Flussi Fanno - Rayleigh

Fanno&Rayleigh 1

UNIVERSITA’ DI FIRENZEFacoltà di Ingegneria

Fluidodinamica

Dipartimento di Energetica - S.Stecco

Flusso di Fanno

Flusso di Rayleigh

Fanno&Rayleigh 2


Fluidodinamica


Nelle puntate precedenti …

Flusso di Fanno Flusso di Rayleigh

Ipotesi:a. moto stazionariob. condotto a sezione costantec. flusso monodimensionaled. gas perfettoe. flusso adiabaticof. presenza di attrito

Esempio: gasdotti, trasporto di fluidi per processi chimici

Ipotesi:a. moto stazionariob. condotto a sezione costantec. flusso monodimensionaled. gas perfettoe. assenza di attritof. presenza di scambio termico

Esempio: camera di combustione con forte eccesso d’aria

Ipotesi:a. moto stazionariob. condotto a sezione variabilec. flusso monodimensionaled. gas perfettoe. flusso adiabaticof. assenza di attrito

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PERCHE’?

Fanno&Rayleigh 4


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• Variazione di sezione (ugello, già visto)

• Attrito (Fanno, oggi)

• Scambio termico (Rayleigh, domani)

Se non si smarrisce la visione di insieme delle cose che studiamo (universitas), si capisce meglio il senso di ciò che ci viene proposto e si è capaci di usare tutti gli strumenti messi a nostra disposizione.

Da un punto di vista monodimensionale, i fattori più comuni che producono variazioni continue nello stato di un fluido sono:

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Flusso di Fanno Flusso di Rayleigh

Ipotesi:a. moto stazionariob. condotto a sezione costantec. flusso monodimensionaled. gas perfettoe. flusso adiabaticof. presenza di attrito





Ugello convergente-divergente

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Flusso di Fanno – A=Cost , q=0, stazionario, attrito

0d dVV G CostV

ρρρ

= = ⇒ + =

2 2

0 0 2 2 2

V Gh Cost h Cost h hρ

= ⇒ + = ⇒ = −

Continuità (legame tra densità e velocità)

Energia (legame tra entalpia e densità)

( , )s s h ρ= Equazione di stato (legame tra entropia, entalpia e densità)

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Per descrivere qualitativamente questa tipologia di flusso può essere utile seguirne la trasformazione nel diagramma T-S. Partendo dalla seconda legge della termodinamica si vuole ottenere una espressione che lega la variazione di entropia alla velocità ed alla temperatura del fluido.

Per far questo si può scrivere la seconda equazione del Tds ed utilizzare la legge di stato dei gas perfetti (nella sua espressione in forma integrale e differenziale):

Introduciamo l’ipotesi di gas perfetto

P Pdp dp d dTTds dh C dT RT C dT RT

p Tρ

ρ ρ⎛ ⎞

= − = − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

p RTρ= ⇒ dp d dTp T

ρρ

= +

p RTρ= Pdh C dT=

Fanno&Rayleigh 9


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Inoltre dall’equazione di continuità valida per flussi monodimensionali:

d dVV

ρρ

= − P Pd dT dV dTTds C dT RT C dT RT

T V Tρρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Dall’equazione dell’energia possiamo ottenere un legame tra dV e dT:

20

1 1 02 P P

T T V Cost dT VdVC C

= + = ⇒ + = ⇒

2

1P PC Cds RdT T V T

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

PCdVdT V

= −

1 1PCds dVRdT T V dT T

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠ 2

v PC RCdsdT T V

= −

Questa equazione può essere integrata dando luogo alla curva in figura nel diagramma T – s detta linea di Fanno. Questa curva presenta un punto a tangenza verticale in cui (ds/dT) = 0 .

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Esempio 1: Aria fluisce in un condotto adiabatico di sezione costante a T0=288K e valori in ingresso T1=286K e p1=98.6kPa. Si tracci la curva di Fanno per il flusso descritto.

