FIZYKA 2 wykład 12andjan/pliki/FIZYKA2a_w12.pdf · się te paradoksy, przypisuje każdej cząstce materialnej funkcję falow ... całkowicie podstawowe prawa fizyczne konieczne dla

FIZYKA 2 wykład 12wykład 12

Janusz Andrzejewski

Światło

Falowa natura

• Dyfrakcja

• Interferencja

• Załamanie i odbicie

Korpuskuralna natura

• Teoria promieniowania ciała doskonale czarnego

• Zjawisko fotoelekryczne• Załamanie i odbicie • Zjawisko fotoelekryczne

• Zjawisko Comptona

Janusz Andrzejewski 2

• opisy światła: falowy i korpuskularny są uzupełniające się• potrzeba obu tych opisów do pełnego modelu światła, ale do określenia

konkretnego zjawiska wystarczy tylko jeden z tych modeli• dlatego mówimy o dualizmie korpuskularno-falowym światła

Fale materii - hipoteza de Broglie’aŚwiatło ma dwoistą naturę, w jednych sytuacjach zachowuje się jak fala, w innych jak cząstka. Jeżeli natura jest symetryczna, dwoistość ta powinna dotyczyć także materii. Elektrony i protony, o których zwykle myślimy jak o cząstkach, mogą w pewnych sytuacjach zachowywać się jak fale.

λh

p = Pęd fotonu


W 1924 r. Louis de Broglie w swojej pracy doktorskiej przypisał elektronom o pędzie p długość fali λ

p

h=λ

Przykład:pyłek unoszony przez wiatr

elektron o energii K=1000eV

msmkg

sJ

p

h 276

34

106.6/1101.0

1063,6 −−

−

⋅=⋅⋅

⋅⋅==λLouis de Broglie

mmK

hph 11104

2−⋅===λ

Doświadczenie Clintona Davissona i Lestera Germera

Dyfrakcja elektronów obserwowana przy odbiciu od kryształów niklu (1927)

Znając kąt θ przy którym obserwuje siępierwsze maksimum można określić stałą Plancka


θ

θ

λθ

sin

sin

sin

pdh

dp

h

D

dD

=

=

=∆=∆

Doświadczenie to pozwoliło określić wartość stałej Plancka z dokładnością do 1%.

Doświadczenie z dwoma szczelinami


Stwierdzenie Bohra: Natura lubi symetrie

Mechanika kwantowa

Dział mechaniki zajmujący się ruchem mikrocząstek, których stan opisany jest funkcją falową będącą rozwiązaniem równania Schroedingera


równania Schroedingera


Krótka kronika powstania mechaniki kwantowej

1923 IX - Falowa natura elektronów (De Broglie)1924 I - Teoria promieniowania Bohra, Kramersa i Slatera1924 VII - Kwantowa statystyka (Bose i Einstein)1925 I - Zasada Pauliego1925 VII - Mechanika macierzowa Heisenberga1925 X - Spin elektronu (Goudsmit, Uhlenbeck) 1925 XI - Praca Borna, Heisenberga i Jordana (Dreimännerarbeit)


1925 XI - Praca Borna, Heisenberga i Jordana (Dreimännerarbeit)

1925 XI - Mechanika kwantowa Diraca

1926 I - Atom wodoru z mechaniki macierzowej (Pauli, Dirac)

1926 I - Mechanika falowa Schrödingera

1926 II - Statystyka kwantowa (Fermi)

1926 VI – Born - probabilistyczna interpretacja funkcji falowej

1926 VIII - Statystyka kwantowa (Dirac)

1927 III - Zasada nieoznaczoności Heisenberga

1927 III - Dyfrakcja elektronów (Davisson i Germer)

1928 I - Kwantowa teoria elektronu Diraca


„Była już prawie trzecia w nocy, gdy miałem przed sobą końcowy wynik rachunków... Miałem uczucie, że patrzę poprzez powierzchnię zjawisk atomowych na leżące głębiej pod nią podłoże o zadziwiającej wewnętrznej urodzie... Byłem tak podniecony, że nie mogłem myśleć o śnie. Wyszedłem więc z domu o rozpoczynającym się już świtaniu i poszedłem na północny cypel wyżyny, gdzie samotna, wystająca w morze iglica skalna wciąż budziła we mnie


wyżyny, gdzie samotna, wystająca w morze iglica skalna wciąż budziła we mnie ochotę do prób wspinaczkowych. Udało mi się wspiąć na nią bez większych trudności i na jej szczycie doczekałem do wschodu słońca....Tak krytyczny zwykle Wolfgang Pauli, któremu opowiedziałem o swoich wynikach, zachęcił mnie do dalszej pracy w tym kierunku”

Wspomnienia Wernera Heisenberga o dniu 15 czerwca 1925 r.

