計算数理工学論文集Ｖb1.5（2005年６月),論文No.05-062414 JASＣＯＭＥ

格子ボルツマン法による水平二流体の界面成長シミュレーション

ＮＵＭＥＲＩＣＡＬＳＩＭＵＬＡＴＩＯＮＯＦＩＮＴＥＲＦＡＣＩＡＬＧＲＯ１八ｒＴＨＯＦＨＯＲＩＺＯＮＴＡＬＩｎｒＳＴＲＡｒＩＦＩＥＤ

ＴＷＯＩＭＭＩＳＣⅡＢＬＥＦＬＵＩＤＳＢＹＴＨＥＬＡ亜ＴＩＣＥＢＯＩ/ｒＺＭＡＮＮＭＥＴＨＯＤ

吉野正人')，増田剛士2）

ＭａｓａｔｏＹＯＳＨＩＮＯａｎｄＴｓｕｙｏｓｈｉＭＡＳＵＤＡ

1)信州大学工学部機械システムエ学科（〒3808553長野市若里4-17-1,Email:masato､shinshu-u,ac.』p）

2)信州大学大学院工学系研究科（〒380-8553長野市若里4-17-1）

Interfacialgrowthofhorizontallystratifiedtwoimmisciblefluidswithasmalldensity

differenceissimulatedusingthelatticeBoltzmannmethod(LBM)fbrtwo-phaseHows・

IntheKelvin-Helmholtzinstability,timevariationsoftheinterfacearenumericallyinves-

tigatedinseveralcases・AfteravelocitydifferenceisinitiallyappliedtotheHuidsatrest，

theinterfaceeithergrowsordecaysaccordingtothenon-dimensionalparameterrelated

tothegravitationalfbrceandthesurfacetension・AsthemagnitudeofthevelocitydifL

ferenceisincreased，ｔｈｅｉnterfacebecomesunstableand6nallyleadstoapeculiarshape，

whichisgenera｣lycalled“ａｃａｔ'ｓeye”inHuiddynamics・

Ｋｅ〃Ｗｂ７１ｄＳ:LatticeBoltzmannMethod(LBM),Two-PhaseFlows,InterfacialGrowth，

Kelvin-Helmholtzlnstability

１．はじめに

流体力学や伝熱工学の分野において，流れの不安定問題

は古くから重要な問題である．その中でも特に，二相流体の

界面不安定問題は，理論的，実験的および数値計算の各アプ

ローチによってこれまでに数多くの研究が行われてきた．例

えば，ケルビン・ヘルムホルッ不安定問題では，Thorpe(1)

