Fluidodinámica-Aplicada-a-la-Minería-Capítulos-1-2-y-3

FLUIDODINÁMICA APLICADA

A LA MINERÍA

Editor

Juan Rayo Capacitación S.A.

TOMO I

Copyright© Copyright 2013. Juan Rayo Capacitación S.A. (JRCap). Todos los derechos reservados.

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita de JRCap.

Registro de propiedad intelectual inscripción N° 224.267ISBN 978-956-9285-01-1 (Tomo I)

ISBN 978-956-9285-00-4 (Obra completa)

Juan Rayo Capacitación S.A.Luis Uribe 2343, Ñuñoa

Santiago, Chile

Fono: (56 2) 2361 8200www.jrcap.cl

Esta PRIMERA EDICIÓN, de 200 ejemplares, fue impresa por Caupolicán Servicios Grá+ cos, Fono 26716467,

en Santiago de Chile, durante febrero de 2013.

PRÓLOGO

Mi primer contacto con la / uidodinámica fue hace poco más de 40 años. Corría el último año de la década del 60, con todo lo que un joven de esa época podía pedir (protestas contra la guerra de Vietnam, el hombre a la luna, la reforma universitaria, etc.), y dado que mi paso por la universidad sólo había sido de teorías y números (ecuaciones diferenciales, mecánica racional, etc.), realmente tuve una grata sorpresa: me enfrentaba a un curso que mezclaba teoría, sobre bases matemáticas duras (vecto-res y tensores) con aplicaciones prácticas directas (podía entender hasta la hidráulica domiciliaria).

Poco después entendí que la / uidodinámica que nos enseñaba el profesor Ramón Fuentes (PhD), era esencialmente la base cientí+ ca y empírica para comprender los fenómenos continuos de la minería y metalurgia del país. Con esa base entendí los fenómenos de: ventilación minera, manejo de aguas y pulpas, manejo de gases calien-tes y otros.

Las bases que nos enseñó, a jóvenes que recién cumplíamos los veinte años, posible-mente no se nos haya olvidado a ninguno. Más aún, hace algún tiempo, en la empresa Juan Rayo Ingeniería S.A. (hoy, JRI Ingeniería S.A.), nos tocó revisar un proyecto de drenaje de una mina subterránea profunda de la V Región, y nos encontramos con un sistema que levantaba alrededor de 20 m3/h de aguas mina desde una profundidad de 800 metros, y cuyas memorias de cálculo (fechadas año 1976), estaban basadas sólo en los apuntes de las clases de / uidodinámica que yo asistí y cuyo autor era un ex compañero que se demoró algo más que el promedio en terminar la carrera. Ese ejemplo es relevante, porque en base a conceptos y pautas de una enseñanza de pre-grado, se había materializado con éxito un sistema que operó por más de 20 años.

El desarrollo de mi carrera profesional estuvo tempranamente ligado a la / uidodi-námica. Mi tesis la realicé en base a estudiar el sistema presurizado de transporte de relaves de Minera Andina (División de Codelco Chile), cuando, a principios de la década del 70, tras la nacionalización de la Gran Minería del Cobre, no quedaba en Chile ningún ingeniero norteamericano que explicara los conceptos de ese proyecto.

Posteriormente, y después de una variada participación en investigación, ingeniería y operaciones, que me llevó casi 10 años, tuve la oportunidad de formar mi empresa consultora para dar apoyo a la operación de las plantas concentradoras de ese enton-ces. Los problemas operacionales siempre fueron similares: canaletas que rebosaban, tuberías que se embancaban, sistemas de bombeo con falta de capacidad, etc. Todos estos problemas requerían de un análisis profundo de / uidodinámica, para ver en qué fallaban y cómo resolverlos. La empresa consultora JRI, sociedad que encabeza el Grupo JRI al cual pertenece JRCap, creció en base al prestigio de lograr resolver los problemas operacionales complejos.

La década del 90 tuvo para nosotros el desafío / uidodinámico mayor, consistente en diseñar (hasta el nivel de detalles) y poner en funcionamiento, el sistema de trans-porte de pulpa de mineral molido de Los Bronces a Las Tórtolas. Ese fue realmente un desafío extremo, que consistía en bajar 37.000 ton/día de mineral en una pulpa al 57% de concentración en peso, desde la cota 3.500 m.s.n.m. hasta la cota 750 m.s.n.m., atravesando tres valles mediante túneles y puentes relevantes. El éxito o fracaso de

la empresa minera Disputada-Exxon, dependían de la correcta funcionalidad de un sistema que nunca se había probado en el mundo y que, hasta hoy, constituye un hito no superado. El día 5 de mayo de 1992, y contra los malos presagios de algunos envidiosos competidores, el sistema empezó a operar sin problemas mayores hasta nuestros días. Por el éxito de ese proyecto, recibí el premio al Profesional Distingui-do del año 1995, del Instituto de Ingenieros de Minas de Chile.

El desarrollo de JRI, con 30 años de vida, siempre ha estado ligado a la / uidodiná-mica aplicada a la minería. Como empresa participamos (directa o indirectamente) en todos los concentraductos de Sudamérica, en la gran mayoría de los grandes rela-veductos y en más de la mitad de los acueductos construidos en Chile. Acumulamos experiencias de manejo de pulpas espumosas, en pulpas de alta concentración, en pulpas de / ujo muy variado, en manejo de todo tipo de / uidos industriales (aceites, reactivos, lechada, ácidos, soluciones, etc.) y en condiciones / uidodinámicas extre-mas (golpe de ariete, cavitación, mezclado, etc.).

Desde hace más de 15 años que JRI dispone como consultor permanente al profesor Ramón Fuentes (PhD). Como parte relevante de su sta@ , este doctor en ciencias ha enseñado / uidodinámica compleja, a más de 50 ingenieros que han tenido la suerte de tener que trabajar con él en la solución de problemas complejos y desafíos rele-vantes. Para JRI, y para mi persona en particular, es un orgullo tener como guía tec-nológica a un Miembro de Honor de la Asociación Internacional de Investigaciones Hidráulicas (IAHR - Internacional Association of Hydraulic Research).

El equipo de especialistas en / uidodinámica de JRI, incluyendo al Dr. Fuentes y quien expone, creemos que el mundo minero de Chile necesita que el conocimiento acumulado de nuestro profesor y de todos los especialistas de JRI, sea compartido en forma abierta y sin restricciones con los profesionales del mundo minero nacional (operaciones, mantenimiento, ingeniería, investigación, docencia).

Es por ello que hemos impulsado la edición del libro Fluidodinámica Aplicada a la Minería, el cual constituye el primer texto en esta materia elaborado por un organis-mo no-universitario de Chile. En este caso, es JRI, a través de su + rma ligada JRCap, que, con su participación, avala y endosa que los conceptos que se expresan en este documento, constituyen el estado del saber sobre la / uidodinámica minera.

El documento que estoy presentando no ha tenido ningún tipo de sesgos en sus fun-damentos y aplicaciones. Los conceptos básicos han sido expresados mediante mate-máticas avanzadas, las ideas en forma explícitas y las aplicaciones en base a ejemplos reales de la minería sudamericana (se ha suprimido, eso sí, el nombre de las empresas mineras involucradas).

Juan Rayo PrietoGerente General

JRCapGerente Técnico

JRI

AUTORES

RAMÓN FUENTES AGUILAR

Educación: Ingeniero Civil, mención Hidráulica, Universidad de Chile, 1964 Ingénieur Hydraulique, Université de Grenoble, Francia, 1966 Docteur en Physique, Université de Grenoble, Francia, 1969

Experiencia: Más de 40 años de experiencia como consultor, tanto en el área cientí+ ca como

en proyectos mineros. En estos últimos, ha participado en la caracterización de relaves y en la simulación y modelación de transporte de agua y otros / uidos.

Experto en: Mecánica de / uidos, dinámica de suspensiones y fenómenos de transporte en

metalurgia

Membresías: Miembro Honorario de la International Association for Hydraulic Research

(IAHR)

JUAN RAYO PRIETO

Educación: Ingeniero Civil de Minas, Universidad de Chile, 1974 Diplomado en Transporte Hidráulico de Sólidos, Saskatchewan Research

Council, Canadá, 1975

Experiencia: Más de 35 años de experiencia en dirección de proyectos de ingeniería,

desarrollo de actividades académicas, trabajos de investigación aplicada, y realización de auditorías técnicas, estudios de validación, per+ les de negocios y planes estratégicos.

Experto en: Transporte hidráulico de sólidos, proyectos industriales de plantas de

concentración y análisis de riesgos en minería

Membresías: Colegio de Ingenieros de Chile A.G. Colegio de Ingenieros del Perú Instituto de Ingenieros de Chile Instituto de Ingenieros de Minas de Chile (IIMCh)

CHRISTIAN MORENO GONZÁLEZ

Educación: Ingeniero Civil, con mención en Hidráulica, Universidad de Chile, 1998 M.Sc. in Water Resources Engineering and Management, Universität Stutt-

gart, Alemania, 2004

Experiencia: 13 años de experiencia profesional, especializándose en las áreas de abastec-

imiento de agua y sistemas de transporte de pulpas minerales.

Experto en: Sistemas de transporte de pulpas minerales y sistemas de suministro de agua

Membresías: -

CRISTIÁN RICKENBERG DÍAZ

Educación: Ingeniero Civil Metalurgista, Universidad de Santiago de Chile, 2000

Experiencia: 12 años de experiencia como ingeniero y especialista de procesos, participan-

do tanto en el diseño como en la puesta en marcha de proyectos industriales y mineros.

Experto en: Optimización de plantas concentradoras, manejo de costos de plantas con-

centradoras, plantas de manejo y disposición de relaves

Membresías: -

ALBERTO SALAZAR OGUEDA

Educación: Ingeniero Civil Mecánico, Universidad Técnica del Estado, 1975 Diplomado en Transporte Hidráulico de Sólidos, Saskatchewan Research

Council, Canadá, 1976

Experiencia: 40 años de experiencia en estudios y proyectos de ingeniería en el sector

minero-metalúrgico, desempeñándose como Gerente/Jefe de Proyecto en una vasta cantidad de proyectos de gran tamaño, y actuando también como consultor-especialista en múltiples estudios y proyectos.

