Fizikalne osnove

Uvod

V prvih dveh poglavjih ponovimo nekaj osnovnih fizikalnih pojmov, ki jih bomo kasneje srecevalipri obravnavi tako snovnih kot elektricnih in toplotnih tokov. V prvem poglavju obravnavamo tudigraficni prikaz eksperimentalnih rezultatov.

Snov prvega modula je zajeta v tretjem, cetrtem poglavju in petem poglavju.

1. Fizikalne kolicine

1.1. Fizikalne spremenljivke, enote,merjenje

Pri opazovanju pojavov in eksperimentiranjuzajemamo podatke v številski obliki in z mate-maticnimi modeli kvantitativno napovedujemoobnašanje obravnavanih sistemov. Fizika je bilapoleg astronomije prva znanost, ki je razvila takpristop; kasneje so postopoma sledile druge pa-noge. Ko v nadaljevanju govorimo o fizikalnihkolicinah, se zavedamo, da obravnava ni ome-jena le na fiziko in fizikalne pojave, temvec je tosplošno sprejet znanstveni pristop k raziskova-nju. V šoli so fizikalne teme prva priložnost, daucence navajamo na takšno obravnavo pojavov.

Fizikalne kolicine so kolicine, ki jih dobimoz merjenjem ali racunanjem. Pri merjenju primer-jamo kolicino z enoto za to kolicino. Izrazimo jekot

fizikalna kolicina = mersko število× enota(1)

Locimo osnovne in sestavljene enote.Osnovne enote so dolocene z mednarodnimidogovori. V Mednarodnem sistemu (SI) soosnovne enote meter (m), sekunda (s), kilogram

(kg), amper (A), kelvin (K), mol (mol) in kandela(cd). Sestavljene enote dobimo z množenjemali deljenjem osnovnih enot; na primer za pro-stornino je enota m3, za hitrost m/s, za delokg m2/s2, . . .

Locimo skalarne in vektorske kolicine; privektorskih je poleg velikosti pomembna tudismer.

1.2. Zapis kolicin, natancnost

Izmerjene kolicine niso poljubno natancne; pra-vimo, da so obremenjene z napako. Ta je za-radi nenatancnosti pri merjenju ali omejene ve-ljavnosti fizikalne zveze, iz katere kolicino iz-racunamo. To moramo pri zapisu kolicineupoštevati: ce merimo dolžino mize s kovin-skim trakom, je napaka okoli 1 mm; zato za-pis 678,3 mm ni smiseln, zapis 67 cm pa je pre-malo natancen. Smiseln zapis bi bil 678 mm.To seveda ne pomeni, da bi pri ponovnem mer-jenju dobili enak rezultat; izmerjena vrednostbi lahko bila tudi 677 mm ali 679 mm ali celo676 mm ali 680 mm. Velja torej dogovor, dazapišemo še števko (cifro), ki ni povsem zane-sljiva, v našem primeru je to osmica.

1

2 Fizikalne osnove

Pri zapisu kolicin v šoli bodimo torej previ-dni. Ucence ves cas navajamo na kriticen od-nos do številk. Ce na primer ucenec do številkepride z deljenjem dveh števil na kalkulatorju,pogosto misli, da mora zapisati vse številke, kise mu prikažejo.

1.3. Podajanje odvisnosti med kolici-nami

Pri meritvi obicajno eno kolicino spreminjamo– takšni kolicini pravimo neodvisna spremen-ljivka – in ugotavljamo, kako se pri tem spremi-nja druga kolicina – odvisna spremenljivka. Re-zultate lahko prikažemo:

• tabelaricno,

• graficno,

• z enacbo.

Pri pouku uporabljamo predvsem prva dva na-cina prikaza. Enacbe, s katerimi zapišemo od-visnost med kolicinami, srecamo v zakljucnihrazredih devetletke, na nižjem nivoju pa od-visnost povemo z besedami, na primer s „cim. . . tem . . . “.

Izjave, s katerimi podamo odvisnost medkolicinami, imajo lahko razlicne pomene; znjimi lahko povemo

a) definicijo kolicine (na primer hitrosti v =∆s∆t ); v tem primeru iz znanih kolicin sesta-vimo in poimenujemo novo kolicino; iz defi-nicije lahko obicajno razberemo tudi postopek,kako novo kolicino merimo,

b) fenomenološko zvezo; ce pri merjenju naprimer ugotovimo, da sta kolicini a in b premosorazmerni, zapišemo a = kb, pri cemer je kkonstanta, ki jo lahko izlušcimo iz merjenja (glejzgled v nadaljevanju),

c) naravni zakon ali izrek (na primer Newto-nov zakon a = F

m , izrek o ohranitvi kineticne inpotencialne energije); v tem primeru z enacbozapišemo zvezo med kolicinami, ki jih že po-znamo (tj. osnovnimi kolicinami ali kolicinami,ki smo jih že prej definirali).

1.4. Grafi

Ucence navajamo, da rezultate svojih meritevpredstavijo v graficni obliki. Na nižjem nivojuso se naucili risati histograme, zato bodo pripouku naravoslovja najbrž uporabljali to oblikoprikaza. Risanje histogramov je enostavno, sajizmerjeni kolicini priredimo stolpec z višino,ki je sorazmerna z velikostjo kolicine. Težavese pojavijo, ko je treba skozi izmerjene tockepotegniti krivuljo. Pravila, kako to naredimo,ni mogoce enolicno podati. Najprej moramosploh vedeti, kaj je namen graficnega prikaza.Locimo:

a) ponazoritev analiticne zveze med dvemakolicinama, na primer:

Slika 1. Sila F je premo sorazmerno z raztezkoms

Slika 2. Pri konstantni temperaturi pada tlakplina p obratno sorazmerno s prostornino V

1. Fizikalne kolicine 3

Slika 3. Relativna koncentracija c/c0 radioaktiv-nega joda se zmanjšuje eksponentno z razpolov-nim casom 8 dni.

Slika 4. Narašcanje kineticne energije telesa W zmaso 1 kg v odvisnosti od hitrosti v

b) prikaz odvisnosti med kolicinama, ki smoju merili, teoreticne odvisnosti pa ne po-znamo: Izmerjene vrednosti, zbrane v tabeli,vnesemo v graf. Znacilen primer kaže slika 5.

Slika 5. Izmerki, vnešeni v graf

Kako potegniti krivuljo skozi tocke? Ce pote-gnemo daljice od tocke do tocke – kar bi storilavecina ucencev –, dobimo zlomljeno krivuljo,vendar takšen graf ne more predstavljati po-teka fizikalne kolicine, saj se kolicina ne morespreminjati tako sunkovito. Funkcija mora bitigladka.

