Folyadékok és gázok mechanikája

Folyadékok és gázok Folyadékok és gázok mechanikájamechanikája

Balázs ZoltánBalázs Zoltán

MTI.MTI.

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

A A folyadékfolyadék olyan deformálható test, olyan deformálható test, amelynek a térfogata, az alakja, vagy amelynek a térfogata, az alakja, vagy mindkettő könnyen megváltoztatható. mindkettő könnyen megváltoztatható. Dinamikai szempontból a folyadék Dinamikai szempontból a folyadék belsejében, mozgás során tapasztalt hatások belsejében, mozgás során tapasztalt hatások szempontjából két csoportot különböztetünk szempontjából két csoportot különböztetünk meg: az meg: az ideális és a súrlódó folyadékot.ideális és a súrlódó folyadékot.Ideális folyadékIdeális folyadék az olyan deformálható az olyan deformálható test, amelynél még mozgás közben sem test, amelynél még mozgás közben sem lépnek fel érintőleges feszültségek (G=0).lépnek fel érintőleges feszültségek (G=0).Súrlódó (viszkózus) folyadékSúrlódó (viszkózus) folyadék, amelynél , amelynél mozgás közben a deformációs sebességekkel mozgás közben a deformációs sebességekkel arányos, érintőleges feszültségek lépnek fel.arányos, érintőleges feszültségek lépnek fel.


A folyadék mechanikában a tömeg A folyadék mechanikában a tömeg fogalom szerepét a sűrűség veszi át, fogalom szerepét a sűrűség veszi át, míg az erő fogalom szerepét pedig a míg az erő fogalom szerepét pedig a nyomás.nyomás.

((MechanikaiMechanikai) ) sűrűségsűrűség (jele: (jele: ) a test ) a test tömegének (tömegének (mm) és a test térfogatának ) és a test térfogatának ((VV) hányadosával definiált fizikai ) hányadosával definiált fizikai mennyiség. (Egysége: mennyiség. (Egysége: kg/mkg/m33):):

=m/V, =m/V, vagyvagy =dm/dV=dm/dV


Nyomás Nyomás (jele: (jele: p,p, pressure) az erő ( pressure) az erő (FF) ) és a felület (és a felület (AA) hányadosával definiált ) hányadosával definiált fizikai mennyiség, a folyadék normális fizikai mennyiség, a folyadék normális feszült-ségeivel ellentétes hatás (a feszült-ségeivel ellentétes hatás (a tekintetbe vett térfogat elem belső tekintetbe vett térfogat elem belső normálisa irányába számítjuk normálisa irányába számítjuk pozitívnak)pozitívnak) (Egysége a feszültség egységével (Egysége a feszültség egységével egyezik meg, tehát: egyezik meg, tehát: N/mN/m22):):

p=F/A, p=F/A, vagyvagy p=dF/dA p=dF/dA


Az Az ideális folyadékokideális folyadékok osztályozása során, osztályozása során, aszerint, hogy a folyadék megtartja-e aszerint, hogy a folyadék megtartja-e térfogatát, két csoportot különböztetünk térfogatát, két csoportot különböztetünk meg.meg.

Folyékony halmazállapotú testekFolyékony halmazállapotú testek (mint a (mint a víz, olaj, stb.), amelyek erőtérben nem töltik víz, olaj, stb.), amelyek erőtérben nem töltik ki a rendelkezésükre álló teret, ki a rendelkezésükre álló teret, ("összegyűlnek az edény alján")("összegyűlnek az edény alján")

Légnemű halmazállapotú testekLégnemű halmazállapotú testek (pl. a (pl. a levegő), amelyek kitöltik a rendelkezésére levegő), amelyek kitöltik a rendelkezésére álló teret, erőtérben pedig "felfelé" csökkenő álló teret, erőtérben pedig "felfelé" csökkenő sűrűséget mutatnak.sűrűséget mutatnak.


Az ideális folyadékok osztályozása során, Az ideális folyadékok osztályozása során, aszerint, hogy a folyadék sűrűsége függ-e a aszerint, hogy a folyadék sűrűsége függ-e a rá nehezedő nyomástól, szintén két rá nehezedő nyomástól, szintén két csoportot különböztetünk meg:csoportot különböztetünk meg:

Összenyomhatatlan (inkompresszibilis) Összenyomhatatlan (inkompresszibilis) folyadékfolyadék az olyan folyadék, amelynek a az olyan folyadék, amelynek a sűrűsége nem függ sem a helytől, sem az sűrűsége nem függ sem a helytől, sem az időtől (időtől (=konst.).=konst.).

Összenyomható (kompresszibilis) Összenyomható (kompresszibilis) folyadékfolyadék az olyan folyadék, amelynek a az olyan folyadék, amelynek a sűrűsége valamilyen függvénye a sűrűsége valamilyen függvénye a nyomásnak.nyomásnak.

p/p/ κκ =állandó =állandó κκ>1>1


((Nyugvó folyadék anyagegyenleteNyugvó folyadék anyagegyenlete) ) A nyugvó folyadékot csak egy A nyugvó folyadékot csak egy anyagegyenlet és ezzel egy anyagegyenlet és ezzel egy anyagállandó a anyagállandó a KK kompresszió modulus kompresszió modulus jellemzi. Az anyagegyenlet megadja a jellemzi. Az anyagegyenlet megadja a nyomásnövekedés (nyomásnövekedés (pp) okozta relatív ) okozta relatív térfogatcsökkenést (térfogatcsökkenést (V/VV/V).).

