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Anais do XVII Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA – XVII ENCITA / 2011
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, 19 de outubro de 2011
FLAMBAGEM LOCAL DO REVESTIMENTO DE FUSELAGENS
Paulo de Tarso Machado Leite Soares Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Rua H8C, 303. Campus do DCTA, 12228-462, São José dos Campos - SP
Bolsista PIBIC-CNPq
Eliseu Lucena Neto Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Campo Montenegro, 12228-900, São José dos Campos, SP
Francisco Alex Correia Monteiro Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Campo Montenegro, 12228-900, São José dos Campos, SP
Resumo. Apresenta-se uma expressão analítica para a carga de flambagem local de painéis cilíndricos sobre compressão axial.
Seguindo as hipóteses de Kirchhoff-Love, obtém-se as equações de equilíbrio linearizadas em termos dos deslocamentos. Soluciona-
se o problema de flambagem empregando-se o método de Galerkin. Obtém-se daí um problema de autovalor cuja solução fornece a
carga crítica de flambagem. Exemplos numéricos são apresentados para comparação da carga crítica prevista pela solução
proposta com a predita pelo método de elementos finitos.
Palavras chave: Flambagem, Painéis Reforçados, Galerkin.
1. Introdução
Na engenharia, a redução dos custos de fabricação, projeto e manutenção é tarefa fundamental perante à
competitividade do mercado. Nesse contexto, novos processos de fabricação são constantemente desenvolvidos. Na
última década, empresas aeronáuticas tem priorizado o desenvolvimento de novos métodos de soldagem, como por
exemplo, a solda por fricção (Friction Stir Welding — FSW), em substituição das usuais conexões rebitadas. Uma
aplicação dessa tecnologia encontra-se na ligação entre o revestimento e os reforçadores da fuselagem. Sua
implementação, entretanto, demanda estudos diversos, entre os quais pode-se destacar o de elaboração e sistematização
de procedimentos de análise e projeto estrutural (Murphy et al., 2007).
Um estudo importante no projeto de uma aeronave é o da estabilidade do equilíbrio dos painéis de sua fuselagem,
no qual se determina a carga crítica de flambagem e a resistência pós-crítica dos painéis da aeronave.
A Figura 1 mostra uma seção típica de uma fuselagem. Seus componentes estruturais são: cavernas, revestimento
e reforçadores. A estrutura é, assim, composta por uma série de painéis, apoiados em cavernas e reforçadores,
conectados entre si. A adição de reforço ao revestimento torna a estrutura mais leve, uma vez que o peso adicionado é
relativamente pe- queno face ao acréscimo de resistência e de estabilidade propiciado. Entretanto, a inserção de reforço
torna complexo o modelo estrutural, acarretando o uso de hipóteses simplificadoras.
Figura 1. Seção típica de fuselagem.
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,
Usualmente, os reforçadores são conectados em pontos discretos por meio de rebites. Para economia de processo e
de material, esse procedimento tende a ser substituído por tecnologias nas quais a natureza das ligações seja monolítica,
como a solda FSW. Além de parecer econômico, a monoliticidade das ligações possibilita que a análise da estabilidade
do equilíbrio seja mais bem avaliada numericamente, por estar menos sujeita a parâmetros oriundos de ensaio.
Atualmente, o método dos elementos finitos é a ferramenta de análise estrutural por excelência, devido a sua
capacidade de simular domínios complexos, sob condições de contorno e de carregamento também complexos, sem
recorrer a modelos teóricos simplificados. É comum empregar o método na determinação da carga crítica de
flambagem, bem como na análise do regime pós-crítico, de cascas cilíndricas reforçadas. Entretanto, a utilização de
programas de elementos finitos demanda conhecimentos especializados por parte do operador. Por outro lado, métodos
analíticos de análise tem a vantagem de mostrar mais claramente a sensibilidade da estrutura aos parâmetros
envolvidos, apesar das soluções analíticas clássicas serem restritas a configurações muito particulares e os resultados
estarem apresentados, normalmente, em forma gráfica, o que dificulta seu uso no projeto.
Percebe-se, portanto, a necessidade de soluções analíticas explícitas, acompanhadas de curvas de projeto e
validadas por ensaios computacionais de elementos finitos e, se possível, experimentais, que tornem a análise de
flambagem de cascas cilíndricas reforçadas uma tarefa menos onerosa computacionalmente e menos operador-
dependente.
