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ET77J – Sistemas de Potência 1
Fluxo de Potência – Método de Solução de Newton-Raphson
Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto
ET77J – Sistemas de Potência 1
Objetivo da Aula
2
Apresentar o método iterativo de Newton-Raphson para resolução do problema de fluxode potência.
ET77J – Sistemas de Potência 1
Conteúdo Programático
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Método de Newton-Raphson unidimensional;
Método de Newton-Raphson multidimensional;
Aplicação ao problema de fluxo de potência.
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Construção de Conhecimento Esperado
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Desenvolver proficiência na solução doproblema de fluxo de potência a partir daaplicação do método de Newton-Raphson.
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Solução de Equações não-Lineares
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Obtenção dos zeros de uma função– Considere a seguinte função 𝑔𝑔 𝑥𝑥 , para a qual 𝑥𝑥𝑠𝑠 →𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑠𝑠 = 0 (solução procurada)
Equação algébrica não linear com uma variável
(unidimensional)
Zero da função
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Solução de Equações não-Lineares
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Obtenção dos zeros de uma função
– Existem vários métodos numéricos de solução,como, por exemplo:
• Método da Bissecção;• Método da Secante;• Método da posição falsa;• Método de Newton-Raphson;• etc.
Diferenciam-se emrelação a convergência enúmero de iterações,basicamente.
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Solução de Equações não-Lineares
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Obtenção dos zeros de uma função
– Considerando o método de Newton-Raphson paradeterminar 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑠𝑠 = 0
• É necessário conhecer a função 𝑔𝑔 𝑥𝑥 e sua derivadaprimeira 𝑔𝑔′ 𝑥𝑥 em um dado ponto 𝑥𝑥𝑖𝑖;
– Baseado em aproximações lineares → série de Taylor em tornode um ponto considerado 𝑥𝑥𝑖𝑖;
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Solução de Equações não-Lineares
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Obtenção dos zeros de uma função– Interpretando geometricamente o método de
Newton-Raphson
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Solução de Equações não-Lineares
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Obtenção dos zeros de uma função– Contudo, se 𝑥𝑥𝑣𝑣 estiver próximo de 𝑥𝑥𝑠𝑠
– Linearizando (1) em torno de 𝑥𝑥𝑣𝑣;𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣) , pelo usoda série de Taylor:
Para a qual: 𝑥𝑥𝑣𝑣 =valor inicial (estimativa); ∆𝑥𝑥𝑣𝑣=correção (erro) no valor de 𝑥𝑥; 𝑣𝑣=contador deiterações.
𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + ∆𝑥𝑥𝑣𝑣 ≈ 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑠𝑠 = 0 (1)
𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + ∆𝑥𝑥𝑣𝑣 ≈ 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + 𝑔𝑔′(𝑥𝑥𝑣𝑣)Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 0 (2)
Para valores suficientemente pequenos de ∆𝒙𝒙 (proximidade com 𝒙𝒙𝒔𝒔 ) ostermos de ordem superior da série podem ser negligenciados.
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Solução de Equações não-Lineares
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Obtenção dos zeros de uma função– Resolvendo (2) para ∆𝑥𝑥𝑣𝑣
– Logo, uma nova estimativa de 𝑥𝑥 será:
𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + 𝑔𝑔′(𝑥𝑥𝑣𝑣)Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 0
Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = −𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣
𝑔𝑔′(𝑥𝑥𝑣𝑣)(3)
𝑥𝑥𝑣𝑣+1 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 + Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 −𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣
𝑔𝑔′(𝑥𝑥𝑣𝑣)(4)
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Solução de Equações não-Lineares
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O processo iterativo para o método de Newton-Raphson unidimensional consiste em:
I. Inicializar o contador de iterações 𝑣𝑣 = 0. Escolher umponto inicial 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 = 𝑥𝑥0;
II. Calcular o valor da função 𝑔𝑔(𝑥𝑥) no ponto 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 →𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣);
III. Comparar o valor calculado 𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣) com a tolerânciaespecificada 𝜀𝜀 . Se 𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣) ≤ 𝜀𝜀 , então 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑣𝑣corresponderá a solução procurada dentro da faixa detolerância ∓𝜀𝜀. Caso contrário prosseguir para o passoIV.
