Flujo en conductos cerrados

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1HIDRAULICA APLICADA

Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

HIDRAULICA APLICADACódigo 325

3º Curso, INGENIERÍA INDUSTRIAL

Curso 2003/04

TEMA 1

Introducción: Flujo en Conductos Cerrados

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Fluidos No Viscosos: La ecuación de Euler y La Ecuación de Bernoulli

Aunque no existan flujos no viscosos, existen muchas aplicaciones reales en las cuales, el efecto de la viscosidad es muy pequeña frente a otros efectos, por lo cual pueden ser ignorados. Aunque no sea definitivo, en general podemos decir que si Re >>1 podríamos considerar el fluido como no viscoso, recordemos que:

µρ..

ReLV

=

De todas maneras, será la experiencia y la experimentación los que en último término determinen si podemos considerar un fluido como viscoso o no, sobre todo cerca de fronteras sólidas.

Vamos a aplicar la segunda ley de Newton a un volumen diferencial de un fluido que consideraremos como no viscoso. Es decir, vamos a considerar que la aceleración del volumen de fluido es igual a las fuerzas exteriores al mismo:

Tem

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dydzdx

xP

P

∂∂

−2

. dydzdx

xP

P

∂∂

+2

.

En el eje de las X tenemos:

ρρ ...2

.2

. xx

xx gxP

dxdydzF

dxdydzgdydzdx

xP

Pdydzdx

xP

PF +∂∂

−=∑→+

∂∂

+∑ +

∂∂

+−=

( )VVtV

DtVD

arr

rrr

..∇+∂∂

==

La aceleración del sistema lo podemos calcular como:

Por tanto, según la segunda ley de Newton:

( ) ( ) ( ) ∑=

∇+

∂∂

== FVVtV

dxdydzDtVD

dxdydzadmsistemarrr

rrr

..... ρρ

Las fuerzas exterior al sistema, un volumen diferencial de fluido, dV=dx.dy.dz, son la presión exterior y la fuerza de la gravedad:

ρ

ρ

ρ

.

.

.

zz

yy

xx

gzP

dxdydzF

gyP

dxdydz

F

gxP

dxdydzF

+∂∂

−=∑

+∂∂

−=∑

+∂∂

−=∑

ρ.gPdxdydz

F rr

+−∇=∑

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( ) ( ) ∑=

∇+

∂∂

FVVtV

dxdydzrrr

r

...ρ ( ) ( )dxdydzF

VVtV

...

ρ∑=

∇+

∂∂

rrr

r

ρ.gPdxdydz

F rr

+−∇=∑

( ) gPVVtV rrrr

+−∇=

∇+

∂∂

ρ1

.. Ecuación de Euler

z

y

x

gzp

zw

wyw

vxw

utw

gyp

zv

wyv

vxv

utv

gxp

zu

wyu

vxu

utu

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ

ρ

ρ

1...

1...

1...

Una primera conclusión de esta ecuación es la siguiente: imaginemos que estamos en un tubo en el que hacemos el vacío, es decir no hay variación de la presión, por tanto el término:

De lo que se concluye que caerá igual de aprisa una gota de agua que una de mercurio, ya que la densidad desaparece de la ecuación

0=∇P

Descomponiéndola en los ejes

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Ahora vamos a integrar la ecuación de Euler sobre una línea de corriente,s, es decir sobre el camino que recorre una partícula de fluido dentro del volumen de control:

( ) gPVVtV rrrr

+−∇=

∇+

∂∂

ρ1

..

( ) ( )VVV

VVrrrr

∧∇∧−

∇=∇

2..

2

Utilizando el cálculo vectorial se puede demostrar fácilmente que

( ) ( )VVgPV

tV

gPVVV

tV rrr

rrrr

r

∧∇∧=−∇+

∇+

∂∂

→+−∇=∧∇∧−

∇+

∂∂

ρρ1

21

2

22

[ ] ( )[ ]∫ ∧∇∧=∫−∫

∇+∫

∇+∫

∂∂ b

a

b

a

b

a

b

a

b

asdVVsdgsdPsd

Vsd

tV rrrrrrrrr

ρ1

2

2

Integrando

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[ ] ( )[ ]∫ ∧∇∧=∫−∫

∇+∫

∇+∫

∂∂ b

a

b

a

b

a

b

a

b

asdVVsdgsdPsd

Vsd

tV rrrrrrrrr

ρ1

2

2

( )kdzjdyidxkV

dzd

jV

dyd

iV

dxd

sdV ˆ.ˆ.ˆ..ˆ.

2ˆ.

2ˆ.

2.

2

2222

++

+

+

=

∇ r

+

+

=

∇ dz

Vdzd

dyV

dyd

dxV

dxd

sdV

.2

.2

.2

.2

2222r

22.

2.

2.