が，等密度の液・液二相流体における界面の不安定問題の実

験を行い，得られた成長率を線形安定性理論と比較した．ま

た，数値計算の分野では，海老原ら(2)が，成長速度の波数

による影響について計算結果と理論との比較を行っている．

これらの研究より，界面が線形的に成長する領域では詳細な

検討が行われているが，非線形領域における研究はまだ数多

く見られない．

ところで，これまでの混相流解析の代表的な数値計算法と

しては，ＶＯＦ(VOlumeofFluid)法(3)やLevelSet法(4)な

どがあげられる．このような手法では，界面の形状を識別す

るための関数を導入する必要があり，また，界面の移動と同

時に格子も移動しなければならないため，例えば気液二相流

における気泡の合体や分裂を表現するのが難しい面も考えら

れる．これに対し，１９９５年頃から開発され始めた二相系格

子ボルツマン法(LatticeBoltzmannMethod,以下ＬＢＭと

呼ぶ)では，界面形状の時間変化を陽に追跡する必要がなく，

また，質量保存性に優れているため，気液，液液二相流の新

－７９－

しい数値計算法として最近注目されている．

そこで，本研究では，流れの不安定性問題の一例としてケ

ルビン・ヘルムホルッ不安定を取り上げ，二相系ＬＢＭによ

る水平二流体の界面成長過程の数値計算を行った．なお，二

相系ＬＢＭにはこれまでにいくつかのモデルが提案されてい

るが，特に本問題では，二流体の密度比がそれほど大きくな

いケースを考えるため（具体的には，密度比が２～３程度を

対象とする），Swift-Osborn-Yeomansモデル(5)を基に稲

室らが改良を加えたモデル(6)を用いた．次節で計算のアル

ゴリズムについて説明を行うが，詳しい解説については文献

(6)を参照されたい．

2．数値計算法

使用する物理通はすべて，代表長さＬ，粒子の代表速さｃ，

代表時間to＝Ｌ/Ｕ（Ｕ：流れの代表速さ），および基準密度

β０を用いて無次元化したものである(6)．本計算に使用した

二相系ＬＢＭでは，二つの速度分布関数を導入する(7)．つま

り，分布関数ハを用いて界面を識別するorderparameterの

を計算し，得られためから流体の密度βを計算する．一方，

分布関数９４を用いて流速および圧力を計算する．以下の説

明では２次元９速度モデルに対して行うが，３次元１５速度

モデルの場合にも同様である．

さて，時刻ｔで格子点⑩上の速度ｃ､，すなわちＣｌ＝０，

c＃＝ICCS(汀('－２)/2),sin(汀(d－２)/2)1(ｉ＝2,3,4,5)，お

－〃０

ﾉﾜ

よびci＝､/百ICCS(穴(i－１１/2)/2),sin(汀(f－１１/2)/2)](1！＝

6’7,8,9）をもつ粒子の分布関数ハおよび戯の時間発展を次式で計鏡する．

,！吾 唇

１１

仁＝＞〃(】

〃jfi(錘十ci△ｚ,↓＋△j）＝ハ(錘,t）

‐寺肌鰯叶伽肌戯(毎十ci△⑩,t＋△t）＝９ｔ(処,t）

‐毒I"(露ル,:'("剛－３Efcf"(ｐ－ｐ２)9△､，

に(1)

