Fluidi Skripta Web 2

PREDAVANJA IZ MEHANIKEFLUIDA za studente RGNF-a

Interna skripta, dio 2: Teorija fluida ugibanju. Statika fluida.

Zeljko Andreic

2008.Dozvoljeno je preuzimanje sa web-a i ispis za vlastite potrebe

studenata. Sva ostala autorska prava zadrzavaju autor i RGNF.

2

Glava 1

Fluid u gibanju

1.1 Model kontinuuma i cestice fluida

Prije nego sto se krene sa proucavanjem ponasanja fluida u realnim uvjetima, podsjetit cese na najosnovnije idealizacije i pojednostavljenja koja se koriste da bi se lakse razumjelokako se fluid ponasa. To je u prvom redu model kontinuuma na kojem se zasniva mehanikakontinuuma. Pojam kontinuuma zasniva se na ideji da se tvar moze dijeliti na sve manje idijelove, a da pritom svojstva tvari ostaju nepromijenjena. Mi danas znamo da je to netocnojer se svaka tvar sastoji od atoma i molekula koje pretstavljaju najmanju mogucu cesticu tetvari. Pritom molekula (u rjedem slucaju atom) pokazuje ista kemijska svojstva kao i vecakolicina te tvari. Nazalost, moderna fizika je pokusima pokazala, a teorijom i u dobrom dijeluobjasnila, da to ne vrijedi za fizikalna svojstva te iste tvari. Naime, kad velicina cesticetvari postane manja od mikrometra pocinju se pokazivati efekti i pojave koje vece cestice nepokazuju. Ovo moderno podrucje naziva se razlicitim imenima (mezofizika, nanofizika i sl.)a bavi se svojstvima cestica cije velicine se krecu od nekoliko molekula do otprilike jednogamikrometra.

Sto se tice mehanike fluida, dimenzije cestica i pojava sa kojima se ona bavi su mno-gostruko vece od gore spomenutih, pa se efekti atomske strukture tvari mogu zanemariti. Toomogucava da se fluid promatra kao kontinuum, sto poprilicno pojednostavljuje matematickialat koji je potreban za opis njegova ponasanja. Pritom se ipak ne smije zaboraviti da velicineobjekata i duljine preko kojih dolazi do primjetne promjene fizikalnih varijabli kojima seopisuje odredeni problem moraju biti znatno vece od dimenzija molekula koje proucavanifluid tvore, odnosno vece od mikrometra u opcem slucaju.

Slika 1.1: Cestica fluida je vrlo mala a njezin oblik ne mora biti stalan, ali masa te cesticemora biti sacuvana (nepromjenjiva).

3

4 GLAVA 1: FLUID U GIBANJU

U pojednostavljenju mehanike kontinuuma definira se cesticu fluida kao vrlo malu cesticu,ciji oblik ne mora biti stalan, ali se zahtijeva da masa takove cestice bude konstantna (ne-promjenjiva).

Slika 1.2: Definicija elementa puta (lijevo), povrsine (sredina) i volumena (desno).

Isto tako se koristi infinitezimalno male duzine, povrsine ili volumene, koje nazivamo ielementima duzine (povrsine ili volumena), a definira ih se kao infinitezimalno malu duzinu,povrsinu ili volumen. Kod duzine se koristi oznaku ds jer vrlo cesto probleme na dvodimen-zionalnim ili trodimenzionalnim krivuljama promatramo kao jednosimenzionalni problem,a u tom slucaju element duzine najcesce nije u smjeru x-osi. Za razliku od toga elementpovrsine obicno se definira tako da mu stranice leze u smjeru koordinatnih osi, pa tu koris-timo uobicajene oznake dx i dy, a na isti se nacin onda definira i element volumena. Osimmatematicke jednostavnosti, prednost definiranja elemenata povrsine odn. volumena takoda su im stranice paralelne koordinatnim osima je da je onda povrsina (volumen) takvogaelementa jednostavno:

dA = dx · dy (1.1)

odnosno:

dV = dx · dy · dz = dA · dz (1.2)

1.2 Sile koje djeluju na cesticu fluida u gibanju

Na slici 1.3 je prikazana elementarna cestica fluida koju tok fluida nosi kroz prostor. Pritomje brzina gibanja cestice opisana funkcijom ~v(x, y, z, t), a gibanje se odvija po putu ~s. Uanalizi njenoga gibanja polazi se od drugoga Newtonovog aksioma:

~F = m~a = md~v

dt(1.3)

Aksiom 1.3 primijeni se na elementarnu cesticu, a analiza se radi tako da masu te cesticedrzimo konstantnom. Ako je masa elementarne cestice oznacena sa dm, moze se pisati:

d~F = dmd~v

dt(1.4)

gdje je d~v/dt ukupno ubrzanje cestice. Ono se u mehanici fluida naziva i materijalnoili supstancijalno ubrzanje. Kako se kod ukupnoga ubrzanja radi o potpunom diferencijalu,moze ga se razdvojiti na prostorni i vremenski dio:

1.3: EULER-OVA JEDNADZBA 5

Slika 1.3: Elementarna cestica fluida nosena tokom fluida kroz prostor.

d~v

dt=

∂~v

∂t+

∂~v

∂~r

∂~r

∂t(1.5)

Prvi clan desne strane jednadzbe 1.5 naziva se lokalno ubrzanje. On opisuje ubrzanjekoje cestica fluida dobija relativno prema okolnim cesticama. Postoji li ovaj clan, radi se onestacionarnom tecenju.

Drugi se clan naziva konvektivno ubrzanje. On opisuje ubrzanje koje cestica dobija zbogstrujanja fluida kao cjeline.

1.3 Euler-ova jednadzba

Gibanje fluida posljedica je raznih sila koje na fluid djeluju. Te sile su najcesce:

• tlak. Tlak u fluidu nastaje usljed njegove vlastite tezine ili vanjskih sila, a karakter-isticno za njega je da djeluje uvijek okomito na plohu na kojoj ga se promatra.

• masene sile. Masene sile su one sile koje su proporcionalne masi na koju djeluju. Umasene sile se ubrajaju sila teza odn. gravitacija i inercijske sile (centrifugalna sila,Coriolisova sila i sl.).

• viskozne sile ili sile unutarnjega trenja u fluidu.

• elasticne sile koje dolaze od kompresibilnosti fluida i uglavnom su vazne samo kodkompresibilnih fluida (plinovi).

Ove sile djeluju na cijeli fluid, no da bismo mogli donijeti barem najosnovnije zakljucke orezultatima tog djelovanja moramo se za pocetak ograniciti na malenu cesticu fluida. Nekaona ima oblik kvadra stranica dx, dy i dz, koje cemo radi jednostavnosti smjestiti u smjerovekoordinatnih osi (slika 1.4).


