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FLEXO TORÇÃO:
Dagoberto Dario MoriJorge Munaiar Neto
BARRAS DE SEÇÃO DELGADA ABERTA1ª Edição
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS
FLEXO-TORÇÃO Barras com seção aberta e paredes delgadas
Teoria e Exemplos
yz
s = s1
s = s2
x
d1
d2
d3
linha doesqueleto
t2
t3
t1
s
DAGOBERTO DARIO MORI JORGE MUNAIAR NETO
1a Edição – Novembro de 2009
Copyright 2009 dos autores/EESC-USP, São Carlos, SP.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida, guardada pelo sistema
“retrieval” ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, seja
este eletrônico, mecânico, de fotocópia, de gravação ou outros sem prévia
autorização, por escrito, da EESC.
1a edição.
Foto da capa: Maximiliano Malite
Suporte técnico: Nadir Minatel (secretária do SET-EESC/USP)
Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento da Informação
do Serviço de biblioteca – EESC – USP
APRESENTAÇÃO
O presente texto é fruto da experiência dos autores na vida acadêmica e de
materiais coletados no decorrer dos anos, e tem como objetivo principal
apresentar e descrever a teoria da flexo torção aplicada às barras com seção
transversal aberta e paredes delgadas, propiciando, principalmente aos alunos de
pós graduação, complementar seus conhecimentos em resistência dos materiais,
disponibilizando uma importante ferramenta para as disciplinas de instabilidade
das estruturas metálicas e similares.
A tendência em reduzir o peso das estruturas tem conduzido a barras com
paredes cada vez mais delgadas, tornando os elementos estruturais susceptíveis
aos fenômenos de instabilidade e torção. Essa tendência tem sido observada não
somente no campo da construção civil, mas também na construção de aeronaves,
navios, entre outros..
Dentre as aplicações da teoria de flexo torção se destaca, em particular, a
construção metálica, cujo desenvolvimento e disponibilidade de aços com
elevada resistência mecânica e à corrosão, bem como de aços revestidos, tem
conduzido a perfis com paredes cada vez mais delgadas e, consequentemente,
propensos aos efeitos de torção, à instabilidade global e às instabilidades
localizadas.
Esses fenômenos têm sido alvo de inúmeras pesquisas e atualmente
enfatizadas pelas normas técnicas de dimensionamento de estruturas metálicas.
O conteúdo desse material possibilitará ao aluno adquirir os conhecimentos
básicos sobre a teoria de flexo torção, permitindo-lhe avançar seus estudos na
área de estruturas.
Deve-se ressaltar que a elaboração do presente material teve como ponto
de partida a apostila intitulada “Flexo torção – barras de com seção aberta e
paredes delgadas”, de autoria de Dagoberto Dario Mori, atualmente professor
do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC/USP, a qual foi de
fundamental importância para a transmissão das informações de interesse do
curso de engenharia civil, bem como para a elaboração do presente livro.
Pela colaboração na elaboração deste livro, merecem agradecimentos por
parte dos autores deste trabalho alguns docentes e funcionários da EESC/USP,
os quais, direta ou indiretamente, contribuíram na forma de texto ou de figuras
(fotos) para o enriquecimento das informações e ilustrações propostas neste
material. Entre eles, são mencionados: Sergio Persival Baroncini Proença,
(professor do SET), Maximiliano Malite (professor do SET), Maria Nadir
Minatel (secretária do SET) e Francisco Carlos Guete Brito (desenhista do
SET).
Críticas e contribuições serão bem recebidas, pois os autores entendem
não ser esta uma publicação conclusiva. Os autores colocam-se à disposição
para futuras sugestões ou eventuais críticas, as quais resultem em contribuições
que melhorem a transmissão deste assunto aos alunos de graduação.
DAGOBERTO DARIO MORI
JORGE MUNAIAR NETO
São Carlos - SP, Novembro de 2009.
SUMÁRIO
z
y
CG
yzds
s
s = s2
t
D
V
V
1. CENTRO DE TORÇÃO ...................................... 01
1.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 01
1.2 TEORIA DA FLEXO TORÇÃO – BREVE ABORDAGEM ............................................... 02
1.2.1 Generalidades ................................................................................................................. 02
1.2.2 Hipóteses básicas adotadas ............................................................................................ 04
1.3 CENTRO DE TORÇÃO DE UMA SEÇÃO TRANSVERSAL ............................................ 04
1.3.1 Caso 1 - Centro de torção para seções com dois eixos de simetria ................................ 06
1.3.2 Caso 2 - Centro de torção para seções delgadas com um eixo de simetria .................... 07
1.3.3 Caso 3 - Centro de torção (D) para seções transversais assimétricas ............................ 10
B
A
sO
B"
A"
MD
N N
/2p
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA ÁREA
SETORIAL ........................................................................................................ 21
2.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 21
2.2 OBTENÇÃO DA ÁREA SETORIAL POR PROCEDIMENTO GEOMÉTRICO
COM POLO EM D ............................................................................................................ 22
2.3 CONVENÇÕES DE SINAIS .............................................................................................. 23
2.4 OBTENÇÃO DA ÁREA SETORIAL POR PROCEDIMENTO GEOMÉTRICO
COM PÓLO PROVISÓRIO (em P) .................................................................................. 23
2.5 CENTRO DE TORÇÃO (D) – Exemplos resolvidos ......................................................... 28
2.6 CENTRO DE TORÇÃO (D) – Exemplos propostos .......................................................... 47
Mt
12
Mt
3. TORÇÃO LIVRE OU DE SAINT-VENANT ......... 55
3.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 55
3.2 DESLOCAMENTOS CONSIDERADOS ........................................................................... 58
3.3 CONSIDERAÇÕES DE INTERESSE E CONVENÇÕES ................................................. 61
3.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – Determinação do Empenamento .................................... 62
M t
M t
m
+dM t
m = dM tdx
4. TORÇÃO NÃO-UNIFORME OU FLEXO
TORÇÃO ........................................................................................................... 73
4.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 73
4.2 DEFORMAÇÕES E TENSÃO NORMAL NA FLEXO TORÇÃO ..................................... 75
4.3 CISALHAMENTO E MOMENTO DE TORÇÃO .............................................................. 77
4.3.1 Tensões de cisalhamento ................................................................................................ 77
4.3.2 Momento de torção ........................................................................................................ 80
4.4 CONSIDERAÇÃO DA FLEXO TORÇÃO NO MOMENTO TOTAL ................................ 82
4.5 CONCEITO DO BIMOMENTO – Determinação de B .................................................... 84
4.5.1 Introdução ...................................................................................................................... 84
4.5.2 Contribuição nas tensões normais .................................................................................. 87
4.5.3 Influência nas tensões de cisalhamento da flexo torção ................................................ 87
4.6 FLEXO TORÇÃO - SOLUÇÃO POR EQUAÇÃO DIFERENCIAL .................................. 89
4.6.1 Obtenção da equação diferencial ................................................................................... 89
4.6.2 Solução da equação diferencial ...................................................................................... 90
4.7 CONVENÇÕES DE SINAIS .............................................................................................. 93
5. ANALOGIA E CONDIÇÕES DE CONTORNO .. 95
5.1 ANALOGIA ENTRE FLEXÃO E FLEXO TORÇÃO ......................................................... 95
5.2 CONSIDERAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO ................................................ 96
5.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................... 99
5.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................... 156
ANEXO I ......................................................................................................... 169
I.1 ANALOGIA DE MEMBRANA APLICADA ÀS BARRAS DELGADAS DE PAREDES
ABERTAS .............................................................................................................................. 169
ANEXO II ....................................................................................................... 175
II.1 FLEXO TORÇÃO VIA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ................................................ 175
II.2 MOMENTO FLETOR PROVOCANDO BIMOMENTO ................................................ 177
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................ 179
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
1
1. CENTRO DE TORÇÃO
z
y
CG
yzds
s
s = s2
t
D
V
V
1.1 INTRODUÇÃO
A resistência dos materiais, a partir de 1940, recebeu um considerável avanço com a
teoria proposta por Vasilii Zakharovich Vlasov, apresentado ao leitor na figura 1.1, para
barras com paredes abertas e seção delgada. A partir da teoria proposta por Vlasov, os
elementos estruturais lineares, em que uma das dimensões é predominante sobre as outras
duas, passaram a apresentar um novo grupo formado pelas barras denominadas
unidimensionais de seção transversal com paredes delgadas.
Figura 1.1 – Foto de Vasilii Zakharovich Vlasov (1906-1958) Fonte: VLASOV (1961)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
2
Segundo a última referência, Vlasov nasceu em 24 de fevereiro de 1906, na Vila de
Kareevo, na antiga União Soviética. Ingressou na Faculdade de Engenharia Civil de Moscou
e, em 1930, graduou-se como Engenheiro Civil. Em 1943 foi eleito membro da Sociedade
Matemática de Moscou e, em 1953, foi eleito membro da Academia de Ciências da União
Soviética.
Dedicou boa parte de sua vida científica ao desenvolvimento da Teoria de Elementos
Estruturais Constituídos de Paredes Delgadas, visto que esses elementos são de interesse
direto em diferentes tipos de aplicações, tais como sistemas de cobertura (telhas de aço, por
exemplo), fuselagens de aeronaves (aviões) ou de submarinos, foguetes, entre outros.
Para fins de aplicação, a utilização de elemento estrutural com parede delgada é feita
com vistas a reduzir o peso próprio das estruturas, permitindo, consequentemente, a
consideração do uso de barras com paredes de espessuras reduzidas (barras com seção
delgada). Destaca-se ainda a teoria das barras de seção delgada aplicada correntemente nas
estruturas metálicas, no cálculo de elementos pré-fabricados de argamassa armada e no
cálculo de núcleos de edifícios elevados.
1.2 TEORIA DA FLEXO TORÇÃO – Breve abordagem
1.2.1 Generalidades
As barras que mais necessitam do estudo da flexo torção, tendo em vista o fenômeno
da instabilidade (não é aqui objeto de estudo), são aquelas que possuem seção delgada aberta.
Nas barras de seção delgada fechada (ou vazada) os fenômenos de instabilidade são muitos
menos pronunciados.
Para os estudos aqui de interesse, valem as seguintes definições:
a) Uma barra é considerada de seção delgada quando suas dimensões relativas satisfazem as
seguintes ordens de grandeza:
1,0d
t 1,0
d
Nas últimas relações, t é a espessura da parede, d representa uma dada dimensão de
interesse da seção, enquanto representa o comprimento da barras, conforme figura 1.2.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
3
yz
s = s1
s = s2
x
d1
d2
d3
linha doesqueleto
t2
t3
t1
s
Seção delgada abertacom trecho curvo
Figura 1.2 - Seção delgada aberta: dimensões e sistema de coordenadas.
b) A seção delgada pode ser constituída por paredes retas ou curvas e representada por uma
linha imaginária denominada “linha do esqueleto” (linha que divide a espessura t ao meio),
conforme esquematiza a figura 1.2;
c) O sistema de referência “xyz”, associado às seções aqui de interesse (figura 1.2), tem sua
origem nos centros de gravidade das mesmas e são definidos por:
x: coincidente com o eixo longitudinal da barra
y e z: são os eixos principais de inércia e contidos no plano da seção transversal
Para fins de determinação das equações de interesse, a serem apresentadas ao longo do
presente capítulo, o sistema “xyz” deverá ser sempre estabelecido (ou representado) na seção
transversal, de modo que para um observador com visão direcionada no sentido positivo do
eixo x, os eixos y e z deverão pertencer a um mesmo plano (perpendicular ao eixo x) e estar
defasados entre si por uma rotação de 90o no sentido horário.
É considerada ainda uma ordenada “s” que percorre a linha do esqueleto em sentido
arbitrário. A origem da ordenada s (definida por “Os”) e o seu sentido serão posteriormente
determinados.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
4
d) A espessura t da seção transversal pode ser admitida como variável ao longo da ordenada s,
ou seja, t = t(s), em que um elemento de área dessa mesma seção é definido por:
ds.tdA (1.1)
e) A seção transversal é admitida constante ao longo da coordenada x.
1.2.2 Hipóteses básicas adotadas
Para a determinação das equações que permitirão obter a posição do Centro de Torção
em seções transversais abertas e delgadas, objeto de interesse do presente capítulo, são
admitidas como válidas as seguintes hipóteses simplificadoras:
a) Após a deformação da barra, a seção transversal se projeta indeformada no seu plano
(zy), comportando-se como se fosse rija nesse plano;
b) A superfície média da barra (perpendicular à seção transversal e que passa pela linha do
esqueleto) não sofre distorções, ou seja, = 0;
Portanto, em resposta às hipóteses adotadas, a linha do esqueleto mantém sua forma
inicial inalterada quando de sua projeção sobre o plano da seção (plano zy). Nesse caso, são
admitidas translações e rotações dos pontos pertencentes à seção transversal, com os
deslocamentos relativos desses mesmos pontos ocorrendo apenas na direção longitudinal da
peça (eixo x).
1.3 CENTRO DE TORÇÃO (D) DE UMA SEÇÃO TRANSVERSAL
Toma-se como ponto de partida uma viga carregada com forças aplicadas em posições
arbitrárias ao longo do seu comprimento (eixo x) e contidas em um único plano definido
como plano das forças. Inicialmente, admitindo que não tenha ocorrido a preocupação com a
posição do plano das forças em relação aos pontos da seção, se considera que essa mesma
viga possa estar solicitada, simultaneamente, por esforços de flexão e de torção.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
5
Nessa situação mais geral, as tensões de cisalhamento () geradas na seção transversal
ocorrem com vistas a garantir o estabelecimento do equilíbrio entre forças externas aplicadas
e esforços internos, e produzem como resultantes, na forma de equivalência estática, força
cortante (V) e momento de torção (T), conforme equações 1.2.
TdA b e VdA AA
(1.2a e 1.2b)
No entanto, os estudos iniciais para barras apenas fletidas submetidas a carregamentos
transversais ao próprio eixo, tomam como ponto de partida a hipótese de que o plano do
carregamento (plano das forças) passa por um ponto da seção transversal da barra, único e
com posição particular para cada seção de interesse.
Nesse caso, ocorrerá apenas a força cortante (V), figura 1.3, como a resultante
(equivalência estática) das tensões de cisalhamento geradas ao longo da seção. O traço do
plano do carregamento coincide com a resultante das tensões de cisalhamento e o efeito da
torção é nulo, de modo a se considerar apenas a ocorrência da equação 1.2a.
VdA A
(1.3)
p (x)
x
F
V
M
Figura 1.3 – Representação do esforço solicitante cortante (V) na barra.
Existe, portanto, um ponto pertencente ao plano da seção transversal, coincidente ou
não com a região da mesma seção, denominado Centro de Torção ou Centro de
Cisalhamento, pelo qual deve passar o plano de aplicação da resultante das cargas
transversais e, conseqüentemente das forças cortantes, de modo que não ocorra torção, e sim,
apenas flexão. O Centro de Torção é uma propriedade geométrica da seção transversal.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
6
Para um melhor entendimento dos conceitos referentes ao Centro de Torção (lugar
geométrico por onde deverá passar o plano de forças para que só ocorram esforços de flexão)
serão apresentadas a seguir diferentes situações, denominados Caso 1, Caso 2 e Caso 3, por
meio de ilustrações e comentários elaborados com base em PROENÇA (2001), para a
determinação da posição do Centro de Torção aqui representado pela letra “D”.
Inicialmente, parte-se de uma seção duplamente simétrica sem paredes delgadas, por
exemplo, uma seção retangular (Caso1), a qual permitirá entendimento imediato, uma vez
que suas propriedades geométricas são diretamente determinadas em função da dupla
simetria. Em seguida, se faz uma primeira particularização dos estudos para seções com um
eixo de simetria, de paredes delgadas e trechos retos, no caso, seções “T” e “C” (Caso 2).
Por fim, faz-se uma última particularização com vistas ao estudo de seções
assimétricas e constituídas por paredes delgadas com trechos retos ou curvos (Caso 3),
objeto de interesse do presente texto, cujo equacionamento passa a ser desenvolvido e
apresentado ao leitor com base na Teoria de Vlasov.
1.3.1 Caso 1 - Centro de torção (D) para seções com dois eixos de simetria
Para seções com dois eixos de simetria, tem-se a posição do Centro Geométrico (CG)
coincidente com o ponto de encontro dos dois eixos de simetria, aspecto demonstrado pela
condição de Momento Estático nulo para ambos os eixos. Para uma seção retangular, por
exemplo, admitindo que o plano de forças seja coincidente com a posição do CG, a
distribuição das tensões de cisalhamento dará origem a uma resultante (V) que passará pelo
CG e coincidirá com o plano de carregamento, conforme figuras 1.4 e 1.5.
b
h
b
h
F F
cg cgVy
z
y
z
y
Figura 1.4 – Resultante das tensões de cisalhamento (eixo de maior inércia)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
7
h
b
F
cg
h
b
F
cgVzz
y
z
y
Figura 1.5 – Resultante das tensões de cisalhamento (eixo de menor inércia)
Nota-se que para os casos apresentados nas figuras 1.4 e 1.5, o carregamento aplicado
provoca apenas flexão e, conseqüentemente, uma distribuição de tensões de cisalhamento na
seção transversal que produz como resultante (equivalência estática) apenas a cortante. Nesse
caso, o plano de carregamento e a cortante são coincidentes.
Desse modo, fica estabelecida como Centro de Torção (D) a posição na seção
transversal em que as resultantes Vy e Vz se cruzam. Portanto, para seções transversais com
dois ou mais eixos de simetria, a posição do Centro de Torção (D) é coincidente com a
posição do Centro Geométrico (CG).
1.3.2 Caso 2 - Centro de torção (D) para seções delgadas com um eixo de simetria
Para as seções com apenas um eixo de simetria, sabe-se que o Centro Geométrico
(CG) pertence a esse mesmo eixo. A seção do tipo “T”, por exemplo, possui apenas um eixo
de simetria e será aqui particularizada para o caso de paredes retas e delgadas, com vistas a
adequá-la ao contexto do presente trabalho.
Por se constituir de paredes delgadas (pequena espessura), a distribuição das tensões
de cisalhamento será admitida paralela às linhas de borda e uniformemente distribuída ao
longo da espessura, o que não implica em significativa perda de precisão dos resultados. Em
função das espessuras reduzidas das paredes, esse tipo de seção pode ser representado pela
linha do seu esqueleto.
Como análise inicial, admite-se que o plano de carregamento seja coincidente com o
eixo de simetria da seção (eixo y) e, portanto, flexão em torno do eixo z. Nesse caso,
representando a seção por meio da linha do esqueleto, obtém-se uma distribuição das tensões
de cisalhamento e sua correspondente resultante, Vy, conforme ilustrado na figura 1.6.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
8
Figura 1.6 – Resultante das tensões de cisalhamento para flexão em torno de z.
Nesse caso, a parcela da resultante de na mesa do perfil T é pequena e pode ser
desconsiderada, uma vez que a seção é delgada, ou seja, t 0,1d, restando apenas a parcela de
na alma da seção, que é coincidente com o plano de carregamento, garantindo a inexistência
de torção, situação que tem correspondência direta com a equação 1.3. Portanto, um lugar
geométrico do Centro de Torção coincide com o eixo de simetria da seção T, e sua posição
fica parcialmente definida.
Como segunda análise, admite-se que o plano de carregamento seja coincidente com a
mesa da seção, com flexão em torno do eixo y. Nesse caso, obtém-se uma distribuição das
tensões de cisalhamento e sua correspondente resultante, Vz, conforme ilustrado na figura 1.7.
Utilizando o mesmo raciocínio da primeira análise, a parcela da resultante de na
alma do perfil T é desconsiderada, restando apenas tensões “” na mesa da seção e
coincidente com o plano de carregamento, garantindo novamente a inexistência de torção.
Finalmente, nota-se que o ponto de intersecção das direções das duas resultantes, Vz e
Vy, definem a posição do Centro de Torção (D). Sempre que o plano de carregamento (ou de
forças) passar por esse ponto, fica garantida a inexistência de torção e a condição apresentada
na equação 1.3 é verificada.
Para seções transversais cujos trechos que as constituem são concorrentes a um único
ponto (seções T, cantoneira ou similares), fica como regra geral que D coincidirá com o ponto
comum das linhas do esqueleto dos trechos que as formam. Essas seções são usualmente
denominadas do tipo “estrela”.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
9
Figura 1.7 – Resultante das tensões de cisalhamento para flexão em torno de y.
Uma outra seção que merece análise é a do tipo “C”, também com um eixo de simetria
e posição do Centro Geométrico (CG) sobre esse mesmo eixo. Será também particularizada
para o caso de paredes retas e delgadas, com vistas a se adequar ao contexto do presente
trabalho.
Com base nos aspectos identificados para a seção “T”, sabe-se que a seção “C” terá a
posição de D situada em algum ponto pertencente ao eixo de simetria. Nesse caso, para
determinar a posição exata de D, basta considerar a ocorrência de um plano de carregamento
que seja perpendicular àquele eixo, uma vez que se sabe que a posição de D é definida pela
intersecção desse mesmo eixo de simetria com a direção da resultante de que aparece em
resposta ao referido carregamento, conforme ilustra a figura 1.8.
Figura 1.8 – Resultante das tensões de cisalhamento para seção do tipo “C”.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
10
Nesse caso, a distribuição de , admitida conforme idealizada na figura 1.8,
respeitadas as condições de equilíbrio, deverá representar, no conjunto das partes que
compõem a seção, sentidos que percorram a seção de uma extremidade à outra, podendo, se
desejado, ser contrário àquele indicado na mesma figura. Por equivalência estática, com
redução no ponto “o” o efeito de V, na seção, deverá ser equivalente ao efeito provocado
pelas resultantes A e B, conforme equações 1.4 e 1.5, e a posição final de D fica estabelecida.
AV 0Fv (1.4)
hA
B
V
h.Bc h.Bc.V 0Mo (1.5)
1.3.3 Caso 3 - Centro de torção (D) para seções transversais assimétricas
No presente item faz-se a determinação da posição do Centro de Torção (D) para
seções transversais assimétricas, porém, particularizadas para o caso de paredes delgadas,
retas ou curvas, com vistas a uma adequação ao objeto de interesse do presente trabalho, aqui
desenvolvido com base na Teoria de Vlasov.
Assim como no caso 2, por se considerar as paredes como delgadas (pequena
espessura), a distribuição das tensões de cisalhamento será admitida paralela às linhas de
borda e uniformemente distribuída ao longo da espessura, não implicando em significativa
perda de precisão dos resultados. Em função das espessuras reduzidas das paredes, esse tipo
de seção pode ser representado pela linha do seu esqueleto, conforme figura 1.9.
linha doesqueleto
tg
t
Figura 1.9 – Parede delgada e curva: distribuição das tensões de cisalhamento.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
11
Inicialmente, por meio dos conceitos da Resistência dos Materiais, para barras
fletidas, vale lembrar que a equação 1.6 permite obter valores para a tensão de cisalhamento.
I.t
VMs (1.6)
Na equação 1.6, Ms e I representam, respectivamente, o momento estático e o
momento de inércia, e consistem de propriedades geométricas da seção determinadas em
relação aos eixos principais de inércia, aqui designados por z e y.
Para o estudo que segue, parte-se de uma seção transversal qualquer, assimétrica e
constituída de paredes delgadas e retas (por simplificação) com espessura t, eixos principais
de inércia definidos por z e y, e representada pela linha do esqueleto à qual é associada uma
ordenada “s” que a percorre desde s1 até s2, conforme figura 1.10.
y
CG
yzds
s = s1
s = s2
t
D
traço do plano de cargas(lugar geométrico de D)
V
Figura 1.10 – Seção transversal qualquer com paredes delgadas e retas.
Em uma primeira análise, supõe-se um plano de carregamento (ou traço do plano de
cargas) fictício paralelo ao eixo y, também representado na figura 1.10. Nesse caso, resultam:
yVV zII (1.7 e 1.8)
ds ytdA yMs
sA
s
1
(1.9)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
12
Deste modo, obtém-se a força elementar resultante de cisalhamento, por meio de
equivalência estática em um elemento de comprimento “ds”, conforme equação 1.10.
tdsdA dF (1.10)
A condição para garantir a não ocorrência de momento de torção consiste em impor
que a resultante destas forças elementares deve ser igual, em valor (módulo) e posição, à força
cortante Vy. Uma vez garantida essa última condição imposta é possível afirma que a linha de
ação do traço do plano de cargas, ou da força cortante, é um lugar geométrico do centro de
torção (D), único e de interesse.