V/V=-(1/ V/V=-(1/ κκ) ) pp


Pascal-tétele:Pascal-tétele: Tömegerők hiányában, Tömegerők hiányában, nyugvó, összenyomhatatlan nyugvó, összenyomhatatlan folyadékban a nyomás bármely folyadékban a nyomás bármely pontban független az iránytól (a pontban független az iránytól (a nyomás izotróp).nyomás izotróp).

Folyadékok egyensúlyának tételeFolyadékok egyensúlyának tétele: : Ha a térfogati (v. tömeg) erők Ha a térfogati (v. tömeg) erők konzervatívok és a sűrűség csak a konzervatívok és a sűrűség csak a nyomás függvénye, a folyadékok nyomás függvénye, a folyadékok egyensúlyban vannak, szabad felszínük egyensúlyban vannak, szabad felszínük minden része merőleges az ott minden része merőleges az ott uralkodó erőtér irányára. uralkodó erőtér irányára.


Pascal-tétele:Pascal-tétele:


Pascal-tétele:Pascal-tétele:


Hidrosztatikai nyomás, Torricelli Hidrosztatikai nyomás, Torricelli tétele:tétele: A nehézségi erő (térerőssége = A nehézségi erő (térerőssége = gg) hatása alatt álló, ) hatása alatt álló, összenyomhatatlan (összenyomhatatlan (=konst.) =konst.) folyadékban, a felszíntől mérve a folyadékban, a felszíntől mérve a nyomás (nyomás (pp) a mélységgel () a mélységgel (hh) lineárisan ) lineárisan növekszik:növekszik:

p(h)=pp(h)=poo+ + ghgh


Hidrosztatikai nyomás, Torricelli Hidrosztatikai nyomás, Torricelli tétele:tétele:

p(h)=pp(h)=poo+ + ghgh


Archimédesz törvénye:Archimédesz törvénye: Minden Minden folyadékban, gázban levő szilárd testre, ha a folyadékban, gázban levő szilárd testre, ha a folyadék, gáz a nehézségi erő hatása alatt folyadék, gáz a nehézségi erő hatása alatt áll, felhajtó erő hat (Fáll, felhajtó erő hat (Fff),),

- melynek iránya felfelé mutat,- melynek iránya felfelé mutat,

- nagysága megegyezik a test által - nagysága megegyezik a test által kiszorított folyadék mennyiség súlyával (a kiszorított folyadék mennyiség súlyával (a folyadék sűrűsége, folyadék sűrűsége, ff, a test bemerülő , a test bemerülő részének térfogata részének térfogata VVtt),),

-támadáspontja pedig a kiszorított folyadék -támadáspontja pedig a kiszorított folyadék mennyiség súlypontja:mennyiség súlypontja:

FFff= = ff VVtt g g


Archimédesz törvénye:Archimédesz törvénye:

FFff= PA-(P+dP)A== PA-(P+dP)A=ff VVtt g g


Barometrikus magasságformula:Barometrikus magasságformula: A nehézségi erőtérben (Föld felszíne A nehézségi erőtérben (Föld felszíne közelében) levő gázban (izotermikus közelében) levő gázban (izotermikus eset-ben) a nyomáseloszlást következő eset-ben) a nyomáseloszlást következő összefüg-gések írják le:összefüg-gések írják le:

p(h)=pp(h)=pooee-(-(o gh/po)o gh/po)

Ebben a pEbben a poo és a és a oo a tengerszinten mért a tengerszinten mért nyomás és sűrűség (levegő esetében nyomás és sűrűség (levegő esetében 1,033 101,033 1055Pa és 1,3 kg/mPa és 1,3 kg/m33). ).


Barometrikus magasságformula:Barometrikus magasságformula:


Felületi energia. felületi feszültség.Felületi energia. felületi feszültség.

A folyadék belsejében a molekulákra a szomszédos A folyadék belsejében a molekulákra a szomszédos molekulák által gyakorolt vonzóerők eredője nulla. A molekulák által gyakorolt vonzóerők eredője nulla. A molekuláris erők hatótávolsága 10molekuláris erők hatótávolsága 10-9-9 m. Ekkora m. Ekkora sugara van a molekula un. sugara van a molekula un. hatásgömbjének.hatásgömbjének.

Azokra a molekulákra, melyeknek távolsága a Azokra a molekulákra, melyeknek távolsága a folyadék felszínétől kisebb a hatásgömb sugaránál, folyadék felszínétől kisebb a hatásgömb sugaránál, a kohéziós erők olyan eredőt adnak, amely a a kohéziós erők olyan eredőt adnak, amely a folyadék belseje felé irányul. folyadék belseje felé irányul.


