37
1 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ ................................................ 2 3.1 Γενικά........................................................................................................................ 2 3.2 Είσοδος σε σωλήνα – Μήκος εισόδου- Ομοιόμορφη ροή ..................................... 2 3.3 Εξίσωση Darcy-Weisbach – Απώλειες ενέργειας εξαιτίας τριβών...................... 5 3.4 Κατανομή διατμητικών τάσεων ............................................................................. 8 3.5 Προσδιορισμός κατανομής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη στρωτή ροή 9 3.5.1 Παραβολοειδής κατανομή ταχυτήτων ροής ...................................................... 9 3.5.2 Μέγιστη και μέση ταχύτητα ροής .................................................................... 10 3.5.3 Συντελεστής τριβών ......................................................................................... 11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.5-1 ...................................................................................................... 11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.5-2 ...................................................................................................... 14 3.6 Προσδιορισμός κατανομής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη τυρβώδη ροή 15 3.6.1 Λογαριθμική κατανομή ταχυτήτων ροής ......................................................... 15 3.6.2 Μέγιστη και μέση ταχύτητα ροής .................................................................... 15 3.6.3 Συντελεστής τριβών ......................................................................................... 16 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.6-1 ...................................................................................................... 17 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.6-2 ...................................................................................................... 18 3.6.4 Επίδραση της τραχύτητας των τοιχωμάτων..................................................... 19 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.6-3 ...................................................................................................... 21 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.6-4 ...................................................................................................... 22 3.6.5 Το διάγραμμα Moody ...................................................................................... 23 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.6-5 ...................................................................................................... 25 3.7 Εμπειρικές εξισώσεις υπολογισμού ...................................................................... 25 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.7-1 ...................................................................................................... 27 3.8 Σωλήνες εμπορίου-Χαρακτηριστικά και γήρανση αυτών ................................. 27 3.9 Τοπικές απώλειες ενέργειας .................................................................................. 28 3.9.1 Γενική εξίσωση υπολογισμού τοπικών απωλειών ........................................... 28 3.9.2 Τοπικές απώλειες σε απότομες διαστολές ....................................................... 29 3.9.3 Τοπικές απώλειες σε απότομες συστολές ........................................................ 31 3.9.4 Τοπικές απώλειες σε βαθμιαίες διαστολές ...................................................... 33 3.9.5 Τοπικές απώλειες σε βαθμιαίες συστολές ....................................................... 33 3.9.6 Τοπικές απώλειες σε αλλαγή κατεύθυνσης σωλήνα........................................ 34 3.9.7 Τοπικές απώλειες σε δικλίδες .......................................................................... 35 3.9.8 Σημασία των τοπικών απωλειών ..................................................................... 36 3.10 Σπηλαίωση και έλεγχος υποπίεσης....................................................................... 36

!Fluid Mech 3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

!Fluid Mech 3

Citation preview

Page 1: !Fluid Mech 3

1

3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ ................................................ 2

3.1 Γενικά........................................................................................................................ 2

3.2 Είσοδος σε σωλήνα – Μήκος εισόδου- Οµοιόµορφη ροή..................................... 2

3.3 Εξίσωση Darcy-Weisbach – Απώλειες ενέργειας εξαιτίας τριβών...................... 5

3.4 Κατανοµή διατµητικών τάσεων ............................................................................. 8

3.5 Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη στρωτή ροή

9 3.5.1 Παραβολοειδής κατανοµή ταχυτήτων ροής ...................................................... 9 3.5.2 Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής.................................................................... 10 3.5.3 Συντελεστής τριβών......................................................................................... 11 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.5-1 ...................................................................................................... 11 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.5-2 ...................................................................................................... 14

3.6 Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη τυρβώδη

ροή 15 3.6.1 Λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής......................................................... 15 3.6.2 Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής.................................................................... 15 3.6.3 Συντελεστής τριβών......................................................................................... 16 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.6-1 ...................................................................................................... 17 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.6-2 ...................................................................................................... 18 3.6.4 Επίδραση της τραχύτητας των τοιχωµάτων..................................................... 19 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.6-3 ...................................................................................................... 21 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.6-4 ...................................................................................................... 22 3.6.5 Το διάγραµµα Moody ...................................................................................... 23 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.6-5 ...................................................................................................... 25

3.7 Εµπειρικές εξισώσεις υπολογισµού...................................................................... 25 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.7-1 ...................................................................................................... 27

3.8 Σωλήνες εµπορίου-Χαρακτηριστικά και γήρανση αυτών ................................. 27

3.9 Τοπικές απώλειες ενέργειας .................................................................................. 28 3.9.1 Γενική εξίσωση υπολογισµού τοπικών απωλειών........................................... 28 3.9.2 Τοπικές απώλειες σε απότοµες διαστολές ....................................................... 29 3.9.3 Τοπικές απώλειες σε απότοµες συστολές ........................................................ 31 3.9.4 Τοπικές απώλειες σε βαθµιαίες διαστολές ...................................................... 33 3.9.5 Τοπικές απώλειες σε βαθµιαίες συστολές ....................................................... 33 3.9.6 Τοπικές απώλειες σε αλλαγή κατεύθυνσης σωλήνα........................................ 34 3.9.7 Τοπικές απώλειες σε δικλίδες .......................................................................... 35 3.9.8 Σηµασία των τοπικών απωλειών ..................................................................... 36

3.10 Σπηλαίωση και έλεγχος υποπίεσης....................................................................... 36

Page 2: !Fluid Mech 3

2

3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ

3.1 Γενικά Στo παρόν κεφάλαιο πραγµατοποιούµε τη θεωρητική ανάλυση της ροής σε σωλήνες υπό

πίεση.

Έχοντας µελετήσει το κεφάλαιο αυτό, θα είσαστε σε θέση

1. Να εκτιµήσετε το µήκος εισόδου της ροής από µια δεξαµενή σε ένα σωλήνα, µετά τον

οποίο η ροή γίνεται οµοιόµορφη.

2. Να υπολογίσετε (α) την κατανοµή των ταχυτήτων ροής, (β) την κατανοµή των

διατµητικών τάσεων, (γ) το συντελεστή τριβών f και (δ) τις γραµµικές απώλειες σε

οµοιόµορφη ροή υπό πίεση για στρωτή και τυρβώδη ροή σε λείους ή τραχείς σωλήνες.

3. Να περιγράψετε το διάγραµµα Moody και να κατανοήσετε την πρακτική χρησιµότητά

του.

3.2 Είσοδος σε σωλήνα – Μήκος εισόδου- Οµοιόµορφη ροή Θυµηθείτε το πείραµα του Reynolds (βλ. Κεφ. 1.4.2) και τον ορισµό της οµοιόµορφης ροής

(Κεφ. 1.4.7) και παρατηρείστε το Σχ. 3.2-1, στο οποίο η ροή εισέρχεται σε ένα σωλήνα. Στα

στερεά όρια του σωλήνα αναπτύσσεται ένα οριακό στρώµα, στο οποίο παρατηρείται µια

σχετικά σηµαντική πτώση της πίεσης και κατά συνέπεια απώλεια ενέργειας. Εξαιτίας του

οριακού στρώµατος η ροή δεν είναι οµοιόµορφη στην αρχή του σωλήνα και γίνεται

οµοιόµορφη µετά από ένα µήκος Le, το οποίο καλείται µήκος ανάπτυξης της ροής ή µήκος

εισόδου.

ΣΧΗΜΑ 3.2-1. Είσοδος σε σωλήνα και µήκος εισόδου

Page 3: !Fluid Mech 3

3

Για να υπολογίσουµε το Le εφαρµόζουµε τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης. Η

εξαρτηµένη µεταβλητή είναι το Le και οι ανεξάρτητες µεταβλητές που το επηρεάζουν είναι οι

ρ, µ, V και D, δηλ.

eF(L ,ρ,µ,V,D) 0= (3.2-1)

Από την εφαρµογή της µεθόδου της διαστατικής ανάλυσης προκύπτει

eLF( , Re) 0

D= ή eL

F(Re)D

= (3.2-2)

δηλ. το Le εξαρτάται µόνο από τον αριθµό Re, VD

Reµ / ρ

=

Από πειραµατική διερεύνηση προέκυψαν οι ακόλουθες προσεγγιστικές εξισώσεις

Για στρωτή ροή eL0.06Re

D= Ισχύει για Re<2300 (3.2-3)

Για τυρβώδη ροή 1/ 6eL

4.4 ReD

= (3.2-4)

Στο Σχ. 3.2-2 φαίνεται η γραφική παράσταση των εξ. (3.2-3) και (3.2-4).

Page 4: !Fluid Mech 3

4

0

50

100

150

0 10000 20000 30000 40000 50000

Re

Le

(α)

0

10

20

30

40

50

0.0E+00 2.0E+05 4.0E+05 6.0E+05 8.0E+05 1.0E+06

Re

Le

(β)

ΣΧΗΜΑ 3.2-2. Εξάρτηση του µήκους εισόδου από τον αριθµό Reynolds

ΣΧΟΛΙΑ 1. To µήκος εισόδου στην τυρβώδη ροή είναι µικρότερο από αυτό που παρατηρείται στη

στρωτή ροή, εξαιτίας του µικρότερου µήκους του τυρβώδους οριακού στρώµατος.

2. To µήκος εισόδου στην τυρβώδη ροή είναι της τάξης των 20-40 D. Στα συνηθισµένα

προβλήµατα ροής που θα αντιµετωπίσουµε τα µήκη των αγωγών είναι της τάξης των

1000 D, οπότε µπορούµε πρακτικά να αγνοήσουµε το µήκος εισόδου και να

θεωρήσουµε ότι η οµοιόµορφη ροή ξεκινά από την αρχή του σωλήνα.

Page 5: !Fluid Mech 3

5

3.3 Εξίσωση Darcy-Weisbach – Απώλειες ενέργειας εξαιτίας τριβών

Θεωρείστε τη ροή που γίνεται στο όγκο αναφοράς του σωλήνα του Σχ. 3.3-1, ο οποίος έχει

µήκος ∆x και περιορίζεται από τις διατοµές 1 και 2. Ο άξονας του σωλήνα λαµβάνεται κατά

τη διεύθυνση της ροής x και σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση. Η ροή µπορεί

να γίνεται εξαιτίας της διαφοράς πίεσης ∆p=p1-p2 ή και της διαφοράς στάθµης ∆z=z1-z2

µεταξύ των διατοµών 1 και 2.

