Fizyka Materii Skondensowanej Równanie kp LCAO.szczytko/FMS-II/7_FMS_kp.pdf · T. Stacewicz & A. Witowski •Ponieważ funkcja Blocha przesunięta o wektor sieci odwrotnej nie zmienia

2013‐06‐02

1

Fizyka Materii Skondensowanej

Wydział Fizyki [email protected]

Równanie kp. LCAO.

Projekt: POKL 04.01.01‐00‐100/10‐00 "Chemia, fizyka i biologia na potrzeby społeczeństwa XXI wieku: nowe makrokierunki studiów I, II i III stopnia" 2013‐06‐02 2

Potencjał periodyczny Twierdzenie Blocha

),(),( GknEknE

mkknE

2),1(

22

mGkGkE

2)()(

22

xa

xa

Struktura pasmowa dla gazu elektronów swobodnych w sieci regularnej prostej (stała sieci a), wierzchołki parabol mają wskaźniki

321 glgkghG

ii a

g 2

[hkl]=000,

100,100, 200, 200,

kx

– –

2013‐06‐02 3


),(),( GknEknE

mkknE

2),1(

22

mGkGkE

2)()(

22

xa

xa

321 glgkghG

ii a

g 2

[hkl]=000,

100,100, 200, 200,010,010,001,001,

kx

– –– –


2013‐06‐02 4

2013‐06‐02

2


),(),( GknEknE

mkknE

2),1(

22

mGkGkE

2)()(

22

xa

xa

321 glgkghG

ii a

g 2

[hkl]=000,

100,100, 200, 200,010,010,001,001,

110,101,110,101,101,110,101,110 kx

– –– –

– –– –– – – –

W pustej przestrzeni?


2013‐06‐02 5


x

aVxV 2cos)( 0

xa

xa

kx

Co z tą pustą przestrzenią?Przyjmijmy, że w węzłach sieci znajduje się „mały potencjał”

„mały potencjał”

Jak wygląda wpływ słabego potencjału na energie na granicy strefy Brillouina?

hkl = 000, 100,100, 200, 200,– –

(rozważymy przypadek jednowymiarowy)

x

aix

ai

G

rGiG eeVeVRrVrV

220

2)()(

xa kx2013‐06‐02 6


xa kx

nowa współrzędna

ax

Opis stanów elektronowych na granicy strefy Brillouinawymaga superpozycji co najmniej dwóch fal płaskich. Dla znikającego (ale niezerowego) potencjału falami tymi są:

xGi

k ex 2,1 ~)( xGixGGi

k eex 22,2 ~)(

xa

eexGixGi cos~~ 22

xa

eexGixGi sin~~ 22

xa 2* cos

xa 2* sin

gęstość prawdopodobieństwa


Rozwiązanie odpowiada dwóm falom o tej samej długości:

2013‐06‐02 7


xa kx

nowa współrzędna

ax

Opis stanów elektronowych na granicy strefy Brillouinawymaga superpozycji co najmniej dwóch fal płaskich. Dla znikającego (ale niezerowego) potencjału falami tymi są:

xGi

k ex 2,1 ~)( xGixGGi

k eex 22,2 ~)(

xa

eexGixGi cos~~ 22

xa

eexGixGi sin~~ 22

xa 2* cos

xa 2* sin




2013‐06‐02 8

2013‐06‐02

3


xa kx

nowa współrzędna

ax

Pojawia się przerwa energetyczna na granicy strefy Brillouina

xa 2* cos

xa 2* sin


Patrz H.Ibach, H. Luth Fizyka Ciała Stałego.

2

22

0

22

0

2

2

0

22

0

2

42222

222221

VGm

Gm

Gm

Gm

E

2013‐06‐02 9


xa kx

nowa współrzędna

ax


xa 2* cos

xa 2* sin

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia

ia

2013‐06‐02 10


xa kx

nowa współrzędna

ax


xa 2* cos

xa 2* sin

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia

ia

2013‐06‐02 11


xa kx

nowa współrzędna

ax


xa 2* cos

xa 2* sin

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia

ia

pasmo

pasmopasmo

2013‐06‐02 12

2013‐06‐02

4


T. Stacewicz & A. Witowski

•Ponieważ funkcja Blocha przesunięta o wektor sieci odwrotnej nie zmienia się to wygodnie jest przedstawiać wyniki tylko w I‐szej strefie Brillouina. Trzeba wówczas numerować pasma energetyczne.•Stan elektronu w ciele stałym zadany jest przez wektor falowy z I‐szej strefy, numer pasma oraz rzut spinu.