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Solução de Equações não-Lineares
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O processo iterativo para o método de Newton-Raphson unidimensional é:
IV. Linearizar a função 𝑔𝑔(𝑥𝑥) em torno de𝑥𝑥𝑣𝑣;𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣) → obtenção de 𝑔𝑔′(𝑥𝑥𝑣𝑣);
V. Resolver o problema linearizado → Δ𝑥𝑥𝑣𝑣. Estimar𝑥𝑥𝑣𝑣+1;
VI. Atualizar 𝑣𝑣 ← 𝑣𝑣 + 1 e voltar ao passo II.
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Solução de Equações não-Lineares
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Considere o caso multidimensional parautilização do método de Newton-Raphson
Sistema de equações não lineares com n funções e n incógnitas.
�
𝑔𝑔1 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 0𝑔𝑔2 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 0
…𝑔𝑔𝑛𝑛 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 0
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Solução de Equações não-Lineares
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Para esta situação:
– Os passos para solução deste caso são basicamenteos mesmos do algoritmo apresentado para o casounidimensional;
– A principal diferença está no passo IV (linearização)de 𝑔𝑔(𝑥𝑥);
• Surgimento da matriz jacobiana.
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Solução de Equações não-Lineares
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Para esta situação:
– Linearizar (4) em torno de 𝑥𝑥𝑣𝑣;𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣) pelo uso dasérie de Taylor:
𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + ∆𝑥𝑥𝑣𝑣 ≈ 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑠𝑠 = 0
𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + ∆𝑥𝑥𝑣𝑣 ≈ 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣)Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 0
(4)
(5)
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Solução de Equações não-Lineares
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Para esta situação– Resolvendo (5) para ∆𝑥𝑥𝑣𝑣:
– Logo, uma nova estimativa de 𝑥𝑥 será:
𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 + 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣)Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 0
(6)Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = − 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣) −1 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣
𝑥𝑥𝑣𝑣+1 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 + Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 − 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣) −1 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣 (7)
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Solução de Equações não-Lineares
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A matriz Jacobiana:– Retomando (5) e considerando os valores iniciais,
para cada variável, iguais a 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0 e ascorreções (erros) iguais a Δ𝑥𝑥10,Δ𝑥𝑥20,⋯ ,Δ𝑥𝑥𝑛𝑛0, tem-se:
𝑔𝑔1 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0 + �𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10
Δ𝑥𝑥10 + �𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20
Δ𝑥𝑥20 + ⋯+ �𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0
Δ𝑥𝑥𝑛𝑛0 = 0
𝑔𝑔2 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0 + �𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10
Δ𝑥𝑥10 + �𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20
Δ𝑥𝑥20 + ⋯+ �𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0
Δ𝑥𝑥𝑛𝑛0 = 0
…
𝑔𝑔𝑛𝑛 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0 + �𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10
Δ𝑥𝑥10 + �𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20
Δ𝑥𝑥20 + ⋯+ �𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0
Δ𝑥𝑥𝑛𝑛0 = 0
(8)
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Solução de Equações não-Lineares
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A matriz Jacobiana é:– Resolvendo (8) para Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 e apresentando em forma
matricial:
Δ𝑥𝑥10
Δ𝑥𝑥20⋯Δ𝑥𝑥𝑛𝑛0
= −
�𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10
�𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20
⋯ �𝜕𝜕𝑔𝑔1𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0
�𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10
�𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20
⋯ �𝜕𝜕𝑔𝑔2𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
�𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝑥𝑥10
�𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑥𝑥20
⋯ �𝜕𝜕𝑔𝑔𝑛𝑛𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛0
−1
�
𝑔𝑔1 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0
𝑔𝑔2 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0⋯
𝑔𝑔𝑛𝑛 𝑥𝑥10, 𝑥𝑥20,⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛0
(9)
Jacobiano
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Solução de Equações não-Lineares
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O processo iterativo para o método de Newton-Raphson multidimensional consiste em:
I. Inicializar o contador de iterações 𝑣𝑣 = 0. Escolherum ponto inicial 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 = 𝑥𝑥0;
II. Calcular o valor da função 𝑔𝑔(𝑥𝑥) no ponto 𝑥𝑥 =𝑥𝑥𝑣𝑣 → 𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑣𝑣);
III. Testar a convergência: Se 𝑔𝑔𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑣𝑣) ≤ 𝜀𝜀 para 𝑖𝑖 =1,⋯ ,𝑛𝑛, então 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑣𝑣 será a solução procuradadentro da faixa de tolerância ∓𝜀𝜀. Caso contrárioprosseguir.