ここで，重力はz/方向のみに側くものとする．上式において，

､jlWxlおよび9:qは局所平衡分布関数，Ｔ/およびT’は無次元

緩和時間，△ｚは格子間隔，△↓は時間刻み（仮想粒子が隣の

格子点まで移動する時間），９は重力加速度，βは流体の密

度である．また，Ｂｉは定数であり，それらの値は後述する．

各格子点上における界面を識別するorderpammeter‘，流

体の密度β，流速皿，および圧ﾉＪｐは，それぞれ.Aおよび9ｉ

を用いて次式で定義される．

‘＝Ｅﾊ，（３）

の－妙m、（β２－β,)＋,｡,，（４）β＝‘max-妙mi皿

”＝:茎鮮蜂⑤，‐:(妻鱗-,）⑥

ここに，‘m経ｘおよびの､ｉｎはそれぞれorderparameter妙の

岐大値および鐙小値であり，β,およびｐ２はそれぞれ低帯皮

相および高密度相の流体栴皮である．式中の局所平衡分布関

数は，次式で定義される．

鷹．＝必'÷職(,｡-感,‘窯）＋3Ei伽acfα＋曇偏ﾉG:βciaciβ，（７）

’:｡＝必,+昼{"+,(….-:鯉""喫十:勉.…卿)１‐卜2岬｡農十鰯｡:…偶，（８）

ここで，

Ｅ１＝4/9,Ｅ２＝Ｅ３＝Ｅ４＝Ｅ５＝1/９，、

Ｅ６＝Ｅ７＝Ｅ８＝Ｅ９＝1/36,》（９）

Ｈ１＝１，Ｈｉ＝０（j＝2,3,...,9)，

届＝－５/３，厩＝3Eｉ（i＝２，３，．．．，９)，，

また，

。‘,＝裟畿-%幾発‘"‘（'0）

。:‘＝;隙患+",(""農+池｡制一:(縄箪発器ﾄ2",辿紛‘､衝，側

↓jノ

．ｒ

Fig.１Computationaldomain‘

(2)ここで,“,＝；(耐一昔)△ｍはガリレイ不変性を保証するためのパラメータ(8)であり，デカルト座標系α,β,γ＝nＷは

総和規約に従う．６αβはクロネッカーのデルタ，町および凡９はそれぞれ，界而の厚さおよび界面張力を決めるパラメータ

である．また，ｐＯは次式で与えられる．

，｡=‘T命-｡‘雪，（１２）ここに，α,６，Ｔはjmaxおよびの､ｉｎを決める定数である．な

お，式中に現れる変数入(＝妙,β)の－階微分および勾配の発

散は，それぞれ次式で近似した．

応一志堂…+"△鰯ハ（'3）３入

ｉ＝１

釜一志二Ｍ…)-恩川(叫一～

また，流体の動粘性係数Iﾉおよび界面張力ぴは，それぞれ次

式で与えられる(8)．

－８０－

〃-;(爾一;沖

，－，鋤ﾉ(二(麦)貿蝿ここに，Ｅは界而に垂世な鹿標である．

(１５）

(16）

3．計算対象および計算条件

Ｆｉｇ．１に示すように，一辺がＨ＝128△、の二次元正方形

領域内に水平層状の静止二相流体を考える．密度β１，粘性係

数山の流体Ｉを!/方Ii1jの上半分に，密度β２，粘性係数〃2の

流体'1(β,＜β2)を下半分に置き，ｔ≧０において，各流体に

それぞれ鯵方向の流速士１４０を与えたときの流れ場の計算を

行った．領域の左右には周期境界条件を用い，上下のすべり

なし壁にはbounce-back境界条件を用いた。なお，流体Ｉと

11の密度比はβ2/β,＝２（β2＝２，β1＝1)，粘性係数の比は

ﾉ"2/ﾉ",＝２とした.式('2)におけるパラメータの値は，α＝’，

６＝６．７，Ｔ＝３．５×ｌＯ－２とした．よって，orderParameter《１６

の岐大値および妓小値はそれぞれ，妙max＝9.714×１０－２およ

び‘mｉｎ＝1.134×１０~２になる。その他のパラメータの値は’

