Föreläsning 5

Arbete och Energi

Kapitel 7

Arbete

Kinetisk energi

Arbete-Energi teoremet

Effekt

Skalärprodukter

Vi gick genom skalärprodukten under första förläsningstillfället. Här gör vi en kort repetition för att fräscha upp minnet.

För skalär produkten mellan två vektorer A och B gäller: AB = ABcos

Skalär produkten mellan vektor A och B är oberoende av ordningföljden av vektorerna, dvs:

AB = BA

För skalärprodukten mellan enhetsvektorerna gäller följande:ii = jj = kk = 1

ij = jk = ik = 0

Skalärprodukten är distributivt: A(B + C) = AB + AC

Skalärprodukten mellan två vektorer uttryckt med enhetsvektorer och komposanter ges av:

AB = (Axi + Ayj + Azk)(Bxi + Byj + Bzk) = AxBx + AyBy + AzBz

Skalärprodukten av en vektor med sig själv: AA = A2

Slutligen skalärprodukten mellan en vektor och en enhetsvektor ges av:

Ai = Ax, Aj = Ay, Ak = Az

Arbete

Det finns fall där Newtons lagar inte är användbara eller oerhörd krångliga för att kunna lösa mekaniska problem. Ett sådant fall är strängen på en pilbåge. När man släpper strängen för att skjuta iväg pilen så kommer kraften som verkar på pilen att variera under utskjutningsintervallet. Vill du bestämma pilens accelerationen med hjälp newtons andra lag? Antagligen inte

För att kunna lösa denna typ av problem behöver vi ett annat redskap. Mekanisk arbete är ett sådant redskap som man kan använda. Vi börjar först med att definiera arbete W i de fall vi har konstant kraft:

W = Fs

Eller

W = Fscos

är vinkeln mellan kraft- och förflyttningsvektorn. Observera att det är endast kraftkomponenten längs förflyttningen som bidrar till arbete. Enheten för arbete är 1 J (joule)

s

F

Fx

Fy

I komposant form kan vi uttrycka arbete W för förflyttningen, s = xi + yj + zk, och för kraften F = Fxi +Fyj + Fzk, på följande sätt:

W = Fxx + Fyy + Fzz

En sak som vi ska klart för oss, är att den typen av arbete som vi diskuterar här är endast ett mekaniskt arbete. En tyngdlyftare utför ett arbete W när han med Kraften F lyfter stången till höjden h, dvs W = Fh. Däremot utför han ur en fysikers perspektiv inget arbete genom att hålla stången stilla ovan marken. Rent fysiologisk utför hans muskeler ett arbete på cellulär nivå, men det arbetet kan han imponera på läkarna, för oss fysiker kan vi lika gärna ersätta honom med två reglar

Om flera krafter verkar på en kropp så kan man räkna arbetet för varje kraft individuellt. Nettoarbetet blir:

Wnet = F1 s1 + F2 s2 + …. Fn sn = W1 + W2 + …..+ Wn

Om vi antar att vi har en stel kropp dvs kroppens alla delar flyttar sig lika mycket så kan nettoarbetet skrivas som:

Wnet = Fnet s; Där Fnet är lika med summan av alla involverade krafter

Exempel

En kraft F = 2i -3j +k N, verkar på en partikel som förflyttar sig från r1 = 3i - 5k m till r2 = 2j + k m. Bestäm det av kraften utförda arbetet.

Vi börjar med att bestämma förflyttningen s:

s = r2 – r1 = 2j + k – 3i + 5k = -3i +2j + 6k

Arbetet W fås av:

W = F s = (2i -3j +k) (-3i +2j + 6k) = -6 - 6 +6 = -6 J

Observera arbetet blir negativt!!

Arbete kan också vara negativt. Om A knuffar en låda B med en kraft FAB så vet vi från Newtons tredje lag att lådan verkar med motsatt reaktionskraft FBA. Så om lådans förflyttning är s så får vi relationen:

WAB = FAB s = -FBA s = -WBA

dvs, när A gör ett positivt arbete på B så gör B lika stort negativt arbete på A.

Negativt arbete får man också från en kloss som rör sig på ett underlag med kinetisk friktion fk. Friktionsvektorn är riktad i motsatt riktning hos förflyttningsvektorn, dvs vinkeln mellan vektorerna är 180˚. Det arbete Wf som har utförts av friktionskraften blir därför:

Wf = sfkcos180° = -sfk

FAB

FBA

s sfk

Exempel

Ett lutande transportband förflyttar en last med massa M = 20 kg med en konstant fart v = 3 m/s. (a) Bestäm arbetet som motorn utför på lasten genom att flytta den s = 2 m (a) nerför. (b) uppför. Lutningen på transportbandet är = 20˚.

