Flexion Transversale Cours 5

Flexion transversale des ouvrages poutresPoutres sous chausses et poutres latrales

ENPC MSGCE Projet douvrage dart 2015Mathieu MULS Responsable dtudes SYSTRA

Contenu du cours

1. IntroductionObjectifs du cours Ponts poutre: rles des lments transversauxMthodes de calcul

2. Mthode de CourbonHypothses de base Raction des poutres sur une entretoise charge Flexion des poutres principales Efforts tranchants dans les poutres principales Calcul des entretoises Exemple

3. Mthode de Guyon-Massonnet Rappels But de la mthode Calcul du moment longitudinal Calcul du moment transversal Calcul du moment de torsion Exemple

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Documents de rfrence: Projet et construction de Ponts J.A.

Calgaro, M. Virlogeux Annales de lI.T.B.T.P. - article C. Massonnet Conception et calcul des lments

transversaux dans les ponts-routes mixtes J.C. Focriat, J. Roche

Flexion transversale des ponts poutres

INTRODUCTION

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Introduction: objectifs du cours

Position du problme: Trave indpendante dont le tablier suppos droit est constitude poutres solidarises par des entretoises qui leur sont perpendiculaires.Objectifs: Calcul des efforts dans les poutres et entretoises lorsque le chargement estponctuel et excentr.

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Transmission du poids de la dalle et des charges verticales aux poutres

Entretoisement: conservation de lalignement des poutres,

conservation des angles des sections

Contreventement: report des charges transversales sur les appareils dappui

Stabilisation des poutres contre le dversement

Transmission des ractions de vrinage

Introduction: Rle des lments transversaux

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Introduction : diffrentes mthodes de calcul

Nombreuses mthodes de calcul

Section dformable vs. Section indformable

Poutres sans entretoise -> section dformable(fonctionnement diffrent des mthodes classiques de RDM pour les poutres)

Entretoises -> rigidit -> section indformable

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Section dformable indformable

Mthode deCourbon NON OUI

Mthode deGuyon-Massonnet OUI OUI


METHODE DE COURBON

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Mthode de Courbon: hypothses de base

Poutres : Parallles Solidarises par des entretoises perpendiculaires aux poutres Porte des poutres > 2 * longueur dune entretoise Inertie des poutres suivant la mme loi de variation en fonction de labscisse ( un facteur de

proportionnalit prs) Rsistance la torsion suppose ngligeable

Entretoises : Inertie comparable celle des poutres Supposes infiniment rigides

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Etude des tabliers section droite indformableMthode des entretoises rigides = Mthode de Courbon

Chargement sur entretoise Raction de poutres

Charge sur une entretoise infiniment rigide

Points homologues des poutres situs sur lentretoise sont aligns Lois dinertie des poutres = proportionnelles

-> pour toute section, les points homologues des poutres sont aligns(indpendamment des autres entretoises)

Consquences : Dformation transversale = linaire Ractions = proportionnelles aux flches (fonction de linertie de chaque poutre)

Raction Ri de la poutre i sur lentretoise est de la forme :

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Calcul des ractions

Equilibre de lentretoise :

Choix du repre (position du point x=0) :

Calcul des ractions :

Cas particulier : poutres de mme inertie et de mme espacement :

Poutre 1 = poutre de rive la plus proche du point dapplication de la charge P Poutre n = poutre de rive la plus loigne du point dapplication de la charge P

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Flexion des poutres principales

Charge dispose au droit de lentretoise :Moments flchissant dans les poutres = proportionnels aux ractions Ri

Charge dispose hors de lentretoise :Si les entretoises sont rapproches, on admet une erreur minime sur les moments.On suppose les moments flchissant dans les poutres proportionnels aux ractions Ri(Comme si le tablier tait dot dune infinit dentretoises rigides rapproches).

En pratique:On dtermine le moment flchissant total M(x) en considrant le tablier comme unepoutre sans dimension transversale, on rpartit ce moments en moments Mi(x) dansles diffrents poutres selon :

Avec n poutres identiques:

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Effort tranchant dans les poutres principales

Prs des appuis :Flches des poutres deviennent petites par rapport aux flches de courbure desentretoises.

-> effet rpartiteur des entretoises disparait

2 zones distinctes sont considres : Zone A : entre les appuis et la 1re entretoise Zone B : entre les 1res entretoises

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Calcul en zone B :On admet la mme rpartition que pour le moment flchissant :

Si poutres identiques :

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Calcul en zone A :Interpolation linaire selon labscisse relative /d entre :

Vi au droit de lappui : rpartition nulle = calcul comme pour poutres indpendantes Vi au droit de la 1re entretoise : rpartition complte = calcul comme en zone B

Calcul de Vi: on suppose les dalles articules sur les poutres et dcoupes en bandestransversales de faible largeur :

o est labscisse du pointdapplication de la charge

Effort tranchant dans la poutre i:

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Calcul des entretoises

Charge dispose au droit de lentretoise :Calcul des efforts dans lentretoise partir des ractions des poutres sur lesentretoises

Charge dispose entre 2 entretoises Ej et Ej+1 :On admet que son action sur lentretoise Ej est quivalente celle dune chargeconcentre P

de mme excentricit que P applique sur lentretoise Ej dintensit : P = P (l b)/l

O : l = distance entre entretoises Ej et Ej+1b = distance entre le point dapplication de P et lentretoises Ej

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Modalits dapplication :

Isoler les poutres du tablier en affectant chacune une largeur du hourdis participantOn se contente dattribuer aux poutres intermdiaires des largeurs de hourdis quivalentaux entraxes des poutres.