Fica claro, portanto, que se realizando análises para planos de carregamento em duas
direções distintas, nesse caso, em direções coincidentes com os eixos principais y e z (planos
paralelos a xy e xz), se determina a posição de D pela interseção dos traços dos planos de
carga, os quais podem ser interpretados como lugares geométricos desse mesmo ponto.
Com base na primeira análise estabelecida na figura 1.10, a condição que permite
obter um lugar geométrico da posição do Centro de Torção (D) é aquela que garante que a
resultante dos momentos das forças elementares, obtidas por “dA” em relação ao centro de
torção D por meio da integral em toda a seção, de s1 a s2, seja nula conforme equação 1.11.
0 .n ds t.ndA M2
1
s
sA
D (1.11)
Na equação 1.11, o parâmetro n é denominado “raio vetor” e definido pela distância de
D até a tangente à linha do esqueleto do trecho de interesse, conforme figura 1.11.
linha doesqueleto
tg
t
D
n
Figura 1.11 – Representação esquemática do raio vetor n.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
13
Para carregamento na direção do eixo y e coincidente com a correspondente força
cortante (plano de carga paralelo ao plano xy), e considerando a validade da equação 1.6
particularizada para flexão em torno do eixo z (equações 1.7 e 1.8), tem-se:
0n.dAtI
MV
A z
sy (1.12)
Como a força cortante e o momento de inércia são constantes para uma mesma seção
transversal, e com base na equação 1.9, pela equação 1.12 resulta:
0dsnds yt I
V dstnds yt
t
1
I
V 2s
1s
s
1sz
y2s
1s
s
1sz
y
Como Vy/Iz 0, da última igualdade tem-se que:
0dsnds yt 2s
1s
s
1s
(1.13)
A equação 1.13 consiste de duplo procedimento de integração, cuja resolução é obtida
por meio de mecanismo matemático de integração por partes, expressa na sua forma geral:
dababdba
Nesse caso, para o problema em questão, definem-se:
ytdsda ds ytas
1s
ds nb ndsdbs
1s
Como produto final da integração por partes, resulta:
0 dsty ds n dsn. ds yt 2s
1s
s
1s
s
s
s
1s
s
1s
2
1
(1.14)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
14
Na equação 1.14, a parcela ds yt representa o momento estático da seção transversal,
que, por definição, resultará nulo quando verificado ao longo de toda a linha do esqueleto:
0 ds t y e 0 ds t y2s
1s
1s
1s
Portanto, como produto final de interesse, obtém-se:
0 dsty ds n 2s
1s
s
1s
(1.15)
O termo entre colchetes ds ns
1s é denominado Área Setorial da seção transversal,
proposto em VLASOV (1961) e representado por . Nesse caso, a área setorial e a condição
para a determinação da posição (lugar geométrico) do ponto D são escritas nas formas:
ds n s
1s (1.16)
0 dAy A
(1.17)
Em uma segunda análise, análoga à primeira, supõe-se um plano de carregamento (ou
traço do plano de cargas) fictício e paralelo ao eixo z, agora representado na figura 1.12.
z
CG
yzds
s = s1
s = s2
t
D
traço do plano de cargas(lugar geométrico de D)
V
Figura 1.12 – Plano de carregamento (fictício) coincidente com a direção z.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
15
Nesse caso, assim como no primeiro, resultam as seguintes igualdades:
zVV yII (1.18 e 1.19)
ds ztdA zMs
1sA
s (1.20)
Por um procedimento análogo àquele que possibilitou a determinação das equações
1.16 e 1.17, resultará a equação 1.21 como segue.
0 dAz A
(1.21)
Portanto, como condição necessária para determinar o Centro de Torção, basta
estabelecer planos de carga, nas direções dos eixos principais (por ser mais conveniente),
considerados coincidentes com as respectivas forças cortantes resultantes que aparecem em
resposta aos carregamentos aplicados. Nesse caso, tem-se como produto final, o seguinte
conjunto de equações para a determinação de D:
0 dAy A
0 dAz A
z
y
CG
yzds
s = s1
s = s2
t
D
V
V
Figura 1.13 – Planos de carregamentos (fictícios), paralelos às direções y e z.
Os termos A
dA y e A dA z são denominados Produtos Setoriais da seção
transversal, VLASOV (1961), e se referem aos eixos principais de inércia.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
16
Com relação às equações 1.16, 1.17 e 1.21, anteriormente apresentadas, vale aqui
mencionar alguns aspectos particulares que servirão como ferramentas de interesse para a
dedução de outras equações a serem apresentadas nos itens que se seguem, e de fundamental
importância para a presente análise:
COM RELAÇÃO À ÁREA SETORIAL
É importante ressaltar que a área setorial , quando calculada em relação a um trecho
qualquer da linha do esqueleto, de uma seção qualquer, resulta no dobro da área do setor
(figura geométrica plana) gerada pela varredura da linha que une o Centro de Torção
(admitido como pólo) e a origem s1 (adotada aleatoriamente), desde essa mesma origem s1 até
s2, do elemento ds de interesse. A figura 1.14 esquematiza o aspecto mencionado para um
segmento curvo (caso geral) de uma seção qualquer.
n
ds
tg
D
s
d /2
s1
2s
Figura 1.14 – Relação entre área setorial e área geométrica gerada para trecho curvo
O mesmo aspecto pode ser identificado se particularizarmos o caso ilustrado na figura
1.14, considerando o trecho em questão como reto, conforme ilustrado na figura 1.15, em que
se adota como origem para a ordenada “s” o ponto 2 localizado sobre a linha do esqueleto,
com integração (ou varredura) até o ponto 3, obtém-se:
n.adsnds n a
0
3
2
(1.22)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
17
2A 22
n.aA
(1.23)
Figura 1.15 – Relação entre área setorial e área geométrica gerada para trecho reto
COM RELAÇÃO À ORIGEM DA ORDENADA S
A posição da origem da ordenada s não influi na determinação da posição de D, uma
vez que a área setorial a ser obtida independe da escolha dessa mesma origem. Deslocando-se
a origem sobre qualquer ponto da linha do esqueleto, aparecerá um acréscimo constante em
, tal que:
k * (1.24)
A contribuição desta constante na equação 1.17 ou na equação 1.21, condições para a
determinação de D, será nula, conforme demonstrado como base na consideração de momento
estático nulo:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
18
Ad y 0.kdA y dA ykdA y dA y)k(AAAAA
Esse mesmo aspecto pode ser identificado se alterarmos a origem da ordenada s
inicialmente adotada na figura 1.15, conforme ilustra a figura 1.16, em que se adota como
origem para a ordenada “s” o ponto 1 localizado sobre a mesma linha do esqueleto, com
integração (ou varredura) desde o ponto 2 até o ponto 3, obtendo-se:
a.nb)-a(b ndsnds n ab
b
ab
b
(1.25)
Figura 1.16 – Relação entre área setorial e área geométrica gerada com origem em 1.
Como é possível perceber, apesar de as origens adotadas nas figuras 1.15 e 1.16 serem
diferentes, o resultado obtido por meio da equação 1.25 é idêntico àquele obtido por meio da
equação 1.22.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
19
COM RELAÇÃO À PARTICULARIDADE DA ÁREA SETORIAL
Tendo-se em vista certas aplicações futuras nos capítulos que seguem, é possível
estabelecer uma dada posição “particular” para a origem “Os”, da ordenada “s”, de modo que
a condição imposta pela equação 1.26 seja satisfeita.
0dA A
(1.26)
O termo A
dA possui analogia direta como o momento estático deduzido por meio
dos conceitos da Resistência dos Materiais, A s dAyM , e por essa razão recebe aqui o
nome de Momento Estático Setorial. Em resumo, quando a área setorial () é obtida com
pólo em D a partir de uma origem particular Os, e de modo que o momento estático setorial
em toda a seção seja nulo, essa área setorial recebe o nome de Área Setorial Principal.
COM RELAÇÃO À POSIÇÃO PARTICULAR PARA A ORIGEM Os
Para se obter a origem Os particular, mencionada anteriormente, toma-se como ponto
de partida uma área setorial , também obtida em relação a D e determinada com base em
uma origem Os para a ordenada s, arbitrariamente escolhida, e que nada mais é do que o
resultado da área setorial principal somada a uma outra área setorial de valor constante e
representada por C. Neste caso, faz-se:
C- C (1.27)
Com relação à equação 1.27, vale lembrar que é, neste caso, a área setorial obtida
com pólo em D a partir de uma origem particular Os, a qual substituída na equação 1.26,
permite obter:
0dAC -dA )( 0dA C)- ( 0dA AAAA
Finalmente, resulta a equação 1.28
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção
20
dA A
1C
A (1.28)
Com o resultado obtido por meio da equação 1.28, pode-se obter a área setorial
principal, bastando que o valor da área setorial C (constante) seja somado àquela área setorial
obtida com origem Os posicionada arbitrariamente, ou seja, .
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
21
B
A
sO
B"
A"
MD
N
/2p
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA ÁREA SETORIAL
2.1 INTRODUÇÃO
As formas implícitas estabelecidas, equações 1.17 e 1.21 apresentadas no capítulo 1,
dificultam a aplicação direta dessas mesmas equações na determinação da localização do
Centro de Torção (D). Por outro lado, a relação direta entre área setorial e área geométrica,
conforme demonstrado no capítulo 1, permite a interpretação geométrica da área setorial
possibilitando a obtenção de equações explicitas para as coordenadas de D, representadas por
yD e zD, tomadas com relação ao Centro Geométrico (CG), conforme figura 2.1.
z
y
CG
D
A
B
MK
sO
Q L
> 0 N
/2
y
yD
0y
z
z
z
0
D
horário
Figura 2.1 – Interpretação geométrica da área setorial com pólo em D.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
22
2.2 OBTENÇÃO DA ÁREA SETORIAL POR PROCEDIMENTO
GEOMÉTRICO COM PÓLO EM D
A figura 2.1 esquematiza um trecho genérico de linha do esqueleto, com a origem Os
representada por yo e zo, um ponto genérico qualquer Q com coordenadas y e z, bem como o
centro de torção D com coordenadas yD e zD, tomadas com referência ao CG.
Uma primeira análise com relação à figura 2.1 permite observar a formação de vários
setores ou áreas geométricas, decorrentes da varredura da reta que une os pontos D (centro de
torção) e Os (origem da ordenada s), até um ponto Q ao longo da linha do esqueleto de um
dado trecho de interesse de seção transversal. Os setores (ou áreas) formados são as seguintes:
Área do triângulo MDOs, a qual resulta igual a área do triângulo NDOs, ambas
identificadas na figura 2.1 pela variável ;
Áreas KMOsQ e LNOsQ, identificadas figura 1.17 pelas letras A e B, respectivamente;
De acordo com a relação entre área geométrica e área setorial demonstrada por meio
da equação 1.23 (capítulo 1), pode-se impor que a área do triângulo DOsQ é igual à metade da
área setorial correspondente à mesma figura gerada, ou seja:
2Área(DOsQ)
(2.1)
Com base na equação 2.1, se tem as seguintes relações:
2BAÁrea(KDLQ) (2.2)
B2
Área(DQL) (2.3)
Por fim, com base nas equações 2.2 e 2.3, obtém-se como produto final:
B2
x 2 2BA
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
23
Finalmente:
BA (2.4)
A equação 2.4 permite obter o valor da área setorial, parâmetro aqui de interesse, por
meio de uma subtração de valores de áreas geométricas formadas no processo, no caso, as
áreas A e B.
2.3 CONVENÇÃO DE SINAIS
O sinal da área setorial é adotado como positivo quando o raio vetor “n” é traçado
com centro em D e gira (varredura), a partir de Os para um ponto genérico Q, no sentido
horário, para um observador olhando no sentido positivo do eixo x, nesse caso, o longitudinal
da barra.
Na figura 2.1, está representado o sentido horário para obtenção da área setorial
positiva. Para giros (varreduras) no sentido anti-horário, a área setorial resultará com sinal
negativo.
2.4 OBTENÇÃO DA ÁREA SETORIAL POR PROCEDIMENTO
GEOMÉTRICO COM PÓLO PROVISÓRIO (P)
O procedimento utilizado no item 2.2 para a determinação da área setorial admite
como conhecida a posição do Centro de Torção (D), uma vez que o mesmo foi adotado como
pólo para a varredura do raio vetor.
No entanto, caso a posição de D ainda não seja conhecida e, portanto, de interesse, o
procedimento poderá ser ainda assim utilizado, desde que para isso seja adotado como pólo
um outro ponto qualquer pertencente ao plano que contenha a seção transversal de interesse
denominado de pólo provisório, representado por P e escolhido arbitrariamente.
Indicando-se com p a área setorial a ser obtida com o pólo provisório P, pode-se
escrever considerando a propriedade anteriormente demonstrada por meio da equação 2.4, em
que = A – B, a seguinte igualdade:
B''A p (2.5)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
24
Sendo yp e zp as coordenadas do pólo provisório P, se tem como válidas, de acordo
com a figura 2.2, as seguintes relações entre área geométricas:
y
CGzx
B
A
sO
B"
A"
y
0y
z
0z
Dz
zp
yD
pyK' M'
MKD
N N'
Q L L'
/2p
P ( y , z )p p
Figura 2.2 – Interpretação geométrica da área setorial com pólo provisório P.
''AA'A (2.6)
''BB'B (2.7)
Com as equações 2.6 e 2.7 substituídas em 2.5, obtém-se:
''-B'A'''-B'A'B-A'B'B''AA p (2.8)
A equação 2.8 pode ainda ser reescrita com base nas coordenadas de interesse da
figura 2.2, na forma:
)zz)(yy()yy)(zz( PD0PD0p
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
25
Com o devido rearranjo:
)yy)(zz()zz)(yy( PD0PD0P (2.9)
É importante aqui ressaltar que o artifício de cálculo considerando o pólo provisório P
deve-se ao fato de, inicialmente, não se conhecer o ponto D, objeto aqui de interesse. Para
tanto, multiplica-se a equação 2.9 por y, resultando:
yyzyyzzyyzyyyzyyzyyzyzy y P0D0PDP0D0
2
P
2
DP
Ou ainda, na forma:
2
PDP y)zz(y y (termos que contem y e yz como fatores) (2.10)
Analogamente, multiplicando a equação 2.9 por z, resulta:
2
PDP z)yy(z z (termos que contem z e yz como fatores) (2.11)
Com relação às equações 2.10 e 2.11, vale aqui lembrar que os termos que contem y, z
e yz (como fatores) resultarão nulos, uma vez que:
0dA zdA yAA
(momentos estáticos).
dA yzA (momento de inércia centrífugo em relação aos eixos principais de inércia).
As equações 2.10 e 2.11, quando substituídas respectivamente nas equações 1.17 e
1.21, apresentadas no capítulo 1, permitirão obter equações explícitas para a determinação das
coordenadas de D. Nesse caso, resultam:
0dAy)zz(dA ydA y)zz(yA
2
PD
A
P
A
2
PDP
0dAz)yy(dA zdA z)yy(zA
2
PDA
PA
2
PDP
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
26
Portanto, se obtém as equações explícitas para a determinação da posição do Centro de
Torção (D), nas formas:
dA z I
1yy
A
P
y
PD (2.12)
dA y I
1zz
A
P
z
PD (2.13)
A seguir, são comentados alguns aspectos de interesse com relação aos parâmetros
pertencentes às duas últimas equações obtidas. São os seguintes:
O cálculo da posição do centro de torção D, com base nas equações 2.12 e 2.13, resulta tão
mais preciso quanto mais delgadas forem as paredes que constituem a seção transversal de
interesse, pois a distribuição adotada para a tensão de cisalhamento ao longo da espessura t
fica mais próxima da real;
Por outro lado, em seções constituídas por paredes não delgadas, o centro de torção deve
ser determinado apenas quando se dispõe da distribuição exata das tensões de cisalhamento,
fornecida pela Teoria da Elasticidade, caminho que leva, em geral, a grandes dificuldades de
cálculo;
Uma vez que as seções são admitidas como delgadas, na determinação dos momentos
principais de inércia, Iz e Iy, os quais aparecem nas equações 2.12 e 2.13, podem ser
suprimidas as parcelas dos momentos individuais dos elementos, em que a espessura é
elevada ao cubo, ou seja,12
dst 3
;
Imagina-se uma viga com um carregamento geral que produz flexão e torção,
simultaneamente. Neste caso, as cargas devem ser separadas em dois grupos: o grupo (1)
produz apenas flexão, enquanto o grupo (2) produz apenas torção, conforme ilustrado na
figura 2.3. Nesse caso, o trabalho do grupo (2) no deslocamento produzido pelo grupo (1)
será nulo, pois na flexão não haverá rotação das seções.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
27
Pelo Teorema de MAWELL-BETTI pode-se concluir que o trabalho do grupo (1),
durante o deslocamento produzido pelo grupo (2), também será nulo. Essa situação só é
possível quando as rotações das seções se dão em torno do ponto D, pelo qual passam as
cargas do grupo (1). Portanto, conclui-se que o Centro de Torção (D) é também centro de
rotação das seções.
c
Dz
y
CG
(carga transversal)P
___
c
( 1 )
y
P
z D +
c
( 2 )
y
Dz
M = P.c
Figura 2.3 – Esquema dos efeitos de flexão e de torção.
Todo eixo de simetria contém o Centro de Torção (D). Esta particularidade já foi
mencionada nos itens 1.3.1 e 1.3.2 do capítulo 1, e deve aqui ser recuperada agora com
vistas à aplicação das equações obtidas por meio da Teoria de Vlasov, tomando como
exemplo a equação 2.12 aplicada à seção ilustrada na figura 2.4.
Adotando-se o pólo provisório P com posição coincidente (ou pertencente) ao eixo de
simetria, conforme figura 2.4, tem-se de imediato que yp = 0. Nesse caso, escreve-se:
dA z I
1y
A
P
y
D
Por fim, com a consideração da origem Os coincidente com o ponto em que o eixo de
simetria cruza a linha do esqueleto, figura 2.4, nota-se que a varredura que o raio vetor
realiza, desde a origem Os até a extremidade superior da seção, será igual em módulo àquela
realizada desde a mesma origem até a extremidade inferior, porém, com sinal contrário e,
portanto:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
28
0dA z A
P
A última igualdade é justificada, uma vez que p tem sinais contrários para as
situações em que y > 0 e y < 0, enquanto que a coordenada z resulta sempre com o mesmo
sinal. Portanto yD = 0 e o Centro de Torção (D) pertence ao eixo de simetria.
z P
y
CG
sO <0p
>0p
Figura 2.4 – Seção monossimétrica com pólo P sobre o eixo de simetria.
2.5 CENTRO DE TORÇÃO (D) – Exemplos resolvidos
Com o objetivo de otimizar a determinação do Centro de Torção, nos exercícios
resolvidos que se seguem, a exceção do último, será desconsiderada a determinação do CG da
seção, cujo procedimento consiste em estabelecer a diferença entre as coordenadas de D e de
P (pólo provisório), segundo as direções z e y, rearranjando-se as equações 2.12 e 2.13.
Por esse procedimento, a posição final de D ficará condicionada a uma dada distância
a ser percorrida a partir de P, e não mais a partir do CG. O procedimento em questão pode ser
inicialmente exemplificado com base em uma análise com relação aos casos ilustrados na
figura 2.5.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
29
Caso a:
Caso b:
Caso c:
Figura 2.5 – Combinações para as posições de P, do CG e de D (para zD - zP > 0).
Na última figura são consideradas combinação para as posições de P, do CG e de D,
segundo o eixo z, por exemplo, nesse caso admitido como eixo de simetria para uma seção
monossimétrica em que yD = 0. Para cada caso considerado (a, b e c) é possível se considerar
os seguintes aspectos:
Caso a: 0zz zz ; 0z ; 0z PDPDPD
Caso b: 0zz zz ; 0z ; 0z PDPDPD
Caso c: 0zz zz ; 0z ; 0z PDPDPD
Conclui-se, neste caso, que D estará localizado à esquerda de P sempre que zD - zP > 0.
Caso contrário, para zD - zP < 0, implicará que D estará localizado à direita de P, conforme
ilustra a figura 2.6.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
30
Figura 2.6 – Combinações para as posições de P, do CG e de D (para zD - zP < 0).
É possível por analogia concluir que segundo o eixo y, no caso de ser eixo único de
simetria, valerá a mesma regra em que se admite D localizado abaixo de P sempre que resultar
yD - yP > 0. Caso contrário, D estará localizado acima de P.
Por fim, ressalta-se que os resultados serão comparados com aqueles obtidos
numericamente, por meio de código computacional denominado FLEXO II.
Exercício 1: Determinar a posição do Centro de Torção (D) e o diagrama de área setorial
principal () para uma barra com seção transversal monossimétrica na forma de U, com
espessura t constante, ilustrada na figura 2.7.
Com base nas considerações feitas no item 1.3.2 do capítulo 1 (D situado no eixo de
simetria), pode-se admitir que zd = 0, pois y é eixo de simetria. Portanto, basta apenas
determinar yd, lembrando que z e y são eixos principais de inércia.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
31
b
hCG
y
z
t
Figura 2.7 – Seção U monossimétrica com paredes de espessura constante t.
Para a determinação da posição do Centro de Torção serão necessárias as seguintes
equações:
dA z I
1yy
A
P
y
PD
12
)bh6(tb
12
tb
2
htb
12
tb)
2
b(ht
12
ht2I
23232
3
y
Com as posições do pólo provisório P e da origem Os definidas, conforme figura 2.8,
se obtém, para fins de resolução da equação de yD, os diagramas de p e z, nas formas:
y
z
y
z
+ _
b/2 b/2bh
+b/2
b/2
Os
( )p ( z )
// 0
//0
P
>0p
+
Figura 2.8 – Diagramas de p e z, para a seção U.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
32
Apenas para fins de análise complementar, caso as posições do pólo provisório P e da
origem Os fossem escolhidas de acordo com a figura 2.9, resultariam os seguintes diagramas:
+ _
bh/2 bh/2
y
z
P//0
//0
y
z
P Os___
<0p>0p
Figura 2.9 – Diagramas de p para a seção U, com pólo P e origem Os em posições diferentes daquelas adotadas na figura 2.8
Como continuidade, resolvendo a integral da equação de yD, com base nos diagramas
da figura 2.8 e em concordância com a figura 2.10, procede-se:
dA z I
1cyy dA z
I
1yy
A
P
y
PD
A
P
y
PD
CGz
y
D
py
Dy
c
Figura 2.10 – Simplificação para a determinação da posição de D.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
33
Obs: ds)z(s p : corresponde ao produto das integrais “retângulo x triângulo” = a
2
Portanto: 4
htb
2
b)bh(
2
htdszt
22
s p
Finalmente: bh6
h3
)bh6(tb
12.
4
htbc
2
2
22
(posição de D a partir do pólo P)
Uma vez conhecida a posição de D, pode-se proceder a determinação da área setorial
principal adotando-se como pólo definitivo o próprio Centro de Torção, e com uma dada
posição particular para a origem Os, conforme figura 2.11.
+ _
++
_
bc/2
bc/2c
D
h-cb ( )2
Os
B
A
> 0=bc/2 < 0=hb/2
Os
D
h-cb ( )2
A
B
D
Figura 2.11 – Diagrama de área setorial principal com pólo em D e Os particular.
A partir de no ponto A, com valor igual a +(bc)/2, a área setorial torna-se negativa
decrescendo do ponto A até o ponto B, de -(hb)/2, de modo que:
2
)hc(b
2
hb
2
bc)B(
Como c < h, tem-se:
2
)ch(b)B(
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
34
Nota-se que, neste caso, a origem Os foi convenientemente escolhida de modo a se
obter um diagrama de antimétrico, o que garante:
0dAA
(nesse caso, é principal).
Com base na solução deste exercício, conclui-se que se a seção tiver um eixo de
simetria, o Centro de Torção o estará sobre esse eixo. E ainda, ao se adotar a origem Os
coincidentemente com o ponto em que esse mesmo eixo intercepta a linha do esqueleto, o
diagrama de área setorial será antimétrico e, conseqüentemente, a área setorial será aquela
definida anteriormente como principal. Se a seção tiver dois eixos de simetria, o pólo D e a
origem Os coincidirão com a interseção desses eixos.