22

222222ab

b

a

b

a

VVdz

Vdzd

dyV

dyd

dxV

dxd

sdV

−=∫

+

+

=∫

∇ r

( )1211

PPsdPb

a−=∫

∇

ρρr

[ ] ( )[ ] ( )ab

b

a

b

argrgsdrgsdgrrrrrrrrr... −−=∫ ∇−=∫−

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( )[ ] 0=∫ ∧∇∧b

asdVVrrr

( )( ) 0. =∧∇∧ sdVVrrr

Por ser perpendiculares

( )( ) 0..22

22

=−−−+

−+

−+∫

∂∂

ababab

b

argrg

ppVVsd

tV rrrrrr

ρρ

0.2

.2

22

=

−+−

−++∫

∂∂

aaa

bbb

b

arg

pVrg

pVsd

tV rrrrrr

ρρ

Sustituyendo:

Como normalmente : zgrgkgjig ..ˆ.ˆ.0ˆ.0 −=→−+= vrr

0.2

.2

22

=

++−

+++∫

∂∂

aaa

bbb

b

azg

pVzg

pVsd

tV

ρρr

r

Ecuación de Bernoulli

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0.2

.2

22

=

++−

++ a

aab

bb zgpV

zgpV

ρρ

Si tratamos con problemas estacionarios:

aaa

bbb zg

pVzg

pV.

2.

2

22

++=++ρρ

aaa

bbb z

gp

gV

zg

pg

V++=++

..2.2

22

ρρ aaa

bbb zgp

Vzgp

V..

2..

2

22

ρρρ ++=++

Unidades de Energía

Unidades de PresiónUnidades de Altura

Ecuación de Bernoulli

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Veamos el significado de la ecuación. Se trata, ante todo, de una ecuación de conservación de la energía:

Energía A, Ea

Energía B, Eb

aaa zg

pV.

2

2

++ρ

bbb zg

pV.

2

2

++ρ

Si no hay fricción, ni perdidas por el camino, la energía a la entrada y salida de la tubería se conservará. Ahora bien, esta puede que cambie es su composición, es decir, lo que no se mantiene es la energía cinética, potencial, etc.., sino el conjunto

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Analicemos ahora los términos de las distintas expresiones de la ecuación de Bernoulli:

aaa

bbb zg

pVzg

pV.

2.

2

22

++=++ρρ

Términos en forma de energía:[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

kgJ

kgmN

mkgkg

s

mm

s

mzg

kgJ

kgm

m

NP

kgJ

kgmN

kgkg

m

m

s

mV

====

==

====

.....

.

..

2

22

3

2

2

2

2

22

ρ

Energía Cinética

Energía Presión

Energía Potencial Geodésica

Términos en forma de Alturas: [ ][ ]

mz

mms

kgm

ms

mkgms

kgm

mN

gP

mms

s

mg

V

=

===

==

23

22

23

2

2

2

22

..1.

..1

..

2

ρ

aaa

bbb z

gp

gV

zg

pg

V++=++

..2.2

22

ρρ

Altura Cinética o de Velocidad

Altura Geométrica

Altura Presión

Altura Piezométrica

zg

P+

.ρExiste una relación muy útil que suma la altura de presión y la geométrica

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Términos en forma de presión:[ ][ ]

Pam

Nm

s

m

m

kgzg

Pam

NP

Pam

N

m

kg

s

mV

===

==

===

223

2

232

22

....

2

ρ

ρ Presión Dinámica

Presión Estática

Presión Hidrostática

aaa

bbb zgp

Vzgp

V..

2..

2

22

ρρρ ++=++

Por ejemplo, si utilizamos la ecuación en sus términos medidos en alturas, la interpretación sería ,por ejemplo, para el caso anterior:

bbb

aaa

BA

zg

pg

Vz

gp

gV

HHH

++=++

==

.2..2

22

ρρg

p.ρ

g

V

2

2

zg

V

2

2

g

V

2

2

gp.ρg

p.ρ

z

H

HH

Altura Total

La altura Cinemática no varía ya que la velocidad no varía si la tubería tiene una sección constante

La alturas geométricas coinciden con el eje de la tubería

Se puede ver como varía la altura de presión en función de los otros términos

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Si conocemos la línea de altura de presión podemos determinar el timbraje ( espesor de l a tubería ) de cada tramo.

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Imaginemos una tubería real en la que se existe rozamiento, es decir pérdidas de energía del fluido que se consume en vencer esas pérdidas, por tanto, si llamamos hf a las pérdidas de energía por fricción en la tubería ahora lo que tendremos será lo siguiente:

∑+= fba hEE

∑+++=++ fbbb

aaa hzg

pVzg

pV.

2.

2

22

ρρ

La energía que entra en A es igual ala que sale por B más la energía consumida para vencer la fricción, es decir las pérdidas

La ecuación de puede escribir en términos de presión o en términos de altura y el significado es completamente análogo. Es decir, hablaríamos de pérdidas de altura debidas a la fricción, o de pérdidas de presión debidas a la fricción.

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Lo anterior se puede generalizar a cualquier tipo de pérdida de energía que sufra el fluido en su trayectoria, como perdidas por estrechamientos, codos, válvulas, bifurcaciones, turbulencia, etc.., como se verá en sucesivos temas, a estos se le suele llamar pérdidas menores, hm , para distinguirlas de las pérdidas por fricción. Así podemos generalizar como:

∑+∑+= mfba hhEE

∑+∑+++=++ mfbbb

aaa hhzg

pVzg

pV.