ΣΧΗΜΑ 3.3-1. Όγκος αναφοράς σε ροή σωλήνα

Στόχος της παρούσας ανάλυσης της ροής είναι ο προσδιορισµός της εξίσωσης υπολογισµού

των γραµµικών απωλειών hf στο µήκος ∆x του σωλήνα, µεταξύ των διατοµών 1 και 2. Η

ανάλυση θα γίνει σε δυο στάδια. Στο πρώτο στάδιο θα προσδιοριστεί η εξίσωση που συνδέει

την hf µε τη διατµητική τάση ορίου τw χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του όγκου αναφοράς. Στο

δεύτερο στάδιο θα συσχετίσουµε τη τw µε τα χαρακτηριστικά του ρευστού, της ροής και του

σωλήνα χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, ώστε τελικά η εξίσωση

υπολογισµού του hf να περιέχει µόνο τα χαρακτηριστικά του ρευστού, της ροής και του

σωλήνα.

Στάδιο 1. Γράφουµε τις εξισώσεις συνέχειας, ενέργειας και ποσότητας κίνησης στο όγκο

αναφοράς του Σχ. 3.3-1.

1. Εξίσωση συνέχειας

1 2Q Q Q= = ή 1 1 2 2A V A V= ή 1 2V V V= = (3.3-1)

επειδή

2

1 2

πDA A A

4= = = (3.3-2)

δηλ. η ταχύτητα ροής στο σωλήνα είναι σταθερή στο χώρο και η ροή είναι

οµοιόµορφη.

Page 6: !Fluid Mech 3

6

2. Εξίσωση ενέργειας

2 2

1 1 2 21 2 f 1 1 2 2 f

p V p VH H h z α z α h

γ 2g γ 2g= + => + + = + + + (3.3-3)

Επιλύοντας την εξ. (3.3-3) ως προς hf και θεωρώντας ότι α1=α2=α (εξαιτίας της

οµοιοµορφίας της ροής) προκύπτει

2 2 2 2

1 2 1 2f 1 2

p p V V V V∆p ph z z α α ∆z ∆(α ) ∆ z α

γ γ 2g 2g γ 2g γ 2g

= − + − + − = + + = + +

(3.3-4)

δηλ. οι γραµµικές απώλειες ενέργειας στο σωλήνα είναι ίσες µε τη µεταβολή της

ενέργειας ή απλά µε την πτώση της γραµµής ενέργειας ΓΕ. Η εξ. (3.3-4) απλοποιείται

ακόµα περισσότερο χρησιµοποιώντας την εξ. (3.3-1) ως εξής

1 2f 1 2

p p ∆p ph z z ∆z+ ∆(z+ )

γ γ γ γ= − + − = = (3.3-5)

δηλ. οι γραµµικές απώλειες ενέργειας στο σωλήνα είναι ίσες µε τη µεταβολή του

πιεζοµετρικού ύψους ή απλά µε την πτώση της πιεζοµετρικής γραµµής ΠΓ.

3. Εξίσωση ποσότητας κίνησης

x x x 1 1 2 2Fp Fτ Fg ρ(V Q V Q ) ρ(VQ VQ) 0+ + = − = − = (3.3-6)

Υπολογίζουµε τις 3 δυνάµεις που εξασκούνται στον όγκο του νερού.

(i) ∆ύναµη πίεσης xFp

2 2 2 2 2

x 1 2 1 1

πD πD πD πD πDFp p p p (p ∆p) ∆p

4 4 4 4 4= − = − − = (3.3-7)

(ii) ∆ύναµη διάτµησης (τριβές) xFτ

x wFτ τ πD∆x= − (3.3-8)

(iii) ∆ύναµη βαρύτητας xFg

2

x

πDFg mgsin φ ρVgsin φ γ ∆x sin φ

4= = = (3.3-9)

Η εξ. (3.3-6) γράφεται µε βάση τις εξ. (3.3-7), (3.3-8) και (3.3-9) ως εξής

2 2

w

πD πD∆p τ πD∆x γ ∆x sin φ 0

4 4− + = (3.3-10)

Θεωρώντας ∆z=∆x sinφ η εξ. (3.3-10) γράφεται ως εξής

Page 7: !Fluid Mech 3

7

w4τ ∆x p∆(z )

γD γ= + ή w

D ∆(p γz)τ

4 ∆x

+= (3.3-11)

Συνδυάζοντας τις εξ. (3.3-5) και (3.3-11) προκύπτει η εξίσωση που συνδέει τα hf και τw

fw

p∆(z )

hD D γτ γ γ

4 ∆x 4 ∆x

+= = ή w

f

4τ ∆xh

γD= (3.3-12)

Στάδιο 2. Στο στάδιο αυτό θα συσχετίσουµε τη τw µε τα χαρακτηριστικά του ρευστού (ρ και

ν), της ροής (V) και του σωλήνα (D και ks) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της διαστατικής

ανάλυσης, δηλ. θα προσδιορίσουµε µια εξίσωση της µορφής

w sτ F(ρ, ν,V,D, k )= (3.3-13)

Από την εφαρµογή της µεθόδου της διαστατικής ανάλυσης (η οποία περιγράφεται στο Κεφ.

1.5.4) προκύπτει ότι

w s

2

τ kf VDF Re ,

ρV 8 ν D

= = =

ή

2

w

1τ fρV

8= (3.3-14)

Ο συντελεστής f καλείται συντελεστής τριβών Darcy. O Henry Darcy (1803-1858) ήταν

ένας Γάλλος µηχανικός, ο οποίος το 1857 πραγµατοποιώντας πειράµατα ροής σε σωλήνες,

µελέτησε για πρώτη φορά την επίδραση της τραχύτητας των σωλήνων στη ροή.

Αντικαθιστώντας την εξ. (3.3-14) της τw στην εξ. (3.3-12), η τελευταία γράφεται ως εξής

2

f

∆x Vh f

D 2g= (3.3-15)

Για ένα µήκος αγωγού L, η εξ. (3.3-15) γράφεται

2

f

L Vh f

D 2g= (3.3-16)

Η εξ. (3.3-16) ονοµάζεται εξίσωση Darcy-Weisbach, επειδή την πρότεινε ο Γερµανός

καθηγητής Julius Weisbach (1945), o οποίος δηµοσίευσε το πρώτο σύγχρονο βιβλίο

υδροδυναµικής.

ΣΧΟΛΙΑ 1. Σηµειώστε ότι γράψαµε την εξ. (3.3-3) (ενέργειας) στη γενική της µορφή, βλ. εξ. (1.2-

10).

2. Για να καταλήξουµε στις εξ. (3.3-12), (3.3-14) και (3.3-16) χρησιµοποιήσαµε και τις 3

βασικές εξισώσεις ροής (συνέχειας, ενέργειας και ποσότητας κίνησης), καθώς και τη

µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, χωρίς να διακρίνουµε αν η ροή είναι στρωτή ή

τυρβώδης. Άρα, οι εξ. (3.3-12), (3.3-14) και (3.3-16) ισχύουν για στρωτή και τυρβώδη

ροή υπό πίεση σε κλειστούς αγωγούς οιασδήποτε σταθερής διατοµής.

Page 8: !Fluid Mech 3

8

3. Σύµφωνα µε την εξ. (3.3-14), ο συντελεστής f εξαρτάται από το είδος της ροής (Re) και

τη γεωµετρία του αγωγού, όπως αυτή εκφράζεται από το λόγο ks/D, ο οποίος καλείται

σχετική τραχύτητα του σωλήνα.

4. Η εξ. (3.3-16) είναι πολύ σηµαντική και θα τη χρησιµοποιείτε πολύ συχνά στις

ασκήσεις, αλλά και στο ελεύθερο επάγγελµα σας, εφόσον ασχοληθείτε µε προβλήµατα

ροής υπό πίεση σε κλειστούς αγωγούς. Για να την εφαρµόσουµε θα πρέπει να

προσδιορίσουµε το συντελεστή f. Αυτό θα το κάνουµε στο Κεφ. 3.5.

3.4 Κατανοµή διατµητικών τάσεων Για να προσδιορίσουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του Σχ. 3.4-1, θα πρέπει

να προσδιορίσουµε πρώτα την αντίστοιχη κατανοµή των διατµητικών τάσεων. Για να

κάνουµε αυτή την ανάλυση της ροής, θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της διαφορικής

ανάλυσης επιλύοντας τις βασικές διαφορικές εξισώσεις ροής, τις οποίες γνωρίσαµε στο Κεφ.

1.4.

Γράφουµε τις βασικές διαφορικές εξισώσεις ροής στη γενική τους µορφή και σε κυλινδρικό

σύστηµα συντεταγµένων (βλ. Σχ. 3.4-1).

1. Εξίσωση συνέχειας

r θ

1 1 u(rv ) (v ) 0

r r r θ x

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ (3.4-1)

όπου u, vr και vθ είναι οι ταχύτητες ροής κατά µήκος της ροής (διεύθυνση x), την

ακτινική διεύθυνση r και την πολική διεύθυνση θ, αντίστοιχα.

ΣΧΗΜΑ 3.4-1. Σκαρίφηµα ροής σε σωλήνα µήκους ∆x

2. Εξίσωση ποσότητας κίνησης

x

u p 1ru ρg (rτ)

x x r r

∂ ∂ ∂= − + +

∂ ∂ ∂ (3.4-2)

Από την εξ. (3.4-1) προκύπτει ότι vr=0 και vθ=0, οπότε

Page 9: !Fluid Mech 3

9

u

0x

∂=

∂ (3.4-3)

δηλ. η ταχύτητα ροής u εξαρτάται µόνο από την ακτινική διεύθυνση r και όχι από το

x, δηλ. η ροή είναι οµοιόµορφη.

3. Θέτοντας xg g sin φ= και εισάγοντας την εξ. (3.4-3) στην εξ. (3.4-2), η τελευταία

γράφεται

dp 1

(p ρgsin φ) (rτ)dx r r

∂− =

∂ ή

1 dp(rτ) (p γz)

r r dx

∂= +

∂ (3.4-4)

Ο αριστερός όρος της εξ. (3.4-4) εξαρτάται µόνο από το r και ο δεξιός όρος µόνο από

το x. Εποµένως, οι δυο όροι θα πρέπει να είναι ίσοι µε την ίδια σταθερά.

4. Ολοκληρώνουµε την εξ. (3.4-4) και θέτουµε τ=0 για r=0, οπότε προκύπτει

r d r

τ (p γz) K2 dx 2

= + = (3.4-5)

όπου Κ είναι µια σταθερά ίση µε την κλίση της πίεσης, δηλ.

d

K (p γz)dx

= + (3.4-6)

Παρατηρείστε στο Σχ. 3.4-1 ότι η διατµητική τάση µεταβάλλεται γραµµικά από τον άξονα

του αγωγού µέχρι το τοίχωµα αυτού (r=R=D/2), όπου λαµβάνει τη µέγιστη τιµή της που είναι

ίση µε

w

R d D ∆(p γz)τ (p γz)

2 dx 4 ∆x

+= + = (3.4-7)

ΣΧΟΛΙΑ

1. Στην εξ. (3.4-5) ο όρος d

(p γz)dx

+ είναι αρνητικός, γιατί η πίεση και το υψόµετρο

µειώνονται µε το x, δηλ. υπάρχει πτώση της ΠΓ.