Ha a folyadék belsejéből egy molekulát a Ha a folyadék belsejéből egy molekulát a határrétegen át a felszínre akarunk vinni, le határrétegen át a felszínre akarunk vinni, le kell győzni az említett erőt, munkát kell kell győzni az említett erőt, munkát kell végeznünk. A felületi molekuláknak tehát végeznünk. A felületi molekuláknak tehát potenciális energiatöbbletük van, a potenciális energiatöbbletük van, a belsőkhöz viszonyítva. A felületre vitt belsőkhöz viszonyítva. A felületre vitt molekulákon végzett munka arányos a molekulákon végzett munka arányos a felület növekedésével: felület növekedésével: dW dW = = ααdA dA . Az . Az αα arányossági tényezőt arányossági tényezőt fajlagos felületi fajlagos felületi energiánakenergiának nevezzük, értéke anyagonként nevezzük, értéke anyagonként változó. Mértékegysége: változó. Mértékegysége: [[αα] ] = = J J / / mm22 = = N/m.N/m.

αα = = dWdW / /dAdA


Ha más erők nem akadályozzák meg, a felszíni Ha más erők nem akadályozzák meg, a felszíni molekula a lehetőséghez képest igyekszik a molekula a lehetőséghez képest igyekszik a folyadék belsejébe jutni, ezzel csökken a folyadék folyadék belsejébe jutni, ezzel csökken a folyadék felszíne, a felszín összehúzódik, tehát úgy felszíne, a felszín összehúzódik, tehát úgy viselkedik, mint egy rugalmas hártya. A magára viselkedik, mint egy rugalmas hártya. A magára hagyott folyadék gömbalakot ölt, mert az adott hagyott folyadék gömbalakot ölt, mert az adott térfogat mellett a gömbfelület a legkisebb.térfogat mellett a gömbfelület a legkisebb.

A folyadék felszínét határoló görbe bármely A folyadék felszínét határoló görbe bármely dS dS darabjára a felszín érintősíkjában a vonaldarabra darabjára a felszín érintősíkjában a vonaldarabra merőleges merőleges dF dF = = ααds ds nagyságú erő hat. Az nagyságú erő hat. Az arányossági tényezőt arányossági tényezőt felületi feszültségnekfelületi feszültségnek nevezzük:nevezzük:

αα = = dFdF / /dsds


Felületi energia. felületi feszültség.Felületi energia. felületi feszültség.


Az Az αα állandó mindkét esetben azonos, vagyis állandó mindkét esetben azonos, vagyis kétféleképpen értelmezhető. Az kétféleképpen értelmezhető. Az αα értéke értéke hőmérsékletfüggő, a hőmérséklet hőmérsékletfüggő, a hőmérséklet emelkedésével csökken, és nagy mértékben emelkedésével csökken, és nagy mértékben függ a folyadék szennyezettségétől is. A víz függ a folyadék szennyezettségétől is. A víz felületi feszültsége felületi feszültsége 0 0 ooC-on 7,55 10C-on 7,55 10-2-2 N/m.N/m.


A hidro- és aerodinamika elemei:A hidro- és aerodinamika elemei:

Az áramló folyadékok és gázok Az áramló folyadékok és gázok törvényei együtt tárgyalhatók törvényei együtt tárgyalhatók mindaddig, míg a fellépő mindaddig, míg a fellépő térfogatváltozások elhanyagolhatók. térfogatváltozások elhanyagolhatók. Ha a gázoknál 1 %-os a Ha a gázoknál 1 %-os a térfogatváltozás, vagy ennél kisebb, térfogatváltozás, vagy ennél kisebb, akkor az áramló folyadék akkor az áramló folyadék törvényszerűségei, pl. 10törvényszerűségei, pl. 1055 Pa Pa nyomású nyomású levegőre addig alkalmazhatók, míg a levegőre addig alkalmazhatók, míg a sebesség sebesség 50 50 m/s-ot, m/s-ot, az előforduló az előforduló magasságkülönbségek, pedig magasságkülönbségek, pedig 100 100 m-t m-t túl nem lépnek.túl nem lépnek.


Egy folyadék mozgását (áramlását) úgy Egy folyadék mozgását (áramlását) úgy írhatjuk le, ha minden írhatjuk le, ha minden t t időpontra időpontra vonatkozóan a folyadék minden vonatkozóan a folyadék minden r r helyvektorú pontjában megadjuk a helyvektorú pontjában megadjuk a folyadékrészecskék folyadékrészecskék v=v=v(r,t) v(r,t) sebességétsebességét. .

A A v(r,t) v(r,t) függvénnyel jellemzett áramlási tér függvénnyel jellemzett áramlási tér (sebességtér) matematikai szempontból (sebességtér) matematikai szempontból vektortér. vektortér.

Szemléltetése az Szemléltetése az áramvonalakkaláramvonalakkal történik, történik, ezek azok a görbék, amelyeknek érintője a ezek azok a görbék, amelyeknek érintője a tér minden pontjában az ottani sebesség tér minden pontjában az ottani sebesség irányába esik.irányába esik.


ForrásoknakForrásoknak nevezzük a tér azon részét, nevezzük a tér azon részét, ahonnan folyadék jut az áramlási térbe, vagy ahonnan folyadék jut az áramlási térbe, vagy onnan folyadék távozik el (negatív forrás). onnan folyadék távozik el (negatív forrás).

Ha a vizsgált áramlási térben van forrás, Ha a vizsgált áramlási térben van forrás, akkor az áramlási tér forrásos, ellenkező akkor az áramlási tér forrásos, ellenkező esetben forrásmentes. esetben forrásmentes.