Arbetet som utförs av motorn motsvarar dragkraften T i bandet som bestäms av friktionskraften f. Lasten glider inte vilket innebär att friktionskraften är lika stor som tyngdkraften komposant längs x axeln dvs: f = mgsin.

(a) Dragkraften är i motsatt riktning till förflyttningen, dvs ett negativt arbete

Wmotor = -smgsin-134 J

(b) Samma som i (a) fast nu är dragkraften riktad åt samma håll som förflyttningen:

Wmotor = 134 J

x

y

mg

f

Från illustrationen nedan kan vi bestämma det arbete Wg som utförts av gravitationen får att förflytta en kropp nerför en backe.

y

y0

mg

Ns

x

y

Förflyttningsvektorn s och gravitationkraftsvektorn kan skrivas:

s = xi + yj + zk

mg = -mgj

Arbetet blir således: Wg = -mgj (xi + yj + zk) =-mgy = -mg(y-y0) = mgh

h

Från den härledningen drar vi två slutsatser, den första:

Arbetet som har utförts av gravitationen beror endast av de vertikala start- och slutkoordinaterna och ej av banan

Sätter vi y = y0 får vi Wg = 0 vilket leder till den andra slutsatsen:

Den utförda arbetet av gravitation är noll för alla banor som återkommer till startpunkten

Arbete utförd av varierbar kraft (icke konstant kraft)

Fjädern är ett typexempel på något som ger varierbar kraft. Fjäderkraften Fsp är proportionell mot fjäderns utdragning eller komprimering och motverkar detta. Fjäderkraften Fsp ges av:

Fsp = -kx; där k är fjäderkonstanten samt x är förflyttningen (från jämviktsläget) av den fria änden av fjädern.

Fsp

Fsp

x0 = 0

Jämvikt Fsp = 0

x

x

F

x1 x2

F1

F2

En utdragen fjäder befinner sig i läge x1. Vi ska försöka räkna ut det arbete som fjädern utför för att nå läget x2. Arbetet Wsp är arean mellan x1 och x2, som ges av:

Wsp = F1(x2-x1) + ½(x2-x1)(F2-F1) (i)

Sätter vi F1 = -kx1och F2 = -kx2 i (i) får vi:

Wsp = -½k(x22 - x1

2)

Gör det själv

En person knuffar en last på 10 kg, 3 m uppför en backe med 30˚ lutning, med en kraft på 80 N. Friktionskraft mot lasten är 22 N. Bestäm det utförda arbete av (a) personen (b)

gravitationen (c) friktionen.

Kinetisk Energi

Låt oss börja i en dimension med konstant kraft. Om en konstant kraft F verkar på en partikel med massa m och orsakar förflyttningen x, så kan arbetet uttryckas som:

W = Fx (i)

Ersätter vi F i (i) ma från Newton andra lag, så blir:

W = max (ii)

Om vi nu utnyttjar rörelse ekvationen v2 = v02 +2a(x) och löser ut a så får vi:

a = ½(v2 – v02)/x

Ersätter vi a i ekvation (ii) med ½(v2 –v02)/x, så blir ekvation (ii)

W = mv2/2 – mv02/2 (iii)

Storheten K = mv2/2 kallas för kinetisk energi, och är en energi som en partikel har på grund av sin rörelse. Kinetisk energi är en skalär och har samma enhet som arbete, dvs: J

Ekvation (iii) kan skrivas som:

Wnet = K och betyder att arbetet som utförs av resultanten av alla externa krafter som verkar på partikel är lika med ändringen i partikelns kinetiska energi. Detta kallas för arbete-energi teoremet

Exempel

Beräkna den energin som krävs för att flytta på en 1000 kg bil mot en konstant motkraft på 250 N för följande vilkor (a) bilen håller en konstant fart på 20 m/s under 10 s (b) med konstant acceleration från vila till en hastighet på 20 m/s under 10 s(c) med konstant acceleration från 20 m/s till 40 m/s under 10.

Löses på tavaln.

