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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL,ARQUITETURA

E URBANISMO Departamento de Estruturas

FLAMBAGEM DE BARRAS

PROF DR. NILSON TADEU MASCIA

JUNHO DE 2006

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1 - Introduo ......................................................................................................................................................3 2 - Conceito de Estabilidade Elstica ..................................................................................................................4 3 Aplicao do conceito de estabilidade na compresso axial..........................................................................5 4 Classificao, quanto aos conceitos de clculo, do desenvolvimento terico de um problema em teoria de estrutura ...............................................................................................................................................................8 5 Determinao de Fcrit Mtodo do Equilbrio.............................................................................................11 6 - Carga de Flambagem para Barras Bi-articuladas .........................................................................................12 7 Outros tipos de vinculao (Anexo) ...........................................................................................................15 8. Tenso de Flambagem no Regime Elstico...................................................................................................18

8.1. Raio de Girao de uma seo transversal..............................................................................................18 8.2 ndice de Esbeltez de uma barra ..............................................................................................................18 8.3. Transformao da carga de flambagem em tenso de flambagem. .......................................................18

9 Exerccio no. 1:............................................................................................................................................19 10 - Flambagem Elstica e Plstica ...................................................................................................................21 11 Clculo Prtico da Flambagem...................................................................................................................22

11.1. Barra de Ao e de Ferro Fundido .........................................................................................................22 11.1.1. Frmulas de Tet majer no regime plstico.........................................................................................22 11.2. Barras de Madeira.................................................................................................................................24 11.3. Barras de Concreto ...............................................................................................................................26

12 - Influncia da fora cortante e da deformao axial ....................................................................................26 12.1. Fora cortante .......................................................................................................................................26 12.2 Deformao axial...................................................................................................................................27

13 - Exerccios...................................................................................................................................................29 BIBLIOGRAFIA...............................................................................................................................................35 ANEXO.............................................................................................................................................................36

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FLAMBAGEM DE BARRAS

1 - Introduo

Em todas as construes as peas componentes da estrutura devem ter geometria adequada e definida para resistirem s AES (foras existentes e peso prprio ou provveis = ao do vento) impostas sobre elas. Desta maneira, as paredes de um reservatrio de presso tm resistncia apropriada para suportar presso interna; um pilar de um edifcio tem resistncia para suportar as cargas das vigas; uma asa de avio deve suportar com segurana as cargas aerodinmicas que aparecem durante o vo ou a decolagem. Se o material no resistir s AES, atingir um Estado Limite ltimo por Ruptura. Da mesma forma, um piso de edifcio deve ser rgido para evitar uma flecha excessiva, o que em alguns casos pode provocar fissuras no teto, tornando-se inadequado em seu aspecto funcional (Estado Limite de Utilizao). Finalmente, uma pea pode ser to delgada que submetida a uma AO compressiva atingir o colapso por perda de estabilidade (FLAMBAGEM), isto , um Estado Limite ltimo.

Em engenharia todos os requisitos acima devem ser preenchidos com a mxima habilidade e o menor custo.

Neste sentido a seleo dos elementos estruturais de uma construo se baseia nas trs seguintes caractersticas:

resistncia rigidez estabilidade

A anlise de resistncia e rigidez j foram apresentadas anteriormente. Neste momento a ateno se direciona ao estudo da estabilidade dos sistemas estruturais.

O nosso estudo comea pela anlise de uma barra de dimetro d, submetida a uma fora axial de compresso. Se esta barra, submetida fora F tiver um comprimento, l, nenhuma questo de estabilidade apareceria e uma fora considervel poderia ser suportada por esse membro de comprimento l. Entretanto, se a mesma barra tivesse comprimento igual a vrias vezes o dimetro quando submetida aquela fora F (ou menor), poder-se-ia tornar lateralmente instvel e entrar em colapso* (fig 1). Assim as barras esbeltas solicitadas a compresso axial, falham desta maneira. A considerao da resistncia do material no suficiente para se prever o comportamento de tal membro.

Seguem-se alguns conceitos necessrios para o prosseguimento de nosso estudo.