Na podlagi zahteve, da mora biti funk-cija gladka, se še moremo odlociti, katera oddveh možnosti, prikazanih na sliki 6, je pra-vilna: polna krivulja je preprostejša, crtkanabolj komplicirana. Odstopanja od polne krivu-lje so lahko le zaradi napak pri merjenju. Ceocenimo, da napake pri merjenju res ustrezajoodstopanjem od polne krivulje, je izbira pre-prostejše krivulje upravicena. Ce pa vemo, da

je bila natancnost pri merjenju znatno vecja, paupraviceno lahko potegnemo crtkano krivuljo.V vecini primerov je preprostejša rešitev boljsmiselna.

Slika 6. Tocke lahko povežemo na dva nacina.

c) preskus, ce izmerjene tocke res ubogajopredpostavljeno (teoreticno) odvisnost, in vprimeru, da ubogajo, dolociti neznane para-metre v teoreticni odvisnosti.

Slika 7. Odvisnost sile F od raztezka vzmeti s.

Denimo, da na grafu na sliki 7 nanašamo izmer-jene vrednosti sile F in raztezka vzmeti s. Pred-postavljamo, da sta kolicini premo sorazmerni:F = ks. Ce skozi tocke potegnemo premico,ki se najbolje prilega izmerjenim tockam, lahkoiz njenega naklona dobimo konstanto vzmeti k.Ali lahko iz grafa preverimo, ce je odvisnost za-res linearna? O tem odlocajo odstopanja tockod premice: ce so ta odstopanja v okviru mer-skih napak, je predpostavka o linearni odvisno-sti smiselna, ce so odstopanja mnogo vecja, pane.

Opisani postopek je enostavno izvedljiv, kopredpostavimo linearno odvisnost med kolicinama.Kadar odvisnost ni linearna, lahko vseeno upora-bimo opisani postopek, ce nam uspe s primerno

4 Fizikalne osnove

transformacijo spremenljivk dobiti linearno odvi-snost. Pri kvadratni odvisnosti, na primer W =12 mv2, namesto neodvisne spremenljivke (v pri na-šem zgledu) na absciso nanašamo njen kvadrat (v2),pri obratni sorazmernosti, na primer p = k/V, naabsciso nanašamo reciprocno vrednost neodvisnespremenljivke, 1/V), pri eksponentni odvisnosti, naprimer c = c0e−t/τ , pa zvezo delimo s c0 in logarit-miramo, ln(c/c0) = − 1

τ t, in na ordinato nanašamologaritem odvisne spremenljivke, ln(c/c0).

Pri izvajanju poskusov skušajmo vedno ekspli-citno navesti, katera spremenljivka je neodvi-sna, katera (katere) pa odvisna.

V razmislek

• Razmislite, s kolikšno natancnostjo jesmiselno podati kolicine, ki jih izme-

rimo z medicinskim termometrom, men-zuro, kljunastim merilom, rocno štopa-rico, rocno uro s sekundnim kazalcem,kuhinjsko tehtnico, brzinometrom v avto-mobilu, merilnikom pretoka plina v go-spodinjstvu, števcem za porabljeno elek-tricno energijo, . . .

• Koliko pomembnih števk (cifer) je v za-pisu naslednjih kolicin, in kolikšna je nji-hova natancnost: Do mesta A je 460 km.Plovilo tehta 8000 ton. Razdaljo preleti v0,023 s. Kupi žarnico za 60 W in 16 am-persko varovalko! Voda zavre pri 100◦C.Za pripravo potice stehtajte 200 g masla.Do najbližje trgovine je 200 m. Na priho-dnjih olimpijskih igrah bo naša predstav-nica tekla v teku na 200 m. Peter je star12 let, Metka pa je prav danes dopolnila13 let.

2. Energija

Energija je ena temeljnih fizikalnih kolicin. Znjo se srecujemo vsak dan, o njej beremo, govo-rimo, razmišljamo. Pojem energije in kolicin, kiso z njo povezane, uporabljamo precej ohlapno,površno in pogosto nekonsistentno. V tem po-glavju ponovimo naše znanje o energiji. Zapi-šemo zveze, ki jih bomo kasneje potrebovali pritemah, ki se nanašajo na ucne vsebine. Dodatnorazlago je mogoce najti v ucbenikih [1, 2, 4, 5, 6].

2.1. Delo, izrek o kineticni energiji

Kineticna energija je odvisna od mase telesa innjegove hitrosti: Wkin = 1

2 mv2.

Vozicek z maso m potiskamo po tiru breztrenja s silo F v smeri tira. Sila na poti s opravidelo A = Fs. Na racun opravljenega dela se vo-zicku poveca hitrost z zacetne vrednosti v′ nakoncno vrednost v in s tem tudi kineticna ener-gija z W ′kin na Wkin. Velja:

A = Wkin −W ′kin = 12 mv2 − 1

2 mv′2 . (2)

Slika 8. Vozicek vlecemo s silo F; vozicku se po-vecuje hitrost.

Ko telo ustavljamo, ima sila nasprotno smerkot premik. V takšnem primeru je koncna hi-trost (v) v zvezi (2) manjša od zacetne (v′) in jedelo negativno. Pravimo, da je telo delo oddalo,mi pa smo delo prejeli.

Delo je torej pozitivno, ko sila deluje v smeripremika, in negativno, ce ima sila nasprotno

2. Energija 5

smer kot premik telesa. Ce sila in premik ni-sta vzporedna, k delu prispeva le komponentasile v smeri premika. V primeru, ko sta pravo-kotna, je delo enako 0.

2.2. Potencialna energija

Telo z maso m pocasi dvignemo navpicno nav-zgor. Telo dvigamo s silo F, ki je nasprotnoenaka teži telesa mg. Kineticna energija te-lesa se pri tem ne spreminja. Ko telo dvi-gnemo za višinsko razliko ∆h, opravimo deloA = mg∆h. Vpeljemo potencialno energijo telesa,Wpot = mgh. Opravljeno delo sedaj lahko zapi-šemo kot razliko potencialnih energij:

A = mg∆h = mgh−mgh′ , (3)

pri tem je h′ zacetna, h = h′ + ∆h pa koncnavišina.

Ce je telo razsežno, za h vstavimo višino nje-govega težišca.