2. Παρατηρείστε ότι η εξ. (3.4-7) είναι ίδια µε την εξ. (3.3-12). Επίσης, σηµειώστε ότι οι

δυο εξισώσεις ισχύουν για στρωτή και τυρβώδη ροή. Η διάκριση σε στρωτή και

τυρβώδη ροή γίνεται στη συνέχεια για τον προσδιορισµό της τιµής του f και της

κατανοµής των ταχυτήτων ροής ανάλογα µε το είδος της ροής.

3.5 Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη στρωτή ροή

3.5.1 Παραβολοειδής κατανοµή ταχυτήτων ροής

Για να προσδιορίσουµε την κατανοµή ταχυτήτων στη στρωτή ροή θα χρησιµοποιήσουµε τη

µέθοδο της διαφορικής ανάλυσης και την εξ. (1.2-14), η οποία ισχύει για στρωτή ροή

(νευτώνιου ρευστού) και γράφεται ως εξής

Page 10: !Fluid Mech 3

10

du(r)

τ µdr

= (3.5-1)

Εξισώνουµε την εξ. (3.4-5) µε την εξ. (3.5-1), οπότε προκύπτει

du(r) r

µ Kdr 2

= ή K

du(r) rdr2µ

= (3.5-2)

Ολοκληρώνουµε την εξ. (3.5-2) και προκύπτει

2

1

Ku(r) r C

4µ= + (3.5-3)

Εφαρµόζουµε τη φυσική οριακή συνθήκη u=0 στο τοίχωµα του σωλήνα (r=R) και

προσδιορίζουµε τη σταθερά C1 ίση µε

2

1

KC - R

4µ= (3.5-4)

Εισάγοντας την εξ. (3.5-4) στην εξ. (3.5-3), η τελευταία γράφεται ως εξής

2 2 2 2 2 2K K K 1 d

u(r) r R (R r ) (p γz)(R r )4µ 4µ 4µ 4µ dx

= − = − − = − + − (3.5-5)

Η εξ. (3.5-5) δείχνει ότι η κατανοµή της ταχύτητας είναι παραβολοειδής ή ακριβέστερα

είναι ένα παραβολοειδές εκ περιστροφής (βλ. Σχ. 3.4-1).

3.5.2 Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής

Η µέγιστη ταχύτητα ροής umax παρατηρείται στον άξονα του σωλήνα (r=0) και

προσδιορίζεται από την εξ. (3.5-5) για r=0, δηλ.

2 2

max

K 1 du R (p γz)R

4µ 4µ dx= − = − + (3.5-6)

Συνδυάζοντας την εξ. (3.5-5) µε την εξ. (3.5-6) προκύπτει

2

max 2

ru(r) u (1 )

R= − (3.5-7)

Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ροής V από την εξ. (3.3-1).

Q

VA

= (3.3-1)

Για να υπολογίσουµε την παροχή Q πρέπει να ολοκληρώσουµε την εξ. (3.5-7), δηλ.

R 22max

max 2

0

urQ udA u (1 )2πrdr πR

R 2= = − =∫ ∫ (3.5-8)

Page 11: !Fluid Mech 3

11

οπότε προκύπτει

max

1V u

2= (3.5-9)

δηλ. η µέση ταχύτητα της ροής είναι ίση µε το µισό της µέγιστης.

3.5.3 Συντελεστής τριβών

Πρώτα υπολογίζουµε τη διατµητική τάση στο τοίχωµα. Χρησιµοποιούµε την εξ. (3.5-1), στην

οποία εισάγουµε την παράγωγο της εξ. (3.5-7) και την εξ. (3.5-9) ως εξής

maxw

r R

2µudu 2µ(2V) 8µVτ µ

dr R (D / 2) D=

= = = = (3.5-10)

Αντικαθιστούµε την εξ. (3.5-10) στην εξ. (3.3-14) και υπολογίζουµε τον συντελεστή τριβών

για στρωτή ροή fστ ίσο µε

wστ 2 2

8µV8( )

8τ 64 64DfVDρV ρV Re

( )µ / ρ

= = = = (3.5-11)

Αντικαθιστώντας την εξ. (3.5-11) στην εξ. (3.3-15), η τελευταία γράφεται

2

f 2

64 L V 32µ Lh V

VD D 2g ρg D( )µ / ρ

= = (3.5-12)

ΣΧΟΛΙΑ

1. Η στρωτή ροή σε σωλήνα που ακολουθεί την κατανοµή της εξ. (3.5-7) ονοµάζεται

ροή Hagen-Poiseuille σε ανάµνηση της πειραµατικής έρευνας των G. Hagen (1839)

και J. L. Poiseuille (1841).

2. Παρατηρείστε ότι η παροχή, που υπολογίζεται µε την εξ. (3.5-8), είναι ίση µε τον όγκο

του παραβολοειδούς, η βάση του οποίου έχει µονάδες επιφάνειας [L2] και το ύψος

του µονάδες ταχύτητας [L/T].

3. Προσέξτε ότι σύµφωνα µε την εξ.(3.5-11), ο συντελεστής τριβών στη στρωτή ροή fστ

µειώνεται µε την αύξηση του αριθµού Reynolds. Αυτό βέβαια δεν σηµαίνει ότι και η

διατµητική τάση µειώνεται µε τον αριθµό Reynolds, καθόσον η εξ. (3.5-10) δείχνει

σαφώς ότι η τw είναι ανάλογη της ταχύτητας ροής.

4. Παρατηρείστε ότι σε λογαριθµικό διάγραµµα η εξ. (3.5-11) είναι ευθεία γραµµή (βλ.

Κεφ.3.6.5 , διάγραµµα Moody).

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.5-1

Στο σωλήνα του Σχ. 1 πραγµατοποιείται ροή λαδιού SAE 30. Η πίεση στις διατοµές 1 και 2

µετρήθηκε ίση µε p1=55000 Pa και p2=10000 Pa.

Page 12: !Fluid Mech 3

12

1. Υποθέτοντας ότι η ροή είναι στρωτή υπολογίστε (i) τη φορά της ροής, (ii) τις

απώλειες hf µεταξύ των διατοµών 1 και 2, (iii) την παροχή Q, (iv) τη µέση ταχύτητα

V και (4) τον αριθµό Reynolds Re.

2. Ισχύει η παραδοχή που κάνατε ότι η ροή είναι στρωτή;

3. Επαναλάβατε τους υπολογισµούς για υγρό µε πυκνότητα ίση µε το 1/3 της

πυκνότητας του λαδιού και σχολιάστε τα αποτελέσµατα.

ΣΧΗΜΑ 1. Ροή λαδιού σε σωλήνα του παραδείγµατος 3.5-1

Λύση

1. Υπολογίζουµε τα χαρακτηριστικά του λαδιού από τον Πίν. 1.2-1.

2

3

kg0.29

µ mmsν 0.000325 kgρ s

891 m

= = =

3 2 2 2

kg m kgγ ρg (891 )(9.81 ) 8740.71

m s m s= = =

2. Υπολογίζουµε τις τιµές της ΠΓ στις διατοµές 1 και 2 και τις απώλειες hf .

11 1

p 55000ΠΓ z 1.0 7.29 m

γ 8740.71= + = + =

o22 2

p 10000ΠΓ z (1.0 8.0sin 30 ) 6.14 m

γ 8740.71= + = + + =

Εφόσον ΠΓ1>ΠΓ2, η ροή γίνεται από τη διατοµή 1 προς τη διατοµή 2, δηλ. προς τα

πάνω.

Οι απώλειες είναι ίσες µε hf=7.29-6.14 = 1.15 m και f

ph ∆(z ) 1.15 m

γ= + = και

Page 13: !Fluid Mech 3

13

2 2d 1.15 m sK (p γz) 8740.71 1256.57

dx 8.0 kg= + = − = −

3. Υπολογίζουµε τη µέγιστη ταχύτητα ροής από την εξ. (3.5-6) και τη µέση ταχύτητα

από την εξ. (3.5-9).

2 2

max

K 1256.47u R 0.06 3.9 m / s

4µ 4 0.29= − = − =

max

1 1V u 3.9 1.95 m / s

2 2= = =

4. Υπολογίζουµε την παροχή, τον αριθµό Reynolds και το συντελεστή f από την εξ.

(3.5-11). 2 2 3Q VπR 1.95π(R ) 0.022 m / s= = =

VD 1.95 (2 0.06)Re 720

ν 0.000325

⋅ ⋅= = =

στ

64 64f 0.089

Re 720= = =

5. Ελέγχουµε αν η ροή είναι στρωτή.

Εφόσον Re=720<2300, η ροή είναι όντως στρωτή, όπως υποθέσαµε.

6. Επαναλαµβάνουµε τους υπολογισµούς για µ=0.29/3=0.097 kg/ms και παραθέτουµε

τα αποτελέσµατα στον Πίν. 2. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι η ροή είναι τυρβώδης,

καθόσον Re=6460>2300, οπότε δεν ισχύουν οι εξισώσεις της στρωτής ροής του

Κεφ.3.5.

∆οκιµάστε να κάνετε µόνοι σας τους υπολογισµούς και να επιβεβαιώσετε τα νούµερα του

Πίν.2. Χρησιµοποιείστε φύλλο υπολογισµών EXCEL και δοκιµάστε διάφορες τιµές µ και ρ

παρατηρείστε πόσο σηµαντικό ρόλο παίζουν αυτές στο είδος της ροής.

Πίνακας 2. Υπολογιζόµενα στοιχεία του παραδείγµατος 3.5-1.

Λάδι 1 Λάδι 2 Μονάδες

µ 0.29 0.097 kg/ms

ρ 891 891 kg/m3

ν 0.00033 0.00011 m2/s

g 9.81 9.81 m/s2

γ 8740.71 8740.71 kg/m2s

2

R 0.06 0.06 m

Dx 8.0 8.0 m

z1 1.0 1.0 m

φ 30.0 30.0 ο

z2 5.0 5.0 m

p1 55000 55000 Pa

p2 10000 10000 Pa

Page 14: !Fluid Mech 3

14

ΠΓ1 7.29 7.29 m

ΠΓ2 6.14 6.14 m

hf 1.15 1.15 m

Κλίση ΠΓ 0.14 0.14 -

K -1254.65 -1254.65 m2s

2/kg

umax 3.89 (11.68) m/s

V 1.95 (5.84) m/s

Q 0.022 (0.066) m3/s

Re 718 6460 -

f 0.089 (0.010) -

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.5-2

Σχεδιάστε τις κατανοµές των διατµητικών τάσεων και ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του

παραδείγµατος 3.5-1.