Masa razmatrane cestice fluida je:

dm = ρdxdydz (1.6)

i nju ce se u daljnjem razmatranju drzati konstantnom. Na nju djeluju tlacne sile (uvijekokomito na odgovarajuce plohe kvadra) i sile mase, sa hvatistem u sredistu kvadra. Masenesile opisuje se ubrzanjem koje one proizvode, pa je:

~am =~F

m(1.7)

gdje je ~F ukupna sila koja djeluje na kvadar. Kako je masena sila po definiciji propor-cionalna masi, u gornjoj definiciji ostaje samo ubrzanje koja ona proizvodi, bez potrebe dauopce bude poznata masa kvadra.

Naprimjer, za silu tezu je:

~F = −mg~k (1.8)

pa je za nju:

~am =−mg~k

m= −g~k (1.9)

Slika 1.4: Sile koje u x-smjeru djeluju na elementarni volumen fluida.

Pogledajmo sada ravnotezu sila za nasu cesticu fluida. Sile koje na nju djeluju pritomse rastavlja na komponente pa gleda ravnotezu za svaku komponentu posebno. Za x smjertako nalazimo (slika 1.4):

max = p2dydz + Fx − p1dydz (1.10)


no, masa razmatrane cestice dana je jedn. 1.6, a masena sila u jedn. 1.7. Uz to, tlaktreba razviti u Taylorov red i zadrzati sao prvi clan:

p2 = p1 +∂p

∂xdx (1.11)

Uvrstavanjem u jedn. 1.10 i sredivanjem dobije se:

amxρdxdydz − ∂p

∂xdxdydz − ρdxdydzax = 0 (1.12)

gdje je amx ubrzanje koje izaziva masena sila, a ax ukupno ubrzanje cestice fluida. Daljn-jim kracenjem i preslagivanjem uz cinjenicu da je:

ax =dvx

dt(1.13)

dobije se na kraju x-komponenta Eulerove jednadzbe:

1

ρ

∂p

∂x= amx − dvx

dt(1.14)

a na isti nacin dobije se i ostale dvije komponente (y,z):

1

ρ

∂p

∂y= amy − dvy

dt(1.15)

1

ρ

∂p

∂z= amz − dvz

dt(1.16)

Konacno, ove tri jednadzbe moze se objediniti u vektorskom zapisu kao:

1

ρ~grad(p) = ~am − ~v

dt(1.17)

ili

1

ρ~∇(p) = ~am − ~v

dt(1.18)

1.3.1 Eulerova jednadzba u kvazi-jednodimenzionalnom slucaju

Cestica fluida na svom putu kroz prostor opisuje putanju koja se moze prikazati kontinuira-nom krivuljom. Znade li se kako ta krivulja izgleda, moze se polozaj cestice fluida na njojopisati samo s jednom varijablom, koja pretstavlja put prevaljen po toj krivulji kao fumkcijuvremena. Zato se ovakav slucaj naziva kvazi-jednodimenzionalnim.

U jednoj dimenziji Euler-ova jednadzba postaje

1

ρ

dp

ds= am − dv

dt(1.19)

U kvazi-jednodimenzionalnom slucaju mora se biti oprezan jer ubrzanje ne mora biti usmjeru putanje cestice. Prema tome, u ovom slucaju am je komponenta ubrzanja masenesile u smjeru putanje cestice fluida.


Slika 1.5: Cestica fluida ”zamrznuta” u jednom vremenskom trenutku. Krivulja ~s pretstavljaput te cestice u prostoru. Radi jednostavnosti je prikazan dvodimenzionalan slucaj gibanjacestice.

1.3.2 kvazi-jednodimenzionalna Eulerova jednadzba za fluid u poljusile teze

U slucaju sile teze, ubrzanje je konstantno (g=9,81 ms−1) i usmjereno vertikalno premadolje. Ako je α kut koji tangenta na krivulju, po kojoj se cestica giba, zatvara s vertikalom,komponenta ubrzanja u smjeru krivulje je g cos α. Pritom treba paziti je li se cestica ubrzava(komponenta je u smjeru gibanja cestice) ili se usporava (komponenta ubrzanja je suprotnasmjeru gibanja cestice). U situaciji sa slike 1.6, sila teza usporava cesticu fluida, pa je:

am = −g cos α (1.20)

i Eulerova jednadzba postaje:

1

ρ

dp

ds= −g cos α− dv

dt(1.21)

Diferencijal brzine moze se rastaviti na lokalni i konvektivni dio:

d~v

dt=

∂v

∂t+

∂v

∂s

∂s

∂t(1.22)

sto, uz uvazavanje cinjenice da je ∂s/∂t = v, daje:

1

ρ

dp

ds= −g cos α−

(∂v

∂t+ v

∂v

∂s

)(1.23)

Primijeti li se sada jos da je:

cos α =dz

ds(1.24)


Slika 1.6: Gibanje cestice fluida po krivulji ~s uz djelovanje ubrzanja sile teze, g. Po dogovorusmjer sile teze definiran je kao smjer -z osi pa se zato na ovom dvodimenzionalnom prikazukoriste osi z i x.

pa se, uz prebacivanje svih clanova na lijevu stranu i mnozenje sa ds dolazi do kvazi-jednodimenzionalne Eulerove jednadzbe za fluid u polju sile teze:

1

ρdp + gdz +

∂v

∂tds + vdv = 0 (1.25)

Integracijom se moze dobiti i integralni oblik jednadzbe 1.25:

v2

2+

∫ dp

ρ+ gz +

∫ ∂v

∂tds = konst. (1.26)


Glava 2

Statika fluida

Statika je u fizici disciplina koja se bavi proucavanjem tijela u stanju mirovanja. To znacida brzine i ubrzanja ne postoje, sto je matematicki formulirano kao:

~v = 0 ~a = 0 (2.1)

Uvrsti li se ovaj uvjet u Eulerovu jednadzbu 1.18, dobije se Eulerovu jednadzbu za fluidu mirovanju:

~∇(p) = ρ~am (2.2)

Ili pisano po komponentama:

∂p

∂x= ρamx (2.3)

∂p

∂y= ρamy (2.4)

∂p

∂z= ρamz (2.5)

2.1 Staticka Eulerova jednadzba za polje sile teze

U realnim situacijama najcesce je jedina masena sila koja djeluje na fluid, sila teza. Dogov-orno je u takovim problemima kartezijev koordinatni sustav postavljen tako da je xy ravninahorizontalna a +z os pokazuje prema gore (vertikalno), suprotno smjeru djelovanja sile teze.To znaci da je:

~am = −g~k (2.6)

odnosno:

amx = amy = 0 amz = −g (2.7)

pa je uvrstavanjem u skalarni oblik Euler-ove jednadzbe za fluid u mirovanju:

∂p

∂x=

∂p

∂y= 0 (2.8)

11

12 GLAVA 2: STATIKA FLUIDA

i:

∂p

∂z= −ρg (2.9)

To znaci da je tlak u fluidu koji miruje konstantan na vodoravnoj (xy) ravnini. Isto tako,kako se tlak mijenja samo u z smjeru (jednadzba 2.9!) parcijalna derivacija po z postajejednaka punoj derivaciji pa se jednadzbu 2.9 moze prepisati kao:

dp

dz= −ρg (2.10)

Nakon mnozenja sa dz i formalne integracije dobije se jednadzbu staticke ravnoteze zafluid:

p = −∫

ρgdz (2.11)

Ova jednadzba je rjesiva ako je poznato kako gustoca ovisi o z. Za slucaj tekucine (uzpretpostavku potpune nekompresibilnosti) ρ je konstantan, pa se dobije poznatu jednadzbuhidrostaticke ravnoteze za tekucinu:

p = −ρgz (2.12)

Konstanta integracije je odabrana tako da z=0 odgovara slobodnoj povrsini tekucine(slika 2.1).

Slika 2.1: Kartezijev koordinatni sustav sa polozajem referentne ravnine. Smjer ubrzanjasile teze je naznacen vektorom ~g.

Da se izbjegne negativan predznak (koji dolazi od toga da je ubrzanje sile teze usmjerenou -z smjeru), u praksi se ponekad koristi dubina h, koja se mjeri od najvise tocke koja nasu nekom problemu zanima (obicno povrsina tekucine) prema dolje (h = −z) pa jednadzbahidrostatske ravnoteze za tekucinu postaje

p = ρgh (2.13)

2.1: STATICKA EULEROVA JEDNADZBA ZA POLJE SILE TEZE 13

Horizontalna (xy) ravnina u kojoj lezi ishodiste tako postavljenoga koordinatnog sustavanaziva se referentna ravnina i na skicama se oznacava sa 0–0 (slika 2.2), i najcesce se podudarasa slobodnom povrsinom tekucine.

Slika 2.2: Nestandardni kartezijev koordinatni sustav koji umjesto visine z koristi dubinu h,s polozajem referentne ravnine. Smjer ubrzanja sile teze je naznacen vektorom ~g.

U praksi se medutim uglavnom koristi bolji nacin izbjegavanja negativnoga predznaka, ato je, da se referentna ravnina postavi u ili ispod najnize tocke analiziranoga sistema. Kodmanjih proracuna referetna ravnina stavlja se u najnizu tocku problema (slika 2.3), a kodvecih, pogotovo ako su u cjelo razmatranje ukljucene i druge struke, kao z koordinata koristise nadmorska visina. U tom slucaju z koordinata poprima samo pozitivne vrijednosti(iako se kod koristenja nadmorske visine mogu pojaviti negativne vrijednosti, primjerice akose radi o depresijama, busotinama ili objektima ispod razine morske povrsine.


Slika 2.3: Najcesce koristen kartezijev koordinatni sustav koji referentnu ravninu postavlja unajnizu tocku problema. Smjer ubrzanja sile teze je naznacen vektorom ~g. Zbog prakticnostiu racunanju ovaj se koordinatni sustav najcesce koristi.

2.2: PASCALOV ZAKON 15

2.2 Pascalov zakon

Slika 2.4: Ilustracija Pascalova zakona. Dode li do bilo kakve promjene tlaka u proizvoljnojtocci T1, mora se i u svakoj drugoj proizvoljnoj tocci T2 tlak promijeniti za isti iznos da biravnoteza ostala sacuvana. U protivnom bi doslo do pomicanja (tecenja) tekucine, sto sekosi sa pretpostavkom da je ona u stanju mirovanja.

Zamislimo si da imamo neku tekucinu u stanju mirovanja (slika 2.4). U njoj se proizvoljnoodaberu dvije tocke, T1 i T2. Ukupni hidrostatski tlakovi u njima su:

p1 = pv + ρgh1 i p2 = pv + ρgh2 (2.14)

Njihova razlika je:

∆p = p2 − p1 = ρg(h2 − h1) (2.15)

Ako se sad, iz bilo kojega razloga, tlak u tocki T1 promijeni za neki iznos ∆pT1, a tlaku tocki T2 za ∆pT2, a zelimo da tekucina ostane u stanju mirovanja, razlika tlakova ∆p sene smije promijeniti (u protivnom Eulerova jednadzba hidrostatike vise nije zadovoljena)!.Neka su novi tlakovi:

p1 = pv + ρgh1 + ∆pT1 i p2 = pv + ρgh2 + ∆pT2 (2.16)

Njihova je razlika sad:

∆p = p2 − p1 = ρg(h2 − h1) + (∆pT2 −∆pT1) (2.17)

Ako se ta razlika ne smije promijeniti, mora biti:

(∆pT2 −∆pT1) = 0 odnosno ∆pT2 = ∆pT1 (2.18)

Drugim rijecima, svaka promjena tlaka u nekoj tocki tekucine se u istom iznosu prenosikroz cijeli volumen te tekucine. Ova cinjenica se naziva Pascal-ov zakon i ima vrlo velikuprimjenu u svim vrstama hidraulickih strojeva.


2.3 Mjerenje tlaka

Slika 2.5: Princip rada barometra.

Najjednostavniji uredaj za mjerenja atmosferskog tlaka je barometar. On se sastoji odstaklene cijevi koja je s gornje strane zatvorena. Cijev se potpuno napuni tekucinom i privre-meno zatvori. Nakon toga se okrene, uroni u posudu koja je napunjena istom tekucinom i cepse ukloni. Kod toga se tekucina u cijevi spusti, a iznad nje ostaje prazan prostor (vakuum).Nakon uspostavljanja ravnoteze stupac tekucine u cijevi je u ravnotezi sa atmosferskimtlakom pa. Kako je tlak u praznom prostoru u cijevi iznad tekucine 0 (uz zanemarivanjetlaka para tekucine!), jednadzba ravnoteze glasi:

pa = ρgh (2.19)

Kako su ubrzanje sile teze i gustoca tekucine poznati, mjerenjem visine stupca tekucineu cijevi moze se izravno odrediti atmosferski tlak pa. Kao tekucina se najcesce koristi zivajer je zbog njezine visoke gustoce stupac tekucine razumne visine od oko 760 mm. Uz to jetlak para zive na temperaturama koje se pojavljuju u prirodi zanemariv. Postoje i primjerikoristenja drugih tekucina, najcesce vode, no takovi barometri su nezgrapni zbog velikevisine (oko 10 m) i potrebe za korekcijama zbog tlaka para tekucine koje ovise o vanjskojtemperaturi.