Serão agora comparados os resultados obtidos anteriormente com aqueles a serem
determinados por meio do programa FLEXO II. Para fins de comparação, serão aqui
adotados, com relação à figura 2.7, os valores b = h = 10 cm e t = 1 cm. As figuras 2.12 e 2.13
apresentam os resultados do programa por meio das telas interativas.
Figura 2.12 – Seção U: Tela geral com as dimensões, CG e D.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
35
Figura 2.13 – Seção U: Resultados gerais e área setorial principal.
Unidade de referência: centímetro (cm)
Com base nas equações gerais obtidas, resultam:
cm 28,470
300
1010.6
10.3
bh6
h3c
22
2
)A( cm 4,21 2
28,4.10
2
bc
2
)B( cm 6,282
)28,410(10
2
)ch(b
Exercício 2: Determinar a posição do Centro de Torção (D) e o diagrama de área setorial
principal () para uma barra com seção transversal com simetria de ponto na forma de Z, com
espessura t constante, ilustrada na figura 2.14. Vale lembrar que D está situado no CG, com
posição final já definida. Inicialmente, a origem Os é adotada coincidente com D.
Note-se que para a origem Os adotada, coincidentemente com D e com o CG, o
diagrama de (área setorial) não é a principal, pois não satisfaz a condição:
0dAA
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
36
CG D___2a
a a
a
t (const)
y
z
___D CG O___ s
a2
a2
+
+
diagrama de
Figura 2.14 – Seção Z ponto-simétrica com paredes de espessura constante t.
Portanto, para se obter a origem Os particular de modo a se obter a área setorial
principal, tem-se:
C C
dA A
1C
A A = 4 a t (área da seção transversal Z)
Para tanto, procede-se:
32
sA
at2
a.a2tds tdA
4
ata
at4
1C
23
Portanto, somando-se o valor de C ao diagrama obtido e apresentado na figura 2.14,
obtém-se o diagrama de área setorial principal, conforme esquematiza a figura 2.15.
Inicialmente, é importante observar que os pontos em que a área setorial principal é nula
representam os possíveis pontos particulares a serem adotados para a origem Os.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
37
_
+
+
sO
sO
43a2
3a2
4
a2
4
a2
4
Figura 2.15 – Seção Z: área setorial principal.
Os resultados obtidos permitem concluir que no caso de barras com seção transversal
delgada, em que as ramificações da linha de esqueleto têm forma de “estrela”, isto é,
ramificações concorrentes em um ponto, conforme figura 2.16, ao se adotar esse ponto como
pólo para cálculo da área setorial, esta e os produtos setoriais serão nulos. Dessa forma, esse
ponto será o Centro de Torção (D) da seção.
PPAy
PD y0ydA z0.I
1yy PP
Az
PD z0zdA y0.I
1zz
D
D
Figura 2.16 – Seções com ramificações concorrentes em um único ponto.
Os resultados obtidos serão agora comparados com aqueles a serem determinados por
meio do programa FLEXO II. Para fins de comparação, serão adotados com relação à figura
2.14, os valores a = 10 cm e t = 1 cm. As figuras 2.17 e 2.18 apresentam os resultados do
programa por meio das telas interativas.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
38
Figura 2.17 – Seção Z: Tela geral com as dimensões, CG e D.
Figura 2.18 – Seção Z: Resultados gerais e área setorial principal.
Unidade de referência: centímetro (cm)
No caso de os valores de a e t serem substituídos no diagrama de área setorial principal
da figura 2.15, é possível recuperar os valores apresentados no diagrama da figura 2.18.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
39
Exercício 3: Determinar a posição do Centro de Torção (D) e o diagrama de área setorial
principal () para uma barra com seção transversal monossimétrica quadrada aberta, com
espessura t constante, ilustrada na figura 2.19. Assim como no exemplo 1, vale lembrar
novamente que D está situado no eixo de simetria, de modo que apenas umas das equações já
apresentadas (2.12 ou 2.13) será suficiente para se obter D.
c a
t (const)
z D
a/2
a/2
Seção Transversal
Figura 2.19 – Seção quadrada aberta com paredes de espessura constante t.
Com base em considerações preliminares com referência à figura 2.19, pode-se
admitir que yd = 0, pois z é eixo de simetria. Portanto, basta apenas determinar zd, lembrando
que z e y são eixos principais de inércia. Portanto, para a determinação da posição do Centro
de Torção (D) serão necessárias as seguintes equações:
dA y I
1czz dA y
I
1zz
A
P
z
PD
A
P
z
PD
3
23
z ta3
2
2
aat2
12
ta2I
Com vistas à complementar as últimas informações obtidas, parte-se a construção dos
diagramas de p e y, adotando-se o pólo P provisório e origem Os conforme figura 2.20. Vale
ressaltar que o diagrama de y foi determinado apenas nos trechos da seção em que o diagrama
de p resultou diferente de zero.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
40
+a2
_
+
//0
___P Os
_
+
0//3a2
2
a22
p( ) ( z )
z
y
_a/2
a/2
a/2
Figura 2.20 – Diagramas de p e y, para a seção quadrada aberta.
Para a determinação de D, procede-se:
ta12
5a2
2
a3
2
a
6
1
2
a
2
aa
2
1a
2
a
2
a
6
1
2
a tdA y 42
22
2
A p
8
a5
12
ta5
ta2
3dAy
I
1c
4
3A p
z
Uma vez conhecida a posição de D, pode-se determinar o diagrama de principal, o
qual é ilustrado na figura 2.21:
_
_
y
z DsO
a
a/2
a/2
CG
58 a
+
+
_
+
+
a2
a2
3a2
16
163a225a
16
1625a
Figura 2.21 – Seção quadrada: área setorial principal. Unidade: cm2
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
41
É importante observar que a condição 0dAA
é satisfeita, uma vez que o
diagrama da figura 2.21 resultou “antimétrico” , o qual corresponde à área setorial principal.
Os resultados obtidos serão agora comparados com aqueles a serem determinados por
meio do programa FLEXO II. Para fins de comparação, serão adotados com relação à figura
2.19, os valores a = 10 cm e t = 1 cm. As figuras 2.22 e 2.23 apresentam os resultados do
programa.
Figura 2.22 – Seção quadrada aberta: Tela geral com as dimensões, CG e D.
Figura 2.23 – Seção Z: Resultados gerais e área setorial principal.
Unidade de referência: centímetro (cm)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
42
No caso de os valores a = 10 cm e t = 1 cm serem substituídos no diagrama de área
setorial principal da figura 2.21, é possível recuperar de modo bastante satisfatório os valores
apresentados no diagrama da figura 2.23.
Exercício 4: Determinar a posição do Centro de Torção (D) e o diagrama de área setorial
principal () para uma barra com seção transversal assimétrica, com espessura t constante,
ilustrada na figura 2.24. Nesse caso, não existem eixos de simetria, de modo que ambas as
equações 2.12 e 2.13 serão necessárias para se obter D.
12cm
3cm
8cm 4cm
zCG
y
_
_
5,88
5cm
6,615cm
t const=0,5cm
z
y
AUX
AUX
Figura 2.24 – Seção I aberta, assimétrica, com paredes de espessura constante t.
Determinação da posição do CG
cm885,550,19
5,10x5,76x6yo
cm615,650,19
6x5,78x66x6zo
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
43
Cálculo dos momentos principais de inércia
423
23
2
z cm24,490615,45,712.6,0
9x5,0115,06
12
12x5,0885,56I
4223
23
y cm62,178)385,1(6615.05,712.8,0
12x5,0615,06
12
12x5,0I
4
3
zy
cm88,68615,0x615,4x)5,7(
8,0x6,0x12
15x5,0385,1x115,0x6615,0x885,5x6I
Nesse caso, obtém-se:
2
2
2
1 88,682
24,49062,178
2
24,49062,178
I
I
I1 = Iz= 504,8 cm4
I2 = Iy= 164,1 cm4
o
11 924,112112,062,1788,504
88,68tg
Cálculo de centro de cisalhamento ou centro de torção (D)
dAzI
1yy
A p
y
pD
dAyI
1zz
A p
z
PD
Adota-se, inicialmente o pólo provisório P, conforme figura 2.25, o que permite
construir o diagrama da figura 2.25. Na figura 2.26 se faz a construção dos diagramas de z e
y, necessários para a determinação do Centro de Torção (D).
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
44
8cm 4cm
12cm
3cm
P
BA
p
+
_
+
p( )
96
48
Figura 2.25 – Seção I aberta: construção do diagrama de área setorial.
( Y )( Z )
6,485
+4,645
7,125
+
5,256
_
Figura 2.26 – Seção I aberta: construção do diagrama de z e y.
Rotação de coordenadas dos pontos A, B e P (figura 2.25) para fins de obtenção da posição
do Centro de Torção (D).
senzcosyy
senycoszz
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
45
cm456,5924,11sen885,5924,11cos615,6zA
cm485,6924,11sen885,5924,11cos385,5zB
cm125,7924,11sen615,6924,11cos885,5yA
cm645,4924,11sen385,5924,11cos885,5yB
cm269,6924,11sen385,1924,11cos115,6yp
cm092,0924,11sen115,6924,11cos385,1zp
Conseqüentemente:
cm657,1)]485,6x2256,5(48)485,6256,5x2(966
12
1,164
5,0269,6yD
cm 12,2)]645,4x2125,7(48)645,4125,7x2(966
12
8,504
5,0092,0zD
Cálculo de com origem Os arbitrária:
cm182,1)924,11sen(125,2)924,11cos(657,1yD
cm422,2)924,11sen(657,1)924,11cos(125,2zD
56,54
8,000
A B
( )
3,00
0
F
_
_y
_z
C
E
G
D
7,06
74,
933
1,0372,963
28,27
35,28
12,44
12,44
33,25
Figura 2.27 – Seção I aberta: construção do diagrama de , com D e Os arbitrária.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
46
Na figura 2.27 está indicado o diagrama de com origem Os arbitrariamente
escolhida, no caso, o ponto C. Em seguida, determinam-se as áreas DFG e DFE:
cm182,1yD cm422,2zD cm115,6yF cm385,1zF
cm115,9yG cm385,5zG cm115,0yE cm615,6zE
A área (A) de um triângulo formado por três pontos não colineares é determinada pelo
seguinte procedimento:
1yz
1yz
1yz
2
1A
22
11
oo
84,22305,20728,4266,7
1115,9385,5
1115,6385,1
1182,1422,2
69,45610,40456,9532,14
1115,6385,1
1115,0615,6
1182,1422,2
2
G cm28,3544,1284,22 2
E cm25,3344,1269,45
Por fim, faz-se a construção do diagrama de principal:
C tdsA
1dA
A
1C
sA
A = 19,5cm2
)15)25,3328,35(44,12x1227,28x454,56x8(2
5,0dst
s
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
47
65,6dAA
1C
A 65,6
5,79
49,89
39,90
34,92
28,63
5,79
6,65
6,65
Figura 2.28 – Seção I aberta: construção do diagrama de principal (unidade: cm2).
Verificando o resultado do diagrama, por meio de integração, resulta:
15 )90,3963,28(12)65,679,5(12)92,3489,49(2
5,0dA
A
)(ok! 027,0dAA
2.6 CENTRO DE TORÇÃO (D) – Exercícios Propostos
No presente item, são propostos exercícios com vistas à determinação da posição do
Centro de Torção (D) e do diagrama de Área Setorial Principal (ω), determinados por meio
das ferramentas obtidas com base na teoria de Vlasov, para seções transversais constituídas
por paredes retas e delgadas (espessuras reduzidas).
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
48
Exercício 1- Para as seções transversais ilustradas nas figuras 2.29a e 2.29b, abertas e com
paredes delgadas, pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o
diagrama de área setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 10 cm e t = 0,7 cm (cte).
(a) (b)
Figura 2.29 – Seções Transversais abertas e de paredes delgadas
Exercício 2- Para a seção transversal ilustrada na figura 2.30, aberta e com paredes delgadas,
pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o diagrama de área
setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 6 cm e t = 0,5 cm (cte).
Figura 2.30 – Seção Transversal aberta e de paredes delgadas.
Exercício 3- Para as seções transversais ilustradas nas figuras 2.31a e 2.31b, abertas e com
paredes delgadas, pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o
diagrama de área setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 14 cm e t = 1,2 cm (cte).
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
49
(a) (b)
Figura 2.31 – Seções Transversais abertas e de paredes delgadas
Exercício 4- Para a seção transversal ilustrada na figura 2.32 aberta e com paredes delgadas,
pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o diagrama de área
setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 10 cm e t = 0,6 cm (cte).
Figura 2.32 – Seção Transversal aberta e de paredes delgadas
Exercício 5- Para as seções transversais ilustradas nas figuras 2.33a e 2.33b, abertas e com
paredes delgadas, pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o
diagrama de área setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 16 cm e t = 1,0 cm (cte).
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
50
(a) (b)
Figura 2.33– Seções Transversais abertas e de paredes delgadas
Exercício 6 - Para as seções transversais ilustradas nas figuras 2.34a e 2.34b, abertas e com
paredes delgadas, pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o
diagrama de área setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 13 cm e t = 0,9 cm (cte).
(a) (b)
Figura 2.34 – Seções Transversais abertas e de paredes delgadas
Exercício 7 - Nas figuras seguintes são apresentados vários perfis para se determinar a
posição do centro de torção e o diagrama de área setorial. São seções que têm emprego, quer
na construção civil, em estacas, cortinas, escoras, montantes, nervuras, peças de reticulados,
seções de pontos e coberturas, quer na construção naval, quer ainda na construção mecânica,
com finalidade as mais diversas.
Nota-se que as seções transversais propostas são apresentadas sem dimensões dos
trechos e de espessura definidas, ficando a critério do leitor estabelecer as dimensões de
interesse.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
51
1 2 3 4 5
6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18
Figura 2.35 – Seções transversais quaisquer para determinação de D e :
Seção 1 até seção 18.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
52
19 20 21 22 23
24 25 26 27
28 29 30 31 32
33 34 35 36
Figura 2.36 – Seções transversais quaisquer para determinação de D e :
Seção 19 até seção 36.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
53
37 38 39 40 41
42 43 44 45
46 47 48 49 50
51 52 53
Figura 2.37 – Seções transversais quaisquer para determinação de D e :
Seção 37 até seção 53.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica
54
54 55 56
57 58 59
Figura 2.38 – Seções transversais quaisquer para determinação de D e :
Seção 54 até seção 59.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
55
Mt
12
Mt
3. TORÇÃO LIVRE OU DE SAINT-VENANT
3.1 INTRODUÇÃO
No capítulo anterior, foram estudados casos de barras em que o plano de carregamento
passa necessariamente pelo Centro de Torção (D), razão pela qual foram desconsiderados
quaisquer efeitos provenientes da torção. No presente capítulo, diferentemente do capítulo
primeiro, serão considerados casos em que ocorram apenas esforços relacionados à torção
simples, conforme ilustra a figura 3.1, particularizados ao caso da torção livre.
M ttM
dx
Figura 3.1 – Diferencial de comprimento de barra (dx) submetido à torção livre.
As condições para que uma barra fique solicitada à torção livre, conforme figura 3.1,
tendo como conseqüência direta a consideração da inexistência de tensões normais, são:
A seção transversal da barra é constante com x (x = eixo longitudinal), barras prismáticas;
O momento de torção solicitante (Mt) deve ser constante com x;
A barra não deve possuir vínculos que impeçam possíveis deslocamentos longitudinais.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
56
Portanto, como hipótese inicial, admite-se que a torção livre implica na ocorrência de
deslocamentos iguais, para um mesmo ponto de coordenada z e y, em todas as seções ao
longo do comprimento da barra. É o único deslocamento admitido (ou considerado), o que
permite assumir também como hipótese inicial a “indeformabilidade” da seção transversal
quando projetada sobre o seu plano.
No caso de não serem satisfeitas as condições anteriormente citadas, tem-se solicitação
à torção não-uniforme, denominada por Flexo Torção (assunto que será devidamente tratado
no Capítulo 4 com base na Teoria de Vlasov), para a qual se faz necessária a utilização de
algumas equações de interesse, usualmente obtidas pela Resistência dos Materiais, as quais
serão de interesse para o estudo da torção simples (tensões de cisalhamento e momento de
inércia à torção, por exemplo), brevemente descritas no que segue.
Tais equações são obtidas por meio da aplicação da “Analogia de Membrana”,
particularizadas às barras com seções delgadas e abertas, submetidas à torção livre, cujo
procedimento é apresentado de modo sucinto no ANEXO I, por não representar objetivo de
interesse do presente texto.
Para tanto, toma-se como ponto de partida a equação geral clássica que permite obter a
rotação (giro) da seção transversal por unidade de comprimento, obtida com base nos
conceitos da Resistência dos Materiais, se escreve na forma apresentada na equação 3.1, em
que d é o giro relativo entre duas seções, Mt é o momento de torção, G é o módulo de
elasticidade transversal do material e It é o momento de inércia à torção.
t
t
GI
M'
dx
d
(3.1)
Com base nos procedimentos descritos no ANEXO I, são obtidas como produto final
as equações 3.2 e 3.3, as quais representam o Momento de Inércia à Torção e a Tensão de
Cisalhamento para barras submetidas à torção simples e livre.
dst3
1dst
k12
p
p
k4I
s
3
s
3
t (3.2)
t
t
t
tb W
Mt
I
M (3.3)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
57
Nas equações 3.2 e 3.3, t é a espessura da parede da seção transversal da barra em
estudo, ao longo da qual as tensões de cisalhamento () são admitidas linearmente distribuídas
ao longo da espessura t, com valor máximo na borda (b) e nulo sobre a linha do esqueleto,
conforme esquematiza a figura 3.2.
l in h a d o
e s q u e le t o
b
b
t
Figura 3.2 – Distribuição das tensões de cisalhamento ao longo de t.
Na equação 3.3, Wt é denominado módulo de resistência à torção, e determinado no
trecho da seção em que ocorre a máxima espessura:
max
tt t
IW (3.4)
Por meio de um rearranjo com relação à equação 3.1, obtém-se a equação 3.5.
'GIM GI
M'
dx
dtt
t
t
(3.5)
Por fim, considera-se a substituição da equação 3.5 na equação 3.3, obtendo-se a
equação 3.6.
'GttI
'GI
t
tb
(3.6)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
58
3.2 DESLOCAMENTOS CONSIDERADOS
A ocorrência de tensões de cisalhamento, descrita pela equação 3.6 e imposta pela
consideração apenas de esforços de torção, permite admitir a existência de deslocamentos dos
diversos pontos da seção transversal de interesse, segundo as direções horizontal e vertical,
por conseqüência das rotações sofridas pelas mesmas seções ao longo do comprimento da
barra, em torno do Centro de Torção (D).
A determinação dos deslocamentos em questão faz-se com base nas seguintes
notações consideradas:
u = deslocamento na direção do eixo x (longitudinal);
v = deslocamento na direção da ordenada s (linha do esqueleto).
O conjunto dos deslocamentos longitudinais “u” causados pela rotação da seção
transversal, em torno do centro de torção D, conforme esquematiza a figura 3.3, é
denominado “empenamento da seção”.
tangente ao esqueletono ponto Q
s
-vQ
Q'
Dn
r
r
Figura 3.3 – Esquematização do giro da seção e seus respectivos deslocamentos.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
59
Por meio de análise com relação à última figura, é possível perceber que o ponto
representado sobre a linha do esqueleto na posição inicial Q, em resposta à rotação em
relação a D, passa a ocupar a posição final Q’. Para fins de aplicação prática na engenharia
estrutural, se considera apenas a ocorrência de pequenos deslocamentos, o que permite
admitir, por simplificação, que QQ’ = r. Neste caso, por semelhança de triângulos, resulta a
equação 3.7.
'ndx
dv- nv-
r
n
r
v
(3.7)
Admite-se inicialmente que os deslocamentos aqui considerados, u e v, ocorrem
segundo o eixo da barra e a ordenada “s” referente à linha do esqueleto, ou seja, u(s) e v(x,s).
Admite-se ainda que juntamente com os deslocamentos em questão, ocorram distorções em
correspondência às variações desses mesmos deslocamentos considerados, conforme
esquematiza a figura 3.4.
x
s
(deslocamentos v)
(deslocamentos u)
u
dx
vx dx
u dss
dxuxu+
v+ sv ds
ds
v
Figura 3.4 – Esquematização da configuração deformada do elemento.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
60
Além das deformações nas direções x e s, pode-se ainda considerar a deformação
transversal (variação do ângulo reto), sendo = /G, por meio da relação conhecida da
Teoria da Elasticidade, escrita na forma da equação 3.8.
s
u
x
v
(3.8)
Por meio da consideração de que os pontos pertencentes à linha do esqueleto não
sofrem deformação transversal, uma vez que pela distribuição admitida para (conforme
figura 3.4) na linha do esqueleto = 0, tem-se a equação 3.9.
0s
u
x
v
(3.9)
Lembrando que –v = n, bem como o fato de que n (raio vetor) é constante com x,
tem-se a equação 3.10.
'ndx
dn
dx
dv
(3.10)
No caso da Torção Livre, por definição, admite-se que todas as fibras (lugar
geométrico dos pontos que em cada seção da barra prismática ocupam a mesma posição
relativa) das barras sob torção uniforme (ou livre) permanecem retas após a deformação. Em
outras palavras, a torção livre é caracterizada pelo fato de que todas as seções se comportam
da mesma maneira. Conseqüentemente, o deslocamento longitudinal u não pode sofrer
variação ao longo de x, mas apenas ao longo da ordenada s. Neste caso, reescreve-se a
equação 3.9, obtendo-se a equação 3.11.
'nds
du 0
ds
du 'n (3.11)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
61
Integrando-se a equação 3.11 ao longo da ordenada s, desde a origem Os até o ponto
genérico Q, de interesse na presente análise, bem como utilizando a definição de área setorial
descrita no capítulo1, resulta a equação 3.12.
' dsn' dsn'uQ
O
Q
O ss
(3.12)
3.3 CONSIDERAÇÕES DE INTERESSE E CONVENÇÕES
A equação 3.12 permite obter de modo aproximado, porém, sem perda significativa de
precisão dos resultados, os deslocamentos longitudinais (na direção x) dos diversos pontos
pertencentes à seção transversal, definido anteriormente como “empenamento”. O caráter
aproximado utilizado na obtenção dos deslocamentos deve-se ao fato de a equação 3.12 ter
sido deduzida tomando como ponto de partida uma condição de contorno em que é assumida
a inexistência de tensões de cisalhamento sobre a linha do esqueleto (equação 3.9) e, portanto,
inexistência de distorções.
Apesar de ocorrerem tensões cisalhantes em posições diferentes daquela que coincide
com linha do esqueleto e, conseqüentemente, distorções, é bastante razoável adotar os
mesmos deslocamentos ao longo da espessura t, uma vez que as paredes que constituem a
seções possuirem dimensões de espessura bastante reduzidas (paredes delgadas).
Vale ressaltar que na figura 3.3 o sentido da ordenada s foi escolhido de modo a se
obter a relação –v = n . O procedimento mencionado foi adotado com vistas a obter u > 0
nos pontos com > 0 (e em correspondência a ’> 0). Em outras palavras, os deslocamentos
longitudinais serão considerados positivos quando ocorrerem no sentido positivo do eixo “x”,
conforme esquematizado na figura 3.5.
Vale lembra que barras com seções circulares fechadas, maciças ou vazadas, não
sofrem empenamento na torção. As barras de seção aberta delgada cuja linha do esqueleto tem
forma de “estrela” não sofrem empenamento nos pontos situados sobre a linha do esqueleto.
Neste caso, em função da aproximação adotada na determinação da equação 3.12, é possível
admitir por simplificação que os deslocamentos também serão nulos em pontos da seção não
coincidentes com a linha do esqueleto.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
62
x
y
z
Mt
Mt
= MtGIt
' =
MtGIt
Figura 3.5 – Esquematização das convenções de sinais para u, Mt e .