2.

2

22

ρρ

Existen dos elementos interesantes que vale la pena estudiar, por un lado las bambas, las cuales comunican energía al fluido, en forma de aumento de la presión, y las turbinas, las cuales consumen energía del fluido, para poder transformarla en electricidad, etc.. Si en nuestro proceso nos encontramos con alguna de ellas, debemos introducirlas dentro de la ecuación de Bernoulli, para tener en cuenta su aporte ( bombas ) o consumo ( turbinas ) de energía en el balance.

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bBa EHE =+

bbb

Baaa zg

pVHzg

pV.

2.

2

22

++=+++ρρ

bTa EHE =−

bbb

Taaa zg

pVHzg

pV.

2.

2

22

++=−++ρρ

( Después de la bomba disponemos, de la energía que teníamos en A más la energía que nos proporciona la bomba )

( Después de la Turbina disponemos, de la energía que teníamos en A menos la energía que nos consume la turbina )

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Flujo Laminar Completamente Desarrollado en una Tubería

rdrdA π2=

Tomamos un volumen de control diferencial, en forma de cilindro, tal y como indica la figura, y sobre el aplicamos un balance de fuerzas

Fuerza sobre los laterales debida a la acción de la presión del fluido

rdrdx

xp

p π22

∂∂

−rdr

dxxp

p π22

∂∂

+

dr

dxdr

rdr

drd rx

rx

−

−

22

2πττ

dxdr

rdr

drd rx

rx

+

+

22

2πττ

dx

r

La fricción debida a la viscosidad del fluido producirá una fuerza de rozamiento sobre la cara interior del cilindro, así como sobre la exterior, las cuales actuarán en sentido contrario a las anteriores

p

Elemento de fluido

Tubería

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Sumando todas las fuerzas en x, tenemos que:

dxdr

rdr

dx

drdr

dxxp

pdxdr

rdr

dx

drdr

dxxp

p rxrx

rxrx

−

−+

∂∂

+=

+

++

∂∂

−2

22

222

22

22

πτ

τππτ

τπ

( )drrd

rxp

drd

rxp

dxdrrdr

ddxdrdxdrr

xp rxrxrxrx

rxτττπτπτπ .1

0...2...2....2. =∂∂

→+=∂∂

→=++∂∂

−

Reordenando tenemos que:

Si ahora integramos respecto a r:

( ) ( )

rc

xpr

cxpr

rdrdrrd

drxp

rdrrd

xp

r

rx

rxrxrx

1

1

2

2

2.

..

..

+

∂∂

=

+

∂∂

=∫ →=∫∂∂

→=∂∂

τ

τττ

Recordando la definición de esfuerzo cortante, , obtenemos que:drduµτ =

21

21 ln

42cr

cxpr

urc

xpr

drdu

++

∂∂

=→+

∂∂

=µµ

µ

Presión sobre el lado izquierdo

Fuerza debido a la viscosidad sobre la cara exterior del elemento

Fuerza debido a la viscosidad sobre la cara interior del elemento

Presión sobre el lado izquierdo

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De la expresión de la velocidad faltan por determinar las dos constantes.

•Una de las condiciones que ha de cumplir es que en todo punto dentro de la tubería la velocidad sea finita, o lo que es lo mismo, no puede valer infinito. Por tanto, para que esto se cumpla en el centro de la tubería, r=0, la única forma será si c1 es cero.

•La otra constante la podemos sacar de la condición de frontera:

si r=R, u=0:

2

2

21

2

4ln

4c

xpr

crc

xpr

u +

∂∂

=++

∂∂

=µµµ

∂∂

−

∂∂

=

∂∂

−=→+

∂∂

=→==

xpR

xpr

u

xpR

ccxpR

uRr

µµ

µµ

44

4400,

22

2

22

2

21

2ln

4),( cr

cxpr

rxu ++

∂∂

=µµ

−

∂∂

=22

14

),(Rr

xpR

xruµ

Distribución parabólica de la velocidad en el interior de una tubería en régimen laminar

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De esta expresión podemos determinar una serie de expresiones de utilidad:

• Distribución de esfuerzos cortantes:

• Flujo Volumétrico:

•Velocidad Promedio:

• Velocidad Máxima:

∂∂

==xpr

drdu

rx 2µτ

( ) →∫ ∫ −

∂∂

==∫=R R

AdrrRr

xp

drruAdVQ0 0

22 ..241

..2. πµ

πrr

→==2.R

QAQ

Vπ

021

021

max=→

∂∂

== →

∂∂

==

rrxp

drdu

rxp

drdu

uu µµ

∂∂

−=xpR

Qµ

π8. 4

∂∂

−=xpR

Vµ8

2

VxpR

u .24

2

max =

∂∂

−=µ

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Otra de las utilidades de esta expresión será el ayudarnos a determinar el tipo de perfil de velocidades en un flujo totalmente desarrollado en el interior de tubería. Haciendo uso de la expresión de la velocidad máxima, U, la expresión de la velocidad la podemos escribir de la siguiente forma:

2

1

−=

Rr

Uu Lo que indica que el perfil de velocidades es parabólico para un flujo

completamente desarrollado en régimen laminar en el interior de una tubería

Hay que tener siempre en cuenta que estamos hablando de flujos completamente desarrollados. La zona en la que el flujo se desarrolla, llamada “longitud de entrada”, es más complicada de analizar, y normalmente, desde el punto de vista práctico, no sesuele tener en cuenta si la tubería es lo suficientemente larga.