Eksperyment z pociskami


Intensywność po przejściu przez dwie szczeliny jest sumą intensywności po przejściu przez każdą szczelinę z osobna.

Eksperyment z elektronami


Intensywność po przejściu przez dwie szczeliny nie jest sumą intensywności po przejściu przez każdą szczelinę z osobna. Występują efekty interferencyjne, więc elektrony zachowują się jak fala!

Eksperyment z elektronami i detektorami


Gdy elektrony są ‘podglądane’ przez detektory, intensywność po przejściu przez dwie szczeliny jest inna niż gdy elektrony nie są ‘podglądane’!

Funkcja falowa

• Formalizm matematyczny za pomocą którego usuwa się te paradoksy, przypisuje każdej cząstce materialnej funkcję falową Ψ(x,y,z,t) będącą funkcją współrzędnych i czasu

• Funkcja falowa jest na ogół funkcją zespoloną• Funkcja falowa jest na ogół funkcją zespoloną

• Znajdując rozkład natężenia w obrazie dyfrakcyjnym można określić prawdopodobieństwo, że elektron padnie w określonym miejscu ekranu

• Kwadrat amplitudy funkcji falowej jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym elemencie obszaru


Własności funkcji falowej• Prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu w objętości dV=dxdydz

wynosigdzie

• warunek unormowania funkcji falowej

- wówczas |Ψ|2 jest równe gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu

dxdydzPdV2Ψ=

*22 Ψ⋅Ψ=Ψ=Ψ

∫ =ΨV

dV 12

- wówczas |Ψ| jest równe gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu

• zasada superpozycji : jeżeli zdarzenie może przebiegać w kilku wzajemnie wykluczających się sposobach to funkcja falowa takiego zdarzenia przedstawia sumę funkcji falowych każdego ze sposobów Ψ=Ψ1+ Ψ2

• funkcja falowa powinna być ograniczona |Ψ|<∞• funkcja falowa Ψ nie stanowi bezpośrednio obserwowanej wielkości. Fale

klasyczne i fale odpowiadające cząstkom podlegają równaniom matematycznym tego samego typu. Lecz w przypadku klasycznym amplituda fali jest bezpośrednio obserwowana, a dla funkcji falowej Ψ–nie.


Max Born – interpretacja funkcji falowej

|Ψ(x,t)|2dx opisuje prawdopodobieństwoznalezienia cząstki w przedziale <x, x+dx>w chwili t.


Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całym obszarze

Ta interpretacja funkcji ψ daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z

nią cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.

Postać funkcji falowejZ hipotezy de Brogikie’a

λπ

πλπ

πλ 2

2

:gdzie 2

2/0 ===== k

hk

hhp hh

Funkcja falowa cząstki o pędzie po poruszającej się wzdłuż osi x, odpowiada równaniu fali o długości λo i wektorze falowym k

)(cos )cos( 0222

0 txkAtxkA ωω −=Ψ−=Ψ


Rzeczywista postać funkcji falowej jest niewłaściwa bo istniałyby punkty, gdzie niemożna cząstki zaobserwować. Lepsza zespolona

( )( ) 200

2

0 )](exp[)](exp[ )](exp[ AtxkiAtxkiAtxkiA =−−−=Ψ−=Ψ ωωω

Pokazaliśmy, że jeżeli pęd cząstki posiada określoną wartość, to cząstkę można znaleźć z jednakowym prawdopodobieństwem w dowolnym punkcie przestrzeni. Inaczej mówiąc, jeżeli pęd cząstki jest dokładnie znany, to nic nie wiemy o jej miejscu położenia

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Pewnych wielkości fizycznych nie można zmierzyć równocześnie z dowolną dokładnością. Iloczyn niepewności pomiaru dwóch takich wielkości jest niemniejszy od stałej Plancka dzielonej przez 2π.

2/h≥∆∆ xpx

2/h≥∆∆ yp

Δx, Δy, Δz – nieokreśloność pomiaru położenia (odchylenie standardowe położenia)Δp itp. – nieokreśloność pomiaru pędu (odchylenie


2/h≥∆∆ ypy

2/h≥∆∆ zpz

2/h≥∆∆ tEWażne jest by podkreślić, że Δx itd. nie są niepewnościami pomiarowymi wynikającymi z niedoskonałości urządzeń lub metody pomiarowych, ale rozrzutami wyników (wariancją) wynikających z istoty samego pomiaru lub istoty samej mechaniki kwantowej (interpretacja kopenhaska).

