Fodor János - Állatorvostudományi Egyetem · olyan (a,b)és (a,c) rendezett párt, amelyben b 6= c, geometriailag a következ˝ot jelenti: Fugg˝¨ oleges egyenes teszt A s´ık

Szent Istvan Egyetem Allatorvos-tudomanyi KarBiomatematikai es Szamıtastechnikai Tanszek

Biomatematika 3.

Fuggvenyek I.

Fodor Janos

Copyright c© [email protected] Revision Date: September 2, 2006 Version 1.25

mailto:[email protected]

Table of Contents

1 Fuggvenyek: Bevezetes 5

2 A Descartes-fele koordinata-rendszer 6

3 A fuggveny fogalma 12

4 Fuggvenyek abrazolasa 29

5 Muveletek valos fuggvenyek kozott 34

6 Novekvo es csokkeno fuggvenyek 42

Table of Contents (cont.) 3

7 Fuggveny inverze 45

7.1 Invertalhato fuggvenyek . . . . . . . 47

7.2 Fuggveny inverze . . . . . . . . . . . 53

8 Nehany fontos fuggvenyosztaly 57

8.1 Linearis fuggvenyek . . . . . . . . . 57

8.2 Hatvanyfuggvenyek . . . . . . . . . 62

• Alkalmazas: milyen nagy lehet egysejt? . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Toc JJ II J I Back J Doc Doc I

Section 1: Fuggvenyek: Bevezetes 4

1. Fuggvenyek: Bevezetes

A fuggveny fogalma az egyik legfontosabb a ma-tematikaban es alkalmazasaiban. Eloszor valos sza-mokbol kepzett rendezett parokat tekintunk, majda Descartes-fele koordinata-rendszert a sıkon.Aztan bevezetjuk a fuggveny fogalmat, targyaljukezek alapveto tulajdonsagait, es a veluk vegezhetomuveleteket. Majd a legfontosabb fuggvenyoszta-lyokat tekintjuk at, ezek alkalmazasaival egyutt.


Section 2: A Descartes-fele koordinata-rendszer 5

2. A Descartes-fele koordinata-rendszer

Az a es b elemeket tartalmazo halmaz {a, b}. Ahogyazt tudjuk, itt az elemek sorrendje nem szamıt:

{a, b} = {b, a}.

Elofordulhat azonban, hogy a sorrend lenyeges. Ezertvezetjuk most be a rendezett par fogalmat.



Az a elso komponensu, b masodik kompo-nensu rendezett part (a, b) jeloli.

Rendezett parok jellemzo tulajdonsaga, hogy

(a, b) = (c, d) pontosan akkor, ha a = c es b = d.

Specialisan, (a, b) = (b, a) pontosan akkor, haa = b.

Lattuk: a valos szamok halmaza reprezentalhato(azonosıthato) a valos szamegyenessel.

Most felidezzuk: barmely (a, b) rendezett szampar,



ahol a es b valos szamok, reprezentalhato (azonosıt-hato) a sık egy pontjaval. Bevezetjuk a Descartes-fele koordinata-rendszert a kovetkezo modon.

Tekintsunk

• ket valos szamegyenest, amelyek a 0 pontbanmetszik egymast;

• az egyik vızszintes; neve: elso tengely vagyx-tengely;

• a masik meroleges az elsore; neve: masodiktengely vagy y-tengely;



• az iranyıtast ugy valasztjuk meg, hogy az x-tengelyen az 1 a 0-tol jobbra, az y-tengelyen az1 a 0 folott helyezkedik el.

• Barmely (a, b) rendezett szamparra legyen

– La az y-tengellyel parhuzamos egyenes, a-mely az x-tengelyt a-ban metszi,

– Mb az az x-tengellyel parhuzamos egyenes,amely az y-tengelyt b-ben metszi.

• Az La es Mb egyenesek metszespontjat rendeljukhozza az (a, b) rendezett szamparhoz.



Az a es b szamokat e pont koordinatainaknevezzuk.

