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Geometría Analítica
CARATULA
Sean A = (x1 , y1) y B = (x2 , y2) dos puntos cualquiera del plano. La distancia entre los puntos dados se define así
d =
2 2
2 1 2 1) )x x y y
(x1 , y1)
(x2 , y2)
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
RECUERDA.
La ecuación de una recta está dada por: y= mx + b
PENDIENTE DE UNA RECTA
Pendiente, medida de la inclinación de una recta dada en un sistema de ejes cartesianos. La pendiente de una recta es el aumento de la ordenada, y, cuando la abscisa, x, aumenta una unidad.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.
Si , son dos puntos de la recta, la pendiente se
obtiene del siguiente modo: 2 2( , )x y1 1( , )x y
2 1
2 1
y ym
x x
Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales.
Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a -1
ÁNGULO DE DOS RECTAS
L1 L2
12
1
2
12
12tantan
12
12
tan*tan1tantan
tan
recta segunda la de etan
recta primera la de etan
22
11
pendientm
pendientm
12
12
*1tan
mmmm
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Si se tiene un segmento de extremos P1 = (x1 , y1) y P2 = (x2 , y2),
y un punto P0 = (x0, y0) que divide al segmento En dos
segmentos iguales, tiene por coordenadas
Es el punto medio de
1 2PP
1 2 1 2,2 2
x x y y
1 2PP P1
(x1 , y1)
P2
(x2 , y2),
P0
(x0, y0)
ÁREA DE UN POLIGONO EN FUNCIÓN DE LAS
COORDENADAS DE SUS VÉRTICES
P1
(x1 , y1)
P2 (x2 , y2),
P3 (x3 , y3)
M1 M3M2
Sean P1 (x1, y1), P2 (x2 , y2) y P3 (x3 , y3) los vértices de un triángulo. El área A en función de las coordenadas de los vértices viene dada por:
1 2 2 3 3 1 3 2 2 1 1 3
1
2A x y x y x y x y x y x y
PRINCIPAL y = mx + b
“m“= pendiente y “b” =intersección con eje “y”.
GENERAL Ax + By + C = 0
ECUACIONES DE LA RECTA
Pasa Por El Origen y = mx
Punto - Pendiente y – y1 = m(x – x1)
DOS-PUNTOS
SEGMENTARIA, CANÓNICA
O FORMA DE LOS INTERCEPTOS
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.
Las curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución
Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta que gira alrededor de un eje, e, fijo con el que se corta en un punto V
Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la superficie cónica, se producen las distintas curvas cónicas .
Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de la superficie cónica, se producen, respectivamente, una elipse, una parábola o una hipérbola
FOCOSEl foco o los focos de una curva cónica son los puntos de tangencia del plano
secante que produce la cónica con las esferas inscriptas al cono que sean, a la vez, tangentes al plano (teorema de Dandelín). Los focos son llamados puntos notables de las cónicas.
La elipse y la hipérbola tienen dos focos.La circunferencia y la parábola sólo uno.
CIRCUNFERENCIA ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA
FF F
F
F F
FF
F
F
DETALLE 1
F
CIRCUNFERENCIA
F
F
F´
ELIPSEF
F´
En la circunferencia sólo hay un foco, que es el centro de la circunferencia
En la elipse hay dos focos
DETALLE 2
F
PARÁBOLA
FF
F
HIPÉRBOLA
Un foco Dos focos
VÉRTICES
F
F´
ELIPSEF
F´
V1
V2
V2
F
PARÁBOLA
F
VV
VÉRTICES
F
F
HIPÉRBOLA
V2V2
V1V2
ELIPSE
Se denomina directriz de una curva cónica a la recta de intersección del plano secante con el plano que contiene a la circunferencia de tangencia entre el cono y la esfera que, siendo tangente al plano secante, está inscrita en la circunferencia cónica. La elipse y la hipérbola
tienen dos directrices, la parábola sólo una
F
F´
F
V2
DIRECTRICES-PARÁBOLA
F
PARÁBOLA
F
VV
DIRECTRICES-HIPÉRBOLA
F
F
HIPÉRBOLA
V2V2
V1V2
F
Se denomina elipse a la curva cerrada y plana, que determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros fijos F y F´ llamados focos, es constante e igual al eje mayor AB.
Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curva cerrada que recibe el nombre de elipse.
•DEFINICIÓN DE ELIPSE.
ELIPSE
La elipse es una curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos que cumplen con la condición de que la suma de distancias a otros dos fijos F1 y F2, llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor MN de la elipse.
M NF1 F2
S
T
P
2a
2c
2b
r1 r2
circunferencia principal
circ
unfe
renc
ia f
ocal
´
circunferenc ia focal
Siempre se verifica que a2= b2 + c2
La elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto O, centro de la curva.
O
Simetría: la elipse también es simétrica respecto a los dos ejes y, por tanto, respecto del centro O.
Ejes: el eje mayor MN se le llama eje real y vale 2a y el eje menor ST es el eje virtual y vale 2b.
M N
2a
eje real
S
T
2b
Distancia focal: la distancia focal F1 F2 vale 2c. Los focos están siempre en el eje real
F1 F2
2c
Radios vectores: son las rectas PF1 (r1) y PF2(r2) que unen cada punto de la elipse con los focos . La suma d estos dos segmentos es 2a
F1 F2F1 F2
P
F1 F2
P
r1
F1 F2
P
r1 r2
Circunferencia principal: es la que tiene por centro el de la elipse y el diámetro 2a
O
2a
O
2a
circunferencia principal
O
Circunferencias focales: es la que tiene por centro los focos y radio 2a
2a
F1
circunfe
rencia
foca
l
F2
circ
unfe
renci
a f
oca
l ´
Diámetros conjugados: se llaman así a todo par de diámetros que cumplen con la condición de que cualquier recta secante paralela a uno de ellos queda dividida en dos partes iguales por el otro.
Se llama diámetro de la elipse a cualquier cuerda que pase por su centro.
OOOOO=
=
RESUMEN
M NF1
F2
S
T
P
2a
2c
2b
r1 r2
circunferencia principal
circ
un
fere
nci
a f
oca
l ´ circun
fere
ncia
foca
l
O
eje
virtu
al
eje real
=
=
RECTAS TANGENTESLas proyecciones de los focos sobre cualquier recta tangente a la elipse pertenecen a la circunferencia principal.
F1 F2
circunferencia principal
O
t
pF``1
F``1
El punto simétrico de un foco respecto de cualquier recta tangente a la elipse pertenece a la circunferencia focal cuyo centro es el otro foco.
circ
unfe
ren
cia f
oca
l ´
F´1circu
nfe
ren
cia fo
cal
F´2
DETERMINACIÓN DE LOS FOCOS CONOCIENDO LOS EJESSean MN y ST los ejes de una elipse:
M NS T
NM
S
T
O
a
• Se trazan ambos ejes perpendiculares entre sí cortándose en su punto medio.
•Se traza un arco de circunferencia con centro en uno de los extremos s del eje menor y radio el semieje mayor ON hasta cortar al eje MN en los puntos y F1 y F2 que son los focos.
F1 F2
CONSTRUCCIONES: MÉTODOS A MANO ALZADA
Método del jardinero (o de la cuerda):
-la cuerda mide 2a
Método del la tira de papel
-En un cartón se señalan los semiejes.
CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE CONOCIENDO LOS EJES: POR PUNTOSSean los ejes MN y ST:
•Se hallan los focos F1 y F2, como ya se ha explicado.
NM
S
T
F1 F2
•Se toma un punto A cualquiera del eje mayor, situado entre uno de los focos y el centro, y con radio MA y centro en F1 se traza el arco 1 y con radio NA y centro F2 se traza el arco 2; estos dos arcos se cortan en el punto V de la elipse.
