6 Υπολογισμός ορίου συνάρτησηςόταν → ∞x ±

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Αν οι τιμές μιας συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα όταν το x αυξάνεται απεριόριστα , λέμεότι το όριο της συνάρτησης στο + ∞ είναι το + ∞ και γράφουμε συμβολικά: ( )

xlim f x→+∞

= +∞

Αν οι τιμές μιας συνάρτησης μειώνονται απεριόριστα όταν το x αυξάνεται απεριόριστα ,λέμε ότι το όριο της συνάρτησης στο + ∞ είναι το −∞ και γράφουμε συμβολικά: ( )

xlim f x→+∞

= −∞Αν οι τιμές μιας συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα όταν το x μειώνεται απεριόριστα , λέμε

ότι το όριο της συνάρτησης στο −∞ είναι το + ∞ και γράφουμε συμβολικά : ( )xlim f x→−∞

= +∞

Αν οι τιμές μιας συνάρτησης μειώνονται απεριόριστα όταν το x μειώνεται απεριόριστα , λέμεότι το όριο της συνάρτησης στο −∞ είναι το −∞ και γράφουμε συμβολικά : ( )

xlim f x→−∞

= −∞

88. Υπολογισμός όριου συνάρτησης

Δίνουμε παρακάτω τα όρια στο + ∞ και − ∞ βασικών συναρτήσεων.

ΣχόλιοΑν γνωρίζουμε τις γραφικές παραστάσεις των εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεωνδεν είναι απαραίτητο να απομνημονεύσουμε τα αντίστοιχα όρια που αναφέρονται στονπαραπάνω πίνακα.

Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Ο υπολογισμός των ορίων στο άπειρο γίνεται με τους ίδιους κανόνες με τους οποίους υπολο-γίζουμε όρια σε πραγματικό αριθμό, εφόσον οι οριακές πράξεις που παρουσιάζονται είναιεπιτρεπτές .Θυμίζουμε τις μη επιτρεπτές πράξεις που σχετίζονται με το ±∞ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, , , 0 , , 1+∞±∞ −∞ + +∞ +∞ − +∞ ⋅ ±∞ +∞

±∞Ακόμη πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι για τα όρια στο άπειρο πολυωνυμικής και ρητής συνάρ-τησης ισχύουν :

( )ν ν 1 ν νν ν 1 0 ν νx x x

ννν x

ν

ν

ννν x

ν

ν

lim α x α x α lim α x α lim x

, α 0α lim x

, α 0

, α 0, ν : περιττος, α 0, ν : αρτιος

α lim x, α 0, ν : περιττος, α 0, ν : αρτιος

−−→±∞ →±∞ →±∞

→+∞

→−∞

+ +⋅⋅⋅+ = = =

+ ∞ >= − ∞ <

−∞ >= +∞ > = +∞ < −∞ <

89.Υπολογισμός όριου συνάρτησης

ν ν 1 νν μν ν 1 0 ν ν

μ μ 1 μx x xμμ μ 1 0 μ

ν

μ

νν μν

μx

μ

ν

μ

ν

μ

ν μν

xμ

α x α x α α x αlim lim lim x

ββ x β x β β x

α, αν ν μ , 0

β

α, αν ν μ , 0α βlim x

β0 , αν ν μ

α, αν ν μ

β

α, αν ν μ , 0 , ν μ: περιττό

β

αlim x

β

−−−

−→±∞ →±∞ →±∞−

−

→+∞

−

→−∞

+ +⋅⋅⋅+= = =

+ +⋅⋅⋅+

+ ∞ > >

− ∞ > <= <

=

− ∞ > > −

=

=

ν

μ

ν

μ

ν

μ

ν

μ

ς

α, αν ν μ , 0 , ν μ: άρτιος

β

α, αν ν μ , 0 , ν μ: περιττός

β

α, αν ν μ , 0 , ν μ: άρτιος

β

0 , αν ν μα

, αν ν μβ

+ ∞ > > − + ∞ > < −

− ∞ > < − <

=

Παράδειγμα 1Να υπολογίσετε τα επόμενα όρια

i. ( )11 5

xlim 5x 3x 2002→+∞

− + + ii. 5 3

9x

3x 5x 10lim

6x 4x 3→−∞

+ ++ −

Λύση

i. ( ) ( ) ( )( )11 5 11 11

x x xlim 5x 3x 2002 lim 5x 5 lim x 5→+∞ →+∞ →+∞

− + + = − = − = − +∞ = −∞ .

