Folien Zu VL X Vom 18122014

1/24T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15

Hinweis zur Integration durch Partialbruchzerlegung

� Integration echt gebrochenrationaler Funktionen

∫ ∫=

b

a

b

a

dx)x(N

)x(Zdx)x(f

Zählerpolynom vom Grade m

1. Nullstellen von N(x) bestimmen und Funktion als Summe von Partialbrüchen aufschreiben:

� bei zwei einfachen Nullstellen:

21 xx

B

xx

A

)x(N

)x(Z

−+

−=

Nullstellen

� bei einer zweifachen Nullstelle:( )2

11 xx

B

xx

A

)x(N

)x(Z

−+

−=

Nullstelle

Nennerpolynom vom Grade n

nm < Hier:

n =2


Nullstellen von N(x) berechnen:

2

1,2

p px q

2 2

= − ± −

a) wenn > 0, dann zwei einfache Nullstellen

b) wenn = 0, dann eine zweifache Nullstelle

c) wenn < 0, dann komplexe Nullstellen

(im Rellen nicht lösbar!)

als Summe komplexer Partialbrüche darstellen

(oder Lösungsansatz nachschlagen!)

… für unsere Anwendungen aber nicht relevant!!

Z(x)

N(x)

Für Fall c):


f(x1)

f(x2)

f(x0)

∆x

…x0 x1 x2 x3

a b

f(x)

x

y

� Näherungsverfahren

� Wenn elementarer Lösungsweg zu aufwendig ist

� Wenn Integral elementar nicht lösbar ist

� Wenn Integrand nur als Funktionsgraph oder Wertetabelle gegeben ist

3.6.4 Numerische Integration


x

y

f(x)

x0 x1 x2 x3 …

f(x0)

f(x1)

f(x2)

a b

∆x







x

y

f(x)

x0 x1 x2 x3 …

f(x0)

f(x1)

f(x2)

a b

f(x0)

f(x1)

∆xTrapezfläche:

x2

)x(f)x(fA 10 ∆⋅

+=

∆x

f(x0) + f(x1)

2

x2

)x(f)x(fA 10

1 ∆⋅

+=

x2

)x(f)x(fA 21

2 ∆⋅

+=







x

y

f(x)

x0 x1 x2 x3 …

f(x0)

f(x1)

f(x2)

a b

f(x0)

f(x1)

∆xTrapezfläche:

x2

)x(f)x(fA 10 ∆⋅

+=

∆x

f(x0) + f(x2)

2

n21

b

a

A...AAdx)x(f +++≈∫







2 ax

0

x e dx ???

∞

−⋅ =∫

g(x) f (x) dx g(x) F(x) g (x) F(x) dx′⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

…Wir benötigen: Methode der Produktintegration

y

x

2 axx e−⋅

Beispiel:

3.7 Uneigentliche Integrale


2 ax

0

x e dx ???

∞

−⋅ =∫2 ax

0

I( ) x e dx

λ

λ −⇒ = ∫

2 ax 2 ax ax1 1x e dx x e 2x e dx

a a

− − − = ⋅ − − ⋅ −

∫ ∫

Zunächst unbestimmtes Integral mit Produktregel für Integration lösen:

2ax ax axx 2 1 1

e x e 1 e dxa a a a

− − − = − + ⋅ − − ⋅ −

∫

2ax axx 2

e x e dxa a

− −= − + ⋅∫….nochmal Produktregel anwenden

g(x) f (x) g(x) F(x)g (x)′ F(x)


2ax ax axx 2 x 1

e e e dxa a a a

− − − = − + − +

∫

2ax ax axx 2 x 1 1

e e e Ca a a a a

− − − = − + − + − +

2ax ax ax

2 3

x 2x 2e e e C

a a a

− − −= − − − +

2ax

2 3

x 2x 2e C

a a a

−

= − − − +


2ax

2 3

x 2x 2e C F(x) C

a a a

−

= − − − + = +

22 ax ax

2 3

0 0

x 2x 2I( ) x e dx e

a a a

λλ

λ − −

= = − − −

∫

Damit folgt:

2a

2 3 3

2 2 2e

a a a a

λ λ λ−

= − − − − −

Grenzwert λ → ∞

22 ax a

2 3 3

0

2 2 2x e dx lim e

a a a a

λ

λ

λ λ∞

− −

→∞

= − − − − −

∫


22 ax

a 2 a 3 a 3

0

2 2 2x e dx lim

a e a e a e aλ λ λλ

λ λ∞

−

→∞

= − − − + ⋅ ⋅ ⋅

∫

2

a 2 a 3 a 3

1 2 2 1 2lim lim lim lim

a e a e a e aλ λ λλ λ λ λ

λ λ

→∞ →∞ →∞ →∞

= − − − +

∞=

∞

∞=

∞0=

3

2

a=?! ?!

… bei unbestimmten Ausdrücken der Form und Grenzwerte durch Regel

von Bernoulli-de L‘Hospital ausrechnen:

∞

∞

0

0

0 0 0x x x x x x

f (x) f (x) f (x)lim lim lim

g(x) g (x) g (x)→ → →

′ ′′ = =

′ ′′


2

a a 2 a

1 1 2 1 2lim lim lim 0

a a ae a e a eλ λ λλ λ λ

λ λ

→∞ →∞ →∞

⇒ − = − = − = ⋅ ⋅

22 ax

a 2 a 30

1 2 2x e dx lim lim

a e a e aλ λλ λ

λ λ∞

−

→∞ →∞

⇒ = − − + ∫

0= 0=

2 ax

30

2x e dx

a

∞−⇒ =∫

n ax

n 1

0

n!x e dx

a

∞−

+⇒ =∫vgl. Formelsammlung:


… weiteres Bsp.:

222

dx ?x

−

−∞

=

∫

22 2 2

2 2

2

2 4 1I( ) dx dx 4 dx

x x x

1 1 1 4 4 44 4 2

x 2 2

− − −

λ λ λ

−

λ

λ = = =

= − = − − − = + = + − λ λ λ

∫ ∫ ∫

222 4

dx lim I( ) lim 2 2x

−

λ→−∞ λ→−∞−∞

= λ = + =

λ ∫

3.7 Uneigentliche Integrale


3.8 Mehrfachintegrale

3.8.1 Doppelintegrale

( , ) dA f x y∫∫A

2

1

( )

( )

= ( , ) dy dxo

u

y xx

x y x

f x y∫ ∫

2 unabhängigeVariablen

Integrationsbereich:eine Fläche!

Flächen-differential

von x abhängigeFunktionen od. Konstanten

Konstanten

1. Integration (innen)

Vorgehen:

1. Innere Integration nach y ausführen

� x als Konstante betrachten!

� f(x,y) nach y integrieren!

� In ermittelte Stammfunktion für y die Integrationsgrenzen yo(x) und yu(x) einsetzen und Differenz der resultierenden Funktionen bilden! (Variable y verschwindet aus Integranden!)


( , ) dA f x y∫∫A

2

1

( )

( )

= ( , ) dy dxo

u

y xx

x y x

f x y∫ ∫

2 unabhängigeVariablen

Integrationsbereich:eine Fläche!

Flächen-differential

von x abhängigeFunktionen od. Konstanten

Konstanten

1. Integration (innen)

2. Integration (außen)

2. Äußere Integration nach x in den festen Grenzen x1 und x2 ausführen(gewöhnliche Integration)

3.8 Mehrfachintegrale



Bsp.:


x1 e 2

x 0 y 1

xdy dx ?

y= =

=∫ ∫

x1 e

2

x 0 y 1

1x dy dx

y= =

∫ ∫

1. Innere Integration nach y (x wird als Konstante betrachtet):x1 e

2

x 0 y 1

1x dy dx

y= =

=

∫ ∫

( )x

1e2

1x 0

x ln y dx=

= ∫ ( ) ( )( )1

2 x

x 0

x ln e ln 1 dx=

= −∫= 0= x

1

3

x 0

x dx=

= ∫2. Äußere Integration nach x (gewöhnliche Integration, da nur noch eine Variable):

