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1 Lycée Français de DOHA TES Année 2019 2020 M. Evanno Fonction exponentielle A) Fonctions exponentielles de base . 1. Fonction () = , avec >. Définition : Soit un nombre strictement positif donné. La suite définie, pour tout entier naturel , par : = est une suite géométrique de raison . La fonction exponentielle de base est le prolongement de cette suite géométrique. Elle est définie sur par () = avec >0. On admet que cette fonction est dérivable sur et donc continue sur . Pour tout réel , est strictement positif. Représentation graphique : Sens de variation : Pour une fonction exponentielle base avec >0 on admet que : si >1 alors la fonction est croissante sur . si 0<<1 alors la fonction est décroissante sur . si =1 alors la fonction =1 est constante sur . Exemples : Exigible d’après le programme. 1 er Cas : >1 2 ème Cas : 0<<1

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Année 2019 – 2020 M. Evanno

Fonction exponentielle

A) Fonctions exponentielles de base 𝒒.

1. Fonction 𝒇(𝒙) = 𝒒𝒙, avec 𝒒 > 𝟎.

Définition :

Soit 𝑞 un nombre strictement positif donné. La suite définie, pour tout entier naturel 𝑛, par :

𝑢𝑛 = 𝑞𝑛 est une suite géométrique de raison 𝑞.

• La fonction exponentielle de base 𝑞 est le prolongement de cette suite géométrique.

• Elle est définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑞𝑥 avec 𝑞 > 0.

• On admet que cette fonction est dérivable sur ℝ et donc continue sur ℝ.

• Pour tout réel 𝑥, 𝑞𝑥 est strictement positif.

Représentation graphique :

Sens de variation :

Pour une fonction exponentielle base 𝑞 avec 𝑞 > 0 on admet que :

• si 𝑞 > 1 alors la fonction 𝑥 ↦ 𝑞𝑥 est croissante sur ℝ.

• si 0 < 𝑞 < 1 alors la fonction 𝑥 ↦ 𝑞𝑥 est décroissante sur ℝ.

• si 𝑞 = 1 alors la fonction 𝑥 ↦ 𝑞𝑥 = 1 est constante sur ℝ.

Exemples : Exigible d’après le programme.

1er Cas : 𝑞 > 1 2ème Cas : 0 < 𝑞 < 1

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2. Relation fonctionnelle et formules.

Théorème : Admis

Soit 𝑓 une fonction exponentielle base 𝑞 > 0 : 𝑓(𝑥) = 𝑞𝑥.

Cette fonction transforme une somme en produit : 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) × 𝑓(𝑦).

Autrement dit, pour tous réels 𝑥 et𝑦 : 𝑞𝑥+𝑦 = 𝑞𝑥 × 𝑞𝑦.

Conséquences :

Soit 𝑞 un nombre strictement positif.

• 𝑞0 = 1 et 𝑞1 = 𝑞.

• Pour tous réels 𝑥 et 𝑦, on a :

𝑞−𝑥 =1

𝑞𝑥 et 𝑞𝑥−𝑦 =

𝑞𝑥

𝑞𝑦

• Pour tout réel 𝑥 et tout entier relatif 𝑛, on a :

𝑞𝑛×𝑥 = (𝑞𝑥)𝑛

• Pour tout entier naturel 𝑛 > 0, on a :

𝑞1𝑛 est la « racine 𝑛ème » de 𝑞

En effet, d’après ce qui précède on a : (𝑞1

𝑛)𝑛

= 𝑞1

𝑛×𝑛 = 𝑞1 = 𝑞.

Propriété :

Toute fonction exponentielle base 𝑞 > 0 est convexe sur ℝ.

Vérifier cette affirmation sur les représentations graphiques données précédemment.

Exercice n°1 :

1) Exprimer le plus simplement possible les expressions suivantes :

𝐴 =2𝑥 × (23𝑥)2

2𝑥+3

𝐵 =1,32𝑥 × (1,3)−𝑥+2

2 × 1,3

𝐶 = (2𝑥)2 +1

2−2𝑥

2) Donner leur sens de variation des fonction suivantes en justifiant votre choix.

a) 𝑓(𝑡) = 3 × 0,75𝑡 b) 𝑓(𝑡) = 0,3 × 1,94𝑡

Exercice n°2 :

Parmi les trois courbes ci-dessous, une seule est la représentation graphique d’une fonction

exponentielle base 𝑞 > 0. Laquelle est-ce et quelle est la valeur de 𝑞 ?