ii. 5 3 5

49 9x x x

3x 5x 10 3x 3 3lim lim lim x 0 0

6 66x 4x 3 6x−

→−∞ →−∞ →−∞

+ + = = = ⋅ =+ −

.

ΣχόλιοΓια τα όρια ρητών συναρτήσεων στο άπειρο ισχύει ότι :

Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος απο το βαθμό του παρονομαστή τότε το όριοείναι μη πεπερασμένο ( )±∞ .

Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος απο το βαθμό του παρονομαστή τότε το όριοείναι μηδέν.

90. Υπολογισμός όριου συνάρτησης

Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος με το βαθμό του παρονομαστή τότε το όριο είναι ίσο μετο πηλίκο των συντελεστών των μεγιστοβάθμιων όρων.

Όριο ρίζας

Αν ( )xlim f x→±∞

= +∞ τότε ( )xlim f x

ν

→±∞= +∞ και f (x ) > 0 κοντά στο ±∞ .

Είναι 6 3

xlim 3x 5x 10→−∞

+ + = +∞ ,διότι :

( ) ( ) ( )6 3 6 6

x x xlim 3x 5x 10 lim 3x 3 lim x 3→−∞ →−∞ →−∞

+ + = = = +∞ = +∞ .

Ο τυπικός τρόπος προσδιορισμού του ορίου είναι η εξαγωγή ως κοινού παράγοντα της μεγαλύ-τερης δύναμης του x.

Έτσι για το ( )2

xlim 16x x 4 2x→ +∞

+ + − παρατηρούμε ότι : 2

xlim 16x x 4→+∞

+ + = +∞ και

xlim 2x→+∞

= +∞ , οπότε παρουσιάζεται η απροσδιόριστη μορφή ( ) ( )+∞ − +∞ οπότε

Είναι ( )2 22x x

1 4lim 16x x 4 2x lim x 16 2x

x x→+∞ →+∞

+ + − = + + − =

2 2x x

1 4 1 4lim x 16 2x lim x 16 2

x xx x→+∞ →+∞

+ + − = + + − = +∞

διότι , όταν x → +∞

είναι x 0> , άρα x x= και xim x

→+∞= +∞ ,

2x

1 4im 16 2 2 0

x x→+∞

+ + − = >

.

Παράδειγμα 2

Να υπολογιστεί το όριο : ( )2 2

xlim 4x 42x 12 25x 17x 1→+∞

+ + − − + .

Λύση

Έχουμε απροσδιοριστία ( ) ( )+∞ − +∞ και δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την ιδιότητα του α-θροίσματος ορίων.Με εξαγωγή ως κοινού παράγοντα του x2 , έχουμε :

( )2 22 2x x

42 12 17 1lim 4x 42x 12 25x 17x 1 lim x 4 25

x xx x→+∞ →+∞

+ + − − + = + + − − + = −∞

,

διότι xim x

→+∞= +∞ και

2 2x

42 12 17 1im 4 25 2 5 3 0

x xx x→+∞

+ + − − + = − = − <

91.Υπολογισμός όριου συνάρτησης

Παράδειγμα 3Να υπολογίσετε τα επόμενα όρια :

i. ( )2

xlim 9x x 1 2x→−∞

+ + − ii. ( )2

xlim 4x x 2 2x→+∞

+ + −

iii. ( )2

xlim 4x x 2 2x→−∞

+ + − iv. ( )2 2

xlim 4x 3x 1 9x 3x 7 5x→+∞

+ + + + + −

Λύσηi. Είναι:

( )2 22 2x x x

1 1 1 1lim 9x x 1 2x lim x 9 2x lim x 9 2x

x xx x→−∞ →−∞ →−∞

+ + − = + + − = + + − =

2x

1 1lim x 9 2

x x→−∞

− + + + = +∞

,

διότι ( )xim x

→−∞− = +∞ και

2x

1 1im 9 2 5 0

x x→−∞

+ + + = >

ii. Με εξαγωγή ως κοινού παράγοντα της μεγαλύτερης δύναμης του x έχουμε :

( ) ( )22x x

1 2lim 4x x 2 2x lim x 4 2 0

x x→+∞ →+∞

+ + − = + + − = +∞ ⋅

Παρατηρήστε ότι καταλήξαμε σε απροσδιοριστία και επομένως το όριο αυτό δεν υπολογίζε-ται με τη μέθοδο της εξαγωγής του κοινού παράγοντα που αναφέραμε προηγουμένως.Για να άρουμε την απροσδιοριστία σ’αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούμε τη μέθοδο τηςσυζυγούς παράστασης.

Μετατρέπουμε έτσι την απροσδιόριστη μορφή ( ∞ − ∞ ) σε ∞∞

.

Είναι ( ) ( ) ( )2 2

2

2x x

4x x 2 2x 4x x 2 2xlim 4x x 2 2x lim

4x x 2 2x→+∞ →+∞

+ + − ⋅ + + ++ + − = =

+ + +

2x x

2

2x 1

x 2 1 0 1xlim lim

44 0 0 21 24x x 2 2xx 4 2

x x

→+∞ →+∞

+ + + = = = + + ++ + + + + +

iii. Είναι ( ) ( )2

xlim 4x x 2 2x→−∞

+ + − = +∞ − −∞ = +∞

iv. Είναι ( )2 2

xlim 4x 3x 1 9x 3x 7 5x→+∞

+ + + + + − =

( )2 2

xlim 4x 3x 1 2x 9x 3x 7 3x→+∞

+ + − + + + − =

92. Υπολογισμός όριου συνάρτησης

2 2x

3x 1 3x 7lim

4x 3x 1 2x 9x 3x 7 3x→+∞

+ ++ = + + + + + +

x

2 2

1 73 3

x xlim3 1 3 7

4 2 9 3x xx x

→+∞

+ +

+ =

+ + + + + +

3 0 3 0 5

44 0 0 2 9 0 0 3

+ ++ =+ + + + + +

Όρια με απόλυτες τιμές

Παράδειγμα 4Να υπολογίσετε τα επόμενα όρια :

i. ( )5 3

xlim 3 x x 2x x→−∞

− + + − ii. ( )5 3

xlim 3 x x 2x x→+∞

− + − − iii.2

2x

1 x xlim

2x 42→+∞

+ −

+Λύση

i. Σύμφωνα με την ιδιότητα : ( ) ( )x x

Aν lim f x ή , τοτε lim f x→±∞ →±∞

= +∞ − ∞ = +∞ και επειδή

είναι ( )5

xlim 3 x x→−∞

− + = −∞ και ( )3

xlim 2x x→−∞

− = +∞ , παίρνουμε :

( )5 3 5 3

x x xlim 3 x x 2x x lim 3 x x lim 2x x→−∞ →−∞ →−∞

− + + − = − + + − = +∞ + ∞ = +∞

ii. Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την ιδιότητα της διαφοράς των ορίων αφού προκύπτει ηαπροσδιόριστη μορφή +∞ − ∞ . Γι’αυτό πρέπει να απαλλαγούμε από τα απόλυτα και στησυνέχεια να εφαρμόσουμε ιδιότητες ορίων.Για να απαλλαγούμε απο τα απόλυτα πρέπει να γνωρίζουμε το πρόσημο της παράστασηςπου βρίσκεται μέσα σ’αυτά.Όταν το όριο της παράστασης που βρίσκεται μέσα σε απόλυτο είναι θετικός αριθμός ή το+∞ για x → +∞ τότε η παράσταση θα είναι θετική κοντά στο +∞ ή στο − ∞ . ( ή στο x0 ανυπολογίζουμε όριο σε πραγματικό αριθμό).