1

3

x 0

x dx=

= ∫1

4

0

1x

4

=

1 10

4 4= − =


Bereich(A)

z

y

x

∆x

∆y

Funktionsfläche z = f(x,y)

Grundfläche Säule: ∆A = ∆y . ∆x

Volumenelement Säule:∆V = f(xk,yj) . ∆A

f(xk,yj)

m n

k j

k 1 j 1

V f (x , y ) A= =

≈ ⋅ ∆∑∑

Das Volumen V zwischen Funktionsfläche f(x,y) und x,y-Ebene im Bereich (A) ist näherungsweise

durch die Summe der Volumenelemente ∆V in diesem Bereich gegeben:

Volumen V = ?

3.8.1 Doppelintegrale (geometrische Deutung)


x,y : Integrationsvariablen

f(x,y): Integrand

dA: Flächendifferential, Flächenelement

(A): Integrationsbereich

Weitere Bezeichnungen für Doppelintegrale:

� 2-dimensionales Bereichsintegral

� zweifaches Integral

� Flächenintegral

Definition: Der Grenzwert

wird als Doppelintegral bezeichnet und durch folgendes Symbol

gekennzeichnet:

m n

k jm n

k 1 j 1

lim lim f (x , y ) A→∞ →∞

= =

⋅ ∆∑∑

(A) (A)

f (x, y) dA f (x, y) dA

=

∫∫ ∫

( )A 0∆ →


x1 x2

y2

y1

Bereich(A)

z

y

x

dx

dy


dy . dx = dA

dV = f(x,y) . dA = f(x,y) . dy dxf(x,y)

Integrationsbereich (A):

1 2x x x≤ ≤

1 2y y y≤ ≤

Volumen V = ?

1. Integrationsschritt:

Summation ( = Integration) aller Säulenvolumina dV einer Schicht in y-Richtung ergibt

das Volumen einer Scheibe mit der infinitesimalen Dicke dx.

Berechnung eines Doppelinegrals (geometrische Deutung)


Bereich(A)

z

y

x

dx

x1 x2

y2

y1


1 2x x x≤ ≤

1 2y y y≤ ≤





2 2

1 1

y y

Scheibe

y y

dV dV f (x, y) dy dx

= =

∫ ∫


Summation ( = Integration) aller Scheiben in x-Richtung ergibt das Volumen V, das

zwischen Funktionsfläche f(x,y) und der x,y-Ebene im Integrationsbereich (A) liegt.

Volumen V = ?



z

y

xx1 x2

y2

y1


1 2x x x≤ ≤

1 2y y y≤ ≤




2

1

2 2

1 1

x

Scheibe

(A) x

x y

x y

V f (x, y) dA dV

f (x, y) dy dx

= =

=

∫∫ ∫

∫ ∫





Volumen V =


Hinweis: Wenn alle Integrationsgrenzen Konstanten

sind (rechteckger Integrationsbereich!), so ist die

Integrationsreihenfolge vertauschbar!


z

y

x

dxdy


dy . dx = dA

dV = f(x,y) . dA = f(x,y) . dy dxf(x,y)

x1 x2


1 2x x x≤ ≤

u oy (x) y y (x)≤ ≤

Volumen V = ?




yu=yu(x)

yo=yo(x)

Bereich(A)



z

y

x

dx


x1 x2

Volumen V = ?




yu=yu(x)

yo=yo(x)

Bereich(A)

o

u

o

u

y (x)

Scheibe

y (x)

y (x)

y (x)

dV dV

f (x, y) dy dx

=

=

∫

∫





1 2x x x≤ ≤

u of (x) y f (x)≤ ≤



z

y

xx1 x2

yu=fu(x)

2

1

o2

1 u

x

Scheibe

(A) x

y (x)x

x y (x)

V f (x, y) dA dV

f (x, y) dy dx

= =

=

∫∫ ∫

∫ ∫

Volumen V = ?



1 2x x x≤ ≤

u of (x) y f (x)≤ ≤








Integrationsreihenfolge nicht

vertauschbar!

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