség nem függhet a fénj^orrás mozgásától. Minthogy az elmélet minden más jelenséget a Valóságnak megfelelően ír le, ezt a következtetést is el kell fogadnunk.
6.2. ábra
A fény terjedésének másik lehetséges klasszikus leírása megkívánja egy mindent átható közeg, az éter jelenlétét, amely körülvesz minket, és kitölti a világegyetemet. Az éterelmélet szerint a fény ebben ^ közegben terjed, mint a hang más közegben, vagyis a fény sebessége az éterhez képest állandó.
Az elmélet azonban azonnal új kérdést vet fel. Ha az éterhez rögzítünk inerciarendszert, akkor ebben milyen sebességgel mozog a Föld? Egyáltalán megtalálható-e ez a rendszer, amiben a fény sebessége állandó?
Elvben könnyű ilyen kísérletet kitalálni. Vegyünk egy rövid időre felvillanó fénj^orrást. A villanás után bizonyos idővel megvizsgáljuk, hogy a fény különböző irányokban milyen távolságra jutott. Ha ez a távolság minden irányban ugyanakkora, akkor a kísérletet nyilván a nyugvó éterrendszerben végeztük, a fény sebessége minden irányban megegyezett. Ha viszont a kísérletet nem ebben a rendszerben hajtottuk végre, akkor az éterelmélet szerint más eredmény adódik.
A kísérlet technikailag igen nehéz, hiszen kis eltéréseket kell mérni. Először 1887-ben Michelson és Morley végezték el megfelelő pontossággal. Felhasználták, hogy a Föld a Nap körül - és így a nyugvó éterhez képest is - hozzávetőlegesen 30 000 m/s sebességgel mozog, így a Földön különböző irányokban mérve más-más sebességet kellett volna kapniuk. A sebesség azonban minden irányban azonos volt, az észlelések között nem tapasztaltak időkülönbséget. A kísérletet azóta lézerrel, nagyobb pontossággal is elvégezték, amelynek során az éterhez képest 9 m/s sebességet is ki lehetett volna mutatni. Az eredmény azonban továbbra is negatív.
Az éterelméleten kívül annyira nem volt más lehetőség, a helyzet feloldására, hogy a tudósok sokat próbálkoztak az elmélet megmentésén. Feltételezték például, hogy a Föld maga körül magával ragadja az étert, és ezért nem mozog ahhoz képest. Volt azonban más jelenség is, ami ezt a lehetőséget kizárta. Egy csillagból jövő fény észlelésekor a távcső tengelyét kissé más irányba kell beállítani, attól függően, hogy a Föld milyen mozgást végez a beérkező fény irányához képest (6.3. ábra). Ez a jelenség viszont egyszerűen úgy magyarázható, hogy a Föld a nyugvó éteren keresztülhalad, anélkül, hogy azt magával ragad-
_____________________RELATIVITÁSELMÉLET__________________307
308 RELATIVITÁSELMÉLET
ná. Ez az aberráció jelensége, amit már a XIX. században ismertek.
Az előzőek és más eredmények külön-külön még illeszthetők lettek volna az éterelmélettel, de egyszerre már nem. így az éter feltételezését el kellett vetni.
Mindezekután a fénysebesség állandósága, ámi az elektromágneses elmélet tiszta következménye, továbbra is ellentétben áll a relativitás elvével, hiszen a relativitás elve szerint egymáshoz képest egyenletesen mozgó koordináta-rendszerekben különböző fénysebességeket kellett volna mérni.
6.3. AZ EGYIDEJŰSÉG RELATIVITÁSÁNAK ELVE
A mindennapi életben természetesnek érezzük, hogy két eseményről el tudjuk dönteni; egyszerre történtek vagy sem. Ha azonban mélyebben belegondolunk, mit is jelent az egyidejűség, kiderül, hogy nein is olyan könnyű pontosan megfogalmazni.
Tisztázzuk először, hogyan tudjuk eldönteni két különböző helyen bekövetkező eseményről, hogy egy időpillanatban zajlottak-e le vagy nem? Az egyidejűség definíciójától csak azt az egyet kell megkövetelnünk, hogy minden esetben adjon módot annak eldöntésére, hogy az állítás igaz vagy sem.
Az egyik lehetséges megállapodás a következő. Ha az A és B pontban felvillanó lámpák fénye az A B szakasz felezőpontjá-
bán álló megfigyelőhöz egyszerre érkezik, akkor a két villanás egyszerre történt. Ez a definíció attól is független, hogy milyen sebességgel haladt a fény az egyik vagy a másik szakaszon, hiszen az érkezésnél a kérdést mindig el lehet dönteni.
Valamely esemény időpontja az esemény helyén levő óra állása. Képzeljük el, hogy egy koordináta-rendszerben sűrűn egymás mellett azonos gyorsasággal járó órák vannak. Ha feltesszük egy rendszeren belül az órák szinkronizálásának megtörténtét, egységes rendszeridőre tettünk szert. Két esemény egy koordináta-rendszerben így akkor egyidejű, ha rendszeridejük megegyezik.
E A szinkronizálás végrehajtható például a következő módon. A vonatkoztatási pontból t - 0 pillanatban indítunk egy fényjelet. Az innen r távolságra álló megfigyelőnek előre megmondjuk, hogy ha a fényjelet meglátja, állítsa be az óráját r/c értékre. Ilyen módon bármely két órát össze lehet hangolni (6.4. ábra).
_____________________RELATTVITÁSELMÉLET_________________ 309
Ugyanígy két, egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszer óráit is össze lehet hangolni. Legyen kpt rendszer, amelynek X és x ’ tengelyei összeesnek és a K ’ rendszer az x ’ tengely mentén mozog jobbra (6.5. ábra). Amikor az 0 és 0' pontok egybeesnek, indítsunk egy fényjelet! A P-ben álló megfigyelő a K rendszer szerint r/c, a K rendszer szerint r’lc értékre állítja be az órát, hiszen ekkor 0 és 0’ már nem esik egybe. A két idő természetesen nem azonos, két különböző rendszeridő lesz. Egységes világidőről tehát nem lehet beszélni!
[p] Vizsgáljuk most a következő példát! Egyenes pályán haladó vonal mellett a töltés A és B pontjában fényvillanás történik
310 RELATIVITÁSELMÉLET
F' vonat ----------- - h
-VF
6.6. ábra
(6.6. ábra). Az A B távolság felezőpontjában (F) álló megfigyelőhöz a két villanás fénye egyszerre érkezik. F azt mondja, hogy a villanások egyidejűek.
A z A és B helyeknek a vonaton is az A és B helyek felelnek meg. Legyen F’ a gördülő vonaton dcz A és B helyek”távolságá- nak felezőpontja. F’ egybeesik F-el a villanások pillanatában, a töltésről nézve. Azonban F’ a B pont felé halad, így annak fényét előbb észleli, mint az A pont villanásának fényét. így az egyidejűségről adott definíció szerint ő a B pontbeli villanást korábbinak mondja, mint a másikat.
Ebből tehát az látszik, hogy olyan események, amelyek a töltéshez képest egyidejűek, a vonathoz képest nem azok, és megfordítva. Ez az egyidejűség relativitásának elve.
E Minden koordináta-rendszernek megvan a saját külön ideje. Az időadatnak csak akkor van értelme, ha megadjuk a vonatkoztatási rendszert is, amelyre az időadat vonatkozik.
A fizika a relativitás elméletének létezése előtt hallgatólagosan mindig feltette az: abszolút idő létét, vagyis az időadatok függetlenségét a vonatkoztatási rendszertől. Ez a feltevés tehát nem tartható fenn.
6.4. A SPECIÁLIS RELATIVITÁS ELMÉLETE
Az előző három fejezetben felvázolt elvek és azok ellentmondásossága régóta foglalkoztatja a fizikusokat, többen megpróbálták a nehézségeket feloldani.
A probléma lényege a következő:Ha a ^ koordináta-rendszerben a K ’ koordináta-rendszer v
sebességgel mozog, akkor fordítva, a K ’ rendszerben a - v sebességgel mozog. Megadhatunk tehát olyan összefüggéseket, amelyek egy adott pontnak az egyik rendszerben kifejtett koordinátáit megadja a másik rendszer koordinátáival és a v sebességgel. Az ilyen összefüggések a transzformációk, mert az egyik rendszer koordinátáiból áttranszformálnak a másik rendszer koordinátáiba^
[t]A klasszikus fizikában az ún. Galilei-féle transzformációt használták;
X l = x—vt X — X i + v t
y i ^y y = yiZ l = Z Z = Z i
Ennek megvolt az a jó tulajdonsága, hogy a relativitás elvének megfelelően, az összefüggések szimmetrikusan alkalmazhatók bármely irányú transzformációra, csak a koordinátákat kell kicserélni. Vagyis ez azt jelenti, hogy a két rendszer egyenrangú. A klasszikus fizika természettörvényei mindkét rendszerben azonos alakúak. Azonban mihelyt alkalmazni akarjuk a fény esetére a Galilei-transzformációt, akkor az derül ki, hogy a fény sebessége nem lenne azonos minden rendszerben. Ez pedig láttuk, hogy ellentmond a tapasztalatnak. A Galilei-transzformá- ció másik hibája, hogy abszolút időt feltételez, vagyis olyan időmérést, amely független a rendszertől. Mint láttuk, ez sem tartható.