Δpx itp. – nieokreśloność pomiaru pędu (odchylenie standardowe pędu),ΔE – nieokreśloność pomiaru energiiΔt – nieokreśloność pomiaru czasu

Zasada nieoznaczoności - przykład

-określić dokładność wyznaczenia prędkości elektronu poruszającego się z prędkością 1000 m/s przy zastosowaniu światła o długości 550nm


- określić dokładność wyznaczenia pędu piłki bejsbolowej o masie 45g i prędkości 60m/s przy zastosowaniu światła o długości 550nm

Pomiar


Inny przykład


Równanie SchrödingeraZakładamy, że każda obserwowana własność reprezentowana jest przez operator.Takie własności mierzalne zwane są obserwablami.Operatory działają na funkcje, które reprezentują stany układu i są nazywanefunkcjami stanu (funkcjami falowymi).

Ψ=∂Ψ∂

Ht

i ˆh


∂tRównanie to opisuje ewolucję funkcji falowej w przestrzeni i czasieDla cząstki opisywanej przez N współrzędnych ogólna postać operatora Hamiltona ma postać:

)(2

),(2ˆˆ

2

211

2

xVm

xxxVm

pH n

N

i

i rh

K +∆−=+=∑=

p – operator pęduV(x) - potencjał pola, w którym cząstka się znajduje

Przedstawienie Schrödingera


Stacjonarne równanie Schrödingera

W sytuacjach stacjonarnych tzn. gdy potencjał nie zmienia się w czasie, zmienne przestrzenne i czas można rozseparować i zapisać funkcję falową w postaci:

( ) h/),,(,,, iEtezyxtzyx ⋅Ψ=Ψ

Wówczas równanie Schrödingera można zapisać jako:


),,(),,(ˆ zyxEzyxH Ψ=ΨSTACJONARNE RÓNANIE SCHRÖDINGERA

)(2ˆˆ

2

xVm

pH r+= Jest operatorem – tzw. Hamiltonianem, a E – energią układu

Stacjonarne równanie Schrödingera jest równaniem w którym musimy znaleźć funkcję falowąoraz energie – jest to tzw. Równaniem na wartości własne (tutaj energie) oraz wektory własne(tutaj funkcje falowe)

Równanie Schrödingera niezależne od czasu

)()()()(

2 2

22

xExxVdx

xd

mψψψ =+− h

„Ogólna teoria mechaniki kwantowej jest już kompletna... Poznane zostały całkowicie podstawowe prawa fizyczne konieczne dla matematycznej teorii dużej części fizyki i całej chemii i trudność przedstawia tylko to, że dokładne stosowanie tych praw prowadzi do równań o wiele za bardzo skomplikowanych, by się dały rozwiązać.”


skomplikowanych, by się dały rozwiązać.”Paul Dirac(1929)

„Koniec fizyki, jaką znamy, nastąpi za sześć miesięcy”Max Born

(po publikacji przez Diraca relatywistycznego równania elektronu)

Równanie Schrodingera dla nieskończonej jamy potencjału

Warunki brzegowe:


Warunki brzegowe:

Rozwiązania

Elektron zamknięty w studni o rozmiarach typowych dla atomu –10–10 m. W tym


10–10 m. W tym przypadku En = (37.2n2) eV

Wnioski:


Elektron w skończonej studni potencjału


Kwantowy oscylator harmoniczny


2

21

)( kxxU =m

k=ω

,...2,1,0 21 =

+= nnEn hωWniosek:

najniższa możliwa energia wynosi

hω21

0 =E

Efekt tunelowy -przenikanie cząstki przez barierę potencjału


Przykłady efektu tunelowego

• Dioda tunelowa (efekt tunelowy w złączu p-n) Nagroda Nobla 1973r

– Esaki - tunelowanie w półprzewodnikach np. diody tunelowetunelowe

– Giaever - tunelowanie w nadprzewodnikach

– Josephson –złącze Josephsona, szybki przełącznik kwantowy Skaningowy

• Skaningowy Mikroskop Tunelowy

– Binning i Rohrer Nagroda Nobla 1986r


Kropki kwantoweRozmiary: - 2000x mniej od średnicy włosa- 30x mniej od długości fali światła


Zastosowania kropek kwantowych


Documents

FIZYKA 2 wykład 12andjan/pliki/FIZYKA2a_w12.pdf · się te paradoksy, przypisuje każdej cząstce materialnej funkcję falow ... całkowicie podstawowe prawa fizyczne konieczne dla