No que segue, serão estabelecidas algumas convenções de sinais, em concordância
com a figura 3.7, para a determinação dos parâmetros de interesse relacionados à torção livre:
Os empenamentos (u) cujos valores resultem positivos, quando da aplicação da equação
3.12, ocorrerão no sentido positivo da coordenada “x”. Caso contrário, se resultarem
negativos, deverão ocorrer no sentido negativo de “x”;
O momento de torção, representado por Mt, deve ser considerado positivo quando solicita
um parafuso direito no sentido de apertá-lo;
O giro é positivo quando ocorrer (ou for considerado) no sentido anti-horário para um
observador olhando no sentido positivo de x.
3.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – Determinação do Empenamento (u)
Exercício 1 – Determinar o empenamento relativo entre os pontos 1 e 2 indicados na seção
transversal da figura 3.6 que segue, referente ao exercício 3 do capítulo 2.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
63
21
a
a/2
a/2
t=const
Mt
x
12
Mt
x
Figura 3.6 – Seção retangular aberta com espessura t constante.
a-) Determinação dos empenamentos absolutos referentes aos pontos 1 e 2:
' 'u 1111 ''u 2222 GI
M'
t
t a4t3
1I 3
t
De acordo com o diagrama de área setorial apresentado na figura do exercício 3 do
capítulo 2, tem-se 1 = a2 e 2 = -a2, conforme ilustra a figura 3.7.
y
z DsO
a
a/2
a/2
CG
58 a
_
_
+
+
_
+
+
a2
a2
3a2
16
163a225a
16
1625a
Figura 3.7 – Valores (literais) para a área setorial principal.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
64
Neste caso, resultam os seguintes deslocamentos:
'au 2
1 'au 2
2
b-) Determinação do empenamento relativo entre os pontos 1 e 2:
Gat3
4M
a2 GI
Ma2 'a2)'a('auuu
3
t2
t
t2222
21rel
)cm :(unidade Gt2
aM3 u
3
trel
Exercício 2 – Calcular o empenamento relativo entre os pontos 1 e 2 indicados na figura 3.8,
representada por barra de seção circular
y
z
r
t
1
2
x
Mt
Mt
Figura 3.8 – Seção circular aberta com espessura t constante.
a-) Determinação da posição do Centro de Torção (D):
Como z é eixo de simetria, vale lembrar que yD = 0, bastando apenas determinar o
valor de zD para a obtenção da posição do centro de torção.
s
P
z
PA
P
z
PD ds yI
tzdA y
I
1zz
3
yz trII
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
65
Os valores de Iz e Iy correspondem aos eixos principais de inércia. Para a aplicação da
última equação, o pólo provisório será adotado com posição coincidente com o centro de
gravidade da seção, conforme figura 3.9, de modo que zP = 0.
y
z
Osd
linha doesqueleto
r
y P
ds
Figura 3.9 – Pólo provisório (P) coincidente com CG da seção.
A determinação de zD depende da determinação das equações de ωP e y, ambas
descritas em função de r, uma vez que a varredura será feita radialmente com origem Os
indicada no CG. Neste caso, escreve-se:
senr y r
ysen
dr ds
2
0
2
sP rdrrd rds n
Um outro modo de determinar a equação da área setorial em função de α (ângulo de
varredura) refere-se ao fato de que área setorial corresponde ao dobro da área geométrica
formada pela varredura imposta à seção, neste caso, a área de um setor circular:
drdA2d dr2
1dA 2
SCP
2
SC
Portanto, resulta:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
66
2 x rd )sen r)(r(tr
t0z
0
2
3D
(multiplica-se por 2 em razão da simetria)
d )sen.(r2
d )sen.(tr
tr2z
003
4
D
Resolvendo a integral da última equação por partes, tem-se:
dababdba
dda a
cosb d senb dsendb
Finalmente, obtém-se:
r2r2
senr2
d coscosr2
zo
00D
b-) Determinação dos empenamentos absolutos referentes aos pontos 1 e 2:
A área setorial do ponto 2 da seção resulta igual ao dobro da diferença das áreas A-B,
ambas esquematizadas na figura 3.10, ou seja, o dobro da área do semi círculo de raio r.
y
z
1
2
r rr
sOD
A
>0 <0
z
1
2
sOD
B
Figura 3.10 – Composição de áreas geométricas para determinação de ω principal.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
67
Neste caso, resultam 1 = r2 e 2 = - r2. Conseqüentemente, são obtidos os
seguintes deslocamentos longitudinais:
'ru 2
1 'ru 2
2
c-) Determinação do empenamento relativo entre aos pontos 1 e 2:
GI
Mr2 'r2)'r('ruuuu
t
t2222
21rel
Lembrando que: 3
rt2dst
3
1I
3
s
3
t
3
t
3
t
2
Gt
rM3
rt2.G
3Mr2u
Exercício 3 – Calcular o empenamento relativo entre os pontos 1 e 2 indicados na figura
3.11, representada por barra composta por trechos circular e retos
zAUX
AUXy
a 2a
aaa
1
2
t const=0,1a
tM
Mt
A
B
x
Figura 3.11 – Seção aberta, com trechos reto e circular, e com espessura t constante.
a-) Determinação do CG e do Iz:
0yo a32,1a2a2a
a.a2a.)23(a
zo
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
68
a224,012
)a2(a1,0)a95,0()a05,1(
8I
344
z
C G
a
a
2a/
b-) Determinação da posição do Centro de Torção (D):
Adotando-se a posição do pólo provisório P, conforme figura 3.12, ficam estabelecidas
as distâncias yp = 0 e zp = 1,68a. Neste caso, utilizando novamente as equações deduzidas e
apresentadas no exercício anterior, em que dp = r2 d, ds = rd e y = r sen , passa a ser
possível determinar a posição de D, somando as contribuições dos trechos circular e reto, por
meio do seguinte procedimento:
1,68a 1,32a
CGz
y
P
d
Figura 3.12 – Posição adotada para o pólo P.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
69
Trecho circular
2/
0
42/
o
42/
o
2
AP cossenrt2d )sen(rt2rd )senr()r(t2dA y
Na última equação, para r = a e t = 0,1a:
5
AP a2,0dA y
Trechos retos (ver diagramas esquematizados na figura 3.13)
52
AP a2,0)aa3
3
a.2(a1,0dAy
_
+
_
+
a
a
3a2
3a2
p( ) ( y )
Figura 3.13 – Diagramas de P e y para o trecho reto vertical.
Portanto, resulta:
a106,0)a2,0a2,0(a224,0
1a68,1dAy
I
1zz 55
4p
z
pD
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
70
c-) Determinação dos valores de área setorial principal para os pontos 1 e 2.
A determinação dos valores de área setorial principal para os pontos 1 e 2, faz-se,
neste caso, por composição de áreas formadas no processo de varredura ao longo da linha do
esqueleto com relação ao ponto D, tal que da figura 3.14 resulta B = A + E – C, ou ainda, com
um rearranjo, resulta A – B = C – E. Neste caso:
222
1 a215,04
a
2
a786,12)EC(2)BA(2
Analogamente, para o ponto 2 resulta:
2
2 a215,0
1,786a
D
sOsO
2
1DA
DC
B
E
Figura 3.14 – Diagramas de P e y para o trecho reto vertical.
d-) Determinação dos empenamentos absolutos referentes aos pontos 1 e 2:
'a215,0u 2
1 'a215,0u 2
2
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
71
c-) Determinação do empenamento relativo entre aos pontos 1 e 2:
GI
Ma43,0 'a43,0)'a215,0('a215,0uuuu
t
t2222
21rel
43
s
3
t a)a 2a (2a (0,1a)3
1dst
3
1J
2
t
4
t
2
aG
M2,179
Ga0024,0
Ma43,0u
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre
72
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
73
M t
M t
m
+dM t
m = dM tdx
4. TORÇÃO NÃO-UNIFORME OU FLEXO TORÇÃO
4.1 INTRODUÇÃO
No primeiro capítulo foram estudados casos de barras cujo plano de carregamento
passava necessariamente pelo centro de torção, razão pela qual foram desconsiderados
quaisquer efeitos referentes a esforços proveniente da torção de barras. No segundo capítulo,
diferentemente do primeiro, foram considerados casos cujos carregamentos externos e suas
correspondentes condições de vinculação provocavam apenas esforços relacionados à torção
pura ou torção livre.
Vale aqui lembrar que em ambos os capítulos mencionados anteriormente os estudos
foram conduzidos com vistas à aplicação da Teoria de Vlassov para barras com seções
transversais abertas de paredes delgadas.
Finalmente, no presente capítulo faz-se uma abordagem dos casos de barras
submetidas a condições de carregamento e de vinculação que permitem considerar a
ocorrência simultânea de esforços de flexão e de torção, ou seja, torção não-uniforme ou de
flexo torção. Assim como nos capítulos 1, 2 e 3, nesse capítulo os estudos também serão
desenvolvidos com vistas à aplicação da Teoria de Vlasov para barras com seções transversais
abertas de paredes delgadas.
A ocorrência torção em barras passa a ser considerada como não-uniforme em resposta
aos seguintes aspectos considerados na análise:
Engastamento de seções de interesse: impedimento parcial ou total dos deslocamentos
longitudinais;
Variação da seção transversal ao longo do comprimento da barra;
Variação do esforço solicitante momento de torção ao longo do comprimento da barra;
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
74
No entanto, vale ressaltar que como estão sendo consideradas apenas barras de seção
constante, a ocorrência de flexo torção fica restrita aos casos em que o momento de torção não
é constante ou àqueles casos em que ocorrem vínculos que impedem os deslocamentos
longitudinais em seções transversais de interesse.
Quando o momento de torção varia ao longo da barra, seções vizinhas tendem a
apresentar rotações diferentes, isto é, tendem a ter empenamentos diferentes. Para que a
compatibilidade de deslocamentos seja verificada, o aparecimento de tensões normais,
modificando os empenamentos, é inevitável. Essa situação será considerada no decorrer do
presente texto.
Quando uma barra engastada numa extremidade é submetida a um momento de torção
aplicado na outra, nesse engastamento o empenamento passa a ser impedido, causando como
conseqüência o aparecimento de tensões normais. Essa situação também será considerada no
decorrer do presente texto.
É importante destacar que tais tensões normais são usualmente negligenciadas nas
vigas sólidas, por serem de caráter local e de ordem de grandeza bem menor se comparadas às
tensões de cisalhamento. No entanto, nas barras de paredes delgadas, devem ser consideradas
uma vez que podem ser da mesma ordem de grandeza das tensões de cisalhamento causadas
pela torção.
Como hipóteses básicas (e simplificadora) para a análise de peças submetidas à flexo
torção (torção não uniforme) serão adotadas aquelas mesmas apresentadas no capítulo 1, e
aqui novamente descritas. São as seguintes:
a) Após a deformação da barra, a seção transversal deverá projetar-se indeformada no seu
plano (yz), comportando-se como se fosse rija nesse plano;
b) A superfície média (perpendicular à seção transversal e que passa pela linha do esqueleto)
não sofre distorções;
Como conseqüência das duas hipóteses apresentadas, uma outra hipótese básica para
analise de barras submetidas à flexo torção é admitir como também valida a seguinte equação:
' u (4.1)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
75
No contexto da flexo torção, diferentemente da torção livre de Saint Venant, a
derivada do ângulo de rotação () não é mais constante. Nesse caso, a amplitude do
empenamento (u) irá variar de seção para seção, de modo que ’ será função apenas da
coordenada de “x”, ou seja, com variação apenas ao longo do comprimento da barra.
Nos itens que se seguem, com base em conceitos da Resistência dos Materiais, serão
apresentadas as equações de interesse para o objeto de estudo do presente capítulo.
4.2 DEFORMAÇÕES E TENSÃO NORMAL NA FLEXO TORÇÃO
Considerando-se a ocorrência de deslocamentos longitudinais (u) variáveis com
relação à coordenada x, sabe-se, pela Resistência dos Materiais, que a deformação específica
na mesma direção é escrita na forma:
0x
ux
Neste caso, com base na equação 4.1, é deduzida uma primeira equação de interesse,
pelo procedimento:
'' )' (xx
ux
(4.2)
Pela lei de Hooke, com base na figura 4.1, sabe-se que a relação entre tensões e
deformação no estado plano de tensões é escrita na forma:
x x
s
s
dx
ds
esqueleto
dsdx
Figura 4.1 – Representação das tensões em um elemento infinitesimal da seção delgada.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
76
)(E
1sxx (4.3)
Na última equação, x e s representam as tensões normais nas direções do eixo da
barra e da linha do esqueleto, respectivamente, enquanto é o coeficiente de Poisson e E o
módulo de elasticidade longitudinal. Das hipóteses de cálculo adotadas, no caso, seção
transversal indeformável no seu plano (indeformabilidade da sua projeção sobre o plano yz),
tem-se s = 0. Portanto, chega-se uma relação entre ambas as tensões na forma:
xsxss 0)(E
1 (4.4)
Finalmente, substituindo a igualdade 4.4 na equação 4.3, resulta:
E
)1( x
2
x
(4.5)
A última relação pode ser reescrita na forma:
x
*
x E (4.6)
Na última equação, E* é o denominado módulo de elasticidade longitudinal reduzido,
escrito na forma:
2
*
1
EE
Nas aplicações práticas que serão aqui abordadas, despreza-se, por simplificação, o
valor 2 em comparação com a unidade, admitindo como válido que E* = E. Esta
aproximação equivale à suposição, bem aplausível para os casos em estudo, de se desprezar
todas as tensões normais, com exceção de x longitudinal. Por fim, resulta a equação:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
77
'' E E x
*
x (4.7)
Vale aqui ressaltar que no capítulo 2 o parâmetro ’ resulta constante e, portanto, com
base na equação 4.7, a tensão x resultará nula, fato que está em concordância com as
considerações adotadas naquele capítulo para a torção livre.
Um outro aspecto que merece destaque refere-se à proporcionalidade entre x e , que
chama a atenção para o fato de a tensão x não possuir resultantes como ocorre nos estudos de
flexão: nem força normal (N) e nem momentos fletores (Mz e My). Os aspectos mencionados
podem ser constatados pelas deduções apresentadas a seguir, com base nas igualdades
apresentadas por meio das equações 1.17, 1.21 e 1.26 do capítulo 1:
0 dA '' EdA NAA
X (4.8)
0 dA y '' EdAy MAA
Xz (4.9)
0 dA z '' EdA zMAA
Xy (4.10)
Neste caso, em razão da inexistência de resultantes, o efeito provocado pelo
aparecimento das tensões x será entendido como um novo esforço solicitante, denominado
por Vlassov como Bimomento (B), o qual será estudado no item 4.5.
4.3 CISALHAMENTO E MOMENTO DE TORÇÃO
4.3.1 TENSÕES DE CISALHAMENTO Por conseqüência da variação das tensões normais x ao longo da barra (’’’ 0) de
uma seção para outra, fato que pode ser verificado por meio da equação 4.7, ocorrerão para
fins de equilíbrio tensões de cisalhamento, aqui representadas por ft, conforme esquematiza a
figura 4.2a. De modo análogo àquele estabelecido no capítulo 1, admite-se, por simplificação,
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
78
que ft será uniformemente distribuída ao longo da espessura t da parede da seção transversal
(Teorema de Cauchy) conforme esquematizado na figura 4.2b.
tg
Dn
ft
s
s1
R
R+dR
s ft
ft
s1
s
t
dS
dx
x
(a) (b)
Figura 4.2 – Tensões de cisalhamento (uniforme) na seção delgada.
Na figura 4.2a, R representa a força resultante obtida por meio das tensões x que
atuam no elemento de área (dA = tds) da seção transversal, escrita na forma:
ds tdARS
1Sx
Ax
Substituindo na última equação a igualdade apresentada na equação 4.7, procede-se:
dst ''' E dA ''' Edx
dR dA '' ER
S
1SAA
Por fim, considerando o equilíbrio do elemento considerado na figura 4.2, na direção
longitudinal, resulta:
ds ''' E dA t
''' E
dx
dR
t
1 dR dx)(t
S
1SAftft
(4.11)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
79
Na equação 4.11, a integral que aparece será aqui representada por S e denominada
“momento estático setorial”. Resulta, portanto, escrita na forma:
dst dA SS
1SA (4.12)
Por fim, reescreve-se a equação 4.11:
S
t
''' E ft (4.13)
Note-se que o valor do parâmetro S resulta do produto entre a área do diagrama de
e a espessura t, tomada até um ponto de interesse. Para definir o sinal que S assumirá, faz-se
necessário fixar uma direção para a coordenada s, ou seja, um ponto na seção transversal
como origem (s1) para a coordenada s.
Como a equação da tensão ft (equação 4.13) foi deduzida com base na
esquematização estabelecida na figura 4.2a, e como E e t serão sempre positivos, é possível
estabelecer a seguinte convenção de sinais para a mesma tensão:
Se a tensão ft resultar positiva, terá seu sentido coincidente com aquele adotado para a
coordenada s. Essa situação ocorrerá nos casos em que ’’’ e S possuirem o mesmo sinal;
Se a tensão ft resultar negativa, terá seu sentido contrário àquele adotado para a
coordenada s. Essa situação ocorrerá nos casos em que ’’’ e S possuirem sinais diferentes.
Vale aqui lembrar que com a consideração das tensões ft, fica ameaçada a base da
dedução da equação u = ’, para a qual foi admitida a inexistência de tensões de
cisalhamento na linha do esqueleto.
No entanto, no caso de seções delgadas, as tensões de cisalhamento provenientes da
torção livre () resultam, na maioria dos casos correntes da engenharia de estruturas, muito
maiores em comparação às tensões da flexo torção (ft), ou seja, >> ft, razão pela qual a
relação u = ’ pode permanecer ainda válida.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
80
Apesar de pequenos em comparação à tensão , os valores de ft dão uma
contribuição considerável em resposta ao aparecimento do momento de torção, pois suas
forças elementares (ftdA) são multiplicadas por distâncias (n) muito maiores que quando
comparadas àquelas que multiplicam as forças elementares provenientes da torção livre, no
caso, apenas 2/3t, conforme esquematiza a figura 4.3.
t
b
b=2/3t
( seção delgada )D
n
tg
ft
Sendo :
ft>>e
n >> b
Figura 4.3 – Representação das Tensões de cisalhamento e ft.
4.3.2 MOMENTO DE TORÇÃO
O efeito das tensões ft multiplicadas pela distância n, conforme figura 4.3, dá origem
a uma segunda parcela do momento de torção total, o qual será somado ao momento de torção
livre, aqui denominado momento de torção de flexo torção e representado por Mft. Esse
último momento resulta da contribuição de ft, transformado em forças elementares e
multiplicado por n, ao longo de toda a linha do esqueleto, de modo que:
ds)t n(n.)dA(Ms
ftA
ftft
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
81
Da equação 4.11, substituída na última equação apresentada, sabendo que s1 e s2 são
os pontos extremos da linha do esqueleto, bem como que E e ’’’ não variam ao longo da
linha do esqueleto, resulta:
dsn t ds ''' E M2s
1s
s
1sft
(4.14)
A parcela da equação 4.14 referente às integrais consiste de duplo procedimento de
integração, cuja resolução é obtida por meio de integração por partes, expressa na sua forma
geral:
dababdba
Nesse caso, para o problema em questão, definem-se:
dAds)t(da ds t)(as
1s
ds nb ndsdbs
1s
Portanto, como produto final da integração por partes, resulta:
tds) . ( - . )ds t ( ''' E Ms2
s1
2s
1s
s
s1ft
Na última equação, referente ao momento da flexo torção, é possível notar que à
esquerda interna ao colchete resultará sempre nula, para s assumido qualquer um dos limites
de integração, no caso, s = s1 ou s = s2, uma vez que neste caso ω representa a área setorial
principal. Em resumo, tem-se:
Para s = s1: 0).0( . )ds t(s1
s1
Para s = s2: 0).0( . )ds t(s2
s1
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
82
Portanto, com base nas últimas considerações, resulta:
dA ''' E- tds) . ( ''' E- MA
2s2
s1ft (4.15)
A integral que compõe a equação, por analogia com a Resistência dos Materiais, é
chamada de Momento de Inércia Setorial e indicada por I. Vale aqui ressaltar, apenas como
informação complementar, que com base na literatura alemã define-se I com integral de
empenamento.
dA IA
2 (4.16)
Vale mencionar que quando e A são expressos em cm (unidade geralmente utilizada
para esses parâmetros), ter-se-á a unidade de I expressa em cm6. Portanto, a parcela Mft do
momento de torção total (Mt), será escrita na forma final:
''' EI- Mft (4.17)
4.4 CONSIDERAÇÃO DA FLEXO TORÇÃO NO MOMENTO TOTAL
Para uma barra submetida a carregamentos externos, admite-se para fins de equilíbrio
a ocorrência de esforços internos dos tipos força normal (N), força cortante (V), momento
fletor (M) e momento de torção (T).
Nos capítulos 1 e 2 foram abordados casos em que se desconsiderava a existência de
torção e, portanto, a consideração apenas de esforços internos dos tipos N, V e M. Por outro
lado, no capítulo 3, foram considerados casos em que ocorriam apenas esforços de torção,
denominados por torção pura ou livre, representados pelo momento de torção livre (M).
No presente capítulo, se considera casos gerais que englobam aqueles casos estudados
nos capítulos 1, 2 e 3, de modo que a ocorrência simultânea de esforços de flexão e torção
passa a ser finalmente considerados, razão pela qual, além do momento de torção livre (M), o
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
83
momento devido à flexo torção (Mft), abordado no item anterior passa a ser considerado.
Neste caso, o momento de torção total, aqui representado por (Mt), resultará da soma direta
das duas parcelas mencionadas nesse mesmo parágrafo. Consequentemente, o mesmo deverá
ser admitido para fins de determinação do respectivo diagrama.
Em síntese, o momento de torção (Mt) será composto basicamente por duas parcelas:
uma primeira, no caso, Mft, a qual aparece em resposta à ocorrência das tensões de
cisalhamento τft, e uma segunda, M, que aparece em resposta a ocorrência das tensões de
cisalhamento da torção livre τ. Portanto, escreve-se:
MMM ftt (4.18)
No caso da torção livre:
'GIMM 0M ttft (4.19)
É importante lembrar que para os casos representativos da equação 4.19, ’ é admitido
constante. Por outro lado, no caso da ocorrência de casos de flexo torção, em que ’ não é
mais uma constante, escreve-se:
'''EIMft
'GIM t
Finalmente, a equação diferencial escrita em função do ângulo de rotação , regente
dos problemas de flexo torção, é escrita na forma final:
'''EI 'GI MMM tftt (4.20)
Uma vez obtido (ou determinado) o ângulo de rotação com base na resolução da
última equação, o problema da flexo torção fica resolvido, passando a ser possível se
determinar as grandezas envolvidas.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
84
4.5 CONCEITO DO BIMOMENTO – Determinação de B
4.5.1 INTRODUÇÃO No item 4.2, foram introduzidas as tensões normais que aparecem em resposta à
consideração de barras submetidas à flexo torção. No mesmo item 4.3, fez-se destaque à
proporcionalidade entre x e , bem como para o fato de a tensão x, na flexo torção, não
possuir resultantes como ocorre nos estudos de flexão, onde se demonstrou que N = 0, Mz = 0
e My = 0, por meio das equações 4.8, 4.9 e 4.10, respectivamente.
Buscando um melhor entendimento dos efeitos provocados pela tensão normal na
flexo torção, ou seja, inexistência de resultantes, faz-se no presente a introdução de um novo
esforço solicitante, auto-equilibrado, o qual foi denominado em VLASOV (1961) como
Bimomento, representado pelo parâmetro B, o qual será aqui apresentado.
Inicialmente, com base em uma analogia direta com a relação que exprime o equilíbrio
dos esforços externos e internos no caso de flexão simples, escreve-se:
dA y MA
xz dA z MA
xy
Em VLASOV (1961) faz-se a introdução de uma nova grandeza chamada de
Bimomento, conforme já mencionado, o qual deverá desempenhar na flexo torção o mesmo
papel que o momento fletor desempenha na flexão simples, bastando para isso considerar
novamente a correspondência direta entre y (ou z) e ω. Lembrando que na flexão valem as
igualdades M = -EIv” e = (M/I)y, pela substituição da primeira na segunda, escreve:
'' y v E- x
Da correspondência direta entre y e ω, conforme já deduzido por meio da equação 4.7,
escreve-se:
'' E x
Finalmente, como resultado direto dessa mesma correspondência entre y e ω, a
grandeza bimomento é definida, por analogia com Mz, na forma final:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
85
dA BA
x (4.21)
Portanto, substituindo a equação de x = Eω’’ na equação 3.21, obtém-se:
dA'' EBA
2 (4.22)
Lembrando que a integral que compõe a última equação é chamada de Momento de
Inércia Setorial e indicada por I., conforme equação 4.16, reescreve-se a equação 4.22 na
forma:
'' I EB (4.23)
Com relação à tensão normal na flexo torção, escreve-se:
I
B
EI
B E'' E x (4.24)
Por meio de uma análise com relação à última equação, é possível notar novamente a
analogia da equação 4.24 com aquela utilizada nos estudo de flexão, ressaltando-se sempre
que o bimomento é um novo esforço solicitante que conduz a forças auto-equilibradas.