Sprememba potencialne energije je pravzapravle drugo ime za delo teže. Opisani poskus dvigo-vanja telesa bi namrec lahko opisali tudi drugace:ker pri poskusu telo dvigujemo pocasi, je sila, s ka-tero dvigamo telo, nasprotno enaka teži. Sili pri temopravita skupno pot, kažeta pa v nasprotnih sme-reh. Zato je delo, ki ga opravimo, nasprotno enakodelu teže: A = −Ag. Pri vpeljavi potencialne ener-gije pa smo zapisali, da je opravljeno delo enakospremembi potencialne energije A = ∆Wpot. Spre-memba potencialne energije je torej le drug izraz za(negativno) delo teže. Ce racunamo s potencialnoenergijo, dela teže ne smemo vec upoštevati, ce pagovorimo o delu teže, ne smemo upoštevati poten-cialne energije, saj bi v tem primeru eno in isto delošteli dvakrat. Izjavi: „pri padanju telesa se pove-cuje njegova kineticna energija na racun dela teže“in „pri padanju telesa se povecuje njegova kineticnaenergija na racun zmanjševanja njegove potencialneenergije“ sta ekvivalentni, izjava „pri padanju telesase povecuje njegova kineticna energija na racun delateže in zmanjševanja potencialne energije“ pa je na-pacna, saj smo eno in isto kolicino šteli dvakrat.

Slika 9. Vozicek pocasi dvigamo s silo F; vozickuse povecuje potencialna energija.

2.3. Prožnostna energija

Podoben razmislek kot pri vpeljavi potencialneenergije velja pri napenjanju vzmeti. Sila F, kinapenja vzmet, je premo sorazmerna z skrckom(raztezkom) vzmeti s: F = ks. Vpeljemo prožno-stno energijo, W = 1

2 ks2, tako da je delo, ki gavzmet prejme, enako

A = 12 ks2 − 1

2 ks′2 . (4)

Pri tem je s raztezek (skrcek) na koncu, s′ pa nazacetku. Ce je s′ = 0, je delo, ki ga opravimo zanapenjanje vzmeti, kar enako prožnostni ener-giji vzmeti; ce je s = 0, je delo negativno, karpomeni, da je vzmet delo opravila (njena pro-žnostna energija se je porabila za delo).

2.4. Ohranitev mehanske energije

Ce telo ne prejema dela ali ce telo dela ne opra-vlja, se ohranja skupna energija telesa. Se-stavljajo jo kineticna, potencialna, prožnostnaenergija in še katera, ki je tu ne obravnavamo.

Oglejmo si to na zgledu skokca. S prstom gapotisnemo navzdol. Pri tem prst stiska vzmetin opravi delo, ki se uskladišci v telesu v oblikiprožnostne energije (slika 10).

6 Fizikalne osnove

Slika 10. Skokec dobi prožnostno energijo

Vzmet se sprosti in skokec poskoci. Do-gajanje je prikazano na zaporednih slicicah nasliki 12. Dogovorimo se, da merimo potenci-alno energijo glede tla. Takoj po tem, ko sevzmet sprosti, ima skokec le kineticno energijo;ko se dviga se kineticna energija manjša, po-tencialna pa narašca. Ko doseže najvecjo vi-šino, ima le potencialno energijo. Ko izmerimoto višino in poznamo maso skokca, lahko izra-cunamo njegovo potencialno energijo v najvišjilegi.

2.5. Trenje, notranja energija

Ce vlecemo telo po vodoravni hrapavi podlagis konstantno hitrostjo, je vlecna sila nasprotnoenaka sili trenja. Pri tem se segrevata telo inokolica (podlaga, zrak). Delo, ki ga opravimo,se v tem primeru porabi za povecanje notranjeenergije. Ce se okolica pri tem ne segreje, se deloporabi le za povecanje notranje energije telesaWn, in zapišemo:

A = Wn −Wn′ . (5)

Slika 11. Vozicek vlecemo s silo F; nanj deluje na-sprotno enaka sila trenja, Ftr, zato se vozicek gi-blje enakomerno. Na racun dela sile F se vozickupovecuje notranja energija.

Spremembo notranje energije obicajno izra-zimo s spremembo temperature telesa.

V vseh naštetih primerih smo telesu pripi-sali neko vrsto energije, kineticno, potencialno,prožnostno ali notranjo. Energija je torej fizi-kalna kolicina, ki je telo ima zaradi svoje hitro-sti, lege ali stanja. Delo ni takšne vrste kolicina,saj ne moremo reci, da ima telo delo. Telo lahkoopravi (odda) delo ali ga prejme. Na racun pre-jetega dela se mu poveca energija; ce delo odda,se mu energija zmanjša.

Ce telo razdelimo na dva dela, imata delamanjšo energijo kot celota; energija celotnegatelesa je vsota energij delov. Za energijo torejvelja aditivnost. Kolicinam, za katere velja adi-tivnost, pravimo ekstenzivne kolicine.

Temperatura je tudi lastnost telesa.1 Ven-dar za temperaturo ne velja aditivnost, temvecimajo posamezni deli telesa enako temperaturokot celota. Temperatur posameznih delov nesmemo seštevati. Govorimo o intenzivni koli-cini.

V razmislek

• V eksperimentalnem delu izvedemo po-skus, s katerim izmerimo energijo skokca.Poskus je bil posnet z videokamero inje prikazan na zaporedju posnetkov nasliki 12. Iz zadnjih dveh posnetkov lahko

1Pravzaprav to velja le v primeru, ko je telo v ravnovesju in imajo vsi deli telesa enako temperaturo (o ravnovesnihstanjih bomo vec povedali v modulu Toplotni tokovi).

3. Snovni tokovi 7

ocenimo hitrost, ki jo ima skokec tik pre-den se dodakne tal. Razmislite, kakolahko od tod izracunamo najvecjo kine-ticno energijo in preverimo, ce je tako iz-racunana energija v skladu z energijo, do-loceno z merjenjem najvecje višine.

Slika 12. Skokec poskoci. Slike so posnete v ca-sovnih razmikih 1

25 s. Številke na merilu – nažalost nekoliko slabše citljive – so v razmikih po1 cm in 10 cm (vecje).

3. Snovni tokovi

Ko fizik govori o snovnih tokovih, ga zanimamnožina snovi, ki se pretoci v dolocenem casu.Na zacetku zato vpeljemo fizikalne kolicine,povezane s snovnimi tokovi: masni in prostor-ninski tok. V nadaljevanju zapišemo kontinui-tetno enacbo, ki odraža zahtevo, da se mora pripretakanju ohranjati masa snovi. O vzrokih, kipoganjajo tokove, govorimo v naslednjem po-glavju, v zadnjem poglavju pa o energiji, ki jotokovi nosijo, in o delu, ki je potrebno opravitiza vzdrževanje tokov.