(a,b)

a

b

x-tengely

y-tengely

0

Ha (a, b) es (c, d) nem egyenlok, akkor a hozzajuk



rendelt pontok is kulonbozok.

Tovabba, a sık minden pontjahoz tartozik egy szam-par. Ezekbol kovetkezik, hogy a

rendezett szampar → pont

hozzarendeles kolcsonosen egyertelmu megfelel-tetes az osszes valos szampar halmaza (ezt R2 jeloli),valamint a sık pontjainak halmaza kozott. Ennekertelmeben

R2-et reprezentalhatjuk (azonosıthatjuk) aDescartes-fele koordinata-rendszerrel ellatottsıkkal.


Section 3: A fuggveny fogalma 11

3. A fuggveny fogalma

A megfeleltetes, hozzarendeles intuitıv fogalmakozponti szerepet jatszik a fuggvenyekkel kapcsolat-ban.

Nehany pelda:

1. Barmely szemelyhez hozzarendeljuk az elet-korat.

2. Barmely arunak megfeleltetjuk az arat.

3. Barmely szemelyautonak megfeleltetjuk a rend-szamat.



4. Barmely korhoz hozzarendeljuk annak terule-tet.

5. Barmely szamhoz hozzarendeljuk annak kobet.

Mi a kozos ezekben a peldakban?

Mindegyik felfoghato ugy, mint bizonyos rendezettparok halmaza.

E rendezett parok az egymasnak megfelelo objek-tumokbol allnak a mondott sorrendben. Tehat:

Azon (x, y) rendezett parok halmaza, ahol

1. x egy szemely, y pedig az x eletkora;



2. x egy aru, y pedig az x ara.

3. x egy szemelyauto, y pedig az x rendszama.

4. x egy kor, y pedig az x terulete.

5. x egy szam, y pedig az x kobe.

Eszrevetel: (x, y) elso komponense egyertelmuenmeghatarozza a masodik komponenst.

Ezeken a megfigyeleseken alapul a kovetkezo definıcio.

Fuggvenyen rendezett parok olyan f halmazatertjuk, amelyre teljesul, hogy amennyiben (a, b) es(a, c) is f -hez tartozik, akkor b = c.



Mas szavakkal: egy fuggveny olyan rendezett pa-rokbol allo halmaz, amelyben nincs ket olyan ren-dezett par, amelyek elso komponensei megegyeznek,masodik komponensei viszont kulonbozok.

A fenti definıcio talan kozismertebb interpretacioja:

Fuggvenyen olyan szabalyt ertunk, amely egy A

halmaz minden elemehez egy B halmaz pontosanegy elemet rendeli hozza.





Ha egy (x, y) rendezett par eleme f -nek, akkory az f helyettesıtesi erteke x-ben. Jeloles:y = f(x) .

Pelda. (a) Tekintsuk a kovetkezo rendezett parokbolallo halmazt:

{(−2,−8), (−1,−1), (0, 0), (1, 1), (2, 8)}.Mivel az elemek kozott nincs ket olyan rendezettpar, amelyeknek azonos elso, de kulonbozo masodikkomponensei lennenek, ezert ez fuggveny.

Konnyen felismerheto az (x, y) ket komponense kozti



kapcsolat: x ∈ {−2,−1, 0, 1, 2}, es y = x3.

(b) Ha

{(1,−1), (1, 1), (4,−2), (4, 2), (9,−3), (9, 3)},

akkor e halmaz nem fuggveny (bar rendezett parokaz elemei).

Peldaul, (1,−1) es (1, 1) elso komponensei mege-gyeznek, de masodik komponenseik nem.

Az R2 halmazt reprezentalhato a Descartes-fele ko-ordinata-sıkkal. Ezert



a sık barmely reszhalmazat tekinthetjuk rendezettszamparokbol allo halmaznak; de a sık nem mindenreszhalmaza fuggvenyt.