Obs: * Colapso a barra muda sua configurao linear, passa a ter uma outra configurao no linear e se rompe por flexo, isto , em Estado Limite ltimo.

4

Fig. 1. Flambagem de Barras.

2 - Conceito de Estabilidade Elstica

Qualifica-se como estabilidade a propriedade do sistema (estrutura) de manter o seu estado inicial de equilbrio nas condies de aplicao de AES. Se um sistema no tem esta propriedade, ele qualificado de instvel.

Definem-se dois estados de equilbrio:

a) Equilbrio estvel Se um sistema sofre uma pequena perturbao, depois de eliminarmos as causas desta perturbao, o sistema volta ao seu estado inicial de equilbrio. Este considerado estvel.

b) Equilbrio instvel Se um sistema sofre uma pequena perturbao, depois de eliminarmos as causas desta perturbao, o sistema no volta ao seu estado inicial. Este considerado instvel.

5

Fig. 2. Equilbrio estvel (a) e instvel (c).

Obs: Esta anlise de estabilidade est voltada para regime elstico-linear dos materiais.

Alcanamos o seguinte estgio: o que acontece se o sistema passa do estado inicial de equilbrio (estvel) para outro? caracterizado assim a perda de estabilidade do sistema.

3 Aplicao do conceito de estabilidade na compresso axial

Para peas de comprimento l, da mesma ordem de seu dimetro, d, ou lado, b, sujeito compresso axial, no est correto o fenmeno de perda de estabilidade. Se pensssemos em termos de resistncia, esta seria

AFf = e num ponto A qualquer:

AF

= .

6

L

Fig. 3 Grfico tenso x deformao.

Obs: A carga F aplicada de O f. Portanto pode-se analisar o grfico da fig. 3 de O f.

Para peas com comprimento vrias vezes maior que o dimetro, d, ou lado, b, sujeita a compresso axial, que fenmeno ocorreria?

Inicialmente a barra est num estado de equilbrio estvel. Para pequenos valores de F aumentados gradualmente, a coluna permanece num estado de equilbrio estvel.

Fig. 4 Barra com carga F.

Durante este estgio se retirarmos a fora ou AO F, a barra ou coluna volta sua forma inicial de equilbrio (equivalente esfera da figura 2.a.).

Se aumentarmos ainda mais a AO F, haveria uma passagem de um estado de equilbrio para outro.

7

Por definio: carga crtica Fcr ou carga de Euler ou carga de flambagem o valor da carga F que provoca o fenmeno da mudana do estado de equilbrio estvel para o instvel.

Fig. 5 Flambagem da barra.

Colocando-se num grfico F x v(x):

Fig. 6 - Mudana de equilbrio.

Chegamos assim, ao NOSSO OBJETIVO: determinar Fcr.

Para completar nosso conjunto de conceitos bsicos sobre o fenmeno da Estabilidade, temos que classificar quanto aos conceitos de clculo o nosso problema em Teoria de 1 ordem, 2 ordem e 3 ordem.

8

4 Classificao, quanto aos conceitos de clculo, do desenvolvimento terico de um problema em teoria de estrutura

4.1. Teoria de 1 ordem Esta teoria no leva em conta os deslocamentos no estudo do equilbrio da estrutura e admite ainda certas simplificaes, como por exemplo: a

substituio da curvatura K =r

1 da linha elstica pela 2 ordem derivada da sua equao:

aFMo .=

=)(" xvEIFa

EIMo

=

Fig. 7 Estrutura em teoria de 1 ordem.

4.2. Teoria de 2 ordem - Esta teoria leva em conta os deslocamentos no estudo do

equilbrio da estrutura e considera a curvatura K = r

1 da linha elstica igual 2 derivada de

sua equao.

Fig. 8 Estrutura em teoria de 2 ordem.

9

( ))(xvaFMo += e

EIM

xv o=)(" .

4.3. Teoria de 3 ordem A teoria de 3 ordem leva em conta os deslocamentos sem simplificaes, sendo geralmente complicada para uso prtico.

A equao da curvatura:

2/32

22

1

/

+

=

dxdv

dxvdK

usada no regime supercrtico.