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Exercice n°3 :

Une entreprise récolte et conditionne des fruits exotiques.

On estime que la quantité demandée 𝑄, en tonnes, en fonction du prix 𝑝, en € par kg, est

modélisée par la fonction : 𝑓(𝑝) = 7,4 × 0,6𝑝 où 𝑝 ∈ [1 ; 4]. 1) Déterminer le sens de variation de 𝑓 sur l’intervalle [1 ; 4]. Interpréter le résultat.

2) L’entreprise a 2 tonnes de fruits à vendre.

a) Montrer que l’équation 𝑓(𝑝) = 2 admet une unique solution sur [1 ; 4]. b) Donner, à l’aide de votre calculatrice, une valeur approchée à 0,01 près de .

Exercice n°4 :

A la suite d’une infection, on modélise le nombre de bactéries contenues dans un organisme en

fonction du temps 𝑥, exprimer en heures, à partir du début de l’étude, par la fonction 𝑓 définie

sur [0 ; 3] par : 𝑓(𝑥) = 100 000 × 1,1𝑥.

1) Calculer le nombre de bactéries au bout de 1ℎ30, puis de 2ℎ45. Arrondir le résultat obtenu

à 1 000 bactéries près.

2) Justifier que 𝑓 est croissante sur [0 ; 3]. Interpréter.

3) Peut-on affirmer que 𝐶𝑓 est au-dessus de toutes ses tangentes ? Si oui pourquoi ?

4) En utilisant la calculatrice, dire au bout de combien de temps, le nombre de bactéries aura

augmenté de plus de 20%.

5) Déterminer le taux d’évolution de cette population de bactéries pour un quart d’heure.

B) Fonction exponentielle de base 𝒆.

1) Fonction 𝒆𝒙𝒑 et nombre 𝒆.

Définition :

On admet que parmi toutes les fonctions exponentielles 𝑥 ↦ 𝑞𝑥, une seule a le nombre 1 pour

nombre dérivé en 0.

Cette fonction est la fonction exponentielle de base 𝑒, notée 𝑒𝑥𝑝.

Pour tout réel 𝑥 :

𝑒𝑥𝑝 ∶ 𝑥 ↦ 𝑒𝑥 avec 𝑒𝑥𝑝′(0) = 1

Par définition, le nombre e est l’image de 1 par cette fonction : 𝑒𝑥𝑝(1) = 𝑒 ≈ 2,718.

Représentation graphique :

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Conséquences :

• 𝑒𝑥𝑝(1) = 𝑒 ≈ 2,718 > 1 donc la fonction 𝑒𝑥𝑝 est croissante sur ℝ.

• 𝑒𝑥𝑝(𝑥) = 𝑒𝑥 est toujours strictement positive : ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑒𝑥 > 0.

• 𝑒𝑥𝑝(0) = 𝑒0 = 1.

La fonction exponentielle 𝑒𝑥𝑝 ∶ 𝑥 ↦ 𝑒𝑥 transforme les sommes en produit donc pour tous réels

𝑥 et 𝑦 on a les formules suivantes :

• 𝑒𝑥+𝑦 = 𝑒𝑥 × 𝑒𝑦

• 𝑒−𝑥 =1

𝑒𝑥

• 𝑒𝑥−𝑦 =𝑒𝑥

𝑒𝑦

• Pour tout entier relatif 𝑛 ∶ 𝑒𝑛×𝑥 = (𝑒𝑥)𝑛

Exercice n°5 :

1) Ecrire les expressions 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sous la forme 𝑒𝑘 :

𝐴 =𝑒2 × 𝑒3

𝑒

𝐵 = (𝑒3)−1 ×𝑒4

𝑒−2

𝐶 = (𝑒2)2 ×𝑒−3

𝑒

2) Ecrire le plus simplement possible les fonctions suivantes :

𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥+4 × 𝑒−𝑥+1 𝑔(𝑥) =𝑒𝑥+1 × (𝑒𝑥)3 × 𝑒

𝑒2𝑥−1

Exercice n°6 :

1) Soit 𝑥 un réel, montrer que : (𝑒𝑥 − 2)(𝑒𝑥 + 4) = 𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥 − 8.

2) Factoriser l’expression : 2𝑥𝑒𝑥 − 3𝑥2𝑒2𝑥.

2) Résolution d’équations.

Comme 𝑒𝑥 > 0 pour tout réel 𝑥, l’équation :

• 𝑒𝑥 = 0 n’a pas de solution.