Quando x resultar da aplicação de uma carga concentrada axial (F), aplicadas em um
ponto discreto na barra e que provoque a ocorrência de situação de flexo torção, considera-se
a existência de um bimomento na seção de interesse, o qual é resultado da força F aplicada
multiplicada pelo valor da área setorial referente ao mesmo ponto da seção.
.FB (4.25)
Fica claro, portanto, que quando ocorrem várias forças concentradas aplicadas em
diferentes pontos da mesma seção de interesse, o valor do bimomento passa a ser escrito na
forma de somatório, tal que:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
86
i
n
1iiFB
(4.26)
Na equação 4.26, i é o valor de área setorial principal correspondente ao ponto de
aplicação da força Fi, pertencente à linha do esqueleto.
O sinal do bimomento aplicado é resultante da multiplicação algébrica da área setorial
pela carga, sendo positivo quando produzido por forças de tração (positivas) atuando em
pontos onde a área setorial é positiva.
Para um entendimento correto da forma de utilização da equação 4.26, toma-se como
ponto de partida o exemplo da figura 4.4, situação em que ocorrem várias cargas concentradas
aplicadas na mesma seção transversal.
b/2b/2
F
b/2b/2
F
F
h
F
x
< 0i
2
2b
+_
b/2
(b/2 . h/2)+
_
Figura 4.4 – Quatro forças concentradas (F) aplicadas na mesma seção.
Com relação à figura 4.4, o bimomento aplicado é dado por:
Fbh2
h.
2
bF4B
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
87
É importante ressaltar novamente que as tensões normais x provenientes do
bimomento, conforme equação 4.24, “não” são constantes ao longo da barra, pois se sabe que
o bimomento (B) é função de ”, o qual sofre variação ao longo do eixo X. Essas tensões x
(equação 4.24) são consideradas positivas quando de tração.
4.5.2 CONTRIBUIÇÃO NAS TENSÕES NORMAIS No caso geral de uma barra solicitada por Força Normal (N) e Momento Fletores (Mz
e My), a tensão normal longitudinal será aqui determinada com base naquela já conhecida da
Resistência dos Materiais, considerando-se também a contribuição dos efeitos da flexo torção,
por meio do bimomento, na forma geral:
)(I
B )z(
I
M )y(
I
M
A
N
y
y
z
zx
(4.27)
A partir de agora, o bimomento, por meio da equação 4.27, passou a integrar o
conjunto dos esforços solicitantes. Porém, ressalta-se como particularidade que seu diagrama
não pode ser traçado com base apenas em considerações estáticas, por se caracterizar com
esforço auto-equilibrado.
Vale aqui destacar que a contribuição da última parcela do lado direito da igualdade da
equação 4.27 pode resultar eventualmente maior que as demais, especialmente nas seções da
barra próximas à região de engastamento.
4.5.3 INFLUÊNCIA NAS TENSÕES DE CISALHAMENTO DA FLEXO TORÇÃO No item 4.3.1, foi deduzida e apresentada a equação 4.13, referente à tensão de
cisalhamento na flexo torção, τft, naquele item escrita na forma:
S
t
''' E ft Lembrando que: dst dA S
S
1SA
No entanto, utilizando a equação do bimomento anteriormente deduzida, é possível
escrever a equação de τft de modo análogo àquele em que se apresenta a tensão de
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
88
cisalhamento na flexão, clássico da Resistência dos Materiais. Para tanto, deriva-se uma
primeira vez a equação 4.23, com relação a X, obtendo-se:
''' I E'B (4.28)
Por meio de uma comparação direta da última equação com aquela determinada para o
momento da flexo torção (Mft), no caso, equação 4.17, nota-se que:
'B''' EI- Mft (4.29)
Neste caso, com base em:
S
t
'''Eft
Obtém-se finalmente:
It
SMftft (4.30)
Ou ainda, com base na equação 4.29, obtém-se:
It
S'Bft (4.31)
Conforme já mencionado, é importante notar a analogia entre a equação 4.31 com
aquela da tensão de cisalhamento na flexão, apresentada a seguir, em que V = dM/dx possui
analogia direta com Mft = dB/dx.
It
SV z
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
89
4.6 FLEXO TORÇÃO - SOLUÇÃO POR EQUAÇÃO DIFERENCIAL
4.6.1 OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Uma vez introduzidos e considerados os conceitos da flexo torção, é intuitivo admitir
que na ocorrência de momento de torção, esse será composto de duas parcelas distintas
correspondentes à torção livre (M) e à flexo torção (Mft), podendo ocorrer simultaneamente.
Neste caso, o momento de torção total (Mt) pode ser escrito como a soma das parcelas
Mft e M, obtendo-se uma nova equação diferencial regente do problema. A determinação da
equação diferencial de interesse para o problema é obtida partindo-se do conjunto de
equações:
ftt MMM '''EIMft 'GIM t
Com as substituições convenientes, obtém-se:
'B 'GI'''EI'GIM ttt
Derivando-se a última equação com relação à x e utilizando a igualdade B = E I ’’,
resulta:
"BBEI
GIM t'
t
(4.32)
Nota-se que o termo entre parênteses consiste basicamente de propriedades físicas e
geométricas, tratando-se, portanto, de uma constante com unidade de comprimento
(usualmente o centímetro). Neste caso, por simplificação, faz-se a introdução de um
parâmetro “r”, representativo do resultado do termo entre parênteses, definido como
“comprimento de comparação”:
t
t
I/I)1(2 GI
EIr
(4.33)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
90
Usando a noção de “carga de torção distribuída”, representada aqui por “m”, cujo
valor resulta da derivada de Mt com relação à x, no caso, m = Mt’, obtém-se uma outra
equação diferencial representativa do problema da flexo torção, expressa na forma:
mrB ''Br 22 (4.34)
É importante ressaltar aqui que o parâmetro m (carga de torção distribuída) permite
considerar casos práticos em que se considera a ocorrência de uma carga uniformemente
distribuída (ou plano de carga, conforme comentado no capítulo 1) aplicada de modo não
coincidente com o centro de torção, como por exemplo, telhas de cobertura apoiadas em
terças metálicas. A figura 4.5 ilustra a representação de m ao longo do eixo da barra.
-m2
m2
m
Figura 4.5 – Representação da consideração da carga de torção distribuída (m).
4.6.2 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL A solução da equação diferencial 4.34, a qual consiste uma equação diferencial linear
com coeficientes constantes, parte da consideração clássica da soma de duas parcelas que
compõem a resolução do problema, ou seja, B = Bh + Bp (homogênea + particular). O método
geral para resolver a equação homogênea (Bh) é procurar uma solução da forma:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
91
x
h eB
Derivando-se a última equação, em que é admitida como uma constante, resulta:
x2
h
x
h e''B e'B
Substituindo os resultados obtidos das derivações na equação r2 B’’– B = 0, tem-se:
0e er xx22 (4.35)
A equação 4.35 é chamada “equação característica“, associada à equação homogênea,
para a qual se faz necessário suas raízes. O procedimento consiste em estabelecer uma raiz
para a equação de interesse, por exemplo, a raiz 1. Nesse caso, se 1 é uma raiz de equação
característica, então Bh = e (1x) é a solução da homogênea, então:
1/r 1/r 1 r 01) r(e 222222x
Assim, são obtidas ou estabelecidas duas raízes características, no caso, 1 = 1/r = -1/r,
sendo essas duas raízes reais e distintas. Dessa forma, se tem duas soluções da equação
homogênea, ambas linearmente independentes, tal que:
)r/x(
2
)r/x(
1h eCeCB
As combinações lineares das soluções também são soluções, de modo que as parcelas
compostas por neperianos podem ser reescritas nas formas :
r
xsenh
2
ee r/xr/x
r
xcosh
2
ee r/xr/x
Portanto, reescreve-se a última equação de Bh na forma:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
92
r
x coshC
r
x senhCB 21h (4.36)
Para a determinação da equação particular Bp admite-se, por simplificação, que a carga
de torção distribuída m é constante, fato que atende a quase todos os casos práticos da
engenharia de estruturas. Nesse caso, da equação diferencial 4.34 resulta:
mrB 2
p (4.37)
Portanto, a solução geral da equação diferencial regente do problema da flexo torção
resulta da soma das equações 4.36.e 4.37, e escrita na forma final:
mrr
x coshC
r
x senhCB 2
21
(4.38)
Como a incógnita fundamental, no caso da flexo torção, é o ângulo (de rotação),
torna-se conveniente obter-se uma equação diferencial que permita relacionar esse mesmo
ângulo com o carregamento externo, cujo procedimento consiste em derivar a equação 4.20,
obtém-se:
''''EI ''GI m t (4.39)
Dividindo a última equação por GIt, tem-se:
''''GI
EI ''
GI
m
tt
Considerando a equação 4.33, obtém-se:
t
2
GJ
m"""r (4.40)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
93
Por um procedimento análogo àquele adotado para a determinação da equação 4.38,
ainda considerando m constante, obtém-se:
t
2
4321 GI2
mxCxC
r
x coshC
r
x senhC
(4.41)
A partir das equações 4.38 e 4.41, o problema da flexo torção pode ser resolvido,
bastando apenas que sejam determinadas as respectivas constantes de interesse, com base em
condições de contorno previamente estabelecidas para cada caso estudado. Algumas situações
comumente de interesse serão apresentadas no capitulo 5 do presente texto.
4.7 CONVENÇÕES DE SINAIS
Com a finalidade de esclarecer qualquer dúvida a respeito das convenções adotadas, é
apresentada na figura 4.6 os sentidos considerados como positivos, por convenção, para o
momento de torção (Mt), para o momento de torção distribuído (m), para o ângulo de rotação
() e para o bimomento (B).
x
y
z
Mt
Mt
m
+dMt
dx
B>0
B>0
B<0
m = dMtdx
Figura 4.6 - Sentidos positivos adotados para Mt, m, e B.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme
94
Em caráter complementar, no Anexo II são apresentadas equações adicionais e de
interesse da Flexo Torção obtidas via Energia de Deformação, bem como equações que
permitem obter o Bimomento em resposta à existência de momento fletor aplicado à barra.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
95
5. ANALOGIA E CONDIÇÕES DE CONTORNO
5.1 ANALOGIA ENTRE FLEXÃO E FLEXO TORÇÃO
Nos itens anteriores, no decorrer das equações obtidas para o caso da flexo torção,
sempre existiu a preocupação de se destacar a analogia direta que ocorre entre as equações
obtidas como conseqüência da teoria proposta e apresentada em VLASOV (1961), com
aquelas obtidas por meio dos conceitos clássicos da Resistência dos Materiais.
Nesse sentido, em razão das várias analogias identificadas anteriormente, faz-se no
presente item a reunião daquelas analogias de maior interesse, organizadas na forma de tabela,
para um melhor entendimento dos conceitos propostos em VLASOV (1961) e aqui
apresentados, com vistas a aplicações futuras.
Inicialmente, vale destacar uma interessante analogia entre flexão e flexo torção,
chamando a atenção para a mesma estrutura que as equações apresentam. No caso de flexão e
da flexo torção, respectivamente, escrevem-se,:
q dx
)x(vdEI
4
4
m
dx
dGI
dx
dEI
2
2
t4
4
Uma análise com relação às duas últimas equações permite identificar que, em ambos
os casos, a igualdade se refere ao carregamento aplicado em uma dada barra de interesse, no
caso, na forma distribuída, lembrando que m foi definida com carga de torção distribuída e
admitida com constante no presente texto.
Por fim, são apresentadas na tabela 5.1 as analogias que surgem entre a teoria de
Vlasov e a Resistência dos Materiais, em que é possível notar uma correspondência direta
entre os parâmetros y e , entre os parâmetros v e , bem como entre as propriedades
geométricas Iz (ou Iy) e I.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
96
Tabela 5.1
ANALOGIA: TEORIA DE VLASOV x RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Propriedades ou Tensões
FLEXÃO
(Resistência dos Materiais)
FLEXO TORÇÃO
(Teoria de Vlasov)
Momento de Inércia
X
Momento de Inércia Setorial
dA y IA
2
z
dA IA
2
Momento Estático
X
Momento Estático Setorial
dA ySA
z
dst dA SS
1SA
Momentos Fletores
X
Bimomento
'' vI EM zz
ou
'' vI EM yy
'' I EB
Força Cortante
X
Momento de Flexo torção
''' vI EV zz
ou
''' vI EV yy
''' EI- Mft
Tensão Normal
yI
M
z
zx
I
B x
Tensão de Cisalhamento
It
SV z
It
S'B
It
SMftft
5.2 CONSIDERAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO
Conforme já mencionado, as equações 4.38 e 4.41 apresentadas no capitulo 4
permitem resolver o problema da flexo torção, bastando apenas que sejam determinadas suas
respectivas constantes, com base em condições de contorno previamente estabelecidas para
cada caso estudado.
As condições de contorno para casos comuns, que aparecem em situações práticas da
engenharia de estruturas, são apresentadas a seguir:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
97
Caso 1 - Extremidade livre (sem carga axial aplicada):
A inexistência de impedimentos aos deslocamentos axiais implica, de acordo com as
hipóteses adotadas no item 3.1, na não ocorrência de tensões normais, de modo que:
0B 0 x
Caso 2 - Extremidade engastada:
Diferentemente do primeiro caso considerado, agora a existência de impedimentos aos
deslocamentos axiais implica, de acordo com as hipóteses adotadas no item 4.1, na ocorrência
de tensões normais e, portanto, do bimomento. Deve ser considerado também, em razão do
engastamento, o impedimento à rotação da seção de interesse, de modo que:
0B 0 x
0 'u 0 ' 0
Portanto, nesse caso, u será nulo para qualquer ponto pertencente à linha do esqueleto
na seção de interesse. Sendo ’ = 0, o momento livre M também será nulo, o que permite
considerar que Mt = Mft e, conseqüentemente, B’ = -Mt.
Caso 3 - Extremidade com vínculo de garfo:
Este tipo de apoio, denominado “vínculo de garfo”, é capaz de impedir a rotação
deixando livres os deslocamentos axiais (empenamento), razão pela qual a tensão normal é
nula e, consequentemente, o bimomento também. A representação estática desse vínculo é
apresentada na figura 5.1. Nesse caso, para a seção em que se tem vinculo de garfo, valem as
seguintes igualdades:
0
interesse)depontonoaplicadobimomentohaver não de caso (no 0B
Um perfil I ligado apenas pela sua alma a um pilar pode ser considerado, com vistas à
definição de esquema estático, como vinculo de garfo.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
98
Figura 5.1 – Representações do vínculo de garfo nas extremidades de barras.
Caso 4 - Seção intermediária com salto (descontinuidade) no diagrama de Mt
Essa descontinuidade é resultante da aplicação de um momento de torção externo. No
entanto, é importante ressaltar que a continuidade dos deslocamentos axiais da barra exige
que o valor da tensão normal x seja o mesmo à direita e à esquerda do ponto de aplicação do
momento de torção externo. Conseqüentemente:
B(direita))B(esquerda : para um único eixo x, representado por “ x”.
ou
B(direita))B(esquerda : para eixos x e x , representados por “ x e x”.
Caso 5 - Extremidade com tensão normal x ou carga Pi aplicada.
Neste caso, o bimomento aplicado localmente é determinado por:
dA BA x ou i
iiFB
Caso 6 - Vínculo de garfo intermediário
Este tipo de apoio, por analogia com o caso 3, também é capaz de impedir a rotação
deixando livres os deslocamentos axiais (empenamento) em pontos intermediários da barra.
No entanto, a tensão normal e o bimomento não serão nulos, uma vez que deve ser garantida a
continuidade do empenamento (u) e da derivada primeira da rotação (’). Portanto, valem:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
99
B(direita))B(esquerda : continuidade na tensão x
A) de (direita'A)de(esquerda' A) de (direitauA) de u(esquerda
(direita)(esquerda) ..: continuidade na rotação
5.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
No que segue são apresentados alguns exercícios que representam casos práticos de
interesse, com base nos conceitos da flexo torção propostos em VLASOV (1961). Com vistas
a proporcionar um melhor entendimento da teoria de Vlasov, apresentam-se a seguir as
equações de interesse deduzidas no capítulo 4, as quais serão convenientemente aplicadas por
etapas, na medida em que se fizerem necessárias. São as seguintes:
' u dst dA SS
1SA dA I
A
2
''' EI- Mft 'GIM t MMM ftt
'' I EB i
n
1iiFB
'B''' EI- Mft
I
B'' E x )(
I
B )z(
I
M )y(
I
M
A
N
y
y
z
zx
It
SMftft
It
S'Bft
mrr
x coshC
r
x senhCB 2
21
t
t
I/I)1(2 GI
EIr
t
2
4321 GI2
mxCxC
r
x coshC
r
x senhC
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
100
EXERCÍCIO 1 – Para viga indicada na figura a seguir, pede-se determinar:
a-) As equações gerais de B, Mt, Mft e M e, consequentemente, os respectivos diagramas;
b-) Com base na equações do item a, determinar os valores máximos do empenamento (u),
das tensões normais (x) e de cisalhamento ( e ft), e do giro () que ocorrem.
2
1
4
3
b
t=const
x
h
x
T
T
Figura 5.2 – Barra engastada com T aplicado na extremidade livre .
Adotar os seguintes valores como dados de interesse para a resolução:
Mt = 50 kNcm = 200 cm t = 0,8 cm h = 12cm
b = 10cm E = 21.000 kN/cm2 G = 8.000 kN/cm2
Cálculo das características geométricas da seção
É possível notar que a seção transversal apresentada na figura 5.2 possui dois eixos de
simetria, portanto, o centro de torção coincide com o centro geométrico da seção (D CG),
conforme resultados obtidos por meio do programa FLEXO II, ilustrados na figura 5.3.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
101
Figura 5.3 – Tela geral do FLEXO II: dimensões, propriedades e posição de D.
Nesse caso, tem-se o diagrama de área setorial principal (), conforme figura 5.4:
+_
+_
bh4
bh4
bh4
bh4
(a) (b)
Figura 5.4 – Diagramas de área setorial principal (cm2): (a) Esquema e (b) FLEXO II.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
102
Determinam-se, na forma literal, os momentos de inércia à torção e setorial:
)hb2(3
t)hb2(t
3
1dst
3
1I
33
s
3
t
2 3 22 2 2
A s s
1 b bh b h tI dA t ds t ds 4t
3 2 4 24
Substituindo os valores numéricos do exemplo em questão, resultam:
4
t cm 5,46 I 6cm 4.800 I
É importante observar que os dois últimos valores são coincidentes com aqueles
apresentados na figura 5.3. Em seguida, obtém-se o comprimento de comparação:
cm 04,485,46 x 000.8
4.800 x 000.21
IG
IEr
t
Determinação das equações gerais de B, M e Mft:
No exercício em questão, o único carregamento aplicado consiste de um momento de
torção aplicado em um ponto discreto da barra, no caso, na extremidade livre. Portanto, é
intuitivo perceber a inexistência de carregamentos ao longo da barra, ou seja, m = 0, nesse
caso, resulta:
r
x coshC
r
x senhC )0(r
r
x coshC
r
x senhC B 21
2
21
A determinação das constantes de interesse fica condicionada à aplicação das
condições de contorno inerentes à barra, em particular, para os pontos de coordenadas x = 0 e
x = , tal que:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
103
livre)eextremidadna (ocorre 0 B 0x :em
fixo)engasteno (ocorre 0 u x :em
Com base na primeira condição de contorno imposta, resulta:
r
x senhC B(x) 0C 0 )0( B :se 12
Com base na segunda condição de contorno imposta, resulta:
0)(' 0 ' )(u 0 )(u :se
ftfttt MMMM 0)('GIM 0 )( ' :se
Por sua vez, como Mft = - B’, conforme definido anteriormente, reescreve-se a
igualdade na forma B’ = - Mt. Lembrando que a derivada de senh(x/r) resulta cosh(x/r)/r,
resulta a primeira constante de interesse apresentada no que segue.
r cosh
rM C M
r cosh
r
C'B t
1t1
Finalmente, substituindo C1 na equação de B(x), obtém-se:
r
xsenh
rcosh
rM )x(B t
Ainda, lembrando que permanece válida a igualdade B’= - Mft, bem como a relação
senh(x/r) = cosh(x/r)/r, resulta a equação de Mft como segue.
r
xcosh
rcosh
MM t
ft
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
104
Lembrando que Mt = M + Mft, ou ainda, M = Mt - Mft, faz-se:
rcosh
r
xcosh
1Mr
xcosh
rcosh
MMM t
tt
Determinação das equações gerais de ’ e :
rcosh
r
xcosh
1GI
M
GI
M' 'GIM
t
t
t
t
Integrando-se a última equação referente à derivada do giro, obtém-se:
3
t
t C
rcosh
r
xsenh
rxGI
M
A condição de contorno que impõe para x = = 0 , permite concluir que, nesse
caso, a constante C3 resulta na forma:
r.tghr
GI
MC
t
t3
Consequentemente, obtém-se:
rcosh
r
xsenh
rr
.tghrxGI
M
t
t
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
105
Pode-se também partir da equação 4.41 referente ao ângulo , apresentada no capítulo
4, se obter as mesmas equações de M, Mft e B, anteriormente deduzidas, partindo-se da
equação de , a qual é determinada com base em:
t
2
4321 GI2
mxCxC
r
x coshC
r
x senhC
Como a carga de torção distribuída é nula (m = 0), a última equação passa a ser escrita
na forma:
4321 CxCr
x coshC
r
x senhC
Novamente, faz-se a determinação das constantes C1, C2, C3 e C4 com base nas
seguintes condições de contorno:
- para x = , tem-se: = 0 e ’= 0
- para x = 0, tem-se: B = 0
- para x = , tem-se: Mft = Mt
Aplicando as condições apresentadas na última equação, obtém-se:
0C2
rcoshGI
rMC
t
t1
t
t3 GI
MC
rtgh.r
GI
MC
t
t4
Substituindo as constantes, resulta:
rcosh
r
xsenh
r r
tgh.rxGI
M
t
t
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
106
Determinação dos valores numéricos:
4
t cm 5,46 I 6cm 4.800 I cm04,48r 4
max cm30
04,48
xsenh.7213,74B
04,48
xcosh5554,1Mft
146,32
r
xcosh
150M
r
xsenh494,1983,151x10.1447,1 3
146,32r
xcosh
110.1447,1' 3
Construção dos diagramas de B, Mft, M e .
Os diagramas serão construídos com base nas equações gerais obtidas para B, Mft, M
e , e apresentados a seguir para valores de coordenadas x da barra referentes à parcelas
iguais a 50 cm, de 0 a 200 cm, conforme apresentados na tabela 5.2
Tabela 5.2 – Valores de B, Mft, M e
x (cm) B (kN.cm2) Mft (kN.cm) M (kN.cm) (radianos)
0 0 1,5554 48,4446 - 0,1740
50 - 92,5911 2,4767 47,5233 - 0,1168
100 - 294,8705 6,3320 43,6680 - 0,0663
150 -846,4687 17,6886 32,3114 - 0,0217
200 - 2400,8375 50,0000 0 0
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
107
(a)
_
200 150 100 50 0
x (cm)
846,4687294,8705 92,5911
2400,8375
(b)
48,4446
1,555417,6886 6,3320 2,476750,00
32,3114 43,6680 47,5233
M ftM
(c)
_
0,1740
0,11680,0663
0,0217
x (cm)
Figura 5.5 – Diagramas: (a) bimomento, com unidade em kN.cm2, (b) Mft e M, com unidade
em kN.cm e (c) giro das seções (), com unidade em radianos.