Ha az áramlási térben nincsenek források Ha az áramlási térben nincsenek források (forrásmentes), akkor egy zárt felületen (forrásmentes), akkor egy zárt felületen áthaladó fluxus nulla:áthaladó fluxus nulla:


Ha az áramlásnál a folyadékrészecskék csak haladó Ha az áramlásnál a folyadékrészecskék csak haladó mozgást végeznek, akkor súrlódásmentes mozgást végeznek, akkor súrlódásmentes áramlásnál áramlásnál örvénymentes áramlásról örvénymentes áramlásról beszélünk.beszélünk. Ha a folyadék-részecskék „forgó” mozgást is Ha a folyadék-részecskék „forgó” mozgást is végeznek áramlás közben, akkor örvények alakulnak végeznek áramlás közben, akkor örvények alakulnak ki, az áramlási vonalak zárt görbékké válhatnak, az ki, az áramlási vonalak zárt görbékké válhatnak, az áramlás áramlás örvényesörvényes. . Az örvényesség mértéke az áramlási tér cirkulációja. Az örvényesség mértéke az áramlási tér cirkulációja. Ha az áramlás örvénymentes:Ha az áramlás örvénymentes:


Nem nagy sebességek esetén a gázok is össze-Nem nagy sebességek esetén a gázok is össze-nyomhatatlan folyadéknak tekinthetők. Az nyomhatatlan folyadéknak tekinthetők. Az összenyom-hatatlan és homogén folyadéknál összenyom-hatatlan és homogén folyadéknál (vagyis az áramlási térben egyidejűleg csak egyfajta (vagyis az áramlási térben egyidejűleg csak egyfajta folyadék van) a sűrűség sem az időtől, sem a helytől folyadék van) a sűrűség sem az időtől, sem a helytől nem függ, vagyis nem függ, vagyis p p = állandó. Ha a nyomás, a = állandó. Ha a nyomás, a sűrűség és a sebesség az áramlási tér minden sűrűség és a sebesség az áramlási tér minden helyén független az időtől, csak a hely helyén független az időtől, csak a hely függvényében változik, akkor függvényében változik, akkor stacionáriusstacionárius áramlásról beszélünk, ellenkező esetben az áramlás áramlásról beszélünk, ellenkező esetben az áramlás instacionáriusinstacionárius..Fontos fogalom az Fontos fogalom az áramlási csőáramlási cső, amely az áramlási , amely az áramlási térben egy zárt görbén áthaladó áramvonalak által térben egy zárt görbén áthaladó áramvonalak által határolt tartomány. határolt tartomány.


Az áramlási cső falán részecske nem lép át, Az áramlási cső falán részecske nem lép át, mert a folyadékrészecskék sebessége érintő mert a folyadékrészecskék sebessége érintő irányú. Az áramlások jellemzésére szolgáló irányú. Az áramlások jellemzésére szolgáló mennyiség az mennyiség az áramlás erősségeáramlás erőssége: az áramlási : az áramlási cső kereszt-metszetén cső kereszt-metszetén (A) dt (A) dt idő alatt idő alatt merőlegesen átfolyó folyadék merőlegesen átfolyó folyadék mennyiségével (térfogatával) arányos mennyiségével (térfogatával) arányos mennyiség. mennyiség. Jele: Jele: I.I.

I=dV/dtI=dV/dt


Stacionárius áramlásnál Stacionárius áramlásnál I I = állandó= állandó, , teháttehát

I=AI=A11 v v11 = A = A22vv22,,

ahol: ahol: AA11 és és AA22 a a vv11 és vés v22 sebességhez sebességhez tartozó keresztmetszetek. Ebből tartozó keresztmetszetek. Ebből következik, hogy a cső szűkületénél a következik, hogy a cső szűkületénél a sebesség nagyobb, és az áramvonalak sebesség nagyobb, és az áramvonalak sűrűbbek. Ez az egyenlet az áramlás sűrűbbek. Ez az egyenlet az áramlás folytonosságát fejezi ki, folytonosságát fejezi ki, folyto-nossági folyto-nossági (kontinuitási) egyenletnek (kontinuitási) egyenletnek nevezzük.nevezzük.


Stacionárius áramlásnál Stacionárius áramlásnál I I = állandó, = állandó, teháttehát

AA11 v v11 = A = A22vv22,,

A 1 1

2v 1

A 2

v 2


Az áramlást létrehozó erők lehetnek külső Az áramlást létrehozó erők lehetnek külső erők - elsősorban a erők - elsősorban a nehézségi erőnehézségi erő, - vagy a , - vagy a hellyel változó hellyel változó belső nyomóerőkbelső nyomóerők. . Például a folyadéknak az edény nyílásán való Például a folyadéknak az edény nyílásán való kiömlése főleg a nehézségi erőre, a gáznak kiömlése főleg a nehézségi erőre, a gáznak az edényből való kiáramlása viszont az az edényből való kiáramlása viszont az edényben levő gáz túlnyomására vezethető edényben levő gáz túlnyomására vezethető vissza. Ezeken az erőkön kívül sokszor vissza. Ezeken az erőkön kívül sokszor lényeges szerepet játszanak a lényeges szerepet játszanak a belső belső súrlódási erőksúrlódási erők. Sok esetben a súrlódási erők . Sok esetben a súrlódási erők elhanyagolhatók, ezért a hidrodinamikát két elhanyagolhatók, ezért a hidrodinamikát két nagy részre oszthatjuk: nagy részre oszthatjuk: SúrlódásmentesSúrlódásmentes vagy vagy ideális folyadékokideális folyadékok dinamikájára és dinamikájára és súrlódó folyadékoksúrlódó folyadékok dinamikájára.dinamikájára.


