01. Los vectores , y pertenecen a un mismo

plano y miden 1, y 1 respectivamente. Calcular

el modulo de la suma de vectores.

A)

B)

C)

D)

E)

Nos damos cuenta que el vector A y B forman 120º y tienen modulos iguales entonces por propiedad.

Ahora por ultimo trabajamos vector resultante entre A y B con el vector C .

02. Los vectores mostrados. Hallar el modulo del vector resultante F = 80 N, F = 60 N y F = 50 N.

A)

B)

C)

D)

E)

15º105º

A

C

B

15º105º

R

60º

1

1 1

245º

2

3

10

5

7

2

A CB

5R

2

22221R

cos45º21221R22

=

÷÷ø

öççè

æ++=

´´++=

a60º

a

a60º

1 2 3

7º

F3

F1

F2

550 N

7100 N

250 N

750 N

350 N

C

Trabajamos primero dos vectores en este caso trabajamos 80 N y 60 N y luego con el de 50 N.

03. Determine el modulo de la resultante si el radio del cuarto de circunferencia es: .

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Recordando el Metodo del Triangulo se tiene.

R80

7º60

100

53º

50

4K

53º

37º

3K

5K

N750R

2

144150R

2cos60º122150R 22

=

÷ø

öçè

æ++=

´´++=

E

2 - 3

q

q q

1R

3232R

32rR

2

322rR

1cos30º1211rR 22

=

÷øöç

èæ +÷øöç

èæ -=

+=

÷÷ø

öççè

æ+=

´´++=

q

q qq

q

R

30º

r

r

A

A

BR

R = +A B

1

04. Se tiene dos vectores y que forman entre si un angulo de 53º, si = 75 cm y el modulo de la resultante es 300 cm. Hallar el seno del angulo formado entre el vector y la resultante.

A) 0,4

B) 0,1

C) 0,3

D) 0,2

E) 1,0

05. Se tiene dos vectores cuyos modulos son 5 y “m”

unidades, las cuales forman entre si un angulo de

83º. Hallar “m” si el vector resultante forma un

angulo de 53º con el vector de 5 unidades.

A) 5B) 6C) 7D) 9E) 8

A

A B

B

q

B

300

53º

75 75

53º

37º

3K

4K

4K

53º

37º

3K

5K

0,2senθ

300

154senθ

300

4Ksenθ

=

´=

=

75 = 5KK=15

D

R

83º

m m

53º

5

30º

53º

5Aplicamos

Leyde Senos

06. Hallar el valor de la resultante del conjunto de vectores.

A) a

B) 2a

C) a

D) 2a

E) a

A cada vector colocamos una letra y luego por método del triangulo y polígono reducimos los vectores entonces se tiene.

Ahora nos damos cuenta como están graficados los vectores deducidos que son vector d y vector m.

Pero la resultante que nosotros queremos es dos veces m y d.

8m

5

4m

2

15

sen53º

m

sen30º

5

=

=

=

E

5

3

3aa

a

a

2a

a3

a

m

c

b

d

n

m2dR

nmddR

nmdcbaR

+=

+++=

+++++=

m

60º

m

d

R

60º

2m

d

32aR

m2dR

=

+=

2a

30º30º2a

32a

D

2

07. Si el modulo de la suma de dos vectores de igual

modulo es el triple del modulo de su diferencia.

Halle el angulo comprendido entre dichos vectores

disminuido en 7º.

A) 23º

B) 46º

C) 37

D) 30º

E) 44º

Por definicion de suma y resta para dos vectores formando un angulo se tiene.

Según el problema R = 3D, ademas tiene igual modulo A = B entonces tenemos que:

Pero disminuido en 7º tenemos

Rpta: 37º - 7º =30º

30º

08. Hallar la magnitud de la resultante en el conjunto de

vectores, siendo = 10 cm; = 5 cm .

A) 5 cm

B) 30 cm

C) 15 cm

D) 10 cm

E) 40 cm

Por metodo del poligono reducimos los vectores mostrados.

09. Dado los vectores. Hallar la resultante .

A)

B)

C)

D)

E)

Recordando para el metodo del poligono cerrado

resultante CERO.

10. Se tiene 2 vectores compuestos y

. que forman entre si un angulo de 37º, si

ademas se sabe que sus modulos son 40 u y 14 u.

Calcular .