• 𝑒𝑥 = 𝑘 n’a pas de solution si 𝑘 < 0.

Propriété :

Soit 𝐴 et 𝐵 deux réels. On a alors :

𝑒𝐴 = 𝑒𝐵 ⟺ 𝐴 = 𝐵

Ainsi deux exponentielles sont égales si et seulement si, leurs exposants sont égaux.

Cas particulier :

Comme 𝑒0 = 1, l’équation 𝑒𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 0.

Exercice n°7 :

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

1) 𝑒2𝑥−1 = 𝑒 4) 𝑒𝑥2−4 = 1

2) 𝑒𝑥 + 2 = 0 5) 𝑒−𝑥−1 =1

𝑒𝑥−2

3) 𝑒−𝑥+3 =1

𝑒 6) 𝑒−2𝑥 − 𝑒𝑥+3 = 0

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Exercice n°8 : Résolution d’équation par factorisation

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

1) 𝑒𝑥 − 𝑥𝑒𝑥 = 0.

2) 𝑥2𝑒𝑥 − 3𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 = 0.

3) On cherche à résoudre l’équation (𝐸) : 2𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 1 = 0.

a) Montrer que 2𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 1 = (𝑒𝑥 − 1)(2𝑒𝑥 + 1).

b) En déduire les solutions de (𝐸).

Exercice n°9 : Résolution d’équation par changement de variable

On cherche à résoudre dans ℝ l’équation (𝐸) : 𝑒2𝑥 + 5𝑒𝑥 − 6 = 0.

1) On pose 𝑋 = 𝑒𝑥. Montrer que si 𝑥 est solution de (𝐸) alors 𝑋 est solution de l’équation :

𝑋2 + 5𝑋 − 6 = 0

2) Résoudre dans ℝ l’équation : 𝑋2 + 5𝑋 − 6 = 0.

3) En déduire les solutions de (𝐸).

C) Etude de la fonction 𝒆𝒙𝒑.

1. Fonction dérivée de la fonction 𝒆𝒙𝒑.

Théorème : Admis

La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

Autrement dit, si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 sur ℝ alors 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 sur ℝ.

Conséquence :

La fonction exponentielle est croissante sur ℝ.

Si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 sur ℝ alors 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 > 0 sur ℝ.

D’où 𝑓 est croissante sur ℝ.

2. Convexité de la fonction exp.

Propriété :

La fonction exponentielle 𝑒𝑥𝑝 ∶ 𝑥 ↦ 𝑒𝑥 est convexe sur ℝ.

Démonstration :

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥.

On a alors ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥.

D’où ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑓′′(𝑥) = 𝑒𝑥 > 0 et 𝑓′ est croissante sur ℝ.

Donc 𝑓 est convexe sur ℝ.

Propriété :

La courbe représentative, 𝐶𝑒𝑥𝑝, de la fonction exponentielle est toujours au-dessus de :

• sa tangente (car elle est convexe).

• de la droite 𝛥 d’équation 𝑦 = 𝑥 (démontré dans l’exercice n°10).

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3. Résolution d’inéquations.

Propriété :

Soit 𝐴 et 𝐵 deux réels.

La fonction exponentielle étant strictement croissante sur ℝ, deux exponentielles sont rangées

dans le même ordre que leurs exposants :

𝑒𝐴 ≥ 𝑒𝐵 ⟺ 𝐴 ≥ 𝐵

Cas particuliers : Comme 𝑒0 = 1 on a : 𝑒𝑥 ≥ 1 ⟺ 𝑥 ≥ 0 et 𝑒𝑥 ≤ 1 ⟺ 𝑥 ≤ 0

Exercice n°10 :

On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥.

1) Calculer 𝑓′ et étudier son signe sur ℝ.

2) En déduire le tableau de variations de 𝑓 sur ℝ.

3) Justifier que 𝑓 est strictement positive sur ℝ.

4) En déduire la position relative de la courbe représentative de la fonction exponentielle et de

la droite 𝛥 d’équation 𝑦 = 𝑥.

Exercice n°11 :

Dériver les fonctions suivantes sans vous occuper du domaine de dérivation :

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑥2 + 𝑒2

𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 3𝑥 + 1)𝑒𝑥

ℎ(𝑥) =𝑒𝑥

𝑥2

𝑖(𝑥) = 𝑥3𝑒𝑥

𝑗(𝑥) =𝑥3 + 2

𝑒𝑥

𝑘(𝑥) = (3𝑥 + 1)(𝑒𝑥 + 𝑒2)

Exercice n°12 :

Partie A :

On considère la fonction 𝑔 définie sur ℝ par : 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 + 1.

