Flujo de un campo. Aplicaciones. · ﬂujo de un campo ejemplos una aplicación Flujo de un campo. Aplicaciones. Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL 28 de marzo de 2011

flujo de un campo ejemplos una aplicación

Flujo de un campo. Aplicaciones.

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

28 de marzo de 2011


flujo de un campo

flujo de un campo

flujo de un campoS superficie con orientación n

X campo vectorialflujo de X a través de S:∫∫

SXdS =

∫∫S

X .ndS


flujo de un campo

flujo de un campo

flujo de un campoS superficie con orientación nX campo vectorial

flujo de X a través de S:∫∫S

XdS =

∫∫S

X .ndS


flujo de un campo

flujo de un campo

flujo de un campoS superficie con orientación nX campo vectorialflujo de X a través de S:

∫∫S

XdS =

∫∫S

X .ndS


flujo de un campo

flujo de un campo

flujo de un campoS superficie con orientación nX campo vectorialflujo de X a través de S:∫∫

SXdS =

∫∫S

X .ndS


interpretación física






interpretación físicaΦ parametrización de S que preserva orientación

descomponenmos D en rectangulitos Dij

área(Dij) = ∆u.∆vΦ(Dij) paralelogramo(Φu∆u, Φv ∆v ) en TS




interpretación físicaΦ parametrización de S que preserva orientacióndescomponenmos D en rectangulitos Dij






área(Dij) = ∆u.∆v

Φ(Dij) paralelogramo(Φu∆u, Φv ∆v ) en TS









interpretación físicavolumen del paralelepípedo (X ,Φu∆u,Φv ∆v)

|X (Φu∆u ∧ Φv ∆v)|

= |X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v





|X (Φu∆u ∧ Φv ∆v)|

= |X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v





|X (Φu∆u ∧ Φv ∆v)| = |X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v








interpretación físicaX campo de velocidades de un fluido (m/seg)

|X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v cant fluido por u. de t (m3/seg)

X (Φu ∧ Φv ) > 0 líquido fluye hacia afueraX (Φu ∧ Φv ) < 0 líquido fluye hacia adentro




interpretación físicaX campo de velocidades de un fluido (m/seg)|X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v cant fluido por u. de t (m3/seg)






X (Φu ∧ Φv ) > 0 líquido fluye hacia afuera

X (Φu ∧ Φv ) < 0 líquido fluye hacia adentro














∫∫S

XdS

cantidad neta de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo





∫∫S

XdS

cantidad neta de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo


flujo eléctrico, magnético y de calor

flujo eléctrico

flujo eléctricoE campo eléctrico

∫∫S

EdS

flujo eléctrico



flujo eléctrico

flujo eléctricoE campo eléctrico∫∫

SEdS

flujo eléctrico



flujo eléctrico

flujo eléctricoE campo eléctrico∫∫

SEdS

flujo eléctrico



flujo magnético

flujo magnéticoE campo magnético

∫∫S

EdS

flujo magnético

campo magnético



flujo magnético

flujo magnéticoE campo magnético∫∫

SEdS

flujo magnético

flujo magnético



flujo de calor

flujo de calor

W región de R3

T (x , y , z) temperatura en(x , y , z) ∈Wel calor fluye con:

−k∇T = X

∫∫S

XdS

flujo del calor a través de S

asteroide



flujo de calor

flujo de calor

W región de R3

T (x , y , z) temperatura en(x , y , z) ∈W

el calor fluye con:

−k∇T = X

∫∫S

XdS


asteroide



flujo de calor

flujo de calor

W región de R3


−k∇T = X

∫∫S

XdS


asteroide



flujo de calor

flujo de calor

W región de R3


−k∇T = X

∫∫S

XdS


asteroide



flujo de calor

flujo de calor

W región de R3


−k∇T = X

∫∫S

XdS


asteroide



flujo del calor - justificación

flujo del calor - justificaciónT temperatura

∇T campo que apunta en la dirección T crecienteel calor fluye de las zonas + calientes a las + fríaspor eso el campo que indica el cambio de temperatura

X = −k∇T k > 0




flujo del calor - justificaciónT temperatura∇T campo que apunta en la dirección T creciente

el calor fluye de las zonas + calientes a las + fríaspor eso el campo que indica el cambio de temperatura

X = −k∇T k > 0




flujo del calor - justificaciónT temperatura∇T campo que apunta en la dirección T crecienteel calor fluye de las zonas + calientes a las + frías

por eso el campo que indica el cambio de temperatura

X = −k∇T k > 0




flujo del calor - justificaciónT temperatura∇T campo que apunta en la dirección T crecienteel calor fluye de las zonas + calientes a las + fríaspor eso el campo que indica el cambio de temperatura