A folyadékokat sok esetben (ha nem túlságosan A folyadékokat sok esetben (ha nem túlságosan alacsony a hőmérséklet és nem túl nagy az alacsony a hőmérséklet és nem túl nagy az áramlási sebesség) ideálisnak tekinthetjük.áramlási sebesség) ideálisnak tekinthetjük.Ideális folyadékok stacionárius áramlására Ideális folyadékok stacionárius áramlására vonatkozik a vonatkozik a Bernoulli-egyenletBernoulli-egyenlet..Az alábbiak szerint vegyünk fel egy áramcsövet.Az alábbiak szerint vegyünk fel egy áramcsövet.


A Bernoulli-egyenlet az energiamegmaradás tételét A Bernoulli-egyenlet az energiamegmaradás tételét

mondja ki a folyadékokra:mondja ki a folyadékokra:

ΔΔmvmv22/2+ /2+ ΔΔmgh+pmgh+pΔΔV=állandóV=állandó

Az áramlás folyamán a folyadék mozgási, helyzeti Az áramlás folyamán a folyadék mozgási, helyzeti és nyomási energiájának összege állandó, ha nincs és nyomási energiájának összege állandó, ha nincs súrlódás. A súrlódás. A Bernoulli-egyenlet egységnyi térfogatú Bernoulli-egyenlet egységnyi térfogatú

folyadékra:folyadékra:

ρρvv22/2+ /2+ ρρgh+p=állandógh+p=állandóVízszintes áramlásnál szűkületben a sebesség Vízszintes áramlásnál szűkületben a sebesség nagyobb, a nyomás viszont kisebbnagyobb, a nyomás viszont kisebb..


A Bernoulli-egyenlet alkalmazása: A Bernoulli-egyenlet alkalmazása:


A Bernoulli-egyenlet alkalmazása:A Bernoulli-egyenlet alkalmazása:






Valódi folyadékok áramlása:Valódi folyadékok áramlása:

A valódi folyadékok abban különböznek az A valódi folyadékok abban különböznek az ideális folyadéktól, hogy áramlásuk közben ideális folyadéktól, hogy áramlásuk közben nemcsak külső erők (nehézségi erő, nyomó nemcsak külső erők (nehézségi erő, nyomó erők) hatnak, hanem a molekulák által erők) hatnak, hanem a molekulák által egymásra gyakorolt egymásra gyakorolt belső erők belső erők is, amelyek a is, amelyek a súrlódáshoz hasonlóan a mozgást gátolják.súrlódáshoz hasonlóan a mozgást gátolják.A szilárd testtel érintkező áramló folyadék A szilárd testtel érintkező áramló folyadék egy vékony rétege a szilárd testhez tapad, egy vékony rétege a szilárd testhez tapad, ezért csak folyadék és folyadék között jön ezért csak folyadék és folyadék között jön létre súrlódás. Ez a létre súrlódás. Ez a belső súrlódásbelső súrlódás..


Réteges (lamináris) áramlásRéteges (lamináris) áramlás az az olyan, amikor az áramló folyadék olyan, amikor az áramló folyadék egymással párhuzamos vékony egymással párhuzamos vékony rétegekre osztható, amelyek egymás rétegekre osztható, amelyek egymás mellet különböző sebesség-gel mellet különböző sebesség-gel mozognak.mozognak.Newton a folyadékok belsejében Newton a folyadékok belsejében mozgás közben ható erőhatást, a belső mozgás közben ható erőhatást, a belső súrlódást erőtörvény formában írta le súrlódást erőtörvény formában írta le (ez a Newton-féle súrlódási törvény), (ez a Newton-féle súrlódási törvény), és ebben a formában értelmezte a és ebben a formában értelmezte a súrlódási állandót. A belső súrlódást súrlódási állandót. A belső súrlódást csak réteges áramlásnál értel-mezzük. csak réteges áramlásnál értel-mezzük.


Ha a folyadék egy csőben áramlik, akkor az ábra Ha a folyadék egy csőben áramlik, akkor az ábra szerint a folyadékot felbontva szerint a folyadékot felbontva dz dz vastagságú vastagságú csövekre, azt tapasz-taljuk, hogy a cső csövekre, azt tapasz-taljuk, hogy a cső keresztmetszete mentén az egyeskeresztmetszete mentén az egyes

"csőrétegek" sebessége más és más, vagyis az "csőrétegek" sebessége más és más, vagyis az áramlási sebesség nagysága változó a áramlási sebesség nagysága változó a z z irányban.irányban.

A A dz dz távolságon belül a sebesség nagyságának távolságon belül a sebesség nagyságának változása változása dv. dv. A A dv/dz dv/dz mennyiséget a mennyiséget a sebesség sebesség gradiensének gradiensének nevezzüknevezzük. .