Experto en: Plantas de bene+ cio y sistemas de manejo y transporte de pulpas minerales

Membresías: -

VÍCTOR ENCINA MONTENEGRO

Educación: Ingeniero Civil de Minas, Universidad de Chile, 1976

Experiencia: Más de 35 años de experiencia en las áreas de estudios, proyectos y operacio-

nes, en empresas de ingeniería y faenas mineras subterráneas, de mediano y gran tamaño.

Experto en: Minería subterránea e innovación tecnológica en minería

Membresías: Instituto de Ingenieros de Minas de Chile (IIMCh)

SOLEDAD GUTIÉRREZ DELGADO

Educación: Ingeniera Civil, con mención en Hidráulica, Ponti+ cia Universidad Católica

de Chile, 2000

Experiencia: Más de 10 años de experiencia como ingeniera y especialista hidráulica en

proyectos mineros y de transporte de pulpas.

Experta en: Sistemas de bombeo de pulpas, sistemas de conducción gravitacional en pre-

sión y en acueducto, análisis de transientes hidráulico, y sistemas de trans-porte de / uidos a larga distancia

Membresías: -

LISTA DE COLABORADORES

Alejandra Álvarez, Licenciada en Ciencias, con mención en Física, y Doctora en Ciencias, con mención en Física, de la Universidad de Chile.

Sofía Arriagada, Ingeniera Civil de la Universidad de Concepción.

Daniel García, Ingeniero Civil Metalúrgico de la Universidad de Santiago de Chile.

Felipe Hernández, Ingeniero Civil de la Universidad Técnica Federico Santa María.

Jorge Ipinza, Ingeniero Civil Metalúrgico y Doctor en Ciencias de la Ingeniería, con mención en Metalurgia, de la Universidad de Concepción.

Ximena Lira, Dibujante Técnico Industrial de INACAP.

José Muñoz, Ingeniero Civil, con mención en Hidráulica, Sanitaria y Ambiental, de la Universidad de Chile.

Yasna Olivares, Ingeniera Civil Química de la Ponti+ cia Universidad Católica de Valparaíso.

María Teresa Prado, Ingeniera Civil de la Universidad de Concepción.

Jorge Serey, Ingeniero Civil, con mención en Hidráulica, Sanitaria y Ambiental, de la Universidad de Chile.

Carolina Silva, Ingeniera Civil, con mención en Hidráulica, Sanitaria y Ambiental, de la Universidad de Chile.

Héctor Stack, Ingeniero Civil Mecánico de la Universidad de Santiago de Chile.

Marcela Rojas, Ingeniera Civil Metalurgista de la Universidad de Santiago de Chile.

ÍNDICE TOMO I

Módulo I: FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I ......................................................................... 11

Capítulo 1 Historia de la / uidodinámica clásica ................................................................... 13

Capítulo 2 Propiedades de algunos / uidos ............................................................................. 21

Capítulo 3 Hidrostática ............................................................................................................. 35

Capítulo 4 Conceptos básicos de / uidodinámica ..................................................................45

Capítulo 5 Hidrodinámica aplicada: tuberías ...................................................................... 155

Capítulo 6 Hidrodinámica aplicada: canales ....................................................................... 175

Capítulo 7 Hidrodinámica aplicada: bombas .......................................................................197

Capítulo 8 Inyección de burbujas en un reactor .................................................................. 219

Módulo II: FLUIDODINÁMICA CLÁSICA II ..................................................................... 223

Capítulo 9 Escurrimientos impermanentes en tuberias a presión ...................................225

Capítulo 10 Flujo compresible de gases en ductos .................................................................269

Capítulo 11 Escurrimientos multifasicos en minería ............................................................285

Capítulo 12 Mecánica de suspensiones ...................................................................................293

.

MÓDULO I FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I

.

Historia de la fluidodinámica clásicaAutor: Ramón Fuentes

Capítulo 1


CONTENIDO

1. HISTORIA DE LA FLUIDODINÁMICA CLÁSICA ....................................................................................................15

1.1. Introducción .............................................................................................................................................................15

1.2. Inicio del riego .........................................................................................................................................................15

1.3. Culturas # uviales .....................................................................................................................................................16

1.4. Sistematización de las obras hidráulicas ........................................................................................................17

1.5. Nacimiento de la física de # uidos .....................................................................................................................17

1.6. Galileo y Newton .....................................................................................................................................................17

1.7. Nacimiento de la hidrodinámica ideal y de la hidráulica experimental..............................................18

1.8. Advenimiento de la mecánica de # uidos moderna ...................................................................................18

1.9. Referencias ................................................................................................................................................................19

15

Cap

ítulo 1: Historia de la fluidodinámica clásica

1. HISTORIA DE LA FLUIDODINÁMICA CLÁSICA

1.1. IntroducciónLugar común (LC) es una palabra, frase o idea con-

siderada como un vicio del lenguaje por ser demasiado sabido o por su uso excesivo o gastado. Se entiende que son juicios, opiniones o aseveraciones que todo el mun-do acepta y nadie discute.

El problema es que nadie toma en cuenta los lugares comunes. Estos lugares comunes corresponden a los listados a continuación.

LC1: El agua es la fuente de la vidaLC2: El agua es indispensable para la vidaLC3: El agua es el elemento más abundante: cubre la

mayor parte del planetaPara comenzar, el tercer punto (LC3) es cierto para

los peces pero es falso para los animales de tierra + rme, en particular para el hombre: en la Tabla 1.1 se muestra la distribución del agua en la Tierra (adaptado de Na-nía y Gómez Valentín, 2004).

Efectivamente, el agua salada (marina o no) es muy abundante (97,5 % del total), pero el agua dulce es solo una pequeña fracción: 2,53 %. Esta cifra es inquietante, pero lo es más el advertir que el agua de los ríos, que ha sido la fuente natural para los seres humanos, es sola-mente 2 millonésimos del agua dulce total.

En el caso de Chile, en que una parte signi+ cativa del país es desértico, estas cifras son de un efecto mayor que en otros países cercanos y, para la minería, resultan especialmente graves.

Examinando nuevamente la Tabla 1.1 sólo caben tres lugares comunes:

• Economizar agua• Buscar fuentes nuevas• Emplear agua de mar

Finalizando la introducción, el lugar común LC1 pertenece a la biología y no se discutirá aquí; El LC2 tiene un enorme contenido histórico y es el tema.

1.2. Inicio del riego

Tabla 1.1 Distribución del agua en la Tierra

Agua Salada Agua Dulce Agua Salada Agua Dulce

[km3] [km3] % %

Océanos 1.338.000.000 96,5

Agua subterránea dulce 10.530.000 0,76

Agua subterránea salada 12.870.000 0,929

Humedad del suelo 16.500 0,0012

Hielo polar 24.023.500 1,73

Hielo no polar y nieve 340.600 0,0246

Lagos dulces 91.000 0,0066

Lagos salinos 85.400 0,0062

Embalses 11.470 0,0008

Ríos 2.120 0,0002

Agua biológica 1.120 0,0001

Agua atmosférica 12.900 0,0009

Agua Salada Total 1.350.955.400 97,5

Agua Dulce Total 35.029.210 2,53

Agua Total 1.385.984.610

Figura 1.1 Localidad de El-Kown, Presencia de canales para eva-cuación de aguas servidas, 6500 AC (Adaptada de Viollet, 2004)

16

MÓDULO

I FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I

La agricultura nace en el “cuarto creciente fértil” (croissant fertile, fertile crescent) regado por cuatro ríos: el Éufrates, el Tigres, el Jordán y el Nilo. Allí, hacia 12500 AC, los recogedores-cazadores trashumantes se establecen, haciéndose sedentarios. Hacia 9500 AC se expanden al “núcleo levantino” (Figura 1.2) y comien-za la “domesticación de los cereales” esto es la agricul-tura. Hacia 7000 AC, la agricultura se ha expandido hacia el Este y el Oeste.

La lluvia y los escurrimientos / uviales llegan a ser insu+ cientes. Hacia 5000 AC, se obtiene agua de fuen-tes artesanas. Aún antes, es plausible la existencia de canales de riego. Vestigios de pequeños canales para evacuar aguas servidas se encuentran en El-Kown. La ubicación de esta localidad se muestra en el mapa de la Figura 1.1 y datan de 6500 AC.

Figura 1.2 Expansión del núcleo levantino, alrededor del 9500 AC (Adaptada de Viollet, 2004)

Figura 1.3 Desarrollo de antiguas culturas en las cercanías de ríos (Adaptada de Viollet, 2004)

1.3. Culturas & uvialesLa relación directa entre la civilización y el agua se ve

clara si se considera que las grandes culturas antiguas se desarrollaron alrededor de grandes ríos (Figura 1.3): Egipto y el Nilo, Sumer y el dúo Tigris – Éufrates, India y el Indus, China y el Río Amarillo.

Esta relación lleva de inmediato a las obras hidráuli-cas, esto es, a la hidráulica clásica.

Hacia 3000 AC existían canales entre el Tigres y el Éufrates (al menos cuatro de treinta metros de ancho). Eran lo su+ cientemente desarrollados e importantes como para ser sometidos a reglas de navegación (códi-go de Hammurabi (1760 AC), en Viollet, 2004). Estas notas podrían extenderse muchísimo si se agregaran las máquinas hidráulicas, los barcos y así adelante. Al respecto puede consultarse a Viollet, 2004 y la WEB.

17

Cap


Pero la intención aquí es simplemente mostrar lo an-tiguas que son las obras hidráulicas y la plani+ cación asociada a ellas.

1.4. Sistematización de las obras hidráulicas

tantes aportes aislados. En este contexto hay que citar a Arquímedes de Siracusa.

Contrariamente a lo que se dice habitualmente, es demostrable que los primeros avances cientí+ cos cer-canos a ideas modernas fueron realizados en la Edad Media.

Citando solamente tres autores, Swineshead (Oxford), Nicolas de Oresme y Jean Buridan (Paris) en el siglo XIV, realizaron aportes decisivos a la cinemá-tica y a la dinámica, incluyendo críticas a la física de Aristóteles. Algunos de estos aportes pre+ guraban los de Galileo y Newton, realizados en el siglo XVII.

Aunque es un juicio debatible, se plantea aquí que el estudio físico de los / uidos nació con la obra de Leo-nardo da Vinci (1452-1519), tanto en los aspectos espe-culativos como en las bases físicas directas. En efecto, de los escritos de Leonardo se deduce claramente que construyó lo que hoy se llamarían instalaciones expe-rimentales para estudiar el movimiento del agua. Al-gunos de sus juicios y observaciones son válidos hoy (Rouse e Ince, 1963).