Είναι: ( )5

xlim 3 x x→+∞

− + = +∞ , οπότε 53 x x 0− + > , κοντά στο +∞ και συνεπώς είναι:

5 53 x x 3 x x− + = − +

Επίσης ( )3

xlim 2x x→+∞

− = −∞ , οπότε 32x x 0− < , κοντά στο +∞ και συνεπώς είναι:

( )3 3 32x x 2x x x 2x− = − − = − .

Άρα ( ) ( ) ( )5 3 5 3

x xlim 3 x x 2x x lim 3 x x x 2x→+∞ →+∞

− + − − = − + − − =

( )5 3 5

x xlim x x x 3 lim x→+∞ →+∞

− + + = = +∞

iii. Επειδή είναι ( ) ( )2 2

x xlim x x lim x→+∞ →+∞

− = − = −∞ , είναι 2x x 0− < στην περιοχή του +∞ ,

οπότε ( )2 2 2x x x x x x− = − − = − και συνεπώς

93.Υπολογισμός όριου συνάρτησης

2 2 2

2 2 2x x x

1 x x 1 x x x 1lim = lim lim

22x 42 2x 42 2x→+∞ →+∞ →+∞

+ − + − = =+ +

.

Όρια με τριγωνομετρικούς αριθμούς

1.Είναι x

1lim 0

x→±∞ηµ = διότι , όταν x → ±∞ τότε 1

0x

→ οπότε x y 0

1lim lim y 0 0

x→±∞ →ηµ = ηµ = ηµ = .

Όμοια x

1lim συν 1

x→±∞= .

2. Επίσης x

xlim 0

x→±∞

ηµ = διότι ,

x x

x 1 1 x 1 1 1lim lim 0

x x x x x x x→±∞ →±∞

ηµ ηµ≤ ⇔ − ≤ ≤ και − = =

3. Ισχύει x

1lim x 1

x→±∞

⋅ηµ = διότι ,

x x y 0

11 yxlim x lim lim 1

1x yx

→±∞ →±∞ →

ηµ ηµ ⋅ηµ = = =

Θυμίζουμε ότι :x 0

xlim 1

x→

ηµ = και γενικότερα με *ν Ν∈ είναι:

ν 1

x

ν ν 1 ν 1

x x x

ν 1

x

, ν 1lim x 1 , ν 1

1 0 , ν 1ημ1 xlim x ημ lim x lim x , ν 1,άρτιος1x, ν 1, περιττόςx lim x

1 , ν 10 , ν 1

−

→+∞

− −

→±∞ →±∞ →±∞

−

→−∞

+∞ > = = < ⋅ = ⋅ = = +∞ > −∞ > = = <

και ν ν 1 ν 1

x x x x

1 1ημ ημ1 1 1x xlim x ημ lim ημ lim ημ lim 0 1 01 1x x xx x

− −

→±∞ →±∞ →±∞ →±∞

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

4. Δεν υπάρχουν τα όρια : x xlim ημx και lim συνx→±∞ →±∞

.

Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1Να βρείτε το όριο της συνάρτησης f για τις διάφορες τιμές του πραγματικού λ , αν x →−∞και ( ) 2f x 4x x 3 x 1= + + − λ + .