3.1. Masni in prostorninski tok

Prostorninski tok je prostornina tekocine ∆V, ki vcasu ∆t stece skozi izbran presek cevi ali struge:

ΦV =∆V∆t

. (6)

Slika 13. Merjenje prostorninskega toka: v men-zuro ujamemo doloceno kolicino vode in me-rimo cas, ki je za to potreben.

Prostornino tekocine, ki se pretoci v casu ∆t,zapišemo kot ∆V = S∆l = Sv∆t, pri cemer jeS precni presek cevi ali struge in v hitrost teko-cine. Dobimo koristno zvezo:

ΦV = vS . (7)

Masni tok je masa tekocine ∆m, ki se pretociv casu ∆t:

Φm =∆m∆t

. (8)

8 Fizikalne osnove

Maso pretocene tekocine izrazimo s prostor-nino kot ∆m = ρ∆V, pri cemer je ρ gostota te-kocine. S primerjanjem formul (6) in (8) ugoto-vimo zvezo med obema tokovoma:

Φm = ρΦV = ρvS . (9)

Prostorninski tok merimo v kubicnih metrih (li-trih) na sekundo, masni pa v kilogramih na se-kundo.

Slika 14. Merjenje prostorninskega toka v potoku

Pri merjenje prostorninskega toka v potoku(glej sliko 14) merimo hitrost vodnega toka v inprecni presek potoka S; prostorninski tok je po-tem ΦV = vS. Hitrost dolocimo z merjenjemcasa t, ki ga potrebuje plavajoc predmet, da pre-potuje izbrano razdaljo s, v = s/t; ce hitrostiv precni smeri niso enake, merimo hitrosti prirazlicnih razdaljah od brega in vzamemo pov-precje. Za dolocitev precnega preseka presekaizmerimo širino l in globino potoka h, S = hl.

3.2. Stacionarno pretakanje

V stacionarnem stanju se razmere v cevi alistrugi s casom ne spreminjajo: hitrost tekocinev izbrani tocki se s casom ne spreminja (karpa seveda ne pomeni, da se hitrost tekocinene more spreminjati s krajem). Ce pri tem izcevi ali struge nic vode ne ponikne ali vanjo nepritece, se masni tok ohranja. Skozi poljubenpresek v vsakem trenutku stece enaka množinavode:

Φm = Φ′m . (10)

Slika 15. Stacionarni tok reke: hitrosti reke so raz-licne na razlicnih mestih; kjer se tok zoži, so hi-trosti vecje, kjer se razširi, manjše. Ce se sicerrazlicne hitrosti na razlicnih mestih s casom nespreminjajo, je pretakanje stacionarno.

Ali to velja tudi za prostorninski pretok? Cese gostota tekocine vzdolž cevi ne spreminja, tovsekakor velja; ce pa se gostota spreminja, jeprostorninski tok na mestu, kjer je gostota ve-cja, manjši, in obratno. To je pomembno pred-vsem pri pretakanju plinov, pri katerih je go-stota mocno odvisna od tlaka in temperature.

Slika 16. Pri iztekanju tekocine iz pipe se curekz globino tanjša. Zaradi padanja vode se hitrostv curku z globino povecuje, ker pa mora ostatiprostorninski tok konstanten, se presek curkazmanjšuje

3. Snovni tokovi 9

3.3. Kontinuitetna enacba

Vsako pretakanje seveda ni stacionarno.Oglejmo si primer, ko voda na eni strani pri-teka v zbiralnik, na drugi strani pa odteka. Cevec vode pritece kot odtece, se množina vode(masa vode) v zbiralniku veca, v nasprotnemprimeru manjša. Masa vode, ki v casu ∆t pri-tece, je enaka m = Φm∆t, tista, ki odtece, pam′ = Φ′m∆t. Masa vode ∆m, ki se v casu ∆tzbere v zbiralniku, je razlika obeh mas. Velja:

∆m∆t

=m−m′

∆t= Φm −Φ′m . (11)

Ce je prihajajoci tok Φm vecji od odhajajocegatoka Φ′m, je desna stran enacbe pozitivna, ∆m nalevi je zato pozitiven, kar pomeni, da množinavode v posodi narašca. Kolicina vode v posodise manjša, ce je prihajajoci tok Φm manjši od od-hajajocega toka Φ′m. Tedaj je desna stran enacbenegativna in prav tako ∆m. Negativna spre-memba mase torej pomeni, da se kolicina snoviv posodi zmanjšuje.

Enacba (11) je ena od oblik kontinuitetneenacbe. Odraža zakon o ohranitvi mase. V fizikisrecamo enacbo v takšni obliki vsakokrat, koobravnavamo kolicino, za katero velja ohrani-tveni zakon: energijo, elektricni naboj, številodelcev, . . .. Na levi strani kontinuitetne enacbenastopa casovna sprememba kolicine, na desnipa razlika med prihajajocim in odhajajocim to-kom, povezanim s to kolicino.

Slika 17. Kontinuitetna enacba: ce priteka vecvode kot odteka (Φ > Φ′), se gladina vode vposodi viša, v nasprotnem primeru (Φ < Φ′)niža. V stacionarnem stanju, ko sta tokova Φ inΦ′ enaka, gladina miruje – razmere se s casom nespreminjajo.

3.4. Pretakanje plinov

Tekocine v ožjem pomenu besede2 so prakticnonestisljive, zato je njihova gostota konstantna inmnožino snovi lahko enako dobro izrazimo sprostornino ali z maso. Pogosteje uporabljamoprostornino, saj kolicino najbolj enostavno iz-merimo prek velikosti posode. Tehtanje bi bilonerodno in zamudno. Mleko zato lahko kupu-jemo na litre in vsakic dobimo enako množino.

Pri plinih moramo biti bolj previdni; v litr-sko posodo lahko shranimo skoraj poljubno ko-licino plina, ce ga le dovolj stisnemo (in posodaseveda prej ne eksplodira). Zvezo med prostor-nino in maso plina podaja splošna plinska enacba:

pV =mM

RT , (12)

kjer je p tlak plina, V prostornina posode, mmasa plina, T njegova temperatura (merjena vKelvinih), M masa kilomola plina in R splošnaplinska konstanta (R = 8300 J/kmolK).

2K tekocinam v širšem pomenu štejemo tudi pline.