Soluzione

Possiamo calcolare M1 , ρ1 e V1

20 11 1 1 1 1 1

1 1

11 0.2 2

T pk M M V V M kRTT RT

ρ ρ−= + ⇒ = ⇒ = =

11 1

ln lnP pdp dp T pTds dh C dT RT s s C R

p T pρ= − = − ⇒ − = −

Poniamo ad esempio p=48.3kPa

( )2 2

0 2 2

( )2 P

V TT TC p Rρ

= +

E cosi via per diverse pressioni. L’importante è capire che la curva di Fanno è il luogo dei punti che descrivono i possibili stati del fluido con quella data T0 e con quella data portata.

Fanno&Rayleigh 11


Fluidodinamica


2 0v PC Cds RdT T V

= − =

22

pv P

v

CC CR V R TT V C

= ⇒ =

a aV RTγ=

Nel punto a tangenza verticale:

Questo implica che nel punto a la velocità assume il valore sonico e quindi il numero di Mach è unitario. Poiché la temperatura totale è la stessa per ogni punto di una linea di Fanno la temperatura statica nel punto a coincide con quella critica T*. Questo punto permette di dividere la linea di Fanno in due rami rispetto al valore di T*. Il ramo superiore corrisponde a condizioni di regime per un flusso subsonico, caratterizzate da temperature superiori a quella critica e quindi Mach minori di 1. Il ramo inferiore rappresenta invece condizioni di flusso supersonico.

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II secondo principio della termodinamica sancisce che in un sistema adiabatico, (in cui non ci sono scambi di calore con l’ambiente esterno), l’entropia può solo aumentare per effetto delle trasformazioni irreversibili che avvengono al suo interno, per esempio in seguito alla dissipazione di energia a causa dell’attrito. Questo implica che lungo la curva di Fanno ci si può spostare solamente verso la parte destra, cioè il sistema può evolvere solamente verso valori crescenti di entropia. Se il flusso entra subsonico (1) il numero di Mach potrà solo aumentare, mentre, se entra supersonico (1’), potrà soltanto diminuire.

Flusso Subsonico Flusso Supersonico Flusso Supersonico + Urto Retto

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Consideriamo il caso in cui le condizioni del flusso (portata e entalpia totale) e la lunghezza del condotto siano tali che in uscita si abbia M=1. Immaginiamo di aumentare la lunghezza del condotto: cosa succede?

1) Se il flusso in ingresso è subsonico, non è possibile smaltire la portata assegnata, che deve essere diminuita

2) Se il flusso in ingresso è supersonico, si verifica un urto

Ciò significa che, per le condizioni assegnate, la lunghezza massima che consente l’efflusso del fluido senza variazioni di tali condizioni e senza discontinuità delle proprietà del fluido è proprio la lunghezza per cui in uscita si ha M=1.

Flusso Supersonico + Urto Retto

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Fino ad ora abbiamo visto qualitativamente cosa accade nei vari casi per un flusso di Fanno. Chiediamoci adesso come incide quantitativamente la presenza di attrito sulle proprietà termodinamiche del fluido evolvente. Per fare questo introduciamo l’equazione della quantità di moto, l’unica in cui appare esplicitamente il termine di attrito.

( ) wVA dV dpA Ddxρ τ π= − − 212w f Vτ ρ=

Sfruttando le equazioni viste fino da ora in forma differenziale (continuità, energia, quantità di moto, equazione di stato…) si ottengono delle relazioni che legano le proprietà del fluido al numero di Mach (M), al coefficiente di attrito ( f ), al tipo di fluido (k) e alla geometria del condotto (D):

0

0

, , , ....... ( , , , )dpdp dV dT g M f k Dp V T p

=

( )2 2

2

1 14

1kM k Mdp dxf

p M D

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦= − ⇒−

Esempio:M<1 p decresce

M>1 p cresce

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Le formule vanno sapute leggere più che imparate a memoria. Se uno le sa interpretare, con in aggiunta l’aiuto della curva di Fanno, giunge alle seguenti conclusioni:

M<1 M>1pMVTρp0

N.B. L’unica grandezza su cui è impossibile sbagliarsi è la pressione totale, che diminuisce sempre a causa delle forze di attrito!

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Integrando le relazioni viste in forma differenziale si ottengono delle formule utili per la risoluzione pratica dei flussi di Fanno. Si utilizza il numero di Mach come variabile indipendente.