Observar que o sinal negativo na figura 5.5c indica giro horário para observador
olhando no sentido positivo de x, conforme já definido anteriormente.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
108
Determinação dos valores máximos de ’, u, x, e ft.
Para a determinação do valor máximo de ’, vale lembrar que:
146,32r
xcosh
110.1447,1' 3
Nesse caso, é intuitivo perceber que ’ será máximo na coordenada x = 0, para a qual
assumi o valor igual a ’(0) = 1,1091.10-3 radianos/cm. Em resposta a esse valor, é possível
obter u = ’ = 33,272.10-3 cm, lembrando que os sinais dependem dos valores de área
setorial para as diferentes posições da seção I, conforme mostra a figura 5.4b. Portanto, os
empenamentos dos pontos 1, 2, 3 e 4 (figura 5.2) resultam:
u1 = u4 = - 32,372 10-3 cm u2 = u3 = + 32,372 10-3 cm
Para a determinação do valor máximo para a tensão normal x, basta que essa seja
analisada para a seção com coordenada x = 200 cm, uma vez que na região do engaste o valor
do bimomento será máximo em resposta ao impedimento total ao empenamento, conforme
ilustra a figura 5.5a, cujo valor é Bmax = -2400,8375 kN.cm2. Desse modo, obtém-se:
2
x cm/kN 00,15 )30(4800
8375,0240
Para a determinação dos valores máximos referentes às tensões de cisalhamento, basta
que essas sejam analisadas em diferentes seções: na coordenada x = 200 cm para ft, uma vez
que na região do engaste o valor do momento de flexo torção será máximo, bem como na
coordenada x = 0 para , uma vez que na extremidade livre, o valor do momento de torção
livre será máximo. Ambos os casos estão ilustrados na figura 5.5b, Desse modo, obtém-se:
22
t
cm/kN 1,7 cm/kN 098,7)8,0(46,5
4446,48)t(
I
M
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
109
Em caráter complementar, a figura 5.6 esquematiza a distribuição (diagrama) das
tensões normais que ocorrem na barra.
2
1
4
3
x
+
_
+
_
x
x
x
x
x
compressão
tração
compressão
Figura 5.6 – Esquematização do diagrama de tensões normais na seção.
Para a determinação do valor máximo de ft para a seção em x = 200 cm, vale lembrar
que é preciso determinar os valores, na forma de diagrama, por exemplo, do momento estático
setorial (S), uma vez que as equações de interesse são escritas nas formas:
It
SMftft figura) da área(t x ds t dA S
S
1SA
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
110
Para a determinação do diagrama de S, é necessário integrar os valores de área
setorial () ao longo do esqueleto. Uma análise com relação à equação de S permite
identificar que seus valores correspondem à área da figura geométrica formada no diagrama
de área setorial principal (ilustrado na figura 5.7a) multiplicada pela espessura (t), para um
dado sentido previamente adotado para se percorrer a ordenada s da linha do esqueleto. Nesse
caso, obtém-se o diagrama de S, conforme esquematiza a figura 5.7b.
+_
+_
( )
+
( S )
60
60
30
30
s30
30 +++
_
s
s
s
(a) (b)
Figura 5.7 – Diagramas de interesse construídos:
(a) área setorial (cm2) e (b) momento estático setorial (cm4).
Nota-se pela figura 5.7b que para a determinação do diagrama de S adotou-se para a
coordenada s, tanto para a mesa superior como para a mesa inferior, sentidos da direita pra
esquerda. A alma foi desconsiderada por não apresentar valores de área setorial. Nesse caso,
foram obtidos valores com sinais positivos (mesa superior) e negativos (mesa inferior), em
resposta ao acúmulo de áreas setoriais positivas e negativas, respectivamente.
É importante mencionar que se fossem adotados sentidos de percurso para s contrários
àqueles apresentados na figura 5.7a, seriam obtidos os mesmos valores de S, porém, com
sinais contrários. Os sinais de S dependem do sentido de percurso adotado para a ordenada s,
sentido esse que pode ser considerado quaisquer, com origem (s1) e destino (s2) previamente
estabelecidos. Maiores detalhes com relação a esses aspectos serão devidamente abordados no
exercício 5.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
111
Na mesma figura 5.7b são indicados os sentidos de fluxo das tensões ft, os quais são
estabelecidos em função das regras de sentido de fluxo para a tensão de cisalhamento da flexo
torção, estabelecidas no item 4.3.1. Obtém-se, nesse caso:
4cm 602
5 x 308,0S
22
ft cm/kN 78,0 cm/kN 78125,0800.4 x 8,0
)60( x 00,50
É importante atentar para o fato, já mencionado quando das deduções das equações de
cisalhamento, de que a tensão ft é bem menor quando comparada à tensão . Neste exemplo,
identifica-se um valor máximo de ft da ordem de 1/10 quando comparado ao valor máximo
obtido para . Ainda, para o valor da rotação máxima, max = - 0,174 radianos, o sinal
negativo, de acordo com a convenção positiva adotada, indica uma rotação no sentido horário
para um observador no sentido positivo do eixo x.
EXERCÍCIO 2 – Adote a mesma viga no exercício 1, porém, aplicando-se na extremidade
livre forças concentradas nos pontos 1, 2, 3 e 4 da seção, conforme a figura 5.8. Em seguida,
determine as equações gerais de B, M, Mft, u e , admitindo agora o eixo x orientado
positivamente do engaste para a extremidade livre.
2
1
4
3
x
F
F
F
F
Figura 5.8 – Barra engastada com forças F aplicadas na extremidade livre.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
112
Determinação do bimomento aplicado
É importante ressaltar que em razão da nova orientação adotada para o eixo x, o
produto entre as forças aplicadas e os valores do diagrama área setorial principal produzirá
um bimomento localizado na mesma seção, em resposta a ocorrência de parcelas negativas
produzidas por força positiva multiplicada por área setorial negativa e vice-versa, tal que:
Fhb4
bhF4F)x( B i
n
1ii
Equações gerais de B, Mft , M e
Parte-se novamente da equação geral, desconsiderando a parcela de carga de torção
distribuída (m = 0), de modo que:
r
xsenh
r
C
r
xcosh
r
C'B
r
xcoshC
r
xsenhCB 21
21
Analisando o carregamento aplicado na barra e a solicitação na viga, é possível
considerar que o momento de torção total resulta nulo, ou seja, Mt = 0. Assim, tem-se:
MM 0MMM ftftt
No entanto, nota-se que por meio da consideração das condições de contorno, quando
para x = 0, tem-se ’ = 0. Conseqüentemente:
0(0)B' 0)0(M 0)0('GI)0(M 0)0(' ftt
Nesse caso, faz-se:
r
xcoshCB 0C
r
0senh
r
C
r
0cosh
r
C)0('B 21
21
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
113
Por outro lado, quando para x = , tem-se B() = - Fhb. Nesse caso, obtém-se:
rcosh
Fhb C
rcoshCFhb)(B 22
Finalmente, a equação do bimomento resulta na forma:
r
xcosh
rcosh
FbhB
Como se sabe, M = - Mft = B’, o que permite obter:
r
xsenh
rcoshr
Fbh`BM
Sendo M = G It ’, resulta:
3
t
C r
xcosh
rcoshGI
Fbh
Com vistas à determinação da constante C3, para x = 0 tem-se = 0, de modo que:
r
xcosh1
rcoshGI
Fbh
rcoshGI
FbhC
tt
3
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
114
Como cosh(x/r) resulta sempre maior ou igual à unidade, os valores de são sempre
negativos, isto é, as seções sofrem rotações no sentido horário para um observador
posicionado com visão no sentido positivo de x. Ainda, determina-se:
r
xsenh
rcoshrGI
Fbh '
t
Como ’ resulta também sempre negativo, para os pontos 1, 2, 3 e 4, tem-se:
u1 = u4 < 0
u2 = u3 > 0
Por fim, as tensões normais x são dadas por:
I
Bx
Como, nesse caso, B < 0 e I > 0, para os pontos 1, 2, 3 e 4, resultam:
x(1) = x(4) < 0
x(2) = x(3) > 0
Considerando os dados do exemplo 1, bem como F = 50 kN:
Nesse caso, sabe-se que para x = 200 cm tem-se B(200) = - 6000 kNcm2, e que quando
x = 0 tem-se B(0) = - 186,65 kN.cm2. Com base nesses valores, resultam:
2
2,x kN/cm 17,1304800
65,186)0x(
2
2,x kN/cm 50,37304800
6000)200x(
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
115
Calculando-se x para os mesmos pontos da seção, com os conceitos da Resistência
dos Materiais e considerando-se as mesas trabalhando isoladamente, tem-se:
M = F.b = 50.10 = 500 kN.cm 3
4y
0,8 x 10I 66,667 cm
12
2x
500(5) 37,50 kN/cm
66,667
É importante ressaltar que este cálculo é aproximado, uma vez que para a sua
determinação considera as mesas trabalhando isoladamente e solicitadas por momento fletor
igual à F x b (binário de forças). Nesse exemplo, para x = (seção em que são aplicadas as
cargas F), os valores de x são coincidentes com aqueles obtidos pela flexo torção.
No entanto, ao se aproximar do engastamento o valor x = 37,50 kN/cm2, calculado
pela Resistência dos Materiais, permanece constante, enquanto que o valor de x calculado
pela teoria de flexo torção reduz até atingir 1,17 kN/cm2, como conseqüência da variação do
bimomento, calculado para a seção trabalhando como um todo (mesas e alma solidárias).
EXERCÍCIO 3 - Para a viga esquematizada na figura 5.9, admitindo vinculações nas
extremidades do tipo “vínculos de garfo”, pede-se determinar o máximo valor de tensão
normal (x) e o valor da rotação () da seção central (x = 0).
___D CG
10cm 10cm
20cm
t=1 cm
D
x
2,25m
2,25m
F
F
F = 200 kN
Figura 5.9 – Barra com seção transversal “Z” ponto-simétrica.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
116
Como a seção em questão é ponto-simétrica, o centro de torção coincide com o centro
geométrico da seção (D CG), conforme resultados obtidos por meio do programa FLEXO
II, ilustrados na figura 5.10. Na figura 5.11 é apresentado o diagrama de área setorial
principal, por meio do mesmo programa.
Figura 5.10 – Tela geral do FLEXO II: dimensões, propriedades e posição de D.
Figura 5.11 – Diagrama de área setorial principal, determinado por meio do FLEXO II.
Unidade: cm2
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
117
Vale lembrar que essa mesma seção já foi considerada no exercício 2 do capítulo 2,
em que foi determinado o diagrama de área setorial principal, cujos valores estão
apresentados na figura 5.12 e coincidem com aqueles determinados pelo programa FLEXO
II, conforme figura 5.11.
75+
(cm )2
75 25
25
_
Figura 5.12 – Diagramas de área setorial principal (com unidade em cm2)
Valores de interesse considerados
De acordo com a figura 5.11 (ou 5.12), considera-se = -25 cm2 como o valor da área
setorial correspondente ao ponto de aplicação da carga axial de tração F = 200 kN. Nesse
caso, são determinados os seguintes valores:
A = 40 cm2 B = 200 x (-25) = - 5000 kN.cm2
3 4t
1I 1 (4 x 10) 13,33 cm
3
2 2 2 2 6
s
10I t ds 20 x 25 2 (75 75 x 25 25 ) 41.666,67 cm
3
21.000 x 41666,67r 90,57 cm
8.000 x13,333
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
118
Novamente, os últimos valores calculados são coincidentes com aqueles determinados
pelo programa FLEXO II, conforme apresentado na figura 5.10.
Escolha da solução geral
Para se resolver este exercício, pode ser considerado como ponto de partida a equação
4.41, para a qual são admitidas as seguintes condições de contorno:
a-) Para x = +/2, tem-se: = 0 e B = B* = -5.000 kN.cm2
b-) Para x = -/2, tem-se: = 0 e B = B* = -5.000 kN.cm2
Por outro lado, uma forma alternativa de se resolver o problema consiste em tomar
como ponto de partida a equação geral do bimomento, desconsiderando a carga de torção
distribuída, escrita na seguinte forma:
1 2
x xB C senh C cosh
r r
Pode ser escrita ainda na forma:
r
x senh
r
C
r
x cosh
r
C´B 21
Novamente, faz-se necessário considerar condições de contorno para a determinação
das constantes de interesse. A simetria do carregamento aplicado, responsável pelo
aparecimento de bimomentos iguais em ambas as extremidades, permite considerar, nesse
caso, que para x = 0 tem-se B’ = 0 (tangente resulta horizontal no meio da barra). Esta última
condição permite obter C1 = 0, de modo que:
1 2
xC 0 B C cosh
r
Adicionalmente, sabe-se que para x = /2 tem-se B = B* = -5.000 kN.cm2. A condição
em questão fornece:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
119
2
B*C
cosh2r
Nesse caso, obtém-se:
B* xB cosh
rcosh2r
Ainda, como se sabe, vale a igualdade Mft = - B’. Deste modo, obtém-se:
ft
B* xM senh
rr cosh2r
Determinação da rotação e da tensão normal em x = 0
A viga em estudo é vinculada, nas extremidades, por vínculos de garfo. Este vínculo
impede a rotação da seção, porém, sem interferir nos deslocamentos longitudinais (não
restringe o empenamento). Ao restringir a rotação, o vínculo de garfo pode solicitar a seção
com um momento de torção que, nesse caso, pode ser admitido intuitivamente com igual, em
módulo, porém, com sentidos contrários.
Dessa forma, é possível considerar que Mt será considerado constante ao longo do
comprimento da barra. Portanto, permanecendo válida a igualdade Mt = M + Mft, bem como
lembrando que M = G It ’, resulta:
r
xsenh
r2coshr
*B 'GIM tt
Procedendo-se a integração em x da última equação, obtém-se:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
120
3tt Cr
xcosh
r2cosh
*BxMIG
Impondo-se as condições de contorno, em que para x = /2 tem-se = 0, e em que para
x = - /2 tem-se = 0, resultam duas equações a duas incógnitas, nas formas:
0Cr2
cosh
r2cosh
*B
2M 0 3t
0Cr2
cosh
r2cosh
*B
2M0 3t
Considerando-se o fato de que cosh(-x) = cosh(x) e senh(-x) = - senh(x), se resolve o
sistema de equações, obtém-se C3 = - B* e Mt = 0. Nota-se que a nulidade obtida para o
momento de torção confirma a consideração desse esforço como constante, inicialmente
assumida.
Com relação à rotação, resulta:
1
r2cosh
r
xcosh
IG
B
t
*
Determinando-se os valores de e x para a seção em x = 0, obtém-se:
)2,24 ( radianos 0391,01038,6
1
333,13x 8000
5000)0( o
Como é positivo, a seção central gira no sentido anti-horário para um observador no
sentido positivo de x. Para a tensão normal, tem-se:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
121
)(I
B
A
N
Para a última equação, valem N = F = 200 kN, A = 40 cm2 e I = 41.666,67 cm6. Para
a determinação do bimomento, na seção x = 0 tem-se:
2cmkN. 1,828 038,6
5000)0(B
De acordo com as informações apresentadas na figura 5.12, para os pontos de área
setorial 75 cm2 e –25cm2, resultam:
2cmkN/ 51,3 )75(67,666.41
1,828
40
200)0x(
2cmkN/ 50,5 )25(67,666.41
1,828
40
200)0x(
Para a seção em x = /2, tem-se:
2cmkN/ 0,4 )75(67,666.41
5000
40
200)2/x(
2cmkN/ 0,8 )25(67,666.41
5000
40
200)2/x(
Com base na análise dos resultados de tensões normais, é possível notar que, para
seções próximas às extremidades da viga, trechos das mesas (inferior e superior) são
comprimidos com tensões normais da ordem de 4 kN/cm2 e, ao mesmo tempo, tracionados
com tensões normais da ordem de 8 kN/cm2
Por outro lado, a seção central resulta inteiramente tracionada, com valores de tensões
normais variando entre 3,51 e 5,5 kN/cm2.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
122
EXERCÍCIO 4 - Determinar os diagramas de B, Mt, Mft e M para a viga indicada a seguir na
figura 5.13. Para o exemplo em questão, adote E = 21.000 kN/cm2 e G = 8.000 kN/cm2.
6cm 6cm
12cm
24cm
0,5cmt=const
x = 4m
m=0,5 kNcm/cm
Figura 5.13 – Barra com seção transversal I com vínculos de garfo nas extremidades.
A seção bissimétrica e, nesse caso, o centro de torção coincide com o centro
geométrico da seção (D CG), conforme resultados do FLEXO II ilustrados na figura 5.14.
Figura 5.14 – Tela geral do FLEXO II: dimensões, propriedades e posição de D.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
123
Na figura 5.15 é apresentado o diagrama de área setorial principal, obtido por meio do
mesmo programa.
+_
+_
72
72
72
72
Figura 5.15 – Diagrama de área setorial principal, determinado por meio do FLEXO II.
Unidade: cm2
Alguns valores de interesse
De acordo com a figura 5.15, se consideram valores iguais a = 72 cm2, para fins
de determinação do momento estático setorial e tensões normais. No entanto, em primeira
instância, faz-se necessário obter as características geométricas da seção transversal, de modo
que, inicialmente procede-se:
43
s
3
t cm 2)2412 x 2()5,0(3
1ds t
3
1I
62
s
2
A
2 cm 20.736 )72(3
16 5,0 x 4dstdAI
cm 97,1642x000.8
73620. x 000.21
I.G
I.Er
t
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
124
Determinação da equação geral do bimomento (B)
Para a obtenção dos valores de interesse do bimomento, toma-se como ponto de
partida a equação geral de B escrita na seguinte forma:
mrr
xcoshC
r
xsenhCB 2
21
Novamente, se considera as condições de contorno para a determinação das constantes
de interesse. Para tanto, sabe-se que para x = 0 tem-se B = 0. Esta última condição permite
obter:
mr C 2
2
Ainda, sabe-se que para x = tem-se B = 0, tal que:
rsenh
1r
coshmr
C
2
1
Ambas as constantes, C1 e C2, substituídas em B, permitem escrever:
1r
xcosh
r
xsenh
rsenh
1r
coshmrB 2
Substituindo os valores m = 0,5 kNcm/cm, = 400 cm e r = 164,97 cm, na última
equação, tem-se:
608.13 r
xcosh 608.13
r
xsenh 395.11B
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
125
O diagrama de bimomento, obtido por meio da aplicação da última equação para
parcelas de comprimento da barra referente a 100 cm, está esquematizado na figura 5.16.
476047606170
+ +++
Figura 5.16 – Diagrama de bimomento, a cada 100 cm. Unidade: kN.cm2
Determinação da equação geral do momento flexo torção (Mft)
Para a obtenção dos valores de interesse do momento de flexo torção, toma-se como
ponto de partida a primeira derivada da equação geral de B, anteriormente determinada, uma
vez que se sabe que B‘ = - Mft. Nesse caso, procede-se:
r
xcosh
rsenh
1r
cosh
r
xsenhrm 'BMft
Novamente, substituindo-se os valores m = 0,5 kNcm/cm, = 400 cm e r = 164,97 cm,
na última equação, resulta a equação de Mft e o correspondente diagrama (figura 5.17):
r
xcosh1,69
r
xsenh 5,82Mft
_+
69
69
29,1
29,1
Figura 5.17 – Diagrama de Mft, a cada 100 cm. Unidade: kN.cm
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
126
Determinação da equação geral do momento da torção livre (M)
Vale aqui ressaltar que a determinação da equação de M pode ser feita por dois
procedimentos distintos. O primeiro procedimento consiste em determinar a equação geral de
M por meio da igualdade M = G It ’, uma vez que ’ pode ser obtido pela integração da
equação do bimomento, tal que:
Cdx BEI
1'
EI
B '' ''EIB
x
Um segundo procedimento, diferentemente do primeiro, consiste em determinar a
equação de M por meio da igualdade Mt = M + Mft, ou ainda, M = Mt - Mft. Nesse caso,
como Mft já é conhecido, basta determinar a equação de Mt, a qual pode ser obtida por meio
do equilíbrio do trecho de comprimento x, conforme figura 5.18.
+
_
x
-m2
m2100 kN .cm
100 kN .cm
Figura 5.18 – Diagrama de Mt ao longo da barra. Unidade: kN.cm
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
127
Por meio do equilíbrio do trecho de comprimento x, figura 5.18, escreve-se:
mx2
mMt
Consequentemente, obtém-se a equação geral de M e o correspondente diagrama
(figura 5.19), nas formas:
r
xcosh1,69
r
xsenh5,82x5,0100Mmx
2
mM ft
_
+
31
20,9
20,9
31
Figura 5.19 – Diagrama de M, a cada 100 cm. Unidade: kN.cm
Determinação da equação geral do giro
A viga da figura 5.13 é vinculada, nas extremidades por vínculos de garfo, os quais
impedem a rotação da seção, porém, sem interferir nos deslocamentos longitudinais (não
restringe o empenamento). Vale lembrar ainda que, diferentemente do exercício anterior, a
inexistência de forças concentradas aplicadas nas extremidades vinculadas permite considerar
a inexistência de bimomento nesses mesmos pontos, conforme esquematiza a figura 5.16
Portanto, lembrando que M = G It ’, resulta:
r
x
r2r
xsenh
r
xcosh
rsenh
1r
cosh
IG
mr
IG
M'
tt
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
128
Integrando-se a última equação, obtém-se:
32
2
2
t
2
Cr2
x
r2
x
r
xcosh
r
xsenh
rsenh
1r
cosh
IG
mr
Por meio da condição de contorno em que para x = 0 tem-se = 0, resulta:
t
2
3 IG
mrC
Portanto, tem-se finalmente:
1r2
x
r2
x
r
xcosh
r
xsenh
rsenh
1r
cosh
IG
mr2
2
2
t
2
EXERCÍCIO 5 - Para a viga biapoiada esquematizada na figura 5.20, com respectiva seção
transversal, pede-se determinar:
a-) Os diagramas de bimomento, momento de torção livre e momento de flexo torção.
b-) Calcular o valor máximo de tensão normal atuante na seção distante 2m do apoio A.
c-) Calcular os valores máximos das tensões tangenciais de torção livre e de flexo torção na
seção do apoio B.
Considerar que o vínculo de garfo em B sofre um recalque puramente torcional de
0,0625 radianos, no sentido anti-horário para um observador posicionado no sentido positivo
do eixo x. Considere como dados de interesse:
F (carga axial excêntrica) = 50 kN q (carga uniformemente distribuída) = 12 kN/m
(vão) = 4m E = 21.000 kN/cm2 t = 0,8 cm (cte) = 1/3 (coeficiente de Poisson)
Considere o vinculo de garfo em B como um apoio que permite restringir a translação
horizontal por meio de uma barra no CG da seção transversal.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
129
8cm
8cm
8cm
6cm 8cm
t
CORTE C-C
x
q
A BC
C
F
Fq
Figura 5.20 – Barra com seção transversal I com vínculos de garfo nas extremidades.
Cálculo das propriedades geométricas da seção
Inicialmente, faz-se a determinação dos valores dos momentos principais de inércia, os
quais são necessários para a determinação do centro de torção (D). Nesse caso, com relação à
seção esquematizada na figura 5.20, nota-se que essa é monossimétrica (possui um eixo de
simetria), razão pela qual será determinada apenas uma das coordenadas do CG da seção com
relação ao eixo que corresponde à horizontal, no caso, o eixo z.
Nesse caso, tem-se associado à seção eixos z e y, associados às direções horizontal e
vertical, respectivamente, tal que z é eixo principal de inércia (simetria), enquanto que y = 0.