Belső súrlódásrólBelső súrlódásról áramló folyadékoknál akkor áramló folyadékoknál akkor beszélünk, amikor az beszélünk, amikor az A A felülettel szemben, felülettel szemben, egymástól egymástól zz távolságban levő, távolságban levő, uu sebességgel sebességgel egymáson elcsúszó rétegek között ható egymáson elcsúszó rétegek között ható FF erő a erő a következő összefüggés szerint számolható. (ez a következő összefüggés szerint számolható. (ez a felfogás egyébként Newton-féle súrlódási felfogás egyébként Newton-féle súrlódási törvényként ismert):törvényként ismert):

F=F=ηηA(dv/dz)A(dv/dz)

A A belső súrlódást (dinamikai viszkozitás)belső súrlódást (dinamikai viszkozitás) (jele: (jele: ) csak réteges áramlásnál értelmezzük. Az ) csak réteges áramlásnál értelmezzük. Az anyagállandó, amelynek a mértékegysége (Ns/manyagállandó, amelynek a mértékegysége (Ns/m22), ), azaz azaz Pa sPa s (pascal secundum). (pascal secundum).


Réteges áramlás csőbenRéteges áramlás csőben: : (Hagen-(Hagen-Poiseuille-féle törvény, Poiseuille-féle törvény, 1839) (1839) (Ohm-Ohm-törvény törvény alakban megfogalmazva) alakban megfogalmazva) összenyomhatatlan, súrlódó folyadék, összenyomhatatlan, súrlódó folyadék, stacionárius áramlásakor, kör stacionárius áramlásakor, kör keresztmetszetű csőben (sugara: keresztmetszetű csőben (sugara: R,R, hossza: hossza: ll) az áramerősség () az áramerősség (I=V/tI=V/t) a nyomástól () a nyomástól (pp) a ) a következő összefüggés szerint függ: következő összefüggés szerint függ:


A A Hagen-Poisseuille Hagen-Poisseuille törvény" .megadja, hogy a törvény" .megadja, hogy a csövön átfolyó folyadék mennyisége milyen csövön átfolyó folyadék mennyisége milyen mértékben függ a cső sugarától. A cső tengelyétől mértékben függ a cső sugarától. A cső tengelyétől r r távolságban levő távolságban levő dr dr falvastagságú, falvastagságú, v v sebességű sebességű folyadékhenger folyadékhenger t t idő alatt idő alatt dVdV==vt2rvt2rππdr dr térfogatú folyadékot visz át valamely térfogatú folyadékot visz át valamely keresztmetszeten. A hengeres csőben lamináris keresztmetszeten. A hengeres csőben lamináris áramlás esetén áramlás esetén t t idő alatt áthaladó folyadék idő alatt áthaladó folyadék térfogata:térfogata:


Gomolygó (turbulens) áramlásGomolygó (turbulens) áramlás az olyan, amikor:az olyan, amikor:-az áramlás nem stacionárius, a sebesség és a az áramlás nem stacionárius, a sebesség és a nyomás egy meghatározott helyen nem állandó, nyomás egy meghatározott helyen nem állandó, hanem gyorsan ingadozik egy átlagérték körül,hanem gyorsan ingadozik egy átlagérték körül,

-a folyadék részecskék pályái nemcsak, hogy nem a folyadék részecskék pályái nemcsak, hogy nem egyenesek, nem is egyszerű görbék, hanem igen egyenesek, nem is egyszerű görbék, hanem igen bonyolult módon egymásba fonódnak, a folyadék bonyolult módon egymásba fonódnak, a folyadék erősen összekeveredett,erősen összekeveredett,

-a cső végén az időegység alatt kiáramló folyadék a cső végén az időegység alatt kiáramló folyadék térfogat sokkal kisebb, mint ami a ptérfogat sokkal kisebb, mint ami a p11-p-p22 nyomáskülönbség mellett a Hagen-Poiseuille nyomáskülönbség mellett a Hagen-Poiseuille törvény szerint adódna,törvény szerint adódna,

- a turbulens áramlásnál a cső "ellenállása" - a turbulens áramlásnál a cső "ellenállása" nagyobb, a folyadék viszkozitása látszólag nagyobb, a folyadék viszkozitása látszólag megnövekedett.megnövekedett.


Az áramló ideális folyadékba helyezett Az áramló ideális folyadékba helyezett r r sugarú sugarú gömbre nem hat erő. Valódi folyadék lamináris gömbre nem hat erő. Valódi folyadék lamináris áramlása esetén viszontáramlása esetén viszont

F = -6F = -6πηπηrvrv

erő hat. A erő hat. A gömb mozgását akadályozó erő a gömb mozgását akadályozó erő a test sebességével lineárisan arányostest sebességével lineárisan arányos. . Ez a Ez a StokesStokes törvénytörvény..


Lamináris áramlás csak abban az esetben állhat Lamináris áramlás csak abban az esetben állhat fenn, ha a folyadék sebessége kicsiny. Nagyobb fenn, ha a folyadék sebessége kicsiny. Nagyobb sebességek mellett az áramlás képe megváltozik. Az sebességek mellett az áramlás képe megváltozik. Az egyes folyadékrétegek keverednek, örvények egyes folyadékrétegek keverednek, örvények keletkeznek. Ilyen esetben keletkeznek. Ilyen esetben turbulensturbulens áramlásról áramlásról beszélünkbeszélünk. .