En uno de sus códices, Leonardo explica cómo rea-lizar un tanque para visualizar los orbitales del oleaje. Más adelante esquematiza un canal para estudiar on-das de gravedad.

1.6 Galileo y NewtonSus aportes a la mecánica de / uidos son enormes,

tanto directos como indirectos. En el caso de Galileo el aporte indirecto mayor está contenido en los “Discor-si e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze” (1638). Basta indicar que las dos nuevas cien-cias son la Mecánica y la Resistencia de Materiales.

Newton, en sus “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1686) entrega nada menos que las leyes de la dinámica y del análisis in+ nitesimal.

Como aportes directos de Galileo, para mencionar solo un mínimo, se mencionan los siguientes:• La introducción cuantitativa de la presión de vacío;• El desarrollo del análisis dimensional;• El estudio de los fenómenos capilares;• La experimentación directa de la convección natu-

ral.En el caso de Newton, igualmente una lista arbitra-

riamente corta es:• La ley hidrodinámica de resistencia cuadrática;• El coe+ ciente de contracción de chorros;• El período de las ondas de gravedad;• La introducción y de+ nición de la viscosidad diná-

mica.

Figura 1.4 Fotografía del Pont du Gard (gentileza de Ramón Fuentes)

Hace 2000 años el Imperio Romano era dueño de todo el mundo conocido por Occidente. El gobierno de este enorme imperio requería de muchas condiciones. Una de ellas era desarrollar normas y reglas para cons-truir y operar obras hidráulicas. Existen documentos al respecto, y son de destacar los tratados de Vitrubius y de Frontinus (Rouse & Ince, 1963). Pero no han llega-do hasta hoy documentos que indiquen bases concep-tuales y/o mecánicas.

Empero, el nivel alcanzado en las obras es tal, que muchas de ellas funcionan o podrían funcionar hoy, y a menudo se trata de instalaciones que incluyen elemen-tos de elevado nivel tecnológico. Para muestra, basta observar el Pont du Gard (Figura 1.4).

Resulta inimaginable que estas obras fuesen dise-ñadas y construidas mediante “trial and error” como sugerirían algunos empiristas de hoy.

1.5. Nacimiento de la física de & uidosResulta claro que no era posible un avance en la / ui-

dodinámica sin que la física lo hiciese. Ahora bien, pese a la magní+ ca herencia griega, la física de Aristóteles no contenía una mecánica satisfactoria ni aún una ci-nemática coherente, y sus textos tuvieron fuerza de ley hasta y aún después de la revolución copernicana. Hay que reconocer, sin embargo, que se realizaron impor-

18

MÓDULO


Esta situación culminó con un acontecimiento espe-cial:

A raíz de un concurso abierto por la Academia de Ciencias de Berlín (1750), D’Alembert demostró mate-máticamente que un cuerpo sometido a una corriente

" uida no experimentaba ninguna resistencia. El estu-dio era para un / uido invíscido. El propio D’alembert encontró que el resultado contradecía la experiencia. Había nacido así la paradoja de D’Alembert, pero el enorme (y merecido) prestigio de D’Alembert hizo que este resultado se difundiera, para confusión y conster-nación de los investigadores en / uidodinámica.

Se puede admitir así que los ingenieros abocados a problemas reales de diseño no se interesaron en los re-sultados de la hidrodinámica teórica y se volcaron ha-cia la investigación experimental. Así, los siglos XVIII y XIX mostraron un desarrollo enorme de los estudios de laboratorio concernientes a los problemas hidráu-licos.

Por otra parte, los hidrodinamicistas siguieron rea-lizando trabajos para el / uido invíscido. Algunos in-tentaron enfrentarse con la hidrodinámica del / uido viscoso. Este problema es muy complicado, tanto que hasta hoy los resultados exactos completos son poco numerosos. Ellos, sin embargo son muy valiosos, ya que una vez veri+ cados experimentalmente, resolvían el misterio planteado por la paradoja de D’Alembert.

1.8. Advenimiento de la mecánica de & uidos moderna

En Agosto 1904, se realizó en Heidelberg, el Tercer Congreso Internacional de Matemáticas. Un ingenie-ro mecánico joven, Ludwig Prandtl, a la sazón ense-ñaba en la Technische Hochschule de Hannover y ha-bía apreciado la diferencia entre teoría y experiencia, mientras trabajaba en una empresa de maquinarias. Realizó algunas investigaciones originales y se decidió a presentarlas en dicho Congreso. Se expusieron más de ochenta trabajos y el de Prandtl pasó casi inadverti-do (la presentación duró 10 minutos (Anderson, 2005).

Pero Félix Klein, el prestigiado matemático y profe-sor de Gottingen, apreció el trabajo, tanto que llamó a Prandtl para que fuera profesor y director de un peque-ño laboratorio de ingeniería mecánica (Rouse e Ince, 1963).

En breve, el trabajo de Prandtl contenía las bases de la Teoría de la Capa Límite (Grenzschicht- _ eorie, _ éorie de la couche limite, Boundary layer theory), pilar fundamental de la mecánica de / uidos moderna y cuya importancia ha crecido incesantemente hasta hoy.

1.7 Nacimiento de la hidrodinámica ideal y de la hidráulica

experimentalLas herramientas entregadas por Galileo y Newton

fueron desarrolladas y empleadas grandemente en el siglo XVIII. En la mecánica de / uidos basta mencio-nar a Bernoulli, Euler, Clairaut, D’Alembert, Lagrange y Laplace.

Nuevamente como juicio personal, se considera aquí que el mayor aporte es el entregado por Euler, quién abarcó en forma profundizada la hidrostática, la diná-mica del / uido invíscido, las turbomáquinas, etc.

Una disquisición necesaria:

La herramienta más básica que se asocia a la hi-dráulica clásica es el teorema de Bernoulli. Una de

varias formas de enunciarlo es

Rouse e Ince (1963) examinaron el texto de Bernou-lli (1738). De su análisis se deduce que Bernoulli jamás llegó a nada parecido a la fórmula escrita

arriba. Solamente se obtiene una relación bastante obscura entre la velocidad y la presión.

El año 1755 Euler presentó tres memorias sobre mecánica de / uidos a la Academia de Ciencias de Berlín. La tercera (Euler, 1755), en la página 354, muestra la fórmula siguiente:

V corresponde al potencial de las fuerzas exter-nas. En el caso particular del potencial gravitatorio V = - g Z. Introduciendo esta expresión en la fór-mula de Euler, colectando las variables en el primer miembro y dividiendo por 2 g se encuentra exac-tamente el enunciado, erróneamente atribuido a Bernoulli.

Resulta entonces claro que el teorema de Bernoulli

debiera llevar el nombre de Euler. Estos comentarios ya fueron indicados parcialmente por Rouse e Ince, 1963.

En lo que se re+ ere a la / uidodinámica, la mayor par-te de los aportes se realizaron para un / uido invíscido, esto es, de viscosidad estrictamente nula. Esta hidrodi-námica invíscida o ideal entregaba resultados notables, pero que se alejaban fuertemente de los valores reales, si la resistencia del / uido era importante.

.2

2

Cteg

VPZ =++

19

Cap


1.9 ReferenciasAnderson, J.D. (2005). Ludwig Prandtl’s Boundary La-

yer. Physics Today, 42-48.Bernoulli, D. (1738). Hydrodynamica, Sive de Viribus et

Motibus Fluidorum Comentarii. Estrasburgo.Euler, L. (1757). Continuation des Recherches Sur la

% eorie du Mouvement des Fluides. Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin, 11, 1757, 316-361.

Galilei, Galileo (1638). Discorsi e Dimostrazioni Mate-

matiche, Intorno à due Nuove Scienze. Editorial Elsevier, Leyden, Holanda.

Nanía, L.S. y Gomez Valentin, Manuel (2004). Ingenie-

ría Hidrológica. Grupo Editorial Universitario, España.

Newton, Isaac (1686). Philosophiae Naturalis Principia

Matematica. Imprimatur S. Pepys, Royal Society Praeses, London, UK.

Rouse, H. e Ince, S. (1963). History of Hydraulics. Do-ver, New York, USA.

Viollet, P.L. (2004). L’Hydraulique dans les Civilisations

Anciennes. 2ª edición, Pressea de l’Ecole Naciona-les des Ponts et Chaussées, Paris.

.

Propiedades de algunos fluidosAutor: Ramón Fuentes

Capítulo 2


CONTENIDO

2. PROPIEDADES DE ALGUNOS FLUIDOS .......................................................................................... 23

2.1. Introducción .............................................................................................................................................................23

2.2. Densidad ....................................................................................................................................................................23

2.3. Peso especí& co ........................................................................................................................................................23

2.4. Ecuación de estado ................................................................................................................................................23

2.4.1. Unidades ......................................................................................................................................................24

2.5. Ecuación de estado de los gases perfectos ...................................................................................................24

2.6. Procesos Politrópicos .............................................................................................................................................24

2.7. Densidad de los líquidos ......................................................................................................................................25

2.8. Densidad de los gases ...........................................................................................................................................26

2.9. Módulo de compresibilidad del agua .............................................................................................................26

2.10. Dilatabilidad térmica isobárica del agua ........................................................................................................27

2.11. Presión de vapor del agua ...................................................................................................................................27

2.12. Viscosidad ..................................................................................................................................................................27

2.13. Viscosidad de metales líquidos ..........................................................................................................................29

2.14. Viscosidad de escorias...........................................................................................................................................29

2.15. Viscosidad de los gases .........................................................................................................................................29

2.16. Modelos para la viscosidad de los gases ........................................................................................................30

2.17. Tensión super& cial ..................................................................................................................................................30

2.18. Fórmula de Laplace ................................................................................................................................................31

2.19. Ángulo de contacto ...............................................................................................................................................32

2.20. Referencias ................................................................................................................................................................33

23

Cap

ítulo 2: Propiedades de algunos fluidos

2. PROPIEDADES DE ALGUNOS FLUIDOS

2.1. IntroducciónLos dos / uidos más conocidos son, por razones ob-

vias, el agua y el aire. Más aún, en algunas especialida-des de ingeniería son casi los únicos que interesan. En otras áreas aparecen los aceites, el petróleo, los gases industriales, los magmas y más...

En minería y metalurgia la lista de / uidos que inter-vienen es grande y las propiedades que interesan son numerosas.

