Flexão pura: Barras prismáticos · linha neutra é zero. Portanto, a linha neutra passa através da centróide. • Do equilíbrio estático I My c y S M I Mc c I y dA c M dA c

Resistências dos Materiais Prof. José Wallace B. do Nascimento

Universidade Federal de Campina Grande/ Departamento de Engenharia Agrícola 4-1

Capítulo 4

Flexão Pura

Flexão pura: Barras prismáticossubmetido à ação de dois conjugados iguais e de sentido contrário, que atuam em um mesmo plano longitudinal.



Capítulo 4

Outros tipos de carregamentos• Carregamento excêntrico:

carregamento axial o qual não passa através da centróide produz forças internas equivalente a uma força axial e um momento.

• Carregamento transversal: Cargas concentrada e transversal produz forças internas equivalente a força de cisalhamento e momento.

• Princípio de superposição: A tensão normal devido a flexão pura pode ser combinada com a tensão normal devido ao carregamento axial e tensão de cisalhamento, devido ao carregamento de cisalhamento, para encontrar o estado completo de tensão.



Capítulo 4

Flexão pura de barra prismática• Forças internas em uma seção transversal são

equivalente ao conjugado. O momento do conjugado é o momento de flexão.

∫ =−=

∫ ==∫ ==

MdAyM

dAzMdAF

xz

xy

xx

σ

σσ

00

• Da estática, um conjugado M consiste de duas forças iguais e opostas.

• A soma dos componentes de forças sobre um plano é zero.

• A soma das componentes e dos momentos dos esforços elementares deve ser igual à soma das componentes e dos momentos do conjugado M.

• O momento é a soma do conjugado sobre um eixo perpendicular e zero sobre o eixo que estar o plano.



Capítulo 4

Deformação na flexão puraVigas com um plano de simetria em flexão pura:

• Membros com linhas de simetria

• Flexão uniformemente para a forma de um arco circular

• O plano da seção transversal passa através do centro do arco e no plano

• O comprimento do topo decresce e o da base aumenta

• A superfície neutra existe e é paralela a superfície superior e inferior e, e seu comprimento não se altera

• As tensões e deformações são negativas (na compressão) acima da linha neutra e positiva a baixo (tração)



Capítulo 4

( )( )

mx

mm

x

cy

cρc

yyL

yyLLyL

εε

ερε

ρρθθδε

θρθθρδθρ

−=

==

−=−==

−=−−=−=−=′

or

linearly) ries(strain va

´

Considerar um segmento de viga de comprimento L

Após a deformação, o comprimento da linha neutra permanece L. As outras seções,



Capítulo 4

linearly) varies(stressm

mxx

cy

EcyE

σ

εεσ

−=

−==

∫

∫∫

−=

−===

dAyc

dAcydAF

m

mxx

σ

σσ

0

0

• Para material elástico

• Equilíbrio estático

• Primeiro, o momento em relação a linha neutra é zero. Portanto, a linha neutra passa através da centróide.

• Do equilíbrio estático

IMy

cy

SM

IMc

cIdAy

cM

dAcyydAyM

x

mx

m

mm

mx

−=

−=

==

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=−=

∫

∫∫

σ

σσ

σ

σσ

σσ

ngSubstituti

2



Capítulo 4

Propriedades das seções de vigas• Tensão normal máxima devido ao carregamento,

resistente módulo

seção da inércia de momento

==

=

==

cIW

IWM

IMc

mσ

Uma viga com momerto de inércia da seçãomaior terá menor tensão

• Considerar uma viga com seção retangular,

Ahbhhbh

cIW 6

1361

3121

2====

Entre duas vigas com mesma área de seçãotransversal, a viga com maior profundidadeterá maior resistência.

• Vigas metálicas são projetadas com grandemódulo resistente.



Capítulo 4



Capítulo 4

Deformação em uma seção transversal

EIM

IMc

EcEccmm

=

===11 σε

ρ

ρννεε

ρννεε yy

xzxy =−==−=

inelástica curvatura 1==

′ ρν

ρ

• Deformação devido ao momento M é quantificado pela a curva da superfície neutra

• Através da seção transversal que permanecem planas quando submetida ao momento fletor, as deformações no plano não são nulos

• A expansão acima da superfície neutra e contração abaixo causa no plano de curvatura



Capítulo 4

Problema resolvido 4.2

Uma peça de máquina de ferro fundido fica submetida à ação do conjugado M de 3 kN.m. Sabendo-se que E=165GPa e desprezando o efeito da curvatura das arestas do perfil, determinar: a) as máximas tensões de tração e compressão no perfil; b) o raio de curvatura da peça fletida.