A perda de estabilidade do equilíbrio de um painel cilíndrico reforçado, quando sujeito a uma compressão axial,
pode ocorrer de maneira global ou local, dependendo de sua geometria e do número de reforçadores. Na flambagem
global, o revestimento e os reforçadores flambam como uma única entidade. Na flambagem local, a translação do
revestimento ao longo linha de conexão dos reforçadores é nula, formando uma linha nodal, flambando o reforçador ou
o revestimento entre eles. Por simplicidade, costuma-se subdividir a flambagem local da seguinte maneira (Ruela,
2010):
• flambagem local do revestimento, em que o revestimento ao fletir rotaciona consigo o reforçador;
• flambagem local do reforçador: (a) um ou mais componentes do reforçador flambam isoladamente; (b)
flambagem lateral com torção do reforçador, em que o reforçador torce como um todo e ao fletir lateralmente rotaciona
consigo o revestimento. Esta flambagem ocorre em reforçadores sujeitos a torção não uniforme.
As cargas críticas de cada modo de flambagem podem diferir consideravelmente ou mesmo coincidir, dependendo
da geometria da estrutura.
No estudo específico da flambagemlocal do revestimento, umprocedimento comumpara a determinação da carga
crítica é extrair um trecho do revestimento entre duas cavernas e dois reforçadores adjacentes, devido à presença das
linhas nodais ao longo desses componentes. O trecho é estudado como um painel não reforçado, no qual as cavernas e
os reforçadores são apoios que oferecem condições de contorno que podem variar desde um apoio simples até um
engaste (Camelo, 2009).
O revestimento do painel reforçado é, entre todos os componentes, aquele que melhor tem a resistência pós-crítica
a ser aproveitada. Após a flambgem, o revestimento é ainda capaz de absorver acréscimos de carga, transferindo-os de
maneira mais intensa aos reforçadores e cavernas, até o colapso da estrutura, que se dá, tipicamente, por plastificação
local do revestimento ou pela flambagem do reforçador. Por essa razão é que a indústria emprega painéis cujo modo
crítico de flambagem é o local do revestimento (Ruela, 2010).
Neste artigo, inicialmente desenvolve-se uma solução analítica para a carga crítica de flambagem de painéis
cilíndricos. Considera-se um trecho de painel entre reforçadores e entre cavernas adjacentes, no qual esses elementos
são inseridos nas condições de contorno do problema. A partir das equações de equilíbrio, seguindo as hipóteses de
Kirchhoff-Love, introduz-se as relações deformação-deslocamento e as equações constitutivas, e obtém-se as equações
de equilíbrio em termos dos deslocamentos. Essas equações são, então, linearizadas nos deslocamentos no ponto de
bifurcação da trajetória de equilíbrio. Por fim, arbitra-se um campo de funções admissíveis e soluciona-se o problema
empregando-se o método de Galerkin, obtendo um problema de autovalor cuja solução fornece a carga crítica de
flambagem.
Na segunda parte do trabalho, busca-se a solução do problema de flambagem local do revestimento de cascas
cilíndricas pelo método dos elementos finitos, utilizando o software NASTRAN (MSC, 2008). Devido ao grande
número de painéis a serem analisados e a fim de otimizar a confecção dos modelos, faz-se necessário o
desenvolvimento de uma ferramenta de trabalho que permita a criação de arquivos .DAT contendo todos os dados
necessários à análise. Para tanto, utiliza-se como base o programa Panel Tool v4.0, desenvolvido por Ruela (2010), o
qual permite a parametrização de modelos de elementos finitos de painéis planos reforçados. O código computacional
original é então modificado para que se possa modelar painéis cilíndricos. A nova ferramenta, denominada Shell Tool
v1.0, permite a inserção dos parâmetros de análise referentes ao revestimento, ao reforçador e ao refinamento da malha,
de forma a ser possível gerar facilmente diversos modelos. Na entrada de dados, inserem-se dados referentes à
geometria e ao material do revestimento e dos reforçadores, bem como o número de reforçadores. Por último, é
escolhido o refinamento da malha de elementos finitos, de tal modo que é possível buscar o aprimoramento das
soluções. Na saída do programa é gerado um arquivo .DAT que contém todas as informações do modelo de elementos
finitos do painel cilíndrico. Tal arquivo pode ser analisado diretamente pelo NASTRAN.
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Ao final, alguns painéis são ensaiados numéricamente para efeito de comparação entre entre a carga crítica
prevista pela solução analítica proposta e a carga crítica predita pelo método de elementos finitos.
2. Solução de Flambagem
2.1. Relações deformação deslocamento
Seja a casca cilíndrica da Fig. 2, de comprimento a, largura b, espessura h e referida ao sistema de coordenadas
curvilíneas ortogonal . As curvas coordenadas são ortogonais sobre a superfície média e coincidem com as
linhas de curvatura, a coordenada z mede a distância de um ponto da casca à superfície média de referência.
Figura 2. Casca cilíndrica reforçada e painel a ser analisado.