Az a feltetel, hogy egy fuggveny nem tartalmazhatolyan (a, b) es (a, c) rendezett part, amelyben b 6= c,geometriailag a kovetkezot jelenti:

Fuggoleges egyenes tesztA sık egy reszhalmaza pontosan akkor fuggveny,ha barmely az y tengellyel parhuzamos egyenessellegfeljebb egy kozos pontja van.



Fuggveny Nem fuggveny

Ha az f fuggveny azokbol az (x, y) rendezett szam-parokbol all, amelyekre peldaul y = x2, akkor a ha-gyomanyoknak megfeleloen f -re egyszeruen a kapc-solatot definialo egyenloseggel hivatkozunk:



y = x2 , vagy f(x) = x2.

Ekkor x-et fuggetlen valtozonak, mıg y-t fuggovaltozonak is nevezik.

Fuggveny ertelmezesi tartomanya esertekkeszleteEgy fuggveny ertelmezesi tartomanyan (an-golul: domain) a hozza tartozo rendezettparok elso komponenseibol allo halmazt, mıgertekkeszleten (angolul: range) a masodikkomponensekbol allo halmazt ertjuk.



Az f fuggveny ertelmezesi tartomanyat Df , ertek-keszletet pedig Rf jeloli.

Pelda. Azt az f fuggvenyt, amely azokbol az (x, y)rendezett parokbol all, melyekre −1 ≤ x ≤ 2, esy = x2, ugy is interpretalhatjuk, hogy ez egy olyan



szabaly, amely a [−1, 2] intervallumhoz tartozo bar-mely szamhoz annak negyzetet rendeli. f -et az alabbimodon ırhatjuk le:

f(x) = x2, −1 ≤ x ≤ 2.

Peldak mas fuggvenyekre:

g(x) =√

x + 1, −1 ≤ x < ∞,

F (x) = x2, −∞ < x < ∞,

h(x) =x

x + 2, x ∈ R \ {−2}.

A most definialt f es F fuggvenyek nem egyenlok.Ket fuggveny (mint ket specialis halmaz) akkor e-



gyenlo, ha ugyanazok (a rendezett parok) az ele-meik. Tehat

Fuggvenyek egyenlosegeAz f es g fuggvenyek pontosan akkor egyenlok, haertelmezesi tartomanyuk ugyanaz a D halmaz, esf(x) = g(x) minden D-beli x elemre.

Tehat egy fuggveny teljes megadasahoz nem elega formula megadasa, az ertelmezesi tartomanyat ismeg kell adni.



Fuggveny termeszetes ertelmezesi tar-tomanyaHa nem adjuk meg explicit modon egy fuggvenyertelmezesi tartomanyat, akkor az megallapodasszerint a valos szamoknak az a legbovebbreszhalmaza, amely a fuggveny definıciojabanertelmes.

Peldaul, ha y =1

x− 1es mast nem mondunk, akkor

e fuggveny ertelmezesi tartomanya R \ {1}, hiszen

az1

x− 1kifejezes x = 1 kivetelevel minden valos x



eseten ertelmes.

Amikor gyakorlati problemakban fuggvenyeket alkal-mazunk, altalaban adott ket nem ures halmaz A esB:

A B

f : A B

Egy f fuggveny A-rol B-be



A fenti peldakban e halmazok a kovetkezok:

A az osszes B az osszes

szemely nemnegatıv szam

aru nemnegatıv szam

szemelyauto 3 betu, 3 egesz szam

kor nemnegatıv szam

valos szam valos szam

halmaza. halmaza.



Ha azt ırjuk, hogy

f : A → B,

ez azt jelenti, hogy

• f egy fuggveny;

• f ertelmezesi tartomanya A;

• f ertekkeszlete reszhalmaza B-nek.


Section 4: Fuggvenyek abrazolasa 28

Fuggveny termeszetes ertelmezesi tar-tomanyaHa nem adjuk meg explicit modon egy fuggvenyertelmezesi tartomanyat, akkor az megallapodasszerint a valos szamoknak az a legbovebbreszhalmaza, amely a fuggveny definıciojabanertelmes.

