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FLUJO EN TUBERA
-
INTRODUCCIN A LA ECUACIN DE CONTINUIDAD
Balance de materia sobre un pequeo elemento de volumen a travs
del cual
circula fluido.
Se deja que el tamao de este volumen tienda a cero, por lo
cual
se considera al fluido como un continuo, obteniendo la
ecuacin
diferencial parcial deseada.
-
INTRODUCCIN A LA ECUACIN DE CONTINUIDAD
=
=
+
+
+
+
+
-
INTRODUCCIN A LA ECUACIN DE CONTINUIDAD
Describe la velocidad de la variacin respecto al tiempo de la
densidad del fluido en un punto fijo en el espacio
Ecuacin de continuidad
Ecuacin de continuidad con
notacin vectorial
=
+
+
= ( v)
Velocidad de incremento de materia por unidad de volumen
Velocidad neta de adicin de materia por conveccin, por unidad de
volumen
-
DERIVACIN DE LA ENERGA MECNICA
La energa mecnica no se conserva en un sistema de flujo
La ecuacin de variacin de energa mecnica puede deducirse a
partir de la ecuacin de movimiento.
v = vv +
Velocidad de incremento de
cantidad de movimiento por
unidad de volumen
Velocidad de adicin de cantidad de movimiento por
conveccin por unidad de volumen
Velocidad de adicin de cantidad de movimiento por transporte
molecular por unidad de volumen
Fuerza extrema
sobre el fluido por unidad de
volumen
-
DERIVACIN DE LA ENERGA MECNICA
Ecuacin de variacin para energa cintica
Tomando el producto punto del vector vectorial v con la ecuacin
de movimiento y reordenando los trminos con la ecuacin de
continuidad
separando en dos partes cada uno de los trminos que contienen a
y se obtiene:
1
22 =
1
22v v v v : v + (v )
Velocidad de incremento de
energa cintica por unidad de volumen
Velocidad de adicin de
energa cintica por conveccin por unidad de
volumen
Velocidad de trabajo
realizado por la presin
del entorno sobre el fluido
Velocidad de conversin
reversible de energa
cintica en energa interna
Velocidad de trabajo
realizado por las fuerzas
viscosas sobre el fluido
Velocidad de conversin
irreversible de energa
cintica en energa interna
Velocidad de trabajo
realizado por la fuerza
externa sobre el fluido
-
DERIVACIN DE LA ENERGA MECNICA
Ecuacin de variacin de energa cintica
ms energa potencial
Energa potencial
Reescribiendo el ltimo trmino de la ecuacin de
variacin para energa cintica
Utilizando la ecuacin de
continuidad se puede sustituir
=
v = v + ( v)
+ v por
=
()
1
22 +
= 1
22 + v v
v v (: v)
-
BALANCE DE ENERGA ESCALA MACROSCPICA
+ =
1
21 1
3 + 11 1 1 1
22 2
3 + 22 2 2
+ 1 1 1 2 2 2 + + v + (: v)
()()
Velocidad de incremento de las energas cinticas y potencial en
el
sistema
Velocidad a la que las energas cintica y potencial entran en el
sistema en el
plano 1
Velocidad a la que las energas cintica y potencial salen del
sistema en el plano 2
Velocidad neta a la que el entorno realiza trabajo sobre el
fluido
en los planos 1 y 2 por medio de la
presin
Velocidad a la que las
superficies mviles realizan trabajo sobre el
fluido
Velocidad a la que aumenta o disminuye la energa mecnica
debido al ensanchamiento o la compresin del fluido
Velocidad a la que disminuye la energa mecnica debido a la
disipacin viscosa
-
BALANCE DE ENERGA
ESCALA MACROSCPICA
Energa cintica total dentro del sistema
Energa potencial total dentro del sistema
La energa mecnica total cambia debido a una diferencia entre las
velocidades de adicin debido al
trabajo realizado sobre el fluido por el entorno y a los efectos
de compresibilidad, as como a la disipacin
viscosa
= 1
22
=
-
BALANCE DE ENERGA
ESCALA MACROSCPICA El balance macroscpico de energa mecnica
puede
expresarse de una manera mas breve como:
Trmino compresin Es positivo en compresin
Es negativo en ensanchamiento Es cero cuando se supone que
el
fluido es incompresible
Trmino de la disipacin viscosa (o de prdida de friccin) Es
positivo para lquidos
newtonianos
+ =
1
2
3
+ +
+
= : v
= ( v)
()
-
PRINCIPIO DE BERNOULLI
Para un sistema no relativista, la energa neta transferida al