B

A

B

q

AR = +A B

B

q

A D = -A B

B

2ABcosθBAR 22 ++= 2ABcosθBAD 22 -+=

( )( )

37ºθ

5

4cosθ

18cosθ182cosθ2

2AAcosθAA92AAcosθAA

2ABcosθBA92ABcosθBA

2ABcosθBA32ABcosθBA

3DR

2222

2222

2222

=

=

-=+

-+=++

-+=++

-+=++

=

D

A

B

A

B

A

p m

n o

q

30cmR

3AR

A3R

AAAR

poqnmBAR

=

=

=

++=

++++++=

d-

d

d2

d-2

d3d

c

a

e

b

f

( )

dR

d0R

fedcbaR

-=

-+=

+++++=

d

e f

+ + = 0d e f

+ = -de f

( )B A + 3

( )B A + 2

B

3

A) 10

B) 20

C) 40

D) 30

E) 50

Por teoría de vector diferencia nos damos cuenta y tenemos lo siguiente.

Nos damos cuenta que la diferencia de los dos

vectores nos da precisamente lo que nos pide osea el

vector B.

11. A partir del grafico, determine el modulo de la

resultante de vectores mostrados siendoy

A) 10

B) 12

C) 15

D) 20

E) 13

D

Ahora nos damos cuenta como están graficados los vectores E y el vector A entonces se tiene .

Ahora por Teorema de Pitágoras

12. Si se cumple que .

Siendo: Hallar “ ”

A) 30º

B) 60º

C) 37º

D) 53º

E) 45º

La resultante sera cero cuando un vector esta tras otro y forma un polígono cerrado entonces se tiene.

El vector C es la resultante del vector A y B de donde nos resulta.

q

E

B

D ( )B A + 3

( )B A + 2

37º

( )B A + 3 ( )B A + 2-

B

30uD

2ABcosθBAD

14cos37º4021440D

2ABcosθBAD

22

22

22

=

-+=

´´-+=

-+=

B = 30 u

A = 5u;E = 6u.

E

BC

DF

G

A

E

BC

DF

G

A

AEER

GFEDCBAR

++=

++++++=

E

A

2

R

AE2R +=

13uR

125R

BAR

22

22

=

+=

+=

B A C + + = 0

A = 3; B = 5; C = 7.

BA

C

q

BA q

C-B

A

q

C-

B A C + + = 0

B A C + = -

60ºθ

2

1cosθ

cosθ3015

cosθ3025949

5cosθ32537

2ABcosθBAC

22

22

=

=

=

++=

´´++=

++=

4

B

A

R = B - A min

C) 4

D) 3

E) 5

Por teoria de resultante máxima y por teoria cuando forman un angulo se tiene.

En la ecuación ii aumentamos AB y restamos AB y luego reemplazamos la ecuacion i entonces se tiene.

15. Si la magnitud de la resultante de los vectores

mostrados es A 34 .Hallar la medida del angulo

A) 16º

B) 18,5º

C) 26.5º

D) 37º

E) 30º

Restamos modulos de los vectores opuestos paralelos de donde se tiene.

a.

A

13. Para el conjunto de vectores mostrados. Calcular el

modulo de su resultante, sabiendo que tiene

direccion horizontal. Ademas P = 30.

A) 10

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

Nos dan dos vectores tales que al descomponerlos se tiene que.

Si la resultante tiene dirección horizontal entonces en el eje Y los vectores deben anularse , anularemos tan solo igualando de donde se tiene.

Ahora la resultante es:

14. La resultante maxima de dos vectores es 15, pero si ambos vectores forman un angulo de 60º, la nueva resultante seria 13. Calcular la resultante mínima.

A) 1

B) 2

40Q

24Q5

3

=

=

D

4K

53º

37º

3K

5K

37ºx

37º

Q

P

y

30

37ºx

37º

Q

y

Q45

Q35

18

24x

y

Q45

Q35

18

24

37º

53ºQ

Q45

Q35

14R

185

404R

18Q5

4R

=

-´

=

-=

B

A

60º

R B

A

R = A + B max

.........iB.........A15

BARmax

+=

+=

AB....iiBA169

2ABcos60ºBA13

2ABcos60ºBAR

22

222

22

++=

++=

++=

( )

56AB

AB225169

ABBA169

AB-ABABBA1692

22

=

-=

-+=

+++=

8B7;A ==\

1R

78R

min

min

=

-=

x

A/3

y

4A/3

5A

aaa

4A/3

aA/3

aA

a

5

Aplicamos Ley

de Senos

16. Hallar la magnitud de la resultante , si es horizontal.

A) 2

B) 4

C) 5

D) 6

E) 12

Primero descomponesmos en el eje “x” y eje “y” para luego igualar los vectores en el eje “y” ya que la resultante debe estar en el eje horizontal.

17. Al sumar un vector A de magnitud 30 con otro vector B. que forman con un angulo de 53º se observa que la resultante forma un angulo de 37º con . Hallar la magnitud de .

A) 12

B) 10

B

C) 12

D) 6

E) 14

18. Hallar la medida del angulo a , para que la resultante del sistema tenga una direccion de 53º, b = 37º.

A) 0º

B) 37º

C) 45º

D) 53º

E) 74º

Descomponiendo 40 con ángulo de 37º se tiene que.