A
r1 r2
V
Repitiendo la misma operación con otros puntos B, C, etc., se van determinando puntos de la elipse que posteriormente se unen a mano o con plantilla.
B C
MÉTODO: POR AFINIDAD Sean los ejes MN y ST:
1. Se trazan dos circunferencias cuyos diámetros sean iguales al eje mayor y al eje menor, respectivamente.
2. Se traza un radio cualquiera que corte a las dos circunferencias en dos puntos A y B.
3. Por el punto A de intersección con la circunferencia menor se traza la recta paralela al eje mayor MN.
4. Por el punto B de intersección con la circunferencia mayor se traza la paralela al eje menor ST.
5. El punto C de intersección de las dos paralelas es un punto de la elipse.
Se repite la operación con tantos radios como se desee, determinado así diversos puntos de la elipse, que posteriormente se unen a mano o con plantilla.
NM
S
T
A
B
C
CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE CONOCIENDO DOS DIÁMETROS CONJUGADOS
Sean AB y CD dos diámetros conjugados de la elipse:
1. Se traza la circunferencia con diámetro AB y centro en el punto O.
2. Por el punto O se dibuja la perpendicular al diámetro AB que corta a la circunferencia en T.
3. Se toma un punto S cualquiera del diámetro AB, trazando por él la paralela a OT hasta cortar a la circunferencia en el punto V.
4. Se trazan dos rectas paralelas: una a OC por el punto S y otra a TC por el punto V; ambas se cortan en el punto R de la elipse.
5. Repitiendo la misma operación con otros puntos del diámetro AB se van determinando puntos de la elipse, que posteriormente se unen con plantilla o a mano.
Para mejor entendimiento diremos que cada punto de la elipse se obtiene por construcción de triángulos semejantes al OTC, como el SVR, etc.
A B
C
D
O
T
S
V
R
DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA
PARÁBOLA
La parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F llamo foco, y de una recta fija d llamada directriz
d
eF
Pr
r
direct
riz
PROPIEDADES•La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz.
d
directr
iz
e
•La parábola tiene un vértice V y un foco F situados en el eje.
El vértice, como cualquier otro punto de la parábola, equidista de la directriz y del foco
V F
•Simetría: la parábola es simétrica respecto del eje.
•Radios vectores: son las rectas PF y PF´ que unen un punto con el foco y con la directriz. F
Pr
r
F´
Circunferencia principal: es la recta tangente en el vértice; por tanto tiene radio infinito.
d
FV
c.prin
cipal
direct
riz
F´
Circunferencia focal: es la propia directriz; por tanto tiene radio infinito.
c.fo
cal
ü Parámetro 2p: es la longitud AB de la cuerda perpendicular al eje en el foco F.
F
A
B
RECTAS TANGENTESLa proyección del foco sobre una tangente pertenece a la circunferencia principal, es decir, a la tangente en el vértice.
eFV
t
c.prin
cipal
F´´
La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco F respecto de cada tangente
d
c.focal
direct
riz
F´El foco F equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde esta corta al eje de la parábola FP = FC.
P
r
C
CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA CONOCIENDO EL FOCO Y LA DIRECTRIZ
Los datos son: la directriz d, el eje e y el foco F:
d
eFM
c.foca
ldir
ectriz
•El vértice es el punto medio del segmento MF.
V
•Se toma un punto cualquiera A del eje y se traza la recta m perpendicular al eje
A
m
•Con centro en el foco F y radio AM se traza un arco que corta a la perpendicular m en los puntos P y P´, puntos de la parábola. Se cumple que PF = PE
Pr
r
rP´
E
Repitiendo la misma operación con otros puntos B; C; etc., se obtienen puntos que unidos posteriormente a mano o con plantilla, nos determinan la parábola.
BBB CB C D
FIN