( )2 2

2

1 14

1kM k Mdp dxf

p M D

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦= −−

Esempio:

Sfruttando la relazione

( )2 22

2 2

11

24

1

kkM M

dM dxfM M D

−⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦=−

Si ottiene: 2 2 ( , )dp p g k MdM M

= e si integra separando le variabili.

Come estremi di integrazione si scelgono quelli riferiti alla generica sezione in cui si ha una data coppia (M,p) e la sezione dove si ha M=1, in cui, quindi, la pressione è quella critica. Passaggi analoghi si fanno per le altre grandezze. Si ottengono dunque relazioni tra il rapporto p/p* (e analogamente T/T *, ρ/ρ * …) e il numero di Mach. N.B. Essendo p* costante per un dato flusso (e analogamente T *, ρ * …) , è opportuno che funga da riferimento!

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Come detto le altre grandezze tipiche del flusso di Fanno possono essere ottenute in modo analogo integrando i differenziali tra le condizioni locali e quelle critiche.

( )2

2

1 112 1

2

dT k dMkT M

−= −

−+

( )( ) 2

12 1

kTT k M∗

+=

+ −

**

V M kRT TMV TkRT∗ = = ( )

1/ 2

2

12 1

V kMV k M∗

⎧ ⎫+⎪ ⎪= ⎨ ⎬+ −⎪ ⎪⎩ ⎭

*VV

ρρ∗ =

( ) 1/ 222 111

k MM k

ρρ∗

⎧ ⎫+ −⎪ ⎪= ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

* * * *

p RT Tp RT T

ρ ρρ ρ∗ = = ( )

( )

1/ 2

2

111 1

kpp M k M∗

⎧ ⎫+⎪ ⎪= ⎨ ⎬+ −⎪ ⎪⎩ ⎭

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( )( ) 2

12 1

kTT k M∗

+=

+ −( )( )

1/ 2

2

111 1

kpp M k M∗

⎧ ⎫+⎪ ⎪= ⎨ ⎬+ −⎪ ⎪⎩ ⎭

TABELLE DI FANNO.......

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( )2 22

2 2

11

24

1

kkM M

dM dxfM M D

−⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦=−

( )2

*2 21 *

4 2

4(1 ) ( ) 411

2

L

M L

f L LM d M f dxk D DkM M

−−= ⋅ =

−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

( ) ( ) ( )( )

* 2 2

2 2

4 1 1 / 21 1 ln2 1 1 / 2

f L L M k MkD k M k k M

⎧ ⎫− − +⎡ ⎤+ ⎪ ⎪⎣ ⎦= + ⎨ ⎬+ −⎡ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

Per un dato condotto L* rappresenta la distanza richiesta prima che, a causa delle azioni di attrito, il numero di Mach locale diventi unitario. Questa relazione è utile per valutare l’evoluzione di un fluido all’interno di un condotto di Fanno di lunghezza generica L, note per esempio le condizioni di ingresso.

N.B. Il coefficiente di attrito f è considerato costante o sostituito con il valore medio assunto all’interno della distanza di integrazione.

E’ utile calcolarsi la lunghezza del condotto per cui si raggiunge la condizione M=1 in uscita

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Esempio 2: Consideriamo un flusso di Fanno con f=0.01 e D=0.1m, M1=0.3 e M2=0.7.Si calcoli la lunghezza del condotto. Inoltre, sapendo che il fluido è aria e che p1=3bar e T1=300K, si calcolino le proprietà del fluido in uscita.

Soluzione

Dalle tabelle:

* *1 24 45.2993 0.2081fL fL

D D= =

* *1 213.25 0.52L L= =

* *1 2 12.73L L L= − =

Ancora dalle tabelle: *1* 3.6191 0.83p p bar

p= ⇒ = 2

2* 1.4935 1.24p p barp

= ⇒ =

Analogamente per la temperatura e per la densità

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Fluidodinamica


Esempio 3: Dell’aria (T0=288°K, p0=101kPa) fluisce da un ugello semplicemente convergente in un condotto adiabatico con attrito. Il condotto è lungo 2m ed ha un diametro di 0.4m. Il coeff. di attrito medio è 0.02. a) Calcolare la portata massima che il condotto può smaltire. b) In questa configurazione calcolare, pressione statica e totale, temperatura statica e totale, velocità in ingresso ed uscita.

