FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA CON RESTRICCIONES DE ESTABILIDAD TRANSITORIA.

1. Revisión bibliográficaEn el presente documento se realiza una revisión de la evolución de OPF-TER, profundizando

en las técnicas utilizadas hasta el momento.

1.1 Flujo óptimo de potencia.

El problema de OPF fue introducido en la década de los 60’s [1].

Esta formulación de OPF fue extendida en los años 70‘, donde se incluye las restricciones de seguridad [2], que es conocido actualmente como el problema de Flujos Óptimos de Potencia con Restricciones de Estabilidad Transitoria.

En el año de 1995 se realiza la reunión “Challenges to OPF”, cuyas conclusiones se realizan en [3].

1.2 Flujo optima de potencia con restricciones de estabilidad transitoria

En la practica el método más conocido para analizar la estabilidad transitoria de los sistemas eléctricos consiste en modelar un conjunto de ecuaciones algebraico-diferenciales que rigen el comportamiento dinámico de la maquina síncrona, e integrarlas numéricamente.

En [4] se propone reescribir la ecuación [2], representando los límites del sistema por restricciones de desigualdad.

Un punto de operación o solución del SEP es el equilibrio de [3] y [3.1] y que satisfacen las condiciones de operación [3.2].

1

[1]

[2]

[3]

[3.1]

[3.2]

Vector de equilibrio

Si se realiza un estudio de estabilidad transitoria para la k-esima perturbación de un sistema de potencia representado por las ecuaciones [3] a [3.2], sometido a cambios en su topología.

Sistema pre-disturbio en t igual a cero

Sistema durante el disturbio en t igual a cero

Sistema post- perturbación en t igual a cero

Las ecuaciones [4] a [6.2] representan el modelo de estabilidad transitoria propuesto en [4], por lo cual a partir de acá se puede definir el problema de OPF-TER, como un problema de optimización no lineal con restricciones algebraicas y diferenciales.

La formulación [7] a [7.5] implica que por lo menos sea considerada una perturbación.

2

[4]

[4.1]

[4.2]

[5]

[5.1]

[5.2]

[6]

[6.1]

[6.2]

Ecuaciones en estado pre-perturbación

Función durante y post-perturbación

[7]

[7.1]

[7.2]

[7.3]

[7.4]

[7.5]

Parámetro que indica el k-esimo evento de perturbaciónTiempo de despeje de la k-esima perturbaciónPeriodo de estudio

El problema de OPF-TER no es fácil de resolver si se considera que el intervalo [0,t ¿], puede ser discreteado en infinitos puntos, esto provoca que haya variables de dimensiones infinitas y restricciones de igualdad [7.5] y desigualdad [7.6] infinitas.

En [4], [5] y [6] el FPO-RET es transformado a un problema de optimización en espacio Euclidiano, a través de una transcripción de las restricciones basado en técnicas de transformación funcional, que disminuyen la dimensión del problema. En [6] el criterio de estabilidad utilizado está basado en las funciones de Lyapunov.

En [5] se justifica la realización de la transformación, dado que el propósito de la operación del sistema es encontrar un punto óptimo de operación, que tenga dimensiones finitas, satisfaciendo todas las restricciones. Por lo cual los autores de [5] no representan en detalle las trayectorias para cada perturbación del FPO-RET.

Al aplicar la técnica de transcripción de restricciones detallada en [5] a [7]-[7.5], se obtiene el problema de optimización en espacio Euclidiano expresado como:

El problema de OPF-TER reformulado en [8]-[8.3], tiene solamente como variables que tienen dimensiones finitas. Las ecuaciones [8]-[8.3] pueden ser vistas como un problema de búsqueda de valor optimo inicial para todas las perturbaciones especificadas, el cual puede ser resuelto por medio de las técnicas de programación de optimización estándar.

En [4] el autor obtiene las matrices Jacobiana y Heissiana de las restricciones de estabilidad transitoria, para la aplicación del método directo no lineal de punto interior primal-dual con grado de convergencia cuadrático.

En [11] los autores obtienen la matriz Jacobiana de las restricciones de estabilidad transitoria y se dan los algoritmos de cálculo, realizados ad-hoc y basados en el esquema de relajación, mediante la explotación de las propiedades intrínsecas del análisis de estabilidad transitoria de sistemas de potencia.

Un enfoque diferente es usado en [7] y [8] en el cual los esfuerzos no están orientados a la reducción de la dimensión del problema de optimización, sino a la forma de representar las ecuaciones de la dinámica del sistema al modelo del FPO-RET. Así en el modelo de estabilidad transitoria del sistema de potencia representado por [4]-[6.2] se transforma en un conjunto de ecuaciones algebraico-diferenciales en un conjunto de ecuaciones algebraicas, numéricamente equivalentes, usando reglas apropiadas. Este conjunto de ecuaciones algebraicas es introducido en el FPO como restricciones de estabilidad transitoria, resultando en un problema de gran dimensión.

3

[8]

[8.1]

[8.2]

[8.3]

A partir de este nuevo enfoque para la representación OPF-RET, en [7] los autores realizan una discretización para cada paso de integración, usando la regla trapezoidal. . Posteriormente se realiza la linealización de las restricciones de OPF como las restricciones de estabilidad y la función objetivo. De esta manera resolver un problema de programación lineal que deben cumplir con las condiciones de karush Kuhn Tucker [KKT].