94. Υπολογισμός όριου συνάρτησης

Λύση

Είναι ( ) 22 2

1 3 1 3 1f x 4x x 3 λx 1 x 4 λx 1 x 4 λ

x x xx x

= + + − + = + + − + = − + + + −

Επειδή ( ) 2x x

1 3 1lim x και lim 4 λ 2 λ

x xx→−∞ →−∞

− = +∞ + + + − = +

, διακρίνουμε τις περιπτώσεις :

i. Αν 2 λ 0 λ 2+ > ⇔ > − τότε ( ) ( )( )xlim f x 2→−∞

= +∞ + λ = +∞

ii. Αν 2 λ 0 λ 2+ < ⇔ < − τότε ( ) ( )( )xlim f x 2→−∞

= +∞ + λ = −∞

iii. Αν 2 λ 0 λ 2+ = ⇔ = − τότε έχουμε απροσδιοριστία ( )0 ⋅ +∞Για λ = - 2 :

( )( ) ( )

( )

2 2

2

2

22

2 2

2

4x x 3 2x 1 4x x 3 2x 1f x 4x x 3 2x 1

4x x 3 2x 1

2x 3

4x x 3 2x 1 3x 2 x

1 3 14x x 3 2x 1 4x x 3 2x 1x 4 2

x xx

+ + + + ⋅ + + − −= + + + + = =

+ + − −

− − + + − + − + = = = + + − − + + − − − + + + +

Άρα ( )x

3lim f x

4→−∞= .

Συνοψίζοντας τα παραπάνω συμπεράσματα έχουμε : ( )x

, αν λ 2, αν λ 2

lim f x3

, αν λ 24

→−∞

−∞ < −+∞ > −= = −

Άσκηση 2

Αν ( ) ( )2 2x x

f x g xlim 1 και lim 2

x x 5 x 4x x 5 2x→+∞ →+∞= =

+ + − + + −, να βρείτε το ( )

( )x

f xlim

g x→+∞

Λύση

Θέτουμε ( ) ( ) ( ) ( )2 2

f x g xu x και h x

x x 5 x 4x x 5 2x= =

+ + − + + −

τότε είναι : ( )( )

( )( )

2

2

f x u x x x 5 x

g x h x 4x x 5 2x

+ + −= ⋅

+ + − ( 1 )

Επειδή ( )( )( )

( )( )( )2 2 2

2

2 2 2 2

x x 5 x 4x x 5 2x x x 5 xx x 5 x

4x x 5 2x 4x x 5 2x x x 5 x 4x x 5 2x

+ + − + + + + + ++ + −= =

+ + − + + − + + + + + +

95.Υπολογισμός όριου συνάρτησης

( )( )( )( )

22

2

2

1 54 2x 5 4x x 5 2x

x x1 5x 5 x x 5 x 1 1x x

+ + ++ + + +=

+ + + + + + +

προκύπτει : ( )( )

( ) ( )( )

21

2x x

f x u x x x 5 xlim lim

g x h x 4x x 5 2x→+∞ →+∞

+ + − = ⋅ = + + −

( )( )

2

x x

2

1 54 2u x 1x xlim lim 2 1

h x 21 51 1

x x

→+∞ →+∞

+ + +⋅ = ⋅ =

+ + +

Άσκηση 3

Να υπολογίσετε το όριο : 2002

xx

xlim

e→−∞

Λύση

Είναι ( ) ( )x x2002

2002 2002xx x x x

x 1 1lim lim x lim lim x

e ee→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

= ⋅ = ⋅ = +∞ ⋅ +∞ = +∞ διότι x

xαν 0 α 1 : lim α

→−∞< < = +∞ και

xlim xν

→−∞= +∞ , αν ο ν είναι άρτιος.

Άσκηση 4

Έστω συνάρτηση ( )f : 0, R+∞ → για την οποία ισχύουν ( )

x

f xim 3

x→+∞= και

( )( )xim f x 3x 4

→+∞− = . Να βρείτε το μ R∈ ώστε το ( )

( ) 2x

f x μx 2im 2

xf x 3x x 1→+∞

+ −=

− + +.