SoluzioneLa massima portata si ottiene quando la contropressione è tale da causare il chocking del condotto e quindi quando il Mach in uscita è pari ad 1. In questa situazione, ipotizzando di prendere x=0 all’ingresso del condotto avremo la lunghezza critica coincidente con la lunghezza del condotto L.

*4 4 0.02 2 0.40.4

fLD

⋅ ⋅= =

E’ possibile calcolare il numero di Mach invertendo la funzione di Fanno o più semplicemente interpolando i valori dalla tabella dei flussi di Fanno. Infatti dalla tabella si vede che:MI=0.62 FI(M)=0.4172MII=0.64 FII(M)=0.3533

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( ) ( )1( ) 0.020.62 0.4 0.4172 0.625( ) 0.3533 0.4172

II II

II I

M MM M F FF F

−= + − = + − =

− −

Noto il valore di Min=0.625 è possibile calcolare tutte le grandezze statiche e totali in ingresso al tubo di Fanno, sapendo che l’efflusso nell’ugello è adiabatico ed isoentropico(temperatura totale e pressione totale si conservano):

00.768 101 0.768 77.6inp p kPa= = ⋅ =

( ) 20

1 0.9271 0.5 1

in

in

TT k M

= =+ −

00.927 288 0.927 267inT p K= = ⋅ =

3

77600 1.08287 267

inin

in

p kgRT m

ρ = = =⋅ 0.625 1.4 287 267 204 /in in inV M kRT m s= = ⋅ ⋅ ⋅ =

20.4204 1.08 27.69 /4in in inm A V kg sπρ ⋅

= = ⋅ ⋅ =

( )( )( )/( 1)20

1 0.7681 0.5 1

ink k

in

pp k M

−= =

+ −

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Fluidodinamica


Nella sezione di uscita, sappiamo che il flusso e critico per cui Mou=1 e che la temperatura totale si conserva, T0out=T0in:

0

2 0.8331

ou

ou

TT k

= =+

0 0.833 288 0.833 240ou ouT T K= ⋅ = ⋅ =

1.00 1.4 287 240 311 /out out outV M kRT m s= = ⋅ ⋅ ⋅ =Per il calcolo delle altre grandezze è necessario conoscere la pressione totale o la statica. Per far questo si possono utilizzare nuovamente le tabelle, interpolando tra i valori di Mach più vicini. Infatti dalla tabella si vede che:MI=0.62 P0/P0*=1.1657=GIMII=0.64 P0/P0*=1.1451=GIIInterpolando linearmente:

( ) ( )0

0*

( ) 1.1451 1.16571.1657 0.625 0.620 1.159( ) 0.02

II II I

II I

P G GG M MP M M

− −= + − = + + − =

−

0*0 0* 0

0

101/1.159 87.07ouPP P P kPaP

= = ⋅ = =( )/( 1)

0 1 0.5282

k kou

ou

p kp

−+⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0.528 45.99ou oup p kPa= ⋅ = Analogamente per le altre grandezze

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Fluidodinamica


Flusso di Fanno Flusso di RayleighIpotesi:a. moto stazionariob. condotto a sezione costantec. flusso monodimensionaled. gas perfettoe. flusso adiabaticof. presenza di attrito





Ugello convergente-divergente

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Esempio 2: Consideriamo un flusso di Fanno con f=0.01 e D=0.1m, M1=0.3 e M2=0.7.Si calcoli la lunghezza del condotto. Inoltre, sapendo che il fluido è aria e che p1=3bar e T1=300K, si calcolino le proprietà del fluido in uscita.