Para tanto, determinam-se:
cm933,38,0)162024(
8,0)7 x 10 x 24 x 24(z
A = 60 x 0,8 = 48 cm2
Consequentemente, resultam:
423
23
z cm 3.874,13 88,0 x 1012
8 x 1212 x 8,0 x 8 2
12
24 x 8,0I
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
130
2
3
2
3
2
y 067,3x10x8,012
6x333,12933,3x8x8,0
12
8x8,02)x24x(0,0678,0I
4
y cm 84,464I
Ainda, determina-se o momento de inércia à torção, pela equação:
43
s
3
t cm 24,10)201624(3
8,0ds
3
tI
Cálculo do centro de torção (D) e da área setorial principal ()
Novamente, em razão de a seção ser monossimétrica será determinado apenas uma das
coordenadas do centro de torção (D), partindo-se do CG agora conhecido. Nesse caso, com
relação ao eixo z, determina-se apenas a coordenada zd, ou d = zD - zp, uma vez que yD = 0,
pela próxima equação, bem como pelas informações da figura 5.21 :
ds yI
tdA y
I
1dZZ
sp
zAp
z
pD
_
+
+
_
12
12
4
4
12
12
_
96
24
_
96+
+
24
P O___ s
y (cm)p 2(cm )
Figura 5.21 – Diagramas de área setorial (com pólo em P) e da coordenada y.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
131
Com base nas informações da figura 5.21, procede-se:
4
sP cm 976.6 )412x2(24x
6
1x1012x96x
2
1x82ds y
cm 441,1)976.6(13,874.3
8,0dZZ pD
O sinal positivo obtido para o parâmetro d indica, conforme regra estabelecida do
capítulo 2, que o centro de torção (D) encontra-se localizado à esquerda do centro geométrico
da seção (CG), conforme esquematiza a figura 5.22. Na mesma figura, é apresentado o
diagrama de área setorial principal.
D
1,441cm
+
__
+
78,708
_
+
17,292
78,708
O s
41,294
41,294
5,764
5,764
17,292
6,559cm
2 (cm )
Figura 5.22 – Localização do centro de torção e diagramas de área setorial principal
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
132
Os valores das propriedades geométricas da seção, bem como o correspondente
diagrama esquematizado na figura 5.22, são recuperados e confirmados por meio da utilização
do programa FLEXO II, conforme ilustrados nas figuras 5.23 e 5.24.
Figura 5.23 – Tela geral do FLEXO II: dimensões, propriedades e posição de D.
Figura 5.24 – Diagrama de área setorial principal, FLEXO II. Unidade: cm2
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
133
Cálculo do momento de inércia setorial e do diagrama de momento estático setorial.
A determinação do valor do momento de inércia setorial faz-se com base nos valores
de área setorial apresentados na figura 5.22 (ou figura 5.24), por meio da equação:
ds t dA Is
2
A
2
Com a aplicação da última equação, fazendo I = I
A + IB, obtém-se as parcelas:
)292,17292,17 x 708,78708,78(3
8x8,0x2I 22A
)292,17(
3
12)764,5294,5.294,41294,41(
3
10x8,0x2I 222B
Finalmente:
6BA cm 34.355,24 III
Com os valores de momento estático setorial (S) e seu correspondente diagrama, se
obtém (ou estabelece) a distribuição das tensões tangenciais devidas à flexo torção ao longo
da linha do esqueleto da seção transversal ilustrada na figura 5.25.
(a)
h b a
g e f
d
cc1
c3
c2
Os
h b a
g e f
d
cD D
Os
1
3
d
dd2
s
s
1
2 s2
s1
(b)
Figura 5.25 – Determinação do momento estático setorial em pontos e trechos da seção.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
134
Os valores em pontos de interesse são obtidos pela aplicação da seguinte equação,
aplicada ao longo dos trechos ilustrados na figura 5.25:
ds tdst Ss
1s
s
1s
Vale aqui lembrar, conforme já mencionado no exercício 1, que os valores de S
resultam do produto da área do diagrama de pela espessura t, tomada até um dado ponto de
interesse. Vale lembrar também que para definir o sinal de S, faz-se necessário fixar uma
direção para a coordenada s, ou seja, um ponto na seção transversal como origem (s1) para a
coordenada s.
Nesse caso, adotando como origem s1 o ponto f da seção transversal da figura 5.25a,
são obtidos, para fins de exemplificação, os valores de S para os pontos e, f e g, bem como o
valor máximo para o trecho e-f:
nulo) sempre resulta S esextremidad (nas 0SS gf
4ef
max, cm 50,2062
559,6 x 708,78 8,0S
4e cm 53,1968 x 2
292,17708,78 8,0S
É interessante notar que os valores de momento estático setorial para as extremidades f
e g resultam nulos e, portanto, em analogia com o momento estático clássico dos conceitos da
flexão com base na Resistência dos Materiais. Para os valores diferentes de zero, nota-se que
os sinais estão em concordância com o valor da área setorial principal utilizada na sua
determinação, ou seja, áreas setoriais negativas acumuladas (figura 5.22) resultam em
momento estático setorial negativo.
Ainda com a origem s1 no ponto f, o valor do momento estático, para o ponto d,
porém, antes do entroncamento com o trecho g-d, ou seja, Sd,1, resulta:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
135
4e1,d cm 75,1228 x 2
764,5292,17 8,0SS
Para o mesmo ponto d, porém, após passar pelo entroncamento com o trecho g-d, ou
seja, Sd,3, faz-se necessário considerar a contribuição do momento estático setorial do trecho
em questão, no caso, Sd,2, com sentido de percurso de g para d, tal que:
42,d cm 23,18810 x 2
764,5294,41 8,0S
Assim, somando-se Sd,2 ao valor de S
d,1, resulta:
43,d cm 65,48122,75 - 23,188S
Para o ponto Os (origem adotada para a determinação da área setorial principal) da
seção da figura 5.25a, por analogia, deve ser considerada a contribuição do trecho d-Os, com
sentido de percurso de d para Os, de modo a resultar:
4Os cm 70,742
4 x 764,5 8,048,65S
A determinação dos valores de momento estático para os demais pontos da seção se
faz por procedimento análogo àquele utilizado anteriormente. Como o diagrama da figura
5.22 é antimétrico, resultam, com base na figura 5.25b, os seguintes valores:
4Os3,c cm 65,482
4 x 764,5 8,0SS
(sentido de percurso: Os c3)
0Sh
42,c cm 23,18810 x 2
764,5294,41 8,0S
(sentido de percurso: h c2)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
136
Consequentemente:
43,c2,c1,c cm 122,75- 65,4823,188SSS
Para os pontos a e b, e entre a e b, resultam os seguintes valores:
4b1,c1,cb cm 53,19678,7375,122SSS
4ab
max, cm 50,2069,97 - 53,196S
nulo) sempre resulta S esextremidad (nas 0 206,50 50,206Sa
Com os sentidos de percurso adotados para a ordenada s para cada trecho da seção,
foram obtidos os valores já apresentados, com os quais pode ser construído o diagrama de
momento estático setorial, esquematizado na figura 5.26a.
206,50
(cm )S 4
74,70
65,48
122,75
196,53
188,23
206,50
65,48
122,75
188,23
196,53
Figura 5.26 – Diagrama de momento estático setorial S (em cm4) obtido com base no
diagrama da figura 5.22 (ou figura 5.24).
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
137
Nota-se, pela figura 5.26a, que os momentos estáticos setoriais variam ao longo das
partes retilíneas do esqueleto segundo parábolas, e os seus valores máximos absolutos
ocorrem nos pontos em que o diagrama de área setorial principal se anula.
Adicionalmente, os sentidos das tensões de cisalhamento estão representados na figura
5.26b, por meio de vetores ao longo do esqueleto. A resultante das parcelas de ft é o
momento de flexo torção Mft e, como tais tensões não equilibram nenhuma força cortante, sua
resultante de força na vertical (e na horizontal) deve ser nula, conforme identificado na figura
5.26b. É importante lembrar que os sentidos de fluxo das tensões ft, indicados na mesma
figura, são definidos em função das regras de sentido de fluxo para a tensão de cisalhamento
da flexo torção, estabelecidas no item 4.3.1 do capitulo 4.
É importante ressaltar que todos os valores obtidos para área setorial adotaram como
origem s1 o ponto f. Porém, é importante mencionar que se a origem s1 fosse considerada no
ponto a da figura 5.25, por exemplo, seriam obtidos os mesmos valores anteriores, porém,
com sinais contrários em alguns dos trechos.
É possível perceber que para a determinação dos valores de momento estático e,
consequentemente, do diagrama, faz-se necessário adotar-se um sentido de percurso para
todos os trechos da seção, o qual é fixado para cada tipo de perfil considerado. Portanto, os
sinais de S dependem do sentido adotado para a ordenada s.
Um outro aspecto de interesse com relação à escolha da origem da ordenada s, refere-
se ao fato de que s1 (ponto de partida) e s2 (ponto de chegada) podem ser adotados
arbitrariamente para uma dada seção transversal de interesse. Essa escolha não modificará os
resultados em módulo do diagrama de S, apenas os sinais, razão pela quais os valores das
tensões de cisalhamento da flexo torção permanecerão os mesmos.
Para a seção da figura 5.25, poderiam ser adotados pontos para s1 e s2 diferentes
daquele último utilizado para a determinação de S, no caso, f e d c b a.
Podem ser adotados, por exemplo, os seguintes percursos para a ordenada s:
- PERCURSO 1: a b c d e f
Nesse caso, trata-se, como já comentado anteriormente, de um percurso com sentido
inverso àquele adotado para a obtenção dos valores apresentados na figura 5.26.
Porém, conduz aos mesmos resultados, em módulo, devendo-se também considerar as
contribuições dos trechos não inseridos no percurso considerado, ou seja, a contribuição do
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
138
valor de S do trecho c-h (com sentido de h para c) ao passar por c em direção a d , bem como
a contribuição do valor de S do trecho d-g (com sentido de g para d) ao passar por d em
direção a e, conforme ilustra a figura 5.27a.
A figura 5.27b esquematiza o diagrama de momento estático setorial obtido para o
percurso em questão.
Os
h b a
g e f
c
Dd
s
s
1
2
206,50
(cm )S 4
74,70
65,48
122,75
196,53
188,23
206,50
65,48
122,75
188,23
196,53 (a) (b)
Figura 5.27 – (a) Percurso adotados para a ordenada s e (b) diagrama de momento estático
setorial obtido.
PERCURSO 2: a b c d g
Este percurso também conduzirá aos mesmos resultados da figura 5.26a, em módulo,
porém, considerando as contribuições dos trechos não inseridos no percurso adotado, ou seja,
a contribuição do valor de S do trecho c-h (com sentido de h para c) ao passar por c em
direção a d, bem como a contribuição do valor de S do trecho d-e-f (com sentido de f para d)
ao passar por d em direção a g, conforme ilustra a figura 5.28a.
A figura 5.28b esquematiza o diagrama de momento estático setorial obtido para o
percurso em questão.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
139
O s
h b a
g e f
c
Dd
s
s
1
2
206,50
(cm )S 4
74,70
65,48
122,75
196,53
188,23
206,50
65,48
122,75
188,23
196,53
(a) (b)
Figura 5.28 – (a) Percurso adotados para a ordenada s e (b) determinação do diagrama de
momento estático setorial obtido.
PERCURSO 3: f e d c h
Conduz aos mesmos resultados da figura 5.26a, em módulo, porém, considerando as
contribuições dos trechos não inseridos no percurso adotado, ou seja, a contribuição do valor
de S do trecho d-g (com sentido de g para d) ao passar por d em direção a c, bem como a
contribuição do valor de S do trecho a-b-c (com sentido de a para c) ao passar por c em
direção a h, conforme ilustra a figura 5.29a. A figura 5.29b esquematiza o diagrama de
momento estático setorial obtido para o percurso em questão.
PERCURSO 4: h c d g
Conduz aos mesmos resultados da figura 5.26a, em módulo, porém, considerando as
contribuições dos trechos não inseridos no percurso adotado, ou seja, a contribuição do valor
de S do trecho a-b-c (com sentido de a para c) ao passar por c em direção a d, bem como a
contribuição do valor de S do trecho d-e-f (com sentido de f para d) ao passar por d em
direção a g, conforme ilustra a figura 5.30a. A figura 5.30b esquematiza o diagrama de
momento estático setorial obtido para o percurso em questão.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
140
(a)
Os
h b a
g e f
c
Dd
s
s
1
2
206,50
(cm )S 4
74,70
65,48
122,75
196,53
188,23
206,50
65,48
122,75
188,23
196,53(b)
Figura 5.29 – (a) Percurso adotados para a ordenada s e (b) determinação do diagrama de
momento estático setorial obtido.
(a)
Os
h b a
g e f
c
Dd
s
s
1
2
206,50
(cm )S 4
74,70
65,48
122,75
196,53
188,23
206,50
65,48
122,75
188,23
196,53 (b)
Figura 5.30 – (a) Percurso adotados para a ordenada s e (b) determinação do diagrama de
momento estático setorial obtido.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
141
Cabe aqui ressaltar novamente, em analogia aos aspectos considerados para o
Percurso 1, que se fossem adotados percursos com sentidos contrários àqueles estabelecidos
para os Percursos 2, 3 e 4, ou seja, trocando-se s1 por s2 e s2 por s1, seriam obtidos os
mesmos valores para cada caso considerado, porém, com sinais contrários para alguns dos
trechos.
No entanto, independentemente dos sinais de S obtidos em cada diagrama, tem-se
como produto final, com relação às tensões de cisalhamento ft, os mesmos sentidos de fluxo
apresentados na figura 5.26b, os quais devem resultar sempre os mesmos, por questões de
equilíbrio, independentemente dos sinais do momento estático setorial.
Determinação das solicitações de interesse na barra
Para a obtenção das equações gerais que permitem determinar os valores dos esforços
solicitantes (esforços internos) ao longo do comprimento da barra (eixo X), devem ser
consideradas as cargas externas que nela atuam, como por exemplo:
q = carga uniformemente distribuída ......= 0,12 kN/cm
F = carga axial concentrada e excêntrica = 50 kN
As posições que cada carga atua estão esquematizadas na figura 5.31, lembrando que a
carga q possui plano de carga não coincidente com o centro de torção, razão pela qual deverá
ser considerada também uma carga de torção distribuída.
Nesse caso, em razão da distância entre q e D determinada com base na soma das
parcelas 1,441 cm, 0,067 cm e 7,933 cm, resulta:
m = momento de torção distribuído = 0,12 x (8, 0 + 1,441) = 1,13 kN.cm/cm
Consequentemente, aparecem, por equilíbrio de um comprimento X da barra, esforços
internos, tais como:
m = 1,13 kN.cm/cm (por torção)
N = 50 kN (por tração simples).
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
142
q
12cm
y
z DCG
6cm 8cm
7,933cm
1,441cm 0,067cm
F
Figura 5.31 – Cargas q e F consideradas atuantes na seção transversal da barra
Em resposta à solicitação por flexão oblíqua, consideram-se:
2
2
z
50 x 12 400 XM (X) q X q 22,5(X) 0,06(X)
400 2 2
(X)7584,0(X) 400
067,6 x 50M y
Com relação à solicitação por bimomento, vale lembrar a existência de uma carga
concentrada aplicada em ponto particular da seção (ponto h), conforme ilustra a figura 5.31.
Nesse caso, resulta B* (bimomento aplicado na seção transversal A), tal que:
B* = Fi,A x i,A = (50 kN) x (-41,294 cm2) = - 2064,70 kN.cm2
Ainda, resulta:
22
t
cm 677,946.8r cm587,9424,10
24,34355).3
11(2
J
J)1(2r
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
143
Determinação das equações gerais de B, Mft , M e Mt
Para a obtenção dos valores de interesse do bimomento, toma-se como ponto de
partida a equação geral de B escrita na seguinte forma:
mrr
xcoshC
r
xsenhCB 2
21
Ou ainda, na forma:
mrr
xcoshC
r
xsenhC"IE 2
21
Integrando-se a última equação por duas vezes sucessivas, obtém-se:
3
2
21 Cx mrr
xsenh rC
r
xcoshrC'IE
43
22
2
2
2
1 CxCx2
mr
r
xcoshrC
r
xsenhrCIE
Com base nas condições de contorno referentes ao giro das seções, em que se sabe da
ocorrência de recalque rotacional do vínculo de garfo em B, tem-se que para x = 0 resulta
como giro (0) = + 0,0625 radianos. Portanto:
4
2
2 CrCIE0625,0
Por outro lado, sabe-se que em x = tem-se () = 0, tal que:
43
222
2
2
1 CC2
mr
rcoshrC
rsenhrC0
lembrando que: 314,34r
senh
329,34r
cosh
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
144
Com relação ao bimomento, sabe-se que para x = 0 tem-se B(0) = 0. Nesse caso,
obtém-se:
mr C mrC0 2
2
2
2
Ainda com relação ao bimomento, para x = tem-se B() = - 2064,70 kNcm2.
Portanto, resulta:
mrr
coshCr
senhC70,2064 2
21
As quatro últimas equações obtidas, quando reunidas, consistem de um conjunto
constituído por quatro a quatro incógnitas. Resolvendo esse mesmo sistema de equações, se
obtém as constantes de interesse:
C2 = - r2 m = - (8.946,677) x (1,13) = - 10.109,75
Com a obtenção do valor de C2, faz-se a determinação das constantes:
C1 = [-2.064,70 + (10.109,75) x (34,329) - 10.109,75] / (34,314) = 9.759,37
C4 = 45091252,5 - 8.946,677 x (-10.109,75) = 135.539.920,3
Por fim, a determinação da constante C3:
C3 = - 2.088.493,6
Portanto, tem-se:
r
xcosh175,109.10
r
xsenh37,759.9B
Como Mft = - B’, tem-se:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
145
r
xsenh 88,106
r
xcosh 18,103Mft
Ainda, sendo M = G It ’, resulta:
3
2
21t Cxmr
r
xsenh r C
r
xcoshr C
EI
GIM
Ou ainda, na forma:
44,233x13,1r
xsenh 88,106
r
xcosh 18,103M
Finalmente, faz-se Mt = M + Mft , obtendo-se:
44,233x13,1M
Construção dos diagramas de B, Mft e M
Os diagramas serão construídos com base nas equações gerais obtidas para B, Mft e
M, e apresentados a seguir na figura 5.32 para valores de coordenadas x da barra referentes à
parcelas iguais a 100 cm, de 0 a 400 cm, conforme apresentados na tabela 5.3
Tabela 5.3 – Valores de B, Mft e M
X (cm) senh(x/r) cosh(x/r) B (kNcm2) M (kNcm) Mft (kNcm)
0 0 1 0 -130,2 -103,2
100 1,2655 1,6129 6154,2 -89,2 -31,2
200 4,08822 4,2029 7459,2 -10,1 2,7
300 11,5028 11,9448 5514,6 65,9 39,7
400 34,3139 34,3285 -2060,8 93,1 125,5
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
146
_
_
_
+
+
+
_
400300 200 100 0
x (cm)
M (kNcm)ft
B (kNcm )2
M (kNcm)t
M (kNcm)
6154,27459,2
2060,8
5514,6
93,1
65,9
10,189,2
130,2
103,2
31,2
39,7
2,7
125,5
218,6 105,6
120,4233,4
7,4
++
Figura 5.32 – Diagramas de B, Mft, M e Mt, com respectivas unidades.
Determinação da tensão normal
O cálculo de tensão normal na seção transversal distante 2m do vínculo do garfo A,
faz-se com base na equação geral escrita na forma:
I
Bz
I
My
I
M
A
N
y
y
z
z
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
147
Inicialmente, vale lembrar que:
2
zM 22,5(X) 0,06(X) (X)7584,0M y
r
xcosh175,109.10
r
xsenh37,759.9B
Na coordenada da barra em que x = 200 cm e lembrando que r = 94,587 cm, resultam,
com base na figura 5.33, os seguintes valores:
kNcm 2100Mz kNcm 151,68M y 2kNcm 7459,2 B
y
zN
h b a
c
g e f
zM
yM
sO
d
Figura 5.33 – Representação dos esforços solicitantes de interesse na seção.
Portanto, com base em Mz = 2100 kNcm, My = 151,68 kNcm, B = 7459,2 kNcm2, bem
como lembrando que N = 50 kN, obtém-se:
24,34355
2,7459z
84,464
68,151y
13,3874
2100
48
50
217,0z326,0y542,0042,1
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
148
Os valores das tensões normais em cada pontos da seção transversal estão
apresentados na tabela 5.4, bem como esquematizados no diagrama da figura 5.34.
Tabela 5.4 – Valores de Tensões Normais na seção
Ponto y (cm) z (cm) (cm2) (kN/cm2)
a -12 -7,933 +78,708 9,03 b -12 0,067 -17,292 - 9,19
h -12 6,067 -41,294 - 12,45
g 12 6,067 41,294 18,48
12 0,067 17,292 11,32
f 12 -7,933 -78,708 - 12,12
c -4 0,067 -5,764 - 2,36
0s 0 0,067 0 1,06
d 4 0,067 5,764 4,48
9 ,0 39 ,1 9
1 2 ,4 5
2 ,3 6
4 ,4 8
1 1 ,3 21 8 ,4 8
1 2 ,1 2
+
_
_
_
+
Figura 5.34 – Diagrama de tensões normais na seção de interesse, em kN/cm2.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
149
Determinação das tensões de cisalhamento
O Cálculo das tensões de cisalhamento máximas na seção do vínculo de garfo em B
(x=0) faz-se com base nos valores M = -130,24 kNcm e Mft = -103,2 kNcm, ambos
extraídos dos respectivos diagramas apresentados na figura 5.32. Nesse caso, resultam:
2
t
cmkN/ 18,10)8,0(24,10
2,130)t(
I
M
2ftft cm/kN 78,0
24,355.34 x 8,0
)50,206)(2,103(
It
SM
Finalmente, obtém-se:
2
máx cmkN/ 10,96 0,78 - 18,10
EXERCÍCIO 6 – Para a viga esquematizada na figura 5.35, com dois vínculos de garfo e
momento de torção concentrado aplicado na extremidade livre (em C), pede-se:
a-) Obter as equações gerais dos esforços solicitantes tipo Mt , M , Mft e B,
b-) Com base nas equações obtidas no item a, determinar os valores máximos da tensão
normal e da tensão de cisalhamento no vínculo do garfo B, considerando:
= 2 m E = 21.000 kN/cm2 M(aplicado) = 20 kNcm G = 8.000 kN/cm2
x /2
garfo
Seção Transversal da viga ABC :I 203 x 27,38 kg/m
M aplicado
A B C
garfo
Figura 5.35 – Esquema estático da viga com momento de torção aplicado.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
150
Determinação do valor do raio vetor r
Conforme informações constantes na figura 5.35, a seção transversal da viga de
interesse é constituída por perfil laminado I 203 x 27,38 kg/m, cujas informações necessárias
referentes às propriedades geométricas são disponibilizadas em tabelas usualmente empregada
em projeto de estruturas metálicas. Segundo essas mesmas tabelas, são obtidos alguns valores
de interesse, tais como I = 14.700 cm6 e It = 15,5 cm4. Nesse caso, tem-se:
cm 895,495,15 x 000.8
700.14 x 000.21r
Determinação das equações gerais de B, M e Mft
Para a obtenção dos valores de interesse do bimomento, toma-se como ponto de
partida a equação geral de B, escrita na forma:
mrr
xcoshC
r
xsenhCB 2
21
Vale aqui lembrar a ocorrência de um momento de torção concentrado aplicado, bem
como a inexistência de carga de torção distribuída (m = 0), o que permite reescrever a última
equação na forma:
r
xcoshC
r
xsenhCB 21
Novamente, se considera as condições de contorno para a determinação das constantes
de interesse. Inicialmente, para o intervalo 0 x , correspondente ao trecho AB, tem-se:
r
xcoshC
r
xsenhCBB 211)BA(
Analogamente, para o intervalo x 2
3, correspondente ao trecho BC, tem-se:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
151
r
xcoshC
r
xsenhCBB 432)CB(
Com base nas condições de contorno existentes, sabe-se que para x = 0 tem-se B1 = 0.
Esta última condição permite obter:
0C2
Por outro lado, sabe-se que para x = 3/2 tem-se B2 = 0. Esta última condição permite
escrever:
r2
3cosh
r2
3senh
C C 34
Ainda, para x = tem-se B1 = B2, de modo que:
rcoshC
rsenh C
rsenh C 431
r
cotgh C
rsenh
rcosh
CCC 4431
Em caráter complementar, sabendo-se que Mft = -B’, M = Mt – Mft e M = G Jt ’,
procede-se, dentro do intervalo 0 x , de modo a obter:
r
xcosh
r
CBM 1'
11,ft
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
152
'
1t1
1,t1, IGr
xcosh
r
CMM
Por sua vez, dentro do intervalo x 2
3, tem-se:
r
xsenh
r2
3cosh
r2
3senh
r
xcosh
r
CBM 3'
22,ft
'
2t3
2,t2, IGr
xsenh
r2
3cosh
r2
3senh
r
xcosh
r
CMM
De acordo com a figura 5.35 pode-se concluir que no trecho AB (0 x ), o
momento de torção Mt,1 é constante, porém, ainda indeterminado. Por sua vez, por razões
análogas àquelas consideradas para o trecho AB, no trecho BC ( x 3/2) o momento de
torção Mt,2 também é constante, porém, conhecido e vale 20 kNcm.
