Mtodo de flexibilidadEningeniera estructural, elMtodo de flexibilidades elclsicomtodo consistente en deformacin para calcular fuerzas en miembros y desplazamientos en sistemas estructurales. Su versin moderna formulada en trminos de la matriz de flexibilidad de los miembros tambin tiene el nombre deMtodo de Matriz de Fuerzadebido al uso de las fuerzas en los miembros como las primariamente conocidas.ndice[ocultar] 1Flexibilidad de Miembros 2Ecuaciones de Equilibrio Nodal 3El Sistema Primario 4Ecuacin de Compatibilidad y Solucin 5Ventajas y Desventajas 6Vase tambin 7Enlaces externosFlexibilidad de Miembros[editar]La flexibilidad es el inverso de la rigidez. Por ejemplo, considera un resorte que tieneQyqcomo, respectivamente, su fuerza y deformacin: La relacin de rigidez del resorte esQ = k qdondekes la rigidez del resorte. Su relacin de flexibilidad esq = f Q, dondefes la flexibilidad del resorte. Por lo tanto,f= 1/k.la relacin de flexibilidad de un miembro tpico tiene la siguiente forma general:

Dondem= nmero de miembrosm.= vector de las caractersticas de deformacin del miembro.= matriz de flexibilidad del miembro la cual caracteriza la susceptibilidad del miembro a deformarse bajo fuerzas.= vector de fuerzas caractersticas independientes del miembro, las cuales son fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes dan subida a todas las fuerzas en los extremos de los miembros mediante equilibrio de miembro.= vector de deformaciones caractersticas de los miembros causados por efectos externos (tales como fuerzas conocidas y cambios de temperaturas)aplicadas a los miembros aislados, desconectados (i.e. con).Para un sistema compuesto de muchos miembros interconectados en puntos llamados nodos, las relaciones de flexibilidad de los miembros puede ser puesta junto dentro de una sola ecuacin de matriz, soltando el superndice m:

dondeMes el nmero total de caractersticas de deformacin de miembros o fuerzas en el sistema.A diferencia de elMtodo matricial de la rigidez, donde las relaciones de rigidez de los miembros pueden ser fcilmente integradas mediante el equilibrio nodal y condiciones de compatibilidad, la presente forma de flexibilidad de la ecuacin (2) posee serias dificultades. Con fuerzas de miembroscomo las primeras desconocidas, el nmero de ecuaciones de equilibrio nodal es insuficiente para la solucin, en general--a menos que el sistema esestticamente indeterminado.Ecuaciones de Equilibrio Nodal[editar]Para resolver esta dificultad, primero hacemos uso de las ecuaciones de equilibrio nodal en disposicin de reducir el nmero de fuerzas desconocidas en miembros independientes. Las ecuaciones de equilibrio nodal para el sistema tienen la forma:

donde: Vector de fuerzas nodales a todos los NGrados de Libertadde el sistema.: La matriz resultante de equilibrio nodal: El vector de fuerzas derivado desde cargas en los miembros.En el caso de los sistemas determinados, la matrizbes cuadrada y la solucin paraQpuede ser encontrada inmediatamente (3) siempre que el sistema sea estable.El Sistema Primario[editar]Para sistemasEstticamente Indeterminados,M > N, y por lo tanto, podemos aumentar (3) conI = M-Necuaciones de la forma:

El vectorXes el tambin llamado vectordeRedundanciafuerzas yIes el grado de indeterminancia esttica de el sistema. usualmente elegimosj,k, ... ,, andsuch thates una reaccin en el soporte o una fuerza interna en un extremo del miembro. con ajustables elecciones de fuerzas redundantes, el sistema de ecuaciones (3) aumenta por (4) puede ser ahora resuelto para obtener:

Sustituyendo en (2) da:

Las ecuaciones (5) y (6) son la solucin para elsistema primarioel cual es el sistema original que ha sido hecho estticamente determinado por cortes que exponen las fuerzas redundantes. La ecuacin (5) efectivamente reduce el conjunto de fuerzas desconocidas a.Ecuacin de Compatibilidad y Solucin[editar]Despus, necesitamos crearecuaciones de compatibilidad en disposicin de encontrar. Las ecuaciones de compatibilidad devuelven la continuidad requerida a los cortes de seccin fijando los desplazamientos relativosa los redundantesXa cero. que es, usando elMtodo de Unidad de Fuerza Falsa:

odonde

Ecuacin (7b) puede ser resuelta paraX, y las fuerzas en miembros son despus encontradas desde (5) mientras los desplazamientos nodales pueden ser encontrados por

dondees lamatriz de flexibilidad del sistema.

El movimiento de los soportes tomando lugar a las redundantes puede ser incluido en el lado derecho de la ecuacin (7), mientras el movimiento de soportes a otros lugares debe ser incluido enytambin.Ventajas y Desventajas[editar]Mientras la eleccin de redundantes en (4) aparenta ser arbitraria y dificultosa para clculos automticos, esta objecin se puede superar procediendo desde (3) directamente a (5) usando un proceso modificado deEliminacinde Gauss-Jordan. Este es un robusto procedimiento que automticamente selecciona un buen conjunto de fuerzas redundantes para asegurar la estabilidad numrica.Es aparente de el proceso arriba que el mtodo de la matriz de rigidez es fcil de comprender y para implementar para clculos automticos. Es tambin fcil de extender para aplicaciones avanzadas tales como anlisis no lineal, estabilidad, vibraciones, etc. Por estas razones, el mtodo de la matriz de rigidez es el mtodo de eleccin para uso en paquetes de software de anlisis estructural de propsito general. Por otro lado, para sistemas lineales con bajo grado de indeterminacin esttica, el mtodo de flexibilidad tiene la ventaja de ser computacionalmente menos intensivo. Esta ventaja, sin embargo, es un punto discutible como las computadoras personales son ampliamente disponibles y ms poderosas. El principal factor redentor en aprender este mtodo hoy en da es su valor educacional en impartir los conceptos de equilibrio y compatibilidad en adicin a su valor histrico. En contraste, el procedo del mtodo de rigidez directa es tan mecnico que se arriesga a ser usado sin mucho entendimiento de el comportamiento estructural.Los argumentos arriba fueron vlidos hasta los inicios de 1990. Sin embargo, avances recientes en clculos numricos han mostrado una vuelta atrs de el mtodo de fuerza, especialmente en el caso de sistemas no lineales. Nuevos armazones han sido desarrollados que permiten formulaciones "exactas" respectivamente del tipo o naturaleza de la nolinealidad del sistema. Las principales ventajas del mtodo de flexibilidad es que el error resultante es independiente de la discretizacin del modelo y que este es en realidad un mtodo muy rpido. Por el momento, la solucin elstica-plstica de una viga continua usando el mtodo de fuerza requiere solo 4 elementos de viga mientras que un comercial "basado en rigidez"FEMrequiere 500 elementos en disposicin de dar resultados con la misma precisin. Para concluir, uno puede decir que en el caso donde la solucin del problema requiere evaluaciones recursivas de el campo de fuerza como en le caso de optimizacin estructural o identificacin de sistemas, la eficiencia del mtodo de flexibilidad es indiscutible.