A relativitáselmélet megszületését Albert Einstein (1879- 1955) 1905-ben megjelent cikkével szokás azonosítani.
_____________________RELATIVITÁSELMÉLET__________________3 ^
Einstein meg akarta tartani a relativitás elvét és a fénysebesség állandóságának elvét. Ehhez keresett megfelelő transzformációs képleteket.
Ekkor már ismert volt Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) eredménye, amelyet 1904-ben publikált. Ő dn elektron mozgásának leírásához - pusztán formai okokból - olyan összefüggéseket használt, amelyek alkalmasak arra, hogy általánosan is leírják két egymáshoz képest egyenletesen mozgó koordináta- rendszer adatai közötti kapcsolatot. Ezek az összefüggések azóta is Lorentz-transzformáció néven ismertek.
[t] a Lorentz-transzformáció:X — vt X \ - { - V t
X i — — -------------------- X
312__________________RELATIVITÁSELMÉLET_____________________
yi = y y = yiZ i = Z Z = Z i
X V X i V
V.2
(Meg kell említeni Jules Henri Poincaré (1854—1912) nevét, aki folytatta Lorentz munkásságát. Mindketten használták a kérdéses összefüggéseket, de nem vonták le a megfelelő következtetéseket, nem tudtak elszakadni a klasszikus fizikai szemlélettől. Eredményeik mégis rendkívül fontosak voltak a relativitáselmélet kialakulása szempontjából.)
A Lorentz-transzformációt alkalmazva a fény esetére azt kapjuk, hogy a fénysebesség minden egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszerben azonos, amint azt az elektrodinamikából kapjuk.
A transzformáció az időt, mint negyedik koordinátát használja a három térbeli koordináta mellett, amely függ a többitől.
azaz függ a vonatkoztatási rendszertől. Vagyis nem használ abszolút időt, minden rendszernek saját ideje van.
A transzformáció valóban szimmetrikus az egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszerekre, akkor is, ha azok relatív sebessége megközelíti a fénysebességet. A két rendszer kis relatív sebessége esetén pedig határesetként megkapjuk a Galilei- transzformációt. Ilyen módon a két rendszerben minden természettörvény egyforma alakú.
Végül tehát a Lorentz-transzformáció fenti tulajdonságait felismerve Einstein volt az, aki határozottan és tudatosan szakított a klasszikus tér és az abszolút idő fogalmával, elvetve ilyen módon az éterhez rögzített, kitüntetett inerciarendszer fogalmát és létét. Teljesen egyenrangúnak tekintett minden inerciarendszert, vagyis mindegyik koordináta-rendszerben helyet foglaló megfigyelő az ő rendszerében nyugvó órák által mutatott időt fogadhatja el a helyes, az igazi időnek. Ugyanakkor tudomásul veszi, hogy a másik rendszer helyes, igazi ideje nem egyezik az ő idejével.
Einstein 1905-ben kidolgozott elméletét speciális relativitás- elméletnek nevezzük. A speciális szó arra utal, hogy kizárólag egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó inerciarendszereket hasonlítunk össze a tárgyalás során.
A relativitáselmélet szerint a világunk a tér-idő, négydimenziós világ, amelyben az idő ugyanolyan koordináta, mint bármelyik tengely menti távolság. Az e felfogásnak megfelelő matematikai leírást Minkowski dolgozta ki 1908-ban megjelent cikkében.
6.5. A SPECIÁLIS RELATIVITÁS NÉHÁNY KÖVETKEZMÉNYE
A továbbiakban olyan K és K\ koordináta-rendszerekben fogalmazzuk meg a tételeket bizonyítás nélkül, amelyek egymáshoz képest a fénysebességet megközelítő nagyságú, egyenletes sebességgel mozognak. A tételek a tér-idő szerkezetéből és a Lorentz-transzformációból következnek. Egy esemény hely- és időkoordinátái a K és rendszerben nem lesznek egyformák.
_____________________RELATIVITÁSELMÉLET__________________313
különbözni fognak. Azok az események, amelyek a K rendszerben egjddejűek, a rendszerben nem azok, és viszont.
H] Relativisztikus tömegnövekedésA kis sebességnél mért tömeg, az úgynevezett njmgalmi tömeg (m o ), mellett a nagy sebesség esetén jelentőssé válik a se- bességtffl függő tömegnövekedés, amely végső soron mozgási energiával van kapcsolatban.
mom =
314__________________RELATIVITÁSELMÉLET_____________________
A tehetetlen tömeg e képlet szerinti növekedése azt a ténj^ juttatja kifejezésre, hogy véges m nyugalmi tömegű testek (részecskék) sebessége nem érheti el a fénysebességet. Az ezt megközelítő sebességű test sebességének további növelése egyre nagyobb munkavégzést (energiabefektetést) igényel.
Ennek a jelenségnek kísérleti kimutatásához nagy sebességre van szükség, mert csak akkor lesz a változás észlelhető. Ilyen sebességek csak igen kis részecskék (elektronok, protonok) esetén valósulhatnak meg. A tömegnövekedést atomi részecskékkel, számtalan kísérletben tapasztalták, így ez a relativitás- elmélet legpontosabb bizonyítéka.
6.6. AZ ENERGIA ÉS A TÖMEG EKVIVALENCIÁJA
Ha két részecskét nagy sebességgel ütköztetünk, akkor létrejöhet egy nagyon fontos jelenség: az ütközés után egyes esetekben a részecskék nem repülnek szét, hanem egy új részecske jön létre. Ha ez az új részecske állva marad, akkor az ő tömege nem az eredeti két test njoigalmi tömegének összege, hanem a megnövekedett tömegek összege. Ez tehát azt jelenti, hogy a megnövekedett mozgási energiával megnövekedett tehetetlen tömeg is együtt jár.
Más esetekben az ütköztetések során éppen az ellenkezőjét tapasztalták. Az ütközés eredményeként keletkezett új részecske tehetetlen tömege kisebb volt, mint az eredeti két test nyugalmi tömegének összege, ugyanakkor nagy energiájú sugárzás szabadult fel. Ekkor viszont a felszabadult energiával együtt tömeg is eltávozott.
Ma már a fenti jelenségek mindennaposak a részecskekutatás területén, sőt, azokat ki is használják új részecskék előállítására.
E A tömeg és energia szoros összetartozásának, a tömegenergia ekvivalenciájának ténye az
E — m(?
összefüggés alapján, a relativitáselmélet egyik legtöbbet emlegetett, klasszikus törvénye. A relativitáselmélet szerint a tö- meg- és az energiamegmaradás törvényei nem különálló törvények, hanem a tömeg-energia ekvivalenciának megfelelően egyetlen megmaradási törvényről, az anyagmegmaradás törvényéről beszélhetünk.
6.7. AZ ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJA
Ebben a fejezetben betekintést adunk az általános relativitás- elmélet lényegébe, amelyet Einstein a speciális relativitáselmélet szükségszerű folytatásaként 1916-ban foglalt össze.
Az elmélet kialakulásában három problémakör játszott fontos szerepet.
Már a múlt században foglalkoztatta a tudósokat az a kérdés, hogy a tér vajon megfelel-e az euklideszi geometriának. Létezett már ugyanis az euklideszitől eltérő (görbült felületeken és nem síkon dolgozó), ellentmondásmentes rendszert alkotó geometria. A mérési pontatlanságok miatt azonban akkor még nem tudták ezt a kérdést eldönteni.
Lehet-e egyáltalán erre a kérdésre válaszolni? Észrevennénk-e, ha görbült térben élünk? Példaként nézzük a következőket;
_____________________RELATWITÁSELMÉLET_________________ 315
316 RELATIVITÁSELMÉLET
Egy gömbfelszínen rajzoljunk két kört (6.7. ábra), majd rajzoljunk szabályos hullámvonalat a két kör közé! Könnyű belátni, hogy a két kört a hullámvonal nem azonos távolságonként éri el.
Az előbbihez hasonló ábrát lehet rajzolni egy üvegnyakszerű felületen (6.8. ábra). Ha az üveg tengelyére merőleges két kör közé a felületen szabályosan rajzoljuk a körökre merőleges vonalakat, akkor azok távolsága a két kör mentén nem lesz azonos.
Hasonlót mértek nem olyan régen a valóságban. (Ma már a kísérleti eszközök fejlettebbek, kis eltéréseket is képesek mérni). Egy 13 m magas víztorony teteje és alja között ugráltattak egy jelet. A két helyen a beérkezések közötti időkülönbségek
nem voltak azonosak. Ez a kísérleti tapasztalat a tér görbültsé- gére utal.
A másik ismeret, amely erősen befolyásolta az elmélet kialakulását, a mechanikából ismert. Nevezetesen, hogy a testek tehetetlenségének mértéke, a tömeg, és a gravitáló hatásuk mértéke, a gravitáló tömeg, minden lehetséges mérési pontosság mellett egymással arányosnak bizonyul. Úttörő munkát végzett ezen a téren Eötvös Loránd (1848-1919), aki a múlt század végén olyan pontossággal mérte meg a két tömeg egyenlőségét, hogy azt az utóbbi évtizedekben tudták csak felülmúlni.