4.4 Grfico de F x v(x) com a utilizao destes conceitos

Fig. 9 Grfico de configurao de equilbrio.

Contemplando este estudo terico conveniente ressaltar que o fenmeno da flambagem no um problema de resistncia, mas sim de estabilidade. Se o material que compe a estrutura seguisse indefinidamente a Lei de Hooke a carga poderia crescer sensivelmente acima de Fcr sem que o equilbrio perdesse seu carter estvel.

F

10

Exemplo: Barras de acrlico e celulide (materiais plsticos)

Fig. 10 Grfico tenso-deformao.

Observa-se que a teoria de 2 ordem fornece Fcr , ou seja, os problemas de Flambagem j so testados por esta teoria em Resistncia dos Materiais.

=+

====

00

00

2

22

2

EIFv

dxvd

ase

AFMase

EIM

dxvd

Fig. 11 Elstica da barra comprimida.

11

5 Determinao de Fcrit Mtodo do Equilbrio

Uma coluna perfeitamente reta (Fig. 12), apoiada em sua extremidade, pode ser considerada em equilbrio estvel. Se aplicarmos uma carga F a coluna pode sofrer uma rotao, mas no pode fletir. Na forma hachurada tem uma posio de equilbrio tal que:

em A o momento de tombamento e o restaurador so:

TMsenF =

RMc =

Fig. 12 Modelo para flambagem.

Para pequeno sen , ficamos ento com 3 condies:

1a) F < c sistema estvel 2a) F = c ponto de bifurcao do equilbrio 3a) F > c sistema instvel

Fig. 13 Barra em equilbrio.

12

De 2a) tem-se que:

F = c

F =

c

Sendo F = Fcr a carga crtica de flambagem.

6 - Carga de Flambagem para Barras Bi-articuladas

Seja a barra de seo constante inicialmente reta, mantida na sua posio deformada por uma carga axial F. A direo das ordenadas v da elstica evidentemente ser a direo da menor rigidez contra flexo, quer dizer, o eixo central com Imin (w) da seo da barra ser perpendicular ao plano do desenho da figura.

Fig. 14 Esquema para determinao da carga crtica.

Procuramos a carga F necessria para manter a elstica. Da resistncia dos materiais, sabe-se que:

EIM

dxdv

=2

2

O momento M vale:

M = Fv

13

Fig. 15 Clculo do momento.

Substituindo na equao procedente tem-se:

022

=+EIFv

dxvd

(1)

Portanto, temos a soluo geral da equao diferencial que rege o problema de flambagem:

v = C1sen Kx + C2cos Kx (2)

E com as condies de contorno:

Em Ax

v:

=

=

00

C2 = 0 KxsenCv 1= (3)

Para se determinar o parmetro K, derivamos 2 vezes a equao:

KxsenCv 1=

KxKCdx

vda cos1 122

=

KxCKdx

vda sen2 1222

= (4)

14

(4) em (1) 0sen1222

=+=+EIFvKxCK

EIFv

dxvd

02 =+EIFv

vK

EIFK =2

Em B: x

v

=

=

0

Temos que em (3):

KCv sen0 1== (6)

Esta condio satisfeita quando:

0sen01 = KeC

ou K = nII, n = 1,2,3,4... (Se n = 0, no existe F)

2

222

pipi nKnK ==

Portanto a carga crtica vale:

FEI

ncr

nF EI= =2 2

22 2

2pi pi

(7)

Chamando cr = comprimento de flambagem e sendo cr n= , podemos montar a seguinte tabela:

Caso K Fcrit Equao da elstica a:

n = 1

/pi

22 / EIpi

xCv

pisen1=

b: n = 2

/2pi

22 /4 EIpi

xCv

pi2sen1=

15

c: n = 3

/3pi

22 /9 EIpi

xCv

pi3sen1=

E as seguintes elsticas ( sendo de interesse prtico apenas (a) ).

Fig. 16 Algumas elsticas.

Obs: interessante, novamente, salientar que as ordenadas v no podem ser determinadas por este equacionamento matemtico, necessitando-se para isto da equao exata da curvatura K.

7 Outros tipos de vinculao (Anexo)

7.1. Barra engastada livre

16

Fig. 17 Barra engastada livre.