Existen multitud de formulas que determinan la longitud de entrada. A modo de primera estimación, podemos utilizar la expresión de Langhaar por su sencillez:

Re058.0=D

Lentrada

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∂∂

=xpr

rx 2τ

∂∂

−=xpR

Qµ

π8. 4

∂∂

−=xpR

Vµ8

2V

xpR

u .24

2

max =

∂∂

−=µ

−

∂∂

=22

14

),(Rr

xpR

xruµ

Fuerza superficial sobre la pared de la tubería debida a la fricción producida viscosidad del fluido en movimiento

[ N/m2]

Caudal Volumétrico trasegado por la tubería

[ m3/s]

Velocidad promedio del fluido en el interior de la tubería.

[ m/s]

Velocidad máxima del fluido en el interior de la tubería.

[ m/s]

Distribución parabólica de la velocidad en el interior de una tubería en régimen laminar

Como se puede ver, en todas la expresiones existe una incógnita a determinar, el gradiente de presiones, o lo que es lo mismo, la variación de la presión a lo largo de la tubería en el sentido de avance del fluido. ¿ Cómo lo determinamos? Mediante el concepto de pérdidas

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Análisis del Flujo Completamente Desarrollado en una Tubería

En un conducto, si el flujo es:

•Incompresible

•Estacionario

• Totalmente desarrollado

y no hay fugas, la ecuación de continuidad y de Bernoulli para el volumen de control comprendido entre los planos 1 y 2 queda de la siguiente forma:

LhgzgVp

zgVp

..2

.2 2

222

1

211 +++=++

ρρSi A1 = A2

VVV == 21 (1)(2)

2211 AVAV =

Lhgzgp

zgp

... 22

11 ++=+

ρρ

Ec. Bernoulli Ec. Continuidad o Conservación de la masa

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(1) La energía cinética no se pierde por rozamiento a lo largo de la tubería con flujo totalmente desarrollado

(2) Las perdidas la podemos expresar como:

( )2121 .. zzg

pphg L −+

−=

ρ

Perdidas expresadas en forma de perdida de altura columna de aguaPerdidas expresadas en forma de perdida de presión

De estas ecuaciones podemos extraer las siguientes conclusiones:

( )2121

2121

.. zzpphp

zzpp

h

LL

L

−+−=≡∆

−+−

=

γγγ

Es decir, la pérdida de energía debida a las fricciones con las paredes se puede decir que se manifiesta con una variación de la energía asociada a la presión

Obviamente, si la altura no varía, las pérdidas se manifiestan exclusivamente en una pérdida de presión

ρ21.

pphg L

−=

Las pérdidas las podemos expresar en otras unidades:

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( ) ( )∫ ∫ ∑∫ =−+∀∀

ent salvcA A

sysrr FdAnVVdAnVVdVdtd rrrrrr

ˆˆ ρρρ

Hemos aplicado la ecuación de conservación de la energía y la de la masa, ahora, para conocer más sobre su comportamiento mecánico podemos aplicar la ecuación de conservación del momento lineal, que nos proporcionará la fuerza exterior que actúa sobre el fluido. Aplicada al volumen de control comprendido entre los dos planos, 1 y 2 y las paredes de la tubería tendremos

0 por ser la hipótesis de estacionario

∑=− sysFAVAVr

12

122

2 ρρ

Las fuerzas únicas fuerza que actúan sobre el sistema, es decir, el fluido encerrado por la tubería serán:

• Presión a ambos lados

• Fricción sobre las paredes de la tubería

• Gravedad

gravedadfricciónpresiónsys FFFFrrrr

++=∑

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[ ]fricciónFuerzawA

wesionFuerza dAApApAVAV

∫−−=− τρρ Pr22111

212

22

Si suponemos, para simplificar que la tubería es horizontal, z1=z2, la gravedad no tendría componente en la dirección de la tubería, por lo que sólo actuarían las dos primeras fuerzas:

Lo usual es que una tubería no cambie de sección a lo largo se su trayectoria, por lo que podemos suponer que A2=A1=A, y por tanto V1=V2, así que la expresión anterior se puede expresar como:

∫=−wA

wdAA

pp τ121

Si podemos expresar Aw como, Aw=P.x, donde P es el perímetro mojado por el fluido

( ) xPxxPdxPdA ww

x

xw

Aw

w

∆=−== ∫∫ ..... 12

2

1

ττττ

Donde se ha supuesto que τw es un promedio de la fricción superficial con las paredes de la tubería en toda la longitud y perímetro de la misma.