Ovaj je instrument davne 1643. godine predlozio talijanski znanstvenik Evangelista Tor-ricelli, pa se on po njemu cesto puta naziva i Torricellijev barometar, a do nedavno je uupotrebi bila i jedinica za tlak koja se nazivala 1 Torr. Ona je bila jednaka tlaku kojiroizvodi stupac zive visine 760 mm. Danas se umjesto ove jedinice koristi jedinica Bar, pricemu vrijede ove relacije:

1 Bar = 105 Pa 1 mBar = 100 PaU meteorologiji se koristi i tzv. standardna atmosfera srednji atmosferski tlak na

morskoj povrsini uz temperaturu od 0 ◦C. Standardna atmosfera jednaka je tlaku od 101

2.3: MJERENJE TLAKA 17

325 Pa. Atmosferski tlak mijenja se iz trenutka u trenutak i ovisi o mnogim faktorima:nadmorskoj visini, temperaturi, vlaznosti, meteoroloskim uvjetima i dr. Najizrazenije jeopadanje tlaka s nadmorskom visinom. U najjednostavnijem modelu (izotermna atmosfera)atmosferski tlak eksponencijalno opada s nadmorskom visinom:

p(z) = p(0)e−zH (2.20)

Konstanta H naziva se tlacna skala visine i iznosi 7,4 km. Ako je nadmorska visina mala(z ¿ H) jednadzba (2.20) se moze pojednostaviti:

p(z) = p(0)(1− z

H) (2.21)

Odnosno, atmosferski tlak se smanjuje za 1 mBar svakih 7,4 metra visine. Na osnoviovoga zakona nekad su se odredivale visine planinskih vrhunaca, a i danas ga koriste am-aterski visinomjeri koji rade na principu mjerenja tlaka.

Slika 2.6: Princip rada piezometra. Kod piezometra je nuzno da je cijev piezometra okomitana cijev u kojoj se tlak mjeri, te da cijev piezometra NE ulazi u tu cijev. Piezometarski tlakuvijek se mjeri od osi cijevi.

Za mjerenja malih tlakova koristi se piezometar. Radi se o cijevi promjera vecega od 1cm (da se izbjegnu problemi s kapilarnim dizanjem razine tekucine!) okomito montiranojna cijev ili rezervoar u kojem se mjeri tlak. Okomitost piezometra posebno je bitna akose tekucina u cijevi giba jer kod koso postavljenoga piezometra dolazi do krivih ocitanja


zbog doprinosa dinamickoga tlaka. Tekucina iz cijevi ujedno sluzi i kao mjerna tekucina.Piezometarska cijev je cesto puta prozirna radi laksega ocitanja visine stupca tekucine, kojise uvijek mjeri prema osi (sredini) cijevi. Kako je gornji kraj piezometarske cijevi otvoren,piezometar mjeri relativni tlak tekucine u cijevi prema atmosferskom tlaku. Znade li sevisina stupca tekucine z, piezometarski tlak je dan izrazom:

p = ρgh (2.22)

Ne zaboravimo da je piezometarski tlak relativan. Apsolutni tlak u cijevi je naravno

paps = ρgh + pa (2.23)

Slika 2.7: Manometar je varijacija piezometra. Cesto se koristi kad je potrebno mjeriti tlakplina. I ovdje je nuzno da je cijev manometra bude okomita na cijev u kojoj se tlak mjeri.

Varijacija piezometra kod koje je mjerna cijev montirana bocno na cijev u kojoj se mjeritlak naziva se manometar. Manometar omogucava i mjerenje tlakova plinova i podtlaka (tlaknizi od atmosferskoga naziva se podtlak) u cijevi.

Ukoliko se u cijev manometra ulije tekucina velike gustoce (ziva ili sl.), moguce je mjeritii velike tlakove (1-2 bara). Racun tlaka nesto je slozeniji jer imamo posla sa stupcima dvijerazlicite tekucine:

p = ρ2gh2 − ρ1gh1 (2.24)

gdje je ρ1 gustoca fluida u cijevi, a ρ2 gustoca mjerne tekucine.Za tlakove vece od 1-2 bar-a koriste se mehanicki ili elektronicki tlakomjeri.

2.3: MJERENJE TLAKA 19

Slika 2.8: Ako je u cijevi manometra gusca tekucina (npr. ziva ili sl. ), mogu se mjeriti iveliki tlakovi.


2.4 Sile hidrostatskoga tlaka

Silama hidrostatskoga tlaka nazivaju se sile koje su posljedica djelovanja statickoga tlaka flu-ida na tijela u i oko fluida. Kod plinova je zbog malene gustoce doprinos hidrostatskoga tlakazanemariv pa je tlak u otvorenoj posudi ispunjenoj plinom jednak tlaku okolne atmosfere, atlak u zatvorenoj posudi u svim njezinim tockama jednak.

2.4.1 Hidrostatska sila na dno posude

Slika 2.9: Sila na ravno dno otvorene posude koja sadrzi tekucinu.

Zamislimo si posudu ravnoga dna u kojoj se nalazi tekucina dubine h. Kako je posuda sgornje strane otvorena, na povrsini tekucine tlak je jednak atmosferskom tlaku pa, a relativnihidrostatski tlak na dnu posude je:

p = ρgh (2.25)

gdje je ρ gustoca tekucine a h njezina dubina. Nadalje, ako je ukupna povrsina dnaposude A, sila koja djeluje na dno je jednostavno umnozak tlaka i povrsine:

F = pA = ρghA (2.26)

a sila je u smjeru normale na dno prema van iz tekucine. Ova sila uopce ne ovisi o kolicinitekucine u posudi, vec samo o njenoj dubini. Imaju li posude razlicitih oblika istu povrsinudna, i ako su napunjene tekucinom do iste dubine, sila na dno ce u svakoj posudi biti ista.Ovo je na prvi pogled zbunjujuce jer je ocito tezina tekucine u svakoj posudi drugacija, pa cemedusobno vaganje bilo koje dvije razlicite posude ocito pokazati neravnotezu! Ovaj pokusnaziva se hidrostatski paradoks, a objasnjenje mu je skriveno u silama koje se kroz stijenkeposuda prenose u smjeru u kojem se stijenka proteze. Stijenke posuda su krute pa moguprenositi takve sile. Ukupni zbroj (tj. integral) komponente sile na stijenke posude premadolje uvijek je jednak tezini tekucine u posudi, a horizontalna komponenta je uvijek 0!