4. Fuggvenyek abrazolasa

Amint lattuk, a rendezett szamparok R2 halmazanakegy reszhalmazat legkonnyebben ugy abrazolhatjuk,



ha megrajzoljuk e szamparoknak megfelelo sıkbelipontokat. Ha tortenetesen ez a reszhalmaz egyfuggveny, akkor e rajzot a fuggveny grafikonjanaknevezzuk.

Fuggveny grafikonjaHa egy f fuggveny az R2 egy reszhalmaza, akkor f

grafikonja azon sıkbeli pontokbol all, amelyek az(x, f(x)) alaku rendezett szamparoknak felelnekmeg.

Termeszetesen a gyakorlatban lehetetlen egy tizedes-tortnek megfelelo sıkbeli pont teljesen pontos meg-



rajzolasa. Ezert egy fuggveny grafikonja csak koze-lıto reprezentacioja a tenyleges fuggvenynek.

Egy f fuggveny grafikonjanak megrajzolasa (kozelı-toleg):

1. Valasszunk nehany x erteket f ertelmezesi tar-tomanyabol, es szamıtsuk ki az ezekhez tar-tozo y = f(x) helyettesıtesi ertekeket; ezekbolkepezzuk az (x, y) rendezett szamparokat.



x f(x)

x1 f(x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)x4 f(x5)

2. Abrazoljuk ezeket az (x, y) koordinataju pon-tokat.

3. Kossuk ossze e pontokat egy osszefuggo gor-bevel.

(Kesobb latni fogjuk, hogy a derivalt segıtsegevel



e gorbe alakja hogyan hatarozhato meg.)


Section 5: Muveletek valos fuggvenyek kozott 33

5. Muveletek valos fuggvenyek kozott

Valos fuggvenyHa egy fuggveny ertekkeszlete a valos szamokegy reszhalmaza, akkor e fuggvenyt valosfuggvenynek nevezzuk. Ha ezen kıvul azertelmezesi tartomanya is reszhalmaza R-nek,akkor valos-valos fuggvenyrol beszelunk.

A felev soran szinte csak valos fuggvenyekkel foglal-kozunk.

Ha f es g valos fuggvenyek, akkor ezek kozott a



szokasos aritmetikai muveletek, vagyis

• osszeadas,

• kivonas,

• szorzas,

• osztas

ertelmezhetok. Ezen uj fuggvenyekre az alabbi ter-meszetes jeloleseket hasznaljuk:

f + g, f − g, fg, esf

g.



A definialo formulak:

(f + g)(x) := f(x) + g(x),

(f − g)(x) := f(x)− g(x),

(fg)(x) := f(x) · g(x),(f

g

)(x) :=

f(x)

g(x)ha g(x) 6= 0.



Peldaul, ha f(x) = x3 − 1 es g(x) = x+1x−1 , akkor

(f + g)(x) = x3 − 1 +x + 1

x− 1,

(f − g)(x) = x3 − 1− x + 1

x− 1,

(fg)(x) = (x3 − 1) · x + 1

x− 1,

f

g(x) =

x3 − 1x + 1

x− 1

=(x3 − 1)(x− 1)

x + 1.



Pelda. Egy tanulmany szerint egy bizonyos teruletena levegoben levo szenmonoxid atlagos napi szintjec(p) = 0.5p + 1 ppm (parts per million), ha a po-pulacio nagysaga p ezer fo. t ev mulva e populaciobecsult nagysaga p(t) = 10 + 0.1t2 ezer fo.

Fejezzuk ki a levego szenmonoxid tartalmat az evekfuggvenyekent.

Megoldas. Mivel a szenmonoxid szintje (mint p

fuggvenye)c(p) = 0.5p + 1,



es p idotol valo fuggese

p(t) = 10 + 0.1t2,

ezert a valasz:

c(p(t)) = c(10 + 0.1t2) = 0.5 · (10 + 0.1t2) + 1

= 6 + 0.05t2.