A

x

y

A

5A

aa

34A

( ) ( )

18.5ºα

37º2α

cos2α5

4

10cos2α8

10cos2α2634

cos2α10AA25A34A

α2.5A.Acos2A5A34A

2ABcos2αBAR

2222

222

22

=

=

=

=

+=

++=

++=

++=

x

30

y

24

20

a

x

30sena

y

24

20

a

30

30cosa

53ºα

5

4senα

2430senα

=

=

=

2R

5

330.20R

30cosα20R

=

-=

-=

Luego tenemos que:

A

B B

R

53º

B B

37º

30

16º

16º

30

14B

5025

7B

5

3

30

25

7

B

sen37º

30

sen16º

B

=

´=

=

=

E

x

50

y

48

40

a b

x

50

y

48

40

a 37º32

24

3K

37º

53º

4K

5K

x

50

y

a 32

24

Restando 48 y 24 se tiene:

6

Luego resultante entre 32 y 24 obtenemos:

Como la resultante de los vectores tiene una

dirección de 53º entonces graficamos y se tiene que:

19. En el cubo mostrado. Hallar la magnitud de la resultante de los vectores. La arista del cubo es a.

A)

B)

C)

D)

E)

Descomponiendo en los tres ejes el vector que se encuentra en la diagonal del cubo y se tiene que.

20. En el cubo mostrado. Hallar la magnitud de la resultante.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Descomponiendo primero dos vectores tenemos

que.

Luego descomponemos el ultimo vector y se tiene.

Luego sumamos los modulos de los vectores

descompuestos en los tres ejes y tenemos.

21. En el grafico se muestran dos vectores dipuestos

sobre un cubo. Determine en que relacion se

encuentran los modulos de los vectores y

. .

C

74ºα

90º16ºα

=

=+

E

x

50

y

a37º

32

2440

x

50

y

a37º

40

R

x

50

y

a37º

40

53º

x

50

y

a37º16º

40

Del triangulo sombreado:

a5

a6

a/23

a/26

a

y

z

x

a

a

aa

a

0aaV

aV

a2V

z

y

x

=-=*

=*

=*

å

å

å ( )

5aV

0a2aV 222

=

++=

å

å

Del gráfico:

C

1

y

z

x

y

z

x

211V

11-11V

211V

z

y

x

=+=*

=+=*

=+=*

å

å

å

3V

212V 222

=

++=

å

å

A B+

A B-

7

22. En la figura ABC, es un triángulo rectángulo, recto en B. Determinar la magnitud de la resultante.

A) a

B) 2a

C) 3a

D) 4a

E) 5a

Representando cada vector dado mediante una letra y proyecatando nuestra grafica se tiene:

Entonces por propiedad de diagonales de un rctangulo se tiene:

23. Dados los vectores mostrados en la figura, determinar el modulo de su vector resultante. El radio de la circunferencia es de 25 unidades.

A) 3

B) 9

C) 3

D) 9 10

E) 3 10

A)

B)

C)

D)

E) 3

La relación entre el modulo de la suma y resta es.

........................I

Primero hallaremos

Descomponemos los vectores en los lados del cubo.

Ahora el módulo de

Reemplazando en la ecuación I

B

BA

BAK

-

+=

12

32

23

2 B A

.BA +

y

z

x

B A a

aa

a

a

2aV

a2V

aV

z

y

x

=*

=*

=*

å

å

å

( ) ( ) ( )

3aBA

3aV

2a2aaV222

=+®

=

++=

å

å

.BA -y

z

x

A a

aa

a

a

B -

a

aBA

a0a0

0Va;V0;V

222

zyx

=-®

=++

=== ååå

3K

aa

3a

BA

BAK

=

==-

+=

E

A

B

Ca a a a

b

A

B

Ca a a a

a cm n

cR

2cc2cR

nmcbaR

=

-+=

++++=

Propiedad

R = 2a

21°42°

x

y

0

8

Para utilizar el método de los componentes rectangulares y trabajar con ángulos notables giramos los vectores en 5° de forma horaria.

Sumamos las componentes del eje “x” y eje “y” tenemos:

Ahora la resultante es:

24. Dos vectores y de igual modulo forman un

ángulo q. ¿En que relacion están los módulos de los

vectores + y - ?

A)

B)

C)

D)

E)

Nos preguntan por

Condición

Ÿ Para la suma

Del grafico

Ÿ Para la diferencia

Del grafico

Eluego (I) entre (II).

25. Los puntos A; B; C; y D determinan un cuadrado.

Escribir el vector x en funcion de los vectores a y b.