Antes de empezar, se señala que en minería y meta-lúrgica son primordiales las propiedades de transporte, asociadas a cantidad de movimiento (Newton), energía (Fourier) y masa (Fick): viscosidad dinámica, conduc-tividad térmica y difusión, respectivamente.

Aquí se omitirá la información sobre conductividad térmica y difusión.

Asimismo, la caracterización de las suspensiones y las propiedades asociadas a la reología se tratarán apar-te y más adelante.

2.2 DensidadLa noción corresponde a la masa por unidad de vo-

lumen. En forma algo más precisa (Figura 2.1), en un dominio pleno de un medio continuo se aísla un volu-men dV. Allí existe una masa dM. Se de+ ne entonces la densidad:

(2.1)

En sistema SI (Sistema Internacional de unidades) las unidades son [Kg/m3].

2.3. Peso especí) coCorresponde al peso por unidad de volumen y se re-

laciona con la densidad:

(2.2)

En sistema SI las unidades son [N/m3].Se requiere entonces el valor de la aceleración de gra-

vedad “g” para su determinación.La determinación precisa de “g” es un problema

complejo, ya que depende de numerosas variables, en-tre ellas la distancia al centro de la tierra y la latitud.

Un valor estándar que se acepta normalmente es (BIPM, 1901):

g0 = 9,80665 [m/s2]

El valor de “g” puede estudiarse hoy e investigarse fácilmente. Se concluye que para los cálculos referentes a las minas chilenas puede emplearse un valor grueso:

g = 9,8 [m/s2]Si se desea emplear tres cifras signi+ cativas, un valor

mejor es:g = 9,78 [m/s2]Entonces, aproximadamente, para el agua: γ 1000 x 9,80 = 9800 [N/m3]O bien: γ 1000 [Kgf/m3]

2.4. Ecuación de estadoEn un medio continuo y deformable, la ecuación de

estado es una relación local o global que liga la presión P, la temperatura T y la densidad ρ:

(2.3)

Si bien se sabe que ella existe, en la mayoría de los casos de interés la forma especí+ ca de la ecuación de estado es desconocida.

Se procede entonces a escribirla cerca de un punto e introducir coe+ cientes medibles (Craya, 1960):

(2.4)

Coe+ ciente isobárico de expansión térmica (β):

(2.5)

Coe+ ciente de compresibilidad isotermo (K): (2.6)

Finalmente, la ecuación 2.4 puede escribirse como:

(2.7)

Figura 2.1 De+ nición de la densidad

dV

dM

0),T,P(F =

TPP

PT += )T

()(

PT

1-

TPK=

1 1

TP

= -K

g= ρ

24

MÓDULO


2.4.1. Unidades

En el sistema SI la presión se mide en pascales:1 [Pa] = 1[N/m2]Esta unidad es relativamente pequeña: la presión at-

mosférica estándar vale 101.325 [Pa]. Se emplea enton-ces el [bar]:

1 [bar] = 100.000 [Pa]Si se emplea el sistema MKS o sistema técnico, la uni-

dad es el [Kgf/m2].[Kgf/m2] = g [N/m2] = g [Pa]g corresponde a la aceleración de gravedad g.Cuando se trata de presiones pequeñas puede ser útil

emplear el sistema CGS. La presión se expresa entonces en [dina/cm2]. Entonces:

[dina/cm2] = (1/10) [Pa]En el sistema USA, la unidad de presión más usada es

[libra (fuerza)/pulgada2] o:1 [lb/sq in] = 1 [psi] ≈ 6894,8 [Pa]Por último, también se emplea la atmósfera, esto es la

presión ambiente. Como esta es variable, se de+ ne un valor estándar.

La temperatura que interviene en la ecuación de es-tado es la absoluta T y se expresa en grados Kelvin [°K]. La relación con la temperatura θ en grados centígrados [°C] es:

T [°K] = θ [°C] + 273,15

2.5. Ecuación de estado de los gases perfectos

Es uno de los ejemplos más simples y útiles. Consti-tuye una aproximación valedera para presiones y tem-peraturas moderadas. En la mayor parte de los, casos las temperaturas y presiones que se manejan en mine-ría y metalurgia, incluso en pirometalurgia, permiten su uso.

Para el empleo en / uidodinámica se escribe:

(2.8)

Ro = 8314,3 [Kg.(m/s)2/(Kg-mol.°K)] (constante univer-

sal de los gases ideales).M: Masa molecular del gas.

Introduciendo la constante de un gas en particular R = Ro/M:

(2.9)

T=M

RoP

T= RP

En la Tabla 2.1 (BORSIG, c.1990) se da M para algunos gases; también se muestra el calor especí+ co isobárico Cp y el isocórico C

v, en condiciones estándar, de+ nidas

por:P=101325 [Pa]; θ = 0 [oC]

Tabla 2.1 Propiedades de algunos gases

Gas M Cp CV [Kg/Kg-mol] [J/(Kg.°K] [J/(Kg.°K]

Aire 28,964 1005 716

Oxígeno 32,00 914 654

Hidrógeno 2,016 14248 10120

Nitrógeno 28,016 1039 743

Anhídrido carbónico 44,011 819 630

Anhídrido sulfuroso 64,066 608 479

Vapor de agua 18,016 1855 1390

El caso más frecuente es el del aire, para el cual:R = 8314,3/28,964 = 287,06 ≈ 287 [J/Kg-mol]Es interesante recordar que R

o admite como expre-

sión:

(2.10)

NA = 6,023 x 1023 [molécula/Kg-mol] (Número de

Avogadro)K

B = 1,3805 x 10-23 [J/(molécula °K] (Constante de

Boltzmann)

2.6. Procesos PolitrópicosPor de+ nición, son aquellos en que la presión es fun-

ción solamente de la densidad. Los más frecuentes obe-decen a la ley:

(2.11)

Donde k es el exponente politrópico.Un caso particular importante es la compresión

adiabática de un gas ideal:

(2.12)

Cp

: Calor especí+ co isobáricoC

v : Calor especí+ co isocórico

El valor del exponente adiabático γ depende del gas. Para el aire, el hidrógeno, el oxígeno y el nitrógeno, a

BAo KNR =

kCteP =

v

p

C

Ck ==

25

Cap


temperaturas entre 0 y 200 [oC] corresponde al presen-tado a continuación.

γ = 1,40 (Daily y Harleman, 1966)Entonces:

(2.13)

2.7. Densidad de los líquidosEn la Tabla 2.2 se muestra la densidad de algunos lí-

quidos importantes en la minería.

Tabla 2.2 Densidad de algunos líquidos

Líquido Temperatura Densidad [oC] [Kg/m3]

Agua 20 1000

Aceites D&H (1966)

Petróleo 20 850 928 “

Combus ble 20 928 979 “

Lubricante 20 850 876 “

Mercurio 20 13546 ICT (1926)

Acido Sulfúrico 20 1834 ICT(1928)

En la Tabla 2.3, se indican las densidades de algunos líquidos asociados a la pirometalurgia del cobre.

Los líquidos son poco compresibles, es decir, su den-sidad aumenta muy suave y monotónicamente con la presión.

La densidad de los líquidos disminuye monotóni-camente con la temperatura (el agua es una excepción parcial notable).

En la Tabla 2.4 se dan los valores de ρ para el agua en el intervalo de temperaturas [°C] (0,100) para una presión cercana a una atmósfera: 101,325 [KPa].

=CteP

Tabla 2.4 Densidad del agua en función de la temperatura

ρ [ºC] [Kg/m3]

0 999,9

10 999,7

20 998,2

30 995,7

40 992,2

50 988,1

60 983,1

70 977,8

80 971,8

90 965,3

100 958,4

Conviene recordar que ρ no varía monotónicamente con la temperatura θ: la densidad alcanza un máximo (1000,0 [Kg/m3]) para θ cercana a 4 [°C] (Figura 2.2).

Figura 2.2 Variación de la densidad del agua dulce con la temperatura

Este comportamiento no tiene importancia en los cálculos de la hidráulica clásica, pero es de gran interés

Tabla 2.3 Densidades de algunos líquidos en la pirometalurgia del cobre

Temperatura Densidad [oC] [Kg/m3]

Cobre (*) 1200 7808-8328 ICT(1926)

Cobre blister 1080 7800 Biswas y Davenport (1994]

Calcocina (Cu2S) 1130 5900 “

Sulfuro ferroso (FeS) 1190 1130 “

Metal blanco (**) 1130 5900 “

Sílice (SiO2) (***) ¿? 2100 “

Escoria de fundición 1150 3500 “

Escoria de conver dor 1150 3800 “

(*) 8940 [Kg/m3] a 20 [°C] (ICT, 1926)

(**) 80 % Cu + Cu2S + FeS

(***): Líquida

Líquido Referencia

26

MÓDULO


en estudios ambientales (convección natural, / otabili-dad, etc.).

En la práctica minera, el rango de temperaturas para manejar agua como líquido es normalmente (0 → 40) [°C]. En ese intervalo ρ no se aleja más allá de 0,8% de 1000 [Kg/m3]. Es, entonces, frecuente adoptar este valor:

ρ = 1000 [Kg/m3]

Por otra parte se dispone para ρ( )de la fórmula de Kell (García Flores y Maza Alvarez, 1998):

(2.14)

= 999,83952

= 1694,5176

= 79,870401

= 46,170461

= 10,556302

= 2,8054253

= 1,687985

La presión ambiente es una atmósfera. La fórmula de Kell, en el intervalo θ[°C] (0 → 100) da resultados que no di+ eren en más de 0,1 [Kg/m3] respecto a los de la Tabla 2.4.

2.8. Densidad de los gasesEn el caso más general, hay que recurrir a tablas

especiales. Pero en la práctica minera es casi siempre aplicable la Ec. 2.8 para los gases perfectos.

Tomando como condiciones estándar:P = 101325 [Pa];θ = 0 [oC] → T = 273,15 [°K]Se encuentran los valores estándar de la densidad del

gas.Como ejemplo, la Tabla 2.5 muestra cifras aproxima-

das obtenidas de la Ec. 2.8 y la Tabla 2.1.

Tabla 2.5 Densidad estándar aproximada de algunos gases

Gas Densidad estándar [Kg/m3]

Hidrógeno 0,0899

Oxígeno 1,428

Nitrógeno 1,250

Aire 1,293

2.9. Módulo de compresibilidad del aguaDe acuerdo a Batchelor (1967), K se de+ ne en general

como:

(2.15)

K es una función de estado:

(2.16)

Asimismo, depende del proceso termodinámico que sufre el / uido.