1) Calculer 𝑔′ et étudier son signe sur ℝ.

2) En déduire le tableau de variations de 𝑔 sur ℝ.

3) Calculer 𝑔(0) et en déduire que le signe de 𝑔 sur ℝ.

Partie B :

Soit 𝑓 la fonction (on notera 𝐶𝑓 sa courbe représentative) définie sur [−1 ; +∞[ par :

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 +𝑥

𝑒𝑥

1) Montrer que ∀𝑥 ∈ [−1 ; +∞[ :

𝑓′(𝑥) =𝑔(𝑥)

𝑒𝑥

2) En déduire le signe de 𝑓′ et dresser le tableau de variations de 𝑓 sur [−1 ; +∞[. 3) Déterminer une équation de la tangente 𝑇 à 𝐶𝑓 au point d’abscisse 0.

4) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝑥0 dans [−1 ; 0]. 5) Justifier que : −0,5 < 𝑥0 < −0,4.

6) En déduire le signe de 𝑓 sur [−1 ; +∞[.

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Exercice n°13 :

On considère la fonction 𝑓 définie sur [−5 ; 5] par :

𝑓(𝑥) =4𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 1

On note 𝒞 sa courbe représentative qui est donnée ci-dessous :

1) Montrer que ∀𝑥 ∈ [−5 ; 5] :

𝑓′(𝑥) =4𝑒𝑥

(𝑒𝑥 + 1)2

2) En déduire le signe de 𝑓′ et dresser le tableau de variations de 𝑓 sur [−5 ; 5]. 3) Déterminer une équation de la tangente 𝑇 à 𝒞 au point d’abscisse 0.

4) Point d’inflexion de 𝒞.

a) A l’aide du graphique, estimer l’abscisse du point d’inflexion de 𝒞.

b) A l’aide du logiciel 𝑋𝑐𝑎𝑠, on a obtenu l’expression de la dérivée seconde 𝑓′′ de 𝑓.

Sans justifier le résultat obtenu, étudier le signe de la dérivée seconde 𝑓′′ sur [−5 ; 5].

c) Déterminer, par le calcul cette fois, l’abscisse du point d’inflexion de la courbe 𝒞.

D) Etude de la fonction 𝒆𝒖.

1. Définition.

Définition :

Soit 𝑢 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼.

La fonction 𝑓 = 𝑒𝑢 est la fonction définie sur 𝐼 par : 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑢(𝑥).

Remarque : Les domaines de définition de 𝑓 et 𝑢 sont identiques car 𝑒𝑥𝑝 est définie sur ℝ.

2. Dérivée et sens de variation.

Théorème : Admis

La fonction 𝑓 ∶ 𝑥 ↦ 𝑒𝑢(𝑥) est dérivable sur 𝐼.

On a ∀𝑥 ∈ 𝐼 : 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) × 𝑒𝑢(𝑥).

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Exemples :

Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions dérivables sur ℝ définies par :

• ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑓(𝑥) = 𝑒−0,5𝑥+2 on a alors ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑓′(𝑥) = −0,5𝑒−0,5𝑥+2.

• ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑔(𝑥) = 𝑒−𝑥2+2𝑥−4 on a alors ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑔(𝑥) = (−2𝑥 + 2)𝑒−𝑥2+2𝑥−4.

Propriétés :

• La fonction 𝑒𝑢 est dérivable sur 𝐼 donc elle est continue sur 𝐼.

• ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑒𝑥 > 0 donc pour toute fonction 𝑢 définie sur 𝐼, on a : ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑒𝑢(𝑥) > 0.

• Pour toute fonction 𝑢 définie et dérivable sur 𝐼, on a : ∀𝑥 ∈ 𝐼 : 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) × 𝑒𝑢(𝑥) ainsi

le signe de la dérivée de 𝑓 est celui de la dérivée de 𝑢.

Donc les fonctions 𝑥 ↦ 𝑒𝑢(𝑥) et 𝑥 ↦ 𝑢(𝑥) ont même sens de variations.