Felmerül a kérdés tehát, hogy a két tömeg arányossága egzakt módon érvényes-e?
A harmadik kérdéskör, amely az elmélet kialakulásához vezetett, a következő. A klasszikus fizika szerint a minden csillagtól távol lévő űrhajó, amelynek hajtóműve nem működik, zavartalanul mozog, benne súlytalanság van. De a Föld körül keringő űrhajóban, amelynek szintén nem működnek a hajtóművei, a Föld felé szabadon esik, és így benne szintén súlytalanság van. Ennek az az oka, hogy minden test, függetlenül az anyagi összetételétől, egyformán gyorsul a gravitációs térben.
így tehát az űrhajós, ha kívülről nem kap információt, a bezárt kabinban nem tudja megállapítani, hogy az ő vonatkoztatási rendszere a Föld körül keringve, gyorsuló mozgást végez-e, vagy végtelen távol van-e minden jelentős tömegtől, és nem gyorsul. Márpedig, ha a gyorsuló rendszer nem egyenrangú, nem ekvivalens az inerciarendszerrel, akkor a kabinban kísérleti úton különbséget tudnánk tenni a két rendszer között.
Einstein a leírtak alapján radikáhs következtetéshez jutott.
H] Ha a gravitáció jelenlétét a tér-idő szerkezeti tulajdonságának tekintjük, akkor a végtelen távoli űrhajó, a keringő űrkabin vagy a szabadon eső kabin mozgását egyformán tekinthetjük zavartalan, szabad mozgásnak. A mozgás pályája minden esetben a tér-idő adott tartományának megfelelő „legegye- nesebb vonal”, az úgynevezett geodetikus vonal, amely persze eukUdeszi értelemben nem feltétlenül egyenes. így tehát a tér-idő sem euklideszi általában, hanem görbült.
_____________________RELATIVITÁSELMÉLET_________________ 317
A tér-idő szerkezete geometriailag tükrözi a gravitáció jelenségét. Ebben az értelemben a tömegek nem gravitációs mezőt keltenek maguk körül, amellyel megzavarják a többi test zavartalan mozgását, hanem elgörbítik a tér-időt, amelyben már más lesz a„legegyenesebb vonal”. így tehát a gravitáló tömeg fogalmára nincs szükség, csak tehetetlen tömeg van.
A z általános relativitáselmélet így nem csak az egymáshoz képest tetszőleges mozgást végző koordináta-rendszerek ekvivalenciáját mondja ki, hanem ezen túlmenően, a gravitáció új.értelmezését is adja.
Az elmélet következménye, hogy a fény is a tér szerkezetéből adódó vonalon mozog. Nagy tömegű csillag közelében elhaladva a fény elhajlik az egyenestől.
A másik következmény, hogy a fény valamely tömeget elhagyva energiát veszít, mivel le kell győznie annak a tömegnek a fény súlyos tömegére gyakorolt gravitációs hatását. Az energiavesztés a hullámhossz növekedésével jár, ez a hatás a gravitációs vörös-eltolódás.
E Azok a kísérleti tények, amelyek az általános relativitáselméletet erősítik, már évtizedek óta ismeretesek. Ezek a fény útjának elgörbülése a csillagok mellett, a vörös-eltolódás a nehéz csillagok színképében és a Merkúr perihéliumának elfordulása.
A fizikusok az utóbbi néhány évtizedben nagy erőkkel dolgoznak az általános relativitáselmélet (ami az univerzum nagyléptékű szerkezetéről ad információkat) és a kvantumfizika (ami az elemi részecskék leírását adja) egyesítésén, de ez a munka még a mai napig nem vezetett eredményre.
318__________________RELATIVITÁSELMÉLET_____________________
7. CSILLAGÁSZAT
7.1. A CSILLAGÁSZAT RÖVID TÖRTÉNETE
A csillagászat az egyik legrégebben fejlődő természettudomány. A történelemből,^ megmaradt írásos dokumentumokból tudjuk, hogy már az első kultúrnépek - babilóniaiak, egyiptomiak, kínaiak, indiaiak, mayák, aztékok - is sok-sok csillagászati megfigyelést végeztek.
Ennek egyik oka, hogy szükségesnek mutatkozott egy megbízhatóan előre számítható gyakorlati időbeosztás, melyből később a különböző időszámítások kifejlődtek. Bár semmi ismeretük sem volt az égitestek mozgásának fizikai törvényszerűségeire vonatkozóan, a hosszú évszázadok alatt felhalmozott megfigyelési anyag alapján a Nap, a Hold és az első öt bolygó égi helyzetét közelítőleg meg tudták jósolni.
Kövessük végig röviden a csillagászati ismeretek gyarapodásának történetét.
A babilóniaiak különböző táblázatokban pontosan rögzítették az égi eseményeket, a bolygók mozgását, s ezek az adatok a mai tudós számára is fontosak. Az egyiptomiak a naptárkészítésben és a csillagászati geodéziában értek el jelentős eredményeket. A kínaiak nem törekedtek egységes csillagászati rendszer kiépítésére, hanem csupán bizonyos események - nóvák, üstökösök, fogyatkozások - megfigyelésére és leírására specializálták magukat. Kiemelkedik azonban az i.e. II. sz.-ban keletkezett elmélet, amely a Földet gömbnek, a világmindenséget pedig végtelennek tekintette. Közép-Amerika ősi kultúrnépei közül különösen a mayáknál találkozunk igen régi megfigyelésekkel, mint pl. egy i.e. 3379-ben lejátszódott napfogyatkozás leírása. Érdekes és máig megmagyarázatlan, hogy a maya épü
leteken talált csillagászati megfigyelések sokkal régebbi időpontokat jelölnek, mint az épületek régészetileg becsült kora.
A görögöknél találkozunk először azzal az igénnyel, hogy nem elégednek meg a puszta megfigyeléssel, hanem az okokat is keresik. Ők alkották meg az első bolygómozgás-elméleteket, magas fokra fejlesztették a deduktív gondolkodást, amely általános alapelvekből kiindulva próbál mindent megmagyarázni.
A számoszi Arisztarkhosz (i.e. 320-250) geometriai okoskodás és szögmérés alapján rájött arra, hogy a Nap sokkal nagyobb, mint a Föld, s ezért a Napnak kell a központban állnia. Nagy érdeme, hogy ő nemcsak filozofált, hanem mért is.
Hipparkhosz (i.e. 190-125) és Ptolemaiosz (i.u. 90-160) újfent geocentrikus nézeteket vall. Szerintük a Föld áll a középpontban, és az égitestek egyszerű vagy összetett körpályákon, körülötte keringenek. Ez a felfogás egészen Kopernikuszig egyeduralkodó maradt.
Ahogy telt az idő és sokasodtak az észlelések, egyre nyilvánvalóbbá vált, hogy a ptolemaioszi rendszer nem tökéletes. Egyre több kört kellett eiz összetett pálya leírásához bevezetni, hogy a számítás az észlelések eredményével megegyezzen. A fordulatot Nikolausz Kopernikusz (1473-1543) elmélete jelentette, aki észrevette, hogy a heliocentrikus (napközéppontú) rendszer sokkal egyszerűbb magyarázatot ad a bolygómozgás leírására, mint a geocentrikus. A bolygópályát azonban ő is körnek képzelte, s ez ellentmondáshoz vezetett.
A heliocentrikus elmélet végső formáját Johannes Kepler (1571-1630) fogalmazta meg, aki a róla elnevezett törvényekben foglalta össze a bolygómozgás alapelveit.
Erre az időre esik a távcső feltalálása is, amit komoly tudományos eredménnyel Galileo Galilei (1564-1642) alkalmazott először. Segítségével felfedezte a Jupiter négy legfényesebb holdját, a Hold hegyeit, a napfoltokat és a Nap tengely körüli forgását. Elvetette az ókori szaktekintélyekre való puszta hivatkozás bizonyító erejét, s hangsúlyozta a megfigyelések szükségességét.
A Kepler utáni évszázadot Newton neve fémjelzi. Az általa megfogalmazott gravitációs törvény segítségével magyarázatot kapott a bolygók mozgása, az árapály jelensége, valamint az
320_____________________ CSILLAGÁSZAT_________________________
égitestek forgástengelyének kúpfelületen való mozgása, a precesszió is.
A megfigyelésekben lényeges szerep jutott a távcsőnek és az egyre tökéletesebb csillagászati óráknak. Olaf Römer (1644- 1710) először mérte meg a fény terjedési sebességét. Ticho Brache (1546-1601) obszervatóriuma után megépülnek az első nagy csillagdák: 1670-ben a párizsi, néhány évvel később a greenwichi és 1700-ban a berlini.
1706-ban Edmund Halley (1656-1742) először számolta ki egy üstökös pályáját, amelyet később róla neveztek el. A pálya- számításokból derült ki, hogy az üstökösök nem légköri jelenségek - mint pl. a sarki fény - hanem önálló égitestek.