012

1222 ++=− fricciónpresión FFAVAV

rrρρ

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AxP

pp w ∆=−

..21

τ

ρ21.

pphg L

−= x

AP

hg wL ∆

= ...

ρτ

DD

DAP 4

4/.

.2

==ππ

Así, esta ecuación nos permite obtener una nueva expresión para determinar las pérdidas

∆=

Dx

hg wL ..4.

ρτ

Es decir, las pérdidas de energía las podemos expresar en función de la tensión tangencial τw y parámetros directamente medibles, y que podemos conocer a priori. La pregunta será, como calcular τw , que vuelve a ser un problema.

21

21

. pphp

pph

LL

L

−=≡∆

−=

γγ

∆≡∆

∆=

Dx

p

Dx

h

wL

wL

..4

..4

τ

γτ

Análogamente:

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=

=

DDL

FD

VDDL

FV

hg L εεµρ

Re,,,,

21

.2

Utilizando el teorema Pi del análisis dimensiona, podemos reorganizar la expresión anterior y obtener:

Es usual definir el Coeficiente de Perdidas, K, como:2

21

.

V

hgK L=

Existe un método alternativo al desarrollado hasta ahora, el cual se basaba exclusivamente en un enfoque totalmente mecanicista. El método es utilizar el análisis dimensionan. Sabemos que las pérdidas en una tubería dependerán de:

( )εµρ ,,,,, VDLfhL =

=

DDL

FKε

Re,,

Por lo que este coeficiente dependerá de tres grupos adimensionales:

=∆

=

=

2.

.2.

2..

2

2

2

VKp

gV

Kh

VKhg

L

L

L

ρ

Podemos redefinir la expresión de las pérdidas como

Tem

a 1:

In

trod

ucci

ón: F

lujo

en

Con

duct

os C

erra

dos



En la expresión de K, aparece la longitud de la tubería entre los puntos entre los cuales queremos calcular la pérdida. Para un flujo totalmente desarrollado, el esfuerzo cortante es constante, independiente de la longitud, por lo que parece lógico que se pueda sacar fuera de la función la relación (L/D), tal y como se intuye en las expresiones para las pérdidas deducidas anteriormente donde aparece el parámetro (∆x/D). Así expresaremos:

=

=

DDL

DDL

FKεϕε

Re,.Re,,

Ahora, vamos a definir un nuevo parámetro, f, que llamaremos factor de fricción:

≡

Df

εϕ Re,

Este nuevo parámetro, f, que como vemos será adimensional, se le suele llamar factor de fricción de Darcy. Lo que nos permitirá expresar:

=

2...

2VDL

fhg L

=

DL

fK .

Tem

a 1:

In

trod

ucci

ón: F

lujo

en

Con

duct

os C

erra

dos



=∆

=

=

2..

.2..

2...

2

2

2

VDL

fp

gV

DL

fh

VDL

fhg

L

L

L

ρ

=

DL

fK .

En general a estas ecuaciones se las suele llamar Ecuaciones de Darcy-Weisbach:

Bien, hemos seguido un camino alternativo, el del análisis dimensional , y hemos llegado a una nueva expresión para las pérdidas, y esta vez lo conocemos todo excepto un parámetro, el factor de fricción f. Así que aparentemente volvemos al mismo sitio, pero sólo aparentemente, porque para el factor de fricción, como veremos si existen expresiones generales que nos permiten calcularlo a priori de una forma bastante sencilla y eficaz.

Tem

a 1:

In

trod

ucci

ón: F

lujo

en

Con

duct

os C

erra

dos



fw CV

f==

2.

4 2ρ

τ

Podemos definir un nuevo parámetro de gran utilidad utilidad práctica, el Coeficiente de Fricción, Cf :

¿ Porqué es útil esta expresión ? Por dos cosas:

• Expresa la relación entre la energía cinética del fluido y la fricción en las paredes y la podemos calcular fácilmente si conocemos el valor de f.

• Nos permite calcular la tensión tangencial que soportará la tubería debida a la viscosidad del fluido de una forma rápida y fácil

¿ Esto indica que se trata de dos caminos independientes y que el primero no nos sirve ? No, claramente no. Ambos caminos son muy útiles, y como muestra de ello veamos que ocurre cuando comparamos las expresiones de las pérdidas.

=

→

∆=

=

DLV

DL

f

Dx

hg

VDL

fhgw

wL

L..4

2..

..4.

2... 2

2

ρτ

ρτ

Tem

a 1:

In

trod

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ón: F

lujo

en

Con

duct

os C

erra

dos



=

∆=∆

==

==

2.

1.

.2.

1.

2.

1.

..

2

2

2

VD

fLp

p

gV

Df

Lh

h

VD

fLhg

hg

L

L

L

ρ

Las expresiones de las perdidas las hemos deducido teniendo en cuenta la perdida a lo largo de una longitud L de tubería. Pero sería equivalente haberlas deducido por metro lineal de tubería, y así, de algún modo, hacerlas más generales y más fáciles de aplicar.

Bien, ahora vamos a buscar las expresiones que nos permitan determinar el factor de fricción. Veremos que en régimen laminar podemos deducirlo de una forma totalmente analítica, pero en régimen turbulento, es necesario buscar expresiones basadas en datos experimentales.