Exercice n°14 :

Dériver les fonctions suivantes sans s’occuper du domaine de dérivation :

𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 + 2𝑥 𝑖(𝑥) = 3𝑒1−𝑥2

𝑔(𝑥) = 10𝑒−0,5𝑥+9 𝑗(𝑥) = (𝑥2 + 1)𝑒−3𝑥+1

ℎ(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥 𝑘(𝑥) =2

5 + 3𝑒−2𝑥

Exercice n°15 :

Soit 𝑓 la fonction définie sur [−5 ; 8] par : 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒−𝑥 où 𝑎 et 𝑏 sont deux réels.

On note 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓 et 𝑓′′ sa dérivée seconde.

Partie A :

On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé (O ; 𝑖 ; 𝑗 ), la courbe représentative 𝐶𝑓 de la

fonction 𝑓 et la droite (𝑇) tangente à 𝐶𝑓 au point 𝐴(0 ; 1) et passant par 𝐵(1 ; 4).

1) Montrer que pour tout réel 𝑥 ∈ [−5 ; 8], 𝑓′(𝑥) = (𝑎 − 𝑏 − 𝑎𝑥)𝑒−𝑥.

2) Justifier que 𝑓(0) = 1 et 𝑓′(0) = 3.

3) En déduire l’équation de la tangente à 𝐶𝑓 au point d’abscisse 0.

4) Déterminer 𝑎 et 𝑏.

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Partie B :

On admettra que 𝑎 = 4 et 𝑏 = 1 et donc que ∀𝑥 ∈ [−5 ; 8] :

𝑓(𝑥) = (4𝑥 + 1)𝑒−𝑥

1) Etudier les variations de 𝑓 pour 𝑥 ∈ [−5 ; 8]. 2) Justifier que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 sur [−5 ; 8]. 3) Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0 et donner la valeur exacte de 𝛼.

4) Montrer que la dérivée seconde, 𝑓′′, de 𝑓 sur [−5 ; 8] est :

𝑓′′(𝑥) = (4𝑥 − 7)𝑒−𝑥

5) Etudier la convexité de 𝑓 et en déduire les coordonnées du point d’inflexion 𝐼 de 𝐶𝑓.

Partie C :

Une entreprise produit 𝑥 centaines d’objets chaque semaine. Le coût de production, exprimé

en milliers d’euros, est défini sur [0 ; 5] par la fonction 𝑓 étudiée dans la Partie B. Le coût

marginal 𝐶𝑚 est assimilé à la dérivée du coût total donc :

∀𝑥 ∈ [0 ; 5] 𝐶𝑚(𝑥) = 𝑓′(𝑥)

1) Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira à l’euro près.

2) Quelle est, dans le cadre de cette partie, la signification économique concrète du point

d’inflexion 𝐼 de 𝐶𝑓 ?

Exercice n°16 : Bac ES Pondichéry 2016

L’entreprise 𝐵𝐵𝐸 (𝐵𝑖𝑜 𝐵𝑜𝑖𝑠 É𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des

chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

• Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définie sur [1 ; 15] par :

𝐶(𝑥) = 0,3𝑥2 − 𝑥 + 𝑒−𝑥+5

où 𝑥 désigne la quantité de granulés en tonnes et 𝐶(𝑥) le coût de fabrication quotidien

correspondant en centaines d’euros.

• Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros. La

recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction 𝑅 définie sur l’intervalle sur

l’intervalle [1 ; 15] par : 𝑅(𝑥) = 3𝑥 où 𝑥 désigne la quantité de granulés en tonnes et 𝑅(𝑥) la

recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.

• On définit par 𝐷(𝑥) le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire

la différence entre la recette 𝑅(𝑥) et le coût 𝐶(𝑥), où 𝑥 désigne la quantité de granulés en

tonnes.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique ci-dessous on donne 𝐶 et les représentations graphiques respectives des

fonctions 𝐶 et 𝑅 dans un repère d’origine 𝑂.

Dans cette Partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la

précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

1) Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien est minimal.

2) Déterminer les valeurs 𝐶(6) et 𝑅(6) puis en déduire une estimation du résultat net quotidien

en euros dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus.

3) Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et

vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.

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Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction 𝑔 définie sur [1 ; 15] par :

𝑔(𝑥) = −0,6𝑥 + 4 + 𝑒−𝑥+5

On admet que la fonction 𝑔 est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note 𝑔′ sa fonction dérivée.

1) Calculer 𝑔′(𝑥) pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15].

2) En déduire que la fonction 𝑔 est décroissante sur l’intervalle [1 ; 15].

3) Dresser le tableau de variation de la fonction 𝑔 sur l’intervalle [1 ; 15], en précisant les valeurs

𝑔(1) et 𝑔(15) arrondies à l’unité.

4) Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution

α sur l’intervalle [1 ; 15]. Donner une valeur approchée de 𝛼 à 0,1 près.

5) Déduire des questions précédentes le tableau de signe de 𝑔(𝑥) sur [1 ; 15].

Partie C : Application économique

1) Démontrer que pour tout 𝑥 ∈ [1 ; 15] on a :

𝐷(𝑥) = −0,3𝑥2 + 4𝑥 − 𝑒−𝑥+5

2) On admet que la fonction 𝐷 est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note 𝐷′ sa fonction

dérivée. Démontrer que pour tout réel 𝑥 ∈ [1 ; 15], on a 𝐷′(𝑥) = 𝑔(𝑥) où 𝑔 est la fonction

étudiée dans la Partie B.

3) En déduire les variations de la fonction 𝐷 sur l’intervalle [1 ; 15].

4) Pour quelle quantité de granulés le bénéfice de l’entreprise sera-t-il maximal ?

On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près.

5) Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.

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Exercice n°17 : Bac ES Métropole 2014

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠, la

concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.

On obtient la courbe ci-dessous :

Partie A : Etude graphique

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

1) la concentration à l’instant initial ;

2) l’intervalle durant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 𝑔/𝐿.

Partie B : Etude théorique :

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction 𝑓 définie sur [0 ; 15] par :

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)𝑒−0,5𝑥

où 𝑥 représente le nombre d’heures écoulées depuis l’instant initial et 𝑓(𝑥) la concentration, en

𝑔/𝐿, du médicament dans le sang.

1) On note 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓. Justifier que 𝑓′(𝑥) = −0,5𝑥𝑒−0,5𝑥 et en

déduire le tableau de variation de la fonction 𝑓 sur [0 ; 15]. 2) Justifier que l’équation 𝑓(𝑥) = 0,1 admet une unique solution 𝛼 sur [0 ; 15]. 3) Déterminer un encadrement de 𝛼 d’amplitude un dixième.

4) Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :

En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0 ; 15] et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion.

Partie C : Interprétation des résultats :

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la Partie B, soit par lecture graphique et sans

justifier, répondre aux questions ci-dessous.

1) On estime que le médicament n’est plus actif quand la concentration est strictement

inférieure à 0,1 𝑔/𝐿. Combien de temps le médicament est-il actif ?

2) Au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit-elle ?

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Exercice n°18 : Bac ES 2013

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une

réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chacune des

questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de

la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1) Soit la fonction ℎ définie sur ℝ par : ℎ(𝑥) = (7𝑥 − 23)𝑒𝑥. L’équation ℎ(𝑥) = 0 admet :

a) pour solution 2,718.

b) une solution sur [0 ; +∞[.

c) deux solutions sur ℝ.

d) une solution sur ] − ∞ ; 0].

2) Pour tout réel 𝑎 non nul, le nombre réel 𝑒−1

𝑎 est égal à :

a) −𝑒1

𝑎.

b) 11

𝑒𝑎

.

c) 1

𝑒𝑎.

d) 𝑒𝑎.

3) Pour tout réel 𝑎, le nombre réel 𝑒𝑎

2 est égal à :

a) √𝑒𝑎.

b) 𝑒𝑎

2.

c) 𝑒𝑎

𝑒2.

d) 𝑒√𝑎.

Exercice n°19 : Bac ES Pondichéry 2015

On s’intéresse à la fonction 𝑓 définie sur ℝ par :

𝑓(𝑥) = −2(𝑥 + 2)𝑒−𝑥

1) Calculer 𝑓(−1) et en donner une valeur approchée à 10−2 près.

2) Justifier que la fonction dérivée 𝑓′ de 𝑓 est :

𝑓′(𝑥) = 2(𝑥 + 1)𝑒−𝑥

3) En déduire les variations de la fonction 𝑓.

4) Dans le repère orthogonal ci-dessous trois courbes 𝐶1, 𝐶2 et 𝐶3 ont été représentées. L’une

de ces courbes représente la fonction 𝑓, une autre représente sa dérivée et une troisième

représente sa dérivée seconde.

Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité

de la fonction 𝑓 et indiquer un intervalle sur lequel la fonction 𝑓 est convexe.