1781-ben William Herschel (1738-1822) felfedezte az Urá- nuszt, az első olyan bolygót, amit az ókoriak nem ismertek. Ugyancsak ő, 1783-ban felismerte, hogy a Nap sem mozdulatlan, így nem lehet többé a világegyetem középpontjának tekinteni. A Nap is elveszítette tehát kiváltságos helyzetét.
A pályaszámítás kifejlesztésével az XVIII. század második felében és a XIX. század elején egész sor kiváló matematikus foglalkozott: Euler, d’ Alembert, Lagrange, Laplace.
A XIX. századot az jellemzi, hogy ekkor vált igazi szaktudománnyá az asztronómia, s kezdődött meg önálló tudományágakra való felbomlása is. Az égi mechanika a század közepén érte el addigi legnagyobb sikerét a Neptunusz felfedezésével. Ezt a bolygót az Uránusz pályaháborgásain alapuló számítások után találták meg tácsővel a megadott helyen. Ugyanez ismétlődött meg 1930-ban a Plútóval. A század második felére esik az asztrofizika kifejlődése, ekkor kezdik rendszeresen kutatni az égitestek fizikai jellemzőit. Végül, a távcső felfedezésével szinte egyenrangú jelentőségű volt a színképelemzésnek, mint kutatási eljárásnak a bevezetése.
A XX. század elejétől váltak isifleretessé a csillagok hőmérsékletére és méreteire vonatkozó adatok, és jelentősen fejlődött a csillagrendszerek kutatása. A század második évtizedében került sor a Tejútrendszer méreteinek helyes meghatározására, s a húszas években bizonyosodott be, hogy az extragalaxisok óriási birodalma létezik.
Napjaink kutatására az a jellemző, hogy összetalálkoztak a
_________________________CSILLAGÁSZAT_____________________ ^
csillagászok és az elemi részecskék vizsgálatával foglalkozó elméleti fizikusok. A v/tógegyeíem jelenségeinek magyarázatához egyre inkább szükség van a kvantummechanika, a kvantumelektrodinamika és a relativitáselmélet eredményeire, s ugyanakkor a csillagvilág kutatása egyre újabb és újabb tényeket, ismereteket ad a részecskekutatók kezébe, hiszen a világmindenség legnagyobb részén az anyag számunkra egészen különleges - laboratóriumban megvalósíthatatlan - körülmények között van jelen.
Ma úgy tűnik, hogy elég átfogó képünk van a világegyetemről. A rádiótávcsövekkel sok-sok fényévre, egyre messzebbre „látunk”. Minél messzebbről érkezik az információ, a világ- egyetem annál régebbi állapotáról ad hírt. Mivel így az időiben is visszatekintünk, tehát remény van arra, hogy az univerzum kialakulásáról is egyre többet tudhatunk meg. A fizika tudományának fejlődése pedig segíti a megfigyelt jelenségek megértését.
Könnyen beláthatjuk, hogy a csillagászat óriási hatást gyakorolt a többi tudományág fejlődésére. Elősegítette az időmérés egységesítését, a földrajzi koordináták és irányok meghatározását. Általa fejlődött az optika és a meteorológia, és nem utolsósorban a matematika. Sok-sok új ismeretet adott a kémiának, a fizikának és a filozófiának. A mesterséges égitestek által hajtott közvetlen haszon pedig már ma is lemérhető a geológia, geográfia, oceonográfia, hidrológia, a mezőgazdaság, a biológia, a távközlés, valamint a technika különböző ágazatai, mint pl. a mikroelektronika területén.
Mielőtt rátérnénk a csillagászati ismeretek tárgyalására, tekintsük át röviden azokat az információs csatornákat, amelyek a fizikusok és csillagászok rendelkezésére állnak.
A közönséges optikai távcsőről már volt szó. Bár szerepe ma sem elhanyagolható, bizonyos távolságnál messzebbről távcsővel nem tudunk információt szerezni, így inkább a közelebbi objektumok vizsgálatára használják.
Részben az optikai vizsgálattal függ össze a színképelemzés asztronómiai használata is. A csUlagok színképében jól elkülöníthetők az egyes elemekre jellemző spektrumok, s így információt kapunk a csillagok kémiai összetételéről.
322_____________________ CSn^LAGÁSZAT________________________
A rádiócsillagászat születésének időpontját 1931-re tehetjük, amikor először észleltek jeleket 15 m-es hullámhosszon, a Tejútrendszer közepéből. 1946 óta a ráióinterferencia módszerével már pontosabban megállapítható a rádióhullámokat kibocsátó objektumok helye. Ezen objektumok között külön említést érdemelnek a kvazárok és a pulzárok. A pulzárok változó csillagok, róluk még később szólunk. A kvazárok nagyon nagy fényességű csillagok, amelyek erős rádiósugárzást bocsátanak ki.1963-ban megállapították róluk, hogy színképük erősen eltolódik a vörös felé, ami a Doppler-effektussal magyarázva azt jelenti, hogy nagy sebességgel távolodnak tőlünk. Valószínűleg ezek tekinthetőik; univerzumunk legtávolabbi objektumainak.
A rádiócsillagászat érdekes eredménye volt a világegyetem fejlődése szempontjából, mikor 1965-ben Arho Penzias és Róbert Wilson felfedezték az univerziun mindenütt jelenlevő, minden irányból érkező ún. háttérsugárzását. Ez olyan energiájú rádiósugárzás, amely egy 2,7 K hőmérsékletű, egyensúlyi állapotban lévő gáz elektromágneses sugárzása. A mai rádiótávcsövek, amelyek tulajdonképpen hatalmas antennák, olyan távolságokból fognak jeleket, vag5ds olyan régi jeleket érzékelnek, amikor még nem voltak galaxisok.
Földünket állandóan éri a világűrből a kozmikus sugárzás, amely nagyon nagy energiájú részecskék árama. A csillagászatnak az az ága, amely ezek vizsgálatával foglalkozik, a röntgen- csillagászat.
Végül említést kell tennünk egy fejlődésben lévő kutatási ágról, a neutrínócsillagászatról. Korábban beszéltünk már arról, hogy a neutrínó - éppen az anyaggal való nagyon gyenge kölcsönhatása következtében - igen nagy áthatoló képességű, ilyen módon közvetlen információt tud hozni a galaktika mélyéről vagy egy csillag belsejéből. Igaz, hogy éppen emiatt a befogása, detektálása is nehézségeket okoz.
_________________________CSILLAGÁSZAT_____________________ 3M
324 CSILLAGÁSZAT
7.2. A NAPRENDSZERA Naprendszer középpontja és legfontosabb energiaforrása a
Nap. Vele a következő fejezetben részletesen foglalkozunk.A hozzánk legközelebbi égitest a Hold. Átlagos távolsága a
Földtől 384 000 km. A Hold felszínén különböző alakzatok figyelhetők meg: hegységek, kráterek, lapos síkságok. Nincs légköre, hiszen a szökési sebesség itt mindössze 2,4 km/s, s ezért a molekulák termikus mozgása elegendő ahhoz, hogy elhagyják a Holdat. Hasonló ok miatt nincs víz sem. A levegő és a víz hiánya azt is jelenti, h o ^ nincsenek olyan romboló erők, amelyek a Föld felszínén az egyenetlenségeket eltüntetik. Romboló hatásuk az akadálytalanul lehulló meteoroknak van. Ezért a Hold felszíni alakzatai sokkal élesebben jelentkeznek, mint a Földön a felszín változásai.
Míg a Föld átmérője 12 740 km, a Hold átmérője 3476 km. Mérete - anyabolygójához képest - kiugróan nagy, ha a többi nagybolygó holdjával összehasonlítjuk. Ennek döntő szerepe volt a földi élet kialakulásában, mivel ez okozza a jelentős árapály jelenséget. A jelenség modellszerű magyarázata a következő.
Tegjóik fel az egyszerííség kedvéért, hogy a tenger egyenletesen borítja a Föld szilárd felszínét (7.1. ábra). A szilárd gömbre a Hold vonzóereje úgy hat, mint egy szilárd testre, vagyis a gra-
Hold
7.1. ábra
CSILLAGÁSZAT 325
vitációs erő támadáspontja a Föld középpontjába tehető. A szilárd kéreg minden pontja, így A és B pont is egyforma a gyorsulással rendelkezik. A tenger folyékony anyagára azonban ez a feltevés már nem vonatkoztatható;. Az A pont messzebb van a Holdtól, mint a B pont, így az A pontban a tenger anyagán létrehozott p gyorsulás kisebb, a B pontban a q gyorsulás nagyobb. A tenger 1 kg-jára a tengerfenék 1 kg-jához képest tehát a Föld középpontjától kifelé mutató gyorsulás érvényes.
Az árapályerők eloszlását a Föld felszínén a 7.2. ábrán láthatjuk. Kiderül tehát, hogy a Holddal megegyező és ellentétes oldalra áramlik a víz, a másik két oldalon pedig csökken a tengerszint. A Föld tengely körüli forgásával változnak a helyszínek, s így egy adott helyen kb. hatóránként váltja egymást a dagály és az apály. Mikor a Hold felszíne még olvadt állapotban volt, ugyanilyen hatást gyakorolt rá a Föld. Az árapálymozgásokkal egjóittjáró súrlódás hatására a keringési idő csökkenhetett. Valószínűleg ez az oka annak, hogy a Hold jelenleg annyi idő alatt fordul meg a saját tengelye körül, mint amennyi idő alatt megkerüli a Földet, és így mindig ugyanazt az oldalát mutatja felénk.
