FolletoUNI 1(Proof)

8/10/2019 FolletoUNI 1(Proof)

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Razones Y Proporciones

disciplinas.resolver problemas de la vida real y en otrascomparacin para obtener formas prcticas de

- Deducir de los resultados encontrados en la- Analizar cuantitativamente dichas caracteristicas.

objetivos y y seres dado la comparacin.- Reconocer las caracteristicas inherentes de los

Objetivos

comparado por medio de la sustraccin.Roberto y Pedro para sus gastos diarios; lo hemos

- Al comparar las cantidades disponibles por Concluimos:

ahorra diario Roberto.- Pedro ahorra diario (6/2 = 3), el triple de lo que

por Pedro en un da.- Roberto recibe (20-12=8) S/. 8 ms que lo obtenidoObservamos:

diario S/. 2 mientras PedroS/. 6 diario.nocturnamente en una panadera, adems Roberto ahorra. 12 para sus gastos diarios en trabajo que lo realizasu padre para sus gastos mientras que Pedro obtiene S/dicha casa de estudios; Roberto recibe S/. 20 diarios deUniversidad San marcos, ellos estudian todo el da en

Roberto y Pedro son dos estudiante sde la

Introduccion

20 12 8

yPedro; lo hemos comparado por medio de una divisin.- Al comparar los ahorros diarios de Roberto

Aritmtica.A dicha comparacin se le denomina Razn

6 32

antes mencionadas.varias formas. Lo que desarrollaremos ser las dos formas

Al comparar dos cantidades se puede realizar degeomtrica.

A dicha comparacin se le denomina Razn

RAZN

Razones y Proporciones

La compararcin se hace por diferencia.1. RAZON ARITMETICA:

pueden ser:.- Es el resultado de comparar dos cantidades,

La comparacin se hace por cociente.2. RAZON GEOMTRICA

r : Razn Aritmticab: Consecuente

a: Antecedentea b r

a kb

PROPORCION

k : Razn Geomtricab: Consecuentea: Antecedente

Arit mt ica

Proviene de la igualdad de dos razones, pueden ser:

Geomtricaa b c d

a cb d

Clases de Proporci n Geomtricab, c : Trminos medios

a, d : Trminos extremosb, d : Consecuentesa, c : AntecedenteDonde:

1. Continua Cuyos trminos medios son iguales.:

a bb c

2. Discreta

c : Tercera proporcionalb : Media proporcional o media geomtrica.Donde:

Sus 4 trminos son diferentes.:

a cb d

d : Cuarta Proporcionala b c dDonde:


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Se cumpla:

a d b c

Dado:

PROPIEDADES DE UNA PROPORCION GEOMETRICA

a c kb d

*a c kb d * b. d

a.c 2k

*a b c d

b d

*a b c d

b d

* b d b da c a c *

a c kb d

* a b c da c

* b a d ca c

*

SERIES DE RAZONES GEOMTRICAS CONTINUAS

a b c da b c d

Se cumple:

b c d ea b c d k

4a e k 3b e k2c e k d e k

Dada:

SERIES DE RAZONES GEOMETRICAS EQUIVALENTES

..........a a a1 2 3 n

1 2 n3a k

PROPIEDADES:

b b b b

* b b b ............ba a a .............a

1 2 3. n

1 2 3 n k

*b b b .............b

a a a .............a

1 2 3 n

1 2 3 n nk

* b b b .............b b ba a a .............a a a

1 2 3 n 1 2

1 2 3 n 1 2 k

03. Si:

A) 21 B) 20 C) 10 D) 5 E) 15

de los cuadrados de los nmeros es 676.como 7 es a 17. Hallar el menor de ellos, si la suma

02. Si la diferencia y la suma de 2 nmeros son entre siA) 20 B) 30 C) 10 D) 5 E) 25

dentro de 4 aos.hace 4 aos es de 56 aos. hallar la edad de luisLuis es de 9/2 y la razn aritmtica de sus edades

01. Si la razon geometrica entre las edades de Juan y

a b 3a b 7

y

A) 11 B) 5 C) 9 D) 7 E) 1027. Cul es el mayorde los nmeros?estn en la misma relacin que los nmeros: 4, 2 y

12. la suma de la diferencia y el producto de dos nmeros

A) 8 B) 12 C) 18 D) 24 E) 16proporcional.geomtrica continua es 20736. calcular la media

11. El producto de cuatro trminos de una proporcin

A) 21 B) 42 C) 10,5 D) 31,5 E) 28dichos nmeros es 189. Calcular la diferencia.

10. 2 nmeros estn en la relacin de 11 a 7; la suma de

D) 2 a 3 E) 3 a 2A) 2 a 1 B) 1 a 3 C) 5 a 4aumentar en10 el nmero de patos?Cul ser la relacin entre patos y gallinas aldiferencia entre el nmero de patos y gallinas es 60.Si el nmero de gallinas es a T como 7 es a 20, y la

09. Un granjero tiene T animales entre patos y gallinas.

A) 124 B) 224 C) 324 D) 424 E) 300los antecedentes es 60.antecedente si la suma de las races cuadradas derazn es 4, 9 y 25 respectivamente. Hallar el segundose sabe que la diferencia entre los trminos de cada

08. En una serie de 3 razones geomtricas equivalentes

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60y nios es de 7 a 3.asistieron si de los hombres la relacin entre adultos450 personas en total. Cuntos nios hombresentre hombres y mujeres es de 3 a 2. Si asistieronhombre y mujeres es de 2 a 3. De los nios la relacinentre adultos y nios. De los adultos la relacin entre

07. A una reunin social sistieron hombres y mujeres

A) 64 B) 74 C) 94 D) 84 E) 104en 32. En cunto excede las azules a las bolas rojas?2 rojas. Si la cantidad de bolas excede a las blancasazules, donde se cumple que por cada 5 azules hay

06. Se tiene cierto nmero de bolas blancas, rojas y

A) 100 B) 243 C) 143 D) 343 E) 523extremos es 280. Hallar la suma de los extremos.sus trminos es 700 y la diferencia entre los

05. En una proporcin geomtrica continua la suma de

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60de los consecuentes.trminos de la primera razn es 40. Hallar la sumaextremos son entre si como 4 es a 9. Si la suma de

04. En una proporcin geomtrica continua los trminos

A) 16 B) 32 C) 64 D) 8 E) 4Hallar el valor de b. Si a - c = 72

b c 3b c 5

ARITMETICA


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D R l01. Hallar el valor de: S

09. Si:

A) 94 B) 98 C) 95 D) 96 E) 97la suma de los consecuentes es:antecedente y los 3 ltimos consecuentes es 41 160.equivalentes son: 2; 3; 4 y 5 el prodcuto del primer

08. Los antecedentes de varias razones geomtricas

A) 180 B) 396 C) 216 D) 270 E) 360producto.sumar 6 al menor y restar 6 al mayor. hallar sucuya diferencia de cuadrados es 180. Se invierte al

07. Sabiendo que la razn geomtrica de dos nmeros

A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16Hallar el valor de la constante de proporcionalidad.ltimo consecuente.y continuas, el primer antecedente es 64 veces el

06. En una serie de 3 razones geomtricas equivalentes

A) 16 B) 24 C) 18 D) 30 E) 20de aviones como 3 a 2 Cuntas naves son?observa que el nmero de barcos queve es al nmerobarcos como 1 a 2 . Mientras uno de los marinerosqueel nmero de aviones que el ve es al nmero dea una isla. Durante el viaje uno de los pilotos observa

05. Un escuadrn de aviones y otro de barcos se dirigen

A) 7/176 B) 8/21 C) 5/44 D) 7/18 E) 8/41dichos nmeros es:a otros tres nmeros que suman 147/176. Uno de

04. Los cuadrados de 1/2 ; 1/4 y 1/8 son proporcionales

A) 500 B) 550 C) 608 D) 325 E) 375mismos es 600. hallar el tercer nmero.primero y el segundo es 1173 y la diferencia de los

03. La suma de tres nmeros es 1425; la razn del

A) 49 B) 196 C) 198 D) 189 E) 169blancas?excede las bolas azules respecto a las bolasde azules excede a los rojos es 140. En cuntorojas y por cada 7 rojas hay 11 azules. Si la cantidadazules, donde se cumple por cada 4 blancas hay 5

02. Se tiene un cierto nmero de bolas blancas, rojas y

A) 148 B) 191 C) 253 D) 220 E) 176S : es la cuarta proporcional de 80 ; 15 y 16I : es la tercera proporcional de 8 y 24

R : es la media proporcional de 88 y 22 : es la media diferencial de 24 y 34

Siendo:

b d e ga c d f

A) 30 B) 26 C) 40 D) 36 E) 42trminos de la segunda razn?de la primerarazn es 25. Cul es la suma de losconsecuentes es 270. Si la suma de los 2 trminosde los antecedentes es 120 y el producto de los

12. En una proporcin geomtrica discreta, el producto

A) 600 B) 840 C) 900 D) 800 E) 640como 3 es a 4. dar el tercero.segundo como 4 es a 5; el segundo es al tercero

11. La suma de tres nmeros es 1 880; el primero es al

A) 46 B) 69 C) 48 D) 64 E) 72consecuentes.consecuentes es 37 422. Hallar la suma de los

os antecedentes son: 2; 3 ; 7 y 11. El producto de los10. En una serie de razones geomtricas equivalentes

A) 90 B) 80 C) 50 D) 70 E) 60

Calcular d.e - c = 35a x f = 90

se cumple que: b x g = 160

Conjuntos

etc.- Clasificar los objetivos por forma, especie, tamao,

de las ideas.- Realizar los estudios de grupo de objetos reales o

en los que estn sustentados.- Conocer los aspectos bsicos de las matemticas y

Objetivo:

agrupaciones.desarrollaremos en este captulo sern dichasforma, tamao, calidad, especie, territorialidad, etc. Lo queagrupa a los objetos en cada momento, ya sea por su