2013‐06‐02 13

Model ciasnego wiązania (LCAO)

2013‐06‐02 14

Budujemy kryształ z atomów – bazą są jednoelektronowe funkcje falowe elektronów znajdujących się na poziomach swobodnych atomów rozmieszczonych w węzłach sieć krystalicznej ′:

2Δ

gdzie mała poprawka od potencjału pochodzącego od wszystkich pozostałych atomów:

‐ty stan Atom w położeniu Oddziaływanie z„własnym” atomem

2Δ


2013‐06‐02 15

Budujemy kryształ z atomów – bazą są jednoelektronowe funkcje falowe elektronów znajdujących się na poziomach swobodnych atomów rozmieszczonych w węzłach sieć krystalicznej ′:

LCAO (linear combination of atomic orbitals) dość dobrze opisuje pasma elektronowe powstałe na bazie wewnętrznych powłok elektronowych atomu (walencyjne). Metoda mniej dokładna dla elektronów przewodnictwa.

Model ciasnego wiązania nadaje się np. do opisu pasm metali przejściowych czy pasm walencyjnych kryształów kowalencyjnych.

2Δ

‐ty stan Atom w położeniu Oddziaływanie z„własnym” atomem

2Δ


2013‐06‐02 16

Przybliżone rozwiązanie w postaci funkcji Blocha:

Φ , exp

Sprawdzić:Φ , Φ ,

Φ , exp Φ ,

Energie wyznaczmy metodą wariacyjną:

Φ , Φ ,

Φ , Φ ,

Wyrażenie

Φ , Φ , exp,

∗

łatwo uprościć zakładając małe nakrywanie się funkcji falowych dla

Φ , Φ ,∗ ⋯

2013‐06‐02

5


2013‐06‐02 17


Φ , exp


Φ , exp Φ ,


Φ , Φ ,

Φ , Φ ,

1Φ , Φ ,

exp,

∗


2013‐06‐02 18


Φ , exp


Φ , exp Φ ,


Φ , Φ ,

Φ , Φ ,

1Φ , Φ ,

exp,

∗

Ograniczymy się tylko do wyrazów diagonalnych w członie z

Ograniczymy się tylko do najbliższych sąsiadów


2013‐06‐02 19

1Φ , Φ ,

exp,

∗

Jeśli funkcje są sferycznie symetryczne (stany ), to całki nakrywania zależą od odległości pomiędzy poszczególnymi węzłami:

exp

∗

∗

Ograniczymy się tylko do wyrazów diagonalnych w członie z




2013‐06‐02 20

Jeśli funkcje są sferycznie symetryczne (stany ), to całki nakrywania zależą od odległości pomiędzy poszczególnymi węzłami:

exp

Wynik sumowania zależy od struktury, dla której wykonujemy rachunki

Dla struktury : , 0,0 ; 0, , 0 ; 0,0, ;2 cos cos cos

Dla struktury :

8 cos2

cos2

cos2

Dla struktury :

4 cos2

cos2

. .

2013‐06‐02

6


2013‐06‐02 21


H. Ibach, H. Lüth, Solid‐State Physic

s

∗


2013‐06‐02 22



s

∗


2013‐06‐02 23


∗

Kunz, A

.B.: Ph

ys. R

ev. B

26, 2056 (1982)

2013‐06‐02 24

2013‐06‐02

7

Równanie kp – masa efektywna

2013‐06‐02 25

, ,

Wektor nie jest pędem (operator pędu ) , , ,

Funkcja Blocha w równaniu Schrödingera:Δ , ⋯ Δ , 2 , ,

Po wstawieniu do równania i uproszczeniu przez dostajemy równanie na , :

2Δ

2 ,

2

2 ,

Równanie Schrodingera na obwiednię , :

2

, 2 ,


2013‐06‐02 26

Równanie Schrodingera na obwiednię , :

2

, 2 ,

Jest to tzw. równanie wykorzystywane do obliczeń energii i funkcji falowych wokół pewnego znanego rozwiązania dla .