X = −k∇T k > 0


flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

T (x , y , z) = x2 + y2 + z2

S esfera unidad con normal exteriorcalcular el flujo de calor a través de S si k = 1

X = −∇T (x , y , z)

= −(2x ,2y ,2z)

n = (x , y , z) normal exterior∫∫S

XdS

=

∫∫S

X .ndS = −2área(S) = −8π


flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

T (x , y , z) = x2 + y2 + z2

S esfera unidad con normal exterior

calcular el flujo de calor a través de S si k = 1

X = −∇T (x , y , z)

= −(2x ,2y ,2z)


XdS

=

∫∫S



flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

T (x , y , z) = x2 + y2 + z2


X = −∇T (x , y , z)

= −(2x ,2y ,2z)


XdS

=

∫∫S



flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

T (x , y , z) = x2 + y2 + z2


X = −∇T (x , y , z)

= −(2x ,2y ,2z)


XdS

=

∫∫S



flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

T (x , y , z) = x2 + y2 + z2


X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)


XdS

=

∫∫S



flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

T (x , y , z) = x2 + y2 + z2


X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)

n = (x , y , z) normal exterior

∫∫S

XdS

=

∫∫S



flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

T (x , y , z) = x2 + y2 + z2


X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)


XdS

=

∫∫S



flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

T (x , y , z) = x2 + y2 + z2


X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)


XdS =

∫∫S

X .ndS

= −2área(S) = −8π


flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

T (x , y , z) = x2 + y2 + z2


X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)


XdS =

∫∫S

X .ndS = −2área(S)

= −8π


flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

T (x , y , z) = x2 + y2 + z2


X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)


XdS =

∫∫S



flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1el flujo de calor es negativo

⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal n⇒ X apunta en promedio hacia adentro⇒ el centro se calientaganancia de temperatura


flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1el flujo de calor es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal n

⇒ X apunta en promedio hacia adentro⇒ el centro se calientaganancia de temperatura


flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1el flujo de calor es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal n⇒ X apunta en promedio hacia adentro

⇒ el centro se calientaganancia de temperatura


flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1el flujo de calor es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal n⇒ X apunta en promedio hacia adentro⇒ el centro se calienta

ganancia de temperatura


flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1el flujo de calor es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal n⇒ X apunta en promedio hacia adentro⇒ el centro se calientaganancia de temperatura


flujo de calor

ejemplo 1

ejemplo 1

es lo opuesto a lo que ocurre en la Tierra


flujo eléctrico

Ley de gauss

ejemplo 2E campo eléctrico

S superficie cerrada, n normal salienteQ carga encerrada por Sley de Gauss ∫∫

SEdS = Q


flujo eléctrico

Ley de gauss

ejemplo 2E campo eléctricoS superficie cerrada, n normal saliente

Q carga encerrada por Sley de Gauss ∫∫

SEdS = Q


flujo eléctrico

Ley de gauss

ejemplo 2E campo eléctricoS superficie cerrada, n normal salienteQ carga encerrada por S

ley de Gauss ∫∫S

EdS = Q


flujo eléctrico

Ley de gauss

ejemplo 2E campo eléctricoS superficie cerrada, n normal salienteQ carga encerrada por Sley de Gauss ∫∫

SEdS = Q


flujo eléctrico

ley de gauss

ejemplo 2

∫S

EdS = Q


flujo eléctrico

flujo eléctrico

ejemplo 2supongamos que E = |E |n, con |E | constante

⇒∫∫

S E .N dS = |E |∫∫

S n.n dS = |E |.área(S) = Qsi S es una esfera de radio r

|E | =Q

4πr2

es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales


flujo eléctrico

flujo eléctrico

ejemplo 2supongamos que E = |E |n, con |E | constante⇒∫∫

S E .N dS = |E |∫∫

S n.n dS = |E |.área(S) = Q

si S es una esfera de radio r

|E | =Q

4πr2



flujo eléctrico

flujo eléctrico


S E .N dS = |E |∫∫


|E | =Q

4πr2



flujo eléctrico

flujo eléctrico


S E .N dS = |E |∫∫


|E | =Q

4πr2



flujo eléctrico

flujo eléctrico


S E .N dS = |E |∫∫


|E | =Q

4πr2



flujo eléctrico

cargas puntuales

ejemplo 2supongamos que E surge de una carga puntual Q0

⇒E =

Q0n4πr2


flujo eléctrico

cargas puntuales

ejemplo 2supongamos que E surge de una carga puntual Q0

⇒E =

Q0n4πr2


flujo eléctrico

cargas puntuales

ejemplo 2

E =Qn

4πr2


flujo eléctrico

cargas puntuales

ejemplo 2si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es

X = E .Q =Q.Q0.N

4πr2

la magnitud de esta fuerza es:

|X | =Q.Q0

4πr2

ley de Coulomb


flujo eléctrico

cargas puntuales


X = E .Q =Q.Q0.N

4πr2


|X | =Q.Q0

4πr2

ley de Coulomb


flujo eléctrico

cargas puntuales


X = E .Q =Q.Q0.N

4πr2


|X | =Q.Q0

4πr2

ley de Coulomb


flujo eléctrico

cargas puntuales


X = E .Q =Q.Q0.N

4πr2


|X | =Q.Q0

4πr2 ley de Coulomb


parte 1

construcción de un restaurante - parte 1


restaurante en la ladera deuna montaña

vista de plantala pared curvada se haráde cristal¿Cuál es el área de lapared?


parte 1



restaurante en la ladera deuna montañavista de planta

la pared curvada se haráde cristal¿Cuál es el área de lapared?


parte 1



restaurante en la ladera deuna montañavista de plantala pared curvada se haráde cristal

¿Cuál es el área de lapared?


parte 1



restaurante en la ladera deuna montañavista de plantala pared curvada se haráde cristal¿Cuál es el área de lapared?


parte 1


área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferior

área cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2,

α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)

área(cerca) =


parte 1



área cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplanta

f (x , y) = 4R2 − x2 − y2,


área(cerca) =


parte 1


área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferiorárea cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2,


área(cerca) =


parte 1


área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferiorárea cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2, α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)

área(cerca) =


parte 1



área(cerca) =

∫α

fdα


parte 1



área(cerca) =

∫α

fdα =

∫ 2π

0f (α(t))‖α′(t)‖dt


parte 1



área(cerca) =

∫ 2π

0(2R2 − 2R2 sin t)Rdt


parte 1



área(cerca) = 2R3∫ 2π

0(1− sin t)dt


parte 1



área(cerca) = 2R3∫ 2π

0(1− sin t)dt = 4πR3


parte 1



área(pared) = 8πR3 − 4πR3

= 4πR3


parte 1



área(pared) = 8πR3 − 4πR3

= 4πR3


parte 1



área(pared) = 8πR3 − 4πR3 = 4πR3


parte 2



para que el restaurant searentable

vol(restaurant) ≥ πR4

2

¿ cuáles R cumplen esterequisito?


parte 2





2



parte 2





2



parte 2


búsqueda de volumen rentablevol(restaurant)=vol(cilindro) - vol(debajo de la montaña)

vol(< mont) =

∫∫D

4R2 − x2 − y2dxdy

donde D círculo centrado en (0,R,0) de radio R


parte 2



vol(< mont) =

∫∫D




parte 2



vol(< mont) =

∫∫D




parte 2


búsqueda de volumen rentableusamos coordenadas polares{

x = r cos θy = R + r sin θ

∂(x , y)

∂(r , θ)= r


parte 2


búsqueda de volumen rentableusamos coordenadas polares{

x = r cos θy = R + r sin θ

∂(x , y)

∂(r , θ)= r


parte 2


búsqueda de volumen rentable

vol(< mont) =

∫ 2π

0

∫ R

0(3R2 − 2Rr sin θ − r2)rdrdθ

=

∫ 2π

0

[32

R2r2 − 23

Rr3 sin θ − r4

4

]R

0dθ

=52πR4


parte 2



vol(< mont) =

∫ 2π

0

∫ R


=

∫ 2π

0

[32

R2r2 − 23

Rr3 sin θ − r4

4

]R

0dθ

=52πR4


parte 2



vol(< mont) =

∫ 2π

0

∫ R


=

∫ 2π

0

[32

R2r2 − 23

Rr3 sin θ − r4

4

]R

0dθ

=52πR4


parte 2


búsqueda de volumen rentablevol(restaurant)=vol(cilindro) - vol(< mont)

vol(restaurant) = 4πR4 − 52πR4

=3πR4

2≥ πR4

2

⇒ es rentable para todos los R


parte 2



vol(restaurant) = 4πR4 − 52πR4

=3πR4

2≥ πR4

2



parte 2



vol(restaurant) = 4πR4 − 52πR4 =

3πR4

2

≥ πR4

2



parte 2




3πR4

2≥ πR4

2



parte 2




3πR4

2≥ πR4

2



parte 2


refrigeracióntemperatura alrededor del restaurante

T (x , y , z) = 3x2 + (y − R)2 + 16z2

campo de temperaturas:

X = −k∇T

donde k > 0 depende del grado de aislamiento que se vaa utilizar¿ cuál es el flujo de calor a través de toda la superficie delrestaurant?


parte 2



T (x , y , z) = 3x2 + (y − R)2 + 16z2


X = −k∇T

donde k > 0 depende del grado de aislamiento que se vaa utilizar

¿ cuál es el flujo de calor a través de toda la superficie delrestaurant?


parte 2



T (x , y , z) = 3x2 + (y − R)2 + 16z2


X = −k∇T

donde k > 0 depende del grado de aislamiento que se vaa utilizar¿ cuál es el flujo de calor a través de toda la superficie delrestaurant?


parte 2


refrigeracióncampo de temperaturas:

X = −k(6x ,2(y − R),32z)

flujo de calor:∫∫S

XdS =

∫∫S1

XdS +

∫∫S2

XdS +

∫∫S3

XdS

con normal exterior


parte 2


refrigeracióncampo de temperaturas:

X = −k(6x ,2(y − R),32z)

flujo de calor:∫∫S

XdS =

∫∫S1

XdS +

∫∫S2

XdS +

∫∫S3

XdS

con normal exterior


parte 2


refrigeración - techoS1 techo

Φ(r , θ) = (r cos θ,R + r sin θ,4Rr ) con r ∈ [0,4R2],θ ∈ [0,2π]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k

cos θ sin θ 0−r sin θ r cos θ 0

∣∣∣∣∣∣

= (0,0, r)


parte 2


refrigeración - techoS1 techoΦ(r , θ) = (r cos θ,R + r sin θ,4Rr ) con r ∈ [0,4R2],θ ∈ [0,2π]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k


∣∣∣∣∣∣

= (0,0, r)


parte 2



Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k


∣∣∣∣∣∣

= (0,0, r)


parte 2



Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k


∣∣∣∣∣∣ = (0,0, r)


parte 2


refrigeración -techo

∫∫S1

XdS =

∫∫S1

X .ndS

=

∫∫D

X (Φr ∧ Φθ)drdθ

=

∫∫D

X (r cos θ,R + r sin θ,4R2)(0,0, r)drdθ

= −k8πR2π

∫ 4R2

0rdr = −64kπR4

⇒ entra calor por el techo


parte 2



∫∫S1

XdS =

∫∫S1

X .ndS =

∫∫D


=

∫∫D


= −k8πR2π

∫ 4R2

0rdr = −64kπR4



parte 2



∫∫S1

XdS =

∫∫S1

X .ndS =

∫∫D


=

∫∫D


= −k8πR2π

∫ 4R2

0rdr = −64kπR4



parte 2



∫∫S1

XdS =

∫∫S1

X .ndS =

∫∫D


=

∫∫D


= −k8πR2π

∫ 4R2

0rdr

= −64kπR4



parte 2



∫∫S1

XdS =

∫∫S1

X .ndS =

∫∫D


=

∫∫D


= −k8πR2π

∫ 4R2

0rdr = −64kπR4



parte 2

construccción de un restaurante - parte 3

refrigeración - pared curvaS2 pared: Φ(r , θ) = (R sin θ,R − R cos θ, r)

con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1

R cos θ R sin θ 0

∣∣∣∣∣∣

= R(− sin θ, cos θ,0)

apunta hacia adentro

Φ revierte orientación

tomamos Φ(θ, r)→ Φθ ∧ Φr = R(sin θ,− cos θ,0)


parte 2



con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1

R cos θ R sin θ 0

∣∣∣∣∣∣






parte 2



con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1

R cos θ R sin θ 0

∣∣∣∣∣∣






parte 2



con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1

R cos θ R sin θ 0

∣∣∣∣∣∣ = R(− sin θ, cos θ,0)





parte 2



con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1

R cos θ R sin θ 0

∣∣∣∣∣∣ = R(− sin θ, cos θ,0)