2.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA 21

Slika 2.10: Ilustracija hidrostatskog paradoksa.

Ako je posuda zatvorena, rezultantnu silu na dno mora se racunati uz pomoc razlikeapsolutnih tlakova jer vanjski tlak (atmosferski) i unutarnji tlak (tlak plina iznad tekucine)ne moraju biti jednaki. S unutarnje strane na dno posude djeluje tlak po:

po = ρgh + pu (2.27)

a s donje strane na dno posude izvana djeluje atmosferski tlak pa. Njihova razlika je (ovitlakovi djeluju u medusobno suprotnim smjerovima!):

p = ρgh + po − pa (2.28)

pa je rezultantna sila na dno zatvorene posude:

F = pA = (ρgh + po − pa)A (2.29)


Slika 2.11: Hidrostatska sila na dno zatvorene posude.


2.4.2 Hidrostatska sila na ravne stijenke

Slika 2.12: Hidrostatska sila na ravnu bocnu stijenku.

I ovdje cemo se baviti relativnim tlakom, jer jednaki atmosferski tlak djeluje na slobodnupovrsinu tekucine i na vanjsku plohu stijenke.

Prije pocetka samog racuna postavimo si koordinatni sustav. To se ucini tako da sekoordinatni sustav stavi u ravninu stijenke. x-os neka ide u horizontalnom smjeru, a y-osneka ide ”prema dolje” po plohi jer se tako izbjegava predznak ”-” u racunu hidrostatskogatlaka. I na kraju, ishodiste se postavi tako da se nalazi na slobodnoj povrsini tekucine.

Pogledajmo sad neki proizvoljni element povrsine stijenke dA = dxdy, koji se nalazi nadubini h. Sila koja djeluje na taj element povrsine je:

dF = pdA = ρghdxdy (2.30)

Smjer djelovanja sile je u smjeru normale na stijenku prema van, a kako se radi o ravnojplohi taj je smjer za sve dijelove plohe isti, pa se ukupnu silu moze naci zbrajanjem sila kojedjeluju na sve elemente plohe:

F =∫

Aρghdxdy =

∫ x2

x1

∫ ymax

0ρghdxdy (2.31)

Da se ovaj dvostruki integral moze rijesiti, mora se povezati dubina u tekucini s koordi-natom y na stijenci. Iz slike 2.12 vidi se da je:

h = y sin(α) (2.32)

pa nalazimo:


F =∫

Aρghdxdy =

∫ x2

x1

∫ ymax

0ρgy sin(α)dxdy (2.33)

Pogledajmo prvo jednostavniji slucaj kad je bocna stijenka pravokutnoga oblika. U tomslucaju integral po osi x daje jednostavno ukupnu sirinu plohe koju cemo oznaciti sa l paimamo:

F = ρgl sin(α)∫ ymax

0ydy (2.34)

sto lako rijesimo do kraja:

F = ρgl sin(α)y2

max

2(2.35)

Da ponovimo, l je ovdje sirina plohe u horizontalnom smjeru a ymax je visina plohe podtekucinom (mjereno po plohi, dakle koso!). Kako je povrsina plohe jednaka umnosku lymax,i kako je y koordinata geometrijskoga tezista plohe yT = ymax/2 jednadzba (2.34) postaje:

F = ρg sin(α)AyT (2.36)

yT sin(α) = hT je dubina na kojoj se ispod povrsine tekucine nalazi teziste plohe, pa sena kraju dolazi do jednadzbe:

F = ρghT A (2.37)

Sila na kosu plohu ne ovisi o kutu pod kojim ona stoji, uz uvjet da je njezino tezisteuvijek na istoj dubini.

Preostaje nam jos odrediti hvatiste ove sile te njenu horizontalnu odn. vertikalnu kom-ponentu. Hvatiste se nalazi u tocci u kojoj su zadovoljeni uvjeti ravnoteze sila, sto znacida u toj tocci ukupni moment tlacne sile preko cijele plohe mora iscezavati. Sto se ticehorizontalnoga smjera, situacija je jednostavna: kako tlacne sile ovise samo o y-koordinati(dubini), hvatiste je na y-simetrali plohe:

Hx =l

2(2.38)

Da bismo nasli y-koordinatu hvatista, polazimo od uvjeta ravnoteze momenta u y-smjeru.Podsetimo se pri tome da je moment sile umnozak okomite komponente sile i njziene udal-jenosti od tocke za koju se moment racuna, u ovom slucaju dakle od hvatista sile:

dM = dF (y −Hy)dy (2.39)

Iz gornje diskusije jasno je da ukupni moment racunat preko cijele plohe mora iscezavatipa je:

∫ ymax

0dF (y −Hy)dy = 0 (2.40)

uz dF = ρg sin αdAy i kracenje konstanti ostaje nam

∫ ymax

0y(y −Hy)dy = 0 (2.41)

s rjesenjem:


Slika 2.13: Komponente hidrostatske sile na ravnu bocnu stijenku.

Hy =2

3ymax (2.42)

Hvatiste tlacne sile nije u tezistu plohe, vec se nalazi ispod njega!Tlacna sila okomita je na plohu, pa njene komponente lako nademo (slika 2.13:

Fv = F cos α = ρghtA cos α (2.43)

gdje je ht dubina na kojoj se nalazi teziste plohe. Kako je htA cos α ukupni volumenstupca tekucine koji se nalazi iznad plohe, vertikalna komponenta tlacne sile jednaka jetezini tekucine iznad plohe.

Fh = F sin α = ρghtA sin α (2.44)

Kako je A sin α povrsina projekcije plohe na vertikalnu ravninu, horizontalna komponentatlacne sile jednaka je umnosku tlacne sile i povrsine vertikalne projekcije plohe.

Ako je ravna ploha proizvoljnoga oblika pokazuje se da svi gornji zakljucci i dalje vri-jede. Koordinate hvatista sile i u ovom slucaju nalazimo integracijom preko plohe (sad su tiintegrali naravno nesto slozeniji zbog proizvoljnoga oblika plohe):

Hx =Cxy

Ayt

(2.45)

gdje je Cxy centripetalni moment s obzirom na osi x i y:


Cxy =∫

Axydxdy (2.46)

i

Hy =Ix

Ayt

+ yt (2.47)

gdje je Ix moment tromosti plohe za x-os:

Ix =∫

Ay2dxdy (2.48)

za najcesce oblike ploha obje ove velicine su tabelirane u raznim prirucnicima (mehanika,strojarstvo i sl.).