Λύση

1. Η κατανοµή των ταχυτήτων ροής υπολογίζεται από την εξ. (3.5-7)

22

2

ru(r) 3.89 1 3.89 1080.56 r

(0.06)

= − = −

(1)

2. Η κατανοµή των διατµητικών τάσεων υπολογίζεται από την εξ. (3.4-5)

2 2r 1256.57 m sτ K r 628.28 r

2 2 kg

= = =

(2)

Για r=R=0.06 m υπολογίζεται wτ 628.28(0.06) 37.7 Pa= =

Η κατανοµή των διατµητικών τάσεων είναι γραµµική µε µηδενική τιµή στον άξονα

του αγωγού (τ=0 για r=0) και τιµή τw στο όριο.

Έλεγχος. Υπολογίζουµε την τw από την εξ. (3.5-10).

w 2

8 (0.29 kg / ms) (1.95 m / s) kgτ 37.7 37.7 Pa

(0.12 m) ms

⋅ ⋅= = =

Η κατανοµή των ταχυτήτων ροής και των διατµητικών τάσεων φαίνεται στο Σχ. 1.

Page 15: !Fluid Mech 3

15

ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής και διατµητικών τάσεων του παραδείγµατος 3.5-2

3.6 Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη τυρβώδη ροή

3.6.1 Λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής

Στην τυρβώδη ροή θεωρούµε ότι ισχύει η λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής, βλ. εξ.

(2.3-10), την οποία γράφουµε αντικαθιστώντας την απόσταση από το τοίχωµα y µε την

απόσταση από το εσωτερικό τοίχωµα του σωλήνα, R-r, δηλ.

*

*

(R r)uu(r)2.44 ln 5.0

u ν

− = +

(3.6-1)

3.6.2 Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής

Η µέγιστη ταχύτητα ροής umax, η οποία παρατηρείται στον άξονα του σωλήνα,

προσδιορίζεται από την εξ. (3.6-1) θέτοντας r=0, δηλ.

max *

*

u Ru2.44ln 5.0

u ν

= +

(3.6-2)

Η µέση ταχύτητα ροής υπολογίζεται ακολουθώντας τη µεθοδολογία που εφαρµόσαµε στην

περίπτωση της στρωτής ροής, βλ. εξ. (3.5-8), δηλ. ολοκληρώνοντας την εξ. (3.6-1) για να

βρούµε την παροχή και διαιρώντας µε την επιφάνεια.

R

* * **2

0

(R r)u u RuQ 1V u (2.44 ln 5.0)2πrdr (2 2.44 ln 2 5.0 3 2.44)

A πR ν 2 ν

− = = + = ⋅ + ⋅ − ⋅ ∫

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

u(r),τ(r)

r

Page 16: !Fluid Mech 3

16

ή *

*

RuV2.44ln 1.34

u ν

= +

(3.6-3)

3.6.3 Συντελεστής τριβών

Πρώτα, υπολογίζουµε τη διατµητική τάση στο τοίχωµα χρησιµοποιώντας την εξ. (2.3-1).

2w

* w *

τu τ ρu

ρ= => = (2.3-1)

Επίσης, ισχύει η εξ. (3.3-14) w

2

τ f

ρV 8= (3.3-14)

Συνδυάζοντας την εξ. (2.3-1) µε την εξ. (3.3-14) προκύπτει

*

V 8

u f= (3.6-4)

Εκφράσουµε την ποσότητα Ru*/ν ως συνάρτηση του αριθµού Reynolds ως εξής

* *Ru u(D / 2)V Re f

ν ν V 2 8= = (3.6-5)

Αντικαθιστούµε την εξ. (3.6-4) και την εξ. (3.6-5) στην εξ. (3.6-3), η οποία γράφεται ως εξής

8 Re f

2.44 ln 1.34f 2 8

= +

(3.6-6)

Χρησιµοποιώντας log10 (λογάριθµο µε βάση το 10), η εξ. (3.6-6) µετά από πράξεις γράφεται

στην ακόλουθη µορφή

( )11.99log Re f 1.02

f= − (3.6-7)

Ο Prandtl (1935) τροποποίησε τους συντελεστές της εξ. (3.6-7) για να προσαρµόζεται

καλύτερα σε πειραµατικά δεδοµένα ως εξής

( )12.0 log Re f 0.8

f= − (3.6-8)

Παρατηρείστε ότι η εξ. (3.6-8) είναι πεπλεγµένη, δηλ. δεν µπορούµε να τη λύσουµε

απευθείας (ρητή επίλυσή) ως προς f, όπως κάναµε στην περίπτωση της στρωτής ροής, βλ. εξ.

(3.5-11). Μια απλή µέθοδος επίλυσης της εξ. (3.6-8) είναι µε δοκιµές.

∆ιάφοροι ερευνητές προσπάθησαν να προσεγγίσουν την πεπλεγµένη εξ. (3.6-8) από µια

ρητή. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα αποτελούν οι εξισώσεις του Blasius (1911), ο οποίος

ήταν µαθητής του Prandtl, και του Colebrook.

1/ 4f 0.316 Re −= Εξίσωση Blasius. Ισχύει για 4000<Re<100000 (3.6-9)

Page 17: !Fluid Mech 3

17

( )f 1.8log 0.145Re= Εξίσωση Colebrook (3.6-10)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.6-1

Σε λείο σωλήνα µήκους L=1000 m και διαµέτρου D=600 mm που τοποθετείται µε κλίση 2ο

κατά τη διεύθυνση της ροής πραγµατοποιείται ροή νερού (ρ=998 kg/m3 και µ= 0.001003

kg/ms) παροχής Q=2.0 m3/s. Υπολογίστε (i) τις γραµµικές απώλειες hf και (ii) την πτώση

πίεσης.

Λύση

1. Υπολογίζουµε τα ν και γ

2

3

µ 0.001003 kg / msν 0.000001005 m / s

ρ 998 kg / m= = =

3 2 2 2γ ρg (998 kg / m )(9.81 m / s ) 9790.38 kg / m s= = =

2. Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ροής και τον αριθµό Reynolds

2πD

A4

= και

3

2 2

4Q 4(2 m / s)V 7.07 m / s

πD π (0.6 m)

= = =

2

VD (7.07 m / s) (0.600 m)Re 4222975

ν 0.000001005 m / s

⋅ = = =

4. Από την εξ. (3.6-8) υπολογίζουµε το f εφαρµόζοντας την ακόλουθη διαδικασία

δοκιµών.

Υποθέτουµε f=0.0080 και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f=0.0093.

Υποθέτουµε f=0.0093 και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f=0.0092.

Υποθέτουµε f=0.0092 και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f=0.0092.

Χρειάστηκαν 3 δοκιµές για να υπολογίσουµε το f µε ακρίβεια 4ου

δεκαδικού.

5. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες hf από την εξ. (3.3-16).

2 2

f 2

L V (1000 m) (7.07 m / s)h f 0.0092 39.103 m

D 2g (0.600 m) 2(9.81m / s )

= = =

6. Υπολογίζουµε την πτώση της πίεσης από την εξ. (3.3-5).

f

∆ph ∆z 39.103 m

γ= + =

o∆z (1000 m) sin(2 ) 34.899 m= = , οπότε

∆p(39.103 34.889) m 4.214 m

γ= − = και

Page 18: !Fluid Mech 3

18

2 2∆p (9790.38 kg / m s )(4.214 m) 41156 Pa= =

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.6-2

Σχεδιάστε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος 3.6-1.

Λύση

1. Υπολογίζουµε τη διατµητική τάση ορίου από την εξ. (3.3-12)

2 2 2fw

hD (0.600 m) (39.103 m)τ γ (9790.38 kg / m s ) 57425 kg / ms

4 ∆x 4 (1000 m)= = =

2. Υπολογίζουµε τη u* από την εξ. (2.3-3)

2

w* 3

τ 57.425 kg / msu 0.240 m / s

ρ 998 kg / m= = =

3. Η κατανοµή ταχυτήτων ροής δίνεται από την εξ. (3.6-4), η οποία γράφεται

* *

*

Ru ruu(r)2.44 ln 5.0

u ν

− = +

2

(0.300 m)(0.240 m / s) r(0.240 m / s)u(r) (0.240 m / s)(2.44) ln (5.0)(0.240 m / s)

0.000001005 m / s

− = +

( )u(r) 0.5856ln 143283.58 238805.0r 1.2= − +

Σχεδιάζουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής, η οποία φαίνεται στο Σχ. 1.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 1 2 3 4 5 6 7 8

u(r)

r

ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής του παραδείγµατος 3.6-2

Page 19: !Fluid Mech 3

19

3.6.4 Επίδραση της τραχύτητας των τοιχωµάτων

Η εξ. (3.6-8) δείχνει ότι ο συντελεστής f εξαρτάται µόνο από το είδος της ροής, δηλ. µόνο

από τον αριθµό Reynolds. Όµως, σύµφωνα µε την εξ. (3.3-14), αλλά και µε βάση πειράµατα

που πραγµατοποιήθηκαν από τον Coulomb (1800), διαπιστώθηκε ότι υπάρχει επίδραση της

τραχύτητας του σωλήνα στην τιµή του f. Η επίδραση αυτή είναι αµελητέα στην περίπτωση

της στρωτής ροής, δηλ. οι εξισώσεις του Κεφ. 3.5 ισχύουν και για τραχέα τοιχώµατα, αλλά

είναι ιδιαίτερα σηµαντική στην περίπτωση της τυρβώδους ροής.

O Nikuradse (1933), o οποίος ήταν µαθητής του Prandtl, διερεύνησε πειραµατικά την

επίδραση της σχετικής τραχύτητας ks/D για τυρβώδη ροή σε σωλήνες µεταβάλλοντας τις

τιµές του λόγου ks/D «κολλώντας» κόκκους άµµου διαφόρων µεγεθών στο εσωτερικό

τοίχωµα των σωλήνων. Στη συνέχεια υπολόγιζε τη πτώση πίεσης και την παροχή και

συσχέτιζε το συντελεστή f µε τον Re και το ks/D. Η συσχέτιση αυτή παρουσιάζεται στο Σχ.

3.6-1, στο οποίο µε κουκίδες συµβολίζονται οι µετρήσεις και µε συνεχείς γραµµές οι

καµπύλες f-Re που ακολουθούν τις µετρήσεις. Στο Σχ. 3.6-1 φαίνονται και οι εξισώσεις της

στρωτής ροής (εξ. (3.5-11), του Prandtl (εξ. (3.6-8)) και του Blasius (εξ. (3.6-9)).