A nagybolygók a Naprendszer legfontosabb égitestjei a Nap után (7.3. ábra), amely körül közel egy síkban keringenek.
326 CSE^LAGÁSZAT
BolygóNaptól
valótávolság
Átmérő Tömeg Közepessűrűség
Hőmérséklet a Nap által megvilágított oldalon
Merkúr 0,39 0,40 0,042 0,70 460 °CVénusz 0,72 0,99 0,81 0,81 400 °CFöld 1,00 1,00 1,00 1,00 22 °CMars 1,52 0,54 0,108 0,72 - 1 3 °CJupiter 5,20 11,26 317 0,24 -1 4 0 °CSzaturnusz 9,54 9,45 95 .0,13 -1 5 0 °CUránusz 19,18 4,19 15 0,23 -1 6 0 °CNeptunusz 30,06 3,89 17 0,29 -1 6 0 °CPlútó 39,6 0,5 0,18 0,3
Számuk kilenc, jellegzetes adataikat - szokásosan a Föld adataihoz viszonyítva - a 7.4. ábrán láthatjuk.
A táblázatból kitűnik, hogy a nagybolygók két csoportba sorolhatók. A Föld típusú bolygókra a lassúbb tengely körüli forgás, kisebb tömeg, nagyobb közepes sűsűség jellemző. AJupiter típusú bolygókra ezek ellenkezője igaz. Ennek a megállapításnak a bolygórendszerek kialakulásával kapcsolatban lesz jelentősége.
O O o o
Foglaljuk össze röviden az egyes bolygók jellemző tulajdonságait! A Merkúrnak légköre gyakorlatilag nincs, a Naphoz való közelsége és kis tömege miatt. Pályája aránylag eln5nilt eUip- szis, amelynek tengelye a többi bolygó hatása miatt elmozdul. Nagyon magas a felületi hőmérséklete. Felszínét csak durván is
merjük, mivel a Nap közelsége miatt nehéz megfigyelni. Közvetett mérésekből tudjuk, hogy méreteihez képest magas hegységek találhatók rajta.
A Vénusz népies neve Esthajnalcsillag. Felszíne nem látható, átlátszatlan felhőburok veszi körül. Több mesterséges szonda vizsgálta felületét és légkörét. A felhőréteg felső határán a hőmérséklet 220 K, az alsó határon 370 K, a felszínen kb. 700 K. Megállapítható volt, hogy a Vénusz felszíne elég egyenetlen, nagy domborzati különbségek találhatók rajta. A légköri nyomás a normál földi nyomásnak több mint 100-szorosa. A bolygónak jelentős mágneses tere nincs. A légkör, amely döntően szén-dioxidból áll, a ráeső fény 76%-át visszaveri. A magas felszíni hőmérsékletet az üvegházhatás magyarázza.
A Mars sok szempontból hasorűít a Földhöz. Pályasíkja és egyenlítője szintén szöget zár be egymással, így itt is vannak évszakok. Légköre vékony és átlátszó, néha sárga, fehér és kék színű felhőket figyelhetünk meg benne. Légköre főleg széndioxid. A felületen a légköri nyomás 0,017-szerese a normál nyomásnak, ami megfelel a Föld légköri nyomásának 20 km magasan. Felszínét meglehetősen jól ismerjük. Jellegzetesek a szárazjégsapkák a téli féltekén, a sötétebb medencék és a több száz kilométer hossztí árkok. A Marsnak két kis tömegű holdja van, a Phobos és a Deimos.
A Jupiter a Nap után a Naprendszer legjelentősebb égiteste. Nincsenek rajta évszakok, felszínét nagy tömegű légkör veszi körül, amiben ammóniát, metánt, hidrogént és héliumot fedeztek fel. Felhői sávokban helyezkednek el, valószínűleg a gyors tengely körüli forgás miatt. Jellegzetes képződmény felszínén az ún. vörös folt, amely az egyenlítői sávhoz képest mozog. A Jupiternek erős mágneses tere van, s a földihez hasonló sugárzási öv veszi körül. 12 holdja van, amelyek közül a legismertebbek az Európa, az lo, a Ganimedes és a Kallistó. Az utóbbi kettő nagyobb a Merkúrnál.
A Szaturnusz sok tekintetben hasonlít a Jupiterhez. Légköre hasonló összetételű és bár gyengébb mértékben, de csíkszerű felhőket is találhatunk rajta. 10 holdja és egy gyűrűrendszere van. A holdak közül legérdekesebb a Titán, amely abból a szempontból kivételes a Naprendszerben, hogy légköre van.
_________________________CSILLAGÁSZAT_____________________ 3 ^
A gyűrűrendszer három különálló részgyűrűre bomlik. Spektroszkópiai méréssel igazolni lehetett, hogy a gyűrűk homokszem vagy legfeljebb kavics nagyságú részecskékből állnak, amelyek körpályán keringenek a bolygó körül. Lehetséges, hogy a gjóírű a Szaturnusz egy felrobbant holdjának maradványa.
Az Uránuszról és a Neptimuszról, nagy Földtől való távolságuk miatt keveset tudunk. Légkörük hasonlít a Jupiterére. Az Uránusznak 5, a Neptunusznak 2 holdját ismerjük.
A Plútót 1930-ban fedezték fel. Keveset tudunk róla. Ha méretét és tömegét nézzük, a Föld típusú bolygókra hasonlít. Ezért okoz fejtörést a csillagászoknak, hogy hogyan lehet ez a legkülső bolygó.
A XVIIL században misztifikációs törvényekbe igyekeztek a bolygók Naptól való távolságait beilleszteni. Egy ilyen empirikus szabály szerint a Mars és a Jupiter között hiányzik egy bolygó. Ehelyett ezéií a területen nagyon sok kisbolygót találtak. A legnagyobb közülük a Ceresz, átmérője 768 km. A legkisebb ismert kisbolygók km-es átmérőjűek. Statisztikai számítások szerint az ennél nagyobb kisbolygók száma mintegy 100 000, és össztömegük 0,5 földtömeg. Egyes kisbolygók - pl. az Erosz, az Ámor és az Ikarusz - időnként közel kerülnek a Földhöz.
A Naprendszer leglátványosabb égitestei az üstökösök. Évente kb. egy tucatot lehet megfigyelni, ezek közül 6-7 új, 4-5 pedig már korábban is megfigyelt üstökös. Az üstökös magja tan-es nagyságrendű, szilárd részecskékből és a rájuk fagyott gázokból áll. A Nap közelébe érve a gáz elpárolog, s külön vagy a porral egjóitt a csillag sugárnyomása a Nappal ellentétes oldalra taszítja a gázt. így keletkezik a csóva. Az üstökösök túlnyomórészt elnyújtott ellipszispályákon keringenek, de a bolygók hatására ez hiperbolikussá válhat, s ekkor elhagyják a Naprendszert.
A meteorrajok valószínűleg felbomlott üstökösök maradványai. Ha a Föld egy ilyen meteorraj pályáján keresztülhalad, akkor gyakori meteorhullást észlelünk. A nagy sebességgel a Föld légkörébe érkező meteor a súrlódás következtében fényjelenség kíséretében elég. Már néhány milligramm tömegű meteor is látható fényjelenséget okoz. A nagy meteorok maradványai leesnek a Földre, ezek a meteoritok. Ezek vizsgálata érdekes is
328_____________________ CSILLAGÁSZAT________________________
mereteket nyújt a Földön kívüli világ anyagi összetételéről. Évente mintegy 2000 ilyen meteorit esik a Földre, átlagosan 100 kg tömeggel.
Bizonyos számításoknál figyelembe kell venni az ún. interpla- netáris anyagot, amely a Naprendszer szimmetriasíkjában elhelyezkedő por- és gázfelhő. Ide tartozik még a bolygóközi térben állandóan jelenlevő kozmikus sugárzás is.
Végül vizsgáljuk meg egy bolygórendszer kialakulásának lehetséges folyamatát!
Le kell szögeznünk először, hogy a Naprendszer nem egy véletlen, egyedi jellegű folyamat eredménye. Ezt bizonyítja, hogy a bolygórendszer és a kettős vagy többszörös csillagrendszer nagyon hasonló, lényegében csak a résztvevők tömegében van különbség. Kettős és többsörös csillagrendszer pedig nagyon sok van a Tejútrendszerben.
Bár biztosak lehetünk abban, hogy a galaktikában számtalan, a Naprendszerhez hasonló bolygórendszer van, mégis csak mintegy 10 csillag esetében tudták közvetve meggyőződni arról, hogy a csillag körül sötét kísérő, feltehetően bolygó kering. Közvetlen tanulmányozásra tehát csak a mi bolygórendszerünk áll rendelkezésre. Ezért a Naprendszer keletkezésének kérdése a csillagászat egyik legnehezebb problémája.