Admitindo como válida a hipótese de Kirchoff, na qual um segmento de reta normal à superfície média antes da
deformação permanece reto, mantém o mesmo comprimento e conserva-se normal à superfície após a deformação, o
campo de deslocamentos é dado por:
(1)
As quantidades são as componentes do deslocamento na superfície média, respectivamente.
Se a casca é suficientemente fina, como é usual na prática, as relações deformaçãodeslocamento segundo Von
Kárman definidas no sistema curvilíneo são dadas por:
(2)
2.2. Equações de Equilíbrio
A forma diferencial do equilíbrio escreve-se no dimínio como
(3)
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,
e no contorno como
(4)
onde
(5)
2.3. Equações Constitutivas
As relações constitutivas escrevem-se como
(6)
onde
(7)
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2.3. Equilíbrio em Termos dos Deslocamentos
As relações anteriores permitem escrever as seguintes equações.
Equilíbrio na direção x:
(8)
Equilíbrio na direção y:
(9)
Equilíbrio na direção z:
(10)
2.4. Linearização em Termos dos Deslocamentos
Seja o painel da Fig. 2 sujeito ao carregamento crescente a partir de zero. A curva que descreve o deslocamento
de um ponto em função do nível de carregamento denomina-se trajetória de equilíbrio. Dependendo da geometria,
material, carregamento, etc., o painel pode apresentar mais de uma trajetória de equilíbrio possível. Para cada uma
delas, o painel assume uma dada configuração deformada. O ponto onde duas ou mais trajetórias se cruzam é um ponto
de bifurcação. Neste ponto crítico, a estrutura obrigatoriamente perde a estabilidade do equilíbrio.
Para investigar a possível existência de um ponto de bifurcação, é necessário identificar as configurações de
equilíbrio correspondentes a duas das trajetórias de equilíbrio que se cruzam pelos campos de deslocamento e
. O campo com o índice representa a configuração da trajetória primária (aquela que passa pela origem). Para
se determinar o ponto de bifurcação por meio de um problema linear, limita-se a trajetória secundária em torno desse
ponto escrevendo-se
(11)
onde os pequenos deslocamentos adicionais provocam o desvio brusco da trajetória primária para a
secundária (aquela que não passa pela origem). Nesta segunda trajetória
(12)
onde decorrem de . Os deslocamentos definem a configuração deformada pré-crítica
e os deslocamentos o modo de flambagem (Brush e Almroth, 1975).
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Agrupando-se matricialmente as equações de equilíbrio
(13)
tem-se no ponto de bifurcação que
(14)
Na trajetória pós-crítica
(15)
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,
com
(16)
As relações anteriores permitem escrever as seguintes expressões.
Equilíbrio na direção x:
(17)
Equilíbrio na direção y:
(18)
Equilíbrio na direção z:
(19)
Admite-se que a influêncida dos gradientes de no regime pré-crítico é pequena e que pode ser desprezada para
fins práticos. Daí,
(20)
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,
que implica
(21)
e
(22)
Admite-se, também, que as condições de contorno sejam dadas por
(23)
e que o carregamento é proporcional
(24)
Sejam os operadores
(25)
escreve-se a forma fraca do equilíbrio linearizado em torno da configuração pré-crítica na forma
(26)
onde
(27)
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,
com
(28)
Observa-se que [ ] e [ ] são operadores diferenciais lineares simétricos.
2.5. Método de Galerkin
Admitindo-se
(29)
e tomando
(30)
tem-se
(31)
Para que as condições de contorno relativas ao reforçador sejam satisfeitas deve-se ter:
(32)
Portanto a aproximação
(33)
satisfaz as exigências do método. A substituição desses deslocamentos nas equações de equilíbrio fornece
(34)
onde
(35)
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,
com
(36)
A independência e a arbitrariedade dos componentes de nos leva à seguinte equação característica:
(37)
cuja solução é
(38)
se
(39)
A carga crítica de flambagem é dada por
(40)
3. Ferramenta ShellTool v1.0
Desenvolve-se uma ferramenta que facilita a criação de modelos de cascas cilíndricas reforçadas para análise por
elementos finitos via NASTRAN (MSC, 2008). A ferramenta baseia-se nas considerações a seguir.
O painel está sujeito a uma carga de compressão na direção dos reforçadores, uniformemente distribuída ao longo
das bordas. Considera-se que as bordas carregadas estejam simplesmente apoiadas sobre cavernas e as demais bordas
estejam apoiadas sobre reforçadores. Os reforçadores tem seção transversal Z. O revestimento, a alma do reforçador e a
flange que o conecta ao revestimento são modelados empregando-se elementos de placa do tipo CQUAD4. A flange
livre do reforçador é modelada utilizando-se elementos de viga do tipo CBAR. Considera-se que o carregamento seja
uniformemente distribuído e aplicado sobre o revestimento.