ΣΧΗΜΑ 3.6-1. Επίδραση της τραχύτητας στην τιµή του συντελεστή f για τυρβώδη ροή

Στο Σχ. 3.6-1διακρίνουµε 3 περιοχές διαφορετικής συµπεριφοράς των καµπυλών f-Re:

1. Περιοχή της στρωτής ροής (Re<2300). Η καµπύλη f-Re συµπίπτει σχεδόν µε την

εξ. (3.5-11), δηλ. οι τιµές του f δεν εξαρτώνται από το ks/D.

Page 20: !Fluid Mech 3

20

2. Περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής. Στην περιοχή αυτή παρατηρούµε ότι

υπάρχει αρχικά ένα τµήµα της καµπύλης f-Re που ακολουθεί την εξίσωση του

Prandtl (το οποίο είναι τόσο µεγαλύτερο, όσο µικρότερος είναι ο λόγος ks/D) και στη

συνέχεια ένα τµήµα µονότονης ανόδου της καµπύλης f-Re, στο οποίο η τιµή του f

είναι σηµαντικά µεγαλύτερη από αυτή που υπολογίζεται µε την εξίσωση του Prandtl.

3. Περιοχή πλήρως τυρβώδους ροής. Εδώ βλέπουµε ότι η καµπύλη f-Re είναι

παράλληλη µε τον άξονα του Re, δηλ. οι τιµές του f δεν εξαρτώνται από τον Re,

αλλά µόνο από το ks/D.

Οι 3 αυτές περιοχές καθορίζονται από την τιµή της παραµέτρου k+=ks u*/ν. Οι υδραυλικά

λείοι σωλήνες αντιστοιχούν σε τιµές k+ <5, οι υδραυλικά τραχείς σε τιµές k

+>70, ενώ στις

ενδιάµεσες τιµές αντιστοιχούν οι σωλήνες µεταβατικής τραχύτητας.

O Nikuradse παρατήρησε ότι σε υδραυλικά τραχείς σωλήνες, η παρουσία της τραχύτητας

ωθεί τη λογαριθµική κατανοµή προς τα πάνω (δηλ. ο f αυξάνεται) κατά µια ποσότητα

περίπου ίση µε ln k+, όπου k

+=ks u*/ν είναι µια αδιάστατη µορφή της τραχύτητας σε

αντιστοιχία µε την ποσότητα y+=y u*/ν. H κλίση του νόµου της λογαριθµικής κατανοµής

παραµένει η ίδια (ίση µε 1/κ=2.44), ενώ η σταθερά Β=5.0 µειώνεται κατά ∆Β=(1/κ) ln k+–

3.5. Έτσι, η εξ. (3.6-1), η οποία ισχύει για λεία τοιχώµατα, τροποποιείται ως εξής για τραχέα

τοιχώµατα

s **

* s

k u(R r)uu(r) 1 R r2.44ln 5.0 ( ln 3.5) 2.44ln 8.5

u ν κ ν k

− − = + − − = +

(3.6-11)

Υπολογίζουµε τη µέγιστη ταχύτητα ροής από την εξ. (3.6-11) θέτοντας r=0, δηλ.

max

* s

u R2.44 ln 8.5

u k= + (3.6-12)

Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ολοκληρώνοντας την εξ. (3.6-11), οπότε προκύπτει

s

*

kV2.44ln 3.2

u D= + (3.6-13)

Εξισώνοντας την εξ. (3.6-13) µε την εξ. (3.6-4)

*

V 8

u f= (3.6-4)

προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση

sk82.44ln 3.2

f D= + (3.6-14)

Χρησιµοποιώντας log10, η εξ. (3.6-14) µετά από πράξεις γράφεται µε την ακόλουθη µορφή

Page 21: !Fluid Mech 3

21

sk1 D2.0 log

3.7f

= −

Ισχύει για y+>70 (3.6-15)

Με την εξ. (3.6-15) µπορούµε να υπολογίσουµε το f για πλήρως τραχείς σωλήνες (y+>70).

Πώς µπορούµε όµως να υπολογίσουµε το f στην περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής;

Την απάντηση στο ερώτηµα αυτό έδωσε ο Colebrook (1939), ο οποίος συνδύασε την εξ. (3.6-

8) µε την εξ. (3.6-15) και κατέληξε στην εξ. (3.6-16).

sk

1 2.51D2.0log3.7f Re f

= − +

(3.6-16)

Η εξ. (3.6-16) του Colebrook είναι πεπλεγµένη, όπως και η εξ. (3.6-8) και επιλύεται µε

ανάλογο τρόπο. Η εξ. (3.6-16) είναι γνωστή και ως εξίσωση των Colebrook and White

(1937).

Σηµαντικές έρευνες έχουν γίνει µε στόχο την ανάπτυξη προσεγγιστικών-ρητών εκφράσεων

της εξ. (3.6-17). Χαρακτηριστικά αναφέρονται οι εξισώσεις των Swamee and Jain (1976), οι

οποίες εφαρµόζονται στο Κεφ. 4.2.

Σηµειώνεται, πάντως, ότι οι ρητές εξισώσεις είχαν ιδιαίτερη αξία πριν από 10-15 χρόνια.

Σήµερα, η εξ. (3.6-16) λύνεται εύκολα σε περιβάλλον ΕXCEL, γεγονός που έχει περιορίσει

την αξία των προσεγγιστικών-ρητών σχέσεων.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.6-3

Επαναλάβατε τους υπολογισµούς του παραδείγµατος 3.6-1 θεωρώντας ότι ο σωλήνας είναι

από χυτοσίδηρο και σχολιάστε τα αποτελέσµατα.

Λύση

1. Aπό τον Πίν.3.6-1 βρίσκουµε την τραχύτητα ίση µε ks=0.26 mm και υπολογίζουµε τη

σχετική τραχύτητα ίση µε

sk 0.26 mm0.00043

D 600 mm= =

2. Από την εξ. (3.6-13) υπολογίζουµε τη u*

[ ]*

s

V 7.074 m / su 0.320 m / s

k 2.44 ln(0.00043) 3.22.44 ln 3.2

D

= = =

− + − +

3. Υπολογίζουµε την ποσότητα ksu*/ν

s *

2

k u (0.00026 mm)(0.320 m / s)82.8 70

ν (0.000001005 m / s)

= = >

Page 22: !Fluid Mech 3

22

Άρα, ο σωλήνας είναι υδραυλικά τραχύς..

4. Υπολογίζουµε το f από την εξ. (3.6-15) ή την εξ. (3.6-4)

2

2sk0.00043Df 1/( 2.0 log 1/( 2.0 log 0.0162

3.7 3.7

= − = − =

20.320 m / s

f 8 0.001647.074 m / s

= =

Εάν χρησιµοποιήσουµε την εξ. (3.6-16) υπολογίζεται µε δοκιµές f=0.0163.

5. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες hf από την εξ. (3.3-16).

2 2

f 2

L V (1000 m) (7.074 m / s)h f 0.0162 68.864 m

D 2g (0.600 m) 2(9.81m / s )

= = =

6. Υπολογίζουµε την πτώση της πίεσης από την εξ. (3.3-5).

f

∆ph ∆z 68.864 m

γ= + =

o∆z (1000 m) sin(2 ) 34.899 m= = , οπότε

∆p(68.864 34.889) m 33.975 m

γ= − = και

2 2∆p (9790.38 kg / m s )(33.975 m) 332632 Pa= =

7. Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση του χυτοσιδηρού σωλήνα ο συντελεστής f και οι

απώλειες αυξάνονται κατά περίπου 76% και η πτώση πίεσης επταπλασιάζεται.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.6-4

Σχεδιάστε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος 3.6-3.

Λύση

Η κατανοµή ταχυτήτων ροής δίνεται από την εξ. (3.6-11), η οποία γράφεται ως εξής

u(r) (0.300 m r)

2.44ln 8.50.320 m / s 0.00026 m

− = + ή

u(r) 0.7808ln(1153.85 -3846 r) 2.72= +

Σχεδιάζουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής, η οποία φαίνεται στο Σχ. 1 µαζί µε την

κατανοµή του λείου σωλήνα.

Page 23: !Fluid Mech 3

23

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 2 4 6 8

u(r)

r

Λείoς σωλήνας

Τραχύς σωλήνας

ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής του παραδείγµατος 3.6-3

3.6.5 Το διάγραµµα Moody

Το 1944 ο Lewis Moody, καθηγητής Υδραυλικής Μηχανικής στο Πανεπιστήµιο Princeton,

παρουσίασε την εξ. (3.6-16), εξίσωση του Colebrook, στο διάγραµµα του Σχ. 3.6-2. Το

διάγραµµα αυτό ονοµάστηκε διάγραµµα Moody. Παράλληλα, ο Moody (1944) προσδιόρισε

τιµές της τραχύτητας ks για διάφορα υλικά σωλήνων του εµπορίου (βλ. κεφ. 3.8), οι οποίες

φαίνονται στον Πίν. 3.6-1.

Πίνακας 3.6-1. Τιµές της τραχύτητας ks για διάφορα υλικά σωλήνων του εµπορίου

Υλικό ks (mm)

Σκυρόδεµα 0.3-31

Βιοµηχανικός χάλυβας 0.0146

Ξύλο 0.18-0.9

Χυτοσίδηρος 0.26

Γαλβανισµένος σίδηρος 0.15

Ασφαλτικός χυτοσίδηρος 0.12

Γυαλί 0 (Λείος)

Σηµειώστε τα ακόλουθα για το διάγραµµα Moody :

1. Είναι πιθανώς το περισσότερο γνωστό και χρήσιµο διάγραµµα στην επιστήµη του

Υδραυλικού Μηχανικού.

2. Έχει ακρίβεια ±15 % σε όλη την περιοχή εφαρµογής του.

3. Στην περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής (2300<Re<4000) υπάρχει αδυναµία

υπολογισµού του f.

4. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για ροή υπό πίεση σε σωλήνες και σε άλλης γεωµετρίας

αγωγούς (βλ. Κεφ. 5), αλλά και σε αγωγούς ροής µε ελεύθερη επιφάνεια.