Attention : Largeur participante des tables de compression limite dans les codes. Ne pas attribuer la mme zone de hourdis 2 poutres diffrentes Largeur participante limite 1/10 de la porte de la trave ( partir du nu des poutres dans un

tablier bton, partir de laxe des poutres dans le cas du mtal) Largueur participante rduite au voisinage des appuis et aux extrmits

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Commentaires :

Bonne corrlation des rsultats entre : Mthode de Courbon Thorie de torsion gne ou non uniforme (avec inertie de torsion propre des

lments nglige), qui considre galement une section transversale indformable-> Bonne estimation des effets dexcentrement des charges par la mthode deCourbon

Mthode de Courbon bien adapte pour les tabliers en bton arm ou prcontraintPour ossatures mixtes ou mtalliques : effets de gauchissement sur les semellesinfrieures non ngligeables (non pris en compte par la mthode de Courbon)-> Thorie de torsion non uniforme prfrable

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METHODE DE GUYON-MASSONNET

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Mthode de Guyon-Massonnet: Notations

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1 trave indpendante de porte L et de largeur 2b Lossature est constitue par une poutraison croise de poutres et dentretoises. Poutres de section constante, identiques et quidistantes de a Entretoises de section constante, identiques et quidistantes de

Modules dlasticit du bton: Longitudinal : E Transversal : G De Poisson :

Paramtres: De flexion:

De torsion:

La flche verticale du point (x,y) est note : w(x,y)

q = bL

rPrE

4

a = gP +gE2 rPrE

Mthode de Guyon-Massonnet: Principes et hypothses de base

Hypothses: La dalle est droite, possde deux bords libres et deux bords simplement appuys Coefficient de poisson = 0 (bton, =0,15) On admet que leffet de la rpartition des charges transversales est la mme que si les charges se rduisaient

leur premier terme de leur dveloppement en sries de Fourier suivant laxe de la dalle.

Principe: On remplace la structure relle discontinue par une structure fictive continue ayant pour rigidit en flexion et

torsion dans le sens longitudinal et transversal, les valeurs moyennes quont ces rigidits dans la structurerelle.

On considre donc une dalle orthotrope qui permet de rsoudre lquation diffrentielle du 4me ordreobtenue en crivant lquilibre dun petit lment (dx, dy) autour dun nud soumis la charge P=pdxdy

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rP4wx4

+ (gP +gE )4w

x2y2+ rE

4wy4

= p(x, y)

Mthode de Guyon-Massonnet : Rsolution de lquation diffrentielle

La solution de lquation se rsout en dveloppant la charge applique en srie deFourier, dans le sens Ox.

Exemples de dveloppement en srie de Fourier: Charge P uniforme

Charge P constante entre les abscisses d et (d+c)

Charge P concentre labscisse d

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p(x) = 4pp

12q+11

sin(2q+1)p xL

p(x) = 4pp

1n1

sin np (d + c / 2L )sin np (c

2L)sinnp ( x

L)

p(x) = 2pL 1

sin np (dL )sinnp (xL

)

Mthode de Guyon-Massonnet : Flexion longitudinale

Pour rduire lerreur due lassimilation de P une charge rpartie sinusodale, onopre en 2 temps:

Calcul du moment longitudinal moyen Mxm que dvelopperait la charge P si elletait uniformment rpartie dans le sens transversal.

Pour tenir compte de lexcentricit relle e de la charge P on multiplie le rsultat parle coefficient de rpartition K(y).

Influence de KLes tables de Guyon-Massonnet donnent les valeurs de K(y,e,) pour =0 et 1. On interpole pour des valeurs intermdiaires : K()=K0+(K1-K0) 0,5

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M x(x, y) = M xmi (x)Ki (ei, y)i

Mthode de Guyon-Massonnet: Flexion transversale

Le moment transversal par unit de largeur engendrpar une charge sinusodale vaut:

Les tables de Massonnet donnent la valeurs de pour =0 et 1. Pour une valeur intermdiaire, prendre

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M y(x, y) = m1(q,e1, y)bp1 sin(p xL

)

P = p1 sin(p xL

)

m1qa = m1q

a=0 + a .(m1qa=1 - m1q

a=0 )

Mthode de Guyon-Massonnet : Torsion

Le moment de torsion par unit de largeur, vaut:

Les tables de Guyon-Massonnet donnent les valeurs de (,y,e) pour =1

Pour une autre valeur de , prendre

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LxpbMyx

LxpbMxy

ep

e

ep

p

cos..).(

cos..).(

t (a) = t1 a

Mthode de Guyon-Massonnet : Divers

Dans le cas de poutres de section variable ou continue on peut remplacer la traveconsidre par une trave indpendante fictive de mme porte L, et ayant pourrigidits: De flexion: P telle quelle prenne la mme flche que la trave relle sous laction

dune charge concentre mi-porte. De torsion: P telle que sa section mdiane prenne la mme rotation sous laction

dun couple de torsion mi-porte.

Lhypothse = 0 pour laquelle les tables ont t construites est admissible dans le cas o le tablier nest pas contraint transversalement (libre de se dformertransversalement). Dans le cas dun tablier doublement prcontraint, on prendra = 0,15.Linfluence de est ngligeable sur K mais sensible sur . Rowe (concrete bridge design C. Books Londres 1962) a dress des tables de 1 pour = 0,15

On pourra admettre : Myrel = (My)=0 +(Mx)=0

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(ma )n=0.15 = (m1)0.15 + a . (m1)0.15 - (m1)0[ ]