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Solução de Equações não-Lineares
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O processo iterativo para o método de Newton-Raphson multidimensional é:
IV. Calcular a matriz jacobiana 𝐽𝐽(𝑥𝑥𝑣𝑣);
V. Determinar o novo ponto 𝑥𝑥𝑣𝑣+1;
VI. Atualizar 𝑣𝑣 ← 𝑣𝑣 + 1 e voltar ao passo II.
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Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência
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Para solução do problema de fluxo de potência
𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣
𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣)
Δ𝑥𝑥𝑣𝑣
Como determinar?
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
As expressões das potências líquidas nas barras:
Sistema com 2NB equações.
(17)
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Um sistema elétrico de potência é compostopor:
– Uma barra de referência (V e θ são dados → deve-se obter P e Q);
– NPQ barras do tipo PQ (P e Q são dados → deve-seobter V e θ );
– NPV barras do tipo PV (P e V são dados → deve-seobter Q e θ );
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Logo, tal sistema possuirá (𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 +1) barras:
Existem dois tipo de incógnitas
– 𝑁𝑁 𝑒𝑒 𝜃𝜃 → 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒;– 𝑁𝑁 𝑒𝑒 𝑁𝑁 → 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑟𝑟𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑒𝑒𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
� 2 � 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 + 1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2 � 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 + 1 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑎𝑎𝑖𝑔𝑔𝑛𝑛𝑖𝑖𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎
Dois problemas, ou subsistemas, que podem ser resolvidosseparadamente
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Determinação das variáveis de estado(subsistema 1)– Resolvido de forma iterativa
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Determinação das variáveis de estado(subsistema 1)– Em termos de potência, são dados
– Dessa forma, as equações (17) podem ser utilizadaspara determinar o estado da rede:
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Determinação das variáveis de estado(subsistema 1)
(18)
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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A equação (18) pode ser reescrita da seguinteforma:
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Determinação das potências nodaisdesconhecidas (subsistema 2)
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Determinação das potências nodaisdesconhecidas (subsistema 2)
Não é necessário aplicar um método iterativo, pois as incógnitas sãoexplícitas (estado da rede conhecido). Obtido a partir daconvergência do Subsistema 1.
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Portanto, o método de Newton-Raphson seráaplicado a resolução do subsistema 1– Retomando (6)
Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = − 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣) −1 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣
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Portanto, o método de Newton-Raphson seráaplicado a resolução do subsistema 1– Retomando (6)
Δ𝑥𝑥𝑣𝑣 = − 𝐽𝐽 (𝑥𝑥𝑣𝑣) −1 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑣𝑣
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Contudo, 𝑁𝑁𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑁𝑁𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒 são constantes, logo:
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A matrizes H, M, N e L não possuem as mesmasdimensões
– Essas são:
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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De forma compacta:
Δ𝜃𝜃𝑣𝑣Δ𝑁𝑁𝑣𝑣 = 𝐻𝐻 𝑁𝑁
𝑀𝑀 𝐿𝐿𝑣𝑣−1
⋅ Δ𝑁𝑁𝑣𝑣
Δ𝑁𝑁𝑣𝑣(19)
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As expressões para os elementos das matrizesH, M, N e L são obtidas a partir das equaçõesdas potências nodais 𝑁𝑁𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑁𝑁𝑘𝑘
– Para a matriz H