2.4.3 Hidrostatska sila na zakrivljene stijenke

Slika 2.14: Hidrostatska sila na zakrivljenu plohu.

Zakrivljene stijenke mora se podijeliti na elementarne povrsine, pa vektorski zbrojiti silekoje na njih djeluju. Sila na jednu elementarnu povrsinu je:

~dF = pdA~n (2.49)

gdje je ~n jedinicni vektor okomit na jedinicnu plohu dA. U dijelu literature takva orijen-tirana ploha se oznacava vektorskim simbolom ~dA a pritom je ~dA = dA~n.


Ako jedinicni vektor ~n s koordinatnim osima zatvara kuteve (n,x), (n,y) i (n,z) jedinicnu

silu ~dF moze se raspisati po komponentama kao:

dFx = ρghdA cos (n, x)dFy = ρghdA cos (n, y)dFz = ρghdA cos (n, z)

(2.50)

Medutim, dA cos (n, x) = dAx je projekcija elementarne povrsine dA na yz ravninu, paje:

dFx = ρghdAx

dFy = ρghdAy

dFz = ρghdAz

(2.51)

odnosno:

Fx = ρg∫

hdAx

Fy = ρg∫

hdAy

Fz = ρg∫

hdAz

(2.52)

Rjesenja integrala za horizontalne komponente tlacne sile su

Fx = ρghTxAx

Fy = ρghTyAy(2.53)

gdje su hTx i hTy koordinate tezista projekcije plohe A na yz odn. xz ravninu, a Ax i Ay

su povrsine odgovarajuce projekcije. o znaci da je horizontalna tlacna sila na zakrivljenupovrsinu jednaka tlacnoj sili koja bi djelovala na projekciju te povrsine na vertikalnu ravninukoja je okomita na smjer djelovanja tlacne sile. Isti ovaj zakljucak dobije se kod analize sila naravnu plohu, sto jos jednom potvrduje ispravnost ovoga racuna jer je ravna ploha specijalnislucaj zakrivljene plohe.

Posvetimo sad malo paznje vertikalnoj komponenti tlacne sile:

Fz = ρg∫

hdAz (2.54)

hdAz je volumen stupca tekucine iznad elementarne povrsine dA, pa integral ove velicinepredstavlja volumen tekucine koja se nalazi iznad plohe A. Prema tome, vertikalna kompo-nenta tlacne sile jednaka je tezini tekucine koja se nalazi iznad te plohe:

Fz = ρgV (2.55)


2.4.4 Hidrostatska sila na stijenku cijevi

Slika 2.15: Hidrostatska sila na stijenku cijevi.

Tlak fluida djeluje okomito na stijenku cijevi. Ako si zamislimo da smo cijev uzduznoprerezali na dvije jednake polovice, tlacna sila ce te dvije polovice htjeti razmaknuti. Akopromatramo prsten malene visine dz, onda je ukupna tlacna sila na jednu njegovu polovicujednaka umnosku tlaka i povrsine umocenog presjeka plohe kojom je cijev presjecena:

dFx = pdzD (2.56)

Tom razmicanju odupire se napetost u stijenci cijevi, koja je jednaka:

dT = sσdz (2.57)

gdje je σ naprezanje materijala stijenke. Kako se poluprstenovi spajaju na dva mjesta,mora biti:

dFx = 2dT (2.58)

Izjednacavanjem se dobije:

σ =pD

2s(2.59)

Ako je najvece dopusteno naprezanje materijala stijenke σdop, onda za dani tlak p mini-malna debljina stijenke cijevi s mora biti:

s =pD

2σdop

(2.60)

2.5: PLUTANJE I RAVNOTEZA PLUTAJUCIH TIJELA 29

Ovo je Mariott-ova formula za debljinu stijenke cijevi. Formula vrijedi za cijevi s tankomstijenkom (ako je s < 0, 1D).

Za dugu cijev koja je zatvorena na krajevima, slicnim postupkom se nalazi da je uzduznonaprezanje materijala stijenke:

σu = 0, 5σ (2.61)

2.5 Plutanje i ravnoteza plutajucih tijela

2.5.1 Uzgon

Slika 2.16: Sila na tijelo uronjeno u fluid.

Zamislimo si da smo unutar fluida ocrtali zatvorenu plohu proizvoljna oblika. Ta je plohaispunjena fluidom pa se moze govoriti o nekom ”tijelu” omedenom tom plohom. To se tijeloocito se nalazi u ravnotezi. Stoga je ukupna tlacna sila koja djeluje na bilo koji vertikalnipresjek toga tijela jednaka nuli. Isto tako, zbog uvjeta ravnoteze vertikalne sile koje djelujuna to tijelo moraju se ponistiti. No, u vertikanom smjeru na zamisljeno tijelo djeluju dvijesile: tezina tijela koja ga vuce prema dolje i rezultantna vertikalna komponenta tlacne silekoja djeluje prema gore. Te se dvije sile moraju ponistiti, pa je ocito:

∫

Ap ~dA = ρV g (2.62)

gdje je ρ gustoca fluida, a V volumen zamisljenoga tijela.Ako sad iz unutrasnjosti te plohe izvadimo fluid, pa plohu ispunimo nekom drugom tvari

gustoce ρT , situacija u okolnom fluidu nece se promijeniti. To znaci da ce na tijelo i daljedjelovati vertikalna komponenta tlacne sile u istom iznosu kao i ranije, dakle:


Fu = ρV g (2.63)

Ova sila naziva se uzgon, a pravilo da je uzgon jednak tezini istisnute tekucine se ponjegovom otkrivacu naziva Arhimed-ov zakon.

No, iako se uzgon nije promijenio, tezina tijela se promijenila jer je ona sad:

GT = ρT V g (2.64)

pa na tjelo u vertikalnom smjeru djeluje ukupna rezultantna sila:

R = Fu −G = gV (ρ− ρT ) (2.65)

Ako je gustoca tijela veca od gustoce fluida, ukupna sila je negativna (djeluje prema dolje)i tijelo tone. Ako je pak gustoca tijela manja od gustoce fluida, ukupna sila je pozitivna(djeluje prema gore) i tijelo izranja. Tijelo je u ravnotezi sa okolnim fluidom samo ako jeukupna sila jednaka nuli, tj. ako je ρ = ρT .