En el caso del agua, K varía muy suavemente con la temperatura y la presión (Perry, 1985). Para temperatu-ras θ (20 → 40) [oC] y P = 50 [GPa], K crece en 2,6 [%]. Para presiones P (1,3 → 20) [GPa] y θ = 20 [oC], K crece en 4,9 [%].

Entonces, para las temperaturas y presiones norma-les en estudios de conducciones [θ (10 → 40) y (1 → 10) [GPa]], K puede considerarse una constante. Como es de esperar, el valor de K es diferente según el autor que se consulte. Esto puede constatarse observando la Ta-bla 2.6.

Tabla 2.6 Valor de la constante K según diferentes autores

Autor (ES) K [GPa]

Batchelor 2,04

Streeter (1978) 2,20

Streeter (1993) 2,24

Chaudry 2,19

Thorley 2,19

Jaeger 2,03

Mancebo 2,20

Díaz y Sosa 2,19

Se recomienda adoptar el valor dado por Streeter en 1993, ya que el método de obtención es convincente y es conservativo para el cálculo de presiones:

(2.17)

Para los gases, K es variable y depende del proceso. Generalizando la Ec. 2.6:

Para un proceso isotermo vale la Ec. 2.8; entonces:

K = PPara un proceso adiabático, empleando la Ec. 2.12:

K = γ ·P

5

01

1) i

iab+

=3(kg/m

100

)(ºC=

0a

1a

2a

3a

4a

5a

b

=

( )=

[ ]=

=

27

Cap


dos en la Tabla 2.8. En el intervalo θ(10→100)[°C], esta discrepancia máxima baja a 2 [%].

Tabla 2.8 Presión de vapor del agua en función de la temperatura

Temperatura Presión de vapor Presión de vapor [°C] [KPa] [mmHg]

0 0,6 4,5

3 0,8 6,0

5 0,9 6,8

8 1,1 8,3

10 1,2 9,0

12 1,4 10,5

14 1,6 12,0

16 1,8 13,5

18 2,1 15,8

19 2,2 16,5

20 2,3 17,3

21 2,5 18,8

22 2,6 19,5

23 2,8 21,0

24 3,0 22,5

25 3,2 24,0

26 3,4 25,5

27 3,6 27,0

28 3,8 28,5

29 4,0 30,0

30 4,2 31,5

32 4,8 36,0

35 5,6 42,0

40 7,4 55,5

50 12,3 92,3

60 19,9 149,3

70 31,2 234,1

80 47,3 354,9

90 70,1 525,9

100 101,3 760,0

2.12. ViscosidadSu de+ nición puede asociarse al resultado del si-

guiente ensayo imaginario (Figura 2.3):

Figura 2.3 Esquema del escurrimiento de un / uido

Sea un escurrimiento en una dirección invariable. Más especí+ camente, se considera la capa de / uido comprendida entre dos planos paralelos separados a

2.10. Dilatabilidad térmica isobárica del agua

La dilatabilidad térmica isobárica del agua (β) se muestra en la Tabla 2.7 como función de la tempe-ratura, para una presión cercana a una atmósfera (Isachenko et al., 1977).

Ya que la densidad del agua tiene un valor máximo para una temperatura cercana a 4 [°C], la dilatabilidad es nula allí y pasa de valores negativos a positivos. En todo caso, ella es relativamente pequeña, pero su efec-to es considerable en muchos fenómenos ambientales e industriales (convección natural: circulación en calde-ras y chimeneas, por ejemplo).

Tabla 2.7 Dilatabilidad térmica isobárica

del agua (P 1 [atm])

q x 104

[°C] [1/°K]

0 -0,63

10 +0,70

20 1,82

30 3,21

40 3,87

50 4,49

60 5,11

70 5,70

80 6,32

90 6,95

100 7,52

La dilatabilidad térmica de los gases ideales se obtiene de las Ecs. 2.5 y 2.7:

β = 1/T

2.11. Presión de vapor del aguaLa presión de vapor del agua (Pv) es la presión para

la cual el vapor está saturado. Su valor depende de la temperatura.

Esto es equivalente a decir que, para una temperatu-ra del aire dada, existe un máximo contenido de hume-dad que el aire puede tener.

En la Tabla 2.8, se muestra la presión de vapor del agua como función de la temperatura (WEB, 2012).

Existen varias curvas interpolantes para calcular Pv. Aquí se da la de Raudkivi (Chow et al., 1994):

(2.18)

Esta fórmula, en el intervalo θ(0→10) [°C] muestra una discrepancia máxima de 5 [%] respecto a los valores da-

+=

]

][27,17exp611][

C

CPaPv

o

o[237,3

28

MÓDULO


una distancia dy. Estos planos están orientados en la dirección del movimiento. En el plano superior, el / ui-do tiene una velocidad superior en du a la del plano in-ferior. Aparece una tensión tangencial τ. Asimismo, se produce una deformación angular dγ. Es fácil ver que:

(2.19)

γ: Velocidad de deformación angularSe de+ ne entonces como viscosidad dinámica μ o

simplemente viscosidad:

(2.20)

Ella es una variable de estado y como tal depende de la presión y la temperatura. En muchas aplicaciones la viscosidad se introduce como difusividad de momen-tum o viscosidad cinemática ν:

(2.21)

La fórmula dimensional de la viscosidad cinemática es [L2T-1] y entonces, en el sistema métrico se expresa en [m2/s].

Como un valor de uso frecuente:ν = 10-6 [m2/s] (agua – θ ≈ 20 [°C])La viscosidad de los líquidos varía moderadamente

con la presión. Cuando P cambia de 1 a 100 [bar] y la temperatura lo hace entre 0 y 100 [°C], la viscosidad del agua muestra un comportamiento complejo, pero la diferencia máxima, en valor absoluto, es ∆μ = 2,2 x 10-5 [Pa.s]. Esto representa 2,2 x 10-7 [Pa.s/bar]. Se deduce que para presiones moderadas la variación de μ con P es prácticamente despreciable para el agua.

Como ejemplo de lubricantes, el M100 experimenta un crecimiento máximo de la viscosidad con la pre-sión para una temperatura cercana a 20 [°C] y es de (240→450) [mPa.s] para P (0→200) [bar]. Este aumento es 1 [mPa.s/bar] y es prácticamente despreciable para presiones que se alejan poco de la ambiente. En cam-bio, la variación con la temperatura es signi+ cativa.

La Tabla 2.9 entrega la viscosidad dinámica μ del agua en el intervalo θ[°C] (0→100) (presión ambiente cercana a una atmósfera).

==

1 [mPa.s] = 1 [cPoise]

Como puede verse, μ disminuye signi+ cativamente con la temperatura: ella decrece a la mitad, aproxima-damente, cuando la temperatura pasa de 10 [°C] a 40 [°C].

A continuación se da la relación desarrollada por Bingham y Jackson, ecuación 2.22, que da buenos re-sultados entre 0 y 100 °C:

(2.22)

μ : Viscosidad dinámica en [Pa.s]θ : Temperatura [°C]θ

0 = 8,435 [°C]

La viscosidad cinemática puede calcularse de su de-+ nición o buscarse en tablas y grá+ cos, pero si se em-plea en computadora es más conveniente emplear una fórmula. A continuación se muestra una correlación desarrollada en base a la ecuación de Williams, Landel y Ferry (Paz Castillo y Fuentes, 1983):

(2.23)

v : Viscosidad cinemática [m2/s]θ : Temperatura [°C]θ

0 = 394,8 [°C]

θ1 = 107,6 [°C]Esta fórmula no produce un error mayor que 0,4 %

en el intervalo θ [°C] (0→ 40).

Tabla 2.9 Viscosidad dinámica del agua en función de la temperatura

θ μ [ºC] [mPa s]

0 1,792

10 1,308

20 1,005

30 0,801

40 0,656

50 0,549

60 0,469

70 0,406

80 0,356

90 0,317

100 0,284

( ) 1208078,42,1482 -+-+-

=2

00

1

10

1

+=

1

0exp8-104,56 θθ θ

29

Cap


2.13. Viscosidad de metales líquidosSe muestra en la Figura 2.4, expresada en [cP] (o

[mPa.s]) como función de mil veces el valor recíproco de la temperatura Kelvin (adaptado de Szekely y _ e-melis, 1971).

Si se recuerda que el agua para θ cercana a 20 [°C] tiene viscosidad de 1 [cP], se concluye que las viscosi-dades de los metales líquidos son moderadas.

Figura 2.4 Viscosidad de metales líquidos en función de 1/T

En la Figura 2.5 se muestra ampliada una parte del diagrama anterior.

La viscosidad del cobre puede calcularse empleando una curva interpolante:

La temperatura del cobre en un convertidor Peirce-Smith está razonablemente en el intervalo (1250→1300) [°C] (Carrillo et al., 2004).

Si T = 1600 [°K] (≈1327 [°C]):

Figura 2.5 Ampliación de una parte del diagrama de la Figura 2.4

=K][T

3300exp

2700

1o

sec].[Pa

3[mPa.s][Pa.s]0,00292700

600)exp(3300/1==].[ sPa

Es interesante observar que a esa temperatura: ¡El cobre es solamente 3 veces más viscoso que el agua a 20 [°C]!

2.14. Viscosidad de escoriasLas escorias de cobre tienen viscosidades altas: pue-

den alcanzar 0,1 y 1 [Pa.s] (Szekely y _ emelis, 1971). Estos valores dependen fuertemente de la composición, y entonces, no es fácil dar valores, salvo en algunos ca-sos ya estudiados.

Existen métodos de cálculo semiempíricos (“mode-los”). Como ilustración, puede consultarse Szekely y _ emelis (1971) y Kondratiev et al. (2006).

2.15. Viscosidad de los gasesPara una temperatura dada, la viscosidad aumenta

con la presión, pero levemente para presiones mode-radas. En la Figura 2.6, se muestra un grá+ co en coor-denadas adimensionales para la viscosidad de un gas. (Adaptado de Bird et al., 1960).