10 Fizikalne osnove

Pri iztekanju plina iz posode s togimi ste-nami, ostaja prostornina plina v posodi ves caskonstantna, zmanjševanje mase pa zaznamopreko zmanjševanja tlaka plina v posodi. Plinizteka iz posode toliko casa, dokler se tlak v po-sodi ne izenaci z zunanjim tlakom.

Pojav prikažemo s poskusom, pri kateremiztekajoci zrak izriva vodo, ki na zacetku na-polnjuje valjasto cev (glej slike 18, 19 in 20). Nakoncu je prostornina zraka vecja kot na zacetku,saj je zunanji zracni tlak manjši od tlaka zrakav zaprti posodi. Iz izmerjene prostornine, zna-nega tlaka in temperature ter kilomolske masezraka (M = 29 kg) lahko izracunamo masozraka, ki je iztekla iz posode.

Slika 18. Iztekanje zraka iz posode: s pumpo do-damo nekaj zraka v posodo z ventilom; s teh-tanjem posode pred in po pumpanju izmerimomaso dodanega zraka.

Slika 19. Posodo spojimo z valjasto cevjo, ki jonapolnjuje (obarvana) voda.

Slika 20. Zrak izpodrine vodo, ki jo ulovimo vposodo. Prostornino vode izmerimo z menzuroin je enaka prostornini iztecenega zraka.

3.5. Tokovnice

Gibanje tekocine ponazorimo s tokovnicami. To-kovnica je krivulja, ki jo opiše izbran majhendel tekocine pri svojem gibanju. Mislimo si, dav tekocino kapnemo majhno kapljo barvila insled, ki jo barvilo pušca za sabo, predstavlja iz-brano tokovnico. V potoku lahko opazujemogibanja lista ali majhnega predmeta, ki plavaskupaj s tekocino.

Pri laminarnem gibanju tekocine se tokov-nice ne prepletajo; bližnje tokovnice opisujejopodobne krivulje. Pri turbulentnem gibanju pase tokovnice prepletajo in nastajajo vrtinci. Tur-bulentno gibanje nastopi pri vecjih hitrostih te-kocine; pri manjših prevladuje laminarno giba-nje. Pri gladkih ceveh s presekom, ki se ne spre-minja hitro, obstaja laminarno gibanje tudi privecjih hitrostih.

Iz slike tokovnic lahko sklepamo na hitrosttekocine. Smer gibanja tekocine v izbrani tockidoloca tangenta na tokovnico v tej tocki. Na ve-likost lahko sklepamo, ce opazujemo nekaj bli-žnjih tokovnic. Tam kjer se tokovnice stisnejo,je hitrost tekocine vecja; tam kjer se razširijo, pamanjša.

V razmislek

• Kaj lahko poveste o hitrosti tekocine vcevi, ce se presek cevi zmanjša na polo-vico, tretjino zacetnega?

4. Gonilne razlike 11

• Kako bi dolocili masni tok zraka pri su-šilcu za lase? (Meritev je seveda lahko lezelo približna.)

• Ce bi bila pri poskusu na slikah 18– 20 cevnagnjena, bi bila prostornina zraka dru-

gacna. Razmislimo, kako moramo nagniticev, da bo prostornina vecja (manjša) kotv primeru, ko cev leži vodoravno. Alilahko tudi v tem primeru dolocimo masozraka?

4. Gonilne razlike

4.1. Upor pri pretakanju

Upor, ki se pojavi pri pretakanju tekocine (pocevi, strugi, . . .), je posledica trenja s stenami innotranjega trenja v tekocini, ko ena plast teko-cine drsi po drugi. Sila obicajno narašca s hitro-stjo; pri manjših hitrostih je premo sorazmernas hitrostjo, pri vecjih pa s kvadratom hitrosti.

Opazujmo cev s precnim presekom S, pokateri se pretaka tekocina (glej sliko 21). Na (le-vem) krajišcu cevi naj bo tlak v tekocini enak pin sila, ki deluje na tekocino F = pS, na drugemkrajišcu pa tlak p′ in sila F′ = p′S. Sila F′ kažev nasprotno smer kot F; na tekocino v cevi torejdeluje rezultanta F − F′ = (p − p′)S. Rezul-tanta mora uravnovesiti silo upora, zato morabiti tlak na levem krajišcu cevi vecji od tlaka nadesnem p′. Kolicini ∆p = p− p′ pravimo tlacnarazlika.

Slika 21. Pretakanje tekocine med dvema poso-dama: h je višina tekocine v prvi posodi, h′ vdrugi, p tlak na vhodu v cev in p′ na izhodu.

Tlacno razliko, potrebno za pretakanje, naj-lažje ustvarimo tako, da na zacetek in koneccevi prikljucimo posodi, pri cemer je v prvi po-sodi gladina tekocine višja kot v drugi posodi.Tlacna razlika je v tem primeru sorazmerna zrazliko višin gladin: ∆p = ρg(h− h′).

4.2. Tlacne razlike

Ugotovili smo, da je za pretakanje tekocin po-trebna tlacna razlika. Ce tlacno razliko pove-camo, se poveca tudi hitrost pretakanja in s temtudi prostorninski (masni) tok po cevi. Zaradivecje hitrosti se poveca tudi upor. Ko se vzpo-stavi stacionarno stanje, povecan upor uravno-vesi sila, ki je posledica tlacne razlike,.

Pri viskoznih tekocinah in tekocinah, ki sepretakajo zelo pocasi, je upor premo soraz-meren s hitrostjo, zato sta tudi pogonska silain tlacna razlika premo sorazmerni s hitrostjo.Lahko zapišemo

v ∝ ∆p .

Ker sta prostorninski in masni tok (glej (9))premo sorazmerni s hitrostjo, v tem primeruvelja

Φm = k ∆p .

Sorazmernostni koeficient k je odvisen od dol-žine cevi, premera cevi, in viskoznosti tekocine.Cim vecji je premer cevi, tem vecji je tok.

Pri turbulentnem pretakanju – vodni tok prinekoliko vecjih hitrostih je takšen – upor nara-šca s kvadratom hitrosti. Pomeni, da je pri dva-krat vecji hitrosti upor štirikrat vecji, zato mora

12 Fizikalne osnove

biti tudi potisna sila štirikrat vecja. V tem pri-meru zveza med tlacno razliko in pretokom nivec linearna.

4.3. Višinske razlike

Vodo, ki v nagnjeni strugi ali po pobocju tece skonstantno hitrostjo, ne poganja tlacna razlika,temvec težnost, podobno kot velja za vozicek,ki se pelje po klancu. Sila, ki premaguje upor,je teža, bolj natancno, komponenta teže, ki jevzporedna s klancem. Cim vecji je naklon, temvecji sta sila in hitrost tekocine.