Recimo jos na kraju samo to da kod tijela koja plivaju na povrsini tekucine (tzv. djelomicnouronjena tijela) uzgon i dalje proizvodi volumen istisnute tekucine, sto znaci da uzgon dolazisamo od onoga dijela tijela koji je uronjen u tekucinu.

2.5.2 Plutanje

Slika 2.17: Uzgon kod plutanja. Sili uzgona doprinosi samo dio tijela koji je uronjen utekucinu (Vu), dok tezina tijela ostaje nepromijenjena.


Kod tijela cija srednja gustoca je manja od gustoce fluida u koji su uronjena, sila uzgonaveca je od njihove tezine pa se tijelo dize prema gore. Ako je tijelo u zraku (baloni i sl.)dizat ce se sve dok se uzgon, koji s visinom opada zbog smanjenja gustoce zraka, ne izjednacis tezinom tijela. Ako je tijelo uronjeno u tekucinu (plovila, led, drvo i sl.), dici ce se sve donjegove povrsine tako da dio tijela izviri iznad nje. Kako uzgon ovisi o volumenu istisnutetekucine, njega proizvodi samo dio volumena tijela koji je ispod povrsine tekucine pa se nataj nacin uspostavlja ravnoteza uzgona i tezine tijela. Kaze se da tijelo pluta na povrsinitekucine. Jednadzba ravnoteze u tom slucaju glasi:

G = U G = ρtV g U = ρVug (2.66)

Slika 2.18: Ravnoteza tijela koje pluta: lijevo labilna ravnoteza, sredina stabilna ravnotezai desno indiferentna ravnoteza.

Ravnoteza tijela koje pluta zaseban je problem. Ako se hvatiste tezine tijela nalaziiznad hvatista sile uzgona, tijelo je u labilnoj ravnotezi. I najmanje naginjanje tijela izravnoteznoga polozaja dovodi do prevrtanja tijela. Ako se pak, hvatiste tezine tijela nalazi is-pod hvatista sile uzgona, tijelo je u stabilnoj ravnotezi. Kod naginjanja tijela iz ravnoteznogapolozaja stvoreni moment sile (najbolje je gledati moment koji stvara sila uzgona oko tezistatijela) vraca tijelo u ravnotezni polozaj.

Ako se hvatiste tlacne sile poklopi s tezistem tijela, dolazi do stanja tzv. labilne ravnoteze.Bez obzira kako se tijelo postavi ono je uvijek u ravnotezi!

Problem ravnoteze plutajucih tijela dodatno je zakompliciran time, sto se kod zakretanjatijela mijenja oblik uronjenoga volumena pa se time pomice hvatiste sile uzgona. Tako jemoguce da tijelo bude u stabilnoj ravnotezi cak i ako je teziste iznad hvatista sile uzgona.


Ova je situacija ilustrirana na slici 2.19 za slucaj tijela (npr. broda) pravokutnoga poprecnogpresjeka. Kod naginjanja broda na desnu stranu, pomice se teziste istisnute vode (tj. hvatistesile uzgona!) udesno i prema dolje. Istovremeno teziste se pomice lagano ulijevo, pa nastalimoment sila ispravlja brod. Ovo je pozeljna situacija i obicno je zadovoljena kada je brodpravilno opterecen (natovaren).

Slika 2.19: Ravnoteza broda. Kod naginjanja stvoreni moment sila vraca brod u ravnoteznipolozaj iako je teziste iznad hvatista sile uzgona. To je posljedica premjestanja hvatistasile uzgona kod naginjanja u desnu stranu dok istovremeno teziste biva lagano pomaknutoulijevo.

Kad je brod prazan, izdize se iz vode i teziste mu postaje previsoko (slika 2.20). Kodnaginjanja broda na desnu stranu, pomicanje hvatista sile uzgona udesno je znatno manje,a istovremeno se teziste broda znatno pomice ulijevo. U ovom slucaju nastali moment silaprevrce brod. Situacija je tipicna za nenatovarene teretne brodove i tankere. Da bi seizbjegla nestabilnost praznoga broda, cesto puta se on opterecuje upumpavanjem vode uprazne tankove (tzv. balastna voda) cime se spusta teziste broda. Slicna se situacija mozedogoditi i kod natovarenog broda ako teret sklizne u stranu naginjanja broda. Pravilnakonstrukcija i upotreba brodova znanost je za sebe!


Slika 2.20: Prevrtanje broda. Kod naginjanja stvoreni moment sila prevrce brod. Situacijaje tipicna za nenatovarene teretne brodove i tankere.


2.6 Translacija i rotacija tekucine kao cjeline

Translacija i rotacija tekucine kao cjeline takvo je gibanje tekucine kod kojega nema rela-tivnoga pomaka izmedu cestica tekucine, tj. cijeli se volumen tekucine giba kao kruto tijelo.Ovo je tipicna situacija za tekucine koje se prenose u rezervoarima, bocama i sl. U ovakvimsituacijama i dalje su primjenjivi zakoni statike.

Ukoliko se tekucina giba jednolikom brzinom (jednolika translacija), nema ubrzanja, pase tekucina ponasa isto kao da miruje.

Ako postoji vanjsko ubrzanje tekucina osjeca inercionu silu koja je reakcija na to ubrzanje.Ubrzanje inercione sile (III Newton-ov aksiom) je iste velicine, ali suprotnoga smjera odubrzanja sile koja ju izaziva. Ubrzanje inercione sile se vektorski zbraja s g i tekucina kaocjelina prelazi u novo stanje ravnoteze za koje i dalje vrijede zakoni statike.

2.6.1 Horizontalno ubrzanje

Slika 2.21: Translacija tekucine kad je ubrzanje horizontalno.

Ako se tekucina ubrzava horizontalno (slika 2.21), ubrzanje inercione sile takoder jehorizontalno, ali u suprotnom smjeru. Kada se ono zbroji s ubrzanjem sile teze, rezultatantnoubrzanje tekucine usmjereno je koso prema dolje:

~r = ~ai + ~g r =√

a2i + g2 (2.67)

Povrsina tekucine se postavlja okomito na smjer tog ubrzanja. Kut prema horizontalipod kojim povrsina stoji lako nademo iz grafikona sila:

tan ϕ =ai

g(2.68)

Zakon hidrostatskoga tlaka vrijedi i ovdje, ali se u njemu umjesto ubrzanja sile teze javljarezultantno ubrzanje, r, a dubina d se mjeri u smjeru okomice na povrsinu (slika 2.22):

2.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUCINE KAO CJELINE 35

p = ρrd (2.69)

Slika 2.22: Mjerenje ”dubine” kod horizontalnoga ubrzanja tekucine.

2.6.2 Vertikalno ubrzanje

Slika 2.23: Translacija tekucine kad je ubrzanje vertikalno.