Φ revierte orientacióntomamos Φ(θ, r)→ Φθ ∧ Φr = R(sin θ,− cos θ,0)


parte 2



con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1

R cos θ R sin θ 0

∣∣∣∣∣∣ = R(− sin θ, cos θ,0)

apunta hacia adentro Φ revierte orientación



parte 2



con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1

R cos θ R sin θ 0

∣∣∣∣∣∣ = R(− sin θ, cos θ,0)

apunta hacia adentro Φ revierte orientacióntomamos Φ(θ, r)→ Φθ ∧ Φr = R(sin θ,− cos θ,0)


parte 2


refrigeración - pared

∫∫S2

XdS = 2∫∫

DX (Φθ ∧ Φr )drdθ

= −2kR∫∫

D(6R sin θ,−2R cos θ,32r)(sin θ,− cos θ,0)drdθ

= −4kR2∫ π

0

∫ 4R2

2R2(1+cos θ)(3 sin2 θ + cos2 θ)drdθ

= −8kR4∫ π

0(2 sin2 θ + 1)(1− cos θ)dθ


parte 2



∫∫S2

XdS = 2∫∫


= −2kR∫∫


= −4kR2∫ π

0

∫ 4R2


= −8kR4∫ π

0(2 sin2 θ + 1)(1− cos θ)dθ


parte 2



∫∫S2

XdS = 2∫∫


= −2kR∫∫


= −4kR2∫ π

0

∫ 4R2


= −8kR4∫ π

0(2 sin2 θ + 1)(1− cos θ)dθ


parte 2



∫∫S2

XdS = 2∫∫


= −2kR∫∫


= −4kR2∫ π

0

∫ 4R2


= −8kR4∫ π

0(2 sin2 θ + 1)(1− cos θ)dθ


parte 2




parte 2


refrigeración - pared ∫∫S2

XdS = −16kR4π

entra calor a través de la pared


parte 2


refrigeración - pared ∫∫S2

XdS = −16kR4π

entra calor a través de la pared


parte 2


refrigeración - pisoS3 piso

Φ(r , theta) = (r cos θ,R + r sin θ,3R2 − r2 − 2Rr sin θ) conr ∈ [0,4R2], θ ∈ [0,2π]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k

cos θ sin θ −2(r + R sin θ)−r sin θ r cos θ −2rR cos θ

∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)

apunta hacia arriba⇒ revierte orientacióntomamos Φθ ∧ Φr = −(2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)


parte 2


refrigeración - pisoS3 pisoΦ(r , theta) = (r cos θ,R + r sin θ,3R2 − r2 − 2Rr sin θ) conr ∈ [0,4R2], θ ∈ [0,2π]

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k





parte 2



Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k


∣∣∣∣∣∣

Φr ∧ Φθ = (2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)



parte 2



Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k





parte 2



Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k



apunta hacia arriba⇒ revierte orientación

tomamos Φθ ∧ Φr = −(2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)


parte 2



Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣i j k





parte 2


refrigeración - piso

∫∫S3

XdS = k∫∫

D (6r cos θ,2r sin θ,96R2−32r2−64Rr sin θ)(2r2 cos θ,2r2 sin θ+2Rr,r)drdθ

= 4k∫ 2π

0

∫ R0 (4r3 cos2 θ−7r3−15r2R sin θ+24R2r)drdθ

= 4kR4∫ 2π

0(cos2 θ − 5 sin θ − 41

4)dθ

= −80kR4π

⇒ entra calor por el piso


parte 2



∫∫S3

XdS = k∫∫


= 4k∫ 2π

0


= 4kR4∫ 2π

0(cos2 θ − 5 sin θ − 41

4)dθ

= −80kR4π



parte 2



∫∫S3

XdS = k∫∫


= 4k∫ 2π

0


= 4kR4∫ 2π

0(cos2 θ − 5 sin θ − 41

4)dθ

= −80kR4π



parte 2



∫∫S3

XdS = k∫∫


= 4k∫ 2π

0


= 4kR4∫ 2π

0(cos2 θ − 5 sin θ − 41

4)dθ

= −80kR4π



parte 2



∫∫S3

XdS = k∫∫


= 4k∫ 2π

0


= 4kR4∫ 2π

0(cos2 θ − 5 sin θ − 41

4)dθ

= −80kR4π



parte 2


refrigeraciónflujo del calor:∫∫

SXdS =

∫∫S1

XdS +

∫∫S2

XdS +

∫∫S3

XdS

= −80kπR4 − 16kπR4 − 64kπR4

= −160kπR4


parte 2



SXdS =

∫∫S1

XdS +

∫∫S2

XdS +

∫∫S3

XdS

= −80kπR4 − 16kπR4 − 64kπR4

= −160kπR4


parte 2



SXdS =

∫∫S1

XdS +

∫∫S2

XdS +

∫∫S3

XdS

= −80kπR4 − 16kπR4 − 64kπR4 = −160kπR4


parte 2



SXdS =

∫∫S1

XdS +

∫∫S2

XdS +

∫∫S3

XdS

= −80kπR4 − 16kπR4 − 64kπR4 = −160kπR4

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