A ligação entre reforçador e revestimento é do tipo FSW, que é representada por elementos rígidos do tipo RBE2,
no qual apenas deslocamentos translacionais dos nós são rigidamente ligados. É utilizada uma fileira de elementos
rígidos. As condições de contato entre a parte não soldada do revestimento e a flange do reforçador são modeladas
considerando-se contato uniaxial não-linear. Para representar o contato não linear é utilizado o elemento do tipo CGAP
ligando os nós não soldados do revestimento aos nós não soldados do reforçador. O esquema da ligação é mostrado na
Fig. 3.
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Figura 3. Modelo de ligação entre reforçador e revestimento.
4. Aplicações Numéricas
Doze cascas cilíndricas são ensaiadas numericamente para efeito de comparação entre a carga crítica prevista pela
solução analítica proposta e a carga crítica predita pelo método de elementos finitos.
As Tabs. 1-3 apresentam, respectivamente, a geometria dos painéis ensaiados, os materiais do painel e as
dimensões do reforçador (Fig. 4).
Tabela 1. Geometria dos painéis.
Painel (mm) (mm) (mm)
1 400 2000 1 24
2 400 2000 1 12
3 400 1000 1 24
4 400 1000 1 12
5 600 2000 1 24
6 600 2000 1 12
7 600 1000 1 24
8 600 1000 1 12
9 800 2000 1 24
10 800 2000 1 12
11 800 1000 1 24
12 800 1000 1 12
Tabela 2. Materiais do painel.
Elemento Tipo (MPa) ν
Revestimento AL2024-T3 72400 0,33
Reforçador AL7050-T3511 71020 0,33
Tabela 3. Geometria dos reforcadores.
Largura (mm) Espessura (mm)
19,05 1,27
19,05 1,27
5,50 3,00
Figura 4. Dimensões do reforçador.
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Na análise por elementos finitos, utilizam-se modelos gerados pela ferramenta ShellTool v1.0 com ligação FSW e
contato não linear entre reforçador e revestimento. São utilizados 40 elementos ao longo do painel, 16 elementos entre
os reforçadores e 4 elementos na alma e na flange dos reforçadores. Os modelos são analisados empregando-se a
solução de flambagem SOL105 do NASTRAN. Os resultados obtidos pela solução analítica e pelo método dos
elementos finitos são comparados na Tab. 4.
Tabela 4. Resultados obtidos.
Painel λcr Dif. % vs. MEF
Galerkin MEF Galerkin MEF
1 5 5 22,37 23,19 3,50
2 5 5 22,26 22,39 0,56
3 7 7 45,21 49,21 8,13
4 7 7 44,64 45,68 2,28
5* 8 7 22,50 23,62 4,76
6 8 8 22,30 22,50 0,87
7* 10 10 45,36 49,68 8,69
8* 11 11 44,59 46,91 4,95
9* 10 10 22,37 23,76 5,85
10 10 10 22,26 22,42 0,71
11* 14 13 45,21 50,10 9,75
12* 14 14 44,64 47,16 5,34
*Painéis cujo primeiro modo de flambagem é do tipo global. Nesses casos, os resultados apresentados são do primeiro
modo local de flambagem.
5. Conclusão
As cargas críticas previstas pela formulação analítica são inferiores às carga críticas preditas pelo ensaio numérico.
A diferença entre os dois métodos é pequena para fins de anteprojeto. Em alguns casos, o primeiro modo de flambagem
do painel é do tipo global. O número de meias-ondas na direção longitudinal coincide praticamente em ambos os
métodos, exceto nos painéis 5 e 11.
6. Agradecimentos
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo suporte financeiro.
7. Referências
Brush, D. O. and Almroth, B. O., 1975, Buckling of bars, plates and shells., McGraw-Hill, New york, 1975.
Camelo, F. F., 2009, Uma solução analítica para a flambagem local do revestimento de asas, Trabalho de Graduação,
ITA, São José dos Campos.
Lucena Neto, E., 2010, Notas de aula EDI-32 - Análise Estrutural II, ITA, São José dos Campos.
MSC, 2008, Quick Reference Guide, MSC Software Corporation.
Murphy, A., McCune, W., Quinn, D., and Price, M., 2007, "The characterisation of friction stir welding process effects
on stiffened panel buckling performance", Thin-Walled Struct., vol. 45, pp. 339-351.
Ruela, H. H., 2010, Um estudo comparativo entre painéis reforçados planos: ligação rebitada versus FSW, Trabalho de
Graduação, ITA, São José dos Campos.