30

MÓDULO


pc : Presión crítica absolutaTc : Temperatura crítica absolutaμo : Viscosidad dinámica del gas a presión ambiente

Para + jar ideas, se puede examinar el caso del aire. De las tablas de Bird et al. (1960):pc = 36,4 [atm]Tc = 132 [°K]

La curva T/Tc = 2 corresponde aproximadamente a θ = 0 [°C]. Entonces, para que la viscosidad a presión forzada exceda a la de presión ambiente en 1 [%], en-tonces p/pc = 0,36 (punto negro en la Figura 2.6). Esto signi+ ca = 0,36 x 36,4 ≈ 13 [atm] !!

Se entiende que la viscosidad no dependa de la pre-sión para presiones incluso un orden de magnitud ma-yor que la atmosférica.

La viscosidad de los gases, a presiones cercanas a la atmosférica, aumenta signi+ cativamente con la tem-peratura. En la Tabla 2.10 se muestra la viscosidad di-námica como función de la temperatura absoluta para el aire, el oxígeno y el nitrógeno, respectivamente. La razón de escoger estos gases y el rango de temperaturas es para abarcar las aplicaciones pirometalúrgicas.

2 .16. Modelos para la viscosidad de los gases

Este es un tema extenso y aquí se mencionarán dos resultados clásicos.

La teoría cinética de los gases predice que, en pri-mera aproximación, la viscosidad de un gas crece con la raíz de la temperatura absoluta independientemente de la presión.

En numerosos estudios se emplea la fórmula de Sutherland, basada en la teoría cinética de los gases (Comolet, 1963):

(2.24)

T en grados Kelvin

Figura 2.6 Representación adimensional de la viscosidad de un gas. (Adaptado de Bird et al., 1960)

2.17. Tensión super) cialLa tensión super+ cial se asocia a las fuerzas que na-

cen en las interfaces entre líquidos, sólidos y gases. El caso más importante en minería es el de una doble in-terfaz líquido gas (burbujas) y su presencia en las celdas de / otación, pero existen otros ejemplos de interés.

La acción capilar puede explicarse como una energía por unidad de super+ cie E. La Figura 2.7, muestra una interfase que abarca un área A de forma cualquiera.

Tabla 2.10 Viscosidad dinámica en función de la temperatura absoluta

(aire, oxígeno y nitrógeno, para P=1 atm)

aire = f(T) O2 = f(T) N2 = f(T) [°K] x 10-6 [Pa.s] T [°K] x 10-6 [Pa.s] T [°K] x 10-6 [Pa.s]

150 10,64 150 11,4 150 10,3

200 13,59 200 14,7 200 13,1

250 16,14 250 17,8 250 15,5

260 16,63

270 17,12

280 17,6

290 18,02

300 18,43 300 20,6 300 17,7

310 18,87

320 19,29

330 19,71

340 20,13

350 20,54

360 20,94

370 21,34

380 21,75

390 22,12

400 22,52 400 25,4 400 21,5

500 26,33 500 29,9 500 25,1

600 29,74 600 33,9 600 28,3

700 33,03

800 35,89 800 41,1 800 34,2

900 38,65

1000 41,52 1000 47,6 1000 39,4

1500 53,82 1500 62,1 1500 51,5

2000 64,77 2000 74,9 2000 61,9

T

C1

T

C1

0

+

+

=

00 T

T

Tabla 2.11 Valores de C para diferentes gases

Gas C [0K]

Hidrógeno 79

Amoníaco 352

Metano 144144

Anhídrido carbónico 277

Nitrógeno 109

Oxígeno 138

Aire 113

C, no es estrictamente una constante. Si se toma T0 =

273 [0K] y μ0 = μ a 20[°C], los valores de C son los de la

Tabla 2.11, que se muestra a continuación.

31

Cap


Figura 2.7 Área interfasial de una forma geométrica arbitraria

Entonces, si la tensión super+ cial o capilaridad se designa por σ:

(2.25)

Si una fuerza dF, distribuida uniformemente a lo lar-go del perímetro “s” logra aumentar el área en dA, se tiene que: dE = σ ·dA.

Considerando ahora el trabajo equivalente a dE: dF ·dn = σ ·dA = σ ·dn ds

Entonces:

(2.26)

Se deduce que la tensión super+ cial puede interpre-tarse como un fuerza por unidad de perímetro y nor-mal a este en cada punto.

2.18. Fórmula de LaplaceLa tensión super+ cial induce una discontinuidad de

presión al actuar sobre una super+ cie curva. La rela-ción cuantitativa que describe este fenómeno fue dedu-cida por Laplace (1795-1825).

Se considera una super+ cie in+ nitesimal (Figura 2.8). En un punto dado se traza la normal a ella, direc-ción en la que actúan las presiones P

1 y P

2. Se trazan dos

radios de curvatura en planos ortogonales. Las fuerzas de tensión super+ cial en uno de esos planos se mues-tran en la Figura 2.9.

Se observa que la presión debe ser mayor en la zona cóncava de la super+ cie elemental. El equilibrio de fuerzas indica:

De donde se obtiene:

A=E

=

Figura 2.8 Super+ cie in+ nitesimal

Figura 2.9 Fuerzas de tensión super+ cial sobre un plano

++==

+=

32

MÓDULO


Los cocientes diferenciales dθ1/ds y dθ

2/dn, son por

de+ nición los recíprocos de los radios de curvatura R1

y R2. Así queda la fórmula de Laplace:

(2.27)

En algunos textos, se indica que los radios R1 y R

2,

son los radios de curvatura principales (máximo y mí-nimo). Esto no es así: existe un teorema de la geometría diferencial (Teorema de Meusnier, Voigt, 1925), desde el cual se puede demostrar que la suma (1/R

1 + 1/R

2)

es un invariante que solamente depende del punto de la super+ cie en que se mide. Dicho de otra manera, R

1

y R2 pueden ser cualquier par de radios de curvatura

ortogonales en un punto de la super+ cie.

2.19. Ángulo de contactoPara + jar ideas, se examina el equilibro de tres fa-

ses (gas, líquido y sólido) que se muestran en la Figura 2.10.

Figura 2.10 Sistema trifásico en equilibrio

Realizando el balance de fuerzas se encuentra:

Esta relación indica que ya que los tres valores de la tensión interfasial pueden ser diferentes, el ángulo α variará igualmente.

Se dice que un líquido moja la pared si α = 0 [°]. Es el caso clásico del sistema agua-aire-vidrio. El líquido no moja la pared si α = 180 [°]. La moja en forma im-perfecta si el ángulo está comprendido entre 0 y 180 [°]. Por ejemplo, para el sistema aire-vidrio-mercurio α≈ 40 [°].

+=

=

Como ilustración, se muestran en la Figura 2.11 los ángulos de contacto de una gota de solución ácida so-bre dos láminas de minerales diferentes (azufre (S) y calcopirita (CuFeS

2)).

Figura 2.11 Esquema de ángulos de contacto de una gota de solución ácida con dos láminas de minerales

La tensión super+ cial disminuye con la temperatura. La Tabla 2.12 muestra valores de σ para diferentes lí-quidos (se supone que el sistema es aire-vidrio-líquido) (Adaptada de Daily & Harleman, 1966).

Tabla 2.12 Tensión superÞ cial para diferentes líquidos

Líquido (*) [mN/m]

Agua 73

Petróleo crudo 23-38

Kerosén 23-32

Mercurio (**) 514-486

Alcohol e lico 22

P= 101325 [Pa]θ = 20 [0C](*) En contacto con el aire(**) En contacto con su propio vapor

33

Cap


2.20. ReferenciasBatchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Me-

chanics. Cambridge University Press.Bird, R.B., Stewart, W.E. & Lightfoot, E.N. (1960)

Transport Phenomena, Ed. John Wiley & Sons, USA.

Biswas, A. K. & Davenport, W.G. (1994). Extractive

Metallurgy of Copper. Tercera edición. Perga-mom, Great Britain, UK.

Borsig (c.1990). Borsig Pocket Book, Borsig GmbH, 1 Berlin 27, Alemania.

Bureau Internationale Des Poids Et Mesures (1901) 3er. Congres Générale des Poids et Mesures, Comptes Rendues 70.

Carrillo, F., Hernández, R., Martínez, J & Roselló, A. (2004) Cinética del Soplado a Cobre en un Conver-

tidor Peirce-Smith. Kinetics of the Copper Blow in

the Peirce-Smith Converter, Información Tecno-lógica-Vol. 15 N°5-2004, págs.: 33-36.

Chow, V.T., Maidment, D.R., Mays, L.W. (1994). Hidro-

logía Aplicada. Traducción de J. G. Saldarriaga. E. McGraw-Hill

Comolet , R. (1963) Mécanique expérimentale des " ui-

des Vol. 2, Editorial Masson, Paris.Craya, A. (1960) Mécanique des transferts dans les

" uids. ENSIH, Grenoble.Daily, J.W.& Harleman D.R.F. (1966) Fluids Dynamics,

Addison-Wesley.

Garcia Flores, M. Maza Alvarez J.A. (1998) Manual de

Ingeniería de Ríos, Instituto de Ingeniería, Uni-versidad Nacional Autónoma de México, México D.F, México.

(ICT) International Critical Tables (1926) McGraw-Hill.

Isachenko, V.P., Osipova, V.A.& Sukomel, A.S. (1977) Heat Transfer (traducción del ruso), editorial MIR, Moscú.

Kondratiev, A., Jak, E. & Hayes, P.C. (2006) Slag Visco-

sity Prediction and Characteristics, Research Re-port 58, _ e University of Queensland, Australia.

Laplace, P.-S. (1799-1825) Mécanique Céleste.

Paz Castillo, F. Fuentes, R. (1983) Fórmulas de interpo-

lación para algunas propiedades físicas del agua,

aire y del mercurio, Informe N° 83-09, Laborato-rio Nacional de Hidráulica de Venezuela, Cara-cas, Venezuela.

Perry, N. M. (C 1985) Chemical Engineer’s Handbook,

6a. Edición, Ed. McGraw-Hill.Szekely, J. Y _ emelis, N.J. (1971) Rate Phenomena in

Process Metallurgy, E. John Wiley & Sons, USA.Voigt, H. (1925). Elements de Mathématiques Supe-

rieures. Décimonovena edición, Librairie Vui-bert, Paris

Web (2012). Vapor pressure of water.

.