Exempel

En kraft F = 24 N verkar på en kloss enligt figuren nedan. Fjäderkonstanten är k = 20 N/m, klossen massa m = 3 kg och friktionskoefficienten k = 0.1. systemet startar i vila med fjädern i jämviktsläge. Om klossen dras 0.4 m bestäm arbetet som är utförd av (a) kraften F (b) friktionskraften, f (c) fjäderkraften Fsp . (d) vad är sluthastigheten, v, av klossen?

F

60˚ =

(a) WF = Fs = Fscos = 4.8 J

(b) Friktionskraften f är riktad i motsatt håll av förflyttningen s, dvs negativt arbete Wf:

Hitta först normal kraften N mot klossen för att kunna bestämma friktionskraften f = kN.

N+Fsinq-mg =0; N= 8.6 N; Wf = Fs = -fs = -kNs = -0.34 J

(c) Wsp = -½k(x2-x02) = -½(20)(0.42-0)=-1.6 J

(d) Med hjälp av arbete-Energy teoremet kan vi bestämma hastigheten:

Wnet = WF + Wf + Wsp = k = mv2/2 v = 1.4 m/s

s

f

Exempel

Ett barn drar i en låda med ett rep på ett lutande plan. På andra sidan av lådan sitter en fjäder som är fäst mot en väg. Vi vill bestämma hastigheten på lådan efter att barnet har dragit en sträcka d = 0.5 m. Vi känner till Lådans massa m = 2 kg, repets vinkel i förhållande till planet a = 20˚, Planet lutning q = 30˚, drag kraften i repet T = 30 N, friktionskoefficienten k = 0.45 och fjäderkonstanten k = 12 N/m (fjädern ligger i jämviktsläge innan barnet börjar dra)

mg

T

Fsp

fk

d

x

y

mg

T

Fsp

fk

Vi vill bestämma hastigheten. Detta kan göras med hjälp av arbete-energi teoremet. Dvs:

Wnet = K

De krafter som är inblandade i förflyttningen är Fjäderkraften Fsp, dragkraften i repet T, tyngdkraften mg och friktionskraften fk. Vi börjar med att bestämma det arbete WT som utförs av dragkraften i repet.

WT = Tdcos = 14.1 J

Vi har lärt oss nu att arbetet som utförs av gravitationen beror endast på den vertikala förflyttningen. Wg blir således:

Wg = -mgy = -mgdsin = -4.9 J

Arbetet Wsp utförd av fjäderkraften mellan startposition x0 = 0 och x = d får vi genom:

Wsp = -½k(x2 – x02) = -½kd2 = -1.5 J

Slutligen har arbetet Wf som utförts av friktionskraften. Från kraftdiagramen ser vi at normal kraften N = mgcos –Tsin = 6.7 N. Wf = -fkd = -kNd = -1.5 J

dy

NTsin

-mgcos

N+Tsin-mgcos

Totala arbetet blir:

Wnet = WT + Wg + Wsp + Wf = K

Vi starthastighet v0 = 0, blir K = mv2/2

v = 2.5 m/s

Gör det själv

Hur mycket arbete krävs det för att flytta en last på 1000 kg, 10 m från vila till en hastighet på 1 m/s under förutsättningen att man har en konstant motkraft på 100 N?

Integraler som redskap i bestämning av arbete

Om vi har en funktion som beror av variabeln x, ta tex föregående fjäderkraftsfunktionen Fsp(x) = -kx, så kan vi bestämma arean mellan x1 och x2 genom att integrera denna funktion. Så arbetet som utförs av en fjäder blir:

)xx(k2

1kxdxdxxFW 2

1

x

x

22

x

xspsp

2

1

2

1

En alternativ härledning till arbete-energi teoremet kan vi göra om vi håller i minnet att accelerationen a = dv/dt, hastigheten v = dx/dt och F = ma.

2

mv

2

mvmvdvvdt

dt

dvmmadxFdxW

20

v

v

2x

x

x

x000

Exempel

En kloss med massa m=0.5 kg hålls emot en fjäder som är ihoptryckt x = 0.2 m från sin jämviktläge. Friktionskoefficienten mk = 0.4 och fjäderkonstanten k=80 N/m. När klossen släps fri, bestäm (a) arbetet som har utförts av fjädern fram tills klossen tappar kontakt (b) arbetet utförts av friktionen fram tills klossen tappar kontakt (c) Hastigheten på klossen när den tappar kontakt (d) hur lång kommer klossen att glida tills den stannar?

(a) Arbetet fjädern utför på klossen tills den tappar kontakt (vid x=0):

(b) Friktionens arbete över samma sträcka: Wf = - µkmg A = -0.393 J.