Pełny hamiltonian

, ′ , ,

Zaburzenie:

Funkcję , oraz energię znajdujemy w rachunku zaburzeń


2013‐06‐02 27

Landolt‐Boernstein

Rozwijamy wokół punktu ekstremalnego, np. 0:

Blisko leżące pasma


2013‐06‐02 28

Rozwijamy wokół punktu ekstremalnego, np. 0:

00 0

⋯

Dla

, ′ , , ,

02

⋯

Liniowe w

W ekstremum człony liniowe znikają

01∗2

⋯

2013‐06‐02

8


2013‐06‐02 29

01∗

2

⋯

Wprowadzamty tzw. tensor odwrotności masy efektywnej:

1∗

2 , , ⋅ , ,

0 0

Tensor jest symetryczny ( ). Jeśli ekstremum energii jest w punkcie (k=0) to powierzchnia stałej energii jest elipsoidą w przestrzeni , która po sprowadzeniu do osi głównych ma postać:

02 ∗ ∗ ∗

Gdzie ∗to masy efektywne w kierunku osi głównych.

Równanie kp – masa efektywnaEnergia En(k) wokół ekstremum dla kryształu jednoosiowego (np. GaN):

W pobliżu ekstremum (np. punkt (k=0)) możemy ograniczyć się do przybliżenia parabolicznego – pasmo parabloczne.

Dla kryształu kubicznego:

tzw. pasmo sferyczne

W ogólności w zależności energii od wektora falowego występują człony wyższego rzędu, które zostały zaniedbane (wyższe rzędy rachunku zaburzeń).W ogólności energia elektronu jest funkcją składowych wektora falowego k=(k1,k2,k3). Powierzchnia stałej energii w ogólnym przypadku może mieć skomplikowany charakter, a jej kształt zależy od wszystkich pasm.Badanie tensora masy efektywnej to jeden z głównych problemów fizyki ciała stałego.

2013‐06‐02 30

02 ∗

∥∗

02 ∗

Równanie kp – masa efektywnaEnergia En(k) wokół ekstremum

R. Stępniewski2013‐06‐02 31

Pasmo nieparaboliczne

Pasmo niesferyczne

Równanie kp – masa efektywnaStruktura pasmowa ciał stałychPrzykłady:

D. Wasik.

2013‐06‐02 32

2013‐06‐02

9

2013‐06‐02 33

Rozwijamy wokół punktu

ekstremalnego, np. 0:0

Gęstość stanówGęstość stanów

2013‐06‐02 34

Warunki Borna‐KarmanaSkończone rozmiary kryształu Lx, Ly, Lz

Ψ – postać funkcji BlochaΨ(x + Lx,y,z) = Ψ(x, y + Ly,z) = Ψ(x, y, z + Lz)

11

1

zz

yy

xx

Lik

Lik

Lik

ee

e

i

i

iii L

nLL

k 2,...,4,2,0

Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:

kx

ky

yL2

xL2

322221

V

LLL zyx

Ilość stanów w objętości

Ilość stanów na jednostkę energii (zależy od ilości wymiarów)


2013‐06‐02 35

Warunki Borna‐KarmanaSkończone rozmiary kryształu Lx, Ly, Lz

Ψ – postać funkcji BlochaΨ(x + Lx,y,z) = Ψ(x, y + Ly,z) = Ψ(x, y, z + Lz)

11

1

zz

yy

xx

Lik

Lik

Lik

ee

e

i

i

iii L

nLL

k 2,...,4,2,0

Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:

kx

ky

yL2

xL2

322221

V

LLL zyx

Ilość stanów w objętości



2013‐06‐02 36

Gęstość stanów w przestrzeni o wymiarach (w jednostkowej objętości)

kx

ky

yL2

kula FermiegoT=0 K

212

212

4

12

2 ∗ /

12

2 ∗ /

Dla pasma sferycznego i parabolicznego:


Przypadek 3D

2013‐06‐02

10

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Energia (eV)G

esto

sc s

tanó

w

Gęstość stanów 3DGęstość stanów

2013‐06‐02 37

Gęstość stanów w przestrzeni o wymiarach (w jednostkowej objętości) 212

212

4

12

2 ∗ /

12

2 ∗ /

Dla pasma sferycznego i parabolicznego:


Przypadek 3D

Gęstość stanów 2D

2013‐06‐02 38

,2sin

Wewnątrz studni:

2 2

2 ∗

2∗

92 ∗

∗

Gęstość stanów 2DGęstość stanów 2D

2013‐06‐02 39

212

2

∗

dla pasma sferycznego i parabolicznego:

funkcja „schodkowa” Heaviside’a

Marc Baldo MIT OpenCourseWare Publication May 2011

2013‐06‐02 40

,2 2

, , , , exp exp , , exp ∙

2


2013‐06‐02

11

2013‐06‐02 41


J. Szczytko, et al. Phys. Rev. Lett. 93, 137401 (2004)


2013‐06‐02 42

212

2

2 ∗

2,

,,

dla pasma sferycznego i parabolicznego:

Marc Ba

ldoMIT Ope

nCou

rseW

arePu

blication May 201

1


2013‐06‐02 43

Dla IZOLOWANEJ kropki Δ → 0, Δ → ∞

Załóżmy, że czas życia stanu o energii jest równy , założymy też zanik wykładniczy

exp , 0

Aexp2

, 0

12

Transformata Fourriera

12

2 2

2

Profil Lorentza

Marc Ba

ldoMIT Ope

nCou

rseW

arePu

blication May 201

1

Gęstość stanów ‐ podsumowanieGęstość stanów

2013‐06‐02 44

Marc Ba

ldoMIT Ope

nCou

rseW

arePu

blication May 201

1

2013‐06‐02

12

Gęstość stanów

2013‐06‐02 45

Gęstość stanów w przestrzeni energii:

Mamy:

Stąd:

12

Czyli obszary, w których 0 dają istotny wkład do gęstości stanów.

Są to tzw. osobliwości van Hove [L. Van Hove, Physical Review 89, 1189 (1953)]

Gęstość stanów

2013‐06‐02 46


s

Punkty osobliwe w 3D (van Hove):

Gęstość stanów

2013‐06‐02 47

Punkty osobliwe w 2D:

minimum punkt siodłowy maksimum

ln 1

Gęstość stanów

2013‐06‐02 48

Punkty osobliwe w 1D:

minimum maksimum

2013‐06‐02

13

Gęstość stanów

2013‐06‐02 49


s

Michał Baj

Gęstość stanów

2013‐06‐02 50

Widmo fononów oraz gęstość stanów fononowych w diamencie

Michał Baj

Gęstość stanów

2013‐06‐02 51

Gęstość stanów ma sens niezależnie od tego, czy mamy do czynienia z kryształem, czy np. z ciałem amorficznym. Opis stanów za pomocą wektora falowego (a więc także ) ma jednak sens wyłącznie w przypadku istnienia symetrii translacyjnej hamiltonianu (kryształ).

Michał BajH. Ibach, H. Lüth, Solid‐State Physic

s

Gęstoś stanów 2D ‐ grafen

2013‐06‐02 52

Liniowa zależność dyspersyjna w grafenie:

Metoda ciasnego wiązania przy uwzględnieniu odziaływania z najbliższymi sąsiadami [P. R. Wallace, „The Band Theory of Graphite”, Physical Review 71, 622 (1947).] daje :

1 4 cos2

4 cos2

⋅ cos32

2013‐06‐02

14


2013‐06‐02 53



1 4 cos2

4 cos2

⋅ cos32


2013‐06‐02 54



1 4 cos2

4 cos2

⋅ cos32


2013‐06‐02 55



1 4 cos2

4 cos2

⋅ cos32

Liczba stanów w objętości :

22

22

22

Metoda ciasnego wiązania ‐ wnioski

2013‐06‐02 56

W ramach metody ciasnego wiązania powstawanie pasm wyjaśniamy jako efekt wzajemnego oddziaływania stanów atomowych poszczególnych atomów tworzących ciało stałe. Stany atomowe klasyfikujemy jako należące do odpowiednich powłok:


s

Jeśli w krysztale makroskopowym mamy N komórek elementarnych, to każdemu stanowi atomowemu, odpowiada N lub 2N miejsc na elektrony – odpowiednio: bez uwzględnienia spinu lub z uwzględnieniem spinu

W takim razie, jeśli uwzględnić spin, to w każdym paśmie jest 2N miejsc na elektrony

2013‐06‐02

15


2013‐06‐02 57

W ramach metody ciasnego wiązania powstawanie pasm wyjaśniamy jako efekt wzajemnego oddziaływania stanów atomowych poszczególnych atomów tworzących ciało stałe. Stany atomowe klasyfikujemy jako należące do odpowiednich powłok:


s

Nieparzysta liczba elektronów na komórkę (metal)

Parzysta liczba elektronów na komórkę (niemetal)

Parzysta liczba elektronów na komórkę ale przekrywające się pasma (metale II grupy, np. Be →slajd wcześniej!)