Soluzione

Dalle tabelle:

* *1 24 45.2993 0.2081fL fL

D D= =

* *1 213.25 0.52L L= =

* *1 2 12.73L L L= − =

Ancora dalle tabelle: *1* 3.6191 0.83p p bar

p= ⇒ = 2

2* 1.4935 1.24p p barp

= ⇒ =

Analogamente per la temperatura e per la densità

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Fluidodinamica


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Fluidodinamica


Flusso di Rayleigh – A=Cost , f=0, stazionario, scambio termico

02 01q h h= −

0d dVV G CostV

ρρρ

= = ⇒ + =

Energia

Continuità

22 Gp V Cost p Costρ

ρ+ = ⇒ + =

( , ) ( , )s s h h h p

Quantità di moto

ρ ρ= = Equazione di stato

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Fluidodinamica


Introduciamo l’ipotesi di gas perfetto p RTρ= Pdh C dT=

2 0p V Cost dp VdVρ ρ+ = ⇒ + =Equzione della quantità di moto in forma differenziale

pp

Cdp ds V dVTds dh C dT VdVdT T T dTρ

= − = + ⇒ = +

dV dV

ρρ

− = d dT dp dV dT VdVT p V T RT

ρ ρρ ρ

−+ = − + =

1 V dTdVV RT T⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

dT T VdV V R

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

1pCds VdT T T T V V R

= +−

Questa equazione può essere integrata dando luogo alla curva in figura nel diagramma T – s detta linea di Rayleigh. Questa curva presenta un punto a tangenza verticale in cui (ds/dT) = 0 .

Fanno&Rayleigh 29


Fluidodinamica


Nel punto a tangenza verticale, in analogia con il flusso di Fanno, si dimostra che si ha M=1. Un altro punto particolare della curva di Rayleigh è rappresentato dal punto b in cui la curva ha tangente orizzontale.

1b

RTMkkRT

= =

1 01p

dTC VdsT T T V V R

= =+

−Siccome k è maggiore di 1 il punto b corrisponde necessariamente a condizioni di flusso subsonico. Per comprendere completamente l’evoluzione di un flusso di Rayleigh è utile conoscere anche l’andamento della velocità. Per questo è utile, considerare l’equazione dell’energia in forma differenziale, con dq calore infintesimo scambiato per unità di massa .

dh V dV dq+ = p pT VC dT VdV C V dV dqV R

⎡ ⎤⎛ ⎞+ = − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦dT T VdV V R

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

11p

dV dqV c T M

=−

1 0pCds VdT T T T V V R

= + =−

1aM =

Fanno&Rayleigh 30


Fluidodinamica


Nel caso di riscaldamento (reversibile!!!) del fluido dqè positivo e l’entropia aumenta. Nel diagramma T-s la curva viene pertanto percorsa da sinistra verso destra (stesso effetto dell’attrito per flusso di Fanno). In condizioni di moto iniziale supersonico la temperatura aumenta fino al punto a, oltre il quale, non potendo ulteriormente incrementare l’entropia, non è più possibile cedere calore al fluido.

Per quantificare il comportamento di un flusso di Rayleigh si devono sviluppare appropriate forme delle equazioni che governano il sistema. Usando come stato di riferimento quello del flusso in condizioni soniche identificato dal punto a della figura si possono ottenere alcune espressioni che legano le grandezze fluidodinamiche in una generica sezione a quelle critiche in funzione del Mach locale (in totale analogia con il flusso di Fanno). Queste funzioni vengono riportate nelle tabelle di Rayleigh e rendono possibile determinare il comportamento delle diverse grandezze al variare del Mach e del calore scambiato (in particolare del suo segno).

Fanno&Rayleigh 31


Fluidodinamica


In condizioni di moto subsonico, cedendo calore al fluido, la temperatura aumenta fino al punto b, oltre il quale, pur continuando a cedere calore la temperatura diminuisce! Una volta giunti al punto a anche nel caso subsonico non è più possibile continuare a cedere calore al fluido. Con M< 1 la relazione vista ci dice che dV è positivo e che quindi il flusso sta accelerando. Il comportamento nel tratto compreso tra a e b è spiegabile come segue: la temperatura totale aumenta (rilascio di calore positivo), ma l’aumento di velocità è più rapido dell’aumento della temperatura totale stessa; ciò comporta che parte dell’energia termica è richiesta per l’aumento dell’energia cinetica (velocità).