Fuggvenyek kompozıciojaHa f es g ket valos-valos fuggveny, akkor ezekkompozıcioja (osszetett fuggveny) az az f ◦g-veljelolt fuggveny, amelyre

(f ◦ g)(x) := f(g(x)).

f ◦ g ertelmezesi tartomanya azon Dg-beli x valosszamokbol all, amelyekre g(x) Df -hez tartozik.

A definıcio kovetkezmenye:

f ◦ g ertelmezesi tartomanya a Dg reszhalmaza,f ◦ g ertekkeszlete pedig Rf reszhalmaza.



Peldaul, ha f(x) = x3 − 1 es g(x) =x + 1

x− 1mint

elobb, akkor

(f ◦ g)(x) = (g(x))3 − 1 =

(x + 1

x− 1

)3

− 1

=2(3x2 + 1)

(x− 1)3 ,


Section 6: Novekvo es csokkeno fuggvenyek 41

mıg

(g ◦ f)(x) =f(x) + 1

f(x)− 1=

(x3 − 1) + 1

(x3 − 1)− 1=

x3

x3 − 2.

Tehat, altalaban f ◦ g 6= g ◦ f .

6. Novekvo es csokkeno fuggvenyek

Intuitıv modon, egy fuggveny novekvo az ertelmezesitartomanyanak egy I intervalluman, ha grafikonjaemelkedo amint a fuggetlen valtozo no.



Novekvo, csokkeno, konstans fuggvenyLegyen I egy intervallum, mely reszhalmaza az f

fuggveny ertelmezesi tartomanyanak. Ekkor:

1. f (szigoruan) novekvo I-n, ha f(x) < f(y)amikor x < y I-n.

2. f (szigoruan) csokkeno I-n, ha f(x) > f(y)amikor x < y I-n.

3. f konstans I-n, ha f(x) = f(y) mindenx, y ∈ I eseten.




Section 7: Fuggveny inverze 44

7. Fuggveny inverze

Amint az kozismert, sok fontos matematikai kap-csolat fuggvenyek formajaban fejezheto ki. Peldaul:

K = 2rπ A kor kerulete a sugar fuggvenye.

F = 95C + 32 A F◦-ben mert homerseklet a C◦-

ban mert homerseklet fuggvenye.

V = a3 Egy kocka terfogata az elhosszusaganak fuggvenye.



Sok esetben a fordıtott kapcsolat kifejezese is erdekeslehet:

r = K2π A sugar a kor keruletenek

fuggvenye.

C = 59(F−32) A C◦-ban mert homerseklet a F◦-

ben mert homerseklet fuggvenye.

a = 3√

V Egy kocka elenek hossza aterfogatanak fuggvenye.



Amint ezek a peldak is mutatjak, ket mennyisegkozti kapcsolat megfordıtasa gyakran egy uj fugg-venyt eredmenyez. Ezt az uj fuggvenyt az eredetiinverz fuggvenyenek nevezzuk.

7.1. Invertalhato fuggvenyek

Idezzuk fel a fuggveny definıciojat:

Egy fuggveny olyan rendezett parokbol allo hal-maz, amelyben nincs ket olyan rendezett par,amelyek elso komponensei megegyeznek, masodikkomponensei viszont kulonbozok.



Az azonban lehetseges, hogy egy fuggvenyhez tar-tozo ket rendezett par elso komponensei kulonboz-nek, mıg masodik komponenseik megegyeznek. Haez nem kovetkezik be, akkor a fuggvenyt invertalha-tonak nevezzuk.

Invertalhato fuggvenyEgy fuggvenyt invertalhatonak nevezunk, hanem tartalmaz ket olyan rendezett part, amelyekelso komponensei kulonboznek, masodik kompo-nensei viszont egyenlok.



Pelda. Tekintsuk az alabbi harom (rendezett pa-rokbol allo) halmazt:

f := {(0, 3), (0, 5), (4, 7)}g := {(0, 3), (2, 3), (4, 7)}h := {(0, 3), (2, 5), (4, 7)}

f nem fuggveny: (0, 3) es (0, 5) elso komponenseiazonosak, masodik komponenseik kulonbozok.

g fuggveny, de nem invertalhato: (0, 3) es (2, 3)masodik komponensei megegyeznek, mıg az elsokkulonbozok.

h invertalhato fuggveny.