)..(.2

.1

.2

acmg

VD

fh

=

La expresión más útil en la práctica es la que expresa las pérdidas por fricción medidas en m.c.a

Tem

a 1:

In

trod

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ón: F

lujo

en

Con

duct

os C

erra

dos



( ) ( ) LL hgpzpzp ..2211 ργγ =∆=+−+

Si ahora recordamos la expresión de Bernoulli tay y como la hemos empleado en los casos anteriores, tenemos que:

podemos expresar la perdida de presión como, . Recordando, para el caso de flujo laminar totalmente desarrollado, la expresión del caudal volumétrico:

xp

LpL ∂∂

=∆ .

QR

LL

xp

xpR

Q ..

..8.

8.

4

4

πµ

µπ

=

∂∂

→

∂∂

=

Por lo que podemos expresar que:

( ) ( ) QR

Lhgpzpzp LL .

.

..8..

42211 πµργγ ==∆=+−+

De esta expresión también podemos deducir que:

( )ρ

µπρπ

µρπ

µπµρ

.

...8...

..

..8.

..

..8..

.

..8..

22

444 R

LVRV

R

LQ

R

LhgQ

R

Lhg LL ===→=

Recordando la expresión deducida para las perdidas en función del factor de fricción:

Re64

Re64

..642

..

.2

...8

.

...82

...222

2=→==

=→=

= f

DVVLD

D

LVf

R

LVVDL

fhg L

µρ

ρ

µρ

µ

Factor de Fricción : Régimen Laminar

Tem

a 1:

In

trod

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ón: F

lujo

en

Con

duct

os C

erra

dos



Así, para un flujo laminar totalmente desarrollado tendremos que el factor de fricción se puede calcular mediante la expresión:

Re64

=f

Que se conoce como fórmula de Poiseuille, y de la cual podemos deducir que:

Re16

4.

Re64

. ==

=

=

fC

DL

fDL

K f

Factor de Fricción: Régimen turbulento

El régimen turbulento completamente desarrollado, Re > 4000, ofrece una mayor dificultad para analizar el factor de fricción, ya que el esfuerzo cortante no tiene una expresión sencilla. Existen dos formas límites:

• SI la tubería es lisa, f es únicamente función del Re, y no depende de la rugosidad de la tubería.

• Si el flujo es altamente turbulento, Re muy altos, f depende únicamente de la rugosidad relativa de la tubería, siendo independiente del Re del fluido

Entre ambos casos, se deberá buscar una expresión que nos proporcione el valor de f.

Tem

a 1:

In

trod

ucci

ón: F

lujo

en

Con

duct

os C

erra

dos



• Expresión de Blasius:

• Para tuberías hidrodinámicamente lisas.

• 3.103 < Re < 105

25.0Re.3164.0 −=f

• Expresión de Von Karman y Prandtl:

• Para tuberías hidrodinámicamente lisas.

• Rango mayor que la de Blasius

×−=

ff .Re51.2

log0.21

10

• Expresión de Nikuradse:

• Para tuberías rugosas.

×−=

7.3log0.2

110

r

fε

• Expresión de Colebrook-White:

• Para tuberías Rugosas.

• Re > 4000

+×−=

ffr

.Re51.2

7.3log0.2

110

ε

La expresión de Colebrook-White esta pensada para la rugosidad de las tuberías comerciales, y ofrece muy buenos resultados, pero tiene el inconveniente de tener que calcularse f de forma iterativa, al ser una formula implícita.

Tem

a 1:

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ón: F

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Con

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dos



Moody, propuso su expresión en forma de ábaco, en el cual se puede calcular f de forma muy rápida y cómoda, sin tener que acudir a procedimientos iterativos que consumen mucho tiempo.

DIAGRAMA DE MOODY

Tem

a 1:

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ón: F

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en

Con

duct

os C

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dos



Fórmula de Poiseuille

Fórmula de Von Karman-Prandtl

Fórmula de Colebrook-White

Fórmula de Nikuradse

Adaptación de las expresiones anteriores al diagrama de Moody

Tem

a 1:

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ón: F

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Con

duct

os C

erra

dos



Como se puede intuir, uno de los problemas de utilizar Colebrook-White es que se tarta de una fórmula implícita, y que por tanto la única forma de encontrar una solución de f es por medio de un proceso iterativo. En principio esto no tiene porque ser un problema ya que en la mayoría calculadoras programables se puede incluir un proceso iterativo que dados Re, y εr nos den un valor de f. Y no digamos de cualquier programa informático. Pero aún así a veces es interesante disponer una fórmula que nos proporcione un valor estimado de forma rápida y sencilla, bien para un cálculo preliminar o bien como valor inicial para la iteración con Colebrook-White. Existen muchas fórmulas que los proporcionan. A continuación proponemos la formulación de Chen que para régimen turbulento 4.103 < Re < 1.108 y para valores de rugosidad relativa de 0 < εr < 0.05 proporciona valores muy aproximados a la realidad, con una precisión +/- 0.3%:

+

−=

7.37Re

logRe52.4

log21

1010r

fε

Tem

a 1:

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ucci

ón: F

lujo

en

Con

duct

os C

erra

dos



Tem

a 1:

In

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ón: F

lujo

en

Con

duct

os C

erra

dos



Tem

a 1:

In

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ón: F

lujo

en

Con

duct

os C

erra

dos



Entre dos puntos cualquiera del diagrama, que estén suficientemente cerca, podemos interpolar, tomando su comportamiento como lineal:

( )0.log...