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As expressões para os elementos das matrizesH, M, N e L são obtidas a partir das equaçõesdas potências nodais 𝑁𝑁𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑁𝑁𝑘𝑘
– Para a matriz N
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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As expressões para os elementos das matrizesH, M, N e L são obtidas a partir das equaçõesdas potências nodais 𝑁𝑁𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑁𝑁𝑘𝑘
– Para a matriz M
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As expressões para os elementos das matrizesH, M, N e L são obtidas a partir das equaçõesdas potências nodais 𝑁𝑁𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑁𝑁𝑘𝑘
– Para a matriz L
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O processo iterativo de resolução dosubsistema 1 é:
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O processo iterativo de resolução dosubsistema 1 é:
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O processo iterativo de resolução dosubsistema 1 é:
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A solução do problema do fluxo de potênciapelo método de Newton-Raphson pode sersimplificada:– Para sistemas de Extra-alta tensão (EAT > 230kV) e
Ultra-alta tensão (UAT > 750 kV)
𝑁𝑁 → 𝜃𝜃
𝑁𝑁 → 𝑁𝑁
𝑁𝑁 → 𝑁𝑁
𝑁𝑁 → 𝜃𝜃
Fortementeacoplados
Fracamenteacoplados
𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝜃𝜃
≫𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝑁𝑁
𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝑁𝑁
≫𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝜃𝜃
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Isso implica que as matrizes
Logo (19) passa a ser:
𝑀𝑀 =𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝑁𝑁
𝑁𝑁 =𝜕𝜕𝑁𝑁𝜕𝜕𝜃𝜃
Podem ser desprezadas
Δ𝜃𝜃𝑣𝑣Δ𝑁𝑁𝑣𝑣 = 𝐻𝐻 0
0 𝐿𝐿𝑣𝑣−1
⋅ Δ𝑁𝑁𝑣𝑣
Δ𝑁𝑁𝑣𝑣(20)
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Portanto, (20) passa a ser:
(21)
Equações simultâneas: 𝑁𝑁 𝑒𝑒 𝜃𝜃 atualizados ao mesmo tempo
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Para melhorar a convergência de (21) é possíveladotar um esquema de resolução alternado
(22)
Neste caso o fator de correção de potência reativa é calculado já utilizandovalores atualizados do ângulo de fase da tensão.
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Em resumo, o método desacoplado:
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Aplicação do Método de Newton-Raphson
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Comparação entre os métodos de Newton-Raphson e desacoplado:
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Referências bibliográficas
51
MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A.. Introdução a sistemas de energia elétrica. Campinas, SP:UNICAMP, c2003. 251 p.
MONTICELLI, A. J.. Fluxo de carga em redes de energia elétrica. São Paulo: E. Blucher; Rio deJaneiro: Centro de Pesquisas de Energia Eletrica (Brasil), c1983. 164p.
KOTHARI, D. P.; NAGRATH, I. J. Modern Power System Analysis. [s.l.] Tata McGraw-Hill PublishingCompany, 2003. 353p.
WANG, X. F.; SONG, Y.; IRVING, M. Modern Power Systems Analysis. [s.l.] Springer US, 2010.569p.
BENEDITO, R. A. S. ET77J – Sistemas de Potência 1. Notas de aula. UTFPR, 2015, Curitiba.
CASTRO, C. A. IT 720 - Sistemas de Energia Elétrica I. Notas de aula. Unicamp, 2019, Campinas.
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Referências bibliográficas
52
CASTRO, C. A. IT 601 - Cálculo de Fluxo de Carga. Notas de aula. Unicamp, 2005,Campinas.
ZHU, J. Optimization Of Power System Operation, 2nd ed. IEEE Press; USA, 2015. 633p.
El-Hawary, M. E. Electrical Power Systems – Design and Analysis. IEEE Press; USA,1995. 791 p.
Press, W. H. Numerical Recipes in C - The Art of Scientific Computing, 2nd ed.Cambridge University Press; USA, 1997. 994 p.
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Obrigado pela Atenção!Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto – [email protected]
Departamento Acadêmico de Eletrotécnica – DAELT – (41)3310-4626 Av. Sete de Setembro, 3165 - Bloco D – Rebouças - CEP 80230-901
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