Es decir en la vida y desarrollo de las disciplinas sesus respectivos elementos.conjunto as como los monos en otros conjuntos y analizar sus anlisis, todas las personas estn agrupadas en unpersonas con relacin al peso de los menos para realizar

Por ejemplo queremos estudiar el peso de lastambin por otras caractersticas comunes.y relacionarlos con estos grupos de objetos coleccionadosagruparlos en conjunto, ya agrupado podemos analizarloso realizar una estadstica de ellos, hay la necesidad deestudio de objetoa que poseen caracteristicas comunes,ideas en formas individuales, si quisiramos realizar un

En la vida diaria, observamos a los objetos, cosas e

Introduccion

Ejem:separados por comas y encerrados entre llaves.maysculas (A, B, C, ...., Z) y sus elementosLos conjuntos generalmente se denotan con letrasobjetos se les denomina elelmentos de conjunto.agrupacin de objetos reales o ideales; a estosIntuitivamente un conjunto es la reunin, coleccin o

1. NOCION DE CONJUNTO

Teoria De Conjuntos

L , , , ,

ARITMETICA


5/26

perteneceSi un objeto es elemento de un conjunto, se dice que

2. RELACION DE PERTENENCIA

M= ( los alumnos del ciclo semestral)W= (z, m, 7)

( )pertenece

a dicho conjunto, en caso contrario no( )

Nota:

S ({b} no pertenece a S){b} S (2 no pertenece a S)

S ({2} pertenece a S){2}S ( 5 nopertenece a S) S (4 pertenece a S)

Entonces:S: { a, { 2} , {b,c}, 4}Dado el conjunto:

Ejm.: a dicho conjunto.

45

2

A = { x/x es una vocal fuerte}Ejm.:nicas a los elementos de dicho conjunto.se mencionan una o ms caractersticas comunes y

Cuandob. Por comprensin o Forma Constructiva:

, .....}C= {3B= { 11, 13, 15, 17, 19}A= { a, e, o}Ejm.:conjunto.pueden indicar explcitamente los elementos del

Cuando sea. Por extensin o Forma tabular:3. DETERMINACION DE CONJUNTOS.

2, 42, 52, 62

B 2x 1/ x Z, 6 x 11

a. Inclusin4. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

C x / x Z,x 22

( )

a B, se denota :conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen

: Se dice que A est incluido en otro

A B

Nota:

A {{6}} {5{6}}A {6} {5}

Entonces:Sea el conjunto A= {5, {6}, 7,8}Ejemplo:

A es subconjunto de BA est contenido en BA est incluido en BSe lee:

A A

Se denota:elementos.iguales, cuando ambos poseen los mismos

Se dice que dos conjuntos A y B sonb. Igualdad:

(A B B A) AComo:B= { a, m, 2, 6}A= {2, a, 6, m}dado los conjuntos:Ejem.:

B [A B B A]

B

Dado los conjuntos:Ejm.:incluido en el otro.comparables cuando por lo menos uno de ellos est

Se dice que dos conjuntos sonc. Comparables:

A

(A BComo:

a,b,c B a,b,c,d

)

(N MComo:N= {5,3} M={ 3, 5, 7}

A es comparable con B

)

Observacin

entonces son disjuntos.Como: A y B no poseen elementos comunes,B = { 1, 3, 5, 7, ......}A = { 2, 4, 6, 8, ......}Dado los conjuntos:Ejm.:

disjuntos cuando no poseen elementos comunes. Se dice que dos conjuntos sond. Di sj u nt o s:

N es comparable con M

Si:

Entonces: n(A) = 7 Si A={x/x es un da de la seman}Ejm:de elementos diferentes y se denota: n(A)Se entiende por cardinal del conjunto A a su cantidad

:

B= { x/x es un nmero entero}Ejm.:

de contar sus elementos nunca termina.cantidad ilimitada de elementos, es decir el proceso

Un conjunto es infinito, si posee unab. In fini to :

A = { x/x es un mes del ao}Ejm:sus elementos termina en algn momento.limitada de elementos, es decir el proceso de contar

Un conjunto es finito. Si posee una cantidada. Fini to :5. CLASES DE CONJUNTOS

Entonces: n(E) = 2 SI: E={5, {3, 4}}

Entonces: nL=4L 2, ,2, , ,

ARITMETICA


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C x /1 x 8

elementos; se denota:a. Nulo o Vaco: Es aquel conjunto que no tiene

6. CONJUNTOS ESPECIALES

Ejm.: o { }

A

Nota:

x / x Z 3 x 4

B= {5, 5, 5} A = {3}

Ejem.:un solo elemento.b. Unitario o Singletn: Es aquel conjunto que tiene

El conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto.A

C x / x N 16 x 18

A son: Si : A = { a, b} entonces todos los subconjuntos deEjm.:subconjuntos de A y se denota P(A).conjunto potencia de A a la familia de todos losc. Potencia: dado un conjunto A , se denomina

B = {{2,4}, {6, 8, 10}}A = { {2}, {4, 6}, {17}}

Ejm:.conjuntos.familia de conjuntos cuyos elementos son todos

Tambin se le denominad. Conjunto de conjuntos:

U= { conjunto de animales vertebrados}U = { conjunto de felinos}U= { conjunto de animales}M.Entonces, podran ser cionjuntos universales para

M={ conjunto formado por gatos}Ejm.:generalmente con U.conjunto universal absoluto, y se denotatodos los conjuntos considerados. No existe unestudio de una situacin particular, que contiene a

c. Universal: Es un conjunto referencial para el

Si:,{a}, {b}, {a,b}P(A)= {

Entonces:, {a}, {b}, {a,b}

Los subconjuntos:T ,

Entonces:

Entonces:Si: A= {p, q}Ejm.:subconjuntos diferentes al conjunto A.

Los subconjuntos propios de A son aquel losn P 2 8(A )

Entonces:Si: A = {4, 8, 16}, n(A)=3

Ejm.:nmero de subconjuntos de A es 2

Si un conjunto A tiene m elementos, entonces elObservaciones:

P , , ,( , )(T)

m.

3

Tendremos el siguiente diagrama:U = { 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}C = { 5, 6, 9, 10}B= { 2, 5, 6, 8}A= {3, 4, 7}Dado los conjuntos:Ejemplo:universal.rectngulo representa generalmente al conjuntorepresentar grficamente a los conjuntos. Elgeomtricas cerradas, que se utilizan paraSon regiones planas limitadas por figuras

7. DIAGRAMA DE VENN-EULER

, p , qsub conjunto propios

Observacin:

SolucinCuntos hombres no bailan?que no bailan es 15. Si el total de personas es 60.hombres que bailan es 20 y el nmero de mujeres,En una reunin se observa que el nmero deEjemploconjunto disjuntos .

: Se utiliza generalmente para1. Diagram de Carrolconjuntos son:Otros diagramas para representar grficamente a los

:

:

se obtiene:Teniendo en cuenta la procedencia de la inclusin

D = {c} C={c, d}B = { a}

Si: A = { a, b, c, d}Ejemplo: Para conjuntos comparables.2. Diagrama Lineal:

Respuesta: 5 hombres no bailan

C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,}B = { 3, 4, 5, 6}A = { 2, 4, 6, 8}Sean los nmeros

8. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

ARITMETICA


7/26

o de ambos. Se denota por AUB y se define por:es el conjunto formado por los elementos de A, de B

La unin de dos conjuntos A y Ba. Unin o Reunin:

DiagramasAUB = {2,4, 6, 8, 3, 5}Ejemplo:

AUB x / x A x B

pertenecen a A y B a la vez. Se denota por y B es el conjunto formado por los elementos que

La interseccin de dos conjuntos Ab. Interseccin:

A B x / x A x B

Ejemplo:

ADiagramas:

B 4,6

denota por A-B y se define por:elementos que pertenece a A, pero no a B. Se(en este orden), es el conjunto formado por los La diferencia de dos conjuntos A y Bc. Diferencia:

A

Diagramas:

B - A = { 3, 5}A - B = { 2, 8}

Ejm.

B x / x A x B

Observaciones:Si: A B A B B A

d. Diferencia Simtrica

A B A B B A

, y se define por:Se denota por:elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos.dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los

la diferencia simtrica de:

A B

A B x / x (A B) x (B A)

Ejm.:

B 2,8,3,5Diagramas:

Se observa:

B (AUB) (A B)A B (A B) (B A)

e. Co m pl em en t o

al conjunto universal U pero no a A. Se denota por cojnjunto formado por los elementos que pertenecen

: El complemento de A, es el

: , A y se define por:A , AAC

A x / x U x A U A

= { 3, 5, 7, 9}Ejm.:

AC

Diagrama:

= { 2, 7, 8, 9}B

f. Producto Cartesiano o Conjunto Producto:Par ordenado

importa el orden de ellos.elementos no necesariamente diferentes y donde

Es aquel conjunto que posee dos:

Ejm.:

a b (a;b) (b,a SiObservacin:

)

(a;b) (c;d) a c b d Si

conjunto cuyos elementos son pares ordenadosEl conjunto prodcuto de dos conjuntos A y b es aquel

ARITMETICA


8/26

Se denota: A x B y se define por:las segundas componentes pertenecen a B.donde las primeras componentes pertenecen a A y

Ejemplo:

B (a;b) / a A b B

Si:

2. A x (CUB) = (Ax C) U (A x B)1. n (A x B) = n(A) n(B)

Propiedades:

B x A = { (a;2) , (a; 3) , (b;2) , (b; 3), (c;2) , (c;3)}A x B = { (2;a), (2; b) , (2;c), (3;a) , (3;b) , (3; c)}Entonces:

3. A (C B) (A C) (A B)

1. Conmutativa:9. LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS

A B B A A B B A A B B A

2. Asociativa:

A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C

3. Distributiva:

A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)

(A B) AC C C4. De Morgan:

B

(A B) AC C C

B

5. Absorcin:

A (A B) A A (A B) A Observacin:

CA (A B) A B CA (A B) A B

(A )

6. Complemento:

C C A

CA ACA A

CA B A B

01. Si M={0; {6; 8} ; 10} indicar la expresin correcta.A) 0 M B) 8 M C) { 6,8} D)

M

10 M E) 16; 8 A

03. Sea:

D) -10 E) ImposibleA) 5 B) -5 C) 10

P = { m+n ; 25 ; 3m-2n }02. Si P es un conjunto unitario determinar : m - 2n

aA

Determinarlo por compresinA = { 2; 6; 12; 20; 30; 42; 56 }04. Si:

A) 128 B) 127 C) 64 D) 63 E) 15Cuntos subconjuntos propios tiene el conjunto A?Donde:

/ a N ; b N a 4 b 4b

a b

A) x 1/ x N x 72

B) x x / x N x 62

C) x x / x N 1 x2 8

D) x x / x N 1 x 82

E) x x / x N x2 8

subconjuntos tendrsubconjuntos y PUQ tiene 32 subconjuntos Cuntos

05. Se sabe que P tiene 16 subconjuntos ; Q tiene 8

P Q

06. Se dan los conjuntos unitarios:

A) 5 B) 10 C) 8 D) 4 E) 16?

P a b ;8

(A) (B07. Si A y B son sub conjuntos disjuntos

A) 40 B) 20 C) 35 D) 24 E) 45

Calcular a+b

Q b a ;4

)

A) 294 B) 293 C) 292 D) 290 E) 289casados Cuntas mujeres son solteras?147 personas de color son casados, 86 varones sonhombres, 470 son casados, hay 42 varones de color,

09. En una fiesta social hay 1000 asistentes, 322 son

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9bety cuntos das paseo con ambas?Ana o bety. Si 16 das paseo con Ana y 33 das con

08. Durante el mes de enero, Juan sali a pasear con

A) 8 B) 12 C) 16 D) 18 E) 32n(A B)Calcular :

Adems : 4 = 16n n

8

ARITMETICA


9/26

A) 18 B) 16 C) 14 D) 20 E) 12Fsica?entonces Cuntos alumnos estudian Aritmtica yestudian Fsica y 28 no estudian ni Aritmtica ni fsica,

12. De 76 alumnos, 46 no estudian Aritmtica, 44 no

A) 10 B) 20 C) 30 D) 22 E) 132aos Cuntos hombres no tienen 20 aos?tiene 20 aos. Si 20 de dichos estudiantes tienen 20

11. DE 52 estudiantes, 30 son hombres y 12 mujeres

A) 18 B) 23 C) 21 D) 24 E) 22bebidas?Cuntos prefieren 1 sola de las mencionadas* 2 prefieren B y C pero no A* 13 prefieren A o B pero no ambas marcas* 10 prefieren exactamente 2 marcas.tambin prefiere C.* La tercera parte de los que prefiere B pero no A* 10 no prefieren Cde las mencionadas* 13 prefieren C y adems por lo menos otra bebida* 2 prefieren A solamentesiguientes resultados:preferencia por las bebidas A; B C, con los

10. Se encuentra a 35 alumnos de la PRE sobre su

Hallar:B)]=804. Si: n [P(A)] = 128 , n[P(B)] =16 , n[P(A

A) 22 B) 38 C) 36 D) 25 E) 37; n(A-B) = 12 y n(B-A)=10. Hallar n(A) + n(B)

n(A B) 3003. Los conjuntos A y B son tales que

A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 5Tacna Cuntos meses visit a los dos lugares?Ica o Tacna. Si 8 viajes fueron a Ica y 11 viajes a

02. Diana realiza un viaje mensual durante todo el ao a

A) 80 B) 74 C) 104 D) 90 E) 39Calcular: aA = { a + b ; a+2b-3 ; 12}

01. Dado el conjunto unitario:

2 + b2

Hallar el conjuntoB = { { 2,1} , {1,3}, 3}A= { 1,2, {1,2}, 3}

05. Dados los conjuntos:

A) 128 B) 32 C) 256 D) 1024 E) 512n P(A B)

(A B) B (B A)

A) 30 B) 26 C) 40 D) 36 E) 42Cuntos desaprobaron las tres partes?* 3 aprobaron las tres partes* 7 aprobaron las dos primeras partesno la primera

* 6 aprobaron la segunda parte y tercera parte pero* 21 aprobaron la tercera parte* 25 aprobaron la segunda parte* 20 aprobaron la primera parte* 10 aprobaron slo la primera partepartes, si se sabe que:

12. 60 alumnos rinden un examen que consta de tres

A) 1023 B) 127 C) 511 D) 31 E) 63Calcular el nmero de subconjuntos propios de B.n(A) + n(C) = 26n (A x B) = 98n (A x B) = 84

11. Dados los conjuntos A, B y C y los siguientes datos:

A) 511 B) 15 C) 31 D) 107 E) 255ellos?Cuntos subconjuntos propios tiene la unin dees 576.suma de los cardinales de sus conjuntos potenciatiene 3 elementos ms que el otro, se cumple que la

10. para dos conjuntos comparables donde uno de ellos

A) 3 B) 4 C) 6 D) 5 E) 7medallas?Oro, Plata y Bronce Cuntos atletas no recibieronreciben medallas de Oro y de Bronce, 5 reciben de25 atletas reciben medallas de plata y Bronce, 20Bronce, 15 reciben medallas de Oro como de Plata,de Oro, 45 reciben medallas de Plata, 60 reciben dedeportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallases distribuido entre 100 atletas en un festival

09. Cierto nmero de medallas de Oro, Plata y Bronce

A) 22 B) 21 C) 25 D) 23 E) 24cursos?Cuntos alumnos estudian simultneamente dos* 10 alumnos estudian los tres cursos* 45 alumnos estudian el curso C* 22 alumnos estudian el curso B* 32 alumnos estudian el curso Aobtuvo la siguiente informacin:

08. De 55 alumnos que estudian en una Universidad se

A) 47 B) 43 C) 42 D) 48 E) 45exactamente uno de tales cursos?ni Administracin. Cuntos alumnos llevanAdministracin. Si 27 alumnos no siguen Matemticade matemtica y 53 no siguen el curso de

07. De un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso

A) 5 B) 6 C) 4 D) 3 E) 10simultneamente?noches escucha msica y lee un libromsica 21 noches y lee un libro 15 noches. CuntasSoledad escucha msica o lee un libro. Si escucha

06. Durante todas las noches del mes de Octubre.

C) { 1,3} D) { { 1; 3}, 3} E) { {1; 2}}A) {1, {1,3}} B) {{1, 3}}

ARITMETICA


10/26

Numeracion

- Efectuar cambios de base de los SPN.expresado en un determinado SPN

- Descomponer po linmicamente un numera lcualquier sistema posicional de numeracin (SPN)

- Representar una cantidad de unidades simples en

Objetivos:

computadoras para realizar sus clculos.hexadecimales que son los que se utilizan las9. adems, el uso de los sistemas binarios yDecimal de Numeracin que utiliza las diez cifras del 0 alda se utiliza en todas las naciones y se denomina Sistemaen forma hablada y escrita tiene un alfabeto, que hoy ennumeracin. En la actualidad el lenguaje de los nmerosbinaria y la posibilidad de infinitos sistemas deEn el siglo XVIII Leibnitz descubri la numeracin de basesiglo VIII por eso , nuestras cifras se llaman indoarbicas.rabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir deldescubrir el aro y el valor posicional de las cifras. Losdesarrollado un prctico sistema de notacin numeral, alun sistema de base veinte. En cambio los hindes habanbase el sesenta; los mayas, en Amrica, desarrollarondistintos sistemas, por ejm. los babilonios tenan comosu numeracin era decimal. Otros pueblos elaboraronformas distintas de representar los nmeros, la base de

Antiguamente los egipcios, griegos y romanos tenan

Introduccion

SISTEMA DE NUMERACIN POSICIONAL

Ejm.: 0, 1, 2; ..............de un sistema de numeracin posicional.

Son smbolos que se utilizarn en los numeralesCifra:

Ejm.: XXIII ; 23Es la representacin simblica del nmero.Numeral:

cual nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza. es un ente matemtico (no tiene definicin) elNmero:

representacin, lectura y escritura de los #s.: Es una parte de la Aritmtica que estudia laConcepto

Numeracin

Ordennumerales.que nos permite la correcta escritura y lectura de los

Es el conmjunto de prinmcipios, normas y convenios

Sea el numeral 82 674derecha a izquierda.ocupa un orden determinado el cual se enumera de

: Toda cifra que forma parte de un nmero

Ejem :

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIN

1. Sob re la Base

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

10; base 7; base y base 3.Ejemplo: Representar diecisiete unidades en base

agrupando para formar las rdenes de un numeral.de numeracin nos indica de cuanto en cunto se est

Tambin se puede decir que la base de un sistemaformar una unidad de orden inmediato superior.unidadesnecesarias de un orden cualesquiera paraf base, el cual nos indica la cantidad de

Todo sistema de numeracin posicional tiene una

2. Sob re la c ifra

Es decir: BASE ={2; 3;4; .......}Z > 1BASE :

0; 2; ...........;(n 1cifras significativas

En base n cifras:

En base 4 cifras: 0; 1; 2; 3En base 10 cifras: 0;1; 2; ......; 9

Ejemplo: 0 CIFRA Z BASE

:

)

OBS

3. Sobre el Valor de las Cifras

En base n se pueden utilizar n cifras diferentes.0 es la cifra no significativa.:

Ejemplo: Sea el numeral 82674acuerdo a su posicin.