.4log.loglog

....4

Re..

Re

Relog.loglog

2.

.4

<=→++=→

= →=

+=

=

bQKfQbD

baf

DQDV

baf

b

D

QV

πµρ

πµρ

µρ

π

Si ahora sustituimos esta expresión en la ecuación de Darcy-Weisbach:

( )2....

..8.

..

..8.2

.. 252

252

2<=→=→=

= + nQRhQ

Dg

LKhQ

Dg

Lfg

VDL

fh nL

bLL ππ

Esta expresión es muy típica para expresar pérdidas de carga, y al coeficiente R se denomina resistencia hidráulica , con valores de b entre [1.75-2.0] en los casos más típicos

Tem

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ón: F

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Con

duct

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dos



Formulas empíricas de pérdida de carga:

• Fórmula de Hazen-Williams:

85.187.485.1

54.063.2

54.063.0

..1

.61.10

...279.0

...355.0

QD

L

Ch

hDCQ

hDCV

HL

H

H

=

=

=

Donde CH es el coeficiente de Hazen-Williams que depende del material de la tubería:

• Para tubería lisa y nueva: CH = 140

• Si la tubería tiene mucho tiempo de uso, con incrustaciones, baja calidad superficial, etc...: CH = 40-80

• Los valores de CH menores de 120 no suelen dar buenos resultados en la expresión de Hazen-Williams , aunque se usen con frecuencia. Los valores

• Tuberías de fibrocemento nuevas: CH = 140-150

• Tuberías de fundición nuevas: CH = 120-130

Tem

a 1:

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ón: F

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Con

duct

os C

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dos



• Fórmula de Manning:

23/162

23/16

2

2/13/22/13/2

..29.10

..29.10

....1

QD

L

KQ

D

Lnh

hRKhRn

V

sL

hsh

==

==

• Tuberías de fibrocemento: n=0.0095-0.0105

• Tuberías de fundición: n=0.0125

Tem

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dos



Perdidas Menores

Todos los elementos accesorios para el montaje de redes de tuberías introducen ciertas perturbaciones el el flujo, las cuales producirán perdidas de carga que se localizan exclusivamente en el elemento que las produce.

Las perdidas así generadas se llaman perdidas menores , localizadas o singulares, pero hay que destacar que pueden ser perdidas muy superiores a las que generan las propias tuberías.

Si la red de tuberías es suficientemente grande, estas perdidas no se suelen modelizar de forma individual, si no que se mayora la red en una longitud equivalente para tenerlas en cuenta, salvo elementos que introduzcan perdidas de carga del orden de las de las tuberías, como válvulas o bombas.

Tem

a 1:

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dos



La forma habitual de calcular las perdidas menores es mediante un coeficiente, K, que multiplica a la altura cinética del flujo que entra al elemento:

242

2.

..

.8.2

. QDg

Kg

VKhm π

==

K , adimensional, depende del Re y sobre todo de la geometría del componente. Otra forma muy útil de expresar estas perdidas es mediante el concepto de longitud equivalente, Le :

2522

2

...

..8.

.2.

.2..

QDg

Lfh

fD

kL

gV

kh

gV

DL

fhe

me

L

eL

π=→=→

=

=

Este método lo que hace es reemplazar el componente por un tamo recto de tubería que produjera la misma pérdida.

Los valores de K se sacan de manuales o tablas, o de los fabricantes. En redes extensas, se suele añadir un 5-10% a las perdidas totales para tener en cuenta estos elementos.

Tem

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Con

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gV

khm .2.

2=

22

2

11

−=

DD

k

22

1

215.0

−×=

DD

k

Ejemplos de perdidas menores en componentes de tuberías

Tem

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• Válvulas: Son elementos especiales que pueden inducir una perdida de carga considerable en función del grado de apertura de la válvula. La perdida puede expresarse como:

( ) ( ) 2. ≈= nQKh nv

θθ

• Bombas: Son elementos motrices que proporcionan energía de presión adicionales. Poseen una característica decreciente con el caudal, como se indica en la figura:

20 .QBHhb −=

Tem

a 1:

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dos



En Resumen

∑+∑+++=++ mfbbb

aaa hhzg

pVzg

pV.

2.

2

22

ρρ

Podemos Utilizar Bernoulli para relacionar dos puntos cualquiera de una tubería, a condición de que entre ellos trascurra una línea de corriente que una ambos puntos de forma unívoca

Para calcular las pérdidas por fricción:2

52.

..

..8Q

Dg

Lfhf

π=

=

gV

Dfh

.2.

1.

2

Si existen pérdidas menores, es decir, válvulas estrechamientos, etc.. g

Vkhm .2

.2

=2

42.