HidrostáticaAutor: Ramón Fuentes

Capítulo 3


CONTENIDO

3. HIDROSTÁTICA .................................................................................................................................. 37

3.1. Introducción .............................................................................................................................................................37

3.2. Tensiones - conjetura de Euler ...........................................................................................................................37

3.3. Isotropía de las presiones - principio de Pascal ...........................................................................................37

3.4. Ecuación de equilibrio ..........................................................................................................................................38

3.5. Campo gravitatorio ................................................................................................................................................38

3.6. Fuerzas hidrostáticas sobre super& cies ..........................................................................................................39

3.7. Caso particular de las super& cies planas inclinadas ..................................................................................40

3.8. Esfuerzos sobre una pared vertical de forma rectangular .......................................................................40

3.9. Empuje de Arquímedes ........................................................................................................................................40

3.10. Tiraje de una chimenea ........................................................................................................................................41

3.11. Relaciones barométricas ......................................................................................................................................41

3.12. Distribución de presiones en silos y tolvas ....................................................................................................41

3.13. Presión capilar ..........................................................................................................................................................42

3.14. Ley de Jurin ...............................................................................................................................................................43

3.15. Discontinuidad de presión en una burbuja ..................................................................................................44

3.16. Referencias ................................................................................................................................................................44

37

Cap

ítulo 3: Hidrostática

3. HIDROSTÁTICA

3.1. IntroducciónUna denominación más adecuada es / uidoestática,

ya que trata de los / uidos en reposo, sean líquidos o gases. Pero históricamente se ha guardado la denomi-nación referida al agua.

Por de+ nición no existe movimiento, y solamente se requiere expresar la igualdad de fuerzas opuestas en el interior del / uido, considerado un medio continuo.

3.2. Tensiones - conjetura de EulerSe considera un glóbulo muy pequeño en el seno del

/ uido en equilibrio (Figura 3.1). Si este glóbulo se sepa-ra en dos partes mediante un corte plano de área dA, en ambos trozos deben actuar fuerzas de contacto iguales y opuestas. Estas fuerzas, tomadas separadamente, to-talizan dF. En general, dF puede considerarse la suma de una componente normal dFn y otra tangencial dFt.

Figura 3.1 Esquema de un glóbulo pequeño en equilibrio en el seno del / uido

Se de+ nen naturalmente las tensiones τ como fuer-zas por unidad de super+ cie. Aparece entonces la ten-sión normal

(3.1)

y la tangencial

(3.2)

Ahora debe introducirse la conjetura de Euler (1755):

Para que el $ uido esté en equilibrio, las tensiones

deben ser normales a las super& cies en que se aplican;

las tensiones tangenciales son entonces rigurosamen-

te nulas.

dA

nn

dF=

dA

tt

dF=

Esta es una interpretación libre: el texto original pue-de examinarse en el recuadro de la Figura 3.2. Cuando Euler la enunció era simplemente una conjetura. A lo largo del tiempo su certeza ha recibido abrumadora evidencia teórica y experimental.

Figura 3.2 Texto original de la obra Euler (1755)

3.3. Isotropía de las presiones - principio de Pascal

Se analiza un prisma elemental en el seno del / uido (Figura 3.3).

Figura 3.3 Esquema de un prisma en el seno del / uido

Tomando como eje de proyección OY:

Pero, examinando el ángulo diedro θ entre dA y dAY:

YY dAPPdA =cos

=

38

MÓDULO


Entonces:

Generalizando para los otros ejes:

(3.3)

Esto es, en todo punto de un uido en reposo la presión es la misma en todas direcciones.

I.e., la distribución local de presiones es isotrópica.Esta aseveración se ha demostrado y entonces es un

teorema, pero dada su enorme importancia y su origen histórico, se le designa como Principio de Pascal.

Presión relativa y presión absoluta

La presión relativa se cuenta desde presión ambiente y la absoluta desde cero. Entonces

Presión absoluta = Presión relativa

+ Presión ambiente ((3.4)

3.4. Ecuación de equilibrio

Figura 3.4 Diagrama de fuerzas externas másicas

Se consideran fuerzas externas másicas, esto es, pro-porcionales a la masa (ver Figura 3.4). La intensidad, es decir, el valor por unidad de masa de estas fuerzas es . Si la densidad es ρ, la resultante de las fuerzas externas es:

La resultante de las presiones es:

Ambas resultantes deben sumar cero:

=

PPPP ZYX ===

dfV

AdAP

f V

d AdAP- = 0

El teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogadsky (Weatherburn, 1966), escrito para un escalar genérico λ se lee:

Haciendo λ = P y reemplazando en la suma:

= 0

Esta nulidad debe mantenerse para una elección ar-bitraria del volumen e incluso si este es in+ nitesimal; entonces necesariamente:

(3.5)

Esta es la condición general de equilibrio buscada. En forma desplegada:

(3.6X)

(3.6Y)

(3.6Z)

3.5. Campo gravitatorioSe considera OXY como plano horizontal y OZ

orientado según la vertical ascendente; el peso por uni-dad de masa es g:

Las ecs. 3.6 devienen:

(3.7X)

(3.7Y)

(3.7Z)

Aplicando las dos primeras a la tercera:

(3.8)

f-P( d)V

fP1

=

XfX

P=

1

Yf1

=Y

P

ZfZ

P=

1

kg-ji ˆˆ0ˆ0 +=g

0X

P1=

0Y

P1=

g=Z

P1

AdA

dV

=

g=dZ

dP

f

A

A

39

Cap


Esta es la ecuación básica para estudiar el equilibrio de los / uidos pesados (¡en una tierra plana!).

Se deduce:Para todos los $ uidos pesados en equilibrio la pre-

sión disminuye localmente con la cota.

Si se considera un / uido incompresible, entonces la densidad es invariable (líquidos). Integrando la Ec. 3.8:

(3.9)

Algunas consecuencias:• En un plano horizontal la presión es constante.• Una super+ cie libre es tal que toda ella se mantiene a

presión constante. Entonces dicha super+ cie es nece-sariamente un plano horizontal.

• La presión disminuye cuando la cota Z aumenta, siempre que ésta se mida en la dirección de la vertical ascendente.

• La distribución de presiones en un líquido pesado en reposo es lineal.

Las super+ cies libres más frecuentes son las que se encuentran a la atmósfera y entonces la presión allí es denominada atmosférica o ambiente.

Interesa la expresión de la presión según la profundi-dad h, que se mide desde la super+ cie libre (Figura 3.5).

Se tendrá Z+h = Cte. y entonces la ecuación se es-cribe:

(3.10)

Pa: Presión ambiente

Figura 3.5 La presión en función de la profundidad

3.6. Fuerzas hidrostáticas sobre super) cies

Analicemos la Figura 3.6.

Figura 3.6 Elemento de super+ cie

La fuerza total es:

La presión se obtiene de la Ec. 3.10 y, descontando la presión atmosférica

La componente vertical se obtiene proyectando en esa dirección:

esto es:

Entonces:

(3.11)

Esto es, la componente vertical es exactamente el peso de la columna líquida que gravita sobre la super+ cie A.

Para obtener la componente horizontal hay que es-coger una dirección hacia la cual proyectar. Ella queda de+ nida por un vector unitario . Entonces:

Cte.Zg =+P

aPhgP +=

=AAAPdF

AAAhdgF =

kAdhgkFAA

ˆ =

AAhV gdAhgF ==

== gFV

hAdhghFAA

ˆˆ =

h

40

MÓDULO


De donde:

(3.12)

El empuje horizontal en una dirección dada iguala al peso especí+ co del / uido multiplicado por el momento estático de la proyección vertical de la super+ cie en esa dirección. Ahora:

hcg

: Profundidad del centro de gravedad del área A proyectada sobre la vertical (A

v).

Entonces:

(3.13)

3.7. Caso particular de las super) cies planas inclinadas

Figura 3.7 Fuerzas sobre un plano inclinado

El ángulo θ es constante y es cómodo considerar la super+ cie en su plano XY (Figura 3.7). Se tiene:

(3.14)

La fuerza total F es perpendicular a la super+ cie pla-na y vale:

(3.15)

Introduciendo el centro de gravedad Ycg del área A calculado en su plano XY:

(3.16)

AAVh dAhgF =

vA=cg

v hdAh

vcgh AhF =

hsinY =

=== dAYsindAhdAPF

A= cgYsinF

3.8. Esfuerzos sobre una pared vertical de forma rectangular

Figura 3.8 Pared vertical de sección rectangular

Este ejemplo es muy simple, pero su importancia práctica aconseja que se exponga en detalle (Figura 3.8). La pared tiene un ancho B. Empleando la Ec. 3.16 y recordando que el centro de gravedad de un área rec-tangular se encuentra a media altura:

Ahora bien el punto de aplicación de F no se encuen-tra a H/2 de la super+ cie, sino más abajo. Para calcular esta distancia Y

FA se toman momentos alrededor de un

eje horizontal colocado en la intersección de la pared y la super+ cie libre:

Entonces YFA

= 2/3· H, como se indica en la Figura 3.8.

3.9. Empuje de ArquímedesSi se sumerge un cuerpo en un / uido, éste ejerce una

fuerza sobre el cuerpo (ver Figura 3.9). Esta fuerza vale la resultante de las presiones sobre toda el área:

El teorema de la divergencia entrega para el escalar h:

2

2

1HBF =

=== 32 HBdYYBPFYFA3

1dAY

.. AAAAhdgAPdF ==

=VAAhdAhd

41

Cap


Ahora:

De donde:

(3.17)

es el volumen del cuerpo sumergido.

Figura 3.9 Diagrama de cuerpo sumergido

La Ec. 3.17 dice que:Un cuerpo sumergido experimenta un empuje ver-

tical ascendente igual al peso del $ uido desplazado.

Este enunciado expresa el principio de Arquímedes. Este enunciado es un teorema perfectamente demos-trable, como se ha visto. Más aún, Arquímedes mismo lo hizo, pero, análogamente al principio de Pascal, su importancia ha hecho que se siga llamando “Principio

de Arquímedes”.

Si el cuerpo está parcialmente inmerso, el principio se aplica a la parte sumergida.

Si el cuerpo sumergido tiene una densidad homogé-nea ρ , la fuerza neta en dirección vertical ascendente vale lo obtenido según la ecuación (3.18).