Slika 22. Hitrost pretakanja je sorazmerna z vi-šinsko razliko ∆h.

4.4. Koncentracijske razlike

Ko v cašo z vodo kanemo kapljico crnila, se cr-nilo pocasi razleze po vsej posodi. Pojav ime-nujemo difuzija. Tok molekul tece iz podrocja zvecjo koncentracijo v podrocje z manjšo. Name-sto masnega ali prostorninskega toka v tem pri-meru raje govorimo o številu molekul, ki gredov casovnem intervalu ∆t skozi izbrano ploskev,Φ = ∆N/∆t. Tok bo tem vecji, cim vecja razlikakoncentracij. Lahko zapišemo

Φ = SDn2 − n1

x= SD

∆nx

.

Pri tem koncentracijo izrazimo kot število del-cev v prostornini n = N/V, x je razdalja medmestoma, kjer je sta koncentraciji enaki n1 in n2(glej sliko 23), S je precni presek, skozi kateregatece tok, D pa difuzijska konstanta. Difuzijskakonstanta je odvisna od temperature in visko-znosti tekocine. Pri višji temperaturi difuzijapoteka hitreje.

Slika 23. Pri difuziji je tok premo sorazmeren zrazliko koncentracij. Gostota n1 (n2) je številodelcev v oznacenem delu posode na levi (desni)deljeno s prostornino tega dela.

Slika 24. Ker rece tok delcev v levo, se na desnistrani koncentracija zmanjšuje, na levi pa nara-šca. Razlika koncentracij je manjša, zato je tuditok manjši kot na zacetku.

Slika 25. Na koncu ni koncentracijskih razlik intok vec ne tece. Vzpostavljeno je ravnovesno sta-nje.

Zaradi toka se število molekul v delu pro-stora z vecjo koncentracijo zmanjšuje, narašcapa v delu prostora, kjer je koncentracija manjša.Tok tece, vse dokler koncentracijske razlike vtekocini ne izginejo.

4.5. Pretakanje viskoznih tekocin

Pri pretakanju viskoznih tekocin po ceveh skrožnim presekom je moc zvezo med tlakomter hitrostjo pretakanja zapisati v enostavnianaliticni obliki.

Pri viskozni tekocini drsijo plasti tekocinedruga prek druge z razlicnimi hitrostmi. Med

4. Gonilne razlike 13

plastmi deluje trenje, ki pa je za razliko od obi-cajnega trenja premo sorazmerno s hitrostjo. Ceželimo, da se plast giblje s hitrostjo v prekodruge plasti v razmiku d, jo moramo vleci s silo

F = S′ ηvd

,

pri cemer je S′ površina sticne ploskve med pla-stema, η pa viskoznost tekocine. Viskoznost jezanemarljivo majhna v primeru vode ali zrak,vecja pri oljih, velika pri medu in najvecja pristeklu. Pri slednjem je tako velika, da pretaka-nja sploh ne opazimo.

Pri viskoznem pretakanju po cevi s kro-žnim presekom imajo plasti s enakimi hitrostmiobliko koncentricnih valjev. Zunanja plast tikob steni cevi miruje. Hitrost narašca proti sredi-šcu cevi in doseže najvecjo vrednost na sredini.Hitrostni profil ima obliko parabole. Prostor-ninski pretok zapišemo s povprecno hitrostjo vkot ΦV = Sv; tu je S = πr2 precni presek cevi, rpa njen polmer. Velja, da je povprecna hitrostenaka ravno polovici najvecje hitrosti. Z takšenprimer je mogoce izpeljati analiticno zvezo medtlacno razliko, potrebno za pretakanje tekocine,dolžino cevi l in povprecno hitrostjo. Dobimo

v =r2∆p8ηl

in pretok

Φ = πr4 ∆p8ηl

.

To je Poiseuillov zakon – po francoskem fizikuin fiziologu Poiseuillu, ki se je sredi 19. stole-tja ukvarja s pretakanjem krvi po žilah. Ker jepretok premo sorazmeren s cetrto potenco pol-mera, pomeni, da pri enaki tlacni razliki tecepo cevi z dva krat manjšim polmerom šestnajstkrat manjši prostorninski tok. Ce se na primerpolmer kapilare – recimo zaradi poapnenja žil– zmanjša za 5 % , mora srce potiskati kri s20 % vecjo tlacno razliko, ce naj prostorninskitok ostane enak.

4.6. Pretakanje brez upora

Ugotovili smo, tok tece zaradi zunanjegavzroka: tlacne razlike, višinske razlike, razlike

koncentracij, . . . s skupnim izrazom takšne raz-like imenujemo gonilne razlike. Gonilne raz-like so potrebne zaradi premagovanja upora, kispremlja gibanje snovi. Ce upora ni, tekocinatece sama od sebe, podobno kot se sam od sebegiblje vozicek po vodoravni zracni drci. Takšnetekocine imenujemo superfluidne; helij pri zelonizki temperaturi je primer za takšno tekocin.Tekocino na zacetku poženemo z doloceno hi-trostjo, ko sila preneha, se hitrost gibanja ohra-nja.

Pri izjavah o vzrokih za gibanje moramozato biti previdni: gonilne razlike so potrebneza premagovanja upora pri gibanju, ne pa zaustvarjanje gibanja. To povežemo s prvimNewtonovim zakonom: ce na telo ne deluje no-bena sila, telo miruje ali se giblje premo enakomerno,ki seveda velja tudi pri gibanju tekocin.

Tudi pri pretakanju vode ali podobne ne-viskozne tekocine lahko v nekaterih primerihopišemo pretakanje kot gibanje brez upora. Toje mogoce na primer pri iztekanju vode iz po-sode ali pretakanju po dovolj širokih ceveh.

V tem primeru za pretakanje velja Bernouli-jeva enacba, ki povezuje razmere v dveh tockahna isti tokovnici. Ce z z1 oznacimo višino prvetocke, z v1 hitrost tekocine in s p1 hidrostaticnitok v tej tocki, ter z p2, z2 in v2 iste kolicine vdrugi tocki, velja

p1 + ρgz1 +12 ρ v2

1 = p2 + ρgz2 +12 ρ v2

2 .

Enacba v tej obliki velja za nestisljive tekocine,ce želimo veljavnost razširiti tudi na tekocine(recimo na pline), pri katerih se gostota s kra-jem spreminja, moramo upoštevati razlicni go-stoti na levi in desni strani enacbe.