: Es el valor que toma deValor Relativo (V.R.)acuerdo a si figura o smbolo.

: Es el valor que toma deValor Absoluto (V.A.)

Toda cifra de un numeral tiene dos valores.

(6)Ejemplo: Sea el numeral 5342 .

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION

ARITMETICA


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12 12 1Ejemplo:

< > C(12) < >< > B(11) < >< > A(10) < >

utilizan letras para su represntacin: Por convencin, cuando las cifras es mayor que 9 se

24(10)5(11) 2 5 2A5B

REPRESENTACION LITERAL DE UN NMERO

Un numeral de 2 cifras en base 10.Ejemplos:

Toda expresin entre parntesis representa una cifracero.La primera cifra de un numeral debe ser diferente dediferentes.Letras diferentes no necesariamente indican cifras

se representan mediante letras, teniendo en cuenta que:Cuando no se conocen las cifras de un nmero estas

Un numeral de 3 cifras en base 5ab 10,11,12,........;99

5 5 5

base 7.Un numeral de 3 cifras crecientes y consecutivos enabc 100 ,101 ,........;444

7 7 7 7 7

NUMERAL CAPICUA

n(n 1)(n 2) 123 ; 234 ; 345 ; 456

;33; 44Ejemplos:simtrica, es decir, las cifras equidistantes son iguales.

Son aquellos numerales cuya representacin

6

256 ;384 ;aa

6

4554 ;6886 ;aba n

6

DESCOMPOSICION POLINOMICA

abban

452 4 8 5 8

6584 6 10 5 10 8 10 43 2 1Ejemplos:

relativos de sus cifras.representacin de ste como la suma de los valores

la descomposicin polinmica de un numeral es la

2 18 2

Por bloques:

26 6 6 abab ab 6 ab

8 8 84 2 8ababab ab 8 ab 8 ab

CAMBIO DE BASE

abcbac abc 10 abc 1001abc38

I. De base diferente de 10 a base 10

II. De base 10 a base diferente de 10

452 176

452 4.6 5.6 2 176

a base 10Expresar 452Ejemplo:Mtodo: Por descomposicin polinmica

6

2

66

Expresar 498 a base 6Ejemplo:Mtodo: Por divisiones sucesivas

III. De base 10 a otra base 10

PROPIEDAD DE LA APARIENCIA

546 a base 6: ExpresarEjemplo 7

Si :

Ejemplos:menor, y viceversa.mayor valor aparente de un numeral, le corresponde

Si dos numerales son equivalente, se cumple que a

Si :

Se cumple: x < y

abcd mnpx y

m n

CASOS ESPECIALES DE CONVERSION

Se cumple: m >n4ab 5cd

luego se descompone cada bloque. las cifras se separan en bloques de 3 yComo 8=2

Resolucin:

11101110111 a base 8ExpresarEjemplo:resultado una cifra del numeral en la base nse descompone polinmicamente, siendo elCada bloque considerado en su base respectiva,cifras(de derecha a izquierda)Al numeral dado se les separa en bloques de k,

Procedimiento:'n '1. De base n a base k

2

3

Procedimiento: a base n2. De base n

11101110111 35672 8

k

ARITMETICA


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ExpresarEjemplo:

representacin en la nueva base.Los bloques obtenidos conformarn lacompletar con ceros a la izquierda)de k cifras (si existiesen grupos incompletos, sela base n, teniendo cuidado de obtener bloquesCada una de las cifras del numeral se convierte a

94

a base 3, generndose un bloque de 2 cifras., cada cifra del numeral se convierteComo

Resolucin:

283 en base 3

29 3

01. Si (b)

02. Del problema anterior cuanto vale

A) 4 B) 7 C) 2 D) 3 E) 5Hallar: c+b

cb(c 2) 1011(4 )

(b)1011

1000(k)03. Hallar : K de :

A) 27 B) 30 C) 29 D) 31 E) 32sistema decimal.

en el

8

A) 10 B)04. qu numeral es mayor?

A) 4 B) 5 C)2 D) 1 E) 0

(8)13 C) (2)1000

D) (3)22

05. Determinar la suma de cifras del numeral

(5)E) 10

11 ; 100 ; 14 ;.........(7) (3) (6)

continuara en:06. Qu numeral del sistema decimal es el que

A) 16 B) 12 C) 15 D) 17 E) 20 si es cappica.4(b 1)(b 2)ab

07. Si:

A) 10 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

?

(k) (7)

08. Si:

A) 2 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9mn5 k5

10. El nmero

A) 50 B) 52 C) 53 D) 54 E) 64nmero en el sistema decimal.y se obtuvieron los nmeros 204 y 312. Hallar eldos sistemas de numeracin de bases consecutivas

09. Un nmero del sistema decimal se ha convertido a

A) 11 B) 12 C) 14 D) 15 E) 6556 3ab(8)

(n)

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7Cul es la menor cifra de dicho nmero?crecientes de la base 8 a base 11 se obtiene 311

12. Al convertir un nmero de 3 cifras consecutivas

A) 49 B) 25 C) 36 D) 12 E) 64

escribe en el sistema haptanario como 425. Hallar 11. El mayor nmero de tres cifras de la base n se

D) 2 356 E) 2 458A) 2 538 B) 3 358 C) 2 358(3n/2)?

que 10 cmo se escribe en la base cuyo valor es est escrito en una base menor 7564

n2.

01. Si:"n " cifrasiguales

(2)x

Hallar:

xx.....xx 4095

02. Si:

D) 2186 E) 2176A) 2193 B) 2196 C) 2396

N nnn(13)

(b)

nmero03. Cmo se expresa en el sistema de base (n+2) el

A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7hallar: b

N b0b 12110

(n)148

(n 2B)124(n 2)

?

A) )

(n 2D)

(n 2)C)134 114

) (n 2E)104 )

04. Si:

112

(n) 2(n )abba 7(13)

05. Hallar a + b + c + m si:

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 5unidades.Hallar n sabiendo que a y b se diferencian en 2

ababab 6mc(5) b

06. Hallar n si:

A) 6 B) 7 C) 9 D) 8 E) 10

(78) (n)n(n 1) (n 3)(n 2)(n 1)

07. Hallar: a+n , si:

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

(n)

08. Halle: a+b , si:

A) 15 B) 13 C) 14 D) 12 E) 10280 aa0

(3) (7)

09. Si:

A) 4 B) 3 C) 5 D) 2 E) 6

ababab abb0

Calcular:nn00 mm0 nn0

expresado en base cinco.nm

ARITMETICA


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desarrollar.propiedades que se cumpla en este y la que vamos aconocer los aspectos bsicos de dichas operaciones yoperaciones en menos tiempo. No deja de ser importantecomputadoras, mquinas que pueden realizar lasestn siendo reemplazadas por calculadoras,Aunque ltimamente quienes realizan solo operacionespara que hay relaciones, operaciones fundamentales.sueldos, impuestos, etc. Son cuantificados, se generaempresas dadas que las materias primas, egresos ,distribucin ms adecuada de sus ingresos. En lasdirectamente. Una ama de casa recurre a estas para la

sola llamada suma total.cantidades de una misma especie (homognea) en una

Es una operacin que tiene por objeto reunir variasI. ADICIN

Cuatro Operaciones

suma total

una tercera cantidad llanada diferencia.que dadas 2 cantidades, minuendo y sustraendo, hallar

es una operacin inversa a la suma, que consiste enII. SUSTRACCIN

a b c ... zsumandos

* Condicin AritmticaM S

Seael nmero:Es decir:

orden inmediato superior de su mayor orden.lo que falta a este nmero para ser igual a la unidad del

El complemento aritmtico de un nmero natural es* Complemento Aritmtico (C A)

abc

Mtodo Prctico

C A efgh= ...............................C A 246 = ...............................C A3625 = ...............................

Hallar:

C A 4529 = 10000-4529 = 5741C A 721 = 1000 - 721 = 279C A25 =100 -25 = 75Ejemplo:

C A (1000 abc) 10 abc3

C AEs decir:

estos permanencen en el complemento.y la ltima cifra sugnificativa de 10. Si hay ceros al final,

Consiste en restar todas las primeras cifras de nueve

abc (9 a)(9 b)(10 c)Ejemplo:

C A 379 (9 3)(9 7)(10 9)C A379 62

1

CA

C A 1628 = ................................C A 458 = ..................................

Hallar:

(8)275

Restas notables

C A 47002 = ................................C A 7200= ................................

................................

a c Ejem:

tercera llamada producto.dos cantidades multiplicando y multiplicador, hallar una

es una operacin directa que tiene por objeto, dadIII. MULTIPLICACIN

En otras bases:

Representacin:

Divisor (d) hallar una tercera llamada cociente (q).tiene por objeto, dada por 2 cantidades: Dividendo (D) y

es una operacin inversa a la multiplicacin queIV. DIVISIN

A) Divisin exacta (r=0)

Clases de divisin:

D q q; q ; DdDqd

Ejemplo:

D d q

b.1Por defecto(r 0)B) Divisin Inexacta

32 4 8

ARITMETICA


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Ejm..: D d q r d d

b.2Por exceso 132 5 26 2

D d q r e e

Propiedades:

132 5 27 3

1. D d q r

2. r.maximo d 1r.minimo 1

r d

3.D

r 2

4. r r dd e

5.