Hogyan ismerhetjuk fel konnyen, ha egy fuggvenyinvertalhato?

Vizszintes egyenes tesztEgy fuggveny pontosan akkor invertalhato, habarmely az x-tengellyel parhuzamos egyenes afuggveny grafikonjat legfeljebb egy pontban met-szi.





Novekvo es csokkeno fuggvenyek in-vertalhatosagaHa egy f fuggveny novekvo vagy csokkeno azertelmezesi tartomanyan, akkor f invertalhato.



7.2. Fuggveny inverze

Ha egy invertalhato fuggvenyhez tartozo rendezettparok komponenseit felcsereljuk, uj fuggvenyt ka-punk.



Fuggveny inverzeHa f invertalhato fuggveny, akkor f inverze azaz f−1-gyel jelolt fuggveny, amelyhez azok a ren-dezett parok tartoznak, amelyeket az f -hez tartozorendezett parok komponenseinek felcsrelesevel ka-punk. Tehat

f−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ f}.Ha f nem invertalhato, akkor f−1 nem letezik.

A kovetkezo tulajdonsagok azonnal kovetkeznek adefinıciobol.



Fuggveny inverzenek tulajdonsagaiHa f invertalhato, akkor

1. f−1 is invertalhato, es inverze f .

2. f−1 ertelmezesi tartomanya = f ertekkeszlete.

3. f−1 ertekkeszlete = f ertelmezesi tartomanya.

Fontos kapcsolat all fenn egy fuggveny, valamintinverzenek grafikonja kozott. Ez az alabbi megfi-gyelesen alapul:

Egy derekszogu koordinatarendszerben az (a, b) esa (b, a) koordinataju pontok szimmetrikusak az y =



x egyenesre. A kovetkezo allıtas ennek kozvetlenkovetkezmenye.

f es f−1 grafikonjaAz f es az f−1 fuggvenyek grafikonjai szim-metrikusak az y = x egyenesre.


Section 8: Nehany fontos fuggvenyosztaly 56

8. Nehany fontos fuggvenyosztaly

8.1. Linearis fuggvenyek

Egy f fuggvenyt linearisnak nevezunk, ha akovetkezo alakban ırhato fel:

f(x) = mx + b, vagy y = mx + b, (1)

ahol m es b valos szamok.

Pelda. 1. A tenger szintje alatt x meterrel mert y

nyomas y = 0.1x + 1 atmoszfera. Vagyis m = 0.1,b = 1.



2. A szervezet oxigenfelvevo kepessege (y mlm2 ) a

tudo feluletenek (x m2) linearis fuggvenye. Egytehennel pl. y = 14

3 x. Tehat itt m = 14/3, b = 0.

Egy linearis fuggveny grafikonja egy egyenes. A (1)formulaban

• m az egyenes meredeksege,

• b az egyenes metszespontja az y-tengellyel.



b 1

m

y=mx+b

slopey-intercept

x

y

Ha m = 0, akkor f grafikonja egy vizszintes egyenes.

Azok a fuggvenyek, melyek grafikonja egy viz-szintes egyenes, a konstans fuggvenyek.

A fuggoleges egyenesek nem fuggvenyek grafikonjai!



Egy linearis fuggveny grafikonjanak abrazolasa egy-szeru: csak ket pontjat kell meghataroznunk, majdmegrajzolni az ezeken atmeno egyenest.

Legyen f1(x) = m1x + b1 es f2(x) = m2x + b2

linearis fuggveny. Ezek grafikonja

• egymassal parhuzamos, ha m1 = m2;

• egymasra meroleges, ha m1m2 = −1.





8.2. Hatvanyfuggvenyek

Egy f fuggvenyt hatvanyfuggvenyneknevezunk, ha felırhato a kovetkezo alakban:

f(x) = xp,

ahol p valos szam.

Az f(x) = c · xp fuggvenyeket is szokas hatvany-fuggvenynek nevezni (c 6= 0 valos szam).