Page 24: !Fluid Mech 3

24

ΣΧ

ΗΜ

Α 3

.6-2

. ∆

ιάγρ

αµ

µα

Moody

2

2

2

2

2

4

4

4

4

4

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

8

Αριθ

µός

Rey

nold

s V

DR

= (

λογα

ριθ

µικ

ή κ

λίµ

ακα

)

Συντελεστής τριβών f (λογαριθµική κλίµακα)

0.0

025

0.0

02

0.0

03

0.0

04

0.0

05

0.0

06

0.0

07

0.0

08

0.0

09

0.0

1

0.0

12

0.0

14

0.0

16

0.0

18

0.0

25

0.0

2

0.0

000

1

0.0

000

5

0.0

001

0.0

002

0.0

004

0.0

006

0

.00

08

0

.00

1

0.0

02

0.0

04

0.0

08

0.0

06

0.0

1

0.0

15

0.0

2

0.0

3

0.0

4

0.0

5

Σχετική τραχύτητα ks/D

Πλή

ρω

ς α

νεπτυ

γµέν

η τ

υρβ

ώδη

ς ροή

– Τ

ρα

χείς

σω

λή

νες

Λεί

οι

σω

λη

νες

κρίσ

ιµη

περ

ιοχή

R

ef

16

=

Στρ

ωτή

ροή

Μεταβατική περιοχή

Page 25: !Fluid Mech 3

25

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.6-5

Κατασκευάστε ένα απλό «δικό σας» διάγραµµα Moody και σχολιάστε.

Λύση

1. Λύνουµε την εξ. (3.6-16) και βρίσκουµε την τιµή του f για διάφορες τιµές των ks/D

(έστω 0.005, 0.010 και 0.030) και Re (έστω 2000, 4000, 5000, 10000, 20000, 40000,

50000, 75000, 100000, 250000, 500000 και 1000000). Σχεδιάζουµε τις 3 καµπύλες

στο Σχ. 1 που αντιστοιχούν στις τρεις τιµές του λόγου ks/D. Η επίλυση και γραφική

παράσταση γίνεται πολύ εύκολα σε περιβάλλον EXCEL.

2. Για τις ίδιες τιµές του σχεδιάζουµε την εξ. (3.6-8) για λείο σωλήνα, την εξ. (3.6-9),

προσεγγιστική Blasius για λείο σωλήνα, καθως και την εξ. (3.5-11) για τη στρωτή

ροή.

Παρατηρείστε τα ακόλουθα:

1. Όταν αυξήσουµε το ks/D, η καµπύλη του f µετακινείται προς τα πάνω και αυξάνεται

η τιµή του f.

2. Όταν αυξήσουµε τον Re ο f µειώνεται µέχρι κάποια τιµή του Re και στη συνέχεια

σταθεροποιείται.

3. Η προσεγγιστική εξίσωση του Blasius για λείο σωλήνα, εξ. (3.6-9), ταυτίζεται µε την

ακριβή εξ. (3.6.8) για αριθµούς Re µέχρι 100000.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

1000 10000 100000 1000000

Re

f

ks/D=0.010ks/D=0.030ks/D=0.005LaminarΛείος σωλήναςBlasius

ΣΧΗΜΑ 1. To «δικό µας» διάγραµµα Moody του παραδείγµατος 3.6-5

3.7 Εµπειρικές εξισώσεις υπολογισµού Στους υπολογισµούς θα χρησιµοποιούµε συνήθως την εξίσωση Darcy-Weisbach

2 2

f

L V L Vh f f

D 2g 4R 2g= = (3.3-16)

Page 26: !Fluid Mech 3

26

Κατά την περίοδο 1769-1950 πραγµατοποιήθηκαν σηµαντικές πειραµατικές εργασίες και

προτάθηκαν εµπειρικές εξισώσεις υπολογισµού της µέσης ταχύτητας ροής V ανάλογες της

εξίσωσης Darcy-Weisbach. Αν και οι εργασίες αυτές πραγµατοποιήθηκαν σε ανοικτούς

αγωγούς (Νουτσόπουλος κ.α., 2007), οι προτεινόµενες εµπειρικές εξισώσεις µπορούν αν

εφαρµοστούν και σε προβλήµατα ροής σε αγωγούς υπό πίεση. Η σηµαντικότερη από τις

εξισώσεις αυτές είναι η εξίσωση του Μanning (1891).

Για να συγκρίνουµε τις εµπειρικές εξισώσεις µε την εξ. (3.3-16) επιλύουµε την εξ. (3.3-16)

ως προς V µετά από πράξεις

22fh 1 V f 1

f VL 4R 2g 8g R

= = ή 2

E

f 1J V

8g R=

οπότε προκύπτει E

8gV RJ

f= (3.7-1)

Θέτοντας h

8gC

f= (3.7-2)

η εξ. (3.7-1) γράφεται h EV C RJ= (3.7-3)

Η εξ. (3.7-3) ονοµάζεται εξίσωση Chezy, επειδή την πρότεινε ο Γάλλος µηχανικός Antoine

Chezy (1718-1798) µετά από πειράµατα στον ποταµό Σηκουάνα και στο κανάλι Courpalet το

1769. Ο συντελεστής Ch ονοµάζεται συντελεστής Chezy και οι τιµές του κυµαίνονται

συνήθως από 30 m1/2

/s (για µικρούς τραχείς ανοικτούς αγωγούς) µέχρι 90 m1/2

/s (για

µεγάλους λείους ανοικτούς αγωγούς).

Κατά τα επόµενα 100 χρόνια που ακολούθησαν την εργασία του Chezy δηµοσιεύτηκαν

επιστηµονικές εργασίες µε κύριο στόχο τον προσδιορισµό εξισώσεων του συντελεστή Ch

συναρτήσει της τραχύτητας, της γεωµετρίας και της κατά µήκος κλίσης ενός ανοικτού

αγωγού. Οι σηµαντικότερες από αυτές τις εξισώσεις παρουσιάζονται και αναλύονται στο

βιβλίο του Chow (1959), το οποίο θεωρείται ως το κλασσικότερο βιβλίο ροής σε ανοικτούς

αγωγούς.

Ο Ιρλανδός µηχανικός Robert Μanning (1816-1897) το 1891 παρουσίασε την γνωστή

εξίσωσή του (µε βάση πειράµατα σε πραγµατικούς ανοικτούς αγωγούς) προσδιορίζοντας την

ακόλουθη µορφή του συντελεστή Chezy.

1/ 6

h

RC

n= ή

1/ 6

h

Rn

C= (3.7-4)

Ο συντελεστής n ονοµάζεται συντελεστής Μanning και οι τιµές του κυµαίνονται συνήθως

από 0.010 s/ m1/3

µέχρι 0.075 s/ m1/3

.

Αντικαθιστώντας την εξ. (3.7-4) στην εξ. (3.7-3), η τελευταία γράφεται µε την ακόλουθη

µορφή

1/ 62 /3 1/ 2

E E

R 1V RJ R J

n n= = (3.7-5)

Page 27: !Fluid Mech 3

27

Η εξ. (3.7-5) ονοµάζεται εξίσωση Μanning και είναι η σηµαντικότερη εξίσωση για

προβλήµατα ροής σε ανοικτούς αγωγούς. Η εξίσωση που συνδέει τους συντελεστές f και n

είναι η ακόλουθη

2

1/3

8gnf

R= ή

1/3fRn

8g= (3.7-6)

ΣΧΟΛΙΟ 1. Στην πράξη έχει επικρατήσει χάριν απλότητας να µη χρησιµοποιούµε µονάδες για τον

συντελεστή Μanning. Έτσι, συχνά ένας µηχανικός αναφέρει ότι ο συντελεστής

Μanning είναι ίσος µε 0.0125. Επίσης, αρκετές φορές χρησιµοποιείται και η

αντίστροφή τιµή 1/n που καλείται συντελεστής Strickler (1923), δηλ. 1/0.0125=80.0.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3.7-1

Για το λείο σωλήνα διαµέτρου D=600 mm του παραδείγµατος 3.6-1 υπολογείστε τους

συντελεστές Μanning και Chezy.

Λύση

1. Ο συντελεστής f υπολογίστηκε ίσος µε f=0.0092. Επίσης, R=4D=2.4 m.

2. Υπολογίζουµε το συντελεστή Μanning από την εξ. (3.7-6)

1/3

1/3

2

(0.0092)(2.40 m) sn 0.0125

m m8(9.81 )

s

= =

3. Υπολογίζουµε το συντελεστή Chezy από την εξ. (3.7-4)

1/ 6 1/ 2

h

1/3

(2.4 m) mC 92.6

s s0.0125

m

= =

3.8 Σωλήνες εµπορίου-Χαρακτηριστικά και γήρανση αυτών Οι σωλήνες που χρησιµοποιούµε στα υδραυλικά έργα καλούνται σωλήνες του εµπορίου. Οι

σωλήνες του εµπορίου χαρακτηρίζονται από (α) την ονοµαστική διάµετρο, (β) την

ονοµαστική πίεση και (γ) το υλικό κατασκευής τους, το οποίο καθορίζει τον συντελεστή

τραχύτητας ks. Η ονοµαστική διάµετρος DN (Diameter nominal) είναι η κατά προσέγγιση

εγκάρσια διάµετρος τους σε mm. Ανάλογα µε το υλικό τους, οι σωλήνες εµπορίου

ονοµάζονται χαλυβδοσωλήνες, σιδηροσωλήνες, χαλκοσωλήνες, µολυβδοσωλήνες ή

πλαστικοί σωλήνες (π.χ. GRP).

Οι σωλήνες εµπορίου (µε εξαίρεση τους πλαστικούς σωλήνες) µε την πάροδο του χρόνου

γηράσκουν. Αυτό συµβαίνει εξαιτίας της οξείδωσης, της διάβρωσης ή και της εναπόθεσης

αλάτων στην εσωτερική τους επιφάνεια που έρχεται σε επαφή µε το νερό. Το αποτέλεσµα της

γήρανσης είναι η αύξηση της τραχύτητάς τους και η συνεπαγόµενη µείωση της

µεταφερόµενης παροχής.

Page 28: !Fluid Mech 3

28

Για λόγους υπολογιστικούς θεωρείται ότι η τιµή της τραχύτητας ενός σωλήνα ks(t) είναι µια

γραµµική συνάρτηση του χρόνου (t), δηλ.

s s,0 gk (t) k a t= + ⋅ (3.8-1)

όπου ks,0 είναι η αρχική τραχύτητα του σωλήνα, δηλ. τη χρονική στιγµή t=0 και ag

κατάλληλος συντελεστής. Για τους πλαστικούς σωλήνες ισχύει ag=0.

Για να αντιµετωπίσουµε το πρόβληµα της µείωσης της παροχής ενός σωλήνα εξαιτίας

γήρανσης, µπορούµε να επέµβουµε µε έναν από τους ακόλουθους τρόπους:

1) Με την αύξηση της διατιθέµενης ενέργειας στη ροή του σωλήνα (α) αυξάνοντας τη

στάθµη της ανάντη δεξαµενής τροφοδότησης ή (β) χρησιµοποιώντας αντλία.

2) Με την αντικατάσταση του σωλήνα από νεό σωλήνα.

3) Με την προσθήκη νέου σωλήνα, παράλληλα στον υφιστάµενο (βλ. Κεφ. 4.4.3).