2=cr

2

2

4EIFcr

pi=

7.2 . Barra engastada e articulada

Fig. 18 Barra articulada-engastada.

Tem-se:

17

2

2

2

2 2454,4

2

EIEIFcr

cr

pi=

=

7.3. Barra engastada engastada

Segue-se:

2

24;

2

EIFcrcr

pi==

Fig. 19 Barra engastada-engastada.

Obs 1: Relao entre as cargas de flambagem

: 1 : 2 : 4 Eng: livre Art. Art. Art. Eng. Eng. Eng.

18

Obs2: Todas as frmulas acima podem se assemelhar ao acaso fundamental, desde que no comprimento real e esteja o comprimento de flambagem lef . Este comprimento vem a ser a distncia entre os pontos de inflexo das elsticas.

8. Tenso de Flambagem no Regime Elstico

8.1. Raio de Girao de uma seo transversal

Chama-se raio de girao a seguinte relao:

i ondeIA AI

==

=

,

ou i IA2

=

8.2 ndice de Esbeltez de uma barra

ndice de esbeltez de uma barra a seguinte relao:

= cri 2 2

2=cr

i

8.3. Transformao da carga de flambagem em tenso de flambagem.

Seja a tenso de flambagem igual a:

AFcr

cr =

da: A

EI

cr

cr 2

2

pi =

22

2

iEcr

cr

pi =

2

2

pi

E

cr =

Momento da inrcia da seo transversal rea da seo transversal

19

9 Exerccio n 1:

Qual a relao h/b da seo transversal para que o pilar da figura oferea a mesma segurana contra a flambagem nas direes x e y?

Fig. 20 Vista e seo transversal da estrutura.

Soluo: Em relao ao eixo x (em torno de x) a vinculao engastada livre.

Portanto: 2,

=xcr

Em relao ao eixo y (em torno de y) a vinculao engastada-articulada:

Portanto: 2,

=ycr

Para se ter a mesma segurana em relao a x e a y temos:

ycrxcr PP ,, =

AP

AP cryxcr

=,

20

ycrxcr ,, =

2

2

2

2

yx

EE

pi

pi

=

yxyx == 22

=

=

y

ycry

x

xcr

x

i

i,

,

(I)

Esbeltez: AIi =

121212;

33

hbh

bhibhA

bhI

AIi xxxx ==

=

==

121212;

33

bbh

hbibhA

hbI

AI

i yyy

y ==

=

==

Finalmente em (I):

22122

122

==

=

=

bh

b

hyx

y

x

21

10 - Flambagem Elstica e Plstica

At agora estudamos a carga crtica partindo da equao da elstica: EIM

v = , que

conseqncia da Lei de Hooke ( ) E= .

Tambm foram introduzidos os conceitos sobre peas curtas, esbeltas e suas relaes com a resistncia/estabilidade (Teorias: 1a, 2a, ordem).

Vamos agora estudar, via conceito de esbeltez, o fenmeno de flambagem.

Assim, para barras curtas, no haver flambagem e sua carga de ruptura depender apenas da resistncia f do material, no caso de um material com limite de escoamento fy, este valor condiciona a capacidade resistente.

Considerando-se barras mais longas, o valor fy dever ser substitudo por cr < fy, que condiciona o fenmeno flambagem.

Desta forma ndice de esbeltez determinar se a barra curta ou longa, e indicar o comportamento da barra a uma fora axial de compresso.

Podemos agora relacionar o grfico tenso-deformao com o grfico tenso-ndice de esbeltez.

Fig. 21 Grficos tenso versus deformao ou esbeltez.

Vemos relao do comportamento da barra nos dois grficos:

22

- E crit - O C: Regime Elstico T S : Carga Crtica de Euler ou de

Flambagem A C: Regime Plstico S R: Flambagem Plstica

C : Escoamento R Q: No h Flambagem Escoamento

O diagrama x E determinado a partir de ensaios em laboratrio.