A gömb környezetében lejátszódó sebesség-A gömb környezetében lejátszódó sebesség-változás nem szimmetrikus. A gömb mellett változás nem szimmetrikus. A gömb mellett mozgó, közben felgyorsult mozgó, közben felgyorsult folyadékrészecskék nagyobb sebességük folyadékrészecskék nagyobb sebességük miatt nagyobb energia veszteséget miatt nagyobb energia veszteséget szenvednek, mint a távolabb haladók, így a szenvednek, mint a távolabb haladók, így a gömb mögötti nyomás kisebb az eredeti gömb mögötti nyomás kisebb az eredeti nyomásnál. A környezet visszafelé nyomja a nyomásnál. A környezet visszafelé nyomja a folyadék-részecskéket, forgómozgás, örvény folyadék-részecskéket, forgómozgás, örvény keletkezik. keletkezik.

Az örvények a gömb mögött párosával Az örvények a gömb mögött párosával képződnek, ellenkező forgásiránnyal, majd képződnek, ellenkező forgásiránnyal, majd leválnak a testről, un. örvényút képződik.leválnak a testről, un. örvényút képződik.


A folyadékban mozgó test esetén ugyanilyen hatás A folyadékban mozgó test esetén ugyanilyen hatás keletkezik nagyobb sebességek esetén. Az örvények keletkezik nagyobb sebességek esetén. Az örvények következtében keletkező, a mozgást akadályozó erő következtében keletkező, a mozgást akadályozó erő a a közegellenállásközegellenállás. Közepes sebességek esetén kis . Közepes sebességek esetén kis viszkozitású közegekben a közegellenállás viszkozitású közegekben a közegellenállás nagysága:nagysága:

ahol v a test és a közeg relatív sebessége, p a közeg ahol v a test és a közeg relatív sebessége, p a közeg sűrűsége, sűrűsége, A A a test maximális keresztmetszete a a test maximális keresztmetszete a mozgásra merőleges irányba, c az alaki tényező.mozgásra merőleges irányba, c az alaki tényező.


A lamináris áramlás egy kritikus sebességértéknél A lamináris áramlás egy kritikus sebességértéknél turbulenssé turbulenssé válik. válik. Reynolds Reynolds szerint definiált szerint definiált számérték (dimenzió nélkül):számérték (dimenzió nélkül):

Ahol l a cső hossza, Ahol l a cső hossza, μμ==ηη//ρρ a kinetikus viszkozitás, v a kinetikus viszkozitás, v a test sebessége. A a test sebessége. A Reynolds szám Reynolds szám nagyságával nagyságával eldönthető, hogy milyen típusú az áramlás. Ha eldönthető, hogy milyen típusú az áramlás. Ha Re Re <1160 <1160 az áramlás lamináris. az áramlás lamináris. 1160 <Re< 2320 1160 <Re< 2320 lehet lehet lamináris, de lehet már turbulens is. lamináris, de lehet már turbulens is. 2320 <Re 2320 <Re esetén az áramlás biztosan turbulensesetén az áramlás biztosan turbulens..

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikájaEgy locsolócső belső átmérője Egy locsolócső belső átmérője dd11=20 mm=20 mm, a végére helyezett locsoló , a végére helyezett locsoló fej kimeneti átmérője fej kimeneti átmérője dd22=4 mm=4 mm. A cső egy keresztmetszetén . A cső egy keresztmetszetén másodpercenként másodpercenként I=0,25 lI=0,25 l s víz áramlik át. Milyen távolságra tud a s víz áramlik át. Milyen távolságra tud a kertész ellocsolni a fejjel, ha azt a Föld felszínén, α=kertész ellocsolni a fejjel, ha azt a Föld felszínén, α=4545oo-os szögben -os szögben tartja?tartja?

Megoldás:Megoldás:

A vezetékből másodpercenként kiömlő víz térfogata:A vezetékből másodpercenként kiömlő víz térfogata:I=0,25dmI=0,25dm33/s=2,5 /s=2,5 1010-4 -4 mm33/s/s

A kontinuitási egyenlet alapján: A kontinuitási egyenlet alapján: I=AI=A11vv11=A=A22vv22

A locsolófej kiömlési keresztmetszete: A locsolófej kiömlési keresztmetszete: AA22=d=d22

22π/4=1,25 10π/4=1,25 10-5 -5 mm22

A kiömlő víz sebessége: A kiömlő víz sebessége: vv22=I/A=I/A22=20 =20 m/sm/s

A víz sebességének x irányú összetevője: A víz sebességének x irányú összetevője: vvxx=v=v22cos45cos45oo=14,14 m/s=14,14 m/s

A víz sebességének y irányú összetevője: A víz sebességének y irányú összetevője: vvyy=v=v22sin45sin45oo=14,14 m/s=14,14 m/s

A víz cseppek emelkedési ideje A víz cseppek emelkedési ideje v(tv(tee)=0=-)=0=-gtgtee+v+vyy