= Cociente por exceso

= Cociente por defectod = Divisor D = Dividendo

Simbologaq q 1e d

d q

eq

d = Residuo por Defecto

e = Residuo por Exceso

02. Si:

a) 300 b) 320 c) 330 d) 350 e) 400doble de la tercera parte de la diferencia.el sustraendo es el C A del minuendo. Calcular el

01. La suma de los 3 trminos de una resta es 1480; si

x

03. Hallar las 3 ltimas cifras de la suma:

a) 14 b) 12 c) 8 d) 15 e) 21 Hallar : x , y2y 5x 7 y54

4

04. Hallar (c+d), sabiendo que del ao

a) 310 b) 370 c) 410 d) 670 e) 610

S 7 77 777 ...... 777...7770 cifras

19cd al

transcurrido

han19dc

2d

09. Hallar x +y en :

a) 11 b) 20 c) 15 d) 17 e)13Hallar la suma de las cifras de la diferenciarestamos la diferencia del sustraendo nos d 4788.

08. La suma de los trminos de una resta es 15684 y si

d) 3040 e) 3648a) 2432 b) 608 c) 1216el sustraendo.y el minuendo es el cuadruplo del sustraendo. Hallar

07. La suma de los tres trminos de una resta es 19456

c) 9 enero d) 6 febrero e)12 Marzoa) 15 enero b) 10 Febrerollegarn a la misma pgina?cominezan ambos el 1ero de Enero En qu fecha1er da, 20 el 2do, 30 el 3ero y as sucesivamente. Silee 50 pginas cada da y Pablo lee 10 pginas el

06. Pedroy Pablo leen una novela de 1100 pginaS. Pedro

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4aritmtica.Sabiendo que los trminos estn en progresin

41 46 54 ..... 466(n) (n) (n) (n)

05. Efectuar la siguiente suma:

a) 4 b) 7 c) 11 d) 12 e)13 aos.

abc cba y(y 4)(2x)

10. Si:

a) 8 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9

a) 20 b) 24 c) 30 d) 28 e)32termina en 11. Hallar la suma de sus cifras.

12. El producto de un nmero capica de 4 cifras por 23

a) 12 b) 14 c) 6 d)15 e) 18el nmero?da tres nmeros cuyo producto es 72 576 Cul es

11. El nmero es tal que multiplicado por 2, por 3 y por 7,

a) 14 b) 12 c) 10 d) 16 e) 18Hallar: a+b+c

abc 2 cba(8) (8)

02. Hallar: a + b +c en:

a) 10 b) 11 c) 14 d) 17 e)18minuendo; si el sustraendo es el menor posible.suma de cifras es 11. Hallar la suma de las cifras deles 3227, la diferencia es un nmero de 3 cifras cuya

01. En una resta la suma del minuendo y el sustraendo

03. Hallar (a-c), si:

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 23a2c 1b2 bc3

yabc cba mnp mnp pnm 99 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e)8

ARITMETICA


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04. Hallar (a+b) si: es igual a CA(1ab) CA(2ab) ..... CA(9ab)

08. Hallar ( a+b+c)

a) 50 b) 52 c) 53 d) 54 e) 60dividendo?nmeros pares consecutivos. Cul es el valor delpor defecto, el divisor y el cociente por defecto son

07. Si en una divisin el residuo por exceso, el residuo

a) 36 b) 32 c) 28 d) 40 e) 26la suma de dividendo con el divisor es 520resto por defecto; dar el divisor si el cociente es 15 y

06. El resto por exceso de una divisin es el triple de!a)5 b)3 c)1 d) 0 e) F.D.

donde n= 1371"+1)+1)(2 + 1)......(P = 2(2+1)(2

05. Hallar la ultima cifra del producto

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 1439ab

2 2

34 y 27 de como productos:12. Hallar un nmero tal que multiplicado por 11, 39. 12,

a)171 b)180 c)189 d)193 e)195dividendo.una progresin aritmtica de razn 3 Calcular elpor exceso. el cociente por exceso y el divisor forman11. En cierta divisin inexacta el resto por defecto, el resto

a) 7 b) 5 c) 9 d) 8 e)4como respuestamenor que 560 y que termina en 4. Dar la cifra mayor 13. Calcular el valor del dividendo sabiendo que es

10. En una divisin inexacta el residuo es 37 y el cociente

a)120 b)127 c)130 d)134 e)140dicho nmero.

parciales es igual a 889. Hallar de sus productossuma09. Al multiplicar un numero de 3 cifras por52, la

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 19abc cb3 .......402

abcde , eabcd , deabc y

ba) 2430 b) 2432 c) 2450 d) 2439 e)2451

sabiendo adems que: a+b+c+d+e=27cdea

ARITMETICA


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DIVISIBILIDAD

INTRODUCCION

los nmeros.los nmeros como parte del estudio de la teora deManejar los principios bsicos en las operaciones decriterios de divisibilidad.dos o ms incognitas, aplicando los principios yCalcular valores enteros en ecuaciones que poseenmero entre otro, sin efectuar la divisin.Determinar el residuo que se obtiene al dividir unOBJETIVOS:

DIVISIBILIDAD

forma adecuada.apllica dvisibilidad, para realizar dicha distribucin enpreciso y en distribucin tambin dado una escala, all seaquellos quienes disean tuercas, pernos; el clculo estrabajos estn ligados con los clculos, por ejemplo: para

ms profundos dichas operaciones para personas cuyosbsicas deben ser y en algunos casos, se debe conocer

En nuestra vida diaria, las operaciones matemticas

DIVISIBILDAD DE NMEROS

de A entre B es entera y exacta.Un nmero A es divisible entre otro B, cuando la divisain

Donde: K

Notacin: A es mltiplo de B B es factor de A

O tambin:

B divide a A A es divisible por B B es divisor de A

Se lee: A = BK

o

A B

OBSERVACIONES:

NUMERO NO DIVISIBLE O NO MULTIPLO

positivo.5. Un nmero negativo puede ser mltiplo de otro

enteros.son equivalentes en el conjunto de los nmeros

4. Los conceptos de DIVISIBILIDAD y MULTIPLICIDAD3. Todo nmero es divisor de la unidad.2. El cero no es divisor a la unidad de ningn nmero.

positivo.1. El cero es mltiplo de cualquier nmero entero

DIVISION INEXACTA

de B menos su residuo por exceso.mltiplo de B ms su residuo por defecto, o si no mltiploSi un nmero A no es mltiplo de otro B, entonces A ser

Por defecto:

Por exceso:

A = BK + R d

Se puede expresar como:

A = B (K+1) - R e

o

d A B R o

e A B R

Entonces:

o

d eR R B

Ejemplo:

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD

26 7 226 7 5

26 = 7 x 3+5 26 = 7 x 4 -2

o

o

1. o o on n n


18/26

2. o o on n

3. (n)K n ; K Zo o

4. (n) n ; K Zo o

K

5.o

N a b c N a b c

6.

oo

o

a N N MCM (a, b)

b

7.

oo

o

a R N

Si A x B=

Principi o de Arqumid es:

N MCM (a, b) R b R

on

(excepto la unidad), entonces:

, donde A y n no t iene factores en comn

oB n

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON:

n a n a ;K es par

ko oK

n a n a ; K es impa

ko oK r

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2

residuo.cierto mdulo. En caso de no serlo nos dar a conocer elun nmero, para determinar si es divible o no respecto aSon condiciones que consisten en analizar las cifras de

.- Cuando termina en cero o cifra par.

Divisibilidad por 3 cero o par N abc 2

o

mltiplo de 3..- Cuando la suma de sus cifras es

Divisibilidad por 4N abc 3 a b c 3 o o

ceros o mltiplos de 4..- Cuando sus dos ltimas cifras son

o o

Divisibilidad por 5

N abcd 4 cd 00 4

.- Cuando la ltima cifra es cero o cinco.

o o

Divisibilidad por 6

N abcd 5 d 0 5

por 3..- Cuando es divisible por 2 y tambin

o o o

Divisibilidad por 7

N abcd 6 2 3

mltiplo de 7., el nmero seralgebraica y si ste resultado es 0

despus de ralizarlos productos se efecta la suma1;3;2; -1; -3;-2; 1;3;2; .....

los factores:

derecha a izquierda y cifra por cifra, se lee multiplique por .- Cuando se aplique la regla: De

o7

Divisibilidad por 8

f 3e 2d c 3b 2a 0 7 o

o mltiplo 8.- Cuando sus 3 ltimas cifras son cero.

o o

N abcd 8 bcd 000 8

Divisibilidad por 9mltiplo de 9.

.- Cuando la suma de sus cifras es

Divisibilidad por 11

N abc 9 a b c 9o o

es 0 mltiplo de 11.orden impar menos la suma de las cifras de orden par;

.- Cuando la suma de sus cifras de

f e d c b a 0 1 o1

Divisibilidad por 13+1; -3; -4; -1; +3; +4: +1; ......

.- Se multiplica por el factor:

Divisibilidad por 25

g 3f 4e d 3c 4b a 0 13 o

ceros o mltiplos de 25..- Cuando sus 2 ltimas cifras son

Divisibilidad por 125N abcd 25 cd 00 25

o o

ceros o mltiplo de 125.

.- Cuando sus 3 ltimas cifras son

o o

N abcd 125 bcd 000 125

02. Si el nmero

A) 54 B) 53 C) 55 D) 27 E) 26Cuntos aos tiene Mario?10, respectivamente.dividido entre 6, 7, 8 y 12 deja como residuo 4, 5, 6, ya la cantidad de nmeros de cuatro cifras que al ser El nmero que representa mi edad en aos, es igual

01. Mario al ser preguntado por su edad, respondi:

es divisible por 36 Cul es el1a6b4

ARITMETICA


19/26

03. Si:

A) 24 B) 12 C) 26 D) 27 E) 25mximo valor de la suma 2a+b?