2x3 es 3x2



Amikor n pozitıv egesz szam, akkor az y = xn

hatvanyfuggveny az origo kozeleben viszonylag “la-pos”, mıg meredeken no |x| > 1 eseten. Minel na-gyobb n, annal laposabb y = xn az origo kozeleben,es annal meredekebb, ha |x| > 1.

A hatvanyfuggvenyek szimmetria tulajdonsagai attolfuggnek, hogy n vajon paros (ekkor magat a fuggvenytis parosnak nevezzuk) vagy paratlan szam (ekkor afuggvenyt is paratlannak hıvjuk).



Nehany paros (y = x2; y = x4; y = x6 ) esparatlan (y = x; y = x3; y = x5 )

hatvanyfuggveny.



Egesz n kitevoju y = xn hatvanyfuggvenyekre ervenyesaz alabbi tulajdonsag:

Minel nagyobb n, az y = xn hatvanyfuggvenyannal laposabb es kisebb az x = 0 kozeleben;es annal meredekebb (es nagyobb) az x nagyobbertekeire.

Peldaul, x = 0.1 eseten az f(x) = x2 erteke (f(0.1) =0.01) nagyobb, mint g(x) = x4 erteke (g(0.1) =0.0001). Azonban x = 2 eseten ennek eppen afordıtottja all fenn (f(2) = 4, mıg g(2) = 16).



Azt mondhatjuk tehat, hogy x = 0 kozeleben azalacsony hatvanyok dominalnak, mıg nagy x-ekre amagasabb hatvanyok. Ennek fontos kovetkezmenyelesz a polinomok vizsgalata soran.

• Alkalmazas: milyen nagy lehet egy sejt?

A hatvanyfuggvenyeket a biologiaban az elolenyekvagy szerveik feluleten, illetve egesz terfogatuk-ban lejatszodo folyamatok jellemzesere hasznaljakleggyakrabban.

Most az alabbi kerdesekre keressuk a valaszt:



1. Mi hatarozza meg egy sejt meretet, es miertvannak erre korlatok?

2. Az allatok miert pici sejtek millioibol epulnekfel, nehany szaz nagy meretu sejt helyett?

Bar e kerdesek bonyolultak, egy viszonylag egyszerumatematikai megkozelıtes segıt megtalalni a valaszt.Ennek erdekeben egy matematikai modellt allıtunkfel.



Egy modell egy valos helyzet olyan megjelenıtese,amely leegyszerusıti a dolgokat azaltal, hogy csaka legfontosabb jellemzoket veszi figyelembe, mıga kevesbe fontosakat figyelmen kıvul hagyja, vagyidealizalja.

A mi modellunk az alabbi feltevesekre epul:

1. A sejt gomb alaku.

2. A sejt a kornyezetebol az oxigent es a tapanya-gokat a feluleten keresztul “nyeli el”. Feltesszuk:az elnyeles merteke egyenesen aranyos a sejt



feluletenek (S) nagysagaval.

3. A tapanyagok es az oxigen felhasznalasa egye-nesen aranyos a sejt V terfogataval. Vagyis,minel nagyobb a sejt, annal tobb tapanyagravan szuksege az eletben maradashoz.

Egyetlen sejt modellje.



Egyetlen sejt eseten az alabbi mennyisegek lesznekfontosak:

• A = az egysegnyi ido alatt elnyelt taplalek mer-teke.

• C = az egysegnyi ido alatt felhasznalt taplalekmerteke.

• V = a sejt terfogata.

• S = a sejt felulete.

• r = a sejt sugara.



Most a fenti felteveseket matematikai formaba ontjuk.A 2. szerint

A = k1S,

ahol k1 > 0 az aranyossagi tenyezo. Ennek ertekefugg attol, hogy milyen a sejtmembran ateresztokepessege, hany porust vagy csatornat tartalmaz,stb).