Összefüggésből:Összefüggésből: ttee=1,414 s=1,414 s

A víz földet érési ideje: A víz földet érési ideje: ttff=2t=2tee=2,828 s=2,828 s

A tA tff idő alatt vízszintesen megtett út: idő alatt vízszintesen megtett út: x=vx=vxxttff=40 m=40 m


Egy locsolócső belső átmérője Egy locsolócső belső átmérője dd11=20 mm=20 mm, a végére helyezett locsoló , a végére helyezett locsoló fej kimeneti átmérője fej kimeneti átmérője dd22=4 mm=4 mm. A d. A d11 átmérőjű csőben a nyomás átmérőjű csőben a nyomás pp11=3 10=3 105 5 PaPa, a locsolófejben , a locsolófejben pp22=2 10=2 105 5 PaPa. Hány liter víz áramlik át . Hány liter víz áramlik át percenként a szűkületen?percenként a szűkületen?


A kontinuitási egyenlet alapján: A kontinuitási egyenlet alapján: I=AI=A11vv11=A=A22vv22 v v11= = AA22vv22/A/A11

A locsolófej kiömlési keresztmetszete: A locsolófej kiömlési keresztmetszete: AA22=d=d2222π/4=1,25 10π/4=1,25 10-5 -5

mm22

A locsolócső keresztmetszete: A locsolócső keresztmetszete: AA11=d=d1122π/4=3,14 10π/4=3,14 10-4 -4

mm22

A Bernoulli törvény vízszintes vezeték esetén:A Bernoulli törvény vízszintes vezeték esetén:

Innen: Innen:

A A vv11 értékét behelyettesítve értékét behelyettesítve

Az egyenletből Az egyenletből vv22-öt kifejezzük: -öt kifejezzük:

A kiömlő víz másodpercenkénti mennyisége: A kiömlő víz másodpercenkénti mennyisége: I=AI=A22vv22=1,8 10=1,8 10-4 -4 mm33/s/s

A kiömlő víz percenkénti mennyisége: A kiömlő víz percenkénti mennyisége: IIminmin=I 60=1,08 =I 60=1,08 1010-2-2mm33/min=10,8l/min/min=10,8l/min

állandópvpv 2221

21 2

1

2

1

)(2

1 21

2221 vvpp

)1(2

1)(

2

12

1

222

221

22

222

221 A

Av

A

vAvpp

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikájaVíz áramlik egy Víz áramlik egy l=200 ml=200 m hosszú csövön hosszú csövön I= 3 10I= 3 10-4 -4 mm33/s/s térfogat térfogat árammal. A víz viszkozitása árammal. A víz viszkozitása η=1,1 10η=1,1 10-3 -3 Ns/mNs/m22. Szeretnénk elérni, hogy . Szeretnénk elérni, hogy az áramlás lamináris legyen.az áramlás lamináris legyen.

a) Milyen átmérőjű csövet kell választanunk?a) Milyen átmérőjű csövet kell választanunk?

b) Mekkora nyomáskülönbség kell a létrehozásához?b) Mekkora nyomáskülönbség kell a létrehozásához?


a) A lamináris áramlásnál Reynold szám maximuma a) A lamináris áramlásnál Reynold szám maximuma RRmaxmax=1160=1160..

A kritikus sebesség: A kritikus sebesség: A kontinuitási egyenletből: A kontinuitási egyenletből: I=Av=rI=Av=r22πvπv

v=I/r v=I/r22ππ

Az áramlási sebességet behelyettesítve: Az áramlási sebességet behelyettesítve:

A cső sugarát kifejezve: A cső sugarát kifejezve: A cső minimális átmérője: A cső minimális átmérője: d=2r=0,164 md=2r=0,164 m

b) A Hagen Poiseuille-féle törvény adja meg az folyadékáram és a b) A Hagen Poiseuille-féle törvény adja meg az folyadékáram és a nyomáskülönbség között: nyomáskülönbség között:

rRvk

rv

R k

r

I

r

rIR

21160

421

8r

l

ppI

PamNp 72,3/72,3 2 A nyomáskülönbséget kifejezve és helyettesítve:


A tengerszinten a légnyomás A tengerszinten a légnyomás ppoo=1,014 10=1,014 105 5 PaPa a levegő sűrűsége a levegő sűrűsége ugyanott ugyanott ρρoo=1,28 kg/m=1,28 kg/m33. a) Mekkora a légnyomás a . a) Mekkora a légnyomás a hh11=110 m=110 m magasan lévő Budapesten?magasan lévő Budapesten?

b) Mekkora a világ legmagasabban fekvő városában a b) Mekkora a világ legmagasabban fekvő városában a hh22=4800 m=4800 m magasságban épült bolíviai Potosiban.magasságban épült bolíviai Potosiban.


A barometrikus magasságformula határozza meg a magasság és a A barometrikus magasságformula határozza meg a magasság és a légnyomás kapcsolatát:légnyomás kapcsolatát:

a) A légnyomás Budapesten: a) A légnyomás Budapesten:

b) A légnyomás Potosiban: b) A légnyomás Potosiban:

hp

g

ephp 0

0

0)(

Pa1000028,1)110(p 5

Pa10596,5)4800(p 4


Documents

Folyadékok és gázok mechanikája