A Föld korát geológiai módszerekkel 4-5 milliárd évre lehet becsülni. Továbbá megállapítható, hogy közben az ide másodpercenként érkező sugárzás mennyisége nem változott lényegesen. A Nap is tehát legalább ennyi idős.
A bolygók keletkezésével foglalkozó elméletek a bolygókoz- mogóniai elméletek. Mindegyiknek a Naprendszer jelenlegi adataiból kell kiindulni, de nem lehet tudni, hogy melyik adat általános és melyik egyedi. Ilyen adatok: a Föld típusú bolygók közelebb vannak a Naphoz, mint a Jupiter típusú bolygók (a Plútó inkább elszökött holdnak tekinthető). A Jupiter típusú bolygók mintegy 100-szor nagyobb tömegűek, kémiai összetételük hasonlít az interplanetáris anyag összetételéhez, a bolygók mind közel egy síkban és egy irányban keringenek. A Nap lassan forog, a bolygók összes perdülete sokkal nagyobb, mint a Nap impulzusnyomatéka stb.
Az elméleteknek mindezeket figyelembe kéne venni. Valójá-
______________ CSILLAGÁSZAT_____________________ ^
330 CSILLAGÁSZAT
bán egyik elméletről sem állíthatjuk, hogy kifogástalanul leírja a Naprendszer keletkezését. Inkább csak részkérdésekre vannak elfogadható magyarázataink. Még az sem dönthető el egyértelműen, hogy a bolygók a Nap anyagából vagy a csillagközi gázból keletkeznek-e?
Az elméleteknek több csoportja ismeretes. A katasztrófa típusú elméletek azt feltételezik, hogy a bolygók anyaga a Napból vagy egy másik csillagból szakadt ki, a két csillag találkozásának következtében. A csillagok találkozása azonban olyan ritka, hogy így a bolygórendszer kialakulása véletlen jelenség lenne. Az elméletek másik csoportja szerint a bolygók anyagát a Nap a csillagközi gázfelhőkből szedte össze, rajtuk áthaladva. Azonban az ilyen befogás is nagyon kis valószínűséggel következik be.
A harmadik, legvalószínűbb elméletcsoport szerint a Nap és a bolygók ugyanabból az anyagból, ugyanazon folyamat során jöttek létre.
A bolygókozmogónia olyan elméletek összességét jelenti, amelyek kizárólag spekulatív módszerekkel, de a feltevések alapján komoly és igen nehéz számításokkal születnek. A kérdés tisztázása W tos lenne, mivel így a Föld belső szerkezetének megismerése és közvetve az ipari nyersanyagok felkutatása is lehetségessé válna.
7.3. A NAP, A LEGKÖZELEBBI CSILLAGA Nap egy csillag a sok közül, de átlagos jellemzők folytán a
többi csillag sok tulajdonságát is hordozza. Tanulmányozása tehát - közelsége miatt - sok vonatkozásban a csillagokra vonatkozó általános ismereteinket is bővíti.
Adatok a Napról.sugara; i? = 6,96 • 10* m = 696 000 km tömege: M = 2 • 10 ° kga felületi gravitációs gyorsulás: g = 2,7 ■ 10 m/s^ középpontjában a hőmérséklet: T = W K a felületi hőmérséklet: T' = 5780 K
Érdemes megemlíteni még, hogy az állócsillagokhoz viszonyítva a Nap mintegy 25 napos periódussal forog saját tengelye köríil. Forgása azonban nem egyenletes, az egyenlítői tartományok nagyobb, a póluskörnyéki tartományok kisebb szögsebességgel mozognak.
A Napról a földfelszín minden négyzetméterére 1 kW teljesítménnyel érkezik az energia. Ez annyit jelent, hogy az emberiség jelenlegi villamosenergia-szükségletét körülbelül egy hazánk területével azonos nagyságrendű területre eső napenergia fedezni tudná. Még impozánsabb számadatot kapunk akkor, ha meggondoljuk, hogy a Nap felületének minden négyzetmétere 60 MW teljesítményt sugároz szét az űrben, ez a teljesítmény egy kisebb erőmű teljesítményével mérhető össze.
Az egyszerű ember azt képzeh, hogy a Nap energiatermelése valamiféle „égés”. Könnyen kiszámítható azonban, hogyha a Nap anyaga a legkitűnőbb rakétahajtóanyag-keverék lenne, égése akkor sem volna többre elegendő, mint néhány ezer év. 1929-ben, számítások alapján mutattak rá a helyes megoldásra, miszerint a Nap és más csillagok energiatermelése a nagyon magas hőmérsékleten létrejövő magreakciók (magfúzió) következménye. A pontos folyamatokat csak az első gyorsítókkal végzett kísérletek segítségével tudták leírni 1938-ban.
Két alapvetően lehetséges reakciót fogalmaztak meg. Az egyik, ún. p-p ciklus vázlatos rajza és lépései a 7.5. ábrán láthatók. A másik, az ún CN-ciklus vagy karbon-ciklus vázlatos rajza a 7.6. ábrán látható. Ez utóbbiban a szén csak mint katalizátor szerepel.
Mindkét folyamat lehetséges. A Napnál kisebb tömegű csillagokban a p-p reakció gyakorisága nagyobb, így ez ad nagyobb teljesítményt. A Napnál nagyobb tömegű csillagokban nagyobb a hőmérséklet, százmiUió fok körüli, megnövekszik a CN-ciklus gyakorisága, így ott ez dominál.
A csillag élete során a hidrogén mennyisége tehát elfogy, azaz elfogy a nukleáris fűtőanyag. Ekkor más fúziós reakciók is belépnek, egészen addig, míg a fúziós reakció energiafelszabadulással jár. A magfizika fejezetben láttuk, hogy a folyamat a vas környékén lévő elemeldg tart. Ehhez azonban egyre nagyobb hőmérséklet szükséges.
_________________________CSILLAGÁSZAT_____________________ 331
332 CSILLAGÁSZAT
CSILLAGÁSZAT 333
A múlt század közepén H. Helmholtz (1821-1894) a Nap energiatermelésének új elméletét fogalmazta meg. Feltevése szerint a Nap egy hatalmas izzó gázgömb, amely felületének sugárzása közben állandóan energiát veszít, s közben összehúzódik. Az összehúzódásért felelős gravitációs erő munkája adja tehát az energiát. Kiszámította, hogy ez a folyamat a kémiai reakcióknál sokszorta több energiát termel, s hogy ezzel a Nap - jelenlegi fényessége mellett - néhány százmillió évig fennmarad. Akkor ez elegendően hosszú időtartamnak látszott. Ma tudjuk, hogy a Föld életkora legalább ötmilliárd év. Az összehúzódás tehát nem adhat elegendő energiát.
A radioaktivitás felfedezése és annak a felismerése, hogy az atommagokban elraktározott energia milliószorta több az addig ismert folyamatokban felszabaduló energiánál, új színben tüntette fel a Nap energiaforrásának problémáját. Csupán az okoz gondot, hogy a természetes radiokatív bomlás nagyon lassú folyamat. Ha ezzel akarjuk magyarázni a Nap sugárzási teljesítményét, akkor azt kéne feltételeznünk, hogy teljes egészében uránból, tóriumból és ezek bomlástermékeiből áll. Márpedig ez nincs így.
A Nap közvetlen megfigyelése csak a felszínére terjedhet ki, mivel a belsejébe a szem nem képes behatolni. A Nap központi tartományairól mégis többet tudunk, mint a Föld magjáról, pedig az itt van a lábunk alatt, a Nap pedig 150 millió km-re. Ennek az a magyarázata, hogy mindkét égitest esetén elméleti megfontolásokkal jutunk következtetésekre, ehhez viszont ismerni kell az anyag viselkedését a megfelelő körülmények között. A Föld belsejében, a szilárd kéreg alatt rendkívül nagy nyomáson lévő olvadt anyag van, aminek igen nehéz az elméleti leírása. Azonban a Nap belsejél?en fennálló körülmények között a közönséges anyagot képező molekulák, atomok csaknem teljesen alkotóelemeikre esnek szét. A heves hőmozgásban szinte csupasz atommagokat és szabad elektronokat találunk, így a Nap anyagát, sűrűségétől függetlenül, ideális gáznak tekinthetjük. Ezzel a modellel pedig a leírás viszonylag egyszerűvé válik.
Vizsgáljuk meg a Nap szerkezetét!A legbelső tartomány a Nap sugarának mintegy 10%-áig tér
334 CSILLAGÁSZAT
jed, itt játszódnak le a magfolyamatok. A következő rétegben a magban keletkezett energia röntgen- és gammasugárzás formájában, folytonos elnyelődés és újrakeletkezés útján terjed a külső hidegebb tér felé. A felszín alatt, mintegy 100 000 km mélyen kezdődik az a tartomány, amelyen keresztül már nemcsak sugárzás, hanem áramlás útján is vándorol az energia kifelé. Ezek az áramlások a felszínen foltokat okoznak, a meleg, felfelé áramló anyag fényesebb, a hidegebb, lefelé áramló anyag söté- tebb foltként látszik.
A következő, 400 km vastag réteg a fotoszféra. Az itt keletkező sugárzás már gyakorlatilag változatlanul halad át a külső tartományokon. A réteg vastagsága a Nap sugarához képest elenyésző, ezért szokták ezt a Nap felszínének nevezni.