Enacbo uporabimo pri iztekanju tekocine izposode z luknjico. Luknjica naj bo na globinih pod gladino. Tokovnico potegnimo iz tockena gladini skozi luknjico do tekocine, ki iztekana prosto. Prvo tocko v Bernoulijevi enacbi po-stavimo na gladino, pri tem višino štejemo odglobine luknjice. Na gladini je tlak enak zuna-njemu zracnemu tlaku, p1 = p0, višina z1 = hin hitrost v1 = 0. Druga tocka naj bo v curku,tik po tem, ko zapusti luknjico. Tudi tu je tlakenak zunanjemu zracnemu tlaku, p2 = p0, vi-šina z2 = 0 in v2 = v hitrost iztekanja tekocine.

14 Fizikalne osnove

Bernoulijev enacba ima v tem primeru obliko

p0 + ρgh = p0 +12 ρ v2 ,

od koder takoj sledi

v =√

2gh .

Rezultat je enak kot pri prostem padu telesa zvišine h, ko zanemarimo upor zraka.

Enak rezultat dobimo, ce se odprtine nada-ljuje v dovolj široko vodoravno cev s konstan-tnim presekom S, v kateri ni upora. Razmi-slimo, kako je s tlacno razliko med krajišcemacevke v tem primeru. Ce s p3 i in s v3 oznacimotlak in hitrost tekocine za zacetku cevi (z3 = 0),velja

p3 +12 ρ v2

3 = p0 +12 ρ v2 .

Prostorninski pretok vzdolž cevi se ohranja, ve-lja v3S = vS, torej je v3 = v. Iz zgornje enacbetakoj sledi

p3 = p0 ,

z drugimi besedami to pomeni, da med kraji-šcema ni tlacne razlike — kar je v skladu z našopredpostavko, da pri pretakanju ni upora.

V razmislek

• Bolniška sestra vpne steklenico z infuzij-sko tekocino v prižemo, ki jo je mogocepremikati navzgor in navzdol po palica-stem podstavku. Cemu je potrebna spre-menljiva višina? Kako merimo pretok pritakšni napravi?

• Kaj povzroci tlacne razlike, ki so potrebneza pretakanje tekocine v vodovodnih ce-veh, v žilah, pri vodometu, v sifonskihsteklenicah in pršilih (sprejih)?

• Zakaj piha veter?

5. Energija pri pretakanju

5.1. Kineticna in potencialna energija te-kocine

Gibajoca se tekocina ima kineticno energijo; ener-gijo dela tekocine z maso ∆m zapišemo kot∆Wkin = 1

2 ∆mv2, pri cemer je v hitrost teko-cine. Ko vodni tok poganja mlin, se del kine-ticne energije porabi za koristno delo. Voda, kizapušca lopatice, ima zato manjšo energijo inhitrost.

V jezu ima voda potencialno energijo; delvode z maso ∆m ima potencialno energijoWpot = ∆mgh, ce energijo in višino štejemo oddna jezu. Pri iztekanju se potencialna energijapretvarja v kineticno energijo, a ne vsa, saj sezaradi upora del potencialne energije spremeniv notranjo energijo.

Snovni tok lahko prenaša tudi notranjo ener-gijo v obliki kemijske energije. Zgled za takoprenašanje sta plinovod in naftovod. Tudi kriprinaša celicam energijo v obliki kemijske ener-gije, ki se v celicah pretvarja v koristno delo in

druge oblike notranje energije.

5.2. Delo pri vzdrževanju stacionarnegastanja

Kaj lahko povemo o energijski bilanci pri preta-kanju? Zaradi upora se podobno kot pri trenjudel kineticne energije spremeni v notranjo ener-gijo tekocine, cevi in posod. Pretakanje bi sezato scasoma ustavilo. Ce hocemo vzdrževatikonstanten tok, moramo z dovajanjem dela na-domešcati izgubljeno kineticno energijo ener-gijo. Obicajno za to uporabimo crpalko. Cr-palka poskrbi za stalno tlacno razliko in s temza stalen tok, za delovanje pa ji moramo dova-jati delo.

Pri pretakanju tekocine iz višje ležece po-sode v nižje ležeco izgube zaradi upora po-kriva zmanjševanje potencialne energije teko-cine v višje ležeci posodi. V tem primeru tecetok le toliko casa, dokler se posoda ne izprazni.Ce želimo doseci stalni tok, moramo prenašati

5. Energija pri pretakanju 15

vodo iz nižje ležece posode v višje ležeco in zato opravljamo delo. Naj bo ∆m masa tekocine,ki jo v casu ∆t prenesemo iz nižje ležece posodev višje ležeco posodo, in naj bo ∆h višinska raz-lika med gladinama v posodi. Delo, ki ga pritem opravimo, je enako spremembi potencialneenergije: A = ∆Wp = ∆mg ∆h (zaradi upora jedelo lahko tudi vecje). Moc, ki jo potrebujemoza pretakanje, je opravljeno delo v casu:

P = A∆t = ∆mg∆h = Φm g∆h ,

saj je ∆m/∆t enak masnemu pretoku, ki v sta-cionarnem stanju tece iz višje ležeco posode vnižje ležeco. Izraz lahko prepišemo v nekolikodrugacno obliko, ce upoštevamo Φm = ρΦV :

P = ΦV ρg∆h = ΦV∆p ,

pri cemer je ∆p tlacna razlika, ki poganja tok pocevi.

Ugotovitev lahko posplošimo: Za vzdrže-vanje stalnega toka je potrebno dovajati moc, kije enaka produktu med tokom in gonilno raz-liko.

5.3. Energijska bilanca pri pretakanjumed dvema posodama

Energijsko bilanco si podrobneje oglejmo pripretakanju tekocine iz ene posode v drugo.

Gladina tekocine v prvi posodi se niža,zato se potencialna energija tekocine v posodimanjša. Hkrati se povecuje potencialna ener-gija tekocine v drugi posodi. Vendar je to po-vecanje manjše od izgube potencialne energijev prvi posodi. O tem se hitro prepricamo, ce iz-racunamo potencialno energijo tekocine na za-cetku, ko je vsa tekocina zbrana v prvi posodi,in na koncu, ko je pol tekocine v prvi in pol te-kocine v drugi posodi. Potencialna energija nazacetku je W ′p = mg 1

2 h0, ce s h0 oznacimo za-cetno višino gladine in upoštevamo, da je teži-šce na sredi tekocine. Potencialna energija na

koncu je enaka vsoti potencialnih energij teko-cin v prvi in drugi posodi: Wp = 1

2 m 14 h0 +

12 m 1

4 h0 = m 14 h0. Razlika obeh energij je m 1

4 h0.Ugotovimo, da se ravno polovica zacetne ener-gije spremeni v notranjo energijo.