A)

B)

C)

D)

E)

DA B

16°

37°

x

y

15

20

24

7

27720yV

91524xV

=+=å

=-=å

D

( ) ( )

( ) ( )

109R

319R

VVR

22

2

x

2

x

=

+=

+= åå

4K

53º

37º

3K

5K

Recordando

7K

16º

74º

24K

25K

A B B A

÷ø

öçè

æ

2

θsen

÷ø

öçè

æ

2

θcos

÷ø

öçè

æ

2

θtan

÷ø

öçè

æ

2

θcot

÷ø

öçè

æ

2

θsec

BA

BAK

-

+=

mBA ==

q/2q/2

mcos(q/2)

mcos(q/2)

m m

m

m

BA+

.....I2

θ2mcosBA ÷

ø

öçè

æ=+

q/2q/2

msen(q/2)

m

m

BA -

msen(q/2).....II

2

θ2msenBA ÷

ø

öçè

æ=-

÷ø

öçè

æ=

÷ø

öçè

æ

÷ø

öçè

æ

=

2

θcotK

2

θ2msen

2

θ2mcos

K

( )ba2

2+

( )ba2 +

2

ba +

( )ba3 +

( )ba2

3+ D

A B

C

ax

b

9

Comparando los dos vectores. El vector x es

paralelo con el vector (a + b)

x a + b

Tamaño x Tamaño (a + b)

26. Hallar la magnitud del vector resultante del sistema

mostrado.

A) 4

B) 3

C) 5

D) 6

E) 7

Descomponiendo empezado de cola a cabeza en ele.

A

Sumando vectores paralelos horizontalmente y verticalmente

27.

A) B) C)

D) E)

Observando el grafico nos damos cuenta lo siguiente:

Comparando los dos vectores. El vector x es paralelo con el vector A

Halle el vector x A en función de

C

D

A B

C

ax

b

a b+L

L

=

2L

ba

L

x +=

( )ba2

2x +=

Recordando

a

b

a b+

Para un cuadrado

L 2L

L

11

11

5 4

3

R = 5

Ax

Ax

53° 2

K

2KK 5

K 5

55 A2

53 A3

25 A5

55 A4

25 A

10

28.

A) B) C)

D) E)

Prolongando la gráfica para buscar vector suma de a y b

29.

Los puntos A; B; C y D determinan un cuadrado.

Escribir el vector en función de los vectores

y

Hallar el vector unitario dirigido del punto,

P = (2, 3, -1) hacia Q = (3, 4, 2)

y

a b. Graficando en los tres ejes los puntos dados:

Por teoria de vector unitario se tiene:

. .

D

y

z

x

A

x

2K

A

K 5=

2 5

5=x A

ba y

bay

a + b2

45°K

K

K 2

A

=

a + b2

K 2

y

K

= a + b42y

22

a + b

42

a + b 62

a + b22

a + b3

32

a + b2

A) ÷ø

öçè

æ--

®®®

kji311

1 B)

÷ø

öçè

æ++

®®®

kj3i11

1

C) ÷ø

öçè

æ++

®®®

kji11 D)

÷ø

öçè

æ++

®®®

k3ji11

1

E) ÷ø

öçè

æ+-

®®®

kji311

1

P = (2,3,-1)

Q = (3,4,2)

PQ

PQ = Q - P = (3,4,2) - (2,3,-1) = (1,1,3)

m = PQ

PQ

PQ

PQ = 1 + 1 + 3 = 112 2 2

m = PQ

(1,1,3)

11

m = PQ 111 i + j + 3 k

11

Recordando

A = (a i + b j + c k )

B = (m i + n j + p k )

AB = B - A = (m - a) i; (n - b) j; (p - c) k

AB

A

B

31.

A) B) C)

D) E)

Por propiedad se tiene que:

Dandole forma al gráfico que nos dan se tiene que:

Considerando que “M” es punto medio del

paralelogramo mostrado, expresar el vector en

función de los vectores y A B

30.

A) 20

B) 24

C) 32

D) 16

E) 8

Primero por resultante se tiene que:

Por método del triangulo reducimos y tendremos que:

Reemplazando se tiene que:

La resultante es tres veces el tamaño del vector “C” entonces:

En el sistema de vectores sobre el hexágono de 4m de lado mostrado en la figura, determine el módulo de la resultante.

C

B

A

B

CD

E

A

B

CD

E

R = A + B + C + D + E

R = A + B + C + D + E

C = D + A C = B + E

R = C + C + C

R = 3C

4m

4m

4m

4m

60°

60°

60°

R = 3CR = 3(8)

R = 24m

A

B

M

x

2B - A

5B - A

3B - A

4B - A

6B - A

xm + n

=A Bn m+A B

x

m n

2x

-A

B

x

m

m

3xm + m

=-A Bm m+( )

3x2

=-A B+

x6

=B A-

G = baricentro

k

2k

Recordando

12