( )2

11p

dV dqV c T M

=−

Nel flusso di Rayleigh è possibile passare dal ramo supersonico a subsonico della curva attraverso un urto retto (analogia col flusso di Fanno).

20

1( ) ( ) ( )2 P

T T VC

↑ = ↓ + ↑↑

Fanno&Rayleigh 32


Fluidodinamica


2 aa

a

pa kρ

=2 2a a ap V p Vρ ρ+ = +

22

1 a a

a a a

Vp Vp p p

ρρ+ = +

2

1 1a

p V kp p

ρ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Dall’equazione della quantità di moto

2

11a

p kp kM

+=

+

( ) 220 0

20, 0

11 212 1 1

a

a a a

k MT T TT k MT T T T kM k

+⎛ ⎞−⎛ ⎞= = + ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) 22

2

11a a

k MT pMT p kM

+⎡ ⎤⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎢ ⎥+⎝ ⎠ ⎣ ⎦

1aa a

a

kRTV TV M TM kRT

ρρ

= = =

( )( )

( )120

20,

1 2 111 1 2

kk

a

kp k Mp kM k

−⎡ ⎤+ −⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

11a

k MV MV kM

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦

1 1a

a a a a a

Tp T T Tp T M T T M T

ρρ

= = =

( )2

111a

k MM kM

ρρ

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )

( )

2 2

022

0,

12 1 121a

k M k MT

T kM

−⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠=

+

Dall’equazione di continuità e legge dei gas perfetti:

La temperatura totale varia per effetto dello scambio termico, e può essere calcolata osservando che:

Fanno&Rayleigh 33


Fluidodinamica


M<1 M>1T0

MT !!!!!pVp0

M<1 M>1

!!!!!

Riscaldamento q>0 Raffreddamento q<0

Attenzione!!!!! Per M<1 bisogna distinguere i due rami separati dal punto b.

N.B. Su T0 è proibito sbagliare.

Fanno&Rayleigh 34


Fluidodinamica


TABELLE DI RAYLEIGH

2

11a

p kp kM

+=

+( ) 2

2

11a

k MTT kM

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦ .......

Fanno&Rayleigh 35


Fluidodinamica


Esempio 1:

Aria in condizioni standard (T0=288 K, p0=101kPa) e M<1 fluisce da un convergente isoentropico in un condotto rettilineo di sezione costante senza attrito e scambiando calore 462 kJ/kg. In condizioni di portata massima si determinino i valori di temperatura e pressione statica, temperatura totale, pressione totale e velocità del flusso all’ingresso e all’uscita del condotto.

Soluzione

Il flusso è subsonico in quanto il condotto a monte del tubo di Rayleigh è semplicemente convergente. La trasformazione relativa alla cessione di calore al flusso nel condotto a sezione costante può essere seguita sul ramo superiore della linea di Rayleigh. Le condizioni di massima portata si realizzano quando il flusso è chockato allo scarico del condotto.

Fanno&Rayleigh 36


Fluidodinamica


Per il flusso attraverso il convergente isoentropico la temperatura e la pressione totale restano costanti per cui i loro valori in ingresso al tubo di Rayleigh saranno T01=288K, P01=101 kPa. Dall’equazione dell’energia:

002 01 02 01 02 0

462000 288 7501000a

p

qh h q T T T T Kc

− = − = ⇒ = = + =

Siccome il flusso è chockato in uscita la T02 coinciderà con la T0a da cui e quindi possiamo calcolare il rapporto:

01

0

0.3836a

TT

=

Invertendo la relazione tra temperatura totale e critica si ottiene il valore di Mach nella sezione 1. Più semplicemente si può far uso delle tabelle di Rayleigh ed osservare che per M=0.32 il rapporto è pari a 0.3837 e quindi molto vicino al valore reale. Le tabelle ci forniscono anche gli altri rapporti significativi. In particolare, il rapporto delle pressioni totali indica che la pressione totale in uscita è minore a causa del riscaldamento.