53a71

04. Si:

A) 1 B) 3 C) 2 D) 5 E) 4 es mltiplo de 11, hallar el valor de a.

05. Si:

A) 3 B) 6 C) 9 D) 2 E) 7de a-b.

es mltiplo de 15, hallar el mximo valor 117ab

ab3abab 1o1

08. Calcule cuntos numerales de la forma

A) 10 B) 29 C) 19 D) 39 E) 9diferencia del nmero de varones y damas?los 5/8 de las damas tenan automvil cul es la

se sabe que los 7/17 de los varones son solteros y07. En una conferencia, donde asistieron 83 personas,

A) 900 B) 984 C) 964 D) 800 E) 500y la suma de cifras sea igual a 17.disminuido en cuatro unidades, sea divisible por 70

06. ca lcule e l menor nmero de 3 c i f ras ta l que

A) 10 B) 11 C)12 D) 15 E) 16

. Calcule (a+b) mximo

aabbb

D) 13 E) 14 A) 10 numerales B) 11 C) 129. ?existen tales que su C.A. sea un nmero mltiplo de

10. Cuntos numerales de 3 cifras mltiplos de 7,

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14que es igual a 5 veces el producto de sus cifras.

09. calcule la suma de cifras de un nmero de 3 cifras

A) 3 B) 2 C) 1 D) 6 E) 5mltiplos de 42.

son

01. Si:

;cdab 9o

abcdo8 ; dabc 2

o5

02. Al dividir

A) 120 B) 180 C) 280 D) 200 E) 300a b c dCalcule:

a b c d Adems:

el residuo obtenido al dividir

entre 7 se obtuvo 3 de residuo, calculea1b1c

03. Cul es e l va lor de a.b s i se cumple que:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 entre 7a3b5c62

36a534b 7o2

04. Si

A) 6 B) 8 C) 10 D) 16 E) 20

?

05. Calcular (m+n+p) si el numeral

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 es divisible entre 88. dar (a+b)6aba4b

forma

06. Indicar la suma de las cifras del menor nmero de la

A) 17 B) 18 C)19 D) 20 E) 21entre 1125.

es divisible4m3np

07. Si:

A) 12 B) 14 C) 15 D) 25 E) 27

que es divisible entre 63.5xyyx2

08. Cuntos nmeros de la forma

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12de a que cumplen la igualdad.

. calcular la suma de todos los valores9aa82 14

o

09. Hallar el valor de a , si:

A) 8 B) 36 C) 72 D) 90 E) 48entre 13?

son divisiblesabbac

que:

, tal10. Determinar la suma de los productos de

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 es divisible entre 99.5a15b

m y n

4n78m5

11. Calcular (a-b+c) si:

A) 35 B) 45 C) 43 D) 56 E) 65 sea divisible entre 33.

;abc 9o

;bac 11o

12. Hallar (a+b) siendo

A) 0 B) 3 C) 6 D) 9 E) 12cab 7

o

A) 7 B) 17 C) 9 D) 16 E) 8 divisible entre 99.aba2b

M.C.D y M.C.M

INTRODUCCION

resultados exactos.dimensin de un objeto en su diseo, para obtener Calcular las posibilidades que puede tener laexactas en sus diseos, dada ciertas condiciones.tener un objeto para que sus dimensiones seanClculo de valores mnimos o mximos que puedende materiales, con dimensiones comunes.ciertas dimensiones, para ser utilizados en el diseocalcular los factores comunes que pueden tener

OBJETIVOS:

sean mnimos.necesidad de romperse las maylicas o estos cortesde la sala sean exactos para que no haya laen una sala, se debe disear que las dimensiones

* Se desea colocar losetas de un determinado modeloejemplo:de materias mnimas en el diseo de una pieza, por objetivo de obtener el menor costo posible, desperdiciosde una pieza mecnica, un terreno, cajas, etc. Con elsean exactos ya sean de las dimensiones de un artculoen la tecnologa se realiza clculos de tal manera que

En nuestra vida diaria, en las fbricas, en el comercio,


20/26

Mximo Comn Divisor

tiempo.el cual dos o ms procesos coincidan cada cierto

* Realizar procesos industriales computarizados enestos artculos.artculos que pueden contener la mayor cantidad de

* Disear cajas que pueden almacenar ciertas objetos,

Mnimo Comn Mltiplo

(MCD) y

- De 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24- De 18 : 1, 2, 3,6, 9, 18Divisores

Ejemplo: Sean los nmeros 18 y 24

mltiplos comunes, que comparten dichos nmeros.* El MCM de dichos nmeros es e l menor de los

divisores comunes que comparten dichos nmeros.* El MCD de d ichos nmeros es e l mayor de losDado un conjunto de nmeros enteros positivos:

(MCM)

Divisores comunes de 18 y 24 : 1,2, 3,

- De 24 : 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, .....- De 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, ....Mltiplos:

MCD (18, 24) = 6

Mltiplos comunes de 18 y 24 : , 144, .....

Observacin

comunes tienen A y B?1. Si el MCD de A y B es 240, cuntos divisores

Apl icacin

de dichos nmeros.enteros positivos son todos los divisores del MCDLos divisores comunes de un conjunto de nmeros

Observacin:

MCM (18, 24) = 72

:

METODO PARA CALCULAR EL MCD Y EL MCM

240 y 540.2. Indicar cuntos mltiplos comunes tienen 12 y 9 entre

de dichos nmeros.nmeros enteros positivos son los mltiplos del MCM

: Los mltiplos de un conjunto de

* Para el MCD

180.Calcular el MCD y MCM de los nmeros: 96, 120 yEjemplo:en sus factores primos.

I. Por descomposicin simultnea de los nmeros

* Para el MCM

entonces: MCD (96, 120, 180) = 2 x 2 x 3 = 12

Dado los siguientes nmeros:Ejemplo:

cada uno a su mayor exponente.factores primos comunes y no comunes elevadoscannicamente est dado por el producto de los El MCM de var ios nmeros descompues tos

menor exponente.factores primos comunes elevados cada uno a sucannicamente est dado por el producto de los El MCD de var ios nmeros descompues tos

II. Por descomposicin cannica

entonces: MCM(96, 120, 180)=12 x 2 x 4 x 3 x 5 = 1440

4 2 3 A 2 3 52 5 4

C 2 3 5 115 6 2

B 2 3 5 7

MCD(A,B,C) 2 32 2 15

Calcule el MCD de 486 y 144Ejemplo:

MCD de dos nmeros)(slo para la obtencin delIII. Por el Algoritmo de Euclides

B = 20 x 15 A = 15 x 20

1. Hallar n si el MCD de A y B tiene 60 divisores.

Aplicaciones:

MCD(A,B,C) 2 3 5 7 115 6 3 4

n

n

dado los nmeros A y B (A >B)En general:

MCD (486, 144) = 18

MCD n 1(A,B) r


21/26

Nota:

Del ejemplo anterior:exceso.las divisones se pueden hacer por defecto o por

1. Si

PROPIEDADES:

es 267, calcule la suma de los residuos sucesivos.sucesivos 2, 3, 4 y 5. Si la diferencia de los nmerosalgoritmo de Euclides se obtiene como cocientes

Al determinar el MCD de 2 nmeros medi ante el Aplicaciones:

MCD (486, 144) = 18

MCD (A, B, C) = dPESI.su MCD, los cocientes que se obtienen son nmeros

3. Si a varios nmeros se les divide a cada uno entre

MCM (A,B) = A x BMCD (A,B) = 1

2. Si A y B son nmeros PESI

MCM (A,B) = 15MCD (A, B) = 3

B= 3 A=15

Ejemplo:

MCM (A, B) = AMCD (A, B) = B

o

A B

; A

pd ;

Bq

dC

r

MCM (A, B, C) = muno de ellos , los cocientes obtenidos son PESI.

4. Si se divide el MCM de varios nmeros entre cada

donde: p, q y r son PESId

(1) (2) (3

)

(1) (2) (3donde:

A B Cq q q

m m m

)

dicho nmero.dichos nmeros queda multiplicado o dividido por mismo nmero entero; entonces el MCD y MCM de

6. Si a varios nmeros se les multiplica o divide por un

MCD (A, B) x MCM (A, B) = A x B5. Dado dos nmeros A y B se cumple que:

son PESIq ,q ,q

k k k kMCD , ,

A B C dMCD(A,B,C) dMCD(kA, kB, kC) kd

mayor que 1,8. Sean:

MCM (MCM(A,B), C) = m MCM ( A, MCM (B, C)) = m

MCM(A,B, C) = mse les reemplaza por su MCM.El MCM de varios nmeros no vara si a 2 de ellos

MCD (MCD(A,B), C) = d MCD( A, MCD (B, C)) = d

MCD (A, B , C) = dellos se les reemplaza por su MCD.

7. El MCD de varios nmeros no vara si a dos de

k k k kMCM , ,

A B C mMCM ( A,B, C) mMCM(kA, kB, kC) km

a Z , , Z , tal que:

A

dichos nmeros?el doble del cubo del o tro, es 6 Cul ser el MCM deEl MCD de 2 nmeros, de los cuales uno de ellos es Apl icacin:

MCD( , , ) MCD (A,B,C) =

C a 1B a 1

a 1

a 1

A) 35 B) 25 C) 37 D) 34 E) 40tal que se diferencian en 7 y su MCM sea 330.