Com base nos aspectos citados no último parágrafo, resultam:
511,t1t Cr
xsenhC)x(MGI
632,t2t Cr
xcosh
r2
3cosh
r2
3senh
r
xsenhC)x(MGI
A partir de agora, aplicam-se condições de contorno de interesse para a determinação
das constantes. Inicialmente, para x = 0 tem-se 1 = 0, obtendo-se:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
153
C5 = 0
Em seguida, para x = tem-se 1 = 0, obtendo-se:
rsenh
CM 1
1,t
Ainda, para x = tem-se 2 = 0, resultando:
0C
r2
3cosh
r2
3senh
rcosh
r2
3cosh
rsenh
C M 632,ft
Lembrando que senh(x – y) = senh(x) cos(y) – cosh(x) senh(y), bem como lembrando
que cosh(x – y) = cosh(x) cos(y) – senh(x) senh(y), resulta:
r2
3cosh
r2senh
C MC 32,t6
Por fim, para x = tem-se u1 = u2, ou seja, ’1 = ’2. Nesse caso:
r2
3cosh
r2cosh
r
CM
rcosh
r
CM 3
2,t1
1,t
Com base nos resultados obtidos, passa a ser possível determinar as constantes de
integração. Nesse caso, para facilitar o entendimento, serão reunidas a seguir as equações de
interesse, tal que:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
154
r2
3cosh
r2
3senh
C C 34
rsenh
rcosh
CCC 431
rsenh
CM 1
1,t
r2
3cosh
r2senh
C MC 32,t6
r2
3cosh
r2cosh
r
CM
rcosh
r
CM 3
2,t1
1,t
Portanto, escrevem-se:
3143134 C)ab1(C bCCC e Ca C
11,t C r
senhM
36 Cd 20C
311,t eCr20r
coshCM r
Com relação às últimas equações, valem:
r2
3tanh
r2
3cosh
r2
3senh
a
rtanh
1
rsenh
rcosh
b
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
155
r2
3cosh
r2senh
d
r2
3cosh
rcosh
e
Resolvendo o sistema de equações, obtém-se:
Mt,1 = - 2,7902685 kNcm
C1 = 20,27763848
C3 = -31.294,69579
C4 = 31.294,32081
C6 = -4.558,053701
Portanto, resultam:
r
xsenh 27763848,20B1
r
xhcos 32081,294.31
r
xsenh 69579,294.31B2
Para x = 200cm, tem-se B1 = B2 = 558,05368 kNcm2 e, consequentemente:
2cmkN/ 81,1 )6,47(700.14
0537,558
I
B
r
xcosh4064058061,0M 1ft
r
xsenh9999880179,0
r
xcosh2104161,627M 2ft
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
156
Para x = 200 cm, tem-se:
Mft,1 = -11,19193133 kNcm
Mft,2 = 11,59833782 kNcm
Como Mt1 = -0,27902685 tf.cm e Mt2 = 2,00 tf.cm, resultam:
M1 = - 8,401662832 kNcm
M2 = 8,401662744 kNcm
Cálculo dos valores máximos de na seção em x = = 200 cm.
2cm/kN 5854,008,15,15
41663,8
2
ft cm/kN 0958,0700.14 x 08,1
09,131 x 598338,11
Consequentemente:
222
máx kN/cm 6812,0cm/kN 0958,0cm/kN 5854,0
5.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
PROPOSTO 1 - Para as vigas indicadas na figura 5.36, pede-se determinar os diagramas de
B, Mt, Mft e M, bem como os valores máximos das tensões normais e de cisalhamento.Adote
como dados de interesse do exercício:
= 400 cm Mt = m. m = 0,5 kNcm/cm
E = 20.500 kN/cm2 G = 7.850 kN/cm2
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
157
12cm
24cm
espessura = 0,5cm
M t
m
x
x x
/2 /2
M t
xM t
Figura 5.36 – Esquemas estáticos de diferentes vigas, para uma mesma seção.
PROPOSTO 2 - Para a viga esquematizada na figura 5.37, com F = 30 kN, E = 20.500
kN/cm2 e G = 7.850 kN/cm2, pede-se calcular os valores máximos de tensão normal de flexão,
tensão tangencial da força cortante, tensão normal de flexão-torção, tensão tangencial de flexo
torção e tensão tangencial de torção livre.
24cm
F
6cm6cm
F
2 m 2 m
1 cmt=const
Figura 5.37 – Viga biengastada com carga F excêntrica aplicada.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
158
PROPOSTO 3 – Para a viga esquematizada na figura 5.38, em que se considera a mesma
seção transversal do Exercício Proposto 1, pede-se:
a-) Determinar o máximo valor do ângulo de rotação;
b-) Traçar os diagramas de Mt, M e Mft;
c-) Determinar o máximo valor do momento de torção livre;
d-) Na seção distante 0,5 m do vínculo de garfo da esquerda (x = 300 cm), achar o máximo
valor da tensão normal
Obs: Para todos os itens, considerar F = 30 kN, E = 20.500 kN/cm2 e G = 7.850 kN/cm2
FF
= 300cm x
F
F
F
F
Figura 5.38 – Viga com cargas F aplicada nas extremidades com vínculos de garfo.
PROPOSTO 4 - Para a viga esquematizada na figura 5.39, pede-se:
a-) construir os diagramas de B, Mt, M e Mft;
b-) Determinar o valor máximo da tensão normal de flexão;
c-) Determinar o valor máximo da tensão tangencial da força cortante;
d-) Determinar o valor máximo da tensão normal de flexo torção;
e-) Determinar tensão tangencial de flexo torção;
f-) Determinar o valor máximo da tensão tangencial de torção livre.
Obs: Para todos os itens, considerar E = 20.500 kN/cm2 e G = 7.850 kN/cm2
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
159
x
F = 20 kN
200cm200cm
24cm
3cm3cm
9cm 9cmF = 20 kN
1 cmt=const
Figura 5.39 – Viga com carga F aplicada e com vínculos de garfo.
PROPOSTO 5 – Para a viga esquematizada na figura 5.40, pede-se determinar os valores
máximos de tensão normal atuante na seção do engastamento, da tensão tangencial de torção
livre e do ângulo de rotação. O garfo em B restringe apenas a rotação e a seção transversal é
constituída por um perfil I 457 x 81,4 kg/m, com E = 20.500 kN/cm2 e G = 7.850 kN/cm2.
A B
200cm 100cm
C
F = 200 kN
F = 200 kN
Figura 5.40 – Viga com: carga F aplicada, vínculo de garfo e engaste
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
160
PROPOSTO 6 - Para a viga esquematizada na figura 5.41, pede-se determinar os diagramas
de B, M e Mft. A seção transversal é um perfil H 152 x 37,2 kg/m e o carregamento é um
bimomento aplicado na extremidade C da viga.
Considerar: E = 20.500 kN/cm2 e G = 7.850 kN/cm2.
A C
3 m
garfo
aplicadoB = 50.000 kNcm2
Figura 5.41 – Viga com: B aplicado em C, vínculo de garfo e engaste
PROPOSTO 7 - Para a viga esquematizada na figura 5.42, cuja seção transversal viga é
constituída por um perfil I 305 x 30,81, pede-se:
a-) Traçar os diagramas de B, Mft e M .
a-) Determinar os valores máximos de tensão normal ();
b-) Determinar os valores máximos de tensão tangencial ();
c-) Determinar os valores máximos do ângulo de rotação ();
Obs: Para os itens: Baplicado = 40.000 kN/cm2, E = 21.000 kN/cm2 e G = 8.000 kN/cm2
x 120cm180cm
Baplicado
Figura 5.42 – Viga com: B aplicado na extremidade livre e vínculos de garfo.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
161
PROPOSTO 8 - Para a viga ilustrada a seguir na figura 5.43, com respectiva seção
transversal, pede-se:
a-) Construir os diagramas dos esforços solicitantes B, M, Mft e ;
b-) Construir o diagrama de tensões normais (x) atuantes na seção distante 1,5 metros do
apoio (vinculo de garfo) em A;
c-) Determinar as tensões de cisalhamento causadas pelo momento de torção livre () e pelo
momento de flexo torção (ft), bem como a máxima tensão de cisalhamento, todas na seção
distante 1,5 metros do apoio em A;
a = 12 cm t = 0,8 cm (cte) E = 20.500 kN/cm2
= 0,30 F = 150 kN
Figura 5.43 – Viga com cargas F aplicadas nas extremidades com vínculo de garfo.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
162
PROPOSTO 9 - Para a viga ilustrada a seguir na figura 5.44, com respectiva seção
transversal, pede-se:
a-) Construir os diagramas dos esforços solicitantes B, M, Mft e ;
b-) Determinar o valor da máxima tensão normal atuante;
c-) Determinar o valor da máxima rotação.
a = 16 cm t = 0,5 cm (cte) E = 20.500 kN/cm2
= 0,30 B = 8.000 kN/cm2
Figura 5.44 – Viga com B aplicado na extremidade livre.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
163
PROPOSTO 10 - Para a viga ilustrada a seguir na figura 5.45, com respectiva seção
transversal, pede-se:
a-) Os diagramas dos esforços solicitantes B, M, Mft e ;
b-) O valor da máxima tensão normal (x) atuante na seção distante 2,0 metros do apoio A;
c-) Os valores máximos das tensões de cisalhamento causadas pelo momento de torção livre
(l) e pelo momento de flexo torção (ft), na seção do apoio em B;
a = 6 cm t = 0,4 cm (cte) E = 20.500 kN/cm2
= 0,30 F = 40 kN ; q = 10 kN/m
Obs: Considere em B um recalque puramente torcional de 0,05 rad, no sentido anti-horário,
para um observador no sentido positivo do eixo x.
Figura 5.45 – Viga com cargas F e distribuída q aplicadas.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
164
PROPOSTO 11 - Para a viga ilustrada a seguir na figura 5.45, considere E = 20.500 kN/cm2,
= 0,30, B = 4.000 kNcm2, bem como as seções transversais, para as quais pede-se:
a-) Os diagramas dos esforços solicitantes B, M, Mft e ;
b-) O valor da máxima tensão normal (x) atuante na seção em x = 1,5 m;
c-) Os valores máximos das tensões de cisalhamento e ft, na seção em x = 1,5 m;
Seção I: a = 15 cm e t = 0,2 cm Seção II: a = 14 cm e t = 0,4 cm
Seção III: a = 10 cm e t = 0,3 cm Seção IV: a = 12 cm e t = 0,7 cm
(I) (II)
(III) (IV)
Figura 5.46 – Viga com B aplicado e respectivas seções transversais.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
165
PROPOSTO 12 - Para a viga-calha da argamassa armada representada na figura 5.47, pede-se
determinar o valor máximo que a carga p (uniformemente distribuída) pode assumir, supondo
essa mesma carga aplicada na viga com uma excentricidade (e) em relação ao centro de torção
igual a 13 cm. Os valores admissíveis considerados para as tensões de interesse do material
que constitui a viga, admitido homogêneo, são:
= 1 kN/cm2 (tração ou compressão) = 0,12 kN/cm2 (cisalhamento)
= 1/6 (coeficiente de Poisson)
Observação: Deve-se primeiramente desprezar o efeito da flexo torção na determinação de p.
Em seguida considera-se esse efeito no cálculo de p e, pela comparação dos resultados,
escreva suas conclusões. Caso os apoios nas extremidades fossem constituídos por
engastamentos fixos, as conclusões seriam as mesmas?
30 cm
24 c
m
3 cm
3 cm
4,5cm
4cm 11 cm 11 cm 4cm
22,7
5 cm
21 c
m
1,7cm
SEÇÃO TRANSVERSAL ESQUELETO
p
p13cm
450 cm
Figura 5.47 – Viga com carga p uniformemente distribuída e vínculos de garfo.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
166
PROPOSTO 13 - A viga, figura 5.48, tem seção transversal tipo I (esquema I). Sabendo-se
que devido a causas externas o vínculo de garfo em A sofreu uma rotação = 0,0625 radianos
(anti-horário para um observador no sentido positivo de x), pede-se calcular o valor do
momento de torção Mt,I que passou a solicitar a viga. Pede-se ainda:
a-) O valor da dimensão “a” indicado na seção transversal em forma de cantoneira (esquema
II), para que esta seção tenha o mesmo momento de inércia à torção da seção do esquema I;
b-) Para a viga AB, agora com seção transversal em forma de cantoneira, calcular o momento
torçor Mt,II nas mesmas condições anteriores (rotação no garfo A). É oportuno lembrar que, de
acordo com a equação B” – B = -r2m, para r = 0 tem-se B = 0.
A B
2m
16cm
18cm
2cm
1cm
2cm
16cm
a
a
2cm
2cm
E = 20500 kN/cm2G = 7850 kN/cm2
= 0,0625 radianos
ESQUEMA I ESQUEMA II
Figura 5.48 – Viga com carga p uniformemente distribuída e vínculos de garfo.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
167
PROPOSTO 14 - A viga indicada na figura 5.49 é solicitada pelas cargas: F (transversal) e
20F (axial excêntrica), ambas aplicadas de acordo com o esquema da mesma figura. Nesse
caso, para E = 2100 kN/cm2 e G = 900 kN/cm2, pede-se:
a-) O valor admissível de F para = 1 kN/cm2;
b-) Com o valor de F do item a, construir os diagramas de M, Mft e B;
c-) Com o valor F do item a, determinar as tensões de cisalhamento máximas causadas por M
e Mft.
20 F
F
4 m
20 F
F
F32
14
65
1,5 cm
1cm
10cm 10cm
60cm
20cm
20cm 20cm 15cm15cm
20F
Figura 5.49 – Viga com cargas F e 20F aplicadas na extremidade livre.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno
168
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I
169
ANEXO I
I.1 ANALOGIA DE MEMBRANA APLICADA ÀS BARRAS DELGADAS DE
PAREDES ABERTAS
Conforme apresentado no capítulo 3, a equação geral clássica que permite obter a
rotação (giro) da seção transversal por unidade de comprimento, obtida com base nos
conceitos da Resistência dos Materiais, se escreve na forma apresentada na equação AI.1, em
que d é o giro relativo entre duas seções, Mt é o momento de torção, G é o módulo de
elasticidade transversal do material e It é o momento de inércia à torção.
t
t
GI
M'
dx
d
(AI.1)
A Analogia de Membrana aplicada ao estudo da torção simples, PROENÇA (2001),
consiste em representar a seção transversal de uma barra qualquer por meio de uma superfície
(lâmina), com rigidez nula na direção transversal ao seu plano, submetida a uma pressão p e
com resistência apenas a esforços de tração, conforme esquematiza a figura AI.1 extraída da
última referência.
Figura AI.1 – Membrana deformável submetida a uma dada pressão p.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I
170
Na última referência, faz-se a consideração do equilíbrio de um elemento infinitesimal
de área dA = dz.dy, o que permite determinar a equação diferencial fundamental do problema
do equilíbrio da membrana, conforme descreve a equação AI.2.
k
p
dz
)y,z(h
dy
)y,z(h2
2
2
2
(AI.2)
Na equação AI.2, y e z são coordenadas da seção transversal da barra, h(y,z) é a
função de forma da membrana, p a pressão exercida na superfície da membrana e k a tração
por unidade de comprimento da membrana. Ressalta-se que h(z,y) = 0 nos pontos do
contorno. Vale aqui lembrar a equação clássica obtida no estudo da torção, que estabelece
como condição para a distribuição de tensão de cisalhamento a equação AI.3
0dzdy
xzxy
(AI.3)
Para a última equação, admite-se a existência de uma nova função (z,y) para a qual
valem xy = - /z e xz = /y, as quais permitem obter a equação AI.4.
'G2dz
)y,z(
dy
)y,z(2
2
2
2
(AI.4)
Uma analogia entre as equações AI.2 e AI.4, conforme proposto em PROENÇA
(2001), permite estabelecer como válida a função (z,y) a qual assume a forma apresentada
na equação AI.5.
)y,z(hp
k'G2)y,z(
(AI.5)
Por meio da equação AI.5 se obtém as equações AI.6 e AI.7.
zxy h p
k '2G
z
)y,z(h
p
k '2G
z
(AI.6)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I
171
yxz h p
k '2G -
y
)y,z(h
p
k '2G -
y
(AI.7)
Nas equações AI.6 e AI.7, hz e hy correspondem às inclinações da membrana com
relação às direções z e y, respectivamente, lembrando que zy = 0, em concordância com a
hipótese de indeformabilidade da seção (zy = 0) anteriormente adotada. Por fim, procede-se o
equilíbrio na seção por meio da equação AI.8.
dA)z. y.( M xyA
xzt (AI.8)
Da última igualdade, se obtém, por meio de procedimentos que não serão aqui
demonstrados, as equações de interesse para o estudo em questão, escritas nas formas
apresentadas por meio das equações que seguem.
kV4
p
G
M' V
p
'Gk4M t
t (AI.9 e AI.10)
ztt
xy h 2V
M
z
)y,z(h
2V
M
(AI.11)
ytt
xy h 2V
M-
y
)y,z(h
2V
M-
(AI.12)
Nas equações AI.9, AI.10, AI.11 a AI.12, V é o volume deslocado da membrana.
Nota-se que o problema da torção, por Analogia de Membrana, fica condicionado à
determinação do volume deslocado e da inclinação da membrana. A equação AI.10, quando
comparada à equação AI.1, permite estabelecer que o termo entre parênteses corresponde ao
momento de inércia à torção (It), escrito na forma proposta na equação AI.13.
p
kV4It (AI.13)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I
172
Finalmente, procede-se a particularização das equações AI11, AI.12 e AI.13 para o
caso de barras com seções transversais abertas e com paredes delgadas, tomando como
referência a figura AI.2.
Figura AI.2 – Seção de parede de espessura t, representada por membrana deslocada e
submetida a uma pressão p. Fonte: PROENÇA (2001)
Com base na configuração deslocada da membrana esquematizada na última figura,
por conseqüência de uma pressão p exercida (de baixo para cima) e adotada na forma de
parábola, se faz:
ft3
2dy )y(hA
t
yy
t
f4)y(h
t
0
2
(AI.14 e AI.15)
dst 12k
pds AV
2s
1s
32s
1s (AI.16)
Substituindo a equação AI.16 nas equações AI.12 e AI.13, se obtém:
dst3
1dst
k12
p
p
k4I
s
3
s
3
t (AI.17)
t
t
t
tb W
Mt
I
M (AI.18)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I
173
Nas equações AI.17 e AI.18, t é a espessura da parede da seção transversal da barra em
estudo, ao longo da qual as tensões de cisalhamento () são admitidas linearmente distribuídas
ao longo da espessura t, com valor máximo na borda (b) e nulo sobre a linha do esqueleto,
conforme esquematiza a figura AI.3.
l i n h a d o
e s q u e l e t o
b
b
t
Figura AI.4 – Distribuição das tensões de cisalhamento ao longo de t.
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I
174
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I I
175
ANEXO II
II.1 FLEXO TORÇÃO VIA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Para um elemento infinitezimal (dx, dy, dz) da barra, a energia de deformação dU é
igual ao trabalho das tensões ( e ) atuantes. Nesse caso, escreve-se:
dzdydx 2
1dU xx (AII.1)
Com base na Lei de Hooke, tem-se:
dUdUdzdydx G2
dzdydx E2
dU22
x (AII.2)
Nota-se, pela equação AII.2, a existência de parcelas distintas de energia referentes à
tensão normal e a tensão de cisalhamento, dU e dU, respectivamente. Com base na parcela
referente à tensão normal, no caso, dU, procede-se:
dx dAE2
1 dzdydx
E2
1U
o A
2
x
2
x
(AII.3)
Ainda, conforme já apresentado por meio da equação 4.27 do capítulo 4, sabe-se que:
)(I
B )z(
I
M )y(
I
M
A
N
y
y
z
zx
Elevando a última equação ao quadrado obtém-se:
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I I
176
2
2
22
2
y
2
y2
2
z
2
z
2
22
x I
Bz
I
My
I
M
A
N(termos que contem: y, z, , yz, y, ou z)
Todos esses termos mencionados entre parênteses se anulam ao serem integrados na
área da seção transversal, resultando:
dx I
B
I
M
I
M
A
N
E2
1U
0
2
y
2
y
z
2
z2
(AII.5)
Em comparação com aquela equação obtida pela Resistência dos Materiais, nota-se
que foi acrescentado apenas o último termo dentro do colchete da equação AII.5, o qual
correspondente ao efeito da flexo torção.
Para o cálculo da parcela dU é usual não se levar em conta a tensão ft proveniente da
flexo torção tendo-se em vista que as tensões da torção livre são, na maioria dos casos
práticos da engenharia de estruturas, muito superiores quando comparadas com as tensões ft.
Dessa forma, como Mt = M, a tensão de cisalhamento é escrita na forma:
tI
M
t
Portanto, no caso da parcela dU nada irá diferir daquela já conhecida pela Resistência
dos Materiais que, a qual, além do efeito do momento de torção, passa a incluir também o
efeito da força cortante. A energia total da deformação é dada por:
dx GI
M
GA
cQ
EI
B
EI
M
EI
M
EA
N
2
1U
0 t
222
y
2
y
z
2
z2
(AII.6)
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I I
177
I.2 MOMENTO FLETOR PROVOCANDO BIMOMENTO
Ao se aplicar um momento fletor contido em um plano que não passa pelo centro de
torção da seção transversal, faz-se com que essa mesma seção passe a ser solicitada por um
bimomento. Para se calcular esse bimomento se idealiza o momento fletor (M) aplicado por
meio de um binário na forma F.s, conforme ilustrado na figura AII.1.
Os pontos de aplicação das cargas F, que produzem o binário F.s, têm áreas setoriais
(s) e (s + s). Dessa forma, escreve-se:
s
MF
linha doesqueleto
D
n
traço
do p
lano de ca
rga
s
s
MF
F
Figura AII.1 – Momento fletor contido em um plano que não passa pelo centro de torção.
Portanto, tem-se:
ds
dM
s0s
im M)ss(
s
M)s(
s
M
0s
imB
Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I I
178
O limite anteriormente deduzido nada mais é que a derivada da área setorial em
relação à linha do esqueleto. Por fim, já se sabe que:
nds
d ds
s
Portanto, o bimomento resultante e de interesse é escrito na forma final:
MnB (AII.8)
Flexo-Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Bibliografia
179
BIBLIOGRAFIA
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pp.49-73.
MORI, D. D. (1978) Flexo-torção: teorias de 1a e 2a ordens para automatização do cálculo.
São Carlos, EESC-USP, Dissertação de mestrado – EESC-USP, 171p
PROENÇA (2001) Curso de resistência dos materiais – Notas de Aula, v.1, São Carlos.
Apostila, Publicações, Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo, 235p.
PROENÇA (2001) Curso de resistência dos materiais – Notas de Aula, v.2, São Carlos.
Apostila, Publicações, Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo, 437p.
PROENÇA (2009) Mecânica das estruturas aeronáuticas – Notas de Aula, v.1, São Carlos.
Apostila, Publicações, Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo, 212p.
PROENÇA (2009) Mecânica das estruturas aeronáuticas – Notas de Aula, v.2, São Carlos.
Apostila, Publicações, Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo, 446p.
RACHID, M. (1969) Características de perfís para o cálculo de flexo-torção e estabilidade.
R. Esc. Eng. UFMG, 8 (12), pp.93-110.
RACHID, M. (1975) Instabilidade de barras de seção delgada. São Carlos, EESC-USP,
119p. Tese de doutorado.
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SOUZA, J. M. (1975) Torção de perfis abertos. Rio de Janeiro, PUC/RJ-USIMINAS, 83p.
(Fascículo no. 12).
Flexo-Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Bibliografia
180
VLASOV, V.Z. (1961) Thin-walled elastic beams. The National Science Foundation,
Departament of Commerce, USA, 2d. Edition, S. Monson Press, 493p.
VLASOV, V.Z. (1962) Piéces longues em voiles minces. Trad. G. Smirnoff, 10.ed. Paris,
Editora Evrolles, 665p.