sistema es igual al incremento de la energa del sistema mas la
energa que sale del sistema
z 1
z 2
A 2
A 1
X
Y
Tiempo 1
-
PRINCIPIO DE BERNOULLI
Para un sistema no relativista, la energa neta transferida al
sistema es igual al incremento de la energa del sistema mas la
energa que sale del sistema
z 1
z 2
D x 1
D x 2
A 2
A 1 v 1
v 2 X
Y
Tiempo 1
Tiempo 2
m
m
-
PRINCIPIO DE BERNOULLI
Para un sistema no relativista, la energa neta transferida al
sistema es igual al incremento de la energa del sistema mas la
energa que sale del sistema
z 1
z 2
D x 1
D x 2 p 2
A 2
A 1 u 1
u 2
r
p 1
X
Y
Tiempo 1
Tiempo 2
m
m
Q
W
-
PRINCIPIO DE BERNOULLI
Puede derivarse a partir de la ecuacin de momentum, la ecuacin
de Euler o de un balance de energa
en 1 interna
Energa Energa Energa Energa
Entrando A cintica potencial
Energa que entra en A1
11 1 1 12E m u gz e
Energa que sale en A2 en 2 interna
Energa Energa Energa Energa
Saliendo A cintica potencial
12 2 2 22E m u gz e
1 2 1 2 1 2 12E m u u g z z e e D
-
PRINCIPIO DE BERNOULLI
A medida que ocurre el
flujo del fluido, el fluido que entra en 1
realiza un trabajo al sistema, pues ejerce
una fuerza 11, As, el fluido se desplaza 1
El trabajo realizado, por unidad de tiempo en
La masa que pasa por unidad de tiempo es
Luego, el trabajo realizado, por unidad de tiempo es:
Ahora, entre
1y 2, se puede transferir calor y realizar trabajo. Luego:
Energa que entra entre 1y 2 =
1 = 111
= 111
1 = 11
Energa que entra entre 1y 2 =
-
PRINCIPIO DE BERNOULLI Trabajo realizado Trabajo realizado
Energa que entra Energa que sale
en A1 en A2 entre A1 y A2 entre A1 y A2E
D
1 2 1 2
1 2 1 2
mp mp p pE mq mw m q w
r r r r
D
1 21 2 1 2 1 2 121 2
p pu u g z z e e q w
r r
Igualando a la ecuacin de balance de energa del fluido:
1 2 1 2 1 2 12 u u g z z h h q w
Teniendo en cuenta el trabajo de flujo H=U + pV
-
PRINCIPIO DE BERNOULLI 1 2 1 2 1 2 12 u u g z z h h q w
Cada trmino representa energa por unidad de masa del fluido
La suma de los trminos o cabezas hidrostticas ser siempre
constante
Estado Estacionario No hay friccin
-
PRINCIPIO DE BERNOULLI En el flujo de fluidos reales, existen
prdidas de energa debido a:
Friccin Separacin Disipacin turbulenta
Es necesario introducir un trmino que de cuenta de las
irreversibilidades energticas
Estas irreversibilidades dan cuenta de la transformacin
irreversible de
energa mecnica en energa interna
1 2 1 2 1 2 12 wu u g z z h h q w l D
-
PRDIDAS CONTINUAS
Originadas por el rozamiento y son funcin de: Rugosidad de la
tubera Viscosidad del fluido Rgimen de funcionamiento - Turbulento
Re > 4000 - De transicin 2300 < Re < 4000 - Laminar Re
< 2300 Caudal circulante, es decir, velocidad
del fluido
Las prdidas de carga continuas por rozamiento en tuberas pueden
calcularse mediante: Frmulas
Logartmicas Frmulas
Empricas
-
ECUACIN DE DARCY - WEISBACH La prdida de carga continua es
directamente proporcional a la velocidad del lquido y a la longitud
del tramo de tubera que se esta considerando, e inversamente
proporcional a su dimetro
Ecuacin general de Darcy - Weisbach
=
=
=
=
=
=
es adimensional y es funcin del nmero de
Reynolds y de la rugosidad relativa de la
tubera
=
2
2
-
ECUACIN DE DARCY - WEISBACH La ecuacin de Darcy Weisbach puede
expresarse en funcin del caudal circulante ya que este fluye ligado
al dimetro y a la velocidad media por la relacin:
Sustituyendo la ecuacin de Darcy - Weisbach
Ecuacin de Darcy Weisbach en funcin del
caudal
= v S = v 2
4 v =
4
2
=
162
24
1
2
= 0.0826 2
5
-
REGMENES DE FLUJO
La ecuacin de
Fanning nos permite obtener
un factor de friccin
adimensional que es proporcional a
la cada de presin
Flujo Laminar: Combinando las ecuaciones de Fanning y de
Hagen-Poiseuille, se puede obtener la siguiente expresin para el
factor
de friccin:
Flujo turbulento: Caida de presin depende del estado de la
superficie. Para distintos
materiales existe un coeficiente de rugosidad relativa al
dimetro de la tubera.