06. Calcular la suma de dos nmeros primos entre s,

A) 936 B) 940 C)949 D) 942 E) 972posible.est comprendida entre 900 y 1400 y es el menor Determnese el nmero de bolitas que tiene Anita, si12 en 12; quedndole siempre 4 boli tas.colecciona y las agrupa de 6 en 6, 8 en 8, 9 en 9 y de

05. Anita cuenta cuidadosamente las bol i tas que

A) 1014 B) 1015 C) 1016 D) 1013 E) 1012como respuesta su suma.divisiones sucesivas son: 1, 7, 2, 2, 1, 2 y 3. Dar los cocientes obtenidos al calcular MCD por 04. Hallar dos nmeros primos entre s, sabiendo que

A) 8 B) 10 C) 9 D) 11 E) 13nmeros 72, 96 y 108.

03. Cuntos mltiplos comunes de 4 cifras, tienen los

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 18Calcular el MCD (A,B,C)MCD(A;B) = 84 y MCM (B, C) = 720

02. Sabiendo que:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7hallar MCD (a,b)

01. Si MCM (a,b)=140; a+b = 55


22/26

10. Calcular (a+b) si: MCM

D) 1 ; 120 E) 504 ; 84 A) 84 ; 420 B) 24 ; 84 C) 32 ; 16cules son los nmeros?

09. Si la suma de dos nmeros es 504 y el MCD es 84

A) 1346 B) 1546 C) 1586 D) 1576 E) 153611B)=88 , hallar A x B

08. Si el MCM (42A ; 6B) = 8064 y adems: MCD(77A ;

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5condicin?MCD a 100 Cuntos nmeros cumplen con esta

07. Un numeral entero de 3 cifras y su C.A. tiene como

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 9(ab ,ba) 336

(15 28 ; 21 4 ) 25a b a 2b01. Si MCD 2

11. El MCD de

A)5134 B)5194 C)5184 D)5324 E) 5124divisores y el otro tiene 10. Cul es el MCM?

10. El MCD dc 2 nmeros es 18. Uno de ellos tiene 21

A) 10 B)18 C)24 D)36 E)12el menor valor que puede tomar el MCD de M yN?nmeros tienen los mismos factores primos. Cual es

y N tienen 10 y 9 divisores respectivamente. Si ambos09.

A) 12 B) 14 C) 13 D)15 E)16diferencia de los nmeros.que uno de ellos es 12 veces su MCD. Hallar la

08. La suma de los cuadrados de 2 nmeros es 676 y

A)9 B) 18 C)15 D)81 E)36MCM es igual a 81. El menor de dichos nmeros es:

07. El cociente de 2 nmeros es igual a su MCD. Si su

A)24 B) 56 C)36 D)72 E)32nmeros es 180. Hallar su MCDes igual al cubo de su MCD y que la suma de estos

06. Si se sabe que el cuadrado del MCM de 2 nmeros

A)20 B)30 C)35 D)40 E)25MCD (210K ; 300K ; 420K) = 1200

05. Hallar K sabiendo que:

A) 129 B) 137 C) 141 D) 131 E) 128rollos como mnimo se podrn obtener en total?pequeos todos de igual longitud. Cuntos de estos

de longitud. Se quiere sacar rollos msy 3300 2772m,04. Se tiene 3 rollos de tela que miden 2442

A)320 B)351 C)371 D)391 E)35711. Hallar el nmero de naranjas si es el menor posible.de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24 siempre sobra

03. el nmero de naranjas que tiene un vendedor se cuenta

A) 32 B) 14 C)82 D) 28 E) 15suma de los nmeros.y el cociente del MCM entre el MCD es 45. Hallar la

02. La suma del MCD y del MCM de dos nmeros es 92

A) 6 B) 2 C) 4 D) 5 E) 3Hallar (a+b) ; a>b

m,m

M

a(2b)b(4c) y c0a(2b)

A) 40720 B) 40768 C) 40728 D) 40528 E) 40764que dichos nmeros tiene 21 divisores comunes?nmeros naturales cuya suma es 47040, sabiendo

12. Cul es la mxima diferencia posible entre 2

A) 5 B) 8 C) 10 D) 9 E) 6a+b+cHallar

es 126.

OBJETIVOS

PROMEDIOS

PROMEDIOS

average = (PROMEDIO).esta palabra latina se deriva o proviene la palabra :dao causado por el mar se conoca como havaria y depersonas que tenan sus bienes en el mismo buque. El

bienes perdidos se pagaba mediante acuerdos entresufrido disminucin en sus bienes. Donde el valor de estosindemnizacin a expensas de aquellos que no habancorresponda podan reclamar con justicia unacarga. Debido a la prdida de la carga a quin lelos barcos durante una tormenta tiraran una parte de laen que los viajes por mar era bien riesgoso, debido a que

La Palabra promedio tiene su origen en una pocaINTRODUCCIN

para la resolucin de los diferentes problemas. Aplicar las diferentes propiedades de los promediosUtilizar los promedios ms importantes en el estudio.datos.

Recopilar los datos en forma ordenada y analizar losEl concepto de promedio.

En este captulo el alumno deber saber:

:

CONCEPTO:

1 2 3

Si dados los nmerosrepresentativa de otras varias cantidades.Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad

n

CLASES DE PROMEDIOS

a < promedio MG > MHcumple:

* Para un conjunto de cantidades no todas iguales, se

:

a b

2

2 )

Para 3 cantidades a,b y c

a b cMA

3

MG a b c3

ab ac bc3abc

MH

A)10,5 B)11,5 C)12,5 D)11 E)12geomtrica es 17,5. Hallar el menor nmero.

12. La media aritmtica de 2 nmeros es 18,5 y media

a) 200 b)240 c)280 d)320 e)360aumentada en 80 Cul es la MA de los 5 nmeros?agregamos 5 nuevos nmeros la MA queda

11. La media aritmtica de 5 nmeros es 120. S le

A) 40 B)18 C)32 D)36 E)2026. Cul es la suma de dichos nmeros?suma de sus promedios, aritmtico y armnico es

10. El promedio geomtrico de 2 nmeros es 12 y la

A)1 B)2 C)3 D)5 E)12menor de estos 3 nmeros.los otros 2 nmeros es 6. Dar como respuesta elde los nmeros es 5 y el promedio geomtrico de

09. El promedio armnico de 3 nmeros es 180/37, uno

A)180 B)160 C)140. D)120 E)182de dichos nmeros.que su menor promedio es 36. Hallar la diferencia

08. El mayor promedio de 2 nmeros es 100, mientras

A)10 B)12 C)14 D)16 E)18de los 70 nmeros.otros 30 nmeros es 12. Halle el promedio armnico

07. El promedio armnico de 40 nmeros es 16 y el de

A) 120 B) 60 C) 30 D) 4 E) 11. S uno de los nmeros es 120 Cul es el otro?

igual al cuadrado de su promedio geomtrico, ms06. El doble del promedio aritmtico de 2 nmeros es

a)6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15diferencia de dichos nmeros.aritmtico y armnico son consecutivos. Hallar la

05. La suma dc 2 nmeros es 18 y sus promedios

a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 E) 44ellos?Cul es la mxima edad que podra tener uno deadems ninguno de ellos es menor de 25 aos

04. El promedio de las edades de 5 hombres es 28 aos,

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4el promedio?nmeros cuyo promedio es 48. En cunto disminuye

03. El promedio de 50 nmeros es 30. Si se retiran 5

A) 16 B) 17 C)18 D) 19 E) 20ellos.nmeros consecutivos es 380,5. hallar el menor de

02. El promedio ari tmtico de los cuadrados de 2

A) 155 B) 165 C) 175 D) 170 E) 185sexto nmero.sexto nmero y el promedio aumenta en 15. hallar el

01. El promedio de 5 nmeros es 85. Se considera un


24/26

11. Hallar la

A)3,6 B)4,8 C)2,4 D)7,2 E)10Hallar la media armnicade los trminos extremos.trmino es par y la razn es mayor que 1.aritmtico de los mismos sabiendo que el cuartogeomtrica continua 192 veces el promedio

10. El producto de los 4 trminos de una proporcin

D)np-q(n-1) E)np-q(n+1)C) q (n-1)+ q A)np B)n

mxima edad que puede tener uno de ellos?ninguno de ellos es menor de q aos. Cul es la

09. La edad promedio de n hombres es p aos y

A) 16 B)17 C)19 D) 15 E)20promedio geomtrico es el triple de a.Calcular el promedio aritmtico de a y b si su

08. Si el promedio armnico de a, 5 y b es 270/43.

A) 21 B) 20 C) 19,5 D) 19 E) 20.5es 19,6. Hallar la edad promedio de la otra mitad.se reunen, la edad promedio de la mitad de personasy en un grupo de 4 mujeres es 15. Si ambos grupos

07. La edad promedio de un grupo de 6 hombres es 23

A) 3 B) 4 C)5 D)6 E)7

media geomtrica y media armnica es 250047?cumplen que el producto de su media aritmtica,

06. Cuntos pares de nmeros enteros diferentes

A)55 B)53 C)58 D)48 E)45Determinar cuntos nmeros no han variado su valor.unidades, la media ari tmtica aumenta a 96.nmeros a algunos de ellos se les aumenta 40ellos se les aumenta 20 unidades y del resto de

05. La media aritmtica de 80 nmeros es 90. Si a 20 de

A) 36/25 B)25/9 C)37/9 D)9/17 E) 16/9Hallar la razn entre A y Bdiferencial de A y B como 15 es a 17.