3.9 Τοπικές απώλειες ενέργειας

3.9.1 Γενική εξίσωση υπολογισµού τοπικών απωλειών

Οι τοπικές απώλειες οφείλονται σε µεταβολές της γεωµετρίας της ροής. Στις αλλαγές αυτές

η ροή παύει τοπικά να είναι οµοιόµορφη και δηµιουργούνται συχνά στρόβιλοι απορρόφησης

ενέργειας (βλ. Κεφ.1.4.10). Οι τοπικές απώλειες αυξάνονται µε το µέγεθος των

δηµιουργούµενων στροβίλων (περιοχών ανακυκλοφορίας της ροής).

Στις περιοχές των τοπικών απωλειών, για λόγους απλότητας, η πτώση της στάθµης της ΓΕ

θεωρείται ότι γίνεται σηµειακά, παρότι οι περιοχές αυτές έχουν κάποιο µήκος.

Οι τοπικές απώλειες υπολογίζονται από την ακόλουθη εξίσωση

2

m

Vh k

2g= (3.9-1)

όπου k είναι ο συντελεστής τοπικών απωλειών, ο οποίος εξαρτάται από το είδος της ροής

(κυρίως τον Re) και τη γεωµετρία µεταβολής της ροής. Στις πρακτικές περιπτώσεις της

πλήρως τυρβώδους ροής ο συντελεστής k εξαρτάται µόνο από τη γεωµετρία.

Ο υπολογισµός του k µπορεί να γίνει

1. µε εφαρµογή της µεθόδου του όγκου αναφοράς στις απλές περιπτώσεις γεωµετρίας

και

2. πειραµατικά στις περισσότερες πρακτικές περιπτώσεις.

Στη συνέχεια θα υπολογίσουµε/εκτιµήσουµε τον συντελεστή k στις ακόλουθες περιπτώσεις

µεταβολής γεωµετρίας της ροής:

1. ∆ιαστολές.

2. Συστολές.

3. Εισροή σωλήνα σε δεξαµενή και εκροή σωλήνα από αυτή.

4. Αλλαγή κατεύθυνσης ροής.

5. ∆ικλίδες.

∆υο είναι οι γενικές αρχές για τις τιµές του k:

Page 29: !Fluid Mech 3

29

1. Όσο µεγαλύτερο είναι το µέγεθος των δηµιουργούµενων στροβίλων, τόσο

µεγαλύτερη είναι η τιµή του k. Έτσι, στις αποκλίνουσες ροές (βλ. 1.4.10), όπως π.χ.

σε απότοµες διαστολές ο συντελεστής k είναι µεγαλύτερος απ’ ότι στις συγκλίνουσες

ροές, όπως π.χ. σε απότοµες συστολές.

2. Όσο περισσότερο απότοµη είναι η µεταβολή της γεωµετρίας, τόσο µεγαλύτερη είναι

η τιµή του k. Έτσι, στις βαθµιαίες διαστολές ο συντελεστής k είναι πολύ µικρότερος

απ’ ότι στις απότοµες διαστολές.

Περισσότερες πληροφορίες για τον υπολογισµό τοπικών απωλειών µπορείτε να βρείτε στους

Munson et al (1998) και ∆ηµητρίου (2005).

ΣΧΟΛΙO 1. Η εξίσωση υπολογισµού των τοπικών απωλειών εξ. (3.9-1), είναι όµοια µε την εξίσωση

υπολογισµού γραµµικών απωλειών εξ. (3.3-16), καθόσον η τελευταία µπορεί να γραφτεί

µε τη µορφή

2

f f

Vh k

2g= (3.3-16)

όπου f

Lk f

D=

3.9.2 Τοπικές απώλειες σε απότοµες διαστολές

Θεωρείστε την απότοµη διαστολή του Σχ. 3.9-1. Θα προσδιορίσουµε τον συντελεστή

τοπικών απωλειών εφαρµόζοντας τη µέθοδο του όγκου αναφοράς, όπως κάναµε και στην

περίπτωση υπολογισµού των γραµµικών απωλειών (βλ. Κεφ. 3.3). Παρατηρείστε ότι στον

κατάντη σωλήνα δηµιουργούνται µεγάλοι στρόβιλοι.

ΣΧΗΜΑ 3.9-1. Συνθήκες ροής σε απότοµη διαστολή

Γράφουµε τις εξισώσεις συνέχειας, ενέργειας και ποσότητας κίνησης στο όγκο αναφοράς της

απότοµης διαστολής του Σχ.3.9-1, ο οποίος ορίζεται από τις διατοµές 1 και 2 και τα στερεά

τοιχώµατα µεταξύ των διατοµών αυτών.

1. Εξίσωση συνέχειας

1 1 2 2Q A V A V= = (3.9-2)

Page 30: !Fluid Mech 3

30

2. Εξίσωση ενέργειας, βλ. εξ. (1.2-7).

2 2

1 1 2 21 2 f m 1 1 2 2 f m

p V p VH H h h z α z α h h

γ 2g γ 2g= + + => + + = + + + + (3.9-3)

3. Εξίσωση ποσότητας κίνησης.

x x x 2 1Fp Fτ Fg ρ(V Q V Q)+ + = − (3.9-4)

Θεωρούµε τα ακόλουθα:

1. Το τµήµα της διαστολής είναι οριζόντιο, οπότε z1=z2 και xFg 0=

2. Oι γραµµικές απώλειες στο τµήµα της διαστολής είναι πολύ µικρές, οπότε hf=0 και

xFτ 0= .

3. α1=α2=α =1.

Με βάση τις παραπάνω παραδοχές οι εξ. (3.9-3) και (3.9-4) γράφονται

2 2

1 1 2 2m

p V p V0 0 h

γ 2g γ 2g+ + = + + + ή

2 2

1 2 1 2m

p p V Vh

γ 2g

− −= + (3.9-5)

1 2 2 2 2 1p A p A 0 0 ρQ(V V )− + + = − ή

2 11 2 2 2 1

2

Q(V V )p p ρV (V V )

A

−− = = − ή

1 2 2 2 1p p V (V V )

γ g

− −= (3.9-6)

Αντικαθιστώντας την εξ. (3.9-6) στην εξ. (3.9-5), η τελευταία γράφεται

2 2 2

2 2 1 1 2 1 2m

V (V V ) V V (V V )h

g 2g 2g

− − −= + = (3.9-7)

Από την εξ. (3.9-2) προκύπτει

21 2

1

AV V

A= (3.9-8)

Αντικαθιστώντας την εξ. (3.9-8) στην εξ. (3.9-7), η τελευταία γράφεται

22

1 1m

2

A Vh 1

A 2g

= −

ή

2

1m

Vh k

2g= (3.9-9)

όπου

2 22

1 1

2

2 2

A Dk 1 1

A D

= − = −

(3.9-10)

Page 31: !Fluid Mech 3

31

ΣΧΟΛΙΑ 1) Μια ακραία περίπτωση απότοµης διαστολής αποτελεί η κατάληξη (έξοδος) σωλήνα σε

δεξαµενή, οπότε οι τοπικές απώλειες καλούνται απώλειες εξόδου σωλήνα. Στην

περίπτωση αυτή όλη η κινητική ενέργεια της ροής στο σωλήνα µετατρέπεται µέσω των

δηµιουργούµενων στροβίλων στη δεξαµενή σε εσωτερική ενέργεια του νερού της

δεξαµενής.

2) Εφαρµόζοντας την εξ. (3.9-10) για D2 → ∞ προκύπτει k=1, δηλ.

2

1m

Vh

2g= (3.9-11)

Έτσι, στην περίπτωση της εξόδου σωλήνα οι τοπικές απώλειες είναι πάντα ίσες µε το

σύνολο του ύψους της κινητικής ενέργειας, βλ. εξ. (3.9-11), και δεν εξαρτώνται από τη

διαµόρφωση της γεωµετρίας της εξόδου του σωλήνα στη δεξαµενή, π.χ. στρογγυλεµένα

άκρα του σωλήνα.

3.9.3 Τοπικές απώλειες σε απότοµες συστολές

Θεωρείστε την απότοµη συστολή του Σχ. 3.9-2. Ο συντελεστής τοπικών απωλειών

υπολογίζεται χρησιµοποιώντας στοιχεία από πειραµατικές έρευνες.

Παρατηρείστε ότι στον κατάντη σωλήνα δηµιουργούνται στρόβιλοι, οι οποίοι αναγκάζουν τη

ροή να διέλθει από µια διατοµή ελάχιστης διαµέτρου που καλείται vena contracta.

ΣΧΗΜΑ 3.9-2. Συνθήκες ροής σε απότοµη συστολή

Για την περίπτωση των τοπικών απωλειών σε απότοµη συστολή εφαρµόζεται η εξ. (3.9-9)

µε την ακόλουθη µορφή

2

2m

Vh k

2g= (3.9-12)

Για D2/D1≤0.76 ο συντελεστής k υπολογίζεται µε βάση πειραµατικές µετρήσεις από την

ακόλουθη εξίσωση

Page 32: !Fluid Mech 3

32

2

2

2

1

Dk 0.42 1

D

= −

(3.9-13)

Για D2/D1>0.76 εφαρµόζεται η εξ. (3.9-10) µε την ακόλουθη τροποποιηµένη µορφή

2 22

2 2

2

1 1

A Dk 1 1

A D

= − = −

(3.9-14)

ΣΧΟΛΙΑ 1. Μια ακραία περίπτωση απότοµης συστολής της διατοµής, αποτελεί η είσοδος της ροής

από δεξαµενή σε σωλήνα, οπότε οι τοπικές απώλειες καλούνται απώλειες εισόδου σε

σωλήνα. Στην περίπτωση αυτή ένα τµήµα της δυναµικής ενέργειας της ροής

µετατρέπεται σε κινητική και το υπόλοιπο µετατρέπεται µέσω των δηµιουργούµενων

στροβίλων στον κατάντη σωλήνα σε εσωτερική ενέργεια του νερού του σωλήνα.

2. Στον υπολογισµό των απωλειών εισόδου σε σωλήνα δεν εφαρµόζεται η εξ. (3.9-14) και

η τιµή του k εξαρτάται από τη γεωµερική διαµόρφωση των τοιχίων του σωλήνα, όπως

φαίνεται στο Σχ. 3.9-3 (Munson et al, 1998). Έτσι, για κατάλληλα στρογγυλεµένα τοιχία

του σωλήνα οι τοπικές απώλειες πρακτικά αµελούνται (k=0.04), για σωλήνα που

προεκτείνεται µέσα στη δεξαµενή είναι µέγιστες ( k=0.8), ενώ στη συνηθισµένη

περίπτωση που δεν υπάρχει καµµιά διαµόρφωση k=0.5.