5.4. Superfluidne tekocine

Ker pri pretakanju ni trenja, za vzdrževanje gi-banja v superfluidni tekocini ne potrebujemoenergije. Ta je potrebna le pri zacetnem zagonu.

Razmislimo, kako bi bilo videti pretakanjesuperfluidne tekocine med dvema posodama,postavljenima kot pri poskusu na sliki 21. Kerni trenja, se potencialna energija ne bi pretvorilav notranjo energijo; ko bi se gladini v posodahizenacili, bi se gibanje tekocine nadaljevalo to-liko casa, da bi se tekocina v drugi posodi dvi-gnila tako visoko, kot je bila na zacetku v prviposodi. Nato bi se pretakanje nadaljevalo kotprej, le da bi sedaj tekocina tekla iz druge po-sode v prve. Pojav je podoben kot pri nihanjunihala. Ce potencialno energijo štejemo od mi-rovne lege, ima nihalo v skrajnih legah le po-tencialno energijo, v najnižji pa kineticno; ce niizgub se vsa zacetna potencialna energija spre-meni v kineticno, ta pa zopet nazaj v potenci-alno.

V razmislek

• 1 m3 vode stece iz 10 m visokega jezahidroelektrarne. Koliko najvec dela pritem odda? Zakaj je dejansko oddano delomanjše?

• Razmislite, kako je z energijsko bilancopri difuziji. Ali imajo delci na zacetku(slika 23) vecjo, manjšo ali enako energijokot na koncu (slika 25)

16 Fizikalne osnove

Literatura

Osnovni ucbeniki in prirocniki

[1] Ivan Kušcer, Anton Moljk, Tomaž Kranjc,Jože Peternelj, Fizika za srednje šole, I. del ,Ljubljana: DZS 1999.

[2] Ivan Kušcer, Anton Moljk, Tomaž Kranjc,Jože Peternelj, Fizika za srednje šole, II.del , Ljubljana: DZS 2000.

[3] Ivan Kušcer, Anton Moljk, Tomaž Kranjc,Jože Peternelj, Mitja Rosina, Janez Strnad,Fizika za srednje šole, III. del , Ljubljana:DZS 2002.

[4] M. Hribar, S. Kocijancic, A. Likar, S. Oblak,B. Pajk, V. Petruna, N. Razpet, B. Roblek,F. Tomažic, M. Trampuž, Mehanika in to-plota: fizika za 1. in 2. letnik srednjih šol ,Ljubljana: Modrijan 2000.

[5] M. Hribar, S. Kocijancic, A. Likar, S. Oblak,B. Pajk, V. Petruna, N. Razpet, B. Roblek, F.Tomažic, M. Trampuž, Elektrika, svetloba,snov: fizika za 3. in 4. letnik srednjih šol ,Ljubljana: Modrijan 2001.

[6] H. Breuer, R. Breuer (risbe), Atlas klasicnein moderne fizike , prevedel in priredil J.Strnad, Ljubljana: DZS 1993.

Kurikulumi

[7] http://www.mszs.si/slo/ministrstvo/

organi/solstvo/viprogrami/os/9letna/

ucni_nacrti/pdf/nar 6.pdf

[8] http://www.mszs.si/slo/ministrstvo/

organi/solstvo/ viprogrami/os/9letna/

ucni_nacrti/pdf/so. pdf

[9] http://www.mszs.si/slo/ministrstvo

/organi/solstvo/ viprogrami/os/9letna/

ucni_nacrti/pdf/N& T.pdf

Ucbeniki za naravoslovje

[10] GLAŽAR Saša A., KRALJ Metka, SLAVI-NEC Mitja, Naravoslovje za 6. razred de-vetletne osnovne šole, 1. izd. Ljubljana:DZS, 2004.

[11] GLAŽAR Saša A., KRALJ Metka, SLA-VINEC Mitja, Naravoslovje za 6. razreddevetletne osnovne šole, Delovni zvezek,Ljubljana: DZS, 2004.

[12] GLAŽAR, Saša A., KRALJ, Metka, SLAVI-NEC, Mitja. Spoznavajmo naravo 5. 1. izd.Ljubljana: DZS, 2001.

[13] GLAŽAR, Saša A., KRALJ, Metka, SLAVI-NEC, Mitja, HERLEC, Uroš. Spoznavajmonaravo 5, Delovni zvezek. 1. izd. Ljubljana:DZS, 2001.

Revije

[14] NARAVOSLOVNA SOLNICA, Ljubljana:Modrijan; 4 številke letno.

[15] FIZIKA V ŠOLI, Ljubljana: Zavod Repu-blike Slovenije; 2 številki letno.

17

18 LITERATURA

[16] PRESEK, Ljubljana: Društvo matemati-kov, fizikov in astronomov; 10 številk le-tno.

[17] SCIENCE and CHILDREN: revija za ucite-lje v nižjih razredih OŠ

[18] SCIENCE SCOPE: revija za ucitelje v višjihrazredih (middle and junior high level) OŠ

[19] THE SCIENCE TEACHER: revija za uci-telje uciteljev (educators) v višjih razredihOŠ; izdajatelj zadnjih treh revij je NationalScience Teachers Association, Amerika

Dodatna literatura

[20] WALPOLE Brenda, FERBAR Janez. Voda,(Zbirka Moji prvi koraki, Serija Veselje zznanostjo). Murska Sobota: Pomurska za-ložba, 1990. 38 str., barvne ilustr.

[21] WALPOLE Brenda, FERBAR Janez. Zrak,(Zbirka Moji prvi koraki, Serija Veselje zznanostjo). Murska Sobota: Pomurska za-ložba, 1990. 39 str., barvne ilustr.

[22] WALPOLE Brenda, FERBAR Janez. Giba-nje, (Zbirka Moji prvi koraki, Serija Vese-lje z znanostjo). Murska Sobota: Pomurskazaložba, 1991. 40 str., barvne ilustr.

[23] SEARLE-BARNES Bonita, Ta cudovitizrak, Založništvo JUTRO, 1996.

[24] SEARLE-BARNES Bonita, Ta cudovitavoda, Založništvo JUTRO, 1996.

[25] GRAHAM John, MELLET Peter, CHAL-LONER Jack, ANGLISS Sarah, Prvi korakiv znanost z vec kot 150 poskusi, MurskaSobota: Pomurska založba 2002.