04. La media proporcional de A y B es a la media

A) 18 B)16 C)20 D)17 E)19promedio de los restantes sea 25.personas de 30 aos debern retirarse para que el

03. La edad promedio de 30 personas es 28. Cuntas

A) 13 B) 12 C) 14 D)15 E)16alumnado?edades es 63. Cul es el promedio de edad delaos. Si entran luego 3 alumnos cuya suma dedel resto tiene 13 aos y los 27 restantes tienen 11

02. En un saln 1/4 de los alumnos tiene 15 aos; 2/5

A)32 B)33 C)29 D)31 E)30el valor de A+B+C10 y el promedio de 10A , 35B y 15C es 185. Hallar

y 10 es 15. El promedio de C y 15 es01. El promediode A

2 2 + p 2

nmerosnde losma

6 12 20 (n 1)(n 2; ; , .................... ,1 1 1 1

)

A)3 B)6 C) 4 D)7 E)8Hallar el menor de dichos nmeros.media armnica es 36/7.geomtrica es par e igual a uno de los nmeros y su

12. La media aritmtica de 3 nmeros es 7. La media

D)1 / 2(n+2) E) 1/ 2(n+1) A)1/n B)2n+3 C) (n+1)

2

INTRODUCCION

tiempo (Tasa).Obtener la utilidad del dinero por cada cantidad deimpuesto.Obtener el beneficio por cierto dinero prestado o

OBJETIVOS:

INTERS

REGLA DE INTERES

depositada y el tiempo.prctica conocindose la suma de dinero prestado o

justamente calcular estas ganancias o intereses en formaNuestro desarrollo en el presente captulo es

la suma depositada ganar en una unidad de tiempo.intereses acordado entre ambas partes, que fraccin deun cliente y luego de un cierto tiempo esta le paga en

instituciones dedicadas a recibir una suma de dinero de

una ganancia, beneficio o utilidad; tambin ahora hayprestada y una suma adicional, que nos va a representar que esta luego de un cierto tiempo devuelva la cantidadgenera alguna suma de dinero inicial a una persona, parade dinero algn objeto de valor y deseamos que estatambin se presentan casos que poseemos cierta sumaciertos recursos, de distintas formas tratamos de obtenerlo;pensamos en construirlo para lo cual debemos obtener mejorar nuestra situacin, es decir si poseemos un terreno

En el desarrollo de nuestra vida diaria, tratamos de

INTERES

Frmulas:

rdito a considerarse.cierto capital en un tiempo determinado y bajo una tasa oEs la ganancia o beneficio que se obtiene al prestar un

aosCuando t est en:100c r t

I

c r tmesesCuando t est en:1200

I

C = capital t = tiempoI = Inters r = rdito o tasaDonde:

dasCuando t est en:36000

c r tI


25/26

Observacin

8% mensual < > 96% anual

Ejemplo:

anual.: El rdito (r) siempre se considera

Ao Comerc ial (equ ivalencias)

15% Biemest ra l < >13% Trimestral < >4% Bianual < >5% Semestral < >

r = 96

1 mes = 30 das1 ao = 12 meses

As:

obtenido..- Es la suma del capital con el intersMonto (M)

1 ao = 360 das

I = IntersC = capital

Donde: M = Monto

M C I

A) 2000 B)1200 C) 5000 D)1400 E) 600saber cul es la menor fortuna.intereses de ambas fortunas iguales. Se deseasegunda al 12%, en un mismo tiempo siendo losS/. 600. La primera impone su dinero al 8% y la

12. La diferencia entre las fortunas de 2 personas es

D) 3500 E) 20 000 A) 100 000 B) 5000 C)2500

capital.qued se habra ganado S/. 50 menos. Calcular elgan S/. 1650. Si se hubiese sacado la cantidad queretir una parte quedando el resto un mes ms, se

11. Un capital se coloc al 3%, despus de 6 meses se

D) 1 ao ; 2 meses E) 1 ao A) 2 aos ; 6 meses B) 3 aos C) 5 aostriplique?en un banco al 80% de inters simple para que se

10. Durante cunto tiempo se debe depositar un capital

D) 35 000 E) 145000 A) 450 B) 45 000 C) 4500inters.durante el mismo tiempo producira S/. 900 ms demeses, sabiendo que si se impone al 2% quincenal

09. Calcular un capital impuesto al 36% anual durante 2

A) 4500 B) 3500 C)2500 D)1500 E) 2550capitales.de un tiempo los intereses son IP a sus respectivosHallar la mayor de las partes, sabiendo que al caboimponen a tasas que estn en la relacin de 25 a 9.

08. Un capital de S/. 7200 se divide en 2 partes y se

C) 30 meses D)20 meses E) 15 meses A) 10 meses B) 5 mesesDentro de cunto tiempo los montos sern iguales.fernando tiene S/. 600 que presta al 10% bimensual.

07. Carlos tiene S/. 400 que presta al 10% mensual,

E) 9% mensualC) 5%mensual D) 7% mensual

A) 1,5 % mensual B) 3% mensualprimero.

si el segundo ha producido S/. 1485 ms que elotro de S/. 42 000 durante un ao. Hallar dicha tasainters, el primero de S/. 45 000 durante 9 meses y el

06. Dos capitales se han colocado a una misma tasa de

a)3000 b) 13000 c) 1300 d) 8000 e) 300de ganancia. Hallar la segunda parte.8% y la otra al 6% obtenindose anualmente S/. 2620

05. Se impone S/. 36 000 en dos bancos, una parte al

A) 120dasB) 100 C) 50 D) 80 E) 90por estos capitales sern iguales?Dentro de cuntos das los intereses producidoscolocado un capital de 1080 al 1,75% mensual.tasa del 1,5% mensual, 48 das antes de ello haba

04. Una persona coloca hoy una suma de S/. 1764 a una

A) 20% B) 30% C) 40% D) 10% E) 5%precio cada mes en su 10% sin acumularse?comprar una refrigeradora de S/. 2 500 que sube de. 1 500 para que en un tiempo de 5 aos se pueda

03. A qu tasa anual se debe imponer un capital de S/

A) 50 B) 100 C)70 D) 80 E) 10convierte a los tres aos en S/. 219.7?

02. Qu capital al 30% anual de inters compuesto se

D) 6 aos E) 5 aos 6 meses A) 4 aos B) 5 aos C) 4 aos 6 mesesel 60% del capital?

al 12% anual, si los intereses producidos alcanzan01. Durante cunto tiempo estuvo depositado un capital

E) S/. 335 000C) S/. 307 000 D) S/. 308 000

A) S/. 37 000 B) S/. 335 000luego de 35 das?En cunto se convierte S/. 300 000 al 2% mensualPROBLEMA 2

C) 15 aos D) 11 aos E) 9 aos A) 10 aos B) 12 aosmonto total?al 40% anual para que dicho capital sea el 20% delDurante cunto tiempo hay que depositar un capitalPROBLEMA 1


26/26

A) 32 B) 42 C) 48 D) 50 E) 45

tiempo impuesto en el bancocada uno sabiendo que suman 82 meses. Indicar elintereses. Calcular cuntos meses estuvo impuesto

nmeros de meses pero que generaban igualesy que los capitales estuvieron colocados diferentesque los tres bancos pagan la misma tasa de inters

. Sabiendoy el resto en el banco3/20 en el banco, losPilar deposit los 2/5 de su dinero en el banco

PROBLEMA 12

A) 9 200 B)7 680 C)7 420 D) 7 580 E) 7 624

diario durante 2 meses.r %mencionado altiempo. calcualr el inters que produce el capital

anual en el mismoque produce dicho capital aldurante un ao y medio es mayor en 2 112 soles al

mensualEl inters que produce un capital alPROBLEMA 11

E) S/. 152 000C) S/. 150 000 D) S/. 180 000

A) S/. 12 000 B) S/. 130 000Portal.montos es 5 220 soles. Calcular la herencia del Sr.despus de 1 ao y 9 meses. La diferencia de los13% mensual y 5% trimestral respectivamente. Sipartes proporcionales a 3 y 7 colocndolas luego alEl Sr. Portal reparte la quinta parte de su herencia enPROBLEMA 10

E) S/. 9 800C) S/. 9 520 D) S/. 9 780

A) S/. 8 600 B) S/. 9 000Hallar el monto al cabo de 4 aos.sus intereses durante 3 aos y medio es S/. 8 500.aos es S/. 7 000 y el monto del mismo capital conEl monto de un capital con sus intereses durante 2PROBLEMA 9

D) 3 450 E) 3 280 A) 3 640 B) 3 630 C) 3 646meses?tasa. Cul ser el monto a obtener dentro de 6meses se depositarn otros S/. 1 500 a la mismasimple y a una tasa de 3% mensual y dentro de 2Hoy da se depositan S/. 1 500 al rgimen de intersPROBLEMA 8

E) S/. 79 000C) S/. 74 000 D) S/. 78 000

A) S/. 72 000 B) S/. 75 000de S/. 10 000 Cul era su capital?

semestral respectivamente logrando una renta anuallas impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4%Una persona divide su capital en 3 partes iguales yPROBLEMA 7

D) 5 400 E) 5 200 A) 15 975 B) 6 275 C)13 746fue S/. 9 288.sabe que despus de 6 trimestres el monto generadointers simple a una tasa del 8% bimestral, si seDeterminar el capital depositado en el rgimen dePROBLEMA 6

A) 15 B)13 C)5 D)10 E) 3retirado fue S/. 15 250Cuntos trimestres estuvo depositado si el monto3,5% mensual y a un rgimen de inters simple.Sedeposit un capital de S/. 10 000 a una tasa dePROBLEMA 5

D) 1 300 E) 1 000 A) 1 100 B) 1 200 C) 1 400obtenido que 1 380.3% mensual, determinar ste capital si el montoes 2% mensual y por los ltimos 3 meses la tasa esinters simple. Si por los primeros 3 meses la tasaUn capital es depositado por 6 meses al rgimen dePROBLEMA 4

E) 38 000C) 45 000 D) 40 000

A) 28 000 B) 30 000200 000 soles mayor. Cul fue el inters original?triplicase, el inters en el mismo tiempo seraSi un capital se duplicase y la tasa de inters sePROBLEMA 3

r %

r %

AB C

B.

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FolletoUNI 1(Proof)