Un planteamiento diferente lo realizan los autores de [9], [10] y [11] aplicando el mismo modelo de discretización anterior, sin requerir linealización en las ecuaciones. En [9] se realiza una simplificación al reducir un sistema multimáquina al modelo clásico maquina bus infinito, usando el término “Máquina Única Equivalente” (MUE), logrando así reducir la dimensión del sistema a optimizar.

En [10] el estudio se realiza considerando múltiples contingencias simultáneamente, lo que conlleva a despachar generadores a un mayor precio para asegurar la estabilidad. En su trabajo, los autores logran una importante reducción de las restricciones de igualdad, y por consiguiente del tiempo de cálculo, por medio del uso del concepto de matriz de admitancias reducida que sólo tiene en cuenta los nodos internos de los generadores durante el periodo transitorio (durante y post perturbación). Tanto [9] como [11] utilizan el mismo concepto para reducir la dimensión del problema a optimizar. En [10], una aplicación particular del Método de Puntos Interiores es implementada, a fin de obtener una solución eficiente del problema planteado.

En [12], [13] y [14] se propone un enfoque basado en la sensibilidad de las trayectorias. Así, para cada contingencia se calculan estas trayectorias junto con el estado de la dinámica del sistema. Para cada contingencia se identifican las maquinas que son vulnerables desde el punto de vista de estabilidad, y se desplaza la generación hacia el generador menos vulnerable. Los resultados muestran hacia que máquina o grupo de máquinas hay que trasladar la generación. Una de las mayores ventajas de esta aproximación es la compatibilidad con cualquier modelo dinámico y su baja carga computacional. Su principal desventaja es que no se garantiza la operación óptima del sistema. #”%&?

4

1.3 Resumen

5

H. W. Dommel and W. F. Tinney

J. A. Momoh

6

Método de Newton

7

8

1968 1974 1997 1998 2000 2001 2003 2004 2005 2007 20100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Evolución de OPF-TER

Años

Publ

icacio

nes

[1] H. W. Dommel and W. F. Tinney, “Optimal Power Flow Solutions,” IEEETransactions on Power Apparatus and Systems, vol. 87, no. 10, pp. 1866-1876, 1968.[2] O. Alsac and B. Stott, “Optimal Load Flow with Steady-State Security,” IEEETransactions on Power Apparatus and Systems, vol. 93, no. 3, pp. 745-751, 1974.[3] J. A. Momoh et al., “Challenges to optimal power flow,” IEEE Transactions onPower Systems, vol. 12, no. 1, pp. 444-455, 1997.[4] L. Chen, Y. Taka, H. Okamoto, R. Tanabe, and A. Ono, “Optimal operation solutions of power systems with transient stability constraints,” IEEE Transactionson Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, vol. 48, no. 3, pp. 327-339, 2001. [5] Y. Xia, K. W. Chan, and M. Liu, “Direct nonlinear primal-dual interior-point method for transient stability constrained optimal power flow,” IEE ProceedingsGeneration, Transmission and Distribution, vol. 152, no. 1, pp. 11-16, 2005[6] Y. Sun, Y. Xinlin, and H. F. Wang, “Approach for optimal power flow with transient stability constraints,” IEE Proceedings-Generation, Transmission andDistribution, vol. 151, no. 1, pp. 8-18, 2004.[7] D. Gan, R. J. Thomas, and R. D. Zimmerman, “Stability-constrained optimal power flow,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 15, no. 2, pp. 535-540, 2000.[8] M. La Scala, M. Trovato, and C. Antonelli, “On-line dynamic preventive control: an algorithm for transient security dispatch,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 13, no. 2, pp. 601-610, 1998.[9] R. Zarate-Minano, T. Van Cutsem, F. Milano, and A. J. Conejo, “Securing Transient Stability Using Time-Domain Simulations Within an Optimal Power Flow,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 25, no. 1, pp. 243-253, 2010.[10] Yue Yuan, J. Kubokawa, and H. Sasaki, “A solution of optimal power flow with multicontingency transient stability constraints,” IEEE Transactions on PowerSystems, vol. 18, no. 3, pp. 1094-1102, 2003.[11] D. Layden and B. Jeyasurya, “Integrating security constraints in optimal power flow studies,” in IEEE Power Engineering Society General Meeting, 2004., 2004, pp. 125-129 Vol.1. [12] D. Z. Fang, Y. Xiaodong, S. Jingqiang, Y. Shiqiang, and Z. Yao, “An Optimal Generation Rescheduling Approach for Transient Stability Enhancement,” IEEETransactions on Power Systems, vol. 22, no. 1, pp. 386-394, 2007.[13] T. B. Nguyen and M. A. Pai, “Dynamic security-constrained rescheduling of power systems using trajectory sensitivities,” IEEE Transactions on PowerSystems, vol. 18, no. 2, pp. 848-854, 2003.[14] D. Ruiz-Vega and M. Pavella, “A comprehensive approach to transient stability control. I. Near optimal preventive control,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 18, no. 4, pp. 1446-1453, 2003.

9