A 3. felteves szerint

C = k2V,

ahol k2 > 0 a masik aranyossagi tenyezo. Ennekerteke attol fugg, hogy milyen gyorsan fogyasztja az



aktivitasa fenntartasahoz szukseges taplalekot.

Mivel a sejt gomb alaku, ezert

V =4

3πr3, S = 4πr2.

Mindezeket osszevetve, az A elnyeles es C felhasznalasa kovetkezo modon fugg a sejt sugaratol:

A = k1(4πr2) = (4πk1)r2,

C = k2

(4

3πr3

)=

(4

3πk2

)r3.

A sejt tulelesehez a fogyasztasnak es a taplalek be-



vitelnek egyensulyban kell allnia:

C = A(4

3πk2

)r3 = (4πk1)r

2.

Ennek az egyenletnek egyik megoldasa r = 0 (nemtul erdekes). Ha r 6= 0, akkor az egyensuly az alabbisugarnal alakul ki:

r = 3k1

k2.

A hatvanyfuggvenyekrol modottak alapjan tudjuk,hogy r nagy ertekeire a magasabb hatvany dominal,



mıg kis r-ekre az alacsonyabb. Mivel r = 3k1

k2eseten

a ket fuggveny egyenlo, ezert

• kis sejtmeret eseten az A ≈ r2 elnyeles a domi-nans folyamat, mıg

• nagy sejtek eseten a C ≈ r3 fogyasztas dominal.

Ezert megallapıthatjuk:

Az r = 3k1

k2kritikus meretnel nagyobb sejtek nem

kepesek lepest tartani a tapanyagigennyel, ezertnem eletkepesek.



Ezert a valosagban a nagyjabol 1 mm-nel nagyobbatmeroju sejtek igen ritkak.

Tovabba, az ennel nagyobb meretu organizmusoknem epıthetnek az egyszeru diffuziora abbol a szem-pontbol, hogy reszeiket oxigennel ellassak. Ezertezeknek keringesi rendszert kell kifejleszteniuk a tul-eles erdekeben.

Tovabbi peldak.2. Hasonlo meggondolasok alapjan az allatok terfo-gata valamely linearis meretuk (pl. hosszuk, testma-gassaguk) harmadik, mıg feluletuk annak maso-



dik hatvanyaval aranyos. Ezert az allatok merete iscsak bizonyos hatarok kozott valtozhat. Peldaul egya normalisnal tızszer hosszabb eger tomege 1000-szerese, mıg tudejenek felulete csak 100-szorosa anormalisnak, ezert eletkeptelen.

3. Kıserletileg megallapıtott teny, hogy az izomaltal termelt energia aranyos az ero×osszehuzodasmertekevel (egy l hosszusagu izom eseten l2×l = l3-bel). Egy bolha a testmagassaganak mintegy 200-szorosara tud felugrani, es az ehhez felhasznalt e-nergia az allat sulyanak es az ugras magassaganak



szorzata. Egy linearis mereteiben 10-szeres meretuallatnak tehat 103 × 10 = 104-szer annyi energiaralenne szuksege ahhoz, hogy testmagassaganak 200-szorosara ugorjon. De az izomero csak a testtomeg-gel aranyos, tehat az eredetinek 103-szorosa. Ez abolha teljesıtmenyenek csak tizedere, vagyis a test-magassag 20-szorosara elegendo.

4. Hasonlo gondolatmenettel belathato, hogy a ra-gadozo elol menekulo (vagy elelmet kereso) allat atest linearis meretenek negyedik hatvanyaval aranyosenergiat fogyaszt, de csak a harmadik hatvannyal



aranyos energiat termel. Ezert adott biokemiai esfizikai mechanizmussal mukodo allat merete csakszuk korlatok kozott valtozhat. Lenyegesen kulon-bozo meretu allatok ezert mind biokemiajukat, mindmozgasuk fizikajat tekintve elternek egymastol.


Documents

Fodor János - Állatorvostudományi Egyetem · olyan (a,b)és (a,c) rendezett párt, amelyben b 6= c, geometriailag a következ˝ot jelenti: Fugg˝¨ oleges egyenes teszt A s´ık