(3.18)

Esta fuerza se denomina boyancia o / otabilidad (hay otras denominaciones).

k- ˆˆˆˆ =++= kZ

hj

Y

hi

X

hh

k)'(= gF

3.10. Tiraje de una chimenea

Figura 3.10 Esquema de una chimenea de altura H y área transversal A

Dentro de una chimenea de área A y altura H circula un gas caliente y fuera de ella existe aire a la temperatu-ra ambiente (Figura 3.10). Debido a la dilución, puede suponerse en primera aproximación que el gas calien-te es aire. Entonces, este aire será menos denso que el ambiente y el principio de Arquímedes, indica que se producirá un empuje vertical ascendente:

(3.19)

Este empuje se suele llamar tiraje de la chimenea y es la fuerza motriz que hace circular el gas caliente desde la base hasta la salida superior. Es asimismo, la fuerza motriz que mueve el aire en túneles en que existen di-ferentes temperaturas en los extremos.

3.11. Relaciones barométricasSe trata de relacionar las presiones con las cotas en el

caso del aire ambiente. De la Ec.3.8:

Si se supone válida la aproximación del gas ideal:

Combinando ambas ecuaciones e integrando:

(3.20)

HAg= )-(E a

gTP= ),(dZ

dP

TR

P=

=

k- ˆ=VAAdAhd

=F

k- ˆ=

k

42

MÓDULO


Aún en atmósfera calma la relación entre Z y T es complicada. Con el + n de comparar situaciones en diferentes sitios y también para obtener una relación sencilla entre la presión y la cota, se emplea la llamada Atmósfera Estándar (AS). Esta atmósfera idealizada cumple (por de+ nición) con los siguientes requisitos:

• El aire atmosférico se asimila a un gas ideal seco;• La temperatura para Z = 0 es θo = 15 [oC];• La presión para Z = 0 vale P

o = 101 325 [Pa];

• El gradiente térmico en el intervalo Z(0→10000) [m] es constante:

dT/dZ = - λ = - 6.5 [oC/km]

Para valores mayores de Z existen otras formulacio-nes para la temperatura de la AS, pero para los + nes mineros basta con la cifra indicada. Entonces:

La relación explícita entre la cota y la presión se ob-tiene introduciendo esta expresión en la ec. 3.20 e in-tegrando:

(3.21)

Esta relación se conoce como ecuación barométrica o altimétrica; en efecto, ella permite estimar grosera-mente la presión ambiente conociendo la cota Z.

Constante universal de los gases R = 8314,3 [J/(Kg-Mol.0K)]

Masa molecular del aire MM = 28,964 [Kg/Kg-mol] Tomando g = 9,8 [m/s2], la fórmula 3.21 no di+ ere en

más de 1/1000 de la US Standard Atmosphere – 1976 (Perry, 1984).

Es de interés conocer la presión que la Atmósfera Es-tándar indica en casos concretos. Aquí se ha realizado el cálculo para algunas minas chilenas. Los resultados se muestran en la Tabla 3.1.

El examen de la tabla indica que en Chile existen fae-nas en que la presión estándar local puede disminuir muy signi+ cativamente respecto a la estándar a nivel del mar. Este aspecto se debe tener en consideración para varias operaciones. Como un solo ejemplo, estos valores de+ nen la “performance” de los ventiladores.

Z-0TT =

)/(

0

1=

Rg

ZT

0PP

3.12. Distribución de presiones en silos y tolvas

Figura 3.11 Esquema de silo para almacenamiento de sólidos

Figura 3.12 Elemento diferencial

En las faenas mineras se emplean silos para contener material granular (chancado, concentrado, por ejem-plo). Estos silos presentan frecuentes problemas opera-cionales como el atasco de las tolvas. Pese a que se trata de un tema que se re+ ere a un sistema de partículas, se puede considerar aquí si se limita el análisis al equili-brio del material contenido en el silo (Figura 3.11).

Tabla 3.1 Presión estándar de algunas operaciones mineras

MINA COTA PRESIÓN SEGÚN [msnm] ATMÓSFERA ESTÁNDAR [KPA]

Isla Riesco 800 (max.) 92,1

El Teniente 2000 79,5

Salvador 2600 73,8

Chuquicamata 2850 71,5

Andina 3800 63,3

Collahuasi 4400 58,5

Pascua lama 5200 52,5

43

Cap


Considerando el equilibrio de un cilindro de sección transversal A, perímetro χ y altura dZ (Figura 3.12), se tiene:

De donde:

RH = A/χ (radio hidráulico)

Resulta entonces la siguiente ecuación diferencial:

(3.22)

Si la tensión normal en la pared es σw el esfuerzo de fricción se puede expresar en función del ángulo de fricción parietal φw:

Janssen en 1895 (Molerus, 1985) introdujo la razón, supuesta constante para una instalación:

Introduciendo estas dos últimas relaciones en la Ec.3.22, se tiene:

Después de integrar e imponiendo presión nula para Z = 0:

(3.23)

Si la altura del silo crece inde+ nidamente, la presión alcanza un valor límite:

(3.24)

Entonces:

(3.25)

Esta última es conocida como la fórmula de Janssen.

0=++ dZdZAg-AdP)(P-AP w

0/ =+ hRdZwdZg-dP-

gRh

w=dZ

dP

ww tan=w

= w

P

gR

P

h

w=tan

dZ

dP

= ZRh

wtanexp1

w

h

tan

RgP

w

hRg

tan=maxP

= ZRh

wtanexp1

maxP

P

Si el depósito es un cilindro circular, entonces Rh = D/4 y las Ecs. 3.24 y 3.25 devienen, respectivamente:

(3.26)

(3.27)

El empleo e+ caz de la fórmula de Janssen requiere los valores del ángulo de fricción parietal φ

w y del coe+ -

ciente λ. Gallego (2006), ha publicado un estudio sobre este tema. Molerus (1985), considera como valores rea-listas λ = 0,22 y φw =330. Empleando estas cifras y la Ec.3.27, se alcanza la mitad de la presión máxima para Z/D ≈ 1,2.

Si D = 1 [m] y el material particulado tiene una den-sidad aparente ρ = 2000 [Kg/m3] entonces, de la Ec. 3.26, se tiene:

Entonces, la presión para Z/D = 1,2 será 34,3/2 = 17,15 [KPa].

Si se tratase de un líquido de la misma densidad, a la profundidad de Z =1,2 [m] la presión hidrostática sería:

PH = ρ g Z = 2000 x 9,8 +1,2 = 23520 [Pa] = 23,52 [KPa]

Este ejemplo da una idea sobre la reducción en la pre-sión producida al considerar material granular.

3.13. Presión capilarEsta presión o diferencia de presión se produce en

toda interfaz curva entre dos / uidos y obedece a la ley de Laplace:

(3.28)

R1, R2 son dos radios de curvatura en un punto de la super+ cie ortogonales entre sí (no necesariamente los radios principales).

Si se supone que la interfase es una super+ cie sin es-pesor, entonces ΔP debe interpretarse como una dis-continuidad en la presión.

w

Dg

tan4=maxP

= ZD

wtan4exp1

maxP

P

( )][30,34][34300

33tan4

18,92000KPaPa

0,22Pmax ===

+=

44

MÓDULO


La curvatura se de+ ne como κ = 1/R. La expresión κ1+ κ

2= 1/R1+ 1/R

2 se denomina curvatura media C

(Voigt, 1925). Se menciona que existen autores que de-+ nen como curvatura media la mitad de C.

3.14. Ley de JurinSe trata del ascenso de un líquido, que la tensión

super+ cial interfacial ( ) produce en un tubo circular (Figura 3.13).

Como la super+ cie del menisco es de revolución, R1

= R2 = R. La presión en el líquido de la interfase es ne-

gativa respecto a la presión ambiente y varía con la cota Z. La Ec. 3.28 se escribe entonces:

Se + ja el origen de las cotas en la super+ cie libre lejos del tubo; como ella es plana allí, la curvatura en ese punto es nula y también lo es ΔP. Entonces, Cte. = 0 y:

Se aplica esta ecuación al punto en que el menisco toca la pared. Allí R cosα = D/2. La cota de ese punto es h y entonces:

(3.29)

Este es el enunciado de la ley de Jurin. Si la mojabilidad es perfecta, α = 0. Si α >π/2, entonces h< 0 (mercurio-vidrio-agua).

La escala lineal de los fenómenos en que intervienen simultáneamente la capilaridad y la gravedad es una longitud llamada de Laplace:

(3.30)

Figura 3.13 Ascenso de un líquido en un tubo capilar

=+=R

2-Zg-P .Cte

=R

2Zg

Dgh =

cos4

Para el agua a 20 [OC], σ= 0,073 [N/m]. Entonces:

l = ≈ 0,00273 [m] = 2,73 [mm]

Para + jar ideas se puede calcular el ascenso capilar para agua a 20 [0 C] y ángulo de contacto nulo, en un tubo de un milímetro de diámetro. De la ley de Jurin (Ec. 3.29):

h = 4x0,073/(1000x9,8x0,001) ≈ 0,030 [m] = 30 [mm]

Como se dijo previamente, el ascenso capilar h se mide en el punto superior de la interfase; pero si se midiese en el fondo de la interfase, la diferencia no es grande si el diámetro del capilar es pequeño. En el ejemplo actual, la diferencia es cercana al radio del tubo, esto es, 1/2 [mm]. Respecto al ascenso capilar, esto representa 1/60 o 2[%] de discrepancia.

3.15. Discontinuidad de presión en una burbuja

En este caso, hay que tomar en cuenta la existencia de dos interfaces de radios R’ y R’’. Si se puede considerar esférica entonces:

R’ y R’’ son muy cercanos y entonces designando un valor común medio por R:

(3.31)

Si la burbuja es muy pequeña, la discontinuidad de presión puede ser muy grande.

3.16. ReferenciasEuler, L. (1755) Principes généraux de l’état d’equilibre

des " uides, Memoria presentada a la Academia de Ciencias de Berlín, V. XI, pp 218-273.

Gallego, E. (2006). Numerical simulation of loads exer-ted by stored materials in silos with non-elastic material models. Phd _ esis, Polytechnic Univer-sity of Madrid, Madrid, España..

Molerus, O. (1985). Schuttgut Mechanik. Springer Ver-lag, Alemania.

Perry, N. M. (1984) Chemical Engineer’s Handbook, 6a. Edición, Ed. McGraw-Hill.

Voigt, H. (1925). Elements de mathématiques supérieu-res. Edición No.19. Vol. 1. Librairie Vuibert, Paris.

Weatherburn (1966). Advanced Vector Analysis. Ed. G. Bell & Sons, London, UK.

gl

( )8,91000/073,0

''

2

R+=

R'

2P

R

4P =

Documents

Fluidodinámica-Aplicada-a-la-Minería-Capítulos-1-2-y-3