Fanno&Rayleigh 37


Fluidodinamica


0 1

0

1 .1 9 0 4a

pp

= 00 01 02

01

101 84.81.1904

aa

pp p kPa pp

= = = =

Le altre grandezze in ingresso possono essere ottenute sulla base delle relazioni tra grandezze statiche e totali e l’equazione di stato:

1211

01

11 0.93152

kkp k M

p

−−−⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠1 0.9315 101 94.5p kPa kPa= ⋅ =

121

101

11 0.979932

T k MT

−−⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0.9799 288 282.22T K K= ⋅ =

1 0.32M =

11 3

1

1.162p kgRT m

ρ = = 1 1 1 0.32 1.4 287 283 108 /V M kRT m s= = ⋅ ⋅ =

Le grandezze in uscita possono essere ottenute sulla base delle relazioni tra grandezze statiche e totali e l’equazione di stato:

2 022 2750 625

1 2.4T T K

k= = =

+

1

2 022 44.82

1

k k

p p kPak

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

22 3

2

0.250p kgRT m

ρ = = 2 2 2 1.4 287 625 501 /V M kRT m s= = ⋅ ⋅ =

Fanno&Rayleigh 38


Fluidodinamica


Si noti che anche se l’intero condotto è stato considerato privo di attrito l’aggiunta di calore determina una perdita di pressione totale p01 > p02 . La pressione allo scarico deve essere inferiore a 44 kPa per chockare il flusso. Ogni ulteriore riduzione non ha effetto sul flusso attraverso il convergente e il condotto successivo.

Esempio 2

All'ingresso di un condotto abbiamo M1=0.4 ,T1= 775 K, p1=100 kPa. Fra ingresso ed uscita del condotto è imposto un flusso uscente di energia (scambio termico) di 300 KJ/kg. Determinare le condizioni all'uscita del condotto e la caduta di pressione di ristagno.

( )( )201 1 11 0.5 1 800T T k M K= + ⋅ − ⋅ = 02 01 500

p

QT T KC

= + =

01

0

0.529a

TT

= 02 02 01

0 01 0

0.331a a

T T TT T T

= =

Soluzione

Dall’equazione dell’energia:

(da tabella)

Fanno&Rayleigh 39


Fluidodinamica


Noto il rapporto di temperature totali è possibile calcolare il numero di Mach in uscita, interpolando linearmente tra i valori di tabella di Fanno.MI=0.29 T0/T0a=0.3285 P0/P0a=1.202=F1MII=0.30 T0/T0a=0.3468 P0/P0a=1.199=F2Interpolando linearmente:

( )2 12 1

( ) 0.292( )

II II

M MM M F FF F

−= + − =

−( )02

0

( ) 1.202( )

II II II I

a II I

P F FF M MP M M

−= + − =

−

02 0 0102 1

0 01 1

1.202 0.1.117 100 1091.157

a

a

P P PP P kPaP P P

⋅= = =

( )

Utilizzando i rapporti tra grandezze critiche è possibile determinare le altre variabili in 2:

( )02

2 122

1091 0.5 ( 1)

k k

PP kPak M

−= =

+ ⋅ − ⋅

022 2

2

4931 0.5 ( 1)

TT Kk M

= =+ ⋅ − ⋅

0 01 02 3P P P kPaΔ = − =

( )( )1201 1 21 0.5 ( 1) 111

k kP P k M kPa

−= ⋅ + ⋅ − ⋅ =

Il raffreddamento provoca un ridotto decremento di pressione totale. NON VA BENE!!!!

Fanno&Rayleigh 40


Fluidodinamica


Esempio 3: All'ingresso di un condotto abbiamo M1=0.4 ,T1= 775 K, p1=100 kPa. Supponendo che nel condotto venga aggiunto del combustibile che ha un potere calorifico di 42.8MJ/kg, determinare la massima portata di combustibile che non provoca una riduzione di portata:

Soluzione

La quantità di calore massima che può essere ceduta è quella che porta il flusso alle condizioni soniche nella sezione di uscita. In questo caso:

( )( )201 1 11 0.5 1 800T T k M K= + ⋅ − ⋅ = 01

0

0.529a

TT

= 02 0 1511aT T K= =

La quantità di calore che deve essere fornita per raggiungere le condizioni critiche sarà data da: ( )02 01( ) 1004 1511 800 714 /pQ C T T kJ kg= − = ⋅ − =

02 01( )c air pm H m C T T= −

02 01( )0.017pc

air

C T Tmm H

−= =

La quantità di combustibile massima sarà data da:

Se il rapporto diventasse superiore la portata di aria diminuirebbe portandosi al valore coerente con il flusso chockato nella sezione di uscita.