汀＝１，巧＝0.8377,代ノー0.5(△")２，脇9＝１．０×10-6(△紗)２

９△⑩＝3.914×１０－６とした。以下では，次式で定猫する無

次元パラメータ』（'）を導入する．

２β1＋p2I9ぴ(β２－β,)]も， （17）Ｊ＝広万Ｆｐ,ｐ２ここで，△Ｕ＝２u・は二流体に与えられた速度差である．

一宇一室誌一 ＝呼璽専司一

(a)ｔ率＝Ｃ (b)ｔ*＝0.125（c)ｔ癖＝0.625

ﾛ毒寅患守一 一客扉マーーー 一 再 寒 寮 可 一一

(d)ｔ簾＝0.875 (e)ｔ*＝1.13 (f)ｔ*＝1.38

Fig.２Timeevolutionofinterfacialgrowｔｈｏｆｔｗｏｉｍｍｉｓｃｉ‐

blefluidsfbrJ＝1.35．Thewhiteandblackareasrepresent

thedensitiesoftheauidsl(lighter)andll(heavier),respec‐

tively.ｔ*＝t△U/Histhedimensionlesstime．

4．結果および考察

本研究では，異なる速度差△Ｕを与えることにより，種々

の無次元パラメータ』（8.57×１０－３≦Ｊ≦3.05）に対する

界而の時間変化を計算した．結果の一例として，（i)Ｊ＝１．３５

{△Ｕ＝１．５９×１０~３１および(ii）Ｊ＝８．５７×ｌＯ－３Ｉ△Ｕ＝

2×10-21の２ケースにおける密度分布の時間変化をそれぞ

れFig.２およびFig.３に示す．両図において，ｔ*＝t△U/〃

は無次元時間を表している．まず，Ｊ＝１．３５(Fig.２）では，

速度差を与え始めた後，界面が徐々に変化しながら先端が伸

びていくが，ｔ*＝0.6251(c)]以降は界面形状にほとんど変化

は見られず，肢終的にはその状態のまま落ち着く結果となっ

た．一方，Ｊ＝８．５７×１０－３（Fig.３)では，界面が肢初はわ

ずかに変形するだけであるが{(b)１，時刻が進むにつれて境

界の峰や谷が内側に巻き込みながら渦が発生し［(c)，（d)］，

やがては猫目(Cat'seye)と呼ばれる形［(e),(f)］にまで変形

した．また，Fig.３の各時刻における速度ベクトルおよび等

密度線図をFig.４に示す．この図から，界面が変形し始める

時点から大きな循環流が発生し，徐々に成長していく様子が

よくわかる．なお，it*＞１．３８では，（f)とほぼ同様な状態が

続き，流れ場は準定常状態となる結果が得られた．

次に，上記のケース(i)および(ii)に対して，領域の1.1.1心

(z/Ｈ,Z//Ｈ)＝(0.5,0.5）における!/方向の流速ｕｙの時間変

化をFig.５に示す．Ｊ＝１．３５の時には，過渡状態後t＊＝１付

近でほぼ一定値に収束しているが，Ｊ＝8.57×10-3の場合で

は，ほぼ周期的に変動する非定常な結果が得られた．その他

のケースに対しても同様の解析を行い，局所流速の時間変動

を調べたところ，与えた速度差△Ｕの大きさがある値を超え

ると，過渡状態が終わった後に流速が時間的に変動し，流れ場

が不安定となると考えられる．実際に，相対速度変化率を調べ

ることにより，（iii)Ｊ＝１．１７[△Ｕ＝1.71×10-31のケースで

は，局所の流速が一定値に収束したが，（iv)Ｊ＝6.71×10-1

－８１－

＝＝垣塞毒、一 ｒ ワ

(a)ｔ議＝０ (b)ｔ窯＝0.125（c)ず＝0.625

起動 匡勤(d)ｔ*＝0.875 (e)ｔ*＝１．１３ (f)#.＝1.38

Fig.３Timeevolutionofinterfacialgrowｔｈｏｆｔｗｏｉｍｍｉｓｃｉ－

ｂｌＧＨｕｉｄｓｆｂｒＪ＝８．５７×１０－３．Thewhiteandblackareas

representthedensitiesofthefluidsl(lighter)ａｎｄｌｌ(heav‐

icr),respectively.ｔ*＝t△U/Histhedimensionlesstime

I△Ｕ＝226×10-31のケースでは，時間変動する結果が得ら

れた．したがって，不安定を引き起こす臨界速度差△Ut:は，

１．７１×１０－３＜△Ub＜２．２６×，０－３の範囲にあると考えられ

る．ところで，Kelvin(9)の理論的研究によると，妓初に不

安定が起こる臨界速度差△唾は，次式で与えられる．

畑={2帯i‘｡(,2-,川欝}運（'８１よって’各パラメータの値を代入して求めると，この場合の

理論値は１．８５×１０－３となり，本研究で得られた結果ならび

に上記の考察は妥当であると言える．

妓後に，同様の問題を３次元１５速度モデルを用いて計算

を行った．計算領域は，一辺がＨ＝８０△麺の立方体とし，上

下の壁（これを鉛直Ｚ方向とする）にはすべりなし境界条件，

領域の側面には周期境界条件を用いた．使用したパラメー

タの値は，二次元問題の場合と同じである．計算結果の一例

として，Ｊ＝１．０８×10-’[△Ｕ＝５．６３×10-3}のときの界面

形状をFig.６（左側）に示す．ここでも同様に，臨界値より

大きな速度差を与えると，時間とともに界面が不安定にな

り，股終的には界面形状が猫目になるまで成腿する結果が得

られた．また，奥行き方向（!/方向）の中央y/〃＝０．５の断

、（$~Ｚ平面）における速度ベクトルならびに等密度線図を

Fig.６（右側）に示す．この結果を同じ物理条件下での二次元

計算による結果と比較したところ，速度ベクトル，密度分布

のいずれに関しても両者の間にほとんど差異はみられなかっ

た。したがって，本計算で用いたパラメータの範囲内では，

三次元性については特に考慮しなくてもよいと砦えられる．

5．おわりに

二相系ＬＢＭを用いて，ケルビン・ヘルムホルッ不安定問

題の数値シミュレーションを行い，二流体に速度差を与えた

後の界面の成長過程を調べた．また，流れの不安定性を引き

一軍宮房戸

－８２－

(c)t*＝2.50

･---.--二二三塞望〒----‐

蕊一

伊一一一一一一●●一一一ﾕﾛｰ一一一一一一

‐●の一一●

一二匹

(4)MSussman､Ｐ・SmerekaandS､Osher:ALcvelSetAp‐

proachfbrComputingSolutionstolncompressibleTwo‐

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斗一一

蕊(a)11*＝０ (b)ｔ*＝0.125（c)／*＝0.625 彦一

Fig.５TimevariationsofvelocityinthcZﾉーdirectionat

(z/Ｈ,〃/Ｈ)＝(0.5,0.5);(i)Ｊ＝1.35:(ii)Ｊ＝８．５７×１０－;’

(6*＝t△U/Ｈ)．

０２４６８１Ｉｌ

ｒ宍Ii,i９．６１nterfacialgrowthoftwoimmiscil)le(luids(left)and

vGlocityvectorsanddensitycontoulsonl1//〃＝０．５(right）

IorJ＝１．０８×１０－１inthethree-dimensionalproblem(t*＝

t△U/〃)．

難(a)ｔ率＝0.125

-０．３

一

10

一 ‘ー －－－．－一一一一二一～一一・一、や、‐－マ－１°こ----テ窄詫〒=言

■

今,_▲_~､手亘理語”ヨー

蕊

起こす臨界速度差について，本計算結果は理論値と良く対応

することがわかった．なお，本研究では，流れの不安定性に

与える波数の影響は考慮に入れなかった．これについては今

後の課迩である．

謝辞

本研究の一部は，平成１６年度文部科学省科学研究盤補助

金（浩手研究(B)No.16760122）によっている．ここに記し

て謝意を表します．

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一

（d)t*＝0.875（e)t*＝1.13 （f)↓*＝1.38

Fig.４Ｖelocityvectorsanddensitycontoursoftwoimmis-

ciblefluidsfbrJ＝８．５７×10-3.ｔ寒＝t△U/Histhedimen-sionlesgtime．

■一一

一一一

一画

(b)ｔ*＝1.00

－０.側鐸山一

一 ヰ．

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