A felszín fölött találjuk az egyre ritkuló kromoszférát, amelynek vastagsága a Nap méretével azonos nagyságrendű, és fokozatosan megy át az interplanetáris anyagba. Ez tekinthető a Nap légkörének. Itt születnek a protuberanciák, ezek a felszín fölé emelkedő, néhányszor 100 000 km-es hosszúságú gázoszlopok. Itt jelennek meg időnként fényes foltok, amelyeket napkitöréseknek hívunk. Ilyenkor nagy mennyiségű korpuszkula do- bódik ki a Napból, amelyek a Földet is elérhetik, s hatással vannak az élővilágra, zavarják a rádiózást. Még egy érdekesség kapcsolódik ide. A fotoszférában a gázatomok olyan szorosan vannak összezárva, hogy mindenféle frekvenciával, folytonos sugárzást bocsátanak ki. A kromoszférában azonban a gáz már nincs annyira összenyomva, így minden gázatom gerjeszthető, s a rá jellemző frekvenciájú sugárzást elnyelheti. Legelőször /. Fraunhofer (1787-1826) mérte gondosan a Nap színképét, s figyelte meg a folytonos színképben a sok ezer sötét vonalat. A Nap színképében tehát elnyelési színképet is találunk.
A Napban lezajló folyamatokkal kapcsolatban még nagyon sok kérdés vár válaszra. A kutatás tovább folyik, hiszen a Nap megismerésével más csillagok viselkedésére is magyarázatot találhatunk.
7.4. A CSILLAGOK KELETKEZÉSE ÉS FEJLŐDÉSE
Az eddigiekben azt láttuk, hogy Napunk jelenleg hirdogénjét fogyasztja, miközben középpontjában feldúsul az átalakulás terméke, a hélium, amely egy magasabb hőmérsékleten végbemenő átalakulás nyersanyaga lehet. Érdemes megvizsgálni azonban azt a kérdést, hogy mitől emelkedett a hőmérséklete ilyen magasra, s mi történik egy csillaggal, ha elfogy benne a „tüzelőanyag”?
A kérdések megválaszolásához a meglevő csillagok katalogizálása ad segítséget. A különböző tulajdonságú csillagokat úgy lehet tekinteni, mint különböző korú csillagokat. Az egyik most születik, a másik éli életét, a harmadik az öregedés jeleit mutatja. Ahogy egy város lakosságának ismeretében felállíthatjuk egyetlen ember életútját, ugyanúgy a különböző csillagok ismeretében Igen nagy valószínűséggel nyomon tudjuk követni egyetlen csillag fejlődésének útját.
A csillag kialakulása a kozmikus gázfelhő gravitációs összehúzódásával indul meg. Az első fázisban a gravitációs energia a részecskék mozgási energiáját növeli. A csillag anyaga kezdetben szinte akadálytalanul esik össze, későljb a növekvő nyomás hatására a folyamat lelassul. Az összehúzódás során a gázfelhő belseje fokozatosan melegszik, először vörösen izzik, majd egyre fényesebb. Mikor a központi tartomány eléri a néhány millió fokot, beindulnak a magreakciók, megszületett a csillag. Életének mintegy 99%-át ebben az állapotban tölti, mikor hidrogénjét fogyasztja. Ebben az állapotban a csillag egyensúlyban van, mérete lényegesen nem^változik. Ha megszűnik a középpontban az energiatermelés, a sugárnyomás már nem tart egyensúlyt a gravitációs hatással, újabb összehúzódás lép fel. Ekkor a csillag megint felmelegszik, s belsejében beindul a hélium „égése”. A hidrogén átalakulása viszont a külső rétegekre teijed át, aminek küvetkeztében ezek a külső rétegek kiterjednek. A csillag ugyan belül most melegebb, de n a ^ a felülete, ezért a felület hőmérséklete alacsonyabb. Az ilyen csillagot nevezzük vörös óriásnak.
A mi Napunk körülbelül 5 milliárd év múlva éri el ezt az álla
_________________________CSILLAGÁSZAT_____________________ 33S
potot. Ekkor sugara majd túlnyúlik a Merkúr, a Vénusz pályáján, de lehet, hogy Földünk is a belsejébe kerül.
Elfogyasztva a héliumot, a csillag megint összehúzódik, s a felmelegedés hatására további fúziós reakciók indulhatnak be. A külső rétegek minden ilyen lépésnél kitágulhatnak, s a csillag, mint fényes nóva jelenik meg az égbolton. Az ilyen rövid ideig tartó felvillanások alatt a csillag tömegéből mindig nagy mennyiségű anyag áramlik ki az űrbe.
A csillag anyaga egyre sűrűbb lesz, végül fehér törpévé válik. Ekkor felszíni hőmérséklete magas, de kis felülete miatt nem túl fényes csillag az égbolton. Innen kapta a nevét. Az ilyen csillag lassan kihűl, szürke, jellegtelen objektummá válik.
A leírt befejezés a másfél naptömegnél nem nagyobb csillagokra jellemző. Sokkal érdekesebb az ennél nagyobb tömegű csillag sorsa. Nagy tömeg esetén & fehér törpe állapot nem stabil. Az összehúzódás tovább tart, a csillag belseje tovább melegszik, míg eléri az egymilliárd fokot. Ekkor már a periódusos rendszer összes eleme kialakulhat. Ez az állapot instabil, a csillag a felesleges tömegtől a külső burok robbanásszerű szétszórásával szabadul meg. Ez a jelenség, a szupernóvarobbanás, az egyik leglátványosabb a világegyetemben. Az égbolton váratlanul új csillag jelenik meg, fényessége olyan nagy lehet, hogy világos nappal is észrevehető, összemérhető egy egész galaxis fényességével.
A történelem három nevezetes szupernóvát jegyzett fel. 1054-ben kínai csillagászok figyeltek meg egy ilyet. A másodikat Tycho de Brahe jegyezte fel 1572-ben. A harmadik szupernóvát 1604-ben Kepler írta le.
A robbanás után megmaradó csillag további sorsa a gravitáció hatására történő összeroppanás. Elegendően nagy tömeg esetén a sűrűség olyan nagyra nőhet, hogy a csillag anyaga az atommag sűrűségéhez lesz hasonló. Ez a neutroncsillag. ^
A szupernóvarobbanás nagy jelentősége, hogy úgy látszik, a nehézelemek létrejöttének feltételei a robbanás előtt álló csillagban vannak meg. A robbanáskor ezek az elemek szétszóródnak a világűrben. A Naprendszerben is találhatunk ilyen elemeket, tehát minden valószínűség szerint az itteni anyag része volt egy szupernóvarobbanásnak.
336_____________________ CSILLAGÁSZAT________________________
CSILLAGÁSZAT 337
0 GVI 10"22gr/cm^
l T -1 0 K /
\
I/
Gravitációs / összehúzódás \
30-10® év
O
T=15-10® K 9 = 100 gr/cm^ p =2-1011 at
y5000-10^ év
10 000-10® év
5-10® év
R - R nqp
^ H->He fúzió
I Gravitációs ▼ összehúzódás
Vörös óriás ( \ R=100-RnqpI I ] \ He-^C fúzióV V / L 1 0 0 - 1 0 ® K
100-10® év
1000-10® Gv
o
M>1,4 Mnop
X '\ '\ Szupernóva
Io
R-2-10® cm > NeutroncsillagI^~2-103^ gr
Fekete lyuk
9~2-10’’ gr/cm^^
7.7. ábra
Úgy tűnik, hogy a neutroncsillag még nem a végső stádiuma egy nagy tömegű csillag életének. Elképzelhető, hogy olyan mértékben sűrűsödik össze az anyag, hogy közeléből az intenzív gravitációs tér már semmilyen anyagi információt sem enged ki. A fénynek is van tömege, tehát a fény sem szabadulhat az ilyen csillag környezetéből. Érthetően ezért nevezik ezt fekete lyuknak. Az ilyenről közvetett jelenségek útján szerezhetünk tudomást.
A csillag életútját a 7.7. ábrán rajzoltuk meg vázlatosan, feltüntetve az egyes állapotokban eltöltött időt és néhány jellegzetes adatot.
Csillagok ma is keletkeznek a világegyetemben, amire a nagyon rövid életű csillagok létezése a bizonyíték. Ugyanakkor sok milliárd éves csillaghalmazokat is ismerünk, a világegyetem tehát dinamikusan változik.
338_____________________ CSILLAGÁSZAT________________________
7.5. GALAXISUNK ÉS SZOMSZÉDAITiszta éjszakákon, a mesterséges fényektől távol, ha az ég
boltra tekintünk, a sok pontszerű csillagon kívül egy fényes sávot is látunk. Ezt a galaktika vagy más néven a Tejút halványfényű csillagai és ködfelhői alkotják. A Tejútrendszer 100 milliárd csillaga közül csak kevés látszik szabad szemmel, a többiek fénye elmosódottan, együttesen alkotja a fényes sávot. Ehhez a sok-sok csillagból álló családhoz tartozik Napunk is.