(Diagrama de Moody)
=
2 v2
=16
-
DIAGRAMA DE MOODY
Grfica del valor del factor de friccin (f) en funcin de
Re para la regin laminar
y turbulenta, en coordenadas logartmicas
-
FLUJO EN MEDIOS POROSOS
Ley de Darcy: El caudal de un
fluido que circula por un medio poroso lineal depende
de:
1. Las propiedades geomtricas del sistema: rea y Longitud
2. Las caractersticas del fluido: Viscosidad
3. Las condiciones de flujo: diferencia de presin entre los
extremos del sistema
=
Donde es la permeabilidad del
medio poroso
-
FLUJO EN MEDIOS POROSOS Velocidad real y velocidad de Darcy
En cualquier conducto de flujo siempre se
cumple la ecuacin de continuidad, segn la
cual el caudal es constante e igual al
producto de la velocidad por la
seccin:
Aplicando este concepto en la ley de Darcy se calculara una
velocidad falsa (o
velocidad de Darcy), ya que no toda la seccin de flujo esta
disponible para la
circulacin de fluidos
=
Dnde: velocidad lineal media del fluido
velocidad de Darcy porosidad efectiva
-
FLUJO EN MEDIOS POROSOS Velocidad real y velocidad de Darcy
En cualquier conducto de flujo siempre se
cumple la ecuacin de continuidad, segn la
cual el caudal es constante e igual al
producto de la velocidad por la
seccin:
Para determinar la velocidad real se parte de la velocidad media
lineal
=
Dnde: es la tortuosidad del
medio
-
FLUJO EN MEDIOS POROSOS Multifsico
Se respeta la ecuacin de Darcy pero se le agrega un factor de
correccin, el cual toma la forma de una curva y depende de la
saturacin de los fluidos
Permeabilidad relativa
=
=
Flujo bifsico O-W
En ausencia de presin capilar, ambas diferencias de presin son
iguales
-
FLUJO EN MEDIOS POROSOS Multifsico
Las expresiones de permeabilidad relativa pueden modificarse a
permeabilidad efectiva
=
=
Flujo bifsico O-W
Permeabilidad efectiva: capacidad de un medio porosos de
conducir una fase a una determinada saturacin de fluidos
-
EJERCICIO
Determine la velocidad en el punto F y la presin en B. Considere
las prdidas por el sistema iguales a 0,5m
-
EJERCICIO Hallando la velocidad en F con un balance entre A y
F
Dnde
Adems puede considerarse igual a cero y =
= 0,5
Luego
+ +
2
2=
+ +
2
2+
= = 0 = = 1000
3
= 0,5 9,8
2= 4,9
2
-
EJERCICIO Suponiendo flujo turbulento en la tubera
Y despejando se tiene
= +
2
2+
= 2 == 3,0 9,8
2 4,9
2 = 7,0
Observando que: = = 3,14159 0,025 2
4 7,0 = 3,436114 103
3
Para calcular PB tomemos los puntos A y B =
+ +
2
2+
-
EJERCICIO
Sobreestimando las prdidas
Si no existieran prdidas
=
=
3,436114 103
1,257 103= 2,733583
=
2
2 = 1000 9,81 0
2,7335832
2 4,9 =
8636,2
32
2= 8,6362
=
2
2= 1000 9,81 0
2,7335832
2= 1,8681