ΣΧΗΜΑ 3.9-3. Συντελεστές τοπικών απωλειών κατά την είσοδο της ροής από δεξαµενή σε

σωλήνα (α) k= 0.8, (β) k=0.5, (γ) k=0.0, (δ) k=0.04.

3. Παρατηρείστε ότι στις εξισώσεις υπολογισµού των τοπικών απωλειών, εξ. (3.9-9) και

(3.9-12), χρησιµοποιούµε τη µεγαλύτερη ταχύτητα από τις δυο, δηλ. την ταχύτητα στο

σωλήνα µε τη µικρότερη διάµετρο.

Page 33: !Fluid Mech 3

33

3.9.4 Τοπικές απώλειες σε βαθµιαίες διαστολές

Μια βαθµιαία διαστολή χρησιµοποιείται σε ένα σύστηµα σωλήνων για να µειώσει την

ταχύτητα ροής ή να αυξήσει την πίεση. Tα χαρακτηριστικά µιας βαθµιαίας διαστολής

φαίνονται στο Σχ. 3.9-4.

ΣΧΗΜΑ 3.9-4. Χαρακτηριστικά µιας βαθµιαίας διαστολής

Ο υπολογισµός του k σε µια βαθµιαία διαστολή γίνεται από τις ακόλουθες εξισώσεις

22

1

2

2

Dθk 2.6sin 1

2 D

= −

για oθ 45< (3.9-15)

22

1

2

2

Dk 1

D

= −

για

oθ 45≥ (3.9-16)

3.9.5 Τοπικές απώλειες σε βαθµιαίες συστολές

Tα χαρακτηριστικά µιας βαθµιαίας συστολής φαίνονται στο Σχ. 3.9-5.

ΣΧΗΜΑ 3.9-5. Χαρακτηριστικά µιας βαθµιαίας συστολής

Ο υπολογισµός του k σε µια βαθµιαία συστολή γίνεται από τις ακόλουθες εξισώσεις

2

1

2

2

θ Dk 0.8sin 1

2 D

= −

για oθ 45< (3.9-17)

Page 34: !Fluid Mech 3

34

2

1

2

2

θ Dk 0.5 sin 1

2 D

= −

για oθ 45≥ (3.9-18)

3.9.6 Τοπικές απώλειες σε αλλαγή κατεύθυνσης σωλήνα

Η πραγµατοποίηση της αλλαγής κατεύθυνσης της ροής σε σωλήνες γίνεται µε τη βοήθεια

ειδικών τεµαχίων, όπως καµπυλών-γωνιών και ταυ. Στα καµπύλα τεµάχια οι τοπικές

απώλειες οφείλονται (α) στη δηµιουργία στροβίλων στην εσωτερική πλευρά του σωλήνα,

εξαιτίας της προκαλούµενης αποκόλλησης της ροής, όπως φαίνεται στο Σχ. 3.9-6 και (β) στη

δηµιουργούµενη δευτερεύουσα ροή στο επίπεδο της διατοµής του σωλήνα, η οποία

αποτελείται από σχετικά µεγάλους στροβίλους.

ΣΧΗΜΑ 3.9-6. Συνθήκες ροής σε αλλαγή κατεύθυνσης σωλήνα

Στο Σχ. 3.9-7 φαίνονται 4 χαρακτηριστικές περιπτώσεις γεωµετρίας καµπυλών και ταυ.

Ενδεικτικές τιµές του k παρουσιάζονται στον Πίνακα 3.9-1.

ΣΧΗΜΑ 3.9-7. Χαρακτηριστικές περιπτώσεις γεωµετρίας καµπυλών και ταυ

Page 35: !Fluid Mech 3

35

Πίνακας 3.9-1. Ενδεικτικές τιµές του k σε καµπύλες και ταυ (White, 1991)

Καµπύλη ή ταυ Ενδεικτικές τιµές

Καµπύλη 90ο Σχ. 3.9-7α 0.3-1.5

Καµπύλη 45ο Σχ. 3.9-7β 0.2-0.4

Καµπύλη 180ο Σχ. 3.9-7γ 0.2-1.5

Ταυ-κύρια διεύθυνση Σχ. 3.9-7δ 0.2-0.9

Ταυ-κάθετη διεύθυνση Σχ. 3.9-7δ 1.0-2.0

3.9.7 Τοπικές απώλειες σε δικλίδες

Οι δικλίδες (ή βάνες) είναι διατάξεις οι οποίες τοποθετούνται σε σωλήνες για να ρυθµίσουν

την παροχή που διέρχεται από αυτές µε το άνοιγµα, κλείσιµο ή µερική φραγή τους. Τεχνικά,

οι βαλβίδες είναι ειδικά τεµάχια σωλήνων.

Στο Σχ. 3.9-7 φαίνονται σκαριφήµατα των βασικών τύπων δικλίδων: (α) βύσµατος (globe), η

οποία κλείνει µια οπή, (β) γωνιακή (angle), η οποία είναι τύπου βύσµατος διαµορφωµένη σε

γωνία, (γ) διαφραγµατική (diaphragm), (δ) πεταλούδα (butterfly), (ε) συρταρωτή (gate), η

οποία µετακινείται σε ένα επίπεδο κάθετο στη διατοµή και (στ) σφαιρική (ball), η οποία

κλείνει τη διατοµή µε µια σφαίρα.

(α) (β) (γ)

(δ) (ε) (στ)

ΣΧΗΜΑ 3.9-7. Σκαριφήµατα βασικών τύπων δικλίδων

Ο υπολογισµός του συντελεστή k σε δικλίδες γίνεται µε διαγράµµατα, τα οποία παρέχονται

από τους κατασκευαστές. Γενικά, η τιµή του k εξαρτάται από (α) το είδος και τα

χαρακτηριστικά της δικλίδας, (β) το ποσοστό ανοίγµατος της δικλίδας, (γ) την παρουσία

φλάντζας ή σπειρώµατος κ.α. Στον Πίν. 3.9-2 παρουσιάζονται ενδεικτικές τιµές του k για

άνοιγµα δικλίδας από 100% µέχρι 25%. Θεωρητικά, η τιµή του k µιας κλειστής δικλίδας

είναι ίση µε άπειρο.

Πίνακας 3.9-2. Ενδεικτικές τιµές του k σε δικλίδες

∆ικλίδα Ενδεικτικές τιµές

Βύσµατος 5-15

Γωνιακή 2-9

∆ιαφραγµατική 2.5-14

Πεταλούδα 0.3-35

Συρταρωτή 0.03-10

Page 36: !Fluid Mech 3

36

3.9.8 Σηµασία των τοπικών απωλειών

Τα συνηθισµένα προβλήµατα ροής υπό πίεση που αντιµετωπίζει ένας υδραυλικός µηχανικός,

όπως π.χ. τα εξωτερικά δίκτυα ύδρευσης (υδραγωγεία), περιλαµβάνουν συστήµατα σωλήνων

µεγάλου συνήθως µήκους (µερικών εκατοντάδων ή χιλιάδων m). Στα προβλήµατα αυτά οι

τοπικές απώλειες είναι συνήθως µικρές σε σχέση µε τις γραµµικές απώλειες και έτσι µπορούν

να µην λαµβάνονται υπόψη στους υπολογισµούς. Γι’αυτό, στις σχετικές ασκήσεις του

µαθήµατος συχνά οι τοπικές απώλειες αγνοούνται.

Το αντίθετο συµβαίνει στα εσωτερικά δίκτυα ύδρευσης σε κτίρια, που σχεδιάζει ένας

µηχανολόγος µηχανικός. Στα δίκτυα αυτά οι σωλήνες έχουν µικρό συνήθως µήκος και

πολλές µεταβολές της γεωµετρίας της ροής (π.χ. συνδέσεις µε ειδικά τεµάχια), οπότε οι

τοπικές απώλειες είναι σηµαντικές.

ΣΧΟΛΙΟ 1. Θεωρείστε ότι οι συνολικές απώλειες σε ένα σύστηµα i σωλήνων είναι ίσες µε το

άθροισµα των γραµµικών και των τοπικών απωλειών, οπότε µπορούµε να γράψουµε

«συµβολικά» την ακόλουθη απλοποιητική εξίσωση.

2 2 2

i i i i ii f ,i m,i i i i i

i i

L V V L V∆H h h f k f k

D 2g 2g D 2g

= + = + = +

∑ ∑ ∑ ∑ (3.9-19)

Στις συνηθισµένες περιπτώσεις που έχουµε να αντιµετωπίσουµε ισχύει

ii i

i

Lf k

D>>∑ ∑ (3.9-20)

3.10 Σπηλαίωση και έλεγχος υποπίεσης Η πίεση (p) στην εξίσωση ενέργειας είναι σχετική ως προς την ατµοσφαιρική πίεση (patm=1

atm). H απόλυτη πίεση είναι ίση µε pa=p+1 atm.

Σε περιοχές-σηµεία της ροής µε πολύ χαµηλή πίεση, όπως π.χ. σε τοπογραφικό αυχένα

(άνοδος της ροής από πολύ χαµηλά σε πολύ υψηλά σηµεία και στη συνέχεια πτώση), σε

σίφωνες, ανάντη αντλιών ή κατάντη υδροστροβίλων, ενδέχεται να συµβεί διακοπή της ροής

εξαιτίας του φαινοµένου της σπηλαίωσης. Σπηλαίωση εµφανίζεται όταν η απόλυτη πίεση

γίνει µικρότερη της πίεσης υδρατµών, pυ (βλ. Κεφ.1.2.2, σχόλιο 3), δηλ.

a atm υp p p p= + < ή υ atmp p p< − (3.10-1)

Θεωρώντας Τ= 20οC οπότε pυ=2340 Pa (βλ. Κεφ.1.2.2, σχόλιο 3), η εξ. (3.10-1) γράφεται

p 2340 Pa -101325 Pa -98985 Pa< = ή

3

p 98985 Pa- 10.1 m

Nγ9790

m

< = − (3.10-2)

Έτσι, για να µην εµφανιστεί το πρόβληµα της σπηλαίωσης σε ένα σηµείο θα πρέπει το ύψος

πίεσης (p/γ) να είναι µεγαλύτερο από -10.1 m.

Στην πράξη, για λόγους ασφάλειας (Κατσαρέλης, 2008), η συνθήκη αυτή γράφεται ως εξής

Page 37: !Fluid Mech 3

37

p

8.0 mγ

< − (3.10-3)

ΣΧΟΛΙΟ 1. Πρακτικά, η εξ.(3.10-3) δείχνει ότι για να µην εµφανιστεί σπηλαίωση σε µια περιοχή

ροής υπό πίεση θα πρέπει η ΠΓ στην περιοχή αυτή να µην βρίσκεται χαµηλότερα από

8.0 m από το σωλήνα.