(c) Klossens fart när den lämnar fjädern:

(d) Totala sträckan s som klossen rör sig.

JkAkxdxkxdxFW AAA spsp 6.1½½ 20200

smgAµAm

k

mgAµkAmWWWKK

k

kfsptot

/20.22v

½v½

2

22

cmmgµ

kAs

mgsµkAWWWK

k

kfsptot

5.812

½002

2

K = 0 eftersom klossen ligger stilla vid start och vid stop.

Arbete och energi i tre dimensioner

Om vi har en partikel som rör sig i en bana under inverkan av en varierande kraft F, så kan man uttrycka arbetet för varje förflytning ds som:

dW = Fds

För att uttrycka den totala arbetet som utförs om partikeln förflyttar sig från läge A till läge B, fås:

B

A

B

AAB dscosFdW sF

Om vi använder F = Fxi + Fyj + Fzk och ds = dxi + dyj + dzk så kan vi uttrycka (i) på följande sätt:

B

A

B

A

B

A

z

zz

y

yy

x

xxAB dzFdyFdxFW

Exempel

En kraft varierar med läget enligt funktionen F(x,y) = 3xi – y2j N. Bestäm det arbetet som kraften utför från koordinaterna (-2 m, -1 m) till (1 m, 2 m).

Vi löser linje integralen:

J5.73

y

2

x3dyyxdx3dyFdxFW

2

1

31

2

21

2

2

1

2yx

Effekt

Allt ska gå fort nuförtiden! Att en vattenpump kan pumpa 10 liter vatten från 100 m djup är inte tillräckligt. Man vill veta också hur snabb den pumpar upp vattnet. Detta kallar vi för pumpens effekt P och har enheten 1 W (Watt) . Effekt P deffineras som utfört arbete per tid. I likhet med hastighet kan man definiera medeleffekt Pav:

Pav = W/t

Där W är mängden arbete som är utfört under tidsintervallet t. Den momentana effekten blir:

P = dW/dt

Ett annat sätt och uttrycka effekten på är att ersätta dw med Fds, dvs arbetet som utförs av kraften F på ett objekt med en infinitesimal förflyttning ds. Effekten blir då:

P = Fds/dt = Fv

På grund av den nära relationen mellan energi och arbete, är den allmäna definitionen av effekt är förändringstakten av energi i ett system:

P = dE/dt

Exempel

En cycklist kan hålla en effekt på 0.5 hp (hp=hästkraft) under t = 10 minuter. Hur långt kan han cykla med en konstant fart v, om motkraften är f = 18.5 N?

I hp = 746 W Cylistens effekt P = 373 W

Vid konstant hastighet är effekten P = fv

P = 18.5v = 373 v = 20.2 m/s

Sträckan x som cycklisten kan cykla blir:

x = vt = (20.2 m/s)(600 s) = 12.1 km

Exempel

En atlet kan dra en kraftig fjäder 0.40 m under 0.6 s. Beräkna hans medel effekt, om fjäderkonstanten k = 50 N/m.

Först räknar vi ut det arbetet Wd som atleten utför för att dra ut fjädern. I förhållande till fjädernkraftens negativt utförda arbete Wsp gör atleten ett positivt arbete (se illustration).

Wd = -Wsp = - (-½ k(x2-x02)) = ½ k(x2-x0

2) = ½ 50(0.42) = 4 J

Medeleffekten blir:

Pav = W/t = 4/0.6 = 6.7 W

Fsp

x0 = 0

Jämvikt Fsp = 0

x

0.4 mFatlet

Exempel

En gräshoppa som väger m = 3x10-3 kg kan uppnå till en hastighet v = 3.4 m/s, under s = 4 cm då den hoppar. Bestäm medeleffekteneffekten Pav i gräshoppans ben.

Medeleffekten Pav kan uttryckas som:

Pav= Fvav, där vav är medelhastigheten och är lika med v/2

Från rörelseekvationen v2 = v02 + 2a(x-x0) får vi accelerationen a:

a = (v2-v02)/2(x-x0)

För v0 = 0, x0 = 0 och x = s a = v2/2s

Medeleffekten Pav blir:

Pav = Fv/2 = mav/2 = mv3/4s = 0.74 W

Om en människa som väger 70 kg får för sig att åstadkomma samma prestation, så krävs det ca 17 kW.

17 kW motsvarar ett arbete på 17 kJ under en sekund, typ lyfta 1.7 ton en meter högt under en sekund. Skrämmande!!