( )∑ +=∑∑= ′

2dAIIAAyY x

SOLUÇÃO:

• Baseado na seção transversal, ,calcula-se a localização da centróide e o momento de inércia

IMc

m =σ

• Aplica-se a fórmula de flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão,

EIM

=ρ1

• Cálculo da curvatura



Capítulo 4

mm 383000

10114 3=

×=

∑∑=

AAyY

∑ ×==∑

×=××=×

3

3

3

32

101143000104220120030402109050180090201

mm ,mm ,mm Area,

AyA

Ayy

( ) ( )( ) ( )

49-3

2312123

121

231212

m10868mm10868

18120040301218002090

×=×=

×+×+×+×=

∑ +=∑ +=′

I

dAbhdAIIx

SOLUÇÃO:

Com base na seção transversal calcula-se ao centróide e momento de inércia



Capítulo 4

49

49

mm10868m038.0mkN 3

mm10868m022.0mkN 3

−

−

×

×⋅−=−=

×

×⋅==

=

IcM

IcM

IMc

BB

AA

m

σ

σ

σ

MPa0.76+=Aσ

MPa3.131−=Bσ

• Aplica-se a fórmula de flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão,

• Cálculo de curvatura

( )( )49- m10868GPa 165mkN 3

1

×

⋅=

=EIM

ρ

m 7.47

m1095.201 1-3

=

×= −

ρρ



Capítulo 4

Flexão de barras constituídas por vários materiais

• A tensão normal varia linermente

ρε y

x −=

• Sabe-se que a variação da tensão nornalé linear.

ρεσ

ρεσ yEEyEE xx

222

111 −==−==

• Forças elementares na seção são:

dAyEdAdFdAyEdAdFρ

σρ

σ 222

111 −==−==

( ) ( )1

2112 E

EndAnyEdAynEdF =−=−=ρρ

• Define um transformada da seção

xx

x

nI

My

σσσσ

σ

==

−=

21

• Considerando uma viga formada por dois materiais E1 e E2 (compósito)

O eixo neutro não passa através da centróide da seção da seção do centróide



Capítulo 4

Exemplo 4.2

Bar is made from bonded pieces of steel (Es = 29x106 psi) and brass (Eb = 15x106 psi). Determine the maximum stress in the steel and brass when a moment of 40 kip*in is applied.

SOLUTION:

• Transformar a barra numa seçãoequivalente feita de latão

• Avaliar as propriedades da seçãotransversal da seção transformada

• Calcular a tensão máxima da seçãotransformada. Esta é a máxima tensão dapeça de latão da barra.

• Determinar a máxima tensão na porçãode aço da barra pela multiplicação datensão máxima da seção trransformadapelo o raio e o módulo de elasticidade.



Capítulo 4

• Avaliar as propriedade da seção transformada( )( )

4

31213

121

in063.5

in 3in. 25.2

=

== hbI T

SOLUTION:• Transformar a barra em uma seção equivalente

feita inteiramente de lãtão.

in 25.2in 4.0in 75.0933.1in 4.0

933.1psi1015psi1029

6

6

=+×+=

=×

×==

T

b

s

b

EEn

• Calcular as tensões máximas( )( ) ksi 85.11

in5.063in 5.1inkip 40

4 =⋅

==I

Mcmσ

( )( ) ksi 85.11933.1max

max×==

=

ms

mb

nσσ

σσ ( )( ) ksi 22.9

ksi 85.11

max

max=

=

s

b

σ

σ



Capítulo 4

Vigas de concreto armado• Concrete beams subjected to bending moments are

reinforced by steel rods.

• In the transformed section, the cross sectional area of the steel, As, is replaced by the equivalent areanAs where n = Es/Ec.

• To determine the location of the neutral axis,( ) ( )

0

022

21 =−+

=−−

dAnxAnxb

xdAnxbx

ss

s

• The normal stress in the concrete and steel

xsxc

x

nI

My

σσσσ

σ

==

−=

• The steel rods carry the entire tensile load below the neutral surface. The upper part of the concrete beam carries the compressive load.



Capítulo 4



Capítulo 4



Capítulo 4



Capítulo 4



Capítulo 4



Capítulo 4



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Capítulo 4



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Capítulo 4

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