Embed Size (px)
DESCRIPTION
Föreläsning 3. 26 jan 2009. Om är ett linjärt och tidsinvariant system (LTI-system) med impulssvaret så vet vi sedan tidigare att dvs utsignalen kan fås genom faltning av insignalen med impulssvaret. Speciellt får vi att. Om är en reell funktion så får vi t.ex. att - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Föreläsning 3
26 jan 2009
Om är ett linjärt och tidsinvariant system (LTI-system) med impulssvaret så vet vi sedan tidigare att
dvs utsignalen kan fås genom faltning av insignalen med impulssvaret.
Speciellt får vi att
T
hxy *
)(th
deheT tjtj )()(][
tj
jH
jtj ejHdehe
)()(
)(
Om är en reell funktion så får vi t.ex. att
Pga att så säger vi att är egenfunktioner till systemet
]][Re[]][Re[)][cos( jtjt eTeTtT
)sin()cos(])(Re[ tbtaejH jt
)(th
tjtj ejHeT )(][ tje
Låt vara ett fixt tal (grundvinkelfrekvensen)Egenfunktionerna är samtliga periodiska med perioden
Eftersom systemet är linjärt så är det också lätt att studera vad som händer med linjär-kombinationer av sådana egenfunktioner.
0tjke 0
0/2 T
k
tjkk
T
k
tjkk ejkHcec 00 )( 0
Det är naturligt att fråga sig vilka funktioner som egentligen kan skrivas som en linjärkombination av dessa egenfunktioner.
Det visar sig att alla kontinuerliga funktioner med perioden kan skrivas på formen
k
tjkk ectx 0)(
0/2 T
)(tx
Om vi multiplicerar båda led i identiteten
med och integrerar över en period så får vi
Vilket ger oss en formel för att beräkna koefficienterna . Speciellt följer det att koefficienterna är entydigt bestämda.
tjne 0
nk
nkdå
nkdåT
T
tnkjk
T
tjn Tcdtecdtetx
,0
,
)( 00)(
k
tjkk ectx 0)(
kc
kc
FourierserierGivet en funktion med perioden så säger vi att serien
där
är (den komplexa) Fourierserien till och vi skriver
0/2 T
k
tjkk ec 0
)(tf
T
tjkk dtetf
Tc 0)(
1
)(tf
k
tjkk ectf 0)(
Ex.
så
tallaförtftf
tttf
,)()2(
20,)(
T
T2
,2 0
k
jte
jkdttec tjk
k
IP
tjkk
0
2
0
0
..
2
0
1
2
1
2
1
142
12
0
22
0
0
t
tdtc
0
1)(k
tjkek
jtf
Om är reell så är
och därmed
k
T
tjk
T
tjkk cdtetf
Tdtetf
Tc
00 )(1
)(1 **
)(tf
1
*0
000
k
tjkk
tjkk
k
tjkk ececcec
kkk jbac
k
tjkk ecc
2
10
0Re2
1
000 )sin()cos(k
kk tkbtkac
forts. Ex.
tallaförtftf
tttf
,)()2(
20,)(
11
)sin(12
1)sin(2
1)(kk
tkk
tkk
tf
kbajba
k
jc kkkkk
2,0
22
2
1
)sin(12
1k
tkk
4
1
)sin(12
1k
tkk
12
1
)sin(12
1k
tkk
Man kan naturligtvis beräkna den reella Fourierserieutvecklingen direkt utan att gå via den komplexa Fourieserien. Vi får då att
där
1
000 )sin()cos(2
1)(
kkk tkbtkaatf
T
k dttktfT
a )cos()(2
0
T
k dttktfT
b )sin()(2
0
Konvergens av Fourierserier
Man kan visa att om är begränsad och deriverbar, utom i ett ändligt antal punkter, i varje intervall av periodlängd så är
I alla punkter där funktionen är deriverbar. Om funktionen är diskontinuerlig i så konvergerar Fourierserien mot
)(tf
1
000 )sin()cos(2
1)(
kkk tkbtkaatf
t
t
)()(2
1 tftf
Se även Dirichlet-villkoren i boken sid 286 för någotsvagare villkor för konvergens av Fourierserier.
Konvergenshastigheten beror på regulariteten hos .T.ex. är Fourierkoefficienterna av storleksordningen om är diskontinuerlig i någon punkt,medan de är av storleksordningen om är kontinuerlig överallt.
Om alla derivator upp till r:te ordningen är kontinuerliga så är Fourierkoefficienterna av storleksordningen
)(tf
)(tf
n/1
2/1 n
)(tf
2/1 rn
Jämna och udda funktioner
Om är en jämn funktion så får vi att
Så Fourierserien består enbart av cosinus-termer
)(tf
0)sin()(2
2/
2/
0
T
T
udda
uddajämn
k dttktfT
b
1
00 )cos(2
1)(
kk tkaatf
På liknande sätt ser vi Fourierserien till en udda funktion bara innehåller sinus-termer dvs.
Ex.
är en udda funktion så vi måste ha
Vilket stämmer med tidigare kalkyler
10 )sin()(
kk tkbtf
tallaförtftf
tttf
,)()2(
20,)(
1)( tf
1
0 )sin(1)(k
k tkbtf
Givet en funktion som bara är definierad på ett intervall så kan vi definiera den periodiska utvidgningen som är sådan att
Då kommer Fourierserien för att konvergera mot i alla kontinuitetspunkter på intervallet Ex.
t.ex. är
T,0)(t
)(tf
tallaförtTt
Tttft
,)()(
0,)()(
)()( tft
)(t
)(tf T,020,)sin(
121
1
ttkk
tk
00112
)1(4
12
)1(21)
2sin(12
12
1
k
k
k
k
kkk
kk
Om man vill kan man först utvidga till enjämn funktion på intervallet och därefterutvidga denna jämna funktion till en periodisk funktion med perioden . Den erhållna Fourier-serien kommer då att bli en ren cosinusserie och speciellt är
Genom att istället utvidga till en udda funktion så får vi att
)(tf
TT ,
T2
Tttkaatfk
k
0,)cos(2
1)(
100
Tttkbtfk
k
0,)sin()(1
0
Ex. Antag att vi vill utveckla i en ren cosinusserie på intervallet .Betrakta då den periodiska funktionen där
Vi får att
ttf )(20 t
tallaförtt
ttt
ttt
,)()4(
02,)(
20,)(
)(t
TT
T
k dttktT
dttktT
a0
00 )cos()(2
)cos()(2
2
0,)1)1((4
...)2
cos(22
2
0
kk
dttkt k
så 20,)2
cos()1)1((4
1)(1
22
ttkk
tfk
k
)2
cos()1)1((4
14
122
tkkk
k
Derivering av Fourierserier
Om är en periodisk och begränsad funktion sådan att är styckvis deriverbar så kan vi derivera Fourierserien för termvis och få att
i alla punkter där existerar
1
0000 )sin()cos()('k
kk tkkatkkbtf
)(tf
)(' tf
)(tf
)('' tf
Ex.
tallaförtt
ttt
ttt
,)()4(
02,)(
20,)(
)2
cos()1)1((4
1)(1
22tk
kt
k
k
)2
sin()1)1((2
)('1
tkk
tk
k
)2
sin()1)1((216
1
tkk
k
k
• Multiplikationssatsen…
• Parsevals formel …
• Bessels olikhet (uppskattning av felet)…