Observaes a respeito dos grficos x E e cr x :

de extrema importncia que os grficos x E e cr x no sejam de uma nica barra, mas sim de um nmero mnimo de barras de diferentes comprimentos. Assim no ponto S haver uma coluna A que ser a de menor comprimento (de um certo material) que flambar elasticamente. Uma outra com menor no flambar no regime de proporcionalidade do material.

Ento uma coluna FLAMBADA com uma tenso de flambagem que no excede fo , esta flambagem elstica. Se cr > fo a flambagem ser plstica ou no ocorrer flambagem (cr = fy).

Obs: Uma importante observao diz respeito ao trecho AC no ponto B, onde vista de inmeros resultados de ensaios em laboratrio e de ajustes de curvas pode-se utilizar a seguinte expresso para frmula de flambagem:

2

2

pi

tcrE

=

onde Et o mdulo de elasticidade tangente, a nova rigidez da barra flexo (EI), passa para Et I e o nvel de tenso aumenta. (Para informaes complementares ver teoria mdulo duplo Popov, pg. 502).

11 Clculo Prtico da Flambagem

Neste item so apresentadas algumas aplicaes com o objetivo de uma reviso de carter histrico de flambagem.

11.1. Barra de Ao e de Ferro Fundido

11.1.1. Frmulas de Tet majer no regime plstico

23

Para Ao 37: (Ao de Baixa Resistncia) segue a DIN 17100 ST 37

0 < resistncia ao escoamento

60 100 cr = 2891 8,175 (kgf/cm2) > 100 Frmula de Euler

Para Ao 52: (Ao de Alta Resistncia) segue a DIN 17100 ST 52

0 < resistncia ao escoamento: fy

60 100 5891 38 17 2 = cr kgf cm, ( / )

Ferro Fundido

253,0120770800 += cr

0 > 80 Frmula de Euler (kgf/cm2)

Em algumas normas de Engenharia, como norma de estruturas metlicas (NB 14/68 at 1986) e a de estruturas de madeira (NB 11 NBR 7190) utilizada a tenso admissvel para se dimensionarem as peas. Denomina-se tenso admissvel cr na flambagem, a tenso cr dividida por um coeficiente de segurana . Assim:

crcr =

A NB 14/68 fixa a tenso admissvel de flambagem como sendo:

Para 2023,01200105 = cr (kgf/cm2).

Para 2610*363,10105

=> cr .

A comparao entre as equaes de Euler e a acima para > 105 (regime elstico).

210*363,10

2

6

2

2

===

pi

E

cr

cr

sendo: E = 2,1 x 106 kgf / cm2 = 2,1 x 104 KN / cm2

24

No regime plstico no podemos tirar concluses, apenas para = = . Como o ao CA - 24 (hoje utilizado o CA - 25) tem limite de escoamento igual a 2400 kgf/cm2 (ou 2500 kgf/cm2) (25 KN/cm2), o coeficiente de segurana 2 ou prximo.

Obs.1: Grfico de crit x de uma CA - 25

Obs.2: Alguns tipos de ao fabricados no Brasil: ASMT A 36 (fy = 25 kgf / mm2) AR 35 - CORTEN C(fy = 42 kgf / mm2)

Fig. 22 - Grfico tenso contra esbeltez.

11.2. Barras de Madeira

A NB 11 (NBR 7190), para o clculo de estruturas de madeira, fixa as seguintes recomendaes:

= (peas curtas)

< =

(peas intermedirias)

=

(peas longas)

25

Obs.1: max = 140

Fig. 23 - Grfico para a madeira.

Obs.2: =

= =

e:

pi

pi 2

4 223 0

2 1 23 8E c cE = = ( / ) /

Obs.3: = 4 coeficiente de segurana para peas de madeira solicitadas a compresso.

Obs.4: Alguns valores de para madeira:

E

Pinho do Paran 53,5 kgf / cm2

(0,535 Kn / cm2) 109.300 kgf / cm2 (1093 kN / cm2)

87

Peroba Rosa 85 kgf / cm2 (0,85 kN / cm2)

94.100 kgf / cm2 (941 kN / cm2)

64

Eucalipto Citriodora 133 kgf / cm2 165.000 kgf / cm2 68

26

(1,33 kN / cm2) (1650 kN / cm2)

11.3. Barras de Concreto

No curso de Concreto o estudo da flambagem ter ateno especial, dispensando-se, neste momento, qualquer outra considerao alm das aqui apresentadas.

