Embed Size (px)
Citation preview
Министерство образования и науки РФУральский государственный экономический университет
Ю. Б. Мельников
«Треугольник Паскаля».Бином НьютонаРаздел электронного учебникадля сопровождения практического занятия
Изд. 4-е, испр. и доп.
Екатеринбург2012
e-mail: [email protected],[email protected]
сайты:http://melnikov.k66.ru,http://melnikov.web.ur.ru
1
Пример 1 использования «треугольника Паскаля» 3
Пример 2 применения формулы «бинома Ньютона» 24
Примеры задач для самостоятельного решения 44
Задача I.1 45
Задача I.2 46
Ответы и решения 47
2
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение.
3
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 1
4
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1
5
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2
6
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 1
7
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1
8
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3
9
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3
10
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 1
11
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4+
12
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + x3t+
13
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + x3t + x2t2+
14
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + x3t + x2t2 + xt3+
15
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + x3t + x2t2 + xt3 + t4
16
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + x3t + x2t2 + xt3 + t4
17
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + x2t2 + xt3 + t4
18
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + x2t2 + xt3 + t4
19
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + xt3 + t4
20
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + xt3 + t4
21
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 + t4
22
Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».
Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 1
Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 + t4.
Вернуться к лекции?
23
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
24
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.(x + t)4 =
(4!
4!0!
)x4+
25
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение. Учтем, что по определению 0! = 1.
(x + t)4 =
(4!
4!0!
)x4+
26
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение. Учтем, что по определению 0! = 1.
(x + t)4 =
(4!
4!0!
)︸ ︷︷ ︸
1
x4+
27
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + x3t+
28
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 +
(1 · 2 · 3 · 4
1 · 2 · 3 · 1
)x3t+
29
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 +
(1 · 2 · 3 · 4
1 · 2 · 3 · 1
)︸ ︷︷ ︸
4
x3t+
30
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t+
31
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t + x2t2+
32
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t +
(1 · 2 · 3 · 4
1 · 2 · 1 · 2
)x2t2+
33
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t +
(1 · 2 · 3 · 4
1 · 2 · 1 · 2
)︸ ︷︷ ︸
6
x2t2+
34
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2+
35
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + xt3+
36
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 +
(1 · 2 · 3 · 4
1 · 1 · 2 · 3
)xt3+
37
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 +
(1 · 2 · 3 · 4
1 · 1 · 2 · 3
)︸ ︷︷ ︸
4
xt3+
38
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3+
39
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 + t4
40
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение.
(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 +
(4!
0! · 4!
)t4
41
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Решение. Учтем, что 0! = 1.
(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 +
(4!
0! · 4!
)︸ ︷︷ ︸
1
t4
42
Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».
Ответ.(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 + t4.Вернуться к лекции?
43
Заданиядля самостоятельноговыполнения
44
Задача I.1. (Ответ приведен на стр.49.) Раскройте скобки в выраже-нии (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля» и с помощью«бинома Ньютона»
45
Задача I.2. (Ответ приведен на стр.83.) Найдите C36 с помощью «тре-
угольника Паскаля».
46
Ответы и решения
47
Решение задачи 1.Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»
и с помощью «бинома Ньютона»
48
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
49
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1
50
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3
51
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3
52
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
53
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1
54
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4
55
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6
56
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4
57
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
58
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25+
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1
59
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x+
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5
60
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2+
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10
61
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3+
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10
62
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4+
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5
63
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 =
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
64
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 +
65
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 + 80x +
66
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 + 80x + 80x2 +
67
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 + 80x + 80x2 + 40x3 +
68
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 +
69
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5.
70
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 == 25+Теперь воспользуемся «биномом Ньютона».
71
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =
= 25 +5!
24x+
72
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =
= 25 +5!
4!1!24x+
73
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =
= 25 +5!
4!1!24x +
5!23x2+
74
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =
= 25 +5!
4!1!24x +
5!
3!2!23x2+
75
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =
= 25 +5!
4!1!24x +
5!
3!2!23x2 +
5!22x3+
76
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =
= 25 +5!
4!1!24x +
5!
3!2!23x2 +
5!
2!3!22x3+
77
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =
= 25 +5!
4!1!24x +
5!
3!2!23x2 +
5!
2!3!22x3 +
5!2x4+
78
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =
= 25 +5!
4!1!24x +
5!
3!2!23x2 +
5!
2!3!22x3 +
5!
1!4!2x4+
79
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =
= 25 +5!
4!1!24x +
5!
3!2!23x2 +
5!
2!3!22x3 +
5!
1!4!2x4 + x5.
80
Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»
Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =
= 25 +5!
4!1!24x +
5!
3!2!23x2 +
5!
2!3!22x3 +
5!
1!4!2x4 + x5. Задача решена.
81
Решение задачи 2.Задача 2. Найдите C3
6 с помощью «треугольника Паскаля».
82
Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».
Ответ.
83
Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».
Ответ.
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1Из последней строки «треугольника Паскаля»C0
6 = 1
84
Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».
Ответ.
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6Из последней строки «треугольника Паскаля»C0
6 = 1, C16 = 6,
85
Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».
Ответ.
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15Из последней строки «треугольника Паскаля»C0
6 = 1, C16 = 6, C2
6 = 15,
86
Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».
Ответ.
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20Из последней строки «треугольника Паскаля»C0
6 = 1, C16 = 6, C2
6 = 15, C36 = 20.
87
Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».
Ответ.
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20
Итак, C36 = 20 . Действительно,
88
Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».
Ответ.
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20
Проверка: C36 =
6!
3!3!=
89
Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».
Ответ.
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20
Проверка: C36 =
6!
3!3!=
4 · 5 · 6
1 · 2 · 3=
90
Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».
Ответ.
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20
Проверка: C36 =
6!
3!3!=
4 · 5 · 6
1 · 2 · 3= 20.
91
Спасибоза
внимание!e-mail: [email protected], [email protected]сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru
Вернуться к списку презентаций?
92