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Exercice n°20 : Bac ES Centres Etrangers 2016

Partie A :

Soit 𝑓 la fonction définie sur [0 ; 8] par :

𝑓(𝑥) =0,4

20𝑒−𝑥 + 1+ 0,4

1) Montrer que la dérivée 𝑓′ de la fonction 𝑓 est :

𝑓′(𝑥) =8𝑒−𝑥

(20𝑒−𝑥 + 1)2

2) Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

En s’appuyant sur ces résultats, déterminer l’intervalle sur lequel 𝑓 est convexe.

On admettra que 20𝑒−𝑥 − 1 > 0 pour tout 𝑥 ∈ [0 ; 𝛼[ avec 𝛼 environ égal à 3.

Partie B :

Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B

situés à deux altitudes différentes. La fonction 𝑓 définie dans la Partie A, modélise le profil de ce

projet routier. La variable 𝑥 représente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A

et 𝑓(𝑥) représente l’altitude associée, en kilomètres. La représentation graphique 𝐶𝑓 de la fonction

𝑓 est donnée ci-dessous.

Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente à 𝐶𝑓 en un point 𝑀 est appelé « pente en

𝑀». On précise aussi qu’une pente en 𝑀 de 5% correspond à un coefficient directeur de la tangente

à la courbe de 𝑓 en 𝑀 égal à 0,05. Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu’en aucun

point de 𝐶𝑓 la pente ne dépasse 12%.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1 : L’altitude du village 𝐵 est 0,6 𝑘𝑚.

Proposition 2 : L’écart d’altitude entre les villages 𝐴 et 𝐵 est 378 mètres (arrondi au mètre).

Proposition 3 : La pente en 𝐴 vaut environ 1,8%.

Proposition 4 : Le projet de route ne sera pas accepté.

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Exercice n°21 : Bac ES Amérique du Nord 2015

Partie A :

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative 𝐶𝑓 d’une fonction 𝑓 définie et

dérivable sur l’intervalle [0 ; 18] ainsi que les tangentes au point 𝐴 d’abscisse 0, au point 𝐵

d’abscisse 5 et au point 𝐷 d’abscisse 10.

On sait aussi que la tangente au point 𝐴 passe par le point 𝐸 de coordonnées (2 ; 10) et que la

tangente au point 𝐵 est parallèle à l’axe des abscisses.

1) Donner les valeurs de 𝑓′(5) et de 𝑓′(0).

2) On admet que 𝐷 est un point d’inflexion. Donner une interprétation graphique de ce

résultat.

Partie B :

Une entreprise s’apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers.

Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction 𝑓 dont la courbe représentative 𝐶𝑓 a été

tracée ci-dessus. En abscisses, 𝑥 représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la

campagne publicitaire. En ordonnées, 𝑓(𝑥) représente le nombre de milliers de jouets vendus

le 𝑥ème jour. Ainsi, par exemple, le 10ème jour après le début de la campagne publicitaire,

l’entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets. On admet que la fonction 𝑓 est définie sur

l’intervalle [0 ; 18] par :

𝑓(𝑥) = 5𝑥𝑒−0,2𝑥

1) Montrer que la fonction dérivée 𝑓′ de 𝑓 sur [0 ; 18] est :

𝑓′(𝑥) = (5 − 𝑥)𝑒−0,2𝑥

2) Etudier le signe de 𝑓′(𝑥) sur [0 ; 18] puis dresser le tableau de variations de 𝑓 sur [0 ; 18]. 3) Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint.

Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l’unité.

Partie C :

Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants :

Utiliser ces résultats pour déterminer l’intervalle sur lequel la fonction 𝑓 est convexe.

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Exercice n°22 : Bac ES Polynésie 2016

Un publicitaire envisage la pose d’un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de

skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction 𝑓

définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

𝑓(𝑥) = 4𝑒−0,4𝑥

Cette courbe 𝐶𝑓 est tracée ci-dessous dans un repère d’origine 𝑂 :

Le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes :

• le point 𝐴 est situé à l’origine du repère, le point 𝐵 est sur l’axe des abscisses,

• le point 𝐷 est sur l’axe des ordonnées et le point 𝐶 est sur la courbe 𝐶𝑓.

1) On suppose dans cette question que le point 𝐵 a pour abscisse 𝑥 = 2.

Montrer qu’une valeur approchée de l’aire du panneau publicitaire est 3,6𝑚2.

2) Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l’énoncé, quelles

sont les dimensions de celui dont l’aire est la plus grande possible ?

3) On donnera les dimensions d’un tel panneau au centimètre près.