Kada se tekucina ubrzava u vertikalnom smjeru (slika 2.23), ubrzanje inercijske siletakoder je vertikalno i moze se skalarno zbrojiti sa ubrzanjem sile teze (paziti na smjerinercijskoga ubrzanja i odgovarajuci predznak!). Rezultantno ubrzanje koje tekucina osjecaostaje u vertikalnom smjeru a povrsina tekucine i dalje je horizontalna. Za ovaj je slucaj:


r = g + ai (2.70)

p = ρrd (2.71)

2.6.3 Koso ubrzanje

Slika 2.24: Translacija tekucine kad je ubrzanje koso.

Kod ubrzanja u proizvoljnom (kosom) smjeru prvo se postavimo u vertikalnu ravninu ukojoj je vektor ubrzanja. U njoj se inerciono ubrzanje rastavlja na vertikalnu i horizontalnukomponentu (slika 2.24) i primjenjuje se malo prije izvedene zakljucke. Prvo vertikalnukomponentu inercionoga ubrzanja zbrojimo sa g, a onda se preko grafikona sila odredi smjerukupnog ubrzanja i nagib plohe fluida:

r =√

a2o + (g + ap)2 tan ϕ =

ao

g + ap

(2.72)


2.6.4 Rotacija tekucine u otvorenoj posudi

Slika 2.25: Rotacija tekucine u otvorenoj posudi oko vertikalne osi.

Rotacija tekucine u posudi moze se obuhvatiti zakonima statike, ako je rotacija jednolika(kutna brzina rotacije je konstantna). U tom se slucaju nakon nekoga vremena uspostaviravnotezno stanje u kojem cijeli volumen tekucine rotira zajedno s posudom. Kod togapovrsina tekucine zauzima parabolicni oblik, koji je posljedica djelovanja centrifugalne silekoju ima tekucina zbog rotacije (slika 2.25).

Radi jednostavnosti ovdje se proucava samo slucaj kada se rotacija odvija oko vertikalneosi koja se podudara s osi cilindricne posuda u kojoj se fluid nalazi. Ubrzanje centrifugalnesile dano je poznatim izrazom:

acs = rω2 (2.73)

Da bi se moglo racun napraviti u Kartezijevom koordinatnom sustavu, mora se toubrzanje rastaviti na komponente (slika 2.26) i dodati ga ubrzanju sile teze. Tako su kom-ponente ubrzanja tekucine:


Slika 2.26: Rastavljanje ubrzanja kod rotacije tekucine oko vertikalne osi. Slika shematskiprikazuje pogled na rotirajucu tekucinu odozgo.

ax = xω2

ay = yω2

az = −g(2.74)

Polazi se od staticke Euler-ove jednadzbe (2.3-2.5) cije se tri komponente prvo zbroje:

dp = ρ(axdx + aydy + azdz) (2.75)

Sada se uvrsti komponente ubrzanja koje dolaze od rotacije i od sile teze:

dp = ρ(ω2xdx + ω2ydy − gdz) (2.76)

Ovu jednadzbu moze se formalno integrirati da se odredi tlak:

p = ρω2x2

2+ ρω2y2

2− ρgz + c (2.77)

Ovaj rezultat malo uredimo:

p = ρω2

2(x2 + y2)− ρgz + c (2.78)

Konstantu c nademo iz cinjenice da u ishodistu tlak mora biti jednak atmosferskom(p = pa):

c = pa (2.79)


Nadalje, i na cijeloj slobodnoj plohi je tlak jednak atmosferskom, sto daje sljedecurelaciju:

pa = ρω2

2(x2 + y2)− ρgz + pa (2.80)

odakle se sredivanjem dolazi do jednadzbe slobodne plohe:

z =ω2

2g(x2 + y2) =

ω2

2gr2 (2.81)

Slika 2.27: Oblik povrsine tekucine kod rotacije oko vertikalne osi.

Ovo je jednadzba rotacijskoga paraboloida, s vertikalnom osi i tjemenom u ishodistu!U presjeku (slika 2.27) vidi se parabola, i definira se visina spustanje nivoa tekucine naosi rotacije (=sredina posude!), hC i visinu podizanja tekucine na rubu posude, hR. Njihse nalazi iz uvjeta sacuvanja ukupnoga volumena tekucine (volumen dijela tekucine koji seizdigao iznad nivoa tekucine u situaciji kad ona ne rotira, mora biti jednak volumenu prostorakoji tekucina u rotaciji oslobodi uz os posude):

R2πh◦ = R2π(h◦ − hC) + R2π(hR + hC)− 1

2R2π(hR + hC) (2.82)

Tu se skoristi cinjenica da je volumen rotacijskoga paraboloida jednak polovici volumenaopisanoga valjka:

Vpar =1

2Vcil =

1

2hR2 (2.83)

pa je na kraju:


hR = hC (2.84)

Kako je:

zmax = hR + hC (2.85)

moze se postaviti i sljedecu relaciju (zmax smo mjerili od tjemena rotacionog paraboloidaa ne od razine tekucine u posudi bez rotacije!):

hR = hC =1

2zmax (2.86)

2.6.5 Rotacija tekucine u zatvorenoj posudi

Slika 2.28: Rotacija tekucine u zatvorenoj posudi oko vertikalne osi.

Ako je posuda zatvorena i u cijelosti ispunjena tekucinom, nema mjesta za promjenuoblika dodirne plohe tekucine i okoline. No, i u ovom slucaju, zbog rotacije, dolazi doporasta tlaka zbog djelovanja centrifugalne sile, a analognim izvodom se dobije da je (vidisliku 2.28) on opisan slijedecim jednadzbama:

phr = ph + ρω2r2

2g(2.87)

∆p = ρω2r2

2g(2.88)


2.6.6 Utjecaj promjene smjera stacionarnog toka na tlak u fluidu

U svim situacijama kod koje dolazi do promjene smjera toka fluida, javljaju se porasti tlakovau fluidu slicni onima kod rotacije fluida. Primjerice u cjevovodu se opaza porast tlaka navanjskoj stijenci lukova, koljena i drugih elemenata koji mijenjaju smjer toka fluida. Kako sesvakoj takvoj promjeni smjera moze se pridruziti lokalni polumjer zakrivljenosti staze cesticafluida, jasno je da se ovakvim problemima moze pristupiti na nacin koji smo koristili kodopisivanja efekata rotacije tekucine u posudi.

Slika 2.29: Porast tlaka kod promjene smjera tecenja moze se objasniti silama kod rotacijetekucine.

Documents

Fluidi Skripta Web 2