12 - Influncia da fora cortante e da deformao axial

12.1. Fora cortante

Vamos analisar agora a influncia da fora cortante V, no clculo da carga de flambagem.

Ento:

= + = +

lembrando-se:

=

=

=

e:

= =

Portanto:

= +

com M = yP e: c c GA=1

27

d ydx

PEI

Pdydx

y c22

22= +.

da:

+ =

!

que a mesma equao de barra articulada-articulada:

"

= =

!pi

da:

"= pi

com pi pi

= =

+ +

"

#"

!

Considerando-se uma seo T:

#

=

=

=

$

a reduo de ~ 0,5%

12.2 Deformao axial

Vamos, agora quantificar o efeito da deformao axial na carga de flambagem.

Fig. 24 - Elemento ds da barra.

28

Encurtamento da barra

=%

& ''

&

= =

& ' = = +

entretanto = =

&

11 0 1 0Rd

dsM

EI= = ( ) ( )

Fig. 25 - Flexo na barra.

A equao da linha elstica fica:

d ydx

MEI

22 1 0

= ( )

Para o caso engastado-livre:

= % &

Da: %

=

pi

29

que praticamente a frmula sem consideraes de 0, pois se obtm na prtica 0 ~ 0,001.

13 - Exerccios

13.1. Um certo material segue o diagrama indicado calcular % para a coluna da figura abaixo.

Fig. 26 - Dados do exerccio.

E = 13.000 kN / cm2 (1.300.000 kgf / cm2 )

Soluo

a) Clculo das caractersticas geomtricas

C.G. A = 48 cm4

= =

+ +

(

(

ZCG = 0

- Momentos Principais de Inrcia Seo simtrica x, y os eixos principais de inrcia.

)

= + + + = ( * (

30

= +

+ = ( + $,((

#- )= = *

b) Barra articulada-articulada

= +

c) Clculo do coeficiente de segurana adotado

i cmI Aminmin

,= = =27248 2 38

maxmin ,38

= = cr

i2502 105

Obs 1: Este clculo foi feito para se posicionar segundo o diagrama .

De acordo com o diagrama , para valores 80 vale:

pi

=

Para = 80

.

=

pi

$

= 4,0

d) Clculo de %

%

= =

pi

pi

$

+

% = ,(

13.2. Dimensionar a barra AB de seo circular, para que o sistema estrutural resista mxima carga F possvel de ser aplicada. A barra CD tem seo 6 cm x 6 cm

31

Obs: Utilizar as frmulas da NB 14.

As barras AB e CD so de ao com

=

=

ou

Fig. 27 - Sistema Estrutural.

Para se dimensionar a barra AB necessrio se conhecer a fora que atua na mesma. Desta forma valemos do seguinte esquema esttico.

/ %/ % = = =

% % = =

32

Fig 28 - Esquema Esttico.

a) Clculo da carga admissvel N2

0= =( (

$

#

= = =$(

*

A barra CD engastada livre, onde se apoia a viga AE, portanto:

= =

= = =#

*

*

De acordo com a NB 14: > 105 tem-se que:

= = =(

* + + (

= = = ( ( +(

b) Dimensionamento da barra AB sendo: +(= vem:

%

( $

=

=

Como a barra AB de ao, com seo transversal circular e submetida a fora de trao vem:

pi

= =

1

( $

1 = +*

33

13.3. O escoramento da vala esquematizada feito com madeira da espcie Peroba Rosa. Sabendo-se que as peas disponveis para as escoras so de 6 cm x 12 cm, escolher a mais conveniente.

Fig. 29 - Dados para exerccio (Dimenses em cm).

E (Peroba Rosa) = 942,5 KN / cm2

= $+

Soluo:

A idia da soluo do problema determinar a carga axial e a partir desta verificar qual suporta tal carga sem romper.

a) Esforo em uma escora genrica

Fig. 30 - Esquema de Clculo.