Λύση

Πρέπει να εμφανίσουμε την ( )f x

x

και την ( )f x 3x− , διότι είναι τα μόνα όρια που γνωρί-

ζουμε. Έτσι το όριο γράφεται:

( )( ) 2x

f x μx 2im

xf x 3x x 1→+∞

+ −=

− + +

( )

( )x

f x 2μ

x xim1

f x 3x 1x

→+∞

+ −=

− + +

( )

( )x

f x 2μ

x xim

1f x 3x 1

x

→+∞

+ −

=− + +

3 μ 3 μ4 1 5

+ +=

+

Άρα 3 μ

2 μ 75

+= ⇔ = .

96. Υπολογισμός όριου συνάρτησης

Δ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :

i. 3

3 22x

3x x 2lim 2x 3x x

x 2→+∞

+ +− + − − ii. ( )3 23

xlim x x 5 3x 1→+∞

+ + − +

iii. ( )33 2 33

xlim x x 5x x 1→+∞

+ + − + iv. ( )2

xlim 9x 3x 4 3x 1→−∞

+ + + +

2. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :

i. ( )32 3 2

xlim 9x 2x 1 8x 3x x→+∞

+ + − + −

ii. ( )2 2 2

xlim x x 3 2 4x x 2 3 x x 1 2x→−∞

+ + + + + − − + +

iii. ( )3 2 23

xlim x x 1 2 x x 9 5 x 4x→+∞

+ + + + + − +

3. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :

i. 2

2 2x

4x x 1 x 2lim

x x 5 2x 1→+∞

+ + + −

+ + − +ii.

4 42 2

x 3 3

x x 2 2x 1lim

x 2 5x 1→+∞

+ + + +− + −

4. Να υπολογίσετε για τις διάφορες τιμές του μ το ( )xlim f x→−∞

αν :

( ) 2 2f x 9x x 1 4x x 2 x 1= + + + + + + µ − .

(Απ: Είναι ( )2 2

1 1 1 2 1f x x 9 4 μ

x x x x x

= − + + + + + − +

. Αν μ 5< ( )xim f x

→−∞= +∞ .

Αν μ 5> ( )xim f x

→−∞= −∞ . Αν μ 5= ( )

x

17im f x

12→−∞= − )

5. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει : ( )22

1 xx 2 x f x

2x

−+ + ≤ ≤ για κάθε x διάφορο απο το μηδέν,

να βρείτε το ( )( )xlim x f x→−∞

⋅ .

6. Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο ( )0,+∞ και τέτοια ώστε να ισχύουν:

( ) ( ) ( )x

f x 1 , f x 0 lim f x 1→+∞

≠ ≥ και = . Να βρείτε το ( )( )x 3

f x 1lim

f x 1→+∞

−

−.

3

2Απ :

97.Υπολογισμός όριου συνάρτησης

7. Αν ισχύει ( ) ( )( )

x x

f xlim 2 lim 5f x 4x 1

2x→+∞ →+∞= και + = , να βρείτε το

( )( )

2 3

3 4x

x f x 3x 2x 4lim

10x f x 8x 9x 12→+∞

+ − ++ + +

.

8. Να βρεθούν τα α , β ,γ ώστε : ( )4 2 2

xlim x 3x 1 αx βx γ 0→+∞

+ + − + + = .

(Απ: α = 1, β = 0, 3γ2

= − )

Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ

Α. Έστω ( ) ( ) ( )f x κ 1 nx n2 n x 1= + − + − , x 2≥ , κ 2≥ − . Να προσδιοριστεί ο κ R∈

ώστε το ( )xim f x

→+∞ να είναι πραγματικός αριθμός.

(Απ.: κ = – 2)

Β. Αν ( )( )x

f 3xim 5

f x→+∞= να βρεθεί το

( )( )x

f 243xim

f x→+∞.

(Απ.:Ισχύει: ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

f 243x f 243x f 81x f 27x f 9x f 3x

f x f 81x f 27x f 9x f 3x f x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Άρα

( )( )

5

x

f 243xim 5

f x→−∞= )