Mielőtt, a galaktikáról beszélünk, praktikus okokból vezessünk be egy új távolságegységet. 1 parsec (pc)=3,26 fényév. A galaktika alakját oldalról és felülről a 7.8. ábrán rajzoltuk meg. A központi mag körül 12 spirálkar figyelhető meg. A mi Napunk az egyik ilyen spirálkarban van, a központtól 10 kpc távolságra, a szimmetriasíktól 15 pc távolságra. A szimmetriasíktól nagyobb távolságra egyedülálló csillagok és csillagcsoportok figyelhetők meg. A szimmetriasík közelében található a csillagok össztömegének néhány százalékát kitevő diffúz intersztellá- ris anyag.
A Nap közelében, mintegy 15 pc sügarú gömbben 290 csillagot ismerünk. A legközelebbi állócsillag a Proxima Centauri,
CSILLAGÁSZAT 339
X X
NapX X X X
^ 30kpc
^ X " X ,OldalnezGt
5 kpc
\\
\
/
Felütnézet
7.8. ábra
tőlünk 1,3 pc távolságra van. Az égbolt legfényesebb csillaga, a Szíriusz 4,2 pc távolságra van tőlünk.
A közeli csillagok megfigyeléséből statisztikai módszerekkel arra lehetett következtetni, hogy a csillagoknak mintegy a fele kettős vagy többszörös rendszer tagja. Ez azt jelenti, hogy a rendszer alkotói dinamikai egységet alkotnak, és a gravitáció törvényeinek megfelelő mozgást végeznek egymás körül.
Érdekesek még a változó csillagok. Vannak olyanok, amelyek a fényességüket, és mint később kiderült, a sugarukat is változtatják, a másik csoporjuk a pulzárok, a lüktető csillagok.
Ezek igen szabályos időközönként, néhány másodperc periódussal, impulzusokat bocsátanak ki a rádiófrekvenciás tartományban. A kis periódusidő arra enged következtetni, hogy a pulzárok kis kiterjedésű objektumok, esetleg szupersűrűségű neutroncsillagok.
A galaktika azonban nem különleges képződmény. A műszereinkkel elérhető térrészben - ami kb. 2 milliárd pc sugarú gömb - mintegy 10 milliárd darab. Tejútrendszerünkhöz többé- kevésbé hasonló, ún. extragalaxis található.
A galaxisok nem töltik ki egyenletesen a teret. Általában ki- sebb-nagyobb csoportosulásokat, ún galaxishalmazokat alkotnak. A Tejútrendszer is egy kisebb csoport tagja. E csoporthoz két nagy spirális és 15 kisebb galaxis tartozik. A két nagy spirális galaxis a Tejútrendszer és az Androméda-köd, amely táünk 690 kpc távolságra van. A kisebb galaxisok közül a déli félgömbön látható Nagy és Kis Magellán Felhő fekszik hozzánk a legközelebb. Az előbbi 50 kpc, az utóbbi 60 kpc távolságra található.
Csillagvilágunk tehát igen tágas és nagyon gazdag, még sok felfedezés vár a kutatókra. A legújabb mérések arra utalnak, hogy a látható anyag csak néhány százalékát alkotja az univerzum anyagának, a többi az úgynevezett sötét anyag. A kutatások most arra irányulnak, hogy a sötét anyag természetét felkutassák.
7.6. A VILÁGEGYETEM KIALAKULÁSÁNAK ELMÉLETE
Az általános relativitáselmélet alapegyenleteinek csak egy táguló vagy összehúzódó világegyetemet szolgáltató megoldása van, illetve a kettő közötti aszimptótikus átmenet lehetséges. A csillagok színképének eltolódása a vörös felé azonban egyértelműen a tágulást igazolja. A tömeg mintegy létrehozza magának a teret. Ez persze nem jelenti azt, hogy mi vagyunk a középpontban. Hasonló a jelenség ahhoz, mintha egy átlátszó, felfújódó léggömb felszínén lévő pontból néznénk a felszínen lévő többi pontot - mindegyiket távolodni látjuk. A tágulásból
340_____________________ CSILLAGÁSZAT________________________
CSILLAGÁSZAT 341
azonban következik a gondolat, hogy az univerzum anyaga valamikor nagyon kis helyre volt összesűrítve. Ebből a gondolatból származik a ma legvalószínűbbnek tartott elmélet, amelyet a következőkben leegyszerűsítve vázolunk.
Az univerzum egy nagy robbanással kezdi létezését. Az anyag ebben az állapotban protonok, neutronok, elektronok, pozitronok, fotonok és neutrínók tízezermillió fokos közelítőleg homogén keveréke. A robbanás durván tízmilliárd évvel ezelőtt történt. A tágulás kezdetben fantasztikus gyorsasággal folyik. Az első századmásodpercben a protonok és neutronok száma még közel egyenlő, egy másodperc múlva azonban a protonok javára tolódik el a mérleg, míg elérkezik az anyagtömeg egy olyan állapotba, amikor 70% hidrogénből és 30% héliumból áll. Innen már valóban kozmikus léptékkel mérhető időintervallumok következnek.
A térben a lényegében homogén eloszlású hidrogén- és héliumatomok ionizált állapotúak, és szoros kölcsönhatásban vannak a fotonokkal. Azt szokták mondani, hogy ekkor a részecs- kesugárzás-átalakulások még folytonosan mennek végbe, az állandóan jelen levő nagy energiájú sugárzás szétszakítja az atomos szerkezeteket.
Az univerzum azonban rohamosan tágul, és ezzel együtt gyorsan hűl, mint táguló gáz. Mikor a hőmérséklet 4000 K-t ér el, az ionizációs fok erősen lecsökken, és így a semleges gáz kölcsönhatása a fotonokkal már elhanyagolható. A sugárnyomás megszűnése után folytatódhat a kezdeti százmillió fényév kiterjedésű besűrűsödések torábbi összehúzódása a gravitáció hatására. Létrejönnek az első struktúrák, a galaxishalmazok. Ezeken belül az áramlások további sűrűsödéseket okoznak, amelyek összehúzódását a gravitáció okozza. Létrejönnek a galaxisok, a csillaghalmazok, majd a csillagok.
A jelenségek részletes vizsgálata, a számítások magyarázatot adhatnak a galaxisok diszkoszhoz hasonló alakjáról, sőt a forgásukat is megindokolják.
Jogos lehet a kétkedés a tudósok bátorságát látva, mikor a laboratóriumban kapott ismereteket felhasználva, tízmilliárd évre visszanyúlva igyekeznek a folyamatokat tized- vagy századmásodperc pontossággal meghatározni. Vajon mennjdvel hihetó'bb
ez az elképzelés a különböző teremtésmítoszoknál?-Az igazolást most az jelenti, hogy az elmélet számot tud-e adni az észlelt jelenségekre, érvényes lesz-e majd az új tapasztalatokra, s különösen ad-e útmutatást azok keresésére? Ha igen, akkor hitele megközelíti a klasszikus fizika magyarázatainak hitelét.
Nézzük meg ezek után, hogy jelen pillanatban milyen ismeretek támasztják alá ezt az elméletet! A legfontosabb az univerzum első fejezetben említett, minden irányból érkező sugárzása, amelyet 1965-ben találtak meg. Ez a rádiósugárzás egy 2,7 K fokos háttérsugárzásnak felel meg. A tízmilliárd évvel ezelőtti sok millió fokos egyensúlyi sugárzásnak a világegyetem tágulása közben éppen ilyen mértékben kellett lehűlnie. A többi megfigyelés: a galaxishalmazok elméletből kiadódó mérete is a mérési eredményeknek felel meg. A világegyetem tágulása konkrét mérésen alapuló elméleti következtetés. Az általunk ismert térben a hidrogén és hélium jelenleg tapasztalt aránya megegyezik az elméletből számított aránnyal, ha figyelembe vesszük a csillagok eddigi működését.
Természetesen léteznek más elméletek is, amelyek jogosságát nem lehet elvitatni, hiszen a különleges körülmények között az általunk ismert természettörvények sem feltétlenül igazak. A fizikusok többsége mégis az itt ismertetett elméletre szavazna, amely az energia- és tömegmegmaradási törvény érvényességét tételezi fel.
A jelen egyik legnagyobb csillagászati kutatási programját a világ sok obszervatóriuma közös munka keretében valósítja meg, feltérképezik a galaxisok eloszlását az egész univerzumban. Remélhető, hogy a megszerzett információk alapján sokkal többet fogunk tudni az univerzum történetéről.
342 ________________ CSILLAGÁSZAT________________________
Készítette a Kaposvári Nyomda Kft. - 150947 Felelős vezető: Mike Ferenc
Sebesség, nyomás, áram..., ismerős hétköznapi fogalmak. Entrópia, térerősség, fúziós energia..., menynyi minden van a fizikában, amit tudni kellene! Ebben a könyvben, ami több mint egy lexikon, és más, mint egy tankönyv szinte mindent megtalálsz. Ez a fízikakönyv a kis diák, nagy diák, felvételire készülő diák segítségére lehet a tanulásban, és az érdeklődő felnőtt is kielégítheti kíváncsiságát.
ISB N 963 545 046 X
Ára: 550,- Ft 9"7S9t.35"450169