..

.8Q

Dg

khm

π=

Para calcular el factor de fricciónutilizaremos Colebrook-white o el ábaco de Darcy

+×−=

ffr

.Re51.2

7.3log0.2

110

ε

Tem

a 1:

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dos



Los cuatro problemas básicos del cálculo de tuberías

Existen 4 variables básicas en el cálculo de conducciones simples:

• Perdida de carga: hL

• Caudal trasegado: Q

• Diámetro de la tubería: D

• Rugosidad: ε

Así, los 4 problemas serán, la determinación de uno de estos parámetros básicos, suponiendo conocidos el resto.

A.- Cálculo de hL dados Q y D, supuesto que ε y L son datos. ( Análisis de Presiones )

Se trata del caso más simple ya que bien sea por el ábaco de Moody o por la fórmula de Colebrook se puede encontrar el factor de fricción, f, y con el las pérdidas.

B.- Cálculo de Q dados hL y D, supuesto que ε y L son datos.

Se trata de un problema muy parecido al anterior, pero en este caso no conocemos el Re del fluido, ya que desconocemos el Q. Habría dos modos de hacerlo:

Tem

a 1:

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+−=

==

+×−=

gDhD

LL

gDhDQ

gV

DL

fhD

Q

ff

L

rL

L

r

.....4

.851.27.3

log.8

....2

.2..;

....4

Re

.Re51.2

7.3log0.2

1

10

2

2

10

µρ

επ

πµρ

ε• De la formula de Colebrook, despejamos el caudal Q:

Que es una expresión directa del Q en función del resto de variables

• Utilizando el ábaco de Moody, lo que nos dará un proceso iterativo: LfDgh

Q L

..8... 52π

=

Si conociésemos le valor de f, obtendríamos Q, pero para saber f, necesitamos Q. Es decir, hay que actuar de forma iterativa:

Partimos de un valor de f=[0.015-0.020]

Determinamos Q con la formula anterior µπ

ρ....4

ReDQ

=Mediante el ábaco de Moodydeterminamos un nuevo factor de fricción f=(εr,Re) Comparamos con el valor anterior de f

Tem

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C.- Cálculo de D dados hL y Q, supuesto que ε y L son datos.( diseño o dimensionado )

Si conocemos el factor de fricción f, despejando de la formula de Darcy obtendríamos el valor del diámetro:

52

2

..

...8

gh

QLfD

L π=

Partimos de un valor de f=[0.015-0.020]

Determinamos Q con la formula anterior µπ

ρ....4

ReDQ

=Mediante el ábaco de Moodydeterminamos un nuevo factor de fricción f=(εr,Re) Comparamos con el valor anterior de f

• Utilizando el ábaco de Moody, lo que nos dará un proceso iterativo:

• Otro método para hacer lo mismo sería el siguiente. Despejamos de la formula de Darcy el factor de fricción:

5.25.22

.1

..

.81 −=→

×= DK

fD

Q

hg

Lf Lπ

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( )DGDDQ

KK

D

DQ

KDK

r

r

=→

+×−=

+×−=

−

−

4.0

5.110

5.1105.2

...4

...51.27.3

log2

...4

...51.27.3

log0.2.

ρµπε

ρµπε

De la formula de Colebrook, sustituyendo:

Obtenemos una expresión implícita de D, que mediante un proceso iterativo nos permitiría calcular D. Considerando un primer valor de de la fricción f(0), despejamos un primer diámetro D(0):

52

2)0()0(

..

...8

gh

QLfD

L π=

Ahora con este diámetro obtendríamos un nuevo valor del diámetro utilizando la expresión D(1)=G(D(0)), repitiendo este proceso hasta alcanzar la convergencia.

Como normalmente el diámetro que se calcula no coincide con los que se dispone de forma comercial, lo normal es sustituir este por dos o más de diámetro comercial que proporcionen la misma pérdida de carga

Tem

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ón: F

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dos



Por ejemplo, si se eligen 2 tubos, D1 < D < D2, se busca que provoquen la misma pérdida de carga que el diámetro D:

( )

−+==

52

1251

112

252

..

.

.8.

..

..8

D

LLf

D

Lf

g

QQ

Dg

LfhL ππ

Conocidos D1 y D2 se puede calcular f mediante Moody o Colebrook, y lo que queda es un a ecuación de 1º grado, cuya única incógnita es L1., ya L, εr y Q son datos.

D.- Cálculo de ε dados hL , D y Q, supuesto L es datos.( Estado de la tubería )

Se trata de un problema muy sencillo ya que se conocen Q, D y hL. Dos formas de hacer el cálculo:

• Mediante Moody: Sabemos D y Q, por lo que obtenemos Re, y por Darcy el factor f. Con estos dos datos entramos en el ábaco de Moody y determinamos la rugosidad relativa.

• Mediante la fórmula de Colebrook: Se despeja directamente la rugosidad de la propia fórmula, dando un resultado directo.

Tem

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(a) gate valve;(b) globe valve; (c) angle valve;(d) swing-check valve; (e) Disktype gate valve.

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