Fanno&Rayleigh 41


Fluidodinamica


Esempio 4

Un ugello convergente è collegato ad un condotto circolare D=0.01m in cui viene ceduto calore al fluido. La pressione di ristagno vale 150kPa e la temperatura di ristagno 300K. a) Determinare pressione, portata e calore fornito se M1=0.46 e l’uscita è sonica.

01

0

0.630a

TT

= 002 0 01

01

300 4760.630

aa

TT T T KT

= = = =

( )( )02

2 122

701 0.5 ( 1)

a k k

PP P kPak M

−= = =

+ ⋅ − ⋅02

2 22

3961 0.5 ( 1)

TT Kk M

= =+ ⋅ − ⋅

01

0

1.130a

PP

= 002 0 01

01

150 132.61.130

aa

PP P P kPaP

= = = =

22 3

2

0.905p kgRT m

ρ = =

( )2

2 2 2

0.010.905 0.0284

4kgm Au kRTs

πρ= = ⋅ ⋅ =

( )02 01( ) 1004 476 300 177 /pQ C T T kJ kg= − = ⋅ − =

Soluzione

Fanno&Rayleigh 42


Fluidodinamica


b) Si lascia invariato il flusso termico Q=177 kJ/kg ma si alza la pressione di valle portandola a 100kPa. Determinare il nuovo valore della portata.

Il flusso termico è rimasto invariato per cui le temperatura totale in uscita rimarrà invariata e pari a 476K. La pressione è aumentata, e non siamo più in condizioni critiche ed il M di uscita sarà subsonico. Questo comporta la necessità di un calcolo iterativo ipotizzando un Mach di uscita. Nel nostro caso la pressione è aumentata del 30% per cui ipotizzando un comportamento lineare il Mach potrebbe essere intorno a 0.7.

02

0

( 0.7) 0.908a

T F MT

= = = 02

0

1.043a

PP

=

01 01 02

0 02 0

300 0.908 0.576476a a

T T TT T T

= = ⋅ = Funzione di Rayleigh in ingresso

Noto il rapporto di temperature totali è possibile calcolare il numero di Mach, interpolando linearmente tra i valori di tabella di Fanno.MI=0.42 T0/T0a=0.564 P0/P0a=1.148=FIMII=0.44 T0/T0a=0.597 P0/P0a=1.139=FII

Fanno&Rayleigh 43


Fluidodinamica


Interpolando linearmente:

( )1( ) 0.425( )

II II I

II I

M MM M F FF F

−= + − =

−( )01

0

( ) 1.146( )

II II II I

a II I

P F FF M MP M M

−= + − =

−Quest’ultimo rapporto ci consente di calcolare la pressione di uscita e confrontarla col valore di 100 kPa.

02 022 01

02 0 01

1.043 98.51.387 1.146

a

a

p ppp p kPap p p

= = =⋅

( )( )12022

2

1 0.5*( 1) 1.387k kp k M

p−

= + − ⋅ =

L’errore rispetto al valore reale della pressione di uscita è di (100-98.5)/100 cioè dell’ 1.5% che ai fini pratici può essere considerato accettabile. Altrimenti si dovrebbe rifare tutti i calcoli con un nuovo valore di tentativo leggermente più basso, per esempio 0.7*0.985 essendo 0.985 l’errore percentuale residuo sulla pressione. Omettendo i calcoli il risultato avrebbe portato ad una pressione di 99.5 Kpa.

Fanno&Rayleigh 44


Fluidodinamica


RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

The dynamics and thermodynamics of

COMPRESSIBLE FLUID FLOWAscher H. Shapiro

Vol. IWiley1953

COMPRESSIBLE FLUID DYNAMICS

B.K. HodgeKeith Koenig

Fanno&Rayleigh 45


Fluidodinamica


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Flussi Fanno - Rayleigh