2013‐06‐02 58


s

Be

C, Si, Ge


2013‐06‐02 59

W ramach metody ciasnego wiązania powstawanie pasm wyjaśniamy jako efekt wzajemnego oddziaływania stanów atomowych poszczególnych atomów tworzących ciało stałe. Stany atomowe klasyfikujemy jako należące do odpowiednich powłok.

Stany się mieszają – przykładem może być np. hybrydyzacja stanów tworzących wiązania w kryształach kowalencyjnych, domieszki stanów d do pasm p itp.

mówiąc o stanach (pasmach) o symetrii s, p, d etc. mamy na myśli własności transformacyjne pod działaniem operacji grupy symetrii punktowej kryształu – stany te transformują się tak jak odpowiednie stany atomowe

degeneracje stanów określone są przez wymiar nieprzywiedlnych reprezentacji odpowiedniej grupy wektora falowego i są niższe niż stanów atomowych (rozszczepienia stanów atomowych z powodu obniżenia symetrii)

stany mają oczywiście inne energie niż odpowiednie stany atomowe, z których się wywodzą i ich kolejność w skali energii może być inna

Michał Baj


2013‐06‐02 60

Michał Baj

2013‐06‐02

16

Powierzchnie Fermiego metali

2013‐06‐02 61

Ashcroft, Mermin

Powierzchnie Fermiego metali

2013‐06‐02 62

http://physics.unl.edu/tsymbal/teaching/SSP‐927/Section%2010_Metals‐Electron_dynamics_and_Fermi_surfaces.pdf


2013‐06‐02 63

Michał Baj


2013‐06‐02 64

2013‐06‐02

17


2013‐06‐02 65

Michał BajSzmulow

icz, F., Segall, B.: Phys. Rev. B

21, 5628 (1980).


2013‐06‐02 66

Michał BajSzmulow

icz, F., Segall, B.: Phys. Rev. B

21, 5628 (1980). Gęstość stanów

prawie jak dla elektronów swobodnych


2013‐06‐02 67

Michał Baj

Cu: [1s22s22p63s23p6] 3d104s1[Ar] 3d104s1

Pasmo d

2013‐06‐02 68

Ni: [1s22s22p63s23p6] 3d94s1 [Ar] 3d94s1uporządkowanie ferromagnetyczne, rozszczepienie wymienne, różne energie stanów z różnym spinem, dwie różne gęstościstanów dla spinu ↑ i ↓

2013‐06‐02

18

Półprzewodniki

2013‐06‐02 69

Półprzewodniki grupy IV (Si, Ge) – struktura diamentu

Związki półprzewodnikowe AIIIBV (np. GaAs, GaN) i AIIBVI (np. ZnTe, CdSe) – struktura blendy cynkowej lub wurcytu

Związki półprzewodnikowe AIVBVI (np. SnTe, PbSe) – struktura NaCl

SiPrzerwa energetyczna skośna, Eg = 1,1 eV

Minimum pasma przewodnictwa na kierunku Δ, powierzchnie stałej energii – elipsoidy obrotowe (6 sztuk), m||=0,92 m0, m =0,19 m0,

Maksimum pasma walencyjnego w punkcie Γ, mlh=0,153 m0, mhh=0,537 m0, mso=0,234 m0, Δso= 0,043 eV

Półprzewodniki

2013‐06‐02 70




GePrzerwa energetyczna skośna, Eg = 0,66 eV


Minimum pasma przewodnictwa w punkcie L, powierzchnie stałej energii – elipsoidy obrotowe (8 połówek), m||=1,6 m0, m =0,08 m0,

Półprzewodniki

2013‐06‐02 71




GaAsPrzerwa energetyczna prosta, Eg = 1,42 eV


Minimum pasma przewodnictwa w punkcie Γ, powierzchnie stałej energii – sfery , mc=0,065 m0

Półprzewodniki

2013‐06‐02 72




‐SnStruktura diamentu Zerowa przerwa energetyczna, Eg = 0 eV (tzw. odwrócona struktura) Maksimum pasma walencyjnego w punkcie Γ, mv=0,195 m0, mv2=0,058 m0, Δso=0,8 eVMinimum pasma przewodnictwa w punkcie Γ, powierzchnie stałej energii – sfery , mc=0,024 m0