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Exercices préparés à la maison

Niveau : TES

Thème : Fonction exponentielle

Exercice n°1 :

Partie A : Lectures graphiques

On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé (O ; 𝑖 ; 𝑗 ), la courbe représentative (𝐶) d’une

fonction 𝑓 définie et dérivable sur l’intervalle [−2 ; 4]. On nomme 𝐴 le point de (𝐶) d’abscisse −1 et 𝐵(0 ; 2) le point de (𝐶) d’abscisse 0.

• La tangente à (𝐶) au point 𝐴 est horizontale.

• La droite (𝑇) est la tangente à (𝐶) au point 𝐵 et passe par 𝐷(2 ; 0).

Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.

1) Donner la valeur de 𝑓′(−1).

2) Déterminer le signe de 𝑓′(2).

3) Déterminer 𝑓′(0) puis𝑓(0) et en déduire une équation de (𝑇).

4) La fonction représentée 𝑓 ci-dessus est définie sur [−2 ; 4] par :

𝑓(𝑥) =𝑥 + 𝑎

𝑒𝑏𝑥

où 𝑎 et 𝑏 sont des réels. Déterminer 𝑎 et 𝑏 en utilisant la question précédente.

Partie B : Etude la fonction

Soit 𝑓 la fonction (on note 𝐶𝑓 sa courbe représentative) définie sur [−2 ; 4] par :

𝑓(𝑥) =𝑥 + 2

𝑒𝑥

1) Calculer la fonction dérivée 𝑓′ de 𝑓 sur [−2 ; 4]. 2) En déduire les variations de 𝑓 sur [−2 ; 4] et dresser son tableau de variations.

3) Montrer la dérivée seconde 𝑓′′ de 𝑓 sur [−2 ; 4] est :

𝑓′′(𝑥) =𝑥

𝑒𝑥

4) Etudier la convexité de la fonction 𝑓 sur [−2 ; 4]. 5) Démontrer que la courbe 𝐶𝑓 admet un point d’inflexion qu’on précisera.

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Exercice n°2 :

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.

Recopier le numéro de la question et la réponse exacte.

Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1,25 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne

rapporte ni n’enlève aucun point.

1) Parmi toutes les fonctions définies sur ]0 ; +∞[ et dont l’expression algébrique est donnée

ci-dessous, la seule qui est convexe est :

𝑓1(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2.

𝑓2(𝑥) =1

𝑥

𝑓3(𝑥) = −3𝑥2

𝑓4(𝑥) = −1

𝑥

2) La fonction 𝑔 définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥 est convexe sur l’intervalle :

] − ∞ ; 0].

] − ∞ ; +∞[.

[0 ; +∞[ . [−3 ; 3].

3) Dans la suite de cet exercice on travaillera avec une fonction 𝑓 définie sur [0 ; 10] dont la

représentation graphique 𝐶 est donnée ci-dessous. La tangente à la courbe 𝐶 au point 𝐴

d’abscisse 5 est tracée et a pour coefficient directeur 1.

a) Parmi les quatre courbes ci-dessous, déterminer laquelle est la représentation graphique

de la fonction dérivée 𝑓′ de la fonction 𝑓.

b) Par lecture graphique sur la courbe 𝐶, on peut affirmer que :

𝑓 est convexe sur [0 ; 10].

𝐶 admet deux points d’inflexion d’abscisses 𝛼 ∈ [2 ; 3] et 𝛽 ∈ [7 ; 8].

𝑓 est concave sur [0 ; 10].

𝐶 admet un point d’inflexion d’abscisse 5.

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Exercice n°3 : Bac ES Liban 2019

Soit 𝑓 la fonction définie sur l’intervalle [−4 ; 10] par :

𝑓(𝑥) = 1 + (−4𝑥2 − 10𝑥 + 8)𝑒−0,5𝑥

1) On note 𝑓′ la fonction dérivée de 𝑓. Montrer que, pour tout réel 𝑥 de [−4 ; 10] :

𝑓′(𝑥) = (2𝑥2 − 3𝑥 − 14)𝑒−0,5𝑥

2) Dresser, en justifiant, le tableau des variations de 𝑓 sur l’intervalle [−4 ; 10].

On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.

3) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 sur l’intervalle [−4 ; −2].

4) On considère l’algorithme ci-dessous.

Recopier et compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous correspondant au deuxième

passage dans la boucle.

5) À la fin de l’exécution de l’algorithme, les variables a et b contiennent les valeurs −3,1875

et −3,125. Interpréter ces résultats dans le contexte de l’exercice.