34

( ) kNxxxF x 161020030020 4220020 =+= Tringulo Retngulo faixa planta

b) anlise dos perfis disponveis

Fig. 31 - Seo transversal.

/2 /23 '= *, )

i I Ahb

bhb

minmin

= = =

312 12

pi

pi

/

= =

$

$

, + $+

(

b.1) Seo 6 cm x 12 cm

pi

pi= = =

, +

+ **

% % = = 0 pea longa

= *

35

% = =* ( ( (

% % 4>

Com esta pea e esta seo possvel a escora suportar tal esforo.

BIBLIOGRAFIA

FEDOSIEV, V. Resistncia dos Materiais. Edio Lopes da Silva. 1977

POPOV, E. P. Introduo Mecnica dos Materiais. Ed. Edgar Blcher. 1978.

SCHIEL, F. Introduo Resistncia dos Materiais. Harper & Row do Brasil. 1984.

SILVA JR, J. F. S. Resistncia dos Materiais. Ed. Ao Livro Tcnico S.A. 1972.

36

ANEXO

- Barra engastada - livre

= (1)

00 =+ MyFM

0MyFM =

FyFM = (2)

(2) em (1)

EIF

EIFy

xdyd

=2

2

= +

+ =

+ = (3) Equao Diferencial no homognea

Fig. 32 - Elstica barra eng. - livre. Momento em x.

Soluo: y = yh + yP

37

yh = C1 sen Kx + C2 cos Kx (4)

5

5

5

= + +

= +

=

!

! !

Em (3)

+ + + =

5= = = = 6 6

Soluo: y = C1 sen Kx + (5)

Condies de Contorno:

1/

=

=

= + =

2/

=

=

= + =

=

=

! & &3-

&

3/

= = +

= = +

&

&

& = = & - -

= + =pi pi 6

n = 0 1 situao que nos interessa

=pi

Giro em (0) zero

38

%%

= = =pi pi

pi

(6)

- Barra engastada-articulada

= (1)

7 % + =

% 7= (2)

Fig. 33 - Elstica barra eng. Art. Momento em x.

(2) em (1)

%

7

= +

chamando %#

= vem:

7

+ = (3)

Equao diferencial no homognea

- Assim y = yh + yp

yh = C1 sen Kx + C2 cos Kx

39

5

5

5

= + +

= +

=

!

! !

Em (3)

7

+ + +

3 7

5

7

= = = =

6 (4)

Soluo

1/ condio de contorno x

y=

=

' 0 =

2/ condio de contorno x

y=

=

' 0 (giro no engaste)

= + = 7

! &

7

=

&

3/ condio de contorno "

"7

7

=

=

+ &

&3-

KKtg (soluo grfica) da: +

40

Z

Fig. 34 - Soluo grfica.

= +

( )% = +

pi

com: =

- Barra Engastada-Engastada

- Soluo Prtica

A barra, seu engastamento e os apoios so simtricos em relao ao eixo horizontal (1-1) que passa por (C). Esta simetria leva condio da cortante em (C) ser nula, e as componentes horizontais tambm. A parte AC deve ser simtrica em relao ao ponto D, e desse modo em (D) o momento fletor nulo. Vale tambm esta considerao para parte CF. Ainda sabemos que o momento fletor nulo nas articulaes de uma barra bi-articulada. Portanto a soluo do problema determinar Fcr de uma barra bi-articulada de comprimento .

Assim: %

=

pi

41

Fig. 35 - Elstica barra eng. -eng. Momento em x.

- Soluo Matemtica

Fig. 36 - Elstica e momento.

%=

42

%

= +

%

+ =

- Soluo particular: 5

%=

%

=

- Vh = A1 cos Kx + B1 sen Kx soluo homognea

- V = Vh + Vp soluo geral

Condio de Contorno:

FMx

v

a oC ===

200

)1

0sencos)2 2100' ==

= xx

x

v

a KCKKC =

%

= + &

0cos)3 10

=+ =

= F

MFMv

v

a oo K

%

& =

& =

Da: - = pi

-

=

pi

n = 0,1, ..... n = 1

43

%

=

pi

0sen)40'

==

=

KF

KMxv

a o

&3- =

- - = =pi

/