2013‐06‐02

19

Półprzewodniki

2013‐06‐02 73




PbSePrzerwa energetyczna prosta w punkcie L, Eg = 0,28 eV

Maksimum pasma walencyjnego w punkcie L, powierzchnie stałej energii – elipsoidy obrotowe, m||=0,068 m0, m =0,034 m0,

Minimum pasma przewodnictwa w punkcie L, powierzchnie stałej energii – elipsoidy obrotowe, m||=0,07 m0, m =0,04 m0,

Spektroskopia fotoemisyjna

2013‐06‐02 74


s

praca wyjścia bariera potencjału

Spektroskopia fotoemisyjna

2013‐06‐02 75


s

praca wyjścia bariera potencjału

Spektroskopia fotoemisyjnaStruktura pasmowa ciał stałychWyznaczanie struktury pasmowej

http://www.physics.berkeley.edu/research/lanzara/research/Graphite.html

Phys. Rev. B 71, 161403 (2005)

2013‐06‐02 76

2013‐06‐02

20

Spektroskopia fotoemisyjnaStruktura pasmowa ciał stałychWyznaczanie struktury pasmowej

http://www.physics.berkeley.edu/research/lanzara/research/Graphite.html

Phys. Rev. B 71, 161403 (2005)

2013‐06‐02 77

Heterostruktury półprzewodnikowe

2013‐06‐02 78


2013‐06‐02 79

Investigation of high antimony‐content gallium arsenic nitride‐gallium arsenic antimonide heterostructures for long wavelength application

Bandgap engineering

2013‐06‐02 80

Valence band offset

Su‐HuaiW

ei, Com

putatio

nalM

aterials Science, 30, 337

–348

(200

4)

Valence band offset:

(powinowactwo)

http://en.wikiped

ia.org/w

iki/H

eterojun

ction

2013‐06‐02

21

Bandgap engineering

2013‐06‐02 81

Valence band offset

WalukiewiczP

hysic

aB 30

2–30

3 (200

1) 123

–134

Bandgap engineering

2013‐06‐02 82

Valence band offset

Bandgap engineering

2013‐06‐02 83

W jaki sposób możemy zmieniać strukturę pasmową heterostruktury:• wybierając materiał (np. GaAs/AlAs)• kontrolując skład• kontrolując naprężenie

Prawo Vegarda:określa stałą sieci stopu dwóch kryształów „binarnych” A i B (np. GaAs i GaP albo GaN i AlN)

1

„prawo empiryczne”

Bandgap engineering

2013‐06‐02 84

W jaki sposób możemy zmieniać strukturę pasmową heterostruktury:• wybierając materiał• kontrolując skład• kontrolując naprężenie

Prawo Vegarda:dot. przerwy energetycznej stopu „binarnego”:

1 1

b ‐ tzw. „bowing” przerwy energetycznej

Z Dridiet al. Semicon

d. Sci. Techn

ol.18No9(Sep

tembe

r200

3)85

0‐85

6

2013‐06‐02

22

Bandgap engineering

2013‐06‐02 85

Valence band offsetW jaki sposób możemy zmieniać strukturę pasmową heterostruktury:• wybierając materiał• kontrolując skład• kontrolując naprężenie


2013‐06‐02 86

http://beta.globalspec.com/reference/45139/203279/chapter‐iii‐optical‐properties

Thin Solid Films 433 (2003) 22–26

Quaternary compounds


2013‐06‐02 87

Quinternary barriers push room‐temperature operation of GaSb‐based type‐I lasers further into mid‐infrared

http://beta.globalspec.com/reference/45139/203279/chapter‐iii‐optical‐properties

Quinternary compounds

Bandgap engineering

2013‐06‐02 88

W jaki sposób możemy zmieniać strukturę pasmową heterostruktury:• wybierając materiał (np. GaAs/AlAs)• kontrolując skład• kontrolując naprężenie

Documents

Fizyka Materii Skondensowanej Równanie kp LCAO.szczytko/FMS-II/7_FMS_kp.pdf · T. Stacewicz & A. Witowski •Ponieważ funkcja Blocha przesunięta o wektor sieci odwrotnej nie zmienia